Шевкин А.В. Текстовые задачи. 7-11 классы

А.В. Шевкии
ТЕКСТОВЬIЕ
ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
7-11
классы
Москва
ИЛЕКСА
20 1 1
УДК 3 73 : 5 1
ББК 22. 1 2.72 1
Ш37
Шевкин А.В.
Текстовые задачи по математике. 7- 1 1 классы. - М. :
ИЛЕКСА, 20 1 1 . - 208 с . : ил.
Ш3 7
Эта книга - дополнительное учебное пособие по алгебре для
учащихся 7-11 классов. Интересный задачный материал дает новую
жизнь старой, незаслуженно забытой идее обобщения решений ари фме­
тических задач - связующему мостику между ари фметикой и алгеброй.
В книге рассмотрены задачи, начиная от простых и заканчивая конкур­
сными задачами прошлых лет.
Книга может быть использована на уроках алгебры, для подготовки к
итоговой аттестации (ГИА-9 и ЕГЭ-11), а также для самообразования.
УДК 3 73 : 5 1
ББК 22. 1 2 . 7 2 1
ISBN
978-5-89237-339-5
©
©
Шевкин А.В., 2011
ИЛЕКСА, 2011
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является дополнительным учебным пособием по алгебре
для учащихся 7- 1 1 классов. Содержание задачного материала в основ­
ном соответствует действующему стандарту по математике, все вопро­
сы, выходящие за рамки стандарта, подробно разъяснены.
В книгу включены задачи Л.Ф. Магницкого, Л. Эйлера, А.П. Ки­
селева, П .А. Ларичева, Я.И. Перельмана, Евклида, И. Ньютона, Леонар­
до Пизанского ( Фибоначчи), Э. Безу и др . , а также задачи школьных эк­
заменов для 9-х классов с углубленным изучением математики про­
шлых лет и государственной итоговой аттестации в 9 классе (ГИА-9),
конкурсных экзаменов в МГУ им. М.В. Ломоносова, Московский ин­
женерно-физический институт, Высшую школу экономики и другие
вузы страны, из единого государственного экзамена (ЕГЭ), а также за­
дачи, составленные автором сборника. Для конкурсных задач указаны
названия соответствующих вузов и год экзамена (список сокращений
приведен на с. 205).
Задачи из ЕГЭ приведены с указанием года - это задачи из де­
монстрационной версии, тренировочные задачи из сборников для
подготовки к ЕГЭ или задачи из контрольных работ, проверяющие го­
товность учащихся 1 0- 1 1 классов к ЕГЭ.
Чтобы от работы с книгой получить больше пользы, старайтесь ре­
шить каждую задачу, условие которой вы прочитали. Если не сможете
сразу найти решение, то подумайте, не торопитесь прочитать ответ - не
лишайте себя удовольствия найти его самостоятельно. Если через неко­
торое время вам все-таки не удастся решить задачу, то разберите ее ре­
шение по книге, с помощью товарищей или учителя. Постарайтесь по­
нять идею решения новой для себя задачи - возможно, она вам еще
пригодится. Тогда размышления над задачей, поиск ее решения обога­
тят ваш опыт, будут полезны для развития умения решать задачи.
Ко многим задачам в книге даны несколько способов решения в
основном тексте или в разделе «Ответы и советы». Для некоторых задач
3
приведены программы для их решения с помощью компьютера. Это по­
зволит найти интересное и более близкое к математике приложение
знаниям, получаемым на уроках информатики. При этом выбран про­
стейший, хотя теперь и редко применяемый, язык БЕЙ СИК. Цель этих
включений в книгу заключается в том, чтобы показать, как решение за­
дач в общем виде можно использовать для решения любой задачи дан­
ного типа. В книге имеются и другие интересные результаты, получен­
ные с помощью программ.
Если читателю покажется неинтересным разбираться в программах,
то без ущерба для дальнейшего понимания можно пропускать матери­
ал, связанный с ними, но на решение задач в общем виде стоит обратить
внимание. Это умение иногда проверялось на конкурсных экзаменах
прошлых лет, а также на ЕГЭ .
С благодарностью перечисляю учителей и учащихся, чьи решения
задач украсили эту книгу: Д. Алексеев, А.В. Дьячков, А. Ефремов,
Ю. Злотников, И. Кобзев, К. Марченко, Г . К. Муравив, Д. Проспи,
Ю.О. Пукас, В .И. Романовский, С. Чечин, П.В. Чулков. Особую благо­
дарность выражаю В.И. Гридасову и А. Б. Зыблеву за замечания и пред­
ложения, которые позволили улучшить книгу.
Первое издание книги вышло в издательстве «Просвещение» ( 1 997 г. ),
книга была рекомендована Министерством образования РФ. Во втором
издании (2003 г.) были сокращены технические подробности составле­
ния программ. В новом издании книги добавлено 1 50 задач и исправле­
ны замеченные опечатки.
Предложения
и
замечания
принимаются
по
адресу
vshevkin@
il.ru.
О
других
работах
автора
можно
узнать
по
адресу
a
ma
www .shevkin.ru.
4
Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их.
Дж.Пойа.
1.
ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ
(ссНА БАССЕЙНЫ»)
Рассмотрим несколько стандартных задач, которые можно решить
не только с конкретными числами, но и в общем виде. Это позволит ре­
шить целый класс однотипных задач, отличающихся лишь числовыми
данными, а также составить программы для решения любой задачи рас­
сматриваемого типа с помощью компьютера.
Вот три задачи одного типа с различными сюжетами.
1 . 1 . Через первую трубу бассейн наполняется за 20 ч, через
вторую - за 30 ч. За сколько часов бассейн наполнится через обе эти
трубы?
1.2. Первая бригада может выполнить задание за 20 дней, а вто­
рая - за 30 дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, рабо­
тая вместе?
1 .3. Первый пешеход может пройти расстояние между селами за
20 мин, а второй - за 30 мин. Однажды пешеходы одновременно от­
правились навстречу друг другу. Через сколько минут они встрети­
лись?
Каждую из этих задач можно решить по действиям:
1 ) 1 : 20 _!__.
20'
1
1
1
3)
20 30 1 2;
=
+ =
2 ) 1 : 30 _!__.
30'
1
1:
12·
12
=
4)
=
В каждой из них получится свой ответ: «За 1 2 Ч», «За 12 дней» или
«через 1 2 мин» - в зависимости от вопроса и от того, в каких единицах
измеряется время.
Сформулируем задачу «на бассейны» в общем виде.
1 .4. Через первую трубу бассейн наполняется за а ч, через
вторую - за Ь ч. За сколько часов бассейн наполнится через обе эти
трубы?
5
Решим задачу по действиям:
Ь = -;Ь1
а = а1 ;
.
3) ..!_а + Ь_!_ = ааЬ+ Ь; 4) 1 : ааЬ+ Ь = �
Ь
а
+
х
-а1 + Ь1-=-х1 ,
а, Ь их.
аЬ ·
х=-а +Ь
1) 1 :
-
2) 1 :
Если через ч обозначить время наполнения бассейна через обе трубы, то тот же результат можно получить, выразив из равенства
х
(1)
связывающего значения
Ответ к задаче выражается формулой
(2)
Составим программу для решения задачи 1.4 с помощью компьютера.
1
10
20
30
40
50
'ПРОГРАММА 1 . 4
INPUT "Введите а"; А
INPUT "Введите Ь"; В
Х=А*В/(А +В)
PRINT "Ответ: за"; Х
END
а = 30, Ь =
После запуска программы введем
20 и моментально по­
лучим
Ответ: за 1 2
Используя программу 1 .4, составленную п о формуле (2), можно ре­
шить несколько однотипных задач, отличающихся лишь числовыми
данными. При этом нужно следить, чтобы и выражались одинаковы­
ми единицами измерения. В тех же единицах будет выражен и ответ.
1 .5. Через первую трубу бассейн наполняется за 1 2 ч, через вто­
рую трубу - за 24 ч. За сколько часов бассейн наполнится через обе эти
трубы?
1 .6. Первая бригада может выполнить задание за
дней, а вто­
рая - за
дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, рабо­
тая вместе?
1 .7. Два велосипедиста одновременно отправились навстречу
друг другу из двух сел. Первый мог бы проехать расстояние между
аЬ
45
6
36
селами за 30 мин, второй - за 45 мин. Через сколько минут они встре­
тятся?
При случайном задании а и Ь может возникнуть ситуация, когда от­
вет не выражается конечной десятичной дробью. Например, для а = 4,
Ь = 2 вместо точного ответа программа дает приближенный: 1 ,3 3 3 3 3 3 .
Иногда этот недостаток программы можно «обойти», выразив время в
других единицах измерения.
Рассмотрим измененную в первой строке задачу С. Сатина (жур­
НШl «Крокодил», 1 990, № 34).
1 .8. За пять недель пират Ерема
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем?
Если ввести а= 5, Ь = 2 (в неделях), то, используя программу 1 .4, по­
лучим «Ответ: за 1 ,42857 1 » (недели). Если же ввести а = 3 5 , Ь = 1 4
( в днях), т о получим «Ответ: з а 1 0» (дней).
Задачу 1.8 можно решить без компьютера.
1
1
1 ) 1 : 35 = '
2) 1 : 1 4 = '
35
14
1
1
1
1
3)
4) 1 :
= l O.
;
35 1 4 1 0
10
А можно иначе.
Пусть пираты пьют ром 70 дней подряд (бедные пираты!) - число 70
это НОК ( 1 4, 1 0). За это время пират Ерема вьmьет 70 : 35= 2 (бочки ), а пи­
рат Емеля 70 : 14 = 5 (бочек). Вместе за 70 дней пираты выпьют 7 бочек
рома, значит, одну бочку они выпивают за 70 : 7 = 1 0 (дней).
Сформулируем новую задачу, будем в равенстве ( 1) по а и х искать Ь.
Получим задачу, обратную задаче 1.4.
В качестве примера рассмотрим задачу, которая, если отвлечься от
различия в действующих лицах, является обратной для задачи о пиратах.
1 .9. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703). Один человек
1
выпьет кадь пития за 1 4 дней, а с женою выпьет ту же кадь за 1 0 дней.
За сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь?
_.
+ =
-·
Кадь , кадушка - боч ка без верхней крышки .
7
Приведем ее решение из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (рис.
м�Ж'Ъ
С'& ЖfНОИ
..
14
10
1):
sblЧ'l'lt
IO
4
I
4IO
t
\Ь
j.�
1 1
I 4- О
�35
Рис. 1 .
Современному читателю это решение н е покажется понятным, н о в
нем можно найти действия:
и
свя­
занные со стандартным решением задачи 1.8, приведенным выше:
14- 10 = 4, 14 · 10 = 140 140 : 4 = 35,
14-10
1) _!_10 _!_=
14 10·14 =�;
140 2) 1 : 140�= 140 : 4 = 35.
14 · 10 = 140
14
10
140 : 4 = 35 14 - 10 = 4
_
Но старинное решение не было связано с дробями. Оно могло быть
таким. Пусть муж и жена пили питие (квас, например)
(дней). За это время они вместе выпили
бочек пития, а один муж бочек, значит, одна жена за то же время выпила
(бочки).
Тогда на одну бочку она тратила
(дней).
СформуЛJ1руем аналогичную задачу «на бассейны».
1.10. Бассейн наполняется через две трубы за х ч, а через одну и з них з а а ч . З а сколько часов наполнится бассейн через другую трубу?
Ее можно решить по действиям, как задачу 1.4, а можно из равенства
связывающего а, Ь и х, выразить Ь :
(1),
Ь
=�
а -х
.
Составим программу для решения задачи 1.10 с помощью компью­
тера и проверим ее работу с помощью числовых данных из задачи 1.9.
1
10
20
30
8
'ПРОГРАММА 1 . 1 0
/NPUT "Введите а"; А
/NPUT "Введите х"; Х
В=А *Х/(А-Х)
40 PRINT "Ответ: за"; В
50 END
При а = 1 4, х = 1 0 получим
Ответ: за 35
Рассмотрим еще несколько задач.
1 . 1 1 . Пешеход может пройти расстояние между двумя селами за 6 ч,
а велосипедист может проехать это расстояние за 3 ч. Через сколько ча­
сов они встретятся, если отправятся одновременно из этих сел навстре­
чу друг другу?
1.12. Первая бригада, работая отдельно, может выполнить задание
за 3 дня, а вместе со второй бригадой - за 2 дня. За сколько дней одна
вторая бригада может выполнить то же задание?
1.13. ЕГЭ, 201 0. Каждый из двух рабочих одинаковой квалифика­
ции может выполнить заказ за 1 5 ч. Через 5 ч после того, как один из них
приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабо­
чий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько
часов был выполнен весь заказ?
1.14. ЕГЭ, 201 1 . Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить
работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту ра­
боту первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую часть работы,
какую второй - за 3 дня?
Если за 2 дня первый рабочий выполняет такую часть работы, ка­
кую второй за 3 дня, то за 8 дней он выполняет такую часть работы, ка­
кую второй за 1 2 дней. То есть ту часть работы, которую второй рабо­
чий выполнил за 12 дней, первый рабочий мог бы выполнить за 8 дней.
Значит, первый рабочий, работая один, мог бы выполнить всю работу
за 1 2 + 8 = 20 (дней).
1.15. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить работу за
1 2 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу вто­
рой рабочий, если он за 3 дня выполняет такую часть работы, какую
первый - за 4 дня?
1.16. ГАУ, 1 993. Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали од­
новременно два автобуса, причем первt.1й, имея вдвое большую ско­
рость, проехал весь путь на 1 ч быстрее второго. На сколько минут
раньше произошла бы встреча этих автобусов, если бы скорость второ­
го автобуса увеличилась и стала равной скорости первого автобуса?
9
Увеличим число «действующих лиц» в задачах 1.4 и 1.10.
1.17. Старинная задача. (Армения, VII в.). В городе Афинах был во­
доем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить
водоем за ч, другая, более тонкая, - за ч, третья, еще более тонкая, за ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют
водоем.
1.18. Задача С.А. Рачинского (1833-1902). Пришли учителя про­
сить бумаги для своих школ, а у меня ее только стопа. Один говорит: ее
хватит мне на
дней, другой - на
дней, третий - на
дней. На
сколько времени этой стопы хватит на все школы?
1.1 9. Через первую трубу бассейн наполняется за а ч, через вторую
трубу - за Ь ч, через третью трубу - за с ч. За сколько часов бассейн
наполнится через три трубы при их совместной работе, если :
б) а=
Ь
с=
а) а=
Ь
с=
1
3
2
96
1
3
120 3
160
12, 1 = 20, 30?
21, = 24, 28 ;
1
За ч через первую трубу наполняется -, через вторую трубу - -, а
а
Ь
через третью трубу - .! бассейна. Тогда за ч через все три трубы напол­
1
с
1 1 а Ь с
1 (_!_а +Ь_!_ +_!)с
l
с
няется - +-+ б ассеина. ледовательно, б ассеин наполнится через
�
три трубы за
:
�
ч.
Подставив в полученную формулу известные значения
лучим ответы к заданиям а) и б).
а) При а=Ь
с= имеем:
21, = 24, 28 1
1 : ( 2\ + 2� +2 8 ) = 8 ;
а= 12, Ь 20, с= 30
1 : с� +210 +310 ) = 6
1 ( !+.!.+.!
)
а Ь с
а, Ь и с, по­
(ч )
б) При
=
имеем:
(ч).
З ам е ч а н и е . Выражение
аЬс
---аЬ+ас+Ьс
10
:
, но это усложнит вычисления.
можно записать :
1.20. Бак наполняют через три трубы: через первую трубу за а ч, че­
рез вторую трубу - за Ь ч, а через все три трубы - за х ч. За сколько ча­
сов бак наполнится только через третью трубу, если:
б) а= 9, Ь= 30, х= 5?
а) а= 1 2, Ь= 28, х= 6;
Связь между величинами а, Ь, с и х выражается равенством
1 1 1
1
-+-+-=- ,
а Ь с х
из которого получим формулы:
х=
аЬс
аЬ+ас+Ьс
(3)
с=
аЬх
аЬ-ах-Ьх
(4)
и
Если составить программы для решения задач 1 . 1 9 и 1 .20 по фор­
мулам (3) и (4), то с их помощью можно решить любые задачи на со­
вместную работу для трех работников. Но эти задачи не удается сфор­
мулировать для трех участников движения.
1.21. Старинная задача. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца - за три месяца. З� какое время лошадь, коза и овца
вместе съедят такой же воз сена?
1.22. Том может выполнить работу за 3 ч, Дик за 4 ч, а Гарри за 6 ч.
За какое время они могут выполнить эту работу, делая ее вместе (пред­
полагается при этом, что они не мешают друг другу)?
1 способ. За 1 ч Том может выполнить !, Дик_ .!_ , а Гарри -
работы, а вместе они за 1 ч выполнят
работу они выполнят за 1
:
1
3
1
4
1
3
-+-+-=4 6 4
3
! всей
6
(работы). Тогда всю
3 4
-=
- (ч), или за 1
ч 20 мин.
4 3
II способ (старинный). Пусть Том, Дик и Гарри выполняют работу
1 2 ч подряд . За это время Том выполнит 4 работы, Дик - 3 работы, а
Гарри - 2 работы. За 1 2 ч совместной работы мальчики выполнят 9 ра4
бот. Тогда на 1 работу они тратят 1 2 : 9 = - (ч ) или 1 ч 20 мин.
3
1.23. Из «Всеобщей арифметикw> И Ньютона (первое издание 1 707 г.) .
Трое рабочих могут вьшолнить некоторую работу, при этом А может вы-
11
полнигь ее один раз за 3 недели, В три раза за 8 недель, С пять раз за 1 2 не­
дель. Спрашивается, за какое время они смогут вьmолнить эту работу все
вместе. (Считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч.)
1.24. Старинная задача (XVII в.). Четыре человека хотят двор стро­
ить. Первый из них может построить в 1 год, второй может в 2 года, тре­
тий в 3 года, а четвертый в 4 года. За сколько лет они все вместе постро­
ят тот двор?
1.25. ЕГЭ, 2009. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя
и Лена могут вымыть это же окно за 1 5 мин, а Маша и Лена - за 1 2 мин.
За какое время девочки вымоют окно, работая втроем? Ответ дайте в
минутах.
Эту задачу старшеклассники обычно решают так.
Пусть производительности труда Маши, Насти и Лены (выражен­
ные в долях окна, вымытых за минуту) равны соответственно т, п и /.
1
1
1
Тогда верны равенства т + п = , п + l= -, т + l= -, следовательно,
15
12
20
1
1
1
1
1
2(m+n+l)= -+-+= , откуда т+п+l= -. Значит, одно окно при
20 1 5 1 2 5
10
-
-
совместной работе девочки вымоют за 1 :
_!_= 1 0 (мин).
10
Решите задачу без введения букв.
1.26. Алеша и Боря могут покрасить забор за 3 ч. Алеша и Вася мо­
гут покрасить тот же забор за 2 ч, а Боря и Вася - за 1 ,5 ч. За какое вре­
мя мальчики покрасят забор, работая втроем? Ответ дайте в минутах.
1.27. Том и Дик могут сделать работу за 2 ч, Том и Гарри сделают ту
же работу за 3 ч, Дик и Гарри - за 4 ч. Сколько времени понадобится
им, чтобы сделать эту работу втроем?
1 .28. Три землекопа подрядились вырыть котлован. Если заболеет
Иван, то двое сделают работу за 30 дней, если заболеет Петр, то за
1 5 дней, а если не придет Андрей, то за 1 2 дней. Вышел на работу один
Андрей. За сколько дней он управится?
Следующие задачи не относятся к задачам на совместную работу.
Тем не менее, их можно решить похожими рассуждениями с дробями.
1.29. ЕГЭ, 2009. У Алены есть мобильный телефон, заряда аккуму­
лятора которого хватает на 6 часов разговора или 2 1 О часов ожидания.
Когда Алена садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда
12
она выходила из на езда, телефон разрядился. Сколько времени она еха­
ла на поезде, если известно, что Алена говорила по телефону ровно по­
ловину времени поездки?
Пусть Алена 1 ч говорила по телефону и 1 ч телефон находился в режи1
1
6
�
ме ожидания. тогда за эти 2 ч израсходовано +
= заряда батареи6 2 1 0 35
6
35
�
ки. п оэтому полного заряда б атареики
хватит на 1 :
= таких пар ча35
6
35 35
сов, т о есть н а 2
= - (ч), или н а 1 1 ч 4 0 мин.
6
3
1.30. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной
лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наи­
большее расстояние он может отплыть по реке, чтобы топлива хватило
и на обратный путь? (Движение с выключенным мотором не рассмат­
ривается.)
1 .3 1 . Остап Бендер купил для «Антилопы-Гну» 4 новых колеса.
Передние колеса автомобиля изнашиваются через 1 2000 км пробега, а
задние - через 8 000 км пробега. Какой наибольший путь может прое­
хать «Антилопа-Гну», если Адам Козлевич догадается вовремя поме­
нять задние колеса с передними?
Мы рассмотрели задачи на совместную работу, решаемые арифме­
тически (без уравнений). Но тема не исчерпана, мы вернемся к ней еще
не раз, когда речь пойдет о применении уравнений или систем уравне­
ний при решении задач на совместную работу.
-
-
-
-
-
· -
13
2. ЗАДАЧИ НА
СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
Средней скоростью движения на некотором участке пути называют
постоянную скорость, с которой можно тот же участок пути пройти за то
же время. Например, если турист шел 3 ч со скоростью 5 км/ч и 2 ч со ско3 ·5 +2·4
ростью 4 км/ч, то средняя скорость движения равна
4,6 (км/ч ).
3 +2
Задачи, связанные со средней скоростью движения, встречаются не­
часто, но умение их решать, как мы увидим, иногда проверяется на
олимпиадах, на ЕГЭ и на конкурсных экзаменах в вузы. Эти задачи не
сложны для понимания, но при их решении часто допускают одну и ту
же ошибку: вычисляют среднюю скорость как среднее арифметическое
данных скоростей независимо от условия задачи.
2.1. Расстояние между двумя селами 1 8 км. Велосипедист ехал
из одного села в другое 2 ч, а возврашался по той же дороге 3 ч. Какова
средняя скорость движения велосипедиста на всем участке пути?
2.2. Расстояние между двумя пунктами 45 км. Мотоциклист про­
ехал это расстояние в одном направлении (в гору) со скоростью 40 км/ч,
а в другом направлении (с горы) со скоростью 60 км/ч. Какова средняя
скорость движения мотоциклиста на всем участке пути?
Задача 2.1 проста. Убедитесь, что средняя скорость движения вело­
сипедиста равна 7 ,2 км/ч. Но и задача 2.2 не намного сложнее, так как
нетрудно вычислить весь путь мотоциклиста и время, затраченное на
путь туда и обратно.
Рассмотрим более сложные задачи на вычисление средней скорости
движения.
2.3. Турист шел со скоростью 4 км/ч, пото м точно такое же время со
скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем
участке пути?
-
14
Пусть турист шел t ч со скоростью 4 км/ч и t ч со скоростью 5 км/ч.
Тогда за 21 ч он прошел 4t + 5 t = 9t (км). Средняя скорость движения ту9t
риста равна = 4,5 (км/ч ).
5t
Как видим, средняя скорость туриста оказалась равной среднему
арифметическому двух данных скоростей.
Покажем, что если время движения на двух участках пути одинако­
во, то средняя скорость движения равна среднему арифметическому
двух данных скоростей. Для этого решим ту же задачу в общем виде.
2.4. Турист шел со скоростью а км/ч, потом точно такое же вре­
мя со скоростью Ь км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на
всем участке пути?
Пусть турист шел t ч со скоростью а км/ч и столько же
t ч со ско­
ростью Ь км/ч. Тогда за 2J ч он прошел at + bt = (а + Ь )t (км ). Средняя
(a + b)t а + Ь
с8:орость движения туриста равна
(км/ч ).
=
2
2t
2.5. ЕГЭ, 2009. Половину времени, затраченного на дорогу, автомо­
биль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени - со ско­
ростью 46 км/ч. НаЩ\ите среднюю скорость автомобиля на протяжении
всего пути.
2.6. На пути из одного поселка в другой автомобиль некоторое вре­
мя шел со скоростью 60 км/ч, потом точно такое же время со скоростью
40 км/ч, потом точно такое же время со скоростью, равной средней ско­
рости движения на двух первых участках пути. Какова средняя ско­
рость движения на всем пути из одного поселка в другой?
2. 7. Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со ско­
ростью 42 км/ч, а с горы - со скоростью 56 км/ч. Какова средняя ско­
рость движения автомобиля на всем участке пути?
Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба конца автомобиль
-
-
--
проехал 2s км, затратив на весь путь
s
-
42
s
s
+ -=
(ч).
56 24
Средняя скорость движения равна 2s
-
s
: -=
48 (км/ч ).
24
2.8. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В порожняком со ско­
ростью 66 км/ч, а возвращался по той же дороге с грузом со скоростью
55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем участке пути.
Сформулируем ту же задачу в общем виде.
15
2.9. Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со ско­
ростью а км/ч, а с горы - со скоростью Ь км/ч. Какова средняя скорость
движения автомобиля на всем участке пути?
2 . 10. ЕГЭ, 2009. Велосипедист от дома до места работы едет со
средней скоростью 1 О км/ч, а обратно - со средней скоростью
1 5 км/ч , поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите сред­
нюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до мес­
та работы и обратно.
2.11. Дорога между двумя пунктами разделена на три участка рав­
ной длины. Автомобиль шел на первом участке со скоростью 60 км/ч,
на втором - со скоростью 40 км/ч, а на третьем - со скоростью, рав­
ной средней скорости движения на двух первых участках пути. Какова
средняя скорость движения на всем пути из одного пункта в другой?
Рассмотрим задачи, в которых средняя скорость задана, а одну ИfJ
скоростей нужно определить. Здесь потребуется применение ур�mw:­
ний.
2.12. В гору велосипедист ехал со скоростью 1 О км/ч, а с горы - с
некоторой другой постоянной скоростью. Как он подсчитал, средШ111
скорость движения оказалась равной 1 2 км/ч. С какой скоростью вело­
сипедист ехал с горы?
2.13. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В порожняком с постоян­
ной скоростью, а возврашался по той же дороге с грузом со скоростью
60 км/ч. С какой скоростью он ехал порожняком, если средняя скорость
движения оказалась равной 70 км/ч?
Сформулируем задачу в общем виде.
2.14. В одном направлении велосипедист проехал расстояние от А до
В со скоростью а км/ч, а в обратном - с другой постоянной скоростью.
С какой скоростью ехал велосипедист в обратном направлении, если
средняя скорость движения оказалась равной х км/ч?
2.15. Пятая Соросовская олимпиада, 1 998-99. Из одного города в дру­
гой выехала машина. Первую треть пути она ехала со скоростью 50 км/ч,
вторую треть - 60 км/ч, а последнюю - 70 км/ч. Чему равна средняя ско­
рость машины на всем пути?
2. 16. МГУ, филол. ф., 1 999. В течение двух часов пароход двигалс;я
по реке в тумане. После того как туман рассеялся, пароход вдвое увели­
чил свою скорость и плыл еще 6 ч. Какой длины путь проделал пароход
в тумане, если его средняя скорость за 8 ч плавания составила 14 км/ч?
16
З. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО РЕКЕ
Начнем с простой задачи.
3.1. Катер проходит некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по те­
чецщо реки - за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы про­
плыть такое же расстояние по течению реки?
1
Примем все расстояние за 1 , тогда за 1 ч катер проходит по течению -,
5
1
а по озеру - всего расстояния. При движении по течению он проходит
6
1 1
1
на - - - = - (расстояния) больше - это и есть та часть расстояния, на ко5 6 30
торую в час течение сносит все предметы, в том числе и катер, и плот. Зна­
чит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч.
Без пояснений решение задачи можно записать так:
1
1
1 ) 1 : 5= ;
2) 1 : 6 = ;
5
6
1
4) 1 : = 30·
3) 51 -61 = 1 ;
-
-
30
30
Объяснение решения упростится, если расстояние обозначить бук­
вой.
х
Пусть х км - данное расстояние, тогда - км/ч - скорость катера по
5
х
�
х
течению; - км/ч - скорость катера в стоячеи воде; 5
6
скорость течения; х :
х
30
=
-
х
- -
6
х
= - (км/ч) -
30
30 (ч ) - потребуется плоту, чтобы проплыть
такое же расстояние.
3.2. Расстояние между двумя пристанями по течению катер прохо­
дит за 8 ч, а плот - за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же
путь по озеру?
17
3.3. Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же
расстояние плот проплывает по реке за 1 2 ч. Сколько времени затратит
лодка на тот же путь :
а) по течению реки; б) против течения реки?
3.4. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А
и В по течению реки за 2 ч, а плот - за 8 ч. Какое время затратит мотор­
ная лодка на обратный путь?
3.5. Плот плывет по реке 40 ч от пункта А до пункта В , а катер - 4 ч.
Сколько часов от В до А плывет катер?
3.6. Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до
Киева - четверо суток (без остановок). Сколько времени от Киева до
Херсона будут плыть плоты?
1
Теплоход в сутки проходит по течению реки 1 : 3 = - (пути), а против
3
1
1
1
течения 1 : 4 = - (пути ). Вычтем - из -, полученная разность - это
4
4
3
1
1
удвоенная «скорость течения». Плоты за сутки проплывают - : 2 =
24
12
1
(пути ), значит, весь путь они проплывут за 1 :
= 24 (дня ).
24
Эту задачу, как и большинство задач данной серии, можно решить,
обозначив расстояние буквой.
Пусть х км - расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость теп-
-
-
х
х
лохода по течению - км/сут, против течения - км/сут.
3
4
1)
х
-
3
х
х
-- =-
4
12
(км/сут.) - удвоенная скорость течения ;
х
х
2) - : 2 = - (км/сут.) - скорость течения;
24
12
3) х :
х
= 24 (дня) - время движения плотов.
24
3.7. Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывет 5 суток, а
обратно - 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань
приплывут плоть�?
3.8. Расстояние между двумя пунктами пароход проходит вниз по
течению реки за 2 ч, а вверх по течению - за 3 ч. Сколько часов между
теми же пунктами плывет бревно?
18
-
Сформулируем задачу в общем виде.
3.9. Лодка от пункта А до пункта В плывет по течению а ч, а от В до
А
Ь ч. Сколько часов от А до В плывет бревно?
Решение задачи для конкретных значений а и Ь рассмотрено выше, а
2аЬ
решение задачи в общем виде приводит к формуле х = --.
Ь-а
Для решения задачи с любыми числовыми значениями а и Ь (а < Ь)
можно составить программу.
Составим две задачи, обратные задаче 3.9.
3.10. Теплоход от пункта А до пункта В по течению идет а дней, а
бревно от А до В плывет х дней. Сколько дней будет плыть теплоход от
В до А против течения?
3 . 1 1 . Теплоход от пункта В до пункта А против течения идет Ь дней,
а бревно от А до В плывет х дней. Сколько дней будет плыть теплоход
от А до В по течению?
Рассмотрим задачи иного рода, связанные с движением по реке.
3.12. Собственная скорость теплохода и км/ч, а скорость течения
v км/ч. Теплоход проплыл некоторое расстояние по течению, потом
точно такое же расстояние против течения. Вычислите среднюю ско­
рость движения на всем пути.
3.13. Пловец по течению быстрой реки пропльm 1 50 м. Когда же он
попльm против течения, то за такое же время его снесло течением на
50 м ниже по течению. Во сколько раз скорость течения реки больше
скорости пловца в стоячей воде?
На первый взгляд кажется, что в задачах 3.14-3.15 не хватает дан­
ных, но это только на первый взгляд. В них достаточно данных для по­
лучения ответа.
3.14. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то мо­
мент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 20 мин папа заме­
тил пропажу, быстро развернул лодку, и они поплыли вниз по течению
с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?
Если вам не удастся найти решение, то можно для начала решить за­
дачу с различными недостающими данными (собственная скорость
лодки и скорость течения реки).
3.15. Я греб вверх по течению реки и, проплывая под мостом, поте­
рял шляпу. Через 1 0 мин я это заметил, повернул обратно и с той же
собственной скоростью нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова ско­
рость течения реки?
-
-
19
4. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
В данном разделе рассматриваются задачи на проценты, для реше­
ния которых не требуется решать уравнений или неравенств. Но это не
означает, что здесь собраны простые задачи. Для решения некоторых из
них достаточно выполнить несколько арифметических действий, для
других - придется использовать буквы.
Сначала рассмотрим три весьма поучительные задачи.
4. 1. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох,
то стал содержать 98% воды. Какова теперь масса арбуза?
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это
только на первый взгляд! Масса «сухого вещества» в арбузе первона­
чально составляла 1 00 - 99 = 1 (%), или 20 0,0 1 = 0,2 (кг ) . После того,
как арбуз усох, масса «сухого вещества» составила 1 00 - 98 = 2 (%) от
новой массы арбуза. Тогда новая масса арбуза равна О,2 : 0,02 = l О (кг).
4.2. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес , но экологи
запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав :
«В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98%
всех деревьев». Какую часть леса планирует вырубить леспромхоз?
Если бы экологи лучше знали проценты, то директору леспромхоза
не удалось бы их так легко перехитрить. Если при рубке деревьев будут
рубить только сосны, то леспромхоз может вырубить половину леса
(см. решение предыдущей задачи). Если же будут рубить и другие
деревья, то леспромхоз может оставить в лесу 49 сосен и 1 березу - и в
этом случае директор леспромхоза не нарушит своего обещания, так
как 49 сосен составляют как раз 98% от 50-ти деревьев !
Следующая задача составлена по мотивам выступления на телеви­
дении крупного российского чиновника.
Ведущий программы спросил его :
- Как Вы ожидаете, какой будет через год квартплата, скажем, за
двухкомнатную квартиру в Нижнем Новгороде?
·
20
Чиновник не стал приводить конкретные цифры, он ответил <<В про­
центах»:
- Оплата жилья поднимется за год примерно на 1 5%. Сейчас насе­
ление оплачивает в среднем 3 5 % реальных расходов на содержание
жилья, а через год будет оплачивать уже 50%.
Итак, задача.
4.3. В 1 997 г. население страны оплачивало в среднем 3 5 % реальных
расходов на содержание жилья, а через год должно будет оплачивать
уже 50% этих расходов. На сколько процентов при этом должна была
увеличиться оплата жилья за год?
Как видно из задач 4.1 -4.3, с помощью процентов можно легко ввес­
ти в заблуждение человека, особенно если он плохо в них разбирается.
Не случайно в рекламе так часто используют проценты. Одно дело,
если обещают повысить пушистость ваших ресниц на 3 3 %, и совсем
другое дело, если обещают, что вы похудеете на 1 00%. Изучайте про­
центы и будьте бдительны!
4.4. ГА У, 1 994. На фирме работает 40 человек. Известно, что 25 из
них являются владельцами акций компании «Десна», а 27 - владельца­
ми акций компании «Дубна». Какая часть сотрудников фирмы (в про­
центах) владеет акциями обеих компаний, если каждый сотрудник яв­
ляется обладателем хотя бы одной акции?
4.5. Яблоки, содержащие 70% воды, при сушке потеряли 60% своей
массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
Для объяснения решения этой задачи воспользуемся графической
иллюстрацией (рис. 2). Масса воды составляла 70% массы яблок, 60 из
них испарилось, а 1 0 осталось. Теперь 1 0 частей воды приходится на
1 00 - 70 = 30 (частей) «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы
сушеных яблок. Масса воды составляет 1 О : 40= 0,25 или 25% массы суше­
ных яблок.
вода
70%
сухое вещество
30%
оста.1ось
40%
испарилось
60%
Рис. 2 .
21
Но можно поступить иначе. Пусть масса свежих яблок составляла
т кг. Масса воды в них составляла О,7т кг, а масса сухого вещества
т - О, ?т = О,3 т (кг) ; О,бт кг воды испарилось, тогда О, ?т - О,бт =
= О, 1 т (кг) - масса воды в сушеных яблоках, а масса сушеных яблок
равна т - О,бт = О,4т (кг). Следовательно, масса воды составляет
О' 1т· 1 00
= 25 (%) от массы сушеных яблок.
О,4т
4.6. Груши, содержащие 65% воды, при сушке потеряли 50% своей
массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
4.7. На коробке с вермишелью написано: «Масса нетто 500 г при
влажности 1 3%». Какова масса вермишели, если она хранится при
влажности 25%?
4.8. Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпари­
вают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30%
воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95%
воды?
4.9. Некто купил зимой акции по 50 р. за штуку. Летом стоимость ак­
ций поднялась до 90 р., а цены на товары за то же время увеличились в
среднем на 20%. На сколько процентов увеличилась покупательная
способность денег, вложенных в акции?
Условия следующих задач не слишком реальны, так как в них про­
цесс чистки картофеля рассматривается как равномерный, да еще с по­
стоянным процентом отходов. И все-таки попробуйте их решить.
4.10. Рядовой Иванов почистw� ведро картошки за 4 ч и у него 20%
всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начисти т такое же (по
весу) ведро картошки?
Обратите внимание на слова, выделенные в условии задачи курсивом.
4
� и ванов получает почистив ведро картошки, рядовои
ведра очищеннои
5
1
картошки, так как - ведра составляют отходы
5
4.1 1 . Рядовой Петров начистил ведро картошки за 4 ч и у него 20%
всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он почистит такое же
(по весу) ведро картошки:?
4.12. Рядовой Сидоров может почистить ведро картошки за 3 ч, а на­
чистит такое же (по весу) ведро картошки за 4 ч. Сколько процентов
картошки идет у него в очистки?
�
22
4.13. Рядовой Иванов может почистить котел картошки за 4 ч, а ря­
довой Петров - за ч. У рядового Иванова 1 0% картошки идет в очис­
тки, а у рядового Петрова - 1 5%. Однажды они взялись вместе чистить
котел картошки. Сколько процентов картошки уйдет в очистки при их
совместной работе?
Рассмотрим задачи, для решения которых требуется введение бук­
вы для обозначения вспомогательных неизвестных, :как это было сдела­
но при втором способе решения задачи 4.5. Найти значения этих вели­
чин не удастся, но это и не требуется, а ответ к задаче с их помощью
найти можно.
4.14. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная
сумма денег пролежала дома с зимы до лета. За это время цены на това­
ры выросли в среднем на 50%. На сколько процентов уменьшилась по­
купательная способность отложенных денег?
Пусть зимой наа р. можно бьшо купить одну единицу товара. Летом
этот товар стоил уже а + О,5а = 1 ,5а, т .е. летом на те же а р. можно было
2
2 1
=
купить а : 1 ,5а = (единицы) того же товара. Это меньше на 1
6
-3
-3 3
-
(единицы) товара, или на
33 3�%
-
меньше, чем зимой. Покупательная спо-
собность отложенных денег уменьшилась на
33-%.
3
1
4.15. ГАУ, 1 994. Гражданин Владимиров - владелец акции двух
компаний. Стоимость приобретенных им акций компании «Киржач»
вдвое превышает стоимость акций компании «Ока». На сколько про­
центов увеличится общая стоимость акций гр. Владимирова, если цена
акций компании «Киржач» увеличится на
а цена акций компании
«Ока» увеличится на
4.16. ГА У, 1 994. Гражданин Борисов - владелец акций двух компа­
ний. Стоимость приобретенных им акций компании «Яуза» в четыре
раза превышает стоимость акций компании «Дубна». На сколько про­
центов увеличится общая стоимость акций гр. Борисова, если цена ак­
ций компании «Дубна» увеличится на 50%, а цена акций компании
«Яуза» увеличится на 25%?
4.17. ГИА, 2009. На должность заведующего кафедрой претендовало
три кандидата: Климов, Лебедев, Мишин. Во время выборов за Мишина
60%?
30%,
23
было отдано в 4 раза меньше голосов, чем за Климова, а за Лебедева - в
1 , 5 раза больше, чем за Климова и Мишина вместе. Сколько процентов
голосов получил победитель?
Пусть за Мишина было отдано т голосов. Тогда за Климова было
отдано 4т голосов, а за Лебедева 1 , 5 (4т + т) = 7,5т голосов из
т + 4т + 7,5т = 1 2 ,5т голосов. Голоса победителя Лебедева (7,5т) со7 5т· 1 00%
ставляют
= 60% от всех голосов.
1 2,5т
4.18. ЕГЭ, 2009. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и
третьей скважинами относятся как 6 : 7 : 1 О . Планируется уменьшить
годовую добычу нефти из первой скважины на 1 0% и из второй - тоже
на 1 0%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти
из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год
нефти не изменился?
Пусть объемы ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей
скважин равны бk, 7 k и 1 Ok (одних и тех же единиц) соответственно.
Уменьшение годовой добычи нефти из первой и из второй скважин со­
ставит бk 0, 1 + ?k 0, 1 = 1 ,3k. Чтобы компенсировать эту потерю, на
третьей скважине надо увеличить добычу нефти на 1 ,3k единиц, что co1,3k 1 00%
ставит
= 1 3 01,-:0 .
1 0k
Итак, годовую добычу нефти из третьей скважины нужно увеличить
на 1 3%.
4.19. ЕГЭ, 2009. Объемы ежемесячной добычи газа на первом, вто­
ром и третьем месторождениях относятся как 3 : 8 : 1 3 . Планируется
уменьшить месячную добычу газа на первом месторождении на 1 3% и
на втором - тоже на 1 3% . На сколько процентов нужно увеличить ме­
сячную добычу газа на третьем месторождении, чтобы суммарный
объем добываемого за месяц газа не изменился?
4.20. ЕГЭ, 2009. Секретарю фирмы поручили разослать письма адре­
сатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, со­
держащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал пись­
ма по своей части списка за время, в 6 раз меньшее, чем помощник - по
своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сра­
зу отдать помощнику (взяв себе остальные), чтобы они, работая с пре·
'
·
·
·
24
жней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое
время?
Так как помощник разослал в 4 раза больше писем, чем секретарь, то
пусть секретарь разослал р писем, а помощник - 4р писем. Секретарь за­
тратил времени в 6 раз меньше, следовательно, если бы он проработал
столько же времени, сколько и помощник, то мог бы разослать бр писем.
Следовательно, отношение производительностей труда секретаря и по­
мощника равно бр : 4р = 3 : 2. Чтобы закончить работу одновременно, из
1 00 · 2
всех 1 00% списка адресатов помощнику надо отдать
= 40 (%) адре3 +2
сов.
4.2 1 . ЕГЭ, 2009. Три насоса, работая вместе, выкачивают из бассей­
на воду за 2 ч 5 мин. Производительности насосов относятся как 1 : 4 : 7 .
Сколько процентов объема бассейна будет выкачано з а 45 мин совмес­
тной работы первого и третьего насосов?
/способ. Пусть за 1 2 5 мин совместной работы первый, второй и тре­
тий насосы выкачали х, 4х и 7х л соответственно. Тогда объем бассейна
равен 1 2х л.
х · 45 9х
3а 45 мин работь1 первыи насос огкачает
= - (л) , третии - в 7 раз
25
125
72х · 1 00
63х
72х
больше: - л, а вместе - -- л. Это составляет
24 (%) объе25
25
25 · 1 2х
ма бассейна.
Решите задачу без введения букв.
4.22. ЕГЭ, 2009. Три насоса, работая вместе, заполняют бак кероси­
ном за 1 ч 40 мин. Производительности насосов относятся как 1 0 : 8 : 7 .
Сколько процентов объема бака будет заполнено за 2 ч совместной ра­
боты второго и третьего насосов?
4.23. МГУ, социол. ф., 2004. На факультете Х отличники составляют
1 0% от общего количества студентов этого факультета, на факультете У20%, а на факультете Z-лишь 4%. Найти средний процент отличников
по всем трем факультетам, если известно, что на факультете У учатся на
50% больше студентов, чем на факультете Х, а на факультете Z-вдвое
меньше, чем на факультете Х
Пусть на факультете Х учатся х студентов, тогда на факультетах У и
Z учатся 1 ,5х и О,5х студентов соответственно - всего Зх студентов.
--
�
�
--
-
25
Всего отличников бьшо О, 1х + 0,2 1 , 5 х + 0,04 0,5 х = О,42х, а искомая
0 42х · 1 00%
= 1 4%.
величина равна
3х
4.24. МГУ, социол. ф., 2004. На факультете Х отличники составляют
1 0% от общего количества студентов этого факультета, на факультете У 20%, а на факультете Z 40%. Известно, что на факультете У учатся в
полтора раза больше студентов, чем на факультете Х, а средний про­
цент отличников по всем факультетам составляет 20%. Какая доля всех
студентов учится на факультете Z?
Иногда для решения задачи приходится вводить две буквы для
обозначения неизвестных вспомогательных величин.
4.25. Купили конфеты и печенье. Цена 1 кг конфет на 50% больше,
чем цена 1 кг печенья, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что
заплатили меньше? На сколько процентов?
Пусть купили х кг печенья по у р. за один килограмм - всего на ху р.
Тогда конфет купили О,5х кг по 1 ,5у р. - всего на 0,75.ху р. За конфеты
заплатили на 0,25.ху р. меньше, или на 25% меньше, чем за печенье.
4.26. Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой
неделе запланировано продать того же товара на 1 0% меньше, но по
цене на 1 0% большей. Увеличится или уменьшится сумма выручки ма­
газина? На сколько процентов?
4.27. Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько про­
центов нужно увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь
не изменилась?
Пусть у прямоугольника длина была равна а, ширина Ь. После
4
уменьшения на 20% длина стала равна О,8а = - а. Чтобы площадь аЬ не
5
4
5
изменилась, нужно длину - а умножить на ширину- Ь = 1 , 25Ь, т.е. ши5
4
рину нужно увеличить на 2 5%.
4 . 2 8 . Картофель подешевел на 20%. На сколько процентов боль­
ше картофеля можно купить на ту же сумму денег?
4.29. На некотором участке пути машинист уменьшил скорость по­
езда на 25%. На сколько процентов увеличится время движения на этом
участке?
4.30. Производительность труда повысили на 25%. На сколько про­
центов уменьшилось время выполнения задания?
·
'
-
26
·
4.3 1. За некоторый промежуток времени цена доллара в рублях уве­
личилась на 25%. На сколько процентов при этом уменьшилась цена
рубля в долларах?
4.32. В понедельник рабочий перевыполнил дневное задание на
1 0%, а во вторник он перевыполнил такое же задание на 8%. На сколько
процентов он перевыполнил задание двух дней?
4.33. Если при повышении производительности труда рабочего на
25% повысить его зарплату на 20%, то это позволит снизить расход на
оплату труда в расчете на единицу продукции на 4%. Проверьте это.
Пусть за изготовление а деталей рабочий должен .получить Ь р. На
ь
1 деталь приходится - р. Повысив производительность труда на 25%,
а
рабочий сделал 1 ,25а деталей и получил за них 1 ,2Ь р. Теперь на 1 де1 2Ь
Ь
Ь
таль приходится - = 0,96 · - р. - это на 4% меньше, чем - р.
а
а
u�
4.34. Рабочий повысил производительность труда на 40%. При этом
его зарплата увеличилась на 26%. На сколько процентов уменьшился
расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?
4.35. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа дево­
чек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в
этом кружке?
Рассмотрим три способа решения этой задачи.
/ способ. Число мальчиков составляет 80% от числа девочек
( 1 00% ) . Определим, сколько процентов составляет 1 00% от 80%:
1 00 · 1 00
% = 1 25%.
80
// способ. Число мальчиков ( т ) составляет 80% от числа девочек (d),
значит, т = 0,8d. Откуда d = 1 ,25т, т.е. число девочек составляет 1 25%
от числа мальчиков.
/ //способ. На 1 О девочек приходится 8 мальчиков, число девочек со10
ставляет -, или 125 % от числа мальчиков.
8
4.36. Мальчики составляют 45% всех учащихся школы. Известно,
что 30% мальчиков и 40% девочек учатся без троек. Сколько процентов
всех учащихся школы учатся без троек?
4.37. В некотором царстве, в некотором государстве правительство
вынесло на всенародное голосование проект закона о запрете рекламы
'
27
спирrnых напитков. Этот проект поддержали 69'% всего взрослого насе­
ления, принявшего участие в голосовании. Причем «За>> проголосовало
94% женщин и 4 1 % мужчин. Кого среди голосовавших было больше мужчин или женщин? На сколько процентов?
4.38. За год число мальчиков в школе увеличилось на 5%, число де­
вочек уменьшилось на 4%, а общее число учащихся осталось прежним.
Кого было больше в прошлом году в школе - мальчиков или девочек?
На сколько процентов?
4.39. Число жителей областного центра за год увеличилось на 1 0%, а
число жителей области (без учета областного центра) уменьшилось на
1 %. Общее же число жителей областного центра и области за год не из­
менилось. Во сколько раз теперь число жителей областного центра
меньше числа жителей области?
4.40. Год назад число жителей областного центра бьшо в 8 раз меньше,
чем число жителей области (без учета областного центра), а теперь только в 7 раз. При этом за год общее число жителей областного центра
и области уменьшилось на 4%. На сколько процентов изменилось число
жителей областного центра и число жителей области?
Пусть год назад в областном центре проживало а жителей, а теперь
проживает Ь жителей. Тогда год назад в области проживало 8а жителей,
а теперь - 7 Ь жителей. По условию задачи за год общее число жителей
областного центра и области уменьшилось на 4%, т.е. Ь + 7Ь = 8Ь соста­
вило 96% от а + 8а = 9а. Тогда из равенства 8Ь = 0,96 9а получим, что
Ь = 1 ,08а. Этот результат означает, что за год число жителей областного
центра увеличилось на 8%.
Число жителей области теперь составляет 7Ь = 7 1 ,08а = 7,56а, что
8а - 7' 56а
�
1 00% = 5,5%. То есть число жителеи обменьше, чем 8а на
8а
ласти уменьшилось на 5,5%.
4.41. Число жителей областного центра увеличилось за год на 4%, а
число жителей области (без учета областного центра) уменьшилось на
3%. Общее число жителей областного центра и области за этот год
уменьшилось на 2%. Во сколько раз больше жителей бьшо в прошлом
году в области, чем в областном центре?
4.42. ЕГЭ, 2007. Магазин выставил на продажу товар с наценкой
40% от закупочной цены. После продажи О, 75 всего товара магазин сни·
·
·
28
зил назначенную цену на 40% и распродал оставшийся товар. Сколько
процентов от закупочной цены товара составила прибыль магазина?
4.43. В некотором царстве, в некотором государстве стоимость ал­
маза пропорциональна квадрату его массы. При огранке алмаза отколо­
лась некоторая его часть.
а) На сколько процентов уменьшилась суммарная стоимость кус­
ков, если алмаз раскололся пополам?
б) На сколько процентов уменьшилась стоимость алмаза, если отко1
лолась - алмаза?
10
в ) Какая часть алмаза откололась, если его стоимость уменьшилась
на 3 6%?
Рассмотрим решение задачи 4.43 (а). Пусть т
первоначальная
масса алмаза, а km2 - его первоначальная стоимость, где k - коэффи­
циент пропорциональности. Стоимость двух кусков составляет
-
k
( ; J ( ; J �2'
+k
-
или 50% от km2, то есть стоимость алмаза уменьшилась на 50%.
4.44. ЕГЭ, 201 О. Четыре рубашки дешевле куртки на 20%. На сколь­
ко процентов шесть рубашек дороже куртки?
Пусть стоимость куртки х р. Тогда четыре рубашки стоят О,8х р., а
шесть рубашек - О,8х : 4 6 = 1 ,2х (р.). Это на 200/о больше, чем х р. То
есть шесть рубашек дороже куртки на 20%.
