Практична робота №5
Тема: Бінарні відношення
1. Ціль роботи: Ознайомити з головними поняттями теорії відношень, навчити складати
матрицю й граф бінарного відношення, фактор – множина бінарного відношення.
2. Порядок виконання роботи.
Практична робота розрахована на 4 години. В процесі підготовки до завдання студенти повинні уважно ознайомитися з даними методичними вказівками, підготувати відповіді на контрольні запитання, розробити план роботи на практичному занятті по виконанню індивідуального контрольного завдання. По результатам роботи на практичному занятті кожний студент складає письмовий звіт, що містить наступні розділи:
1. Назва теми практичної роботи.
2. Короткі теоретичні відомості.
3. Зміст індивідуального завдання.
4. Виконання індивідуального завдання.
3. Теоретичні відомості
Бінарні відношення встановлюють відповідність елементів одної множини Х елементам
другої множини Y і можуть бути задані деякою сукупністю упорядкованих пар (x,y), які є елементами множини XxY або, якщо X=Y то будь-яке відношення АСXxY являє собою підмножину
множини XxX і називається відношенням у Х.
Заслуговують уваги три особливих випадки відношень у Х.
1) Повне (універсальне) P=XxX
2) Тотожне (діагональне) відношення Е, рівнозначне Х=Х
3) Пусте відношення, якому не задовольняє жодна пара елементів із Х.
Розглянемо відношення ACXxY. Якщо X i CX, то розтин по X i відношення А (позначається А( X i )), є множина y Y таких, що ( X i ,Y)CA. Множина всіх розтинів відношення А називають
фактор-множиною множини Y по відношенню А і позначають Y/A. Воно повністю визначає відношення А.
Відношення можна зобразити відповідною йому прямокутною таблицею (матрицею). Її
стовпчикам відповідають перші координати, а строкам – другі координати. На перехрещенні i -го
стовпчика та j -рядка ставиться одиниця, якщо виконано співвідношення X i AYi , та нуль, якщо це
співвідношення не виконується.
Нехай, наприклад,
Х= x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ; Y= y1 , y 2 , y 3 , y 4
A= (x1 , y1 ), (x1 , y 3 ), (x 2 , y1 ), (x 2 , y 3 ), ( x 2 , y 4 ), ( x3 , y1 ), ( x3 , y 2 ), ( x3 , y 4 ), (x 4 , y 3 ), (x5 , y 2 ), (x5 , y 4 ) (1)
Відношення можна також намалювати (або зобразити) за допомогою орієнтованого графа.
Верхівки графу відповідають елементам множин X та Y, і дуга, яка направлена з верхівки X i до
Yi , означає що X i AYi .
Матриця відношення А
x1
y1
1
x2
1
y2
y3
y4
x3
x4
1
1
1
1
1
x5
1
1
1
1
2
Граф відношення (1).
x1
x2
y1
x3
y2
x4
y3
x5
y4
3.2 Композиція відношень.
Нехай дані три множини X,Y, Z два відношення А ХxY, B YxZ. Композицією відношень, А і В називається відношення С=В А, яке складається із всіх пар виду (х,z) таких що, існує
такий елемент y Y, що пара (x,y) A і (y,z) B одночасно, тому С=В А
= (x, z ) X * Z : y Y : (x, y ) A ( y, z ) B
Матриця відношення С одержується шляхом множення матриці В на матрицю А. Щоб одержати граф композиції С треба до графу відношення А добувати граф відношення В і виключити
вершини множини Y, замінивши маршрути, які проходять через них із множин Х в Y однією дугою.
4. Контрольні питання:
1. Що таке бінарне відношення? Навести приклади.
2. Привести окремі випадки відношень в Х.
3. Як складається матриця бінарного відношення?
4. Як складається граф бінарного відношення?
5. Що таке композиція відношень?
6. Властивості відношень.
5. Особисті завдання.
