Дистанционная подготовка Abitu.ru ФИЗИКА Статья №9. Модель идеального газа. Теоретический материал. В этой статье мы рассмотрим элементы молекулярно-кинетической теории (далее – МКТ). Напомним основные формулы, которые вводятся в МКТ при рассмотрении веществ. 1. N , где – количество вещества (размерность – моль), N A 6, 02 1023 моль1 – постоянная Авогадро, NA N – количество молекул в веществе (безразмерная величина). Моль любого вещества содержит одно и то же число молекул. Это число – постоянная Авогадро. 2. m0 N A , где – молярная масса вещества (размерность – кг ). моль Для определения молярной массы обычно используют таблицу периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Например, для углерода C 12 а.е.м. соответствует молярной массе 12 10 3 3. N m , где m – масса вещества, m0 – масса одной молекулы. m0 4. кг . моль m . Чаще всего в задачах веществом будет газ. Идеальный газ – газ, для которого взаимодействием и размерами молекул можно пренебречь. Основным уравнением, описывающим поведение идеального газа, является уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа): p V R T , где p – давление газа, V – объём, занимаемый газом, – количество моль газа, T – абсолютная температура газа (размерность – К ), R 8,31 Дж – универсальная газовая постоянная. моль К Очень часто в задачах мы будем считать данный нам газ идеальным. Напомним основные формулы, справедливые для идеального газа. 1. E R Дж 3 1,38 10 23 – постоянная Больцмана, E – средняя кинетическая энергия kT , где k 2 NA К поступательного движения одной молекулы газа. 2. p nkT , где n 3. u 4. N – концентрация газа. V 3kT , где u – средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа. m0 p , где – плотность газа. RT Часто над идеальным газом будут проводить различные процессы. Процессы, протекающие при постоянном количестве газа и неизменном значении одного из параметров (давления p , объёма V или температуры T ), называют изопроцессами. Виды таких процессов: 1. Изотермический процесс ( T const и const ). 2. Изохорный (изохорический) процесс ( V const и const ). 3. Изобарный (изобарический) процесс ( p const и const ). Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта: pV const . Для изохорного процесса справедлив закон Шарля: p V const . Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака: const . T T При описании процессов часто приходится иметь дело не только с одним газом, а со смесью N газов. Закон Дальтона утверждает о том, что давление смеси газов, химически не взаимодействующих между собой, равно сумме давлений (парциальных давлений) каждого из компонентов смеси: p p1 p2 p3 ... pN . При этом парциальное давление каждой из компонент смеси подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: p1V 1RT , p2V 2 RT , , pNV N RT , где V – объём смеси, T – её температура. Рассмотрим несколько примеров решения задач. Примеры решения задач. Пример 1. Сосуд разделён подвижным поршнем на объёмы V 3 и 2V 3 , содержащие идеальный газ температуры T (рис.1). До какой температуры T1 нужно нагреть газ слева от поршня, чтобы отношение объёмов стало обратным? Справа температура газа поддерживается постоянной. рис.1 Решение: Пусть 1 – количество газа в сосуде слева от поршня, 2 – количество газа в сосуде справа от поршня. V 2V 1 R T , p1 2 R T , откуда 3 3 2V 1 R T1 , получаем, что 2 2 1 . Уравнения состояния для газа слева и справа после нагревания: p 2 3 V p2 2 R T , откуда получаем, что T1 4T . 3 Уравнения состояния для газа слева и справа до нагревания: p1 Ответ: T1 4T . Пример 2. [Пенкин М.А.] В результате изобарического расширения 4 моль идеального газа средняя квадратичная скорость молекул этого газа увеличилась на 2% от первоначального значения скорости. Насколько расширился газ? Первоначально газ находился при температуре T 27 0 С и нормальном атмосферном давлении. Указание: 1 x 1 1 x при малых значениях x . 2 Решение: Дано: T 300 K , p 105 Па , количество газа 4 моль , первоначальная среднеквадратичная скорость 3R T T 3RT T u 1 1 . T u T T Поскольку тоже мало, значит, u u (1). Из уравнения состояния идеального 0, 02 мало, то и u T 2T R T газа следует, что p V R T , откуда V (2). Из уравнений (1) и (2) получаем, что p u 3RT . Изменение среднеквадратичной скорости: u V 2 RT u 4л . p u Ответ: V 2 RT u 4л. p u Пример 3. Найти среднюю молярную массу ср смеси газов с молярными массами 1 4 г / моль и 2 16 г / моль . Масса первого газа в два раза больше массы второго. Решение: Для газа с молярной массой 1 4 г / моль : p1 V p2 V m2 m m2 RT . Для смеси этих газов: pсмеси V 1 RT . По закону Дальтона pсмеси p1 p2 , значит, 2 ср p1 p2 V Значит, m1 RT . Для газа с молярной массой 2 16 г / моль : 1 m m m1 m2 RT . Левую часть уравнения преобразуем: p1 p2 V p1 V p2 V 1 RT 2 RT . ср 1 2 m m2 m m1 m m m2 . По условию 1 2 , значит, m1 2m2 . RT 2 RT 1 RT , следовательно, ср 1 m1 m2 1 2 ср m2 1 2 Следовательно, ср Ответ: ср 2m2 m2 31 2 1 5 г / моль . 2m2 m2 2 2 1 3 1 2 31 2 1 5 г / моль . 