Добавить в коллекции Добавить в сохраненное
  1. Инженерия
  2. Воздухоплавание
  3. Аэродинамика
Загрузил Игорь Киреев

Калугин Аэродинамика 2010

реклама 
' . �
Под редакцией доктора технических наук,
профессора В.Т. Калугина
Допущено У чебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению
<<Ракетостроение и космонавтика»
И�ДАТFJIЬСfВО
i
МГiГУ
Москва 2010
УДК 533.6(075.8)
ББК 22.253.3
А99
Ав т о р ы:
А.Г. Голубев, В. Т. Калугин, А.Ю. Луценко, В. О. Москаленко,
Е.Г. Столярова, А.И. Хлупнов, П.А. Чернуха
Р е ц е н з е н ты:
кафедра «Аэродинамика, конструкция и прочность
летательных аппаратов» Московского государственного
технического университета гражданской авиации
(зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.Г. Ципенко);
д-р техн. наук, проф. И.И. Липатов
учеб. пособие / [А. Г. Голубев и др.] ,
А99 под ред. В. Т. Калугина. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баума­
на, 2010. - 687, [1 ] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3355-1
Изложены теоретические и прикладные вопросы аэрод.инамики
летательных аппаратов. Приведены сведения из кинематики и дина­
мики газов; даны основные уравнения аэродинамики, аналитичес­
кие и численные методы расчета вихревых, потенциальных, плос­
ких, пространственных и вязких течений. Рассмотрены теории скачков уплотнения; изоэнтропических, отрывных течении; пограничного
слоя. Предложены практические задачи по определению аэродина­
мических характеристик летательных аппаратов и их элементов, даны
понятия гистерезисных и нестационарных явлении в аэродинамике,
представлены методы экспериментального моделирования процес­
сов обтекания.
Содержание пособия соответствует курсам лекций, которые ав­
торы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов технических университетов, слушателей военных
академий, а также аспирантов, инженеров и научных работников,
специализирующихся в области ракетно-космической техники.
Аэродинамика
:
v
v
УДК 533.6(075.8)
ББК 22.253.3
©
©
ISBN 978-5-7038-3355-1
Калугин В.Т., 2010
Оформление. Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2010
ПРЕДИСЛОВИЕ
Аэродинамика является одной из фундаментальных научных
дисциплин, от развития которых зависит дальнейшее совершенствование авиационнои, артиллериискои и ракетно-космическои техники. Создание современных образцов летательных аппаратов (ЛА)
невозможно без предварительного выбора и расчета их аэродина­
мических характеристик. В связи с этим знание аэродинамики, овла­
дение методами аэродинамического расчета - необходимая и важ­
ная задача в подготовке будущего инженера в области авиации и
ракетостроения.
В настоящем учебном пособии наряду с общими законами дви­
жения газовой (жидкой) среды рассматривается применение аэро­
динамики главным образом в ракетной технике.
При изучении любого курса, в том числе и аэродинамики, основ­
ным является глубокое усвоение его важнейших теоретических ос­
нов, без чего невозможно творческое решение практических задач.
Поэтому в первой части книги особое внимание уделено изложе­
ни ю материалов, посвященных механике газовых сред: приведены
основные понятия и определения, уравнения сохранения для различных моделеи воздуха, теория изоэнтропических течении, скачков уплотнения; рассмотрены вопросы кинематики и динамики вяз­
кого газа, особенности и закономерности отрывных течений, а так­
же методы расчета воздушных (газовых) потоков.
Особое место в книге занимает освещение важнейших теорети­
ческих и прикладных вопросов, связанных с определением аэроди­
намических характеристик корпусов снарядов, ракет, крыльев (опе­
рения) и ЛА в целом с учетом интерференционных эффектов. Этот
материал содержится во второй части учебного пособия. Здесь же
рассмотрены вопросы газодинамики разреженных сред, нестацио­
нарной и экспериментальной аэродинамики.
Естественно, что в учебном курсе нельзя охватить все многооб­
разие проблем, которыми занимается аэродинамическая наука. По­
этому в нем представлена научная информация, усвоение которой
необходимо специалисту, занимающемуся научно-инженерной дея.....
v
.....
.....
.....
v
4
Предисловие
тельностью в области артиллерийских систем и ракетно-космичес­
кой техники. Содержание и объем этой информации при условии
ее глубокого изучения будут достаточны для того, чтобы самостоя­
тельно разобраться в других проблемах аэродинамики, с которыми
могут сталкиваться молодые специалисты в практическои деятельности.
Продолжая традиции научной школы аэродинамики ракет
МГТУ им. Н.Э. Баумана, авторы сочли своим долгом использовать
подходы и материалы, изложенные в трудах д-ра техн. наук, проф.
Н.Ф. Краснова ( 1 922-1990), который создал в МВТУ кафедру
«Аэродинамика» и многие годы заведовал ею.
Учебное пособие подготовлено коллективом авторов, материал
между которыми распределен следующим образом:
предисловие, гл. 2, § 6.4, 7.5, 7.6, гл. 1 1 - В.Т. Калугин; гл 1 ,
§ 7.3, 7.7 - А.Г. Голубев; гл. 3, 5, 13 - Е.Г. Столярова; гл. 4, § 6.16.3, 7.2, 7.4 - П.А. Чернуха; § 7 . 1 , гл. 8, § 12.4, 12.5, 14.1 и 14.3 А.И. Хлупнов; гл. 9, 10 - А.Ю. Луценко; § 1 2 . 1 - 12.3, 14.2 В.О. Москаленко. Общее редактирование учебного пособия осу­
ществлено лауреатом премии Правительства РФ в области науки и
техники, лауреатом премии им. Н.Е. Жуковского, д-ром техн. наук,
проф. В.Т. Калугиным.
Авторы выражают глубокую признательность д-ру физ-мат. наук,
проф. И.И. Липатову, а также д-ру техн. наук, проф. В.Г. Ципенко и
коллективу возглавляемой им кафедры за полезные замечания и цен­
ные предложения по улучшению содержания книги.
v
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
И МОДЕЛИ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ
Движение летательных аппаратов происходит в воз­
душной среде, которая оказывает н.а их поверхность
сложное комплексное воздействие. Совре;wен.н.ое пред­
ставление о воздухе, его составе и свойствах, причи­
н.ах возн.икн.овен.ия аэродинамического сопротивления
и методах его расчета основывается н.а фун.дамен.­
тальн.ых положениях механики сплошной среды и тео­
рии подобия физических процессов.
В главе приведены осн.овн.ые параметры воздушной ат­
мосферы, а также соотн.ошен.ия, используемые в раз­
личных типах аэродинамических задач. Расе;wотрен.о
результирующее силовое воздействие атмосферной
среды н.а ЛА, введены понятия аэродинамической силы,
момента, центра давления и соответствующих аэро­
динамических коэффициентов, предложены осн.овн.ые
системы координат, используемые при расчетах аэро­
динамических характеристик ЛА.
1.1. Физическое и математическое описание
воздушной среды
Основной средой, в которой происходит движение ЛА, являет­
ся атмосфера Земли. Атмосфера представляет собой смесь газов,
водяного пара и аэрозолей. Объемный состав газов сухого воздуха
до высот 90 . . . 95 км остается практически постоянным, %: 78,08 N2,
20,95 02 , 0,94 инертные газы и Н2 , 0,03 СО2 и другие газы в незна­
чительных количествах.
Чтобы изучать воздействие воздуха на покоящиеся или движу­
щиеся в нем тела, в первую очередь следует определить количест-
6
1. Физические свойства и модели воздушной среды
венные и качественные показатели, необходимые для описания воздушнои среды; ее характеристики и условия, при которых эти показатели являются существенными, а также математическим аппаv
рат, используемым при решении задач аэродинамики.
Число молекул в 1 см3 воздуха при нормальных условиях равно
2,5471·1019 . Как показывает практика, для большинства аэродина­
мических расчетов молекулярную структуру воздуха можно не учи­
тывать и рассматривать его как однородную среду, заполняющую
предоставленное ей пространство сплошь, без образования пустот.
Это предположение, называемое гипотезой сплошности среды, поз­
воляет рассматривать все используемые в расчетах характеристики
воздуха как функции координат пространства и времени, причем в
большинстве случаев эти функции предполагаются непрерывными
и дифференцируемыми.
Как и любое упрощение действительности, гипотеза сплошно­
сти имеет свои границы применимости, которые можно оценить с
помощью числа Кнудсена:
v
v
Кn = l/L,
(1 . 1 )
где l средняя длина свободного пробега молекул между двумя
столкновениями; L характерный размер обтекаемого тела. При
Кn < 0,01 среда считается сплошной, при Кn > 0,01 необходимо учи­
тывать молекулярную структуру воздуха и использовать в расчетах
методы аэродинамики разреженной среды.
Состояние воздуха как сплошной среды описывается различ­
ными параметрами, основными из которых являются плотность
р, давление р и температура Т. Экспериментально установлено,
что только два из трех основных параметров состояния газа неза­
висимы, т. е. р = /(р,Т). Это соотношение называется уравнением
-
-
состояния.
Когда объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с зани­
маемым газом объемом, а силы взаимного притяжения молекул мож­
но не учитывать, газ называется совершенным. Практика показы­
вает, что при решении большинства задач аэродинамики воздух с
достаточном точностью можно считать совершенным газом, для которого уравнение состояния имеет вид
v
(1 .2)
pv= R T,
где v удельный объем, м3/кг, v = 1 /р; R удельная газовая посто­
янная, равная для сухого воздуха 287,053 Дж/(кг · К).
-
-
1. 1.
Физическое и математическое описание воздушной среды
7
Умножая обе части уравнения ( 1 .2) на молярную массу газа М,
получаем
(1 .3)
pvм=MRT,
где vм - объем, занимаемый 1 молем газа, м3/моль.
Согласно закону Авогадро ( 1 8 1 1 ), моль любого газа при опре­
деленных давлении и температуре имеет одинаковый объем. Сле­
довательно, произведение MR имеет постоянное значение для всех
газов:
(1 .4)
MR = R0 = 8,3143 Дж/(моль · К),
и называется универсал ьной газовой постоянной. В уравнение со­
стояния она была введена Д.И. Менделеевым в 1 874 г.
С учетом (1 .4) выражение (1 .2) принимает вид уравнения Кла­
пейрона - Менделеева:
Rо
(1 .5)
р=
рТ,
Мо
где М0 - средняя молярная масса воздуха как смеси газов, равная
0,02896 кг/моль.
Теплоемкостью называют количество теплоты, необходимое для
нагрева рассматриваемой массы газа на один градус. Под удельной
теплоемкостью понимают теплоемкость единицы массы газа.
Значение удельной теплоемкости зависит от условий, в кото­
рых происходит нагрев газа. Обычно вводят в рассмотрение удель­
ную теплоемкость при постоянном давлении ер и удельную тепло­
емкость при постоянном объеме с v· Для совершенного газа обе эти
величины постоянны и связаны между собой уравнением Майера:
(1 .6)
Для воздуха при Т < 450 К значения теплоемкостей составляют
ер= 1000 Дж/(кг· К) и Cv = 713 Дж/(кг· К).
Большую роль в термо- и газодинамических зависимостях иг­
рает показатель адиабаты (отношение удельных теплоемкостей)
(1 .7)
который для воздуха равен 1,4.
В аэродинамических расчетах широко используют такие функ­
ции состояния воздуха, как внутренняя энергия е, энтальпия z и
энтропия S, зависящие в общем случае от двух произвольных пара­
метров состояния. Для совершенного газа при постоянных тепло­
емкостях эти зависимости упрощаются и могут быть записаны в
виде следующих формул.
8
1.
Физические свойства и модели воздушной среды
Внутренняя энергия единицы массы совершенного газа удов­
летворяет уравнению
е = cvT.
(1.8)
Это означает, что при любом термодинамическом процессе совершенного газа изменение его внутреннеи энергии определяется только изменением температуры.
Используя уравнение состояния, внутреннюю энергию можно
выразить через два других основных параметра состояния:
v
Су
р
е=- .
R р
Последнее выражение на основании уравнения (1 .6) может быть
преобразовано к виду
1
р
е=
k-l p
Энтальпией, или теплосодержанием, единицы массы газа на­
зывают величину
i= е +pv.
Для совершенного газа справедлива зависимость
i =сРТ.
( 1 .9)
С учетом уравнений ( 1 .2) и ( 1.6) получаем
р
.l= k k-l p
Второй закон термодинамики устанавливает существование осо­
бой функции состояния термодинамической системы - энтропии и ее неубывание при любых процессах в изолированной системе.
В общем случае удельная энтропия
где
dq
е
dS = dqe/T,
приращение теплоты.
Через параметры состояния совершенного газа с точностью до
некоторои константы энтропия выражается в виде
s =Су l n(plpk ) + С,
где С = const.
Если энтропия термодинамической системы остается постояннои, то проходящим в неи процесс называется изоэнтропическим.
В этом случае давление и плотность связаны уравнением
-
v
v
v
v
p/pk = С.
1.1.
Физическое и л1ате.матическое описание воздушной среды
9
Рассмотрим установившееся движение воздуха с различными
скоростями относительно неподвижной системы координат Oxyz,
ограничившись изображением только плоскости хОу. В начале сис­
темы координат расположим источник слабых (акустических) возмущении.
Прежде всего рассмотрим простейший случай, когда воздух не­
подвижен, т. е.
(рис. 1 . 1 , а). Возмущения распространяются
во все стороны с одинаковом скоростью, называемом скоростью
звука а. Если возмущения возникают с некоторым интервалом Лt,
то в результате получается система концентрических сфер. Пусть
процесс идет без диссипации энергии. Тогда при t � оо возмущения заимут все координатное пространство.
v
V= О
v
v
v
V=O
V=a
V<a
у
у
r=aЛt
у
r=aЛt
r=a2Лt
х
х
х
x=VЛt
а
х=VЛt=r=aЛt
б
в
V>a
у
µ=arcsin(a/V)
r1=аЛt1
В1
-t
v
о
А1
х
А2
х
г
Рис. 1.1. Распространение слабых возмущений в воздушной среде
1О
1.
Физические свойства и модели воздушной среды
На рис 1.1, 6 показан случай, когда поток движется в направле­
нии оси Ох со скоростью V < а (дозву ковая скорость потока). За
интервал времени Лt фронт возмущения образует в потоке сферу
радиусом r = аЛt, а поток смещается на расстояние х = VЛt, причем
х < r. Таким образом, относительно неподвижного наблюдателя (от­
носительно системы координат хОу) в направлении оси Ох (по по­
то ку) возмущения распространяются с суммарной скоростью а + V,
а в противоположном направлении (против потока) - с меньшей
скоростью а V.
В предельном случае при V = а возмущения не будут распрост­
раняться вверх по потоку (рис. 1.1, в) и с течением времени запол­
нят только всю правую половину координатного пространства (пра­
вую полусферу).
Совершенно особая картина распространения возмущений по­
лучается при сверхзвуковой скорости потока (V > а). Как видно на
рис. 1.1, г, сферы возмущений сносятся вниз по потоку быстрее,
чем распространяются сами возмущения. Если рассмотреть два мо­
мента времени Лt1 и Лt 2 , то легко показать, что прямоугольные
треугольники ОА 1 В1 и ОА 2В2 подобны, а следовательно, все сферы
распространения возмущений имеют общую касательную, накло­
ненную к направлению движения потока (к оси Ох) под угломµ=
= arcsin (a/V). Отношение скорости потока в точке пространства к
скорости распространения в ней слабых возмущений называется
-
числом Маха:
( 1.1
М = V/a.
О)
С учетом (1.10) уголµ вычисляют по формуле
µ = arcsin (1/М)
(1.11)
и называют углом Маха. При сверхзвуковой скорости потока в не­
подвижной системе координат все возмущения оказываются лока­
лизованными внутри конуса Маха с полууглом при вершине, рав­
ным µ. Образующие конуса (например, ОВ2) называются линия.ми
слабых возмущений, или линия.ми Маха.
Одним из важных свойств газа является его сжимаемость
способность изменять плотность под воздействием давления. Все
процессы, связанные с течением газа, характеризуются изменением давления и, следовательно, влиянием в тои или инои степени на
эти процессы свойства сжимаемости. Исследования показывают, что
пока скорости малы, изменение плотности вследствие малых изме-
�
�
1. 1.
Физическое и лtатематическое описание воздушной среды
11
нений давления невелико и эффектом сжимаемости можно пренеб­
речь. Для исследования обтекания тел потоками с малыми скороетями можно принять уравнения гидродинамики, изучающеи законы движения несжимаемой жидкости. Практически влиянием сжи­
маемости можно пренебречь в диапазоне скоростей движения
воздуха от нескольких метров в секунду до 100 . . .11О м/с.
Как будет показано ниже, для учета сжимаемости среды прин­
ципиальным является не ее абсолютная скорость, а соотношение
между скоростью потока и скоростью распространения возмуще­
ний в нем, т. е. критерием сжимаемости среды является число Маха.
Сжимаемостью воздуха можно пренебрегать до скоростей движе­
ния, соответствующих числу Маха М < 03.
Вязкость (внутреннее трение) - свойство текучих тел (жидко­
стей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их ча­
сти относительно другой. Происхождение сил вязкости связано с
собственным хаотическим движением молекул газа, в результате
которого они переносят вместе с собой из одного места в другое
определенное количество движения. Как известно из кинетической
теории газов, скорость движения молекул газа с ростом температу­
ры возрастает, а следовательно, увеличивается вязкость газа.
Наиболее простая количественная зависимость может быть по­
лучена для так называемого квазиодномерного слоистого течения.
Напряжение трения, возникающее при таком движении между
слоями жидкости или газа, прямо пропорционально градиенту ско­
рости V в поперечном направлении:
�
.
't= µ дV
ду
( 1.12)
Эту зависимость называют законом трения Ньютона (1687). Коэф­
фициент пропорциональности, характеризующий вязкость среды
(молекулярный перенос количества движения между слоями), на­
зывают динамической вяз костью и измеряют в паскаль-секундах
в аэродинамике используют кинематическу ю
(Па· с). Наряду с
вязкость вычисляемую по формуле
v,
µ
µ
v=µ/p
(1.13)
и измеряемую в квадратных метрах на секунду (м2/с).
В более общем случае пространственного турбулентного дви­
жения газа закон, которому подчиняются силы внутреннего трения,
гораздо сложнее.
1.
12
Физические свойства и модели воздушной среды
ООО К
До температур порядка 2
вязкость воздуха практически
не зависит от давления и может быть определена по степенной
формуле
( 1 . 14)
в которой для приближенных расчетов можно принять п
0 ,7
(рис. 1.2). Значение динамической вязкости воздуха при Т = 288, 15 К
составляет µ00 = 1 ,7894 1 о-5 Па· с. Отсюда следует, что воздух об­
ладает весьма малой вязкостью и нужны очень большие значения
градиента скорости в поперечном к основному движению направ­
лении дV/дп, чтобы напряжение трения достигло заметного значе­
ния. Вязкость газа имеет существенное значение в пределах так
называемого пограничного слоя, примыкающего непосредственно
к поверхности обтекаемого тела. Вне пограничного слоя газ можно
считать невязким.
В дальнейшем идеальным газом будем называть газ, не облада­
ющий вязкостью. На основе понятия идеального газа существенно
упрощаются расчеты аэродинамических сил и моментов.
Наблюдения показывают, что для жидкостей и газов характер­
ны два вида движения. Ламинарное, или слоистое, движение от­
личается упорядоченным расположением струек, не смешиваю­
щихся между собой. В ламинарном потоке перенос количества дви­
жения между слоями происходит вследствие молекулярных
процессов. Такое движение возникает и сохраняется устойчивым,
как правило, при небольших ско­
ростях движения. Если при задан­
ных условиях обтекания поверхно­
1,0
сти скорость потока превышает не­
0,9
которое критическое значение, то
-----� - -- ,__
0,8
•
ламинарное движение перестает
п
0,7 --п--- -""""-- -- , ___..-:::_ ер
быть устойчивым и переходит в новыи вид, для которого характерны
::
0,2
поперечное перемешивание среды
0,1 <J>,,,
и, как следствие, исчезновение упо­
о
рядоченного слоистого течения.
1 ООО 2 ООО 3 ООО 4 ООО Т, К
Такое течение называется турбу­
Рис. 1.2. Изменение показателей лентным. На молекулярное хаоти­
степеней п, Х и q> в формулах для ческое движение , которое было
определения динамической вяз­ характерным для ламинарного те­
кости, теплопроводности и удель- чения , в турбулентном потоке на­
кладыва ется перемешивание макной теплоемкости
""'
00
·
\.-Х
..>...._
•
.
L�cp
�
1. 1.
Физическое и математическое описание воздушной среды
13
роскопических частиц, обладающих перпендикулярными направ­
лению продольного движения компонентами скорости. В этом со­
стоит основное отличие турбулентного движения от ламинарно­
го. Другое отличие заключается в том, что если ламинарное тече­
ние может быть как установившимся, так и неустановившимся,
то турбулентный поток, по своей сущности, имеет неустановив­
шийся характер, при котором скорость и другие параметры в даннои точке зависят от времени.
При исследовании турбулентного течения удобно иметь дело
не с мгновенными (фактическими) параметрами, а с их осреднен­
ным (среднестатистическим) значением за некоторый промежуток
времени Лt. Например, составляющая осредненной скорости по
оси Ох
v
1
-
t+Лt/2
J
Vx =Лt
t-дt/2
Vxdt,
( 1 . 15)
где Vx
составляющая фактической скорости в данной точке, ко­
торая является функцией времени. Аналогично вычисляют состав­
ляющие скорости по другим осям координат.
Разность фактического и осредненного значений параметров потока в даннои точке в данныи момент времени называют пульсацией. Таким образом, можно представить, например, фактическую ско­
рость Vx в виде суммы:
-
v
v
-
,
Vx=Vx+Vx,
где v;
пульсационная скорость по оси Ох. Записать или изме­
рить пульсационную скорость можно, поместив в нужную точку
потока измерительный прибор с малой инерционностью ( термоане­
мометр), или дистанционно (с помощью лазерного анемометра).
При описании турбулентных течений широко используют также понятие осредненнои по времени амплитуды пульсации параметров:
-
v
v
1 t+дt 12
у'2 d
t
x(y,z) t.
Л
J
Vx,2(y,z) =
t-дt/2
При равенстве осредненных по времени амплитуд пульсаций
скорости потока по всем направлениям турбулентность в данной
точке называется изотропнои, а если это своиство имеет место для
всех точек потока, однородной.
v
-
v
1.
14
Физические свойства и модели воздушной среды
Величина Е, вычисляемая по формуле
осредненная скорость потока, называется степенью тур­
булентности в данной точке. Для невозмущенной атмосферы
Е 0,01 . . . 0,03 %.
Введение понятия об осредненных параметрах значительно об­
легчает исследование турбулентных течений. Для практических це­
лей нет необходимости знать мгновенные значения скоростей, дав­
лений или касательных напряжений, а можно ограничиться их сред­
ними по времени значениями. Однако в практических случаях
осреднение осуществляют для достаточно большого промежутка
времени, и тогда изучение неустановившегося потока можно свес­
ти к исследованию установившегося движения (квазистационарное
турбулентное движение).
Если различные тела или части одного тела имеют неодинако­
вую температуру, то они могут обмениваться между собой энергией
в форме теплообмена. В потоке воздуха теплообмен способен осу­
ществляться путем теплопроводности, конвекции и радиации.
Теплопроводность характеризует перенос энергии между облас­
тями потока с различными температурами. При этом он осуществляется в результате непосредственнои передачи энергии от частиц
(молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, час­
тицам с меньшей энергией. Если относительное изменение темпе­
ратуры на расстоянии средней длины свободного пробега частиц
мало, то выполняется основной закон теплопроводности (закон
Фурье), в соответствии с которым количество теплоты dQ, пере­
данное через элементарную площадку dF за время d t, может быть
вычислено как
где V
-
::::::
у
dT
dQ =-Л. dFdt
dn
'
где Л.
теплопроводность, Вт/(м · К); п
нормаль к поверхности
теплообмена (к площадке d.F). Знак минус показывает, что при
-
-
dT > О тепловои поток передается в противоположном направлеdп
нии, т. е. из области с большей температурой в область, где темпеу
-
ратура ниже.
1. 1.
Физическое и математическое описание воздушной среды
Величина
qт.n
15
dT
= -Л dn'
равная количеству теплоты, проходящей в единицу времени через
единичную площадку, называется плотностью теплового потока
(удельным тепловым потоком) и измеряется в ваттах на квадрат­
2
ный метр (Вт/м ).
Для воздуха теплопроводность, как и вязкость, до < 2 ООО К
практически не зависит от давления и определяется только темпе­
ратурой:
Т
т
х
(1.16)
Л=Ло То
где Л0 = 0,0232 Вт/(м ·К) при Т0 = 261 К, а значение показателя сте­
'
пени для приближенных расчетов Х = 0,85 (см. рис. 1.2).
Конвекцией, или конвективным теплообл-tеном, называют обмен
энергией в форме теплоты между различно нагретыми областями
воздуха или воздухом и твердой поверхностью, обусловленный пе­
ремещением макрообъемов воздуха. Конвективный теплообмен
между воздухом и твердом поверхностью называется также теплоотдачей. При этом удельный тепловой поток qк мож ет быть опре­
делен по формуле Ньютона:
�
qк =
а
а(Т- Т
cr ,
)
где
- коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 ·К); Т - некоторая ха­
рактерная температура воздуха у твердой поверхности; cr - тем­
пература стенки. Значение коэффициента теплоотдачи зависит от
большого количества параметров обтекания, в частности от режи­
ма течения в пограничном слое (ламинарный или турбулентный),
вязкости, скорости и т. п.
При радиационном теплообмене энергия излучается или погло­
щается телом посредством электромагнитных волн в основном в
инфракрасном диапазоне. Этот вид теплообмена начинает играть
для воздуха заметную роль при температурах выше 2 ООО К.
При гиперзвуковых (М > 5) скоростях полета кроме сжимаемо­
сти в воздушном потоке проявляются особенности, связанные с
влиянием высоких температур. Такие температуры возникают вслед­
ствие торможения потока, при котором кинетическая энергия упо-
Т
16
1. Физические свойства и модели воздушной среды
рядоченного движения частиц переходит во внутреннюю энергию
газа.
При температуре около 1 500 К заметную роль начинает играть
возбуждение колебательных уровней внутренней энергии молекул
кислорода и азота воздуха. При температуре приблизительно 3 ООО К
и давлении 105 Па колебательные степени свободы молекул кисло­
рода оказываются полностью возбужденными и дальнейшее повы­
шение температуры приводит к началу процесса их диссоциации.
При 5 ООО ...6 ООО К и давлении 105 Па молекулы кислорода почти
полностью диссоциированы. Кроме того, при такой температуре на­
чинается диссоциация азота.
Интенсивность диссоциации определяется ее степенью, равной
отношению числа распавшихся частиц воздуха к общему числу ато­
мов и молекул. Степень диссоциации зависит от температуры и дав­
ления. С повышением температуры она увеличивается, поскольку
возрастают скорость и энергия движущихся молекул, что повыша­
ет вероятность их столкновения и распада. При этом интенсивность
протекания диссоциации растет с понижением давления (плотнос­
ти) вследствие уменьшения вероятности столкновений частиц, ве­
дущих к образованию молекул из атомов.
При температурах 5 ООО ...6 ООО К начинает развиваться еще один
процесс, заключающийся в том, что вследствие большого притока
энергии происходит сначала возбуждение электронных степеней
свободы, а затем отрыв электронов от атомов азота и кислорода, а
также от молекул оксида азота. Указанный процесс называется иони­
зацией. Происходит она в основном в результате соударения час­
тиц воздуха при их тепловом движении, поэтому такую ионизацию
называют также термоионизацией. Процесс ионизации происходит
более интенсивно по мере увеличения температуры и сопровожда­
ется ростом концентрации свободных электронов. Интенсивность
этого процесса характеризуется степенью ионизации, равнои отношению числа ионизированных атомов (молекул) к их общему чис­
лу. Как показывают исследования, азот, например, полностью тер­
мически ионизирован при температуре 17 ООО К и давлении 1 05 Па.
При разогреве воздуха подводимая к нему теплота расходуется
не только на увеличение энергии поступательного и вращательно­
го движения молекул, но и на увеличение энергии колебания ато­
мов в молекуле, работу по преодолению сил взаимодействия меж­
ду атомами при диссоциации молекулы, а также на отрыв электро­
нов от атома при ионизации. Вследствие этого удельные
�
1.1.
Физическое и л1атем.атическое описание воздушной среды
17
теплоемкости возрастают. До момента начала диссоциации измепение удельном теплоемкости воздуха определяется лишь температурой. Для приближенной оценки влияния температуры на удель­
ную теплоемкость при постоянном давлении применяют формулу
v
т
Сроо
<р
(1.17)
'
Тоо
где показатель <р, в свою очередь, зависит от температуры (см.
рис. 1.2). Для Т > 1 000 К этот показатель можно принять постоян­
ным и равным О,1. Формулу (1.17) применяют до Т = 2 500 К.