Відповідно з номером свого варіанту студент повинен виписати формулювання завдання:
5.1 Дані дві множини Х і Y і задане бінарне відношення А Х*Y. Для даного відношення
А:
а) записати область визначення і область значень;
б) визначити переріз по кожному елементу із Х;
в) визначити переріз по підмножинам X і X множини Х;
г) записати матрицю і накреслити граф;
д) визначити симетричне відношення А.
1) X = x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 ; Y= y1 , y 2 , y 3 , y 4
A= (x1 , y 2 ), (x 2 , y1 ), (x 2 , y 2 ), ( x 4 , y 2 ), (x 4 , y 3 ), ( x5 , y1 ), ( x5 , y 3 ) ;
X = x1 , x4 ; X = x 2 , x3 , x5 ;
2) X = a, b, c, d , e; Y = k , l , m, n;
A = (a, k ), (a, m), (a, n), (b, k ), (b, m), (c, l ), (c, m), (c, n);
X = a, d ; X = c, d , e
3) X = x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ; Y = y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 ;
A = ( x1 , y 2 ), (x 2 , y1 ), (x 2 , y 2 ), ( x 4 , y1 ), (x 4 , y 6 ), ( x5 , y 3 ), (x5 , y 5 ) ;
X = x 2 , x 3 ; X = x 2 , x 4 , x5 ;
4) X = a, b, c, d , e; Y = k , l , m, n
3
A = (b, k ), (a, l ), (a, m), (b, n), (c, k ), (c, l ), (c, n), (d , l ), (d , m), (e, k ), (e, l ), (e, m) ;
X = a, b, c; X = e, d ;
5) X = x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 ; Y = y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ;
A = ( x1 , y1 ), (x1 , y 2 ), ( x 2 y1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 4 , y 5 ), ( x5 , y1 ), ( x5 , y 3 ), ( x6 , y1 ), (x6 , y 3 ), (x6 , y 5 ) ;
X = x3 ; X = x1 , x 2 , x 4 , x6 ;
6) X = x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 ; Y = y1 , y 2 , y 3 ;
A = ( x1 , y 2 ), (x1 , y 3 ), ( x 2 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), (x3 , y1 ), ( x 4 , y 3 ), (x5 , y1 ), ( x5 , y 3 ), ( x6 , y 2 );
X = x 2 , x3 , x 4 ; X = x1 , x6 ;
7) X = a, b, c, d , e, f ; Y = x, y, z ;
A = (a, x ), (a, y ), (a, z ), (b, x ), (c, y ), (d , x ), (d , z ), (e, y ), ( f , x ), ( f , y ), ( f , z );
X = a, b, f ; X = b, d , e;
8) X = a, b, c, d , e, f ; Y = x, y, z ;
A = (a, y ), (a, z ), (b, x ), (b, y ), (c, x ), (c, z ), (d , x ), (d , y );
X = a, c, e ; X = d ;
9) X = x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ; Y = y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ;
A = ( x1 , y1 ), ( x1 , y 5 ), ( x 2 , y1 ), (x 2 , y 3 ), ( x 2 , y 5 ), (x3 , y 2 ), (x3 , y 4 ), (x 4 , y1 ), (x 4 , y 2 ), (x5 , y1 ), (x5 , y 3 ) ;
X = x1 , x3 ; X = x 2 , x 5 ;
10) X = a, b, c, d , e, f , k ; Y = n, m, t , u ;
A = (a, n), (a, t ), (b, m), (c, t ), (c, u ), (d , m), (d , u ), (e, m), (e, u ), ( f , t ), ( f , u ), (k , m)
X = a, d , e ; X = d , f , k ;
11) X = a, b, c, d , e, f ; Y = m, t , u, x ;
A = (a, m), (a, t ), (b, u ), (b, x ), (c, m), (d , u ), (d , x ), (e, t ), (e, u ), ( f , m), ( f , t );
X = a, c, e, f ; X = a, b, d ;
12) X = x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ; Y = y1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ;
A = {(x1 , y 2 ), (x1 , y5 ), (x2 , y 2 ), (x2 , y3 ), (x2 , y5 ), (x4 , y3 ), (x4 , y5 ), (x5 , y1 ), (x5 , y2 ), (x5 , y 4 ), (x5 , y1 ),
(x5 , y2 ), (x5 , y4 ), (x5 , y5 )}
X = x1 , x 4 , x5 ; X = x 2 , x 3 .
