Bobyliev posobie З зиправленнями

Бобилєв Д.Є.
ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ
2
Міністерство освіти і науки України
ДВНЗ «Криворізький національний університет»
Криворізький педагогічний інститут
Бобилєв Д.Є.
ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ
Навчальний посібник
Кривий Ріг
Видавництво
2016
3
УДК 517.98, 517.51
ББК 22.162
Б
Рецензенти:
кандидат фізико-математичних наук, доцент М.О. Рашевський
(Криворізький національний університет);
(
)
Бобилєв Д.Є.
Б
Функціональний аналіз : навчальний посібник / Д.Є. Бобилєв. –
Кривий Ріг:
, 2016. – 80 с.
ISBN
Використовуючи чинне законодавство, публікації вітчизняних вчених,
автори аналізують галузі права України: конституційне, трудове, сімейне
та ін. Розглянуто систему правоохоронних органів та судочинства сучасної
України.
Для студентів неюридичних спеціальностей вищих навчальних закладів
освіти та широкого кола читачів. Ви впевнені??
УДК 517.98, 517.51
ББК 22.162
ISBN
© Д.Є. Бобилєв, 2016
© Вид-во, 2016
4
ЗМІСТ
ПЕРЕДМОВА.................................................................................................
5
РОЗДІЛ 1. ОПОРНІ КОНСПЕКТИ ЛЕКЦІЙ .........................................
6
Тема № 1: Метричний простір.............................................................
6
Тема № 2: Збіжність у метричних просторах……………………….
10
Тема № 3: Повні метричні простори…………………………………
12
Тема № 4: Принцип стислих відображень та його застосування…..
15
Тема № 5: Компактні множини у метричному просторі…..………
18
Тема № 6: Лінійний простір…………………………………………..
21
Тема № 7: Лінійний нормований простір……………………………
28
Тема №8: Лінійний простір зі скалярним добутком………………..
34
Тема № 9: Гільбертові простори……………………………………..
38
Тема № 10: Лінійні оператори. Неперервність та обмеженість……
41
Тема № 11: Обернені оператори……………………………………..
47
Тема № 12: Узагальнено-обернені оператори……………………….
52
Тема № 13: Спряжені та самоспряжені оператори………………….
55
Тема № 14: Компактні оператори……………………………………
58
Тема № 15: Власні значення та власні вектори……………………..
63
Тема № 16: Резольвентна множина та спектр……………………….
67
РОЗДІЛ 2.
СИСТЕМА
ПРОФЕСІЙНО
СПРЯМОВАНИХ
ЗАДАЧ.................................................................................................
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ………………………………...
ДОДАТКИ.......................................................................................................
70
80
5
ПЕРЕДМОВА
Навчальний посібник «Функціональний аналіз» призначено головним
чином студентам третього-п’ятого курсів педагогічних вишів, але може бути
корисним вчителям математики, які бажають поповнити свої теоретичні
знання з функціонального аналізу.
Основне призначення навчального посібника полягає в тому, щоб
допомогти студентам, які опрацьовують навчальний матеріал самостійно,
об’єктивно підвищити рівень знань із доволі складного розділу математики.
У теоретичному розділі посібника запропоновано опорні конспекти з
основних тем функціонального аналізу.
В
другому
розділі
посібника
наводиться
система
професійно
спрямованих задач, для розв’язання яких потрібна наполеглива і копітка
робота, бо при уявній простоті знайти правильний розв’язок видається не
таким легким завданням. Однак певний запас теоретичних знань із
функціонального аналізу, наведений в першому розділі, помітно полегшує
пошук правильної відповіді і успішне розв’язання задачі в цілому.
Працюючи над складанням навчального посібника, ми виходили з того,
що при освоєнні значних обсягів інформації студенти не завжди можуть
відокремити головне від другорядного. Тому запропоновані матеріали
повинні допомогти глибоко осмислити знання, що студенти почерпнули з
лекційного курсу, підручників, з інших джерел, у тому числі з теоретичного
розділу цього посібника. З цією метою відповіді на багато питань з
функціонального аналізу подано у формі положень, що охоплюють різні
сторони застосування функціонального аналізу, зокрема і при аналізі деяких
тем шкільного курсу математики.
Д.Є. Бобилєв
6
РОЗДІЛ 1. ОПОРНІ КОНСПЕКТИ ЛЕКЦІЙ
Тема № 1: Метричний простір
План лекції
1. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів.
2. Підпростір метричного простору.
3. Відкриті та замкнені множини метричного простору.
4. Всюди щільні множини та ніде не щільні множини метричного простору.
Література:
А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
1. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів
Метричним простором називається пара (Х, ρ), яка складається з
деякої множини (простору) Х елементів (точок) і відстані, тобто
однозначної, невід’ємної, дійсної функції ρ(х, у), визначеної для будь-яких х і
у з множини Х і підпорядкованої наступним трьом аксіомам:
1) ρ(х, у) = 0 тоді і тільки тоді, коли х = у;
2) ρ(х, у) = ρ(у, х) (аксіома симетрії);
3) ρ(х, z)≤ ρ(х, у) + ρ(у, z) (аксіома трикутника).
Сам метричний простір, тобто пару (Х, ρ) ми будемо позначати, як
правило, однією буквою:
R=(X, ρ)
Наведемо приклади метричних просторів.
1. Множина дійсних чисел з відстанню
ρ(х, у) = |x - y|
утворює метричний простір R1.
2. Множина впорядкованих систем з n дійсних чисел х=(х1, х2, …, хn) з
відстанню
7
ρ(х, у)=
n
 ( yk
k 1
 xk ) 2
(1.1)
називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором Rn.
3. Множина С [a, b] всіх неперервних дійсних функцій, визначених на
сегменті [a, b], з відстанню
( f , g) 
max |
a t b
g (t )  f (t ) |
(1.2)
також утворює метричний простір.
4. Позначимо через l 2 метричний простір, точками якого є всякі можливі
послідовності х=(х1, х2, …, хn,…) дійсних чисел, що задовольняють умову
 2
 xk
k 1
 ,
а відстань визначається формулою
 ( x, y ) 

 ( yk
k 1
 xk ) 2
(1.3)
5. Вкажемо ще один цікавий приклад метричного простору. Його елементами
є всякі можливі послідовності дійсних чисел х=(х1, х2, …, хn,…), такі, що

 |
k 1
xk | p  ,
де р ≥ 1 – деяке фіксоване число, а відстань визначається формулою
p

 ( х, у )    | y k  xk | 
 k 1

1
p
(1.4)
Цей метричний простір позначимо l p .
2. Підпростір метричного простору.
Нехай R  ( X ,  ) - метричний простір і М – будь-яка підмножина в Х.
Тоді М з тією ж функцією  ( x, y) , яку ми вважаємо визначеною для х і у з М,
теж представляють собою метричний простір; він називається підпростором
простору R.
3. Відкриті та замкнені множини метричного простору.
8
Множина М, що лежить в метричному просторі R, називається
замкненою, якщо вона збігається зі своїм замиканням: [M] = M. Інакше
кажучи, множина називається замкненою, якщо вона містить всі свої
граничні точки.
Приклади:
1) Усякий відрізок [a,b] числової прямої є замкнена множина.
2) Замкнена куля являє собою замкнену множину. Зокрема, у просторі C[a,b]
множина функцій f, що задовольняють умову | f (t ) | K , замкнена.
3) Який би не був метричний простір R, пуста множина  і R замкнені.
4) Всяка множина, що складається із скінченної кількості точок, замкнена.
Основні властивості замкнених множин можна сформулювати у вигляді
наступної теореми:
Теорема. Перетин будь-якої кількості і сума будь-якої скінченної
кількості замкнених множин є множини замкнені.
Точка х називається внутрішньою точкою множини М, якщо існує окіл
O (x) цієї точки, який повністю міститься в М.
Множина, всі точки якої внутрішні, називається відкритою.
Приклади:
1) Інтервал (a, b) числової прямої R1 є відкрита множина.
2) Відкрита куля B(a, r) в будь-якому метричному просторі R є відкрита
множина.
3) Множина неперервних функцій на [a,b], що задовольняють умові f(t)<g(t),
де g(t) – деяка фіксована неперервна функція, представляє собою відкриту
підмножину простору C[a,b].
Теорема. Для того, щоб множина М була відкритою, необхідно і
достатньо, щоб її доповнення R\M до всього простору було замкненим.
Теорема. Сума будь-якого (скінченного або нескінченного) числа і
перетин будь-якого скінченного числа відкритих множин є відкритими
множинами.
9
4. Всюди щільні множини та ніде не щільні множини метричного
простору.
Нехай А і В – дві множини в метричному просторі R. Множина А
називається щільною в В, якщо [ A]  B . Зокрема, множина А називається
всюди щільною (у просторі R), якщо її замикання [A] збігається з усім
простором R. Наприклад, множина раціональних чисел всюди щільна на
числовій прямій. Множина А називається ніде не щільною, якщо вона не
щільна ні в одній кулі, тобто в кожній кулі В  R міститься інша куля B , що
не має з А ні одної спільної точки.
Простори, в яких міститься зліченна всюди щільна множина, називають
сепарабельними.
Приклади.
1) На дійсній осі R1 – раціональні точки утворюють зліченну всюди щільну
множину.
2) У n-вимірному евклідовому просторі Rn і в просторах R1n , Rn сукупність векторів з раціональними координатами утворюють зліченну
всюди щільну множину.
3) У просторі С[a,b] – сукупність усіх многочленів з раціональними
коефіцієнтами утворюють злічену всюди щільну множину.
n є сепарабельними.
Тобто множини R1, R n , R n , R
1
10
Тема № 2: Збіжність у метричних просторах
План лекції
1. Означення збіжності послідовності у метричному просторі.
2. Властивості збіжних послідовностей.
3. Збіжність у просторі Rn.
4. Збіжність у просторі l2.
5. Збіжність у просторі С[a,b].
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. Л.А.Люстерник, В.І.Соболев. Короткий курс функціонального аналізу.М., Вища школа, 1982.
1. Означення збіжності послідовності у метричному просторі.
Нехай R – метричний простір і {xn} – послідовність, що належить йому.
Означення. Границею послідовності {xn} називається елемент x0єR,
якщо
lim  ( x
n 
і записується це так:
lim x
n 
n
n
, x 0 )  0.
 x 0 , або x n  x0 .
Послідовність, що має границю, називається збіжною. Послідовність,
що не має границі, називається розбіжною.
2. Властивості збіжних послідовностей.
Якщо послідовність збігається, то вона має єдину границю;
Якщо послідовність збігається, то вона фундаментальна;
Якщо послідовність {xn} збігається до елемента х0, то довільна її
підпослідовність { x n } також збігається до елемента х0.
k
11
Якщо послідовність {xn} збігається до х0, послідовність {уn} збігається
до у0, то
lim  ( x
n 
n
, y n )   ( x 0 , y 0 ).
3. Збіжність у просторі Rn.
Нехай послідовність
x ( k )  ( x1( k ) ,..., x n( k ) )
Означення. Послідовність
елемента
x ( 0 )  ( x1( 0 ) ,..., x n( 0 ) ) ,
Теорема
1.
якщо
x ( k )  ( x1( k ) ,..., x n( k ) )
lim x
k 
Збіжність
належить простору Rn.
за
(k )
i
збігається покоординатно до
 xi(0) для довільного i  1, n .
метрикою
простору
Rn
еквівалентна
покоординатній збіжності.
Твердження. Із збіжності за метрикою простору Rn випливає
покоординатна збіжність.
Теорема 2. Якщо а – гранична точка для множини Е, то з Е можна
виділити послідовність точок, що збігається до а.
Теорема 3. Якщо Е всюди щільна в М, то для будь-якої точки аєМ
знайдеться послідовність (хn) точок із Е, що збігається до а.
4. Збіжність у просторі l2.
Теорема. Із збіжності послідовності точок х(к) до точки х простору l 2
випливає покоординатна збіжність х(к) до х.
У просторі l 2 задана послідовність так званих координатних ортів:
en  (0,...,0,1,0,...)(n  N ).

n
Теорема. Послідовність координатних ортів утворює базис у просторі l 2
.
5. Збіжність у просторі С[a,b].
Теорема. Множина многочленів із простору С[a,b] не є ні замкненою, ні
відкритою.
12
Тема № 3: Повні метричні простори
План лекції
1. Означення фундаментальної послідовності.
2. Означення повного метричного простору.
3. Приклади повних та неповних метричних просторів.
4. Принцип вкладених куль.
5. Теорема Бера.
6. Поповнення метричного простору.
Література:
1. А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомін.
Елементи
теорії
функцій
і
функціонального аналізу. М.-Наука, 1968.
2. Л.А.Люстерник,
В.І.Соболев.
Короткий
курс
функціонального
аналізу.- М., Вища школа, 1982.
1. Означення фундаментальної послідовності.
Послідовність {xn } точок метричного простору R називається
фундаментальною, якщо вона задовольняє критерію Коші, тобто якщо для
будь-якого   0 існує таке число N  , що  ( xn , xn )   для всіх
n  N  , n  N  .
Із аксіоми трикутника безпосередньо випливає, що всяка збіжна
послідовність фундаментальна. Дійсно, якщо {xn } збігається до х, то для
даного   0 можна знайти таке число N  , що  ( xn , x ) 
 ( xn , x ) 