При наступлении диссоциации удельная теплоемкость зависит
не только от температуры, но и от давления. Кривые, характеризу­
ющие изменение показателя k, а следовательно, и теплоемкости ер,
при высоких температурах, приведены на рис. 1.3.
k
р= IО3Па
1,30 f--Jl.-105 Па ---,<с.....+--
��j:;;f:: �:-1
1,25 l--w'.
- ,.-\7"'-tf- vt-�
1,201---+��\--*--'�+-�-t+---+--J
1,15 L...__L_..::.....J_...L._:.1._.L..__J__L._L_--1_...L.___J
1 ООО 3000
5000
7000 9000 11 ООО Т, К
k
Рис. 1.3. Изменение показателя адиабаты для воз­
духа при высоких температурах
При температурах вплоть до 9 ООО К динамическая вязкость воздуха, находящегося в условиях равновесном диссоциации, может
быть определена с точностью до 1О % по формуле Сатерлэнда:
v
µ
0,5
1+111 /тоо
т
( 1.18)
Тоо
1+111/Т
µоо
Установлено, что динамическая вязкость и теплопроводность
воздуха при высоких температурах зависят также и от давления
(рис. 1.4, а, б).
Происхождение сил вязкости, как и возникновение процесса теп­
лопроводности в газе, связано с молекулярным строением веще­
ства. Молекулы газа при своих собственных движениях переносят
из одного места в другое массу, энергию и количество движения.
Результатом изменения количества движения являются силы вяз-
18
µ· 105, Па·с
1.
Физические свойства и модели воздушной среды
24 .----т--,..--.---т---.
105Па
р= 103 Па
16
ц___:.-1--���
1 ООО 3 ООО 5 ООО 7 ООО 9 ООО Т, К
Л,Вт/(м·К)
1----1---<ц:�....Р = 1О3 П а
2,4
105 Па ---1
2000 4000 6000 8000 lOOOOT, К
а
б
А{ r----т---т----.---,
106Па
20�---1-+- 05 Па--1�7"<-+-�-1-��
104Па
15 t--t-- =103 Па
'
;
2000 3000 4000 5000 6000 7000
в
т, к
Рис. 1.4.
Изменение динамичес­
кой вязкости (а), теплопровод­
ности
(6)
и средней молярной
массы
(в)
воздуха при высоких
температурах
кости, а перенос э не ргии обуслов ли вае т свойств о т еплопроводно­
сти. Из этих соображе ний ясно, что с ростом темп ературы увели­
чи ваются и т еплопроводность, и динамическая в яз кость в газ е.
При в озни к но вении диссоциации харак т ер изменения будет до­
в ольно сложным. При малой степени диссоциации значения теп­
лопроводности
снижаются , что в ызвано затратами вн утренней
э нергии на разры в мол екулярных связей и, как сл едств ие, сниже­
ни ем т емперат уры газа. При пов ышении степени диссоциации бо­
лее интенси вно е дробление молеку л на атомы при в одит к росту
числа частиц, участву ющих в проц ессах переноса, что в ызы вает
увеличение теплопров одности Л..
При очень сильном разогреве газа еще боль ше увеличи ваются
затраты внутренней энергии на ионизацию, что влечет за соб ой сни­
жение теплопроводности. Что касается динамической вязкости, то
для ее изменения харак терно монотонное возрастание при увели­
чении температуры , поскольку с насту плени ем диссоциации и иони­
зации об разуется все б ольшее число частиц, участвующих в пере-
Л.
1. 1.
Физическое и л1ате.матическое описание воздушной среды
19
носе количества движения, которое обусловливает увеличение сил
вязкости.
Для воздуха в условиях диссоциации молярная масса также яв­
ляется функцией его состояния, т. е. М = f(p,
Т).
Изменение сред-
неи молярном массы воздуха при высоких температурах показано
v
v
на рис. 1.4,
в. На кривых можно заметить три характерных участка
убывания М в зависимости от температуры. Первый из них обусловлен диссоциациеи кислорода, второи - азота, третии - ионизаv
v
v
цией компонентов воздуха. Общая тенденция к уменьшению М дис­
социированного и ионизированного газа с повышением температу­
ры обусловлена распадом молекул на атомы, а также отрывом
электронов. При этом повышение давления способствует более ин­
тенсивной рекомбинации, что приводит к некоторому росту М. Сле­
дует принять во внимание, что необходимость учета изменения
удельных теплоемкостеи от температуры наступает раньше, чем неv
обходимость применения уравнения состояния, отличного от урав­
нения (1.5) для совершенного газа.
Наиболее распространенной для тепловых расчетов в аэроди­
намике является i-S-диаграмма воздуха при наличии диссоциации
(рис. 1.5), на которой нанесены кривые р = const (изобары),
(изотермы) и
р = const (изохоры).
р=
108Па -�
25 1-----1----11- т 1О·1о3
=
20 1-----1--- .
9 103
1
8· 103 к
15
р = 10 ю:/м3 7·103К
/
,'
10 1----6·103К
,
,
,
, '
9
10
1
Т = const
к-:::::z7"'�-:;;1
3 ю:/м3
L-r107 Па
к:,1.�'7t1"-�#,L._�- l ю:/м3
0,3 ю:/м3
10 �а
о ю:/м3
IO ��
6
5
О
104Па
3· 103
11 S·l0-3, м2/(с2·К)
Рис. 1.5. Диаграмма i-S воздуха в условиях диссоциации
ю:/м3
к
20
1.
Физические свойства и модели воздушной среды
1.2. Стандартная атмосфера
Термодинамические параметры воздуха зависят от высоты, времени года и суток, координат земнои поверхности, метеоусловии и
v
v
других факторов. Для сравнения результатов натурных испытаний,
проведенных при различных атмосферных условиях, с результатами расчетов и других испытании их приводят к единым условиям,
v
определенным моделью атмосферы - стандартной атмосферой
(ГОСТ
4401, ИСО 2533). Ее параметры примерно соответствуют па­
раметрам реальной атмосферы на средних широтах в летнее время.
Для расчета параметров стандартной атмосферы кроме геомет­
рической высоты
h (высоты над
уровнем моря) используют так на­
зываемую геопотенциальную высоту
где
r = 6 356 767
Н, определяемую по формуле
Н = rh/(r + h),
м - условный радиус Земли. Геопотенциальную
высоту измеряют в «геопотенциальных» метрах, обозначаемых м'.
На уровне океана (высота
Н = h = О) приняты следующие нор-
мальные атмосферные условия:
101 325 Па;
температура Те= 288, 15 К или
3
плотность Ре= 1,225 кг/м ;
давление Ре=
t=
15 °С;
ускорение свободного падения gc =
скорость звука ас=
340,294
9,80665
м/с 2 ;
м/с;
µс= 1,7894· 10-5 Па· с;
кинематическая вязкость vс= 1,4607 1о-5 м 2/с;
теплопроводность Ас= 2,5343 · 1 о- 2 Вт/(м·К);
концентрация частиц пс= 2,54 71 · 1025 м-3;
средняя скорость частиц Vc= 458,94 м/с;
1
частота соударений roc = 6,9193·109 с- ;
средняя длина свободного пробега lc = 6,6328· 1о-8 м.
динамическая вязкость
·
Атмосферу условно принято делить по высоте на следующие
зоны в зависимости от осредненного состава газа и закона измене­
ния температуры по высоте:
1) тропосфера (h от О до 11 ... 16 км) - температура уменьшает­
ся на 6,5 градусов на километр высоты; здесь сосредоточено около
80 % массы атмосферы и практически вся присутствующая в ней
вода, поэтому выше тропосферы облачность отсутствует, а за ЛА
не образуются инверсионные следы;
21
1.2. Стандартная атмосфера
2) стратосфера (h от 11 ...16 до 50" .55 км) - температура рас­
тет или остается постоянной; на высотах 20... 25 км находится тон­
кий озоновый слой, поглощающий значительную часть ультрафио­
летового излучения Солнца;
3) мезосфера (h
50 ... 55 до 80 ... 85 км) - температура пони­
жается с высотой до -90 °С;
4) термосфера (h от 80 до 600... 800 км) - температура возрас­
тает приблизительно до 1ООО К на высоте около 400 км и затем ос­
тается практически постоянной;
5) экзосфера (h > 600 ... 800 км) - зона, переходная к космичес­
кому пространству.
Для расчета основных параметров стандартной атмосферы до
высоты h = 94 ООО м, до которой молярная масса воздуха остается
неизменном, используют слеh,
дующие зависимости.
Наиболее сложным образом Г�-:;----т:::::F/Т)Гl
с ростом высоты изменяется
термодинамическая температу­
ра (рис. 1.6). На каждом слое
это изменение аппроксимирует­
ся линейной функцией геопотенциальнои высоты:
от
v
км
v
Т =Т* + Р(Н -Н*),
где р= dT/dН - градиент тем­
пературы, а параметры со звездочкои относятся к нижнеи границе рассматриваемого слоя
(табл. 1 . 1 ).
Давление и плотность с уве­
личением высоты непрерывно
уменьшаются. Для определения
давления используют зависи­
мости
v
о
0,2
v
о
80
0,4
180
220
260 Т, К
160
240
320 v/vc
Рис. 1.6. Изменение
параметров стан­
дартной атмосферы в зависимости от
высоты
l Т* + �(Н -Н* )
gc
1g Р* при
g
-
=-
lgp=
�*О;
-
Т*
0,434294
gc (Н - Н* ) при 1-'R - О
1g Р* RT
�R
------
•
22
1. Физические свойства и модели воздушной среды
Таблица 1.1. Изменение термодинамической температуры
с увеличением высоты
h,м
о
1 1 ООО
20 ООО
32 ООО
47 ООО
51 ООО
71 ООО
85 ООО
94 ООО
Н,м
т,к
,
о
288,15
216,65
216,65
228,65
270,65
270,65
214,65
186,65
1 86,65
1 1 019
20 063
32 162
47 350
51 412
71 802
86 152
95 4 1 1
р, К/м'
-
-0,0065
о
+0,001
+0,0028
о
-0,0028
-0,002
о
Плотность рассчитывают по давлению и температуре с помо­
щью уравнения состояния (1.5), а для динамической вязкости и теп­
лопроводности используют следующие эмпирические зависимости:
1,458·1О-6т1•5
,
µ=
110,4)
(Т +
-з ·Т1•5
Л.= 2,64815 1· 10
'
121Т
0·1
Т+245 4
------
'
причем эти формулы применяют для высот не более
90 км.
1.3. Модели воздушных потоков
Изучение движения газа (воздуха) с общих позиций приводит к
огромным математическим трудностям, поэтому в аэродинамике,
как и в других науках, сложные для изучения процессы разбивают
на упрощенные схемы, которые учитывают те или иные характер­
ные черты процесса. Такие схемы получили название моделей.
Модель сплошной среды
-
это некоторое идеализированное пред­
ставление реальной деформируемой среды, учитывающее основные
ее своиства и подчиняющееся определенному математическому опиv
санию. Выбор модели позволяет замкнуть систему уравнений, описывающую движение и параметры состояния исследуемои среды.
v
Использование идеализированных схем значительно облегчает
изучение процессов движения газа. Проверка той или иной схемы
1.3.
23
Модели воздушных потоков
на практике позволяет судить о ее пригодности либо о необходимо­
сти ее совершенствования или коренной переработки.
В табл. 1.2 показаны различные модели газовой среды, исполь­
зуемые в аэродинамике при изучении силового воздействия потока
на ЛА.
Таблица 1.2. Модели газовой среды
Моделируемый
обьекг, свойство
реальной среды
Условия применения
Модель
50... 60 км (Кn<< 1)
Молекулярное
Сплошная среда
Высота полета<
строение газа
Разреженная
Длина свободного пробега молекул
среда
соизмерима с характерным размером
ЛА(Кn> 1)
Совершенный газ Большинство задач аэрогазодинамики
Низкие температуры и высокие дав-
Реальный газ
ления (высокая плотность газа)
Сжимаемость
Несжимаемая
Малые скорости потока (М <
0,3)
среда
Сжимаемая среда Большие скорости потока (М
> 0,3)
Нестационар-
Стационарный
Параметры потока постоянны или
ность
процесс
возможно их осреднение
Нестационарный
Учет изменения параметров потока
процесс
во времени
Пространствен- Одномерное
течение
ность
Потоки, для которых изменением па-
раметров вдоль двух координатных
направлений можно пренебречь
Плоское (осесим- Потоки, для которых изменением паметричное)
раметров вдоль одного координатно-
течение
го
Пространствен-
Потоки, для которых необходимо учи-
ное течение
тывать изменение параметров по всем
направления можно пренебречь
трем координатным направлениям
Физико-хими-
Течение без
Области потока с невысокими темпе-
ческие превра-
физико-химичес-
ратурами воздуха (до
щения в воз-
ких превращении в зависимости от давления)
-
2 000."3 ООО К
-
душнои среде
Течение с учетом
Потоки с температурой воздуха бо-
физико-химичес-
лее
ких процессов
2 000...3 ООО К
24
1. Физические свойства и модели воздушной среды
Окончание табл. 1.2
Моделируемый
объект, свойство
реальнои среды
Условия применения
Модель
v
Вязкость
Невязкая среда
Вязкая среда
Потоки с малыми поперечными градиентами скорости
Потоки с большими градиентами
скорости (например, пограничный
слой на твердой поверхности)
Re < Rе р
Re > Rекр
Высокоскоростные газовые потоки
Режим течения Ламинарное
Турбулентное
Движение в
Без учета силы
тяжести
поле силы
тяжести
Естественная конвекция газов
С учетом силы
тяжести
Электрически
Движение в
Потоки без ионизации (Т < 6000 К)
электромагнит- неитральная
среда
ном поле
Заряженная среда Движение плазмы
к
v
Дадим краткую характеристику отдельным моделям. Изучать те­
чение газа, его взаимодействие с обтекаемыми поверхностями мож­
но с различной степенью детализации его внутренней структуры:
на молекулярном, больцмановском или газодинамическом уровнях.
Молекулярный уровень характеризуется уравнениями Ньютона
для частиц, движущихся в соответствии с законами механики. Пе­
реход на больцмановский уровень совершается путем осреднения
параметров по элементарному объему на элементарном промежут­
ке времени. Газодинамический уровень связан с осреднением по
скоростям молекул и содержит уравнения переноса для макроско­
пических величин - плотности, скорости, давления и т. п.
Согласно уравнению
(1.1),
возможность применения газодина­
мического уровня описания (выполнения гипотезы сплошности)
оценивают с помощью числа Кнудсена.
Состояние совершенного газа описывается уравнением Клапей­
рона - Менделеева (см. уравнение
(1.5)). Реальным называется
газ,
своиства которого в отличие от совершенного газа зависят от взаиv
модействия молекул. В обычных условиях, когда средняя потенци-
1.3.
Модели воздушных потоков
25
альная энергия межмолекулярного взаимодеиствия много меньше
средней кинетической энергии молекул, свойства реального и совер­
шенного газов различаются незначительно. Свойства этих моделей
газовом среды существенно отличаются при очень высоких давлениях и очень низких температурах. Классический пример уравнения
состояния реального газа - уравнение Ван-дер-Ваальса (1873).
Эффект сжимаемости при движении газов оценивают по числу
Маха газового потока (см. формулу (1.10)). В модели несжимаемо­
го газа предполагают плотность среды р = const.
В целом по диапазону скоростей полета (или чисел М) можно
выделить движение ЛА при малых (М < 0,3), дозвуковых (М < Мкр•
где Мкр - критическое число Маха, при котором на поверхности
ЛА появляются области со сверхзвуковыми скоростями потока),
трансзвуковых (М < 1,2), сверхзвуковых (1,2 < М < 5) и гиперзвуко­
вых (М > 5) скоростях. В каждом из этих диапазонов можно уста­
новить свои характерные особенности обтекания (физические мо­
дели потока) и тем самым упростить способ расчета интересую­
щих параметров (математические модели).
Как было показано выше, в большинстве случаев движение воз­
духа является нестационарным турбулентным. Однако использова­
ние осреднения параметров потока на некотором интервале време­
ни часто позволяет перейти к квазистационарной модели процесса
без потери точности в определении результирующего воздействия
потока на ЛА.
Аналогично условию нестационарности практически все зада­
чи обтекания ЛА потоком воздуха являются трехмерными (про­
странственными). Исключением можно считать обтекание осесим­
метричных ЛА под нулевым углом атаки (осесимметричное тече­
ние), течения в осесимметричных струях и т. п. Тем не менее, как
показывает практика, расчет параметров течения в отдельных об­
ластях, в которых преобладающим является движение в одном или
двух координатных направлениях, можно выполнять в одномерной
или плоской постановке. Грамотное сочетание пространственных
и более простых моделей течения позволяет существенно упрос­
тить многие аэродинамические расчеты.
При движении ЛА с большими скоростями за возникающими
скачками уплотнения температура воздуха значительно увеличива­
ется. При этом в силу молекулярной структуры воздуха в нем мо­
гут возникать процессы диссоциации и ионизации, протекать хи­
мические реакции. В условиях диссоциации и ионизации параметv
v
26
1. Физические свойства и модели воздушной среды
ры газа и коэффициенты, которые описывают его состояние и про­
исходящие процессы (энтальпия, вязкость, теплопроводность и др.),
начинают зависеть не только от температуры (см., например, фор­
мулы (1.9), (1.14), (1.16)), но и от давления. Наличие химических
реакций требует дополнительных соотношений. Однако модели те­
чения воздуха, составленные с учетом физико-химических превращении, являются очень сложными, поэтому использовать их нужно только при условии, что без такого учета невозможно получе­
ние необходимых результатов.
Напряжения, возникающие в сплошной среде вследствие ее де­
формации, сложным образом зависят от скорости деформации. В
простейшем случае слоистого течения эта зависимость может быть
представлена в виде ( 1 . 12). У читывая малую вязкость газов (для
воздуха см. формулу (1.14)), ею можно пренебречь в областях тече­
ния с малыми поперечными (относительно основного направления
движения) градиентами скорости и тем самым существенно упрос­
тить систему уравнений, описывающих движение газа в такой об­
ласти. Например, очень часто при расчете внешнего обтекания ЛА
для определения основных аэродинамических сил используют мо­
дель невязкого (идеального) воздуха.
Воздействие воздуха на обтекаемый ЛА зависит от характера
движения воздуха (ламинарное или турбулентное) как в невозму­
щенном потоке, так и в непосредственной близости от поверхно­
сти. Данный вопрос наиболее разработан для учета характера движения газов в пограничном слое около твердои поверхности, которое существенно влияет на процессы трения и теплообмена.
Оценить характер течения можно по так называемому критичес­
кому числу Рейнольдса:
�
�
Rекр =
РоVохкр
-'-
--
-
,
µ5
где индекс «О» относится к значениям параметров на границе по­
граничного слоя над данной точкой поверхности ЛА; хкр коорди­
ната точки перехода ламинарного течения в турбулентное.
В модели невесомого газового потока предполагается, что мож­
но пренебречь силой тяжести, действующей на частицы газа, по
сравнению с другими силами (давления и трения).
Представленные выше упрощения отдельных физических свойств
сплошнои среды применяют при решении аэродинамических задач,
как правило, не отдельно, а в некоторой комбинации, что и дает пол­
ную (достаточную для решения задачи) модель течения воздуха.
-
�
1.4. Силовое воздействие потока на летательный аппарат
27
Например, известно, что источниками аэродинамического со­
противления на поверхности ЛА являются силы от избыточного
давления и вязкого трения.
При расчете аэродинамических сил, возникающих вследствие
избыточного давления, используют две модели движения газовых
потоков:
1) модель движения совершенного невязкого несжимаемого невесомого и нетеплопроводного газа, на основании которои определяют только скорость и давление частиц газа (справедлива при
м < 0, 3);
2) модель движения совершенного невязкого сжимаемого невесомого и нетеплопроводного газа, на основании которои вычисляют скорость, давление, плотность и температуру частиц газа (спра­
ведлива при М > 0, 3).
При нахождении аэродинамических сил, связанных с вязким тре­
нием, в общем случае нужно использовать модель совершенного
вязкого сжимаемого невесомого и теплопроводного газа. Частные
случаи этой модели будут рассмотрены в дальнейшем.
v
v
1.4. Силовое воздействие потока
на летательныи аппарат
v
Силовое воздействие сплошной среды на движущееся в ней тело
может быть сведено к непрерывно распределенным по поверхнос­
ти тела элементарным силам от нормального оР,1 и касательного
(обусловленного вязкостью среды) oP't напряжений (рис. 1.7).
-7
�
�
�
�
�
�
�
dS
s
1
1
·-,-
1
----\
Направление
набегающего потока
Рис. 1.7. Воздействие воздушной среды на
поверхность ЛА (ЦМ - центр масс)
28
1. Физические свойства и модели воздушной среды
На элемент поверхности dS действует результирующая сила
8Р 8Рп + 8�. При этом 8Рп наряду с силой от давления, не зави­
сящей от вязкости, содержит также добавочную составляющую,
обусловленную трением.
В идеальной среде, где вязкость отсутствует, силовое воздей­
ствие на поверхность сводится только к силам от нормального дав­
ления. Давление в любой точке потока идеальной жидкости одина­
ково на всех площадках, проходящих через эту точку, т. е. оно не
зависит от ориентации этих площадок. Следовательно, давление
можно рассматривать как скалярную величину, зависящую только
от координат точки и времени.
В соответствии с принципом обращенного движения эффект си­
лового воздействия будет таким же, если рассмотреть движение,
при котором тело неподвижно, а на него набегает равномерный по­
ток со скоростью, равной скорости его движения на бесконечном
удалении от тела. Эту скорость будем называть в дальнейшем ско­
ростью на бесконечности или скоростью набегающего (невозмущенного) потока и обозначать в отличие от V (вектор скорости
центра масс тела) вектором V00• Очевидно, что Voo = -V.
Набегающий поток характеризуется давлением р00, плотностью
р и температурой Т отличающимися от соответствующих пара­
метров р, р и Т возмущенного потока вблизи поверхности обтекае­
мого тела (рис. 1.8).
Все поверхностные силы могут быть сведены к одному главному вектору аэродинамических сил R и главному вектору момента
этих сил М относительно мгновенного центра 1иасс. Точка
V,p, р, Т
·
пространства, к которой в ре­
Voo --------- -- ----- -- -·
зультате приведения оказываетр
- --оо -..----- ---ся приложенным вектор R, на- --- - -- ----::- -------____
...
-зывается центром давления
----...::--,'
...
..
.
·
"
...
..
.
..
.
..
.
---- Геометрически эта точка может
Роо
_.. ... ... ............ · · · · · · · · · · ··"><)
... ... """
_..
находиться как внутри обтека­
...... ... ......
Т.оо
-___...
емого тела, так и вне его. Глав......... ...
- ------,_._________
ныи вектор аэродинамического
_
__
________
________
____
________
...,.
____
момента чаще всего рассчиты­
Рис. 1.8. Разделение набегающего по­ вают не относительно центра
масс ЛА (так как его положе­
тока на невозму щенную и возмущен­
ние может меняться в процесную области
=
-
00,
00
-
-
�
.....+
-.
_..-..
_..
-----------
------
------
--
- -- - - - - - -- - -
-- ---
-----------
-
- - - -------------- - - - - - -- -- - - - - - - - - - --- - - - - - - - - ----- --._.. - - - --- - - - -- -- - ...,,.,_.;;- ... ...
- - - -----------
.....,... . "
""..'. - - - - - - - - . '.. -:
,
"" - -- - - -
_.. - - - - - - -
-,
......::"
\._
-
-
-:.
-- -----·
---'
-- --- ..."�
-- -_.. "
-... �...
...
--... ....:--:
-- - -- - -...
----- - --- _ _ " ......
- - _- - :.- -- ---------- - - - ---- - - _..
-..
...
...
�
.
29
1.4. Силовое воздействие потока на летательный аппарат
се полета), а относительно заранее выбранной геометрической точ­
ки, называемой центром моiиентов. В качестве такой точки часто
выбирают носок ЛА, а момент относительно мгновенного положе­
ния центра масс определяют простым пересчетом.
Общее выражение для аэродинамической силы и момента мо­
жет быть получено с привлечением предложенной акад. Л.И. Седо­
*
вым теории размерностей на основе П-теоремы .
Эксперимент�льно и теоретически установлено, что аэродина­
мическую силу R, действующую со стороны воздуха на движущее­
ся в нем тело, при установившемся процессе определяют в основ­
ном следующие независимые между собой параметры:
абсолютный размер d ЛА, м;
скорость полета V, м/с;
плотность среды р, в которой движется ЛА, кг/м3 ;
вязкость среды µ, Па· с;
сжимаемость среды, характеризуемая скоростью а распространения слабых возмущений, м/с;
углы атаки и скольжения Р;
форма ЛА (безразмерный параметр).
Функциональная зависимость для модуля аэродинамической
силы будет выглядеть следующим образом:
а
R = f(d, V, р, µ, а, а, р, форма ЛА).
( 1.19)
Определим функцию f( . ) при условии, что она не зависит от
выбора системы единиц измерения. Пусть среди п размерных ве­
личин первые k величин (k :5 п) имеют независимые размерности.
Это означает, что формула, выражающая размерность одной из ве­
личин, не может быть представлена как комбинация в виде степен­
ного одночлена из формул, определяющих размерности для других
величин.
Известно, что среди механических величин есть не более трех
с независимыми размерностями: размер d и модуль скорости дви­
жения V ЛА, плотность среды р. Такой выбор объясняется тем, что
данные параметры сохраняются в уравнениях, описывающих дви­
жение ЛА в сплошной среде (воздухе) при любых возможных уп­
рощениях (моделях) этого процесса, и имеют при этом конечные
. .
* Вопросы, связанные с теорией размерностей, изложены
в
соот­
ветствии с основными положениями и обозначениями, принятыми акад.
Л.И. Седовым (Методы подобия и размерностей. М.: Наука,
1987).
1. Физические свойства и модели воздушной среды
30
ненулевые значения. Остальные параметры могут обращаться в нуль
или стремиться к бесконечности в зависимости от принимаемой
модели. Например, при движении ЛА в идеальной среде µ � О,
при движении в несжимаемой среде а � оо
Таким образом, в данном случае имеем пять размерных пара­
метров (п = 5), из которых три - с независимыми единицами изме­
рения (k = 3). Размерности остальных физических величин, входя­
щих в уравнение (1.19), выражаются через размерности d, V и р:
.
[R] = [р ]т1 [V]"'2 [d]1113 ;
[µ] = [р ]Р1 [V]P2 [d]РЗ ;
[а] = [p]q1 [V]q2[d]qз ,
где т 1 2 3, р1 '2'3, q1 '2'3
некоторые постоянные, которые будут определены ниже.
Воспользуемся изменением масштаба трех базовых величин
для уменьшения числа определяющих зависимость (1.19) пара­
метров. Введем масштабные коэффициенты р' = а.1 р, V' = а.2 V и
d' = a.3d. В новой системе единиц измерения соотношение ( 1.19)
примет вид
,
,
-
R' = а.�1 а.;"2 а.;пз R = а.�1 а.;'1 а.;пз f (d, V, р µ,а а., р, форма ЛА) =
= f (а.1р, а.2 V, а.зd' a.f1 а.�2 а.fз µ, a.i1 aiz а.jз а, а., р, форма ЛА). ( 1.20)
,
,
Таким образом, выражение для искомой аэродинамической силы
в новой системе измерения будет следующим:
R = а�т1 а2"'2�'113 х
xf ( а.1р, а.2 V, a.3d, a.f1 a.f2 а.fзµ, а.{1 a.iz а.jз а, а., р, форма ЛА). (1.21)
Установим такую новую систему единиц измерения, чтобы три
аргумента функции f имели фиксированные постоянные значения,
равные единице, т. е.
Тогда уравнение (1.21) можно переписать в виде
R = р'п1
'2d3niз f (1, 1, 1,
1 V2"
µ
,
а
P1 vP2 d Pз pq1v qz d qз
1 2 3
Р1 2 3
, а.,,..,,
R форма ЛА),
1.5. Системы координат
31
или
R
( 1 .22)
Нетрудно убедиться, что для того, чтобы комплексы в левой и
правой частях уравнения (1.22) бьmи безразмерными, показатели
степени должны иметь значения
т1 = 1; т2 = 2; тз = 2; р1 = р2 =р3 = 1; q1 =О; q2 = 1; q3 =О.
Уравнение (1.22) в этом случае примет вид
R = pV2 d2 f(1, 1, 1,
µ
,
а
-, а,�. форма ЛА).
pVd V
2
/2
pV
=
q00
Введем обозначения:
- скоростной напор воздуш­
2/4 - некоторая характерная площадь ЛА;
ного потока; Sxa
1td
p
= р Vd/µ - число Рейнольдса. С учетом этих и ранее приня­
тых (для числа Маха) обозначений структурную формулу для аэродинамическои силы можно записать так:
=
Red
�
R = qSxap cR (М, Re, а, �. форма ЛА),
( 1.23)
сR - безразмерная сила, называемая коэффициентом аэродинамическои силы.
где
-
Аналогичным образом получаем безразмерное соотношение для
вектора момента аэродинамической силы:
= qooSxapLxap m(M, Re, а,�. форма ЛА).
(1.24)
По сравнению с выражением (1.23) в формуле (1.24) появляет­
ся еще один параметр - характерный размер Lxa (поскольку в ана­
p
логичной формуле (1.22) показатель степени т3 = 3). Безразмер­
ный момент т называется коэффициентом аэродинамического мо­
М
мента.