4.45. ЕГЭ, 2008. Брюки дороже рубашки на 20% и дешевле пиджака
на 46%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Стоимость брюк сравнивают со стоимостью рубашки, поэтому
обозначим стоимость рубашки х р., тогда брюки стоят х + О,2х = 1 ,2х (р. ).
Далее стоимость брюк сравнивают со стоимостью пиджака, поэто­
му обозначим стоимость пиджака у р., тогда брюки стоят у - О,46у =
= О,54у (р. ). Стоимость брюк выражена двумя способами, поэтому
1 ,2х = О,54у, откуда получим, что х = О,45 у - стоимость рубашки со­
ставляет 45% от стоимости пиджака. Это означает, что рубашка дешев­
ле пиджака на 1 00% - 45% = 55%.
4.46. ЕГЭ, 2008. Брюки дороже рубашки на 25% и дешевле пиджака
на 20%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
·
29
4.47. ЕГЭ, 2009. В магазине костюм, состоящий из пиджака и брюк,
стоит на 20% дороже, чем такой же костюм на рынке, причем брюки
стоят на 30% дороже, чем на рынке, а пиджак- -- на 1 5%. Во сколько раз
на рынке брюки от этого костюма дешевле пиджака?
4.48. На острове Невезения всех граждан условно делят на 3 группы
по уровню их доходов. К первой группе относят богатых, ко второй граждан со средним доходом, к третьей - бедных граждан. Количества
граждан в этих группах относятся как 1 : 3 : 5, а доходы в расчете на од­
ного представителя группы - как 25 : 5 : 1 . Известно, что общий доход
всех граждан острова Невезения увеличился в этом году на 1 0% по
сравнению с прошлым годом. При этом доходы богатых граждан уве­
личились в среднем на 20%, а доходы бедных граждан уменьшились в
среднем на 1 0%. Определите по этим данным, как изменился за этот год
средний доход одного представителя средней группы?
Пусть в прошлом году в трех группах населения (по уровню дохода:
большой, средний и низкий) было х, 3х и 5х человек, а средний доход
одного человека составлял 25у, 5у и у (в денежных единицах острова
Невезения). Тогда общий доход этих групп населения составлял 25ху,
1 5.ху и 5ху денежных единиц.
В этом году доходы первой группы населения увеличились в сред­
нем на 20% и составили 30.ху денежных единиц, а доходы третьей груп­
пы населения уменьшились в среднем на 1 0% и составили 4,5.ху денеж­
ных единиц.
Общий доход всех граждан острова Невезения увеличился в этом
году на 1 0% по сравнению с прошлым годом и составил
1 , 1 (25.ху + 1 5.ху + 5.ху) = 49,5.ху (денежных единиц).
Теперь можно узнать доход средней группы в этом году: 49,5.ху - 30.ху - 4,5.ху = 1 5ху (денежных единиц). То есть доходы средней груп­
пы за год не изменились.
4.49. Один мастер оклеит комнату обоями за а ч, а другой - за Ь ч.
Если же они будут работать вместе, то производительность работы
каждого повысится на р% . За сколько часов они оклеят комнату, рабо­
тая вместе, если:
а) а = 6, Ь 4, р = 20; б) а = 3, Ь = 7, р = 40?
=
30
1
l
п ервыи мастер оклеивает -, второи - комнаты в час. производительu
а
ность их совместной работы равна
u
( .!. .!. Х
Ь
а
+
Ь
)
(а + Ь)(р + 1 00)
1+ L =
1 00
1 00аЬ
комнаты в час. Поэтому при совместной работе они оклеят комнату за
(а + Ь)(р + 1 00)
1 00аЬ
1 :
=
(ч).
(а + Ь)(р + 1 00)
1 00аЬ
1 00аЬ
а) Если а = 6, Ь = 4, р = 20, то
= 2 (ч).
(а + Ь)(р + 1 00)
1 00аЬ
б) Если а = 3, Ь = 7, р = 40, то
= 1 ,5 (ч).
(а + Ь)(р + 1 00)
4.50. Один работник может вырыть колодец за а дней, другой - за Ь
дней. Если же они будут работать вместе, то производительность рабо­
ты каждого повысится нар% и они выроют колодец за с дней. На сколь­
ко процентов повышается производительность труда каждого работни­
ка при совместной работе, если:
б) а = 2 1 , Ь = 28, с = 8?
а) а = 1 5 , Ь = 1 0 , с = 4;
4.5 1 . РЭА, 1997. Моторная лодка проплыла по озеру, а потом подня­
лась вверх по реке, впадающей в озеро. Путь по озеру на 30% больше,
чем путь по реке, а скорость движения лодки против течения на 1 0%
меньше, чем по озеру. На сколько процентов время движения по озеру
больше времени движения по реке?
4.52. ВШЭ, 1997. Масса бороды Карабаса-Барабаса составляет 40%
его общей массы. Буратино остриг ему часть бороды, после чего масса
оставшейся части бороды стала составлять 1 0% массы Карабаса-Бара­
баса. Какую часть бороды остриг Буратино?
31
5 . РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим четыре задачи, арифметическое решение которых
требует большой изобретательности, а применение уравнения позволя­
ет получить ответ с помощью более простых рассуждений.
5.1. Велосипедист подсчитал, что если поедет со скоростью 6 км/ч,
то опоздает на 1 ч, если поедет со скоростью 9 км/ч, то приедет на 1 ч
раньше намеченного срока. С какой скоростью нужно ехать велосипе­
дисту, чтобы приехать вовремя?
/ способ. Если велосипедист будет ехать со скоростью 6 км/ч, то ког­
да истечет намеченное время, он не доедет 6 км до места назначецщ.
Если же он будет ехать со скоростью 9 км/ч, то за то же время проед.ет
лишние 9 км.
Представим, что выехали два велосипедиста: один со скоростью
6 км/ч, другой - 9 км/ч. В намеченный срок расстояние между ними
будет 6 + 9 = 1 5 (км). Так как скорость удаления велосипедистов равна
9 - 6 = 3 (км/ч), то на 1 5 км они удалились за 1 5 : 3 = 5 (ч). Тогда расстоя­
ние между пунктами равно 6 ( 5 + 1 ) = 36 (км), а скорость, с которой
можно приехать в срок, равна 3 6 : 5 = 7,2 (км/ч).
//способ. Если намеченное время движения х ч, то путь равен б(х + 1) км,
или 9(х - 1) км. Остается составить уравнение 6(х + 1) = 9(х - 1) и, решиJJ
его, получить тот же ответ.
5.2. Задача С.А. Рачинского (1 833 - 1902). Я дал одному ученику
3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, то у меня
осталось бы 1 5 . Сколько было орехов?
/ способ. Представим, что мы сначала раздали по 4 ореха всем уча­
щимся и осталось 1 5 орехов. Заберем у одного ученика один орех
(у него станет 3 ореха) и 1 6 орехов раздадим остальным ученикам по
одному ореху. Теперь у 1 6 учащихся будет по 5 орехов и у одного 3 оре­
ха. Всего орехов было 1 6 5 + 3 = 8 3 .
·
·
32
// способ. Пусть было х учеников, найдем число орехов двумя спо­
собами: 3 + 5(х - 1 ) и 4х + 1 5 . Решив уравнение 3 + 5(х - 1 ) = 4х + 1 5 , по­
лучим х = 1 7, поэтому орехов было 4х + 1 5 = 8 3 .
5.3. Задача Я И Перельмана (1882-1 942). Бригада и з шести плотни­
ков и столяра взялась выполнить одну работу. Каждый плотник зарабо­
тал по 20 р., столяр же на 3 р. больше, чем заработал в среднем каждый
из семи членов бригады. Сколько же заработал столяр?
/ способ. Предположим, что столяр решил разделить деньги поровну
между всеми членами бригады Для этого нужно разделить 3 р. на шестерых
плотников, дав каждому по 0,5 р. В этом случае все члены бригады получат
по 20,5 р. Следовательно, столяр заработал 20,5 + 3 = 23,5 (р.).
// способ. Пусть столяр заработал х р. Тогда средняя зарплата семи чле­
х + 6 · 20
нов бригады равна
р., что на 3 р. меньше зарплаты столяра. Остает7
х + 6 · 20
ся.составигь уравнение х --- = 3 и, решив его, получигь тот же ответ.
7
5.4. Задача Евклида (прибл. 3 65-3 00 до н.э.). Мул и осел шагали по
дороге с мешками. Осел жаловался на свою непомерно тяжелую ношу.
Мул обратился к попутчику с речью: «Если я возьму у тебя один мешок,
то моя ноша станет вдвое тяжелее твоей. Вот если бы ты взял у меня
один мешок, то наши ноши сравнялись бы». Сколько мешков нес каж­
дый из них?
/ способ. Арифметическое решение этой задачи дала ученица 6 класса
Марченко К. (Ревякинская муниципальная гимназия, Московская об­
ласть; учитель математики Т.В. Абросимова). Кристина сделала графи­
ческую иллюстрацию, на которой отражены все условия задачи.
у ос.1а
�
___, '--___
___
�
1 13
Рис. 3 .
1 1 1
Из рис. 3 видно, что на 2 мешка приходится = - числа всех
2 3 6
мешков. Следовательно, всех мешков было 2 · 6 = 1 2 . Тогда у мула было
1 2 : 2 + 1 = 7, а у о�ла 1 2 - 7 = 5 (мешков).
- -
33
II способ. Обозначим за х число мешков у каждого после передачи
одного мешка от мула к ослу. Тогда первоначально у мула бьшо (х + 1 )
мешков, а у осла (х - 1 ) мешков. Если же сначала осел даст мешок мулу,
то у мула станет (х + 2) мешка, а у осла (х - 2) мешка - в 2 раза меньше,
чем у мула.
Остается составить уравнение х + 2 = 2(х - 2) и, решив его, получить
тот же ответ.
5.5. Вася должен решить несколько задач. Он рассчитал, что если
будет решать по 3 задачи в день, начиная с сегодняшнего, то все зада­
ние выполнит в воскресенье. Если же будет решать по 5 задач в день, то
выполнит задание в пятницу. В какой день недели Вася вел расчеты?
5.6. Из Начальных оснований алгебры . . . Д. Аничкова (1 781). Си­
дор и Карп стали играть в карты, имея поровну денег. Но так как Сидор
проиграл 1 2 р., а Карп 57 р., то по окончании игры у Сидора осталось
денег в 4 раза больше, чем у Карпа. По сколько денег каждый из них
имел до игры?
5.7. Задача Э. Безу (1 730-1 783). По контракту работникам причита­
ется 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотрабо­
танный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выясни­
лось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они
отработали в течение этих 30 дней?
Задачи 5.8-5.13 взяты из книги С.А. Рачинского ( 1 833-1 902) « 1 00 1
задача для умственного счета» ( 1 899 г.).
5.8. Я принес своим ученикам пряников. Хотел я дать каждому
по 7, но 36 пряников не хватает. Если же я дам каждому по 6 пряников,
то их у меня останется 1 2 . Сколько я принес пряников, и сколько у меня
учеников?
5.9. Торгую я землю. Просят по 23 р. за десятину, но на покупку
у меня не хватает 1 5 р. Если же землю уступят по 1 7 р. за десятину, у
меня останется 1 5 р. Сколько десятин в участке и сколько у меня денег?
5.10. Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке,
и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки, и осталось
5 берез без галок. Сколько галок, сколько берез?
5.1 1 . Два мальчика играли в шашки. Через несколько минут на доске
оказалось пустых клеток втрое больше, чем занятых шашками, а у од­
ного мальчика двумя шашками больше, чем у другого. Сколько оста­
лось у каждого? (Всего на доске 64 клетки.)
34
5.12. В первые 4 месяца 1 89 1 года я проболел столько дней, сколько
недель я был здоров. Сколько дней я проболел?
5.13. Ко мне приехали гости, все мужья с женами. Если бы 3 мужа
оставили своих жен дома, было бы мужчин вдвое более, чем женщин.
Если бы 3 барыни приехали без мужей, то наоборот. Сколько бьшо гос­
тей?
5.14. Задача Я.И Перельмана (1882-1942). Двое очистили 400 кар­
тофелин; один очищал 3 штуки в минуту, другой - 2. Второй работал
на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый?
5.15. Двое друзей сделали 29 бумажных самолетиков. Первый делал
3 самолетика в каждые 2 мин, второй - 2 самолетика в каждые 3 мин.
Сколько самолетиков сделал каждый, если второй работал на 1 1 мин
дольше?
5.16. Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями по те­
чению реки за 4 ч, а против течения за - 5 ч. Определите расстояние
между пристанями, если скорость течения 2 км/ч.
5.17. Задача И Ньютона (1 643-1 72 7). Некий торговец каждый год
увеличивал на одну треть свое состояние, уменьшенное на 1 00 фунтов
стерлингов, которые он ежегодно затрачивал на семью. Через 3 года
торговец обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько денег было
у торговца вначале?
5.18. Проливной дождь шел 6 ч подряд и наполнил некоторую часть
открытого бассейна. Если бы дождь прекратился, то насос откачал бы
'
в оду за 2 ч. Определите, за сколько часов насос откачает воду из бассей­
на, если дождь продолжает идти? Считайте процессы наполнения бас­
сейна и откачки воды равномерными.
5.19. Брат и сестра одновременно начали сбор малины: брат собирал
ягоды в четырехлитровую корзину, а сестра - в трехлитровую. Брат
собирал ягоды в 1 ,5 раза быстрее сестры. В какой-то момент они поме­
нялись корзинами и закончили сбор ягод одновременно. Сколько лит­
ров ягод собрал брат за все время? Сколько литров ягод собрала сестра
до обмена корзинами?
Пусть до обмена корзинами сестра собрала х л, тогда брат собрал 1 ,5х л
ягод. После обмена корзинами сестра собрала 4 - 1 ,5х, а брат (3 - х) л
ягод, причем и после обмена корзинами производительность труда бра­
та была в 1 ,5 раза больше, чем сестры. Составим уравнение: 3 - х 1 ,5 х
=
35
х (4 - 1 ,5х ) , откуда х = 2,4, т.е. сестра до обмена корзинами собрала 2,4 л
ягод. Тогда брат за все время собрал 1 ,5х + 3 - х = 4,2 (л) ягод.
5.20. Отец и сын принялись косить два соседних участка. Когда сын
выкосил половину меньшего участка, они присели отдохнуть и подсчи­
тали, что отец косит в 2 раза быстрее сына, и что если они будут рабо­
тать с той же производительностью, но поменяются участками, то за­
кончат работу одновременно. Определите площадь каждого участка,
если один из них больше другого на 1 сотку.
5.21 . Сулико подошла к роднику с двумя кувшинами. Вода из род­
ника текла двумя струями - одна давала в 3 раза больше воды, чем дру­
гая. Сулико подставила под струи два кувшина одновременно и, когда
набралась половина меньшего кувшина, она поменяла кувшины места­
ми. Как это ни удивительно, но кувшины наполнились одновременно.
Определите объем каждого кувшина, если вместе они вмещают 8 л.
5.22. Велосипедист проехал путь от nункта А до пункта В и обратно
с некоторой постоянной скоростью. Пешеход прошел путь от А до В со
скоростью в 2 раза меньшей скорости велосипедиста, но зато возвра­
щался на автобусе, скорость которого в 4 раза больше скорости велоси­
педиста. Сколько времени затратил каждый из них на путь ту да и обрат­
но, если один был в пути на 0,5 ч дольше другого?
5.23. За неделю до получения стипендии у четырех студентов оста­
лось 45 р. Если бы деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги
второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги
четвертого уменьшить вдвое, то у всех четверых денег было бы поров­
ну. Сколько денег было у каждого студента?
5.24. Задача Д. Пойа. Патрульный самолет в тихую безветренную
погоду делает 220 миль в час. Запас топлива рассчитан на 4 ч полета. На
какое расстояние может удалиться этот самолет, если ему необходимо
будет вернуться к месту вьшета и если против направления, в котором
он первоначально летит, дует ветер, скорость которого равна 20 милям
в час?
Предполагается, что самолет летит по прямой, что время разворота
( в наиболее удаленной от места взлета точке) пренебрежимо мало.
5.25. Три брата делили мешок яблок. Старший оставил себе на 12 яб­
лок больше, чем дал среднему, и в 3 раза больше, чем дал младшему. Из
своих яблок средний брат съел ровно в 2 раза больше, чем было дано
младшему, но на 9 яблок меньше, чем съел старший. Сколько яблок
36
съел старший брат, если известно, что младший съел на 42 яблока мень­
ше, чем было дано среднему, и у него еще осталось 6 яблок?
5.26. У Алеши марок в п раз больше, чем у Бори, а всего у них т ма­
рок. Сколько марок у каждого, если:
а) п = 4, т = 450;
б) п = 3 , т = 280?
Решим задачу в общем виде, затем получим ответы для указанных зна­
чений т и п.
Пусть у Бори было х марок, тогда у Алеши пх марок, а всего у них
бьшо пх + х = (п + 1 )х (марок), что по условию задачи равно т. Составим
уравнение: (п + 1 )х = т.
т
Так как по смыслу задачи п + 1 f:. О, то х =
. Итак, у Бори было
п+1
т
т
тп
-- марок, у Алеши т =
(марок).
п+1
п+1 п+1
т
тп
а) Если п = 4, т = 450, то
= 90 (марок),
= 3 60 (марок).
п+1
n+1
т
тп
б) Если п = 3, т = 280, то
= 70 (марок),
= 2 1 0 (марок) .
п+1
п+1
5.27. У Ани открыток в р раз меньше, чем у Веры, у которой их на q
больше, чем у Ани. Сколько открыток у каждой, если:
а) р = 3 , q = 60;
б) р = 4, q = 45?
5.28. На двух полках а книг. Если с первой полки переставить на
вторую Ь книг, то на второй полке станет в с раз больше книг, чем на
первой. Сколько книг на каждой полке, если:
б) а = 48, Ь = 1 0, с = 2?
а) а = 60, Ь = 6, с = 3 ;
5.29. В двух бригадах было а рабочих. Из первой бригады уволилось
Ь рабочих и с рабочих перешли во вторую бригаду. В результате в пер­
вой бригаде стало в п раз меньше рабочих, чем во второй. Сколько рабо­
чих было в каждой бригаде первоначально, если:
а) а = 48, Ь = 3 , с = 8, п = 2; б) а = 29, Ь = 4, с = 3 , п = 1 ,5?
5.30. Брат старше сестры в п раз, а через а лет он будет старше сес­
тры в т раз. Сколько лет каждому сейчас, если:
а) а = 4, т = 2, п = 3 ; б) а = 3 , т = 2,5, п = 3?
5.3 1 . Сейчас отец в п раз старше сына, а k лет назад он был старше
сына в т раз. Сколько лет отцу сейчас, если:
а) k = 7, т = 5 , п = 3 ; б) k = 5 , т = 4, п = 3 ?
--
--
--
--
--
-
-
37
5.32. Если раздать каждому учащемуся по т тетрадей, то останется
а тетрадей, а чтобы раздать каждому по п тетрадей, не хватит еще Ь тет­
радей. Сколько было учащихся и сколько было тетрадей?
5.33. Для отопления дома ежедневно расходуют одно и то же число
килограммов угля. Через т дней после начала отопительного сезона
осталось а кг угля, а когда пройдет п дней от начала сезона, то останется
Ь кг угля. По сколько килограммов угля расходуют ежедневно и на
сколько дней было запасено угля?
5.34. ЕГЭ, 2 008. Рабочий должен выполнить задание за 5 дней.
Перевыполняя норму на 1 7 деталей в день, рабочий за 4 дня выполнил
задание и еще 1 5 деталей дополнительно. Сколько деталей изготовил
рабочий?
Пусть рабочий должен изготовить х деталей в день. Тогда за 5 дней
он должен изготовить 5х деталей. Перевыполняя норму на 1 7 деталей в
день, рабочий за 4 дня изготовит 4(х + 1 7) деталей, что на 1 5 деталей
больше, чем 5х. Составим уравнение: 5х 4(х + 1 7) - 1 5 .
Это уравнение имеет единственный корень х 5 3 . Перевыполняя
норму на 1 7 деталей в день, рабочий за 4 дня сделает 4(х + 1 7) 280 (де­
талей).
5.35. ЕГЭ, 2009. Два каменщика, работая вместе, могут выполнить
задание за 1 2 ч. Производительности труда первого и второго каменщи­
ков относятся как 1 : 3 . Каменщики договорились работать поочередно.
Сколько времени должен проработать первый каменщик, чтобы это за­
дание было выполнено за 20 ч?
5.36. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на па­
мять. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой
своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?
Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х - 1 ) фо­
тографии. Всего фотографий будет х(х - 1 ) . Составим уравнение:
х(х - 1) 3 0.
Закончите решение.
5.37. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам.
Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по 1 пар­
тии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?
5.38. В турнире по шахматам каждый участник сыграл с
остальными по две партии. За выигрыш в партии присуждали 1 очко, за
ничью
0,5 очка, за проигрыш
О очков. Три лучших игрока набрали
=
=
=
=
-
38
-
вместе 24 очка, что составило половину от числа очков остальных учас­
тников вместе взятых. Сколько было участников турнира?
Рассмотрим задачу из руководства по алгебре начала XIX в .
5.39. На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков,
что если его возвысить в квадрат или умножить на 53 и из результата
вычесть 696, то получится одно и то же». Сколько лет даме?
Условие задачи довольно надуманное, но, решая квадратное урав­
нение, автор руководства замечает: «так как вопрос касается возраста
дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний
знаю>. Решите задачу с этим дополнительным условием.
5.40. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703). Случилось некоему
человеку к стене лестницу приставить, стены же той высота 1 1 7 стоп.
А лестница была длиною 1 2 5 стоп. Спрашивается, на сколько стоп
н8Жний конец той лестницы отстоял от стены.
5.4 1 . Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703). В некоем колодце
поставлена лестница длиною 4 1 стопа, а колодец шириною во все сто­
роны по 9 стоп. Какова глубина этого колодца?
5.42. За да ча. Диофанта (lll в. ) . Найдем два числа, зная, что их сумма
равна 20, а произведение 96.
Пусть х
первое число, тогда второе число есть 20 - х. Составим
уравнение: х(20 - х) 96, которое можно переписать в виде квадратного
уравнения х2 - 20х + 96 О.
Сам Диофант избегал здесь решения полного квадратного уравне­
ния, обозначив данные числа за 1 О + х и 1 О - х. Он приводил решение
задачи к уравнению ( 1 0 + х)( 1 0 - х) 96, которое можно переписать в
виде неполного квадратного уравнения х2 4, имеющего корни -2 и 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8 .
5.43. За да ча. Бега-Эддина (Ира н, XVI в) . Занду обещана награда в
виде большей из двух частей, дающих в сумме 20, произведение же
этих частей 96. Как велика награда?
5.44. За да ча. Бхаскары (Индия, ХП в. ) . Цветок лотоса возвышался
над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от
прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глу­
бину озера.
-
=
=
=
=
39
х
х
Пусть отрезки АВ и А С изображают стебель лотоса в двух положе1
1
+ (длины
- глубина озера, то BD
, АС
ниях (рис. 4 ). Если AD
2
2
отрезков измерены в футах). Составим уравнение по теореме Пифаго=
ра:
х 2 =(х � J
+2
2
+
= -
=
-
·
х
А
Рис. 4 .
Перенесем все члены уравнения в одну часть, и окажется, что со­
ставленное уравнение является линейным, его корень 3 i. То есть глу4
3
бина озера 3 - фута.
4
5.45. Задача аль-Каши (Самарканд, ум ок. 1 436- 143 7 г.). Копье сто­
яло в воде отвесно и высовывалось наружу на три локтя. Ветер откло­
нил его и погрузил в воду таким образом, что его вершина стала нахо­
диться на поверхности воды, а основание не изменило своего
положения. Расстояние между первоначальным местом его появления
и местом его исчезновения в воде - пять локтей. Мы хотим узнать дли­
ну копья.
5.46. ЕГЭ, 201 О. Численность волков в двух заповедниках в 2009 году
составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповедни­
ке численность волков возросла на 1 0%, а во втором - на 20%. В ре­
зультате общая численность волков в двух заповедниках составила
250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?
40
5.47. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703). Один воин вышел
из Цареграда и шел всякий день по 1 2 миль, а второй пошел вслед его в
тот же час, и шел таким образом: в первый день прошел 1 милю, во вто­
рой день - 2 мили, в третий день - 3 мили, в четвертый день 4 мили, в пятый - 5 миль, и так прибавлял каждый день одну милю.
Спрашивается, в сколько дней второй догонит первого?
Пусть второй догнал первого через х дней. Первый прошел 12х миль,
а второй 1 + 2 + . .. + (х- 1) + х миль. Нетрудно видеть, что эта удвоенная
сумма
+ . .. + (х - 1 ) + х +
1+ 2
+ х + (х - 1 ) + . .. +
2
+ 1
содержит х пар слагаемых, подписанных друг под другом, дающих в
сумме (х + 1 ). Поэтому удвоенная сумма равна х(х + 1 ), и второй воин
(1 + х)х
прошел
миль.
2
Составим уравнение
(1 + х)х
l 2x =
.
2
Оно имеет единственный положительный корень х = 2 3 . Следова­
тельно, второй воин догнал первого через 23 дня.
5.48. Задача Дж. ал-Каши (XI V-XV вв.) . Однажды встречаются два
пешехода на берегу моря. Один из них проходит каждый день десять
миль, а другой, идя в обратную сторону, навстречу первому, проходит в
первый день 1 милю, во второй день 2 мили, в третий день 3 мили и так
далее, каждый день увеличивая пройденное расстояние на одну милю;
причем оба не удаляются от берега. Когда они встретились, один
прошел одну шестую берега, а другой - пять шестых. Мы хотим
уЗнать длину берега и число дней пути.
5.49. Ящик вмещает 1 2 кг крупы высшего сорта или 1 6 кг крупы
третьего сорта. Если ящик заполнить крупой высшего и третьего сорта
так, что их стоимости одинаковы, то в ящике окажется 1 5 кг смеси на
сумму 1 80 р. Сколько стоит 1 кг крупы третьего сорта?
1
Из условия задачи следует, что 1 кг крупы высшего сорта занимает -,
12
1
а 1 кг крупы третьего сорта - - ящика. Пусть бьшо х кг крупы высше16
41
го сорта и ( 1 5 - х) кг крупы третьего сорта. Вся эта крупа заполнила
ящик. Составим уравнение:
� + 1 5 - x = l.
16
12
Это уравнение имеет единственный корень х 3 . Следовательно,
крупы высшего сорта было 3 кг, а крупы третьего сорта 1 5 - 3 = 1 2 (кг).
Стоимость крупы третьего сорта составляла половину от 1 80 р., поэто­
му 1 кг крупы третьего сорта стоит 90 : 1 2 7,5 (р.).
5.50. Ящик вмещает 1 6 кг риса или 20 кг пшена. Если ящик запол­
нить рисом и пшеном так, что их стоимости одинаковы, то содержимое
будет иметь массу 1 8 кг и стоить 240 р. Сколько стоит 1 кг риса?
5.51. За 4 лимона нужно заплатить столько рублей, сколько лимонов
можно купить на 25 р. Сколько стоит 1 лимон?
5.52. Тракторист должен был вспахать 24 га пашни за некоторый
срок. Когда он выполнил половину задания, пошел сильный дождь, по­
этому один день оказался нерабочим. После дождя тракторист перевы­
полнял норму на 1 га в день и выполнил задание к намеченному сроку.
Сколько гектаров в день вспахивал тракторист после дождя?
5.53. ЕГЭ, 2009. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми
40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно,
что за час автомобилист проезжает на 70 км больше, чем велосипедист.
Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в
пункт В на 3 ,5 ч позже автомобилиста.
5.54. ЕГЭ, 2009. Первая труба пропускает на 3 л воды за минуту
меньше, чем вторая. Сколько литров воды за минуту пропускает первая
труба, если резервуар объемом 1 3 0 л она заполняет на 3 мин дольше,
чем вторая труба?
5.55. ЕГЭ, 2009. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км
и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч
меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения равна 3 км/ч.
5.56. За один час две трубы наполнили бассейн объемом 22 м3 .
Сколько кубометров заполнила первая труба, если 2 м3 она заполнила
на 3 мин быстрее, чем вторая труба заполнила 3 м 3 ?
=
=
42
Пусть первая труба за 1 ч наполнила х м3 , тогда вторая труба за 1 ч на60
полнила (22 - х) м3 • На наполнение 1 м3 первая труба расходует - мин,
х
1 20
60
3
а вторая -- мин. На 2 м первая труба расходует - мин, а вторая на
22 - х
х
1 80
3
3 м расходует -- мин. По условию задачи первая труба заполнила
22 - х
3
2 м на 3 мин быстрее, чем вторая труба заполнила 3 м3 • Составим урав1 20
1 80
пение: -= 3.
х
22 - х
Решив это уравнение, получим единственный его положительный
корень 1 0 . То есть первая труба заполнила 1 0 м 3 •
Решая задачи, приводящие к квадратным уравнениям, всегда прихо­
дится определять, удовлетворяют ли найденные корни уравнения усло­
вию задачи. Иногда оказывается, что оба корня удовлетворяют услови­
ям задачи, тогда она имеет два решения.
5.57. Задача Э. Безу (1 730-1 783). Некто купил лошадь и спустя не­
которое время продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он потерял
столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за ка­
кую сумму он ее купил?
Пусть некто купил лошадь за х пистолей. Продав ее за 24 пистоля,
он потерял на этой продаже х - 24 пистоля. Выразим убыток в процен­
х - 24
тах: -- 1 00. По условию задачи он равен х. Составим уравнение:
х
х - 24
-- · 1 00 = х.
х
Решив это уравнение, получим два его корня : х1 = 40; х = 60. Оба
2
эти корня удовлетворяют условию задачи: лошадь стоила 40 или
60 пистолей.
5.58. Торговец покупает книги по оптовой цене, а продает за 1 1 р.
Он подсчитал, что доход от продажи одной книги в процентах равен
оптовой цене книги в рублях. Какова оптовая цена книги?
5.59. ГА У, 1 993. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при
этом было 44 попадания, остальные - промахи. Сколько раз попал
каждый, если известно, что у первого стрелка на каждый промах прихо­
дилось в 2 раза больше попаданий, чем у второго?
- -
·
43
Сначала определим число промахов: 30 + 30 - 44 = 1 6 . Пусть у вто­
рого стрелка было х промахов, тогда у первого стрелка было ( 1 6 - х)
у первого стрелка приходилось
промахов. На каждый промах
30 - х
30 - (1 6 - х)
. Сос--�-- попадании, что в 2 раза больше, чем у второго:
х
16 - х
30 - (1 6 - х) 2(30 - х)
.
=
тавим уравнение:
16 -х
х
Решите уравнение и получите ответ.
5.60. Первый пешеход может пройти расстояние между двумя
пунктами на 5 ч быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих
пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 ч. За
сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?
Сначала решим задачу стандартным школьным способом.
/ способ. Пусть первый пешеход может пройти все расстояние за х ч,
тогда второй может пройти это расстояние за (х + 5) ч. В час первый пе1
1
1
шеход проходит -, второи --, а вместе они проходят - этого расстоях
х +5
6
1
1
1
ния. Составим уравнение: - + -- = -.
х х +5 6
Решив это уравнение, получим два его корня: х1 = 1 0 ; х2 = -3 . Так как
по смыслу задачи х > О, то х = 1 0, а х + 5 = 1 5 .
Итак, первый пешеход может пройти все расстояние з а 1 0 ч , а вто­
рой - за 1 5 ч.
Теперь воспользуемся методом, который будем называть методом
подобия. Он описан в статье Б.А. Кордемского «Графики в задачах на
равномерные процессы» (Квант, 1 97 1 , № 1 1 ).
// способ. Пусть первый пешеход может пройти все расстояние за х ч,
тогда второй - за (х + 5) ч. Построим графики движения этих пешехо­
дов. Так как движение равномерное, то графики являются отрезками.
На рис. 5 отрезки СВ и AD изображают промежутки времени дви­
жения от одного пункта до другого первого и второго пешеходов соот­
ветственно. Отрезок MN изображает промежуток времени движения
пешеходов до встречи. Поэтому СВ = х, AD = х + 5 , MN = 6, КВ = х - 6,
PD = х - 1 .
u
--
u
44
Р ас стоян и е
х
дв и ж е н ия
Рис. 5 .
Из подобия двух пар треугольников: ЛСКN и ЛDPN, ЛВКN и ЛАРN
КN
6 КN х - 6
= --, -- = --.
(по двум углам) следует, что верны равенства:
NP х - 1 NP
6
6
х -6
Составим уравнение: -- = --.
х-1
6
Здесь также получилось уравнение с неизвестным в знаменателе,
оно приводит к тому же ответу.
Академик В.И. Арнольд писал, что испытал первое математическое
потрясение, когда появился настоящий учитель математики, Иван Ва­
сильевич Морозкин. «Я помню, - писал он, - задачу о двух старуш­
ках, вышедших одновременно навстречу друг другу, встретившихся в
полдень и достигших чужого города: одна в 4 ч по полудни, а другая в 9.
Требовалось узнать, когда они выIIIЛ и . Алгебру тогда еще не учили. При­
думав «арифметическое» решение (основанное на соображениях размер­
ности или подобия), я впервые испытал ту радость открытия, стремление
к которой и сделало меня математиком» (Квант, 1 990, № 7).
Сформулируем задачу еще раз.
S.61. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из
двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города:
первая в 4 ч по полудни, а вторая в 9 ч. Нужно узнать, когда они вышли
из своих городов.
Рассмотрим решения этой задачи, основанные на трех идеях: со­
ставление уравнения с неизвестным в знаменателе (стандартный
школьный метод), обратная пропорциональная зависимость скорости
--
45
равномерного движения и времени движения на фиксированном учас­
тке пути, метод подобия.
/ способ. Пусть до встречи старушки шли х ч. Тогда на весь путь пер­
вая затратила (х + 4) ч, а вторая (х + 9) ч.
1
1
1
Первая проходила в час --, вторая -- часть пути, вместе - часть
х +9
х
х +4
1
1
1
пути. Составим уравнение: -- +-х + 4 х +9
х
й корень х1 = 6 .
положительны
Это уравнение имеет единственный
Следовательно, старушки были в пути 6 ч, т .е. вышли из своих городов
в 6 ч утра ( 1 2 - 6 = 6).
// способ. Пусть скорость первой старушки в п раз больше скорости
второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в
п раз меньше времени, чем вторая, а вторая - в п раз больше, чем пер­
вая (рис. 6).
9
- ч
4ч
п
/
�
� II
4п ч
9ч
Рис . 6 .
До встречи они
шли
9
одинаковое время, поэтому числа - и 4п равны.
п
Уравнение 2 = 4п имеет единственный положительный корень п1 = 1 ,5, тогда
п
до встречи они шли 4 1 ,5= 6 (ч), то есть вьПШIИ из своих городов в 6 ч утра.
///способ. Пусть по-прежнему старушки шли до встречи х ч. Построим
графики движения первой и второй старушек: РР1 и VV1 соответственно
(рис. 7). Моменту их встречи соответствует точка М графиков.
Из условия задачи следует, что NP1 = 4, КV1 = 9, а требуется найти
РК = х. Из подобия двух пар треугольников VМN и V1MK, MPK и MP1N
x MN MN 4
х 4
получим пропорции: = -- и -- = -, составим уравнение: =
9
NK МК х
9 х
·
-
46
-
-
.
Рас стоян и е
х
N
4
v k:::----..,--"'7'
р
х
9
к
V1
Вр е мя
дв и ж е н ия
Рис. 7 .
Последнее (более простое) уравнение также имеет единственный
положительный корень 6. Итак, старушки были в пути 6 ч и вышли из
своих городов в 6 ч утра.
5.62. Два брата вскапывали грядки - каждый свою и со своей по­
стоянной производительностью. Они очень удивились, когда обнару­
жили, что затратили на работу одинаковое время. Вот если бы они с са­
мого начала поменялись грядками и работали каждый со своей
производительностью, то старший закончил бы работу за 32 мин, а
младший за 50 мин. За сколько минут братья вскопали грядки?
Эта задача аналогична предыдущей, ведь можно считать, что братья
начали и закончили работу одновременно. Они не переделывали работу
друг друга (как старушки проходили пройденный друг другом путь), но
в соответствии с условиями задачи можно рассмотреть два случая первый произошел на самом деле, а второй мог бы произойти (рис. 8).
/
х мин
х мин
50 мин
32 мин
//
Рис . 8.
47
S.63. Из города А в город В вышел пешеход. Через некоторое время
после выхода пешехода из города В ему навстречу выехал велосипе­
дист. Через час после выхода пешехода вслед за ним выехал мотоцик­
лист. Все участники двигали сь равномерно и встретились в одной точке
маршрута. Мотоциклист прибыл в город В через 3 ч после выезда из него
велосипедиста, но за 2 ч до прибытия пешехода в город В. Через сколько
часов после выезда мотоциклиста велосипедист прибьm в город А?
Построим графики движения пешехода, велосипедиста и мотоцик­
листа: АР, BUV и ANM соответственно (рис. 9). Моменту их встречи в
одной точке маршрута соответствует точка О графиков.
Расстояние
в
А
3
и
м
2
р
i----...-�����--��...,.
1
N
х
V
Время движения
Рис. 9 .
Из условия задачи следует, что МР = 2 , ИМ = 3 , AN = 1, а требуется
найти NV = х. Из подобия двух пар треугольников ИОМ и VON, РОМ;и
NO 1
х
NO
A ON получим пропорции: З =
и
= "2' составим уравнение:
ОМ
ОМ
х
1
3
2
Решив это уравнение, получим его единственный корень х = 1 ,5 .
Итак, через 1 ,5 ч после выезда мотоциклиста велосипедист прибыл в
город А.
S.64. МИФИ, 1994. Из пункта М в пункт N выходит первый пешеход,
а через 2 ч навстречу ему из пункта N в пункт М выходит второй пеше7
ход. к моменту встречи второи пешеход прошел - от расстояния, прои9
денного к этому моменту первым пешеходом. Сколько часов требуется
�
48
�
первому пешеходу на весь путь от М до N, если второй пешеход прохо­
дит путь от N до М за 7 ч?
5.65. МГУ, биол. -почв. ф. , 1 966. Каждому из двух рабочих поручили
обработать одинаковое число деталей. Первый начал работу сразу и
выполнил ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше двух часов на
наладку приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч
раньше первого. Известно, что второй рабочий через час после начала
своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту
обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает произ­
водительность станка (то есть количество деталей, обрабатываемых за
час работы)?
5.66. МГУ, ВМиК, 1 99 2. Из города А в город В выехал автомобиль.
Спустя некоторое время из В в А по той же дороге выехал мотоцикл.
Скорости автомобиля и мотоцикла на всем пути постоянны.
Автомобиль до встречи с мотоциклом находился в пути 7 ч 30 мин, а
мотоцикл до встречи ехал 3 ч. Мотоцикл прибьm в А в 23 ч, а автомо­
биль прибьm в В в 16 ч 30 мин. Найдите время отправления мотоцикла
из города В.
5.67. МГИЭМ, 1 999. Путь из города А в город В, расстояние между
которыми 200 км, пролегает сначала по шоссе, затем по грунтовой до­
роге. Из города А в город В выехал первый автомобиль, скорость кото­
рого по шоссе равна 80 км/ч, а по грунтовой дороге - 60 км/ч. Одновре­
менно с первым из города В в город А выехал второй автомобиль,
еш>рость которого по шоссе равна 60 км/ч, а по грунтовой дороге 50 км/ч. Известно, что автомобили встретились через 1 ч 30 мин после
своего выезда. Определите, насколько раньше первый автомобиль при­
бьm в город В, чем второй автомобиль - в город А.
5.68. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в
одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и
велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал от них на
6 км Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них
на 3 км На сколько километров велосипедист был впереди пешехода в
тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
Построим схематически графики движения пешехода РР1 , мотоцик­
листа ММ.. и велосипедиста РМ1 (рис. 1 О). В точке Р графики движения
пешехода и велосипедиста пересеклись - велосипедист догнал пеше­
хода, а мотоциклист отставал от них на 6 км (РМ 6). В точке М1 графи.
.
=
49
ки движения мотоциклиста и велосипедиста пересеклись - мотоцик­
лист догнал велосипедиста, а пешеход отставал от них на 3 км (Р1М1 = 3).
В точке О графики движения пешехода и мотоциклиста пересеклись мотоциклист догнал пешехода, а велосипедист бьш впереди - на рас­
стоянии VO = х, которое надо найти.
Рис. 1 0 .
Из подобия треугольников РОМ и РрМ1 получим пропорцию :
РО 6
-- = -, откуда РО = 20Р 1 • Из подобия треугольников Р VО и РМ1Р1 поОР1 3
х РО
х 20Р1 2
лучим пропорцию : =
= - и х = 2.
, откуда =
3 РР1
3 30Р1 3
-
--
-
--
Итак, велосипедист бьш впереди пешехода на 2 км в тот момент,
когда пешехода настиг мотоциклист.
5.69. Сулико по очереди (через некоторые промежутки времени) по­
ставила три пустых кувшина под три крана, из которых вытекала вода.
Когда количества воды в двух первых кувшинах сравнялись, в третьем
кувшине было на 3 л воды меньше, чем во втором. Когда же количества
воды в первом и в третьем кувшинах сравнялись, в первом кувшине
было на 1 л воды меньше, чем во втором. На сколько литров воды было
меньше в первом кувшине, чем в третьем, когда количества воды во
втором и в третьем кувшинах сравнялись?
5. 70. Имеется 9 пустых больших коробок. В некоторые из них поло­
жили по 1 О пустых средних коробок, а в некоторые средние - по
1 О пустых маленьких. Всего оказалось 1 09 коробок. Сколько среди них
было пустых коробок?
50
Пусть положили 1 Os средних коробок в s больших и 1 От маленьких
в т средних. Число всех коробок 9 + 1 0s + 1 0т, что по условию задачи
равно 1 09. Из уравнения 9 + 1 0s + 1 0т = 1 09 находим, что s + т = 1 0.
Так как занято s больших коробок и т средних, то всего занято
s + т = 1 0 (коробок), тогда пустых коробок было 1 09 - 1 0 = 99.
5. 71. Алеша на 3 года старше Бори и на 6 лет старше Вовы. Произве­
дение возрастов Гриши и Бори на 9 больше произведения возрастов
Алеши и Вовы. На сколько лет Алеша старше Гриши?
Здесь, очевидно, не обойтись одним неизвестным. Пусть Алеше
а лет (а > 6), а Грише g лет, тогда Боре (а - 3) года, Вове (а - 6) лет.
Составим уравнение: g(a - 3) - а( а - 6) = 9, которое перепишем в виде:
а 2 - ба + 9 - ga + 3g = О,
(а - 3) (а - 3 - g) = О.
Так как а > 6, то а - 3 О. Тогда а - 3 - g = О, откуда следует, что а - g = 3,
то есть Алеша старше Гриши на 3 года.
5.72. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат
собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей по­
мочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был
выбран удачно - ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколь­
ко литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами?
Пусть брат до обмена бидонами собрал х л, а сестра у л ягод, тогда
после обмена брат собрал (2 - у), а сестра (2 - х) л ягод. Брат собирал
ягоды быстрее сестры в одно и то же число раз до и после обмена бидо­
нами, поэтому х больше у во столько же раз, во сколько (2 - у) больше,
2-у х
чем (2 - х). Составим уравнение: -- =
2 -х у
-.
Закончите решение.
5. 73. Дед и внук начали одновременно собирать клюкву в одинако­
вые лукошки. Дед собирает быстрее внука. Когда им нужно поменяться
лукошками, чтобы оба лукошка наполнились одновременно?
5.74. Брат и сестра собирали малину. Корзина брата вмещала 5 л, а
корзина сестры 4 л. Брат собирал ягоды быстрее сестры, поэтому, когда
она набрала половину своей корзины, они поменялись корзинами и че­
рез некоторое время наполнили их одновременно. Сколько литров ягод
собрал брат?
51
2
5. 75. Брат и сестра собирали малину. Когда сестра собрала - своего
3
двухлитрового бидона, трехлитровый бидон брата был почти полон.
Ребята поменялись бидонами и через некоторое время одновременно
закончили сбор ягод. Во сколько раз брат работал быстрее сестры?
5.76. Отец и сын принялись косить два соседних луга, площади ко­
торых относятся как 8 : 7. Когда отец скосил три четверти большего
луга, а сын - больше половины меньшего, они присели отдохнуть и
подсчитали, что если будут работать так же хорошо, но поменяются
местами, то закончат работу одновременно. Во сколько раз отец косил
быстрее сына?
Следующая задача является переформулировкой задачи 5.74 и от­
личается от нее тем, что при ее решении не удается отбросить второй
корень квадратного уравнения.
5.77. Сулико подошла к роднику с двумя пустыми кувшинами. Один
вмещал 5 л, а другой - 4 л. Вода из родника текла двумя струями - одна
сильнее, другая слабее. Сулико одновременно подставила кувшины
под струи и, когда набралась половина меньшего кувшина, поменяла
кувшины местами. Как это ни удивительно, но кувшины наполни­
лись одновременно. Во сколько раз больше воды дает одна струя,
чем другая?
5.78. Из сборника за да ч ПА. Ларичева. Двое рабочих, работая вмес­
те, могут выполнить работу за t часов, причем первый, работая отдель­
но, может выполнить ее на 4 ч скорее второго. За сколько времени мо­
жет выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно?
Пусть первый рабочий может выполнить работу за х ч, тогда второй
рабочий может выполнить работу за (х + 4) ч.
1
1
1
За 1 ч они выполняют - +
, или - часть работы.
х х+4
t
1
1
1
Составим уравнение: - +
= , решив которое относительно х,
х х+4 t
ПОЛУЧИМ х 1 , 2 = t - 2 -±J[2;4,
Так как t - 2 < � t 2 + 4, то уравнение имеет единственный положи­
--
--
-
тельный корень х 1 = t - 2 + � t 2 + 4. Итак, первый рабочий может вьшол­
нить работу за t - 2 +
t + 2 + � t 2 + 4 ч.
52
Jl2;4 ч, а второй - на 4 ч медленнее, то есть за
l
5. 79. Теплоход длины м движется в неподвижной воде. Катер, име­
ющий скорость v м!с, проходит расстояние от кормы движущегося теп­
лохода до его носа и обратно за t с. Найдите скорость теплохода.
5.80. СГУ, 1 992. Теплоход длины м движется по реке с постоянной
скоростью. Катер, имеющий скорость v м/с, проходит расстояние от
кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за t с. Найдите
скорость теплохода.
5.81. СГУ, 1 992. Курьер, начав движение от конца движущейся ко­
лонны, доехал до ее начала и вернулся обратно. За это время колонна
прошла расстояние s км. Найдите длину пути, который прошел курьер,
если длина колонны равна l км.
I способ. Пусть скорость колонны равна х км/ч, а скорость курье­
ра -у км/ч (у > х). Тогда время движения курьера в оба конца равно
-- +-- = 22� 2 (ч). За это время колонна прошла 22� 2 ·Х =
у - х у+х у - х
у -х
l
l
l
=
�/ 2 , или s км. Составим уравнение:
у -х
2xyl 2 -- s.
2
у
(1)
-х
Курьер з а время движения в оба конца прошел путь в l раз боль­
х
ший, чем
s, то есть sy км. Чтобы найти эту величину, нужно из уравне­
х
ния ( 1 ) найти l. Введем новое неизвестное п
х
ние ( 1 ) в виде:
2n l
2
--
п -1
или в виде
sn 2
=
l и перепишем уравнех
=s
2nl
(2)
(3)
= о.
-1
Числитель дроби в левой части уравнения (3) обращается в нуль при
п 1 .2
=
-
п2
z ± .J 1 2 +s 2
, а так как у > х, то п >
s
-
s
1 и знаменатель дроби в левои час�
ти уравнения (3) в нуль не обращается. Уравнение (3), а значит, и уравне-
53
ние
(2)
имеют единственныи положительныи корень п 1
�
�
z + .J z 2 + s 2
=
z + .J 1 2 + s 2
s
.
s = z + -v�
z- + s- (км ) .
s
/l способ. Чтобы избежать введения третьего неизвестного, равного
отношению двух уже введенных неизвестных, можно через п обозна­
чить число, показывающее, во сколько раз скорость курьера больше
скорости колонны.
Пусть скорость колонны равна х км/ч, а скорость курьера в п раз
больше скорости колонны, то есть пх км/ч. Тогда время движения курьТогда искомое расстояние равно
/
- ·
l
2nl
-(2),
2nl
(ч). За это время колонера в оба конца равно -- + -- =
пх - х пх + х х(п 2 - 1)
2nl
х=
(км), что по условию задачи равно s
х(п 2 - 1)
п2 - 1
км. Далее составим уравнение
решив которое относительно п, полу­
чим тот же результат.
5.82. УГА ТУ, 1 995. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной,
выехав из арьергарда колонны, переда;� пакет в начало колонны и вер­
нулся обратно. Колонна за это время прошла
км. Какой путь прошел
связной?
Во многих из последних задач вводилось больше одного неизвес­
тного. Найти значения всех неизвестных не удавалось, но это и не тре­
бовалось для получения ответа. Прежде, чем рассмотреть последнюю
задачу, для решения которой будет составлено уравнение с тремя неиз­
вестными, решим подготовительную задачу.
5.83. Поле разделено на 3 участка. За день были вспаханы половина
3
первого участка, - второго участка, а третии, составляющии четвертую
на прошла путь
·
12
�
4
�
часть всего поля, был вспахан полностью. Вспаханные за день площади
в раза больше площади второго участка. Какую часть площади поля
составляет площадь, вспаханная за день?
Пусть площадь первого участка х, второго у, тогда площадь третье-
2
го участка составляет ! (х + у) - все площади измерены одной едини3
1
3
1
1
1 0х + 1 3 у
цеи площади. З а день вспахали - х + - у + - х + - у =
, или 2у.
3
3
12
�
54
2 4
10х+13у 2у
12 2у,
�х + � 2,8 у.
3
Из уравнения
=
получим, что
х 1,1у.
=
Требуется наити от�
ношение площади
---- =
вспаханной за день, к площади всего поля
5
Это отношение равно -.
7
З а м е ч а н и е . При решении задачи составлено уравнение с двумя
неизвестными, из которого одно неизвестное можно выразить через
другое, а этого достаточно для получения ответа.
3
5.84. Через ч после начала снегопада снегоуборочная машина на­
чала уборку снега на участке. Снег продолжал идти. Машина двига­
лась с постоянной скоростью, сдвигая снег с проезжей части дороги на
обочину, и убрала снег на участке за ч. Какая часть выпавшего снега
осталась неубранной после окончания работы? Считайте, что процессы
выпадения снега и его уборки являются равномерными и что машина
убирает снег с любого участка дороги за один заход.
Выясним сначала, какую часть снега, выпадающего за время рабо­
ты, убирает машина. Для этого представим, что машина на чала убирать
снег тогда, когда он только начал падать, а закончила работу, когда
слой снега составлял а см. Тогда к концу работы в начале участка (и на
неубранном участке) лежал слой снега высотой а см.
Так как снегоуборочная машина двигалась равномерно и высота
слоя пропорциональна времени снегопада, то слой снега на убранном
участке (в разрезе) имеет вид треугольника (рис.
2
11).
убранный участок
неубранный участок
Ри с .
1 1.
Очевидно, что на убранном участке машина убирает половину сне­
га, выпадающего за время работы. Теперь ответим на вопрос задачи.
