Моргунов+А.П.,+Деркач+В.В.+(УП)+Аппроксимация+экспериментальных+кривых...

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
————————————
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
А. П. Моргунов, В. В. Деркач
АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
КРИВЫХ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И НАДЁЖНОСТИ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
Омск
Издательство ОмГТУ
2019
————————————————————————————————
Сведения об издании: 1, 2
© ОмГТУ, 2019
ISBN 978-5-8149-2863-4
1
УДК 62-19
ББК 34.414
М79
Рецензенты:
С. Г. Шантаренко, д-р техн. наук, зав. кафедрой
«Технологии транспортного машиностроения и ремонта
подвижного состава» ФГБОУ ВО «ОмГУПС»;
И. Г. Браилов, д-р техн. наук, профессор кафедры
«Технический сервис, механика и электротехника»
ФГБОУ ВО «ОмГАУ им. П. А. Столыпина»
Моргунов, А. П.
М79
Аппроксимация экспериментальных кривых работоспособности и надёжности : учеб. пособие / А. П. Моргунов, В. В. Деркач ; Минобрнауки
России, ОмГТУ. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2019.
ISBN 978-5-8149-2863-4
Изложены способы и примеры аппроксимации экспериментальных
уравнений различного вида. Особое внимание уделено аппроксимации
экспериментальных данных работоспособности и надёжности трансцендентными уравнениями с учётом их сложности, трудности при разделении переменных и разрешении уравнений относительно искомых параметров. Предложены практические задания и тесты по курсу «Надёжность технических систем», а также задания для самостоятельной работы
студентов.
Издание предназначено для студентов, аспирантов и инженеров.
УДК 62-19
ББК 34.414
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Омского государственного технического университета
© ОмГТУ, 2019
ISBN 978-5-8149-2863-4
2
1 электронный оптический диск
Оригинал-макет издания выполнен в Microsoft Office Word 2007/2010
с использованием возможностей Adobe Acrobat Reader.
Минимальные системные требования:
• процессор Intel Pentium 1,3 ГГц и выше;
• оперативная память 256 Мб и более;
• свободное место на жестком диске 260 Мб и более;
• операционная система Microsoft Windows XP/Vista/7/10;
• разрешение экрана 1024×768 и выше;
• акустическая система не требуется;
• дополнительные программные средства Adobe Acrobat Reader 5.0 и выше.
Редактор О. В. Маер
Компьютерная верстка Л. Ю. Бутаковой
Сводный темплан 2019 г.
Подписано к использованию 03.07.19.
Объем 3,00 Мб.
—————————————————
Издательство ОмГТУ
644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12
Эл. почта: info@omgtu.ru
3
ВВЕДЕНИЕ
В самом общем случае под аппроксимацией [17] понимается приближенное выражение каких-либо физических или математических объектов через
другие более простые или известные.
Частным случаем аппроксимации, ставшим темой настоящей работы, является выражение графической функции – экспериментальной кривой, через
математическое уравнение – функцию одной или нескольких переменных – или
через какое-либо другое уравнение.
Научно-технический прогресс резко повысил значимость методов получения экспериментальной и производственной информации при испытании или
функционировании технических устройств и других процессов.
Это обусловливается тем, что современные технические устройства работают при очень высоких значениях рабочих параметров, таких как температура,
давление, скорость движения, напряжённость электрических и магнитных полей и т. д. При этом детали и элементы устройства, воспринимающие рабочие
нагрузки, проектируются с минимально возможным запасом стойкостных
свойств (запасом работоспособности). Эра изготовления изделий с избыточным
запасом характеристик работоспособности ушла ещё не очень далеко, но это
уже прошлое. Сегодня экономическая политика страны направлена на всемерное снижение материалоёмкости изделий при увеличении их служебных
свойств и параметров.
Это обязывает инженеров-исследователей и практиков уделять серьёзное
внимание точному инженерному расчёту и прогнозированию поведения разрабатываемых и изготовляемых объектов и систем.
Математическая обработка информации о функционировании устройств
является одной из самых важных частей любого инженерного расчёта. Эта информация подразделяется на экспериментальную и теоретико-аналитическую.
Экспериментальная информация, полученная в процессе испытаний, фиксируется в протоколах испытаний, таблицах измеренных значений, отражается
в графических функциях и т. д.
Аналитическая информация [8, 12] представляет собой математические
модели изучаемых процессов и явлений. Они выражаются алгебраическими
трансцендентными, дифференциальными, интегральными уравнениями и т. д.
Важным условием успешного познания изучаемых процессов является
подобие аналитических представлений экспериментально получаемым результатам, что называется «подобие модели и натуры».
Говоря о подобии, следует напомнить [12], что два явления называются
подобными, если все количественные характеристики одного из них получаются
4
из соответствующих количественных характеристик другого путём перемножения на постоянный коэффициент, называемый константой подобия.
Различаются подобия: геометрические, физические, математические, как
правило, связанные между собой определёнными соответствиями. Это позволяет, найдя, например, геометрическое подобие каким-то математическим моделям, затем установить связь с физическими процессами, происходящими в изучаемых объектах.
Установление подобия экспериментально полученных зависимостей старения, работоспособности и надёжности технических устройств идентичным
математическим моделям – вопрос недостаточно изученный в настоящее время.
Большинство моделей работоспособности и надёжности описывается трансцендентными неалгебраическими уравнениями, особенностью которых является значительная трудоёмкость при решении их относительно параметров, а нередко и при разделении переменных. Все это требует специального рассмотрения способов и методов обработки экспериментальной информации, используемых при расчёте, контроле и прогнозировании работоспособности и надёжности изделий машиностроения.
5
1. ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
РАБОТОСПОСОБНОСТИ И НАДЁЖНОСТИ
МЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Всю информацию, получаемую в результате эксперимента или наблюдений при эксплуатации стендовых и лабораторных испытаний, можно разбить
на два класса.
1. Детерминированная информация. Детерминизм [7] – учение о всеобщей причинной обусловленности закономерной связи всех явлений. Следовательно, детерминированная информация – это информация о физико-химических, механических, электрических и других физических процессах, протекающих в изучаемых объектах. Наиболее распространенными физическими процессами старения технических устройств являются: износ кинематических узлов трения, потеря механической прочности под воздействием статических
и циклических нагрузок, коррозия различных видов, прогрессирующее ухудшение функциональных свойств (так называемая параметрическая надежность
изделий: например, потеря мощности двигателя, точности станка, подъемного
усилия у домкрата) и т. п.
2. Статистико-вероятностная информация. В данном случае регистрируются не причины и динамика протекающих процессов, а фиксированные состояния – следствия процессов в предположении, что их наступление и протекание
носят случайный характер.
Для обработки и математической интерпретации этой информации существенную роль играют частота появления регистрируемых состояний (событий),
геометрический вид распределения этих частот в выбранной системе отсчета.
По любому виду старения возможно получение информации обоих выше
названных классов, причём каждый класс информации имеет свои достоинства
и недостатки. Статистико-вероятностная информация полно учитывает влияние
внешней среды эксперимента на результирующий показатель. Но получаемая
при этом оценка является формальной и не отражает физическую сущность
протекающих в изделии процессов.
Детерминированная информация по своей природе является физической.
Она позволяет следить за физикой процесса, управлять его параметрами и корректировать получаемые результаты. Однако получение этой информации является весьма трудоемким делом. Еще труднее воспроизводить условие эксперимента, т. е. получать стабильно повторяющуюся информацию.
6
1.2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРОЦЕССОВ СТАРЕНИЯ
И РАБОТОСПОСОБНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Среди физико-химических процессов старения первенство по наибольшему числу проявлений и наличию экспериментальных данных принадлежит
износу. Это объясняется сравнительно легкой наблюдаемостью, простотой измерения с одной стороны, значительным числом элементов трения, применяемых в современной технике, – с другой.
Кривые износа (рис. 1.1) представляют весовые характеристики приработочного износа цифры в зависимости от времени приработки и способа обработки сопряжённых поверхностей. Кривые имеют одну точку перегиба и одинаковый геометрический вид.
Рис. 1.1. Кривые весового износа цапфы в зависимости от времени работы
при различных технологических приемах обработки поверхности
На рис. 1.2 приведены кривые зависимости линейного износа втулок шатунов тракторных двигателей при различных шероховатостях сопряжённых поверхностей. Кривая 3 отличается от других наличием второй точки перегиба.
Рис. 1.2. Зависимость линейного износа втулок шатунов тракторных двигателей
при различных шероховатостях сопряженных поверхностей
7
Кривые износа токарного резца по главной задней грани в зависимости от
пути резания (рис. 1.3) получены при точении серого чугуна СЧ 12-24 резцом
твердого сплава ВК-8 при различных подачах режущего инструмента. Эти кривые имеют по две точки перегиба. Анализируя данные кривые, можно разработать модель типичной кривой износа (рис. 1.4).
Рис. 1.3. Зависимость линейного износа твердосплавного резца
по задней грани от пути резания
Термин «типичная кривая износа» впервые ввёл в обращение А. Н. Еремин [5]. Выделяют три участка наибольшей кривизны: 1 – приработочного износа, 2 – нормального рабочего износа, 3 – катастрофического износа.
Рис. 1.4. Типичная кривая износа и скорости износа
В работе [9] кривая износа, имеющая два участка наибольшей кривизны,
разделяющих область приработки, нормальной работы и катастрофического износа, именуется полной кривой износа, а кривые, не имеющие область катастрофического износа (а иногда и области приработки), – неполными кривыми износа.
Типичные виды кривых коррозийного старения (обобщены М. А. Толстой) построены в координатах «коррозия – время» (рис. 1.5, а) и «скорость
коррозии – время» (рис. 1.5, б).
8
Рис. 1.5. Типичные кривые старения:
а – «коррозия – время», б – «скорость коррозии – время»
Следовательно, есть основание сделать предположение о наличии общих
закономерностей механики процессов старения, несмотря на различную физико-химическую сущность протекающих процессов.
Визуальный анализ показывает, что многие кривые износа геометрически
весьма сходны с кривыми (рис. 1.5).
Аналогичного вида зависимости имеют место при процессах усталостного старения (рис. 1.6).
9
Рис. 1.6. Зависимости изменения амплитуды колебания
пружинного маятника A = f ( N ) , полученные при испытании до разрушения
пяти образцов в одинаковых условиях
По сравнению с ранее приведенными, эти кривые имеют «перевернутый»
вид, что объясняется принятой системой отсчета. Для аппроксимирования экспериментальных кривых такие изменения вида кривых принципиального значения не имеют.
1.3. СТАТИСТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
НАДЁЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Для оценки надёжности технических устройств разрабатываются различные аналитические модели на базе непрерывных дискретных распределений
случайных величин. Наиболее употребимыми являются непрерывные распределения.
В самом общем случае эти зависимости можно представить:
1) функцией надёжности, называемой функцией вероятности о безотказной работе объекта в момент времени t [3, 15]:
 Tg

−
P=
t
λ
t
dt
exp
()
 ∫ ( ) ,
 0

(1.1)
где P ( t ) – вероятность безотказной работы объекта в момент времени t; Tg –
время, по истечении которого P ( t ) = 0 (предельный ресурс работы объекта);
λ ( t ) – функция интенсивности отказов [3, 15];
10
2) функцией надёжности, называемой также функцией распределения
вероятности отказов объекта в момент времени t:
 Tg

Q(t ) =
1 − P (t ) =
1 − exp  − ∫ λ ( t ) dt  .
 0

(1.2)
Часто в качестве модели используется плотность вероятности, представляющая собой первую производную от функции вероятности отказов:
q (t ) = Q ' ( t ) .
(1.3)
Вид функции распределения, который называют законом распределения,
определяется функцией интенсивности отказов. Самый простой случай будет
иметь место при
λ ( t )= λ= сonst .
(1.4)
В этом случае будет иметь место так называемое экспоненциальное распределение. Его уравнения имеют вид
P (t ) = e − λt


Q(t ) = 1 − e − λt 

q (t ) = λe − λt 
(1.5)
Геометрический вид функции экспоненциального распределения приведен на графиках (рис. 1.7). Экспериментальная информация предоставляется
в виде протоколов испытаний или в виде гистограмм.
а
б
Рис. 1.7. Экспоненциальные распределения:
а – скорости процесса; б – работоспособности и старения
Гистограмма интенсивности λN ( t ) , определённая экспериментально
(рис. 1.8), с достаточно хорошей точностью показывает, что λN ( t ) ≠ сonst ,
11
распределение практически не является экспоненциальным. Методика обработки информации и построения подобных гистограмм будет рассмотрена ниже.
Рис. 1.8. Гистограмма интенсивности отказов
Интенсивность отказа, выражение степенной функции вида
λ(t ) = μαt α −1
(1.6)
приводит к распределению Вейбулла – Гнеденко [3, 6, 15]
α
P (t ) = e − μt .
(1.7)
В формулах (1.6) и (1.7) μ и α – параметры распределения. Распределение
Вейбулла – Гнеденко практически позволяет путем подбора параметров μ и α
описать большинство кривых.
На рис. 1.9 видно, что экспоненциальное распределение при α = 1 является частным случаем распределения Вейбулла – Гнеденко.
Рис. 1.9. Вид кривой интенсивности отказов распределения
Вейбулла – Гнеденко при различных значениях α
12
Для оценки надежности применяется и нормальное распределение. Его
основные аналитические зависимости следующие:
Tg
 ( t − T )2 
1
0
 dt ;
P (t )
=
∫ exp  −
2
2σ
σ 2π 0


 ( t − T )2 
1
0
.
q (t )=
⋅ exp  −
2
2σ
σ 2π


(1.8)
(1.9)
В формулах (1.8) и (1.9) T0 , σ – параметры распределения.
В работе [9] показано, что детерминированные и статические зависимости
для одних и тех же условий старения являются подобными. В общем виде
функция работоспособности имеет вид
 Tg

=
R (t ) R0 exp  − ∫ λr ( t ) dt  ,
 0

(1.10)
где R0 – начальный запас работоспособности; λr ( t ) – детерминированный аналог интенсивности отказов. Детерминированная функция старения имеет следующий вид:

 Tg
 
S (t ) = R0 1 − exp  − ∫ λr ( t ) dt   .

