Содержание
Содержание ........................................................................................................... 2
Лабораторная работа № 4. Оптимизация распределения инвестиций по
нескольким проектам. ................................................................................................. 3
1 Основные теоретические положения .................................................................. 3
1.1. Пространственная оптимизация: проекты поддаются дроблению. ............. 3
1.2 Пространственная оптимизация: проекты не поддаются дроблению. ......... 4
1.3 Временная оптимизация распределения инвестиций. ................................... 5
2 Индивидуальные задания для лабораторной работы ........................................ 7
3 Требования к отчетности ..................................................................................... 9
4. Способы построения моделей и представление результатов решения
оптимизационных задач в среде табличного процессора MS Excel, входящего
в состав системы общего назначения Microsoft Office ...................................... 10
4.1. Понятие оптимизационной задачи ................................................................ 10
4.2. Загрузка надстройки Поиск решения ........................................................... 11
4.3. Компоненты диалогового окна Поиск решения .......................................... 11
4.4 Порядок работы с элементами окна Поиск решения ................................... 13
5 Пример решения.................................................................................................. 21
5.1. Постановка задачи определения оптимальной инвестиционной
программы .............................................................................................................. 21
5.2. Общее задание ................................................................................................. 23
5.3. Построение модели ......................................................................................... 23
5.4 Ввод данных ..................................................................................................... 24
5.5 Поиск решения ................................................................................................. 25
Лабораторная работа № 4. Оптимизация распределения
инвестиций по нескольким проектам.
На выполнение работы отводится 8 часов.
1 Основные теоретические положения
1.1. Пространственная оптимизация: проекты поддаются
дроблению.
Имеется в виду, что можно реализовывать не только целиком
каждый из анализируемых проектов, но любую его часть; при этом
берется к рассмотрению соответствующая доля инвестиций и
денежных поступлений. Последовательность действий в этом случае
такова:
1) для каждого проекта рассчитывается индекс
рентабельности;
2) проекты упорядочиваются по убыванию показателя
PI;
3) в инвестиционную программу включаются первые k
проектов, которые в сумме в полном объеме могут быть
профинансированы предприятием;
4) очередной проект берется не в полном объеме, а лишь
в той части, в которой он может быть профинансирован
(остаточный принцип).
Пример 1.
Предположим,
что
предприятие
имеет
возможность
инвестировать до 55млн. рублей, при этом цена источников
финансирования составляет 10 %. Требуется составить оптимальную
инвестиционную
программу,
если
имеются
следующие
альтернативные проекты (млн. руб.):
1) проект А: - 30; 6; 11; 13; 12;
2) проект Б: - 20; 4; 8; 12; 5;
3) проект В: - 40; 12; 15; 15; 15;
4) проект Г: -15; 4; 5; 6;
Решение:
•
Рассчитаем чистый приведенный эффект (NPV) и индекс
рентабельности для каждого проекта (PI):
•
проект А: NPV = 2,51; PI = 1.084; IRR = 13.4%;
•
проект Б: NPV = 2,68; PI = 1.134; IRR = 15.6%;
3
•
проект В: NPV = 4,82; PI = 1.121; IRR = 15.3%;
•
проект Г: NPV = 1,37; PI = 1.091; IRR = 13.9%;
•
По убыванию показателя PI проекты упорядочиваются
следующим образом: Б,В,Г,А.
•
Наиболее оптимальной будет стратегия:
Проект
Инвестиция
Часть инвестиции, включаемая в портфель, %
NPV
Б
20
100,0
2,68
В
35
87,5
4,22
Всего
55
6,90
1.2 Пространственная оптимизация: проекты не поддаются
дроблению.
В этом случае задача сводится к задаче линейного
программирования с булевыми переменными, в которой требуется
максимизировать суммарный NPV программы, не выходя за пределы
выделенных средств IC0.
n
NPV j * b j
max
j 1
n
IC j * b j
IC 0
j 1
1, если проект включен в программу
bj
0, в противном случае
Оптимальную комбинацию находят либо просмотром всех
возможных вариантов сочетания проектов, либо используя различные
методы решения таких задач.