Если за ч до уборки выпало части снега, то за ч уборки выпало еще
3
3
2
55
2
-
всего 5 частей снега. Из них осталась неубранной только
1
1
часть,
то есть - всего снега, выпавшего за 5 ч.
5
5.85. Однажды снег шел 6 ч подряд. Он продолжал идти и в следую­
щие 5 ч, за которые снегоуборочная машина убрала участок. Через
сколько часов после начала работы машина убрала ровно половину вы­
павшего к тому времени снега? Считайте процессы выпадения снега и
его уборки равномерными.
Пусть машина едет со скоростью v, к началу уборки высота слоя сне­
га составила бх, где х - высота слоя снега, выпадающего за ч. На рис.
весь участок изображен отрезком А G, а слой снега, выпавшего за 6 ч,
изображен прямоугольникомАВМG. Пусть через t ч после начала работы
будет убрана половина выпавшего к тому моменту снега. Длина участка,
убранного за t ч, равна vt, а оставшегося неубранным - v(S - t).
На рис.
слой снега, выпавшего за t ч, изображен прямоугольни­
ком BNFM. Его высота равна tx, значит, на неубранном участке высота
слоя снега составляет бх tx ( 6 + t)x.
1
12
12
+
=
Е
F
N .--�������������..-���������-.
:1
vt
cl
D
убра нный у часток
v(5 - t)
еубра
н
нный у часток
1�
G
Рис . 1 2.
Как мы уже знаем, в любой момент времени оказывается убранной
половина снега, выпавшего за время работы машины, следовательно,
половина слоя BNEC убрана. Остается определить, когда будет убрано
столько снега, выпавшего до начала уборки (АВСD), сколько снега
останется на неубранном участке (DEFG), то есть когда площади пря­
моугольников ABCD и DEFG окажутся равными. Составим уравнение:
бxvt (t + 6)xv(5 - t).
Преобразуем полученное уравнение xv( f 7t = О.
Так как по смыслу задачи xv =F- О, то f + 7t О откуда получим
только один положительный корень t
Итак, через ч после начала работы будет убрана половина выпав­
шего к тому моменту снега.
=
3
56
=
3.
+ 30 30)
=
,
6 . ЗАДАЧИ НА С ПЛ АВЫ И СМЕСИ
Рассмотрим задачи, охватывающие большой круг ситуаций - сме­
шение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием
соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным
содержанием некоторого металла и пр. Если не только решать каждую
задачу в отдельности, а рассматривать типичные ситуации в общем
виде, то связь различных задач между собою станет яснее, а получен­
ные по ходу решения формулы позволят составить прогр аммы для ре­
шения типовых задач с помощью компьютера.
Начнем с решения простых задач на смешивание товаров разной цены.
6.1. Имеется чай двух сортов - по
р. и
р. за кг. Смеша­
ли
г первого и
г второго сорта. Определите стоимость кг полу­
ченной смеси.
+
(кг) - купили чая двух сортов;
+
(р.) - стоимость полученной смеси;
=
(р.) - стоимость кг полученной смеси.
6.2. Из «Арифметики» А.П Киселева (1 852- 1940). Смешано три
сорта муки:
фунтов по к.,
фунтов по 7 к. и
фунтов по к. за
фунт. Сколько стоит фунт смеси?
Рассмотрим задачи, в которых содержание вещества в сплавляемых
частях и в сплаве выражено в процентах.
6.3. Даны два куска сплавов с различным содержанием олова.
Первый, массой
г, содержит
олова. Второй, массой
г, со­
держит
олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав,
полученный из этих кусков?
Здесь и далее мы предполагаем, что в процессе сплавления нет по­
терь массы, то есть масса сплава равна сумме масс сплавляемых кусков.
300
0,8003 · 0,0,32
2)3)1) 480
: 0,5
15
=
800 1200 1 1
200
0,12005 · 0,2 480
960
1
8 20
25
4
=
40% 300
20%
300 · 10020 + 200 · 10040 140
200 + 300 500
До сплавления в двух кусках бьшо
ва. После сплавления кусок массой
140·100% 28010
500
----
=
олова.
200
-
=
-=
( г) оло-
(г) будет содержать
57
р 1,
,
т
1 = 200,р = 40,
т 1 =300,р 1 =20,
2 р.
Пусть процентное содержание олова в первом куске
во втором
масса второго - т 2 (в гр ам­
куске р2 , в сплаве масса первого куска
а требу­
m2
мах). В рассмотренной задаче
ется определить процентное содержание олова в сплаве - Вычислим
массу олова до и после сплавления. Так как это одна и та же величина,
то верно равенство:
р,
т 1 Ji
100'
100 = (т 1 + т . __!!_
100 т А
т 1 · Р1 + т2 · Р2 = (т 1 + т · Р·
р 1 , р2 р
.
или
+
2
.
2)
(1)
2)
В простых задачах на смеси бывает нужно найти одну из пяти ве­
личин m 1 , m 2 ,
и по четырем известным величинам. Эти задачи
обычно решают арифметически или с помощью уравнения.
Сформулируем задачу в общем виде.
6.4. Найдите процентное содержание олова в сплаве, получен­
ном из двух кусков массой
если известно, что первый содержит
и
а второй олова.
Ее решение получим из равенства )
р2 % т 1 т2, (1 :
+ т2 · Р2 .
р = т 1 · тР11 +т
2
р1 %,
(2)
Заметим, что процентное содержание олова в сплаве (р) заключено
между и
Этот факт можно доказать. Если для определенности счи­
тать, что
то справедливы неравенства:
<
р1 р р2• р ,
1т 1 · Р12 + т · Р1 т 1 · Р1 + т · Р
2
2 2
( т 1 + т 2 ) · Р1 т 1 · Р1 + т 2 · Р2
т · р1 +т ·р
Р1
т 1 +т2
(2)
т 1 · Р2 + т2 · Р2·
(т 1 + т2) · Р2· т т
1 2
р р2•
<
<
<
<
Вынесем за скобки общие множители в левой и в правой частях
двойного неравенства:
Разделив двойное неравенство на положительную сумму
2 2 нар, получим:
заменив 1
<
<
По формуле
1
10
20
30
40
58
+
можно составить прогр амму для решения задачи 6.4.
'ПРОГРАММА 6. 4
/NPUT "Введите т 1 ";
INPUT "Введите р 1 ";
/NPUT "Введите т2";
INPUT "Введите р2";
М1
Р1
М2
Р2
и
50 Р= (М1 *Р1 +М2*Р2) / (М1 +М2)
60 PRINT "Ответ: "; Р; "%. "
70 END
Проверим
используя40,числовые
получим данные задачи
Введем работу
300, программы,
20, 200,
Рассмотрим
несколько
задач близкого
содержания
насюжету
смешениеза­
жидкостей,
товаров
и
пр.
Нетрудно
убедиться,
что
новые
по
дачи решаются тем же способом, что и задача
Смешали
300
г
50%-го
и
100
г
30%-го
раствора
кислоты.
Опре­
делите процентное
содержание
кислоты в полученной
смеси. жирнос­
Смешали
3
кг
молока
жирностью
6%
и
2
кг
молока
тью
3,
5
%.
Определите
жирность
молока
в
полученной
смеси.
(Жир­
ность
молокак-это
ся в молоке,
массе процентное
молока.) отношение массы жира, 30содержащего­
ведерграду­
вина
всов48вградусов
смешано
с
24
ведрами
вина
в
36
градусов.
Сколько
чистого
спиртасмеси?
в вине.(Число
) градусов означает процентное содержание
25пробы.
фунтовКакойсе­
ребра
84
пробы
сплавлены
с
12
фунтами
серебра
72-й
пробыВ старые
сплав?времена в России проба металла означала число весовых
частей
чистогосоотношением
металла в 96 весовых
частях
сплава.
Выбор
же числа
96
определялся
весовых
величин:
1
фунт
содержал
96
зо­
лотников,
1 золотникчто в 1 96фунте
долей.сплава
Например,
выражение
«сереброа в
841 золотнике
пробы» аозначало,
содержится
84
золотника,
-что84теперь
доли чистого
серебра. металлов выражают трех­
Заметим,
пробу
драгоценных
значным
числом.чистого
Например,
835-й пробы»
ет,массычтосплава.
масса
серебравыражение
составляет«серебро
835 тысячных
(или означа­
83,5%)
В
следующей
задаче
содержание
металлов
в
сплавах
задано
в
виде
отношений.
Онасплавах
имеетмеди
простое
арифметическое
решение.
В
двух
и
цинка
отношение
меди
3и2 : 3
соответственно. После совместной переплавки 140 к цинку
первого4 : сплава,
6.3 .
т1
Ответ: 28%
=
р1
=
т2
=
р2
=
6.3 .
6.5.
6.6.
6.7. Из «Арифметики» А . П. Киселева (1 852-1 940).
6.8. Из «Арифметики» А.П. Киселева (1 852-1 940).
-
6.9.
кг
59
150 кгмедивторого
массыцинка.
чистойНайтимедимассу
получили
сплав,
в кото­
ром
на 20и некоторой
больше,
чем
нового
сплава.
Имеются
два сплава,
состоящие
из цинка,
меди-и
олова.
Известно,
что
первый
сплав
содержит
40%
олова,
а
второй
26%
меди. Процентное
содержание
цинка
в первом
ивторого,
во второмполучили
сплавах
одинаково.
Сплавив
150
кг
первого
сплава
и
250
новый сплав,олова
в котором
оказалось
30%сплаве.
цинка. Определить, сколько ки­
лограммов
содержится
в
новом
Так
как
процентное
содержание
цинка
в
первом
и
во
втором
сплавах
одинаково, тоцинка
послеостанется
сплавления
любых масс
этихв сплавов
процентное
содержание
прежним.
так
как
новом
сплаве
оказа­
лось
30%
цинка,
то
и
исходные
сплавы
содержали
по
30%
цинка.
Тогда
во втором
сплаве
содержалось
100-26-30
=
44
(%)
олова.
Теперь(О,4определим
процентное содержание олова в полученном
·150+0,
4
4·250)·100%
.
сплаве.
-_ 42 5 0/
150 +Имеются
250 три слитка:
первый
слиток-сплав
медиисплав
никеля,
второй
слиток
сплав
никеля
с
цинком,
третий
слиток
цинкав сполученном
медью. Еслисплаве
сплавить
первый
слиток
со вторым,
тобылпро­в
цент
меди
будет
в
2
раза
меньше,
чем
он
первомв полученном
слитке. Еслисплаве
сплавить
второй
слиток
с третьим,
тобылпроцент
ни­
келя
будет
в
3
раза
меньше,
чем
он
во
втором
слитке. Какойвсехпроцент
цинка будет
содержать
слиток,
полученный
приа в
сплавлении
трех
слитков,
если
во
втором
слитке
цинка
10%,
третьем
7%?
Рассмотрим
задачи,
которыесплава
можнооловарешить
с помощью
уравнения.
Имеется
два
куска
и
свинца.
Первый,
массой
300
г,
содержит
60%
олова,
второй
содержит
40%
олова.
Сколько
грам­
мов
от
второго
куска
нужно
добавить
к
первому,
чтобы
получить
сплав
с содержанием
олова=60,р
56%?
m 1 =300,р
Здесь
= 40,р
=56,56.откуда
Определить
mТо2 можно
извторо­
урав­
1
2
40
=
(300
=
75.
есть
от
нения
300
·
60
m
)
m
т
2 75 г. 2
2 к первому
го куска
нужно
добавить
Сформулируем
задачу
всплава
общемолова
виде.и свинца. Первый, массой г,
Имеется
два
куска
содержит р 1 % олова, второй содержит р2 % олова. Сколько граммовт 1от
кг
6.10. ВШЭ, 1 995.
кг
А
,
6.1 1 . ВШЭ, 1 995.
6.12.
+
6.13.
60
•
+
•
;r o .
второго
куска
нужно
добавить
к
первому,
чтобы
получить
сплав
с
со­
держанием
? получить, выразив m из равенства
Решениеолова
задачи %можно
2
1 ·т
(3)
=
Формула
(3)
дает
правильный
ответ
и
в
случае
Частным
случаем (ррассмотренной
ситуации может
бытьне содержа­
добавле­
ние
чистого
металла
=
100)
или
добавление
сплава,
2
щего этотзадач.
металл (р2 =О). Два примера таких задач находим среди кон­
курсных
Кусок сплавамеди
мединужно
и цинкадобавить
массой 36к этому
кг содержит
45%
меди.
Сколько
килограммов
куску,
чтобыПустьнужнодобавитьхкгмеди.
полученный новый сплав содержал
бы 60"/о меди? 36) кг
Тогдановыйсплавмассой(х+
поэтому
верно равенство
будет содержать (0,45 0,· 3645 +· 36х) +кгхмеди,
=
О,
6
(
х
+
36).
получим х = 13,5 , то есть нужно добавить
13 ,5Решив
кг меди.это уравнение,
Имеется
кусокСколько
сплава килограммов
меди с оловомолова
общейнужно
мас­
сой
12
кг,
содержащий
45%
меди.
прибавить40%к этому
куску сплава, чтобы получившийся новый сплав со­
держал
меди?
Сколько
чистойчтобыводыполучить
нужно добавить
к 300 г морской
воды,
содержащей
4% соли,
воду
с
содержанием
3%
соли?
В
1
л
10%-го
водного
раствора
поваренной
соли
до­
бавили 4 лрастворе.
чистой воды. Определите процентное содержание соли в по­
лученном
0,1 (кг)
- масса
соли в данном
растворе;
2)1) 1101·100
+· 0,10
4 = 5= (кг)
-масса
полученного
раствора;
3) ' 5 = 2 (%) - процентное содержание соли в полученном
растворе.
Заметим, чтотпроцентное
содержание соли в данном растворе было
100
·
вычисленотак: ст - 10(%),гдетс -массасоли, атР -массаданР
р
(1):
т2
р-р
---
Р2 - Р
1.
р2
<
р1.
6.14. МАДИ, "1 993.
6.15. МАДИ, 1 99 3.
6.16.
6.17. МГУЭСИ.
/ способ.
61
ного раствора. Согласно условию задачи, масса соли не изменилась,·100а
масса раствора увеличилась в 5 раз. Поэтому числитель дроби
остался тот
же, а знаменатель увеличился в 5 раз, значит, и дробь умень­
шилась
в
5
раз.
Эти рассуждения дают нам второй способ решения задачи.
раствора;
1)2) 51 +: 14 55 (раз)
(кг) --масса
полученного
в 5 раз увеличилась масса раствора и уменьши­
лась3)концентрация
соли;
1 : 5 2 (%) - процентное содержание соли в полученном
растворе.
следующих
задачахбезчисловые
данные подобраны так хоро­
шо,Вчтодвухзадачи
легко
решить
уравнения.
Имеетсяводы
уксусный
раствор
массой
1,5 чтобысодержащий
40%
уксуса.
Сколько
нужно
добавить
в
раствор,
новый
раствор
содержалСколько
10% уксуса?
чистойчтобыводыполучить
нужно добавить
к 400 г морской
воды,
содержащей 4% соли,
воду
с
содержанием
2%
соли?
Сколькочтобы
фунтовсоставить
меди должно
сплавить
с
75-ю
фунтами
серебра
72-й
пробы,
серебро
64-й
про­
бы? Сколько чистого серебра нужно прибавить к 200 г серебра
835-йРассмотрим
пробы, чтобы
получить
серебро
875-й
пробы?
теперь
задачи,
в
которых
задана
не масса одного из кус­
ков, а масса
нового
сплава.
Имеется
два куска
сплаваотолова
и свинца,
содержащие
60%
и
40%
олова.
По
сколько
граммов
каждого
куска
нужно
взять,
чтобы
получить
600такие
г сплава,
содержащего
45% олова?
Обычно
задачи
решают
с
помощью
уравнения.
Обозначим
мас­
су куска, взятого
от-первого40сплава,
через
тогда из150,равенства
(1) полу­
60060
+
(600
450.
600
45,
откуда
чим:
Сформулируем
задачу
в
общем
виде.
Имеется
дваграммов
куска сплава
олова икуска
свинца,нужно
содержащие
% иполу­%
олова.
По
сколько
от
каждого
взять,
чтобы
чить сплава, содержащего % олова?
т
_
с__
тР
II способ.
=
=
О
=
6.18.
кг,
6.19.
6.20. Старинная задача.
6.21 .
6.22.
т1,
т1
•
т1)
•
=
·
6.23.
т
62
г
т1
=
т1 =
р1
р
р2
Из двух3 р.сортов
чаю
составлено
32
фунта
смеси;
фунт
первого
сорта
стоит
,сорта,
фунт
второго
сорта-2
р.
40
к.
Сколько
фунтов
взято
от
того
и
другого
если фунт смешанного чаю стоит 2 р. 85Торговец
к. ? продает орехи двух
сортов: одни50 посмеси
90 центов,
другие
покилограмм.
60 центов заСколько
килограмм.
Он хочет
получить
по
72
цента
за
для
этого
по­
требуется
орехов
каждого
сорта?
Вметалла
условиив каждом
задачи может
бытьсплавов
задано только
процентное
содержа­а
ние
из
двух
)
и
в
новом
сплаве
ир
(р 1
(р),
2 взять от этих сплавов
требуется
узнать
отношение
масс,
которые
нужно
для получения
нового
сплава.
Имеется
два
куска
сплавов,
содержащих
40%этихи кусков,
60% олова.
Вбыкаком
отношении
(по
массе)
нужно
сплавить
части
что­
получить
сплав
с
45%-ым
содержанием
олова?
И задачу можно ре , подставив 40,р2 60,р
45 в равенство
60-45
Преобразовав полученное равенство, имеем: т2 45 -40 3 :
Сформулируем
задачу
в общем
виде.
Имеется
два
сплава
олова
и свинца.
Первый
содержит
р 1 %,от
второй
-р
%
олова.
В
каком
отношении
нужно
взять
массы
кусков
этихРешение
сплавов,2 задачи
чтобы получить
с содержанием
%?
в общем сплав
виде также
получим олова
из равенства
6.24. Из «Арифметики» ЛЛ Киселева (1852-1 940).
6.25. За да ча Д. Пойа (1 88 7- 1985).
кг
6.26.
эту
р1 =
шить
=
=
т1
-=
( 1 ).
=
1.
6.27.
р
(1):
т,
тz
Р2 - Р
р - Р1
некоторого
че­
ловека
бьmи
для
продажи
вина
двух
сортов.
Первое
ценою
гривен
ведро,
второе
жетретье
-повино,гривен.
Захотелось
ему сделать
из техКакие
двух вин,
взяв
по
части,
чтобы
ему
цена
была
по
7
гривен.
час­
тиценою
надлежит
из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина
в
7
гривен?
Рассмmрим
решение задачи.
Пусть
с енияи одно­
'Iребуемойсовременное
смеси
нужно
ведер
первого
сорта
говедерведравторого
сорта. Первая часть вина
гривен, а вторая 3
7,
гривен. Составим уравнение:
4; 4
6.28. Из «Арифмет ики» Л. Ф. Магницкого (1 703). У
1О
6
для оставл
взять х
стоит
1 0х + 6(1 - х)
=
(х < 1 )
1 Ох
откуда х =
1
-
( 1 - х)
6( 1 - х)
1 - х = -.
63
1 вина по 1 гривен и -ведра
3 вина по 6 гриИтак, нужно взять -ведра
4
4
венВзастарые
ведро.времена такие
кото­
текст,
Сокращая
иначе.
решали
задачи
способ
старинный
страницы,
больше
занимает
Магницкого
. на смеси можно описать так.
рый у Л. Фзадач
решения
Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси:
О
�6
7
� 10
Вычислим
прибыльпо 7линиям:
- 6 1 и убыток 10- 7 3 на каждом ведрj3. И
запишем
результаты
=
7
=
� 6 �� 3
� 10 � � 1
образом,
3более
частидорогое.
из четырех приходятся на более дешевое
виноТаким
и
1
часть
-на
Вовсенаходили
не случайно
в образом.
старые времена
отношения
масс смешиваемы�
вещей
таким
Но
вряд
ли
все
ученики,
получавшие
правильные
ответы
описанным
способом,
понимали
тогда
смысл вы�
полняемых
ими
действий.
Рассмотрим
решение
задачи ведра
в общем
виде.
Пустьвторого
объемысортасме­
,
а
стоимости
вина
первого,
шиваемых
вин
и
V
1 2
и
смеси
соответственно.
Такто как
стоимость
смесиравенство,
равна сумме
2
р
стоимостей
смешиваемых
частей,
будет
выполняться
по-·
хожее на равенство (1): . +
+ 2)
v\ Р1 v2 . Р2
Тогда отношение объемов взятых вин равно: 21 Р2 -Р1Р.
6.28
и
V
р1,
р
= ( V\
V . р.
V
V
64
=
р-
< р < р2 : схему, пользуясь введенными обозначениями
дляЗаполним
случаяр 1 старинную
Теперь
понятно,
почему
этаполучения
схема давала
правильные
результаты.
Заметим,
что
этот
прием
ответа
в
измененном
виде ис­
пользуется до сих пор:
В
«Арифметике))
Л.
П
.
Киселева
было
дано
такое
правило
для
реше­
ния
задач
на смеси:
«Количествачислам,
двух смешиваемых
сортов
должны
быть
обратно
пропорциональны
показывающим
прибыль
или
убыток
на
единице
каждого
сорта)
)
.
Это правило
применимо
ко всем задачам
рассматриваемого вида на смеси,
на
сплавы,
на
смешивание
товаров.
Применив
этот
прием
для
решения
задачи
получим
тот
же
ответ:
6.26,
15 : 5 = 3 : 1 .
массу
и
про­
Оказывается,
равенство
1)
может
связывать
не
только
(
центное
товара, носодержание
и плотностьвещества,
веществаколичество
и его объем.товаров и цену за единицу
65
Данысмешаны
плотности
двух
веществ
и
их
смеси.
В
каком
отношении
(по
объему)
эти
вещества?
Обозначим
плотности
двух
веществ
и
смеси
р 1 , р 2 и р соответствен­
но, а объемы
двух смеси,
веществследовательно,
- V1 и V2 • Сумма масс смешиваемых ве­
ществ
равна
массе
равенство, ана­
логичное равенству (1): V1 р 1 V2 • Р2 (выполняется
•
р.
V1 V2)
Тогда вещества нужно смешивать в отношении V1Vz = Pрz--рр1 .
Покажем,
что задача
на вычислениевыше
температуры
смеси решается
тем
же
способом,
как
и
рассмотренные
задачи.
Предполагается,
что
при
смешивании
жидкостей
не
происходит
потерь
тепла.
Равенство
(1 ), в котором
обе имеет
части разделены
кости
воды, здесь
вид: на коэффициент удельной теплоем­
т 1 • t1 т2 t2 ( т 1 т2) • t,
где
и
массы
смешиваемых
жидкостей,
т 1 т2 t1 , t2 и t - температуры
смешиваемых
жидкостей
и смеси.
Смешали
1
л
воды,
температура
которой смеси.
80°С и 2 л воды, тем­
ператураСмешали
которой 20°С.
Определите
температуру
4смеси
л горячей
водыравной
и 2 л воды,
температура
которой
10°С.
Температура
оказалась
40°С.
Найдите
температуру
горячей воды.
Какой
должна
быть температура
20 л получить
воды, чтобыводу,притемпера­
смеше­
нии
ее
с
10
л
воды,
температура
которой
20°С,
тураВкоторой
не менее
30°С и задачи
не болеевыпускного
40°С? экзамена (ЕГЭ) и кон­
заключение
рассмотрим
курсных экзаменов в вузы. Имеется 40 л 0,5 %-го раствора и 50 л
2%-го
раствора
уксусной чтобы
кислоты.
Сколько
нужно
взять
первого
и
сколько
второго
раствора,
получить
30
л
1,5%-го
раствора
уксус­
нойПусть
кислоты?
взяли
л первого
раствора
и кислоты
(30 - ) дол второго.
Составим
уравнение,
приравняв
объемы
уксусной
смешения
и после
смешения
растворов:
О,
0
05х
0,
0
2
(30
) 0, 0 15 30.
Решив
это
уравнение,
получим
1
О.
Тогда
надо
взять
первого
рас­
твора 10 л, второго 30- 10 20 (л).
6.29. Из «Всеобщей арифметики» И Ньютона.
+
•
+
+
=
=
•
+
6.30.
6.3 1 .
6.32.
6.33. МГУ, фwzол. ф., 2000.
х
х
+
·
х
66
=
-х
=
=
·
Тот же результат получится и по приведенному выше правилу:
I
0,5
0,5
0,5 : 1 = 1
:
2
объемы
растворов
надо
взять в отношении -надо взять
лИтак,
первого
раствора
и
20
л
второго.
Масса
первого10%сплава
на 3второй
кг больше
массыцинка.
второго
сплава.
Первый
сплав
содержит
цинка,
-40%
Но­
вый
сплав,
полученный
из
двух
первоначальных,
содержит
20%
цинка.
Определите массу новогоОдинсплава.
сплав
состоит
из
двух
металлов,
входящих
вшении
него в отношении
ачастей
другойобоих
сплавсплавов
содержитможно
те жеполучить
металлы вновый
отно­
:
3.
Из
скольких
сплав,решении
содержащий
тезадачи
же металлы
в отношении
этой
применим
вспомогательные
Пусть первого сплава взяли г, второго-у
г. Тогда неизвестные.
в новом сплаве
содержится первого металла ( � + J ) г, а второго металла ( � + 3J ) г.
По условию задачи ( �3 + 5 ) ( 3 + Зу5 ) = откуда �у _.2._35 _
Это
означает,
что
на
9
частей
первого
сплава
нужно
взять
35
частей
второго.
Имеются(подваобъему),
водныхвторой-30%.
раствора щелочи:Послепервый
раствор
содержит
10%
щелочи
сме­
шивания
20
л
первого
раствора,
некоторого
количества
второго
раство­
рабольше,
и лчемводыщелочи.
получили
раствор,
в котором
воды
оказалось
ввзято?раза
Сколько
литров
второго
раствора
было
Дляиприготовления
36%-го
раствора
кисло­
тыроввзяли
чистую
воду
и
40%-й
60%-й
растворы
кислоты.
Сколько
лит­л
надо
взять
60%-го
раствора
кислоты,
если
использовали
40%-го раствора и 4 л воды?
1 :2
1О
6.34. ЕГЭ, 2009.
6.35. МГИЭТ, 1 99 3.
1 : 2,
2
1 7 : 27?
В
х
2
2У
: 2х
1 7 : 27,
=
6.36. МИФИ, 1 993.
1О
2,5
6.37. МГУ, ФНМ, 2004.
12
67
Для приготовления
водногоЗатем
раствора
кисло­
тыченной
взялисмеси
4 л 40%-го
и
6
л
60%-го
раствора
кислоты.
часть
полу­
вьmили39%-ный
и добавилираствор
такоекислоты.
же количество
воды,литров
в результа­
тебылочегодобавлено?
получился
Сколько
воды
Имеютсяв отношении
два сплава2 золота
и серебра:
в одном массы
этих
металлов
находятся
:
3,
в
другом
-в
отношении
3
Сколько
килограммов
нужно
взять
от
каждого
сплава,
чтобы
получить
8 кг нового
шении
5 : 11?сплава, в котором золото и серебро находились бы в отно­
6.38. МГУ, ФНМ, 2004.
6.39. МТУСИ
: 7.
68
7 . ЗАДАЧИ НА ПЕР ЕЛ ИВАНИЯ
Начнемпервом
с простой
задачи.
стакане
налито
молока
столько,
сколько
черного
кофе
вошали,втором.
Ложку
молока
перелили
в стакан
кофе,обратно
тщательно
переме­
потом
ложку
полученной
смеси
перелили
в
стакан
с мо­
локом.
Чего
стало
больше:
молока
в
кофе
или
кофе
в
молоке?
Так какневизменилось,
каждом из двух
стакановжидкости
после переливания
количество
жидкости
то
сколько
перелили
из
первого
ста­
кана
во второй,
столько
же вперелили
из второго
стакана
в первый. Итак,
сколько
молока
оказалось
кофе,
столько
же
и
кофе
в
молоке.
стаканестакана
налитовомолока
столько,
сколько
черногопотом
кофе
воиз второго
втором.первом
Изв первый
первого
второй
налили
ложки
молока,
налили
3 ложки
полученной
смеси,
затемвизпервый
перво­
го2 ложки.
стаканаПосле
во второй
добавили
еще
ложку,
а
из
второго
переливания
смеси
тщательно
перемешивали.
Чего сталоторговца
большекаждого
молока
в
кофе
или
кофе
в
молоке?
имеются
два бочонка
вина:Поемкостью
л ценою ко­р.
заличеству
литр и емкостью
л
ценою
р.
за
литр.
какому
одинаковому
винацены
нужновинавзятьза литр
из каждого
бочонка
и перелить
в другой бо­
чонок,
чтобы
в
двух
бочонках
сравнялись?
Пусть из каждого бочонка перелили в другой по литров вина. Тогда цена литра вина в первом бочонке составит
р., а во втор. По условию задачи цены вина в бочонках
ром бочонке
после переливания сравнялись. Составим уравнение:
Этоцены
уравнение
имеет
единственный
корень
8. Следовательно,
чтобы
вина
за
литр
в
двух
бочонках
сравнялись,
каждого бочонка и перелить в другой по 8 л вина. нужно взять из
7 .1. В
7 .2. В
4
1
40
7 .3. У
1О
7
5
х
7( 40 - х) + 5х
40
5(1 0 - х) + 7х
10
7(40 - х) + 5х
40
=
5 (1 0 - х) + 7х
10
х
=
69
Заметим, что уравнение могло бы бьпь более7·40простым,
если бы мы
5
·10
+
одну из полученных дробей заменили числом 40+10 6,6, выражающим цену
вина вимеются
рублях после
переливания.
торговца
два
бочонка
вина:По емкостью
40 и 1 л.
Цены
вина
за
литр
различны,
но
неизвестны.
какому
одинаковому
количеству
винаценынадовинавзятьза литр
из каждого
бочонка
и сравнялись?
перелить в другой бо­
чонок, чтобыторговца
в
двух
бочонках
имеются
дваодинаковому
бочонка винаколичеству
разной цены
занужно
литр
емкостью
л
и
л.
По
какому
вина
взять
каждого
и перелить
в другой бочонок, чтобы цены
вина заизлитр
в двухВ бочонка
бочонках
сравнялись?
сосудедолили
объемомводой.12 л Затем
было 12отлили
л чистого
спирта.
Часть
спирта
отлили
и
сосуд
еще
столько
1 • Сколько (в литрах) отливали каждый раз, еслиже ив
опять
долили
водой
сосуде
растворл спирта
спирта?и долилих л воды (х< 12). ОстаПустьоказался
первый25%-ый
раз отлилих
лось (12 -х) л спирта, его доля в растворе составляет 1212-х . Когда во
�л
второи раз отлили х л раствора и долили х л воды, то отлили 0 2-х
12
2
(12
-х)х
(12
-х)
спирта, а осталось (12-х)- 12 - 12 (л), или 0,25 · 12 3 (л)
спирта. Составим уравнение: (12 12-х) 2 3.
Решив
это уравнение,
получим
два его положительных
корня: х1 6
и х2Итак,
18. каждый
Второй
корень
не
удовлетворяет
условию
х
<
12.
раз отливали
по 6 л. всего 20 л спирта. Несколько
В
сосуде
объемом
20
л
содержится
литров
спирта
отлили
и
долили
сосуд
водой.
Затем
отлили
столько
же
литров оказался
полученной
смесираствор
и опятьспирта.
долилиСколько
сосуд водой.
Вспирта
результате
в
сосуде
64%-ый
литров
отлили
из сосуда в первый раз?
=
7 .4. У
О
7 .5. У
т
п
7.6. МИСиС.
--
у
=
=
=
=
7 .7 .
Здесь и д ал ее предпол агается, что после каждого перел и в ания смеси
тщательно перемеши вал и .
70
сосуде
объемом
40сосуд
л содержится
40 л спирта.
Несколькоже лит­
лит­
ров
спирта
отлили
и
долили
водой.
Затем
отлили
столько
ров
полученной
смеси
и
опять
долили
сосуд
водой.
результате
в
сосу­
де оказался
36%-ый
раствор спирта. Сколько литров спирта отлили из
сосуда
в первый
раз?
сосуде
объемом
1 Оотлили
л содержится
1 О лсосуд
7 5%-госпиртом.
раствораЗатем
спирта.от­
Несколько
литров
раствора
и
долили
лили
столько
же литров
полученной
смеси
и опять
долили
сосудСколько
спир­
том.
результате
в
сосуде
оказался
84%-ый
раствор
спирта.
литров
спирта
доливали
каждый
раз?
было(7,57 ,-О,
5 л спирта.
Пусть первый раз отлили
< 10),в сосуде
х л Первоначально
раствора
(х
осталось
7
5х)
л
спирта.
Когда сосуд долили
спиртом,
то= 7,5спиртаО,2стало
7,
5
-О,
7
5х
х
5х (л). в сосуде осталось
Когда
во
второй
раз
отлили
х
л
раствора,
(7'5 +О'25х) (1 О -х) (л) спирта. Когда сосуд еще раз долили спиртом,
10
-' 2 +5х + 75 '
' 10 (10-х) = --025х
то спирта в сосуде стало х + (7'5 +025х)
10
или 8,4 л. Составим уравнение:
-О,25х 2 +5х + 75 = 8,4 .
10 = 18их =2. Таккакх< 10, тох=2.
Это
уравнение
имеет
двакорня:х
1 2
Итак, каждый
раз
доливали
2
л
спирта.
сосуделитров
объемом
20 л отлили
содержится
20 л 50%-го
раствора Затем
спир­
та.отлили
Несколько
раствора
и
долили
сосуд
спиртом.
столькорезультате
же литровв сосуде
полученной
смеси68%-ый
и опятьраствор
долилиспирта.
сосуд
спиртом.
оказался
Сколько литров
спирта доливали
каждый
раз? по 30 л каждый, содер­
двух
одинаковых
сосудах,
объемом
жится
всего
30 лдополняют
спирта. Первый
сосуд
доливают
доверху
водой
и полу­
ченной
смесью
второй
сосуд,
затем
из
второго
сосуда
отли­
вают
в
первый
12
л
новой
смеси.
Сколько
литров
спирта
было
первоначально
вчемпервом
сосуде, если во втором сосуде оказалось на 2 л
спирта
меньше,
в
первом?
Сначала16заметим,
что в14конце
всехПусть
переливаний
первомпервонасосуде
оказалось
л, а во втором
л спирта.
в первомвсосуде
7 .8. В
В
7 .9. В
В
+
+
·
·
-----
7.10. В
В
7.1 1 . В
71
чально было х л спирта, тогда во втором было (30-х) л спирта.х Когда в
первыи сосуд долили воду, то доля спирта в нем составляла -.30
Из первого сосуда во второи перелили х л смеси, содержащеи х -30х =
х 2 л спирта. Доля
х 2 (л) спирта и во втором сосуде стало (30 -х + -)
30
30
2
+�
30-х
---�3�0спирта во втором сосуде стала равной 30 , поэтому в 12 л смеси, перелитои в первыи сосуд, содержалось -3012 ( 30 -х + -х302 )
12 --2х5 +-х752 (л) чистого спирта.
х 2 ) или
Итак, во втором сосуде осталось ( 30 -х +-х302 -12 + 2х--5 75
2
2
х 14.
14 л спирта. Составим уравнение: 30-х +-х30 -12 +-2х5 - -=
75
Уравнение имеет два корня х1 = 1Оих2 =20, при этом нет оснований
для исключения одного из корней. Убедимся, что задача имеет два ре­
шения.
1) Если в первом сосуде было 10 л спирта, то во втором было 20 л
спирта. первый 1 сосуд долили 20 л воды, в полученной
смеси доля
10
спирта составила -,3 поэтому во второи сосуд перелили -л
спирта. во
3
втором сосуде стало 20 -103 = -703 (л) спирта и доля спирта соста а
-703 : 30 = -97, поэтому в первыи сосуд пер и -97 12 = -283 (л) спирта, а во
70 28 14 (л) кислоты, т.е. х1 -решение задачи.
втором сосуде осталось---=
3 3
2) Если в первом сосуде было 20 л спирта, то во втором было 10 л
спирта. первый сосуд долили 1 О л воды, в полученной смеси доля
�
�
�
�
�
·
·
В
�
влял
+
�
72
В
елил
·
40 спирта. Во
спирта составила -,23 поэтому во второи� сосуд перелили -л
3
40
70
втором сосуде стало 10 + -3 = -3 (л). Результат повторился, поэтому
дальнейшие вычисления приведут к тому же ответу, то есть х2 -реше­
ниеИтак,
задачи.проверка показала, что задача имеет два решения: в первом
сосуде было
или
1
О,
или
20
л
спирта.
В двух
одинаковых
сосудах,
объемом
подоверху
50 л каждый,
содер­
жится
всего
50
л
спирта.
Первый
сосуд
доливают
водой
и
полу­
ченной
смесью
дополняют
второй
сосуд,
затем
из
второго
сосуда
отли­
вают
в
первый
15
л
новой
смеси.
Сколько
литров
спирта
былона
первоначально
в
первом
сосуде,
если
во
втором
сосуде
оказалось
3,2 л спирта
больше,
чем
в
первом?
В ведре находится
1 О л 90%-гоколичество
растворараствора
спирта, аизв баке-20
л
66%-го
раствора
спирта.
Некоторое
ведра
пере­
ливают
всмеси
бак, полученную
смесь
перемешивают
и точнов ведре
такое жеоказался
коли­
чество
переливают
обратно.
В
результате
82%-ый раствор спирта. Сколько литров раствора перелили из бака в
ведро?
2 (л)
10= 9(л)спирта,
ав бакеспирта.
0,66 В20баке= 13,стало
Сначала
спирта.
Пустьв ведребылоО,
из ведра в бак9 перелили
х132л+09х
раствора
' ' часть объема раствора в
13,2 + О,9х л спирта, что составляет 20+х
+09х)х
' л спирта. Теперь в
баке. Затем из бака в ведро перелили (132'20+х
ведре стало 9 -О,9х + 3,202 ++О,х9х)х , или 0,82 1 О= 8,2 (л) спирта. Соста2 + О,9х)х = 8,2.
вим уравнение: 9 -О,9х + (13,20+х
корень х = 4.
единственный
получимиз его
уравнение,перелили
Решив
Итак,В4этоведре
л раствора
бака
в
ведро.
находится
10 л чистого
спирта,спирта
а в бакеиз-20
лперели­
40%-го
раствора
этого
спирта.
Некоторое
количество
ведра
вают в смеси
бак, полученную
такоенесколько
же коли­
чество
переливаютсмесь
обратно.перемешивают
Эту операциюи точно
повторили
7.12.
7 .13.
·
·
(l
·
7.14.
73
раз, соблюдая
следующие
условия:
в ведро
переливают
такоепосле
же коли­
чество
раствора,
какое
перед
этим
из
ведра
перелили
в
бак;
каж­
дого
переливания
новыйопераций
растворв тщательно
перемешивают.
После
не­
скольких
описанных
ведре
оказался
70%
раствор
спирта.
Определите
процентную
концентрацию
раствора
спиртапереливают
в баке. из
Здесь
не
сказано,
какое
именно
количество
жидкости
ведра, даже непереливаний.
сказано, что одно
и то же количество.
Неиуказано
и число
проведенных
Оказывается,
ничего
этого
не
нужно
знать
для
задачи!любых
Здесьописанных
важно другое:
общее количество
спиртаПер­в
ведререшения
и баке после
переливаний
не изменяется.
воначально в ведре и в баке было 10 0,4 · 20 (л) спирта. В конце
процесса в ведре7 оказалось
0,7 1 Ов баке.7 (л)В результате
спирта, следовательно,
остальные
11
(л)
находились
каждой
пары
последовательных
переливаний
количество
раствора
в
баке
оставалось
неизменным,11·100%
поэтому процентная концентрация раствора в баке оказалась равной 20 55%.
Вспирта.
ведре находится
10количество
л чистого спирта,
а введра
баке-20
л 75%-гов
раствора
Некоторое
спирта
из
переливают
бак,
полученную
смесь
перемешивают
и
точно
такое
же
количество
смесиспирта.
переливают
Вспирта
результате
в бакеизоказался
90%-ый рас­
твор
Сколькообратно.
литров
перелили
ведра
в
бак?
ИмеютсяВзяли
два бака:
первый наполнен
доверху
глице­
рином,
а
второй-водой.
два
двухлитровых
ковша,
зачерпнули
первым
ковшом доверху
глицерин
из первого
бака,
вторым
ковшомбак,-а
воду
из
второго
бака,
после
чего
первый
ковш
влили
во
второй
второй ковшсо смесью
- в первый
бак.В результате
После перемешивания
повторили
этуза­
операцию
еще
раз.
40%
объема
первого
бака
нял чистый
суммарный объем баков, если по об­
ъему
второйглицерин.
бак в 4 разаОпределить
больше первого.
+
18
·
-
=
=
7.15.
7.16. ГА У, 2 000.
74
=
=
18
8 . ЗАДАЧИ НА ПРО ЦЕНТЫ (продолжение)
Рассмотрим
теперь задачи
на полученный
так называемые
сложныеувеличили
проценты.еще
Число
увеличили
на
10%,
результат
на 10%.
На
сколько
процентов
увеличилось
число
за
два
раза?
Если дано число
а, то после первого увеличения этого числа на 10%
10
получится а +100 а = 1,1 а. Чтобы полученное число увеличить на 10%,
нужно умножить
его
на на1,1.21Получится
1,1а. Итак,
= 1,2 1а.за дваЭтораза
числочисло
со­
ставляет
121
%
от
,
что
%
больше
числа
а
увеличилось
на 21 %. числа на р % это число нужно умножить на
Для увеличения
(1 L
100 ) . Аналогично, уменьшения числа на % нужно это число
умножить на ( 1 __L)
100 .
Зарплата
сотрудника
составляла
10000
р.
Зарплату
повысили
на
несколько
процентов,
а через
некоторое
время повысили
еще14400
на столь­
косколько
же процентов.
Теперь
зарплата
сотрудника
составляет
р. На
процентов
повышали
зарплату
каждый
раз.
Пусть зарплату повышали оба раза нар %. Тогда после первого повышения зарплата составила 10000 (1 + L)
100 р., а после второго
10000 (1 + L)2
1002 р. , что составляет 14400 р. Составим уравнение:
10000 . (1+L)
100 = 14400.
Учитьmая, выражение в скобках положительное, имеем: L
=
100
= 1,2, откудар = 20, то есть зарплату повышали оба раза на 20%.
8.1.
l,la
q
для
+
·
-
8.2.
·
-
·
что
1+
75
В течение
года
завод дважды
увеличивал
выпуск
продукции
на
одно
и
то
же
число
процентов.
Найдите
это
число
процентов,
если
в
на­
чале
года завод
выпускал726ежемесячно
600 изделий, а в конце года стал
выпускать
ежемесячно
изделий.
в которой величина уменьшается два
разаАналогично
на одно и торешается
жеЦена
числозадача,
процентов.
холодильника
в
магазине
ежегодно
умень­
шается
насколько
одно ипроцентов
то же числокаждый
процентов
от предыдущейценацены.
Опреде­
лите,
на
год
уменьшалась
холодильни­
ка,продан
еслизавыставленный
на продажу за 8000 р. , он через два года был
6480 р. В комиссионном
магазине
цена
товара,
выставленно­
го наотпродажу,
ежемесячно
уменьшаетсянанасколько
одно и топроцентов
же число процен­
тов
предыдущей
цены.
Определите,
каждый
месяц
уменьшалась
цена
магнитофона,
если,
выставленный
на
продажу
за 4000 р. , он через Заработная
два месяца был
продан
за 2250равная
р. 7000 рублей,
плата
служащего,
повышалась
два был
раза,в причем
вобольше,
второйчемразвпроцент,
на сколько
которыйпро­
она
была
повышена,
два
раза
первый.
На
центов
повышалась
заработная
плата
в первый раз, если после второго
повышения
она
составила
9240
рублей?
Оптовый
склад
покупает
товар
по
800
р.
и
продает
его,
повысив
цену на некоторое
число
процентов.
Магазин
покупает
тотпроцентов,
же товар нав
оптовом
складе
и
продает
его,
повысив
цену
на
число
1,5 разасоставляет
большее,1248
чем р.оптовый
склад.процентов
В результате
цена товара
в опто­
мага­
зине
На
сколько
увеличивает
цену
вый склад, на сколько
магазин? акции компании подорожали на не­
В
понедельник
котороеВчисло
процентов,
а во вторник
подешевели
на точемже при
числооткры­
про­
центов.
результате
они
стали
стоить
на
16%
дешевле,
тии
в понедельник.
На какое число процентов подорожали
акцииторгов
компании
в понедельник?
В
городе
в
течение
двух
лет
наблюдался
ростувеличился
числа жителей.
Восравнению
втором годус процентом
процент роста
числа
жителей
города
на
1
по
роста
числа
жителей
в пер­из­
вом
году.
Найдите
процент
роста
числа
жителей
в
первом
году,
если
вестно, что он на 5,2 меньше, чем процент роста населения за два года.
8.3.
8.4. ЕГЭ, 201 О.
8.5. ЕГЭ, 2008.
8.6. ЕГЭ, 2009.
8.7.
А
8.8. ЕГЭ, 2008.
А
8.9. МГУ,
N
76
социол.
ф., 2000.
N
наблю­
двух летжителей
в течение
В городе
числа
роста
процент роста числа жите­
Во втором годус процентом
числа жителей.
ростувеличилс
дался
на 1 по сравнению
яНайдите
города
втором
вонаселения
жителей
ростачемчисла
году. что он на процент
первомизвестно,
в если
лей
роста
процент
5,3 меньше,
году,
за два года.Торговец продает купленный товар в розницу с наценкой р
от рознич­
qна этой
процентов
числотовара,
в целоеэтого
скидкойостатки
ейпродать
наибольш
Снойкакой
чтобы прода­
может если:
он убытка,
цены
же неа) риметь
= 25? по цене р. , а продавал с наценкой
б) р товар
= 30;торговец закупал
Пусть
р то есть по цене ( 1 + L
100 ) р. Со скидкой q он продаст товар по
цене ( 1 + L
100 р., которая по условию задачи не должна бьпь
100 )( 1 __i_)
меньше цены закупки (в этом случае при продаже не будет убытка).
означает, что должно выполняться неравенство: ( 1 + L
100 )
100 Х 1 __i_
Разделив обе части неравенства на положительное число получим
неравенство: ( 1 + L
100 ) 1, а после преобразований получим
100 ) ( 1 __i_
100р
неравенство: q 100+
р
100р , то
Наибольшее целое значение q есть целая часть дроби 100+
р
есть = [ 100l OOp+ р ]· (Здесь [х] -целая часть числах, то есть наибольшее целое число, не превосходящее х. ) 3000
а) Еслир = 30 то q = [100l OOp+ р] = [ 130 ] = 23.
б) Еслир = 25, то q [100l OOp+ р ] = [2500
125 ] = 20.
8.10. МГУ,
социол.
N
ф., 2000.
N
%.
8. 1 1 .
%
а
а
%,
а
%
·
-
·
Эго
а
·
-
� а.
а,
-
�
.
�
q иб
m
'
наиб
mиб
=
77
Торговец продает
купленный
товар впроцентов
розницу с наценкой
%.
Снойкакой
наибольшей
скидкой
в
целое
число
%
от
рознич­
он может продавать товар, чтобы иметь доход не менее %,
если:ацены
) = 30, = 1
б)кассы= 25,СССР= 1 О?платили доход вкладчикам из
Сберегательные
расчета
На сколькопроцентов
процентовпо вкладу
увеличивалась
сумма вкла­
дагодно?
за 1 2%лет,годовых.
если начисление
производилось
еже­
) = 1,02 а (р.), за 2 года За 1 год сумма а р. обращалась в а( 1 _3__
100
1 0 ар. , то есть сумммаувеличивалась при­
вмерно
1,022авр.1,,2...2 зараза10лет-в
1,
0
2
илиакций
на 22%.
Стоимость
компании
росла пятьакций
месяцев
на 15% ежеме­
сячно. Верно
ли,
что
за
это
время
стоимость
удвоилась?
скольконачислении
лет сумма,процентов?
вложенная под 2% годовых, удваива­
етсяБудем
приЧерез
ежегодном
искать такое наименьшееп целое значение при котором выполняется неравенство a( l _3__
100 ) 2а, или 1,02п 2.
решениябольшим
этого неравенства
теру,Поручим
ограничивпоискчислонаименьшего
циклов заведомо
числом 50. компью8.12.
q
р
d
р
8.13.
d
О;
р
d
О
+
8.14.
8.15.
п,
+
�
�
1 'ПРОГРАММА 8. 1 5
1 0 FOR N= 1 ТО 50
20 IF 1 . 02лN>=2 G O TO 40
ЗО NЕХТ N
40 PRINT "Ответ: число лет для удвоения суммы "; N
50 END
После запуска программы получим
За неимением
компьютера
для проверки
полученного
результата
можно
воспользоваться
калькулятором.
Нужно
набрать
число
1,02,воз­
на­
жать
клавишу
«Х>
>
35
раз
нажать
клавишу
«=»,
что
соответствует
ведениюЧерез
в степень
36. лет сумма, вложенная под 3% годовых удваива­
сколько
ется при ежегодном начислении процентов?
Ответ: число лет для удвоения суммы 36
и
8.16.
78
В мэрии города Nподсчитали, что число легковых автомоби­
лей
в
городе
увеличивалось
в последние годы
на 15%еслиежегодно.
Через
сколько лет число
легковых автомобилей
удвоится,
эта тенденция
сохранится? Денежный вклад в банке за год увеличивается на
11личить
%. Вкладчик
внес
в
банк
7000
р.
В
конце
первого
года
он
решил
уве­
сумму
вклада игода
продлить
срок
действия
договора
еще
на год,
чтобы
в
конце
второго
иметь
на
счету
не
менее
10000
рублей.
Ка­
кую
наименьшую
сумму
необходимо
дополнительно
положить
на
счет
по окончанииэтотпервого
года,
чтобы
при тойдожецелых.
процентной
ставке ( 11 %)
реализовать
план?
(Ответ
округлите
)
В конце первого года на счете было 7000 1,11 7770 (р. ) . Пусть
вкладчик
положит
на
счет
еще
р.
Тогда
в
конце
второго
года
на
счете
(777010000+ )р. 1,11
р. По условию
задачи(7770эта +величина
должна
Составим
неравенство:
) 1,11
10000.быть
небудетменее
Решив это неравенство, получим: 1239,009 ... . Следователь­
но, 1240- наименьшее целое число, удовлетворяющее этому нера­
венству.
Итак,положить
1240 р. -наименьшая
сумма, первого
которуюгода.
необходимо дополни­
тельно
на счет по окончании
В какую сумму обратятся р. , вложенные п раз на -1 года под
р % годовых?
За .!.. года платят р %; через .!.. года р. обратятся в a( l + р100 ) р.
После п-кратного вложения первоначальная сумма обратится в
( 1 + Е.__ )п р.
100
Теперьроста
рассмотрим
ситуацию,
которая
произошла
вг. 1993
г. в период
бурного
цен.
Сбербанк
России
с
1
октября
1993
за
хранение
де­
нег
депозитном
вкладе
ви течение
года, 6соответственно.
и 3 месяцев выплачивал
до­
ход нав размере
150%,
130%
120%
годовых
Расчеты
по­и
казывают,
что
при
двукратном
вложении
денег
на
6
месяцев
четырехкратном
-на
3
месяца
можно
получить
172,
2
5%
185,61
%
со­
ответственно, что заметно превышает 150% годовых. Таким образом,
8.17.