 0
 
(1.11)
Уравнения (1.10) и (1.11) подобны уравнениям (1.1) и (1.2), константой
подобия является R0 .
Краткое знакомство с информацией о надёжности и работоспособности,
а также об их взаимосвязи и подобии ещё раз подчеркивает важность научных
способов обработки, в том числе и аппроксимации.
13
2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ
ГРАФИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Аппроксимация в качестве своих составных элементов предусматривает
два комплекса приемов:
1) установление и формирование общего вида и структуры уравнений
(определяется вид, число членов и структура уравнения);
2) вычисление по экспериментальным данным параметров формул, дающих наилучшее приближение к результатам эксперимента.
Большинство научных работ [1, 4, 8, 16], рассматривая вопросы аппроксимации, в качестве формул принимают алгебраические уравнения: полином Лагранжа, степенную, показательную и другие функции. Необходимо отметить, что
до настоящего времени не разработано алгоритма «угадывания» вида формул
и ее структуры. Специалисту, занимающемуся аппроксимированием, необходимо знать вид и структуру уравнений, используемых в той области науки и техники, которой он занимается, и нередко интуитивно применять их.
Как известно, уравнениями работоспособности и надёжности являются
трансцендентные функции. В настоящей работе рассматриваются непрерывные
дифференцируемые трансцендентные функции.
Особенности этих уравнений заключаются в их трудной разрешимости
относительно искомых параметров. В ряде случаев возможны только приближенные решения.
2.2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ И МЕТОДЫ
АППРОКСИМАЦИИ
Для нахождения параметров выбранных уравнений в настоящие время
применяются способ выбранных точек, метод выравнивания кривых и метод
наименьших квадратов [4, 16].
Способ выбранных точек
Сущность названного способа заключается в следующем. На аппроксимируемой кривой произвольно выбирается ряд точек таким образом, чтобы их
количество в 1,5–2 раза превышало число неизвестных параметров уравнения.
14
Для них записывается система уравнений:
y1 = f1 ( α, β , γ, ..., x1 ) 

y2 = f 2 ( α, β , γ, ..., x2 ) 
(2.1)

................................... 
yn = f n ( α, β , γ, ..., xn ) 
В уравнениях (2.1) yi , xi – известные значения аргумента и функций, соответствующие выбранным точкам на графике; α, β, γ – искомые параметры
уравнения. Решая уравнения (2.1) относительно искомых параметров, устанавливают их численные значения:
(
(
(
)
α = φ1 y1 , x1 


β = φ2 y2 , x2 

γ = φ3 y3 , x3 

)
(2.2)
)
и т. д.
Способ выбранных точек имеет невысокую точность, так как точки выбирают наугад. В соответствии с принципом Лежандра [16] параметры α, β, γ по
уравнениям (2.1) вычисляются 2–3 раза, для чего выбирается избыточное число
точек. Способы вычисления и уточнения полученных результатов будут рассмотрены ниже.
Метод выравнивания кривых
Данный метод является существенно более точным, но имеет ограниченное применение. Сущность его заключается в преобразовании уравнения для
понижения порядка или приведения уравнения к известному. Наиболее простым и применяемым способом является линеаризация. Например, нелинейное
уравнение вида
(2.3)
φ ( y ) αf ( x ) + β
=
заменой переменных можно привести к виду
=
y ax + b .
(2.4)
Уравнение (2.4) описывает прямую линию и его параметр легко определяется.
К этому же методу можно отнести более сложные замены экспериментальной кривой, например аппроксимацию параболой, окружностью и т. д.
15
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов имеет репутацию наиболее точного, но в то
же время и более трудоемкого с точки зрения техники вычислений. В этом случае предполагается, что вид уравнения известен:
y = f ( α, β , γ, ..., x ) .
(2.5)
Должны быть вычислены также все отклонения от средних значений
функции при соответствующем значении аргумента:
εi φ ( xi , αi , βi , γi ) − yi , =
=
( i 1, 2, 3, ..., n ) .
(2.6)
Наилучшими коэффициентами α, β, γ считаются те, при которых сумма
квадратов отклонений будет минимальной.
i =n
S=
yi , ( i 1, 2, 3, ..., n )
( α, β , γ ) ∑ φ ( xi , αi , βi , γi ) −=
i =1
(2.7)
Используя условия экстремума, можно получить нормальную систему
уравнений для определения коэффициентов:
∂S
∂S
∂S
= 0;= 0;= 0.
∂α
∂β
∂γ
(2.8)
Значения α, β, γ, удовлетворяющие уравнению (2.8), будут искомыми коэффициентами.
16
3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ АППРОКСИМАЦИИ
КРИВЫХ РАБОТОСПОСОБНОСТИ И НАДЁЖНОСТИ
3.1. ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Аппроксимация экспериментальных кривых старения уравнением прямой
известна уже давно. Особенно часто оно применяется для аппроксимации кривых износа. Кривую линию или семейство экспериментальных точек заменяют
прямой линией (на рис. 3.1 экспериментальные кривые выполнены пунктиром,
а аппроксимирующие – сплошными линиями).
В ряде случаев экспериментальную кривую заменяют прямой 1, проходящей через начало координат (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Линейная аппроксимация начального участка
кривой старения по двум точкам
В этом случае аппроксимирующее уравнение будет иметь вид
y = K x,
(3.1)
где
=
K γ=
tgβ
ср
(3.2)
является средней скоростью старения объекта.
При вычислениях необходимо иметь в виду, что соотношение (3.2) справедливо, если масштабы по осям x и y будут одинаковы. В противном случае
коэффициент K будет пропорционален tg α , но не равен ему.
Параметр уравнения γср находится непосредственно по графику измерением угла β или по измеренным абcциccе xi и ординате yi с последующим вычислением γср = xi / yi .
17
Более сложной является аппроксимация уравнением прямой 2, не проходящей через начало координат (рис. 3.1). Уравнение этой прямой имеет вид
=
y a0 + K x ,
(3.3)
где K – имеет тот же смысл, что и в уравнении (3.1), параметр легко находится
из графика 2 (рис. 3.1). При x = 0, y = a0 .
Необходимо иметь в виду, что на интервале х1 расчет по уравнению (3.3)
будет иметь значительную погрешность. На этом участке линейная аппроксимация является неприемлемой.
Можно для аппроксимации воспользоваться и уравнением прямой, проходящей через две точки. Если на кривой 2 (рис. 3.1) выбрать две точки m и n,
то уравнение аппроксимации прямой можно записать в виде
y − ym
x − xm
.
=
yn − ym xn − xm
(3.4)
Параметры K и α можно выразить следующим образом:
=
K tg=
α
a0 =
ym −
yn − ym
,
xn − xm
(3.5)
yn − ym
⋅ xm .
xn − xm
(3.6)
Линейная аппроксимация в задачах надёжности и работоспособности
применяется для нахождения параметров ряда линейных распределений, плотностей, интенсивности и их детерминированных аналогов. Линейная аппроксимация широко применяется в силу своей простоты и доступности. Однако это
представление маскирует сущность происходящих явлений и на ряде интервалов по оси абсцисс является весьма неточным.
3.2. АППРОКСИМАЦИЯ ПРОСТЕЙШИХ КРИВЫХ
С ОДНИМ УЧАСТКОМ НАИБОЛЬШЕЙ КРИВИЗНЫ
К простейшим кривым относятся кривые старения или работоспособности, имеющие один участок наибольшей кривизны (рис. 1.1). Они могут быть
выпуклы как вверх, так и вниз. Это не имеет принципиального значения для
нахождения величины параметров.
По геометрическому виду кривая hg (рис. 3.2) – это неполная кривая износа с одним участком наибольшей кривизны. Кривая стремится к некоторой
постоянной величине h – асимптоте.
18
Рис. 3.2. Кривые с одним участком наибольшей кривизны
Следовательно, физически h представляет собой начальный запас физических возможностей объекта, а кривая hg показывает количество израсходованных физических свойств объекта в любой момент времени. Символ будет
иметь смысл начального запаса материала (объема, линейной величины), конструктивно предназначенного для износа от начала эксплуатации до полного
выхода изделия из строя.
Поэтому кривая hg названа детерминированной кривой старения [9].
Кривая rg , называемая кривой работоспособности объекта [9], является
дополняющей кривой к hg . Это означает, что в любой момент времени выполняется следующее условие:
rg + hg = h0 = сonst .
(3.7)
Из этого краткого анализа следует, что, аппроксимируя кривую hg или rg ,
можно решить ряд задач и в первую очередь задачу вычисления начального
уровня работоспособности по результатам эксперимента.
Рассмотрим ряд соображений по определению («угадыванию») структуры
уравнений работоспособности и старения. Из литературы [3, 6, 9, 15] известно,
что основным уравнением непрерывных законов работоспособности и надёжности является уравнение
 Tg

=
R (t ) R0 exp  − ∫ λr ( t ) dt  .
 0

(3.8)
При R0 = 1 уравнение (3.8) будет являться статистической функцией
надёжности – вероятности безотказной работы.
19
Вид кривой определяет подлинность подынтегральной функции λr ( t ) .
Как указывалось выше, большинство экспериментальных кривых работоспособности и надёжности можно аппроксимировать распределением Вейбулла –
Гнеденко. В табл. 3.1 приведены основные уравнения старения и работоспособности, выведенные при условии, что старение подчиняется закону Вейбулла –
Гнеденко:
Таблица. 3.1
Примеры кривых
и формул старения
Примеры кривых
и формул
(
R ( x) = R0 e − μx
( x) R0 1 − e− μx
S=
α
)
Примеры кривых
безразмерной
скорости старения
α
λ( x) = αμ x α −1
Значения
параметров
для данного
вида кривых
Геометрический
параметр
0<α≤1
Масштабный
параметр μ > 0
α > 2,
μ>0
1 < α < 2,
μ>0
Анализ показывает, что практически любые виды кривых могут быть
описаны приведенными уравнениями. Рассмотрим конкретный пример аппроксимации.
По геометрическому виду кривая b (рис. 3.3) – это неполная кривая износа. Предполагаемым уравнением при α = 1 может быть экспоненциальное уравнение (табл. 3.1)
(
)
h=
(t ) h0 1 − e − λt .
(3.9)
Аппроксимирование будет заключаться в отыскании значений h0 и λ,
наилучшим образом описывающих экспериментальную кривую. Оно может
осуществляться различными приемами. Как правило, результаты вычислений
будут существенно отличаться друг от друга. Задача вычислений – найти
наиболее точное значение искомых параметров.
20
Рис. 3.3. Геометрический вид неполной кривой старения
Геометрический вид кривой определяет экспоненциальная структура
уравнения и частично параметр λ . Параметр h0 с геометрической точки зрения
является асимптотой и с хорошей степенью точности может быть принят из
графика. Из графика (рис. 3.3) определяем h0 = 0,64.
Для определения λ воспользуются методом выбранных точек (рис. 3.3).
Выбираем пять точек; точки следует выбирать на участке с наибольшей кривизной.
В соответствии с принципом Лежандра [16] число точек должно быть
больше числа искомых неизвестных. Это необходимо для уточнения вычисленных значений параметров.
Первый вариант нахождения параметров уравнения
Запишем в общем виде для выбранных на графике точек (рис. 3.3) уравнения (3.9):
(
)
h (1 − e
),
=
h1 h0 1 − e − λ t1 ,
=
h2
− λ t2
0
..........................
..........................
(
(3.10)
)
=
h5 h0 1 − e− λ t5 .
Определим λ из двух соседних уравнений (3.10):
h1 1 − e− λ t1
.
=
h2 1 − e− λ t2
21
(3.11)
После преобразования получим
h2 −=
h1 h2 e − λ t1 − h1e − λ t2 .
(3.12)
Обозначим x1 = − λt1 ; x2 = − λt2 и подставим в уравнение (3.13):
h2 − =
h1 h2 e − x1 − h1e − x2 .
(3.13)
Приближённое решение уравнения (3.13) можно получить, разложив в ряд
и взяв два значащих члена:


x2 
x2 
h2 − h1= h2 1 + x1 + 1  − h1 1 + x2 + 2  .
2 
2 


(3.14)
После подстановок и преобразований получим
λ=
2 ( h2t1 − h1t2 )
h2t12 − h1t22
.
(3.15)
Данное решение является весьма приближённым, и наилучшее приближение имеет место на начальном участке кривой.
Данные расчёта λi по формуле (3.16) приведены в табл. 3.2:
Таблица 3.2
№
точки
ti
hi
1
0,125 0,23
2
0,25
1
0,125 0,23
3
1
4
1
5
0,5
0,33
0,43
0,125 0,23
1,0
0,55
0,125 0,23
2,5
0,62
λi
3,4
2,39
1,45
0,127
(
)
0,3025 0,7389
0,2611
0,167
Разность
значений
измеренных
и расчетных
–0,063
0,605
0,5461
0,4539
0,290
–0,04
12,1
–
–
–
–
–
–
1,21
0,2982
0,7018
0,449
+0,019
4,4
–
–
–
–
–
–
2,42
0,0889
0,9111
0,583
+0,033
6,0
–
–
–
–
–
–
6,05
0,0023
0,9977
0,638
+10,018
2,9
Проверка=
hi h0 1 − e − λ ti
ti 2,42
e
− λ ti
1− e
− λ ti
hi
%
27,4
Как видно из табл. 3.2, значения λi увеличиваются при приближении точек к началу координат. Это следует из математической сущности разложения
в ряд. Аппроксимирующая кривая а (рис. 3.3) построена по уравнению (3.10)
22
при h0 = 0,64, λi = 3,4. Она прошла выше экспериментальной. При h0 = 0,64,
λi = 1,45 кривая с (рис. 3.3) прошла ниже экспериментальной. Отбросим значение λi = 0,127, как явно выпадающее из ряда других, и определим среднее
арифметическое
 i = n  1 3, 4 + 2,39 + 1, 46
=
×
= 2, 42 .
λср  ∑ λi  =
3
 i =1  h
(3.16)
При λ = 2,42 имеет место наилучшее приближение к результатам эксперимента (рис. 3.3, показано крестиками). Аппроксимирующее уравнение будет
иметь вид
(
)
=
hg (t ) 0, 64 1 − e−2,42 t .
(3.17)
Первая производная
dh
γ (t ) = =0, 64 ⋅ 2, 42 ⋅ e −2,42 =1,55e −2,42t .
dt
(3.18)
В табл. 3.2 приведены результаты контрольного расчета значений по
уравнению (3.17). Как видно из сравнения вычисленных и измеренных значений, наблюдаются существенные несовпадения, особенно на начальном участке
кривой.
Алгоритм аппроксимации для приведенного выше примера
1. По результатам эксперимента строится кривая и осуществляется ее
геометрическое аппроксимирование (проводится линия, наилучшим образом
соединяющая точки).
2. Определяется асимптота h0 из графика. Можно h0 вычислить решением любого уравнения (3.10), но после определения и усреднения λ.
3. Выбираются точки, не менее четырех, таким образом, чтобы большинство их были на участке с наибольшей кривизной. Составляется таблица значений ti и hi .
4. Вычисляются значения λi для различных пар точек по уравнению (3.15)
и заносятся в табл. 3.2.
5. Резко отличные значения λi отбрасываются, по остальным вычисляется
среднеарифметическое
λср =
23
1 i =n
∑ λi .
h i =1
(3.19)
Для проверки или определения h0 , если это необходимо, можно воспользоваться уравнением
h0 =
hi
1− e
− λcp t
.
(3.20)
Второй вариант нахождения параметров уравнения
Первый вариант аппроксимации показал, что для повышения точности аппроксимирования в первую очередь наиболее важно определить величину h0 –
координату горизонтальной асимптоты. К сожалению, соответствующий раздел
математически разработан очень слабо.
Асимптоту можно с достаточной точностью определить из графика
(рис. 3.3). В этом случае уравнение (3.9) можно записать следующим образом:

h 
ln 1 − i  =
− λi ti ,
h
0 

откуда

h 
ln 1 − i 
h0 
.
λ= 
ti
(3.21)
В табл. 3.3 приведены результаты расчёта hi и λi по уравнению (3.21)
и проверочные вычисления:
Таблица 3.3
Проверка
1
0,125
0,23
–0,4447
3,55
0,3
0,7408
0,165
Разность
значений
измеренных
и расчетных
–0,065
2
0,25
0,33
–0,7236
2,89
0,6
0,5488
0,288
–0,042
3
0,5
0,43
–1,1147
2,23
1,2
0,3011
0,447
+0,017
4
1
0,55
–1,9589
1,95
2,4
0,0907
0,582
+0,032
5
2,5
0,62
–3,4420
1,37
6,0
0,0024
0,638
+0,018
№
точки
ti
hi

h 
ln 1 − i 
 h0 
λi
=
λср
(
=
hg (t ) 0, 64 1 − e −2,4 ti
)
2,4 ti
e−2,4 ti
hi расч
1 i =n
11,99
=
∑ λi = 2,398 ≈ 2, 4 .
h i =1
5
24
Как видно из приведённых данных, результаты оказались близкими полученным по первому варианту расчётов и практически с таким же несовпадением с измеренными значениями.
Третий вариант нахождения параметров уравнения
К нему необходимо прибегнуть, если не устраивает точность аппроксимации по первым двум вариантам. Попробуем повысить точность аппроксимации,
усложнив уравнение (3.9) с помощью распределения Вейбулла – Гнеденко [3]:
(
).
(3.22)
 h 
ln 1 − i  =
− μ tiα .
 h0 
(3.23)
=
hi h0 1 − e − μ x
α
Преобразуем уравнение (3.22) к виду
Поделим уравнения двух соседних точек друг на друга, прологарифмируем еще один раз
  hi +1  
 ln 1 −

h
0

  = α lg ti +1 ,
lg 
  hi  
ti
 ln 1 −  
  h0  
(3.24)
отсюда
  hi +1  
 ln 1 −

h0  


α = lg
 
hi  
 ln 1 −  
  h0  
lg
ti +1
.
ti
(3.25)
По формуле (3.25) произведём расчет αi и αср кривой (рис. 3.3) при
h0 = 0,64. Результаты расчета приведены в табл. 3.4:
Таблица 3.4
№
точки
ti
hi
1
2
3
4
5
0,125
0,25
0,5
1
2,5
0,23
0,33
0,43
0,55
0,62

h 
ln 1 − i 
 h0 
–0,4447
–0,7236
–1,1147
–1,9589
–3,4420
ti +1
ti
2,0
2,0
2,0
2,5
25
lg
ti +1
ti
0,30103
0,30103
0,30103
0,39794
ln i +1
ln i
 ln 
lg  i +1 
 ln i 
αi
1,6272
1,5405
1,7573
1,7571
0,2114
0,1876
0,2448
0,2447
0,702
0,623
0,813
0,615
=
αср
1 i =n
=
∑ αi 0, 688 ≈ 0, 69 .
h i =1
Из уравнения (3.23) следует, что

h  α
μi =
− ln 1 − i  t ср .
 h0 
(3.26)
В табл. 3.5 приведены результаты расчёта μi по формуле (3.26):
Таблица 3.5
Проверка
Разность
1 − e −1,87 ti0,69  значений
 hi 
=
h
0,
64

 измеренных
i
μi
ln 1 −  t 0,69


i
h
0 

и расчетhi
1,87 ti 0,69
ных
–0,4447 0,2381 3,55
0,4452
0,230
0
№
точки
ti
hi
1
0,125
0,23
2
0,25
0,33
–0,7236
0,3842 2,89
0,7184
0,328
0,002
3
0,5
0,43
–1,1147
0,6198 2,23
1,1590
0,4391
0,009
4
1
0,55
–1,9589
1,87
0,5413
0,0087
5
2,5
0,62
–3,4420
3,5189
0,6210
0,001
1,0
1,95
1,8818 1,37
μср
=
1 i =n
=
∑ μi 1,8674 ≈ 1,87 .
h i =1
−1,87 ti0,69 
Искомое уравнение
=
hi 0, 64 1 − e
.


Как видно из данных (табл. 3.5), несовпадения результатов измерения
и расчёта по уравнению не превышает 2 %, что позволяет считать точность аппроксимации очень высокой.
3.3. АППРОКСИМАЦИЯ КРИВОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ
Рассмотрим еще одну разновидность кривой старения. На рис. 3.4 приведена экспериментальная кривая интенсивности отказов распределения Вейбулла – Гнеденко.
Как известно, структура формулы будет иметь вид
λ(t ) = αμ t α −1 ,
причём предварительно можно указать, что 0 < α < 1.
26
(3.27)
Рис. 3.4. Пример аппроксимации кривой интенсивности отказа
Для аппроксимации воспользуемся методом выравнивания. Для этого нанесем экспериментальные данные на двойную логарифмическую сетку (рис. 3.5).
Видно, что точки расположились на прямой линии. В этом и состоит сущность
выравнивания, т. е. замена сложной кривой более простой прямой линией.
Прологарифмируем уравнение (3.27):
lg λN (t ) = lg α + lg μ + (α − 1) lg t .
(3.28)
Уравнение (3.22) является уравнением прямой линии, не проходящей через начало координат. Выражение в скобках является угловым коэффициентом.
Следовательно, измерив угол β (рис. 3.5), получим
α − 1= tgβ= tg146= 0, 6494 ,
откуда α = 0,3506.
Рис. 3.5. Аппроксимация кривой интенсивности отказов
методом выравнивания
27
(3.29)
Получим этот же результат методом выбранных точек (рис. 3.4). Для этих
точек уравнение (3.27) запишется следующей системой уравнений:
λ1 = α μ t1α −1 

λ2 = α μ t2α −1 

λ3 = α μ t3α −1 

λ4 = α μ t4α −1 
(3.30)
Из любых двух уравнений системы (3.30) следует, что
α = 1 + lg
λ1
λ2
lg
t1
.
t2
(3.31)
Результаты вычисления α по уравнению (3.31) приведены в табл. 3.6:
Таблица 3.6
№
точки
λi
λi +1
1–2
2–3
3–4
4–5
1,285
1,59
1,57
2,045
lg
λi
λi +1
ti
lg
ti +1
0,1099
0,2014
0,1959
0,3096
0,65
0,5
0,615
0,325
ti
ti +1
–0,1871
–0,3010
–0,2111
–0,4881
1 + lg
α=
lg
λ1
λ2
t1
t2
0,413
0,331
0,073
0,366
Воспользовавшись уже известной рекомендацией об отбрасывании выпадающего значения, определим среднее значение α:
αср = 0,370 .
(3.32)
Разность с полученными значениями α составляет меньше 1°, т. е. находится в пределах точности измерения угла на графике (рис. 3.5).
Значение μ можно вычислить по уравнению
μ=
λi
α tiα +1
.
(3.33)
По данным рис. 3.4 и табл. 3.6 значения μ вычислены по формуле (3.33)
и приведены в табл. 3.7:
Таблица 3.7
№ точки
1
2
3
4
μ
0,3060
0,3122
0,3037
0,2624
28
Отбросив значения 0,2624 и вычислив среднеарифметическое, получим
μср = 0,3073.
(3.34)
При использовании метода выравнивания удобно выбрать точки А и Б
(рис. 3.5), для которых уравнение (3.28) записывается в виде
lg λА= lg α + lg μ + (α − 1) ⋅1 