Пример 2
В условиях Примера 1 составить оптимальную инвестиционную
программу.
Решение:
Вариант
Суммарная
инвестиция
Суммарный
NPV
А+Б
50=30+20
5,19=2,51+2,68
А+Г
45=30+15
3,88=2,51+1,37
Б+Г
35=20+15
4,05=2,68+1,37
В+Г
55=40+15
6,19=4,82+1,37
4
Оптимальной является инвестиционная программа, включающая
проекты В и Г.
1.3 Временная оптимизация распределения инвестиций.
Формирование программы в этом случае осуществляется по
критерию
индекса
возможных
потерь,
характеризующего
относительную потерю NPV в случае, если проект будет отсрочен к
исполнению. В основе данного способа лежит следующее
предположение: если реализацию всех проектов перенести на 1 год,
то по полученному индексу ожидаемых потерь NPV можно провести
сравнительный анализ и выявить проекты с минимальными потерями,
реализацию которых можно безболезненно перенести на следующий
год выполнения инвестиционной программы.
Последовательность действий в этом случае такова:
1. Исходя из предположения, что реализация всех проектов может
быть перенесена на следующий год, определяется для каждого из
проектов соответствующая величина NPV1 путем умножения NPV0
при условии инвестирования в нулевом году на коэффициент
дисконтирования:
NPV j1
1
* NPV j0 ,
(1 E )1
j 1, n.
2. Определяется абсолютная величина потерь NPV для каждого из
проектов:
NPV j NPV j0 NPV j1 ,
j 1, n.
3. Рассчитывается индекс возможных потерь NPV на единицу
инвестиционных затрат путем деления абсолютной величины потерь
NPV на сумму инвестиций IC в соответствующий проект:
ИВП j
NPV j
IC j
,
j 1, n.
4. Устанавливается приоритетный ряд проектов по величине
индекса потерь – от большего значения к меньшему; чем больше
индекс потерь, тем целесообразнее реализация проекта в первый год
при условии достаточности финансовых ресурсов.
5. В инвестиционную программу на начало планируемого периода
включаются первые k проектов, которые в сумме в полном объеме
могут быть профинансированы предприятием.
6. Очередной проект берется не в полном объеме, а лишь в той
части , в которой он может быть профинансирован (остаточный
принцип).
5
7. Определяется суммарный NPV программы:
k
NPVпрограм м ы NPV j0 * NPVk01 (1 ) * NPVk11
j 1
n
NPV
j k 2
1
j
.
8. Определяются суммарные потери в NPV:
n
NPVпотери NPV j0 NPVпрограм м ы.
j 1
Пример 3.
В условиях Примера 7 составить оптимальную инвестиционную
программу на два года, если объем инвестиций на начало
осуществления инвестиций ограничен суммой в 70 млн. руб.
Решение:
1) Рассчитать индекс возможных потерь.
Проект
0
NPV
j
Диск-щий
множитель
при Е = 10%
NPV
1
j
Потеря в
NPV
Величина
отложенной на
год инвестиции
Индекс
возможных
потерь ИВПj
NPVj
А
2,51
0,9091
2,28
0,23
30
0,0077
Б
2,68
0,9091
2,44
0,24
20
0,0120
В
4,82
0,9091
4,38
0,44
40
0,0110
Г
1,37
0,9091
1,25
0,12
15
0,0080
Индекс возможных потерь показывает, чему равна величина
относительных потерь в случае откладывания проекта к исполнению
на год. Из расчета видно, что наименьшие потери будут в том случае,
когда отложен к исполнению проект А, затем последовательно
проекты Г, В, Б.