1.5. Системы координат
Наиболее часто в аэродинамике используют три системы коор­
динат: связанную, скоростную и поточную, причем они являются
правыми и ортогональными.
32
1. Физические свойства и модели воздушной среды
Связанная система координат Oxyz фиксирована относительно
ЛА и движется вместе с ним (рис. 1.9, а). Ее начало обычно поме­
щают в центре масс ЛА, а оси Ох, Оу и Oz называют соответствен­
но продольной, нормальной и поперечной. Ось Ох направлена вдоль
главной продольной оси инерции, Оу расположена в вертикальной
плоскости симметрии, а Oz направлена так, что образует правую
систему координат. Положительное направление оси Ох от кормо­
вой части к носку ЛА соответствует случаю его прямого (необра­
щенного) движения. В связанной системе координат удобно обра-
у
--
--
�
-- -
--
�
-
-
--
---
v
а
у
Уа
Уа
а.
�
Voo
Хцд
�
�
о (ЦД) х
Ха
х
б
Рис. 1.9. Системы координат, применяемые в аэродинамике:
а
-
связанная и скоростная (прямое движение); б связанная и по­
точная (обращенное движение); lЩ центр давления
-
-
1.5. Системы координат
33
батывать результаты экспериментальных исследований и проводить
теоретические расчеты характеристик ЛА (особенно при его вра­
щательном движении), поскольку уравнения поверхности ЛА и основных законов аэродинамики записываются в этои системе наи�
более просто.
В
скоростной системе координат ось Оха (см. рис. 1.9,
а) на­
правлена по вектору скорости движения центра масс ЛА, ось Оуа
расположена в плоскости симметрии и направлена вверх (положи­
тельное направление), а ось Oza (боковая ось) - так, чтобы систе­
ма координат была правой.
В
обращенном движении (рис. 1.9, б)
ось Оха совпадает с направлением скорости потока, а ось Oza рас­
положена так, чтобы сохранялась правая система координат.
Проекции аэродинамической силы
-
R
на оси Оха, Оуа, Oza ско-
ростной и поточной систем координат называются соответственно
силой лобового сопротивления Ха, подъемной Уа и боковой Za си­
лами. Соответствующие проекции того же вектора на оси Ох, Оу,
Oz связанной системы координат называются продольной (осевой)
-
Х, норма льной У и поперечной Z силами. Проекции вектора М во
всех системах координат называются одинаково и отличаются ин­
дексами: Мха и Мх
-
момент крена, Муа и Му
-
момент рыскания,
Mza и Mz - момент тангажа.
1-fодуль и направление действия сил и моментов при данной
скорости движения зависят
-
от
ориентации тела относительно век-
тора скорости V полета. Эта ориентация определяется углом атаки
а-
-
углом между осью Ох и проекцией вектора V на плоскость
-
хОу - и углом скольжения
� - углом между вектором
V и плоско-
стью хОу. Угол атаки считается положительным, если проекция век-
тора скорости V на нормальную ось отрицательна. Угол скольже-
ния считается положительным, если проекция век тора V на поперечную ось положительна.
При исследовании аэродинамики тел вращения положение
вертикальной плоскости хОу связанной системы координат целесо­
образно выбирать таким образом, чтобы она являлась плоскостью
симметрии самого тела, а при
� = О - и плоскостью симметрии об­
текающего тело потока. Тогда в плоскости хОу будут располагаться
-
и продольная ось тела Ох, и вектор скорости V00 (см. рис. 1.9, б).
Любая другая плоскость, проходящая через продольную ось и на­
зываемая меридиональной, образует с вертикальной плоскостью
некоторой угол "(, который называется меридиональным.
В
соот-
34
1. Физические свойства и модели воздушной среды
ветствии с этим вертикальная плоскость называется нулевой
меридиональной плоскостью. Поскольку вектор V00 расположен в
этои плоскости, ее определяют так же, как плоскость угла атаки.
При таком выборе вертикальной плоскости в ней расположен вектор R, а вектор М ориентирован по нормали к ней. Следовательно, движение тела в поточной системе координат будет определяться
силой лобового сопротивления Ха, подъемной силой Уа и моментом
тангажа Мz.
Зная углы атаки а и скольжения � при прямом движении ЛА,
можно в соответствии с правилами аналитической геометрии переити от составляющих силы и момента в однои системе координат к соответствующим составляющим в другои системе координат. В частности, составляющие аэродинамической силы и
момента в связанной системе с силой лобового сопротивления и
моментом крена в скоростнои системе координат связаны соотношениями
-
v
-
-
v
v
v
v
(�a ) + У cos (;a ) + cos (z;a )
Мха = Мх соs (�а ) +м cos ( ;a ) +мz cos (�a ) ·
Z
Ха = Х cos
;
(1 .25)
( 1 .26)
у
В соответствии с приведенными в табл. 1.3 соотношениями фор­
мулы ( 1 .25) и (1 .26) принимают следующий вид:
Ха = Х cosacos�- Ysinacos � + Z sin�;
Мха = Мх cosacos � - Mу sin acos� + Мz sin�.
Аналогично можно пересчитать силы и моменты из скоростной
в связанную систему координат.
Таблица 1.3. Направляющие косинусы, используемые для пересчета
сил и моментов из одной системы координат в другую
Оси скоростной системы
Оси связанной
системы
Ох
Оу
Oz
Ох0
cosa.cos�
-sina.cos�
sin�
Оуа
s1na.
cosa.
о
Oz0
-cosa.sin�
sina.sin�
cos�
1.6. Определение аэродинал1ическuх сил и моментов
35
1.6. Определение аэродинамических сил и моментов
по известному распределению даВJiения
и касательного напряжения
В аэродинамических расчетах принято оперировать не абсолют­
ным (барометрическим) нормальным давлением на поверхность ЛА,
а избыточным (манометрическим) давлением. При внешнем обте­
кании ЛА используют статическое давление невозмущенного набе­
гающего потока, что позволяет, в частности, более наглядно оцени­
вать силы и моменты, действующие на отдельные элементы ЛА.
Пусть при некоторых скорости движения центра масс, углах
атаки и скольжения, а также заданных параметрах невозмущен­
ной атмосферы (р00, р00 и Т00) известно распределение по поверхно­
сти движущегося в атмосфере тела давления р и касательного
напряжения 't.
Ориентацию элементарной площадки поверхности ЛА определяет вектор нормали п , которым легко вычислить при записи уравнения поверхности в связанной системе координат (рис. 1.10, а).
Направление возмущенного внешнего потока над рассматриваемым элементом поверхности задает касательныи к площадке вектор t. Его направление можно получить на основании результа­
тов экспериментального или теоретического исследования обте­
кания ЛА.
Таким образом, на выделенную элементарную площадку dS по­
верхности тела действуют нормальная сила от избыточного давле­
ния (p -p00)dS и касательная к площадке сила 'tdS. Следует отме­
тить, что элементарная сила от положительного избыточного дав­
ления совпадает по направлению с вектором внутренней нормали
к поверхности, следовательно, ориентация силы относительно осеи
связанной системы координат полностью определяется направле­
нием этого вектора и не требует дополнительного уточнения. То же
можно сказать и о силе вязкого трения (ее направление задается
вектором t).
Сумма проекций элементарных сил на продольную ось Ох
-
v
v
v
л
л
л
dX =[(p - p00 ) cos(nx) + 'tcos(tx)]dS,
л
где cos (пх), cos (tx)
соответственно косинусы углов между вектором внутреннем нормали п и вектором направления потока t и
осью Ох. Две другие проекции записываются аналогично.
-
v
-
-
36
1. Физические свойства и модели воздушной среды
у
(р Роо) dS 'it
'tdS· t
-
·
-)
1
1
cts-=i
х
..L.
1
1
-)
v
а
у
dY>O
dS
о
>
..,...-i-c
.,. � ct z
dX> O_..,.....,
о
о
iy>
:
>
х
-)
z > O ,/
о
v
.;,__
,/а. > �
"
z
•
______________________
/
х
�> О
---------
О(ЦМ)
б
Рис. 1.10. Расчет аэродинамических сил
(а)
и моментов (6) в связанной системе координат
Полную продольную силу Х, действующую со стороны потока
на ЛА, находим интегрированием элементарной силы по поверх­
ности ЛА:
Х=
л
л
JJ[(р- Poo)cos(nx)+ 'tcos (tx)]dS.
(1.27)
s
Введя в соотношение (1.27) обозначения для коэффициента дав­
ления и местного коэффициента трения соответственно
а также некоторую характерную площадь Sxap' получим для продольнои силы следующее выражение:
v
Х
л
л
= qooSxap JJ[р COS (пх) + Сfx COS (tx)]dS,
(1.28)
s
где q00 = p00V!, /2
-
скоростной напор невозмущенного набегаю-
1. 6. Определение аэродинамических сил и моментов
37
щего потока; dS dSjSxap. Аналогичные выражения для нормаль­
ной У и поперечной Z сил имеют вид
==
У == q=Sxap
л
л
л
л
JJ[p cos(ny) + сfx cos(ty)]dS,
( 1 .29)
s
Z == q= Sxap JJ [pcos (nz) + сfx cos(tz)]dS.
( 1.30)
s
Получим теперь выражения для проекций главного вектора
моментов аэродинамических сил. Пусть точка приведения момен­
тов совпадает с центром масс ЛА и началом связанной системы
координат (рис. 1.1 О, б). Вектор Vxoy есть проекция вектора скорости центра масс ЛА на плоскость хОу связанной системы коор­
динат.
Элементарный момент d.Мz является результатом действия сил
dX и dY. Положительная сила dX на положительном плече у создает
элементарный момент, уменьшающий угол атаки (отрицательный
момент), а положительная сила dY на положительном плече х
элементарный момент, увеличивающий угол атаки (положительный
момент). Следовательно, для рассматриваемых условий и выбран­
ной системы координат формула для элементарного момента тан­
гажа будет выглядеть так:
-
-
dМz = dY· x-dX
·
у.
Рассуждая аналогичным образом, для элементарных моментов
рыскания и крена получаем
dМу dX z - dZ · х·'
dМ dZ · у - dY · z.
==
х
·
==
С учетом введенных ранее обозначений интегральное выраже­
ние для момента тангажа принимает вид
Мz
л
==
л
q=Sxap4ap JJ { [pcos (ny) + сfx cos(ty)]x s
л
л
- (pcos (nx) + сfx cos(tx)]y}dS,
( 1.31)
где Lxap некоторый характерный размер ЛА, по которому рассчи­
тывают моменты; х == х/ 4ар ; У == у/ 4ар ·
-
1. Физические свойства и модели воздушной среды
38
Аналогичные соотношения можно записать и для двух других
проекции главного вектора моментов.
Сравнивая выражения (1 .28)-(1.30) и (1.31) с ранее получен­
ными общими функциональными зависимостями для аэродинами­
ческих сил и моментов (1.23) и (1 .24), видим, что безразмерные
интегралы в их правой части представляют собой аэродинамичес­
кие коэффициенты соответствующих сил и моментов:
Х = сxqooSxap ; у = cyqooSxap ; z czqooSxap ,
где сХ' су, Cz коэффициенты соответственно продольной, нормальнои и поперечнои сил.
Таким образом, при известном распределении по поверхности
ЛА нормального давления и касательного напряжения коэффици­
ент продольной силы может быть вычислен как интеграл по без­
размерной поверхности коэффициента давления и местного коэф­
фициента трения:
v
=
-
v
v
сх
л
л
= JJ[p cos(nx) + c1x cos (tx)]dS.
s
Для коэффициента момента тангажа получаем
л
mz
л
л
л
= JJ { [рсоs(пу) + сfx cos (ty)]x -[pcos(nx) + сfx cos(tx)]y }dS.
s
Коэффициенты других проекций аэродинамических сил и мо­
ментов определяются аналогично.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СООТНОШЕНИЯ АЭРОДИНАМИКИ
для РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ТЕЧЕн�и;-;..й
Основной задачей аэродинамических исследований яв­
ляется определение силового взаимодействия и теп­
лообмена между газообразной (жидкой) средой и об­
текаемым телом. Решение этой задачи связано с изу­
чением движения среды около тела, в результате
которого в каждой точке потока можно найти па­
раметры, определяющие это движение (скорость,
давление, плотность, температура и др.). Для расче­
та параметров газовых течений необходимо знание
основных уравнении аэромеханики.
В гл,аве приведены уравнения аэромеханики в наиболее
общей интегральной форл1.е, а также для бесконечно
малого объема (дифференциальный вид записи); рас­
СJ11.Отрены их частные случаи. Представлены получен­
ные Рейнольдсом уравнения движения для турбулент­
ного течения газа и наиболее часто используе;wые
модели турбулентности. Приведены критерии подо­
бия, применяемы е при моделировании процессов обте­
кания ЛА.
�
2.1. Методы исследования движения сплошной среды
При определенных предпосылках изучение движения газообраз­
ной (жидкой) среды можно свести к определению поля скоростей,
представляющего собой совокупность скоростей частиц газа, т. е.
к решению кинематической задачи. Затем по известному распреде­
лению скоростей можно вычислить остальные параметры, а также
результирующие силы, моменты и тепловые потоки.
40
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Существует два метода кинематического исследования газооб­
разной среды - Лагранжа и Эйлера.
Метод Лагранжа рассматривает движение индивидуальных га­
зообразных (жидких) частиц и определяет для каждой из них тра­
екторию, т. е. координаты частиц как функции времени. Но посколь­
ку частиц бесчисленное множество, для задания траектории необ­
ходимо определенным образом охарактеризовать ту частицу, к
которой эта траектория относится. При этом в качестве характерис­
тики частицы выбирают ее координаты а, Ь, с в некоторый момент
времени t = t0. Это означает, что из бесчисленной совокупности
траекторий данной частице будет принадлежать та, которая прохо­
дит через точку с координатами а, Ь, с. В соответствии с этим урав­
нения траектории в параметрическом виде будут следующими:
х= f1 (a,b,c,t);
у = !2 (a,b,c,t);
z = f3 (a,b,c,t),
(2.1)
где а, Ь, с, t - параметры Лангража. В каждой точке траектории со­
ставляющие вектора скорости равны первым: Vx = дх/дt, VY = ду /дt,
Vz = дz/дt, а вектора ускорения - вторым частным производным:
д2х/дt2, д2у/дt2, д2z/дt2.
В аэродинамических исследованиях чаще используют метод
Эйлера, в котором, в отличие от метода Лагранжа, фиксируют не
частицу жидкости, а точку пространства с координатами х, у, z и
исследуют изменение скорости в этой точке с течением времени.
Таким образом, метод Эйлера заключается в выражении скорос­
тей частиц в функции времени t и координат х, у, z точек про­
странства, т. е. в задании поля скоростей, определяемых вектором
V = Vxl + Vy J + Vzk, где l, J, k - единичные векторы по осям ко­
ординат, а Vx = dx/dt, VY =dy/dt, Vz = dz/dt - составляющие век­
тора скорости, записываемые в виде
vx = ft (х, у, z, t);
VY = f2 (x,y, z,t);
Vz
= f3 (x,y,z,t).
Здесь х, у, z, t - переменные Эйлера.
2.1. Методы
исследования движения сплошной среды
41
Решив систему дифференциальных уравнений
dx
dt = f1 (х, у, z,t );
ddty = ! (х, у, z,t);
2
(2.2)
dz =f3 (x,y,z,t),
dt
можно получить уравнения семеиства траектории в параметрическом виде, совпадающие с уравнениями (2.1 ) в которых а, Ь, с
постоянные интегрирования.
Таким образом, от описания кинематики по методу Эйлера мож­
но перейти к представлению течения по методу Лагранжа. Обрат­
ная задача, связанная с переходом от метода Лангранжа к методу
Эйлера, сводится к дифференцированию уравнений (2.1) по време­
ни с последующим исключением постоянных а, Ь, с.
Вычислив полную производную от вектора скорости по време­
ни, получим вектор ускорения
v
v
,
ct\7 -- д v +
-
dt
дt
д v + v дv + v д v
х
у ду z дz
дх
v
-
'
проекции которого на оси координат имеют вид
d Vx
dt
dVY
dt
'--
d Vz
dt
=
дVх + дVх + дVх + дVх .
V
Vу
Vz
дt х дх
ду
дz
'
=
=
дV>, + дVУ + дVу + дVУ
;
V
Vу
Vz
х дх
дz
ду
дt
дVz + дVz + дVz + дVz .
дt Vx д Vу ду Vz дz
х
(2.3)
Соотношения (2.3) для ускорений соответствуют течению, характеризующемуся изменением скорости в даннои точке во времени, т. е. дV/д * О. Такое течение жидкости называется неустано­
вившимся (нестационарным). Поток жидкости, в котором скорость
и другие параметры в данной точке не зависят от времени
называется установившимся (стационарным).
(дV/д
В данный момент времени в потоке можно провести линию,
обладающую таким свойством, что каждая находящаяся на ней часv
t
t = О),
42
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
тица жидкости имеет скорость, совпадающую по направлению с
касательном к этои линии, которую называют линиеи тока .
Чтобы получить ее, возьмем в потоке в момент времени t = t0
некоторую точку-А 1 (рис. 2.1, а) и выразим скорость частицы в этой
точке вектором V1. Затем выберем
точку А2, соседнюю с точкой А 1
и находящуюся на векторе V1. Пусть в момент t = t0 вектор скороети
- в этой точке равен V2 . Рассмотрим далее точку А 3 на векторе
V2, скорость
в которой определяется в тот же момент времени вектором V3, и т. д. В результате такого построения имеем ломаную
линию, состоящую из отрезков векторов скорости. Уменьшая до нуля
эти отрезки и одновременно увеличивая их число до бесконечности,
получаем в пределе линию, которая является огибающей для всего
семейства векторов скорости. Это и будет линия тока. Очевидно, что
каждому моменту времени будет соответствовать своя линия тока.
v
v
v
-
-
/,
1
r
,
б
а
Рис. 2.1. Построение линии тока (а) и трубки тока (6):
1 линии тока; 2 контур
-
-
Для записи уравнения линии тока воспользуемся свойством,
в соответствии с которым в каждои точке этои линии должно
иметь
направлений векторов скорости V и
- -место- совпадение
dl = d.xi + dy j + dzk, где d.x, dy, dz проекции элемента
- -дуги d/
линии тока. Следовательно, векторное произведение d/ х V О т. е.
v
v
-
-
=
.
l
d.x
.
,
-
k dy dz i(Vz dy - Vydz)- j(Vzd.x -Vxdz) + k(Vy d.x - Vxdy) О
}
vY
=
=
.
vz
Поскольку Vzdy - Vydz О Vzd.x -Vxdz = О, Vy d.x -VxdY = О, полу­
чаем
=
,
(2.4)
2.2. Движение частиц жидкости и газа
43
Таким образом, решение задачи об определении линии тока сво­
дится к интегрированию дифференциальных уравнений (2.4). Каж­
дый интеграл
у, z, С ) = О уравнений (2.4)
у, z, С1) = О и
представляет собой семейство поверхностей, зависящих от одного
параметра (С1 или С2), а пересечение этих поверхностей дает семеиство линии тока.
В отличие от линии тока, которую определяют в фиксированныи момент времени, понятие о траектории связано с некоторым
промежутком времени, в течение которого частица проходит опре­
деленный путь. Из этого следует, что линия тока и траектория, являющаяся следом движения однои и тои же частицы, совпадают в
установившемся течении. Если движение жидкости нестационар­
ное, то линия тока и траектория не совпадают.
В аэродинамике используют понятия о трубке тока и струйке
жидкости или газа. Если через точки элементарного замкнутого кон­
тура (рис. 2.1, б) провести линии тока, то они образуют поверх­
ность, которая называется поверхностью трубки тока; часть жидко­
сти (газа), ограниченная этой поверхностью, и будет трубкой тока.
Если через точки элементарного замкнутого контура провести тра­
ектории, то образуется поверхность, которая ограничивает часть
жидкости (газа), называемую струйкой. Трубка тока и струйка газа,
проведенные через точки одного и того же замкнутого контура в
установившемся потоке, совпадают.
F1(x,
v
F2(x,
2
v
v
v
v
2.2. Движение частиц жидкости и газа
В отличие от твердого тела, движение которого определяется
его поступательным перемещением вместе с центром масс и вращением вокруг мгновенном оси, проходящем через этот центр, движение жидкой (газообразной) частицы характеризуется также на­
личием деформационного движения, изменяющего ее форму.
Рассмотрим частицу в виде элементарного параллелепипеда со
dz и проанализируем движение грани ABCD
сторонами
(рис. 2.2, а). Поскольку координаты ее вершин различны, то скоро­
сти, определяемые в некоторый момент времени t t0, также будут
различными:
v
v
dx, dy,
=
VxA =Vx(x,y), VyA =Vy(x,y) ;
Vхв =Vx(x+dx,y), Vув =Vy(x + dx,y);
44
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Vxo =Vx(x, y + dy), Vyo =Vy)(x, y + dy);
Vxc = Vx(x+dx, y + dy), Vyc = Vy ( x + dx, y + dy),
где х, у координаты точки А.
Разложим выражения для скоростей в ряды Тейлора, оставляя в
них только величины первого порядка малости, т. е. члены, содер­
жащие dx, dy, dz в степени не выше первой. Принимая, что в точ­
ке А скорости vxA = vx и VyA = Vy, получаем
-
Vхв
= Vx +
а: dx +
дV
"
"
Vв
у
= Vy +
дVУ
дх
dx + ... ;
дV
у
Vхо = Vх +
dy +"., Vyo = vY +
dy + ".;
ду
ду
д vх
Из этих выражений следует, что, например, в точке В составля­
ющая скорости по оси Ох отличается от ее значения в точке А на
величину (дVх/дх)dх. Это означает, что точка В, участвуя в посту­
пательном перемещении со скоростью Vx в направлении оси Ох со­
вместно с точкой А, одновременно движется относительно нее в
том же направлении со скоростью (дVх/дх)dх. В результате проис­
ходит линейная деформация отрезка АВ. Скорость этой деформа­
ции 0х = дVx /дх . В направлении оси Оу точка В перемещается со
скоростью VY вместе с точкой А и одновременно движется относи­
тельно нее с линейной скоростью (дVУ /дх)х, определяемой угло­
вой скоростью отрезка АВ.
Рассматривая точку D, можно по аналогии с точкой В опреде­
лить, что ее относительная линейная скорость в направлении оси Оу
равна (дVУ /ду)dу, а следовательно, скорость линейной деформа­
ции отрезка AD будет 0У = дVУ /ду . Угловая скорость отрезка отно­
сительно точки А равна -дvх /ду (знак минус учитывает, что точка D
поворачивается относительно точки А в сторону, противоположную
движению точки В). В результате вращения отрезков AD и АВ про­
исходит скашивание угла DAB (рис. 2.2, б), т. е. возникает угловая
деформация частицы. Одновременно может произойти поворот бис-
2.2. Движение частиц жидкости и газа
у
45
у
VyD
дVх!ду
D
'
�D
Vyc
1
D
dy
VyA
А(х,у)
с
Vxv
dx
Vxc
dy
Vув
в
VxA
о
: da1
1
1
1
1
--
А
Vхв
-
dx
в
о
х
х
б
а
Рис. 2.2. Схема движения (а) и угловая деформация (б) жидкой частицы
сектрисы АМ угла DAB, в результате чего возникнет некоторый угол
между ним и биссектрисой AN скошенного угла D'АВ'.Таким
образом, частица будет дополнительно вращаться.
Угол поворота биссектрисы (см. рис. 2.2, б)
d�
d� y 't
где y=0,5[1t/2-(da 2 +da1)]; 't 1t/4 -da 2 ; (дVУ /дx)dt (дVxfдy)dt;
da1 = da2 .
Следовательно,
дVУ
дV
d�=0,5(da2 -da1)=0,5 дх дух dt.
Отсюда можно найти угловую скорость d�/dt перемещения
=
-
,
=
=
жидкой (газообразной) частицы относительно оси Oz. Обозначив
ее roz, имеем
дV
дV
d�
У
z = dt =0' 5 дх дух
(1)
(2.5)
Если рассмотреть движение ребра AD относительно отрезка АВ,
то его угловая скорость
Величина
д
V
д
V
У
х
2еz =
+
дх ду
дVу + дVх
'-дх- ду
называется полускоростью скашивания прямого угла DAB.
(2.6)
46
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Распространим все наши рассуждения на пространственное те­
чение и рассмотрим точку С, принадлежащую частице в виде эле­
ментарного параллелепипеда с длинами ребер d.x, dy, dz. Скорость в
этой точке в момент времени t = t0 является функцией координат
х + dx, у + dy, z + dz. Представив компоненты скорости в виде ряда
Тейлора, в котором сохранены члены только первого порядка мало­
сти, получим
дV
дV
дV
х dz·
х
dx
х
=
V
dy
+
+
+
х
С
Vх
Vс
у
= Vу +
дх
ду
дz
д VУ
дVУ
д VУ
дх
dx +
ду
dy +
дz
•
dz;
дVz
дVz
- V + д Vz dx +
VC dу +
dz.
z
z дх
дz
ду
Введем обозначения, аналогичные принятым при анализе дви­
жения плоской частицы. Пусть 02 = дV2/дz определяет скорость
линейной деформации пространственной частицы в направлении
оси Oz. Составляющие угловой скорости частицы по осям х и у
соответственно
roх = 0, 5
дVz - дVу
ду
дz
'
•
(2.7)
Компоненты угловой скорости частицы rox, roy, roz считаются по­
ложительными при вращении соответственно от оси Ох к 9У, от оси
9У к Oz и от оси Oz к Ох. В связи с этим знаки производных дVУ /дх,
дV2/ду , дVх/дz будут совпадать, а производных дVх/ду, дVу /дz,
дV2 /дх будут противоположны знакам угловой скорости.
По аналогии с выражением (2.6) запишем полускорости скаши­
вания двух прямых углов параллелепипеда соответственно в плос­
костях yOz и xOz:
дVZ + дVу
�
-
ду
дz
.
,
дVх
-�
дV
z ,
+ -�
дz
дх
которые равны.
Путем несложных преобразований можно убедиться в том, что
дV"'-z = Е
-
ду
+ 00 .
Х Х'
дV;.;..х = Е 00 .'
+ У
у
дz
_
дv
У =Е
;....
_
дх
Z
+ ООZ '·
2.2. Движение
47
частиц жидкости и газа
учетом этих выражений составляющие скорости в точке С
можно записать в следующем виде:
С
Vxc = vx + exd.x+Eydz +Ezdy + roydz-rozdy;
Vyc = Vy + 0 ydy + Ezd.x + Еxdz + rozd.x -roxdz;
Vzc =Vz +0zdz+Exdy+Eyd.x +roxdy -royd.x.
Таким образом, движение точки С можно рассматривать как ре­
зультат сложения трех видов движения: поступательного по траеквращения оттории вместе с точкой А со скоростью
носительно нее с угловои скоростью
V(Vx,Vy,Vz),
-
v
&
= roxi + roy j + rozk
-
-
-
и деформационного движения. Этот вывод составляет содержание
теоремы Гельмгольца. Деформационное движение, в свою очередь,
складывается из линейной деформации, характеризуемой коэффи­
циентами
и угловой деформации, определяемой величи­
нами Е ,Е
у
х
Линейная деформация ребер элемента обусловливает изменение
=
которое определяется разностью
его объема
ex,ey,ez,
,Ez .
W d.xdydz,
dW = dx1 dy1dz1 -d.xdydz,
длины ребер элемента в момент времени
где d.x1 , dy1 , ciz1
Подставив соответствующие им выражения, находим
-
t + dt.
dW = (d.x + 0xd.xdt)(dy + 0ydydt)(dz + 0zdzdt)-d.xdydz,
или, пренебрегая членами выше четвертого порядка малости,
Отсюда можно определить скорость изменения относительного
v деформации,
объема, или скорость удельнои объемнои
v
dW
1
0 = w dt ,
-
равную в каждой точке потока сумме скоростей линейной деформации по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям:
0=0x +ey +ez .
48
2. Основные уравнения и соотношения аэродинG.Jwики
Величина 0 называется также дивергенцией (расхождением) вектора скорости в даннои точке:
v
-
divV = 0 = 0х + еу +ez.
Таким образом, движение жидкой частицы носит сложный ха­
рактер и является результатом сложения трех видов движения: по­
ступательного, вращательного и деформационного.
Поток, в котором частицы испытывают вращение, называется
вихревым, а составляющие угловои скорости вращения c.ox,C.Oy ,C.Oz компонентами вихря. Для характеристики
вращения используют попредставляющем собой вектор
=
нятие о роторе скорости
v
rotV 2ro,
rotV = (rotV)xi + (rotV)y j + (rotV)zk,
-
-
-
-
-
-
-
составляющие которого равны удвоенным соответствующим ком­
понентам вихря:
-
(rotV)x
2с.ох;
-
-
(rotV)y 2roy; (rotV)z
2c.oz .
Во м.ногих случаях при исследовании движения жидкости в связи
с пренебрежимо малыми угловыми скоростями частиц их враще­
ние можно не учитывать. Такое движение называется безвихревым.