lg λБ = lg α + lg μ + (α − 1) ⋅ 2 
(3.35)
Сложив оба уравнения, легко можно выразить μ :
μ = anti lg
lg λA λБ − 2 lg α − 3(α − 1)
.
2
(3.36)
Искомое в приводимом примере уравнение будет иметь вид
λN=
( t ) 0,37 ⋅ 0,3073 t −0,63 .
Как видим, метод выравнивания значительно точнее и менее трудоёмок.
Необходимо отменить, что не всегда удаётся линеаризовать аппроксимируемое
уравнение или экспериментальную кривую.
3.4. АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Для изучения сущности метода наименьших квадратов рассмотрим один
простейший пример аппроксимирования.
Экспериментальная зависимость старения простейшего вида (рис. 3.6)
имеет вид
S ( t )= k ⋅ t .
Рис. 3.6. Пример аппроксимации методом наименьших квадратов
29
(3.37)
Угловой коэффициент K определяется элементарно:
K=
mS
100
⋅ tg β =
tg 28 =5,317 .
mt
10
(3.38)
В формуле (3.38) ms , mt – масштабные коэффициенты, необходимые в том
случае, когда по осям S и t используются разномасштабные шкалы.
Следовательно, уравнение прямой (рис. 3.6) будет иметь вид
S (t ) = 5,317t .
(3.39)
Теперь определим значения параметра K из условия минимума суммы
квадратов отклонений аппроксимирующих значений Si от экспериментальных
Si :
=i n=i n
2
∑ εi = ∑
=i 1 =i 1
( Si − Si )
2
= min .
(3.40)
В связи с тем, что искомый параметр один, нет необходимости в составлении и решении системы уравнений.
Выразим экспериментальную ординату через абсциссу:
Si= k ⋅ ti .
(3.41)
Подставим (3.41) в уравнение (3.40):
(
i =1
i =n
∑ Si − kti
)
2
=
min .
(3.42)
Наложим на условие (3.42) требования: первое – удовлетворение всем
значениям зависимой S и независимой K переменных; второе – нахождение минимума суммы квадратов – определим дифференцированием уравнения (3.42) по
параметру K и нахождению экстремума приравниванием производной к нулю:
(
)
i =n
2
dF
= 2 ∑ t Si − kti= 0 .
dK
i =1 i
(3.43)
Раскроем выражение в скобках, после преобразований получим
=i n=i n
2
0.
∑ ti Si − K ∑ ti =
=i 1 =i 1
(3.44)
По уравнению (3.44) вычислим параметр
=i n=i n
K = ∑ ti Si
2
∑ ti .
=i 1 =i 1
30
(3.45)
Для вычисления K составим вспомогательную таблицу (табл. 3.8):
Таблица 3.8
ti
Si
Si
ti2
S i ti2
10
70
55
100
550
25
116
133
625
3325
37
210
200
1369
7400
50
260
270
2500
13500
60
325
325
3600
19500
71
392
383
5041
21193
78
417
430
6084
33540
19319
105008
∑
Подсчитав полученные суммы (табл. 3.8), вычислим
K
=
105008
= 5, 435 .
19319
(3.46)
Отклонений значений K от полученного методом выбранной точки
=
δ
5, 435 − 5,317
=
⋅100 2, 21 % .
5,317
(3.47)
Это составляет примерно 0,5°–0,8°, т. е. находится в пределах точности
измерения угла на графике. Поэтому при использовании угломерного инструмента нужно помнить о невысокой точности измерения.
Точнее получится, если выбрать на прямой (рис. 3.6) точку M и измерить
абсциссу и ординату:
K = 300 / 56 = 5,357.
(3.48)
Таким образом, метод наименьших квадратов дает наиболее точные результаты, но он весьма трудоемкий.
Современные цифровые вычислительные машины оснащены стандартной
программой «метод наименьших квадратов», что существенно облегчает проведение расчётов.
Хорошие результаты, как было показано выше, дают методы выбранных
точек и выравнивания, подкрепленные процедурой уточнения вычислительных
параметров.
31
3.5. АППРОКСИМАЦИЯ КРИВОЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Рассмотрим ещё один пример аппроксимирования кривой работоспособности, когда её уравнение имеет более сложный вид, соответствующий распределению Вейбулла – Гнеденко с неизвестными параметрами: α, μ и h.
Экспериментальную кривую (рис. 3.7) будем аппроксимировать уравнением
(
( x) h0 1 − e− μ x
y=
α
).
(3.49)
Для аппроксимации примем метод выбранных точек. На кривой отмечены
точки 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Рис. 3.7. Аппроксимация кривой
с тремя неизвестными параметрами
Преобразуем уравнение (3.49):
1−
α
y ( x)
e− μ x .
=
h0
(3.50)
Дважды прологарифмируем уравнение (3.50):


y ( x)  
lg  − lg 1 −
  = lg μ + α lg x − 0,3622 .
h
0 


(3.51)
Для выбранных точек составим избыточную систему уравнений:


y 
lg  − lg 1 − 1   = lg μ + α lg x1 − 0,3622
 h0  



y 
lg  − lg 1 − 2   = lg μ + α lg x2 − 0,3622
 h0  

...............................................................


y 
lg  − lg 1 − n   = lg μ + α lg xn − 0,3622
 h0  

32
(3.52)
Из двух первых уравнений системы (3.52) можно получить следующие
соотношения:
 lg r 
x
α = lg  2  lg 2 ,
x1
 lg r1 
(3.53)
где
r1 = 1 −
y1
y
; r2 = 1 − 2 .
h0
h0
(3.54)
Из любого уравнения системы (3.52) следует, что

у 
− ln 1 − i  М хiα ,
μ=
 h0 
(3.55)
где М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
В уравнения (3.53) и (3.55) входит неизвестный параметр h0 , который
простыми приемами выделить не удаётся. Поэтому определим h0 приближенно
из графика (рис. 3.7): h0 = 50.
Подставляя поочередно в формулу (3.53) значения xi и yi на графике,
определим величину α. Результаты этого расчёта приведены в табл. 3.9 при
h0 = 50:
Таблица 3.9
№
точки
1–2
1–3
1–4
1–5
yi
lg ri
8
21
8
31
8
40
8
500
–0,0757
–0,2366
–0,0757
–0,5798
–0, 0757
–0,699
–0, 0757
–1,3979
lg ri +1
lg ri
 lg r 
lg  i +1 
 lg ri 
3,1254
0,4948
7,6592
0,884
9,2338
0,9656
18,4663
1,2662
xi
10
50
10
100
10
200
10
500
lg
xi +1
xi
0,6996
0,7072
1
0,884
1,3010
0,7421
1,699
0,7452
Вычислим среднюю величину α:
αср
0, 7072 + 0,884 + 0, 7421 + 0, 7452
= 0, 7697 .
4
33
αi
Примем округленное значение α = 0,75. Подобное округление целесообразно, так как находится в пределах точности измерений на графике и таблиц
экспоненциальных функций.
Значение μ вычисляется по формуле (3.55). При α = 0,75, h0 = 50 данные
расчёта приведены в табл. 3.10.
Таблица 3.10
№
точки
yi
1
8
2
lg(1 −
yi
)
h0
xi
N x = xiα
μi
–0,0757
10
5,37
0,03099
21
–0,2366
50
17,38
0,02897
3
31
–0,5790
100
28,84
0,03059
4
40
–0,699
200
93,73
0,01724
Для расчёта примем первые три значения:
=
μср
0, 03099 + 0, 02897 + 0, 03059
= 0, 0301 ≈ 0, 03 .
3
Для проверки по уравнению (3.49) вычислим ряд значений у ( x ) , при:
h0 = 50; α = 0,75; μ = 0,03 (табл. 3.11):
Таблица 3.11
xi
10
50
100
200
500
yi ( xi )
7,815
20,86
30,665
39,905
47,96
Сравнение данных табл. 3.9–3.11 говорит о хорошем совпадении результатов. Недостаток этого приёма в том, что значение h0 определено визуально из
графика и в дальнейшем нуждалось в уточнении.
3.6. ОБРАБОТКА И АППРОКСИМАЦИЯ СТАТИСТИКО-ВЕРОЯТНОСТНОЙ
ИНФОРМАЦИИ О НАДЁЖНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ
При сборе альтернативной статистической информации возможными являются два состояния изделия [5, 9]:
работоспособное – обозначается единицей;
состояние отказа – обозначается нулем.
34
Учитывая эти состояния организацию испытаний можно осуществить
следующим образом:
во-первых, определить количество изделий N, которое необходимо поставить на испытание [3, 6, 8, 15];
во-вторых, выбрать интервал времени ∆t, определяющий периодичность
сбора информации;
в-третьих, совершенно точно определить, какое состояние изделия будет
приниматься за работоспособное, а какое – за отказ. При проведении испытания
условия и режим работы изделия должны быть эквивалентными эксплуатационным.
При указанных выше условиях эмпирическая интенсивность отказов может быть определена по следующей формуле [3]:
λN ( t ) =
Δn
,
Δt n ( t )
(3.56)
где ∆t – величина выбранного временного интервала; ∆n – число отказов, попавших в данный интервал; n ( t ) – функция отказов, выражающая число элементов, не отказывающих к моменту времени ∆ ti .
Формула (3.56) дает наиболее точные результаты при ∆t → 0 и N → ∞.
Это означает, что по возможности необходимо значение ∆t принимать небольшим, а N – большим.
(3.57)
n ( t )Δti= N − Δn1 − Δn2 −…− Δni −1 ,
где N – число изделий, поставленных на испытание; ∆ n1 , ∆ n2 – число элементов, отказавших на интервалах ∆ t1 и ∆ t2 .
Рассмотрим вычисление λN ( t ) на примере. На испытание поставлено
N = 100 элементов, принять интервал ∆t = 5 ч. Испытания показали следующие
результаты (табл. 3.12, гр. 1–4).
В гр. 5 приведены результаты вычисления эмпирической интенсивности
отказов λN ( t ) . На рис. 3.8 эти данные приведены в виде ступенчатой линии
(рис. 3.8).
Средние значения эмпирической интенсивности отказов λN = 0,0225.
В гр. 6 вычислена эмпирическая вероятность безотказной работы по частоте событий [2]. В гр. 7 та же вероятность вычислена по среднему значению
интенсивности отказов, взятому из гр. 4.
Анализ данных (табл. 3.12) показывает, что параметры, определенные
с помощью экспериментальных данных по приближенным формулам, хорошо
совпадают с теоретическими (гр. 6 и 7).
35
Таблица 3.12
Время
с начала
№
точки испытаний
ti , ч
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
0–5
5–10
10–15
15–20
20–25
25–30
30–35
35–40
40–45
45–50
50–55
55–60
Число
отказов,
n ( ti )
попавших
в интервал ∆ni
3
12
9
9
8
7
6
6
5
4
4
3
3
4
100
88
79
70
62
55
49
43
38
34
30
27
λN (t ) =
∆n
∆t n(t )
5
0,024
0,020
0,022
0,023
0,022
0,021
0,024
0,023
0,021
0,023
0,020
0,022
PN =
ni
N
6
1,00
0,88
0,79
0,70
0,62
0,55
0,49
0,43
0,38
0,34
0,30
0,27
P = e− λN t
λN = 0,0225
7
1,00
0,89
0,80
0,71
0,63
0,57
0,50
0,45
0,40
0,36
0,32
0,29
Рис. 3.8. Обработка и аппроксимирование
статистико-вероятностных данных по интенсивности отказов
Аналогичным способом можно построить гистограмму (график) плотности вероятностей. Выноска каждой ступеньки на графике определяется по формуле [2, 3, 5]
∆ni
,
(3.58)
qN ( ti ) =
N ∆ti
где qN ( ti ) – значение эмпирической функции на i-м интервале; Δni – число
отказов, попавших в i-й интервал; Δti – величина интервала; N – число изделий,
поставленных на испытание.
36
Также вычисляется и эмпирическая функция надёжности
PN ( ti ) =
n(ti )
.
N
(3.59)
Здесь PN ( ti ) – эмпирическая вероятность безотказной работы технического
устройства; N – число элементов, поставленных на испытание; n ( ti ) – функция
отказов, численно равная количеству изделий, не отказавших к моменту ti .
В начальный момент испытаний n ( t ) = N и с каждым отказом уменьшается на единицу.
Дальнейшее аппроксимирование ступенчатых гистограмм осуществляется
изложенными выше способами. Это делается в тех случаях, когда кривая имеет
нелинейный вид. Ступенчатая линия заменяется плавной кривой, проводимой
через середины интервалов. Иногда кривая проходит по краям интервалов справа
или слева в зависимости от важности принятых ограничений.
3.7. АППРОКСИМАЦИЯ УСТАЛОСТНОЙ КРИВОЙ СТАРЕНИЯ
Для изучения процессов усталостного старения была проведена серия
опытов по старению пружинного маятника до выхода его из строя (поломки).
Выбор пружинного маятника был обусловлен относительной простотой конструкции и проходящих в нем физических явлений.
Язычок плоского пружинного маятника 1 (рис. 3.9), закреплённого в неподвижной опоре 3, приводился в колебательное движение электромагнитным
полем, наводимым специальной электромагнитной системой 2.
Рис. 3.9. Схема работы пружинного маятника
(в эксперименте В. А. Наумова, А. П. Асауленко)
Для ускорения процесса разрушения на маятник у основания наносилась
поперечная риска.
37
В процессе старения маятника по мере накопления повреждений происходило уменьшение амплитуды колебаний от некоторого начального значения А0 до минимального Аm , при котором происходило разрушение – маятник
отламывался, притягивался к электромагнитам или падал.
Выполним аппроксимирование одной из кривых (рис. 1.6, кривая 4). Данные, необходимые для расчета, приведены в табл. 3.13. Аппроксимируемая
кривая изображена на рис. 3.10.
Таблица 3.13
№
точки
0
1
2
3
4
5
6
7
8
А, мм
15
5
3
2,3
1,8
1,6
1,5
1,4
1,2
N ∙ 10–4
циклов
0
0,81
1,6
3,24
6,48
14,6
24,3
437
623
Для аппроксимации применяется уравнение вида
R (t ) =
A( N ) =
( A0 − Am ) exp  − μN α  ,
(3.60)
где А0 – начальное значение амплитуды колебаний маятника, мм; Аm – минимальное (асимптотическое) значение амплитуды, мм.
Рис. 3.10. Пример аппроксимации кривой 4 (рис. 1.6)
38
Вывод расчетных формул представлен в п. 3.5. Тогда
  Ai − Am  
 ln 