2) Распределить инвестиции в году 0:
Проект
Инвестиция
Часть инвестиции, включенная в
программу, %
NPV
Б
20
100
2,68
В
40
100
4,82
Г
10
67
0,92= 1,37*0,67
Всего
70
8,42
3) Распределить инвестиции в году 1:
Проект
Инвестиция
Часть инвестиции, включенная в
программу, %
NPV
Г
5
33
0,41=1,25*0,33
6
Проект
Инвестиция
Часть инвестиции, включенная в
программу, %
NPV
А
30
100
2,28
Всего
35
2,69
4) Определить суммарный NPV:
При таком формировании программы NPV за два года
составит 11,11 млн. руб.
11,11 = 8,42+2,69.
5) Определить суммарные потери:
Потери будут равны 0,27 млн. руб. и будут минимальны по
сравнению с другими вариантами формирования портфелей.
0,27 = (2,51+2,68+4,82+1,37) - 11,11
2 Индивидуальные задания для лабораторной работы
На рассмотрении у субъекта имеется десять инвестиционных
объектов с затратами на их приобретение, представленными в табл.1,
и стоимостями капитала, представленными в табл.2. Финансовые
ресурсы субъекта ограничены величиной заданного капитала из
табл.1.
Требуется
определить
оптимальную
инвестиционную
программу, если:
1. Проекты поддаются дроблению.
2. Проекты не поддаются дроблению.
3. Оптимальную инвестиционную программу на два года.
Для решения задач написать программу или выполнить расчеты
в среде табличного процессора MS Excel. Для выполнения второй
7
задачи можно использовать надстройку Поиск решения MS Excel,
описание которого приводится ниже.
Варианты индивидуального задания выбираются в соответствии
с двумя последними цифрами зачетной книжки (или студенческого
билета).
Предпоследней
цифре
соответствует
ограничение
по
затратам на приобретение инвестиционных объектов;
Таблица 1 - Данные по затратам (тыс. руб.)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ИО 1
ИО 2
ИО 3
ИО 4
ИО 5
ИО 6
ИО 7
ИО 8
ИО 9
ИО 10
85
110
80
100
40
75
120
115
95
65
115
100
95
110
35
95
150
100
80
55
70
150
55
150
25
85
130
90
85
45
90
135
65
160
15
80
115
105
90
40
110
115
70
105
50
70
165
95
75
60
65
140
90
125
45
90
125
120
80
50
90
155
100
170
30
70
120
110
90
70
130
130
60
95
25
75
110
125
105
35
105
125
75
115
20
65
140
105
115
80
75
105
50
130
55
85
135
85
70
60
Заданный
капитал
на начало
периода
520
710
380
690
190
350
750
600
420
310
Последней цифре соответствует выбор целевой функции
(все задачи решаются на максимизацию стоимости капитала).
Таблица 2 - Данные по стоимости капитала (NPV) каждого инвестиционного
объекта (руб.)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ИО 1
10123
2456
15478
21458
40587
24785
6478
10259
24789
30125
ИО 2
19546
8526
19876
26547
54762
32587
8913
15878
25894
39845
ИО 3
9154
6357
15786
29245
39547
21478
7456
12365
20479
35681
ИО 4
25478
4515
16534
30158
49632
35896
9756
18471
26333
36478
ИО 5
18759
3547
17564
24573
48731
34756
10357
16578
27451
31578
8
ИО 6
21421
5478
13568
33547
52147
23689
7894
11358
29876
38946
ИО 7
29600
2571
11578
29547
41735
40247
11547
13698
22565
32783
ИО 8
14635
3658
12349
25476
64785
36587
10658
19712
23977
37465
ИО 9
12588
5782
16547
27891
39541
33245
6891
14285
21432
33587
ИО 10
16873
7415
18735
24538
37451
28946
7462
17562
26573
34711
Необходимое для задачи 3 «Оптимальная инвестиционная
программа
на
два
года»
значение
коэффициента
дисконтирования определяется исходя из нормы дисконта
равной остатку от деления числа, образованного двумя
последними цифрами зачетки на число 17.