Для безвихревоrо потока & = О (или
V = ) и, следовательно, рав­
ны нулю компоненты вихря c.ox ,c.oy ,c.oz . В соответствии с этим, со­
гласно формулам (2.5) и (2.7), имеем
=
=
rot
=
О
дV дVУ . дV дVУ
ду дх ' ду дz '
""'
х.
_
_
z
_
.
Эти равенства являются необходимым и достаточным условием
того, чтобы дифференциальный трехчлен �"dx + Vydy + Vzdz был
полным дифференциалом некоторой функции, характеризующей
поток жидкости так же, как компоненты скоростей Vx, VY, Vz. Обо­
значая эту функцию в виде
у, z, t) и рассматривая время t в
качестве параметра, получаем
<р(х,
d<p = Vxdx
+ Vydy + Vzdz.
Однако этот же дифференциал
д<р
д<р
д
<р
d<p=-dx+-dy +-dz.
дх ду дz
Сравнивая два последних выражения, находим
49
2.2. Движение частиц жидкости и газа
vх = д<р .
дх
'
vу =
д<р
ду
.'
v
z
д<р
=
дz
(2.8)
.
Функция q> называется потенциалом скоростей или потенци­
альной функцией, а безвихревой поток, характеризуемый этой функ­
цией - потенциальным. Из соотношений (2.8) следует, что част­
ная производная от потенциала q> по координате равна проекции
скорости на соответствующую координатную ось. Это свойство по­
тенциальной функции сохраняется и для произвольного направле­
ния. В частности, тангенциальная составляющая скорости в какой­
либо точке на произвольной кривой l будет равна частной произ­
водной "f = д<р/дl, а нормальная составляющая Vn = д<р/дп, где п нормаль к дуге l в рассматриваемой точке. Для полярных координат
r и 0 проекции вектора скорости V некоторой точки на направление
полярного радиус-вектора и на перпендикулярное этому радиус-век­
тору направление будут соответственно равны частным производным:
д<р
V. =
и V
' дr
t
д<р
д<р
= = .!_
дl r де
Следовательно, скорость потока в каком-либо направлении оп­
ределяется быстротой изменения потенциала q> в том же направле­
нии. Быстрота изменения потенциала в направлении l равна част­
ной производной д<р/дl по этому направлению. Величину д<р/дl
можно рассматривать как проекцию на направление l некоторого
вектора, называемого градиентом функции q> и совпадающего с на­
правлением наиболее быстрого возрастания
- этой функции. Очевидно, этот вектор равен вектору скорости V. Обозначив градиент функции в виде grad q>, можем написать
-
V = gradq>,
или
-
-
-
+
V = grad q> = (grad <p)xi + (grad q>)y j (gradq>)z
-
k,
где коэффициенты в скобках представляют собой проекции векто­
ра градиента скорости на оси координат:
д<р
(gradq>)x = Vx = ,
дх
ет
Использование потенциальной функции существенно упроща­
исследования движения жидкости, поскольку вместо определе-
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
50
ния трех неизвестных Vx, VY, Vz достаточно найти одну неизвестную
функцию <р и тем самым полностью рассчитать поле скоростей.
Изучение безвихревого течения газа упрощается, если свести
его к отысканию одной неизвестной потенциальной функции, пол­
ностью определяющей это течение. Покажем, что для некоторых
видов вихревого потока существует функция, также определяющая
его кинематические характеристики.
Рассмотрим двухмерное (плоское) установившееся вихревое дви­
жение газа. Введем понятие некоторой функции 'JI координат х и у,
называемой функцией тока, которая связана с проекциями скороетеи следующими зависимостями:
v
д'Jf = - V .
p У'
дх
(2.9)
Подставляя (2.9) в уравнение (2.4), записанное в виде
р Vy dx-p Vxdy =О,
(2.10)
получаем выражение
д\jl dx + д\jl d о
у= '
дх
ду
откуда следует, что выражение (2.1 О) представляет собой диффе­
ренциал функции 'JI и, следовательно,
d'Jf =О.
(2.11)
Интегрируя (2.11 ), находим уравнение линий тока в виде
'JI(х, у) = const.
Функция тока 'V здесь полностью определяет скорости вихре­
вого потока в соответствии с соотношениями
(2.12)
Семейство линий тока потенциального потока можно также ха­
рактеризовать функцией 'V = const, которая связана с потенциалом
скоростей соотношениями
1 д\jl
д\jl д<р - 1 д<р
-- - '·
р дх
дх р ду ду
2.2. Движение частиц жидкости и газа
51
Зная потенциал скоростей, из этих уравнений можно опреде­
лить с точностью до произвольной постоянной функцию тока, и
наоборот.
В потенциальном потоке наряду с линиями тока можно провес­
ти семейство эквипотенциальных кривых (на плоскости) или экви­
потенциальных поверхностей (в осесимметричном потоке), опре­
деляемое уравнением = const. Рассмотрим векторы
<р
<p­
д<р
д
=
+
<p
grad
-i - j;
дх дх
дwдw\j1
+
=
grad
i - j,
дх дх
направления которых совпадают с направлениями нормален соответственно к кривым = const и \j1 = const. Скалярное произведе­
ние этих векторов
v
<р
<р
grad grad \j1 =
д<р д\jf д<р д\jf .
дх дх ду ду
+
С учетом формул (2.8) и (2.12) находим, что это скалярное про­
изведение равно нулю. Следовательно, линии тока будут ортого­
нальными к эквипотенциальным линиям (на плоскости) или экви­
потенциальным поверхностям (в осесимметричном потоке).
Вихревой линией называется некоторая кривая, построенная в
данный момент времени в потоке газа или жидкости и обладающая
тем своиством, что в каждои ее точке вектор угловои скорости ro
совпадает с направлением касательнои.
Строят вихревую линию аналогично линии тока, с той лишь раз­
ницей, что вместо векторов поступательной скорости берут векторы
угловой скорости частиц. В соответствии с этим можно записать
-.
-. l
J
dx dy dz = i (roydz - rozdy) - j(roxdz - rozdx) +
v
v
v
v
k
+
k(roxdy - roy dx) =О.
Принимая во внимание, что, например, roy dz -rozdy = О, roxdz - rozdx О roxdy - roydx О, находим уравнение вихревой линии:
=
,
=
dx dy dz
---
(2.13)
Проведя вихревые линии через точки элементарного контура,
получаем вихревую трубку.
52
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
2.3. Уравнения сохранения
Модель среды
Расчет аэрогазодинамических характеристик ЛА связан с определением параметров течении, возникающих при взаимодеиствии потоков с различными обтекаемыми поверхностями. Для это­
го необходимо выбрать модель течения газа (жидкости) и ее мате­
матическое описание (система уравнений), которое отражало бы
основные законы природы, свойственные протекающим физичес­
ким процессам. В исходную систему входят уравнения сохране­
ния, уравнение состояния газа и замыкающие систему уравнения
с начальными и граничными условиями.
Уравнения сохранения выражают законы сохранения массы, ко­
личества движения и энергии. Следует отметить взаимоотношение
этих законов, заключающееся в том, что каждыи последующии закон в названном порядке содержит дополнительную информацию о
более сложных явлениях природы. Если закон сохранения массы, от­
ражая единство материального мира, утверждает, что масса вещества
в любом его состоянии не может исчезнуть или появиться из ничего,
то закон сохранения количества движения рассматривает перемеще­
ние физических тел во времени и пространстве. Закон сохранения
энергии учитывает процессы в микромире, более сложные формы
движения. Это взаимоотношение законов сохранения, отражающее
единство и взаимообусловленность явлений, приводит к тому, что в
общем виде каждое последующее уравнение сохранения содержит
предыдущее. Исключение из сложного уравнения простых обеспе­
чивает компактную запись, содержащую только дополнительную ин­
формацию. Тот факт, что все уравнения сохранения выражают еди­
ное свойство (сохранение либо массы, либо количества движения,
либо энергии), позволяет записьmать их в одинаковой форме.
Система, включающая уравнения сохранения и уравнение со­
стояния, должна быть замкнутой. Если число определяемых пара­
метров превышает четыре (кроме давления, плотности, температу­
ры и скорости в число неизвестных могут входить тензор вязких
напряжений, тепловые потоки и т. д.), система уравнений должна
содержать и другие необходимые для расчета зависимости. Это, например, связь тензора вязких напряжении с составляющими вектора скорости, а также уравнения теплопроводности, излучения, хи­
мической кинетики, фазовых превращений и т. п.
Наличие в системе дифференциальных уравнений требует для
их решения определенных начальных (в случае нестационарных
�
v
v
v
v
2.3.
53
Уравнения сохранения
движений) и граничных условий. Последние могут быть достаточ­
но сложными. Поэтому системы уравнений, описывающие течения,
получаются также сложными и далеко не всегда удается преодопеть трудности при их решении даже с помощью современном вычислительной техники. Кроме того, отдельные элементы отрывных
течений, такие как течения в областях отрыва и присоединения, изу­
чены недостаточно. Все это заставляет при решении прикладных
инженерных задач вводить в систему полуэмпирические и эмпири­
ческие зависимости, упрощать отдельные уравнения или даже вовсе их не учитывать.
В качестве исследуемой системы
физических тел примем газ (жидкость)
w
и другие тела, заключенные в ограни­
ченном переменной поверхностью S
конечном объеме W. Относительно некотором неподвижном системы координат часть этой поверхности S1 может
перемещаться, а часть S2 - оставать­
ся неподвижной (рис. 2.3). Кроме того,
D
части этих поверхностей могут быть
как твердыми sтв• так и жидкими sж. Рис. 2.3. Общий вид рассмат­
Поверхности � должны допускать мас­ риваемого объема жидкости
со- и теплообмен и лишь в частных слу­
чаях могут быть непроницаемыми и
адиабатически изолирующими. Например, участок ОВС поверхно­
сти (см. рис. 2.3) является твердым и подвижным, а значит, может
считаться адиабатически изолирующим, участок ЕСО - твердым
неподвижным и допускать массоэнергообмен с внешними телами.
Процессы внутри рассматриваемого объема W могут быть неравно­
весными и выходить за рамки классической термодинамики. Такая
система позволяет поэлементно представить практически любое
сложное взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами.
Кроме физических тел в твердой фазе внутри рассматриваемо­
го объема частицы находятся в жидкой или газообразной фазе. В общем случае модель газа считают неоднородном п-компонентнои
смесью, обладающей свойствами вязкости, сжимаемости, теплопро­
водности (предполагается, что п значительно меньше общего числа
молекул или атомов, находящихся в небольшом объеме жидкости)
и континуума (т. е. непрерывно заполняющей все пространство, в
котором она находится), а также претерпевающей физико-химичесv
v
v
-
,
-
v
,
,
,
,
,
v
54
2. Основные уравнения и соотношения аэродина,wики
кие (в том числе и фазовые) превращения с поглощением или выделением энергии при изменении внешних условии.
В частных случаях такую модель газа (жидкости) упрощают,
представляя, например, невязкои сжимаемом жидкостью.
�
�
�
Уравнение неразрывности
Для рассмотренных выше исследуемой системы и модели газа
(жидкости) уравнение неразрывности выражает закон сохранения
.
массы применительно к z-му компоненту:
p�V�jdS� = О,
:t JJJ(pi + 'l'i )dW + JJ
S'·
J
W
.
(2.14)
где р1
массовая плотность i-го компонента; '1'1
объемная плотность источника ('1'1 < О) или стока ('1'1 > О) i-го компонента газа
(жидкости) внутри рассматриваемой системы, определяющаяся ее
физико-химическими превращениями и зависящая от электромаг­
нитных и гравитационных полей, полей концентраций, температу­
ры, давления, интенсивности турбулентности и пр., и поэтому. яв­
ляющаяся функцией координат точек объема
и времени; V/y
нормальная к поверхности s1 относительная скорость i-го компо­
нента; s11
поверхность, через которую проходит массообмен i-го
компонента.
Уравнение (2.14) показывает, что сумма скоростей изменения
массы i-го компонента газа (жидкости) внутри объема
и массо­
обмена через поверхность �1 равна нулю.
Для смеси газа (жидкости) уравнение неразрывности может
быть получено суммированием п уравнений типа (2.14) для всех
.
-
-
.
.
W
-
-
W
п
ее компонентов. Учитывая, что
п
.
ность смеси), а L '1'1
=О,
.
L р1 = р
i=I
(где
р
-
массовая плот­
согласно закону сохранения массы всех
=l
i
компонентов, находящихся
внутри объема, получаем
-°-t JffpdW + Ё. ffpiJ.vпi.1dsi.J = О .
d w
1=1 si.
J
(2.1 5)
Если �1 одинаково для всех компонентов и равно �· т. е. все
компоненты поступают через одну и ту же поверхность, то
п
[p�V� = рjvnj•
i=I
2.3. Уравнения сохранения
п
.
скорость смеси с плотностью р j L р). Тогда из уравне-
где VnJ
ния (2.15) следует:
-
55
=
i=I
= О.
+
dS
V
pdW
j
р
nJ
j
ff
f
f
f
_о_
dt
W
(2.16)
S}·
Получим из (2.14) уравнение неразрывности для бесконечно ма­
лого объема
однокомпонентного газа. Будем считать, что источ­
ники и стоки отсутствуют ('!'' = О), а рассматриваемый объем фикси­
рован и неподвижен. В этом случае уравнение (2.14) будет иметь вид
dW
др dW + pVп dS
fff
ff
дt
w
=0
s
и с учетом формулы Остроградского
,
=
V)dW
V
dS
div(A
A
п
fff
ffs
(2.17)
w
где А
-
в общем случае некоторая векторная функция, получаем
д
p
JII[ дt + div (p V )J dw = 0.
w
Ввиду произвольности величины W и предположения
непре­
рывности подынтегральной функции
др +div(pV)=O,
дt
или
ддtр + д (рVk ) = О,
дk
(2.18)
где k = х, у, z, например:
д (pVk)= д (PVx)+ д (PVy)+ д (pVz ).
дk
дх
ду
дz
Если выбрать модель несжимаемого газа (р = const), то уравне= 0 Если газ сжимаение (2.18) упрощается и принимает вид
divV
....
.
56
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
-
р р(х, у, z), то div (р V) = О.
мый и процесс установившийся, т. е. =
Для двумерного установившегося течения
дVх + дVУ = 0.
дх ду
В случае потенциального течения уравнение неразрывности при­
нимает вид
д-2<р
""'-2 + д2<2р = о.
дх ду
Для установившегося потока из соотношения (2.16) получаем
уравнение массового расхода:
m=
pVS = const.
Уравнение движения
Это уравнение выражает закон сохранения количества движе­
ния: полная скорость изменения количества движения вещества в
объеме
рассматриваемой системы равна сумме всех сил, дейст­
вующих на него.
Для i-го компонента газа (жидкости) уравнение движения име­
ет вид
W
=
-.
JJJ (pi ji + Fi)dW + JJ ('t�l - piOk1 )dS,
W
(2.19)
(S)
-.
где V1
абсолютная скорость движения i-го компонента; Vфх абсолютная скорость образовавшейся при
- физико-химическом превращении частицы i-го компонента;
- абсолютная скорос�ь
i'!� компонента, участвующего в массообмене через поверхность
- единичный вектор внешних массовых сил, приложенных к
i-му компоненту внутри объема (гравитационные, инерционные,
электромагнитные
поля и поля излучения внешних источников);
-"С:' .
1 - вектор равнодеиствующих всех сил, приложенных к единице
гЕ
объема i-го компонента и обусловленных воздействием других на­
ходящихся внутри объема компонентов газа (жидкости);
- тен-
Vj
·
F1
Sj;
W
v
'tkt
2.3.
57
Уравнения сохранения
зор вязких напряжений i-го компонента; р1 - гидростатическое дав­
- символ Кронекера,
ление i-го компонента;
= О при k * l и
1 - при k = /; k=x,y, z; l = x, y, z.
Первое слагаемое в левой части уравнения (2.19) есть полная
скорость изменения количества движения i-го компонента внутри
объема W, второе - скорость изменения количества движения от
массообмена через поверхность Sj1• Первое слагаемое в правой части этого уравнения - полныи вектор внешнеи массовои силы и
....
....
....
....
вектор равнодеиствующеи силы, деиствующие на z-и компонент со
стороны других компонентов газа, а второе - вектор равнодеиствующей всех сил, приложенных к поверхности S.
Поскольку, согласно закону сохранения количества движения
Okt
Okt
v
v
v
.
v
согласно третьему закону Ньютона
п
F�
[,
i=l
а
- ·
=
0
,
/
i
i
if
f:pi '
f: p i=l
v i=l
=
для смеси жидкости, суммируя
п
уравнений типа (2. 19), получаем
� JJJpvdw + f:JJ p�v�jvJ ds� =JJJ Fpdw + f: JJ c-ct1 -piok1)ds. (2.20)
dt
i=I s}i.
W
i=I S
W
В случае, когда �1 = �' вектор скорости
/
f: vjp�v� i=l
f: v,;p� .
vj i=l
=
Тогда выражение (2.20) принимает вид
JJJр VdW + JJ VjpjvnjdSj =JJJ FpdW + JJ ('tkt - pOkt )dS,
�
dt
w
.
'tkt = Е 'tkt;
i=I
п
где
s.
}
w
п
.
Р = Е Р1
i=I
•
s
58
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
(2.19)
Получим из
уравнение движения для бесконечно малого
объема газа. Как и при выводе уравнения неразрывности, будем по­
лагать, что газ однокомпонентный, физико-химические превращения и силы взаимодеиствия между отдельными частицами отсутствуют, а объем неподвижен. Тогда
v
=
S
+
W
п
d
pok1)dS.
V
pF)dW
)d
p
V
V
p
kt
(
('t
(
fff
ff
ff
ffwf�
t
д
s
s
w
+
(2.17) имеем
- - д
д - д
V ) pF + д ('tkt - pokt ),
+
(pV)
(pVk
t
k
дk
д
С учетом формулы
--­
=
или в скалярной форме (в проекциях на оси координат Ох, Оу, Oz)
(2.21)
Тензор напряжения 'tkt• имеющий девять независимых компо­
нентов, является симметричным тензором второго порядка, посколь­
ку соблюдаются равенства 'txy = 'tyx• 'txz =
'tyz = 'tzy (первый индекс
указывает, какои оси перпендикулярна площадка, в котором деиствует а второй - в направлении какой оси).
Используя для газа обобщенный закон Ньютона, запишем напряжения через проекции скоростеи и динамическую вязкость:
't,
'tzx,
v
v
v
v
v
д
v
2
2
д
х
У
'tхх =2µ д -3 µdivV· 't = 2µ ду -3 µdivV·'
х
2
v
z
д
'tzz = 2µ . -3µ div' v­
'
уу
дz
(здесь первые члены уравнений характеризуют изменение напря­
жения в зависимости от вязкости, а вторые - учитывают влияние
сжимаемости жидкости);
дVу дV
дz ду
'- +
-
z
2.3.
Уравнения сохранения
59
Проектируя члены уравнения (2.21) на оси координат, можно
получить уравнение движения в форме Навье - Стокса. В проек­
ции на ось Ох
Преобразуем полученное уравнение, подставив в него 't,ц, 'tyx, 'tzx:
dVx = F _ ..!_ др +..!.. д't,ц + д'tух + д'tzx dt х р дх р дх ду дz
1
1
др
= Fх - -+­
р дх р
1
1
др
+
F
µ
-= х р дх р
дV
д
дV
2
д
дV
у
х+
-divV
+
+ µµ
дх дх ду дz 3 дх
Учитывая, что v = µ/ р, окончательно получаем
dVx = F - -1 -+vлv
др
1 д . +-v-d1vV.
dt х р дх х 3 дх
z
--
(2.22)
По аналогии записываем уравнения движения в проекциях на
оси Оу и Oz:
dV'--y = F - -1 др + vЛVу + -v. -·
1 д d1vV
'
3 ду
dt у р ду
др +vЛV + -1v-д divV.
d_V�z = F l _
dt z р дz z 3 дz
-
_
_
(2.23)
(2.24)
Вместо трех уравнений в проекциях на оси координат можно
записать одно уравнение в векторной форме. Для этого достаточно
уравнения (2.22)-(2.24) умножить на соответствующие единичные
векторы i , j, k, определяющие направление осей Ох, Оу, Oz, и за­
тем их просуммировать:
---
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
60
Здесь
v
1
dV
-=F--gradp+vЛV
+-graddivV.
dt
3
р
- - ; F- = Fxi+Fyj+Fzk ;
-V = Vxi+Vyj+Vzk
-
-
-
(2.25)
-
дпдp
­
д
р
=
r
-j
i
grad р дх + ду +-k.
дz
Уравнение (2.25) уравнение движения в форме Навье - Сток­
са, справедливое для однородного вязкого сжимаемого газа трех­
мерного неустановившегося потока, в общем виде не интегрирует­
ся. Если рассматривать более сложную модель газа, например учи­
тывать не только внутреннее трение, но и электромагнитные
своиства, то в этом случае в правои части уравнения появляются
дополнительные слагаемые.
О) уравнение
В случае несжимаемого газа (р const,
(2.25) упрощается и принимает вид
-
v
v
divV =
=
- - 1
dV
-grad
+ vЛV.
-=
F
р
dt
р
При отсутствии массовых сил для сжимаемого газа имеем
v
1
dV
=--gradp+vЛV
+-graddivV.
dt р
3
(2.26)
В случае плоского установившегося движения вязкого несжи­
маемого газа уравнение (2.26) в проекциях на оси координат при­
нимает вид
д
дV
дV
р
х
х
_!_
=+V
Vх дх у ду р дх + V
дV
дV
1
д
У
У
=-Vx дх +Vу ду р дур +v
д1--'v�Х + д1vХ
дх2 ду2 '
д1v_У + д1v
дх2 ду2
•
-
_
_
у
Последние соотношения используют в теории пограничного слоя.
Важным частным случаем уравнения Навье - Стокса является
уравнение Эйлера - теоретическая основа исследования идеаль­
ного (невязкого) газа:
61
2.3. Уравнения сохранения
1 p.
dV = F - -grad
dt
р
-
(2.27)
-
-
Проектирование (2.27) на оси координат дает возможность полу­
чить уравнения Эйлера в скалярной форме для трехмерного неустановившегося потока с учетом массовых сил:
дVХ + v дVХ + v дVХ + v дVХ = F _!_ др .
'
z
х
у
х
дх
р
дх
дz
ду
дt
дVу
дVу
дVу
дV
1
д
р
у
F
=
--·
+V
+V
-+V
дt х дх у ду z дz у р ду'
дVZ + v дVZ + v дVZ + vz дVZ = F _!_ др
дх у ду
дt
дz z р дz
_
(2.28)
_
х
Для плоского установившегося движения идеального газа (жид­
кости) система (2.28) упрощается:
дV
дV
д
_!_
vх Х + vу Х = F дхр '.
дх
ду
р
дV
дVУ
1
д
р.
У
Vx дх + Vy ду F>' --р ду
х
_
=
Одномерное неустановившееся течение жидкости без учета мас­
совых сил описывается уравнением
Для одномерного установившегося (без учета массовых сил) по­
тока имеем
д
дV
р
_!_
=
V дх р дх .
_
Уравнение энергии
Выражает закон сохранения энергии: полная скорость измене­
ния энергии рассматриваемой системы (внутри ее объема W и вслед­
ствие энергообмена через поверхность S) равна мощности всех сил,
приложенных к газу (жидкости) внутри этого объема. Для i-го ком­
понента жидкости уравнение энергии будет иметь вид
62
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
2 i
.
.
(V
.
i
)
ds . =
dW + ffpi.v'. +
'·
е
J n1 1
.
S'·J
1
2
.
1
Jff[Pi(ftivi)+e�з +е�зл]сtw + JJ [c't�z - piбkz )Vi +(qiii)]cts, (2.29)
w
s
.
где е1 - внутренняя энергия единицы массы; iфх - энергия, выделяемая (поглощаемая) единицей массы i-го компонента при его об­
разовании (исчезновении); е�зл - мощ�ость излучения (поглоще­
ния) единицы массы i-го компонента; €�3
мощность взаимодей­
ствия частиц; q1 - вектор теплового потока через границу системы;
.
=
-
-
единичным вектор нормали к поверхности в рассматриваемом
точке.
Первое слагаемое в левой части уравнения (2.29) представляет
собой полную скорость изменения энергии i-го компонента внутри
объема, включая энергию от источников (стоков) массы, а второе обусловлено массообменом через поверхность 8f'. В правой части
уравнения (2.29) первое слагаемое характеризует мощность внешних
массовых сил, действующих на i-й компонент внутри объема, мощность взаимодеиствия частиц z-го компонента с другими частицами, находящимися внутри объема, а также мощность излучения (по­
глощения) i-го компонента, а второе слагаемое - мощность сил на
границе объема и тепловой поток через нее.
Поскольку
п
v
v
-
v
•
t fwffe�dW = ffwf f:e� dW = O,
i=l
i=l
для смеси газа, суммируя п уравнений типа (2.29), получаем
=
fff[p(FV)+tизл]dW + ff[('tkt - pibkz)V +(qii)]dS.
s
w
Здесь
е=
(2.30)
� (piei)/�pi; V2 � [Pi (Vi)2J/�pi;
=
JФх
- энергия,
выделяющаяся (поглощаемая) в единице объема смеси при физико­
химических превращениях.
2.3.
63
Уравнения сохранения
= 81 из уравнения (2.30) имеем
-°._ JJJ [p(e + V 2/2)+ lФx ] ctw +JJ р jVj(ej + Vj2 /2)dSj
dt
При 811
w
=
1
s.
= JJJ[p (FV) + Еизл ] dw + JJ[ ('tkl - pi8k1) V + (q ii)]cts.
s
w
Для модели однокомпонентного газа без учета физико-химичес­
ких превращений и мощности взаимодействия частиц из 29) по­
лучаем уравнение энергии для бесконечно малого объема газа:
(2.
2 ]
[
v2 ] v
д-[ р е +д
е
+vk. =
+
р
дk
2
2
дt
.
д
=pFV + Еизл + [('tkt -P18kt)Vk + qk] .
(2.31)
дk
Если течение установившееся и сжимаемое, газ нетеплопровод­
ный и невязкий, излучение отсутствует, а массовые силы пренебре­
жимо малы, то уравнение энергии вдоль линии тока имеет вид
z
v
-
2
где i =
z
v
р
+ е + = + i = const,
е + р/р = е + RT = сРТ.
(2.32)
р 2
Обобщенная форма записи уравнений сохранения
Представим теперь уравнения сохранения в обобщенном виде.
Для i-го компонента газа и для газовой смеси соответственно
можно записать:
�
+
)
+
(
=
V
p
dS
dW
+
JJJ
EdS.
DdW
Ар
tJJ
B
�
jC
�
-°._
J
JJJ
J
dt
i
i=I s .
1
w
w
s
Здесь А, В, С, D, Е коэффициенты, представленные в табл. 2.1.
Приведенные выше уравнения сохранения (массы, количества
движения, энергии) для многокомпонентного газа, который нахо­
дится в произвольном замкнутом объеме с твердыми и жидкими
-
64
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Таблица 2.1. Выражения для коэффициентов в уравнениях сохранения
Уравнения сохранения
эф-
Ко
фициент
энергии для
i-ro компонента
А
е; + v;2J2
в
·i
l фх
с
D
Е
личества
о
к
смеси
JIЗЛ
83
i-ro компонента
vi
е + v2/2
v�,
-
Jфх
2
е}! + V.i2/
}
V; ) +.
pj (F
.
+ е' + е'
движения для
-.
е}. + v.2/2
}
--
p(FV) + e"ЗJI
('t�1 Piokl )Vi + ('tkl
-
+ (q'n)
-
·
v�
J
pj
F i + F�
pokl ) v + ('t�1
+ (q n)
-
смеси
-
v
о
-
v.
J
-
pF
p;okl) <'tk/ -
P0k1)
массы для
i-ro
сме-
компонента
си
1
1
1
о
1
1
о
о
о
о
границами, допускающими различные механизмы массоэнергооб­
мена с внешними телами, позволяют рассчитать основные парамет­
ры течений. Кроме того, можно с единых методологических позиции оценить отдельные уравнения или их составляющие при анализе конкретных явлений, что снижает вероятность ошибки при
использовании того или иного уравнения.
�
2.4. Интегралы уравнений движения идеального газа
Преобразуем уравнения движения, представленные в форме Эй­
лера, и выделим в них угловые скорости вращения частиц газа, на­
зываемые компонентами вихря. Запишем уравнения (2.28) в виде
др дVХ v дVХ v дvу + v дVZ .
_!._
х р дх дt х дх у ду z дz '
F _!._ др
у р ду
F
_
_
=
+
+
2.4. Интегралы уравнений движения идеального газа
65
дVу
дV
z,
+v
+v
и
Прибавив к правой части первого уравнения
z
Y дх
дх
получим
дV
др
_
F ..!_ = Х +
х р дх дt
дv
дV
+Vz дzх - дхZ '
или
дV
дv
У
vz
дV
дv
..!
_
др
дv
�
z
х
_
х
F
+
+
=
х
х р дх дt дх 2 дz дх z дх ду vу·
'--
(
В правой части последнего уравнения два последних выраже­
ния, стоящие в скобках, как известно, являются удвоенными угло­
и
выми скоростями:
Проделав аналогичные преобразования для двух других уравнении, окончательно имеем
2roy 2002.
v
--
2
дV
1
д
V
др
х - - =2(roуVz
-F
х р дх дt дх 2
-
roz
Vу )·'
(2.33)
-
2
дVz
д
1
V
др
- --=2(roхV - ro V ).
