Загрузил Андрей Демченко

Лекция 1

реклама
Тема: Производная
Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм
нахождения производной
Рис. 1. График функции
.
Рассмотрим функцию
, ее график и дадим физическую интерпретацию.
Построим систему координат и кривую
(см. рис.1), где
независимая переменная или аргумент (время),
– зависимая переменная или функция (расстояние),
– закон или правило, по которому каждому значению
одно значение
.
Зафиксируем момент времени
заданному закону
данный момент времени
прошло некоторое время
это
.
ставится в соответствие только
(см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по
, т.е. имеем точку
, расстояние -
. Эта точка показывает, что в
. Дадим аргументу приращение
. Момент времени, который будет рассматриваться -
, т.е.
Рис. 2. Секущая к графику функции
.
– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.
Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) . Это расстояние можно
вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой
переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась
точка
наклонена к оси
– секущая,
. В результате получилась секущая
под углом
, которая
.
– ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во –
вторых, с положительным направлением оси .
Рассмотрим треугольник
(см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый
угол – это угол - угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а
второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в
старой точке.
Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.
Величина
называется
– приращение функции и вычисляется как разность значений
функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени
.
Физический смысл отношения ∆f/∆x
Рассмотрим отношение
рис.4).
, где
– приращение функции,
– приращение аргумента (см.
Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя
скорость
. В этом заключается физический смысл отношения
.
Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения
С другой стороны отношение катета
к катету
.
– это тангенс угла
наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения
секущей
– тангенс угла
– это тангенс угла наклона
.
Определение производной
Пусть
секущей
. Понятно, что и
будет стремиться к точке
будет стремиться занять положение касательной в точке
кривой
, а положение
к
(см. рис.4). Имеем
Зафиксируем эту касательную,
точку
. Точка
, то отношение
– угол наклона этой касательной. Если зафиксировать
зависит только от величины
Если отношение
число называется производной функции
при
.
стремится к какому-то числу, то это
в точке
и обозначается
.
Определение. Производной функции
в точке
называется число, к которому
стремится разностное соотношение
при
.
Определение производной с помощью пределов.
Предел при
разностного отношения
производной функции в точке
, если он существует, называется
и обозначается
.
Геометрический и физический смысл производной
, где
– мгновенная скорость в момент
. В этом заключается
физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона
касательной
абсциссой
, где
- угол наклона касательной к кривой
в точке с
.
Алгоритм нахождения производной
Для того чтобы найти
нужно:
1) Задать приращение
приращение функции
– это приращение аргумента и вычислить соответствующее
или
2) Найти разностное соотношение
3) Если отношение
при
.
, упростить его и сократить на
.
стремится к какому-то числу, то это число будет
.
Скачать