Е= остаток (две последние цифры номера зачетки / 17)
Пример:
Е=остаток (15 / 17) = 15
Е=остаток (56 / 17) = 5
Необходимое
дроблению»
для
задачи
значение
1
«Проекты
индекса
поддаются
рентабельности
PI
определяется по формуле
PI=1 + NPV(из таблицы 2) / Затраты (из таблицы 1)
3 Требования к отчетности
Отчет должен оформляться в печатном виде на формате А4 и
содержать следующие обязательные пункты:
1.
Исходные данные соответственно варианту;
2.
Последовательность решения задачи;
3.
Результаты решения и выводы по ним.
9
4. Способы построения моделей и представление результатов
решения оптимизационных задач в среде табличного процессора
MS Excel, входящего в состав системы общего назначения
Microsoft Office
4.1. Понятие оптимизационной задачи
Оптимизационные
задачи
в
общем
виде
могут
быть
представлены следующими формулами:
F f ( x1 ,..., x j ,..., xn ) max(min, const )
(1)
g i ( x j ) ( , )bi
( 2)
d j xj Dj
(3)
i 1, m
( 4)
j 1, n
(5)
где
xj
-
может
принимать
либо
действительные,
либо
целочисленные, либо булевы значения.
Формула (1) определяет целевую функцию, формула (2)
определяет ограничения, а формула (3) определяет граничные
условия.
В зависимости от вида функции f в формуле (1) задача может
относиться либо к классу задач линейного или нелинейного
программирования.
В зависимости от того, являются ли xj целыми и булевыми или
действительными величинами задача может относиться к задачам
целочисленного программирования или нет.
Для решения таких задач в Excel предусмотрена надстройка
Поиск решения, которую можно вызвать из меню Сервис. Если
10
пункта меню Поиск решения нет, то нужно вернуться к установке
Excel и установить эту надстройку.
4.2. Загрузка надстройки Поиск решения
Для загрузки Поиск решения нужно выполнить следующие
шаги:
1.
Выбрать команду Сервис -> Надстройки. В диалоговом
окне Надстройки отобразится список доступных надстроек (рис.1).
Рисунок 1. Окно Надстройки
2.
Выделить в списке надстройку Поиск решения.
3.
Щелкнуть на кнопке OK или нажать клавишу <Enter>. В
меню Сервис появится команда Поиск решения.
4.3. Компоненты диалогового окна Поиск решения
Диалоговое окно Поиск решения представлено на рис.2.
11
Рисунок 2. Диалоговое окно Поиск решения
Смысл элементов окна Поиск решения:
Установить целевую ячейку - определяет целевую ячейку,
значение
которой
необходимо
максимизировать
или
минимизировать, или сделать равным конкретному значению.
Изменяя ячейки - определяет изменяемые ячейки.
Изменяемая ячейка - это ячейка, которая может быть изменена в
процессе Поиска решения для достижения нужного результата в
ячейке из окна Установить целевую ячейку с удовлетворением
поставленных ограничений.
Предположить - отыскивает все неформульные ячейки, прямо
или непрямо зависящие от формулы в окне Установить целевую
ячейку, и помещает их ссылки в окно Изменяя ячейки.
Ограничения – в это окно вводятся все ограничения,
накладываемые на поиск решения.
12
Добавить - выводит окно диалога Добавить ограничение, в
котором можно добавить ограничения.
Изменить - выводит окно диалога Изменить ограничение, в
котором можно модифицировать имеющиеся ограничения.
Удалить - удаляет выделенное ограничение.
Выполнить - запускает процесс решения задачи.
Закрыть
-
закрывает
окно
диалога,
не
решая
задачи.
Сохраняются лишь изменения, сделанные при помощи кнопок
Параметры, Добавить, Изменить и Удалить. Не сохраняются
изменения, произведенные после использования данных кнопок.
Параметры - выводит окно диалога Параметры поиска
решения, в котором можно контролировать различные аспекты
процесса отыскания решения.