2

2
для всіх n   N  і
для всіх n  N  . Тоді  ( xn , xn )   ( xn , x)   ( xn , x)   для
будь-яких n  N  , n  N  .
2. Означення повного метричного простору.
13
Якщо у просторі R будь-яка фундаментальна послідовність збігається до
елемента з цього простору, то цей простір називається повним.
3. Приклади повних та неповних метричних просторів.
1) У просторі ізольованих точок фундаментальні лише стаціонарні
послідовності, тобто такі, в яких, починаючи з деякого номера,
повторюється весь час одна і та сама точка. Всяка така
послідовність, звичайно, збігається, тобто цей простір повний.
2) Простір R1 - сукупність дійсних чисел – повний, це відомо ще з
курсу аналізу.
3) Повнота евклідового простору Rn безпосередньо випливає із повноти
R1.
4) Простір C[a,b] повний.
5) Простір l2 повний.
6) Простір C2[a,b] не повний.
4. Принцип вкладених куль.
В аналізі широко використовується так звана лема про вкладені
відрізки. У теорії метричних просторі аналогічну роль відіграє наступна
теорема про вкладені кулі.
Теорема. Для того, щоб метричний простір R був повним, необхідно і
достатньо, щоб у ньому всяка послідовність вкладених одна в одну
замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.
5. Теорема Бера.
Повний метричний простір R не може бути представлений у вигляді
об’єднання зліченного числа ніде не щільних множин.
Зокрема, всякий повний метричний простір без ізольованих точок
незліченний. Дійсно, в такому просторі кожна множина, що містить лише
одну точку, ніде не щільна.
6. Поповнення метричного простору.
Якщо простір R не повний, то його завжди можна включити деяким
способом у повний простір.
14
Означення. Нехай R – метричний простір. Повний метричний простір
R* називається поповненням простору R, якщо:
1) R є підпростором простору R*;
2) R всюди щільний в R*, тобто [R]=R*;
(Тут [R] означає, звичайно, замикання простору R в R*).
Наприклад, простір усіх дійсних чисел є поповненням простору
раціональних чисел.
Теорема. Кожний метричний простір R має поповнення, і це поповнення
єдине з точністю до ізометрії, що залишає нерухомими точки із R.
15
Тема № 4: Принцип стискаючих відображень та його
застосування
План лекції
1. Означення оператора стиску. Неперервність оператора стиску.
Приклади.
2. Означення нерухомих точок оператора.
3. Теорема Банаха про нерухому точку (принцип стислих відображень).
4. Застосування принципу стискаючих відображень до розв'язування
систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
5.
Теореми
існування
і
єдиності
розв'язку
задачі
Коші
для
диференціального рівняння в банаховому просторі.
Література:
1. А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомін.
Елементи
теорії
функцій
і
функціонального аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Означення оператора стиску. Неперервність оператора стиску.
Приклади.
Нехай R – метричний простір. Відображення А простору R на себе
називаються стискаючим відображенням, або коротше, стисканням, якщо
існує таке число 0<α<1, що для будь-яких двох точок х,у є R виконується
нерівність
 ( Ax, Ay)  ( x, y )
(1.1)
Всяке стискаюче відображення неперервне. Дійсно, якщо x n  x , то в
наслідок (1.1) і Axn  Ax .
2. Означення нерухомих точок оператора.
16
Точка х називається нерухомою точкою відображення А, якщо Ах = х.
Інакше кажучи, нерухомі точки – це розв’язки рівняння Ах = х.
3. Теорема Банаха про нерухому точку (принцип стислих відображень).
Всяке стискаюче відображення, визначене в повному метричному
просторі R, має одну і лише одну нерухому точку.
4. Застосування принципу стислих відображень до розв'язування систем
лінійних алгебраїчних рівнянь.
Нехай Н – m-вимірний унітарний простір, у- заданий вектор в Н, а
ВєL(H). Для знаходження розв'язків рівняння
х-Вх=у
(4.1)
часто застосовується так званий метод простої ітерації. При цьому розв'язок
рівняння (4.1) відшукується як границя послідовності
x n 1  Bx n  y ,
n=0,1,…,
(4.2)
а початкове наближення х0 задане. Якщо x n  x при n   ( x n - розв'язок
(4.2), а х – розв'язок (4.1)), то кажуть, що метод простої ітерації збігається.
З точки зору принципу стислих відображень рівняння (4.1) слід
записати у вигляді х  Ф(х), де Ф( х)  Вх  у . При цьому
Ф( х)  Ф( х)  Вх  Вх  В х  х .
Якщо В  1, то оператор Ф є стислим і метод простих ітерацій збігається.
Теорема. Для збіжності методу простих ітерацій при будь-якому
початковому наближенні необхідно і достатньо, щоб усі власні значення
оператора В за модулем були менші за 1.
5. Теореми існування і єдиності розв'язку задачі Коші для диференціального
рівняння в банаховому просторі.
Принцип стислих відображень дає можливість просто довести різні
теореми про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для диференціальних
рівнянь.
Розглянемо диференціальне рівняння вигляду
17
dx
 F (t , x),
dt
(4.3)
де F(t,x) – нелінійний оператор від двох змінних: дійсної змінної t  0 і
змінної х дійсного банахового простору Х; значення F також лежать в Х. Для
рівняння (3) ставиться задача Коші, тобто задається початкова умова ( a  X )
x |t 0  a
(4)
Теорема 1. Нехай F(t,x) неперервний по t на [0,θ] при кожному
фіксованому х з
x  x0  r і при t  0,  і х таких, що
x  x0  r ,
задовольняє наступним умовам:
F (t , x)  c,
(5)
F (t , x1 )  F (t , x2 )  m x2  x1 .
(6)
Тоді на 0, 1 , де
r 1 
, ,
c m 
1  min  ,
(7)
існує єдиний розв'язок x(t) задачі Коші (3)-(4). При цьому на
0,1 
x(t )  x0  r .
Теорема 2. Нехай оператор F(t,x) неперервний по t на 0, 1  при
кожному фіксованому x  X і задовольняє умові Ліпшіца (6) при цих же
значеннях змінних. Тоді на 0, 1  існує єдиний розв'язок задачі Коші (3)-(4).
Розглянемо задачу Коші для лінійного диференціального рівняння в
банаховому просторі:
dx
 A(t ) x  y (t ), t  0,
dt
x(0)  a
(8)
Нехай y(t) i A(t) – відповідно абстрактна функція із значеннями в Х і
оператор-функція із L(X), неперервні на [0,).
Оскільки на кожному [0,θ] max A(t )  , то із теореми 2 випливає
існування і єдиність розв'язку задачі (8) на півосі [0,).
18
Тема № 5: Компактні множини у метричному просторі
План лекції
1. Означення компактної множини та компакта у метричному
просторі.
2. Теорема
Хаусдорфа
про
компактність
множини
у
повному
метричному просторі.
3. Критерій компактності в C[a,b]. Теорема Арцела.
Література:
1. А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомін.
Елементи
теорії
функцій
і
функціонального аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Означення компактної множини та компакта у метричному просторі.
Фундаментальну роль в аналізі відіграє наступний факт, відомий під
назвою леми Гейне – Бореля:
Із будь-якого покриття відрізка [a,b] числової прямої інтервалами
можна вибрати скінченне підпокриття.
Це твердження залишиться справедливим, якщо замість інтервалів
розглядати будь-які відкриті множини: із усякого відкритого покриття
відрізка [a,b] можна виділити скінченне підпокриття.
Топологічний простір Т називається компактним, якщо будь-яке його
відкрите покриття містить скінченне підпокриття.
Компактний
топологічний
простір,
який
задовольняє
аксіомі
відокремленості Хаусдорфа, називається компактом. Аксіома відокрмленості
Хаусдорфа говорить про те, що будь-яка точка і замкнена множина, яка цю
точку не містить, мають околи, що не перетинаються.
1. Теорема
Хаусдорфа
метричному просторі.
про
компактність
множини
у
повному
19
Множина Ψ банахового простору Х називається бікомпактною, якщо з
кожної послідовності xn    можна вибрати збіжну послідовність, границя
якої належить Ψ.
Усяка бікомпактна множина обмежена.
Теорема 1. Компактна множина в нормованому просторі бікомпактна
тоді і тільки тоді, коли вона замкнена.
Нехай Х – нормований простір і множина М  Х. Візьмемо ε>0.
Множина Мε називається ε – сіткою множини М, якщо для будь-якої точки
хєМ знайдеться точка хˆ  M  така, що x  xˆ   .
Теорема 2 (Хаусдорф). Множина М в нормованому просторі Х
компактна тоді і тільки тоді, коли для будь-якого ε>0 в Х існує скінчена εсітка.
Наслідок 1. Якщо для будь-якого ε>0 для множини М існує компактна εсітка в Х, то М компактна.
Наслідок 2. Компактна множина обмежена.
Наслідок 3. Всяка компактна множина сепарабельна.
3. Критерій компактності в C[a,b]. Теорема Арцела.
Множина М, яка лежить в деякому топологічному просторі Т,
називається передкомпактною (або компактним відносно Т), якщо її
замикання в Т компактне.
Сімейство Ф функцій φ, визначених на деякому відрізку [a,b],
називається рівномірно обмеженим, якщо існує таке число К, що
|  ( x) | K
для всіх х є [a,b] і всіх φ є Ф.
Сімейство Ф={ φ } називається рівностепенево неперервним, якщо для
кожного ε >0 знайдеться таке δ > 0, що
|  ( x1 )   ( x2 ) | 
для всіх х1 і х2 із [a,b] таких, що  ( x1 , x2 )   і для всіх φ є Ф.
20
Теорема Арцела. Для того, щоб сімейство Ф неперервних функцій,
визначених на [a,b], було передкомпактне в С[a,b], необхідно і достатньо,
щоб це сімейство було рівномірно обмежене і рівностепенево неперервне.
21
Тема № 6: Лінійний простір
План лекції
1. Означення лінійного простору. Приклади лінійних просторів
2. Лінійна залежність та незалежність елементів лінійного простору.
3. Підпростори. Приклади підпросторів
4. Факторпростір.
5. Означення лінійного функціонала. Геометричний зміст лінійного
функціонала.
Література:
1.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2.В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического анализа.М., Наука, 1968.
1. Визначення і приклади лінійних просторів.
Непорожня множина L елементів x, y, z, … називається лінійним, або
векторним, простором, якщо вона задовольняє наступним умовам:
I. Для будь-яких двох елементів x, y  L однозначно визначений третій
елемент z  L, який називаэться їхньою сумою і позначається x+y,
причому
1. x+y=y+x (комутативність),
2. x+(y+z)=(x+y)+z (асоціативність),
3. у L існує такий елемент 0, що x+0=x для всіх x  L (існування нуля),
4. для кожного x L існує такий елемент -х, що х+(-х)=0 (існування
протилежного елемента).
II. Для будь-якого числа а і будь-якого елемента x L визначений елемент
ах L (добуток елемента х на число а), причому
1. (x )  () x ,
22
1· х =х,
2.
3. (  )x  x  x ,
4. ( x  y)  x  y .
В залежності від того, який запас чисел (усі комплексні чи тільки дійсні)
використовується, дістаємо комплексні і дійсні лінійні простори. Всюди, де
не оговорене супротивне, наші побудови
будуть справджуватись як для
дійсних, так і для комплексних просторів.
Помітимо, що всякий комплексний лінійний простір можна розглядати
як деякий дійсний простір, якщо обмежитися в ньому множенням векторів на
дійсні числа.
Розглянемо деякі приклади лінійних просторів.
1. Пряма лінія R 1 , тобто сукупність дійсних чисел, зі звичайними
арифметичними операціями додавання і множення, є лінійним простіром.
2. Сукупність усіляких систем n дійсних чисел x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) , де
додавання і множення на число визначаються формулами
( x 1 , x 2 ,..., x n )  ( y 1 , y 2 ,..., y n )  ( x 1  y 1 , x 2  y 2 ,..., x n  y n ),
( x1 , x 2 ,..., x n )  (x1 , x 2 ,..., x n ),
також
є
лінійним простором.
Воно
називається
дійсним n-вимірним
арифметичним простором і позначається символом R n . Аналогічно,
комплексний n-вимірний арифметичний простір C n
визначається як
сукупність систем n комплексних чисел (із множенням на будь-які
комплексні числа).
3. Неперервні (дійсні чи комплексні) функції на деякому відрізку [a, b]
зі звичайними операціями додавання функцій і множення їх на числа
утворять лінійний простір C[a, b], що є одним з найважливіших для аналізу.
4.
Простір l 2 елементами якого є послідовності чисел (дійсних або
комплексних)
x  ( x1 , x 2 ,..., x n ,...),
що задовольняють умову
23


