САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Повторение 9кл.) - 10 кл. 1) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если а) боковая сторона равна с; б) основание равно р 2) Стороны параллелограмма 6 и 10см, а острый угол равен 30 . Найти S. 3) Длина тени дерева 10,2м, а длина тени человека ростом 1,7м равна 2,5м. Найти высоту дерева. 4) В треугольнике АВС: A 60; C 45; AB 14 см. Найти СВ. Я гу бо в. РФ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Взаимное расположение прямых в пространстве – 1) - 10 кл. Вариант №1 1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли пересекаться прямые АС и ВЕ? Ответ поясните. 2) Точки М; Р; К; Т – середины соответствующих отрезков ВС; DС; АD и АВ ( DСВА – тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника МРКТ, если АС = 10см, ВD = 16см. 3) Прямая ЕК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD.Выясните взаимное расположение прямых ЕК и СD. Вариант №2 1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли быть параллельными прямые АС и ВЕ? Ответ поясните. 2) Точки Е; М; К; Р – середины соответствующих отрезков АВ; АС; DС и DВ ( DСВА – тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника ЕМКР, если ВС = 8см, АD = 12см. 3) Прямая МТ, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD.Выясните взаимное расположение прямых МТ и СD. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Перпендикулярность прямой и плоскости – 1) – 10 кл. Вариант №1 1) АВСК – квадрат. Точка М – не принадлежит плоскости АВС, МА = МС. Докажите, что АС ВМК. 2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника АВС ( С 90 ). Докажите, что треугольник МСВ – прямоугольный с гипотенузой МВ. Вариант №2 1) ЕВРК – квадрат. Точка М – не принадлежит плоскости ЕВР, МВ = МК. Докажите, что КВ ЕМР. 2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD. Докажите, что треугольник МВС – прямоугольный с гипотенузой МС. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Перпендикуляр и наклонные – 1) Вариант №1 Прямая МР перпендикулярна к плоскости треугольника МВК, МD – высота этого треугольника. Докажите, что РD ВК. Найдите площадь треугольника ВРК, если МР = 12см, КВ = 15см, МDР 45 . 1 Я гу бо в. РФ Вариант №2 Прямая ВР перпендикулярна к плоскости параллелограмма АВСD, ВК – высота параллелограмма, проведённая к DС. Найдите площадь треугольника DРС, если ВР = 6см, КР = 10см, SАВСD = 40см2. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Параллелепипед) – 10 кл. Вариант №1 Стороны основания прямого параллелепипеда 6см и 4см, угол между ними 45 . Диагональ большей боковой грани 10см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда. Вариант №2 В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12см и углом 60 . Меньшая диагональ параллелепипеда 13см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Пирамида – 1) – 10 кл. Вариант №1 Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45 . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р. Вариант №2 Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с высотой угол 45 . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Многогранники) – 10 кл. Вариант №1 1) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние от вершины верхнего основания куба до центра нижнего основания равно р. 2) Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 15см и углом между ними 60 . Высота призмы 11см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы. 3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при стороне основания равен 30 , а радиус окружности, описанной около основания, равен 2см. Вариант №2 1) Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, высота которого равна р. 2) Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 3см и углом между ними 60 . Высота призмы 15см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы. 3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если её апофема 4см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30 . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Координаты вектора – 1) – 11 кл. Вариант №1 1) Найдите координаты вектора в , в 2(i j ) 3(k i ) 2 2) Даны а 1;3;3 ; в 2;1;0 ; с1;1;2 . Найдите координаты вектора . 3) Точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус. 4) Даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора АС СВ . Вариант №2 1) Найдите координаты вектора в , в 5(i k ) 2( j k ) . 2) Даны а 1;3;3; в 2;1;0; с1;1;2 . Найдите координаты вектора р a 2в c . 3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;–4;2), В(– 3;2;–4), С(1;3; –1). Найти длину медианы СМ. 4) Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора АВ СВ . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Скалярное произведение) – 11 кл. 1) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 2. Вычислите скалярное произведение векторов а) DА1и ВВ1; А1Ви ВС1 б) АВ и ВС ; D А и СС . 2) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если а) а 7 j 2k i; b k 2i 5 j б) а 3 j k 4i; b i k 2 j 3) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно р. Вычислите а) угол между прямыми АВ1 и ВС1 (А1В и АD1) б) расстояние между серединами отрезков АВ1 и ВС1 (АС1 и В1С) 4) Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если а)А( 3 ;1;0);В(0;0; 2 2 ); С(0;2;0); D( 3 ;1; 2 2 ) б) А(6;–4;8); В(8;–2;4); С(12;–6;4); D(14;– 6;2) САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём призмы – 1) – 11 кл. Вариант №1 Основание прямой призмы – ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см. Вариант №2 Основание прямой призмы АВСDА1В1С1D1 – параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, ВАD = 45 . Найдите объём призмы, если диагональ DС1 боковой грани равна 13см. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объёмы тел) – 11 кл. Вариант №1 1) Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см и составляет с боковым ребром угол 45 . 2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом m и противолежащим ему углом . Найдите объём цилиндра, если его высота равна h. Вариант №2 1) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол 30 . 2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольник, одна из сторон которого равна р и образует с его диагональю угол . Найдите объём цилиндра, если его высота равна h. р 2а в c 1 1 Я гу бо в. РФ 1 3 Я гу бо в. РФ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Взаимное расположение прямых в пространстве - 2) - 10 кл. Вариант №1 1) Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 2) а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. б) Вычислите площадь четырёхугольника ABCD, если AC BD, AC = 10см; BD = 12см. Вариант №2 1) Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 2) а) Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения диагоналей. Известно, что точки A, B и О лежат в плоскости . Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости . б) Вычислите площадь прямоугольника ABCD, если AC = 8см; AOB 60 . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Параллельность прямой и плоскости) - 10 кл. Вариант №1 Дан треугольник ABC, E AB; K BC; BE : BA BK : BC 2 : 5 . Через прямую АС проходит плоскость , не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что EK . б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см. Вариант №2 Дан треугольник ABC, M AB; K BC ; BM : MA 3 : 4 . Через прямую МК проходит плоскость , параллельная прямой AC. а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3. б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Перпендикулярность прямой и плоскости – 2) – 10 кл. Вариант №1 1) AB , М и К – произвольные точки плоскости . Докажите, что АB МК. 2) Треугольник АВС – правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС. а) Докажите, что МА = МВ = МС. б) Найдите МА, если АВ = 6см, МО = 2см. Вариант №2 1) Дан треугольник АВС. MA ABC . Докажите, что МА ВС. 2) Четырёхугольник АВСD – квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата. а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD. б) Найдите МА, если АВ = 4см, ОМ = 1см. 4 Я гу бо в. РФ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Перпендикуляр и наклонные – 2) Вариант №1 Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4см, к плоскости прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 45 и 30 соответственно. а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные. б) Найдите стороны прямоугольника. в) Докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь. Вариант №2 Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6см, к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60 . а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные. б) Найдите сторону квадрата. в) Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности прямой призмы – 2) - 10кл. Вариант №1 Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна р, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 . Найдите: а) Диагональ призмы. б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. в) Площадь боковой поверхности призмы. г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания. Вариант №2 Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна р и образует с плоскостью боковой грани угол 30 . Найдите: а) Сторону основания призмы. б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания. в) Площадь боковой поверхности призмы. г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Пирамида – 2) – 10 кл. Вариант №1 Высота правильной треугольной пирамиды равна a 3 , радиус окружности, описанной около её основания, 2a . Найдите: а) Апофему пирамиды. б) Угол между боковой гранью и основанием. в) Площадь боковой поверхности пирамиды. г) Плоский угол при вершине пирамиды. Вариант №2 Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2a , высота пирамиды равна a 2 . Найдите: 5 а) Сторону основания пирамиды. б) Угол между боковой гранью и основанием. в) Площадь поверхности пирамиды. г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Координаты вектора – 2) – 11 кл. Вариант №1 1) Даны а 2; 4; 3 , в 3; 0,5;1 . Найдите координаты вектора c а в . 2) Даны а1; 2; 0 ; в 3; 6; 0; с 0; 3; 4 . Найдите координаты вектора р 2а 1 вc. 3 Я гу бо в. РФ 3) Найдите значения m и n, при которых векторы а 6; n;1 и в m;16; 2 коллинеарны. Вариант №2 1) Даны а1; 3; 1 , в 1; 2; 0 . Найдите координаты вектора c а в . 2) Даны а 2; 4; 6 , в 3;1; 0; с 3; 0; 1 . Найдите координаты вектора р 0,5а 2в c . 3) Найдите значения m и n, при которых векторы а 4; m; 2 и в 2; 6; n коллинеарны. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности цилиндра) Вариант №1 1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2) Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 . Высота цилиндра равна 5см, радиус цилиндра - 2 3 см. Найдите площадь сечения. Вариант №2 1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8см, а угол между диагоналями - 30 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90 . Радиус цилиндра равен 4см. Найдите площадь сечения. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём призмы – 2) – 11 кл. Вариант №1 1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2,5см, 5см и 5см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма параллелепипеда. 2) Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если ACB 90; BAC 30; AB a; CB BB1 . Вариант №2 1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2см, 6см и 6см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма параллелепипеда. 2) Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если ACB 90; AB BB1 a; AC CB . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности прямой призмы – 1) - 10кл. 6 Основание прямой призмы Треугольник АВС, АС=15см, ВС=20см, C 90 Параллелограмм АВСК,АВ=3,АК=4, A 30 Прямоугольник, стороны которого 14см и 5дм. Трапеция АВСК,АВ=7см,АК=3см, A 90 , B 60 Высота 12см 8 9см 8см Sбок. Sполн. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Правильная пирамида) - 10кл. В n-угольной правильной пирамиде a – сторона основания, к – боковое ребро, h – высота, p – апофема n a к h n a h p А) 3 12см 15см Д) 3 18см 13см Б) 4 13дм 18дм Е) 3 m n В) 3 m n Ж) 4 6дм 6 2д м Г) 4 m n З) 4 m n САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Правильные многогранники) - 10кл. 8 12 Число вершин Число рёбер 12 30 12 в. РФ Тип многогранника Число граней 6 20 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности цилиндра)-11 Я гу бо В цилиндре r – радиус основания, h – высота. Найти х и у и заполнить таблицу. r h Sбок. Sцил. А) 1см 2см Б) 2см 1см В) 25м 10,5м 3 см 7см Г) Д) 28см2 40см2 Е) х а у 2у x Ж) х 28см2 2 x 2 З) 12 м2 х САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности конуса) – 11 В цилиндре r – радиус основания, h – высота, l - образующая. Найти х и заполнить таблицу. r h l Sбок. Sкон. А) 1см 2см Б) 12см 5см В) 3м 5м Г) х х 36 2 см2 x Д) а х 2 Е) 27см 810 см2 ОБЪЁМЫ ТЕЛ 7 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём прямоугольного параллелепипеда - 1) – 11 кл. В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием р – сторона основания, с - высота. Заполнить таблицу. А) Б) В) Г) Д) Е) р 3 6 2 3 2 15 с 4 11 l V 1,76 122,4 Q 12 13 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём прямоугольного параллелепипеда - 2) – 11 кл. Е) P V бо в. РФ Дан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат. А) Б) В) Г) Д) Сторона 3,5 квадрата Диагональ 5 2 d 2 2 квадрата Периметр 4 3 квад рата Высота 4 9,8 c пара лл-да Объём 12,74 28,4 пара лл-да Математический диктант «Уравнение сферы» - 11кл. Я гу 1. Укажите центр и радиус сферы, заданной уравнением а) (х – 4)2 + (у – 2)2 + (z + 9)2 = 25; б) (х – 3,6)2 + (у + 0,75)2 + (z + 777)2 = 1,21 2. Проверьте, лежит ли точка А на сфере а)(х + 1)2 + (у – 2)2 + (z – 3)2 = 9,если А(-1;-1;3) б)(х - 2)2 + (у + 3)2 + (z + 4)2 = 16, если А(4;-3;-2) 3. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат, если R = 8; R = 2,5 4. Напишите уравнение шара радиуса R с центром в начале координат, если R=6 5. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке С, если С(-3;2;4) и R=5 6. Напишите уравнение шара радиуса R с центром в точке С, если С(5;4;-2) и R = 0,5 7. Составьте уравнение сферы с центром в точке С, проходящей через точку М, если а) С(0;-4;9), М(6;-1;0); б) С(-2;4;0), М(-2;4;3) 8. Докажите, что каждое из следующих уравнений задаёт сферу. Найдите координаты центра и радиус этих сфер а) х2 – 9х + у2 + 2у + z2 = 34; б) х2 + у2 – 3z + z2 + 5у - х – 18 = 0 9. Найти координаты точек пересечения сферы с координатными осями (х + 3)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 8 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём цилиндра) – 11 кл. Пусть r – радиус основания, h – высота, V – объём цилиндра. Заполнить таблицу. r h V А) 3 5 Б) 3 2 2 1 В) 0,5 9 3 Г) Д) Е) 4 3,6 2 6,4 120 3 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём наклонной призмы) – 11 кл. А) Б) В) Г) Основание Треугольник АВС, АВ=ВС=СА=3см Треугольник АВС, АВ=5м, ВС=6м, СА=9м Квадрат АВСК, АВ=12 Параллелограмм АВСК, АВ=3см, АК=5см, A 45 Высота 15см 20м Объём 17 8см в. РФ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Объём конуса) – 11 кл. Пусть r – радиус основания, h – высота, V – объём конуса. Заполнить таблицу. А) Б) В) Г) Д) Е) h 3cм 10м 2,5м m r 1,5см 4 1,5м а V 94,2м3 48 р р бо САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности и объём шара) – 11 кл. Я гу Пусть V – объём шара радиуса R, а S – площадь его поверхности. Заполнить таблицу. А) Б) В) Г) Д) Е) R 4см 2,5см 0,75м 12см2 S 64 см2 V 113,04см3 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (Площадь поверхности и объём тел вращения) – 11 кл. Пусть R- радиус, l- образующая,D- диаметр,H- высота, V- объём, S– площадь поверхности R l D H Sосн. Sполн. пов. V конус а в конус с р конус в а конус 2 25 цилиндр в а р2 цилиндр с цилиндр а в цилиндр с р шар Нет а Нет Нет шар Нет Нет Нет 100 шар с Нет Нет Нет шар Нет Нет Нет 36 9