Восстановить - очищает все текущие установки проблемы и
возвращает все параметры к их значениям по умолчанию.
4.4 Порядок работы с элементами окна Поиск решения
4.4.1. В поле Установить целевую ячейку необходимо внести адрес
ячейки, содержащей целевую функцию.
Это можно сделать 2-мя способами:
Ввести с клавиатуры;
Щелкнуть мышью на той ячейке рабочего листа, где
содержится ЦФ. Вокруг нее появился движущийся пунктирный
контур, а в поле окна - соответствующий адрес. Следует отметить,
13
что подобным способом можно вносить все остальные необходимые
данные, это удобнее, чем вводить их с клавиатуры.
4.4.2. Нажать
кнопку Добавить
в разделе
Ограничения
диалогового окна Поиск решения, появится диалоговое окно,
представленное на рис.3.
Рисунок 3. Диалоговое окно Добавление ограничения
В поле Ссылка на ячейку вводятся адреса ячейки или интервала
ячеек, на значение которых накладываются ограничения.
Из раскрывающегося списка выбирается условный оператор <=
(>=, =, цел, двоич) который должен располагаться между ссылкой и
ограничением.
«Цел» устанавливается для указания на то, что переменная
должна быть целочисленной, тогда в окне справа от списка
появляется слово "Целое".
«Двоич» устанавливается для указания, что переменная должна
быть бинарной, тогда в окне справа от списка появляется слово
«Двоичное».
Поле Ограничение определяет условие (значение или адрес
ячейки), налагаемое на содержимое окна Ссылка на ячейку.
Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового,
нажмите кнопку Добавить. Чтобы вернуться в диалоговое окно
Поиск решения, нажмите кнопку OK.
14
Аналогично вводятся и другие ограничения.
4.4.3. Нажать кнопку Параметры в окне Поиск решения,
появится окно (рис.4), в котором можно вводить условия для решения
задач оптимизации всех классов.
Рисунок 4. Диалоговое окно Параметры поиска решения
Каждый из параметров в окне диалога имеет значение по
умолчанию, подходящий для большинства проблем:
Максимальное время - ограничивает время, отведенное на
процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что
достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача
большой размерности, то время необходимо увеличить).
Предельное число итераций - еще один способ ограничения
времени поиска путем задания максимального числа итераций. Это
значение должно быть положительным целым числом до 32767.
Относительная погрешность - задает точность, с которой
определяется
соответствие
ячейки
15
целевому
значению
или
приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до
1).
Допустимое отклонение - задается в %, только для задач с
целочисленными ограничениями. Поиск решения в таких задачах
сначала находит оптимальное нецелочисленное решение, а потом
пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в
которой отличалось бы от оптимального не более, чем на указанное
данным параметром количество процентов.
Сходимость - когда относительное изменение значения в
целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа
(дробь из интервала от 0 до 1), указанного в данном параметре, поиск
прекращается.
Линейная модель - этот флажок следует включать, когда
целевая функция и ограничения - линейные функции. Это ускоряет
процесс поиска решения.
Неотрицательные значения - этим флажком можно задать
ограничения на переменные, что позволит искать решения в
положительной
области
значений,
не
задавая
специальных
ограничений на их нижнюю границу.
Автоматическое масштабирование - этот флажок следует
включать, когда масштаб значений входных переменных, целевой
функции
и
ограничений
отличается,
возможно,
на
порядки.
Например, переменные задаются в штуках, а целевая функция,
определяющая максимальную прибыль, измеряется в миллиардах
рублей.
16
Показывать результаты итераций - этот флажок позволяет
включить пошаговый процесс поиска, показывающий на экране
результаты каждой итерации.
Оценки
-
эта
группа
служит
для
указания
метода
экстраполяции, используемого для получения исходных оценок
значений переменных в каждом одномерном поиске:
Линейная
служит
для
использования
линейной
экстраполяции вдоль касательного вектора.
Квадратичная служит для использования квадратичной
экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении
нелинейных задач.