2 2 1 3 Пример 4. [МФТИ 1998] Чему равна масса m азота, которая содержится в воздухе комнаты объёма V 75 м 3 . Средняя квадратичная скорость молекул азота u 500 м / с . Считать, что воздух состоит из азота и кислорода. Концентрация молекул азота в 4 раза больше концентрации молекул кислорода. Атмосферное давление p 105 Па . Решение: Пусть – молярная масса азота, p1 – парциальное давление азота, p 2 – парциальное давление кислорода. По условию задачи воздух – смесь азота и кислорода. По закону Дальтона: p p1 p 2 . Азот и кислород считаем идеальными газами. Т.к. концентрация азота в 4 раза больше концентрации кислорода, то p1 4 , откуда p2 p1 m p V 4 pV 4p . Из уравнения состояния азота: p1V RT , т.е. m 1 . Температуру T выражаем через 5 RT 5 RT среднюю квадратичную скорость молекул азота u Следовательно: m Ответ: m u2 3RT , откуда T . 3R 12 pV , m 72 кг . 5u 2 12 pV 72 кг . 5u 2 Пример 5. Объём воздушного шара равен V 224 м3 , масса оболочки M 145 кг . Шар наполнен горячим воздухом. В нижней части оболочки имеется отверстие, через которое воздух в шаре сообщается с атмосферой. Температура воздуха вне оболочки T0 00 C , атмосферное давление p0 105 Па . При какой минимальной температуре воздуха внутри оболочки шар начинает подниматься? Молярную массу воздуха принять равной 29 г / моль . Решение: Пусть FA – сила Архимеда, действующая на воздушный шарик. Тогда шарик будет подниматься при условии, что FA m M g , где m – масса воздуха внутри шарика. Воздух вне и внутри шарика будем считать идеальным газом. В нижней части оболочки имеется отверстие, через которое воздух в шаре сообщается с атмосферой, значит, давление внутри шарика такое же, как и снаружи. Из уравнения состояния для воздуха внутри шарика p0 V . Выразим FA . По определению FA 0 gV , где 0 – плотность воздуха вне шарика. R T p p g V Из уравнения состояния для воздуха вне шарика получаем, что 0 0 . Итак, FA 0 , R T0 R T0 получаем, что m следовательно, Ответ: 1 p0 g V p0 V M g , откуда Tmin , Tmin 553 К . 1 MR R T0 R T T0 p0 V Tmin 1 553 К . 1 MR T0 p0 V Пример 6. [МФТИ 1994] В горизонтально расположенной трубке столбиком ртути длиной l 12 см заперт слой воздуха толщиной L 35 см (рис.2). Если трубку повернуть один раз открытым концом вниз, а другой раз вверх, то столбик ртути смещается. Разность величин этих смещений от начального горизонтального положения равна d 2 см . При повороте трубки ртуть рис.2 из неё не выливается. Найти величину наружного давления (в мм ртутного столба). Решение: Обозначим за H внешнее давление воздуха (в мм рт. ст.). Воздух будем считать идеальным газом, температура которого в нашем опыте не изменяется. ● Повернём трубку открытым концом вниз. Давление газа уменьшится, объём газа увеличится, поэтому столбик ртути должен опуститься. Пусть столбик ртути сместится на x1 . Тогда по закону Бойля-Мариотта gHSL ( gH gl ) S ( L x1 ) , где – плотность ртути, S – площадь поперечного сечения трубки, откуда HL ( H l )( L x1 ) и x1 HL Ll L . (H l ) (H l) ● Повернём трубку открытым концом вверх. Давление газа увеличится, объем газа уменьшится, поэтому столбик ртути должен подняться. Пусть столбик ртути сместится на x1 . Тогда по закону Бойля-Мариотта gHSL ( gH gl ) S ( L x2 ) , откуда HL ( H l )( L x2 ) и x2 L По условию x1 x2 d . Значит, Ответ: H l 1 HL Ll . (H l) (H l) Ll Ll 2 Ll 2 2L d d H l 1 , H 720 мм рт. ст. 2 2 ( H l ) (H l ) d (H l ) 2L 720 мм рт. ст. d Домашнее задание. Задача 1. Сосуд разделён подвижным поршнем на объёмы 2V 5 и 3V 5 , содержащие идеальный газ температуры T 300 К (рис.3). Как и насколько нужно изменить температуру газа справа от поршня, чтобы отношение объёмов стало равным? Слева температура газа поддерживается постоянной. Задача 2. [МФТИ 1997] Моль гелия нагревается при постоянном объёме V0 400 л так, что относительное увеличение его давления составило рис.3 p 0, 4% . p0 1) На сколько градусов T увеличилась температура газа, если его начальная температура T0 500 К ? 2) На сколько атмосфер увеличилось давление газа? Задача 3. [МФТИ 2000] Имеется Г – образная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения и общей длиной 3L=1260 мм. Между слоем воздуха длиной L=420 мм и атмосферой находится слой ртути той же длины L (рис.4). Какой длины слой ртути останется в трубке, если вертикальное колено повернуть на 1800, расположив его открытым концом вниз? Внешнее давление p0 735 мм рт.ст. рис.4 Задача 4. Сосуд ёмкостью 2V разделён пополам полупроницаемой перегородкой. В одну половину сосуда введён водород массой m В и азот массой m А , в другой половине вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса температура T поддерживается постоянной. Какие давление установятся в обеих частях сосуда? 4 ноября 2009 г. Межвузовский центр воспитания и развития талантливой молодежи в области естественно-математических наук "Физтех-центр" Составители: Пенкин М.А., Шувалов Н.Д. E-mail: abitu@phystech.edu, fmicky@gmail.com Сайт: www.abitu.ru