УРОК №3 Практические способы построения параллельных прямых Как построить прямую, параллельную данной, через точку, не лежащую на данной прямой? Какие инструменты необходимы для построения нескольких параллельных прямых? Какие теоретические факты лежат в основе способов построения параллельных прямых? Признаки параллельности прямых С помощью чертежного угольника и линейки проведите через точку M прямую, параллельную прямой m. С помощью циркуля и линейки постройте прямую DE, параллельную данной прямой MF. Указание: Постройте угол PDE, равный углу FPD, так, чтобы углы PDE и FPD были накрест лежащими при пересечении прямых MF и DE секущей CD. Домашнее задание п. 26, №194 УРОК №4 Цель урока: • Познакомить с понятием аксиомы в геометрии • Организация деятельности обучающихся по изучению и первичному закреплению аксиомы параллельных прямых и её следствий. Теорема и следствие •Теорема – утверждение , для которого в рассматриваемой теории существует доказательство. •Следствие – утверждение, которое выводится из теорем и аксиом. 10 Аксиома • Что это такое? • Как произошло? Аксиома Это исходные положения, на основе, которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия. Происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Некоторые аксиомы были сформулированы еще в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Через любые две т очки проходит прямая, и прит ом только одна На любом луче от его начала можно от ложит ь от резок, равный данному, и прит ом т олько один От любого луча в заданную ст орону можно от ложит ь угол, равный данному неразвернут ому углу, и прит ом т олько один Задача Всегда ли через точку , не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную прямую? Сколько параллельных прямых можно провести через данную точку? Давайте докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. М в Дано: а, М а Доказать: можно провести прямую через Ма Доказательство: Проведем прямую с, а ┴ с, в ┴ с =>а в (две прямые ┴ к третьей не пересекаются, значит ) а с М в в а Можно ли через т.М провести еще одну прямую , параллельную прямой а ? Нам представляется, что через т.М нельзя провести прямую (отличную от прямой в), параллельную прямой а. Можно ли это утверждение доказать? Огромную роль в решении этого непростого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский Он выяснил, что это утверждение доказать нельзя, т.к. само является аксиомой. М b а Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. с М а в Доказательство: (методом от противного) 1. Предположим, что прямая с не пересекает прямую в, значит, с в. 2. Тогда через т.М проходят две прямые а и с параллельные прямой в. 3. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, прямая с пересекает прямую в. 2.Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. а Доказательство: (методом от противного) 1. Предположим, что прямая а и прямая в пересекаются. в с 2. Тогда через т.М проходят две прямые а и в параллельные прямой с 3 . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. 4. Значит прямые а и в параллельны. Решение задач Задача №197 Задача № 199 Через точку, не лежащую на данной прямой p , проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую p ? Рассмотрите все возможные случаи. А Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые АВ и ВС пересекают прямую р. А р р В С Домашнее задание: П. 27, 28 стр. 68, вопросы 7 – 11 Решить задачи № 196, 198, 200 УРОК №6,7 Свойства параллельных прямых а b Две прямые на плоскости называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, если они не пересекаются. с 1 а b 2 4 3 5 6 7 8 Накрест лежащие углы Односторонние углы Соответственные углы с a ıı b а 2 1 3 4 b Если при пересечении двух прямых секущей НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ углы равны, то прямые параллельны с 1 а a ıı b 2 4 3 5 6 7 8 b Если при пересечении двух прямых секущей СООТВЕТСТВЕННЫЕ углы равны. то прямые параллельны с а a ıı b 1 2 4 3 b Если при пересечении двух прямых секущей сумма ОДНОСТОРОННИХ углов равна 1800, то прямые параллельны СВОЙСТВА параллельных прямых Если (условие) То (заключение) прямые параллельны накрест лежащие углы равны прямые параллельны соответственные углы равны прямые параллельны сумма односторонних углов равна 180 градусов получили Сравнительная таблица. Название теоремы Признак параллельности прямых Свойства параллельных прямых Формулировка теоремы Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Прямые a, b, c – их секущая, 1, 2 – накрест лежащие углы; 1=2 Прямые a, b, c – их секущая, 1, 2 – накрест лежащие углы; a||b a||b 1=2 Условие (дано) Заключе-ние (доказать) Замечание. Если доказана некоторая теорема, то отсюда еще не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Например, «вертикальные углы равны». Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные» - конечно же, неверно. с а 2 1 3 4 b Если две параллельные прямые пересечены секущей, то НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ углы равны. с 1 а 2 4 3 5 6 7 8 b Если две параллельные прямые пересечены секущей, то СООТВЕТСТВЕННЫЕ углы равны. с а 1 2 4 3 b Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма ОДНОСТОРОННИХ углов равна 1800. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ углы равны. P M а 1 2 в 1) 2) 3) 4) 5) Дано: прямые a ∥ b, секущая MN; 1 и 2 – накрест лежащие; Доказать: 1 = 2; N Доказательство. Допустим, что 1 ≠ 2; Отложим от луча MN ∠PMN = 2, так чтобы ∠PMN и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых MP и b секущей MN; По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому MP ∥ b. Мы получили, что через точку М проходят 2 прямые параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и 1 = 2 Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. с M а 1 2 в N Дано: прямые a ∥ b, ca Доказать: c b с 4 а 2 3 1 в Дано: прямые a ∥ b, 1 = 75⁰ Найти: 2, 3, ∠4. с 2 а 4 5 в 1 6 3 Дано: прямые a ∥ b, 1 + ∠2 = 160⁰ Найти: 3, 4, ∠5, ∠6. Домашнее задание. п.27-29, приложение2, вопросы 12-15 №201, №203а,б