5.2 Які властивості мають бінарні відношення, задані в деякій множині людей Х і виражені
співвідношенням ( X i , X j X )? (Довести)
1) “ X i чоловік X j ”
2) “ X i знайомий з X j ”
3) “ X i схожий на X j ”
4) “ X i старший від X j ”
5) “ X i молодший від X j ”
6) “ X i родич X j ”
7) “ X i сусід X j ”
8) “ X i однокурсник X j ”
9) “ X i проживає в одному будинку з X j ”
10) “ X i важить більше, ніж X j ”
11) “ X i співробітник X j ”
12) “ X i підлеглий X j ”
4
5.3 Записати композицію С=В А відношень А і В. Перевірити результат за допомогою
операцій над матрицями і графами заданих відношень:
1) А ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,4),(3,3)};
В = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2),(4,3)}
2) А = (x1 , y1 ), (x1 , y 2 ), (x 2 , y1 ), (x3 , y 2 ), (x 4 , y 3 );
В = ( y1 , z 2 ), ( y 2 , z1 ), ( y 2 , z 3 ), ( y 3 , z 4 ), ( y 3 , z 5 )
3) А ={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,1)};
B = {(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,1),(4,3)}
4) A = (x1 , y 2 ), (x 2 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), (x3 , y1 ), ( x3 , y 3 );
B = ( y1 , z1 ), ( y 2 , z1 ), ( y 3 , z 3 ), ( y 3 , z 4 ), ( y 3 , z 5 )
5) A ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(3,1)};
B = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1),(4,1),(4,3)}
6) A = (x1 , y1 ), (x 2 , y1 ), (x 2 , y 2 ), ( x3 , y 2 ), (x 4 , y 3 ) ;
B = ( y1 , z1 ), ( y 2 , z1 ), ( y 3 , z 2 ), ( y 3 , z 3 ), ( y 3 , z 4 )
7) A ={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,2)};
B = {(1,2),(2,1),(3,1),(2,3)}
8) A ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(4,1)};
B = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,3)}
9) A = (x1 , y1 ), (x 2 , y 2 ), (x 2 , y 3 ), ( x 2 , y 4 ), (x3 , y 2 ), (x 4 , y1 ) ;
B = ( y1 , x 2 ), ( y 2 , x1 ), ( y 2 , x3 ), ( y 3 , x1 )
10) A ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1)};
B ={(1,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3)}
11) A = (x1 , y1 ), (x 2 , y 2 ), (x 2 , y 3 ), ( x3 , y1 ), ( x3 , y 2 ), (x 4 , y 3 );
B = ( y1 , z1 ), ( y 2 , z1 ), ( y 2 , z 2 ), ( y 3 , z 3 ), ( y 3 , z 4 ), ( y 3 , z 5 )
12) A ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)}
B ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
5.4 Побудуйте графіки для таких відношень (у тих випадках, коли графік є частиною площини, ця частина штрихується).
1) {(x,y) R*R: x y}
2) {(x,y) R*R: x y}
3) {(x,y) R*R: y x /\ x 0}
4) {(x,y) R*R: x 2 + y 2 = 1}
5) {(x,y) R*R: x < y}
6) {(x,y) R*R: x + y = 1}
7) {(x,y) R*R: y 0 /\ y x}
8) {(x,y) R*R: x > y+3}
9) {(x,y) R*R: y > 0 /\ x+y < 1}
10) {(x,y) R*R: x + 2 * y =1}
11) {(x,y) R*R: x 2 + y 2 1 }
12) {(x,y) R*R: x 2 + y 2 1 }