n 1
| x n |2  ,
з операціями
( x 1 , x 2 ,..., x n ,...)  ( y1 , y 2 ,..., y n ,...)  ( x 1  y1 , x 2  y 2, ..., x n  y n ,...),
( x 1 , x 2 ,..., x n ,...)  (x 1 , x 2 ,..., x n ,...),
є лінійним простором. Той факт, що сума двох послідовностей, що
задовольняють умові, також задовольняє цій же умові, випливає з
елементарної нерівності (1   2 ) 2  212  2 22 .
5. Послідовності, що збігаються до 0, з тими ж операціями додавання і
множення, також утворюють лінійний простір.
2.Лінійна залежність та незалежність елементів лінійного простору.
Елементи х, у, ...,  лінійного простору L називаються лінійно
залежними, якщо існують такі числа , , ..., не всі рівні нулю, що
х  у  ...    0
(2.1)
У протилежному випадку ці елементи називаються лінійно незалежними.
Інакше кажучи, елементи х, у, ...,  лінійно незалежні, якщо з рівності (2.1)
випливає, що ==...==0.
Нескінченна система елементів х,у, ... простору L називається лінійно
незалежною, якщо будь-яка її скінчена підсистема лінійно незалежна.
Якщо у просторі L можна знайти n лінійно незалежних елементів, а
будь-які n+1 елементів цього простору лінійно залежні, то кажуть, що
простір L має розмірність n. Якщо ж у L можна вказати систему з довільного
скінченого числа лінійно незалежних елементів, то кажуть, що простір L
нескінченновимірний. Базисом в n-вимірному просторі L називається будьяка система з n лінійно незалежних елементів.
24
3. Підпростори. Приклади підпросторів.
Непуста множина L1 лінійного простору L називається підпростором,
якщо вона сама є лінійним простором відносно визначених в L операцій
додавання і множення на число.
Інакше кажучи, L   L є підпростір, якщо з хєL , y  L  випливає, що
x  y  L  при будь-яких  і  .
У всякому лінійному просторі L існує підпростір, який складається з
одного нуля, - нульовий підпростір. З іншого боку, весь L можна розглядати
як власний підпростір. Підпростір, що відрізняється від L і містить хоча б
один ненульовий елемент, називається власним підпростором.
Наведемо приклади власних підпросторів.
1. Нехай L – який-небудь лінійний простір і х – деякий його ненульовий
елемент. Сукупність елементів х, де  пробігає всі числа (відповідно
комплексні або дійсні), утворю, очевидно, одновимірний підпростір.
Він є власним, якщо розмірність L більша від 1.
2. Розглянемо простір неперервних функцій С[a,b] і в ньому сукупність
усіх многочленів Р[a,b]. Зрозуміло, що многочлени утворюють в С[a,b]
підпростір (що має, як і всі С[a,b], нескінченну розмірність). В той же
час сам простір С[a,b] можна розглядати як підпростір більш широкого
простору всіх, неперервних і розривних функцій на [a,b].
3. Розглянемо простори l 2 , c0 , c, m і R  . Кожен з попередніх є власним
підпростором наступного.
Нехай x  - довільна непуста множина елементів лінійного простору L.
Тоді в L існує найменший підпростір, який містить x . Дійсно, хоча б один
підпростір, що містить x , в L існує: це весь L. Далі зрозуміло, що перетин
будь-якої множини
L  підпросторів є знову підпростір. Справді, якщо

L*   L і x, y  L* , то і x  y  L* при всіх  і  . Візьмемо тепер весь

25
підпростір, що містить систему векторів x , і розглянемо їх перетин. Це і
буде найменший підпростір, що містить систему x . Такий мінімальний
підпростір назвемо підпростором, породженим множиною x , або лінійною
оболонкою множини x . Позначатимемо цей підпростір L( x ).
4. Фактор-простір.
Нехай L – лінійний простір і L  - деякий його підпростір. Два елементи х
і у з L еквівалентні, якщо їх різниця х-у належить L  . Це відношення
рефлексивне, симетричне і транзитивне, тобто визначає розбиття усіх хєL на
класи. Клас еквівалентних елементів називається класом суміжності (по
підпростору L  ). Сукупність усіх таких класів назвемо фактор-простором L
по L  і позначатимемо L / L .
Кожен фактор-простір L / L (з тими ж операціями додавання і множення
на число) є лінійним простіром.
Якщо L – n-вимірний простір, а його підпростір L  має розмірність k, то
фактор-простір L / L має розмірність n-k.
Нехай L - довільний лінійний простір і L  - деякий його підпростір.
Розмірність фактор-простору L / L називається корозмірністю підпростору
L  в просторі L .
5. Означення лінійного функціонала. Геометричний зміст лінійного
функціонала.
Числову функцію f, визначену на деякому лінійному просторі L,
називатимемо функціоналом. Функціонал f називається адитивним, якщо
f(x+y)=f(x)+f(y) для всіх x,y є L;
він називається однорідним, якщо
f(  x)=  f(x) (  - довільне число).
Адитивний однорідний функціонал називається лінійним
функціоналом.
26
Функціонал f, визначений в комплексному лінійному просторі,
називається спряжено-однорідним, якщо f (x)   f ( x) , де   число,
комплексно спряжене  .
Наведемо приклади лінійних функціоналів.
1. Нехай
Rn
є n-вимірний арифметичний проостір з елементами
х  ( х1 ,..., х n ) і a  (a1 ,..., a n ) - довільний набір з n фіксованих чисел. Тоді
n
f ( x)   a i x i
i 1
- лінійний функціонал в R n . Вираз
n
f ( x)   a i x i
i 1
являє собою спряжено-лінійний функціонал в Cn.
Нехай f - деякий відмінний від тотожного нуля лінійний функціонал на
лінійному просторі L. Сукупність тих елементів х із L, які задовольняють
умові
f(x)=0,
представляє собою підпростір простору L – підпростір нулів або ядро
функціонала f. Дійсно, якщо f(x)=f(y)=0, то
f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)=0.
Цей підпростір позначається Ker f.
Підпростір Ker f має корозмірність 1. Підпростір Ker f визначає з точністю
до сталого множника лінійний функціонал, який перетворюється на ньому в
нуль.
Для всякого підпростору L1 можна вказати такий функціонал f, що Ker f
=L1. Достатньо вибрати довільний елемент x0  L і представити кожний
елемент x  L у вигляді x  x0  y . Таке представлення єдине. Поклавши
f(x)=α, отримаємо лінійний функціонал f, для якого Ker f =L1.
27
Нехай L1- якийсь підпростір корозмірності 1 в лінійному просторі L; тоді
всякий клас суміжності простору L по підпростору L1 називається
гіперплощиною, паралельною підпростору L1. Іншими словами,
гіперплощина М1, паралельна підпростору L1, - це множина, яка отримується
із L1 паралельним перенесенням на деякий вектор x0  L :
M   L  x0  { y : y  x  x0 , x  L} .
Між усіма нетривіальними лінійними функціоналами, визначеними на L, і
усіма гіперплощинами в L, що не проходять через початок координат існує
взаємно однозначна відповідність.
28
Тема № 7: Лінійний нормований простір
План лекції
1. Означення норми та лінійного нормованого простору; приклади
нормованих лінійних просторів. Простір Банаха.
2. Підпростір нормованого простору.
3. Неперервні лінійні функціонали у нормованому просторі.
4. Теорема Хана-Банаха.
Література:
1.
А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомін.
Елементи
теорії
функцій
і
функціонального аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Визначення норми та лінійного нормованого простору; приклади лінійних
нормованих просторів. Простір Банаха.
Лінійний простір Е називається нормованим простором, якщо кожному
числу x  E поставлено у відповідність невід’ємне число ||x|| (норма х) так,
що виконані наступні аксіоми:
1) ||x||  0, ||x||=0 тоді і тільки тоді, коли х=0;
2) x    x ;
3) x  y  x  y .
Таким чином, норма – це визначена усюди на Е невід’ємна функція із
властивостями 1)–3). Зауважимо, що аксіома 1) називається умовою
невиродженості норми, аксіома 2) – умовою однорідності норми, а аксіома 3)
– нерівністю трикутника. У випадку векторів аксіома 3) означає, що довжина
сторони в трикутника не перевищує суми довжин двох інших його сторін. Як
наслідок звідси маємо: довжина будь-якої сторони трикутника більша або
29
рівна різниці довжин двох інших його сторін. Відповідна нерівність для
норми має вигляд:
x y  x  y
.
Доведемо цю нерівність. По нерівності трикутника маємо:
x  ( x  y)  y  x  y  y ,
звідки x  y  x  y ; міняючи місцями x і y, одержимо
x y  y  x .
Обидві останні нерівності в сукупності дають нерівність 1).
У нормованому просторі можна увести відстань між будь-якими двома
його елементами за формулою
 ( x, y)  y  x .
Наведемо приклади деяких лінійних нормованих просторів.
1. Пряма лінія R 1 стає нормованим простором, якщо покласти x  x .
2. Якщо в дійсному
n  вимірному просторі
x  ( x1 ,...x n ) покласти
x 
n
x
k 1
2
k
,
то всі аксіоми норми будуть виконаними. Формула
 ( x, y)  x  y 
n
 (x
k 1
k
 yk ) 2
визначає в R n ту саму метрику, що розглядалась в R n .
В цьому просторі можна ввести норму
n
x 1   xk
k 1
і норму
x 0  max xk .
1 k  n
Rn
з елементами
30
Таким чином, метричні простори можна вважати узагальненнями
нормованих просторів.
Розглянемо в нормованому просторі Е множину
S r ( x0 )  {x  E : x  x 0  r} , де х0єЕ – фіксована точка, а r>0. Множина S r ( x 0 )
називається відкритим шаром з центром в х0, радіуса r. Аналогічно, множина
S r ( x 0 )  {x  E :|| x  x 0 || r}
називається замкненим шаром (з центром в х0, радіуса r). Множина
 r ( x0 )  {x  E :|| x  x0 || r}
називається сферою. Очевидно,
S r ( x0 )  S r ( x0 )   r ( x0 ) .
Приклад. Простір сm. Введемо в Rm норму
х
k
 max  i .
1i  m
Перевіримо аксіоми норми.
1) x k  0 - це очевидно. Нехай x  0 , тобто
max 
1 i  m
i
 0; але тоді всі  i  0 і
x  {0}im1  0.
2)  i     i , звідки витікає однорідність норми.
3)  i   i   i   i  max  i  max  i , тобто  i  i  x k  y k . Переходячи в
i
i
цій нерівності зліва до max по і, отримаємо нерівність трикутника.
Послідовність x n   X називається фундаментальною, якщо для будьякого >0 існує номер N=N() такий, що для будь-яких номерів n>N і будьяких натуральних р виконується нерівність x n  p  x n   .
Лема. Всяка послідовність, що збігається в Х, є фундаментальною.
Нормований простір називається повним, якщо в ньому всяка
фундаментальна послідовність збігається до елемента з цього простору.
31
Повний нормований простір називається банаховим простором. Наприклад,
простори R n ,l 2 , C[a,b] є банаховими.
2. Підпростір нормованого простору.
Замкнений лінійний многовид L в нормованому просторі Е називається
підпростором в Е.
Визначимо відстань  ( х, L) від точки х до підпростору L наступною
рівністю:
 ( x, L)  inf x  u .
uL
Нагадаємо, що якщо деяка множина  дійсних чисел обмежена знизу,
то існує таке число 0 таке, що
1)  0  х для будь-яких хє  (тобто 0-нижня межа  );
2) для будь-якого 1>0 існує х1є  таке, що х1<1 (тобто 0-найбільша
із нижніх меж  ).
При цьому 0 називається точною нижньою межею множини  і
позначається  0  inf  або  0  inf x .
x
3. Неперервні функціонали у нормованому просторі.
У нормованому просторі лінійний функціонал неперервний тоді і
тільки тоді, коли його значення на одиничному шарі обмежені у сукупності.
Наведемо приклади лінійних функціоналів у нормованому просторі.
1. Нехай Rn є n-мірний евклідовий простір і а – певний фіксований
вектор в ньому. Скалярний добуток
f(x)=(x,a),
32
де х пробігає всі Rn, представляє собою, очевидно, лінійний функціонал на
Rn. В силу нерівності Коші-Буняковського
| f ( x) || ( x, a) ||| x ||  || a ||;
(3.1)
тому цей функціонал обмежений, а значить, і неперервний на Rn. Із
нерівності (1) отримуємо, що
| f ( x) |
|| a || .
|| x ||
Оскільки права частина цієї нерівності не залежить від х, то
sup
| f ( x) |
|| a ||,
|| x ||
тобто || f |||| a || . Але покладемо х=а, отримаємо
| f (a) | (a, a) || a || 2 , тобто
| f (a) |
|| a || .
|| a ||
Тому ||f||=||a||.
5. Теорема Хана-Банаха.
Нехай Е – дійсний нормований простір, L – його підпростір і f0 –
обмежений лінійний функціонал на L. Цей лінійний функціонал може бути
продовжений до деякого лінійного функціонала f на всьому просторі Е без
збільшення норми, тобто так, що
|| f 0 || наL || f || наE .
Наслідок 1(перша теорема відокремленості). Нехай А і В – опуклі
множини в нормованому просторі Х, причому хоча б одна з них, скажімо А, є
опуклим тілом і його ядро не перетинається з В. Тоді існує ненульовий
неперервний лінійний функціонал, розділяючий А і В.
33
Наслідок 2 (друга теорема відокремленості). Нехай А – замкнена
множина в нормованому просторі Х і х0єХ – точка, що не належить А. Тоді
існує неперервний лінійний функціонал, строго розділяючий х 0 і А.
Наслідок 3(лема про анулятор). Для всякого (замкненого власного
підпростору L банахового простору Х існує ненульовий неперервний
функціонал f, рівний нулю на L).
Наслідок 4. Якщо х0- ненульовий елемент в нормованому просторі Х,
то існує такий неперервний лінійний функціонал f на Х, що ||f||=1 i f(x0)=||x0||.
34
Тема №8: Лінійний простір зі скалярним добутком
План лекції
1. Простір Евкліда.
2. Унітарні простори.
3. Ортогональність
елементів.
Ортогональні
та
ортонормовані
системи.
4. Приклади просторів зі скалярним добутком.
5. Процес ортогоналізації Шмідта.
Література:
1.
А.Н.Колмогоров,
С.В.Фомін.
Елементи
теорії
функцій
і
функціонального аналізу. М.-Наука, 1968.
2.В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Простір Евкліда.
Дійсний лінійний простір Е називаєтья евклідовим, якщо кожній парі
його елементів х і у поставлено у відповідність дійсне число, яке
позначається (х,у) і називається скалярним добутком, так що виконуються
наступні аксіоми:
1) ( х, х)  0 , ( х, х)  0 в тому і тільки в тому випадку, коли х=0;
2) (х, у)=(у, х);
3) (х, у )   ( х, у );
4) (х+у, z)=(х, z)+(y, z).
Всякий евклідовий простір можна перетворити на нормований,
визначивши на ньому норму за формулою
x  ( x, x) .
2. Унітарні простори.
35
Комплексний лінійний простір U називається унітарним, якщо кожній
парі його елементів х і у поставлено у відповідність комплексне число (х, у) –
скалярний добуток х на у – і якщо при цьому виконуються наступні умови:
1) ( х, х)  0 , ( х, х)  0 в тому і тільки в тому випадку, коли х=0;
2) (х, у)= ( у, х) ;
3) (х, у )   ( х, у );
5) (х+у, z)=(х, z)+(y, z).
Наведемо два елементарних наслідки, що спираються на аксіоми 1) – 4) і
властивості комплексних чисел.
Наслідок 1. В унітарному просторі ( х, у)   ( х, у) .
Наслідок 2. (x, y+z)=(x,y)+(x,z).
3. Ортогональність
елементів.
Ортогональні
та
ортонормовані
системи.
Нехай Е – простір зі скалярним добутком. Якщо (х, у)=0, то елементи х і
у називатимемо ортогональними і позначатимемо ху. Очевидно, нуль
простору Е ортогональний будь-якому елементу. Розглянемо в Е елементи
х1,х2,...,хm, усі не рівні нулю. Якщо (xk,xl)=0 при будь-яких k, l =1,2,…,m; kl,
то система елементів х1,х2,...,хm, називається ортогональною системою.
Теорема. Нехай х1,х2,...,хm – ортогональна система; тоді х1,х2,...,хm
лінійно незалежні.
4. Приклади просторів зі скалярним добутком.
1. Евклідовий простір Еm. Введемо в дійсному лінійному просторі Еm
скалярний добуток за формулою
m
( x, y )    k  k .
k 1
36
2. Простір l 2 .
У лінійному просторі дійсних послідовностей x   k 1 , y   k 1 , таких,
що