Fz - - у х
у
р дz дt дz 2
Такая форма записи уравнений движения идеального газа была
предложена проф. И.С. Громекой. В векторной форме они будут
иметь вид
2 - - 1
дV
V
=-+grad
+rotVxV
-gradp,
дt
2
р
причем, как известно, в общем виде
- -
дА J-: + -k;
дA ­
grad А= дА-:
+
дх ду дz
j+
i
rotA=
дАх -k.
ду
66
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
С учетом массовых сил уравнение (2.33) принимает следующий
вид:
-
2
- - - 1
дV
V
- + grad
+ rotV xV = G--gradp.
дt
р
2
(2.34)
Предположим, что неустановившееся
- течение будет потенциальным, а следовательно, rot V =О, V = grad <р. Кроме того, при�ем, что массовые силы имеют потенциал И, поэтому вектор
G = -grad И. Если среда обладает свойством баротропности, характеризующимся однозначнои зависимостью между давлением и плотностью (это имеет место, например, в случае адиабатического тече­
ния, для которого р = Apk ), то отношение dplp равно дифферен­
циалу некоторой функции Р, а значит,
v
1-grad р = grad Р.
р
Тогда уравнение (2.34) принимает вид
2
v
д
-grad И - grad Р,
-grad
<р + grad
д
2
t
или
=
2
д<р
v = -grad И - grad Р.
grad-+
gradдt
2
Переходя от градиентов к соответствующим скалярным функциям,
находим
v2 Р+И
д.....Р. + -+
где
Р= J dp.
дt
2
=
C(t),
(2 .35)
р
Уравнение (2.35) называется уравнением или интегралом Лаг­
ранжа. Его правая часть представляет собой функцию, которая за­
висит от времени, но не зависит от координат, т. е. является одина­
ковой для любой точки потенциального потока. Слагаемые в левой
части уравнения (2.35) имеют простой физический смысл: V2/2 -
dp
- потенциальная энергия от давкинетическая энергия, Р = J
р
ления для единицы массы, а И - потенциальная энергия положе-
2.4.
Интегралы уравнений движения идеального газа
67
ния частиц жидкости, отнесенная к их массе. Чтобы выяснить физическии смысл первого слагаемого, воспользуемся зависимостью
для потенциальной функции д<р/д! = Vt, где Vz проекция вектора
скорости на некоторую линию /. Функцию <р можно определить из
выражения
v
-
l
дv
<р = f дtt dl'
lo
где 10 и l
координаты соответственно фиксированной и произ­
вольной точек.
-
Производная
l
д<р/дt = J (дVz/дt)dl. Локальное ускорение дV1/дt
lo
можно рассматривать как проекцию инерционной силы, обусловленной наличием местного ускорения и отнесенной к единице мас­
сы, а произведение (дVz /дt)dl
как работу этой силы на участке
dl. В соответствии с этим производная д<р/дt равна работе инер­
ционной силы на участке между точками /0 и /, т. е. ее можно рас­
сматривать как энергию единицы массы, обусловленную изменени­
ем во времени в данной точке скорости и связанного с ним давле­
ния. С учетом отмеченного выражение в левой части уравнения
(2.35) представляет собой полную энергию единицы массы газа. Та­
ким образом, уравнение Лагранжа устанавливает тот факт, что в
потенциальном потоке полная энергия единицы массы в данный
момент времени есть величина, одинаковая для всех точек потока.
Для несжимаемого газа, движение которого происходит под действием давления и силы тяжести, интеграл (2.35) будет иметь вид
-
v2
д(n
+ р + И = C(t).
__:r_ +
дt 2 р
Если, в частности, ось Оу направлена вертикально вверх, то И = gy,
а значит,
д___! + v 2 + Е+ gy = C(t).
дt 2 р
Большое практическое значение имеет частный случай устано­
вившегося потенциального течения, для которого д<р/дt =О, а функ­
ция C(t) = const, т. е. не зависит от времени. В этом случае уравне­
ние (2.35) принимает вид
68
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
v 2 + J_!
d !_ + И =const.
2
р
(2.36)
-
Этот частный случай уравнения Лагранжа называется уравнением
Эйлера, в соответствии с которым при потенциальном установив­
шемся движении газа полная энергия единицы массы является ве­
личиной, постоянной для всех точек потока. Таким образом, кон­
станта в уравнении Эйлера будет не только одинаковой для всей
области потока, но и в отличие от функции C(t) интеграла Лагран­
жа не зависящей от времени.
Уравнение Эйлера для несжимаемого газа (р
будет по
в него
форме аналогично (2.36) с той разницей, что вместо
войдет отношение р р.
Рассмотрим более общий случай непотенциального стационар­
ного движения газа. Уравнение этого движения имеет вид
= const)
Jdp/p
/
grad(V2/2) + rotVxV -gradP-gradU,
2 dp
v
grad 2 + J-+И
=
-rotVxV.
р
=
или
(2.37)
rotV
-
-
иV
Правая часть уравнения (2.37) равна нулю, если векторы
параллельны, т. е. при условии, что вихревая линия и линия тока
совпадают. В этом случае
v22 + J dp +И=С1.
р
Это уравнение впервые получил И.С. Громека. Постоянная С1
будет одной и той же для всей области, где выполняется условие
совпадения вихревых линий и линий тока. Области, для изучения
которых применяют уравнение Громеки, возникают, например, при
обтекании крьmьев конечного размаха. Это обтекание характеризу­
ется образованием вихрей, направление которых вблизи крыла прак­
тически совпадает с направлением линий тока. Однако подобные
области не всегда имеются в потоке. Обычно течение характеризуется наличием не совпадающих по направлению вихревых линии и
линий тока. При этом семейство вихревых линий описывается урав­
нением (2.13), а семейство линий тока (траекторий) - уравнением
(2.4), а все течение - уравнением (2.37).
k, принадлежаВозьмем вектор дуги в виде
dx i +
v
dl = dy j + dz
2.4. Интегралы уравнений движения идеального газа
69
щии линии тока или вихревом линии, и определим скалярное произведение:
2
- dp
+ - + И = -dl(rotV xV).
dl · grad
2
р
v
v
-
v
-
J
В левой части этого уравнения записан полный дифференциал трех­
члена, стоящего в круглых скобках. Следовательно,
dp
= -dl(rotV xV).
+
d
2
р
- Векторное произведение rot V х V представляет собой вектор, перпендикулярный векторам
- rot V и V. Скалярное произведение этого вектора и вектора dl
- будет равно нулю в двух случаях: когда
направление вектора dl совпадает с направлением линии тока (траектории) или с направлением вихря. В этих двух случаях действи­
тельно решение уравнения движения
v2
-
J -+И
-
-
-
v 2 + Jdp
+ U = C2 ,
2
р
(2.38)
-
С2
где
константа, значение которой зависит от рассматриваемой
траектории или вихревой линии.
Соотношение (2.38) называется уравнением Бернулли. Очевидно, для различных вихревых линии, проходящих через расположенные на данной линии тока точки, константа будет иметь одно и то
же значение. Точно так же одинаковые значения константы будут у
семейства линий тока (траекторий) и вихря, через точки которого
проходит линия тока.
Следует отчетливо уяснить различие рассмотренных уравнений
Громеки и Бернулли. Оба они выведены для вихревого (непотенци­
ального) течения, однако первое отражает факт постоянства пол­
ной энергии единицы массы газа во всей области, где вихревые ли­
нии и линии тока совпадают, а второе устанавливает закономерность, в соответствии с которои постоянство этои энергии имеет
место вдоль данной линии тока или вихревой линии. Естественно,
не равны. Кроме того, суще­
что в общем случае константы С 1 и
ствует различие между уравнениями Лагранжа и Эйлера, относя­
щимися соответственно к неустановившемуся и установившемуся
безвихревому (потенциальному) обтеканию, а также между каждым
из рассмотренных уравнений.
-
v
v
v
С2
70
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
При исследовании течения жидкости или газа наиболее широко
применяют уравнение Бернулли, отнесенное к условиям на линиях
тока (траекториях). Известно, что константу
уравнения
определяют для каждой рассматриваемой линии тока. Если же ус­
тановившееся течение вдобавок безвихревое (потенциальное), то
уравнение Бернулли совпадает с уравнением Эйлера и, следователь­
но, константа будет одинаковой для всех линий тока, т. е. для всей
области потока.
Рассмотрим некоторые конкретные формы уравнения Бернул­
ли. Для несжимаемого газа и при условии, что функция И = gy, это
уравнение имеет вид
С2
Р
v2
- + - + yg = C .
2
2 р
(2.38)
(2.39)
При исследовании движения газа можно пренебречь влиянием
силы тяжести. Следовательно, в уравнении
и других интег­
ралах следует принять И= О. В частности, вместо
получаем
v2 Р = С ,
2 + -р 2
(2.38)
(2.39)
или
где р = р00 (газ несжимаемый), а индекс «оо» соответствует пара­
метрам невозмущенного потока.
В критической точке линии тока, для которой V = О, давление
Р
=
Ро = Роо + Роо v!,/2
максимально. Такое давление р0 называют полным. В любой другой
точке линии тока давление р будет меньше полного давления р0.
Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. В таком газе
отсутствуют обусловленные свойством вязкости процессы переда­
чи теплоты (теплопроводность, диффузия). Примем также, что газ
не излучает энергию. В этом случае уравнение энергии принимает
вид
а интеграл Бернулли
(2.32),
2
V /2 + i=C
.
В такой форме интеграл Бернулли представляет собой уравне­
ние энергии для изоэнтропического течения. Согласно этому
2. 5.
Уравнения для потенциала скорости
71
уравнению, сумма кинетической энергии и энтальпии частицы
cppj(pR),
газа является величиной постоянной. Полагая
- cv = R и k = сР /cv находим
i = сРТ=
сР
,
р
k l. = -k-1
Следовательно,
р
2 k -р
v-+
С
=
,
k-1 р
2
или
V2 +
k
RT = C.
k-1
2
Уравнение Бернулли для идеального сжимаемого газа является
теоретическои основои исследования закономерностеи изоэнтропических течений газообразной среды.
v
v
v
2.5. Уравнения для потенциала скорости
Поскольку поле скоростей потенциального движения газа опи­
сывается одной функцией - потенциалом скорости <р, для его
определения достаточно иметь одно дифференциальное уравне­
ние относительно функции <р. Это уравнение нетрудно получить
из уравнений неразрывности и движения для установившегося без­
вихревого плоского течения идеального газа, записанных в виде
дV
дV
dp
х
+р у =0;
-+р
dt
дх ду
Производная
х = -_!._ др '.
Vх дVх +Vу дV
ду р дх
дх
дv + дvу - - 1 др
Vx дху Vy ду р ду .
dp = dp dp = dp др v + др v
dt dp dt dp дх х ду у
скорость звука),
или, учитывая, что dp/dp = а 2 (где а
-
(2.40)
(2.41)
(2.42)
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
72
dp = _1
dt а2
др v др v
дх х ду У
(2.43)
+
др/дх др/ду
Выражая
и
из уравнений
ставляя их в (2.43), получаем
(2.41) и (2.42)
дVХ v 2 + дVХ v v + дVУ v vу + дVУ vу2
а2 дх х ду х у дх х ду
.!. dp -�
р
dt
=
и под­
(2.44)
Уравнение неразрывности (2.40) с учетом (2.41) после перегруп­
пировки членов и умножения на принимает следующий вид:
а2
(a2 -v; ) дvx + (a2 -v2 ) дVY - дVх + дVУ vxv,) 0 (2.45)
у ду
ду дх
дх
В безвихревом движении Vx д<р/дх, VY = д<р/ду. Заменив в урав­
нении (2.45) проекции скоростей на оси координат через производ­
ные от потенциала скорости <р, получаем уравнение для потенциа­
ла скорости в потоке газа:
2
2<р
2
д
д
д
<р
(Vх2 -а2 ) х2 + {V2У -а2 ) 2 +2Vх VУ <р 0
(2.46)
дхду
ду
д
=
.
=
=
,
v
являющееся основным кинематическим уравнением газовом динамики.
Согласно уравнению энергии, входящая в это уравнение ско­
а
рость звука может быть выражена через скорость течения
следовательно, и через потенциал
Уравнение (2.46) является нелинейным дифференциальным урав­
нением в частных производных второго порядка, решение которого
при определенных граничных условиях является трудном задачеи.
Оно линейно относительно вторых частных производных от иско­
мой функции, но коэффициенты перед этими производными содер­
жат первые производные от
Следовательно, уравнение потенци­
ала относится к классу квазилинейных второго порядка. Интересно
определить его тип. Если уравнение в частных производных второ­
го порядка записать в общем виде:
а
V,
<р.
v
v
<р.
2<р
2
2
д
д
д
А
<р2 +2В <р + С 2
дхду ду
дх
=
Н
'
то, как известно, его тип будет определяться знаком дискриминан­
та
(В2 -АС).
2. 6.
Уравнения движения с развитой турбулентностью
73
Вычислив дискриминант для уравнения (2.46), получим
2 vх2 + v 2 v 2
v
2 - l.
l=
1=
1M
а2
а2
а2
у
у
Таким образом, при дозвуковой скорости движения газа (М < 1)
уравнение потенциала является эллиптически..м, а при сверхзвуко­
вой скорости (М > 1)
гиперболически..м. Забегая вперед, отме­
тим, что, с одной стороны, это важное с позиции математики об­
стоятельство является отражением того факта, что физические свойства течении с до- и сверзвуковыми скоростями весьма различны и
часто противоположны. С другой стороны, само изменение типа
основного уравнения, описывающего движение газа, вызывает разницу в методах изучения до- и сверхзвуковых течении.
-
у
у
2.6. Уравнения движения с развитой турбулентностью
При турбулентном движении скорость и давление в фиксиро­
ванной точке пространства не остаются постоянными во времени,
а очень часто и очень неравномерно изменяются. Такие изменения
скорости и давления, называемые пульсациями, являются наиболее
характерным признаком турбулентности.
Для анализа закономерностей развития турбулентного течения
его удобно разделить на среднее и пульсационное. Параметры
осредненного течения обозначаются черточкой сверху, а пульса­
ционного - штрихом. Таким образом, мгновенные значения каж­
дого параметра будут определяться соотношениями
Vx =Vcpx +v;; Vy =Vcpy+v;; Vz =Vcpz+v;, р = Рср + р' и т. д.
В этом случае вместо уравнений движения (2.22)-(2.24) для тур­
булентного течения несжимаемого газа без учета массовых сил име­
ем уравнения осредненного движения, называемые уравнениями
*:
реинольдса
у
р
•
др + ЛV +
дVх + V дVх + V дVх + Vz дVх = -дt х дх у ду
дх µ х
дz
В этих уравнениях для упрощения записи индекс «ер» опущен.
74
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
др + ЛV +
µ у
ду
= --
д
д (-pV ,2 ) + д (- ,V ' )·
,х , ) + pVу z ,
у
у
дх
ду
дz
р дvz + дvz + дvz + v дvz - др + л
v
v
v
z
µ
у
х
ду
дt
дх
дz
дz
д
д
,
д
,
'
'
+- (-pVxVz ) + - (-pVу Vz ) +- (-pVz,2 )
дх
ду
дz
+- (-p V V
z
=
+
.
Это равносильно введению дополнительного тензора «кажуще­
гося» напряжения турбулентного трения (тензора турбулентных на­
пряжений):
,
хх
Р
,
'tyx
,'tzx
't,у
х,
Руу
,
't
zy
,
'txz
,
'tyz
,
Pzz
2
pv; p v;v; pv;v;
2
'
V
р
pv;v;
pv;v;
у
2
'
V
р
p v;v; pv;v;
z
Поскольку оно складывается с обычным вязким напряжением,
можно записать
2
дV
2
'
Х
'
d
V
Рхх =- р + µ дх -3µ iv v -р х ;
дVУ
дVх
+
-p v;v;
'txy -- µ
ду дх
2
и т. д. В соответствии с этим суммарное напряжение трения
't 't + 'tт
=
л
•
где индексы «Л» и «Т» относятся соответственно к ламинарному и
турбулентному напряжениям .
Ввиду преобладания турбулентного трения в расчетах прини­
мают
't = 'tт .
Задачи, связанные с движением вязкого газа, решают при извест­
ном законе изменения напряжений турбулентного трения. Однако
2. 7.
Модел.и турбулентности
75
сложный характер турбулентных течений не позволяет достаточно
полно изучить механизм турбулентности. Поэтому в основу спосо­
бов расчета положены различные гипотезы, использующие некоторые эмпирические данные и связывающие силы «кажущеися» вязкости, вызываемой турбулентным смешением и осредненными во
времени скоростями. Применение таких гипотез позволяет полу­
чить необходимые зависимости для аналитического выражения напряжении трения через определяющие процессы движения параметры и тем самым замкнуть систему дифференциальных уравне­
ний осредненного движения.
v
v
2.7. Модели турбулентности
Общие сведения о турбулентности
Турбулентность это неупорядоченное движение в жидко­
стях (или газах), в котором параметры потока изменяются во
времени и пространстве. Турбулентное смешение в общем случае при неоднородных полях плотностеи, температур, скоростеи
и концентраций вызывает обмен между отдельными слоями тече­
ния массой, импульсом и энергией компонентов жидкости. Как
правило, в начале течение является ламинарным. Начальный им­
пульс турбулентности может происходить случайно. Причиной перехода считают неустоичивость ламинарного течения под воздеиствием возмущений. Турбулентные течения порождают дополни­
тельные силы трения, на преодоление которых затрачивается
некоторая работа, выполняемая осредненным течением. Турбулентность считают однороднои, если осредненная скорость по всему
полю течения постоянна. Для всех случаев, когда осредненная
скорость имеет градиент, турбулентность будет анизотропной; те­
чение при наличии такой турбулентности называют течением со
сдвигом.
Турбулентные сдвиговые течения подразделяют на несколько
видов, различающихся граничными условиями. Это прежде всего
свободные турбулентные (сдвиговые) течения, не ограниченные
стенками (рис. 2.4). К ним относятся, например, течения вязкого
газа в следе, характеризующиеся существенным градиентом ско­
рости, наличием свободной границы (пограничной поверхности),
а также значительными турбулентными пульсациями. Область возмущенного течения между основным потоком и струеи, встреч-
v
v
v
v
v
v
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
76
•
-- - - --
-- --
-- --
.... . - ..
--
- -- -
-- -
-
--- --- -- --
- --
-
--?
--
voo
--
'
--?
'
-- -
---
--
а
V}·
---
б
--- --
Рис. 2.4. Течение со свободной (а) и пристеночной (6) турбулентностью
ным или спутным потоком называют слоем смешения. Такая об­
ласть течения имеет место и при отрыве потока. Однако оторвав­
шийся от обтекаемой поверхности пограничный слой в реальных
условиях подчиняется более сложным законам, чем струйный слой
смешения. В приближенных же методах расчета параметров отрывных течении часто используют эмпирические данные для идеального слоя смешения струи.
К турбулентным слоям, ограниченным одной свободной и одной
фиксированной границей (пристеночные течения), относятся погра­
ничные слои (см. рис. 2.4, а) и пристеночные струи (см. рис. 2.4, б).
Граничная поверхность может принимать различную форму, быть
проницаемой или непроницаемой. В свою очередь, турбулентные
течения могут быть ограничены двумя или большим числом фик­
сированных границ. В качестве примера сдвиговых слоев можно
привести течения в трубах, каналах и т. д.
Для решения задач обтекания тел при турбулентном режиме те­
чения, как правило, используют систему уравнений Рейнольдса и
энергии, а также эмпирические (полуэмпирические) соотношения,
описывающие модель турбулентности. При математической поста­
новке большинства аэродинамических задач очень важно правиль­
но выбрать модель турбулентности. На практике получили распроv
v
2. 7.
Модел.и турбулентности
77
странение алгебраические (феноменологические) и дифференциальные модели турбулентности .
*
Алгебраические модели турбулентности
Эти модели не содержат дифференциальных уравнений для ха­
рактеристик турбулентности, а основаны на приближенных эмпи­
рических соотношениях и предположениях эвристического харак­
тера. Они пригодны для простых течений, поэтому их часто используют в инженернои практике.
Для вычисления турбулентного касательного напряжения Ж. Бус­
синеск предложил соотношение, которое по форме аналогично урав­
нению, выражающему закон трения Ньютона:
v
'tт = pv
т
дVсрх ,
ду
(2.47)
где vт
к.инематическая турбулентная вязкость.
При турбулентном перемешивании vт не является постояннои
величиной и зависит от координат точек пространства и распреде­
ления скорости. Чтобы воспользоваться формулой (2.47), необхо­
димо экспериментальным путем определить vт.
Одна из первых практически важных математических моделей,
связывающих турбулентную вязкость vт с параметрами потока, была
предложена Л. Прандтлем в 1925 г. и известна как модель «пути
смешения». Доказано, что она довольно хорошо воспроизводит тон­
кие вязкие слои. Рассматривая осредненные сдвиговые течения без
градиента давления, Прандтль постулировал, что характерный мас­
штаб пульсаций скорости Vcp равен градиенту осредненной скорос­
ти, умноженной на характерный масштаб длины lm, которую он на­
звал путем смешения.
Возьмем два слоя жидкости, расположенных один от другого
на расстоянии l,n (среднее расстояние пульсаций). Истинные скоро­
сти в этом случае
-
v
vx = vcpx + v;; vy = v;.
v;
Вследствие пульсаций составляющей скорости
имеет место
турбулентное перемешивание (перенос количества движения и теп­
лоты). Действительно, через единичную площадку, перпендикуляр•
Подробнее об этом см.: Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение,
1989.
78
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
pv;.
ную оси Оу, в единицу времени переносится масса жидкости
во втором В первом слое ее количество движения было
+
стало
Таким образом, вследствие наличия
пульсаций изменение количества движения обусловливает напря­
жение турбулентного трения:
pv;vcpx•
pV; (vcpx lm дVсрх /ду).
дV
,
срх
.
'tт = р Vyl"1
ду
lm можно определить эмпирически из условия
дVср
х
,
l
=
Vx ,n ду .
предполагая, что V , v' получаем
2
дV
срх
2
'tт = pl,n ду
или
2 дVсрх
V т = l,n
ду
Путь смешения
х
""'
У,
'
•
При рассмотрении течения в пограничном слое полагают, что
путь смешения пропорционален расстоянию у от стенки:
= k1
у,
l,n
где k1 - универсальный коэффициент пропорциональности, не за­
висящий от числа Рейнольдса, k1 0,39. Объясняется это тем, что
пульсации больше там, где выше скорость, т. е. у стенки, где ско­
рость близка к нулю, пульсаций нет.
Для свободных слоев со сдвигом путь
поперек слоя можно
полагать постоянным и пропорциональным толщине слоя. Коэф­
фициент пропорциональности зависит от типа течения.
В свободных турбулентных струйных течениях путь смешения
l,n поперек струи постоянен и пропорционален ширине Ь зоны смешения:
lт(х) = k2b(x),
""'
lm
где � - некоторый коэффициент.
Несмотря на то что физическая модель, на которой основывает­
ся указанная гипотеза, является приближенной и неточной (не учи­
тывают предысторию потока, механизмы конвективного и диффу­
зионного переноса пульсаций), ее широко используют при реше­
нии многих технических задач.
2. 7.
Модел.и турбулентности
79
Для расчета напряжения трения в течениях со свободной турбу­
лентностью Прандтлем была установлена полуэмпирическая зави­
симость, названная впоследствии новой формулой Прандтля. Ис­
ходными являлись следующие условия: производная дVсрхlду про­
порциональна отношению (Vcpxmax -Vcpxmin)/b (Vcp xmax, Vcpxmin
скорости потока на границах зоны смешения), /"1 пропорциональна
толщине слоя смешения Ь и турбулентная вязкость по ширине по­
перечного слоя постоянна, т. е. vт = k3b(Vcpxmax -Vcpxmin ) где k3
эмпирическая постоянная, определяемая опытным путем. В этом
случае напряжение трения вычисляют по формуле
-
-
,
д Vсрх
'tт = pk3b(Vcpxmax - Vcp xmin)
ду
(2.48)
В связи со сложной структурой течения в пограничном присте­
ночном слое представление турбулентной вязкости в виде одной
обобщенной зависимости соответствует приближенному подходу к
решению задачи. Поэтому для более точного расчета таких тече­
ний была предложена двухслойная модель, названная моделью Се­
беси - Смита, в которой кинематическая турбулентная вязкость vт
задается различными выражениями на внутреннем (vтд и внешнем
(vто) слоях:
vтi при у < Ymin;
vт =
Vто при У > Ymin·
Формулы для вычисления vт i и Vт0 имеют вид
дVсрх
ду
где l,11
= k4y (1 -
координата
у
2
дVср у
+
дх
2
У ) ; k4 = 0,40;
- +tA+
е
0,5
•
'
у + = (иту)/v
(расстояние от стенки);
ит = �'tст/Р; 'tст
А+ = 26
-
безразмерная
1+у
dр/dx
-О,5
;
2
рит
напряжение трения на стенке; а = 0,0168; V0
толскорость потока на внешней границе пограничного слоя;
-
щина вытеснения;
-I
6
r= [l + 5,5(y/8) ]
жаемости (функция Клебанова);
8
-
8*
-
-
-
коэффициент переме­
толщина пограничного слоя.
80
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Приравняв выражения для vтi и Vrt1, получаем
а
+
Ymin ""' - Re0• ""' 0,042Re8
• .
k4
Приведенные зависимости справедливы для двумерных течений.
Модели турбулентности дифференциш�ьного типа
В теории пути смешения Прандтля турбулентная вязкость прак­
тически не зависит от предыстории развития течения, поэтому
ее трудно применить для ряда практических случаев. Академик
А.Н. Колмогоров, а затем независимо от него Л. Прандтль предло­
жили теорию турбулентных течений, в которой принимается, что
кинематическая турбулентная вязкость зависит от кинетической
энергии турбулентных пульсаций, т. е.
Vт = с� .Jk L,
·
-
где с�
эмпирический коэффициент, зависящий от местного тур­
булентного числа Rет = .Jk L/v (при Rет -7 оо значение с� =
(
v;2 v;2 )
·
-
+
12
кинетическая энергия турбулент­
= const); k = v;2 +
ных пульсаций; L
масштаб турбулентности.
Ввиду того что пульсационное турбулентное течение описыва­
ется уравнениями Навье - Стокса, используя их, можно получить
дифференциальное уравнение для переноса энергии k турбулент­
ных пульсаций. Линейный масштаб L в слоях со сдвигом можно
определить при помощи простых эмпирических соотношении, аналогичных, например, выражениям для пути смешения lm. Такая
однопараметрическая модель позволяет учесть конвективныи перенос энергии турбулентных пульсаций, ее возникновение вследствие
взаимодеиствия вязкого течения с высокоэнергетическим основным
потоком и диссипацию в результате кинематическои молекулярнои
вязкости.
В дальнейшем это направление усиленно развивалось российс­
кими (советскими) и зарубежными учеными. В настоящее время
наибольшее распространение получила предложенная В. Лаунде­
ром двухпараметрическая (k-€)-модель и ее модификации. В соот­
ветствии с теорией размерности турбулентная вязкость должна быть
пропорциональна произведению характерной скорости и характер­
ного масштаба. В качестве характерной скорости выбрана величи­
на k112, а характерный масштаб L определен через скорость дисси­
пации € энергии турбулентности, которая пропорциональна /J12!L.
Тогда можно записать
-
�
�
�
�
�
2. 7.
Модел.и турбулентности
81
2
Cµk дVх
'tт = __,_е_ д р,
у
где сµ - эмпирический коэффициент пропорциональности (сµ ""' 0,09).
Предполагая, что турбулентное течение описывается уравнения­
ми Навье - Стокса, уравнения движения (переноса) для k и е можно записать в виде
дVcpi
-е·'
+'t·l)·
дХ)·
дk V . дk = д
+ ер 1
дх)· дх)·
дt
де +V де д
де
,
v
__.I_
+
v
.
p
.
·
j
дt C дх) дх)
cre дхj
__
где z, J - индексы, определяющие направление осеи декартовом
системы координат, i, j = х, у, z; crk = 1; 'tu = µ(дV; /дхj + дVj /дх; );
�
�
cre= 1,3; Се\ = 1,44; се2 = 1,92.
К числу двухпараметрических диссипативных моделей турбу­
лентности относится также (k-rо)-модель Саффмена - Вилкокса.
Она является более точной для расчета сложных типов течений,
поскольку более достоверно отражает их характерные элементы (по­
граничные слои, следы, струи). Основные уравнения, определяю­
щие эту модель для двухмерного течения, следующие:
кинематическая турбулентная (вихревая) вязкость
Vт = klro;
кинетическая энергия турбулентных пульсаций
дvcpi
дk +V . дk = д
дk
-� kro,
··
+'tlJ
)
+vт
(v
cpJ
дхj
дt
дхj
дхj дхj
*
.
удельная скорость диссипации энергии турбулентности
дrо
дrо + V . дrо = д
ro дvcp i
2
-�
+
ro
+
(
'
ср
т)
'tu
a-,;
v
crv
.