8.18. ЕГЭ, 2007.
=
·
х
х
·
х
х
8.19.
k
а
·
�
�
а
k
k
k
1
а
k
/k
и
79
за счет более выгод­
выигрыш
получить
имели возможность
вкладчики
России. задачу, которую нуж­
Сбербанка
условий
использования
ногоОписанная
ситуация
поставила
естественную
было бы решитьмногократное
руководству Сбербанка
России,клиентами
если бы вкладов
оно счита­на
лоно3 инежелательным
использование
6 месяцев приее взаданной
процентной ставке для вкладов на 1 год.
Сформулируем
общем
виде.
Какимдлянаибольшим
целым
числом
долженчтобы
выражаться
про­
цент
годовых
депозитных
вкладов
на
6
месяцев,
двукратное
использование
этого вклада
приносило
доходцелым
меньший,
чемдолжен
вкладвы­на
1ражаться
год под рпроцент
% годовых?
Каким
наибольшим
числом
годовых
дляприносило
вкладов надоход
3 месяца,
чтобычемдвукратное
использование
этого
вклада
меньший,
вклад на
6 месяцев? наибольшее целое числах, которым должен выражат1�
с,�:
Определим
процент
годовых
для
вкладов
на
6
месяцев,
чтобы
двукратное
исполь­
зование
вкладагодаприносило
меньший
р %. В конце гощ�
Пустьэтого
в начале
положилидоход,р. под
р % годовых.
получат ( 1 + _Е.._
100 ) р. Пусть теперь положили р. под х % годовых на
х еще
6 месяцев, полученную через полгода сумму, увеличенную на-%,
22
2
раз положили на 6 месяцев. В конце года получат ( 1 + �
100 ) р. По
условию задачи первый результат должен быть больше второго, то есть
х12 ) которое
должно выполняться неравенство: ( 1 + _Е.._
)
(
1+
а
100
100
перепишем в виде:
2 + 400х-400р < О.
(1)
х
Вычислим корни квадратного трехчлена:
40000 + 400р 400(100 + р);
4
-200- 20�( 1)рсоставляют
+ 20�р+100.
+ 100, -200
Решения неравенства
промежуток
-200-20�р+ 100 <х <-200 + 20�р+100.
(2)
8.20.
а
а
а
а
>
а
D
-=
Х
80
1
=
=
Х
2
=
/
1,
При 150 имеем:
х -200 + 20�Р +100 -200 + 2omo 116,2 . ,
откуда
наибольшее
целое значение
116. вложение денег на
Проверим
полученный
результат. Двукратное
2
(
116
2
)
6 месяцев под 116% годовых увеличит вклад в 1 + 100 2,49".
раза, то есть меньше,2 чем на 150%; а под 117% годовых -увеличивает
вклад в ( 1 + 117100 2) 2,5 1". раза, то есть больше, чем на 150%.
Пусть теперь
известнацелое
процентная
ставках
по вкладам
навыражаться
6 месяцев.
Определим
наибольшее
число
которым
должен
процент этого
годовыхвклада
для вкладов
на доход
3 месяца,меньший
чтобы хдвукратное
исполь­
зование
приносило
%.
Дальше
можно
полностью повторить рассуждения по приведенной выше схеме или
получить результат из неравенства (2) подстановкой �.2 х Х:2
-200 -20 �rx-=
2 o l VV х -200 + 20 �� +100 ,
2
2
откуда
(3)
-400 -20.J2x + 400 -400 + 20.J2x + 400.
При х 116 имеем:
20.Jбfi. 102, ". ,
-400 + 20.J232 + 400 -400 + 102.
откуда
наибольшее
целое
значение
Проверка показывает, что двукратное вложение2 денег на 3 месяца
под 102% годовых увеличивает вклад в ( 1 + 102100 4 ) 1,5 75". раза, то
есть меньше, чем на2 116%
2 58%; а под 103% годовых - увеличит
вклад в ( 1 + 103100 4 ) 1,5 81". раза, то есть больше, чем на 5 8 %.
Таким
образом,проценту
мы получилидлянеравенства
(2)вкладов
и (3), с помощью
кото­
рых
по
заданному
депозитных
на
1
год
можно
вычислить
процентдлягодовых
на 6указанных
месяцев, апроцентах
по нему -х
процент годовых
вкладовх для
на 3 вкладов
месяца. При
р=
<
=
=
хнаиб =
. .
/
---
/
---
=
=
у,
р=
<
=
<
<у <
=
у<
у наиб =
/
---
--
/
---
1
=
=
=
=
=
р
у
81
и многократное
использование
вкладов на 6 и 3 месяца вместо одного
вклада
на
1
год
становится
невыгодным.
Отметим,
что не прошло
и года,Сбербанка
как приведенные
выше
процентные
ставки
по
депозитным
вкладам
России
были
изменены.
Интересно
непубликации
то, что они уменьшились,
темзадачи
болеев журнале
не то, что«Квант»
сей факт(это,
слу­
чился
после
решения
этой
разумеется,
совпадение),
а то,вкладов
что новые
процентные
ставки
(70, 60 и 50
процентов
депозитных
на
год,
6
и
3
месяца
соответственно)
удовлетворяли
неравенствам
(2) и (3),
чем и лишили
дополнительного
дохода
наиболее
сообразительных
вкладчиков
Сбербанка
России.
Заметим,
что
наши
расчеты
имеют
чисто
теоретическое
значение,
так
как
на
принятие
решения
о
величине
процентной
ставки
по
вкладам
могутЗавершим
влиять самые
разные
причины. ставках по вкладам задачей, под­
разговор
о
процентных
водящейПредставим
к пониманиюсебе,оченьчтоважного
в математике
числа
некоторый
банк
платит
по
вкладам
100%
годовых 100
независимо от срока хранения
вклада: за 1 год -100100%, за
100
! года- %= 50%' за ! года- %= 33 !%' за .!. года- %=25%
2 т.д. Возникает
2 естественный
3 вопрос:
3 можно3 ли неограниченно
4
4 увели­
ичивать
увеличивая
частотупроценты?
перевложений суммы, если при каж­
дойПодсчитаем,
такойдоход,
операции
начисляются
во сколько раз увеличится сумма после вложений на
-;;1 года. Ответ прост: в ( 1 -;;1 ) " раза.
Составим программу для вычисления с помощью компьютера зна­
чений выражениях= ( 1 � J по заданным значениям Чтобы просле­
дить
изменениях,
будем
печатать
все
получаемые
результаты.
Пусть
меняется
от 1 до 12. Определим, во сколько раз при этом увеличивается
вклад за год.
у
для
е.
8.2 1 .
п
+
+
п.
п
82
1 'ПРОГРАММА 8. 2 1
1 0 FOR N= 1 ТО 1 2
2 0 X=(1 + 1/N)лN
30 PRINT "п = "; N; "х = ";
Х
40 NEXТ N
50 END
После запуска программы получим:
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1 х=2
2 х = 2. 25
3 х = 2. 3 703 7
4 х = 2. 44 1 406
5 х = 2. 48832
6 х = 2. 52 1 626
7 х = 2. 5465
8 х = 2. 565784
9 х = 2. 58 1 1 75
1 0 х = 2. 593 742
1 1 х = 2. 604 1 99
1 2 х = 2. 6 1 3035
Как видим,
приростувеличении
числа
от 1 доперевложений
12 число х увеличивает­
ся.до Правда,
этот
замедляется.
Если
число
увеличить
65,
то
есть
до
1
раза
в
день,
то
величинах
примет
значение
714501.
Можно доказать, что с увеличением последовательность 2,значений
выражения ( 1 �) возрастает, но ограничена числом
При неограниченном увеличении (при
значения выраже­
ния ( 1 � J стремятся к числу 2, 718281828459045 ... .
Это Вчисло
иррациональное,
оно нееговыражается
обыкновенной
дробью.
приближенных
вычислениях
округляют
до
2, 7. Следую­
щие
восемь
цифр
легко
запомнить:
они
образуют
повторяющийся
два
разаПолученный
год рождениярезультатТолстого
(1828).
показывает,
нельзячисладобить­
сяраций.
неограниченного увеличения
доходачтоза всчетзадаче
увеличения
опе­
Теперь рассмотримф.две, 1999.
задачиКандидат
с конкурсных
экзаменов.
в
депутаты
за времявизбира­
тельной
кампании
имеет
право
на
одно
бесплатное
выступление
газете,
а также на платные выступления по радио и телевидению. Выступление
п
3
п
+
3.
•
п
+
е
п
� +оо)
=
Л.Н.
8.21
8.22. МГУ,
социол .
83
вдоегазете
увеличивает
число
сторонников
кандидата
на
человек;
каж­
по радио
увеличиваетпо телевидению-на
количество голосов наи стоити
стоиттыс.выступление
тыс.
р.
каждое
выступление
;
р. Определите
количество
и последовательность
выступлений
кандидата
в
этих
средствах
массовой
информации,
при
которых
он по­
лучит
наибольшее
возможное
количество
голосов,
если
за
всю
кампа­
нию можно израсходовать не более
тыс.
р.
Для улучшения
собираемости
налоговна
правительство
может
провести
одну
бесплатную
рекламную
акцию
государственном
телеканале,
а также
может увеличить
штат налоговых
инспекторов
и
повысить
зарплату
налоговой
полиции.
Рекламная
акция
повыетелевидению
увеличивает
количество
граждан,
подавших
налого­
декларации,
на
человек
каждое
увеличение
штата
налого­
;
вых иинспекторов
увеличивает
количество
поданных
декларацийполи­на
требует
млн.
р.
каждое
повышение
зарплаты
налоговой
;
циимлн.
увеличивает
количество
поданных
деклараций на проведения
и требует
р.
Определите
количество
и
последовательность
этих
мероприятий,
при если
которых
будет
подано
наибольшее
количество
налоговых
деклараций,
на
эти
цели
из
бюджета
можно
израсходо­
вать не более млн. р.
1 ООО
40%
32
80%
47
1 12
8.23. МГУ,
социол.
ф., 1 999.
1 0000
40%
31
60%
42
123
84
9 . РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
СИСТЕМЫ УРА В НЕНИ Й
Первые
задачисданного
раздела можнос помощью
решить безсистемы
уравнения,
с по­
мощью
уравнения
одним
неизвестным,
уравнений.
Пониемере
продвижения
списку задач
окажется,
что использова­
системы
уравненийвперед
делаетпорешение
задачи
более
простым.
клетке
находится
неизвестное
числоноги.фазанов
и кроликов.
Известно,
чтои число
всего кроликов.
в клетке голов и
Требуется
узнать
число
фазанов
Представим,
чтолапы.на верхэтотклетки
положили
морковку
икаж­
все
кролики
встали
на
задние
момент
каждый
кролик
и
дый
фазанв воздухе
стоят на находятся
двух лапах, поэтому на земле
находится
(лап).
(лапы)
кроликов
- пофаза­
две
лапы
у
каждого.
Следовательно,
кроликов
было
=
тогда
нов было Пусть= было кроликов, тогда фазанов бьmо
кро­
ликовСоставим
и фазановуравнение:
вместе 4k +
лап, что по условию задачи равно
4kполучим:
+
Решив
это
уравнение,
Следовательно, кроликов
было тогдаПусть
фазановбылобылоfфазанов и кроликов.
Тогда
верны
два
ра­
+
венства:/+
ииз2/двух =уравнений с неизвестными/и получим:
Решив
систему
f= Следовательно, было фазана и кроликов.
Если каждаятодевочка
принесеткласса
по кг,принесут
а каждый мальчик
потуры. Сколько
макулатуры,
все
учащихся
кг
макула­
мальчиков
в
классе?
Представим,
каждый учащийся класса
по ма­
кулатуры. Тогда
до чтоне хватает
= принес
Это количество
9.1. Старинная задача (Китай). В
35
94
/ способ.
В
2 35 = 70
А
·
94 - 70 = 24
24 : 2
35 - 12
// способ.
12,
23.
k
3 5 - k. У
2(35 - k)
94.
1 2,
/// способ.
k = 35
4k
2(35 - k) = 94.
k = 12.
35 - 1 2 = 2 3 .
k
94.
k,
23, k = 1 2 .
23
12
3
9.2.
5 кг
30
1 22
3 кг
/ способ.
1 22 кг
1 22 - 3 30
·
32 (кг).
85
должны были принести мальчики - каждый по 5 3 = 2 (кг). Следователь­
но, мальчиков было 32 : 2 = 16.
П способ. Пусть бьmо т мальчиков, тогда девочек было 30 т . Все
учащиеся принесли 5т + 3(30 - т) кг макулатуры, что по условию зада­
чи равно 1 22 кг. Составим уравнение:
5т + 3(30 т) = 1 22 .
Решив это уравнение, получим: т = 1 6. Следовательно, мальчиков
бьmо 16.
III способ. Пусть было т мальчиков и d девочек. Тогда верны два ра­
венства: т + d = 30 и 5т + 3d = 1 22 .
Решив систему и з двух уравнений с неизвестными т и d, получим:
т = 1 6, d = 14 . Следовательно, мальчиков бьmо 1 6.
9.3. Учащиеся класса собрались в поход и приготовили 3 5 кг
продуктов. Если каждый мальчик возьмет по 3 кг продуктов, а каждая
девочка - по 2 кг, то учительнице останется 2 кг продуктов. Если же
каждый мальчик возьмет по 3 , 5 кг продуктов, а каждая девочка - по
1 ,5 кг, то учительнице останется 1 , 5 кг продуктов. Сколько мальчиков
и сколько девочек собрались в поход?
Причислим учительницу к девочкам (или заменим учительницу де­
вочкой), так как она несет столько же продуктов, сколько и девочка.
Каждая пара «мальчик - девочка» при первом и втором способе раздачи
продуктов будет нести 5 кг, поэтому таких пар было 35 : 5 = 7. Следова­
тельно, мальчиков было 7, девочек на одну меньше, т.е. 6.
Итак, было 7 мальчиков и 6 девочек.
Решите задачу с помощью системы уравнений.
Как видим, арифметическое решение рассмотренных задач требует
большой изобретательности, тогда как применение системы дает про­
стые уравнения, наглядно отражающие соотношения между известны­
ми и неизвестными величинами. Решите с помощью системы следую­
щие задачи. Постарайтесь найти и другие способы решения.
9.4. Из «Арифметики» Н.Г. Курганова (/ 79/). 23 человека - муж­
чин и женщин - ели в харчевне. Каждый мужчина платил 5 к., каждая
женщина 4 к., всего заплатили 1 р. Сколько бьmо мужчин и женщин в от­
дельности?
9.5. Задача Р.М Смши�иана. Десяти собакам и кошкам скормили
56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке - 5 .
Сколько бьmо собак и сколько кошек?
-
-
-
86
9.6. Задача Р.М. Смалл и ана. В зоомагазине продают больших и ма­
леньких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашед­
шая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она
вместо этого купила 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила
бы на 20 долларов меньше. Сколько стоит каждая птица?
Пусть х долларов - стоимость большой, у долларов - стоимость ма­
ленькой ппщы; тогда верны два равенства: х = 2у и (5х + 3у) - (3х + 5у) = 20.
Решив систему двух уравнений, получим ее решение: х = 20, у = 1 О.
Следовательно, большая птица стоит 20 долларов, а маленькая 1 О дол­
ларов.
Замена х = 2у, которая используется при решении системы, наводит
на мысль заменить в условии задачи каждую большую птицу двумя ма­
ленькими. Получится новая задача, решение которой даст решение ис­
ходной задачи. Вот эта новая задача: «Леди, зашедшая в магазин, купи­
ла 1 3 маленьких птиц. Если бы она вместо этого купила 1 1 маленьких
птиц, то потратила бы на 20 долларов меньше. Сколько стоит малень­
кая птица?»
Теперь очевидно, что 20 долларов уплачены за двух маленьких
птиц, каждая из которых стоит 1 О долларов, а одна большая птица
стоит 20 долларов.
Такой прием изменения условия задачи будем называть переформу­
лировкой задачи. Этот прием окажется полезным при решении других
задач.
Задачи 9.5 и 9.6 взяты из книги «Принцесса или тигр?» («Мир»,
1 985). По поводу первой задачи автор писал : «Самым поучительным в
этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством эле­
ментарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без вся­
кой математики - лишь с помощью рассуждений. Более того, решение,
подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, ко­
нечно более творческое, а также содержит больше информации, чем су­
губо математическое решение». По поводу второй задачи автор писал:
«Вот еще одна задача, которая решается как алгебраически, так и с по­
мощью здравых рассуждений; я и тут предпочитаю здравый смысл».
9.7. Из рассказа А.П. Чехова «Репетитор». Купец купил 1 3 8 аршин
черного и синего сукна з а 540 р. С прашиваетс я, сколько аршин ку­
пил он того и другого сукна, если синее стоило 5 р. за аршин, а
черное - 3 р.?
87
9.8. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и
три гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 гусенок?
9.9. Имеются березовые и сосновые дрова. 7 м3 березовых и 5 м 3 со­
сновых дров весят 7,44 т, а 9 м3 березовых и 10 м 3 сосновых дров весят
1 1 ,28 т. Сколько весит 1 м3 березовых и сосновых дров в отдельности?
9.10. Из древнего трактапш «Солнечные часы» (Китай). Имеются два
сорта чая. 3 фунта первого сорта смешаны с 6 фунтами второго, после
1
чего фунт смеси стоит З..: дяо (денежных единиц). Если смешать
2
1 2 фунтов первого с 4 фунтами второго, то фунт смеси будет стоить
3 дяо . Сколько стоит фунт каждого сорта?
9.1 1 . Старинная задача (Китай, I в.) . Имеются 9 слитков золота и
1 1 слитков серебра, их взвесили, вес совпал . Слиток золота и слиток се­
ребра поменяли местами, золото стало легче на 1 3 ланов (мера веса) .
Спрашивается, каков вес слитка золота и слитка серебра в отдельности?
9.12. Задача С.А. Рачинского (1 833 - 1902). За 1 000 р. я купил 44 t<о­
ровы - по 1 8 р. и по 26 р. Сколько тех и других в отдельности?
9.13. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703). Купил 1 1 2 баранов
старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого платил по 1 5 ал­
1
тын и по 2 деньги , а за молодого - по 1 О алтын. Спрашивается,
сколько старых и молодых баранов купил он?
9.14. В один из дней каникул учащиеся класса, кроме нескольких
оставшихся дома, отправились гулять. 12 учащихся - треть всех дево­
чек и половина всех мальчиков - пошли в кино, а еще 13 человек половина всех девочек и треть всех мальчиков - пошли на выставку.
Сколько учащихся этого класса осталось дома?
9.15. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1 180-1240). Один
говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя».
А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя».
Сколько денег у каждого?
Пусть у первого было х динариев, а у второго -у динариев. После
передачи семи динариев у них станет (х + 7) и (у - 7) динариев. Соста­
вим первое уравнение: х + 7 = 5(у - 7).
После передачи пяти динариев у них станет (х - 5) и (у + 5) динариев.
Составим второе уравнение: 7(х - 5) -- у + 5 .
88
Здесь и дал ее см. С правочную т аблицу (С. 204).
Решив систему двух уравнений, получим довольно громоздкие зна2
14
чения для х и у: х = 7-, у = 9-.
17
17
2
14
Следовательно, у первого было 7-, а у второго 9 - динариев.
17
17
Заметим, что составители задач в давние времена н е сильно за­
ботились о реалистичности числовых данных. Очевидно, что дина­
рий нельзя было разделить на 1 7 равных долей. Скорее всего, зада­
чи в то время имели еще целью тренировку обучаемых в сложных
расчетах .
9.16. Из «Начальных оснований алгебры . . . » Д. Аничкова (1 781). Мо­
лодой осел и ослица несли наполненные вином мехи. Ослица, неся
мехи, так устала, что не могла сойти с места. Видя это, молодой осел
сказал ей: «Если я из своего меха перелью одно ведро в твой мех, то
наши ноши сравняются. Но я того делать не хочу. Ты в мой мех перелей
одно ведро, и у меня будет вдвое больше твоего». Сколько ведер вина
находилось в мехах у ослицы и осла?
Следующая задача начинает серию задач на избыток-недостаток. Пер­
вая из них может быть решена с помощью уравнения с одним неизвестным
или с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными, но арифме­
тическое рассуждение превосходит оба эти способа решения по простоте.
Попробуйте найти и его.
9.17. Мама посчитала, что если дать детям по четыре конфеты, то
три конфеты останутся лишними. А чтобы дать по пять конфет, двух
конфет не хватает. Сколько было детей?
9 . 18. Если раздать детям по 1 тетради, останется 3 6 тетрадей, а
чтобы раздать по 3 тетради, не хватит 1 2 . Сколько тетрадей и сколько
детей?
9.19. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если
каждый человек внесет по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3 .
Если каждый человек внесет п о 7 , то недостаток равен 4 . Спрашива­
ется количество людей и стоимость вещи.
9.20. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает рас­
пределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь ди­
нариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздает
лишь по два, и у него еще остается три . Сколько было бедных?
89
9.21. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703 ). Некто желает
1
дать милостыню убогим, дав каждому из них по пенязя , но недоста­
ет денег на человека. Если бы дал им по 2 пенязя, тогда бы осталось де­
нег на человека. Спрашивается, сколько было убогих, и сколько у
того мужа было денег, и по сколько каждому досталось?
9.22. Старинная задача (Китай, II в.) . Сообща покупают курицу.
Если каждый человек внесет но 9 (денежных единиц), то останется
1 1 , если же каждый внесет по 6, то не хватит 1 6. Требуется найти коли­
чество людей и стоимость курицы.
9.23. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола.
Если каждые семь семей внесут по 1 90 (денежных единиц), то недостаток
равен 330. Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен
3 0 . Сколько семей и сколько стоит буйвол?
9.24. Старинная задача. Крестьянин хочет купить лошадь и для
этого продает р о ж ь . Если он продаст 1 5 ц ржи, то ему не хватит
для покупки лошади 80 р . , а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки
у него останется 1 1 О р. Сколько стоит лошадь?
9.25. Старинная задача. Некий человек покупал масло. Когда он да­
вал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же
стал давать з а 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с грив­
ною. Сколько денег было у человека?
9.26. ЕГЭ, 2008. Трое рабочих первого разряда и пять рабочих вто­
рого разряда выполнили некоторую работу за 2,5 дня. За один день
пять рабочих первого разряда и трое рабочих второго разряда выпол-
3
4 3
няют
34
этой работы. За сколько дней выполнят эту работу 6 рабочих
75
первого разряда и 15 рабочих второго разряда?
9.27. Машинистка рассчитала, что если она будет печатать ежед­
невно на 2 листа более установленной нормы, то окончит работу рань­
ше намеченного срока на дня. Если же она будет печатать ежед-
3
Пенязъ
(от староангл ийс кого пенега ) название серебряной монеты
в древн ей России. Так первонач ально назывались ан глосаксонские и гер­
мански е п еннинг и , во мно жестве обращавшиеся в IX-XI вв. в России.
В XV-XVI вв. пе н язем назьша ли сер ебрян ую польскую мон ету ; до сих пор
в польском языке слово pieniadze означ ает де н ьги, из всех мет аллов.
-
90
невно на 4 листа сверх нормы, то окончит работу на 5 дней раньше
срока. Сколько листов она должна напечатать и в какой срок?
9.28. Если продать 20 коров, то заготовленного сена хватит на де­
сять дней дольше, если же прикупить 30 коров, то запас сена исчерпа­
ется десятью днями раньше . Сколько было коров и на сколько дней
заготовлено сена?
Пусть для х коров на у дней запасено по z кг сена на день, то есть всего
xyz кг сена. Весь запас сена можно вычислить еще двумя способами:
(х - 2 0 ) (у + 1 O )z и (х + З О ) (у - 1 O)z.
Составим систему двух уравнений с тремя неизвестными:
(х - 20)( у + l O) z = xyz,
{
(х + 30)( y - 1 0) z = xyz.
Or «лишнего» неизвестного здесь легко избавиться, разделив обе час­
ти
{
каждого уравнения на z (z * О):
(х - 20)( у + 1 0) = ху,
(х + ЗО)( у - 1 0) = ху.
Эта система имеет единственное решение: х = 1 20, у = 50. Следова­
тельно, было 1 20 коров и сена заготовлено на 50 дней.
Попробуйте решить задачу иначе, вводя только два неизвестных.
9.29. Если продать 20 коров, то заготовленного сена хватит на
двадцать дней дольше, если же уменьшить выдачу сена на одну корову
в день на 20% (заменив сено другими кормами), то сена хватит еще на
1 5 дней. Сколько было коров и на сколько дней заготовлено сена?
9.30. ЕГЭ, 2009. Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и доба­
вив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вмес­
то 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получи­
ли бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора
использовали для получения смеси?
Пусть взяли х кг от первого раствора и у кг от второго раствора, тогда
взяли (О,7х + О,бу) кг кислоты, она составляет 50% от (х + у + 2) кг полу­
ченного раствора. Составим первое уравнение: О,7х + О,бу = О,5(х + у + 2).
Пусть во второй раз взяли х кг от первого раствора и у кг от второго
раствора и добавили О,9 · 2 = 1 ,8 (кг) кислоты, тогда взяли (О.7х + О,бу + 1 ,8)
кг кислоты, она составляет 70% от (х + у + 2) кг полученного раствора.
Составим второе уравнение: О,7х + О,бу + 1 , 8 = О,7(х + у + 2).
91
Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим: х = 3,
у = 4. Следовательно, для получения смеси использовали 3 кг 70%-го
раствора.
9.31 . Имеются два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке
отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором - 2 : 3. Если сплавить
1
5
- первого слитка с - второго, то в получившемся слитке окажется
3
6
2
столько золота, сколько было в первом меди, а если - первого слитка
3
сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется
меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота
в каждом слитке?
9.32. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это
же поле первая и вторая бригады вместе вспахивают за 6 дней, первая и
третья вместе - за 8 дней. Во сколько раз больше вспахивает в день
вторая бригада, чем третья?
Рассмотрим несколько задач, которые можно решить с помощью
системы трех уравнений с тремя неизвестными.
9.33. Дворники получают грабли и метлы. Если каждый возьмет
одну метлу или одни грабли, то останется 1 4 метел. А чтобы дать каж­
дому дворнику и одну метлу, и одни грабли, не хватает 1 0 грабель.
Сколько было метел и грабель в отдельности?
Пусть d- число дворников, g- число грабель, т - число метел. Тог­
да по результатам раздачи метел и грабель составим два уравнения:
m + g = d + 14; т + g = 2 d - 1 0 .
Заметим, что при второй раздаче предметов каждому дворнику хва­
тило бы по метле и метел не осталось бы, то есть метел было столько же,
сколько дворников. Это наблюдение дает нам недостающее уравнение:
m = d.
Решив систему трех уравнений с тремя неизвестными, получим:
d = 24, g = 14, т = 24, то есть было 24 метлы и 14 грабель.
Попробуйте найти арифметическое решение этой задачи.
9.34. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1 703). Три человека хотят
двор купить. Первый говорит второму: «дашь мне � денег, что имеешь,
4
и я один заплачу цену за двор». Второй говорит третьему: «дашь мне �
5
92
из твоих денег, и я один заплачу цену за двор». Третий говорит перво1
му: «Дашь мне - из твоих денег, и я один заплачу цену за двор». А двору
3
цена 1 00 р. Сколько каждый имел денег?
Пусть у первого было х р., у второго -у р., у третьего -z р. Соста­
вим систему трех уравнений:
3
х + - у = 1 00'
4
2
Y + - z = 1 00'
5
1
z + - х = 1 00.
3
Решив систему уравнений, получим: х = 50 р., у =
� р., z = 83 ! р.
3
2
1
Следовательно, у первого, второго и третьего были 50 р., 66- р., 83- р.
3
3
соответственно.
1
3
3 а м е ч а н и е . Если в условии задачи число 1 00 заменить на 300,
то ответ будет более правдоподобный: 1 50 р., 200 р., 250 р.
9.35. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека разговари­
вали между собой. Первый из них говорит второму: «Если бы мне взять
от твоих денег �. а от третьего �. тогда было бы у меня 1 50 р.>>. Второй
4
5
3
5
говорит третьему: «Если бы я взял твоих денег -, а от первого -, то я
7
5
тоже имел бы 1 50 р.>>. Третий говорит первому: «Если бы я взял от тво2
5
их денег -, а от второго -, то тоже имел бы 1 50 р.>>. Сколько денег каж7
4
дый в то время имел?
9.36. Три друга хотели купить книгу за 1 7 р . , но ни у кого не на­
бралось нужной суммы. Первый говорит друзьям: «Дайте мне каждый
по половине своих денег, и я куплю книгу». Второй говорит: «Дайте
мне по трети своих денег, и я куплю книгу». Третий говорит: «Дайте мне
по четверти своих денег, и я куплю книгу». Сколько денег было у каж­
дого?
93
9.37. Задача А . Ризе (1492-1559). Трое торгуют лошадь за 1 2 фло­
ринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый
говорит двум другим : «Дайте мне каждый по половине своих де­
нег, и я куплю лошадь)). Второй говорит первому и третьему: «Дайте
мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь)). Наконец,
третий говорит первым двум: «Дайте мне только по четверти ваших де­
нег, и лошадь будет мою>. Спрашивается, сколько денег было у каждого?
9.38. Из «Всеобщей арифметики» И Ньютона. Некто покупает
1
40 мер пшеницы, 24 ячменя и 20 овса за 1 5 фунтов 12 шиллингов • За­
тем он производит вторую закупку тех же сортов в 26 мер пшеницы,
30 ячменя и 5 0 овса за 1 6 фунтов . Наконец, он делает третью закупку
тех же сортов в 24 меры пшеницы, 1 20 ячменя и 1 00 овса за 3 4 фун­
та. Спрашивается цена меры каждого рода зерновых.
Иногда по условию задачи удается составить меньше уравнений,
чем введено неизвестных. В этом случае не удастся найти значения
всех неизвестных, но это бывает и не нужно для получения ответа. Рас­
смотрим для примера такую задачу.
9.39. ГА У, 1 995. Суммарный доход двух предприятий возрастет
втрое, если доход первого предприятия останется неизменным, а доход
второго увеличится в 4 раза. Во сколько раз надо увеличить доход пер­
вого предприятия, оставляя первоначальным доход второго, чтобы их
суммарный доход возрос в 4 раза?
Пусть первое предприятие имело доход х р., а второе предприятие ­
у р. Составим первое уравнение: 3(х + у) = х + 4у. Пусть доход второго
предприятия надо увеличить в п раз. Составим второе уравнение: 4(х +у) =
= пх + у. В системе
3х + 3 у = х + 4у,
{
4x + 4y = nx + у
неизвестных больше, чем уравнений. Выразим у через х из первого уравне4х + 3 у
�
ния: у = 2х. Теперь можно вычислить п из второго уравнения: п =
х
4х + 6х
=
=
х
Итак, доход второго предприятия надо увеличить в 1 О раз.
--
lO.
1
94
фунт
= 20 шиллингам.
9.40. ГА У, 1 995. Суммарный доход двух фирм возрастет вдвое, если
доход первой фирмы увеличится в 3 раза, а доход второй фирмы оста­
нется неизменным. Во сколько раз надо увеличить доход второй фир­
мы, оставляя первоначальным доход первой, чтобы их суммарный до­
ход возрос в 3 раза?
9.4 1 . Некто купил бананов и по дороге домой вычислял: он умно­
жил целую часть цены 1 кг бананов (в рублях) на целую часть массы
купленных бананов (в килограммах) и получил 8. Потом он умножил
целую часть цены на дробную часть массы и получил
Наконец, он
умножил дробную часть цены на целую часть массы и получил 1 . Опре­
делите стоимость купленных бананов.
2.
П р и м е ч а н и е . Целая часть числа х есть наибольшее целое число,
не превосходящее х, целую часть числа х обозначают [х] . Дробная
часть числа х есть х - [х ], ее обозначают: {х } ; х =
{ х} . Например,
[5] =
{ 5 } = О, [ 3,4 ] = 3, { 3 ,4 } = 0,4.
lx l +
5,
9.42. Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил
целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил це­
лую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил
дробную часть длины на целую часть ширины и получил
Опреде­
лите площадь прямоугольника.
9.43. Проливной дождь шел несколько часов подряд. Когда он на­
полнил некоторую часть открытого бассейна, включили насос для от­
качки воды. Он откачал воду за ч, в течение которых дождь продол­
жал лить. Если бы вместо первого насоса включили второй, в два раза
более мощный, то он откачал бы воду за ч. За сколько часов откачали
бы воду два насоса при совместной работе? Считайте процессы напол­
нения бассейна и откачки воды равномерными.
Пусть до включения насоса в бассейне было х л воды, за 1 ч налива­
лось в бассейн у л воды, первый насос откачивал из бассейна х л воды,
за t ч два насоса откачали воду из бассейна. По условиям задачи составим систему уравнений:
х
1,5.
5
2
{x +2y=2·2z,
+5y =5z,
х
z
+ · 3z.
ty = t
В системе уравнений число уравнений меньше, чем число неизвес­
тных, поэтому все ее решения найти не удастся, но это и не требуется.
95
х
Выразим t из третьего уравнения: t = -- . Вычитая второе уравнение
3z - y
уравнения выразим х через у:
первого
Из
Зу.
=
z
из первого, получим:
х
х = 1 0у. Теперь вычислим: t = __ = ___!_OL = 1 ! .
Зz - у 9у - у
4
Следовательно, два насоса откачают воду за 1 ч 1 5 мин.
Рассмотрим серию задач, интересную тем, что при их решении кро­
ме первоначального запаса травы нужно учитывать объем травы, при­
растающий ежедневно.
9.44. На лугу растет трава. 20 коров съедят всю траву за 2 1 день, а
3 0 коров - за 7 дней. За сколько дней всю траву на лугу могли бы
съесть 22 коровы?
После первого прочтения условия задачи может показаться, что в
условие задачи вкралась ошибка: если 20 коров съедят всю траву за
2 1 · 20
2 1 день, то 30 коров должны съесть траву за -- = 1 4 (дней). Но
30
ошибки нет. Дело в том, что мы пока еще не учли, что трава ежедневно
прирастает.
Пусть первоначальный объем травы на лугу t ед. , трава растет рав­
номерно, то есть ежедневно прирастает один и тот же объем травы х ед. ,
каждая корова съедает в день один и тот ж е объем у ед. травы (объем
травы измеряется некоторой общей для всех величин единицей).
А 22 коровы съедят всю траву на лугу за d дней. Составим систему
уравнений:
t + 2 1х = 2 1 - 20 . у,
{
t + 7х = 30 · 7 · у,
t + dx = 22 · d · у.
Далее, рассуждая как и при решении предыдущей задачи, получим:
d = 15.
Следовательно, 2 2 коровы съедят всю траву н а лугу з а 1 5 дней.
9.45. На лугу растет трава. 6 коров съедят всю траву за 6 дней, а
7 коров - за 4 дня. Сколько коров могли бы съесть всю траву на лугу
за 2 дня?
9.46. На лугу растет трава. 60 коров могли бы прокормиться на
этом лугу в течение 14 дней, а 5 0 коров - в течение 28 дней. Какое
96
наибольшее число коров могло бы пастись на этом лугу постоян­
но, пока растет трава?
9.47. Из «Всеобщей арифметики» И Ньютона. Двенадцать быков
1
съедают 3- югера 1 пастбища за 4 недели ; 2 1 бык съедает 1 0 югеров та3
кого же пастбища за 9 недель. Сколько быков съедят траву на 24 югерах
пастбища за 1 8 недель?
В завершение раздела, посвященного использованию систем урав­
нений для решения текстовых задач, рассмотрим несколько задач кон­
курсных экзаменов в вузы.
9.48. МГТУ, 1 995. Завод изготовил две партии изделий, при этом за­
траты на изготовление первой партии оказались на 20%, а второй пар­
тии - на 25% больше, чем планировалось. Таким образом, общие за­
траты превысили планируемые на 23% и составили 246 р. Какие
затраты планировались на изготовление каждой партии?
9.49. РЭА, 2000. Имеются два раствора кислоты в воде, содержащие
40% и 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получи­
ли 20%-ый раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80%-го раство­
ра, то получился бы 70%-ый раствор. Сколько литров 60%-го раствора
кислоты было первоначально?
Пусть первоначально было х л 40%-го раствора и у л 60%-го раство­
ра. После добавления 5 л воды объем кислоты не изменился, следова­
тельно, справедливо равенство:
О,4х + О,6у = О,2 · (х + у + 5).
После добавления пяти литров 80%-го раствора кислоты объем кис­
лоты увеличился на 0,8 · 5 = 4 (л). Теперь справедливо равенство
О,4х + О,6у + 4 = О,7·(х + у + 5).
Решив систему уравнений, получим х = 1, у = 2, то есть первоначаль­
но было 2 л 60%-го раствора кислоты.
9.50. РЭА, 2000. Имеются два раствора спирта в воде. Если смешать
весь первый раствор и 4 л второго, добавив 1 л воды, то получится
44%-ый раствор. Если смешать весь первый раствор и 2 л второго, доба­
вив 3 л 90%-го раствора, то получится 64%-ый раствор. Каково процен­
тное содержание спирта во втором растворе, если первый раствор со­
держит 60% спирта?
Югер - древняя римская мера площади (около
2500
2
м ).
97
9.51. ГА У, 1 99 3. Если пароход и катер пльmут по течению, то рассто­
яние от пункта А до пункта В пароход проходит в 1 ,5 раза быстрее, чем
катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же
они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в 2 раза
быстрее катера. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.
Пусть v км/ч - скорость парохода в стоячей воде, и км/ч - ско­
рость течения, s км - расстояние от А до В. Нам удастся составить
только два уравнения:
s
1,5s
s
2s
=
и --v -8 + и v+ u v -8- u v - u
с тремя неизвестными, но от одного неизвестного легко избавиться.
9.52. МГУ, хим. ф . , 1 966. Две бригады работали вместе 1 5 дней, за­
тем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого
вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатыва­
ет за день на 2 0% больше первой. Вторая и третья бригады вместе
могли бы выполнить всю работу за 0,9 времени, которое требуется для
выполнения всей работы первой и третьей бригадам, работающим со­
вместно. За какое время могли бы выполнить всю работу три бригады,
работая совместно?
9.53. ВШЭ, 1 99 3. Завод имеет сборочные линии трех типов. На каж­
дой линии первого, второго и третьего типов ежедневно собираются со­
ответственно 1 00, 400 и 30 приемников первого класса, а также 1 9, 69 и
5 приемников высшего класса. В сумме на всех линиях ежедневно соби­
раются 1 030 приемников первого класса и 1 8 1 приемников высшего
класса. Найти число имеющихся линий каждого типа, зная, что их об­
щее число не превосходит 1 О.
9.54. ГА У, 1 995. 1 0 кг картофеля, 1 5 кг свеклы, 10 кг моркови и
1 4 кг капусты вместе стоят 5 2 8 р. 1 5 кг картофеля, 6 кг свеклы, 4 кг
моркови, 2 1 кг капусты вместе стоят 5 5 0 р . Какова общая стоимость
20 кг картофеля, 1 2 кг свеклы, 8 кг моркови и 28 кг капусты?
9.55. ГА У, 1 995. В магазин привезли 30 ящиков апельсинов,
63 ящика яблок, 75 ящиков груш, 84 ящика слив. Ящики с одинаковыми
фруктами весят одинаково. 1 4 ящиков апельсинов, 1 5 ящиков яблок,
35 ящиков груш и 20 ящиков слив весят вместе 445 кг, а 6 ящиков апельси­
нов, 27 ящиков яблок, 1 5 ящиков груш и 36 ящиков слив весят вместе
4 1 7 кг. Сколько весят все привезенные в магазин фрукты?
---
98
--
9.56. МГУ, биол. -почв. ф . , 1 966. Имеются два раствора одной и
той же соли в воде. Для получения смеси, содержащей 1 О г соли и 90 г
воды, берут первого раствора вдвое больше по весу, чем второго. Че­
рез неделю из каждого килограмма первого и второго раствора испа­
рилось по 200 г воды, и для получения такой же смеси, как и раньше,
требуется первого раствора уже вчетверо больше по весу, чем второго.
Сколько граммов соли содержалось первоначально в 1 00 г каждого
раствора?
Пусть в 1 00 г первого и второго растворов содержалось первона­
чально по р и q г соли соответственно. Первый раз составили 1 0%-ый
1 0 · 1 00% раствор соли, так как
1 0%. Пусть первыи раз взяли 2т и г
1 0 + 90
первого и второго растворов соответственно. Составим уравнение:
2 р mq 1 0 2
1 00
1 00 1 00
которое перепишем в виде:
(1)
2р q = 30.
Через неделю и з каждого килограмма первого и второго растворов
�
т
--т + - = ( т + т) '
+
испарилось по 200 г воды, то есть доля соли составила _!!__ и .!L масс
80 80
первого и второго растворов соответственно.
Пусть второй раз взяли
и г первого и второго растворов со­
ответственно. Составим уравнение:
4т т
4тр + = 10(4т + т)
80 80
4р( +
mq
1 00
которое перепишем в виде:
q
'
=
(2)
40.
Решив систему уравнений 1 ) и (2), получим, что р = 5, q = 20. Следо­
вательно, первоначально в 1 00 г первого и второго растворов содержа­
лось 5 и 20 г соли соответственно.
9.57. МГУ, геол. ф., 1 966. Проценты содержания спирта в трех рас­
творах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый,
второй и третий растворы в отношении 2 : 3 : то получится раствор,
содержащий 32% спирта. Если же смешать их в отношении 3 : 2 : 1 , то
получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спир­
та содержит каждый раствор?
4,
99
9.58. МГУ, геол. ф., 1 966. Из пункта А выехал велосипедист, через
1 ч после него и в том же направлении выехал мотоциклист, а еще через
полчаса - автомобиль, причем каждый из них едет с постоянной ско­
ростью. Автомобиль догнал велосипедиста через 1 5 мин после того, как
проехал мимо мотоциклиста, а мотоциклист догнал велосипедиста в
1 20 км от пункта А. Найти скорости велосипедиста, мотоцикла и авто­
мобиля, если известно, что они образуют арифметическую прогрессию.
Пусть v, v + d, v + 2d км/ч - скорости велосипедиста, мотоциклиста
и автомобилиста соответственно (d =F- О), и автомобиль догнал мотоцикл
через х ч после своего выезда, а у ч - промежуток времени между мо­
ментами обгона велосипедиста сначала автомобилем, а потом мотоцик­
лом. Составим систему уравнений:
{ �)
и( � ) { � }
{ �)
{ �)
(v + d
х
х
+
= (v + 2d)x,
= (v + 2d
+
(v + d
х
х
+ у+
+ у+
х
+
= 1 20,
= 1 20.
Для составления системы полезно нарисовать графики движения ве­
лосипедиста, мотоциклиста и автомобилиста. Перепишем систему в
виде:
1
1
- v + - d = dx,
2
2
3
1
V = 2dx + - d,
2
2
3
3
vx + vy + - d + - v + dx + dy = 1 20,
4
4
7
vx + vy + - v = 1 20.
4
Из первого уравнения имеем v = 2dx - d, подставив это выражение
вместо v во второе уравнение и учитывая, что d =F- О, имеем х = 2. Тогда
v = Зd. Подставив 2 вместо х, Зd вместо v в третье и четвертое уравне­
ния, получим:
-
1 00
{
1 1 d + 4dy = 1 20,
1
1 1 - d + 3dy = 1 20,
4
1
откуда у = -, d = 1 О, v = 30, v + d = 40, v + 2 = 50. Следовательно, ско4
р а сти велосипедиста, мотоцикла и автомобиля равны 30, 40, 50 км/ч
соответственно.
9.59. МИФИ, 1 996. Расстояние между пунктами А и В равно 1 км.
Одновременно из пункта А по направлению к В вышли два пешехо­
да, а из пункта В им навстречу - третий. Первый и третий пешеходы
повстречались через 3 ч после начала движения. В тот момент, когда
первый пешеход оказался в пункте В, второй пешеход находился в
1 О км от этого пункта. Определите скорость второго пешехода, если
известно, что скорости пешеходов постоянны, причем скорость вто­
рого пешехода больше скорости третьего на 2 км/ч, но меньше скорос­
ти первого.
Пусть скоросrь вrорого пешехода - х км/ч, скорость первого -у км/ч .
Первый пешеход прошел весь путь быстрее второго, поэтому х < у.
С корость третьего пешехода (х - 2 ) км/ч . Так как первый и третий
пешеходы встретились через 3 ч, то 3(у + х - 2) = /. Это первое уравне­
ние системы.
1
� пешеход прошел весь путь за ч, второи� пешеход за это время
первыи
у
lx
lx
прошел - км, или (/ - 1 0) км, то есть - = / - 1 0 ( здесь / - 1 0 > О). Это втоу
у
рое уравнение системы.
Решим систему уравнений с неизвестными х и у:
3 ( + х - 2) = /,
{�
- = l - 1 0.
у
Из второго уравнения системы выразим у через х и /:
у=
lx
°
1 - 10
Полученный результат подставим в первое уравнение системы, полу(/ + 6)( / - 1 0)
3/х
�
.
х=
чим уравнение: -- + 3х - 6 = /, из которого наидем:
6(/ - 5)
1 - 10
101
Итак, скорость второго пешехода равна
(/ + 6)(/ 6(/ - 5)
l O)
км/ч.
9.60. МГУ, х им . ф., 1 966. В озеро впадают две реки. Пароход выхо­
дит из порта М на первой реке, плывет вниз по течению до озера, затем
через озеро (где нет течения) и по второй реке вверх (против течения)
до порта N Затем пароход возвращается обратно. Скорость парохода
при отсутствии течения равна v, скорость течения первой реки v 1 , вто­
рой реки - v 2 , время движения парохода от М до N равно t, а длина пути
от М до N равна S. Время обратного движения от N до М по тому же
пути также равно t. Какое расстояние пароход идет по озеру в одном на­
правлении?
9.61. МГУ, эк он. ф., 1 993. За время хранения вклада в банке процен­
ты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, за1
1
тем - 1 1 -%, потом - 7-% и, наконец, 1 2% в месяц. Известно, что под
9
7
действием каждой новой прqцентной ставки вклад находился целое
число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма
вклада увеличилась на 1 80%. Определите срок хранения вклада.
Пусть а р. (а * О) положили на т месяцев под 5% в месяц. Получен1 00
ную сумму положили на п месяцев под -% в месяц. Затем - на k ме9
50
сяцев под -% в месяц и нар месяцев под 1 2% в месяц. За т + п + k + р ме7
(
5
сяцев вклад а р. обратился в а 1 + 1 00
=а
( �� Т( ; J (�� J (��
1
Составим уравнение:
J
)m(
1+
1 00
-
900
)(
"
50
1+700
(
)k(
р. шm по условию задачи в а- 1 +
a(��JC:JC �J(��J
=
�-
12
1 +1 00
���
)
=
)
р
=
;а р.
1
Разделив полученное уравнение на а (а * 0), перепишем уравнение в
виде:
102
У множив его на 20 т · 9 n · 1 4 k · 25 Р · 5, получим равносильное ему
уравнение:
2
5 · 2 1 т · 1 0 п · 1 5 k · 28 р = 20 т · 9 " · 1 4 k+ l · 5 Р .
Разложив обе части равенства на простые множители, получим ра­
венство:
2
2
2
+ 2р . m+ k . n+ k+ l . 7 т+р
= 2 m+ k+ I . 3 n . 5 т+ р . 7 k+ l
2п
3
5
Из единственности разложения натурального числа на простые
множители ( основная теорема арифметики) следует, что
п + 2р = 2т + k + 1 ,
т + k = 2п,
п + k + 1 = т + 2р,
m +p = k+ 1.
Решив систему четырех уравнений, получим, что т = 2 , п = 3 , k = 4,
р = 3. Так как т + п + k + р = 12, то деньги были вложены в банк на
1 2 месяцев.
9.62. МГУ, экон. ф., 1993. Техническая реконструкция предприятия
бьmа проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число
месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение
2
производства сосгавило на первом этапе 4%, на втором - 6=%, на третъ3
1
2
ем - 6-=-% и на четвертом - 14=-% в месяц. По окончании реконструкции
7
4
первоначальный объем производства на предприятии сократился на
3 7о/о. Определите продолжительность периода реконструкции.
9.63. МГУ, ФНМ, 1 999. Из города в деревню одновременно отправи­
лись бегун Б и пешеход П 1 , а в тот же момент из деревни в город вышел
пешеход П2 • Скорости пешеходов бьmи равны. Встретившись, Б и П2
некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При
этом Б побежал с прежней скоростью, равной 1 2 км/ч, а П2 уменьшил
свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибе­
жал Б, а затем через промежуток времени, в два раза больший длитель­
ности встречи Б и П2, одновременно пришли оба пешехода. Найдите
скорость пешехода П 1 •
Пусть П2 и Б двигались д о встречи х ч , скорости П 1 и П2 равны
v км/ч. Скорость П 2 после остановки уменьшилась в 1 ,5 раза, следова0
103
тельно, на обратный путь П2 затратил в 1 ,5 раза больше времени, то есть
1 ,Sx ч. Пусть время остановки равно у ч, тогда Б прибыл в деревню на
2у ч раньше п l .
Расстояние от города д о деревни вычислим тремя способами:
( 1 2 + v)x = v(2,5x + у) = 1 2(2,Sx - 2у).
Составим систему уравнений:
(1 2 + v)x = v(2,5x + у),
{
(1 2 + v)x = 1 2(2,Sx - 2у).
Выразив из каждого уравнения системы отношение l', приравняем по­
х
лученные результаты:
1 2 - 1,Sv 1 8 v
-
24
v
Решив полученное уравнение, найдем два его корня: v1 = 6 и v2 = 48.
Так как скорость пешехода меньше скорости бегуна, то она равна
6 км/ч.
9.64. МГУ, ФНМ, 1 999. Из города в деревню одновременно выехали
велосипедист В и мотоциклист М 1 , а в тот же момент из деревни в город
выехал второй мотоциклист М 2 • Скорости М1 и М 2 были равны 30 км/ч.
Встретившись, В и М 2 некоторое время стояли на месте, а затем оба на­
правились в деревню. При этом В поехал с прежней скоростью, а М2
увеличил свою скорость в три раза. В результате М1 и М 2 прибыли в де­
ревню одновременно, а через промежуток времени, в десять раз боль­
ший длительности встречи В и М2 , в деревню приехал В. Найдите ско­
рость велосипедиста В.
9.65. МГУ, ВМиК, 2000. Имеется некоторое количество раствора
соли в воде. После испарения из раствора двух литров воды концентра­
ция соли возросла на 20%, а после разведения получившегося раствора
десятью литрами воды концентрация соли стала в 2 раза меньше перво­
начальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая
массу 1 л воды равной 1 кг.
Пусть масса первоначального раствора х кг, а концентрация соли в
воде р % (р > О). После испарения двух литров воды масса раствора ста­
ла равна (х - 2) кг, а концентрация соли в воде (р + 20) %. Так как масса
соли при этом не изменилась, то справедливо равенство:
104
рх
(р + 20)(х - 2)
1 00
1 00
После разведения получившегося раствора десятью литрами воды
концентрация соли в воде стала в 2 раза меньше первоначальной и равна .!!_ %. Так как масса соли и на этот раз не изменилась, то справедливо
2
равенство:
р
(х + 8)
рх = �2
1 00
1 00
Решив систему уравнений, получим: х1 = 8,р1 = 60 и х2 = 2, р2 = О. Так
как р > О, то концентрация соли в исходном растворе равна 60%.