A0 − Am  


αi = lg
  Ai +1 − Am  
 ln 

  A0 − Am  
lg
Ni
;
Ni +1
(3.61)
 A − Am 
αср
μi = − ln  i
 Ni .
 A0 − Am 
(3.62)
После усреднения α = 0,4396 ≈ 0,44 и μ = 0,02016 ≈ 0,02.
Искомое уравнение старения будет иметь вид
(
S (N) =
( A0 − Am ) 1 − e− μN
α
) (
=
14 1 − e−0,02 N
0,44
).
(3.63)
Уравнение работоспособности:
α
R(N ) =
( A0 − Am )e − μN =
14e −0,02 N
0,44
.
(3.64)
Если установлено подобие значений величины амплитуды поведению
характеристик прочности, то становится возможным по уравнениям (3.63)
и (3.64) решать разнообразные инженерные задачи.
39
4. АППРОКСИМАЦИЯ СЛОЖНЫХ КРИВЫХ
С ДВУМЯ УЧАСТКАМИ НАИБОЛЬШЕЙ КРИВИЗНЫ
4.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ И НАДЁЖНОСТИ
Многочисленные экспериментальные исследования процессов старения
технических устройств показали, что простейшие кривые, описывающие эти процессы, встречаются редко. Чаще имеют место сложные кривые (рис. 1.2–1.5 и др.).
Наиболее общим видом кривой является кривая старения (рис. 4.1, а).
Она имеет две точки перегиба и линейный участок между ними. Чаще всего такие кривые характеризуют процессы износа, коррозийного и других видов старения элементов машин. Графически первая производная функции старения
γ ( t ) представляет собой скорость старения. В работе [9] подобная кривая
названа полной кривой износа. Участками наибольшей кривизны она делится
на три части: начального (приработочного), нормального и катастрофического
износа. Показано, что эту кривую можно моделировать двумя независимыми
процессами [9]:
1) процессом приработочного и рабочего (нормального) износа (рис. 4.1, б).
Его уравнение имеет вид
α1
− μ1t
h=
),
1 (t ) h01 (1 − e
(4.1)
0 < α ≤1
где h01 , α1 , μ1 – параметры уравнения;
2) процессом неблагоприятного (катастрофического) износа (рис. 4.1, в)
α2
− μ2t
h=
),
2 (t ) h02 (1 − e
(4.2)
α > 1.
Полагая, что данные процессы независимы, и используя принцип суперпозиций [3], утверждаем, что полная кривая является алгебраической суммой
этих двух процессов.
Уравнение полной кривой имеет вид
α1
α2
h(t ) = h01 (1 − e − μ1t ) + h02 (1 − e − μ2t ) .
(4.3)
На рис. 4.1, а эти кривые суммированы друг с другом.
Аналогичные рассуждения можно привести и для вероятностных распределений. При исследовании надёжностных зависимостей установлено, что в чис40
том виде отдельные распределения практически не встречаются. Применяются
иногда довольно сложные методики «фильтрования» данных эксперимента для
выявления информации, представляющей искомый закон.
а
б
в
Рис. 4.1. Аппроксимация сложной кривой старения
с двумя участками наибольшей кривизны:
а – типичный вид кривой старения S(t) при бинарном распределении
и график её первой производной γ(t); б – начальное (приработочное)
и рабочее старение объекта; в – катастрофическое старение
С учетом одновременного действия двух или нескольких законов распределения становятся возможными анализ и аппроксимация отдельных процессов
старения и работоспособности (надежности) технических устройств.
41
4.2. АППРОКСИМАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ПОЛНОЙ КРИВОЙ ИЗНОСА
На рис. 4.2 приведена полная кривая износа. Абсциссой подобных кривых
могут служить время t, работа А, путь трения L и ряд других ресурсных измерителей, обозначаемых символом х.
В общем виде аппроксимирующее уравнение будет иметь вид
α1
α2
y ( x) = h1 (1 − e − μ1x ) + h2 (1 − e − μ2 x ).
(4.4)
Первое слагаемое описывает кривую 0аb. Второе слагаемое оказывает за-
метное воздействие на y ( x ) , начиная с точки «a», и описывается кривой ac
(суммарно с кривой 0аb).
Значение параметра h1 относительно просто находится из графика как
асимптота кривой 0ab (рис. 4.2), значения остальных параметров определить
значительно сложнее.
Рис. 4.2. Аппроксимация полной кривой износа
методом выбранных точек
На участке I функция (4.4) определяет в основном первое слагаемое.
Второе слагаемое пренебрежимо мало. Поэтому для участка I функцию (4.4)
можно представить в виде
α1
h1 (=
x) h1 (1 − e − μ1x ),
(4.5)
откуда
α1
e− μ1x = 1 −
42
y1
.
h1
(4.6)
Прологарифмируем это выражение и решим его относительно μ1 .

y 
μ1 =
− ln 1 − 1 
 h1 
x α1
.
(4.7)
Продифференцировав уравнение (4.5) по х, получим
α1
y ′ = h1 μ1α1 x α −1e − μ1x .
(4.8)
α1
Подставив значения μ1 и e− μ1x из (4.6) и (4.7) в уравнение (4.3), получим

y
ln 1 − 
h


y
y 
y α
− h1 1 −  ln 1 −  ,
y′ =
h1 1 −   α 1  α1 x α −1 =
x1
 h1 
 h1   h1  x
(4.9)
откуда

y
− y ′x (h1 − y ) ln 1 −  .
α1 =
 h1 
(4.10)
Таким образом, параметры α1 и μ1 выражены через h1 и значения
функции y и её первой производной y ′ на участке I. Значение параметра h1
можно установить непосредственно по графику. И тогда, используя метод
выбранных точек или выравнивания, можно рассчитать параметры α1 и μ1 .
В том случае, когда по графику параметр h1 определить затруднительно, можно воспользоваться следующим приёмом.
Возьмем вторую производную от функции (4.5):
=
y ′′ h1 μ1α1 x α − 2 e − μ1x
α1
(−μ α x
1 1
α1
)
+ α −1 .
(4.11)
Принимая во внимание соотношения (4.6), (4.7) и (4.10), после преобразования получим

y ′  y ′x
y ′x
y ′′ =  −
−
.
x  h1 − y ( h1 − y ) ln (1 − y h1 ) 
(4.12)

( y ′) 2 
1
h1 =
y−
1
+

.
y ′′ + y ′ x  ln (1 − y h1 ) 
(4.13)
Из уравнения (4.12)
43
На участке III (рис. 4.2) поведение функции (4.4) определяется в основном вторым слагаемым. Первое слагаемое здесь мало отличается от h1 .
Поэтому для данного участка функцию (4.4) можно представить в виде
α2
y2 ( x ) =
h1 + h2 (1 − e − μ2 x ).
(4.14)
Придерживаясь линии рассуждений, аналогичных изложенным выше,
получаем следующее выражение искомых параметров α2 , μ2 и h2 :
μ 2=
− {ln [1 − ( y − h1 ) / h2 ]} x α2 ,
(4.15)
− y ′x {(h1 + h2 − y ) ln [1 − ( y − h1 ) h2 ]} ,
α2 =
(4.16)

( y ′) 2 
1
h2 = y − h1 −
1
+

.
y ′′ + y ′ x  ln [1 − ( y − h1 ) h2 ] 
(4.17)
Таким образом, значения параметров функции (4.4) выражены через значения самой функции, первой и второй производных, определённых в двух
точках, взятых на графике произвольным образом на участках I и III (рис. 4.2).
Значения производных можно найти посредством графического дифференцирования либо другим известным методом [4]. Простейшим из этих методов является следующий. Выбираются три близкие точки х0 , х , х1 (рис. 4.2).
Точки х0 и х1 расположены на равном расстоянии h от средней точки х :
x=
x=
– x0 h .
1–x
Величину h необходимо выбирать по возможности малой. Для точек х0 ,
х , х1 находятся ординаты у0 , у , у1 . Приближённые значения первой и вто-
рой производных определяются по следующим формулам:
y ′ ( y1 – y0 ) / 2h или y ′ = ( y1 – y ) / h
=
y ′′ ( y1 – 2 y + y0 ) / 4h 2 .
(4.18)
(4.19)
Следует отметить, что точность расчёта параметров по приведённым
формулам существенно зависит от точности способов аппроксимирования,
места выбранных точек на графике и точности нахождения первой
и второй производных. Наиболее точно искомые параметры определяются на
участках кривой, имеющих наибольшую кривизну (рис. 4.2).
44
На основании вышеизложенного рекомендуется следующий алгоритм
определения параметров функции надёжности или работоспособности.
1. На участке I выбираются точки х0 , х , х1 , х2 .
2. В точке x находятся значения у , у ′ , y ′′ .
Если параметр h1 можно назначить по графику, то y ′′ можно не определять.
3. Для наиболее точной аппроксимации кривой в первую очередь
определяется значение h1 ( h2 ), причём при любых значениях α и µ кривая
должна сходиться при х → 0, у → 0, а при х → ∞, у → h. Поэтому h необходимо найти по графику (если это возможно) и проверить расчетом по уравнению (4.13). Достичь высокой точности достаточно сложно ввиду большого
числа приближённо измеренных величин ( уi , xi , yi′ , yi′′ ); этот вопрос будет
рассматриваться ниже.
4. По уравнению (4.10) рассчитывается значение α1 .
5. Путем подставления полученных значений α1 и h1 в уравнение (4.7)
рассчитывается величина μ1 . Для повышения точности получаемых результатов необходимо производить контрольные вычисления и сверку с экспериментальными данными.
6. Выбираются точки х0 , х и х1 , х2 на участке III кривой (рис. 4.2).
7. Определяются значения уi , yi′ , yi′′ в выбранных точках.
8. По уравнениям (4.17) и (4.23) вычисляется параметр h1 .
9. Путем подставления значения h2 в уравнение (4.16) вычисляется величина α2 .
10. По формуле (4.15) вычисляются значения μ2 , производится контроль-
ное вычисление значений у ( х ) и сравнение с экспериментом.
Вычисление вручную параметров кривых является трудоёмкой операцией. Применение ЭВМ для обработки результатов делает решение этой задачи
достаточно быстрым и простым. Однако, получив явно неверный результат
расчета, необходимо отыскать ошибку и повторить вычисление.
Для более осмысленного выбора или расчёта величины h1 и h2 целесообразно подвергнуть анализу уравнение (4.13). Для удобства запишем его в виде
где
h1 = yi – ai zi ,
( y ′) 2
1
=
αi =
;
zi 1 +
.
yi′′ + yi′ xi
ln [1 − yi hi ]
45
(4.20)
Отметим два очевидных обстоятельства:
1) произведение (– аi zi ) всегда должно быть больше нуля, так как уi всегда меньше h1 (исключая крайние значения);
2) при изменении соотношения уi / h1 (рис. 4.3) в пределах 0 ≤ уi / h1 ≤ 1 zi
будет изменяться от ∞ < zi ≤ 1. Если соотношение уi / h1 находится в пределах
0,5–0,7, то в первом приближении h1 ≈ yi + ai .




1

z= 1 +
y


 ln 1 −




 h 
(4.21)
Рис. 4.3. Зависимость z = f ( y / h)
Это означает, что
h1 =
yi + ( yi′ ) / ( yi′′ + yi′ / xi ) .
2
(4.22)
По аналогии из уравнения (4.17) следует
h1 =
yi – h1 + ( yi′ ) / ( yi′′ + yi′ / xi ) .
2
(4.23)
Следовательно, всем αi со знаком плюс соответствует zi со знаком минус, что будет возможно при уi / h1 < 0,635, и наоборот. Это соображение сужает область поиска правильного решения.
Необходимо отметить, что методы поиска горизонтальных асимптот в математике разработаны совершенно недостаточно и при рассмотрении конкретных примеров в этом можно неоднократно убедиться.
46
4.3. ПРИМЕР ПРОСТЕЙШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ
СЛОЖНОЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ИЗНОСА
В простейшем случае для определения параметров уравнений используются только значения функции и аргумента, установленные по графику или
протоколу испытаний. Рассмотрим кривую (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Пример аппроксимации сложной кривой износа
трансцендентными уравнениями
Если кривую (рис. 4.4) попытаться аппроксимировать уравнением (4.1),
то хорошего совпадения на линейном участке, наиболее важном для исследования, не получится.
Примем для аппроксимации кривой (рис. 4.4) уравнение вида
α1
α2
h(n) = h01 (1 − e − μ1n ) + h02 (1 − e − μ2 n ).
(4.24)
Параметры α и µ будем определять по уже известным зависимостям:
 lg r 
n
αi = lg  i +1  lg i +1 ,
ni
 lg ri 
(4.25)