k 1
k 1
  k2  ,  k2  , введемо скалярний добуток за формулою

( x, y )    k  k .
k 1
5. Процес ортогоналізації Шмідта.
Будемо розглядати системи, що складаються з нескінченного числа
елементів простору Е (зі скалярним добутком), - {x k }k 1 або, коротше, {x k } .
Систему {x k } називатимемо лінійно незалежною, якщо при будь-якому
n=1,2,… система x1 , x 2 ,..., x n лінійно незалежна.
Систему {ek } будемо називати ортогональною, якщо всі ек0 і (еk,el)=0,
якщо k l. Систему { f k } називатимемо ортонормованою, якщо
( f k , f l )   kl ; k , l  1,2,...
Виявляється, за будь-якою лінійно незалежною системою {x k } можна
побудувати ортогональну систему {еk } , а також ортонормовану систему { f k }
за допомогою наступного процесу ортогоналізації Шмідта.
Покладемо е1=х1 і помітимо, що е10, так як система з одного елемента
х1 лінійно незалежна, як частина {x k } . Далі е2 шукаємо у вигляді е2  х2  21е1 ,
де скаляр  21 підберемо так, щоб було е2  е1 . Звідси 0  ( х2  21е1 , е1 ) , тобто
21  ( х2 , е1 ) /(е1 , е1 ) . Ітак, е2 знайдено, причому е20.
Далі, згідно методу математичної індукції, отримуємо наступне. Нехай
е1 ,..., еk 1 вже побудовані; ек шукаємо у вигляді
k 1
e k  x k    ki ei .
i 1
37
Скаляри  ki знаходимо з вимоги еk  еl ; l  1,2,..., k  1. Звідси  kl  ( х k , еl ) /(еl , еl ) .
При цьому ek  0 . Отже, ортогональна система {еk } побудована. Вважаючи
f k  ek / || ek || , отримуємо ортонормовану систему { f k } .
38
Тема № 9: Гільбертові простори
План лекції
1. Означення гільбертового простору.
2. Відстань від точки до замкненої опуклої множини.
3. Відстань від точки до підпростору.
4. Ортогональні доповнення.
5. Ряди Фур’є у гільбертовому просторі.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Означення гільбертового простору.
Простір зі скалярним добутком називається гільбертовим, якщо він
повний в нормі, породженій скалярним добутком. Гільбертові простори
звичайно позначають буквою Н.
Прикладами гільбертових просторів є простори R n , l2 , L2 (a, b) .
2. Відстань від точки до замкненої випуклої множини.
Нехай в гільбертовому просторі Н
задана множина М і точка хєН.
Визначимо відстань від точки х до
множини М за формулою
 ( x, M )  inf || x  u || .
uM
Лема. Якщо хєМ, то (х,М)=0. Якщо х М і М замкнена, то (х,М)>0
39
Теорема. Нехай М – замкнена випукла множина в гільбертовому
просторі Н і точка х М . Тоді існує єдиний елемент уєМ такий, що (див.
рис.)
 ( x, M ) || x  y || .
3. Відстань від точки до підпростору.
Із попередньої теореми маємо наступні наслідки.
Наслідок 1. Існує єдиний елемент уєL, що реалізує відстань від точки х
до підпростору L:  ( х, L) || x  y || .
Звідси витікає ще одна теорема.
Теорема. Нехай ||x-y||=(x,L); тоді x-y  L.
Наслідок 2. Нехай L – підпростір в
Н; тоді для будь-якого хєН
справджується розкладання (див. рис.)
x=y+z,
де yєL, z  L, причому це зображення
єдине.
4. Ортогональні доповнення.
Нехай L – лінійний многовид в Н. Сукупність всіх елементів з Н,
ортогональних до L, називається ортогональним доповненням до L і
позначається L.
Теорема 1. L - підпростір в Н.
Теорема 2. Нехай L – лінійний многовид в гільбертовому просторі Н. L
щільна в Н тоді і тільки тоді, коли L={0}.
5. Ряди Фур’є у гільбертовому просторі.
40
Нехай в нескінченновимірному просторі Е зі скалярним добутком дана
ортогональна система {k}, тобто k  0, k=1,2,…; (k, l)=0 при l  k . Ряд
виду


k 1
k
 k називається рядом по ортогональній системі {k}. Нехай хєЕ.
Числа c k 
( x,  k )
||  k || 2
, k=1,2,…, називаються коефіцієнтами Фур’є елемента х по
ортогональній системі {k}, а ряд

с 
k 1
k
k
називається рядом Фур’є (по
ортогональній системі {k}), складеним для елемента х (ряд Фур’є елемента
х). Многочлен
n
с 
k 1
k
k
- часткова сума ряду Фурьє – називається
многочленом Фур’є (елемента х).
Теорема Нехай {k} ортогональна у просторі зі скалярним добутком Е,
нехай Ln – підпростір, утворений елементами 1 ,  2 ,...,  n . Тоді
d n   ( x, Ln ), x  E , дається наступними формулами:
n
d n  x   ck  k ,
k 1
n
d n2 || x || 2  | c k | 2 ||  k || 2 ,
k 1
де ск, к=1,2,..., - коефіцієнти Фур’є елемента х по системі {k}.
Наслідок. Якщо m>n, то
m
n
k 1
k 1
x   ck  k  x   ck  k .
41
Тема № 10: Лінійні оператори. Неперервність та обмеженість
План лекції
1. Загальне означення оператора.
2. Взаємно однозначні оператори.
3. Суперпозиція (композиція) операторів.
4. Оператори в нормованих просторах. Границя та неперервність.
5. Означення лінійного оператора.
6. Неперервні лінійні оператори.
7. Обмежені лінійні оператори.
8. Еквівалентність
понять
лінійного
неперервного
та
лінійного
обмеженого операторів.
9. Приклади лінійних операторів у скінченновимірних просторах.
10.Приклади
лінійних
обмежених
операторів
у
просторах
послідовностей.
11.Інтегральні оператори у просторах функцій.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Загальне означення оператора.
Нехай Х і У – множини довільної природи. Нехай, далі, D  X , тобто в
Х виділено підмножину D. Якщо кожному елементу x  D ставиться у
відповідність певний елемент y  Y , то кажуть, що заданий оператор
y  F (x) . При цьому множина D називається областю визначення оператора
F і позначається D(F). Множина R=R(F)={yєY; y=F(x), xєD} називається
42
областю значень оператора F. Схематично дію оператора F можна зобразити
наступним чином:
F
X  D( F ) 
R( F )  Y .
Або коротко можна записати: F: X→Y.
2. Взаємно однозначні оператори.
Нехай F: X→Y. Фіксуємо y є R(F) і розглянемо множину всіх прообразів
елемента у, яка далі позначатиметься F-1(y). Очевидно, ця множина не
порожня. Дуже важливим є випадок, коли F-1(y) складається рівно з одного
елемента, який ми позначимо через х.
Оператор y=f(x) називається взаємно однозначним, якщо кожному
образу yєR(F) відповідає єдиний прообраз х= F-1(y). Якщо F взаємно
однозначний, то F-1: Y→X, який називається оберненим до F. Очевидно,
D( F 1 )  R( F ), R( F 1 )  D( F ) .
Оператор F-1 здійснює, таким чином, “обернену” відповідність.
3. Суперпозиція операторів.
Нехай дано множини X, Y, Z довільної природи і оператори
F c D( F )  X i R ( F )  Y
Ф c D(Ф)  У i R(Ф)  Z
Якщо R( F )  D(Ф) , то можна визначити оператор Ф від оператора F,
або, як часто кажуть, суперпозиція операторів F і Ф, тобто оператор
Z  Ф[ F ( x)] , який відображає D(F) в R(Ф) (тобто Ф[ F ( D( F ))]  R(Ф)) . Цей
оператор позначають іноді через Ф*F і називають добутком операторів Ф і F.
4. Оператори в нормованих просторах. Границя і неперервність.
Нехай Х і У – нормовані простори, і дано оператор F:X  Y такий, що
його область визначення D(F) містить окіл S ( x0 ) точки x0 , за виключенням,
можливо, самої точки x0 .
Елемент y 0  Y називається границею F(x) при x  x0 (записується
y0  lim F ( x ) або, коротше, F ( x)  y 0 при x  x0 ), якщо для будь-якого
x  x0
43
  0 можна вказати    ( )  0 таке, що для всіх x  S ( x0 ) , що
задовольняють нерівності x  x0   , маємо F ( x)  y0   .
Нехай дано оператор F:X  Y, визначений в околі точки x 0 . Оператор
F називається неперервним в точці x 0 , якщо F ( x)  F ( x0 ) при x  x0 .
Нехай F(x) – оператор з областю визначення D(F)  X і областю
значень R(F)  Y, де Х і У – нормовані простори. Оператор F будемо
називати обмеженим, якщо він переводить всяку обмежену в Х множину із
D(F) у множину, обмежену в У.
5.Означення лінійного оператора.
Нехай Х і У – лінійні простори, обидва дійсні або обидва комплексні.
Оператор А: Х→У з областю визначення D(А) називається лінійним,
якщо
1)
2)
D(А) – лінійний многовид;
A(1 x1  2 x2 )  1 A( x1 )  2 A( x2 )
для будь-яких x1 , x2  D і будь-яких скалярів 1 ,  2 .
Теорема. Область значень всякого лінійного оператора є лінійним
многовидом.
6.Неперервні лінійні оператори.
Нехай Х і У – нормовані простори і А: Х→У, А – лінійний оператор з
областю визначення D(А)=Х.
Оператор
Ax 0  Ax
при
А
називається
неперервним
в
точці
x0  X ,
якщо
x  x0 .
Теорема. Нехай лінійний оператор А повсюди заданий в банаховому
просторі Х і зі значеннями в банаховому просторі У неперервний в точці 0
 Х ; тоді А неперервний в будь-якій точці х0  Х .
7.Обмежені лінійні оператори.
44
Якщо Ах=0 для будь-якого хєХ, то оператор А називається нульовим
оператором і позначається 0.
Лінійний оператор А з D( A)  X , R( A)  X називається обмеженим,
якщо він обмежений на одиничному шарі S1 (0), тобто обмежена множина
{ Ax , x  1}.
Теорема 1. Оператор А обмежений тоді і тільки тоді, коли
справджується оцінка || Ax || c || x || для будь-яких хєХ, де с – стала.
Теорема 2. Нехай М  X і М – обмежена множина; тоді множина
|| Ax ||, x  M  обмежена.
Наслідок. Якщо А – обмежений лінійний оператор, то він обмежений на
будь-якому шарі S R ( x0 ) (х0єХ і R>0 - довільні).
8.Еквівалентність
понять
лінійного
неперервного
і
лінійного
обмеженого операторів.
Теорема. Нехай А: Х→У, А – лінійний оператор, Х,У – банахові
простори, D(A)=X. Для того, щоб А був неперервним, необхідно і достатньо,
щоб він був обмеженим.
9.Приклади лінійних операторів у скінченновимірних просторах.
Приклад 1. Оператор А розглядатимемо як оператор, діючий у просторі
Сm. Доведемо, що А обмежений. Маємо оцінку
m
m
j 1
j 1
| i |  | aij ||  j |   | aij || sup  j |  m || x || k .
j
m
 | aij | .
1 i  m j 1
Тому, || y || k   m || x || k , де  m  sup
Тоді || Ax || k   m || x || k . Згідно теоремі 1 п.7 оператор А обмежений.
)
Приклад 2. Нехай оператор А діє в l (m
p , р>1. Маємо наступну оцінку
45
m
p
m
|| Ax || p( m )    aij  j
l
i 1 j 1
p
p
m  m
q q
p
    aij 
x ( m) .


lp
i 1 j 1

p

q q
 m  m
p
Таким чином, || Ax || ( m)   m || x || l ( m) , де  m      aij 
p
lp

i 1 j 1

1
 p

 .