9.66. МГУ, ВМиК, 2000. Имеется некоторое количество раствора
соли в воде. После добавления в раствор трех литров воды концентра­
ция соли уменьшилась на 1 5%, а после испарения из получившегося
раствора пяти литров воды концентрация соли стала в 3 раза больше
первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе,
считая массу 1 л воды равной 1 кг.
9.67. МТУСИ, 2000. Стива Облонский и Васенька Весловский пое­
хали на охоту. Спустя некоторое время вслед за ними отправился Кон­
стантин Дмитриевич Левин. Через час после своего выезда Левин нахо­
дился на равном расстоянии от Облонского и Васеньки, а еще через
1 ,5 ч, обогнав обоих, Левин был в 8 раз дальше от Стивы, чем от Васень­
ки. Найдите, через сколько времени после выезда Облонского и Вес­
ловского выехал Левин, если он догнал Васеньку через 3 ч после выезда
своих гостей.
Изобразим графики движения: Облонского - OS; Весловского O V; Левина - КL (рис. 1 3) . Пусть Константин Дмитриевич отправился
через х ч после своих гостей (ОК = х). Через час (КМ = 1 ) Левин нахо­
дился на равном расстоянии от Облонского и Васеньки ( АВ = ВС = z) . Че­
рез 3 ч после выезда гостей Левин обогнал Васеньку (МР = ОР - ОМ =
= 2 - х), а еще через 1 , 5 ч, обогнав обоих, Левин бьm в 8 раз дальше от
Стивы, чем от Васеньки (PN = МN - МР = 1 ,5 - (2 - х) = х - 0,5, L V = у, VS =
= 1у).
=
___
1 05
х
к
м
2 -х
1;; _ 0 5N
'
Рис. 1 3 .
7у os
Из подобия ЛА ОС и Л VOS, ЛСОМ и ЛSON следует, что - =
,
2z ОС
os х + 2,5
7у х + 2,5
=
, откуда - =
.
х+1
ОС
х +1
2z
Из подобия ЛLТV и ЛЕТА и теоремы о пропорциональных отрезках
у TV TV х - 0,5
следует, что - =
,
=
, откуда
z АТ АТ
2-х
у х - 0,5
.
-2-х
z
Составим уравнение:
х + 2,
7(х
=
2(2 - х)
х +1
-
-
--
--
-
-
--
--
5
-0,5 )
Эго уравнение имеет единственный положительный корень 1, следо­
вательно, Левин выехал через 1 ч после выезда своих гостей.
106
1 0 . ЗАДАЧИ , РЕШАЕМЫЕ
В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
Для решения следующих задач будут использоваться уравнения с
двумя неизвестными, принимающими натуральные значения. Эти
уравнения часто называют диофантовыми в честь Диофанта (111 в.).
Начнем с задач, приводящих к уравнениям первой степени.
10.1. Определите, можно ли отпустить со склада 1 7 кг гвоздей ящи­
ками по З и 5 кг, не нарушая их упаковки?
Обозначим через х количество ящиков по З кг, через у количество
ящиков по 5 кг. Так как 1 7 не делится ни на З, ни на 5, то выдать 1 7 кг
гвоздей не удастся ящиками одного вида, поэтому решение задачи сво­
дится к поиску натуральных решений уравнения с двумя неизвестными:
Зх + 5у = 1 7 .
Несложным перебором п о у (у = 1, 2, З) найдем единственное реше­
ние (х; у) этого уравнения в натуральных числах: ( 4; 1 ). Таким образом,
со склада можно отпустить 4 ящика по З кг и 1 ящик по 5 кг - всего
1 7 кг гвоздей, не нарушая их упаковки.
Решим в натуральных числах другое уравнение:
Зх + 5у = 60.
(1)
Чтобы не перебирать все значения у от 1 д о 1 1 , заметим, что числа З
и 60 делятся на З , следовательно, 5у делится на З . Но 5 не делится на З ,
поэтому 5у делится н а З тогда и только тогда, когда у делится н а З.
Обозначим у = Зу1 ' где у 1 - натуральное число. Подставим Зу 1 вместо у
в уравнение ( 1 ) и разделив полученное уравнение на З , имеем:
(2)
х + 5у\ = 20.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что х делится на 5. Обозна­
чим х = 5х 1 ' где х 1 - натуральное число. Подставим 5х1 вместо х в урав­
нение (2) и, разделив полученное уравнение на 5, имеем: х1 + у1 = 4.
Это уравнение имеет три очевидных решения (х 1 ; у1) в натуральных
числах: ( 1 ; З), (2; 2), (З ; 1 ) . Теперь, пользуясь формулами х = 5х 1 и у = Зу1 ,
1 07
найдем решения (х; у) уравнения ( 1 ) в натуральных числах: (5; 9), ( 1 0; 6),
( 1 5 ; 3).
Использованный здесь метод решения диофантового уравнения
в натуральных числах будем называть методом понижения коэффи­
циентов.
10.2. Купили несколько мороженых по 35 р. и пирожных по 27 р. на
480 р. Определите, сколько мороженых и сколько пирожных купили.
Пусть купили т мороженых и р пирожных (т и р - натуральные
числа). Тогда верно равенство 35т + 27р = 480.
Чтобы сократить процесс поиска решений этого уравнения, заметим,
что для наименьшего значения т = 1 корень уравнения р = 1 6,4 . . . - чис­
ло не натуральное. Если увеличивать значения т в равенстве 27р =
= 480 - 35т, то значения р будут уменьшаться, то есть р < 1 7.
Числа 3 5 и 480 делятся на 5 , а число 27 не делится на 5 , значит, ра­
венство возможно только для тех р , которые делятся на 5. То есть нату­
ральное число р меньше 1 7 и делится на 5 . Для р = 5, 1 О, 1 5 из равенства
т - 480 - 27р наидем соответствующие значения т - 9,8 . . . , 6, 2, 1 . . . .
35
Условию « m
натуральное число» удовлетворяет лишь т = 6, тогда
р = 1 0.
Итак, купили 6 мороженых и 1 0 пирожных.
Решите ту же задачу методом понижения коэффициентов.
10.3. Купили 7 одинаковых блокнотов и 6 одинаковых книг на 378 р.
Определите цену 1 блокнота (она больше 20 р.) и цену 1 книги (она
больше 30 р.), если известно, что цены выражаются натуральными чис­
лами.
10.4. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1 180-1240). Некто
купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев
заплачена 1 монета, за каждых двух горлиц - также 1 монета и, нако­
нец, за каждого голубя - по 2 монеты. Сколько бьmо птиц каждой по­
роды?
Пусть купили х воробьев, у горлиц, тогда голубей купили (30 -х -у).
Здесь х и у - натуральные числа. Составим уравнение:
1
1
3х + + 2 (30 - х - у) = 30,
�
-
-
Z
которое перепишем в виде:
108
·
1 0х + 9у = 1 80
(3)
Применив
метод
понижения
коэффициентов,
перепишем
уравнение
(3) в виде:
Х1 +у1 = 2, числа.
где Это
х = 9хуравнение
, х1 иуединственное
1 , у= 10у1имеет
1 -натуральные
решение
в натуральных
числах:
хное1 = решение
l ;y 1 = 1. Теперь
по
формуламх
=
9х
иу
=
10у
найдем
единствен­
1
1
уравнения (3) в натуральных числах: х = 9, у= 10. Тогда
30 -х-у
=
11.
Итак,решения
на 30 монет
купили 9своробьев,
10компьютера
горлиц и 11 составим
голубей. про­
Для
задачи
помощью
грамму
с двумя
циклами.
Для упрощения
набораэтогопрограммы
будем
проверять
выполнение
равенства
(3).
С
помощью
равенства
проще
определить
границызначении
значенийу=х и1у.неизвестное х принимает наибольшее
При
наименьшем
значение
(180 - 9)значении
: 10 = 17,1.
Такнеизвестное
как число хунатуральное,
тонаиболь­
х ::::; 17.
При
наименьшем
х
=
1
принимает
у:::;шее18.значение (180- 10) : 9 = 18,88"" Так как число у натуральное, то
10.4
1 'ПРОГРАММА 1 0. 4
S N=O
10 FOR X= 1 ТО 1 7
20 FOR У= 1 ТО 1 8
3 0 IF 1 0*Х+9*У= 1 80 THEN PRINT "вор.
"гол. - "; 30-Х-У: N=N+ 1
40 NЕХТ У
SO NEXТ X
60 PRINT "Число решений задачи:"; N
70 END
-
" Х; "гор.
;
-
" · У;
Программа
подтверждает
единственность
найденного ранее ре­
шения
задачи
и
дает
тот
же
ответ.
Решите следующие задачи, используя метод понижения коэффи­
циентов.
Купили
40 птиц
загорлиц
40 монет.
За каждых
треха заворобьев
платили
12 монету,
за
каждых
двух
платили
1
монету,
каждого
монеты. Сколько было куплено птиц каждой породы? голубя
30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби -по 2 и
10.4
10.5.
10.6. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1 180- 1 240).
109
пара
куплено птиц каж­
дого воробьев
вида? -по монете. Спрашивается, сколько
1 петух стоит
51 цяней
(денежных
единиц),
1
курица
стоит
3
цяня,
3
цыпленка
стоят
цянь.
Всего
на
100
цяней
купили
100
птиц.
Спрашивается,
сколько
было
в от­
дельности петухов, кур, цыплят?Двенадцать человек несут 12 хлебов;
каждый
мужчина
несет
по Сколько
2 хлеба,было
женщина
по половине
хлеба,
ребенок
по
четверти
хлеба.
мужчин,
женщин
и
детей?
задачи, которые в старые времена называли задачами
«НаРассмотрим
девичье правило».
26
персон
издержали
вместе
88 марок,по причем
мужчины
издержали
по 6и марок,
женщины по 4, де­
вушки
Сколько
было
мужчин,
женщин
девушек?
Пусть уравнение:
было мужчин,
женщин,
тогда
девушек
былоперепишем
26 - в
Составим
6
4
2(26
88,
которое
виде
18.в натуральных числах: ( 1; 16),
Это
уравнение
имеет
8
решений
(2; 14), (3; 12), (4; 10), (5 ; 8), (6; 6), (7; 4), (8; 2). Следовательно, задача
имеет
8 решений:
мужчин,12,женщин
и10,девушек
было
соответственно
1,7, 4,16,9,или2,
14,
10,илиЗ,
11,или4,
12,или5,
8,
13,или6,6,
14,или
15,
или
8,
2,
16.
ОднаАлькуина
из первых(VIII
задачв.рассматриваемого
типа содержится в сборни­
ке задач
) . 100 шеффелей (денежных
единиц)
разде­
лили между мужчинами, женщинами и детьми и дали1 при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам -по 2 и детям -по -шеффеля.
Сколь2
ко былоАлькуина
мужчин,приведено
женщинодно
и детей?
решение:в тексте
11, 15,задачи,
74. либовидно,
условие
«100
персон»
могло
быть
пропущено
просто
име­
лось
в виду. Задачу
с этимчисла
условием
рассмотрим
позже,
а пока составим
программу
подсчета
всех
решений
задачи
Алькуина.
Пусть было
мужчин, женщин и детей. Составим уравнение:
1
3т 2g 2 100, которое перепишем в виде
10.7. Задача Джон Цюцзяня (Китай, V в.).
10.8. Старинная задача.
10.9. Задача А дама Ризе (XVI в.) .
2
т
g
т + g+
т
т
g) =
2т + g =
(т ; g)
10.10. Задача Алькуина.
Как
У
для
т
+
1 10
+ .:.д =
g
d
-
g.
здесь 2 � � 190, 1 � � 32, 1 4g� g � 48. 200,
+d=
бт +
d
т
1 'ПРОГРАММА 1 0. 1 0
5 N=O
10 FOR М= 1 ТО 32
20 FOR G = 1 ТО 48
30 FOR 0=2 ТО 1 90
40 IF 6*M+4*G+D=200 THEN PRINT "м. -"; М; ''ж. -"; G; "д. -";
D: N=N+ 1
50 NEXТ D
NEXТ G
70 NЕХТ М
80 PRINT "Число решений задачи:" ; N
90 END
60
После запуска прогр
е1р0чки :
м. - 1
м. - 1
ж.
ж.
аммы
м а «задумается», по экрану побеrуr
ашин
- 1 д. - 1 90
- 2 д. - 1 86
Наконец, появится запись:
Это означает,
что задачи
задача Алькуина,
Алькуина имеет
784 решения.
Изменим
условие
введя
условие«
100 персон». Это
уменьшит 100
числошеффелей
решений.разделили между 100 мужчинами,
женщина­по
ми и детьми и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам
2 и детям по !2 шеффеля. Сколько было мужчин, женщин и детей?
взадача
задачев
Какоеонанаименьшее
числоСколько
персон решений
должно быть
имеет
чтобы
имела
решение?
этомСоставим
случае? программу для решения этой задачи. Пусть было х
g женщин, (х g) детей.
было мужчин,
которыхи упростим
персон,
Составимсреди
уравнение
его:
1
g) 100,
2g -:{х
2Зg х 200.
Число решений зада чи: 784
10.1 1 .
10.12.
10.10,
т
Зт +
+
5т +
-
-
+
т
-
т
-
=
=
111
Так
как
3
не
дает
решения
задачи,
то
наименьшее
для
которого
задача
решение, будемзначения
искатьотс помощью
хот
4ветственно.
до 40.Алькуина
При этомимеет
т и «пробегаюD>
до 38 и отцикла
1 до 63посоот­
х
х,
=
g
1
1 'ПРОГРАММА 1 0. 1 2
1 0 FOR Х=4 ТО 40
20 FOR М= 1 ТО 38
30 FOR G=1 ТО 63
40 D=X-M-G: S=5*M+З*G+X
50 IF S=200 A ND D>O THEN PRINT "м. - "; М; "ж. - "; G; "д. - ";
О: N=N+ 1
60 NEXТ G
70 NЕХТ М
8 0 РR/NТ "Для ч и сл а п е р с о н "; Х; "ч и сл о р е ш е н и й "; N
90 IF N>O G O TO 1 1 0
1 00 NЕХТ Х
1 1 О PRINT "Задача имеет решение при наименьшем числе
персон"; Х
120 END
Водновременном
строке 40 находим
число детей
и число200шеффелей
В строке
50
при
вьmолнении
условий
и
дается
команда
печатать
найденноепоиска
решение.
Для(строка
каждого80).значения
х программа
печатает
результат
решений
По
окончании
каждого
цикла (по т) программа печатает:
d
s
=
s.
d> О
Для числа персон 4 число решений О
Для числа персон 5 число решений О
После того
как припеременная
некотором примет
значениизначение,
х будет равное
найденочислу
одно или
несколько
решений,
най­
денных
решений,
и
программа
выйдет
из
цикла
по
х.
Появятся
три
по­
следние строки:
п
м. - 3 1 ж. - 3 д. - 2
Для числа персон 36 число решений 1
Задача имеет решение при наименьшем числе персон 36
1 12
Купил
некто
на
80
алтын
гусей,
и чирков.
покупал80 поптиц.2 алтына,
утку по 1 алтыну,
жептицпокупил?
3утятденьги,
а всехГусякуплено
Спрашивается,
сколько чирка
каких
Магницкого
приведено
лишь
одно
решение
задачи:
15
гусей,
30 чирков,
однако задача имеет больше решений. Найдите чис­
ло35 уток,
решений
задачи.
Кромеи другие
задач рассмотренного
типа в «Арифметике»
Магницко­
годляесть
задачи
на
неопределенные
(диофантовы)
уравнения,
которыхНекий
авторторговец
указываетимелтолько
односорта
решение.
четыре
вина
разной
цены:
по
1•
10хочет
алтын,изпотех8 алтын,
по
6
алтын
и
по
5
алтын
и
2
деньги
за
галенок
вин
налитьСпрашивается,
бочку в 80 галенков,
чтобы галенок
былвида
це­
ною
6
алтын
и
4
деньги.
сколько
галенков
каждого
нужно взять
для наполнения
тойвсебочки?
Магницкий
переводит
копейкиодно
(четыре
вина
позадачи
30, 24,(рис.18 14).и 16 к. , смесь -по 20цены
к.) и внаходит
из 268сорта
решений
10.13. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.
У Л. Ф.
Л.Ф.
10.14.
И
Л.Ф.
r ---- 4-
Рис. 1 4 .
Галенок - мера жидкости , н апример, вина, галенок - порция. Проис­
ходит от англ . или франц. gallon (галлон).
1 13
Алеша наГриши
3 годаистарше
Бори20 больше
и на 6 летпроизведения
старше Вовы.возрастов
Произ­
ведение
возрастов
Бори
на
Алеши
и Вовы.
Сколько
лет6),Грише?
Пусть
Алеше
лет
а
Грише
-g
лет.
Тогда
Боре
3)
года,
ВовеВыразим
- 6) лет.из этого
Составим
уравнение:
- 6)и+выделим
20 = g(a -целую
3). часть
уравнения
g
через
дроби:
g = -3+20 _ 3 + __!_!__-3 .
Очевидно, что число g-натуральное
тогда,Грише
когда12алет.= 4 или
тогдачиновник
g = 12.только
Значит,
а = 14. Так как 6, то а = 14,Некий
купил
лошадейа заи быков
за
1быка
770 талеров.
За
каждую
лошадь
он
уплатил
по
31
талеру,
каждого
-по
21
талеру.
Сколько
лошадей
и
быков
купил
чиновник?
Пусть чиновник купил х лошадей и у быков. Тогда справедливо ра­
венство:
31х + 21у = 1770.числа. Так как 21 и 1770 де­(4)
По
смыслу
задачих
и
у-натуральные
лятсянаЗ,
31х делится
наЗ их делитсянаЗ.
Пустьх= Зх 1 , гдех 1 -на­
туральное точисло,
тогда справедливо
равенство:
Зlх1 7у = 590,
5907у
откудах1 = 31 .
Преобразуем полученное
выражение:
590-7у
_
х1 = 31 =19 + 1 -317у =19- 7у-1
31
Очевидно,
чтонатуральное
число х1 будет
натуральным,
еслипроизойдет,
7у- 1 делится
на9.
31.Приэтомх
Наименьшее
,
при
котором
это
равно
у
Первоеперебором
решение уравнения
(4)заметим,
найдено:что(51;сле­9).
1 = 17,х=51.долгим
Чтобы
не
заниматься
значений
у,
дующие
целые
х
будут
получаться
от
увеличения
у=
9
на
число,
крат­
1
ное 31. В самом деле, 7·(9+
увеличим
у = 9 на 62+7k 7k
k)
-1
х1 =19- 31 =19- 31 =17- 31 _
Теперь видно, что х1 будет целым, если 7k делится на 31, то есть если
k делитс
я на 31.
10.15.
а
(а >
(а
(а
а(а
а
2
а - ба
=а
а
а
а>
10.16. Задача Л. Эйлера.
+
k:.
1 14
При
у= 409 3131==4071имеем:
хх1 ==1 3, хх == 9.30.
При
у=
имеем:
1 х1 отрицательны. Таким обра­
При
следующих
значениях
у
значения
зом,
уравнение
(4) имеет купил
3 решения
в натуральных
числах:
(51;и 40,9),
(30;
40),
(9;
71).
Чиновник
лошадей
и
быков:
51
и
9,
или
30
илиЗдесь
9 и 71мысоответственно.
применили
еще один прием
поиска натуральных
решений
уравнения
с
двумя
неизвестными
выделение
целой
части
выраже­
ния,
принимающего
натуральное
значение,
и
поиск
значения
неизвес­
тного,Рассмотрим
при котором
получившаяся
дробьтура
является
целым числом.
две
задачи
из
заочного
Соросовской
олимпиады
(1998). Иван Иванович пришел в магазин, имея 20 р. В магазине
про­
давали
веники
по
1
р.
17
к.
и
тазики
по
1
р.
66
к.
(других
товаров
в
мага­
зине
ужечтобы
не осталось).
Сколько
веников
и сколько
тазиков ему нужно
купить,
потратить
как
можно
больше
денег?
Попробуем
всесумму
2000 нек. Если
решение для этой суммы бу­
детПусть
найдено,Ивантопотратить
уменьшать
потребуется.
Иванович
купил х веников и у тазиков. Тогда верно ра­
венство:
117х
166у
=
2000.
делятся на2,число,
то 1 17хтогда
делится
на2 их делитсяна2.
ПустьТакхкак
= 2х1661 , гдеи х2000
справедливо
равенство:
1 -натуральное
117х
83у
=
1000,
1
1 = 12 -х1 34х1 -4
откуда у= 1000-117х
83Наименьшее натуральное
83 число х , при котором число
Здесь
х
8.
1
1 у= 5. Следующие
34х
-4
делится
на
83,
равно
5.
При
этом
х
=
2х
=
1
1
1
, придругих
которыхрешений
число 34х
-4 делитсячислах
на 83, неэтоменьше
88, ноне
1
1
хзначениях
8.
Поэтому
в
натуральных
уравнение
1
имеет.
Итак, Иван
Иванович
должен
купить
10
веников
и
5
тазиков.
Числохтаково,
что
15% от него
и 33%
отнего-целыеполо­
жительные
числа.
Каково
наименьшее
число
х
(не
целое!) с
таким свойством? Группу школьников нужно обязательно
перевезтитипаиз Алетнего
лагеря
одним
из
двух
способов:
либо
двумя
автобусами
за не­
сколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов,
О,
+
+
10.17.
+
+
�
О,
�
10.18.
10.19. ЕГЭ, 201 0.
1 15
причем
в
этом
случае
число
рейсов
каждого
автобуса
типа
В
будет
на
одинавтобусы
меньше,заполняются
чем рейсов каждого
автобуса
типа
А. В каждомколичество
из случа­
евшкольников
полностью.
Какое
максимальное
можно
перевезтименьше,
при указанных
условиях,
если в автобус
типаПусть
В входит
на
7
человек
чем
в
автобус
типа
А?
три
автобуса
типа
В
совершат
х
рейсов,
перевозя
по
у
человек
или дваТакавтобуса
типа
Аслучаях
совершатбудет
(х + 1)перевезено
рейсов, перевозя
пото (уже+ число
7) че­
ловек.
как
в
обоих
одно
и
школьников, то
+ l)(y + 7),
3.ху
=
2(х
откуда
(х-2)у = 14х + 14.
Так как прих = 2 последнее равенство неверно, то х 2 иу= 14хх -2+ 14
= 14 + х42-2 . При х = 1 число у отрицательное, поэтому число (х -2) является каждого
одним изизнатуральных
делителей
числачисло
42 (1,детей
2, 3, 3.ху
6, 7,и14,среди
21, 42).
Для
делителей
числа
42
найдем
них
наибольшее значение 3ху.
хх -2-2 == 2,1, тото хх == 4,3, у=
56, 3ху
== 420;
504;
Если
35,
3.ху
у=
Если
== 21,28, 3ху=
420;
Еслих-2
== 6,3, тотохх == 5,у
х
-2
8,
у
3ху
=
504;
Если
20,
3.ху
=
540;
Если
х
-2
=
7,
то
х
=
9,
у=
= 816;
то х == 23,у
16, у == 16,17, 3.ху
Если х -2 == 21,14, тох
3.ху
=
11980.
104;
Еслих-2
Еслих-2
=
42,
то
х
=
44,у
=
15,
3.ху
=
Итак, наибольшее число школьников, которое можно перевезти,
равно 1980.
Всиние,
двух коробках
лежали было
карандаши:
в
первой
красные,
во
второй
причем
красных
меньше,
чем
синих.Затем
Сначала
40% карандашей
из первойвокоробки
переложили
во
вторую.
20%
карандашей,
оказавшихся
второй
коробке,
пере­
ложили
в первую,
при
этомэтого
половину
из перекладываемых
карандашей
составляли
синие.
После
красных
карандашей
в
первой
коробке
оказалось на 26 больше, чем во второй, а общее количество карандашей
*
--
10.20. МГУ, биол. ф., 1 996.
1 16
--­
во второй коробке увеличилось по сравнению с первоначальным более,
чем на 5%. Найдите общее
количество
синих
карандашей.
Купил99 Роман
раков:крупных.
вчера мелких-по
ценеон51ис­к.
затратил
штуку,25 ар.сегодня
-по
к.
,
но
очень
Всего
на
раков
к., изк.нихОпределите,
переплатысколько
из-за отсутствия
сдачиРоман
в сумме
со­и
ставили
от
до
раков
купил
вчера
сколько сегодня.
двух
братьевстолько
бьmо стадо
баранов.
Ониголовпродали
егов стаде.
и за каж­
дого
барана
получили
рублей,
сколько
было
Вы­
ручку
стали
делить
пополам.
Старшему
брату
десятку,
младшему
брату-десятку,
старшему-десятку,
младшему-десятку.
И так не­не­
сколько
раз.
Потом
старший
брат
взял
свою
десятку,
а
младшему
скольких
рублей
не
хватило
до
десяти.
Тогда
старший
вынул
из
карма­
настоилножнож?
и отдал брату в компенсацию за недостающую сумму. Сколько
Вырученная
сумманечетное,
- натуральное
число
(квадрат числанабаранов).
Число
целых
десяток
так
как
они
закончились
старшем
брате.Тогда вырученную сумму можно записать так:
гдемладшим-братом.
число целых
десяток,
арчто-последняя
сумма, по­
лученная
Откуда
видно,
квадрат
натурального
числаКвадраты
при делении
на имеет
остаток
чисел
...
,
9
при делениичисло
на можно
дают записать
остатки: в виде4,
9, 5.Ь, Любое
многозначное
натуральное
где Ь- цифра
единиц
(однозначное
число), асуммы
его квадратв
видебез остатка,
Так
как
два
первых
слагаемых
делятся
на
Ь
тоделения
остаток отнаделения
на егоквадрата
натурального
числа
остатку
от
квадрата
цифры
единиц,
то
есть
од­
равен
номуЦелая
из чисел:
4,
9,
5.
десятка входит
визлишек
единственный остаток
Значит,
младше­
брату досталось
р.
,
а
4
(р.
)
старший
брат
поделил
мупоровну,
оставив себевышер. изадачах
отдав брату
нож, который
стоил
р. явля­
В
рассмотренных
основным
приемом
решения
ется
переборуравнение
всех значений
неизвестных
и отбор
техравенство.
из них, которые
обращают
с
двумя
неизвестными
в
верное
Часто
Рассмотрим
делимость.
используя
перебор,
сократить
удавалось
нам
задачи, при решении которых использование делимости позволяет
10.2 1 . НIУ, 1 996.
20
16
20
10.22. У
+ 1 О + р,
1 0 (2k + 1 ) + р = 20k +
2k + 1
1 О + р.
20
О, 1 , 2,
1 6,
1 0а +
2
2
1 00а + 20аЬ +
20
20
•
О, 1 ,
20
20
О, 1 ,
1 6,
10 - 6 =
6
2
1 6.
2
1 17
но извес­
не составленоимеетуравнение,
для которых
такие задачи,
решитьчтоинекоторое
значением
своим
неизвестным
с
выражение
тно,
натуральное число.
хим. ф., Определите число студентов, сдававших
экзамен, если известно, что шестая часть из них получили оценку
«удовлетворительно», 56% получили оценку «хорошо», а 14 человек
получили оценку «отлично», причем эти отличники составляют более
4%, но менее 5% от искомого числа студентов.
Пусть было х студентов, сдававших экзамен, тогда для 14 отлични­
ков должно выполняться неравенство:
О,04х < 14 < О,05х,
откуда следует, что
280 <х < 350.
Так как количества студентов, получивших оценки «удовлетворительно» и «хорошо», выражаются натуральными числами, то числа-х61 и
14
О,56х -х-натуральные,
то есть число х делится и наб, и на25. А так
25
как числа 6 и 25 -взаимно простые, то число х делится и на их произве­
дение 150. Из чисел, удовлетворяющих неравенству, только одно число
делится на 150 -это число 300. Итак, бьmо 300 студентов, сдававших
экзамен.
хим. ф., Определите число студентов, сдававших
экзамен, если известно, что третья часть из них получили оценку «удов­
летворительно», 44% получили оценку «хорошо», а пять человек полу­
чили оценку «отлично», причем эти отличники составляют более 3%,
но менее 4% от искомого числа студентов.
В урне лежали белые и черные шары, их общее
число не превышало 55. Число белых шаров относилось к числу черных
как 3 : 2. После того как из урны вынули 4 шара, оказалось, что отноше­
ние белых и черных шаров стало 4 : 3. Сколько шаров лежало в урне?
Пусть в урне бьmо 3k белых и 2k черных шаров, всего 5k шаров, где k­
натуральное число. Таккак5k:5; 55, тоk� 1 1. После того как из урны вы­
нули 4 шара, оказалось, что отношение белых и черных шаров стало
4 : 3. Это возможно лишь при выполнении одного из условий:
10.23. МГУ,
1 998.
=
10.24. МГУ,
10.25. А ФСБ, 2002.
1 18
1 998.
3k -4 4' 3k -3 4' 3k -2 4
2k 3 3k -1 2k 4-1 3 3k 2k -24 3'
или 2k -3 =-,3 или 2k -4 3
Условиям
«k-натуральное
число» и k:::;; 1 1задача
удовлетворяет
лишь ко­
рень
второго
уравнения
k
5.
Следовательно,
имеет
единствен­
ное решение: в урне лежало
25 шаров.
В
стопке
книг
было
не
более
39
штук.
Известно,
что четверть
книг
в этойкниг,стопке
были учебниками
по математике.
Если
убрать
пять
верхних
то
седьмая
часть
оставшихся
книг
будут
учебниками по математике. СколькоДвакнигдруга,былоВаня
в стопке?
и
Петя,
ходили
за
грибами.
Встретившись
передсредивозвращением
домой,
они обнаружили,
что
Ваня
нашел
35
грибов,
которых
было
несколько
подосино­
виков,
а
Петя
грибов
не
нашел.
Ваня
взял
себе
все
белые
грибы,под­а
остальные
отдал
Пете.
Петя,
обнаружив
среди
них
червивый
березовик,
выкинул
его.Ваней
Сколькогрибах
былооказалась
найденоравна
подосиновиков,
если
доля
белых
в
найденных
доле
подосино­
виковПусть
в принесенных
Петейбелых
домойгрибов.
грибах?Тогда, выбросив один гриб
Ваня
взял
себе
Ьсебе (34 - Ь) грибов, среди которых было
изподосиновиков.
оставшихся, Петя
взял
Составим уравнение:
35Ь(34- 34Ь'
Ь)
из которого следует, что 35 . Сумма натуральных чисел Ь и
34 -Ь равна 34,чисел,
а произведение
делитсяделится
на 7. Выпишем
все такие
пары
натуральных
одно
из
которых
на
7,
а
сумма
равна
делится34:на
паре
в
чисел
(735; лишь
20), (21;случае.
13), (28;Таким
27), (14;во втором
6), Произведение
20.
В
любом
14
или
образом,
Ь
Ь
из этих случаев было 8 подосиновиков.
Два друга, домой,
Коля иониТоля,обнаружили,
ходили за
грибами.
Встретившись
перед
возвращением
что
Толя
нашел
21
гриб,
среди
которых
было
несколько
подберезови­
ков,
а Коляа остальные
грибов не нашел.
Толя взял
все найденные
подоси­
новики,
грибы отдал
Коле.себеКоля,
обнаруживимсреди
них
--
=
-
ИЛИ
--
=
--
-
ИЛИ
--
-- =
=
-
-.
=
10.26. АФСБ, 2002.
1 0.27. МГУ,
мех. -ма т . ,
2000.
р
ь
р
р =
=
10.28. МГУ,
мех. -мат. ,
=
2000.
1 19
червивый
белый
гриб,
выкинул
его.
Сколько
было
найдено
подберезо­
виков,
если подберезовиков
доля подосиновиков
в найденныхКолей
Толейдомой
грибахгрибах?
оказалась
равна доле
в
принесенных
Иван
Петрович
приобрелавдругая
началечасть
года k-акций
банка
«Надежда»,
часть
из
которых
простые,
при­
вилегированные. За год доход по одной простой акции составил
16 условных
денежныхденежную
единиц, а доход
по одной
привилегированной
акции
21
условную
единицу.
Сколько
привилегирован­
ных
акций
купил
Иван
Петрович,
если
доход
за
год
по
купленным
акци­
ям составил 269 условных денежных единиц?
ПустьтогдаИванпростых
Петрович
приобрел
в начале
годахДоход
привилегированных
за год единиц.
по всем
акций,
акций
он
купил
(k)
штук.
x
денежных
акциям
составил
21х
16(k),
или
269
условных
x
Составим уравнение:
21х 16(k- x) 269-16k
269,
единственныи корень которого есть х 5
Итак, Иван Петрович купил 269-16k
привилегированных акции.
5
Задачазадачи
почтинерешена.
Ответ выражен
через k, акций
значение
которого
условии
дано.269Заметим,
что269количество
- число
нату-в
ральное. Оно больше-,
но меньше-,
16 так как первая дробь дает наи21
меньшее число акций (если все акции привилегированные), а вторая их наибольшее число (если все акции простые),
то есть 13 k 16.
269-16k
В этом промежутке только при k 14 число 5 является нату269-16·14 - 9 привиральным. Итак, Иван Петрович купил 269-16k
5
5
легированных
акций.
Пастух заметил,на единицу,
что произведение
числачембаранов
на число его
баранов,
уменьшенное
на
15
больше,
произведение
его
собственного
ко лет пастуху?возраста на число его баранов, уменьшенное на 2. Сколь­
10.29. МИФИ, 1 996.
+
=
+
= ----
�
�
�
=
----
10.30.
120
-----
�
решение1983).этой задачи из книги Ж.-К. Байифа «Логичес­
киеРассмотрим
задачи»,
(«Мир»,
«Пусть п -число баранов
и=а 15 +возраст
пастуха, тогда
п(п
1)
а(п
2),
или
2 - (а + 1)п + 2а- 15 = О.
п
Такс какнеизвестным
п целоепчисло,
торавняться
дискриминант
этогонекоего
квадратного
урав­
нения
должен
квадрату
целого
чис­
ла; обозначим это число(ачерез
Тогда
+а2 -1)б2 Ь.а- +4(2а61 -Ь-15)2 ==О.Ь2
Но а уравнения
тоже целоес неизвестным
число; поэтому
дискриминант
последнего
квад­
ратного
также
равняется
квадрату
целого
а
числа; обозначим это число 9через
с.+ Тогда
2 = с2
61
Ь
или
2 -с2 = 52, т.е. (Ь + с)(Ь-с) = 52 = 2 2 13.
Ь
решение
этого последнего
уравнения в целых числах та­
ково:Единственное
=
14,
с
=
12.
Итак,
пастуху
15
лет».
Ь
Найдите решение задачи основанное на выделении целой час­
ти дроби.
Саша
сказал:
«Моему
младшему
брату
больше
семи
лет,
а
сумма квадратов
наших возрастов в 20 раз больше моего возраста».
Сколько
лет
Саше?
Пус'fЬчисла
Сашеих7 лет,
младшему брату - у лет (х и у - нату­
ральные
<у <а х),еготогда
х2 + у2 = 20х,
2 -20х + у2 = О.
х
Решим уравнение относительно х: 2
Х1 . 2 = 10 ±�100- у .
Так как>х7-этовозможнолишьприу
натуральное число, то (=1008. -Тогдах
у) - точный квадрат. При
условииу
1 =4,х2 = 16. Нох >у,
значит, х =Вася16. возвел
Итак, Саше
16
лет.
Число
мальчиков
и
число
девочек
нашего
класса
в
квадрат.
Сумма
полученных
чисел
оказалась
в 25еслираздевочек
большебольше
числа
мальчиков.
Сколько
мальчиков
в
нашем
классе,
10, а мальчиков больше, чем девочек?
-
-
,
-
·
·
1 0.30,
10.3 1.
это
1 0.32.
121
Мастерменьше.
делает заОдинч целое
число
де­
талей,
большее
а
ученик
-на
детали
мастер
выпол­
няет
заказ
за
целое
число
часов,
а
два
ученика
вместе
-на
ч
быстрее.
Из какого количества деталей состоитОдинзаказ?
рабочий
настаром
новомстанке
станке-на
про­
изводит
за
ч
целое
число
деталей,
большее
8,
а
на
детали
меньше.
На
новом
станке
один
рабочий
выполняет
норму
за
целое
число
часов,
а дваИзрабочих
вместе
выполняют
норму
надневная
старых
станках
на
ч
быстрее.
какого
количества
деталей
состоит
норма?
Рассмотрим
несколько
задач
о
турнирах.
Шесть мальчиков
и четыресыграл
девочкис остальными
организовалипо одной
турнирпар­по
шашкам.
Каждый
участник
турнира
тии.очков.
За выигрыш
присуждали
очка, заочков.
ничьюочко, забольше
проигрыш
Девочки
вместе
набрали
Кто
вьmграл
очков:
мальчики у девочек или девочки у мальчиков, и на сколько?
Участников турнира было 6 = Они сыграли = (партий)
иПонабрали
= девочки
(очков) набрали
независимоочков,
от исходов
отдельных
партий.
условию
задачи
тогда
мальчики
набрали
= (очков). Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим «турпир в турнире» - игры девочек между собой. В них сыграно -- = 6
(партий)
и набрано
6 = (очков). Остальные = 28 (очков) девоч­
выиграли
у
мальчиков.
Аналогично,
мальчики
в
играх
между
собой
набрали
очков,
зна­
чит,Итак,
мальчики
выиграли
у девочек
=28 (очков).
девочки
выиграли
у
мальчиков
на
= 8 (очков) больше,
чем мальчики
у
девочек.
В
шахматном
турнире
участвовали
учащиеся
класса
и
два
ученика
класса.За выигрыш
Каждый участник
турнира
сыгралочка,
с остальными
по
одной
партии.
в
партии
присуждали
за
ничью
очко, заа проигрыш
- очков.набрали
Два девятиклассника
набрали
вместе
7тиклассников
очков,
все участвовали
десятиклассники
очков
поровну.
Сколько
деся­
в турнире?
1
10.33. МГУ, мех. -мат. ф., 1 992.
5,
2
1
10.34. МГУ, мех. -мат. ф., 1992.
1
3
1
10.35.
2
О
1
-
40
+4
45 · 2
10 · 9
1 О.
--
2
45
90
40
90 - 40
50
4.3
2
·2
12
40 - 1 2
ки
30
50 - 30
20
- 20
1О
1 0.36.
9
2
1
122
О
Пустьтогда
из всехкласса
в турниребьmоучаствовало
х человек
(х -натуральное
+
число),
участников
(х
2)
человека
и
они
набрали
вместе
+
+ :l 3х + 2 (очков). Тогда дес ассники набрали на
(х7 очков
+ 2)(хменьше:
-5 очков.на х,Такто как
набрали очков
поровну,
то
многочлен :l + 3х:l-53хделится
естьониколичество
очков,
набранных
каждым учащимся класса, равно х 3 --х5 и является натуральным
числом.
Это случае
возможно
лишьочковприкаждого
х = илидесятиклассника
при х = 5. отрицательное,
В
первом
число
что не отвечает условию задачи. Следовательно, в турнире участвовали
5 десятиклассников.
Несколько учащихся 9 «а>> и 9 «б» классов организовали тур­
нир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с остальными по од­
нойочко,партии.
За выигрыш
в партии
присуждали
2 очка,набрали
за ничью
за
проигрыш
очков.
Учащиеся
9
«а>>
класса
вместе
26очковочков,поровну.
а учащиеся
9
«б»
класса,
которых
было
на
3
больше,
набрали
было две
участников
турнира?
В заключениеСколько
рассмотрим
конкурсные
задачи.
Десантников,
прибывших
на
одинаковых
транс­
портных
самолетах,
разбивают
нагруппы
равныевсехпо десантников
численностиизгруппы.
Известно,
что
если
разбить
на
такие
девяти
самолетов,
то
останется
лишних
4
человека.
Если
же
к
десантникам,
прибывшим
четырьмя
самолетами,
добавить
3
человека,
то
получится
некоторое
число
укомплектованных
групп.
Сколько
человек
в группе?
(Считайте,
что
число
десантников
во
всех
самолетах
одно
и
то же и
больше
и
число
десантников
в
группах
больше
Пусть изв каждом
самолете
было понесколько
d десантников
(d десантников
Пусть де­
сантники
9
самолетов
образовали
групп
по
тогда 9d4 делитсянесколько
на А десантники
издесантников,
4 самолетов итогда
еще
34d+десантника
образовали
групп
по
3 делится
на то Нот =тогда
и 9(4d+ 3)-4(9d-4) =43 тоже делится на
Так
как
43.
Итак, в каждой группе
бьmоклассе
по 43 десантника.
В
каждом
средней
школы
одинаковое
чис­
лопо парт.
ремонтарейс
партыосталось
со второго
этажаС третьего
увозили наэтажа
грузовике
5 штук,Воавремя
в последний
2 парты.
парты
1О
ятикл
1) =
+
1О
+
1
1 0.37.
1
О
10.38. ГА У, 1 995.
1,
1 .)
> 1).
т
(т > 1 ) ,
т.
т
т.
т.
т
> 1,
10.39. ГА У, 1 995.
123
другомгрузовик
грузовике
в последний
рейс осталось
4увозили
парты. наВторой
сделалпо на7 штук,
1 рейсабольше,
чем первый.
Сколь­
ко парт было в каждом классе?ф., (Считайте,
чторыбалки
в классевбольше
1 Бориса
парт. )
2009.
После
ведре
у
(ведро
учемнегоу Андрея.
вмещаетЗато
не более
100поймал
рыб) других
оказалось
карасей
на 25%
меньше,
Андрей
рыб
на
25%
меньше,
чем
Борис.
Сколько
всего
рыб
поймал
Андрей,
если
известно,
что
это
количество
составляет 55% от общего количества пойманных Борисом
и Андреем рыб?
О
1 0.40. МГУ, мех. -мат.
124
1 1 . ЗАДАЧИ О ДЕЛ ЕЖЕ ПРИ БЫЛ И
В старые добрые времена детей учили решать задачи на пропорцио­
нальное
деление. При этом рассматривали
и так времени.
называемый сложный
случай пропорционального
деления - с учетом
В Арифметикеторговая
Л.Ф. Магницкого
десять
(одиннадцатая)
складная соимеется
временьш,«Статья
а в нейпервая
такиеназадачи.
Два
человека
сложили
в
купечество
денег.
Первый
положил
1 р. на 7 месяцев, а второй положил 1 2 р. на 6 месяцев. Приторговали
они 8 р. Спрашивается, сколько рублей прибытка досталось каждому?
Здесь
доля
каждого
купца
из
общей
прибыли
прямо
пропорциональ­
на не только внесенной сумме денег, но и времени, в течение которого
его деньги вложены в общее дело. То есть вклад купца в общее дело это
им суммы
на промежуток
времени.
Здесьто
8 р. произведение
прибыли надо внесенной
было поделить
пропорционально
вкладу
каждого,
есть в отношении 70 : 72 35 : 36. Получим 3-677 1 р. и 4-741 р.
Составители задач в те времена совсем не заботились о правдопо­
добности
ответов,
о
том,
чтобы
ответы
были
«круглыми»,
чтобы
можно
было реализовать
решения.тренировки
Просто тогдаобучающихся
текстовые задачи,
кромевычис­
про­
чего,
были еще способом
в сложных
лениях.
Три человека сложили в купечество деньги. Первый положил
1о.!. р. на 5! месяцев, второй положил 140! р. на 3! месяца, третий поло2
2
2
2
1
жил 1 50 р. на 2-2 месяца. А получили прибыли 220 р. Спрашивается,
сколько рублей прибытка досталось каждому?
596 и 6 5 1 9 1 5
2507 р. , 8 6--р.
В этои задаче ответ еще сложнее: 672509
2509
2509
1 1. 1 .
О
=
1 1 .2.
�
--
--р .
125
Эти торговле
и другие полученная
задачи из старинных
сборников
решались
так, будто
быокончании
при
прибыль
сразу
изымалась
из
оборота
и по
торговли
делилась
между
купцами.
Если
же
представить,
что
получаемая
в ходетоторговли
прибыльродавкладывалась
в дело,
увели­
чивая
общий
доход,
задачи
такого
надо
решать
иначе
с
учетом
дохода,
который
приносят
неПри
толькотакомвложенные
деньги,ответы
но и
получаемая
в
ходе
торговли
прибыль.
решении
задач
будут
другими,
и разница
будет
тем заметнее,времени.
чем больше сумма обще­
го дохода
и
разница
между
промежутками
однуполучить
из старинных
задач, ответ.
в которой изменим число­
выеСформулируем
данныеДватак,купцачтобы
«круглый»
внеслидвадлягода.общего
деладолжны
по 48поделить
тыс. р. : первый
на
один
год,
а
второй
-на
Как
они
между
со­
бойВ42старые
тыс. р.времена
прибыли?решали задачи такого рода следующим образом.
Второйв делокупецв дваполучил
бы тот жесумму,
доходтонеесть
за 2,96а затыс.1 год,
если доход
бы вло­в
жил
раза
большую
р.
Тогда
42вкладу
тыс.каждого
р. нужнов расчете
поделить
между
компаньонами
пропорционально
на год, то есть в отношении
48 : 96 = 1 : 2. Пер42·1
42
2
·
вый должен получить --=
14, а второй 1 +2 = 28 (тыс. руб. ) .
1+2
Здесь
прибыль
первого
купца,новый
полученная
закоторый
первый год
и остающа­
яся
в
общей
торговле,
приносит
доход,
в
приведенном
решении
учитывается.
Рассмотрим
более справедливое решение за­
дачиПусть
-с необщая
учетом
дохода
на
прибыль.
торговля
приносит
постоянный
доход,разто-вестьх раз
вложенная
сумма
увеличивается
ежегодно
в
одно
и
то
же
число
(хкупца
> 1 ).
За(48хдва2 -48)
годатыс.
доходр. Составим
первого купца
составил
(
48х
-48)х,
а
второго
уравнение:
+ 48х2 -48 = 42,
(48х
-48)х
которое перепишем в виде:1бх2 - 8х15 = 0.
Так
какх
>
1,
тох
=
1,
2
5.
первого
купца
составил 48 · (1,25 - 1) · 1,2 5 = 15, а второго 42 -Доход
15
=
27
(тыс.
р.
)
.
видим, второе решение увеличивает доход первого купца более
чемКакна 7%.
1 1 .3.
--
126
РешитеДвасамостоятельно
следующие
задачи.
компаньона
вложили
деньги
в первый
общее дело.
Первый
внес
40(безтыс.дохода),
р., а второй
-60
тыс.
р.
Через
месяц
забрал
свои
деньги
еще черезКакмесяц
они решили
поделить
ный за эти дваа месяца.
они должны
поделить
междудоход,
собойполучен­
доход в
сумме 17Некоторое
тыс. р. ? дело приносит стабильный доход. Первый ком­
паньон вложил
в(безнегодохода)
9 тыс. р.через
, а второй
-2второй
тыс. р.-Первый
забралмесяца.
вло­
женные
деньги
месяц,
через
два
Только
после
этого
они
разделили
полученный
доход.
Во
сколько
раз
увеличивалась
сумма
ежемесячно,
если доход первого оказался в
2,5 раза больше
дохода
второго?
Первый
предприниматель
вложилпервый
в некоторое
дело
91 тыс. имр. ,
второй
66
тыс.
р.
Через
два
месяца
забрал
вложенные
деньги
(без
дохода),
а
еще
через
месяц
оказалось,
что
за
три
месяца
оба
получили
одинаковый
доход. Каков процент прибы­
ли,предпринимателя
получаемой
на
вложенные
деньги
ежемесячно?
Некоторое
доход.
Первый
компань­
онПервый
вложилзабрал
в неговложенные
13дело
тыс.приносит
р.,деньги
второйстабильный
1
тыс.
р.
,
а
третий
13
тыс.
р.а
через
месяц,
второй
через
два,
третий
-через
три
месяца.
Только
после
этого
они
разделили
получен­
ный
доход.
На сколько
процентов
увеличивалась
суммаравным
ежемесячно,
если
суммарный
доход
первого
и
второго
оказался
третьего?Первый предприниматель вложил в некоторое дело 60 доходу
тыс. имр. ,
второй
40
тыс.
р.
Через
два
месяца
первый
забрал
вложенные
деньги (бездоход
дохода),
а ещетыс.через
два месяца запредприниматели
решили
разделить
в
33,81
р.
,
полученный
эти
4
месяца.
Определи­
те процент
прибыли,
получаемой
на всех
вложенные
деньги ежемесячно.
Нетрудно
заметить,
что
почти
во
рассмотренных
задачах отно­
шение
сроков
вложения
денег
равно
1
2.
Это
условие
позволяло
сво­
дить
решение
задач
к
квадратному
уравнению.
Более
сложные
задачи
составлены
чтобы отданных
кубического
уравнения
можно«круглых»
было перейти
кветов.
квадратному.так,Подбор
обеспечивает
получение
от­
Если жетоотношения
сроковописанным
вложения испособом
суммы денег
произ­к
вольными,
решение задачи
можетбудут
привести
1 1 .4.
1 1 .5.
1 1 .6.
1 1 .7.
О
1 1 .8.
:
127
за­
такие
решать
чем
Прежде
степени.
вторая,
чем
большей,
уравнению
прове­
и
решения уравнений
способ приближенного
рассмотрим
дачи,
римРешим
работу
этого
способа
в
знакомой
ситуации.
приближенно уравнение 1 бх2 - 15 =О, полученное при ре­
шении
задачи
Для этого рассмотрим функцию f(x)
бх2 -8х - 15.
Нас положительным
отрезке [ 1; 2] функция
возрастает,притак хкак2 возрастает
эта квадратичная
функция
коэффициентом
на
промежутке
[х0; +оо), где х0 = 41 - абсцисса вершины параболы.
Так функции
как/(1) пересекает
< 0,/(2)ось= Ох33 >воОвнутренней
и функция/(х)
непрерывна,
то
графИк
точке
отрезка
[
1;
2],
то есть
корень
искомого
уравнения
принадлежит
отрезку
[1;
2].
Границы промежутка, которому принадлежит корень уравнения, бу­
дем
обозначать
через
2). Разделимегоэтотконцов:
отрезокх попо­
Ь (здесь а = 1, Ь координат
а иарифметическое
лам,
вычислив
среднее
1,
5
.
Опред знак
функции
точкетот,х на= 1,5:/(1,5)
= 9 > О.функция
Из двухприни­
обра­
зовавшихся
отрезков
выберем
концах
которого
1,5 ]. Придадим
пере­
мает
значения
разных
знаков.= Это
будет
отрезок
[ 1;отрезок
менной
новое
значение:
1,
5
.
Разделим
новый
[а;
пополам
Ь
Ь
Ь]
ижется
т.д. Если
на каком-то
шаге значение
функцииотрезка
в середине
отрезкакорнем
ока­
равным
О,
то
координата
середины
является
уравнения.
Если нет,меньше
продолжим
половинное
деление
отрезка,
пока(на­
его
длина
не
окажется
некоторой
наперед
заданной
величины
пример,
0,000002),
и объявим
координату
середины этого последне­
го отрезка
приближенным
корнем
уравнения.
Составим
программу,
которая
будетарифметическое
последовательно
делить отре­
зок
[а;
пополам,
вычислять
среднее
координат
его
Ь]
концов, определять
знак функции
в точке
х. Еслиобъявит
для некоторого
значения
х
верно
равенство/(
х
)
=
О,
то
программа
х корнем
уравнения.
Если
нет,
то
программа
будет
продолжать
половинное
деление
до
тех
пор,
пока
его
длина
не
окажется
меньшей
отрезка
[а;
Ь]
числа
0,работу,
000002.объявит
При выполнении
условия
0,000002
программаотрез­за­
Ь-а <этого
кончит
координату
середины
последнего
кавогоприближенным
корнем
данного
уравнения,
вычислит
доходы
пер­
(1) и второго предпринимателей (11), а также их суммарный доход
(1 + 11)
сравнения полученного результата с заданной суммой.