у 
μi =
− ln 1 − i  М niα .
 h0 
(4.26)
В формулах (4.25) и (4.26):
ri = 1 −
yi
;
h0
ri +1 = 1 −
yi +1
;
h0
М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
47
(4.27)
Значения h1 и h2 для первых примеров определим методом подбора из
графиков. Значение асимптоты h1 = 0,58 (рис. 4.4) при имеющемся навыке
можно выбирать визуально с хорошей степенью приближения. На кривой выбираем семь точек (отмечены цифрами).
Для них составим таблицу значений фиксированных абсцисс и ординат
(табл. 4.1, гр. 2 и 3).
Таблица 4.1
№
точки
n ∙ 10–3,
об.
мкм
1
1
2
3
4
5
6
7
2
2,5
5
10
15
20
30
40
3
0,14
0,23
0,31
0,37
0,44
0,57
0,72
hi ,
ri
№
точки
4
0,758
0,603
0,465
0,363
0,240
0,015
–
5
1–2
1–3
1–4
1–5
1–6
2–3
3–4
αi , по
μi , по
формуле
(4.10)
6
0,775
0,735
0,725
0,785
1,1
0,605
0,705
формуле
(4.26)
7
0,0008
0,00098
0,00077
0,00073
0,00084
0,00082
–
Примечание
8
α1ср = 0,75
μ1ср = 8,2 ×
× 10–4
Значение α1ср было подсчитано как среднее арифметическое значение 1,
2, 3, 4, 7-й строк. Отброшены самое большое и самое малое значения.
Затем, подставляя в формулу (4.7) значения h1 и α1ср , вычислим значение
μi и среднее из всех вычисленных. По координатам точки 7 вычисления не производились, так как h01 < y7 , это нереальное соотношение.
Следовательно, первое аппроксимирующее слагаемое будет иметь вид
=
h1 (n) 0,58(1 − e −8,2⋅10
−4 n0,75
).
(4.28)
По формуле (4.28) вычислено контрольное значение функции h1 ( n ) и полученные значения точек нанесены на экспериментальный график крестиками
(рис. 4.4). До точки а полученные значения хорошо совпадают с экспериментальными.
Аналогичным образом можно аппроксимировать и второе слагаемое, составив вторую таблицу. Значение h2i для точек вычисляется по формуле
h2i = hi – h1 ( n ) .
(4.29)
где h1 ( n ) – значение функции в этой точке, вычисленное по уравнению (4.24).
48
Очевидно, что до точки a значение h2i практически будет равно 0.
По аналогичной методике рассчитывается второе слагаемое:
(n) 0, 6(1 − e −0,0175⋅10
h2=
−17 n 4
).
(4.30)
При вычислении α2 и μ2 совершенно неочевидно положение асимптоты h2 , и поэтому приходится многократно повторять вычисления, задаваясь
значениями h2 , или определять её по уравнению (4.23).
На рис. 4.5 показаны экспериментальная кривая (рис. 4.5, а) и кривые,
описывающие первое (рис. 4.5, в) и второе (рис. 4.5, б) слагаемые. На экспериментальную кривую нанесены результаты вычислений (отмечены крестиками) по формулам (4.28) и (4.30):
h=
( n ) h1 ( n ) + h2 ( n ) ,
(4.31)
где h1 ( n ) и h2 ( n ) – уравнения (4.28) и (4.30).
а
б
в
Рис. 4.5. Пример аппроксимации сложной кривой износа:
а – экспериментальная кривая с нанесенными данными аппроксимации;
б – кривая, аппроксимирующая катастрофический износ;
в – кривая, аппроксимирующая прибавочный и рабочий износ
49
Анализ результатов говорит о хорошем совпадении расчетных и экспериментальных данных. Приведенный пример прост по технологии вычисления, но
является трудоемким по количеству выполненных операций, особенно по подбору значений h01 и h02 .
4.4. АППРОКСИМИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ КРИВОЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
На рис. 4.6 приведена экспериментальная кривая с двумя участками наибольшей кривизны. Графически выполнено дифференцирование и построен
график первой производной.
Рис. 4.6. Аппроксимация экспериментальной кривой
с помощью первой и второй производной
Для аппроксимирования воспользуемся методикой, изложенной в п. 4.2.
Напомним, что аппроксимирующим уравнением кривой у = f ( x ) будет следующее выражение:
α1
α2
− μ2t
h1 (t ) =
h01 (1 − e − μ1t ) + h=
).
2 (t ) h02 (1 − e
0 < α1 ≤ 1
α2 > 1
(4.32)
Выберем точки 1, 2, 3 на начальном участке кривой. Проведем определение первой и второй производных в точке 2. Первая производная в точке 2 может быть определена проведением касательной и определением tgα (рис. 4.6).
Для этого воспользуемся формулами (4.18) и (4.19).
Приближённое значение первой производной на интервале 1–2:
у1′− 2
=
y2 − y1 200 − 130
=
= 1, 4 ;
Δx
50
50
(4.33)
значение производной на интервале 2–3:
y3 − y2 240 − 200
=
= 0,8 ;
∆x
50
=
y2′ −3
(4.34)
значение производной в точке 2:
y2′
=
y1′− 2 + y2′ −3 1, 4 + 0,8
= = 1,1 .
2
2
(4.35)
Вычислим значение второй производной в точке 2:
y2′′ =
y3 − 2 y2 + y1
(2∆ x)
=
2
240 − 400 + 130
= −0, 003 .
4 ⋅ 502
(4.36)
Проведем вычисление производных при меньшем шаге (∆х = 30), сохранив неподвижную точку 2:
y2 − y1 200 − 160
=
= 1,333,
∆x
30
y3 − y2 225 − 200
y2′ −3 =
=
= 0,833;
∆x
30
y1′− 2
=
=
y2′
y2′′ =
(4.37)
y1′− 2 + y2′ −3 1,333 + 0,833
=
= 1, 083 ;
2
2
y3 − 2 y2 + y1
(2Δx) 2
=
225 − 400 + 160
= −0, 004.
4 ⋅ 302
(4.38)
(4.39)
Как видно из приведённых результатов, погрешность определения первой
и особенно второй производных зависит от шага интерполирования ∆х.
Все данные, необходимые для расчёта параметров аппроксимирующего
уравнения, сведены в табл. 4.2:
Таблица 4.2
№
точки
xi
yi
1
50
130
2
100
200
3
150
240
1
70
160
2
100
200
3
130
225
Вычисление
∆x
y′
y ′′
50
+1,15
–0,003
355,6 ≈ 356
30
+1,083
–0,004
375,8 ≈ 376
51
значения h1
Определяем параметры первого слагаемого уравнения (4.32) по формуле
(4.22)
( y ′) 2
1,12
200 +
h1 =
y+
=
≅ 356
y ′′ + y ′ x
−0, 003 + 1,1 100
Δx = 50
(4.40)
( y ′) 2
1, 0832
=
≅ 376
h1 =
y+
200 +
y ′′ + y ′ x
−0, 004 + 1, 083 100
Δx = 30
(4.41)
Разность значений h1 по формулам (4.40) и (4.41) составляет 20 (что соответствует 6,6 %). Это обязывает осторожно подходить к вычислениям производных по экспериментальным графикам и проводить систематическую проверку полученных значений. Примем в качестве первого приближения h1 = 376.
С учетом данных (табл. 4.2) определяем
α1 = y ′x (h1 − y ) ln (1 − y h1 ) = 0,81.
(4.42)
Для проверки вычислим значение α1 по формуле (3.53)


y
y
lg lg 1 − 2  lg 1 − 1   lg x2 x1 =
0,88 .
α1 =
h1 
h1  

 
(4.43)
Вычисленные значения α1 по формуле (4.43) несколько отличаются от
(4.42), так как значение α1 = 0,81 – это значение в точке 2, а значение α1 = 0,88 –
это значение на интервале 1–2.
Вычислим значение параметра
0, 0182.
μi =
− lg 1 − y  x α1 =
h1 

(4.44)
Следовательно, первое слагаемое в уравнении (4.32) будет иметь вид
y1 ( x)= 376 1 − exp(−0, 0182 x 0,81 )  .
(4.45)
Для проверки правильности аппроксимации вычислим ряд значений по
уравнению (4.45), задаваясь значениями х. Результаты расчёта приведены
в табл. 4.3:
52
Таблица 4.3
xi
A = 0,81lg xi
N = anti lg A
μN
e− μN
1 − e− μN
y1 ( x )
10
0,81
6,457
0,1185
0,8929
0,1071
40,26
50
1,3762
23,77
0,4326
0,6505
0,3495
131,41
100
1,62
41,69
0,7583
0,4677
0,5323
200,14
150
1,7626
57,87
1,0532
0,3504
0,6496
244,24
200
1,8638
73,08
1,3300
0,2725
0,7275
273,54
400
2,1077
128,1
2,3314
0,1003
0,8997
338,29
600
2,2503
178,1
3,2414
0,0389
0,9611
361,37
1000
2,48
269,2
4,8994
0,0074
0,9926
373,21
Анализ данных (табл. 4.3) показывает, что кривая, построенная по этим
значениям, начиная с х = 100 и почти до х = 700, пройдет выше экспериментальной.
Просчитаем ещё один вариант при h1 = 356; α ≅ 0,84, μ ≅ 0,0172.
Уравнение первого слагаемого
y1 ( x)= 356 1 − exp(−0, 0172 x 0,84 )  .
(4.46)
Результаты расчётов по формуле (4.46) приведены в табл. 4.4:
Таблица 4.4
xi
10
50
100
150
200
400
600
1000
yi ( xi )
40,26
131,26
199,21
243,15
272,4
330,9
347,2
354,79
Данные табл. 4.4 нанесены на рис. 4.5 крестиками. Результат более точный, чем в первом случае, но при необходимости можно привести дальнейшие
уточнения.
Перейдем к аппроксимированию второго слагаемого уравнения (4.32).
Для этого около второй точки перегиба выбираем наугад 3 или 4 точки с одинаковым шагом друг от друга (рис. 4.6, точки 4, 5, 6, 7).
Сведем в табл. 4.5 основные данные. Определим значение первой производной в точке 6. Для этого вычислим величину у′ на интервале 5–6.
y5′ − 6
=
y6 − y5 510 − 470
=
= 0,8.
∆x
50
53
Таблица 4.5
№
точки
xi
yi
4
1000
440
5
1050
470
6
1100
510
7
1150
580
∆x
y'
y''
50
1,1
0,003
Вычисление
значения h2
457
Значение производной на интервале 6–7:
=
y6′ − 7
y7 − y6 580 − 560
=
= 1, 4.
Δx
50
Значение производной в точке 6:
y6′
=
y5′ − 6 + y6′ − 7 0,8 + 1, 4
= = 1,1.
2
2
(4.47)
Для проверки проведём в точке 6 касательную и определим tgα = 1,03.
Значения 1,1 и 1,03 близки между собой.
Вычислим вторую производную в точке 6:
=
y6′′
y7 − 2 y6 + y5 580 − 1020 + 470
=
=
0, 003 .
(2Δx) 2
4 ⋅ 502
(4.48)
Тогда по формуле (4.27)
( y ′) 2
1,12
= 510 − 356 +
≅ 457 .
h2 = y − h1 +
y ′′ + y ′ x
0, 003 + 1,1 100
(4.49)
Вычислим
α2 =
− y ′x {(h1 + h2 − y ) ln [1 − ( y − h1 ) h2 ]} =
9, 72 .
(4.50)
μ2 =
− {ln [1 − ( y − h1 ) / h2 ]} x α2 =
1,1257 ⋅10−29 .
(4.51)
Вычислим
Искомое слагаемое будет иметь вид
y2 ( x)= 457 1 − exp(−1,1257 ⋅10−29 x9,72 )  .
54
(4.52)
Суммарное аппроксимирующее уравнение запишется следующим образом:
y1 ( x)= 356 1 − exp(−0, 0172 x 0,84 )  +
+ y2 ( x)= 457 1 − exp(−1,1257 ⋅10−29 x9,72 )  .
(4.53)
Проверим вычисление, для чего составим табл. 4.6, в которую будем последовательно записывать операции вычисления по уравнению (4.52):
Таблица 4.6
xi
100
400
600
1000
1050
A = 0,81lg xi N = anti lg A
19,44
25,2920
27,0036
29,16
29,366
μN
e
− μN
1 − e− μN
y1 ( x )
y1 ( x ) +
+ y2 ( x )
0,2754∙1019
0,3100∙10–10
1
0
0
199,2
0,1959∙10
25
–4
1
0
0
330,8
0,1008∙10
27
–2
0,999
0,001
0,457
347,6
0,1445∙10
29
0,1627
0,8521
0,1479
67,59
422,4
0,2323∙10
29
0,2615
0,7711
0,2289
104,60
460,6
29
0,411
0,6637
0,3363
153,68
509,7
0,6330
0,5326
0,4674
213,6
569,6
1100
29,5623
0,3651∙10
1150
29,750
0,5623∙1029
0,2205∙10
0,1135∙10
Результаты расчёта (табл. 4.6) приведены на рис. 4.7. Кривая на рис. 4.7, б –
второе слагаемое этого уравнения.
На рис. 4.7, а приведена экспериментальная кривая с нанесенными результатами проверочного расчета по табл. 4.4 и 4.6: первые помечены крестиком, вторые – кружочками. Визуальный анализ показывает, что даже один цикл
вычислений по рекомендуемым формулам обеспечивает удовлетворительное
совпадение эксперимента с результатами аппроксимации.
При необходимости точность полученных результатов можно повысить.
Для этого следует учитывать следующие соображения.
1. Уточнить значение первой и второй производных, пользуясь уменьшенным шагом интерполирования ∆х или другими известными методами.
2. Помнить, что увеличение параметра α «поднимает» кривую вверх от
оси абсцисс, и наоборот. Аналогичное действие производит и увеличение параметра h.
3. Изменение параметра µ в сторону увеличения смещает кривую влево,
к началу координат, и наоборот.
Изложенные соображения позволяют быстро произвести уточнение результатов аппроксимации после первого цикла вычислений.
55
а
б
в
Рис. 4.7. Экспериментальная кривая:
а – с нанесенными результатами проверочного расчета;
б – второе слагаемое; в – первое слагаемое
Если принято решение об изменении величины одного из параметров, то
соответствующим образом должны быть поправлены и другие параметры. Исключение составляет только параметр h. Он не зависит от α и µ, а зависит только от значений функции в выбранных точках и её производных.
4.5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЁМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ
Как уже отмечалось, наибольшие трудности при аппроксимировании экспериментальных кривых трансцендентными уравнениями возникают при определении ординаты асимптоты h, погрешность которой является доминирующей
при оценке точности. Отмечалось также, что данный вопрос в современной
прикладной математике разработан слабо. Рассмотрим некоторые приемы, позволяющие создать подходящую методику нахождения асимптоты h.
56
За основу примем уравнение
α
=
y h(1 − e − μ x ).
(4.54)
Оно применимо для всех ранее рассмотренных случаев. Учитывая, что
параметры µ и α на положение ординаты h не влияют, примем α = 1.
Тогда
=
y h(1 − e − μ x ).
(4.55)
Первая производная уравнения (4.55)
y ′ = hμe − μ x ,
(4.56)
откуда
h=
y′
.
μe− μ x
(4.57)
Уравнение (4.55) преобразуем к виду
e− μ x .
(1 − y h ) =
(4.58)
Подставим выражение (4.58) в уравнение (4.57)
h=
y′
.
μ(1 − y h )
(4.59)
Преобразуем (4.59) к виду
y′
h− y = .
μ
(4.60)
Найдём значение функции и её производной в точках, которые определяются из графика. Для двух соседних точек на графике i и (i+1) совместное
уравнение можно записать в виде
h − yi
y′
= i .
h − yi +1 yi′+1
(4.61)
Решим уравнение (4.61) относительно h.

yi′  
yi′ 
h=
 yi − yi +1 ′  1 − ′  .
yi +1  
yi +1 

57
(4.62)
Таким образом, ордината асимптоты h выражена через значение функции
в двух соседних точках и её производных в этих же точках. Напомним, что значение первой производной в точках i и (i+1)
=
yi′ tg=
βi ;
yi′+1 tg βi +1 ,
(4.63)
где βi и βi +1 – углы касательной в данных точках.
По аналогии был проведен анализ второго слагаемого уравнения (4.4)
и получен следующий результат:
′ i) 

y2(
−
−
−
(
)
h=
y
h
y
h
 2(i ) 1

2
2( i )
1
′ i +1) 
y2(

′ i)

y2(
−
1

′ i +1)
y2(


 .