10. Приклади лінійних операторів у просторах послідовностей.
Формальний алгебраїчний вираз у=Ах, де х, у – стовпці нескінченного
порядку, може визначати при деяких обмеженнях на матрицю (аij) лінійні
оператори в нормованих просторах послідовностей.
1
 
 q
  , то А – лінійний обмежений
а) Якщо     | aij |q 
 i, j 1



оператор, що діє з l p в l q (p>1,
1 1
  1).
p q
p

q





б) Якщо       | aij | q 

i 1  j 1

1
 q

 , то А – лінійний обмежений



оператор, що діє в l p , p>1.
11. Інтегральні оператори в просторах функцій.
Інтегральний вираз   Кu , або
b
 ( x)   K ( x, s)u ( s)ds,
a
в якому функція K(x, s) є неперервною в квадраті [a,b]  [a,b], може
визначати різноманітні інтегральні оператори.
Розглядаючи К як оператор в С[a,b], отримаємо оцінку
b
 С[a, b]  max  K ( x, s) ds u C[a, b]
x[ a, b]
a
~
~
Аналогічно, якщо К діє з L p [a, b] в Lq [a, b] , то маємо (p>1, p-1+q-1=1)
46
1
q
b
b
|  ( x) |  K ( x, s)u ( s)ds    K ( xs ) q ds  u L~ [a, b] ,
p
a
a

звідки  ( x)
q
b
q
.
L [ a , b]
  | K ( x, s) |q ds u ~
a
~
Інтегруючи, отримуємо, що якщо u n  фундаментальна в L p [a, b] , то
~
 n  , де  n  Ku n , фундаментальна в Lq [a, b] .
Таким чином, К обмежений як лінійний оператор, діючий з L p [a, b] в
Lq [ a , b ] .
Аналогічно визначаються інтегральні оператори, що відповідають
інтегральному виразу
 ( x)   K ( x, s)u ( s)ds,
G
де G – обмежена кубовна в Rm область.
47
Тема № 11: Обернені оператори
План лекції
1. Обернені оператори в лінійних та в нормованих просторах. Множина
нулів N(A).
2. Приклади обернених операторів.
3. Існування (І-С)-1.
4. Існування (А-С)-1.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Обернені оператори в лінійних та в нормованих просторах. Множина
нулів N(A).
Нехай заданий оператор А:Х  У, де Х,У – лінійні простори, причому
його область визначення D( A)  X , а область значень R( A)  Y .
Введемо множину N ( A)  {x  D( A) : Ax  0} - множину нулів оператора
А. Множина N(A) не пуста, оскільки 0  N ( A) .
Теорема 1. Оператор А переводить D(A) в R(A) взаємно однозначно
тоді і тільки тоді, коли N ( A)  {0} (тобто множина нулів А складається лише з
елемента 0).
Теорема 2. Оператор A 1 існує і одночасно обмежаний на R(A) тоді і
тільки тоді, коли для деякої константи m  0 і будь-якого x  D(A)
виконується нерівність
Ax  m x
(1.1)
48
Означення. Лінійний оператор A : X  Y неперервно оборотний, якщо
R( A)  Y , оператор А оборотний і A 1  L(Y , X ) (тобто обмежений).
Теорема 3. Оператор А неперервно оборотний тоді і тільки тоді, коли
R( A)  Y і деякої константи m  0 і всіх x  D(A) виконується нерівність (1).
У випадку всюди визначеного і обмеженого оператора A L( X , Y ) має
місце теорема Банаха про обернений оператор.
Теорема Банаха. Якщо А – обмежений лінійний оператор, що
відображає взаємно однозначно банаховий простір Х на банаховий простір У,
то обернений оператор А 1 обмежений.
2. Приклади обернених операторів.
1) В лінійному просторі m-мірних стовпців Rm розглянемо лінійний
оператор y=Ax, який записуєтья в матричному вигляді
m
i   aij j , i  1,2,..., m
(2.1)
j 1
Нехай det(aij)0. Тоді за правилом Крамера систему (2.1) можна
розв’язати однозначно відносно змінних  1 ,...,  m і знайти обернений оператор
x=A-1y, причому А-1 задається оберненою до (aij) матрицею.
2) Розглянемо у просторі m обмежених числових послідовностей лінійний
оператор А, заданий нескінченою трикутною матрицею (aij):
 a11

 a 21
 ...

 ...
a
 n1
Нехай
ряди

| a
i 1

i1
|,
| a
i2
0
0
...
a 22
0
...
...
...
...
...
...
...
an2
... a nn

i2
|,...,  | a in |,...
0 ... 

0 ... 
... ...  .

... ... 
0 ... 
збігаються.
Тоді
оператор
А
i n
обмежений.
2) Задача Коші для лінійного диференціального рівняння n  го порядку.
Нехай функції y (t ) і a i (t ) , і=1,…, n, неперервні на [0, T ] . Розглянемо
диференціальне рівняння
49
Ax  x ( n ) (t )  a1 (t ) x ( n1) (t )  ...  an (t ) x(t )  y(t ) .
(2.2)
Знайдемо його розв’язок, який задовольняє початковим умовам
x(0)  x(0)  ...  x ( n1) (0)  0.
(2.3)
З операторної точки зору це означає наступне: область визначення D(A)
нехай складається з n разів неперервно диференційованих на [0, T ] функцій
x(t ) , що задовольняють умовам (2.3).
Нехай x1 (t ),..., x n (t ) - система з n лінійно незалежних розвя’зків
відповідного (2.2) однорідного рівняння (тобто (2.2) при y (t )  0 ). Складемо
визначник Вронського
W (t ) 
x1 (t )
x 2 (t )
...
...
x n (t )
x n (t )
...
...
...
.
x1( n 1) (t ) ... x n( n 1) (t )
Відомо, що W (t )  0 на [0, T ] . Згідно методу Лагранжа варіації
довільних сталих розв’язок задачі (2.2)-(2.3) відшукується у вигляді
x(t )  c1 (t ) x1 (t )  ...  c n (t ) x n (t ),
причому для визначення невідомих функцій ci (t ) виникає наступна система
рівнянь:
c1 (t ) x1 (t )  ...  c n (t ) x n (t )  0,
c1 (t ) x1 (t )  ...  c n (t ) x n (t )  0,
.............................................
ї
c1 (t ) x1( n 1) (t )  ...  c n (t ) x n( n 1) (t )  y (t )
Розв’язуючи її по правилу Крамера, знаходимо
ck (t ) 
 k (t )
y(t ), k  1,2,..., n ,
 (t )
де  k (t ) - алгебраїчне доповнення к-го елемента n-го рядка визначника W (t ) .
Враховуючи початкові умови (2.2), знаходимо розв’язок задачі (2.2)(2.3) в явному вигляді:
50
 k ( s)
y( s)ds
0  ( s)
t
n
x(t )   xk (t ) 
k 1
(2.4)
Цей розв’язок єдиний, що слідує із теореми існування і єдиності розв’язку
задачі Коші.
Із формули (2.4) випливає неперервна оборотність оператора А. Дійсно,
x
C 0 ,T 
c y
C [ 0 ,T ]
,
n
t
k 1
0
c  max  x k (t ) 
[ 0 ,T ]
 k (s)
ds.
 ( s)
3.Лівий та правий обернені оператори.
Нехай A  L(X,Y). Оператор U  L(У,Х) називатимемо правим оберненим
до А, якщо АU=ІY.
Нехай A  L(X,Y). Оператор VєL(У,Х) називатимемо лівим оберненим до
А, якщо VA=IX.
Тут через ІУ позначено тотожній оператор у просторі У, а через ІХ –
тотожній оператор у просторі Х. Надалі для правого оберненого до А
використовуватимемо позначення Ar1 , а для лівого -
Al1 .
Лема 1. Якщо існує правий обернений до А, то рівняння Ах=у має
розв’язок
х= Ar1 у.
Якщо існує лівий обернений до А, то рівняння Ах=у може мати не
більше одного розв’язку.
Лема 2. Нехай для оператора A  L(X,Y) існує Ar1 і
оператор А-1, обернений до А, і
1) А-1= Ar1 = Al1 ;
2) D(A-1)=Y,R(A-1)=X$
3) Правий обернений до А і лівий обернений до А єдині.
3. Існування (І-С)-1.
Al1 .
Тоді існує
51
Нехай Х – банаховий простір. Розглянемо банаховий простір L(X) –
простір лінійних, обмежених, всюди заданих операторів. Нехай І – тотожній
оператор в L(X). Очевидно, І- неперервно оборотний. Разом з І є неперервно
оборотніми всі оператори А S1 (I ) - одиничної кулі в L(X) , тобто всі такі А,
для яких справедлива нерівність ||A-I||<1. Для стислості покладемо С=А-І.
Теорема. Нехай СєL(X)
і ||C||<1; тоді оператор І-С неперервно
оборотний. При цьому спраедливі оцінки
( I  C ) 1 
1
,
1 C
I  ( I  C ) 1 
(3.1)
|| C ||
1 C
(3.2)
4. Існування (А-С)-1.
Лема. Нехай А1є L(X, У) і А2єL(Y, Z) неперервно оберотні. Тоді А2А1 є
L(Х, Z) неперервно оборотнім і виконується нерівність
( В  А) А 1  1 .
Тоді В неперервно оборотній і справджуються оцінки
В 1 
А 1
1  ( В  А) А
В 1  А 1 
1
,
А 1 ( В  А) А 1
1  ( В  А) А 1
52
Тема № 12: Узагальнено-обернені оператори
План лекції
1. Означення проекційного оператора.
2. Звідно-оборотні матриці.
3. Побудова жорданового ланцюга для матриці.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
3. В.І.Соболев.
Лекции
по
дополнительным
главам
математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Означення проекційного оператора.
Нехай Е – векторний простір розмірності n і вектори e1 ,..., en утворюють
його базис, тобто Е = e1 ,..., en . Припустимо, що Е1 – підпростір простору Е і
натягнуте на вектори e1 ,..., ek , де k<n. Тоді додатковим підпростором до
простору Е1 буде підпростір Е2={ek 1 ,..., en } . Будь-який оператор А, що діє у
просторі Е, визначається матрицею А=(aij) розмірності (nxn).
Квадратна матриця Р розмірності (nxn) називається проектором, якщо
вона задовольняє матричному рівнянню Р2= Р.
Із визначення випливає, що одинична і нульова матриці є проекторами.
Якщо Р1 проектор на Е1 тобто Р1Е=Е1, то Р2=І-Р1 теє є проектором,
причому Р2Е=Е2, Р1Р2=Р2Р1=0.
2. Звідно-оборотні матриці.
Розглянемо матрицю
 a11 ... a1n 
A   ... ... ... 
a

 n1 ... a nn 
Спряжена їй матриця має вигляд:
53
 a11 ... a n1 
A   ... ... ... 
a