8.х-
1 1 .3 .
=
1
-
=
-7
=
=
елим
128
-
для
в
1 'ПРОГРАММА 1 1 . 3
1 0 А = 1 : 8=2
20 Х=(А +В)/2
30 IF В-А <. 000002 THEN G O TO 80
40 F= 1 6 *ХЛ2-8*Х- 1 5
50 IF F=O THEN G O TO 80
60 IF F<O THEN А =Х: G O TO 20
70 В=Х: G O TO 20
80 /=48 *ХЛ2-48 *Х: //=48*ХЛ2-48
90 PRINT "Ответ: х = "; Х
1 00 PRINT "/ получит "; /: PRINT "// получит ':· 11
1 1 О PRINT "Всего:"; /+//
1 20 END
После запуска программы получим:
Ответ: х = 1 . 25
1 получит 1 5
11 получит 27
Всего: 42
С помощью
компьютера
удалось получить
точныйвсего,
кореньнеточньIМИ
уравнения:1,25.
В
других
случаях
результаты
будут,
скорее
тому
двенапричины.
Вчасти,
нашейпоэтому
программепрограмма
длина отрезка
последователь­
ноответделится
2
равные
не
может
дать
точный
тогда,дробью
когда корень
уравнения-число
рациональное,
ноуравнения
не выра­
жающееся
со
знаменателем
вида
2".
Кроме
того,
корень
может
числом, тогда его можно выразить ко­
нечнойоказаться
десятичнойиррациональным
дробью лишь приближенно.
Теперь решим задачу, приводящую к уравнению большей, чем вторая,
степени.
компаньона
вложили
деньги
в общее
дело.деньги
Первый(безвнес
30хода)тыс.через
р.Два
, второй
40
тыс.
р.
Первый
забрал
вложенные
до­
3
месяца.
А
еще
через
месяц
они
поделили
между
собой
50 тыс.
р. прибьmи.
получил
каждый?
Старmrnый
способСколько
решения
этой
приводит к
50-30·3
первый должен получить 30·3 +40·4 18, а второй 50- 18 32 (тыс. р.).
есть
1 1 .9.
-
задачи
=
<<Круглым»
огветам:
=
129
Решим задачу с учетом дохода на прибыль. Пусть вложенная сумма
ежемесячно увеличивается в х раз3(х- >ЗО)х1 ). Тогда
первого компаньона
4доход
=
30х
30х,
а доход второго вычисляется
по
формуле
=
(ЗО.х
4
= 40х -40 (тыс. р). Составим
30х4 -30хуравнение:
40х4 -40 = 50,
которое перепишем в виде: 4 -3х -9 = О.
7хвозрастает и непрерывна на отрезке [1; 2],
4
-Зх-9
Функцияf(х)
=
7х
так
как/'
(х)= разных
28х3 -3 >Ознаков:/(1)
прих> 1. <НаО,концах
этого
отрезка
она
прини­
мает
значения
/(2)
>
О.
Ее
график
пересекает
ось Охпринадлежит
во внутреннейотрезку
точке отрезка
[1; 2], топрограмму
есть искомый
кореньиз пред­
урав­
нения
[
1;
2
].
Новую
получим
ыдущей, внеся изменения в строках 40 и 80.
/
//
+
1 'ПРОГРАММА 1 1 . 9
1 0 А = 1 : В=2
Х= (А +В)/2
30 IF 8-А<. 000002 THEN G O TO 80
40 F= 7*ХЛ4-3*Х-9
50 IF F=O THEN G O TO 80
60 IF F<O THEN А =Х: G O TO 20
70 В =Х: G O TO 20
80 /=30*Хл4--30*Х: //=40*Хл4--40
90 PRINT "Ответ: х = "; Х
1 00 PRINT "/ получит "; /: PRINT "// получит"; 11
1 1 О PRINT "Всего:"; /+//
1 20 END
20
После запуска прогр
аммы
Ответ: х = 1 . 1 55 1 9
1 получит 1 8. 768 1 9
11 получит 3 1 . 23 1 8 7
Всего: 50. 00007
получим:
Как
видим,методом
новыйполовинного
результат отличается от полученного ранее.
Решите
арифм » В. Евтушевского деления
(1874): отрезков задачу из «Мето­
дики
130
етики
Три купца внесли капиталы для общей торговли: один 1000 р.
навремя
6 месяцев,
2700 р. на 1двух
год лет
2 месяца
и третий 1300
все
торговли.второй
По прошествии
они разделили
междур. насобой
1 71 Как
О р. прибыли.
Сколькозадачи,
получилпервый
каждый?
видно
из
условия
купец
через 6 месяцев
забрал
вложенную
сумму,
а
его
доход
продолжал
увеличиваться
еще
1,5
года;
второй
забрал
вложенную
сумму
через
1
год
2
месяца
и
его
доход
про­
должал
увеличиваться
еще
1
О
месяцев.
Можно
ожидать,
что
старинный
способзадачу
расчета
окажетсяспособом
невыгодным
именно компьютера,
для первого нетрудно
купца. Ре­в
шив
старинным
и
с
помощью
этом убедиться.
Двар.,компаньона
вложили
деньги забрал
в общеевложенные
дело. Первый
внес
45
тыс.
второй
54
тыс.
р.
Первый
день­
гиду (без
дохода)
через
11
месяцев.
А
еще
через
месяц
они
поделили
собой 36 тыс. р. прибыли. Сколько должен получить каждый?меж­
1 1 . 10.
11.11.
-
131
1 2. РЕША Й ТЕ ЗАДАЧИ ПРОЩЕ !
Начнем
с
почти
анекдотичного
примера.
Выпускнику
вуза,
окон­
чившему
взадача
свое времяпрофизико-математический
класс,онбьmа
предложена
известная
кадь
пития.
Для
ее
решения
составил
такую
систему:
14 · vм =V,
10·(vм +v.ж) =V,
t ·vж =V,
где
v
м
и
v
ж
-количество
пития,
выпиваемое
за
один
день
мужем
и
же­
ной соответственно,
V - объем кади, t -время, за которое жена одна
выпивает
кадь
пития.
Приравняв
части первого
и третьего
уравнений и разделив
второе
уравнениелевыена первое,
он получил
два равенства:
vж = 14 и 10 ( l+ v.ж ) =l,
t 14
откуда получил 1014 ( 1 + 14t ) = 1 и t=35.
Как видно, этого
выпускника
не обучали
в свое
времязадачи
решению
задач
насистем.
совместную
работу,
но
он
хорошо
научился
решать
с
помощью
Приведенное
решение
показывает,
как многонеизвестных.
лишней работы
приходится
выполнять,
если
поспешить
с
введением
Ведь,
как мы уже знаем, эта задача имеетСадовник
простое арифметическое
решение.
продал первому
покупате­
люловину
половину
своих
яблок
и
еще
пол-яблока,
второму
покупателю
-по­
оставшихся
и
еще
пол-яблока,
третьему
покупателю
половину
оставшихся
и еще пол-яблока
и т.д. Седьмому
покупателю
ону него
продалне
половину
оставшихся
и
еще
пол-яблока;
после
этого
яблок
осталось. Сколько яблок было у садовника?
{
1.9
VM
12.1. Задача Я.И. Перельмана.
132
V
M
Приведем решение Я. И . Перельмана.
х +1 ,
Если первоначальное число яблокх, то первыи получил -х2 +-=21 -2
l
l
х
1
(
)
1
х
+1
1
(
)
1
х+1
второи "2 х - -x 2+- + "2= У' третии "2 х - -x 2+- - -4-+1 + Z = ZЗ' и
х +1
т.д., седьмои покупатель --.
21
Имеем уравнение:
(х + р(\ !2 + _!_2 2 + _!_2 3 +" .+ _!__27 ) = х.
Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической про­
грессии, найдем:
х 1
х +1 =1 - -27
и
х
=
27-1
=
127.
Всех яблок бьmо 127.
Найдите более простое решение этой задачи.
Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей
и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах.
Сколько было гусей?
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна боль­
ше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала
тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров».
Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них
63. крейцера». Сколько яиц было у каждой?
3
Эту задачу можно решить так. Пусть первая крестьянка принесла х
яиц, тогда вторая принесла (100 - х) яиц. Если бы первая крестьянка
продавала (100-х)15яиц, то выручила бы 15 крейцеров, значит, она продавала яица по 100-х креицера за штуку. Еели бы вторая крестьянка
продавала х яиц, то выручила бы -203 креицера, значит, она продавала
u
u
u
u
12.2.
12.3.
u
u
u
133
яица по -Зх20 креицера за штуку. ак как крестьянки выручили одинаковые суммы, то справедливо1 Sравенство
x 20(100 -х)
100только
-х один 3хположительный корень 40, зна­
Это
уравнение
имеет
чит,При
первая
крестьянка
принесла
40
яиц,
а
вторая
100
-40
60
(яиц).
более удачном выборе неизвестного задачу можно решить про­
ще.Очень
Попробуйте.
частос задачу,
решают
с помощью системы,
можно решить
помощьюкоторую
одногомногие
уравнения
илиВ лавке
арифметичесFи.
несколько
плат­
ков.
Если
они
будут
проданы
по
6
р.
,
то
лавочник
получит
24
р.
барыша.
Если
же уонилавочника,
будут проданы
поон3 р.их, онпокупал?
будет в убытке на 12 р. Сколько
платков
и
почем
Рассмотрим
несколько
примеров,
показывающих,
что
удачная
пере­
формулировка
позволяет упростить
ее другие
решение.примеры.
Один такой
пример
мыДвеужемухизадачи
рассмотрели
Приведем
ползутипотойстене
от пола до потолка
и обратно
(повверх
вер­
тикали).
Первая
с
одной
же
постоянной
скоростью,
а
вторая
ползет со чем
скоростью
в первой
2 раза большей,
а вниз
со первой
скоростью
в 2 раза
меньшей,
скорость
мухи.
Какая
из
них
вернется
об­
ратно, если отОбозначим
пола они стартовали
одновременно?
высоту стены s м и скорость2sпервой
мухи
4s
v м/мин. Первая муха затратит на путь туда и обратно v -2v мин, а
вторая -2vs O,sSv -2vSs мин. Первои вернется обратно первая муха, так
4s Ss
как-<-.
2v 2v
Ас теперь
переформулируем
задачу.
Пусть(отвторая
муха
сначала
ползла
меньшей
скоростью,
а
потом
с
большей,
этого
вре­
мяраядвижения
этой
мухи
в
оба
конца
не
изменится).
Ясно,
что
пока
вто­
муха
поднимется
до потолка,
первая
мухаИтак,
проделает
весь
путь впер­
оба
конца,
так
как
ее
скорость
в
2
раза
больше.
первой
вернется
вая муха.
�
т
�
---
= --'-----
=
12.4. Задача С.А. Рачинского (1833 - 1902).
(№ 9.6).
12.5.
/ способ.
-
+
--
// способ.
1 34
=
�
=
Пароход начали грузить 4 подъемных крана одинаковой мощ­
тогомощности,
как они проработали
к ним присоединились
2ности.
кранаПосле
меньшей
и после этого2 ч,погрузка
была оконченаеще
че­
рез
3
ч.
Если
бы
краны
начали
работать
одновременно,
то
погрузка
была бы окончена за 4,5 ч. Определите, за сколько часов мог бы окон­
чить погрузку один кран меньшей мощности.
Для краткости
назовем-маленькими.
краны большейЗапишем
мощности
большими,
арабо­
кра­
ныты кранов
меньшей
мощности
в
таблице
время
в двух случаях:
12.6.
4 больш их крана
2 маленьких крана
1
5 ч
З ч
11
4,5 ч
4,5 ч
Как видим, 0,5 ч работы четырех больших кранов заменяют 1,5 ч ра­
боты двух маленьких кранов, то есть 4 больших крана можно заменить
на 6 маленьких. Тогда за 4,5 ч всю работу могли бы выполнить 6 + 2 = 8
маленьких кранов, а 1 маленький кран мог бы выполнить всю работу за
4,5 · 8 = 36 (ч).
Чтобы убедиться, что применение систем для решения такого рода
задач может быть довольно громоздким, рассмотрим похожую задачу и
ее решение, приведенное в журнале «Математика в школе» ( 1993, № 1 )
На вспашке поля работали 4 гусенич­
ных трактора одинаковой мощности. После того как они проработали
2была
ч, к закончена
ним присоединились
после чегоодновре­
работа
за 2 ч. Еслиещебы 2всеколесных
тракторытрактора,
начали работать
менно, то поле бьшо бы вспахано за 3 ч. Определите, за сколько часов
могут вспахать поле 2 гусеничных трактора и 2 колесных трактора, ра­
ботаяОбозначим
одновременно.
через А всю работу. Пусть 2 гусеничных трактора смогут вспахать поле за ' а 2 е ь а ч П условию задачи
: : . 2хА ::�(:� 2х� + 2� 2у; ) � ;'
3 · ( 4· � + 2 · �2у ) = А.
12.7. МПГУ, матем. ф., 1 992.
.
!.
2х
135
Решив систему этих уравнений, находим, что = 12, = 6. Из урав­
нения {: + ; ) находим время t = 4.
за 4 ч. система трех уравнений с четырьмя неизвестными
Здесь
составлена
(правда,
от
неизвестного
легко
избавиться,
разделив
каждое
уравне­
на Очевидно,
что система
моглавсей
бы быть
проще(принимаемой
при ином выбо­за
рение
обозначений.
Пусть
и
kчасти
работы
1 ), которую выполняет
за 1 ч гусеничный
и заколесный
тракторытрак­
со­
ответственно.
Так
как
4
гусеничных
трактора
4
ч
и
2
колесных
тора
загусеничных
2 ч вспахалитрактора
поле, тоиверно
равенство
2 4gза+ 23 ч(4gсовместной
+ 2k) = 1. Так
как
4
2
колесных
трактора
ра­
ботыРешив
вспахали
поле,уравнений
то верно равенство 3 (4g + 2k) = 1.
систему
{ lбg + 14k 1,
12g +6k =1,
1
1
получим, что g = -,24 k = -.12 Тогда 2 гусеничных трактора и 2 колесных
_!_ всей ратрактора за 1 ч совместной работы выполняют ( _!_24 + _!_J
2
=
12 4
1
боты, поэтому вспашут поле за 1: -4 = 4 (ч).
Этадвухзадача
имеет простое
арифметическое
решение.задачи
Найдитезаключа­
его.
В
последних
задачах
суть
переформулировки
лась вбольшую
замене одних
кранов
(тракторов)
другими (№- как когда-то
мы
одну
птицу
заменяли
двумя
маленькими
Этот
прием
иногда
применим
и для решениязадачу.
конкурсных задач, перед которыми
рассмотрим
подготовительную
Первыймежду
мастернимишьетзаказшубуна пошив
за 5 дней,9 шуб,
а второй
-за
3 дня.сшил
Как
распределить
чтобы
каждый
целоеОчевидно,
число шубчтоинаименьшее
заказ был выполнен
в кратчайший
срок?
время
выполнения
заказа
получится
присо­
условии,
что
мастера
работают
одновременно.
Решим
задачу
на
вместную работу.
1) 1 : 5 = _!_5 (шубы) - шьет I-й мастер в день,
у
х
=А
Ответ:
А
А).
g
·
·
·
=
·
9.6).
12.8.
136
2) 1 : 3 = !3 (шубы) - шьет П-й мастер в день,
3) !5 + !3 = �15 (шубы) - шьют два мастера в день при совместной
работе, 8 135
4) 9 : 15 = -8 (дня) - время выполнения заказа при совместнои
работе,135
5) 8 !5 = 3�8 (шубы) -сошьет I-й мастер при совместной работе,
6) 1358 !3 = 5�8 (шубы)-сошьет П-й мастер при совместной работе.
Так както придется
при совместной
работес тем,
каждый
мастер
сошьет
дробное
чис­
лоботушуб,
согласиться
чтобы
один
из
них
закончил
ра­
раньше
другого.
Остается
выбрать,
каком
случае
работа
будет
выполнена
быстрее:
если
первый
и
второй
мастера
пошьют
3
и
6
или
4
и
5 шубВ первом
соответственно.
случае мастера
будутВоработать
3случае
5 = 15онии 6будут
3 18работать
(дней),
заказ
будет
выполнен
за
18
дней.
втором
4способ
5 = 20распределения
и 5 3 = 15 (дней),
заказ
будет
выполнен
за
20
дней.
Первый
заказашубдаетмежду
выигрыш
во времени.
Другое
распределение
мастерами
приведет
к увеличе­
нию
срока
выполнения
заказа.
В
самом
деле,
если,
например,
первый
мастер
сошьет
более
4-х
шуб
или
второй
мастер-более
6-ти,
то
время
выполнения
заказа
будет
больше
18
дней.
Итак,и более
первому
мастеру
нужно-ответ
дать 3можно
шубы,получить
второмуне-после
6. Задача
имеет
простое
решение
шес­
ти, а после трех действий. Найдите
его.
Фабрика
получила
заказ
на
изготовление
6000 деталей
типа наи 2000
деталей типа
Q. Каждый из 214 рабочих
фабрики
затрачивает
изготовление
5
деталей
типа время, за кото­
рое
он
мог
бы
изготовить
3
детали
типа
Q. Каким образом следует раз­
делить
рабочих
фабрики
на
две
бригады,
чтобы
выполнить
заказ
за
наи­
меньшее
время,и каждая
при условии,
чтобудет
обе занята
бригадыизготовлением
приступят кдеталей
работе
одновременно
из
бригад
только типа?
�
-
·
·
в
·
·
·
=
·
12.9. МГУ,
ф., 1 992.
Р
экон.
Р
ОДНОГО
137
решение этой задачи из журнала «Математика в школе»
(1993,Рассмотрим
№
1).
Пустьколичество
х -числодеталей
рабочихтипа
в бригаде,
изготавливающей
детали
типа
Р,
аницу
5kР,
которое
один
рабочий
делает
за
еди­
времени.
-х)-численность
а 3k-ко­
личество
деталейТогдатипа(214Q, которое
один рабочийвторой
делаетбригады,
за ту же6000
единицу
времени. Время изготовления детален типаР составит tр(х) = -,время
5kx
2000 , а время t(x) выполнеизготовления детален типа Q - tQ (х) = 3k(214
-х)
ния заказа в целом будет равно наибольшей
из двух величин t и tQ:
2000
f(x),
t(x) = max (fp, tQ) = -k
где
f(x) = max ( :х ' 3(21 � -х) ) ·
Таким образом,
задача сведена
к поиску натурального
х, 1д х 213,
яв­в
ляющегося
точкой
минимума
функцииf(х}
минимум
ается
1
точке х. = 137-,47 которая является решением уравнения -5х3 3(214-х)
Поскольку[1;число
х.возрастает
не являетсяна целым
и функцияf(
х) тоубывает
на
промежутке
х.
]
и
промежутке
[
х
.;
213],
остается
сравнитьх =значения
функцииf(х)
в двухв том,
соседних
с х. целочисленных
точках
137
и
х
=
138
и
убедиться
что
!(137)
<!(138). но за­
1
2 не просто, в нем полезно разобраться,
Приведенное
решение
дачу
решить проще
-«по-нашему,
по-неученому», как говари­
валЕсли
Уможно
додав-старший
из
чеховского
«Репетитора».
время изготовления 5 деталей типа Р равно времени изготовле3 детален типа Q, то 6000 детален типа можно заменить на 60005 ·3 =
= 3600
деталей
типазадачу,
Q.
Решим
новую
которая
даст искомый
ответв наименьшее
и в которой нужно
разделить
214
человек
на
две
бригады
так,
чтобы
время
первая
бригада
изготовила
3600
деталей,
а
вторая-2000
таких
же
дета­
лей. работе
Наименьшее
время вьmолнения заказа получится при одновремен­
ной
двух бригад.
v
v
Р
�
Этот
=
ния
138
v
v
р
�
остиг
.
Очевидно,
что5. Получится
число рабочих
нужно разделить
в отношении
3600
:
2000
9
:
137,
5
".
рабочих
в
первой
бригаде
и 76,для4 ".
рабочих
во
второй.
Остается
сравнить
время
выполнения
задания
ближайших
найденным целочисленных
значений
137 и 77,в таблицу.
138 и 76.
Для
большейк наглядности
занесем результаты
вычислений
=
1
1 способ
Число рабочих
в бри гаде
Количество
деталей на
1 рабоч его
11 способ
1 -я бригада
2-я бригада
1 -я бригада
2-я бригада
137
77
138
76
26,2 " . *
25,9".
26,0" .
26 , 3 " . *
В
последней
строке
таблицы
записано
количество
деталей,
прихо­
дящихся
наколичество
одного рабочего
-та
бригадаизбудет
работатьзвездочкой
дольше, у ко­от­
торой
это
больше.
В
каждом
двух
случаев
мечены количества
деталей,работу
приходящиеся
накакодного
рабочего,
взаказ
той
бригаде,
которая
закончит
позже.
Так
26,
2
".
26,
3
".
,
то
будет
выполнен
раньше
при
первом
распределении
рабочих
по
брига­
дам:Другое
137 и 77распределение
рабочих. рабочих по бригадам только увеличит время
выполнения
заказа,
так76как,илинапример,
если число
рабочих13 7,вотовторой
бригаде
будет
меньше
в
первой
бригаде
-меньше
коли­
чество
деталей,
приходящихся
на
одного
рабочего,
будет
больше
26,3Это
"" решение, на наш взгляд, не менее обоснованное, чем приведен­
ное в журнале.
Цехдеталей
получилвторого
заказ типа.
на изготовление
5000
деталей
первого
типа
и
3000
Каждый
из
187 рабочих
цеха затрачивает
на изготовление
2 деталей
первого
типа
время,
за
которое
он
мог
бы
изготовить
3
детали
второго
типа.
Каким
образомзаказследует
разделитьвремя,
рабочихприцеха
на двечтобригады,
чтобыпристу­
выпол­
нить
за
наименьшее
условии,
обе
бригады
пят
к
работе
одновременно
и
каждая
из
бригад
будет
занята
изготовле­
нием деталей
толькомашина
одноговыехала
типа? из пункта А в пункт Спустя 2 ч из
Грузовая
в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже,
<
12.10. МГУ,
12. 1 1 .
В
экон.
ф., 1 992.
В.
139
чем грузовая машина в Сколько часов была в2пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала -3 всего пути?
Решаячтоэтумызадачу,
трудно избежать
соблазна ввести несколько неиз­
вестных,
и
сделаем
начала.
Пусть(t +легковая
машина
ехала
до встречи
t ч,хтогда
грузо­
вая
машина
ехала
2)
ч.
Пусть
скорость
грузовой
машины
км/ч,
а лег­а
+
2)
ковой
-у
км/ч.
Тогда
грузовая
машина
до
встречи
проехалах(t
+ 2) = 2 первое
легковая
Из
условия
задачи
следует,
что
(t
x
уравнение системы
Грузовая машина затратила на весь путь ( t + 2 + � ) ч, а легковая ( t + (t +у2)х ) ч. Время движения грузовой машины на всем участке
пути на 1 ч больше, чем легковой машины, поэтому
( t + 2 + � ) ( t + (t +у2)х ) = 1.
Эго
второе
уравнение
системы,
которая
после
упрощения
уравнений
имеет вид:
{ ty _x(t(t+2)+2)x=2+lty,=O.
х у
х первого уравнения:
Выразим через t отношение -из
у
х 2t
у t +2
и подставимс одним
полученную
дробь воt: второе уравнение системы, получим
уравнение
неизвестным
t +2 -2t +1 =0.
2
Решив это уравнение, получим, что t = -.34
Тогдагрузоваямашинабылавпути ( t +2 + � ) = t+2 + t ; 2 =5 (ч).
В.
для
/ способ.
ty км.
ty Эrо
.
-
-
140
км,
можнодобыловстречи
составить
более простую систему.
Ведь
путьЗаметим,
грузовойчтомашины
в
2 раза больше, чем
Он
равен
20' а ее скорость 2 1У км/ч. Эго означает, что составляя систему, мож­
+ 2 Скажем больше: если не торопиться вводить
нонеизвестные,
бьшо обойтись
без
то можно
обойтись
и безуравнения с одним неизвестным.
РешитеЕсли
задачу
с
помощью
одного
человекто проходит
с постоянной
скоростью
спускаетсяПоднимаясь
по эскала­с
тору,
едущему
вниз,
30
ступенек
эскалатора.
той же Сколько
скоростьюступенек
по опускающемуся
эскалатору,движения
он проходит
150прой­
сту­
пенек.
при
той
же
скорости
человек
дет Эту
по неподвижному
эскалатору?
задачу
можно
решить
разными способами. Обычно ее решают с
помощью системы
уравнений.
Пусть
и самого
скорость
человекааотносительно
ступенейизме­
эска­
латора,
v
скорость
эскалатора,
длина
эскалатора,
ренная в ступеньках. Составим систему уравнений:
u : v = 150з: '
u-v v
Разделив
второе
уравнение
системы на первое, получим новое урав­
нение:
u+v = 5 '
которое перепишем в виде: и + u-v
v =что5( ии-=v).1,5 v. Найти = 75 можно из
Из
этого
уравнения
получим,
первого
уравнения,
но
значения
и
и
v
найти
не
удастся,
так
как
система
содержит
неизвестных
больше,
чемэскалатора
уравнений.со скоростью и -v = 0,5v
Так
как
при
подъеме
против
хода
человек
прошел
150большей,
ступеней,чемто при
спуске
по стоящему
эскалатору
со
скоростью
в
3
раза
0,5v,
он
пройдет
в
3
раза
меньше
сту­
пенек,Решите
то естьэту50задачу
ступенек.
бездвижущемуся
системы. эскалатору, пассажир проходит
Спускаясь
по
до его конца 40 ступенек. При движении против хода эскалатора, ему
у км.
км,
t
х.
у.
12.12.
/ способ.
-
-
{
s
-
s
-- = - .
s
12.13.
141
приходится
120
ступенек. Сколько
бы он прошел ступе­
нек,Рассмотрим
если быпреодолевать
спускался
по
неподвижному
эскалатору?
две задачи, условия которых были размещены на сайте
www.shevkin.ru. Для них удалось собрать интересные решения.
Бассейн
началибылазаполнять
водойнасосс помощью
насоса.
Послеи
того,
как
треть
бассейна
заполнена,
поработал
еще
минуту
Оставшаяся
часть бассейна
заполнялась
с помощью
запасно­
госломался.
насоса,
имеющего
меньшую
мощность.
Известно,
что
первая
треть
заполнилась
на
1
О
мин
быстрее
второй,
а
вторая
-на
бассейна
1
О
мин
быстрее третьей.
За
какое
время
наполнилась
первая
треть
бассейна?
Пустьтреть-за
первая треть
бассейна
наполнилась
за насос
t мин.работал
Тогда
вторая
(t
+
10)
мин,
из
которых
второй
+ 9) мин,
+
(tности
а
третья
треть-за
(t
20)
мин
(рис.
15).
Пусть
производитель­
первогообъемы
и второго
насосов
литровивтретьей
минутутретей
соответственно.
а и Ьвторой
Приравняем
первой
и
второй,
бассейна.
Получим систему уравнений:
{ at =а · 1 + (t + 9)Ь,
а ·1 + (t +9)Ь= (t +20)Ь.
12.14.
/ способ.
}
t+ 20 мин
} 1t +мин9 мин
}
t мин
Рис. 1 5 .
}
Из второго
уравнения
системы
получим,
что
=
11Ь,
подставим
а
вместо
в
первое
уравнение
системы
1
lb.
После
деления
полученного
уравненияа на отличное от нуля число Ь получим, что t = 2.
142
Это означает,
что первая
треть бассейна
бьша заполнена
за 2 мин.без
Решите
эту
задачу
с
помощью
одного
уравнения
или
вообще
уравнения.Мальчики спорили о длине трубы, которую трактор тянул на
полозьях.
Чтобы
выяснить,
кто
прав,
один
из
мальчиков
длиной
шага
0,75 м прошел
вдоль120трубы.
Когда
он шелнаправлении
в направлении
движения
трактора,
то
сделал
шагов,
в
обратном
он
сделал
вдоль
трубы 30 шагов.
Какова
длина
трубы?
Пусть
длинатрактора
трубы прошел
х м. Учитывая
длину
шага,
мальчик
в
120
90
(м),
за
это
время
направлении
движения
О,
75
· преодолел (90 - х) м.
конец
трубы,
от
которого
мальчик
удалялся,
ВЗапротивоположном
направлении
мальчиктеперь
прошел
0,75 · приближался,
30 22,5 (м).
это
время
конец
трубы,
к
которому
мальчик
преодолел
(хв первом
-22,5) случае
м. движение (и мальчика, и конца трубы) заня­
Так
как
лочемвремени
: 30 4 уравнение:
раза меньшее, то (х -22,5) м в 4 раза меньше,
(90 -х) вм.120Составим
4(х -22,5х) 9036. -х.Следовательно, длина трубы
Решив
это
уравнение,
получим
36 м.Решите задачу другим способом.
Дванабрата
купиливозросла,
акции одного
достоинства
на
сумму
$3640.
Когда
цена
эти
акции
они
продали
часть
ак­
ций
насвоих.
суммуПри$3927.
Первый
брат продалот75%продажи
своих акций
акций,вторым
а второй80%
этом
сумма,
полученная
бра­На
том,
превышает
сумму
от
продажи
акций
первым
братом
на
140%.
сколько
процентов
возросла
цена
акции?
Пустьвторой
братья - у акций.
акцииСтоимость
по а долларов
засоставила
штуку: первый
брат
+
х3640акций,
акций
х
или
ау,
а
долларов.
Когда
цена
нанаэтисумму
акцииО,возросла
до8Ьу,Ь долларов
задолла­
шту­
ку,ров.ониПри
продали
часть
акций
7
5Ьх
+
О,
или
3927
этом
сумма
О,
8
была
больше
О,
7
5Ьх
на
140%,
или
в
2,
4
раза.
Ьу
Составим систему уравнений:ах + ау= 3640,
О,75Ьх + О,8Ьу=3927,
О,8Ьу = 2,4 ·О, 75Ьх.
12.15.
/ способ.
=
=
=
=
=
12.16. ВШЭ, 1 99 7.
купили
{
143
Мы составили систему из трех уравнений с четырьмя неизвестны­
ми. неизвестных
Она не имеетвеличины
единственного
решения,
но из ее уравнений
три
выразить
через четвертую.
Требуетсяможно
опре-
:��:::::.G:т.;0:.;=д::: ::::.: ::::
ь
одно неизвестное, которое сократится при вычислении отношения -.
Из третьего
системы выразим
черезуравнениях
х (здесь Ь "#систе­
О по
смыслу
задачи):уравнения
у = 2,25х. Заменим
в первых двух
мы на 2,25х, получим два
равенства:
3,25 ах = 3640
2,55Ьх = 3927, из
1120
1540
1540
11
которых получим: = --,
1120 -.8 Стоимость акх Ь = --х ,тогда-= --=
ции увеличилась на ( � -1 ) 100% = 37 ,5%.
Найдите более простое решение этой задачи.
Дванабрата
купиливозросла,
акции одного
достоинства
на
сумму
$3375.
Когда
цена
эти
акции
они
продали
часть
ак­
0/о своих акций, а второй ций
на
сумму
$2916.
Первый
брат
продал
60
70% своих.
При этом сумма, полученная от продажи акции первым бра2
0
том, на-%
превысила сумму, полученную вторым братом. На сколь7
ко процентов
возросла
цена
одной акции?
Задачи
и
с
небольшим
изменением
были
предложены в экзаменационной работередакционным
2000 г. в девятых
физико-мате­
матических классах.
НаберегуозерарасположеныпунктыА
Из пункта А в пункт отправился
катер, а через 1 ч после этого изи
пункта в пункт А вышла моторная лодка. Еще через 1 ч они встрети­
лись
и, нечерезостанавливаясь,
продолжили
движение.
Катер прибыл
в
пункт
2
ч
20
мин
после
того,
как
в
пункт
А
прибыла
моторная
лодка.
Через
какоеони время
после навстречу
начала движения
произошла
бы их
встреча,
если
бы
отправились
друг
другу
одновременно?
(1994,Приведем
№ 1). решение этой задачи из журнала «Математика в школе»
у
ь
а
а
·
1 2 .17. ВШЭ, 1 99 7.
0
12.16
1 2 .18. МГУ,
В.
В
В
144
12.17
геол.
ф., 1 993.
В
а
у
и
Обозначим черезполучим
и равенства
скорости катера и моторной лодки,
а через - расстояние
= - 103
из которых нужно найти величину . Введя неизвестные х =
и решив систему
{ 12х 1 10
х 3
получим два решения: ( �; �) и ( % -�) . Второе из них должно
бытьИскомая
отброшено.
величина:
1 -= � (ч) .
=х 4
Попробуйте
решить задачу без составления системы.
Даны
три металли­
Из
ческих
сплава.
Один
фунт
первого
сплава
содержит
12
унций
серебра,
Фунт
1серебра,
унцию меди
и
3
унции
олова.
второго
сплава
содержит
1 унцию
Фунт
12
унций
меди
и
3
унции
олова.
третьего
сплава
содер­
жит
14
унций
меди,
2
унции
олова
и
вовсе
не
содержит
серебра.
Из ка­бы
ких
трех
сплавов
нужно
составить
новый,
фунт
которого
содержал
4 унции
серебра,
9
унций
меди
и
3
унции
олова?
Обычноболееэтупростое
задачу решают,
составляя систему с тремя неизвестными.
Найдите
решение.
еще одну
задачу.8 класса
Она былаФМШ
включена
в Москвы.
переводной эк­
№
2007
заменРассмотрим
по алгебре
учащихся
Пешеход вышел
извелосипедист
пункта в пункт
Через
45 минпешеходу
из в
выехал велосипедист.
Когда
прибыл
в
пункт
3 пути. колько времени потратил пешеход на
оставалось проити -всего
8 что велосипедист догнал пешехода на полови­
весь
путь,
если
известно,
пути из пункта в пункт а скорости пешехода и велосипедиста по­
нестоянны?
v�
/ способ.
vm
АВ,
s
2vk + vm
s,
s
s
- - = -,
v� vm
v
s
vk + vm
k,
s
v
у = __.!!!._
s
+ y = l,
- -- =-,
у
;
s
vk + vm
12.19.
+у
«Всеобщей арифметики» И. Ньютона.
для
12.20.
А
В.
А
В
В,
с
�
А
В,
145
системы
эту задачу составлением
учащиеся решали
Некоторые Пусть
составляет х
пешехода из вч. Тогда
время движения
так. велосипедиста
уравненийдвижения
на полаиз в составляет
у
а время
у
3
х
вину пути пешеход затратил -2 ч, что равно 2 + 4 . Составим первое
уравнение: х2 2у + -.34
расстоя­
пройденное
скоростью
постоянной
с
движении
при
как
Так
когда
ние пропорционально времени движения, то3 в 5тот момент, велосипедист прибыл в пешеход прошел 1 - 8 -расстояния
от до и
8
затратил на это 5; что равно (у + % ) ч. Составим второе уравнение:
-5х8 =у+-.34
Решив систему уравнений �
f +%'
5х � '
8 4
=
найдем,
ставляетчто2 ч.х 2, у 0,5. То есть время движения пешехода из в со­
Система получилась несложная, но без нее можно обойтись.
Если !3 турист пройдет пешком, а �3 пути прое1 он проедет на велосипеде, то затратит на весь 1,5 ч. Если же -пути
3
2
дет на велосипеде, а -3 пути проидет пешком, то затратит на весь путь
2 ч Пусть
15 мин.наЗавеськакоепутьвремя
он пройдет
весь путь пешком?
пешком
турист
расходует-х
мин, а на велоси1
2
педе у мин. Тогда на -3 пешком и -3 пути на велосипеде турист
А
В
ч,
В
А
-
-
-=-
В,
-
=
А
В
ч,
{
=
=
у
+
=
12.21. РЭА, 2002.
А
пути
путь
�
-
146
пути
В
расходует ( -х3 + -2у3 ) мин, или 90 мин. А на -23 пути пешком и -31 пути на
велосипеде турист расходует ( 2; + � ) мин, или 135 мин.
Составим систему уравне у
= 90,
3 + 3 =135.
Онапутьимеет
единственное
решение:
х =мин,180,илиу =за45.3 ч.Следовательно,
весьНайдите
пешком
турист
пройдет
за
180
арифметическое решение задачи.
Если _!_4 бассейна наполнит первая труба, а затем �4 вторая, то бассейн будет наполнен за 5 ч. Если же �4 бассейна наполнит
первая труба, а затем _!_4 _вторая, то бассейн будет наполнен за 7 ч. За
какоеПрежде
времячемнаполнит
бассейн
одна вторая
труба?
решать
старую
задачу
про
трех
землекоповподготовитель­
или четырех
едоков,
поедающих
торт,
рассмотрим
более
простую
ную задачу,Двав которой
уменьшено
число
действующих
лиц.
человека
съелипонадобилось
торт. Они елибыповторому,
очереди,чтобы
и первый
ел
столько
времени,
сколько
съесть
1 . второй ел столько времени, сколько понадобилось бы пер-торта,
4
3 Во сколько раз быстрее они съели бы торт,
в ому, чтобы съесть -торта.
если бы ели егоСначала
не по4решим
очереди,задачу,
а вместе?
следуя призывутруда))
«Не бойтесь
вво­че­
дить
лишние
буквы!».
Пусть
«производительность
первого
ловек
амин,
второго-Ь
(вудолях
торта,запоедаемых
Пусть
пер­
+у) минв минуту).
+
вый
ел
х
а
второй
они
съели
(
мин.
Тогда
(х
ах Ьу)
торта, или целый торт. Поэтомух верно
равенство
а + Ьу = 1.
{Т+
12.22. РЭА, 2002.
12.23.
/ способ.
а,
147
Так как второй за х мин мог съесть Ьх торта, что равно _!_4 торта, а пер3 то верны еще два равенства:
вьm за мин торта, что равно -торта,
14 3
4
4
Сложив эти три равенства,+ получим,
+ Ьх2 + что 2,
откуда (х + )(а + Ь) 2 их+ а +Ь (мин).
Если бы они ели торт вместе, то затратили бы на работу а +1 Ь мин,
то есть при совместной работе
они
работали
в
2
раза
быстрее.
Представим, что в то время,
пока первый ел
1
свои кусок торта, второи едок не отдыхал, а съел -торта,
а когда второи
4
3 аким образом, первыи и втоел свою часть торта, первыи съел -торта.
4съели 1 торт, а при совместной рабо­
рой
при
последовательной
работе
теработе
за тоониже работали
самое времяв 2 съели
2
торта.
Следовательно,
при
совместной
раза
быстрее. задачи)) (2009) имеется та­
В
книге
П.
В
.
Чулкова
«Арифметические
кая задача.Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем
каждый
работает
столько
времени,
сколько
нужно
двоим
другим,
что­
быбыстрее
вырытьониполовину
так,
онибы вырыли
яму.одновременно?
Во сколько раз
закончилиямы.быРаботая
работу,
если
работали
Знайка,
Незнайка,
Винтик
ивремени,
Шпунтиксколько
съели
торт.
Они
ели
по
очереди,
и
каждый
из
них
ел
столько
понадобилось
бы
трем
другим
едокам,
чтобы,
«работая))
вместе,
съесть
половину
торта. Воасколько
раз быстрее они съели бы торт, если бы ели
его Рассмотрим
не по очереди,
все
вместе?
задачу,решить
аналогичную
которой мы уже решали методом
подобия. Попробуйте
ее
без
уравнений.
Пешеход,
велосипедист
и
мотоциклист
движутся
по
шоссе
в
одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда ве�
у
- ау
Ьх = - и ау = -.
ах
у
=
Ьу
у=
ау =
--
--
// способ (П.В. Чулков).
�
�
�
�
12.24.
12.25. «Кенгуру», 201 0.
12.26.
148
т
�
лосипедист
и мотоциклист
находились
в момент,
одной точке,
пешеход
был
надогнал
расстоянии
10
км
впереди
них.
В
тот
когда
мотоциклист
пешехода,
велосипедист
отставалпешехода
от них на в5 тот
км. Намомент,
сколькокогда
ки­
лометров
мотоциклист
будет
обгонять
пешеходаТри
настигнет
велосипедист?
гонщика
А,
и
стартовав
одновременно,
движутся
с
скоростями
внаходился
одном направлении
по кольцевому
шоссе.
Впостоянными
момент
старта
гонщик
перед
гонщиком
А
на
расстоянии
-31 длины шоссе, а гонщик перед гонщиком на таком же расстоянии. Гонщик
А первый
впервыекруг,
догнала ещегонщика
в мин
тот момент,
когда
гонщикдог­
закончил
свой
через
1
О
гонщик
А
впервые
нал гонщика
Гонщик
тратитнанакругкруггонщик
на 2,5 А?мин меньше, чем гон­
щик
Сколько
времени
тратит
Здесь
можно
ввести
четыре
неизвестных:
три
скорости
и
расстояние
(длину3 неизвестных
трассы), составить
3 уравненияа ответ
и изполучить
полученнойкаксистемы
выра­ве­
зить
через
четвертое,
отношение
личин. НоТри
задачу
можностартуют
решить содновременно
помощью одного
уравнения.
гонщика
из
одной
точки
шоссе,
имеющего
форму
окружности,
и
едут
в
одном
направлении
с
постоян­
ными
скоростями.
Первый
гонщик
впервые
после старта
догнал второ­
го,точкеделая
свой
пятый
круг,
в
точке,
диаметрально
противоположной
старта,обогнал
а черезтретьего
полчаса гонщика.
после этогоВторой
он вторично
(невпервые
считая момен­
татретьего
старта)
гонщик
догнал
через
3
ч
после
старта.
Сколько
кругов
в
час
делает
первый
гонщик, если
второй
гонщикпоезд
проходит
круг немимо
менее,станции
чем за 20А, мин?
Когда
товарный
проходил
пасса­
жирский
поезд
только
начал
равноускоренное
движение
(начальная
скоростьтреть
равнапути
нулю).от станции
Поезда Апоравнялись
в тотстанции
момент, Вкогда
они
прошли
до
следующей
этот
мо­
мент
пассажирский
поезд,
набравший
некоторую
скорость,
начал
дви­
жение
с путь
постоянной
скоростью.
Во сколько
разчембольше
времени затра­
тил
на
от
А
до
товарный
поезд,
пассажирский,
если
скорость
товарного
поезда
на
всем
пути
была
постоянной?
Пусть (км,
расстояние,
время
искорость
скоростьтоварного
измеряются
в согласованных
единицах
ч,
км/ч)
и
пусть
поезда
равнапоезда намомент времени, когда поезда поравнялись и пассажирский
12.27.
В
С,
В
С
В
-
В
С.
В
В
С.
12.28.
12.29.
В.
В
v1 ,
t0 -
149
чал равномерное движение со скоростью v2. Пусть ускорение пасса­
жирского поезда- а.at0Так какat расстояния,
пройденные поездами к момен•
•
t0
V
t0
0
_
t0, равны, то v1 t0 --2 = 2 = 2 2 , откуда следует, что v2 _- 2 v1 •
ТотТакжекакрезультат
можно
получитьпоездами
из рассмотрения
графиков
движе­
рассто
,
пройденные
к
моменту
t
>
равны
(на
рис.
0
16ника OCD),
со то площади
уют равные
площади
прямоуголь
OMGD
и
треуголь­
подобных
треугольников
ОМNи
CGN
равны.
Сле­
=
довательно, треугольники равны, поэтому ОМ = CG, то есть v2 2v1 •
2
ту
---
ния .
им
--
яния
ответств
ника
эти
v
с
2v,
м
1
1
1
1
1
1
�п
о
t
to
Рис. 1 6
часть
расстояния2v пройдет
то остаток
Такравный
как расстояние
v1 t0 - третья
пути,
2v
t
пассажирский
поезд
со
скоростью
0,
1
1 поезд пройдет за 2t0 ч, а товарный поездза-t0 за
Весь
путь
пассажирский
3tвремени,
поезд
затратил
на
путь
от
до
в
1,
5
раза
больше
0 ч. Тогдачемтоварный
пассажирский.
Из
пункта
в пункт
отправились
одновременно
двапоездов
поезда.
Каждый
из
них
вначале
двигался
равноускоренно
(ускорения
различны,
начальные
скорости
равны нулю),
а затем,
набрав некоторую
скорость,
равномерно.
Отношение
скоростей
равномерного
движе­
ния
поездов
равно
2.
Пройдя
четверть
пути
от
до
поезда
поравня­
лись, причем
в этот
моментотношение
скоростьпромежутков
одного была ввремени,
1,5 раза больше
ско­
рости
другого.
Найдите
за
которые
поезда прошли путь от до
АВ,
ч.
12.30.
150
А
А
В
А
В,
В
А
В.
ОТВЕТЫ И СОВЕТЫ
За 8 ч. За 20 дней. Через 18 мин. Через 2 ч. За
6 дней.
1) 5 : 15 =!3 (заказа) выполнит первый рабочий за 5 ч;
2) 1 _ !=�
3 3 (заказа) выполнят рабочие при совместной работе;
3) _!_
15 _!_
15 = �15 (заказа) выполнят рабочие за 1 ч при совместной работе;
4) �3 : �15 = 5 (ч)-время совместной работы;
5) 5 5 = 10 (ч)- время выполнения заказа.
Но задачу можно решить без дробей.
Первый рабочий за 5 ч выполнил !3 заказа, а при совместной работе
два рабочих выполнили оставшиеся�3 заказа. Каждый из них выполнил
! заказа, так как они работали с одинаковой производительностью. Тог3
да вместе они работали еще 5 ч, а весь заказ выполнили за 5 5 = 10 (ч).
За 21 день.
Так как скорость первого автобуса в 2 раза больше скорости
второго автобуса, то весь путь первый автобус проедет в 2 раза быстрее,
чем второй. А по условию задачи время движения первого автобуса на
1 ч меньше, чем время движения второго автобуса. Следовательно, пер­
вый автобус1 был
в
пути
1
ч,
а
второй
2
ч.
Тогда
в
час
они
проходят
3
всего 1 2 -расстояния
и встретятся через 1 : 23 23 (ч).
2
151
1 .5.
1 .6.
1 .7.
1.11.
1.12.
1.13.
+
+
+
1.15.
1.16.
-
+
- =
- = -
Если же второй автобус увеличит скорость в 2 раза, то весь путь
пройдет за 1 час и встретит первый автобус через 2� ч. В этом случае
встреча произошла бы раньше на 2 21 61 (ч), то есть на 10 мин.
6
За-ч.
1140 дней. Эту задачу можно решить без дробей, если знать,
На
что стопа содержала 480 листов бумаги.
а) За 21 ч; старинное
б) за 18 ч. решение задачи. Пусть лошадь, коза и овца
Приведем
едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съест 6 возов,
коза а овца 2.
11
Всего 11 возов, значит, в месяц они съедают -воза,
а один воз съедят за
6
6
1 116 -(месяца).
11
За �9 недели или за 5 дней и 4 часа.
За �25 года. Старинное решение этой задачи построено на подсчете числа дворов, которые 4 человека построят за 12 лет совместной
работы.
Из условий
задачи
следует,
чтоМаша
за 1 ич Лена
Маша и Настя
могут
вы­бы
мыть
окна,
Настя
и
Лена
4
окна,
5
окон.
Если
окна
мылиработали
две Маши,бы сдвеодинаковой
Насти и двепроизводительностью),
Лены (и девочки с одинаковыми
именами
то все 6Нас­
де­
за
1
ч
вымьши
бы
4
5
12
(окон).
Тогда
за
60
мин
Маша,
вочек
тя и Ленаи Лена
вымыли
бы 6быокон.одноЭтоокноозначает,
Настя
вымыли
за 60 : 6что,10работая
(мин). втроем, Маша,
За 80 мин. 1!..!.13 ч. За 120 дней.
На каждый
километр пути при движении туда и обратно расхо1
1
1
дуется 20 30 12 (бака) топлива, значит, наибольшее расстояние, на
которое может отплыть рыбак, равно 1 121 12 (км).
---
3
=
-
1.17.
1.18.
1 .20.
1.21.
:
-
- 3,
=
1 .23.
1 .24.
1 .25.
3
-
3+ +
-
=
=
1 .26.
1 .27.
1 .28.
1 .30.
- +-
= -
:
152
-
=
-
Если бы задние колеса меняли с передними 1через1 каждую
ты5
сячу километров, то на 2 тыс. км расходовалось бы 12 + 8 -ресурса
24
5
каждого колеса. То есть 2 тыс. км составляют -наибольшего
пути, ко24
торый равен 2 : 2_24 = 9,6 (тыс. км).
48Пусть
км/ч.длина53участка
км/ч. пути50s км/ч.
60
км/ч.
км. sТогдаs вs(aоба+конца
автомобиль
Ь
)
проехал 2s км, затратив на весь путь а + Ь аЬ (ч). Вычислим
среднююs(aскорость
движения:
Ь
2а
)
+
2s : аЬ = а +ЬЬ (км/ч).
12Пустькм/ч.в гору и48с горы
км/ч.велосипедист проехал по s всего
Так
скорость равна 12 км/ч, то на путь туда и обратно затрачено
2s-= s (ч).средняя
движения с горы равна Ь км/ч, тогда на путь туда
12 6 Пусть скорость
обратно затрачено -10s + ьs ч. Составим уравнение:
s s
-10s +-=-.
ь s6(s * О), получим равносильное
обе
части
уравнения
на
Разделив
ему уравнение:
1-10 +_!_=
_!_6'
ь
Ь 15. Велосипедист ехал с горы со ско­
имеющее
единственный
корень
ростью 15 км/ч.
84 км/ч. 2а км/ч. 58 10794 км/ч. 16 км. 9
а) 3 Сначала
ч; б) 6 ч.решим4 задачу
ч. 5 ч. = 5,За =3535.суток.
12 ч.
а s Пусть расстояние А равноs
s тогда скорость теплохода по теченmо -км/сут.
, а скорость течения -35
5
км/сут.
1 .3 1 .
-
2.2.
2.9.
2.5.
2.6.
=
2.8.
-
2.10.
2.12.
-
-
=
2.11.
км,
2s км.
как
и
-
-
=
2.13.
3.3.
3.10.
2.14.
3.4.
ах
2.15.
--
-х
3.5.
3.7.
для
-
2.16.
3.2.
ч.
3.8.
х
В
км,
153
s 2s -s (км/сут. ) -скорость теплохода против течения;
1) ---=
5 s35 7
2) s : -=
7 (сут. ) - время движения теплохода против течения.
7
равно
Теперь решим задачу в общем виде. Пусть расстояние
s
s км, тогда скорость теплохода по течению равна -км/сут.
, скорость теа
s
s , а скорость теплохода против течения равна ---=
чения равна-км/сут.
а х
х
s(x -2а) (км/сут.
) . Тогда время движения теплохода против течения
равноs : s(x -2a) = х -2а (сут. ) .
Ьх сут.
км/ч.
х +2Ь Пусть собственная
скорость пловцах м/мин,150скорость
течения у м/мин. Тогда время движения по течению равно --мин,
х+у а
50 мин. По условию задачи -150 = 50 , откуда
против течения -х+ у у-х
у-х
скорость
течения вскорость
2 раза больше
скорости
пловца.
у = 2х, то естьПусть
собственная
пловцах
м/мин,
скорость
те­3
чения
у
м!мин.
Так
как
за
одно
и
то
же
время
путь
по
течению
был
в
раза
против течения,
тотечения.