.
.
x.
1
дх
дх
дх
дt
д)
)
)
)
1 + 68ОХ�
*
_
_ О и fр* где � = ��fp• ; �� =О, 09; fp• = 1 при Xk <
2 при
Xk > О;
fp =
дrо
1
дk
Xk = 3
; cr = 0,5;
(J) дХ · дХ ·
)
)
1 (двухмерное течение).
'А =
13/25;
1 + 400Xk
� = �ofp; �о = 91125;
82
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Следует отметить, что (k-Е)-модель турбулентности хорошо опи­
сывает свойства свободных сдвиговых течений (слои смешения), а
(k-rо)-модель наиболее достоверна при расчете пристеночных те­
чений. Поэтому при аэродинамических расчетах применяют так на­
зываемую модель Ментера, которая представляет собой суперпозицию этих двух моделеи.
v
2.8. Аэродинамическое подобие
Аэродинамические характеристики ЛА или их отдельных эле­
ментов можно определить как теоретическим путем, так и при по­
мощи экспериментальных исследований. Теоретические методы основаны на использовании системы уравнении газовои динамики
применительно к обтекаемому телу с заданной формой, имеюще­
му, вообще говоря, произвольные абсолютные размеры.
При проведении экспериментов, предназначенных для получе­
ния аэродинамических параметров, не всегда удается применить на­
турное тело из-за его больших размеров, поэтому приходится
пользоваться моделью изделия с меньшими размерами. В связи с
этим возникает вопрос о возможности переноса полученных экспе­
риментальных результатов на натурные тела. Ответ на этот вопрос
дает теория размерности и подобия, устанавливающая условия, ко­
торые должны соблюдаться в опытах с моделями, и выделяющая
характерные параметры, которые определяют основные эффекты и
режимы обтекания.
Предположим, что в аэродинамической трубе для модели пу­
тем измерений получена продольная сила Хм = схмqмSм. Выясним,
когда можно использовать полученныи результат для определения
аналогичной силы натурного тела в соответствии с формулой
Хн = СхнqнSн, в которой коэффициент схн для этого тела является
неизвестнои величинои, а скоростнои напор qн и характерная площадь Sн заданы. Разделив почленно выражения для Хн и Хм, получим
v
v
v
v
v
v
Х
Х
Сх н qнSн
н= м
Сх м qмSм
Из этой формулы следует, что расчет натурной силы Хн по экс­
периментальному значению Хм можно осуществить лишь при схм =
= схн' поскольку произведения qмSм и qнSн однозначно определены
заданными скоростными напорами и характерными площадями.
2.8.
Аэродинамическое подобие
сх =
JJ(pcosnx+c1xcostx) dS ,
sn
83
В этом случае оба потока (модельный и натурный) будут обла­
дать свойством динамического подобия, которое в данном случае
заключается в том, что по заданной силовой характеристике Хм од­
ного потока простым пересчетом, аналогичным переходу от одной
системы единиц измерения к другой, получают характеристику Хн
другого потока.
Требования, при выполнении которых обеспечивается в рассмат­
риваемом случае равенство схм = схн> а в общем случае и других
безразмерных аэродинамических коэффициентов, устанавливают с
использованием теории размерности и подобия, исходя либо из фи­
зической природы изучаемого явления, либо из соответствующих
дифференциальных уравнений аэродинамики.
Рассматривая выражение для аэродинамического коэффициента
s
можно заметить, что его значение зависит от безразмерных геомет­
рических параметров, а также от таких безразмерных величин, как
коэффициенты давления и местного трения. Из этого следует, что
аэродинамические коэффициенты для натуры и экспериментального
обьекта с различными абсолютными размерами сохраняются посто­
янными, если эти тела геометрически подобны и обеспечивается оди­
наковое распределение по их поверхности коэффициентов р и
В общем случае обтекания, характеризующимся влиянием раз­
личных физических и термодинамических параметров на аэроди­
намические свойства ЛА, критерии динамического подобия будут
более сложными и разнообразными. Для их установления можно
применить метод теории размерности и подобия, основанный на
использовании уравнения движения вязкого теплопроводного газа.
Получим эти уравнения в безразмерной форме, т. е. в таком виде,
чтобы входящие в них параметры (скорость, давление, температура
и др.) были отнесены к некоторым характерным величинам, кото­
рые являются для данного течения постоянными и определяют его
масштаб. В качестве последних выберем параметры набегающего
потока: скорость V00, давление р00, плотность р00, температуру Т00, ди­
намическую (кинематическую) вязкость µ00 (v00) и др. При этом сле­
дует помнить, что из трех параметров р00 р00, Т00 произвольно можно задавать два, а третий будет определен по этим двум с помощью
уравнения состояния. Масштабом времени, характеризующим не­
установившийся режим обтекания, будет величина t00, а масштабом
cft.
'
84
2. Основные уравнения и соотношения аэродина.,wики
длины - некоторый характерный линейный размер L (например,
длина обтекаемого тела); масштабом ускорения массовых сил мо­
жет быть выбрано ускорение силы тяжести g. Запишем безразмер­
ные параметры для длины и времени:
x=x/L; y = y/L; z = z/L; t=t/t00,
а также
сил:
для
скорости, давления, плотности, вязкости и массовых
Vx =Vx/V00; Vy =VyjV00; Vz =Vz /V00; р =р/р00; р=р/р00;
µ=µ/µ00; V=v/v00; x = x/ g; = y/g ; z = /g.
F
F
F
y
F
F
F
z
Введем безразмерные величины в уравнение движения и нераз­
рывности. При этом для преобразования используем только первое
уравнение системы, так как два друтих уравнения записываются
аналогично. Указанные уравнения в безразмерных коэффициентах
будут иметь вид
voo
voo2
v
gF
у
L
t00 t
д� +
дVХ +V дVХ + Vz дVХ =
х
х дх ду дz
д
д
1 др vooVoo {v
---+
--- L Р дх L2 лvх + 3 дх d. V +
Poo
У
дV
дV
дVх
дV
дµ
д
д
дV
1
2
.
µ
µ
z
х
х
+
+
++
+�
V
d
2
�
ду ду дх дz дz дх
р дх дх 3
д (iJvx) + д (iJvy ) + д (iJ�) = 0,
dz
дх
ду
где divV = дV /дх +дVУ /ду +дVz /дz.
х
Роо
lV
V
- - lV
,
•
Из масштабных величин, входящих в эти уравнения, можно со­
ставить ряд безразмерных чисел, характеризующих подобие газо­
вых течений. Эти числа, называемые по имени ученых, которые
первыми получили их, записываются в следующей форме:
Sh
= V00t00/L- число Струхаля, Fr v!:,/(gL)- число Фруда,
М = V00 jа00 -число Маха,
Re = V00p00L/µ00 = V00L/v00 -число Рейнольдса.
=
2.8.
85
Аэродинамическое подобие
скорость
Здесь индекс
при м и Re опущен; аоо = �kooRTOO
звука в невозмущенном потоке; k00, Т00
соответственно показа­
((00))
-
тель адиабаты и температура газа в невозмущенном потоке.
Введя эти числа в уравнения движения и неразрывности, по­
лучим
_1 д� + V дVх + Vу дVх +V дVх _!_ х 1 _!_ др +
Sh дt х дх
ду дz Fr k00M2 р дх
- 1 дµ дvх - 2 . д
.
1
-d1vV +
+- vЛV +- -d1vV +- - 2
Re х 3 дх
р дх дх 3
дV
дµ дVх + д
дV
дVz""-- .
µ
+- х + '--у +(2.49)
ду ду дх дz дz дх
-
-
F
=
z
-
v
'
(2.50)
Аналогичным образом преобразуем уравнение энергии (2.31 ),
опустив член, учитывающий излучение. Используя соотношение
i=е
= сРТ, для обусловленного теплопроводностью_теплово­
го потока q =
вводя безразмерные параметры Т = Т/Т00 ,
сР сР /сроо
(где сроо ,
соответственно удельная
=
теплоемкость и теплопроводность газа в невозмущенном потоке) и
учитывая, что
+ р!р
=
-Л.gradT,
, Л. Л./Л.00
Л.00 -
Роо = RToo = Сроо
Роо
1
1- - т
00
k
получаем
оо >
дТ
д
Т
д
Т
д
Т
- _ +Vх +Vу + V Sh дt
ду дz
дх
- 1)
2
дv
(koo
М
+
+ у --2µ (divV )2 +
Re
3
ду
2
дV
дV'-'--х + -'-у - + 1 div (Л.gradT ).
+µ RePr
дх ду
1
-
-
z
-
-
2
-
---­
-
-
(2.51)
86
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
Здесь Pr
безразмерное число Прандтля, при помощи которого
сравнивают относительные величины воздеиствия вязкости и теплопроводности, т. е. оценивают соотношение между тепловым по­
током, вызванным трением, и молекулярным переносом теплоты,
-
v
(2.52)
В дополнение к системе уравнений сохранения (2.49)-(2.51) пре­
образуем к безразмерному виду несколько соотношений:
- рТ ;
р=_
µер
(2.53)
Представим теперь, что мы исследуем два потока, обтекающие
геометрически подобные поверхности. У таких поверхностей без­
размерные координаты сходственных точек одинаковы, что являет­
ся необходимым условием аэродинамического подобия течений. Для
выполнения достаточного условия такого подобия должно быть
обеспечено равенство безразмерных значений газодинамических
параметров (скорости, давления, плотности и др.) в сходственных
точках. Поскольку безразмерные параметры одновременно являют­
ся решениями системы уравнений (2.49)-(2.51) и (2.53), то, оче­
видно, указанное равенство будет соблюдено при условии, если си­
стемы безразмерных уравнений, а также безразмерные граничные
и начальные условия для каждого потока одинаковы. Системы без­
размерных уравнений для двух потоков будут одинаковы, если
1 ) равны критерии подобия:
(2.54)
2.8. Аэродинамическое подобие
87
(ерооµоо /Л-00 )М = (ерооµоо /Л.оо )Н '
(2.55)
2) выполняется равенство чисел Прандтля Рrм = Рrн , т. е.
v
v
а также равенство отношении теплоемкостеи газов для двух течении:
(2.56)
v
3) каждое уравнение (2.53) (кроме первого) определяет зависи­
мость_безразмерных величин µер , Л., µ или еР от относительных
р и а также параметров (2.54)-(2.56). Однако в случае диссо­
циированного газа такие зависимости не выполняются, поскольку
нельзя выделить безразмерные критерии вида (2.54)-(2.56), а зна­
чит, для натурного и модельного потоков не удается обеспечить ди­
намическое подобие.
Можно указать два частных случая, когда это подобие обеспе­
чивается. Во-первых, при течении недиссоциированного газа, для
которого средний молекулярный вес остается постоянным (µер м =
= µер н), а теплоемкость, теплопроводность и вязкость изменяются
в зависимости от температуры по степенному закону. В этом случае уравнения (2.53) для Л., µ: и ер заменяются соответствующими
Т,
Т Т/Т
Во­
зависимостями только от безразмерной температуры =
вторых, при течении газа с небольшими скоростями, когда значе­
ния А.,µ и ер не зависят от температуры и будут соответственно
одинаковыми для натурного и модельного потоков. Для этого слу­
чая система уравнений включает безразмерные уравнения Навье Стокса, неразрывности, энергии, а также уравнение состояния.
Граничные условия, накладываемые на решения безразмерных
уравнений, могут давать дополнительные критерии подобия. Это
не относится к условию безотрывного обтекания, которое не вно­
сит новых критериев подобия.
По известному распределению давления можно определить для
данного момента времени безразмерный коэффициент аэродинамическои силы:
00 •
v
eR
=
Rj(q00S) = <p(Fr, Re, М, Sh, Pr, k00, Тет).
(2.57)
Критерии подобия, от которых зависит безразмерный аэродина­
мический коэффициент, имеют определенный физический смысл и
характеризуют реальные факторы, влияющие на аэродинамическую
силу.
Число Фруда является критерием подобия, учитывающим влия­
ние на сопротивление массовой силы (силы тяжести). Из уравне-
88
2. Основные уравнения и соотношения аэродина,wики
ния движения, записанного в безразмерной форме, следует, что чис­
ло Fr равно отношению величины v!,/L, обусловленной влиянием
инерционных сил, к масштабу g массовых сил. Равенство чисел Фру­
да для натуры и геометрически подобной модели означает, что у
них будут одинаковыми коэффициенты аэродинамической силы,
обусловленные влиянием силы тяжести жидкости. Этот критерий
подобия не имеет существенного значения при исследовании газо­
вых течений, поскольку влияние силы тяжести газа на движение
пренебрежимо мало. Однако значение этого критерия может ока­
заться существенным в гидродинамике.
При движении тел в реальной жидкости аэродинамические силы
зависят от вязкости. Сила вязкости характеризуется числом Рейнольд­
са. Если соблюдается равенство чисел Рейнольдса двух геометри­
чески подобных потоков, то, в частности, будут равны коэффици­
енты сопротивления трения для натурного и модельного тел.
Критерий подобия по числу Маха получается из отношения ве­
личины v!,/L к параметру p00/(p00L) , который учитывает влияние
сил давления, зависящих от сжимаемости газа. Частичное подобие
двух потоков сжимаемого газа, обтекающих геометрически подоб­
ные тела, будет соблюдено при равенстве чисел Маха.
При исследовании неустановившегося обтекания существенное
значение имеет подобие по числу Струхаля, которое получается из
сопоставления инерционных сил и сил, вызванных влиянием не­
стационарности, т. е. из отношения величин V;, /L и V00 /t00 Два
нестационарных течения, обтекающих натурное тело и модельный
объект, будут иметь частичное аэродинамическое подобие при оди­
наковых значениях числа Струхаля.
Критерии подобия по числу Прандтля и отношению теплоемко­
стей обусловлены определенными требованиями к физическим свой­
ствам газов натурного и модельного течений. Газы могут быть раз­
личными, но их физические характеристики должны быть такими,
чтобы выполнялись равенства Рrм = Рrн и k00м = k00н. Число Прандт­
ля зависит от динамической вязкости и теплопроводности. Первая
отражает своиства газа, от которых зависит молекулярным перенос
количества движения, а вторая характеризует интенсивность моле­
кулярного теплопереноса. Таким образом, критерий Прандтля Pr
определяет меру преобразования энергии молекулярного переноса
в теплоту. Для газа Pr < 1.
Безразмерный коэффициент аэродинамической силы или теп­
лопередачи является сложной функцией ряда критериев подобия,
•
v
v
2.8. Аэродинамическое подобие
89
каждый из которых отражает влияние какого-то определенного фи­
зического процесса. Полное подобие натурного и модельного по­
токов может быть выполнено лишь при соблюдении равенства всех
критериев подобия. На практике, однако, это обеспечить не уда­
ется, поскольку некоторые из этих критериев являются противо­
речивыми.
Рассмотрим, например, числа Рейнольдса, Фруда и Маха. Для
выполнения подобия по силам трения необходимо, чтобы Vн-4 /vн =
= Vм41/vм. Если принять, что для натурного и модельного пото­
ков vн = v�i' то скорость модельного потока Vм = Vн 4/ Lм , т. е.
больше скорости натурного потока во столько, во сколько модель
обтекаемого тела меньше натуры.
Для обеспечения подобия по силам тяжести необходимо соблю­
сти равенство чисел Фруда, т. е. Vн2 /(4gн) = v�; /(41gм), откуда
следует, что если опыты проводили при одинаковых значениях g,
то скорость модельного потока Vм = Vн �4 /Lн. Следовательно, в
данном случае скорость для модели должна быть не больше, а мень­
ше, чем для натуры.
Наконец, при соблюдении равенства чисел Маха будем иметь
Vн /ам = Vм/ам.
Приняв для упрощения ам = ан, получаем условие равенства скоро-
стеи модельного и натурного потоков.
Естественно, выполнить одновременно это условие для скорос­
ти нельзя, а значит, можно говорить лишь о неполном подобии. Сле­
дует, однако, отметить, что практически нет необходимости удов­
летворять всем критериям подобия, поскольку влияние их в том
или ином конкретном случае движения неодинаково. Например, бо­
лее существенным на обтекание тел газом будет влияние сил тре­
ния и давления, чем силы тяжести, т. е. большее значение имеют
критерии Re и М, нежели число Fr. В связи с этим в подобных
случаях число Fr как критерий подобия не учитывают. Если одно­
временно невелики скорости движения, то пренебрежимо мало влия­
ние сил, обусловленных сжимаемостью газа, а значит, можно не
учитывать критерий подобия по числу Маха, полагая, что аэроди­
намический коэффициент зависит от числа Рейнольдса.
Аэродинамическая сила, момент и тепловой поток от газа к поверхности являются результатом воздеиствия на тело движущегося
газа, в котором одновременно протекают самые различные процес­
сы: трение, сжатие (или расширение), нагрев, изменение физичес�
�
90
2. Основные уравнения и соотношения аэродинамики
ких свойств и др. Поэтому надо стремиться к удовлетворению мак­
симального количества критериев подобия. Например, целесообраз­
но, чтобы одновременно сохранялись равенства чисел Рейнольдса
и Маха модельного и натурного потоков, т. е. Rем = Rен и Мм = Мн.
Это особенно важно при исследовании аэродинамических сил, ко­
торые для тел с большой поверхностью могут слагаться из равно­
ценных составляющих, зависящих от трения и давления. Выпол­
нение указанного условия может быть обеспечено при проведе­
нии экспериментов в аэродинамических трубах переменной
плотности. Если испытания проводят в потоке газа, скорость зву­
ка в котором такая же, как в натурном потоке (ан = ам), то из усло­
вия равенства чисел Маха следует, что Vн = Vм. Имея это в виду и
используя равенство Rем = Rен или VнРн 4/µн = VмРмLм /µм , полу­
чаем условие 4Рн/µн = 4.�Рм/µм . Принимая µн = µм, находим, что
плотность газа в потоке аэродинамической трубы должна быть
Р н = Рм (Lм/4). Полагая, что температуры натурного и модельно­
го потоков одинаковые (Тн = Тм), и привлекая уравнение состояния,
получаем условие Рн = Рм (41 /4). Таким образом, для одновремен­
ного удовлетворения подобия по силам трения и силам давления
с учетом сжимаемости, т. е. для соблюдения равенств Rем = Rен и
Мм = Мн, необходимо, чтобы статическое давление в потоке газа,
создаваемом аэродинамической трубой, было больше давления в
натурном потоке во столько раз, во сколько модель меньше натуры.
Конструкция аэродинамической трубы позволяет в известных пре­
делах регулировать статическое давление в модельном потоке газа
в зависимости от размеров обтекаемой модели.
С известным приближением при определении силового взаимо­
действия влиянием теплопередачи можно пренебречь. При этом
аэродинамические коэффициенты будут зависеть от чисел Re, М и
Sh. Если к тому же испытания проводить в газовой среде, для кото­
рой k00н = k00м ,
= f (Re, М, Sh),
а для установившегося обтекания
= f (Re, М).
ТО
cR
cR
3. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ
НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА
Основной задачей кинематики газа (жидкости) явля­
ется определение скорости движущейся среды. При
исследовании течений можно не учитывать враще­
ние среды в связи с пренебрежимо малыми угловыми
скоростями частиц. Такое движение называется без­
вихревым и описывается потенциалом скорости. Для
некоторых видов вихревого потока существует функ­
ция тока, определяющая его кинематические харак­
теристики.
В главе рассмотрен.а кинематика нес
аемых до­
звуковых потоков, установлены закономерности для
потенциальных и вихревых течений. Доказаны фун­
даментальные теоремы Н.Е. Жуковского и С.А. Чап­
лыгин.а. Получены формулы для скоростей, индуциро­
ванных вихрями.
жим
3.1. Основные понятия
Циркуляция скорости
В аэрогидромеханике важную роль играет циркуляция скорос­
ти. Выделим в движущейся сплошной среде некоторый фиксиро­
ванный замкнутый контур l (рис. 3.1), выберем на нем точку М, в
которой скорость представляется вектором V, и запишем произведение V cos (V dl) dl = V cos а dl. Поскольку V cos а = Vt , где Vt проекция вектора скорости на направление касательной к контуру l
в точке М, можно записать
V cos (V dl)dl = V1 dl = V dl .
Возьмем этого выражения криволинейный интеграл по дуге АВ:
J Vdl = Г.
-
л
л
от
АВ
...
...
92
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
в
-7
v
А
Полученное выражение характери­
зует циркуляцию скорости по дуге АВ.
Обычно ее вычисляют по всему замк­
нутому контуру l, т. е.
Г = Jvctz .
l
Используя известную формулу скалярного произведения двух векторов
Рис. 3.1. Определение цирёi(ax,ay,,az), b(bx,by,bz), т. е. ёi Ь =
куляции скорости
= ахЬх + ау Ьу + azbz, и учитывая, что в
- декартовой системе координат dl = d.x · i + dy · j + dz · k, находим
-
-
-
При вычислении Г1 направление интегрирования считается поло­
жительным, если область, ограниченная контуром /, остается сле­
ва, и наоборот.
В случае потенциального течения, когда V = grad <р,
Г=
-
J grad <p dl = J
АВ
АВ
д<р
д<р
д<р
dy+
d.x+
dz =
д
д
д
у
Х
z
J d<p = <p8 -<рл ,
АВ
т. е. циркуляция скорости не зависит от формы дуги интегрирова­
ния АВ, а определяется лишь значениями потенциала скорости на
ее концах. Если контур замкнутый, а потенциал скорости - одно­
значная функция координат, то Г1 = О. Однако если потенциал ско­
рости - неоднозначная функция координаг, то Г1 * О.
Плоское потенциальное движение идеальной среды
Движение называется плоским, или плоскопараллельным, если
все частицы, лежащие на одном и том же перпендикуляре к некоторои неподвижнои плоскости, движутся параллельно этои плоскости. Параметры такого движения зависят только от двух простран­
ственных декартовых координат.
В случае плоского несжимаемого установившегося течения
функция тока 'Jl(x, у), удовлетворяющая уравнению неразрывно­
сти (2.18), связана с проекциями скорости следующими соотно­
шениями:
v
v
v
3.1. Основные понятия
93
v �
д '
х
=
(3.1)
·
у
Отметим основные свойства функции тока \jl(x, у). Подставив
(3.1) в уравнение линии тока (2.4), записанное для плоского тече­
ния, получим
д\jl
х
д
dx +
д\jl dy = d\jl =
ду
о.
Отсюда следует, что вдоль линии тока \jl= const, поэтому функцию
\jl(x, у) называют функцией тока, а выражение \jl= const уравнением семеиства линии тока.
Приравняв потенциал скорости <р(х,у) постоянной величине:
<р(х, у) = const, получаем семейство линий равного потенциала, т. е.
эквипотенциальных линии.
1
с учетом соотношений
При условии, что О)z = ­
,
2
(3.1) имеем
-
�
�
v
откуда в случае потенциального движения можно записать
д 2\jl + д 2\jl = 0
дх2 ду2 ·
-
Следовательно, функция тока при по­
тенциальном движении удовлетворя­
уравнению Лапласа и является гармоническои.
Выясним физический смысл функ­
ции тока \jl(x, у). Рассмотрим в плос­
ком потенциальном потоке бесконеч­
но малый элемент d/ на кривой АВ
(рис. 3.2), содержащий точку Лf_, в ко­
торой скорость потока равна V. Эле­
ментарный объемный расход среды
через этот элемент dQ = Vn dl, где
проекция вектора скорости на
vn
нормаль к дуге в точке М. Известно,
ет
у
п
v
v
-
�
в
А
х
о
Рис. 3.2. К определению фи­
зического смысла функции
тока
94
3. Потенциальное и вихревое течения несЖUJltае.мого газа
что Vn может быть выражена через проекции скорости Vx, VY на
координатные оси следующим образом:
vn = vx cos (пх) + vy cos (п у).
Тогда
dQ = [Vx cos (пх) + Vy cos (п у)] dl;
dy
dx
cos(n
у)
=--.
cos(nx) =-;
dl
dl
Используя условие потенциальности, получаем
д
д
\jf
\jf
dx д\jf dy
д\jf
+
dx
+
=
dy = d\jf,
d
l
dQ = дх dl
дх ду
ду dl
или
(3.2)
dQ = d\jf.
Таким образом, дифференциал функции тока равен расходу газа
(жидкости) через элемент d/ в единицу времени. Для определения
расхода через всю кривую АВ необходимо проинтегрировать выра­
жение (3.2):
(3.3)
Q = Jd\jf = '1' - '1'
в
А
В
А•
т. е. расход жидкости через произвольную кривую АВ равен разно­
сти значений функции тока в конечных ее точках и не зависит от
формы кривой. Отсюда следует, что если сама кривая АВ является
участком линии тока, то расход через нее равен нулю. Из формулы (3.3) следует, что количество жидкости, протекающеи между двумя лиу
ниями тока на всем их протяжении,
в
�---- 'l'в
есть величина постоянная (рис. 3.3).
Если контур замкнут, то при одно­
значности \jf(x, у) расход Q = О. Если
же \jf(x,y) неоднозначная функция, то
расход
через
такой
контур
будет
отQ
'l'
�-4--л личаться от нуля. Это может иметь
л
место, если внутри контура осуществляется подвод или отвод жидкости,
х
о
т. е. расположены либо источники,
Рис. 3.3. Семейство линий тока либо стоки.
v
3.1. Основные понятия
95
Метод ншzожения потенциальных потоков
Большое практическое значение в исследовании потенциальных
потоков имеет метод наложения. Пусть мы имеем два потока с по­
тенциалами <р1 и <р2, удовлетворяющими, как известно, уравнению
Лапласа, т. е.
В таком случае потенциал скорости потока
<р = </>1 + </>2 '
также удовлетворяющий уравнению Лапласа, будет характеризо
не рый новый поток несжимаемого газа:
вать
кото
=
0,
являющиися результатом наложения двух исходных потоков, т. е.
геометрического суммирования в каждои точке пространства их скоростей. В самом деле,
д
д
д
v
v
v .
<р
<р
<р
l
2
=
=
= +
Х дх дх дх
д<р д<рl + д<р2 v + v .
v
У ду ду ду У1 У2
Аналогично можно показать, что для нового сложного потока
функция тока
v
v
+
=
XJ
=
"' = '1'1
Xz '
=
+
'1'2'
т. е. равна алгебраической сумме функций тока исходных потоков.
Таким образом, наложение двух и более потоков сводится к про­
стому алгебраическому суммированию потенциалов и функций тока
исходных потоков.
Комплексный потенциал и комплексная скорость
Установим связь между потенциалом скорости и функцией тока.
Потенциал скорости и функция тока связаны с компонентами ско­
рости потока в плоском течении соотношениями
v
v
- д'Jf
= д<р . vу = д<р '.
=
у
ду
дх '
дх '
х
96
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
поэтому
д<р - д'lf
д<р д'lf . 4)
(3.
'
дх ду ду дх
Соотношения (3.4) назы ся усло и Коши - Римана и пока­
зывают, что каждая кривая <р = const пересекается под прямым углом
--
вают
виям
с линией '1' = const, т. е. они ортогональны. Функции <р и '1' называ­
ются сопр енными. Условия Коши - Римана позволяют выразить
одну из сопряженных функций через другую и являются условиями
существования аналитической функции W(z) комплексного переменного z = х + iy (где i Н), определяемой соотношением
я:ж:
=
W(z) = <p + i'lf.
Взяв производную
д<р
д<р . д\jl = д\jl - i.дх дх ду ду '
dw
-=-+i
dz
отмечаем, что она тесно связана со скоростью течения среды:
-
V=
V
dW
dz
= Vx - iVy .
Выражение = Vx - iVY представляет собой комплексную сопряженную скорость, а сама функция W(z)- - комплексный потенциал, или характеристическую функцию (V Vx + iVy комплексная скорость). Модуль скорости определяется соотношением
dW
v
fvx2 + v} .
=
-
=
=
dz
'\/
*
3.2. Примеры потенциальных потоков
Прямолинейный равномерный поток
Предположим, что плоскопараллельный поток задан потенциа­
лом <р =ах+ Ьу, где а, Ь некоторые действительные числа. Со­
ставляющие скорости течения по координатным осям
-
*
См. также: Аэромеханика / Е.Н. Бондарев, В.Т. Дубасов, Ю.А. Рыжов
М.: Машиностроение, 1993.
и др.
'
3.2. Примеры потепциальпых потоков
97
V
= дq>у =а· Vу - дq>у --Ь
д
д
т. е. поток движется с постоянной скоростью V = �а2 + Ь2 . Найдем
уравнение линии тока.
Как известно,
d\jf = д\jfх dx + �у dy,
д
д
откуда
d\jf = ady - bdx,
или
\j1 = ау- Ьх.
Линии тока представляют собой семейство параллельных пря­
мых \j1 = ау -Ьх, наклоненных к оси Ох под углом а, тангенс кото­
рого tga. = Vy /Vx =Ь/а (рис. 3.4, а).
х
v
'
у
'l'I
''
'
'
''
<р = const
=
const
у
'1'2 = const
'l'з const
=
х
х
1
1
1
1
1 1,
1
1
,
,
,
,
'
,
,
, , "
/ ,
,
'
1 ,
...
а
/
у
,
,
'
'
'
'
'
' '
... '
'
...