 1n ... a nn 
Нехай
А·x=f
(2.1)
– лінійне рівняння в Е.
Сукупність всіх
f  E , які представляються у вигляді (2.1), хєЕ,
називається областю значень матриці А і позначається:
R( A)  { f : f  Ax, x  E}
Сукупність усіх u  E , для яких Аu=0, називається нуль-простором або
ядром матриці А і позначається:
N ( A)  {u : Au  0, u  E}
Якщо u  N (A) , то u – це правий власний вектор матриці А, відповідний
нульовому власному значенню.
Аналогічно визначається R(A*) для матриці А* для рівняння А*у=b.
Сукупність всіх g  E , для яих gA*  0 , називається нуль-простором
або ядром матриці А* і позначається:
N ( A* )  { : A  0,   E}
причому   N ( A* ) - лівий власний вектор матриці А, відповідний до
нульового власного значення.
Введемо базиси в N(A) i N(A*), тобто такі 1 ,..., r  і  1 ,..., r , що
r
u    i i ,
i 1
r
    i i
i 1
Теорема. Якщо N(A)= 1 ,..., r  і N(A*)=  1 ,..., r , ( k ,  i )   ki , то
матриця
r
r
i 1
i 1
P    i  i   ( i ,) i
є проекційною і виконуються наступні рівності
54
Ap  0, PA  0, Pf  f ,
f  N ( A), Pf  0,
f  R( A)
Матриця А:Е→Е називається звідно-оборотною, якщо весь простір Е
розкладається на пряму суму E  N ( A)  R( A) , де N(A) – ядро матриці А,
R(A)- множина значень А. Таким чином, матриця А, що фігурує в теоремі, є
звідно-оборотною.
Вектор   N (A) утворює жордановий ланцюг довжини k векторів
 0 ,..., k , якщо рівняння
A 0  0,
A1   0 ,
...
A k   k 1
(2.2)
мають розв’язки, а рівняння Ax   k розв’язків не має.
Аналогічно визначається жордановий ланцюг для спряженої матриці.
Функціонал   N ( A* )
утворює жордановий ланцюг довжини k
функціоналів  0 ,..., k , якщо рівняння
A* 0  0,
A* 1   0 ,
...
A* k   k 1
(2.3)
мають розв’язки, а рівняння A* y   k розв’язків не має.
Відносно матриці А, елементи ядра якої утворюють жорданові ланцюги
довжиною більше 1, існують два розкладання простору Е на пряму суму
E  N ( A)  M ( A)
E  R( A)  L( A),
(2.4)
де М(А) – пряме доповнення ядра N(A),
L(A) – прямк доповненння R(A).
Для квадратних матриць: dimN(A)=dimL(A), тобто dimL(A)=1, в силу
(2.4) L(A)={φk}.
Аналогічно для спряженої матриці.
55
Тема № 13: Спряжені та самоспряжені оператори
План лекції
1. Означення спряженого оператора.
2. Приклади спряжених операторів.
3. Самоспряжені оператори. Приклади.
4. Оператори ортогонального проектування.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Означення спряженого оператора.
Розглянемо неперервний лінійний оператор у=Ах, який відображає
лінійний топологічний простір Е в такий самий простір Е1,. Нехай g- лінійний
функціонал, визначений на Е1, тобто gєE1*. Застосуємо функціонал g до
елемента у=Ах; легко перевірити, що g(Ax) є неперервний лінійний
функціонал, визначений на Е; позначимо його f. Функціонал f є, таким
чином, елемент простору Е*. Кожному функціоналу gєE1* ми поставили у
відповідність функціонал fєE*, тобто отримали деякий оператор, що
відображає E1* в Е*. Цей оператор називається спряженим до оператора А і
позначається А*.
Позначивши значення функціонала f на елементі х символом (f, x),
отримаємо, що (g,Ax)=(f,x), або
(g, Ax)=(A*g, x).
Це співвідношення можна взяти як означення спряженого оператора.
2. Приклади спряжених операторів.
Спряжений оператор в скінченновимірному просторі. Нехай дійсний nвимірний простір Rn відображається у простір Rm (m- вимірний) оператором
56
А і нехай a ij
- матриця цього оператора. Відображення у=Ах можна
записати у вигляді системи рівностей
n
y i   a ij x j , i  1,2,..., m,
i 1
а функціонал f(х) – у вигляді
n
f ( x)   f j x j .
j 1
m
m
n
i 1
i 1 j 1
n
m
j 1
i 1
Із рівності f ( x)  g ( Ax)   g i y i   g i aij x j   x j  g i aij
Отримаємо, що
m
f i   g i a ij . Оскільки f=A*g, тоді звідси випливає, що
i 1
оператор А* задається матрицею, транспонованою по відношенню до
матриці оператора А.
3. Самоспряжені оператори. Приклади.
Обмежений лінійний оператор А, який діє в евклідовому просторі R,
називається самоспряженим, якщо А=А*, тобто якщо (Ах, у)=(х, Ау) для всіх
х, у єR.
Зазначимо наступні важливі властивості оператора А*, спряженого до
оператора
А.
Підпростір
R1
евклідового
простору
R
називається
інваріантним відносно оператора А, якщо із xєR1 випливає АxєR1. Якщо
підпростір R1 інваріантний відносно А, то його ортогональне доповнення R1
інваріантне відносно А*. Дійсно, якщо y R 1 , то для всіх x  R1 маємо
(х, А*у) = (Ах, у)=0,
оскільки АхєR1. Зокрема, якщо А – самоспряжений оператор, то
ортогональне доповнення до будь-якого його інваріантного підпростору само
інваріантне відносно А.
4. Оператор ортогонального проектування.
57
Розглянемо гільбертовий простір Н і в ньому деякий підпростір Н1.
Розклавши Н в пряму суму підпростору Н1 і його ортогонального
доповнення, тобто представимо кожний елемент hєH у вигляді
h=h1+h2 ( h1  H1 , h2  H1 ),
покладемо Рh=h1. Цей оператор називається оператором ортогонального
проектування, або ортопроектором Н на Н1. Ортопроектор лінійний і
неперервний.
58
Тема № 14: Компактні оператори
План лекції
1. Означення компактного оператора.
2. Множина σ (Х, У).
3. Властивості компактних операторів.
4. Теорема Шаудера.
5. Приклади компактних операторів.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Означення компактного оператора.
Оператор А, що відображає банаховий простір Е в себе (або інший
банаховий простір Е1), називається компактним, або цілком неперервним,
якщо він кожну обмежену множину відображає в компактну множину.
У
скінченновимірному
нормованому
просторі
всякий
лінійний
оператор компактний, оскільки він відображає будь-яку обмежену множину в
обмежену, а в скінченновимірному просторі всяка обмежена множина
передкомпактна.
2. Множина σ (Х, У).
Оператор A L( X , Y ) цілком неперервний, якщо замкнену одиничну
сферу простору Х він відображає в компактну множину простору У.
Теорема 1. Якщо A L( X , Y ) цілком
неперервний, то будь-яку
обмежену в Х множину він відображає у множину, компактну в У.
Множину всіх цілком неперервних операторів із L( X , Y ) будемо надалі
позначати через σ(Х, У).
Теорема 2. σ(Х, У) є підпростором в L( X , Y ) .
59
Теорема 3. Якщо Х і У скінченовимірні, то σ(Х, У)= L( X , Y ) .
Наслідок 1. Всякий лінійний функціонал fєX* цілком неперервний.
Наслідок 2. Якщо A 
lim An
n
(в метриці L( X , Y ) ), де Аn цілком
неперервні або скінченомірні, то А цілком неперервний.
3.Властивості компактних операторів.
Теорема 1.
Якщо { An } - послідовність компактних операторів у
банаховому просторі Е, яка збігається по нормі до деякого оператора А, то
оператор А теж компактний.
Теорема 2. Якщо А – компактний оператор, а В – обмежений, то
оператори АВ і ВА компактні.
Наслідок. У нескінченновимірному просторі Е компактний оператор не
може мати обмеженого оберненого.
Теорема 3. Оператор, спряжений до компактного, компактний.
4.Теорема Шаудера.
Нехай A L( X , Y ) , де У – повний. Оператор А цілком неперервний
тоді і тільки тоді, коли А* цілком неперервний.
5. Приклади компактних операторів.

1. Розглянемо в l 2 оператор A{ k }  { k }, де  k   a kl l , к=1,2,…, а a kl 
l 1
 
 akl
матриця, в якій
2
  . Оператор А такого типу називається
k 1l 1
матричним оператором Гільберта-Шмідта. Лінійність очевидна. Доведемо
обмеженість А.
Нехай y  { k }. Тоді за нерівністю Коші-Буняковського
y
2


 k
k 1
2

 
  a kl l
k 1 l 1
2





   a kl   s
k 1 l 1
2
s 1
2
  
    a kl
 k 1l 1
2
2
x .
60
 
Це означає, що Ax  c x , де c     a kl
 k 1l 1
2



1
2
. Тому, A  c . Ітак, А
обмежений, тобто A  L(l 2 ) .
Доведемо тепер, що А цілком неперервний. Позначимо через An
оператор, що переводить всякий вектор  k  на вектор (1 , 2 ,..., n ,0,0,...).
Область значень кожного з операторів An скінченновимірна. Тому оператори
An цілком неперервні. Оскільки
An  A
2



  akl
2
 0 при n  
k n1 l 1
(як залишок збіжного ряду), то оператор А цілком неперервний.
2. Нехай X  Y  С[a, b]. Розглянемо лінійний інтегральний оператор у=Кх,
що ставить у відповідність функції х функцію у за наступною формулою:
b
y (t )   K (t , s ) x( s )ds .
a
Припустимо, що функція K (t , s) (ядро інтегрального оператора К)
неперервна, як функція двох змінних в квадраті Q  a, b a, b . Нехай
M  max K (t , s) . Візьмемо в C[a, b] одиничну сферу
Q
S  {x  C[a, b] : x  1}.
Тоді
b
b
Kx  max  K (t , s) x( s)ds  max  K (t , s) x( s) ds  (b  a) M max x(t ) 
ta ,b  a
ta ,b  a
ta ,b 
 (b  a) M x  (b  a) M
Таким чином, функції множини KS рівномірно обмежені.
Доведемо тепер рівностепеневу неперервність функцій з KS , тоді
згідно з теоремою Арцела множина KS буде компактною і цим буде
61
доведена повна неперервність оператора К. Для будь-якої функції y(t )  KS
маємо
b
b
b
a
a
a
y (t1 )  y (t 2 )   K (t1 , s) x( s)ds   K (t 2 , s) x( s)ds    K (t1 , s)  K (t 2 , s) x( s) ds
Але тоді за нерівністю Коші-Буняковського отримуємо
b
2
2
b
b
2
2
y (t1 )  y (t 2 )   K (t1 , s)  K (t 2 , s) ds x(t ) ds  (b  a)  K (t1 , s)  K (t 2 , s) ds
a
a
a
Внаслідок рівномірної неперервності функції K (t , s) на Q для будьякого   0 знайдеться    ( ) таке, що для будь-яких t1 , t 2  [a, b] і будьякого s  [a, b] , як тільки t1  t 2   , відразу ж K (t1 , s)  K (t 2 , s)   . Але
тоді при t1  t 2   маємо y (t1 )  y (t 2 )  (b  a) 2  2 , звідки отримуємо
2
рівностепеневу неперервність множини KS .
Лема. Нехай х1, х2, ... лінійно незалежні вектори в нормованому
просторі Е і нехай Еn – підпростір, породжений векторами х1, х2, ..., хn. Тоді
існує послідовність векторів у1, у2, ... , яка задовольняє наступним умовам:
1) y n  1 ;
2)
yn  En ;
3)  ( y n , E n 1 )  1 2 ,
де  ( y n , En1 ) - відстань вектора yn від En-1, тобто
inf
xE n 1
yn  x .
1) Нехай А – неперервний лінійний оператор, що переводить банаховий
простір Е в деякий його скінченовимірний підпростір. Такий оператор
компактний, оскільки він переводить всяку обмежену підмножину М  Е в
обмежену
підмножину
скінченовимірного
простору,
тобто
передкомпактну множину.
Зокрема, в гільбертовому просторі оператор ортогонального
проектування на підпростір компактний в тому і лише в тому випадку,
якщо цей підпростір має скінчену розмірність.
в
62
2) У просторі неперервних функцій С[a,b] важливий клас компактних
операторів утворюють оператори, які представляються у вигляді:
b
Ax  y( s)   K ( s, t ) x(t )dt
(5.1)
a
Спраеджується наступне твердження.
Якщо функція K(s,t) обмежена на квадраті a  s  b, a  t  b і всі її точки
розриву лежать на скінченому числі кривих
t   k (s), k  1,2,..., n ,
де  k - неперервні функції, то формула (5.1) визначає у просторі С[a, b]
компактний оператор.
63
Тема № 15: Власні значення та власні вектори
лінійних операторів
План лекції
1. Означення власного значення та власного вектора лінійного оператора.
Приклади.
2. Основні властивості власних значень та власних векторів.
3. Власні
значення
та
власні
вектори
лінійних
операторів
в
скінченновимірних просторах.
4. Власні значення та власні вектори лінійних цілком неперервних
самоспряжених операторів.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1.
Означення
власного
значення
та
власного
вектора
лінійного
оператора. Приклади.
Нехай Х – лінійний простір і А – лінійний оператор, що діє в Х, з
областю визначення D(A).
Число  називається власним значенням оператора А, якщо існує
вектор х0, хєD(A), такий, що
Ах=х.
(1.1)
При цьому вектор х називається власним вектором оператора А, який
відповідає власному значенню .
Власні значення і власні вектори лінійних операторів відіграють
важливу роль в багатьох областях математики і її застосуванні, особливо в
64
математичній фізиці. Відмітимо, що не всякий лінійний оператор має власні
значення.
Приклад. В лінійному просторі R2 двовимірних дійсних стовпців
(тобто на площині) розглянемо лінійний оператор А, заданий матрицею
 1/ 2 1/ 2 


  1/ 2 1/ 2  .