скоростьСоставим
пловца уравнение:
по течению в
3 разабольше,
больше,чемчемпуть
его скорость
против
х +у = 3(у-х),
откуда у=Пусть
2х, то есть скорость течения в 2 раза больше скорости пловца.
собственная
скорость
лодки
х км/ч,равна
а скорость
течения
+у=х
у(км/ч),
км/ч. аТогда
скорость
удаления
лодки
и
шляпы
(х-у)
+ у) -у = х (км/ч). Удаление
скорость
сближения
равна
(х
и
сближение
лодки
и шляпызначит,
происходило
с одной итуда
той жеи обратно
скоростью,
на
одно
и
то
же
расстояние,
время
движения
одина­
ково, то естьдогонял
шляпу догонят
через 20жемин.времени, сколько удалялся от
шляпу
столько
нее (см. решение задачи Следовательно, шляпа, плывшая со скоАВ
�
=
ах
ах
ах
3.11.
--
3.13. 1 способ.
--
3.12.
и2 - v 2
и
--
II способ.
3.14.
3.15. Я
3.14).
1 54
ростью
проплыла 1 км за 20 мин, то есть скорость течения реки
равна 3 течения,
км/ч.
Если в 1997оплачивало
г. из каждых
100 р. 35реальных
расходов
на оплату
жилья
население
примерно
р.
,
а
в
1998
г.
должно
былоа
оплачивать
уже
50
р.
,
то
разница
15
р.
от
35
р.
составляет
не
15%,
15 ·100% 42,86%. Это при условии, что за год стоимость содержания
жилья35Такоене изменится.
решениетак как
приемная
комиссиялишьсерьезного
вуза случая
может (посчи­
тать
неполным,
ответ
получен
для
частного
100 р. )
итенеполное
показано,
что
ответ
не
зависит
от
первоначальной
суммы.
Получи­
решение,
заменив
число
100
буквой.
30%.
30%. имеет массу (1 - 0,13) · 500 435 (г). При
«Сухое
вещество»
25% на 25%
него составляет
приходится43575%: 0,массы,
то есть
масса вермише­
ливлажности
при влажности
7
5
580
(г).
2 т. зимой на 50 р. можно было купить 1 единицу некоторого
Пусть
товара
стоимостью
50
р.
Летом
этот
товар
стоил
на
20%
дороже,
то
есть
1,2 · 50То 60есть(р. покупательная
). На 90 р. можноспособность
купить 90 : 60денег,1,5вложенных
единицы тогов акции,
же то­
вара.
увеличилась
нач рядовой
50%. Иванов почистит 1 ведро и получит 0,8 ведра
За
4
очищеннойЗа 3картошки.
целое ведро он начистит за 4 : 0,8 5 (ч).
ч 20Замин.3 ч Тогда
рядовой
Сидоров почистит 1 ведро картошки, а за
4
4 ч он почистит 1 : 3 · 4 -3 (ведра), а начистит за 4 ч ровно 1 ведро, то есть
4 1 (ведра), от ведра они сост -:1 -·4 100% 25%.
очисток будет--1
3
3 за3 1 ч рядовой Сидоров начистит х 3 картошки,
Пусть
тогда
за 3 и 4 ч он начистит 3х и 4х соответственно (ведро вмещает
4х
кар1
Так как,
тошки). Огходы составят 4х-3х х (кг) картошки, то есть -ведра.
4
почистив ведро картошки, рядовои идоров получил -41 ведра очисток, то
25% картошки у него идет в отходы
155
4.3.
---- �
4.4.
4.7.
4.6.
=
=
4.8.
4.9.
=
=
4.10.
=
4.1 1 .
4.12. I способ.
=
=
авляют
-
II способ.
=
кг
кг
кг
=
� с
Сначала узнаем, за сколько часов совместной работы рядовые
Иванов и Петров почистят котел картошки -за 1 : ( l + �) 2,4 (ч). При
0,6 всей картошки,
этом Иванов
почистита Петров
2,4 : 4 почистит
6 которой
уйдет
в очистки,
1 - 0,6 0,60,4О, 1всей0,0картошки,
06 которой
уйдет
в картошки.
очистки. Всего в очистки у них уйдет
0,0,406· +0 0,150Пусть
6 0,0,12,
или
12%
всей
у гр. Владимирова
акцийнакомпании
на х р. иценак­
ций компании «Киржач»
на 2х р. , всего
3х р. После«Ока»
увеличения
акций они будут42хстоить
1,6 · х + 1,3 · 2х 4,2х (р. ) . Стоимость акций
-3х
увеличилась на 3х 100% 40%.
На 30%. За 1Нач совместной
11 %. работы три насоса выкачивают
3 три насоса выка1 : 2-605 -,2512 или 48% объема бассеина, поэтому за -ч
4
3·48
чали бы --4 36 (%) объема бассейна. Но совместная производитель1 +7 -2 совместнои
ность первого и третьего насосов составляет 1 +4+7
3 рабопроизводительности трех насосов, поэтому за 36·2
45 мин совместной
ты первого и третьего насосов будет откачано --3 24 (%) объема бассейна.
72%. 6�.
Выручка
магазина
уменьшится
на
1
%.
Задачу картофеля
можно решить
темпроизведение
же способом,ценычтои имассы
предыдущую,
ведь
стоимость
-это
(как пло­
щадьПриведем
прямоугольника
-это
произведение
его
длины
и
ширины).
решение
этойКартофель
задачи подешевел
из книгина П.20%.
В . Следова­
Чулкова
«Арифметические
задачи».
тельно,
весь(рис.ранее17).купленный
картофель
можно
приобрести,
истратив
80%
денег
Сложим
этот
картофель
в
мешок.
Останется
20%ещеот
прежней
суммы
денег,
значит,
на
оставшиеся
деньги
можно
купить
четверть мешка картошки, то есть 25% дополнительно.
4.13.
=
=
·
=
=
=
,
=
4.15.
=
'
4.16.
4.19.
4.2 1 . II способ.
=
·
=
�
=
=
=
4.22.
4.26.
4.28.
156
4.24.
�
Эта задача
аналогична
предыдущей.
Пусть
скорость
поезда
по
расписанию
км/ч,
аравна
времяvt движения
t
ч,
тогда
длина
участка
км. После3 уменьшения скорости на
25% она равна 4 км/ч. Так как расстояние
одно и то же, то время
движения поезда дол4t
жно быть равно -3 ч, то есть должно увели1
читъся на -t31 ч, или на 33-%.
На 20%. 3
Пусть 1 доллар стоил а р. , тогда 1 р. стоил -а1 доллара. После
5а и теперь
увеличения цены доллара в рублях на 25% он стал стоить -р.
4
5а
4
1 р. стоит 1 : -=
-(доллара).
Стоимость 1 р. в долларах при этом умень4
5а
1
шилась на -51 от -доллара,
или на 20%.
а
На 9%.в школеНах учащихся,
10%. тогда в ней О,45х мальчиков и О,55х
Пусть
девочек.
Без
«троек»
учатся
0,
3
О,
4
5х
=
О,135х
(мальчиков)
и
0,
4
О,
5
5х=
=щихся
О,22хшколы.
(девочек), а всего 0,135 х О,22х = О,355х, или 35,5 % всех уча­
Пусть вподдержали
голосовании0,приняли
участиеи О,g4женщин
и т мужчин.
Постановление
9
4g
женщин
1т
мужчин,
а всего
0,69(g т) человек. Составим
уравнение:
0,69(g т),что среди голосовавших
0,g 9=4g1,12О,т4. 1тЭто=означает,
изженщин
которогобылополучим:
нагод12%назадбольше,
чембыло
мужчин.
Теперь
мальчиков
и
d
девочек.
Пусть
в
школе
т
соответственно.
По
условию
зада­
мальчиковшколы
и 0,96dзадевочек
ихчи число
1,05т учащихся
год1,не05изменилось.
Составим уравнение:
d=
0,
9
6d.
т
т
Выразим из этого уравненияd=d 1,через
25т.т :
4.29.
v
-v
Рис. 1 7 .
4.30.
4.3 1 .
4.32.
4.36.
4.34.
·
·
+
4.37.
+
+
+
4.38.
+
+
157
означает, что год назад девочек в школе бьшо на 25% больше,
чемЭтомальчиков.
В 9 раз. стоимость
В 6 раз. куска26%.алмаза (без осколка) составляет
Новая
б)
2 -это 81 % его первоначальной стоимости. Стоимость
k( 910т )2 81km
100
алмаза уменьшилась1 на 100 - 81 = 19 (%).
в) Откололась -5 алмаза.
На 36%.на рынке брюки стоят х р. , а пиджаку р., тогда в магазине
Пусть
брюки
стоят (1,1,33ххр.+, а1,15у)
пиджакр. , или
1,15у1,р.2(хКостюм
на рынке стоил
(х +у) р. ,
+у)
а в магазине
р.
Составим
уравнение:
+у),
+
1,15у
=
1,
2
(х
1,
3
х
изжакакоторого
что у = 2х, то есть на рынке брюки дешевле пид­
в 2 а)раза.Наполучим,
50%;
б) Налодка
50%.пропльша по реке s тогда по озеру она
Пусть
моторная
пропльша
на
30%
больше,
то
есть
1,
3
s
пусть
ее
скорость
в
озере
v
км/ч,
тогда ее скоростьs в реке на 10% меньше,
то есть 0,9v км/ч. Время движения
13s
'
по реке равно --ч,
0,9v а по озеру -v- ч. Время движения по озеру больше
времени движения по реке на
( 1,v3s 0,s9_v ) : -0,s9-v · 100%= 17%.
Пусть масса
Карабаса-Барабаса
равна т-О,тогда
масса
егоБура­
бо­
роды
составляла
О,
4
а
его
масса
без
бороды
6
кг.
Пусть
т
т
тино
остриг(О,часть
бороды
массой
х
после
чего
масса
оставшейся
час­
тиСоставим
бороды
4
х)
стала
составлять
10%
его
массы
(
т
т - х) кг.
уравнение:
О1 4т -х = О' 1 (т -х)'
из которого получим х = -т.
31
5
Итак, Буратино остриг -3т : О,4т -бороды
6 Карабаса-Барабаса.
4.39.
4.43.
4.41.
4.42.
=
4.46.
4.47.
4.50.
4.51.
км;
км,
_ _
4.52.
кг,
кг ,
кг ,
кг
'
=
158
В среду.
Поскольку в задаче не сказано, что Сидор или Карп что-то выиг­
рали,
то
нужно
считать,
что
они
проиграли
деньги
другим
участникам
игры. Пусть первоначально у Сидора и у Карпа было по х р. Составим
уравнение:
- 12 = 4(х - 57),
х
которое имеет единственный корень х = 72. Следовательно, первона­
чально у6 Сидора
было пои7248р.учеников. 5 десятин и 100 р.
дней. и Карпа
300 пряников
Галок 20 и берез 15. 9 и 7 шашек. 15 дней. 12 гос­
тей. 70 мин и 95 мин.
Пусть первый работал
х мин, тогда второй 2(работал
(
х
+
11)
мин.
Зх
+ll)
ри этом первыи сделал -самолетика,
второи - x 3 самолетика,
2
а вместе они сделали 29 самолетиков.
уравнение:
Зх + 2(х + 11)Составим
= 29.
2
3
Оно
имеет
единственный
корень
х
=
1
О.
Следовательно,
первый
сделал 3·102 = 15, а второй 29 - 15 = 14 (самолетиков).
80 у торговца было первоначально х фунтов стерлингов. Тог­
Пусть
да у него стало: 4
через 1 год-3 (х- 100),
через 2 года � ( � (х -100) -100 ) ,
через 3 года � ( � ( � (х -100) -100 ) -100 ) ,
или 2х фунтов стерлингов. Составим уравнение:
�( � ( � (х -100) -100 ) - 100 ) = 2х,
имеющее
х = 1480. 1480 фунтов стерлингов.
Итак, уединственный
торговца былокорень
первоначально
5.5.
5.6.
5.7.
5.10.
5.14.
5.15.
5.8.
5.1 1 .
п
�
5.9.
5.12.
5.13.
�
--
5.16.
5.17.
км .
159
Примем за единицу объем воды, налитой в бассейн за 6 ч, тогда
за 1 ч в бассейн поступала !6, а откачивалась !2 этого объема воды. Пусть
через х ч насос откачает воду из бассейна при условии, что идет дождь.
Составим уравнение:
1 +�= �'
6воду2 из бассейна за ч при условии,
откуда
х
3.
Итак,
насо
откачает
с
что идет Пусть
дождь.сын до отдыха скосил х соток, тогда отец скосил 2х со­
ток.
отдыха
отец скосит
оставшиеся
на меньшем
участке
х соток,
аодин
сынПосле
виз два
раза
меньше:
О,
5
х
соток.
По
условию
задачи
известно,
что
участков больше другого
на 1 сотку. Составим уравнение:
+О, 5х)-2х= 1,
(2х
х= 2. Меньший участок имеет площадь 2 2= 4 (сотки), больший
+ 1 = 5 (соток).
4откуда
Пустьменьший
объем половины
меньшего
кувшинах
лбольший
и сначала-Сули­
косильную.
поставила
кувшин
под
слабую
струю,
а
под
Тогда
до перестановки
кувшинов
в меньший
кувшин
нали­
лось
х
л,
а
в
больший
3х
л
воды,
так
как
большая
струя
дает
в
3
раза
больше
воды,
чем
меньшая
за
одно
и
то
же
время.
На
рис.
18
(а)
закра­
шены части объемов кувшинов, заполненные до перестановки кувшинов.
5.18.
3
=
5.20.
·
5.2 1.
!!!
!
-160
!
!!!
1о- - - - - - - -
Зх
,_ _ _ _ _ _ _ _
а)
б)
Рис. 1 8 .
--
Сулико поменяла местами кувшины, и под сильной струей в меньшии кувшин налилось х л воды, а в большии - в 3 раза меньше: -х3 л.
Кувшины
уравнение:наполнились одновременно, их общий объем л. Составим
з!х =
3
Его
единственный
корень
х = 1, 5 . Следовательно, меньший кувшин
вмещает
1,5 2 что= 3 если
(л), асначала
большийпод-слабую
3 = 5 (л).струю поставить больший
Убедитесь,
кувшин
(рис.же ответ.
(б)), тоНоприеслитехнежерассмотреть
обозначениях
получится
то жетоурав­
нение
и
тот
этот
второй
случай,
ре­
шение задачи
будет
неполным.
Пустьскоростью
велосипедист
проехална путь
от А вдокаждый
и обратно
спонекоторой
постоянной
и
затратил
конец
tвч,2 раза
а на
весь
путь
2t
ч.
Так
как
пешеход
шел
путь
от
А
до
со
скоростью
меньшей
скорости
велосипедиста,
то он затратил
в 2 раза скорости
больше вре­ве­
мени:
2t
ч.
Возвращался
он
со
скоростью
в
4
раза
большей
лосипедиста
ипешеход
затратилбылна вобратный
путь
в=42,раза
меньше
времени:
0,больше
25t ч. Тогда
пути
2t
0,
2
5t
2
5t
(ч).
Так
как
2,25! ч
2t
ч
на
0,
5
ч,
то
2,
2
5t-2t
= 0,5, откуда t = 2, то есть велосипедист
затратилОтвет.
на путь туда
и
обратно
2t
= 4 (ч), а пешеход 4 0,5 = 4,5 (ч).
12, 5, 20нужно
р. обозначить через х число рублей, кото­
Для
решения
задачи
рое оказалосьна 2быр.у, деньги
каждоговторого
студента,уменьшить
если бы деньги
первого
студента
увеличить
на
2
р.
,
деньги
третьего
увеличить
вдвое,
а
деньги
четвертого
уменьшить
вдвое.
Выразите
через
х первоначальные суммы денег, составьте уравнение и решите задачу.
Примерно
436 миль. черезОтвет.
57 яблок.
Здесь
удобно
обозначить
х число яблок, данных младшему
брату. Заполним таблицу:
�
1
�
8
2.х +
8.
8
·
18
5.22.
В
В
+
+
5.23.
8,
5.24.
5.25.
Д ан о
Съ ели
Осталось
Мл адш и й брат
х
Зх - 1 2 - 42
6
Средн и й бр ат
Зх - 1 2
2х
Старший бр ат
Зх
2х + 9
Составьте уравнение и решите задачу.
161
pq открыток; а) 30 и 90 открыток; б) 15 и 60 открыток.
_р-1q_ и р-1
а + Ь и --ас Ь книг; а) 21 и 39 книг; б) 26 и 22 книг. а - Ь +
n+ l
c+ l c+ lа - Ь
+ Ь +с и а- Ь -с- n+ l рабочих; а) 26 и 22 рабочих; б) 17 и 12 рабочих.
Сестре и брату (mn-- lm) a и (mn-- lm)an лет соотв енно; а) 4 и 12 лет;
б) 9 и 27 лет. - l )nk лет; а) 42 года; б) 45 лет. а + Ь учащихся,
ап + Ь тетрадеи. а - Ь ап -- ЬЬ днеи. 6 ч.
5.27.
5.28. --
5.29. --
--
етств
5.30.
5.31. (
т
---
�
т
5.32.
т-п
5.33. -- кг,
п-т
т
�
5.35.
п-т
а скобки и решают квадратное
В
этом
месте
обычно
раскрывают
уравнение,
хотя
по двасмыслу
задачинатуральных
ясно, что х числа,
- числопроизведение
натуральноеко­и
существует
только
соседних
торыхЕслиравно
30.решим
Итак, хквадратное
6, то естьуравнение,
бьmо 6 подруг.
же
мы
то получимчисло».
и второй его
корень (-5),Пустьне отвечающий
условию
<
<.х
-натуральное
было1) партии.
х приятелей,
тогда
каждыйвсехдолжен
сыграть
с
остальными
по
(хЧтобы
найти
число
партий,
произве­
дение х(х-Составим
1) нужноуравнение:
разделить на 2, так как в нем каждая партия учтена
дважды.
х(х-1) 36 '
2 корень х 9. Было 9 приятелей.
имеющееПусть
единственный
положительный
в турнире
участвовало
х шахматистов.
Они сыграли
х(х-ина­1)
партий
и
набрали
х(х
1)
очков.
Подсчитаем
это
количество
очков
че: 24 + 24 2 72 (очка). Составим
уравнение:
1)
72,корень х 9. Значит, в турни­
х(химеющее
единственный
положительный
ре участвовало
9
шахматистов.
Пусть даме былох лет.i1- Составим
уравнение по условию задачи:
53х
696
и решим его. Беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак, полу53 - J2s 24.
2
п-т
5.36.
=
5.37.
=
=
5.38.
·
=
=
5.39.
ЧИМ :
162
Х1
=
=
=
=
Итак, даме было 24 года.
44 стопы. 40 стоп. 12. (Сравните задачи и
25-локтя.
140 волков.
3
Пусть пешеходы встретились через х дней
(х >О). Первый про­
(1
+х)х
шел 10х миль, а второй 1 + 2 + . . + (х- 1) + х = 2 (миль). Сказано,
одинодин
из нихпрошел
прошелв 5одну
шестую чем
берега,
а другой
-пять
шестых,
точто
есть
раз
больше,
другой.
Но
мы
не
знаем,
кто
прошел больше,
поэтому
надо
рассмотреть
два
случая.
1) 5 · (l +2x)x = 10x и 2) (l +2x)x = 5 · 10x.
Первое
уравнение имеет
двахкорня
х1этом
= О ислучае
х2 = 3, пешеходы
из них только
ко­в
рень
х
удовлетворяет
условию
>
О.
В
были
. 32дня и прошли 10 3 + (1+3)·3 = 36 (миль).
пути
· 2
уравнение имеет
два хкорня
=О ислучае
х4 = 99,пешеходы
из них только
ко­в
реньВторое
х4 удовлетворяет
условию
>(l +О.99)Вх3·этом
бьmи
пути 99 дней и прошли 1 О · 99 + 2 99 = 5940 (миль).
Заметим,
чтои вовторой
второмпешеход
случае пешеходы
находились
в пути больше
трех
месяцев
в
последние
дни
проходил
около
100
миль
в
день,
а
весь
пройденный
путь
лишь
немного
меньше
радиуса
Земли.
Возможно,
составитель
задачи
имел
в
виду
только
первый
слу­
чай,Итак,
но условия
не позволяют
3615 р.мильзадачи
пройдено
за 3 дня илиисключить
5940 мильвторой
-заслучай.
99 дней.
Пусть
лимон стоит х р. , тогда 4 лимона стоят
4х р. На 25 р. мож25
25
но купить -лимонов.
По условию задачи 4х = -,х откуда х2 = 6,25. Так
х
как х > О,Половина
то х = 2,5,задания
то естьсоставляет
лимон стоит12 га.2,5 Пусть
р. до дождя тракторист
вспахивал по х га пашни в день. Тогда после
дождя он вспахивал12по
12
(х + 1) га пашни в день. До дождя он пахал -днеи,
а после дождя x +l
х
дней -ровно на 1 день меньше, чем до дождя. Составим уравнение:
5.40.
5.45.
5.4 1.
5.43.
5.42
5.43.)
5.46.
5.48.
5.50.
5.51.
5.52.
�
--
163
12 __!3_ = 1.
х одинх +1положительный корень х 3, поэ­
Это
уравнение
имеет
лишь
тому после1 О дождя
тракторист
вспахивал
по
3
+
1
=
4
(га)
в
день.
км/ч.торговец1 О покупает
л. 9 км/ч.
Пусть
книги
за х· р.100Тогда доход от прода­
(11-х)
жи одной книги равен (11 -х) р. , или х %. По условию задачих (1 1- xх)·lOO.
Решив1 О, этото есть
уравнение,
получим
егоравна
единственный
положительный
корень
оптовая
цена
книги
1
О
р.
24 и 20 попаданий.
40 мин. шел до встречи t ч, он прошел
Пусть
второй
пешеход
16 ч, что по условию задачи
7
-всего
Тогда на весь он
-t
7
16равно 7 ч. Составим
уравнение: 16
t= 7,
7
откуда t = 4916 . Первыи пешеход до прошел-169 за t+ 2 4916 + 2 =
= -8116 (ч). Значит, весь путь он проидет за 8116 169 9 (ч).
Построим графики движения пешеходов (рис. 19).
_
=
5.53.
5.58.
5.54.
5.55.
=
5.59.
5.64. I способ.
пути
5.62.
путь
.
-
затратит
встречи
�
�
пути
-
:
-
=
II способ.
Расстояние от М
в
2
м
0 '-----....,--...,.../
Х
164
Рис. 1 9 .
D
Время
движения
=-
Пусть
первый
пешеход
был
в
путих
ч,
тогдаАВ
=
х,
СА=
х-2.
Второй
пешеход бьш в 7 ч, значит,САOD=ВМ7 2 7= 9. Из подобия треугольни­
ков А CN и ODN следует, что OD МО 9 . Составим уравнение:
-х-29- - 97,
оrкудах=9.
Первый пешеход пройдет весь путь за 9 ч.
В 4 раза.
Построим графики движения автомобиля АКD и мотоцикла
ВСМ
от
О
ч (рис.7,5,20).тогдаМN=
Из условия6,5.задачи
= 23,изANподобия
= 16,5,
СР= 3, КF=
Пустьследует,
PD = FN=чтоxАМ
. Тогда
двух
СЕР и MEF, DEP и КЕF следует, что
СР пар
DP . треугольников
MF Составим уравнение:3 х
х +6,5 7,5
А
пути
+
-=
--
=-
5.65.
5.66.
--
=КF
Расстояние от
Р
в 1--��...,.
с��
.
г---ji
А
м
К
L
F N Время
движения
Рис. 20.
уравнение
имеет
единственный
положительный
корень:
х11=(ч).2,5.
ТогдаЭтовремя
выезда
мотоцикла
из
города
А
есть
16,
5
-2,5
-3
=
Рассмотрим
случаи
встречи
в
месте
соединения
шоссе
и
грун­
товой дороги, на грунтовой дороге и на шоссе.
5.67.
165
Предположим
, что машины
встретились
в точкеза 1,5 чвониместепроехали
соеди­
нения
шоссе
и
грунтовой
дороги
(рис.
21
).
Тогда
1,5 80 1,еще5 50не встретились,
195 (км). Тоследовательно,
есть через 1,5 чпосленачаладвижения
ав­
томобили
этот
случай
не
соответству­
условиям задачи.
С
·
+
·
-
=
ет
грунтовая
ш о ссе
. дорога .
с
А
в
Рис. 2 1 .
теперь,
что замашины
встретились
напроехала
грунтовойменьше
доро­
ге120вПредположим
точке
D
(рис.
22).
Тогда
1,5
ч
первая
машина
км, так как часть
путислучае,D)аонавторой
ехала автомобиль
со скоростью,заменьшей,
чем в
рассмотренном
выше
1,
5
ч
проехал
75встретились,
км. То естьследовательно,
через 1,5 ч после
начала
движения
автомобили
еще
не
и этот случай не соответствует условиям
задачи.
(С
С
А
D
в
Рис. 2 2 .
Осталось
рассмотреть
последний
случай.
Пусть
машины
встре­
тились
на
шоссе
в
точке
D
(рис.
23).
Тогда
за
1,5
ч
первая
машина
прое­
хала
1,
5
80
120
(км).
Обозначим
черезхкм
расстояние
DC,
тогда
рас­
стояние равно 200- 120-х 80-х (км).
·
=
СВ
=
х
1 20
80 - х
�.�.
.
.
D
С
В
------- �---
А
.
Рис. 2 3 .
Составим уравнение, вычислив время движения второй машины до
встречи:
80-х х 3
50 60 2
--
166
+ - = -.
Решив его, получим единственный корень3х =3030. Теперь
ответим на
50
17
вопрос задачи. Первыи автомобиль был в пути 2 + -80 + -60 = 2-(
ч), авто24
120 = 3 -1 (ч). в торои автомобиль был в пути дольше первого на
рои -23 + 60 19 2
3 �2 -2 .!224 24 (ч).
Кувшины(рис.1, 11,24).111Когда
наполнялись
равномерно,
изобразим
графики
этих
процессов
количества
воды
в
двух
первых
кувши­
нах
сравнялись
(графики
1и11чемпересеклись
вКогда
точкежеА),количества
в третьем кувши­
непервом
было
наи в 3третьем
л воды
меньше,
во
втором.
воды вв
кувшинах
сравнялись
(графики
1
и
111
пересеклись
точке В),в тотв первом
кувшине
было на 1воды
л водыво меньше,
чемв третьем
во втором.
Пусть
момент,
когда
количества
втором
и
кув­в
шинах
сравнялись,
в
первом
кувшине
было
на
х
л
воды
меньше,
чем
третьем.
�
-
�
�
=
5.69.
Рис. 24.
АС 1 =-,х тогда
Из подобия треугольников А СС1 и АВ1 В следует, что -АВ 1
АВ
ВС
+ВС
1
х= АВ 1 _ 1 АВ _
АизподобиятреугольниковАВА 1 и С1ВСследует, что АВ1 =-.х3 Сос­
тавим уравнение:
+
вс
--
167
x = l + �з '
откудах=
1,5 . количества воды во втором и в третьем кувшинах срав­
Итак,
когда
нялись, вУпервом
кувшине
былона отличное
на 1,5 л воды
меньше,
чем в третьем.
множив
уравнение
от
нуля
произведение
у(2 -х),
получим квадратное уравнение:
Х2' - 2х + 2у-у2 = О.
-у, но х1 не удов­
х2 = х2 +у=
Решив условию
его относительно
х, получим:
х1 =у,откуда
летворяет
х
>у.
Поэтому
х
=
2
-у,
2.
преобразования:
такие
Но проще сначала выполнить
:;( - 2х + 2у -у2 = О,
(х-у)(х
+у)+у-2(х-у)
= О,
(х
-у)(х
2)
=
О.
задачиответследует,
чтох-у:;t:О,
тогдах
+ у-2бидонами
=О, откудах+у
=собрали
2.ИзМыусловия
получили
на
вопрос
задачи:
до
обмена
ребята
2
л
ягод.
без
задачу
эту
решил
Д
Проспи
Москвы
г.
679
№
школы
Ученик
момент,
тот
в
бидонами
с сестройягод, сколько к этому мо­
поменяться
Брат должен
уравнения.
столько
ровно
собрать
останется
ему
когда
них со­
каждый изполовину
бидонами
обмена
после
Тогда
собралажесестра.
менту
-ровно
вместе
а
обмена,
до
и
сколько
ягод,
столько
берет
от объемаЭтодвухредкая
бидонов,
т.е. 2 л.задача, в которой вообще нет числовых
текстовая
дед
выводу:
к
приходим
задаче,
предыдущей
в
как
Рассуждая,
данных.
оста­
когда емусобрал
в тотк момент,
лукошками
с внуком
поменяться
должен
моменту
этому
сколько
ягод,
столько
ровно
собрать
нется
внук. Пусть сначала брат собралх, а сестра 2 л ягод. Из условия зада­
чисестра
следует,
чтол ягод.
х 2.БратПослесобирал
обменаягоды
корзинами
брат
набрал
ещеи то2 л,жеа
(5
-х)
быстрее
сестры
в
одно
число раз до и после обмена корзинами,
х 2 поэтому
2 5 х-х·= 4 и х2 = 1, но число х не удов­
Это
уравнение
имеет
два
корня:
1 брат собрал 4 л ягод.
2 Всего
летворяет
условию
х
2,
поэтому
сначала
брат собрал 4 + 2 = 6 (л) ягод.
5. 72.
5.73.
5.74.
>
>
168
4 малины. Пусть
Сестра до обмена бидонами собрала -23 2 = -(л)
3 4
до обмена бидонами брат собрал х л малины (х > -),3 тогда после обмена
4 2 асестра(3-х)лмалины. Так как брат
бидонами брат собрал 1 --=-(л),
3 3 и то же число раз, то верно равенство:
работал быстрее сестры в одно
4 -2 : (3 -х).
х : -=
3 3
1 х2
Решив это уравнение, получим два его корня: х1 = -и38 х2 =-.Число
3
4
не удовлетворяет условию х >-.3 Тогда брат работает быстрее сестры в
4 2 раза.
-38 : -=
3 Пусть площади лугов пропорциональны числам 8 и 7 с коэф­
фициентом
kтех
и равны
8k
и
7
kнекоторых
единиц
площади.
Пусть
сначала
сын
скосил
единицбkплощади
3,Sk), изотецусловия
задачи
следу­
ет, что сначала отецже скосил
ед. После(у >отдыха
скосил
(7
k-y)
ед. ,
7k
y
бk
сын - оставшиеся 2k ед. Огец косил в -, или в 2k раза быстрее
сына.
относительно
получимПриравняв
корни: дроби
= 4k.полученное
Корень неуравнение
= 3k ии решив
удовлетворяет
условию
бk
> 3,Sk. Значит, у= 4k. Теперь получим ответ: отец работает в 4kбk =
= 1,5 разаЗадачу
быстреенетрудно
сына. свести к квадратному уравнению. Два корня
- поставить меньший
уравнения
соответствуют
двумструю
возможностям
кувшин
сначала
под
сильную
или
под
слабую.
случа­
яхводы,ответчемнадругая.
вопрос задачи один и тот же: одна струя даетНовв2обоих
раза больше
Пусть скорость
теплохода
тогда катер
приближался
носу теплохода
со скоростью
(v -х) хм/с,м/с,а потом
приближался
к кормек
5. 75.
·
5. 76.
у
а
у
у1
у
у2
---
у,
у1
у
-
= -
5.77.
5.79.
169
1
1
--
--
со скоростью (v + ) м/с, затратив на путь туда и обратно v- x + v+ x ,
или с. Составим уравнение:
+--=
t,
v+
vx
x
Перепишем уравнение в виде:
которое нужно решить относительно
tv 2 -2 tx 2 -2/v
2 О
-х
v
Чи �дроби в левой части ура�нения равен нулю при
= ±� � ' при этом знаменатель этои дроби отличен от нуля,
так как2 v Но по смыслу задачи скорость положительна, поэтому
x =� tv � 2/v .
Итак, скорость теплохода равна ��
� м/с.
Заметим,
что
в
задаче
не
сказано,
в
каком
направлении
движет­
(по течению или против течения реки). Убедимся, что ответ
отся теплоход
этого
не
зависит.
деле, пустьдвижется
скоростьпотеплохода
м/с,катера скорость
течения
м/с.В самом
Если
теплоход
течению,
то
сначала
прибли­
ужался
к
носу
теплохода
со
скоростью
(v
+у)( +у) = v- x (м/с), а по­
томЕсли
приближался
к
корме
со
скоростью
(v
-у)
+
( +у) v + (м/с).
жек носу
теплоход
движется
против течения,
то( катер
сначала
при­), а
-у)
v
(м/с
-у)
теплохода
со
скоростью
(
v
ближался
v + реше­
(м/с).
потомозначает,
приближался
к кормерешение
со скоростью
(vполностью
+у) + ( -у)
Это
что
дальше
задачи
повторяет
ние задачиЭта задача уже решена в общем виде (см. ), остается в по­
лученную формулу подставить 2 52 и s 12. 2 2
Итак, связной прошел + .J + s 5 + .J�5-_+_1_2_ 18 (км).
6 к. 45%. 5%. 42�3 градуса. 80-й пробы.
х
t
1
1
--
х.
------ =
.
х
> х.
5.80.
х
х
х
=
х
=
х
5.79.
5.82.
1
6.2.
1 70
6.5.
6.6.
1
5.81
1=
6.7.
=
=
=
6.8.
х
=
х
х
Сначала определим массу цинка в полученном сплаве: -37 140 +
+-35 150= 150 ) По условию задачи меди он содержал на 20 больше,
то есть 170Если сплавить
Тогда массапервый
полученного
сплава
равна
150
+
170
=
320
( )
слиток
со вторым,
то процент
медислитке.
в по­
лученном
сплаве
будет
в
2
раза
меньше,
чем
он
был
в
первом
Так
как
во
втором
сплаве
меди
нет,
то
уменьшение
процентного
содер­
жания меди в 2 раза возможно лишь при условии, что масса нового
сплава в 2 раза больше массы первого слитка. Тогда массы двух первых
слитков
равны,
обозначим
их
г.
т
Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в полу­
ченном
сплавесплаве
будет никеля
в 3 разанет,
меньше,
чем он былпроцентного
во втором слитке.
Так
как
в
третьем
то
уменьшение
содержа­
ния
никеля
в
3
раза
возможно
лишь
при
условии,
что
масса
нового
спла­
ва в 3 раза больше массы второго слитка. Тогда масса третьего слитка в
2 разаТеперь
большеможно
массыопределить,
второго, обозначим
массуцинка
третьегобудетслиткасодержать
2т г.
какой процент
слиток, полученный при
всех трех слитков:
(О,1тсплавлении
+ 0,07·2т)·100%
= 6%.
m+m+2m
1,5 кг. уменьшить
100 г. процентное содержание уксуса в растворе в
Чтобы
40 : 10 = 4 (раза), надо массу раствора увел в 4 раза. Масса нового
раствора
воды. должна составить3 1,5 4 = 6 ( ) Нужно добавить 6- 1,5 =4,т5 ( )
400 г. 9-8 фунта меди. 64 г. Р1 -РР22 ) г и
1 - )т г. 24 и 8 фунтов. 20 кг по 90 центов и 30 кг по
Р1 - Р2
60 центов.Пусть масса
40°С. второго55°С.сплава хОткг,35°С
домасса
50°С.первого сплава
тогда
) цинка, а в
(х+ 3) В двух сплавах+ было O,l(x + 3) +0,4х= О,5х+ 0,3 ( уравнение:
новом сплаве О,2(х + 3 х)О,=5хО,+4х0,3+ 0,=6О,(кг)4х +цинка.
0,6. Составим
6.9.
·
(кг .
·
кг
кг.
кг .
6.1 1.
6.15.
6.18.
6.16.
ичить
·
6.19.
(р
р
6.20.
6.2 1 .
6.24.
6.30.
6.34.
кг.
кг .
кг
6.23.
(р -
6.25.
6.3 1 .
6.32.
кг
171
Решив это уравнение, получим его единственный корень х = 3. Мас­
са новогоПусть
сплавабьшоравнавзятох +х3л+второго
х = 9 (кг).раствора. Тогда в новом растворе
1 · 20 + О,3х = 2 + О,3х (л) щелочи и 0,9 · 20 + О,7х + 1 О =
=содержалось
28 + О,7х (л)О,воды.
Так как объем воды2,был
в +2,5О,раза
больше
объема
щелочи, то
5
(2
3
х)
=
28
+
О,
7
х
·
Решиввторого
полученное
уравнение,
найдем
значение
х = 460.
Итак,
раствора
надо
было
взять
460
л.
Пусть надо
взятьвохвзятых
л 60%-горастворах
раствораи кислоты,
тогда,растворе,
прирав­
няв
количества
кислоты
в
полученном
составим уравнение:О,бх + 0,4 · 12 = О,36·(х + 12 + 4).
единственный
надоЭтовзятьуравнение
4 л 60%-гоимеетраствора
кислоты. корень х = 4. Следовательно,
6 · 6 = 5,2 (л) кислоты, а концентраРаствор содержал 0,4 · 4 + 0,52·100%
ция кислоты в растворе составляла ' 4+6 - 52%. Пусть бьшо вылито
х л раствора, содержащего 0,52 х л кислоты, и добавлено х л воды. Но­
вый
0,39 · 1О=3,9 (л) кислоты. Соста­
вим раствор
уравнение:содержал 5,2 -О,5,252х,-О,или
52х = корень
3,9 . х = 2,5. Следовательно,
Это
уравнение
имеет
единственный
было добавлено
2,5 л взять
воды.х первого и (8 -х) второго сплава. ВыраПусть нужно
зим через х массу золота в новом сплаве: -х25 +-103 (8 -х) = О,1х + 2,4 )
Выразим через х массу
серебра
сплаве:
7 в новом
3-х +-(8-х)
= 5 '6--0 1х (кг).
5
10
массы золота
и серебра в новом сплаве находят­
ся вПользуясь
отношениитем,5 : что11, составим
уравнение:
О,1х + 2,4 5,6 -О,1х
5 х = 1. 11
имеющее
единственный
корень
Тогда от первого сплава надо взять 1 а от второго 7
6.36.
.
6.37.
6.38.
6.39.
кг
кг
(кг .
'
172
кг,
кг.
7.2. Поровну.
7.4. Пусть цена 1 л вина в первом бочонке а р . , а во втором - Ь р. и
пусть из каждого бочонка перелили в другой по х л вина. Тогда цена 1 л
а (40 - х) + Ьх
вина в первом бочонке составит
р . , а во втором бочонке
40
ах + Ь(1 0 - х)
р . По условию задачи цены вина в бочонках после перели10
вания сравнялись. Составим уравнение:
а (40 - х) + Ьх _ ах + Ь(1 0 - х)
-----
10
40
Умножив уравнение на 40, после преобразований получим уравнение
х(а - Ь) = 8(а - Ь),
равносильное исходному.
Так как по условию задачи цены а и Ь различны, то а - Ь -:f:. О, и поэто­
му х = 8. Следовательно, чтобы цены вина за литр в двух бочонках срав­
нялись, нужно взять из каждого бочонка и перелить в другой по 8 л вина.
здесь уравнение могло бы быть более простым, если бы мы одну
40а + 1 ОЬ 4а + Ь
= --, выражаюиз дробен в уравнении заменили числом
40 + 1 0
щим (в рублях) цену 1 л вина после переливания.
тп
7.5.
л.
т+п
И
�
5
--
7.7. Пусть первый раз отлили х л спирта, осталось 20 - х = 2
{ ;)
1-
0
(л) спирта. Когда сосуд долили водой, доля оставшегося спирта (по объ­
ему) составляла 1 - �. Во второй раз вместе с х л раствора вылили
20
{ ;)
1-
0
л спирта, а в сосуде осталось
{ ;) { ;)
( ; J,
2
1-
0
-
1-
0
{ ;) { ;J
( ;J
= (20 - x 1 -
0
=2
1-
0
.
Когда сосуд еще раз долили водой, то доля спирта (по объему) со­
ставила 1 -
0
или 0,64. Составим уравнение : 1 -
0
= 0,64.
1 73
х
х
Так как по смыслу задачи 1 - - > О, то 1 - - = 0,8, откуда х = 4 .
20
20
Итак, из сосуда в первый раз отлили 4 л спирта.
7.8. 1 6 л. 7.10. 4 л. 7.12. 20 или 30 л.
7.15. В баке содержалось 0,75 20 = 1 5 (л) спирта, а в ведре и в баке
вместе содержалось 10 + 1 5 = 25 (л) спирта. После двух переливаний в
·
ведре оказалось 0,9
1 0 = 9 (л) спирта, а в баке 25 - 9 = 1 6 (л) спирта.
16
доля спирта в б аке составляла -, поэтому перелитыи в ведро раствор
20
содержал 0,8 х л спирта. Тогда после двух переливаний в баке осталось
1 5 + х - О,8х = 1 5 + О,2х (л) спирта. Составим уравнение:
1 5 + О,2х = 1 6,
откуда х = 5, следовательно, из ведра в бак перелили 5 л спирта.
7.16. Пусть V - объем первого бака ( V > 2), тогда 4 V - объем вто­
рого бака. Объем глицерина, оставшегося после первого переливания в
первом баке, равен V - 2, доля глицерина в первом баке составляла
V -2
2
, а во втором баке - -, поэтому во второи раз из первого бака взяV
4V
2(V - 2)
_± (л), а из второго бака - 2 2 = _!_ (л).
=2
ли
V
V
4V V
Объем глицерина, оказавшегося после двух переливаний в первом
4 1 V 2 - 4V + 5
баке, равен V - 2 - 2 + - +- =
(л), или 0,4 V л. Составим уравV V
V
V 2 - 4V + 5
пение:
= 0,4 V.
·
�
�
--
·
_
v
5
Это уравнение имеет два корня: - и 5 , но так как V> 2, то V = 5 , тогда
3
V + 4 V = 25.
Итак, суммарный объем баков 25 л.
8.3. Пусть оба раза выпуск продукции увеличивался на р%. Тогда
справедливо равенство:
60 j 1 + _.!!___
'\ 1 00
)2
= 726.
Учитывая, что выражение в скобках положительное, имеем:
1 74
1 + L=
100 1 ' 1 '
=1
10%.
откуда р
О, то есть оба раза выпуск продукции увеличивался на
8.4. Рассуждая, как и в предыдущем случае, мы придем к уравнению:
откуда получим, что р
10%.
8000 . (1 - __Е_
100 )2 = 6480'
= 10.
Цену холодильника уменьшали оба раза на
8.5. На 25%.
8.6. Пусть зарплату повышали первый раз на р%, тогда во второй -
на 2р%. После первого повышения зарплата составила
7000 · (1 + __Е_
100 )
9240
р.,
2)
(1
7000 · (1 + __Е_)
+
100
100
2
1000 . (1 + L)(1
100 + 100Р )= 9240.
7000
х = L,
100
(1 +х)( 1 + 2х) = 1,3 2.
х
=
1,
=1
10%.
А,
·(1 + LX1
10000_ ) (p.) .
100 · (1-___i_
100 -L)=
16%
· (1-_!_О_)
100
а { 1- 1 :О�о) = а -(1 - 11060}
а после второго
р
-
р., что составляет
р.
Составим уравнение:
Разделив уравнение на
и введя новое неизвестное
пере-
пишем уравнение в виде
Это уравнение имеет единственный положительный корень
О,
О.
следовательно, р
Итак, заработная плата повышалась в первый раз на
8.7. На 20%, на 30%.
8.8. Пусть акции компании стоившие а р . , в понедельник подоро­
жали на р %, а во вторник подешевели на р %. Тогда они стали стоить
а
стоить на
а
дешевле, то есть а
По условию задачи они стали
р. Составим уравнение:
175
Разделив обе части уравнения на неравное нулю число
уравнение
1 -___i_
100
10000 1-_!_О_,
А
а,
получим
=
имеющее единственный положительный корень р 40.
Следовательно, акции компании подорожали в понедельник на
8.9. 4%. 8.10. 6%.
то справедливо не8.12. Если первоначальная стоимость товара
равенство:
ар. ,
_
У1
a · ( 1+ L
100 )
100 ) � а · ( l +�
100 Л д._
100(p-d)
lOO(p-d) ]
[
100+
100+
_- 30, d-_ 10, - [lOO(p-d) ] -_ 15 ( Уо).
100+
из которого следует, что q :.:;;
а) Если р
р
то qнаиб
б) р - 2 5 , d - 1 0,
_
40%.
=
_
ТО
qнаиб
5
-
[
. Поэтому qнаи б =
р
1 ОО( р
-
d)
1 00 + р
]
р
.
0
_
0
- 1 2 ( Уо) .
1,155
8.14. Стоимость акций за месяцев увеличилась в
или пример­
но в раза.
программы 8.15:
8.16. Нужно внести изменение в строке
2
20
20 IF 1 . озлN>=2 G O TO 40
После запуска программы получим
Ответ: число лет для удвоения суммы 24.
Задачу можно решить и с помощью калькулятора.
8. 17. Через лет.
8.22. Сначала следует выступить в газете, а уж потом увеличивать чис­
ло своих сторонников ООО) с каждым выступлением на радио и телевиде­
нии в
ив
раз соответственно (последовательность не важна).
Пусть кандидат в депутаты выступит в любом порядке раз по ра­
дио и раз по телевидению. От этого число его сторонников увеличится
раз, но расходы за всю кампанию не должны превысить
в п=
тыс. р. , то есть должно выполняться неравенство:
5
(1
1,4 1,8
t 4 ' · l,8 1
1,
112
32r+ 47t:o:;; ll2.
r
r
Вычислим <<Показатель эффективности» избирательной кампании п , вы­
бирая наибольшее значение для каждого из трех возможных значений
1 76
t:
t=O
r=3
п
= 1 8
° .
3
1 4 = 2 744
t= 1
r=2
n= 1 8
1 .
2
1 4 = 3 ,528
t=2
r=O
п
°
2
= 1 , 8 • 1 , 4 = 3 ,24
Как
видно
из
таблицы,
наибольшее
значение
получится
при
=
1
и
= 2, то естьпопосле
выступления
в газете
нужно в любом порядке 1 раз
выступить
телевидению
и
2
раза
по
радио.
Сначалапорядке
следует2 раза
сделать
рекламную
акциюналоговой
на телевидении,
а
затем
в
любом
увеличить
зарплату
полиции
и
1 раз увеличить
налоговых
инспекторов.
Пусть бьmоштат
мальчиков
и
уравнения:
т
+ 2d + 2 =35 и3,d5девочек,
+1,5d+составим
3т
1,
5
=
35.
т
Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим
единственное
ее7 мальчиков
решение: ти=6 7;девочек.
d = 6.
Итак,8 было
мужчин
и
15
женщин.
6
собак
и
4
кошки.
75
аршин
3
Ч€рного
и 0,6372аршина
синего сукна.
400
г.т. 1 1мфунтберезовых
3 сосновых
дров
весит
т,
1
м
дров
весит
0,
4
8
первого
1веситфунт35,75второго
сорта
стоят
2,
7
дяо
и
3,9
дяо.
Слиток
золота
лапа,
а
слиток
серебра-29,
2
5
лапа.
18
коров
по
18
р.
и 26 коровПусть
по 26в р.мехах
9.13.у100ослахстарых
баранов
и 12ослицы
молодых.
5 человек.
ведер
вина,
ау
у
ведер.
Составим
систему уравнений: { х-1= у+1,
х +1=2(у-1).
Решив
сисrему,
найдем
единственное
решение:
х
=
7,
у=
5.
Следовательно,
усначала
осла бьmодала7 ведер
вина,
а у ослицыЕсли5 ведер.
Пусть
мама
детям
по
4
конфеты.
онапо станет
раздавать
оставшиеся
3
конфеты,
то
трем
детям
хватит
еще
-не хватит, значит, всего детей: 3 + 2 =одной
5.
(пятой) конфете,
а
двум
Начнем
с арифметического
решения.
Пусть детям
раздалибудетпо
1раздать
тетради,еще
осталось
36.
Если
добавить
еще
12
тетрадей,
то
можно
36 + детей
12 = было(тетрадей)
2 тетради24каждому
+ 36 = 60.ребенку
(3 - 1 = 2). Всего
48 : 2 = -24,поа тетрадей
t
п
r
8.23.
9.3.
9.4.
9.5.
9.7.
9.8.
и
9.9.
9.10.
9.1 1 .
9.12.
9.14.
9. 16.
эту
ее
9.17.
9.18.
48
1 77
АлгебраическоерешеIШеприводиткуравнениюх + 36 = 3х- 12, гдех­
число учащихся, к системе { у-х=36,
3х - у=12,
где х - число
учащихся,
у-число
тсrрадей. вещи. 11 бедных.
Бьшо
7
человек,
53
стоимость
Составим два уравнения:
Пусть было х3хубогих
и у3пенязей.
-у
=
3
и
у
2х = 4 2.
Решив систему
двуххуравнений
с2.двумя неизвестными, получим ее
=
4
единственное
решение:
=
17,
у
Итак,Бьшо
было 17человек,
убогих,7042-стоимость
пенязя, каждому
досталосьБыло
по 2126пенязя.
курицы.
семей,
3750 -стоимость
буйвола.
650
р.
18
р.
20
к.
За
1
день.
Пусть
машинистка
должна
печатать
по
х
листов
в
день
в
тече­
ние у способами:
дней. Тогда (хвсех+ 2)(улистов3)было
ху.4)(уПодсчитаем
это количество
дру­
гими
и
(х
+
5).
Составим
систему:
{ (х +2)(у-3) =ху,
(х + 4)(у-5) =ху.
Послекоторой:
упрощениях=получим
систему
линейных
уравнений,
единственное
решеIШе
8,у=
15.
Таккак.ху=
120,
то
за
15
дней
м стка
должна напечатать
120
листов.
Пусть х коров заготовлено сена нау дней. Запишем коротко
условие задачи:
или
9.19.
9.2 1 .
9.20.
·
9.22.
·
9
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
ашини
9.28.
для
Число
Число дней
КОРОВ
х
у
х - 20
у + 10
х + ЗО
у - 10
Так каккоров,
при постоянн
ом запасеравенсгва:
сена число дней обратно пропорцио
но числу
то справедливы
х у+10 х +30 у
х-20 у х у- 10
уравнений,
получим
единсrвенное
решение:
Решив
систему
х = Итак,
120,у для
= 50.120 коров было запасено сена на 50 дней.
наль­
--
двух
1 78
=
--
И
--
=
--.
ее
Пусть дляВесьх коров
насенау дней
запасено по подсчитаем
z сена наеще
день,дву­то
есть
всего
запас
(в
килограммах)
мя способами: (х -20) · (у + 20) · zих · (у + 15) · 0,8z.
Составим систему из двух
уравнений
= xyz,неизве :
{ (х -20)(у
+ 20)zс тремя
х(у+ 15)0,8z =xyz.
Разделив
на z, а второе уравнение на xz (xz -:/:. полусистему:первое уравнение
{ (х-20)(у+20) =ху,
(у+ 15)0,8 = у,
имеющую
единственное80решение
х 80,запасено
у 60.сена на 60 дней.
Следовательно,
коров
бьmо
1,2 и 2,4получилиВпо1,5одному
раза. предмету и осталось 14 метел.
Дворники
+ 10 24)Эrохватило
Если
бы бьmо
еще каждому
10 грабель,дворнику
то всех еще
24 предметов
(14предмету.
бы,чточтобы
раздать
по
одному
означа­
дворников
было
24.
Так
при
нгорой
раздаче
предметов
каждому
дворнику
хватило
бы подворников
метле (и метел
не осталось
бы), то24 метел
было
14.
столько же,
сколько
24.