Разности (производные) - эта группа служит для указания
метода численного дифференцирования, который используется для
вычисления частных производных целевых и ограничивающих
функций:
Прямые используется в большинстве задач, где скорость
изменения ограничений относительно невысока.
Центральные
разрывную
используется
производную.
Данный
для
функций,
способ
требует
имеющих
больше
вычислений, однако его применение может быть оправданным, если
выдается сообщение о том, чтобы получить более точное решение не
удается.
Метод поиска - служит для выбора алгоритма оптимизации:
Метод Ньютона – метод по умолчанию, использующий
квази-ньютоновский подход. Этот метод обычно требует больше
17
памяти, чем метод сопряженного градиента, но меньшее количество
итераций.
Метод сопряженных градиентов - данный метод следует
использовать,
если
задача
достаточно
велика
и
необходимо
экономить память, а также, если итерации дают слишком малое
отличие в последовательных приближениях.
Загрузить модель - выводит окно диалога Загрузить модель, в
котором можно указать, какую именно модель нужно загрузить.
Сохранить модель - выводит окно диалога Сохранить Модель,
в котором можно указать, где именно нужно сохранить данную
модель.
Используйте кнопку Сохранить модель только в том случае,
если нужно сохранить более, чем одну модель Поиска решения
вместе с данным рабочим листом. Первая модель Поиска решений
автоматически сохраняется вместе с рабочим листом.
Нажав кнопку ОК после задания всех параметров задачи,
произойдет возврат к окну Поиск решения.
4.4.4. Нажав кнопку Выполнить, произойдет запуск задачи и
появится окно, представленное на рис.5.
Рисунок 5. Диалоговое окно Результаты поиска решения
18
Затем нужно выбрать одно из следующих действий:
чтобы сохранить найденное решение на листе, нужно выбрать
в диалоговом окне Результаты поиска решения вариант Сохранить
найденное решение;
чтобы восстановить исходные данные, нужно выбрать
вариант Восстановить исходные значения.
Однако решение задачи находится не всегда. В случае, если в
результате поиска не было найдено решение, удовлетворяющее
заданным
условиям,
на
экране
появится
диалоговое
окно,
представленное на рис.6.
Рисунок 6. Диалоговое окно Результаты поиска решения решение задачи не найдено
Одной
из
наиболее
часто
встречающихся
причин
невозможности найти оптимальное решение является такая ситуация,
когда в результате решения задачи выясняется, что имеются
ограничения, которые не выполняются. Найдя невыполняемые
ограничения
необходимо
найти
и
ликвидировать
причины,
обуславливающие невозможность соблюдения данного конкретного
19
условия (это могут быть, например, слишком большие или, наоборот,
очень маленькие запланированные объемы ограничений и т.п.).
4.4.5. Кроме вставки оптимальных значений в изменяемые
ячейки Поиск решения позволяет представлять результаты в виде
трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы.
Рассмотрим более подробно каждый из них.
Результаты - перечисляет изменяемые ячейки и ячейку в
окне Установить целевую ячейку вместе с исходным и конечным
значением. Также показывает ограничения и информацию о них.
Устойчивость
- предоставляет информацию о том,
насколько чувствительно решение к малым изменениям в формуле
окна Установить целевую ячейку или ограничениях.
Для
нелинейных
моделей,
отчет
предоставляет
двойственные значения (нормированные градиенты и множители
Лагранжа).
Для линейных моделей отчет включает редуцированную
стоимость, теневые цены, objective coefficient (с допустимыми
отклонениями в обе стороны), и ограничения на изменение правой
стороны равенства.
Пределы
-
перечисляет
изменяемые
ячейки
вместе
с
соответствующими значениями, ячейку в окне Установить целевую
ячейку, верхние и нижние пределы и целевые значения. Нижний
предел есть наименьшее значение, которое может находиться в
изменяемой
ячейке,
если
фиксировать
остальные
ячейки
и
удовлетворить все ограничения. Верхний предел есть наибольшее
значение. Целевое значение есть значение ячейки в окне Установить
20
целевую ячейку, когда значение изменяемой ячейки достигает
наименьшего или наибольшего предела.
