Загрузил awb49

НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК

реклама
к.т.н. А.В. БАРЫШЕВ
ДЛИНА УЧАСТКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ
ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА В КАНАЛАХ С
ПОСТОЯННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Представлен инженерный метод расчета длины участка гидродинамической стабилизации при ламинарном течении жидкости
для каналов с постоянным поперечным сечением произвольной
формы. Получена единая формула для расчета длины начального
участка каналов эллиптического, кругового, кольцевого, прямоугольного и треугольного сечений.
Потребность в информации о
длине участка гидродинамической
стабилизации (начального участка) необходима при расчете теплообменных,
массообменных процессов и аппаратов химической технологии. Решение этой
задачи рассмотрено во многих работах, например, [1–5, 7–10]. Однако, в
большинстве указанных работ расчет длины участка гидродинамической
стабилизации производится для труб и каналов с поперечным сечением в форме
круга, параллельных пластин или прямоугольника. При этом используются
различные расчетные методы, отличающиеся повышенной математической
сложностью. Вместе с тем, результаты, полученные в различных источниках,
зачастую рознятся. Кроме того, в отечественной литературе сводка по длинам
участков гидродинамической стабилизации при ламинарном течении жидкости
для каналов с постоянным поперечным сечением произвольной формы
отсутствует.
Поиск конечного результата решения для труб и каналов с определенной,
нечасто встречающейся, формой поперечного сечения представляет определенную
трудность. Однако, в работе [1] декларируется способ нахождения длины участка
гидродинамической стабилизации для каналов произвольного поперечного
сечения. С помощью этого способа установлена длина начального участка для
каналов с кольцевой, эллиптической, прямоугольной и треугольной формой
поперечного сечения. Однако, как отмечает Е. Спэрроу в обсуждении к этой
работе, найденная длина участка стабилизации, для всех случаев, короче, чем
приведенная в других работах, и данных, полученных экспериментально.
Автором, совместно с Лукичевым А.В., был предложен инженерный метод
расчета длины участка гидродинамической стабилизации, названый «методом
определяющих параметров». С помощью этого метода с хорошей точностью были
решены задачи поиска длины участка гидродинамической стабилизации для
каналов с поперечным сечением в форме: круга, при радиальном течении в зазоре
между круглыми параллельными пластинами, прямоугольника с различным
соотношением сторон и между бесконечными параллельными пластинами [2, 3].
Следует отметить, что последние две формы поперечных сечений, названных
выше, являются однотипными, т.е. течение между бесконечными параллельными
пластинами можно рассматривать как течение в прямоугольном канале, где
отношение высоты канала к его ширине стремится к нулю. Другие формы
поперечных сечений каналов не рассматривались.
Суть метода заключалась в использовании для расчета интегрального
соотношения Кармана, в котором реальные параметры δ, τ0 и v заменялись
определяющими параметры δ*, τ0* и v*. Эти параметры определялись выражениями:
δ*=k· δ,
(1)
*
*
τ0 =μvmax/ δ ,
(2)
*
v =vmax/2,
(3)
*
где δ – определяющая толщина пограничного слоя; k – коэффициент
пропорциональности; τ0* – определяющее касательное напряжение на стенке
канала; v* – определяющая скорость, условно принимаемая постоянной в слое δ*.
Вместе с тем, реальный профиль течения в канале заменялся ступенчатым
(рис.1, поз.1 – реальный профиль течения, поз.2 –
ступенчатый профиль течения).
Метод определяющих параметров изначально
рассматривался как эвристический. Однако, в
гидромеханике можно найти некоторые его
обоснования. Так, если рассмотреть интегральные
соотношения импульсов для каналов с поперечным
сечением, в том числе,
в форме круга и
прямоугольника [2,3], можно увидеть, что скорость
течения в пограничном слое зависит только от
физических величин τ 0, μ, и ρ. Где:
τ0 – касательное напряжение на стенке канала;
μ – динамическая вязкость среды;
ρ – плотность среды.
Рис.1
Касательное напряжение на стенке канала – сила
Модель профиля
(отнесенная к единице поверхности), действующая
Течения
в плоскости, ориентированной по течению,
пропорциональная изменению скорости по нормали к направлению движения:
  