Тогда
грабель
бьmо
10
Пусть
у
первого
было
х
р.
,
у
второго
у
р.
,
у
третьего
z
р.
Составим систему уравнений 2 3
х +-4 y+-z5 =150'
3
-х57 + y+-z=150,
2 5 z=150.
5-х +-у+
7 4
Решив систему уравнений, получим: х 87.!,у
50, z 62.!.2 Следова
2
1 с
1 , 50 р., 62-р.
енно.
бьmо 87-р.
но, у первого, второго и
2
2
5, 11 иу13первого,
р. второго и третьего было х, у и z флоринов со­
Пусть
ответственно.
Составим систему уравнений:
9.29.
кг
xyz кг.
сrными
О),
чим
=
=
для
9.3 1 .
9'.33.
ет,
кг
кг .
9.32.
=
как
=
-
9.35.
=
третьего
=
=
тель-
�
9.36.
9.37.
1 79
1 1 ,
x +-y+-z=12
2
1- x + y+-21 z=12,
31 1 3
-4 x +-y+
4 z=12.
13 z = 3 СледоРешив систему уравнении, получим: х = 3-,у
=
7-,
17 1317 3 17
вательно, у первого, второго и третьего были 17 7-17 и 17 флоринов
соответственно.
Пусть(1 фунт
мера =пшеницы,
ячменя иСоставим
овса систему
соответственно
х, у,поz
шиллингов
20
шиллингам).
уравнений
условиям задачи: 40 +24y+20z=312,
x
26х +30y+50z =320,
24х + 120у+ 100z =680.
Решив
систему,
получим
ее единственное
решение:
х5,= 35,иу2=шиллин­
3, z = 2.
Это
означает,
что
1
мера
пшеницы,
ячменя
и
овса
стоит
га соответственно.
5 раз. р. -цена 1 кг бананов, ат кг -масса купленных баПусть
нанов. Составим систему уравнений по= 8,условиям задачи:
= 1.
системе три уравнения и четыре неизвестных,
+ = нужно найти
8 + 2 + 1 Перемножив
1 1 почленно второе и третье
Осталось
найти
уравнения системы и учитывая, что = =2,8, получим:
8 = 0,=25.2,
�
9
9-.
9
З....:.-,
9.38.
9.40. В
9.4 1 .
стоит
{
с
9-
{
[с] · [т]
[с] · {т} = 2,
{с} · [т]
В
::т.
ст = ([с] + {с} ) · ( [т] {т } )
= [с] · [т] + [с] · { т } + {с} · [т] + {с} · {т } =
+ {с} · { т } =
=
+ {с } · {т } .
{ с } · {т } .
[с] · [ т]
[с] · {с} · { т } · [т]
· {с} · { т }
{с} · { т }
1 80
Теперьстоимость
найдем стоимость
покупки:
ст1 1,=251 1р.+ 0,25 = 11,2 5.
Итак,
купленных
бананов
10 коров. объем травы на лугу t ед. , ежедневно при­
Пусть
первоначальный
растает
х
ед.
травы,
каждая
корова
съедает
в
день
у
ед.
травы
(объем
травы
измеряется
некоторой
общей для они
всехдолжны
величинсъедать
единицей).
Чтобы
коровы
могли
пастись
на
лугу
постоянно,
каждый
день
столь­
ко травы, сколько ее вырастает
за
день.
Составим
систему
уравнений:
{ t + 14х = 14 60 у,
t + 28х = 50 у.
Вычитая второго уравнения первое, получим: 14х = 560у, откуда
х =40у.
Последнее
равенство
показывает,
что40 коров.
за 1 деньИтак,вырастает
столько
это
время
40
коров
могут
травы,
сколько
ее
съедают
за
пастись
на
лугу
постоянно,
пока
растет
трава.
Если
коров
будет
больше,
то они будут
съедать
за день не запаса
только травы.
прирастающую
траву, но ивремя
неко­
торую
часть
первоначального
И
через
некоторое
травы станет
не первоначальный
хватать.
Пусть
запас травынекоторой
на каждомобщей
югередляравен
tвеличин
ед. (здесьединицей).
и далее объем
травы
измеряется
всех
В
день
вырастает
на
каждом
югере
х
ед.,
а
1
бык
съедает в день у ед. травы. Пусть быков за 18 недель съедят всю траву на лугу в 24 югера. На лугу в з.!.3 югера первоначальный запас травы
составлял З..:31 t ед., выросло за 4 недели З..:31 4х = 13 31 х ед. , весь этот объем
травы быкиуравнение:
съели. Но 12 быков за 4 недели съели 12 4у= 48у ед. травы.
Составим
3-t31 + 13 31 х = 48у.
составим уравнения для второго и третьего лугов, по­
Аналогично
лучим
систему уравнений:
1 1 x = 48y,
3-t+1310t3 + 90х3 = 189у,
24t + 432х = 18 у.
9.42. 52,8. 9.45.
9.46.
·
28
·
·
·
из
9.47.
Ь
·
-
·
-
Ь
181
с четырьмя
уравнений
трех всех
систему
Решаянайти
и не требуется.мыПре­не
но этонеизвестными,
неизвестных,
значения
сможем
образуем уравнения системы:lOt + 40х 144у,
lOt +90х = 189у,
10t + 180х = 7,5 Ьу.
Вычитая второе уравнение системы первого, а затем из третьего,
получим:
{ 50х=45у,
90х = (7,5Ь-189)у.
у О, то разделив почленно второе
х 9 О и75Ь-189
задачи
смыслу
по
как
Так
уравнение на первое, получим: -5 = ' 45 , откуда Ь = 36.
Итак,8036р.быков
съедят
траву
на
24
югерах
пастбища
за
18
недель.
илиний
120 р.первого,35%.второго 20и третьеготиповбылох,у
и 12 км/ч. За 16 дней.
Пусть
и z соответственно. Составим{ 1ООх+400y+30z
систему уравнений:=1030,
19х +69у+ 5z = 181.
Нас интересуют
натуральные
решения
системы,
удовлетворяющие
+
+
условию
х
z
1
О.
Разделим
первое
уравнение
системы
на
1
О,
полу­
у
+3z=1 (так
103. как
Таккакх,у,z-натуральныечисла,
тоzможет
чим:
x + 40yтолько
быть 10равно
z{ х+4у=10,
1 О). Перепишем систему, полагая
z = 1.
19х +69у= 176.
Эта система
имеет
единственное
решение:
х = 2, у = 2. Итак, линий
первого,
второго
и
третьего
типов
было
2,
2
и
1.
Пусть
1
картофеля,
свеклы,
моркови
и
стоят
х,
у,
z
и
k
р.
соотв енно. По условиям
задачиlOzсоставим
систему уравнений:
{ 10х + 15у+
+ 14k =528,
15х +6y+4z +2lk =550.
Очевидно,
что больше,
найти всечемрешения
этой системы
не найти
удастся,такие
так
как
неизвестных
уравнений,
но
можно
два числа и Ь, что умножив первое уравнение системы на вто-
{
=
из
>
>
"
9.48.
9.53.
9.50.
9.51 .
9.52.
�
<
9.54.
кг
етств
а
1 82
капусты
а,
,
рое
уравнение
системы
на Ь, левая
получим
после
сложения
полученных
+
уравнений
такое
уравнение,
часть
которого
равна
20х
+
12у
+ 8z + 28k. Тогда в правой части этого уравнения будет стоять искомая
стоимость покупки. Для поиска
{ 10аа+и15ЬЬ решим
=20, систему:
15а + 6Ь=12.
Эта система имеет единственное решение: а =-,141 Ь = -1211 . Так как
после
первого
уравненияуравнений
системы наверно
урав­
а , второго
нения умножения
на Ь и сложения
полученных
равенство
+ 12у8+ 8zморкови
+ 28k =и 792,
20хсвеклы,
то 20 картофеля,
12
28
капусты
стоят792
р.
1293 х, у и z -расстояния,
12, 24 и 48%. которые пароход проходит по пер­
Пусть
вой реке, по второй реке и по озеру соответственно. Составим систему
уравнений:
х +-z + -у =!,
-v +vх 1 vz v -vу 2
--v+v2 = (,
v-vх1 ++-y+v + z=S.
на положительные
Умноживперепишем
уравнения,
систему в знаменатели
виде: дробей первое и второе
кг
9.55.
9.60.
{
кг
кг .
кг
кг
9.57.
2
2
2
2
xv - xvv 2 + zv + zvv1 - zvv 2 - zv1v 2 + yv + yvv1 = vt(v + vv1 - vv2 + v1v2 ),
2
2
2
2
xv + xvv 2 + zv - zvv1 + zvv 2 - zv1v2 + yv - yvv1 = vt (v - vv1 + vv2 - v1v2 ),
х + y + z = S.
+
+
z
на
S:
и
заменим
х
у
Сложим первые два2Svуравнения
2
2 -2zv 1 v2 =системы
),
v
-2v
tv(2v 1 2
3
sv2
tv
откуда имеем: z = V1V2 + tv.
2 -tvз + tv )
Иrn.к,пароход идетпоозеруводномнаправлении ( svV1V
2 стоит 24 р. ,
6
месяцев.
15
км/ч.
30%.
Блокнот
книга- 35 р.
км .
9.62.
9.64.
9.66.
10.3.
1 83
Пусть
купили
х
воробьев,
у
горлиц,
40
-х
-у
голубей.
Здесь
х
и
уравнение:
Составим
числа.
у - натуральные 1 1
-х3 + -у2 + 2 . (40 -х -у) = 40.
Рассуждая
как приуравнению:
решении задачи получим уравнение, равно­
сильное
исходному
+
х
=
8,
Зу
1
,
гдех=
3хуравнение
натуральные
числа.
1 ,у= 10уимеет
1 , х1 иудва1 -решения
)
в натуральных
числах: (5; 1)
Это
(х
;
у
1
1
(х;
ичислах:
(2; 2). (15;
Исходное
уравнение
имеет
два
решения
у)
в
натуральных
10) и2(6;решения:
20). купили воробьев, голубей и горлиц: 6, 20,
Задача
имеет
14 или 15,Задача
10, 15.имеет одно решение: 3 куропатки, 5 голубей и 22 во­
робья.
и цыплят6 детей.
было: 4, 18, 78,Мужчин,
или 8, 1женщин
1, 81, илии де­12,
мужчин,
1
женщина,
4,тей84.было: 2,5 Петухов,
25, 70,имеет
или 8,2620,решений.
72, или 1 1, 15, 74, или 14, 10,
76, или 17, 5,30,78.68, или 5,Задача
3 и
Необязательно целое число х таково, что числа О,15х = -х
20
3
33
О,3 3х = -х
числа. Тогда число k = -х
-натуральное,
10020-натуральные
20
33 = -33 -k
20 = -k-натуральное.
11
откуда х = -k3 и число -х
Очевидно,
100
100
3
5
что это возможно при наименьшем k = 5. Тогда наименьшее число
х = 33 3�.
Пусть первоначально
всиних
первойкарандашей
коробке бьшо(k k красных
каранда­
шей,
а
во
второй
коробке
было
s
s).
После
первого
перекладьшания
в
первой
коробке
стало
0,
6
k
карандашей,
а
во
второй
ко­
+
робке
(s
0,
4
k)
карандашей.
После
второго
п
екладыв
каранда­
ер
шей в первой
коробке
стало
0,60,k3+2k.0,2(s + 0,4k) = 0,68k+ 0,2s, а во второй
+
коробке
0,
8
(s
+
0,
4
k)
=
0,
8
s
После
второго
перекладывания
красных
карандашей
в первойих ста­
ко­
+О,
+
0,
4
k)
=
0,
6
4k
+О,
1s,
а
во
второй
коробке
робке
стало
0,
6
k
1(s
лочем0,0,4k-36k-О,
0,1(s1s.+ 0,Составим
4k) = 0,36k0,1s. Причем 0,64k + 0,1s на 26 больше,
уравнение:
10.5.
10.4,
10.6.
10.7.
10.8.
кур
10.1 1 .
10.13.
10.18.
·
10.20.
<
ания
1 84
4k+ 0,1s -(0,36k-0,1s) = 26,
которое перепишем0,в6виде:
(1)
7k+ 5s = 650,
6507k
7k
откуда s = 5 = 130 --.5 Так как число натуральное, то число
k делится
навторого
5. перекладывания общее количество карандашей во
После
второй
коробке
увеличилось
по
сравнению
с
первоначальным
более
чем на 5%, следовательно, +
0, 8s 0,32k> 1,05s,
откуда
(2)
уравнения (1 двойному
), удовлетворяющие
неравенствам
k Найдем
s и (2), товсеестьрешения
удовлетворяющие
неравенству
k< 130- 7k5 < 32k25 .
Этому
двойному
неравенству
и
условию
делится
на
5»
удовлет­
воряет
значение
k = 50. Тогда = 130 - 70 = 60.
Итак,единственное
было
60
синих
карандашей.
купил вчера
х, а сегодня у раков и переплата со­
ставила р Пусть
к. ТогдаРоман
справедливо
равенство:
+ р = 2520.
+
51х
Так 16как5'р51,5' 20, следовательно,р
2520 делятся на 3,=то18.иТогда
на 3. Но поравенство:
условию
р делится
задачи
справедливо
+ = уравнение
2502.
Разделив уравнение на 3,51х17хполучим
+у+1
33у = 834,
834-33у
откуда х = 17 = 49 -2у + 17 .
натуральным
числом отрицательные
лишь при у = 16значе­
(при
= Неизвестное
16Следовательно,
+ 17k, где хk является
уния).
неизвестное
х
принимает
у = 16 ихзадачи.
= 18 -единственная пара значений х и
у, удовлетворяющая
условиям
Итак, Роман
купил вчера 18, 12а сегодня
150 студентов.
книг. 164 раков.
подберезовика.
s
-
<
«k
s
10.2 1 .
99у
99,
99у
--
Е
10.24.
N,
10.26.
10.28.
1 85
Из уравнения п(п - 1) = 15 + а(п -2)
(1)
выразим а через п: п 2 n 1 5
13 .
а = п - 2 = n+1 - п-2
Число
п
-2
натуральное,
так
как
при
п
=
1
или
п
=
2
уравнение
( 1 ) не
имеет
ни при каком
натуральном
. Так как
число 13 имеет
арешив
толькорешений
два натуральных
делителя
1
и
13,
то,
уравнения
пи-215.=Для1 и первого
п -2 = 13,из них а < О, что не отвечает
получим
два
значения
п:
3
условиям Пусть
задачи.бьmо
Следовательно,
пастуху
15 лет.составим уравнение:
и
d
девочек,
т мальчиков
2 + d1- = 25т ,
т
которое перепишем в виде:т2 -25т + d1- = О.
Так как
это625квадратное
уравнение
имеет
целые
корни,
тоО этоеговозмож­
дискри­
минант
D
=
-4d1--точный
квадрат.
При
условии
d
1
новиюлишь
d= 12. ТогдаD в= классе
49, т 1616мальчиков.
(т 9 не удовлетворяет усло­
т при
d).Пусть
Следовательно,
хученик
деталейзаделает
мастер(х-2)за 1детали,
ч (х 5)а весь
и выполняет
весь
заказ
за
ч,
тогда
1
ч
делает
заказ
состоит
из 2(х -2)( - 1) деталей.
уравнение:
tx2х-4= 2(Составим
x -2)(t-4 1 ) ,
из которого получим: = х-4 2 + х-4.
5, то является
числомсостоит
толькоизпри24 хдеталей.
= 6 при
х = ТакВ какх
томИзи 36другом
случае
=
24.
деталей.
Пусть
из+93)«а>человека,
> класса ватурнире
участвовалох
человек,
тогда
из3)
+
9человек.
«б» класса
-(х
всех
уч
ов
турнира
бьmо
(2х
+
Все
участники
турнира
набрали
(2х
2)
очков,
а
учащиеся
3)(2х+
2
+
9 «б»Таккласса
набрали
(2х+очков
+ 1 Ох -204х(очков).
2) -26 =то4хмногочлен
3 )(2х поровну,
2 + 10х-20 де­
как
они
набрали
лится
(х + 3), равно
то есть количество очков, набранных каждым учащим­
ся 9 «б»на класса,
4х 2 + Ох -20 4х 2 ___!_±__
х +3
х +3
10.30.
-
--
-
10.32.
>
=
=
>
>
1 0.33.
t
tx или
t
t
>
-- =
t
натуральным
tx
8.
10.34.
10.37.
Итак, заказ
астник
1
1 86
--
=
_
_
или
числом. Это возможно лишь при х = 4 или при
хи является
= Второй
1 1. натуральным
случай
не
удовлетворяет
условию
задачи,
так
как
11
человек
только
в играх
с9 другом
наберут
1 1 1приняли
О = 11 О (очков),
что
больше
26а всех
очков.участников
Значит,другизтурнира
класса
в
турнире
участие
4
человека,
+ =тогда
былопо2 5 4парт,
11. бьmо (х + 1) рейсов по
Пусть
бьmо
х
рейсов
7 парт.
Пусть
в каждом
классенарбьmои разность
пор парт5(7х(р >+1).11)-7(5х
Тогда числа
5х41+ де­2 и
+
+
7(х
+
1)
4
=
7х
11
делятся
+
2)
=
литсяИтак,нар.в Таккакр
>
1,
тор
=41.
каждому Андрея
классебыло
бьmохпокарасей,
41 партеа у (видимо,
одноместных).
Пусть
Борисау других
рыб, тогда
у Андрея было i4y других рыб, а у Бориса i4x карасей. Так как любое количество
рыб выражается
Составим
уравнение: натуральным числом, то числа х и у делятся
х+-у=
4 О,55(х +-4у+ -х4 + у),
из которого получим: Зх = 17у. Этому равенству и условию у + -х4 100
удовлетворяют лишь числа х = 68 и у = 12. Тогда Андрей поймал
х + 1 = 77 (рыб).
Пусть
общее делоежемесячно
приносит постоянный
доход,
то есть
вложен­
ная
сумма
увеличивается
в
х
раз.
Доход
первого
компаньона
составил (40х-40)х, а второго-(
60.х260.х2-60
-60) тыс.= 17,р. Составим уравнение:
(40х-40)х+
имеющее
единственный
положительный
корень
х 1)= 1,1,1.1 = 4,4, а второ­
Доход
первого
компаньона
составил
40
(
1,
1
гобом1 7--4,без4 =учета
12,6 (тыс.
р. ).наЕслиприбьmь,
бы мы решили
задачу
старинным
спосо­
дохода
то
первый
и
второй
компаньоны
должны Пусть
были бывложенная
получить4,
25 увеличивается
и 12,75 тыс. р.ежемесячно
соответственно.
сумма
в х раз (х > 1 ).
Составим уравнение: (9х -9)х = 2,5 (2х2 -2),
имеющее
единственныйвкореньх
месячно увеличивалась
1,2 5 раза.= 1,2 5, больший 1, то есть сумма еже­
·
«Ю>
3
·
10.39.
10.40.
на
4.
3
3
3
3
�
3
1 1 .4.
·
·
1 1 .5.
1 87
Пусть
вложенная
сумма
увеличивается
ежемесячно
в
х
раз
(х > 1 ). Составим уравнение:
2 -91)х = 66х3 -66,
(91х
2 25х -66) = О.
(х
1
)(25х
Так как по смыслу задачи х > 1, то х - 1* О, поэтому
25.х2уравнения
25х - 66не удовлетворяет
= О,
откуда
х=
1,
2
(второй
корень
условию х > 1 ).
Итак, ежемесячная прибыль составляет 20%.
На 30%.вложенная сумма увеличивается ежемесячно в х раз (х > 1 ).
Пусть
Составим уравнение: 2 - 60)х2 40х4 -40 = 33,81,
(60хх = 1, 1, то есть ежемесячно вложенная сумма
откуда х2 = 1,2 1, тогда
увеличивается
в 1, 1 раза,
или назадачи
10%. приведем по книге В. Евтушев­
Старинное
решение
ского:
«Еслитобыкапиталы
прибылькупцов
171 О р. должны
была получена
не в 2 года (24 месяца),
а в 1 месяц,
быть
следующие:
1000 614==6000
р. , р. ,
1-го купца 2700
37800
2-го
24 = 31200 р.
3-горазделим 17101300
Теперь
р.
в
отношении
6000 : 37800136,: 831200
= 8104 р.: 63и 711,
: 52. 3 6 р.
Получим
р.
,
861,
Решим задачукаждые
с учетом
доходавнах раз
прибьшь.
Пусть
вложенная
сумма(в
увеличивается
два
месяца
(
х
>
1
),
тогда
доходы
купцов
рублях) за два года составят:
3 - 1000) х9 = 1000х11 22 - 1000х9,
(1000х
1-го
купца
2-го
(2700х712 -2700) х5 = 2700х -270Ох5,
3-го
1300х
- 1300,и решим его приближенно:
а всего1000х
1 71 О1 2р.-Составим
уравнение
1 2 -270Ох5 1300х1 2 - 1300 = 1710,
1000х9500х12700х
2 - 100х9 -270х5
= О. -301. Она возраста­
12 - 100х9- 301-27Ох5
Рассмотрим
функцию
f(
)
=
500х
x
4 {120х7 - 18х4 -27) >О
етприи хнепрерывна
на
отрезке
[1;
2],
таккакf'
(
х)=50х
> 1. f( 1) O,f(2) > О, а = 1, = 2. Внесем изменения в строках 40,
80, 100 и 1 10 программы
получим новую программу.
1 1 .6.
+
+
1 1 .7.
1 1 .8.
+
1 1. 10.
·
»
·
»
·
·
»
·
»
+
+
<
Ь
1 1 .9,
1 88
1 'ПРОГРАММА 1 1. 10
1 0 А = 1 : В=2
2 0 Х= (А + В)/2
30 IF В-А <. 000002 THEN GOTO 80
40 F=500*ХЛ12- 1 ОО*ХЛ9--2 70*ХЛ5-30 1
50 IF F=O THEN GOTO 80
60 IF F<O THEN А=Х: GOTO 20
70 В=Х: GOTO 20
80 /= 1 000*ХЛ 1 2- 1 000*ХЛ9: //=2700*ХЛ 1 2-2700*ХЛ5: 1//= 1300*
хл 1 2- 1 300
90 PRINT "Ответ: х ="; Х
1 00 PRINT "/ получит "; /: PRINT "// получит "; 11: PRINТ "111
получит "; 111
1 1 О PRINТ "Всего: "; /+//+111
120 END
После запуска программы получим
Ответ: х = 1. 035403
1 получит 1 50. 4648
11 получит 885. 9965
111 получит 673. 5932
Всего: 1 71 0. 0544
старинный
Как мы и предполагали,
способ решения дает результат, невыгодный для первого купца.
1 1 . 1 1 . Программа для решения задачи имеет вид:
1 'ПРОГРАММА 1 1 . 1 1
1 0 А = 1 : В=2
20 Х=(А +В)/2
30 IF В-А<. 000002 THEN GOTO 80
40 F= 1 1 *ХЛ 1 2-5*Х- 1 0
50 IF F=O THEN GOTO 80
60 IF F<O THEN А =Х: GOTO 20
70 В=Х: GOTO 20
80 /=45*ХЛ 1 2-45*Х: //=54 *ХЛ 1 2-54
90 PRINТ "Ответ: х ="; Х
1 00 PRINТ "/ получит "; /: PRINТ "// получит ·:· 11
1 89
1 1 О PRINT "Всего: ; /+//
1 20 END
"
После запуска программы получим
Ответ: х = 1 . 026948
1 получит 1 5. 70205
11 получит 20. 29765
Всего: 35. 999 7
12.1. Заметим, что продавая половину всех яблок и еще пол-яблока,
садовник каждый раз, кроме последнего, продавал на 1 яблоко больше,
чем у него оставалось. последний раз он продал одно яблоко. Теперь
подсчитаем число яблок «обратным ходом».
Перед седьмой покупкой было 1 яблоко,
перед шестой - 1 2 + 1 = 3 яблока,
перед пятой - 3 2 + 1 = 7 яблок,
перед четвертой - 7 2 + 1 = 1 5 яблок,
перед третьей - 1 5 2 + 1 = 3 1 яблоко,
перед второй - 3 1 2 + 1 = 63 яблока,
перед первой - 63 2 + 1 = 1 27 яблок.
12.2. Сначала определимся с числом гусей, севших на последнее
озеро. Из условия «на каждом садилась половина гусей и еще полгуся,
остальные летели дальше» следует, что на седьмое озеро могли сесть
1 гусь или любое четное число гусей. этих случаях продолжить про­
цесс деления стаи по заданному правилу невозможно. Нечетного числа
гусей, большего 1 , быть не могло, так как в этом случае гуси могли про­
должить полет и сесть больше, чем на семи озерах. Изобразим схемати­
чески процесс разделения стаи согласно условиям задачи (рис. 25).
В
·
·
·
·
·
·
В
0- 0- 0 - 0 - 0 - е
"'
- - - - - - i
190
i
i
i
i
i
2
3
4
5
6
Рис . 2 5 .
7
Если на седьмое озеро село а гусей, то на шестое - (а + 1 ) гусь, а пе­
ред последним делением в стае было (2а + 1) гусь. Рассуждая обратным
ходом, получим, что первоначально в стае было (64а + 63) гуся.
Итак, в стае было (64а + 63) гуся, где а - единица или любое четное
натуральное число.
12.3. Пусть вторая крестьянка принесла в п раз больше яиц, чем пер­
вая. Так как их выручки были одинаковыми, то у первой крестьянки
каждое яйцо стоило в п раз дороже, чем у второй. Если бы крестьянки
2
поменялись яйцами, то первая крестьянка выручила бы денег в п раз
20 9
3
2
больше, чем вторая. То есть п = 1 5 : - = -. Так как п > О, то п = - . Итак,
3 4
2
3
у первои крестьянки каждое яицо стоило в - раза дороже, чем у второи,
2
3
поэтому у первои крестьянки яиц б ыло в - раза меньше, чем у второи.
2
Разделим 1 00 яиц в отношении 2 : 3 и получим тот же ответ: 40 и 60 яиц.
12.4. / способ. Решение задачи с помощью системы получить не­
сложно. Пусть х платков были куплены за у р. Тогда при продаже их по
6 р. получено прибьmи 24 р., поэтому верно равенство
6х = у + 24.
А при продаже их по 3 р. получено 12 р. убытка, поэтому верно ра­
венство
3х = у - 1 2 .
Решив систему и з двух уравнений, найдем: х = 1 2, у = 4 8 . Следова­
тельно, платков было 1 2 и куплены они бьmи по 48 : 1 2 = 4 (р.).
Это задача из книги С.А. Рачинского « 1 00 1 задача для умственного
счета», она предназначалась для устного решения. Например, такого.
// способ. Если цену каждого платка увеличить с 3 р. до 6 р . , то есть
на 3 р., то стоимость всех платков увеличится на 1 2 + 24 = 36 (р.). Сле­
довательно, платков было 3 6 : 3 = 1 2 . Так как при продаже 1 2 платков
убыток составил 1 2 р. (по 1 р. на платке), то лавочник закупал платки
по цене 3 + 1 = 4 (р ) .
12.7. Запишем в таблице время работы тракторов в двух случаях.
�
�
�
�
�
4 гусеничных трактора
2 колесных rоактоuа
1
4ч
2 ч
11
З ч
З ч
191
Как видим, 1 ч работы четырех гусеничных тракторов заменяет 1 ч
работы двух колесных тракторов, то есть 4 гусеничных трактора можно
заменить на 2 колесных (а 2 гусеничных трактора - на 1 колесный).
Тогда 2 + 2 = 4 колесных трактора могли вспахать поле за 3 ч, а 1 колес­
ный трактор мог бы вспахать поле за 3 4 = 1 2 (ч).
Все поле могли вспахать при совместной работе 2 гусеничных и
2 колесных тракторов за то же время, что и 3 колесных трактора. Так как
1 колесный трактор мог бы вспахать поле за 1 2 ч, то 3 колесных трактора
могли бы вспахать поле за 1 2 : 3 = 4 (ч). Поэтому 2 гусеничных и 2 колес­
ных трактора вместе вспашут поле за 4 ч.
12.8. Первый мастер шьет 1 шубу 5 дней, а 3 шубы 15 дней. Второй
мастер шьет 1 шубу 3 дня, а 5 шуб 1 5 дней. Значит, за пятнадцать дней со­
вместной работы они сошьют 8 шуб. Оставшуюся девятую шубу лучше
отдать шить второму мастеру, тогда заказ будет выполнен в минималь­
ный срок. Первому мастеру нужно дать 3 шубы, второму - 6 шуб.
12.10. 1 3 3 и 54 рабочих.
12.1 1 . // способ. Пусть грузовая машина ехала до встречи t ч, тогда
t
Зt Л
вдвое меньшии путь она проехала за - ч и б ыла в пути - ч. егковая
2
2
машина ехала до встречи (t - 2) ч, тогда вдвое больший путь она проеха­
ла за 2(t- 2) ч и была в пути З(t - 2) ч, что на 1 ч меньше времени движения
грузовой машины Составим уравнение:
3t
2
- З(t - 2) = 1 ,
·
�
3t
. Время движения грузовои машины равно - = 5 (ч) .
3
2
/// способ. Воспользуемся методом подобия. Построим графики дви­
жения машин ОFи
(рис. 26). Пусть грузовая машина была в пути х ч.
Тогда ОЕ= х,
= х + 1,
F= х - 2. Из подобия треугольников
и
2
следует, что - =
, но
= - (это отношение расстояний,
1
пройденных грузовой и легковой машинами до встречи). Составим уравне­
ние:
х +1 2
-- = -,
х -2 1
откуда х = 5, то есть время движения грузовой машины равно 5 ч.
откуда t =
FMC
1 92
10
�
-
OD GCD
OD CМК МК
CF MN MN
--
--
OMD
Рас с т оян ие от А
о
К
Е
D
Вр е.мя
дв ижен ия
Рис. 26.
12.12. // способ. Пусть относительно ступеней эскалатора человек
движется со скоростью и, а скорость самого эскалатора v. Так как при
подъеме против хода эскалатора человек прошел в 1 50 : 30 = 5 раз больше
ступенек, чем при спуске по ходу эскалатора, то скорость подъема чело­
века (и - v) в 5 раз меньше скорости спуска (и + v). Составим уравнение:
и + v = 5 ( и - v) ,
из которого получим, что и = 1 ,5 v (окончание решения аналогично).
/// способ. Пусть человек проходит п ступенек за 1 мин и длина эскала30
тора х м. Тогда он спускается п о эскалатору, едущему вниз, за - мин, а
п
1 50
поднимается по опускающемуся эскалатору за - мин. При этом скоп
1 50
30 хп
рость спуска равна х: - - (м/мин), а скорость подъема равна х: - =
п
п 30
хп
= - (м/мин).
1 50
Мы получили аналоги скорости движения по течению и против тече­
ния реки. Найдем теперь и аналог скорости движения в стоячей воде скорость движения человека по стоящему эскалатору. Она равна
хп
хп хп
(м/мин). Тогда время спуска человека по стоящему
:2=
+
30 1 50
50
хп 50
эскалатору равно х : - = - (мин). Так какза 1 минуту человек насчиты50 п
50
50
вает п ступенек, то за - мин он насчитает п - = 50 (ступенек).
п
п
=
(
)
·
1 93
60 ступенек.
Придольше,
заполнении
последней
трети
бассейна
второй
насос
работал
на
мин
чемта­
при
заполнении
второй
трети,
и
за
эти
«лишние»
мин
заполнил
кую
же
часть
объема
бассейна,
как
и
первый
насос
за
мин.
Значит,
производительность
первого насоса
в разнабольше,
чем
второго.
Последняя
треть
бассейна
заполнялась
20
мин
дольше,
чем пер­
вая.
Поскольку
время
и
производительность
обратно
пропорциональны
(притозаполнении
объема, равного
объема бассей­
на),
обозначиводного
искомоеи того
времяже+20буквой
получимтрети
уравнение:
треть бассейна была заполнена
заоткуда
2 мин.находим, что 2. Итак, первая
Согласно
условиювремени
задачи,нана20запол­
нение
трети
бассейна
второму
насосу
требуется
мин
больше,
чем
первому.
Следовательно,
30-минутное
увеличение
про­
должительности заполнения бассейна объясняется тем, что второй насос заполнил бассейн наполовину (l + l) . Первый насос, наполнивший вторую половину бассейна, в последнюю минуту перед поломкой
подал в бассейн!6 всего количества воды. Для заполнения трети бассейна потребуется вдвое больше
времени, то есть 2 мин.Излишек времени
А.
,
лицей
наполнения
второйпервой
и третьей
третей
бассейназа счет
(по сравнению
со време­
нем
наполнения
трети)
образовался
более
медленной
ра­
боты
второго
насоса.
Этот
излишек
пропорционален
объему
работы,
выполненной
Так трети
как излишек
мин внасос
2 разанаполболь­
ше излишка в вторым
мин, насосом.
то во второй
бассейна20второй
нил только половину этой второй трети (!6 всего бассейна). Следовательно, первыи насос за мин заполнил -6 бассеина, а первую треть
бассейна он заполнил за 2 мин ( l: l 2 ) .
12.13.
12. 14. // способ (Муравин Г. К. , Романовский В.И.).
11
11
1
11
t
t=
t,
t
= 1 1'
/// способ (Романовский В.И).
IV способ (Ефремов
№ 1500, Москва).
в
1О
�
1
1
=
1 94
�
12.15. II способ. (Кобзев И, 8 Ю1асс). Пусть трактор проехал х м за то
время, пока мальчик сделал 60 шагов. Тогда длину трубы можно вычис­
лить двумя способами:
1 20 0,75 - 2х и 30 0,75 + О,5х.
Решив уравнение 1 20 0 , 7 5 - 2х = 30 0 , 7 5 + О , 5х, получим его
единственный корень х = 27. Тогда длина трубы равна
1 20 0,75 - 0,5 27 = 36 (м).
III способ. (Дьячков А.В., школа № 1 03). Пусть 1 - длина шага, х перемещение трубы за один шаг, L - длина трубы, N - количество ша­
гов в направлении движения трубы, - количество шагов в противоположном направлении.
L
L
Тогда - = 1 - х и
= 1 + х. Складывая, получаем:
·
·
·
·
·
N
,( __!__ +
, 1\.._ N
_Мl )
·
М
-М
= 21 или L =
21
­М _
-
1
1
-+
N
1,5
__ = 36.
1
1
+1 20 30
Итак, длина трубы равна 3 6 м.
IV способ. (Романовский В.И) Догоняя трактор, мальчик, стартовав­
ший от начала трубы (назовем это место исходной точкой), прошел до
ее конца 1 20 шагов. На обратном пути он поравнялся с началом трубы,
пройдя 30 шагов и оказавшись на расстоянии 1 20 - 30 = 90 (шагов) от
исходной точки. Таким образом, за то время, что мальчик успел пройти
1 50 шагов, трактор удалился от исходной точки на расстояние 90 шагов
мальчика. Отношение скорости трактора к скорости мальчика равно
90 : 1 50 = 0,6. Мальчик, догоняя конец трубы, прошел 1 20 шагов; трактор за
это время продвинулся на расстояние, равное 1 20 0,6 = 72 шагам мальчика .
Длина трубы равна 1 20 - 72 = 48 шагов мальчика или 0,75 48 = 36 (м).
·
·
З ам е ч а н и е . Третий способ решения выглядит громоздко (много
букв), но эти буквы заменяют данные числа, то есть задача сначала
решена в общем виде, а потом найден ответ для данных значений
букв. Приведенное решение интересно тем, что, используя формулу
для вычисления L, можно подобрать другие числовые данные для
второго варианта той же задачи. А четвертый способ решения пока­
зывает, что здесь можно было обойтись вообще без уравнений.
12.16. Рассмотрим более простое решение задачи, идею которого
предложил ученик 1 0 класса школы
679 г. Москвы Злотников Ю .
№
1 95
+
От продажи акций второй брат получил в ( 1 00 1 40) : 1 00 = 2,4 раза
больше, чем первый брат. Разделим сумму 3927 долларов в отношении
3927 · 5 1 : 2,4 или 5 : 1 2 . От продажи акций первый брат получил
1 155
5 + 12
(долл.), а второй - 392 7 - 1 1 5 5 = 2772 (долл.). Теперь определим новую
стоимость всех акций после повышения цены: 1 1 55 : 0,75
77 : 0,8 =
= 5005 (долл.).
Таким образом, стоимость всех акций (а значит, и цена каждой ак(5005 - 3640) · 1 00%
= 37,5%.
ции) возросла на
3640
12.17. 35%.
12.18. // способ. Рассмотрим иной вариант того же самого решения.
Если иметь целью введение по возможности меньшего числа обозначе­
ний и не стремиться к быстрейшему сведению решения к системе, то,
обозначив через и скорости катера и моторной лодки, получим для
расстояния АВ выражение
Из сравнения времени прохождения
расстояния АВ катером и моторной лодкой составим уравнение:
10
+2 2
k т 2k + т.
2k +m 2k +m = ·
-k- --т- з
т - --;;;2k = ·
J;
з
т
х
k
х --х-2
х
2k + т = 2 + х = � х
k +m 1 +х
которое перепишем в виде:
7
Обозначив через
отношение -, получим уравнение:
2
Учитывая, что
7
3
> О, получим
=
=
О.
3. Тогда искомая величина равна
(ч).
4
/// способ. Воспользуемся методом подобия. Построим графики дви­
жения AF и ВСЕ катера и моторной лодки соответственно (рис. 7). Сог7
ласно условию задачи, ВС = CN= 1 , тогдаАК=
= . Пусть катер бьm
3
7
в пути после встречи ч. Тогда NF= КЕ=
-. Из подобия двух пар тре3
NF CN
угольников следует, что
. Составим уравнение:
х
--
АК
1 96
=
х, х -
-
КЕ
2, ED -
2
Расстояпие от А
А
2
К Е
D Bpeitя
двuж·шшя
Рис . 27.
х
2=
1 7,
-х--
3
которое имеет единственный положительный корень х = 3 .
Итак, катер проходит расстояниеА В з а 3 + = 5 ( ч), а моторная лодка за
7 5
5
= (ч). Теперь определим время их движения до встречи в случае,
3 3
2
- 1 -- -
если
они одновременно выйдут из
А 1 : (.!. + � ) = �
и В:
5
5
4
(ч).
3
12.19. Если заметить, что - массы первых двух сплавов приходится
16
н а олово и что новый сплав должен содержать такую же часть олова, а
в третьем сплаве олова меньше, то для выполнения условия задачи от­
носительно олова первые два сплава можно сплавлять в любых пропор­
циях, а третий сплав добавлять нельзя, так как в противном случае полу­
чится сплав с меньшим содержанием олова, чем требуется.
Остается найти, в каком отношении должны находиться массы двух
первых сплавов, чтобы отношение масс серебра и меди было равно 4 : 9.
Для этого достаточно найти отношение х : у из уравнения
-
12х + � �(х + у) ,
16 16 16
=
где х и у массы первого и второго сплавов соответственно. Эго от­
ношение равно 3 : 8, то есть надо взять 3 части первого сплава и 8 частей
второго сплава.
1 97
12.20. (Чечин С. , 8 юшсс ФМШ № 200 7). Так как скорости велосипе­
диста и пешехода постоянны, то и вторую половину пути велосипедист
3
3
проедет на - ч быстрее, чем пешеход, а на - всего пути пешеход затра8
4
3
тит - от времени, затраченного им на движение от пункта А до пункта В.
8
3
3
Тогда - ч составляют - от времени движения пешехода от пункта А до
8
4
3 3
пункта В, которое равно - : - = 2 (ч).
4 8
12.21. (Д. Алексеев, школа № 679 Москвы). Изобразим схематически
условия задачи (рис. 28).
1 - й раз
90 мин
П-й раз
1 35 мин
на велосипеде
��
пешком
на велосипеде
Рис. 2 8 .
Как видно из условия задачи, турист во второй раз вместо того, чтобы
1
- пути проехать на велосипеде, прошел этот путь пешком. Эта замена при-
3
вела к увеличению времени движения на 45 мин. Следовательно, если в
1
следующии раз вместо того, что бы - пути проехать на велосипеде, турист
3
пройдет этот путь пешком (то есть весь путь пройдет пешком), то время
движения ( 1 35 мин) увеличится еще на 45 мин и составит 1 80 мин, или 3 ч.
12.22. За 4 ч.
12.24. Представим теперь, что они работают вместе. Сколько всего
ям они выкопают в этом случае? Сначала первый рабочий выкопает
свою долю от «общей» ямы, а двое других за это время выкопают поло­
вину ямы. Затем второй рабочий сделает свою часть работы, а осталь­
ные выкопают еще половину ямы. Наконец, третий рабочий доделает
свою часть работы, а остальные выкопают еще половину ямы. Итого
v
1 98
будет выкопано 2,5 ямы. Поэтому, работая втроем, они закончили бы
работу в 2,5 раза быстрее.
12.25. В 3 раза.
12.26. / способ. ПОСiрОим графики движения пешехода, велосипедиста и
моrоциюmсrа(рис. 29). Из условия задачи следует, что АD = 1 0 км, ВЕ = 5 км,
а FC требуется найти. Из подобия треугольников ACD и ЕСВ следует, что
А С DA 1 0 2
=
=
= -, то есть АЕ = ЕС. Из теоремы Фалеса следует, что
ЕС ВЕ
5
1
DB = ВС и АВ = BF. Тогда треугольники АВD и FВСравны и FС= AD = 10 км.
Как видим, здесь удалось обойтись без уравнения, но можно обойтись
и без метода подобия.
--
-
-
Расстояние
Е
мот.
вел.
пеш.
ВреА�
движения
Рис. 29.
// способ. Когда велосипедист продвинулся относительно пешехо­
да на 5 км, мотоциклист продвинулся относительно пешехода на 10 км
(догнав его); поэтому, когда велосипедист продвинется относительно
пешехода еще на 5 км (догнав его), мотоциклист относительно пешехода
продвинется еще на 1 О км вперед - это и есть ответ задачи.
12.27. Пусть гонщик В проходит круг за х мин, за это время гонщик
4
4
А проходит - круга, то есть гонщик А в минуту проходит - круга и тра�
3
3х
тит на круг - мин. Гонщик С проходит круг за (х + 2,5) мин, тогда в ми4
1
нуту он проходит -- круга.
х + 2,5
2
За (х + 1 О) мин гонщик А приблизился к гонщику С на - круга. Сос3
тавим уравнение
1 99
4(х + 1 0)
-
х + 10
---
=2
х + 2,5 3
3х
имеющее единственный положительный корень х = 20. Тогда гонщик А
3х
= 1 5 мин.
тратит на круг
-
4
12.28. Первый гонщик делает 3 круга за 1 ч.
12.30. Пусть расстояние, время и скорость измеряются в согласован­
ных единицах (км , ч, км/ч). Пусть скорость второго поезда при равномер­
ном движении равна
момент времени , когда поезда поравнялись
момент
(в этот момент скорость первого поезда была равна 1 , 5 v1);
времени, когда первый поезд начал равномерное движение со скорос­
тью
(рис. 30).
v 1 ' t0
2v1
-
t1
v
-
D
2v,
l ,5 v,
v,
О
(0
(1
Рис.
Так
30.
как 2v 1 1 = - t1 -t0•
t0
-2 -v2 1 • t0 = -v 1 t0
3v1
t
•
0
t0
v1,
V1 t0 -- V1 t0 =- V1 t0 •
-t0
t0 +-t0 -t0
4
--
1,5v
стояния, равные
, то =
3
1 3
·
4
В момент поезда проuши одинаковые pac-
3
3
и составляющие четвертую часть рас-
4
стояния АВ. Следовательно, расстояние АВ =
осо скоростью
остаПосле момента второму поезду, идущему
3
9
лось проити расстояние 3
статок пути второи по�
4
езд будет идти
200
4
9
ч , а на все расстояние АВ затратит
4
�
13
9
=
(ч).
4
4
4
1
к моменту времени t 1 = -t0 первыи поезд проидет расстояние - · 2 v 1
�
�
х
2
4
4
4
5
x - t0 = - v 1 t0и ему останется проити расстояние 3v 1 t0 - - v 1 t0 = - v 1 t0 со
3
3
3
3
3
�
скоростью 2 v 1 • Остаток пути первый поезд будет идти � t0 ч, а на все
6
5
13
4
расстояние А В затратит -t0 + -t0 = - t0 (ч).
6
6
3
Отношение промежутков времени, за которые поезда прошли путь or
1 3t0 1 3 t 0
А до В, равно -- : -- = 3 : 2 .
4
6
20 1
ЛИТЕРАТУРА
1 . Аничков Д. Начальные основания алгебры, или арифметики лите­
ральной . . . - М., 1 78 1 .
2 . Баврин И .И. Сельский учитель С .А. Рачинский и его задачи для
умственного счета. - М . , 2003 .
3 . Байиф Ж.-К. Логические задачи. - М. , 1 98 3 .
4 . Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ (2000
год). - М., 200 1 .
5 . Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ cio b4
год) . - М. , 2005 .
6. Галанин Д.Д. Леонтий Филиппович Магницкий и его арифмети­
к а . Вып.
и
- М., 1 9 14.
7 . Евтушевский В . Методика арифметики . Изд. 5-е. - СПб, 1 874.
8. ЕГЭ 2009. Математика. Типовые тестовые задания / Т.А. Кореш­
кова, Ю .А. Глазков, В . В . Мирошин, Н.В. Шевелева. - М., 2009.
9. ЕГЭ 2 0 1 0 . Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоц­
кий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др. ; под ред. А.Л. Семенова, И.В .
Ященко. - М., 20 1 0. (Серия «ЕГЭ 20 1 0. Типовые тестовые задания»).
1 О. Интервью с В.И. Арнольдом // Квант. - М. , 1 990,
7.
1 1 . Киселев А.П. Арифметика. Изд. 9-е. - М., 1 896.
12. Курганов Н.Г. Арифметика или числовник, содержащий в себе
все правила . . . - СПб. , 1 79 1 .
1 3 . Ларичев П.А. Сборник задач по алгебре. Часть 11. Для 8 - 1 О клас­
сов средней школы. Изд. 1 4-е. - М., 1 963 .
1 4 . Магницкий Л.Ф. Арифметика.
1 5 . Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи на вступитель­
ных экзаменах. Учебное пособие. - 5-е изд. - М . , 2007.
1 6. Ньютон И Всеобщая арифметика или книга об арифметических
синтезе и анализе / Пер. А.П. Юшкевича. - М . , 1 94 8 .
17. Перельман Я . И . Занимательная алгебра. - М. , 1 967.
II III.
№
202
1 8. Пойа Д Математическое открытие. - М. , 1 976.
1 9. Пособие по математике для подготовки к вступительному экза­
мену в Государственную академию управления / В.В. Лебедев,
П .А. Михайлов, М.В. Ефимова. - М. , 1 99 8 .
2 0 . Романовский В.И. Арифметика помогает алгебре. - М . , 2007.
376 с.
2 1 . Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий
ЕГЭ : 20 1 0: ЕГЭ : Математика / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Заха­
ров и др. ; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М. , 20 1 0. - 93.
22. Самые новые реальные задания: ЕГЭ-2009. Математика /
В .И. Ишина, Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. - М., 2009.
23. Смаллиан Р .М. Принцесса или тигр? - М., 1 98 5 .
24. Чулков П.В. Арифметические задачи. - М., 2009.
25. Шагин В.Л. Вступительные экзамены по математике в Высшей
щюле экономики, 1 995-1 996. - М. , 1 99 8 .
26. Шагин В . Л . Вступительные экзамены п о математике в Высшей
школе экономики, 1 997. - М . , 1 99 8 .
-
203
СПРАВОЧНАЯ ТАБЛИЦА
Старинные российские денежные единицы
Первоначально основной денежной единицей бьmа гривна, затем ее
стали рубить на 2 равные части - их называли рублями. Позднее грив­
ной или гривенником называли десятую часть рубля, то есть 1 О копеек.
1 рубль = 1 00 копеек
1 гривна = 1 О копеек
1 алтын = 3 копейки
1
�
1 деньга = - копенки
2
1
1 полушка = -деньги
2
Стари1mые российские меры длины
1 миля = 7 верст � 7,468 км
1
1
1
1
1
1
верста = 500 саженей � 1 ,067 км
сажень = 3 аршина = 7 футов � 2, 1 3 м
аршин = 1 6 вершков � 7 1 см
фут = 1 2 дюймов � 30,48 см
дюйм = 1 о линий � 2,54 см
линия = 1 О точек � 2,54 мм
1
1
1
1
пуд = 40 фунтов � 1 6,38 кг
фунт = 32 лота � 409,5 1 2 г
лот = 3 золотника � 12,797 г
золотник = 96 долей � 4,266 г
Старинные российские меры веса
Английские денежные единицы, меры длины, веса
1
1
1
1
фунт = 20 шиллингам (мера денег)
миля = 1 760 ярдов � 1 ,609 км (мера длины)
ярд = 3 фута � 9 1 ,4 см (мера длины)
фут = 12 дюймов � 30,48 см (мера длины)
1
1 унция = - фунта (мера веса)
16
204
СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕ НИЙ
АФСБ - Академия ФСБ России,
ВШЭ - Высшая школа экономики,
ГАУ - Государственная академия управления им. С. Орджоникидзе,
МАДИ - Московский автомобильно-дорожный институт,
МГУ - Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
биол. ф. - биологический факультет,
биол.-почв. ф. - биолого-почвенный факультет,
ВМиК - факультет вычислительной математики и кибернетики,
геол. ф. - геологический факультет,
ФНМ - факультет наук о материалах,
мех.-мат. ф . , - механико-математический факультет,
социал. ф . , - социологический факультет,
экон. ф . , - экономический факультет,
филол. ф . , - филологический факультет,
хим. ф . , - химический факультет.
МГИЭМ - Московский государственный институт электронного
машиностроения (технический университет),
МГИЭТ - Московский государственный институт электронной
техники (технический университет),
МГТУ - Московский государственный технический университет
им. Н.Э. Баумана,
МИСиС - Московский институт стали и сплавов,
МИФИ - Московский государственный инженерно-физический
институт (технический университет),
МПГУ - Московский педагогический государственный универси­
тет,
МТУСИ - Московский технический университет связи и информа­
тики,
НГУ - Новосибирский государственный университет,
205
РЭА - Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова,
СГУ - Самарский государственный университет,
УГАТУ - Уфимский государственный авиационный технический
университет.
206
ОfЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 . Задачи на совместную работу («на бассейньш) . . . . . . . . . . 5
2. Задачи на среднюю скорость движения
14
3 . Задачи н а движение п о реке . . . . . .
17
20
4 . Задачи на проценты . . . . . . . . . .
5. Решение задач с помощью уравнения
32
6. Задачи на сплавы и смеси . . . . . .
57
7 . Задачи на переливания . . . . . . .
69
8 . Задачи на проценты (продолжение) .
75
9. Решение задач с помощью системы уравнений . . . . . . . . . 85
1 07
1 0. Задачи, решаемые в натуральных числах .
125
1 1 . Задачи о дележе прибыли .
1 32
1 2 . Решайте задачи проще! .
151
Ответы и советы . . .
202
Литература . . . . . .
204
Справочная таблица .
205
Список сокращений .
.
.
207
Шевкин Александр Владимирович
Текстовые задачи по математике
7-1 1 классы
Подписано в печать 1 6.05.20 1 1
Формат 60х88/ 1 6. Усл. печ. л. 1 2,7 1
Тираж 3000 экз. Заказ
ООО «Илекса», 1 05 1 87, г . Москва, Измайловское шоссе, 48а,
сайт: www .ilexa.ru, E-mail: real@ilexa.ru,
факс 8(495) 365-30- 5 5 , телефон 8(495) 984-70-83