Оператор А здійснює поворот площини на 450 навколо початку координат,
і геометрично зрозуміло, що він не має власних векторів.
2. Основні властивості власних значень та власних векторів.
Теорема. Власні вектори лінійного оператора, що відповідають різним
його власним значенням, лінійно незалежні.
3. Власні
значення
та
власні
вектори
лінійних
операторів
в
скінченновимірних просторах.
Нехай Х – m-вимірний лінійний простір і А – лінійний оператор
( D( A)  X ; R( A)  X ).
Фіксуємо в Х базис ek 1m . Нехай
m
Ae j   a ij ei ,
j  1,..., m
(3.1)
i 1
(розкладання образів базисних векторів за базисом). Матриця
a ij
m
називається матрицею А (в базисі ek ). Тепер для будь-якого x    j e j  X
j 1
маємо
m  m

Ax     a ij j ei
i 1  j 1

(3.2)
Тому рівняння Ах=х в координатах має вигляд (ij – символ Кронекера)
m
 aij j   i , або
j 1
m
 (a
j 1
ij
  ij ) j  0, i  1,..., m
(3.3)
Для того, щоб система (3.3) мала нетривіальний розв’язок, необхідно і
достатньо, щоб
det( a ij   ij )  0 .
(3.4)
65
Рівняння (3.4) називається характеристичним рівнянням і є рівнянням
n-го степеня відносно . Всі власні значення А і лише вони є коренями
характеристичного рівняння. У випадку комплексного Х характеристичне
рівняння має рівно m коренів з урахуванням їх кратності. Перейдемо до
визначення власних векторів. Нехай 0 – одне із власних значень А. Тоді
система (3.3) визначає власний лінійний многовид, що відповідає 0. Згідно з
вище розглянутою теоремою власні вектори, що відповідають різним
власним значенням, лінійно незалежні.
Нехай Х – лінійний многовид у Х, натягнутий на різні можливі власні
вектори А. В комплексному випадку
Хˆ  0.
Важливий випадок, коли Хˆ  Х ,
тобто із власних векторів оператора А можна набрати базис в Х. В цьому
випадку в базисі  f k 1m із власних векторів Af k   k f k , k  1,..., m,  k можуть
частково або всі збігатися, матриця оператора А діагональна і
m
Ax    i  i ei .
i 1
Нехай  - власне значення оператора А. Будемо говорити, що власний
вектор f=f(1), що відповідає , має жордановий ланцюжок довжини р, якщо
існують вектори f(2),…,f(p) (приєднані до f(1)) такі, що
Af (1)  f (1) ,
Af ( k )  f ( k )  f ( k 1) , k  2,..., p,
але рівняння Ах=х+f(p) не має розв’язків.
Нехай  - власне значення А. Лінійний многовид, що породжується
векторами власного підпростору, що відповідає А, і всіма можливими
приєднаними
до
них
векторами,
називається
кореневим
лінійним
многовидом оператора А, що відповідає .
Теорема (Жордан). У всякому комплексному скінченновимірному
лінійному просторі Х можна вибрати базис, що складається із власних і
приєднаних векторів будь-якого лінійного оператора.
66
4. Власні значення та власні вектори компактних операторів.
Нехай Н – гільбертовий простір і А – цілком неперервний самоспряжений
оператор в Н.
Теорема 1. Якщо А≠0, то А має принаймні одне власне значення,
відмінне від нуля.
Теорема 2. Усі власні значення лінійного самоспряженого цілком
неперервного оператора А дійсні і розміщені на [m, M], де
m  inf ( Ax, x), M  sup ( Ax, x).
|| x ||1
|| x ||1
Якщо М≠0, то М є найбільшим власним значенням А. Якщо m≠0, то m є
найменшим власним значенням А.
Наслідок 1. Якщо А – лінійний цілком неперервний самоспряжений
оператор, то ||A||=||λ1||, де λ1- найбільше за модулем власне значення А.
Наприклад, це справедливо для всякого самоспряженого оператора в
евклідовому (скінченновимірному гільбертовому) просторі.
Теорема 3 (Гільберта - Шмідта). Якщо А – цілком неперервний
самоспряжений оператор в Н, то при всякому хєН елемент Ах
розкладається у збіжний ряд Фур’є по ортонормованій системі власних
векторів оператора А.
Наслідок 2. Якщо цілком неперервний самоспряжений оператор А
оборотний, то з його власних векторів можна набрати базис в Н,
Наслідок 3. Якщо А – цілком неперервний самоспряжений оператор в
сепарабельному гільбертовому просторі Н, то в Н існує ортонормований
базис із власних векторів оператора А.
67
Тема № 16: Резольвентна множина та спектр
лінійного оператора
План лекції
1. Основні означення. Приклади.
2. Спектральний радіус лінійного оператора.
3. Резольвента як аналітична оператор-функція.
Література:
1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу. М.-Наука, 1968.
2. В.І.Соболев. Лекции по дополнительным главам математического
анализа.- М., Наука, 1968.
1. Основні означення. Приклади.
Нехай А – лінійний оператор в n – вимірному просторі Сn. Число λ
називається власним значенням оператора А, якщо рівняння
Ах=λх
має ненульові розв’язки. Сукупність всіх власних значень називається
спектром оператора А, а всі інші значення λ – регулярними. Інакше кажучи,
λ є регулярною точкою, якщо оператор А-λІ має обернений. При цьому (АλІ)-1 визначений на всьому Cn і, як усякий оператор в скінченновимірному
просторі, обмежений. Отже, у скінченновимірному просторі існують дві
можливості:
1) рівняння Ах=λх має ненульовий розв’язок, тобто λ є власне значення
для А; оператор (А-Іλ)-1 при цьому не існує;
2) існує обмежений оператор (А-Іλ)-1, визначений на всьому просторі,
тобто λ є регулярна точка.
Але якщо А – оператор, заданий у нескінченновимірному просторі Е, то
існує ще третя можливість, а саме:
68
3) оператор (А-Іλ)-1 існує, тобто рівняння Ах=λх має лише ненульовий
розв’язок, але цей оператор визначений не на всьому Е (і, можливо,
необмежений).
Число λ називається регулярним для оператора А, діючого в банаховому
просторі Е, якщо оператор Rλ=(А-Іλ)-1 існує і обмежений, називається
резольвентою оператора А, визначений на всьому Е і, тому обмежений.
Сукупність усіх таких значень λ називається спектром оператора А. Спектру
належать усі власні значення оператора А, так як якщо (А-Іλ)х=0 при
деякому х≠0, (А-Іλ)-1 не існує. Їх сукупність називається точковим спектром.
Інша частина спектру, тобто сукупність тих λ, для яких (А-Іλ)-1 існує, але
визначений не на всьому Е, називається неперервним спектром.
2. Спектральний радіус лінійного оператора.
Теорема 1. Якщо А – обмежений лінійний оператор в банаховому просторі
Е і |λ|>||A||, то λ – регулярна точка.
Дана теорема може бути уточнена наступним чином. Нехай
r  lim n || A n || ,
n 
тоді спектр оператора А цілком лежить в крузі радіуса r з центром в нулі.
Величина r називається спектральним радіусом оператора А.
Теорема 2. Нехай Ає L(X), де Х – комплексний банаховий простір. Якщо
r(A)<1, то оператор І-А неперервно оборотний і ряд

A
k
збігається
k 0
абсолютно. Якщо r(A)>1, то ряд

A
k
розбігається.
k 0
Теорема 3. Нехай Ає L(X), Х – комплексний банаховий простір. Якщо
||>r(A), то є (A).
3. Резольвента як аналітична оператор-функція.
Оператор-функція А() називається аналітичною в точці 0, якщо вона
зображується в деякому околі точки 0 степеневим рядом:

А( )   Ak (   0 ) k ,
k 0
69
що збігається (по нормі L(X)) в цьому околі.
Нехай А – лінійний оператор, діючий в Х, з щільною в Х областю
визначення D(A). Розглянемо при  є (А) резольвенту А:
R ( A)  ( A  I ) 1 .
Якщо  є (А), то

R ( A)  I  (   0 ) R0 ( A)

1

R0 ( A)   (   0 ) k Rk01 ( A)
(3.1)
k 0
1
збігається в крузі    0  R ( A) . Тому R(A) – аналітична функція  в
0
будь-якій точці є (А).
70
РОЗДІЛ 2. СИСТЕМА ПРОФЕСІЙНО СПРЯМОВАНИХ ЗАДАЧ
1.
Перевірити аксіоми метрики для простору ізольованих точок.
2.
Дано ( x, y ) =sin 2 |x – y|, x,y  R , чи буде ( x, y ) метрикою?
3.
Дано простір С[a,b]. Чи можна в ньому ввести відстань за формулою
( x, y ) = min |x(t) – y(t)|?
t
4.
Дано x  R , ( x, y ) =arctg|x – y|. Чи буде ( x, y ) метрикою?
5.
n
n
Перевірити аксіоми метрики для простору R0 , R1 , C 0 , C1 , C m .
6.
( x, y )  метрика. Довести, що ln( 1 ( x, y )) – також метрика.
7.
Дано, що ( x, y ) – метрика. Довести, що 1 ( x, y) 
( x, y)
також
1 ( x, y)
метрика.
8.
x
y
Дано: x  R,  ( x, y )  e  e . Перевірити аксіоми метрики.
9.
Дано
множину
диференційовних
функцій
x(t),
a
 ( x, y)   x(t )  y(t ) dt  max x(t )  y(t ) . Перевірити аксіоми метрики.
t
b
10.
Дано x R, ( x, y)  x  y . Перевірити виконання аксіом метрики.
11.
Дано
xR, ( x, y)  min{ 1, x  y }.
Перевірити
виконання
аксіом
метрики.
3
3
12.
Дано x  R, ( x, y )  x  y . Чи буде ( x, y ) метрикою?
13.
Дано x[0, ), ( x, y )  x  y . Чи буде ( x, y ) метрикою?
14.
Дано x l 2 , ( x, y )  
15.
Дано множину{0, , ,…,
2
2
xn  y n
. Чи буде ( x, y ) метрикою?
n
n1

1 2
2 3
n 1
,…}.
n
Знайти граничні точки, точки
дотику, межу та замикання даної множини.
71
16.
Побудувати щільну підмножину в просторі l 2 .
17.
Довести сепарабельність простору С[a,b].
18.
Довести, що з існування границі послідовності в довільному просторі
випливає її обмеженість у цьому просторі.
19.
 1 1
1


Дано множину 1, 2 , 3 ,..., n ,... . Знайти граничні точки, точки дотику та

замикання даної множини.
20.
Навести приклади скрізь щільних множин, побудувати щільну
підмножину в просторі l 2 .
n
21.
Довести сепарабельність простору R , C[ a,b] .
22.
Довести, що для того, щоб множина Е була відкрита, необхідно і
достатньо, щоб її доповнення до всього простору було замкнене.
23.
n
n
Довести, що збіжність за відстанню у просторах R0 , R1  рівносильна
збіжності за координатами.
24.
Довести, що послідовність, яка має границю в довільному просторі є
обмеженою.
25.
Довести, що з існування границі послідовності в довільному просторі
випливає її фундаментальність.
26.
n
n
n
Довести, що три метрики в просторах R0 , R1 , R еквівалентні між
собою.
27.
Записати околи точок у просторах R3, R2, R1, С[a,b] і зобразити їх на
рисунку.
28.
Побудувати абстрактну кулю більшого радіуса, яка міститься в
середині кулі меншого радіуса.
29.
Довести, що для того, щоб точка Х була граничною точкою необхідно і
достатньо, щоб існувала послідовність Хn яка б збігалася до Х.
30.
Дано М= sup {x}. Довести що М – гранична точка множини Е.
xE
72
31.
Довести,
що
послідовність

 nx  x 2  n 2 

U n ( x)  
2
2 


 x n

рівномірно
збігається до U(x)=1 на сегменті [0, 1] . Чи буде вона рівномірно
збігатися по всій числовій осі?
32.
Дослідити на рівномірну збіжність {x n } для x [0, 1] .
33.
Довести теорему Больцано-Вейєрштрасса в просторах R3, R2.
34.
Довести, що з рівномірної збіжності послідовності функцій {Х n (x)}
випливає її збіжність за відстанню в просторі C L . Чи справедливе
2
обернене твердження?
35.
Довести, що із збіжності послідовності за відстанню простору l 2
випливає
покоординатна
збіжність.
Чи
справедливе
обернене
твердження?
36.
Навести приклади відображень з простору R1 в R1; з R2 в R1; з С[a,b] в
R1; з С[a,b] в С[a,b] .
b
37.
Дано оператор Фредгольма
Ax(t )   K (t , s) x( s)ds , причому всі
a
функції, які тут фігурують неперервні на замкнених множинах.
Довести неперервність даного відображення.
38.
Чи буде неперервним відображення А простору C[0,1] в себе, що діє за
формулою Ax(t )  a(t ) x(t ) , де a(t ) – задана неперервна функція.
39.
Дана функція f ( x)  x  4 . Довести на мові “    ” неперервність
функції в точці х=5.
40.
Навести приклади відображень: R1 в R1; з Rn в R1; з Rn в Rn; з С[a,b] в R1;
з С[a,b] в С[a,b] ; з R1 в Rn.
41.
Довести за означенням на мові “    ” неперервність функції y  x 2 в
точці x0.
42.
Довести що функції у=х і у=sinx рівномірно неперервні на всій
числовій осі.
73
43.
Довести, що функція y 
1
неперервна на інтервалі (0, 1] , але не є
x
рівномірно неперервною на ньому.
44.
Навести
приклад
неперервного
відображення,
яке
не
є
гомеоморфізмом.
45.
Довести неперервність числової функції
 ( x, y )
в будь-якому
метричному просторі.
46.
Довести неперервність векторної функції
y  (1 (t ), 2 (t ),...,n (t ))
числового аргументу t, якщо координатні функції n (t ) неперервні.
47.
Довести неперервність відображення:
 y  x(t 0 ), x(t )  C[ a ,b] , t 0
– фіксована точка сегменту [a,b] .
b
 y   x(t )dt , x(t )  C[ a ,b ] .
a
 y  a1 x1  a 2 x 2  ...  a n x ,
де
x  x1 , x2 ,..., xn  – довільний
вектор,
a  (a1 , a2 ,..., an ) – фіксований вектор.
 y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 y  a x  a x  ...  a x  b
 2
21 1
22 2
2n n
2