v
n
(4)
При расчете длины участка гидродинамической стабилизации Шиллер также
использовал, профиль скорости ступенчатого вида несколько иной формы, однако
полученный им результат [4, с.103] по точности уступал экспериментальным
данным и данным, полученным по методу определяющих параметров.
Как отмечалось ранее, с помощью метода определяющих параметров был
успешно решен ряд задач определения длины начального участка. В связи с чем,
возник вопрос о возможности применения метода определяющих параметров для
каналов с другой формой поперечного сечения при определении длины участка
гидродинамической стабилизации. Здесь сразу следует указать, что для получения
конечного результата расчета для каналов с различным поперечным сечением
необходимо знать отношение максимальной скорости к средней в каждом из них.
Предпосылкой возможности использования метода определяющих
параметров для расчета длины участка гидродинамической стабилизации в каналах
с различной формой поперечного сечения послужили данные, опубликованные в
работе Дейли и Харлемана [5, с.282]. Здесь указывается, что пристенное
касательное напряжение в углах каналов некруглого поперечного сечения меньше,
чем на прямых участках стенки. Однако перенос количества движения (импульса
силы), обусловленный циркуляцией потока в углах канала, способствует
выравниванию касательных напряжений по периметру канала. Кроме того, в
качестве гипотезы о возможности использования метода определяющих
параметров в каналах с различной конфигурацией поперечного сечения, принято
то, что для расчета используются лишь общие характеристики поперечного
сечения канала и характерная скорость в нём. К таковым относятся относительная
максимальная скорость в канале, периметр и площадь сечения канала. В связи с
этим, автором произведен расчет длины участка гидродинамической стабилизации
в каналах с поперечным сечением в форме равностороннего треугольника, эллипса
и кольцевого зазора. В качестве примера рассмотрим расчет длины участка
гидродинамической стабилизации ламинарного течения в канале в форме
равностороннего треугольника.
Рассмотрим канал в форме равностороннего
треугольника
с
изображенным
определяющим
a
*
пограничным слоем δ (рис. 2). Чтобы не затенять рис. 2
ра
определяющий пограничный слой показан лишь на
δ*
одной из сторон “а” канала. Расчет будем выполнять на
основе интегрального соотношения Кармана:


dv max
0
d
v(v

v)
dy

(v

v)
dy

max
max
dx 0
dx 0

Рис. 2
(5)
Заменим реальные параметры в выражении (5) определяющими:
*

dv max
 0*
d
*
*
*
v (v max  v )dy 
(v max  v )dy 
(6)
dx 0
dx 0

*
Подставляя в (5) выражения для v , 0* и v* из (1), (2) и (3) получим:
d
dx


0
v max
2
v max 
dv max

 v max 
 dy 
2 
dx



  v
max

0
v max 
vv max
dy  
2 

После несложных преобразований найдем:
v max   *  0.25v max  *  
v
 v ср
*
,
(8)
(7)
где v max =
v max
v cp
Чтобы найти δ* составим балансовое уравнение:
П  v max *
 v max  ( F  П * )  F
2
(9)
Где: П – периметр сечения канала;
F – площадь сечения канала.
Отсюда находим δ*:
* 
2 F (v max  1)
v max П
(10)
Подставив выражение (10) в (8) и решив полученное уравнение находим:
xC
1
0.75 1 
  v max  1.75ln v max 
 
DГ Re 4 
v max 4 
(11)
Где: DГ – гидравлический (эквивалентный диаметр) канала,
Re – число Рейнольдса.
Отсюда находим длину участка гидродинамической стабилизации:
1
0.75 1 
xC   v max  1.75ln v max 
  DГ Re
4
v max 4 
(12)
Сравнивая полученное выражение (11) с выражением (8) работы [3, с.102]
видим, что они совпадают. Для полноты данных представим геометрические
характеристики треугольного канала и величину относительной максимальной
скорости в канале. Сторона канала равна a (см. рис.2), тогда:
DГ 
4F
П
П  3a
Re 
 v ср DГ