' '
'
...
'
"
...
'
...
'
...
'
...
,' '
''
...
...
'
'
'
' '
'
'
'
,"'
'
'
'
'
'
,
'
'
б
х
Рис. 3.4. Линии тока и эквипотен-
циальные линии для прямолинеиного
равномерного потока (а), для потока,
заданного потенциалом скорости
q> а(х2 - у2 ) (б), и при течении от исv
=
в
точника (в)
98
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;ч ае.мого газа
Если поток направлен параллельно оси Ох,
имеют вид
<р = ах; \jf = ау,
при направлении потока параллельно оси Оу
то
'1'
функции <р, \jf
= -Ьу.
<р = Ьу;
Если течение задано комплексным потенциалом
(z) = az, где
.
, то можно определить хакомплексная
величина,
za2
а
=
а1
а
рактер течения, получив уравнения семейств линий тока и эквипо­
тенциальных линий. Поскольку
<р + i\jf = (а1 - ia2 ) (х + iy),
то
<р = а1х + а2у; \jf = -а2х + а1у.
Приравнивая выражения для <р и \jf к постоянным величинам,
находим уравнения эквипотенциальных линии и линии тока:
W
-
v
а1х+�у = С1;
- а2х +а1у
v
= С2 ,
где С1 = const; С2 = const, т. е. уравнения семейств взаимно ортого­
нальных прямых. Комплексная скорость
d
W/dz = а = а1 - ia2.
Следовательно, направление течения среды будет параллельно
прямым, наклоненным к оси Ох под углом а, тангенс которого
tg а = а2 а1 , а ее скорость
/
V = 1 d W/dz 1 = �а1 + ai .
Течение внутри прямого угла
Пусть потенциал скорости имеет вид <р = а(х2 - у2 ), где а
действительное число (а > О).
Покажем, что зная <р, можно определить функцию тока \jf, и на­
оборот. Согласно первому выражению (3.4),
\jf =
д<p
J дх dy +C,
или \jf = 2ayx + C,
где С = const. Отбрасывая произвольную постоянную, получаем
\jf = 2аух. Тогда уравнение линий тока ху = С (рис. 3.4, 6), т. е. ли­
нии тока представляют собой семейство гипербол (сплошные ли­
нии) с асимптотами, являющимися осями координат. При С > О
либо х > О, у > О, либо х < О, у < О, т. е. ветви гипербол располага­
ются в первой и третьей четвертях, а при С < О либо х < О, у > О,
х
у
3.2. Примеры потепциальпых потоков
99
либо > О, < О, т. е. ветви гипербол расположены во второй и
четвертой четвертях координатной плоскости. Если С= О, то линия­
ми тока являются оси
и
(«нулевые» линии тока). В начале
= = О . Точка потока, в которой скорость равна нулю,
координат
называется критическои.
Чтобы найти направление течения, рассмотрим некоторую точ­
ку М на оси
с координатами > О,
О.
точке М проекции
= О, т. е. скорость направлена в поло­
скорости
=
> О,
жительную сторону оси
а поток течет в направлениях, показан­
ных на рис. 3.4, б сплошными линиями.
Если потенциал скорости
постоянный, то получим уравне­
(см.
ние семейства эквипотенциальных линий <р
рис. 3.4, б, штриховые линии) - гипербол с асимптотами, являю­
щимися биссектрисами координатных углов, которое будет ортого­
нально семейству гипербол
С.
=
где а - дейст­
Комплексный потенциал такого потока
+ Как известно, (z) =<р + i'JI. Тогда
вительное число;
Ох Оу
Vx VY
v
Ох
Vхм 2ах
у= В
х
Vум
Ох,
<р
= а(х2 - у2 ) =С
ху =
W(z) az2,
W
z = х iy.
<р = а(х2 - у2 ); 'V = 2аху.
Скорость потока
В свою очередь,
т. е.
dW(z) = д<р + i д'Jf = 2az.
dz
дх дх
dW(z) =V
dz
х - l·vУ '
dW
=
2ах·
V
l
=
V
Vy = -2ay; I dz = 2а�х2 + у2 .
х
'
Течение от источника и стока
Пусть потенциал скорости задан в виде
<р=
или в полярных координатах
ln�x2 + у 2
<р = ln
r.
Согласно первому выражению (3.4), функция тока
'Jf = f д<p dy + C.
дх
100
3. Потенциш�ъное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
х
д
<р
, то
Поскольку
=
дх х + у
х
=
"' J х + у dy + с '
-
2
2
2
или
2
ctl.
х + С.
'1' = J
l + (y/x)
2
Выполнив интегрирование, находим
'1'
= arctg ( у/х) + С.
Таким образом, функция тока для данного течения (с точнос­
тью до произвольной постоянной) имеет вид
'1' = arctg (у/х )
или в полярных координатах
"' =
е.
Семейство линий тока представляет собой семейство лучей, исходящих из начала координат (рис. 3.4, в). Чтобы определить направление течения, наидем проекцию скорости:
v
vr =
д<р = .!.. >о
дr r '
т. е. направление скорости совпадает с положительным направле­
нием полярного радиуса. Такое течение называется течением от ис­
точника. Среда вытекает из начала координат по линиям тока, пред­
ставляющим собой семейство прямолинейных лучей.
Для получения уравнения семейства эквипотенциальных линий
необходимо потенциал скорости приравнять постоянной величине:
ln
или
Следовательно, эквипотенциальные ли­
нии представляют собой семейство концентрических окружностей
(штриховые линии на рис. 3.4, в), ортогональных семейству линий
тока, центры которых расположены в начале координат. Пусть Q секундный объемный расход среды, вытекающей из источника. Бу­
дем называть его мощностью источника. Установим связь между
'lf. В силу условий неразрывности
мощностью Q и функциями
расход жидкости, протекающей через окружность радиусом r, бу-
<р = r= С
дет Q =
r = const.
<р,
д
2nrVr. Поскольку Vr дr<р ddr<p , то
=
=
3.2. Примеры потепцuальпых потоков
101
d<p
Q dr
Q = 21tr- или d<p = - -.
dr
27t r
После интегрирования получаем
Q
=
-lnr.
<p
21t
(3.5)
Функция тока будет иметь вид
Q
'1'= -0.
21t
(3.6)
Очевидно, что выражения (3.5) и (3.6) характеризуют потенци­
ал скорости и функцию тока для источника мощностью Q = 21t.
Если среда течет в обратном направлении, т. е. ее линии тока
направлены в начало координат, имеет место течение от стока.
этом случае
В
<p = -
*
lnr;
Q
"' = --0.
21t
Характеристическая функция течения от источника
W(z ) =
g
lnz.
21t
Тогда
i0
<р+ i'I' = ln(re ) = ln r + i0;
Течение от диполя
Диполем называется комбинация источника мощностью Q и сто­
ка мощностью -Q, помещенных на бесконечно малом расстоянии
один от другого (рис. 3.5). Используя метод наложения, запишем
потенциал диполя в виде
Q
Q
ri ,
ln=
=
=
r2)
-ln
(ln
fi
+
<р <рист <рсток
21t r2
21t
где <рист и <рсток
-
потенциалы источника и стока соответственно.
10 2
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.,,wае.мого газа
у)
,
(х
М
у
Расстояния от точки М до источ­
ника и стока находим соответствен­
но по формулам
r1 = �(х+Е.)2 + у 2 ;
+Q
r2 = �(х-Е.)2 + у2 ,
х
-Q
где х, у
координаты произволь­
ной точки М.
Выражение для потенциала ско­
Рис. 3.5. К определению поня ­
рости имеет вид
тия «ДИПОЛЬ»
е
-
n
l
<p = я_
21t
(х+ Е.)2 + у2
(х-Е.)2 + у2
или после преобразования
Е.
Если теперь сближать источник и сток, то величина будет стремиться к нулю. Обозначив z =
для <р в ряд:
4хе
(х-Е.)2 + у2 '
разложим выражение
3
2
z
z
ln(l + z)=z - -+- -...
2
3
Удерживая в разложении только члены, содержащие
пени, получаем
4хЕ.
Q
= 21t
<р
.
2
_
_
_
х-(- Е.)2 + у
Е. в первой сте­
(3 .7)
Обратимся к функции тока \jl для рассматриваемого течения.
Нетрудно заметить, что
где
но;
'!'ист и '!'сток
функции тока источника и стока соответствен­
01 = arctg[y/(x+e)], 02 =arctg[y/(x-e)]. Тогда
-
tg (01
3.2. Примеры потенциальных потоков
_
103
)е
е)
-е
у(
-2у
у(х
tg0
х+
tg0
1
)
2
---02 - +
- 2 €2 у2 - 2
2.
1 tg01tg02
_
_
х - +
х - €2 + у
Из полученного выражения находим
-2уе
01 - 02 = arctg х2 + у2 -€2 .
Следовательно,
Q
-2уе
'V =-arctg 2
х + у2 -€2 .
21t
Пользуясь известным разложением для
з zs
z
arctgz=z--+--".,
5
3
где
z = 2 -2уе
,
2
2
х + у -€
и малостью
е, удержим
в разложении лишь
члены, содержащие е в первой степени. Тогда
2
у
Q
'\jl=--1t х2 + 2е €2 ·
2
у
(3. 8)
_
Сближая источник со стоком, полагаем, что мощности их не­
ограниченно возрастают, так что в пределе произведение 2Qe стре­
мится к некоторой конечной величине Мд№' которая называется мо­
меNmом диполя. Обычно ее изображают в виде вектора, направле­
ние которого указывает на направление от стока к источнику. Ось
называется осью диполя.
Подставив Мдип в выражения (3.7) и (3.8), в пределе при
О
получим
Ох
€ -7
___,;.
___,;.
_
_
= 2 2 2 ; 'V = 21t х2 У 2 .
<р 1t х + у
+у
Мдип
Х
_
Мдип
_
Найдем уравнения семейств линий тока и эквипотенциальных
линий для течения от диполя. Приравняв функцию тока 'V постоян­
ной величине:
у -с
2
2
х +у
'
104
3. Потенциальное и вихревое течения несжUJwае.мого газа
находим
2
у
'
'
\
'
\
\
\
\
\
'
'
'
'
'
'
'
'
'
1 1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
,, 1
,
,
----
-
Очевидно, что совокупность
линий тока будет представлять
собой семейство окружностей с
центрами на оси Оу и касающих­
ся оси Ох в начале координат, а
совокупность эквипотенциаль­
ных линий - семейство окруж­
ностей, ортогональных линиям
тока, с центрами на оси Ох и ка­
сающихся оси Оу в начале коор­
динат (рис. 3.6).
Характеристическая функция
этого течения имеет вид
х
'1' = const
Рис. 3.6. Линии тока и эквипотен­
циальные линии для течения
диполя
от
dW
dz
Мдип _!_
Vх
2
21t z
=
-
·v
l
у.
Течение от вихря
Рассмотрим такой плоский поток, в котором потенциал скорос­
ти и функция тока 'V определяются выражениями
<р
v = R1nr,
21t
где Q > О
некоторая постоянная величина, физический смысл
которой необходимо определить.
Для выявления характера течения найдем уравнение линий тока,
-
приняв 'V =
Q ln r = С или r = const, т. е. совокупность линий тока
21t
будет представлять собой семейство концентрических окружноетеи с центром в начале координат.
Определим направление течения среды, вычислив скорость в
произвольной точке М (рис. 3.7) через полярные координаты r и 0:
v
V
r
д<р О
дr '
= - =
·
Vz
=
1
<р
Q >0.
д
Ve
r де 21tr
=-- =
3.2. Примеры потенциальных потоков
105
у
Следовательно, скорость в точ­
ке М направлена по касательной к
'1' = const
окружности радиусом r, а точка М
совершает движение по ней в сто­
рону возрастания угла 8. Такое дви­
жение среды называется плоским
вихревым течением, или плоским
вихрем, а начало координат - вих­
ревой точкой. Это означает, что
вдоль оси Oz расположен бесконечно длинным прямолинеиныи вихрь,
вызывающим в перпендикулярном к
�'
<р = const
нему плоскости движение жидких
частиц по концентрическим окруж­ Рис. 3.7. Линии тока и эквипоностям.
тенциальные линии для течения
Выясним теперь физический
вихря
смысл постоянной Q. Для этого вы­
числим циркуляцию скорости в рассматриваемом потоке: Г = ф Vzdl. Подставив Vt = Q/(27tr) и выполнив интегрирование по окружности радиусом r, найдем
Q
Q
d8, или Q = Г,
f
Г = ф 21tr dl = f 21tr rde=R
21t
т. е. произвольная постоянная Q равна циркуляции скорости. Та­
ким образом, выражения для потенциала скорости и функции тока
плоского вихря имеют вид
г
'lf = - lп r.
21t
'
'
'
х
--
v
v
v
-
v
v
/
от
27t
27t
0
0
г =С
Уравнение семейства эквипотенциальных линий <р = -е
21t
или е = const представляет собой совокупность прямых, исходящих
из начала координат и перпендикулярных линиям тока (см. рис. 3.7).
Примем одну из линий тока, например окружность радиусом
r = r0, за твердую границу, что не нарушает характера потока, и
будем рассматривать течение среды вне этой окружности. Тогда по­
лучим так называемое чисто циркуляционное обтекание бесконеч­
но длинного (в направлении оси Oz) круглого цилиндра радиусом r0,
106
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
при котором все линии тока - концентричные цилиндру окруж­
ности.
В любой точке вне цилиндра скорость
(3.9)
V Г/(27tr).
Максимальной она будет на поверхности круглого цилиндра:
=
v0 = Г/(27tr0).
По мере удаления от цилиндра скорость будет убывать по ги­
перболическому закону (3.9), и на бесконечности V00 О (рис. 3.8, а).
=
у
у
...- -- - - ... ...
...
...
...... ,'
,,
� ,
,...
---. '�
---,
,
... v
...
..
.
,
,
'
'
/
,' '
'
''
'' '
'
1
r
"
'
'
1
1
А
�---
а
о
х
б
Рис. 3.8. Чисто циркуляционное
(а) и бесциркуляционное (6) обтекание
круглого цилиндра
Характеристическая функция чисто циркуляционного обтекания
круглого цилиндра имеет вид
Гi
W (z) = --ln z.
27t
Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра
Рассмотрим сложное плоское течение среды, которое получает­
ся в результате наложения двух изученных ранее потоков: равно­
мерного прямолинейного потока, двигающегося в направлении оси
Ох с единичной скоростью, для которого
<р = Х, \jf = у'
3.2. Примеры потенциальных потоков
107
и потока от диполя с моментом Мдип = 2п и
х
<р= 2 2 ; w -- - 2 у 2 ·
х +у
х +у
Выражения для функций <р, W сложного потока будут иметь вид
х
у
<р = х +
Y 2 2·
W
2
'
х +у
х2 + у
Для определения уравнения семейства линий тока приравняем
функцию тока некоторой постоянной величине:
"Чf=у- 2 у 2 = С,
х +у
тогда
у[(х2 + у2) - 1] = С(х2 + у2).
Линии тока представляют собой семейство кривых третьего по­
рядка. Для нулевой линии тока получаем два уравнения:
у= О; х2 + у2 - 1 = О.
Следовательно, нулевые линии тока совпадают с осью Ох и
окружностью единичного радиуса с центром в начале координат.
за
твердую
границу
и
рассматриПринимая указанную окружность
вая течение среды вне этои� окружности, можно трактовать полученное течение как поток, обтекающий бесконечно длинный ци­
линдр единичного радиуса (рис. 3.8, 6). Покажем, что точки А и В
пересечения нулевых линий тока с цилиндром будут критически­
ми. Представим потенциал скорости сложного потока в полярных
координатах:
1
+
<р = r -r cos 0,
и запишем проекции скорости в произвольной точке на полярный
радиус r и на перпендикулярное к нему направление, определяе­
мое углом 0 (V0 = V1) :
1
1
д
д<р
1
­
1
­
v = <р =
Ve - -- -- - l + 2 sin 0.
cos0;
2
дr
r де
r
r
r
108
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
Из последнего выражения следует, что циркуляция скорости вокруг
цилиндра равна нулю:
21t
21t
1
cose = 0.
Г= ф Vz dl = f Vird0 = r 1 + ­
2
r
о
о
Проверим, удовлетворяются ли граничные условия задачи, зак­
лючающиеся в том, что обтекание цилиндра происходит без отры­
ва потока, т. е. что в каждой точке на его поверхности скорости
частиц среды направлены по касательной. При r = 1, Vr = О,
V0 = -2sin 0, а распределение скорости определяется выражением
V = 2 1 sin01. Для точки А угол 0 = и V = О, для точки В угол 0 = О
и V= О.
Нетрудно убедиться, что в случае потока, двигающегося на бес­
конечности со скоростью V00 в отрицательном направлении оси Ох
и обтекающего цилиндр радиусом r0, для потенциала скорости <р
справедливо выражение
r,2
<р = -V00 cos 0 r + _Q_
r
7t
этом случае скорость на поверхности цилиндра
v = 2 voo 1 sin е 1.
Картина такого течения представлена на рис. 3.9. Точки А и В
будут по-прежнему критическими. Отметим, что в точках пересе­
чения окружности с осью Оу скорость V принимает максимальное
значение, не зависящее от радиуса цилиндра и равное удвоеннои
скорости на бесконечности.
у
Рассмотрим теперь бесцирку­
ляционное обтекание потенциальным потоком идеальнои несжимаемои среды цилиндра радиусом r0
в
(см. рис. 3.9). Скорость V на ци­
линдре будет выражаться следую­
щим образом: V = 2V00 sin 0. Ис­
пользуя уравнение Бернулли, вы­
числим давление на цилиндре:
-3
2
2
v00 p V
Рис. 3.9. Картина бесциркуляцион­
р = роо + р
2
2
ного обтекания круглого цилиндра
В
v
v
v
3.2. Примеры потепциальпых потоков
109
Подставляя выражение для V, находим
р - р00 =
2
V
p 200
(1 -4sin2 e).
Видно, что коэффициент 1 -4 sin2 е не зависит ни от r0, ни от
V00, р00• Поскольку распределение давления по цилиндру симмет­
ричное, результирующая сила от давления потока на цилиндр рав­
на нулю. Это характерно и для случая обтекания произвольного
тела потенциальным потоком без образования вихрей и отрывных
течений. Следовательно, если в равномерном установившемся по­
токе идеальной среды помещено какое-нибудь тело и поток обте­
кает его без срыва и циркуляции, то результирующая сила от дав­
ления потока на тело равна нулю, т. е. тело не испь1тывает сопро­
тивления. В этом заключается известный парадокс Эйлера Д'Аламбера.
Циркуляционное обтекание круглого цилиндра
Для получения так называемого циркуляционного обтекания
круглого цилиндра необходимо наложить на бесциркуляционное обтекание чисто циркуляционныи поток от плоского вихря, расположенного в начале координат
(рис. 3 .1О). Сложив потенциау
лы скоростеи указанных потоков, получим
,,
v
v
1
г
+-е.
21t
'
�
'
1
--
1
1
1
1
о
_ ro'
�-
-·
VбЦ\
1
1
1
•
�
Voo
х
Таким образом, в каждой - vбu
точке пространства к скорос­
бесциркуляционного
ти V6ц
--- - --потока, обтекающего цилиндр,
добавляется скорость Vц чис­ Рис. 3.10. Результирующие скорости
то циркуляционного потока, а при наложении плоскопараллельного
их результирующая изобража­ и циркуляционного течений около
ется диагональю параллело­
цилиндра
грамма,- построенного
на
векторах V6u и Vц (см. рис. 3.1 О).
Наличие циркуляционного потока нарушает симметрию линий
тока. Вследствие сложения скоростей над цилиндром образуется
1
1
'
--
1
1
1
1
1
1
�
Voo
1 1О
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
у
у
о
В
А
б
а
у
Рис. 3.11. Циркуляционное обте­
кание круглого цилиндра при
Г< 41tV00r0 (а), Г = 41tV00r0 (б) и
Г > 41tV00r0 (в)
в
область повышенных, а под цилиндром - пониженных скоростей.
Критические точки А и В (рис. 3.11, а) в этом случае будут распо­
ложены на поверхности цилиндра ниже оси Ох. Найдем угол 0кр ,
определяющий их положение, и проекции скоростей Vr, V0 в про­
извольной точке потока. Поскольку
2 г
дq>
r
1
.
o
V = -V00 cos0 1--%- ; v.0 = - = V00 s1n 0 1 +­
r
fi
2
r2
--
r
r де
+
21tr
то для точек, расположенных на поверхности цилиндра (r = r0),
Vr = О'· v0 = 2V
00
sin 0 +
'
Г .
21tr0
Здесь первое выражение указывает на безотрывность обтекания, вто­
рое - определяет скорость V на поверхности цилиндра:
V 2 V00 sin 0+
=
Г
21tr0
.
(3.1 О)
3.3. Сила и момент, действу1ощие на цилиндр произвольной формы l l l
критических точках скорость V = О, поэтому, приравняв пра­
вую часть выражения (3.10) к нулю, находим
.s1n екр = - г
(3.11)
В
41tVooro
При Г < 41tV00r0 значению синуса будут соответствовать два угла,
расположенные в третьем и четвертом квадрантах и определяющие
положение критических точек А и В (см. рис. 3.11, а). Согласно
выражению (3.11 ), с увеличением циркуляции Г критические точки
будут смещаться вниз. В случае, когда Г = 41tV00r0, получаем
sin 0кр -1. Критические точки слились в одну точку, и картина
течения потока будет иметь вид, изображенный на рис. 3.11, 6. При
дальнейшем увеличении циркуляции Г критические точки сходят
с цилиндра и течение потока будет аналогично приведенному на
рис. 3.11, в.
=
3.3. Сила и момент, действующие на цилиндр
произвольной формы. Формулы Жуковского - Чаплыгина
Получим формулы для главного вектора и главного момента
силы от давления, деиствующеи на неподвижныи контур произвольной формы при безотрывном обтекании его установившимся потенциальным потоком несжимаемои среды.
Пусть плоский поток, характеристическая функция течения ко­
торого W(z), обтекает замкнутый контур l произвольной формы
(рис. 3 .12). Определим проекции
силы pdl на оси координат в плос- у
кости комплексного переменного z:
dX -pdl cosy; dY pdl · sin у.
Поскольку у= 0 + 1tl 2, то
dX = рdl · sin 0; dY = рdl · cos 0,
или
dX =-pdy; dY = pd.x. (3.12)
Умножая dX на i Н и скла­ оРис. 3.12. Определение сил и мо­
дывая с dY, получаем
мента, действующих на произd(Y + iX) = paz,
вольныи замкнутыи контур при
безотрывном обтекании
где dz d.x idy.
v
v
v
v
=
=
·
х
=
v
=
-
v
112
3. Потенциш�ъное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
Используя уравнение Бернулли в точках контура /, имеем
2
v
р=С-p
,
2
-
где V скорость, направленная по касательной к контуру l.
Следовательно,
Y+iX Ф c - pv2
=
2
(3.13)
dz.
l
Интеграл от первого слагаемого равен нулю, поэтому
У +iX =- р р V2dz.
2
Это выражение справедливо при любом безотрывном движе­
нии идеальной среды. При потенциальном течении имеет место со­
отношение
l
V
(
= dW ei0
dz
)
=0
,
1
поскольку скорость направлена по касательной к контуру l. Кроме
того, поскольку dz = dl eie, а dZ = dl е-;е, то dz = dz e-2ie. Под­
ставляя полученные выражения в формулу (3.13), находим
2
dW
Y+iX = -p2 ,f
dz.
(3.14)
'f dz
Выражение (3.14) называется первой формулой Жуковского Чаплыгина.
Из теоретической механики известно, что действие произвольнои системы эквивалентно деиствию их главного вектора и главного момента. Главный вектор силы определяется формулой (3.14).
Найдем главный момент распределенной по контуру l силы от дав­
ления относительно начала координат (см. рис. 3.12).
Согласно определению момента силы,
dМ0 = (xdY -ydX)k
или с учетом формул (3.12)
dМ0 = p(xdx+ ydy).
·
v
·
·
v
-
3.3. Сила и момент, действутощие на цилиндр произвольной формы 1 1 3
Из выражения
zdz = (x+ iy)(d.x - idy) = (xd.x+ ydy) +i(yd.x - xdy)
находим
xd.x+ ydy = Re(zdz),
откуда
(3.15)
dМ 0 = Re(pzdz).
Используя формулу Бернулли и записывая выражение для М0
сразу для потенциального течения, получаем
2
dW
р
(3. 1 6)
M0 _- - Re-2 'fJ. dz zdz.
Соотношение (3.16) называется второй формулой Жуковского Чаплыгина и позволяет определить главный момент силы относи­
тельно начала координат.
Приведем пример определения силы, действующей при обтека­
нии циркуляционным потоком круглого цилиндра радиусом R. Для
этого случая характеристическая функция имеет вид
г
--ln
z.
2ni
W(z) = Voo
Отсюда можно записать
dW =V 1--R­2 + iГ .
dz
z2 2xz
'
00
2
R
00
iV
00
V
i
dW
Г
+ 2 2xz _ 2 3
2xz
dz
Подставляя последнее выражение в (3.14) и используя теорию вы­
четов аналитических функций, получаем
р 2i ГV00
.
·
'Лl=
l
2
V
р
Г
у+ х = 2 2
Откуда находим
х
оо ·
(3.17)
1 14
3. Потенциальное и вихревое течения несжUJwае.мого газа
Согласно (3.17), силы, действующие на круговой цилиндр, за­
висят от циркуляции скорости по контуру, охватывающему обтека­
емую окружность. Если циркуляция Г = О, силы воздействия среды
на цилиндр равны нулю и имеет место хорошо известный парадокс
Эйлера - Д'Аламбера. При Г 1= О этот парадокс не выполняется и,
согласно формуле (3 . 1 7), со стороны среды на тело действует
подъемная сила У, перпендикулярная вектору скорости набегающе­
го потока. Полученное выше для частного случая (обтекания ци­
линдра) выражение (3.17) для силы У называется формулой Жуков­
ского. С_?ставляющая силы от давления, параллельная вектору ско­
рости V00, при любых значениях Г равна нулю, т. е. тело при
установившемся движении в идеальнои среде не испытывает сопротивления, хотя может иметь подъемную силу.
v
3.4. Вихревое течение.
Теоремы Стокса, Томсона, Гельмгольца
Вихревая линия и вихревая трубка. Напряженность вихря
Вихревые течения часто наблюдаются на практике, например
смерчи и циклоны в атмосфере. Перемещающееся в жидкости тело
оставляет позади себя область, заполненную вихрями, на образова­
ние которых нужно затратить энергию. Эта энергия получается за
счет движущегося тела, которое должно таким образом преодоле­
вать некоторое сопротивление жидкости, называемое вихревым.
Линия, в точках которой векторы ro направлены по касательной
к ней, называется вихревой. Уравнение вихревой линии (2.13) записывают из условия коллинеарности векторов ro и dl (рис. 3.13, а).
-
dF
\
а
б
Рис. 3.13. Вихревые линия (а) и трубка (б)
3.4. Вихревое течение. Теоремы Стокса, Томсона, Гельмгольца 1 1 5
Согласно определению вихря, его компоненты должны удовлет­
ворять условию
clivro= о.
Выберем в пространстве некоторый элементарный замкнутый
контур, через точки которого проходят вихревые линии, образуя не­
которую поверхность, называемую вихревой трубкой (рис. 3.13, б).
Жидкость, ограниченная этой поверхностью, называется вихревым
шнуром или просто вихрем. Произведение площади сечения
вих­
ревой трубки и удвоенной длины проекции вектора вихря на нор­
маль к сечению называется напряженностью <; вихря:
dF
--+
(3.18)
Выберем в пространстве, занятом сплош­
ной средой, некоторый замкнутый контур l,
ограничивающий поверхность r, (рис. 3.14).
Пусть эту поверхность пронизывают вихре­
вые линии. Напряженность вихрей, прони­
зывающих элементарную площадку dF на
поверхности r., определяют по формуле
(3.18). Интегрируя выражение (3.18) по по­
верхности r., получаем
<; = 2
JJro · ndF .
(3.19)
п
Рис. 3.14. К определе­
нию связи между цир­
куляцией и напряженностью вихрей
!:
Теорема Стокса
Напряженность вихря связана с циркуляцией скорости. Эту связь
устанавливает теорема Стокса: напряженность вихрей, прони­
зывающих опирающуюся на замкнутый контур l незамкнутую по­
верхность r., равна циркуляции Г вектора скорости по контуру !.
Докажем ее.
Из выражения (3.19) для напряженности вихрей находим
<; = 2
JJ[rox cos(ii х ) + roy cos(ii у)+ roz cos(ii )]dF.
z
!:
Используя соотношения для угловых скоростей вращения
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
116
1
(!) =
х 2
дVz дVУ
ду дz
1
(!)у = -
•
2
'
получаем
дvх дVz .
дz дх
1
(!)z 2
'
дVУ дVх
дх ду
'
дVz дVУ cos (ii х) + дVх дVz cos(ii у)+
� = JJ ду
дz
дz дх
Е
дVу
дVх
+
(ii
z) dF.
cos
дх ду
(3.20)
Из курса математики известна формула Стокса, записываемая в
виде
дR - дQ cos(iix)
+
J(Pdx+Qdy +Rdz)= JJ ду дz
Е
l
+
дР - дR cos п у) + дQ - дР cos n z
(- ) dF.