Для генерации одного или нескольких отчетов необходимо
выделить их названия в окне диалога Результаты поиска решения.
5 Пример решения
5.1. Постановка задачи определения оптимальной
инвестиционной программы
Введем следующие понятия:
Инвестиционный портфель - это некоторая совокупность
инвестиционных
проектов,
находящаяся
на
рассмотрении
у
некоторого субъекта, который должен принять решение о реализации
всех или некоторых из этих проектов или об участии в их реализации.
Инвестиционная программа - это совокупность проектов,
которую субъект отберет.
Тогда
возникает
задача
формирования
оптимальной
инвестиционной программы на базе имеющегося портфеля.
Задачи подобного рода различаются между собой характером
взаимоотношений между проектами инвестиционного портфеля и
ограничениями, накладываемыми либо на процедуру отбора, либо на
его результат.
Рассмотрим
модель
формирования
оптимальной
инвестиционной программы при заданном бюджете и программе
производства. В данной модели в качестве целевой функции
выступает
чистая
приведенная
стоимость
инвестиционной
программы, причем здесь при заданных ограничениях (конкретной
производственной
программе
для
21
отдельных
инвестиционных
объектов и при наличии некоторых финансовых средств) требуется
сформулировать
и
определить
оптимальную
инвестиционную
программу.
Введем следующие допущения:
а)
представленные
на
выбор
инвестиционные
объекты
равнозначны для ЛПР;
б) финансовые средства нельзя привлечь в неограниченном
размере по расчетной процентной ставке;
в) инвестиционная программа определяется только на начало
планового периода, при этом начальные расходы не должны
превышать
капитальный
бюджет,
а
инвестиционные
объекты
реализуются как единое целое.
В
целом
модель
имеет
вид
задачи
целочисленного
программирования, в которой требуется найти вектор X x j :
J
NPV j x j max,
Максимизировать NPV программы
j 1
J
IC j x j IC o .
при ограничении на финансовые средства
j 1
где x j - бинарная переменная, значение которой определяет,
будет ли реализована инвестиция ( x j 1 ) или нет ( x j 0 ) для всех
альтернатив;
NPV j - стоимость капитала инвестиционного проекта;
IC j - затраты на приобретение инвестиционного объекта;
IC o - объем капитального бюджета.
22
5.2. Общее задание
Пусть предприятие имеет пять реальных инвестиционных
объектов, характеризующихся приведенными в таблице 1 данными:
Таблица 1.
Инвестиционный
объект
Затраты на приобретение
инвестиционного объекта,
тыс. руб.
Стоимость
капитала, руб.
1
90
14 019,53
2
45
13 858,00
3
80
10 796,39
4
170
28 159,28
5
100
15 251,69
Заданный капитал составляет 340 тыс. руб.
Требуется
определить
оптимальную
инвестиционную
программу при заданных ограничениях.
5.3. Построение модели
Формально модель задачи можно записать в следующем виде:
14019,53x1 13858x2 10796,39 x3 28159,28x4 15251x5 max;
90 000x1 45 000x2 80 000x3 170 000x4 100 000x5 340 000;
x j {0;1};
j 1,5.
23
5.4 Ввод данных
Ввод данных представлен на рис.7.
Рисунок 7. Ввод данных для задачи
(ИО – инвестиционный объект)
Инвестиционная программа – ячейки B3:F3 – это
свидетельствуют о наличии ( x j
1)
x j {0,1},
или отсутствии ( x j
0)
j 1,5
-
данного
инвестиционного объекта (проекта) в оптимальной инвестиционной
программе.
Ячейка
произведений
Общие
затраты
представляет
собой
90 000 x1 45 000 x2 80 000 x3 170 000 x4 100 000 x5
Excel функцией СУММПРОИЗВ (рис.8).