v max  2.26 6
F  0.433a 2
Сравним результат, полученный по формуле (11) с другими данными
(см.табл.1).
Таблица 1
v max
2,26
xC
DГ Re
[1]
[7]
(11)
[5]
0,0398 0,0575 0,063 0,065
Как следует из данных таблицы 1 формула (11) обеспечивает результат
наиболее близкий по точности к данным Буссинеска, наиболее точно отвечающим
экспериментальным данным [5, с.280].
При поиске решения не использовались конкретные размеры поперечного
сечения канала, поэтому выражения (11) и (12) будут справедливыми также для
других форм поперечного сечения каналов (автором дополнительно проверены
случаи каналов с эллиптическим и кольцевым концентрическим сечением).
Несмотря на идентичность полученных выражений
xC
для каналов,
DГ Re
численное выражение xс для конкретных форм и размеров поперечных сечений
будет различным. Это объясняется различием параметров, входящих в DГ , Re и
величиной v max .
Поскольку выражения (11) и (12) представлены как универсальные для
каналов с постоянным поперечным сечением произвольной формы, рассмотрим
конкретные примеры и сравним полученные результаты с данными других
авторов.
Перейдем к каналу с поперечным сечением в форме окружности:
 v CP DГ
DГ  2 R Re 

 v CP D 2  v CP 4 R 2
DГ Re 



Г
v max  2 ,
где R – радиус окружности.
Тогда из формулы (12) следует:
 xC

0.75 1 
  v max  1.75ln v max 
   0.162
 v CP R 
v max 4 
2
Сравним полученный результат с другими данными (см. табл.2).
Таблица 2
КОМПЛЕКС
xС 
v CP R 2 
[9]
[1]
[8]
[2]
(11)
0,115 0.104 0,170 0.165 0.162
Как следует из данных таблицы 2 формула (11) обеспечивает результат
близкий к данным Никурадзе [8], полученным опытным путем. Расхождение
составляет 4,71%. В том случае, если в процессе решения использовать
цилиндрическую систему координат, метод определяющих параметров [2]
обеспечивает расхождение расчетных и опытных данных лишь 2,94%.
Данные по каналу с поперечным сечением в форме прямоугольника
приведенные в работе [3] совпадают с данными полученными по формуле (11), для
полноты картины они представлены в таблице 3.
Таблица 3
xC
DГ Re
v max
h/b
[3]
[1]*
[1]
[9]
[10]**
0.0 1.500 1,011·10-2
–
0,588·10-2 1,00·10-2
–
-2
-2
-2
–
0.2 1.715 2,133·10 1,380·10 1,272·10
2,000·10-2
–
0.5 1.992 3,986·10-2 3,170·10-2 2,550·10-2
4,000·10-2
* - Данные, получены Олсоном Р.М. в обсуждении к работе [1].
** - Данные, получены по наклону экспериментальной кривой потерь давления.
Как следует из данных таблицы 3 формула (11) обеспечивает результат
наиболее близкий по точности к экспериментальным данным [10].
Теперь рассмотрим канал с поперечным сечением в форме эллипса.
Для канала с поперечным сечением в форме эллипса имеем [11, с.24]:
П   1.5(a  b)  ab  F   ab v max  2
где
a и b – большая и малая полуоси эллипса.
2


4 ab

 V   / 
(13),
DГ Re 
ср
 
2
  1.5(a  b)  ka 

 
b
В выражении (13) обозначим  k . Тогда из выражения (12) находим:
a

 1
0.75 1  
4k


v

1.75ln
v





m
a
x
m
a
x


v max 4  1.5(1  k )  k 
v ср a 2  4 
xC
2
(14)
Сравним полученный результат с другими данными (см. табл.4).
Таблица 4
xC
b/a
0,1
0,4
0,8
1,0
v max
2,00
v ср a
(14)
3,643-10-3
0,048
0,127
0,162

2


[1]
1.898·10-3
0.026
0.069
0.104
Как следует из таблицы 4, полученные в работе результаты отличаются от
аналогичных данных, полученных Маккомасом [1]. Однако, как было указано
выше, Е. Спэрроу в обсуждении к этой работе отметил, что найденная в ней длина
участка стабилизации, для всех случаев, короче, чем приведенная в других работах.
Это предполагает, что полученные в настоящей работе результаты являются более
точными.
Перейдём к определению длины участка гидродинамической стабилизации в
канале осесимметричного кольцевого сечения. Основой для расчета будет служить
формула (11).
Для сравнения данных полученных нами в выражении (11) с данными
полученными Маккомасом необходимо знать значение v max , которое зависит от
геометрии кольцевого зазора, т.е. от радиуса наружного и внутреннего колец.
Кроме того необходимо знать радиус, на котором будет находиться максимальная
скорость в зазоре. Данные по v max для различных сочетаний наружного и
внутреннего колец непосредственно представлены только в работе Маккомаса,
поэтому в настоящей работе они были проверены расчетным путем. В результате
получено совпадение данных.
При проведении расчетов были приняты следующие обозначения:
r2 – наружный диаметр кольцевого канала;
r1 – внутренний диаметр кольцевого канала;
rmax
- диаметр кольцевого канала, на котором величина скорости
достигает максимума ( v max ).
Кроме того, с целью сравнения результатов расчета с данными,
приведенными в работе Маккомаса, введем форм параметр k:
r
k  1  1 0  k  1.
r2
В гидромеханике [12, с.221] известна формула для распределения скоростей
в кольцевом зазоре:

r2 
ln

p  2 2
v=
 r2  r   r22  r12  r 
r
4 l 
ln 2 

r1 
(15)
Известна так же формула для средней скорости течения в кольцевом зазоре:
v CP =
p  2 2
r2 
2
2
r

r

r

r
/
ln


2
1
2 1

8 l 
r1 
Теперь можно найти v max 
v max
v cp
.
Сделать это можно двумя путями:
1) предварительно найти максимум v, используя любой способ
максимизации выражения (15). Далее найти отношение максимальной и средней
скорости;
2) при заданных размерах использовать значение rmax вместо r в формуле
(15).
Согласно [7, с.112] rmax равно:
rmax 
r22  r12
r
2 ln 2
r1
Полученные данные и данные работы Маккомаса сведены в таблицу 5.
Таблица 5
k
v
0,1
0.2
0.3
0,4
0.5
0.6
0.7
0,8
0.9
1.5002
1.5008
1.5021
1.5043
1.5078
1.5133
1.5222
1.5374
1.5673
xс
DГ Re
[1]
0.00588
0.00589
—
0.00596
—
0.00613
0.00630
0.00660
0.00725
(11)
0.01012
0.01014
0.01020
0.01029
0.01044
0.01067
0.01106
0.01173
0.01310
На основании материала, изложенного выше можно сделать следующие
выводы:
1. Метод определяющих параметров позволил получить универсальную
формулу для расчета длины участка
гидродинамической стабилизации при
ламинарном течении жидкости для каналов с
постоянным поперечным
сечением произвольной формы.
2. Полученная формула, в двух вариантах (11) и (12), обеспечивает хорошую
точность конечного результата.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маккомас С.Т. Длина начального участка для каналов произвольного
поперечного сечения // Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. Д.
Теоретические основы инженерных расчетов. – 1967, № 4. – С. 160–165.
2. А.В. Барышев, А.В. Лукичев. Метод определяющих параметров для инженерного
расчета внутренних ламинарных течений жидких и газообразных сред с пограничным
слоем. Электронная техника. Сер. Микроэлектроника, вып.1(117), 1986.
3. А.В. Барышев, А.В. Лукичев, В.И. Иванов. Расчет длины участка
гидродинамической стабилизации при ламинарных течениях жидкости или газа в
реакторах и каналах технологического оборудования. Электронная техника. Сер.
Микроэлектроника, вып.3(123), 1987.
4, Юдаев В.Ф. Гидравлика: учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2018. – 301 с.
5. Дж. Дейли, Д. Харлеман. Механика жидкости. – М.: Энергия, 1971. – 480 с,
6. Каминер А.А., Яхно О.М. Гидромеханика в инженерной практике. – К.: Техника,
1987. – С. 54.
7. К.О. Беннет, Дж. Е. Майерс. Гидродинамика, теплообмен и массообмен. – М.:
Недра, 1966. – 726 с.
8. С.М. Тарг. Основные задачи теории ламинарных течений. – М.,Л.:
Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. – 420 с.
9, Теория пограничного слоя. Шлихтинг Г. – М.: Наука, 1974. – 707 с.
10. Спэрроу Е., Хиксон С., Шевит Г. Экспериментальное исследование развития
ламинарного потока в прямоугольных трубах// Труды Американского общества
инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов. – 1961, № 1.
– С. 131–140.
11. Справочник для студентов технических вузов. Высшая математика. Физика.
Теоретическая механика. Сопротивление материалов / А.Д. Полянин, В.Д. Полянин, В.А.
Попов и др. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2002. – 735 с.
12. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика: Учеб. для вузов /
Под ред. Д.Н. Попова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002, – 384 с.
Скачать