– .................................................... ;
 y n  a1n x1  a2 n x2  ...  ann xn  bn
тут матриця коефіцієнтів ( a ij ) і стовпець вільних членів (bs),
(i=1,2,...,n) задані, ( x1 , x2 ,..., xn ) змінний довільний вектор x.
48.
Дано множину натуральних чисел ( x, y )  x  y . Довести, що даний
простір повний.
49.
Дано множину натуральних чисел N, ( m, n) 
даний простір не повний.
( m  n)
. Довести, що
mn
74
50.
Дано множину ірраціональних чисел I pp , ( x, y )  x  y . Дослідити
цей простір на повноту.
n
51.
Дослідити на повноту простір R1 .
52.
Довести повноту просторів R 1n , R 0n .
53.
Довести, що простір ізольованих точок повний.
54.
Дослідити на повноту C L , C L2 .
55.
Дано x (0,1), ( x, y )  x  y . Дослідити даний простір на повноту.
56.
Дано множину Q раціональних чисел, ( x, y )  x  y . Дослідити даний
простір на повноту.
57.
Дано множину
I pp числової осі,
( x, y )  x  y . Дослідити даний
простір на повноту.
58.
Дослідити на повноту сегмент [a, b] якщо ( x, y )  x  y .
59.
Довести, що підпростір функцій f(x), які належать простору С[a,b] і які
задовольняють умові A  f ( x)  B повний.
60.
Дано множину неперервних функцій, які мають неперервні похідні,
 ( f , g )  sup f ( x)  g ( x)  sup f ( x)  g ( x) .
причому
Довести,
що
даний простір повний.

61.
Дано метричний простір ( X ,) : x=(x1,x2,…,xn,…), сума  xk   ,
k 1

( x, y )   | xk  y k | . Довести, що простір повний.
k 1
62.
За допомогою теореми Банаха знайти кілька наближень розв’язку
рівняння x  4 x 10  0 на відрізку [1,2].
63.
Оператор А заданий співвідношеннями
y1 = 0,1x1 + 0,3x 2 - 0,2x 3 + 0,8;

- 1,2;
a. y 2 = 0,2x1 - 0,1x 2
y =
- 0,3x 2 + 0,2x 3 + 2,7.
 3
75
n
b. Перевірити виконання умов теореми Банаха в просторі R1 .
64.
Як оцінити похибку між n-тим наближенням xn розв’язку рівняння
Ax x та точним значенням х?
65.
Знайти кілька наближень розв’язку задачі Коші
y   y , y(0)=1, і
оцінити величину відрізка на якому розв’язок існує і єдиний.
66.
Вказати достатні умови, які забезпечують існування і єдиний корінь
рівняння F(x)=0.
67.
Довести, що коли функція f(x) однієї змінної має похідну f (x) ,
причому f ( x)  m 1, то відображення y=f(x) буде стискаючим.
68.
За допомогою теореми Банаха знайти кілька наближених розв’язків
рівнянь:
а) x3+x–20=0;
б) x=
1  cos x
, [0,1];
10
в) x=(x+1);
г) x=1–
1
, [0,4];
x2
д) x=x3–2, [1,2];
1
е) x=1+ arctg x;
2
є) x=
x  10 , [0,1];
ж) x2=sin x;
з) x2=ln(x+1);
і) x3=ex+2
69.
n
n
Вказати умови стиску у просторах R , R0 , R1 для розв’язання системи
n рівнянь з n невідомими вигляду:
76
70.
71.
 x1  a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 ,
x  a x  a x    a x  b ,
 2
21 1
22 2
2n n
2

...................................................

 x n  a n1 x1  a n1 x 2    a nn x n  bn .
Дано рівняння: a) y  =x–y 2 , y(0)=0;
б) y  =x 2 +y 2 , y(0)=1;
в) y  =xy, y(0)=1;
г) y  =y 2 +xy+x 2 , y(0)=1.
72.
Знайти кілька наближених розв’язків даних рівнянь і оцінити величину
відрізка на якому розв’язок існує і єдиний.
73.
Дослідити на компактність простір ізольованих точок.
74.
Довести, що сегмент [a, b] є компактним.
75.
Довести першу теорему Вейєрштрасса про обмеженість неперервної
числової
функції
на
компакті
використовуючи
властивості
компактності.
76.
Дослідити на копактність інтервал (0,1).
77.
Дослідити на копактність множину раціональних і ірраціональних
точок сегменту [0,1].
78.
Довести що замкнений одиничний квадрат з простору R2 є компакт.
79.
Довести, що всякий компакт є множина замкнена і обмежена.
80.
Довести, що перетин двох компактів є компакт.
81.
Довести, що об’єднання двох компактів є компакт.
82.
Довести першу і другу теореми Вейєрштрасса про властивості
числових функцій на компакті, використовуючи той факт, що компакт
є множина замкнена і обмежена.
83.
Розглянемо множину M mn усіх прямокутних матриць порядку m n із
скалярними елементами
77
 a11 a12... a1n 
a a
a 2n 
21
22
...
(a ij )  
,
 ................. 
 a m1a m 2... a mn 
Означимо в M mn операції
 b11b12...b1n 
b b b 
(bij )   21 22... 2n .
 ................. 
 bm1bm 2...bmn 
(aij )  (bij )  (aij  bij ),  (aij )  (aij )
Довести, що M mn є лінійний простір.
84.
Покладемо в нормованому просторі || x  y ||  ( x, y ). Перевірити
виконання аксіом так означеної метрики.
85.
Нехай E[ a ,b ] – лінійний простір усіх дійсних функцій, визначених на
сегменті [a, b]. Довести, що простір C[ a ,b ] – неперервних функцій на
сегменті [a, b]. є лінійним многовидом .
86.
У просторі C l означемо скалярний добуток за формулою
b
( x, y)   x(t ) y(t )dt. Перевірити виконання аксіом скалярного добутку.
a
87.
У просторі R
n
і C[a,b] операції додавання елементів і множення
елемента на число введені за формулами:
а) x  y  ( x1  y1 ,..., xn  y n ), x  (x1 ,..., xn );
б) x  y  x(t )  y (t ), y  x(t );
88.
n
Перевірити лінійність просторів R і C[a,b] .
89.
2
Покажіть, що в C[0,] функції 1, cos t , cos t лінійно незалежні, а
2
функції 1, cos 2t , cos t лінійно залежні.
90.
Довести, що простори C[ a ,b ] , l2 нескінченно вимірні.
91.
Покажіть, що множна всіх многочленів степеня не вищого за m є
(m + 1) - вимірним лінійним многовидом в C[a,b].
78
92.
Покажіть, що в C[ a,b] множина всіх функцій, які задовольняють
граничним умовам x(a)   , x(b)   , буде лінійним многовидом тоді і
тільки тоді, коли     0 .
93.
0
У просторах Rn , C[ a,b] , Cl норми елементів означені за формулами:
b
|| x || max | xi |;
x   x(t ) dt відповідно. Перевірити
|| x || max | x(t ) |;
a
виконання аксіом норми.
94.
Довести нерівність Коші-Буняковського в евклідовому просторі.
95.
У
просторі
l2
скалярний
добуток


k 1
k 1
означимо
за
формулою
( x, y )   x k y k . Доведіть, що ряд  x k y k – збіжний і виконується
аксіома скалярного добутку. Як виглядає в l 2 множина ортогональних
елементів.
96.
Розглянемо у просторі неперервних функцій на відрізку [a, b].
b
оператор, який визначається формулою (s)   k ( s, t )(t )dt , де k ( s, t ) –
a
деяка фіксована неперервна функція двох змінних. Довести лінійність
даного оператора.
97.
Показати, що оператор диференціювання
f (t )  f ' (t ) , який діє в
підпросторі неперервних функцій, є лінійним, але не є неперервним.
98.
Довести, що в просторі Rn будь-який лінійний функціонал може бути
n
поданий за формулою y   a k x k , де a  (a1 , a2 ...an ) – фіксований, а
k 1
x  ( x1 , x2 ... xn ) – довільний вектор.
99.
Знайти норму оператора, який діє з простору Rn в просторі R1 і який
n
визначається рівністю y  Ax   a k x k .
k 1
79
100. Довести, що коли лінійний оператор А неперервний в одній точці x 0
лінійного нормованого простору R, то він неперервний в R.
101. Довести, що будь-який обмежений лінійний оператор є неперервним.
102. Встановити загальний вигляд лінійного функціонала в просторі l 2 .
103. Дано функціонали
– Ax  x(t 0 ), x(t )  C[ a ,b ] , t 0 – фіксована точка із сегмента [a, b].
– Ax  x0 (t ) x(t ), x(t )  C[ a ,b ] , x0 (t ) – фіксована точка із сегмента C[a,b].
b
– Ax   x(t )dt , x(t )  C[ a ,b ]
a
n
– Ax  x, x  ( x1 ,..., x n )  R
104. Дослідити дані функціонали на лінійність, обмеженість і знайти їх
норми.
105. Чи буде лінійним оператор Ax  u  x(u ), 0  u  1 ?
106. Чи буде лінійним оператор Ax  u  x(0), 0  u  1 ? Чи буде він
неперервним оператором з C[0,1] в C[0,1] ?
80
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Березанський Ю. М. Функціональний аналіз [Текст]: підручник / Ю.
М. Березанський, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель; пер. з англ.: Т. С. Кудрик, О. Б.
Скасків; за наук. ред.: В. А. Михайлеця, О. Б. Скасківа. – Львів: І. Е. Чижиков
[вид.], 2014. – 558 с. – (Університетська бібліотека; т. 3).
2. Кадець В. М. Курс функціонального аналізу та теорії міри [Текст]:
підручник / В. М. Кадець; пер. з рос. Я. С. Магола, д-р фіз.-мат. наук І. Е.
Чижиков; за наук. ред. проф. О. Б. Скаскіна. – Львів: І. Е. Чижиков [вид.],
2012. – 589 с. – (Університетська бібліотека; т. 1).
3. Колмогоров А. М. Елементи теорії функцій і функціонального
аналізу [Текст]: підручник для студентів математичних спец. університетів /
А. М. Колмогоров, С. В. Фомін. – К.: Вища школа, 1974. – 455 с.
4. Маслюченко В. К. Лекції з функціонального аналізу [Текст] / В. К.
Маслюченко; Чернів. нац. ун-т ім. Ю. Федьковича. Ч. 1: Метричні і
нормовані простори. – Чернівці: ЧНУ, 2010. – 183 с.
5. Маслюченко В. К. Лекції з функціонального аналізу [Текст]: навч.
посіб. / В. К. Маслюченко; Чернів. нац. ун-т ім. Ю. Федьковича. Ч. 2: Лінійні
оператори і функціонали. – Чернівці: ЧНУ, 2010. – 191 с.
6. Старун І. І. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу
(теореми та задачі) [Текст]: [Посібник] / І.І.Старун; Ніжин. держ. ун-т ім.
М.В.Гоголя. – Ніжин: НДУ, 2005. – 95 с.
7. Федоров Е. Е. Курс лекций "Функциональный анализ" [Текст] / Е. Е.
Федоров, В. И. Пайков; Донец. нац. ун-т. – Донецк: Ноулидж. Донец. отдние, 2013. – 408 с.
81
Навчальне видання
Бобилєв Дмитро Євгенович
Функціональний аналіз
Навчальний посібник
Дизайн обкладинки Д. Бобилєв
Компютерне верстання Д. Бобилєв
Підп. до друку .05.2016.
Формат 60х84/16. Папір офс. Гарнітура Times New Roman Cyr. Друк офс.
Ум. друк. арк. Обл.-вид. арк.
Тираж 150 пр. Вид. №
Зам. №
Видавництво
Свідоцтво про внесення суб”єкта видавничої справи до Державного реєстру
ДК № від
Надруковано у друкарні