(4.64)
Однако попытка практического использования не принесла успеха, так
как по этой функции всегда очень мало экспериментальных результатов и их
значения ограничены, как правило, первым участком наибольшей кривизны.
Изделия нельзя подвергать дальнейшему испытанию из-за высокой опасности
отказа. А формула (4.64) может дать успешный результат расчёта второго слагаемого и производной функции в пределах до и после второго участка общей
кривой старения. Рассмотрим ряд примеров. Определим значение h для кривой
(рис. 3.3).
Данные расчёта по уравнению (4.62) приведены в табл. 4.7:
Таблица 4.7
yi′
yi +1 1 – ( yi / yi′+1 )
yi′+1
№
точки
yi
βi °
tg βi
1
0,23
70
2,7474
1,5862
0,5234
–0,5862
–0,2934 0,5085
2
0,33
60
1,7320
2,0641
0,8875
–1,0641
–0,5575 0,5239
3
0,43
40
0,8391
3,3658
1,8512
–2,3658
–1,4212 0,6007
4
0,55
14
0,2493
2,8491
1,7664
–1,8441
–1,2164 0,6578
5
0,62
5
0,0875
yi / yi′+1 A =
yi − A
hi
По мере чередования точек и приближения к асимптоте значения всё более приближались к определённому из графика – h = 0,64. Значение h = 0,66 хорошо совпадает с найденным по графику.
Определённым значениям h по данным (рис. 4.6) данные измерения и расчеты по уравнению (4.62) приведены в табл. 4.8:
58
Таблица 4.8
№
точки
1
2
3
4
5
6
7
yi
βi °
tg βi
yi / yi′+1
0,14
0,23
0,31
0,37
0,44
0,57
0,72
55
50
25
20
20
20
20
1,4281
1,1917
0,4663
0,3639
0,3639
0,3639
0,3639
1,1983
2,5556
1,2813
1,0
1,0
1,0
A=
yi′
yi +1
yi′+1
0,2756
0,7922
0,4761
0,44
0,57
0,72
1 – ( yi / yi′+1 )
–0,1983
–1,5556
–0,2813
0
0
0
yi − A
hi
–0,1356 0,6838
–0,5626 0,3616
–0,1641 0,5883
Как видно из табл. 4.8 и графика (рис. 4.6), на кривой имеется большой
линейный участок, для которого угол наклона касательных совпадает с самой
прямой. Поэтому для пар точек, начиная с 4-ой, знаменатель уравнения (4.62)
будет равен нулю, и решения нет, но последняя пара точек 3 и 4 даёт значение
h = 0,5833. Визуально из графика было принято h = 0,58. Совпадение очень хорошее. Наличие большого прямолинейного участка свидетельствует о заметном
действии второго слагаемого детерминированного закона старения (в данном
случае – износа).
Рассмотрим первое слагаемое, описывающее кривую (рис. 4.5). Данные
по обработке результатов аппроксимирования по параметру h приведены
в табл. 4.9. Расчёт осуществляется по формуле (4.62).
Таблица 4.9
№
точки
1
2
3
4
4а
5
6
7
yi
βi °
yi′ = tgβi
yi / yi′+1
130
200
240
250
270
310
350
390
65
45
25
21
17
12
12
12
2,1445
1,0
0,4663
0,3839
0,30573
0,2126
0,2126
0,2126
2,1445
2,1445
1,2146
1,2558
1,4379
1,0
1,0
A=
yi′
yi +1
yi′+1
428,9
514,7
303,6
339,0
445,7
350
390
1 – ( yi / yi′+1 )
–1,1445
–1,1445
–0,2146
–0,2558
–0,4379
0
0
yi − A
hi
–298,9 260,9
–314,7 275,0
–63,6 296,4
–89,0 347,9
–175,7 401,23
350
–
390
–
Как известно (табл. 4.2), значение h получено двумя способами: при шаге
между точками ∆x = 50, h1 = 356, при шаге ∆x = 30, h1 = 373. Оба эти значения
c данными табл. 4.9 не совпали. Но если взять средние значения из двух последних результатов, то они будут более близкими. Из табл. 4.9 hcp = 374,6; из
табл. 4.2 hcp = 366; разность составляет 8,6 ( т. е. 2,5 %). Отмеченное расхождение лишний раз свидетельствует о возможных ошибках при вычислении h1 .
59
5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
При выполнении практических заданий № 1 и № 2 студент обязан определение параметров работы и все процедуры аппроксимирования осуществить вручную с последующей оценкой точности. Задание № 3 рекомендуется выполнять с применением программного продукта Mathcad. При выполнении всех трёх заданий разрешается разрабатывать и предлагать свои варианты и схемы аппроксимирования и обработки результатов с соответствующим обоснованием приёмов и решений. Отчёты по всем трём работам сшиваются в один отчёт, и на его основе принимается решение о зачёте по курсу.
Задание 1. Определение уравнения (структуры, формулы, параметров)
вогнутой (или выпуклой) кривой с одним участком наибольшей кривизны.
Одна из разновидностей структуры и формулы уравнения может иметь вид
α
yi − h0 = ( y0 − h0 )e − μ xi ,
где
(5.1)
yi – текущее значение ординаты в выбранной точке на графике;
xi – текущее значение абсциссы в выбранной точке на графике;
y0 – значение ординаты на графике в точке;
h0 – асимптота кривой (подлежит определению в первую очередь);
α – параметр уравнения, определяемый во вторую очередь;
μ – параметр уравнения, определяемый в третью очередь.
Рекомендуемый способ аппроксимации – метод выбранных точек.
Задание 2. Определение уравнения кривой с одним участком наибольшей кривизны методом выравнивания (линеаризации). Применяемые степенные уравнения могут иметь вид
yi = α ⋅ μ ⋅ хiα −1 ,
(5.2)
yi= m ⋅ хin ,
(5.3)
где m, n – параметры уравнения.
Вид кривой может быть вогнутым и выпуклым.
60
Задание 3. Определение уравнения (структуры, формулы, параметров)
выпукло-вогнутой кривой с двумя участками наибольшей кривизны.
Один из рекомендуемых видов уравнения
α1
α2
yi = h01 (1 − e − μ1xi ) + h02 (1 − e − μ2 xi ),
где
(5.4)
yi , xi – текущие значения абсциссы и ординаты в выбранных точках;
h01 , h02 – асимптоты соответственно первого и второго слагаемых;
α1 , α2 , μ1 , μ2 – параметры слагаемых уравнения. Вторая разновид-
ность уравнения кривой с двумя точками перегиба
α1
α2
=
yi h01e − μ1xi + h02 e − μ2 xi .
(5.5)
Порядок выполнения задания
Порядок выполнения всех заданий одинаков.
1. Вычертить экспериментальную кривую на миллиметровой бумаге
формата 290×210 мм, стараясь как можно полнее использовать поле графика
(пропорционально увеличить его). При этом необходимо помнить и учитывать следующие обстоятельства.
Экспериментальные кривые могут содержать информацию в так называемых реальных физических масштабах:
‒ по оси у – в миллиметрах, метрах, килограммах, циклах и т. д.;
‒ по оси х – в часах, минутах, годах, метрах, гектарах и т. д.
Для аппроксимирования кривую следует привести к так называемому
геометрическому масштабу: по обеим осям должны быть шкалы в миллиметрах с одинаковым шагом. Это необходимо, чтобы избежать возможных
ошибок при расчётах. Некоторые расчётные формулы чувствительны к масштабу шкалы и будут давать различные значения при различных масштабах.
Поэтому рекомендуется аппроксимирование выполнить в геометрическом
масштабе, проверить полученную точность совпадений вычисленных значений и затем на заключительном этапе вернуться к физическим масштабам,
чтобы вычислить и проверить еще раз полученные значения и зависимости.
2. Выбрать метод аппроксимирования: метод выбранных точек, выравнивания, наименьших квадратов и т. д. Допускается разработка оригинальных методов аппроксимирования. Выбранный метод аппроксимирования должен быть утвержден руководителем практических занятий, чтобы
избежать потерь времени на ошибочные расчёты.
61
3. В первую очередь рекомендуется использовать метод выбранных точек как наиболее наглядный. Для решения степенных уравнений можно воспользоваться методом линеаризации – применение логарифмических и полулогарифмических сеток и т. д.
4. Если выбран метод выбранных точек, то следует:
4.1. На графике выбрать наугад не менее 5–6 точек.
4.2. Составить таблицу значений yi , xi , yi′ .
4.3. Определить величину асимптот h0 , hi .
4.4. Определить величину α при известном hi и провести процедуру
уточнения, определив αср .
4.5. Определить значения μi при известных hi и α и провести процедуру уточнения, определив μср .
5. Записать уравнение аппроксимирующей кривой в полном виде и затем вычислить 8–10 значений в точках по всей оси абсцисс, сравнить полученные результаты и оценить точность. Точки нанести на график и построить так называемую расчетную кривую.
6. Сделать выводы по заданиям и заключение по работе.
Исходные данные для практических заданий
Рис. 1. Зависимости контактной проводимости
образцов GK от давления в контакте
(данные Моргунова А. П.)
62
Рис. 2а. Кривая усталости в координатах σ max , lg N
(данные ГОСТ 2860–65)
Рис. 2б. Аппроксимирование стандартной кривой усталости:
σ в – предел прочности; σ R – предел выносливости
63
Рис. 3. Зависимости амплитуды напряжений σ а , МПа,
от накопленного числа циклов нагружений N ц
при различной величине постоянной составляющей σ т :
σ R – предел выносливости; σ в – предел прочности;
σ а – амплитуда напряжений цикла
(данные ГОСТ 2860–65)
Рис. 4. Кривые весового износа цапфы в зависимости от времени работы
и различных технологических приёмов обработки поверхностей
(данные Хрущова М. М.)
64
Рис. 5. Зависимости линейного износа втулок шатунов тракторных двигателей
при различных шероховатостях сопряженных поверхностей
(данные Клименко А. К.)
Рис. 6. Зависимость удельного числа пятен защитной маски n, шт. см 2 ,
на плоской поверхности от удельного расхода аэрозоля т, мг см 2
и краевого угла смачиваемости θ
(данные Ковалевского В. Ф.)
65
Рис. 7. Зависимости относительной площади маски F, %,
от удельного расхода аэрозоля т, мг см 2 и краевого угла смачиваемости θ
(данные Ковалевского В. Ф.)
Рис. 8. Зависимости линейного износа твердосплавного резца
по задней грани от пути резания и подачи
(данные Наумова В. А.)
66
Рис. 9. Зависимости линейного износа токарного резца по главной задней грани hзг
от пути резания L при различных скоростях резания
(данные Наумова В. А.)
Рис. 10. Кривые зависимостей сближения а от давления в контакте Р,
полученные на образцах, имеющих различную шероховатость
испытываемых поверхностей
(данные Моргунова А. П.)
67
Рис. 11. Зависимости линейного износа hзг по главной задней грани
от пути резания L при обработке титанового сплава ВТ-6
пластинками твердого сплава ВК6М
(данные Наумова В. А.)
Рис. 12. Зависимости резонансной амплитуды свободных колебаний А, мм,
пластинчатого пружинного маятника от накопленного
числа циклов нагружения N ц
(данные Наумова В. А., Асауленко А. П.)
68
Рис. 13. Линейный износ токарного резца по главной задней грани hзг
от пути резания L при обработке ковкого чугуна
(данные Наумова В. А.)
Рис. 14. Линейный износ токарного резца по главной задней грани hзг
в зависимости от пути резания L . Обрабатываемый материал – серый чугун
(данные Наумова В. А.)
69
Рис. 15. Экспериментальные зависимости относительной
фактической площади соприкосновения SФ S Н
от величины шероховатости сопряженных поверхностей RZ
(данные Моргунова А. П.)
Рис. 16. График распрессовки неподвижных неразъемных соединений.
Толщина стенки 2,5 мм, натяг 0,3 мм
– гладкие;
– с винтовым профилем;
– с вибронакатанным профилем
(данные Деркач В. В.)
70
Рис. 17. Кривые испытаний на коррозионную усталость
гладких шлифованных образцов из стали 20Х:
а) образцы без концентрации напряжений:
1 – испытаны в воздухе;
2 – испытаны в масле;
3 – испытаны в воде;
б) образцы с концентрацией напряжений:
4 – испытаны в воздухе;
5 – испытаны в масле;
6 – испытаны в воде
(данные Карпенко Г. В.)
71
Рис. 18. Зависимость функции отклика
ω(t )
от глубины трещины а, мм,
ω0
в опасном сечении испытуемого образца:
ω(t )
– отношение круговой частоты собственных колебаний
ω0
испытуемого образца в момент t к частоте этих же колебаний
в момент времени t = 0; L – длина испытуемого образца, мм
(данные Лавровича Н. И.)
72
Рис. 19. Зависимость функции отклика
ω(t )
относительной частоты
ω0
собственных колебаний от глубины трещины а, мм,
в опасном сечении испытуемых деталей:
ω(t )
– отношение круговой частоты собственных колебаний испытуемого