24
сумму
и задается в
Рисунок 8. Заполнение ячейки Общие затраты
Ячейка ЦФ – целевая функция, также представляет собой сумму
произведений 14019 ,53 x1 13858 x2 10796 ,39 x3 28159 ,28 x4 15251 x5 и
в Excel задается в виде, представленном на рис.9.
Рисунок 9. Заполнение ячейки Целевая функция
5.5 Поиск решения
1.
Выбрать команду Сервис -> Поиск решения. Появится
диалоговое окно Поиск решения, представленное на рис.10.
25
Рисунок 10. Диалоговое окно Поиск решения
2.
Ввести ячейку H7 (ЦФ) в тестовое окно Установить
целевую ячейку.
3.
Установить равной максимальному значению.
4.
В текстовое окно Изменяя ячейки ввести ячейки B3:F3
(инвестиционная
программа
- x j ),
значения
которых
будут
подбираться.
5.
Для задания ограничений нужно щелкнуть на кнопке
Добавить. Появится
диалоговое окно
Добавить
ограничение,
представленное на рис.11.
Рисунок 11. Диалоговое окно Добавление ограничения
6.
Ввести в поле Ссылка на ячейку - ячейку G5 (Общие
затраты), щелкнуть по стрелке и выбрать соответствующий оператор
меньше или равно (<=), в последнее текстовое поле Ограничение
ввести ячейку H5 (Заданный капитал).
26
Кроме этого добавить еще одно ограничение – ячейки B3:F3
должны быть двоичными, то есть могут принимать только два
значения – 0 или 1.
7.
Чтобы
добавить
текущее
ограничение
и
создать
следующее, нужно затем щелкнуть на кнопке Добавить. Чтобы
добавить ограничение и вернуться в диалоговое окно Поиск решения,
нужно щелкнуть на кнопке OK. Заданные ограничения отображаются
в окне списка Ограничения.
8.
В результате ввода данных окно Поиск решения должно
принять следующий вид, представленное на рис.12.
Рисунок 12. Заполнение окна Поиск решения
9.
Для поиска решения необходимо щелкнуть на кнопке
Выполнить. Программа начнет подбор оптимального решения. После
того, как решение найдено, появляется диалоговое окно Результаты
поиска решения (рис.13).
27
Рисунок 13. Окно Результаты поиска
10. Для использования найденного решения нужно выбрать
опцию
Сохранить
найденное
решение,
чтобы
вернуться
в
первоначальный рабочий лист – опцию Восстановить исходные
значения.
В результате поиска получены результаты, представленные на
рис.14.
Рисунок 14. Результаты решения задачи
Таким образом, решение данной задачи с помощью Excel
показывает, что оптимальная инвестиционная программа состоит из
инвестиционных объектов 2, 4 и 5:
28
x1 0; x2 1; x3 0; x4 1; x5 1.
Реализация инвестиционной программы ведет при общих
затратах на приобретение на сумму 315 000 руб. (45 + 170 + 100 = 315
тыс. руб.) к общей стоимости капитала в объеме 57268,28 руб.
(13858,00 + 28159,28 + 15251,00 = 57268,28 руб.).
Отсюда можно определить выгодность проекта, оцениваемую
нормативом стоимости капитала (НСК), рассчитываемую через
отношение стоимости капитала к затратам на приобретение. Этот
показатель в данном случае составит: НСК = 57268,28/315000=0,18.
Рассмотрим получившиеся в результате решения отчеты.
Отчеты Устойчивость и Пределы не формируются для данной
задачи, так как они не применимы для задач с целочисленными
ограничениями.
Отчет Результаты представлен на рис.15.
Рисунок 15. Отчет по результатам
29
Данный отчет содержит получившиеся в результате решения
значения вектора
X
(показывает присутствие или отсутствие
инвестиционного
объекта
в
оптимальной
инвестиционной
программе), общих затрат и стоимости найденной инвестиционной
программы.
30