ω0
образца в момент t к частоте этих же колебаний в момент времени t = 0
(данные Лавровича Н. И.)
73
Номера заданий
по дисциплине «Надёжность технических систем»
Номера вариантов определяются согласно журналу старосты (списку
деканата) на момент выдачи заданий.
№
варианта
№ задания
1, 2
3
№
варианта
№ задания
1, 2
3
1
1.1
5.1
17
7.4
14.1
2
1.2
5.2
18
12.1
14.2
3
1.3
5.3
19
12.2
14.3
4
1.4
8.1
20
12.3
10.1
5
1.5
8.2
21
12.4
10.2
6
1.6
8.3
22
12.5
10.3
7
3.1
9.1
23
15.1
10.4
8
3.2
9.2
24
15.2
10.5
9
3.3
9.3
25
15.3
10.6
10
3.4
9.4
26
15.4
4.1
11
6.1
11.1
27
15.6
4.2
12
6.2
11.2
28
17.1
4.3
13
6.3
11.3
29
17.2
4.4
14
7.1
13.1
30
17.3
4.5
15
7.2
13.2
31
17.4
16.2
16
7.3
13.3
32
17.5
16.3
Примечание. Задание № 1 – метод выбранных точек; задание № 2 – метод линеаризации; задание № 3 – на выбор (метод выбранных точек или наименьших квадратов).
Пример.
Студент по списку (старосты, деканата) № 5.
Вариант № 5 → № заданий: 1.5; 8.2;
Задания № 1 и № 2 – 1.5 (рисунок № 1, кривая (график) под цифрой 5);
Задание № 3 – 8.2 (рисунок № 8, кривая (график) под цифрой 2).
74
6. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
по теме «Определение предельно-возможного
и гарантийного ресурса работы объекта»
1. Изучить теоретические материалы по теме работы по [9, гл. 1, 2, 3],
составить краткий конспект 1–2 с., в котором изложить определение предельно-возможного и гарантийного ресурса работы объекта и его расчетные
уравнения.
2. Изучить задания 1, 2 или 3 с целью формирования понятия предельно-возможного и гарантийного ресурса для одного из трех заданий по выбору студента.
3. Вычислить значения предельно-возможного и гарантийного ресурса
работы объекта по данным аппроксимирования.
4. Выбрав доверительную вероятность β, определить доверительную
границу гарантийного ресурса. Данный вопрос изучить по [9, раздел 4, гл. I]
(Рекомендуется K р = 0,99).
5. Оформить пояснительную записку.
Примечание. Допускается оформление практических заданий и СРС
в одной пояснительной записке.
75
ТЕСТЫ
Тест 1
1. Свойство объекта выполнять и сохранять во времени заданные
ему функции в заданных режимах и условиях применения, технического
обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования называется ...
а) эффективностью объекта;
б) внутренним свойством объекта;
в) надёжностью объекта;
г) ремонтопригодностью объекта.
2. Конечной целью расчёта надёжности технических устройств является ...
а) оптимизация конструктивных решений и параметров, режимов эксплуатации;
б) оценка воздействия внешних факторов на безотказность системы;
в) анализ работоспособности;
г) оценка экономического риска.
3. К внешним факторам, формирующим отказы в технических системах, НЕ относят ...
а) климатические;
б) неисправность элемента системы;
в) биологические;
г) человеческий.
4. Высокая влажность воздуха для металлических материалов технических систем вероятнее всего может стать причиной ...
а) коррозии;
б) деформации;
в) размерного износа;
г) фотоокисления.
5. Система, которая образует последовательное соединение, другая
её часть – параллельное, называется ...
а) мостиковой;
б) комбинированной;
в) системой типа «m и n»;
г) системой с резервированием.
76
6. Система, отказ которой происходит только в случае отказа всех
ее элементов, называется ...
а) системой типа «m и n»;
б) системой с параллельным соединением элементов;
в) системой с последовательным соединением элементов;
г) мостиковой.
7. Работа рабочей группы заключается ...
а) в выборе методов, способов и процедур оценки; определении перечня операций, выполняемых экспертами; формировании экспертной группы; проведении опроса экспертов;
б) формировании цели экспертной оценки; формировании рабочей
группы;
в) обработке экспертных оценок; анализе результатов и подготовке
решения экспертной группы;
г) определении состава показателей; определении базовых значений
показателей; определении оценок единичных показателей.
8. В область экспертизы надежности технических систем НЕ входит ...
а) анализ существующих проблем объекта технической системы с позиции безопасности;
б) установление опасности;
в) контроль качества работы объекта;
г) формирование заключения о состоянии безопасности объекта.
9. Перенос графика потери работоспособности технической системы на логарифмическую (полулогарифмическую) сетку ...
а) выравнивает его в прямую;
б) искривляет;
в) преобразует в окружность.
10.
– это ...
а) общая кривая старения;
б) кривая потери работоспособности;
в) скорость протекающего в технической системе процесса.
77
Тест 2
1. Система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей
системы, называется ...
а) системой типа «m и n»;
б) системой с параллельным соединением элементов;
в) мостиковой;
г) системой с последовательным соединением элементов.
2. Для конструкционных материалов технических систем содержание пыли в воздухе благоприятствует ...
а) изменению состава конструкционного материала;
б) деформации конструкционных материалов;
в) изменению структуры поверхности конструкционного материала;
г) утечке токов и скоплению токопроводящей влаги.
3. Безотказность технических систем определяется следующим критерием (или критериями):
а) интенсивностью отказов;
б) только как наработка до очередного отказа;
в) наработка до очередного отказа и количество отказов за заданное
время;
г) только как количество отказов за заданное время.
4. Повышение возможности хрупкого разрушения конструкционных
материалов технических систем возможно при воздействии ...
а) влажности;
б) ЭМИ;
в) высоких температур;
г) низких температур.
5. Заключительный этап экспертизы заключается ...
а) в выборе методов, способов и процедур оценки; определении перечня операций, выполняемых экспертами; формировании экспертной группы; проведении опроса экспертов;
б) обработке экспертных оценок, анализе результатов и подготовке
решения экспертной группы;
в) формировании цели экспертной оценки, формировании рабочей
группы;
г) определении состава показателей, определении базовых значений
показателей, определении оценок единичных показателей.
78
6. Целью проведения экспертизы надежности технической системы
является ...
а) обучение персонала;
б) разработка рекомендаций по устранению возможных отказов в работе технической системы;
в) выявление всех возможных отклонений от предусмотренного проектом режима работы, а также всех потенциальных опасностей, связанных
с этим отклонением;
г) разработка инструктажа по технике безопасности при работе с техническим объектом.
7. Общие задачи цели экспертизы обычно устанавливаются ...
а) руководителем отдела безопасности;
б) лицом, ответственным за реализацию проекта или за работу предприятия;
в) руководителем экспертной группы;
г) руководителем отдела по охране труда.
8. Метод выбранных точек характеризуется ... точностью и ... трудоёмкостью.
а) высокой и большой;
б) низкой и большой;
в) средней и небольшой.
9. Закономерность
а)
б)
в)
г)
описывает ...
участок приработки полной кривой старения технической системы;
процесс потери работоспособности технической системы;
скорость протекающего процесса;
полную кривую старения технической системы.
10. Параметр α, лежащий в пределах 0 ˂ α ≤ 1, определяет ...
а) второе слагаемое общей кривой старения;
б) участок приработки полной кривой старения технической системы;
в) полная кривая старения технической системы;
г) параметр прямой.
79
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные в настоящем учебном пособии вопросы не исчерпывают в полной мере всего многообразия проблем работоспособности элементов машин, приборов и аппаратуры. Авторы попытались с единых позиций
осветить ряд из этих проблем, имеющих, по их мнению, наиболее важное
значение.
Материалы пособия будут необходимы и полезны при создании новых
конструктивных решений, исследовании технологических процессов изготовления и сборки, при анализе и оценках надёжности и работоспособности
элементов машин, приборов и аппаратуры.
На основе гипотезы о едином законе динамики процессов старения
разработаны методики и расчётные алгоритмы, позволяющие с единых позиций изучать, учитывать при проектировании, изготовлении и эксплуатации
все разновидности старения: износ, потерю прочности, коррозионное разрушение и т. д., что, по мнению авторов, должно облегчить создание устройств
с элементами равной или кратной надежности и работоспособности.
Установлена связь статистических функций непрерывных распределений с физическими процессами старения, протекающими в устройствах.
Наличие такой связи открывает широкие возможности для расчётов, обеспечения и управления надежностью и работоспособностью различных объектов.
Рассмотрены вопросы влияния конструктивных решений на работоспособность измерительных преобразователей электроприборов. Полученные зависимости позволят проводить более качественное проектирование
и изготовление, и тем самым обеспечить повышение надежности и долговечности при обеспечении заданной точности измерений.
Полезными для учебных заведений и научно-исследовательских учреждений, а также для производственников и эксплуатирующих организаций
будут многочисленные практические рекомендации, алгоритмы и примеры
инженерных расчётов, ряд других разработок прикладного характера, предложенные в настоящем издании.
80
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. : Наука,
1975. – 632 с.
2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – М. : Наука,
1969. – 576 с.
3. Гнеденко, Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. – М. : Наука, 1965. – 524 с.
4. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. – М. : Наука, 1970. – 664 с.
5. Еремин, А. Н. Физическая сущность процессов при резании металлов /
А. Н. Еремин. – M. : Машгиз, 1951. – 227 с.
6. Зайденберг, А. П. Законы распределения случайных величин / А. П. Зайденберг, И. П. Павлович. – Омск : ОМИИТ, 1971. – 253 с.
7. Кандаков, Н. И. Логический словарь-справочник / Н. И. Кандаков. –
М. : Наука, 1975. – 721 с.
8. Кушнер, В. С. Теория эксперимента / В. С. Кушнер, Ю. Распутин. –
Омск : Изд-во ОмГТУ, 1976. – 80 с.
9. Наумов, В. А. Теория и практические вопросы работоспособности
элементов машин приборов и аппаратуры / В. А. Наумов, В. В. Ефремов,
А. А. Чурсин. – Иркутск : Изд-во ИрГУ, 1984. – 219 с.
10. Острейковский, В. А. Теория надёжности : учебник / В. А. Острейковский. – М. : Высш. шк. : Абрис, 2012. – 463 с.
11. Оценка надёжности машин и оборудования: теория и практика : учебник / М. Н. Ерофеев [и др.]. – М. : Альфа, 2017. – 336 с.
12. Политехнический словарь / под ред. И. И. Артоболевского. – М. :
Сов. энцикл., 1977. – 608 с.
13. Тимошенков, С. П. Основы теории надежности : учеб. и практикум
для академ. бакалавриата / С. П. Тимошенков, Б. М. Симонов, В. Н. Горошко. –
М. : Юрайт, 2015. – 445 с.
14. Чебоксаров, А. Н. Основы теории надежности и диагностика : курс
лекций / А. Н. Чебоксаров. – Омск : Изд-во СибАДИ, 2012. – 76 с.
15. Шор, Я. Б. Таблицы для анализа и контроля надежности / Я. Б. Шор,
Ф. В. Кузьмин. – М. : Сов. радио, 1968. – 288 с.
16. Щиголев, Б. М. Математическая обработка результатов наблюдений /
Б. М. Щиголев. – М. : Физматгиз, 1962. – 344 с.
17. Энциклопедический словарь : в 3 т. – М. : Сов. экцикл., 1952.
18. Яхьяев, Н. Я. Основы теории надежности : учебник / Н. Я. Яхьяев,
А. В. Кораблин. – М. : Академия, 2014. – 208 с.
81