(дz дх
дх ду
-
-
-
Применяя эту формулу к выражению (3.20), находим
�=
J (vxdx + Vydy + Vzdz )
,
l
или
� =Г,
что и требовалось доказать.
Согласно теореме Стокса, если контур l не охватывает вихрь, то
циркуляция равна нулю.
Если поверхность замкнутая, то
i- - "7 напряженность пронизывающих ее
... --�- ---�--"
......
вихрей равна нулю. Убедиться в этом
можно следующим образом. Рассечем
плоскостью некоторую поверхность
на две части (рис. 3.15). В сечении по­
Рис. 3.15. К определению сум- лучим контур l. Направления обхода
марной завихренности, про- верхнеи и нижнеи поверхностеи по
низывающеи замкнутую по- контуру будут противоположными,
поэтому суммарная циркуляция равверхность
"
-
-
1
1
1
v
v
v
v
3.4. Вихревое течение. Теоремы Стокса, Томсона, Гельмгольца 1 17
на нулю. Следовательно, суммарная напряженность вихрей, прони­
зывающих замкнутую поверхность, равна нулю.
Теорема Томсона
Рассмотрим в движущейся идеальной среде, которую для прос­
тоты будем считать несжимаемой, замкнутый контур l (рис. 3.16),
составленныи из одних и тех же частиц
среды. Такой контур при движении сре­
у
v
ды не только перемещается вместе с
в
неи, но и изменяет свою геометрическую форму. Будем называть его жидким
контуром.
Теорема Томсона: циркуляция по
замкнутому жидкому контуру в идеаль­
о
х
ной среде при наличии массовых сил, z
обладающих однозначным потенциа­
лом, не меняется со временем.
Рис. 3.16. К доказательству
Для доказательства этой теоремы теоремы о постоянстве цир­
возьмем на контуре конечную дугу АВ. куляции по замкнутому
жидкому контуру
Циркуляцию скорости по дуге АВ мож­
но представить в виде
v
-+
v
в
Г = Jvxdx+Vydy+Vzdz.
А
Чтобы показать независимость циркуляции
ходимо доказать, что
(3.21)
Г от времени, необ-
dГ =О для жидкого замкнутого контура. Выdt
-
d
Г . Дифференцируя уравнение (3.21), находим
числим dt
8
8d
dГ
d
= -J (vxdx+ Vydy+ Vzdz) = J-(Vxdx+ Vydy + Vzdz) .
dt dt A
A dt
Дифференцируя подынтегральное выражение и учитывая, что
контур жидкии, имеем
v
__O__ (V dx) dVx dx+ V __O__ (dx) dVx dx + V dV ;
х dt
х х
dt х
dt
dt
d-(v dy) = dV dy +V -(
d dy)= dV dy +V dV ;
dt
dt
dt
dt
=
у
=
у
у
у
у
у
118
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
� (V dz) = dVz dz+ Vz � (dz) = dVz dz + VzdV .
dt
dt
dt
dt
z
z
Подставим найденные выражения для производных под знак ин­
теграла:
dVx d.x + dVy dу+ dV7- dz
dt
dt
dt
d(V 2/ )
2 .
Выражение в последней скобке представляет собой
Заменяя проекции полного ускорения на координатные оси их выра­
жениями из дифференциальных уравнений движения (2.28), имеем
2
1
др
др
др
V
dГ
= Bf(Xd.x+Ydy+Zdz ) -- -d.x+ - dy+ - dz +d р дх
ду дz
dt
2
. (3.22)
А
Поскольку массовые силы, согласно допущению, обладают од­
нозначным потенциалом,
-
Xd.x + Ydy + Zdz = dU (х, у, z),
где И(х,у, z)
силовая функция массовых сил.
Отмечая, что во второй скобке выражения (3.22) стоит полный
дифференциал давления можно записать
р,
в
dГ f dU - dp + d �2
2
dt
р
=
А
в
d
Г
-- fd
и
ил
'
dt
А
р+
и
р
у2
2
Следовательно,
dГ
dt
Р+
И --
р
2
v
2
И- Р+
р
в
v2
2
А
Величины, стоящие в квадратных скобках, являются однозначны­
ми функциями, поэтому в случае замкнутости контура, т. е. совпадения точек А и В, производная
dГ
dt
=
О, а значит,
Г
=
const. Таким
образом, циркуляция действительно не зависит от времени.
Теорема Томсона была доказана для случая несжимаемой сре­
ды, однако она остается справедливой и для сжимаемой среды. Из
этой теоремы вытекает важный вывод. Если в идеальной жидкости
(газе) отсутствуют вихри, т. е. циркуляция по любому замкнутому
3.4. Вихревое течение. Теоремы Стокса, Томсона, Гельмгольца 1 19
контуру внутри среды равна нулю, то, следовательно, в жидкости
вихрей не было раньше и не будет впредь. Наоборот, если в идеальнои среде существуют вихри, то они не могут исчезнуть.
�
Теоремы Гельмгольца
Первая теорема: напряженность по длине вихревой трубки не
меняется.
Рассмотрим объем вихревого шнура, ограниченный двумя про­
и
(рис. 3.17, а). Из векторного анали­
извольными сечениями
за известно, что поток вектора а через замкнутую поверхность
F1 F2
F
�
rot V
w
а
... ...
,,,
,'
'
... - ---...
--
--­
,, ...----
'
"
'
в
6
доказательству первой (а), второй (б)
и третьей (в) теорем Гельмгольца
Рис. 3.17.
К
определяется интегралом
JJ aпdF,
F
где
ап -
проекция вектора а
F. Следовательно, поток вихря скорости rot V через поверхность F, ограничивающую объем W,
будет выражаться интегралом JJ(rotV)n dF. Согласно теореме Остна внешнюю нормаль к поверхности
-
роградского - Гаусса,
F
JJ(rotV)n dF = JJJdivrotV dW.
F
W
120
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wае.мого газа
-
div rotV = О
(rotV)11 = О, имеем
Учитывая, что
шнура
и на боковой поверхности вихревого
Fz
Fj
или
ff(rotV)11 dF = -JJ(rot v)11 dF.
Fj
Fz
JJ (rot if)11 dS представляет собой поток вихря скорости
Fz
через сечение F2 вихревого шнура. В соответствии с этим для поИнтеграл
тока вихря скорости через сечение F1 вихревого шнура можно за­
писать
JJ(rot if)11, dF = -JJ(rot if )11 dF,
Fj
где
п'
Fj
направление внутренней нормали в сечении F1•
Таким образом,
-
JJ (rotif )11 dF = JJ(rot if ) dF.
11,
Fz
Fj
rotV = 2ro, то, следовательно, (rotV)11 = 2ro11
= 2ro11F = const.
Поскольку
пряженность вихря <;
и на­
Вторая теорема: если в идеальной среде действуют массовые
силы, обладающие однозначным потенциалом, то вихревая трубка
не разрушается и всегда остается вихревой трубкой.
Для доказательства возьмем на боковой поверхности вихревой
трубки замкнутый контур С (рис. 3 . 1 7 б), проходящий через одни
и те же частицы среды. Поскольку площадь, охватываемая конту­
ром С , вихрями не пронизывается, циркуляция по этому контуру, в
соответствии с теоремой Стокса, равна нулю, т. е. Гс = О. Но, со­
гласно теореме Томсона, циркуляция в этом случае со временем
изменяться не будет, а следовательно, она всегда будет равна нулю.
Это означает, что через контур С вихревые линии никогда не прой­
дут и контур С останется лежать на боковой поверхности вихревой
трубки, т. е. вихревая трубка не разрушится.
,
3.5. Поле скоростей, вызываемое вuxpЯJwu
121
Указанное свойство вихрей справедливо только для идеальной
среды. В реальной среде происходит процесс затухания - диффу­
зия вихря.
Третья теорема: если в идеальной среде действуют массовые
силы, обладающие однозначным потенциалом, то напряженность
вихревой трубки со временем не меняется.
Охватим вихревую трубку (рис. 3.17, в) замкнутым контуром С.
Согласно теореме Томсона, циркуляция Гс по этому контуру оста­
ется неизменной, а согласно теореме Стокса, она равна напряже­
нию вихревой трубки. Следовательно, и напряженность со време­
нем меняться не будет.
3.5. Поле скоростей, вызываемое вихрями.
Формула Био-Савара
-
Формула ro =О, 5rot V позволяет найти угловые скорости частиц среды, если известно поле скоростей. Между тем в ряде случа­
ев, например в теории крыла или воздушного винта, приходится
решать обратную задачу, т. е. по распределению вихрей в потоке
определять поле скоростеи.
Рассмотрим случай одиночного вихря в потоке. Скорость, выз­
ванная (индуцированная) в точке М бесконечно тонким вихревым
шнуром произвольной формы (рис. 3. 1 8, а),
v
xr
dl
f
I_
v
47t r3 .
-
=
l
Эта формула является гидродинамическим аналогом известной
в теории электромагнетизма формулы Био-Савара.
Элемент вихревого шнура индуцирует в точке М элементарную
скорость
ctz x r
_!'_
ctv
4п r3 .
-
=
Направление элементарной скорости d V перпендикулярно плосr, т. е. совпадает с направкости, содержащей
и радиус-вектор
лением векторного произведения dl х r. Элементарная скорость
-
dl
12 2
где е
3. Потенциальное и вихревое течения несжи.;wаемого газа
-
угол, образованный векторами
dl
-
и
r.
м
м
h
г
а
dl
'-+--" г
rd0
А
б
определению скорости в точке М, вызванной вих­
рем произвольной формы (а) и отрезком АВ прямолинейного
вихревого шнура (6)
Рис. 3.18.
К
Применим теперь формулу Био-Савара для определения скоро­
сти, индуцируемой отрезком прямолинейного вихревого шнура с
циркуляцией Г (рис. 3 . 1 8, 6).
Все элементы вихревого шнура дают в данной точке М одинаково направленные элементарные скорости
Поэтому скорость
в точке М, индуцированная отрезком АВ прямолинейного вихрево­
го шнура, определится интегралом:
dV.
-
sin�d/ .
(3.23)
J
47t r
На рис. 3 . 1 8, б видно, что h r sin е и поэтому с точностью ДО
малых величин второго порядка dl sin 0 = rd0. Переходя в интегра­
ле (3.23) переменной интегрирования l к 0, имеем
V =�
АВ
=
от
г
02
г
V = 41th J sin 0d0= 41th (cos01 -cos02 ),
где h
01
-
расстояние от точки М до оси вихря.
(3.24)
3.5. Поле скоростей, вызываемое вихрями
123
В случае, когда один конец вихря совпадает с проекцией точ­
ки М на направление вихря (01 = тt/2), а второй - уходит в беско­
нечность
= 7t), формула (3.24) принимает вид
(02
V=
Г.
41th
Если же оба конца вихря уходят в бесконечность
02 = 7t), то
V=
Г.
21th
(01 = О,
4. ТЕОРИИ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
И СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
Изучение сложных физических процессов обтекания
ЛА невозможно без понимания основных закономерностеи изм,енения параметров потока в различных видах течений.
Одномерное изоэнтропическое течение является од­
ним из простейших случаев течения газа. В то же
время его результаты широко используют при изуче­
нии более сложных потоков, а также в практичес­
ких приложениях, связанных с проектированием аэро­
динамических труб, газодинамических установок
и т. д. Одной из особенностей сверхзвуковых течений
газа является образование в потоке скачков уплотне­
ния, при прохождении через которые скорость резко
уменьшается, а давление, те;w.пература и плотность
возрастают.
В главе изложены основы теории изоэнтропическuх
течений и скачков уплотнения для наиболее простого
случая одно- и двумерного течения газа. Представле­
ны функциональные зависимости, позволяющие тео­
ретически исследовать течение газа и объяснить бо­
лее сложные физические процессы его взаимодействия
с обтекаемыми телами.
v
4.1. Одномерное течение
газа
Параметры потока при изоэнтропическом течении
Одномерное установившееся изоэнтропическое течение явля­
ется наиболее простым случаем движения газа, который лежит в
основе изучения более сложных течений. Согласно общей класси­
фикации, одномерным называется такое движение, при котором па-
4. 1. Однолtерное течение газа
125
раметры потока зависят от одной пространственной переменной.
В этом случае предполагается, что определяющие течение парамет­
ры будут в каждом сечении одинаковые в любой момент времени,
хотя площадь поперечного сечения может плавно изменяться про­
извольным образом.
Рассмотрим модель идеального (невязкого, нетеплопроводного,
однородного, не испытывающего физических и химических пре­
вращений) сжимаемого газа при условии, что отсутствует теплооб­
мен с окружающей средой (адиабатический процесс). Для расчета
параметров изоэнтропического течения используют уравнения, по­
лученные на основе законов сохранения массы, количества движе­
ния и энергии.
Известно, что при отсутствии теплообмена для идеального газа
уравнения движения и энергии записываются соответственно в виде
dp
+
V dV =О; VdV + di =О,
р
откуда следует, что
d
di p =0.
р
(4.1)
При изучении движения газа необходимо пользоваться функ­
цией S его состояния, которая называется энтропией. Эта функция
определяется следующим дифференциальным уравнением:
q
(4.2)
теплота, подведенная к системе извне, а также вследствие
где
диссипации энергии.
Согласно первому закону термодинамики,
е
-
dp
d
р
p
р
е
dqe = de+ pd - = de+d - = d +- (4.3)
р р
р
р р
Учитывая, что энтальпия газа i = e + р ! р, соотношение (4.3) мож­
1
но записать в виде
dqe = di. - dp ,
р
-
или
(4.4)
(4.5)
126
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
TdS =
(4.1) 4.5)
следует, что
О, а значит, для
и (
Из выражений
рассматриваемой модели сжимаемого газа энтропия должна быть
постоянной. Процессы, протекающие без теплообмена и при от­
сутствии потерь (с постоянной энтропией), называются изоэнтро­
пическими.
Получим уравнение для изоэнтропы, которое лежит в основе
расчета параметров потока при изоэнтропическом течении. С уче­
том уравнения состояния р =
преобразуем соотношение
к виду
S
pRT
(4.4)
dp
dqe =cvdT-RT-.
(4.6)
р
Интегрируя дифференциальное уравнение
лучаем
р
+ С.
S = cv
ln -k
р
(4.2) с учетом (4.6), по­
p/pk = const.
Поскольку энтропия постоянна, то и отношение
Таким образом, система основных уравнений, описывающих
изоэнтропическое течение, имеет следующий вид:
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.1 О)
pVF = С1;
V2/2+ сРТ = С2 ;
p/pk = Сз;
р =pRT,
где С1, С2, С3 - постоянные величины.
Эта система является алгебраической и содержит четыре неизвест­
ных основных параметра р, р, и V, характеризующих состояние
потока газа. Для решения системы необходимо знать граничные ус­
ловия, которые включают в себя зависимость
изменения площади поперечного сечения потока вдоль продольном координаты.
Получим основные соотношения, связывающие параметры по­
тока при изоэнтропическом течении.
Рассмотрим плоский канал постоянного сечения, заполненный
газом с параметрами р2, р2, Т2 и V2 = О (рис. 4.1). Пусть в некото­
рый момент времени в нем с небольшой скоростью начинает равномерно двигаться поршень, которым приводит в движение части-
Т
F(x)
v
v
4.1. Однолtерное течение газа
127
цы газа. Поскольку газ сжимаем,
движение частиц не может начать­
Р2
ся одновременно во всем занимае­
Р2
мом им объеме. Поэтому в каж­
Vz = O
дый момент времени будет суще­
ствовать фронт возмущения АА 1 ,
который движется с некоторой
скоростью а и отделяет область Рис. 4.1. Распространение возмущевозмущеннои газовои среды ний в газе при движении поршня
СР1, Р1, Т1 и V1) от невозмущенной СР2. Р2. Т2 и v�Определим скорость а, используя основные уравнения сохра­
нения. Из уравнения неразрывности, записанного для единичной
площади F,
m = Р1 (a - V1) = Р2а
-+
�
�
получаем выражение для скорости а:
(4. 1 1 )
а из уравнения движения
ma - m(а - V1) = m V1
= Р1 - Р2 ,
используя уравнение неразрывности, находим, что скорость распро­
странения фронта возмущений
(4.12)
Предположим, что при переходе через фронт возмущений пара­
метры газа изменяются незначительно, т. е.
P1 = P2 + dp; P1 =P2 + dp; V1 = dV,
тогда, подставляя эти выражения в (4. 1 1 ) и (4.12) и отбрасывая чле­
ны второго порядка малости, получаем
(Р2 + dp)dV
dV
а=
= Р2
;
dp
Р2 + dP - P 2
(4.13)
(4.14)
12 8
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
Выразив из формулы (4.13) плотность
dp
=а
Р2 dV
и подставив ее в выражение (4.14), получим соотношение для скоро­
сти распространения слабых возмущений (скорости звука) в среде:
а=
dp
dp
'
(4.15)
которая прямо пропорциональна изменению давления dp и обратно
пропорциональна изменению плотности dp.
Для определения скорости звука при изоэнтропическом тече­
нии газа прологарифмируем уравнение (4.9):
ln р = ln С3 + k lnр.
(4.16)
Дифференцируя уравнение (4. 1 6) находим
,
dp -
- -
dp
k р.
-
р
С учетом выражения (4.15) получаем
а = k Рр
,
(4 . 1 7 )
или, согласно уравнению состояния (4.1 О),
а = .JkRT.
Рассмотрим газовый поток, обтекающий некоторую поверхность
(рис. 4.2). Параметры в сечении, соответствующем невозмущенно­
му течению в этом потоке, обозначим через V00, р00, Т00, р, а в возму-->
v"
р"
р"
�
v, р, i
р, Т, а
Рис. 4.2. Схема теqения вблизи обтекаемой поверхности
4. 1. Однолtерное течение газа
129
щенной области (вблизи обтекаемого тела) - через V,p, Т, р. Уста­
новим взаимосвязь между параметрами состояния газа и скорос­
тью его движения. Запишем уравнение энергии (4.8) применитель­
но к рассмотренным сечениям:
V002 / 2 + i00 = V 2 / 2 + i.
Отсюда
V = �V� + 2(i00 -i) .
Пусть в некоторой точке С (см. рис. 4.2) поток полностью тор­
мозится. Параметры состояния газа в точке с нулевой скоростью
называются параметрами торможения и обозначаются индексом «0»:
Т0, р0, р0. Определяя константу в уравнении (4.9) и учитывая усло­
вия в точке торможения, запишем уравнение энергии в виде
vz
+ i'
(4.18)
i
�=
·v
2
энтальпия заторможенного потока. Тогда скорость газа в
где i0
струе можно вычислить по зависимости
v = �2(i0 - i).
(4.19)
Подставляя в выражение (4.19)
р z. = k -,
.l = k -,
Ро
k - l p o k - 1 Ро
находим
k -=
р
Ро V 2 + k -k - 1 Ро 2 k -1 р
Отсюда текущая скорость
/
k
р
о
Р
V = , 2 k -1
Ро р
-
'
(4.20)
-
Если отношение параметров в точке полного торможения по­
стоянное:
(4.21)
130
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
то, выражая из (4.21 ) отношение
получаем
V=
р0/р
и подставляя его в (4.20),
k-1
,_
k
/
2k
Ро 1 - р
k -1 Ро
Ро
-
-
Поскольку для условий полного торможения скорость звука
= �kp01p0, текущая скорость потока
V =а о
1- р
k-1
Ро
k-1
k
2
а0 =
-
(4.22)
,
-
Из соотношения (4.18) следует, что скорость потока возрастает
по мере того, как уменьшается энтальпия, а следовагельно, все боль­
шая часть внутренней энергии преобразуется в кинетическую. Мак­
симальная скорость достигается при условии, что i = О (р = О, Т = О),
т. е. при расширении потока до полного вакуума.
В соответствии с формулой (4.19)
(4.23)
или с учетом (4.22)
Согласно выражению (4.23), максимальная скорость определя­
ется только параметрами заторможенного потока. Поскольку при
изоэнтропическом течении параметры Т0, р0, р0 остаются постоян­
ными (энергообмен с окружающей средой отсутствует, а также нет
потерь, связанных с трением), скорость V будет постоянной.
Зная максимальную скорость, можно определить скорость по­
тока в произвольном сечении:
m
ax
V=V
m
ax
�1 - i / i0 .
Преобразуя выражение (4.18) с учетом (4.17), получим
а2 = ао2 - k 2- 1 v 2
'
(4.24)
4. 1. Однолtерное течение газа
или
а
2 = k 1 (v 2 - v 2 )
max
(4.25)
-
2
131
·
Из соотношения (4.25) следует, что чем больше скорость тече­
ния газа, тем меньше местная скорость звука. В диапазоне дозвуковых скоростеи по мере увеличения скорости течения местная скорость звука будет уменьшаться, но оставаться больше местной ско­
рости течения
< а). При сверхзвуковом течении скорость звука
становится меньше местной скорости течения. Сечение, в котором
местная скорость потока газа равна местной скорости звука, назы­
вается критическим. Соответствующее ему значение скорости обозначают а*. Критическими для этого сечения называют и такие па*
*
*
раметры газа, как давление р , плотность р , температура Т .
Согласно соотношению (4.25),
v
(V
а
*2 = k - 1 (v 2
max
2
_
*2 )
а
'
откуда
*
а =
Vmax �(k=1
·
k+i
Используя уравнение энергии
__
(
2
р
а*
Ро
2
__Q_=
k-1
k
+
k
р*
k - 1 р*
-
и выражение 4.17), находим
(4.26)
V/a
в качестве безразмерных скоростей
Кроме числа Маха М =
m
ax или относительную
можно использовать число Крокко Cr =
Преобразовав уравнение (4.24) с учетом (4.26),
скорость /... =
получим зависимость между М и /...:
V/a
V/V
" -_
(4.27)
132
4. Теории изоэнтропическuх течений и скачков уплотнения
В сечении, где V Vmax• число М -7 оо , а следовательно,
= Amax также при М -7 оо :
=
{k+l _
Amax = '1н
1,
А=
1.
Очевидно, что в критическом сечении, где М = значение А =
В произвольном сечении при :::; М :::; оо относительная скорость изменяется в пределах 1 < А < �k + 1/(k - 1).
Разделив левые и правые части уравнений (4.24) и (4.25) на V,
легко установить связь между числами Крокко и Маха:
1
j
k
I
2
2
м2 .
Cr = 2 м 1 + k-l
2
(4.28)
Связь между числом Крокко и безразмерной скоростью опреде­
ляется соотношением
(4.29)
Для установления зависимости давления, плотности, темпера­
туры потока от его скорости воспользуемся уравнением (4.18). Разделим его левую и правую части на полную энтальпию z0:
v2
i- =1 - -io
2i0
i =сР Т, i0 = срТо,
С учетом того, что
(4.30) можно представить в виде
.
(4.30)
а
V�ах = 2i0,
т- =1- v 2 =1- Cr2
То
(4.31)
V�ax
Согласно уравнениям изоэнтропы
место следующие соотношения:
р
Ро
k
т k-1
.
'
4.31)
k
__!!_ = (l-Cr2 ) k-1 ;
или с учетом соотношения (
Ро
зависимость
(4.9) и состояния (4.1 О), имеют
р
Ро
т
1
k-1
'
1
_Е._ = (l- Cr2 ) k-1 .
Ро
(4.32)
4. 1. Однолtерное течение газа
133
Поскольку при одномерном изоэнтропическом течении парамет­
ры торможения остаются постоянными, то из соотношений (
и
следует, что с ростом скорости потока от нуля до Vmax его
параметры непрерывно уменьшаются и стремятся к нулевым зна­
чениям (рис.
и
и
Подставляя в
зависимости
получаем соотношения между газодинамическими параметрами:
4.31)
(4.32)
4.3).
(4.31) (4.32)
(4.28) (4.29),
-k
k
р 1+ k-l м2 k-1 1- k-lл.2 k-1 .
4.3
(
3)
k+l
2
Ро
1
-1
р 1+ k -l м2 k-1 1- k -lл.2 k-1
(4.34)
k +1
2
Ро
-1
т
k-l
м2 1- k-lл.2 .
(
4.35)
l+
k +1
2
То
*
В критическом сечении ( V = а ) М = Л = 1, Cr = .J<k -1)/(k + 1).
'
.
'
(4.33)-(4.35)
для
Из соотношений
*
критическ.их значений давления р ,
и температуры
наплотности
ходим
т*
р*
k
2 k-1
Ро k+l
* 2 k-11
р
(4
.36
)
Ро k +1
т* 2
Т0 k+1
*
р
plpo; р/ро; Т!То; а!ао
1,0
•
'
0,5
р/ро
•
'
о
1,0 Cr
Рис. 4.3. Зависимости давления,
плотности, температуры и ско­
рости звука в газовой струе от
безразмерной скорости течения
Таким образом, все параметры
газа в сечении, где скорость потока
достигает скорости звука, являются
функциями только параметров торможения
формулы
принимают вид
(k = 1,4)
0,5
Т0, р0 и р0. Для воздуха
(4.36)
*
*
*
р =0,528р0; р =0,636р0; Т =0,831Т0.
134
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
Газодинамические функции
Для удобства аэродинамических расчетов и их упрощения ис­
пользуют так называемые газодинамические функции - безраз­
мерные комплексы, представляющие собой отношение значения ка­
кого-либо параметра потока в данном сечении к его значению при
полном торможении или в критическом сечении, а также более слож­
ные функции, определяющие отношение какого-либо комплекса па­
раметров в одном или разных сечениях к некоторому иному комп­
лексу параметров потока в других сечениях. Среди множества функции можно выделить основные, которые дают возможность решать
большинство встречающихся на практике задач:
v
п = L;
Ро
7t
1,0 ......,--..----т--,---,
k= 1,15
0,5
1,40
1,65
Значения этих функций мо­
гут быть вычислены, например,
по соотношениям (4.33)-(4.35),
из которых следует, что газоди­
намические функции зависят от
показателя адиабаты k и безразмернои скорости:
v
о
Е
-k
k-1
-1
м
k
2
l+
M
n( ,k) =
1,0
2
0,5
k-l
п(Л.,k) = 1- k + l Л,2
i + k - l м2
=
E(M,k)
k= 1,15
1,40
о
't
2
1,0
о
Е =_Е__ '.
Ро
т
't= .
То
k= 1,15
1,0
2,0
Е(
Л-, k) =
't(M, k ) =
3,0
Рис. 4.4. Характер изменения функ­
ций п(Л.), е(Л.) и 't(A) при различных
k
'
k
k-1 '.
-1
k-1 '
1
k-1 '
l + k - l м2
2
k
l
2
1л_
't(Л-, k) =
k +1
-1
'
4.1. Одномерное течение газа
135
Характер изменения функций Е, безразмерной скорости Л.
для трех различных значений k проиллюстрирован на рис. 4.4.
При преобразовании уравнения расхода используют функцию q,
представляющую собой отношение плотности потока массы *р V*
в рассматриваемом сечении потока к плотности потока массы р а
в критическом сечении потока:
(4.37)
q = pV
* *.
ра
Записав уравнение неразрывности
(4.7) для текущего и крити­
*
ческого сечений площадью F и F соответственно:
*
*
pVF = p v р*,
находим, что функция q равна отношению площадей в критичес­
ком и текущем сечениях потока:
*/
=
q p F.
Умножив и разделив правую часть уравнения (4.37) на р0:
----;о
V
Р
Р
---;q=
7t,
't от
-
р
,
Ро а
с помощью формул (4.34) и (4.36) легко выразить функцию q через
безразмерную скорость Л.:
1
1
1
k
+
2
k
k-1
kl
1
л..
1Л.,
q (л.' k) = 2
+1
k
(4.38)
а используя формулу (4.27), определить q как функцию числа Маха:
k+1
k+I
-l
1
I)
+
I)
2
k
k
(k(k2
2
=
M
l+
q(M ,k ) 2
.
2
(4.39)
Соотношения (4.38) или (4.39) позволяют вычислить безразмер­
ную скорость и параметры потока в любых* сечениях потока, для
которых известна относительная площадь F /F.
Графики функции q(Л.) различных k представлены на рис. 4.5, а.
Возрастание q(Л.) при О < Л. < 1 показывает, что в дозвуковом диапа­
зоне плотность уменьшается медленнее, чем увеличивается ско­
рость. Наоборот, в сверхзвуковом диапазоне плотность падает быстдля
13 6
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
z
q
4,0 н---+----+--1
k 1,15
=
1,40
о
2,0
1,0
3,0
а
л
1,0
о
2,0
3,0
б
Рис. 4.5. Графики функции q(Л) (а) и z(Л) (6)
рее, чем растет скорость. Максимум функции q(f..) достигается в
критическом сечении, где q( 1 ) 1 .
Для характеристики импульса потока используют функцию z,
которая представляет собой отношение полного импульса потока
m V + pF к полному импульсу потока в критическом сечении
* *
. *
та + р F и называется приведенным импульсом потока:
=
mV + pF
z= . *
* *'
та + р F
Выражая параметры потока, например, через безразмерную ско­
рость /.., получаем
z(f.). =
� �.
/.. +
На рис. 4.5, б представлен график функции z(/..). Видно, что для
каждого значения z существует два значения /.., соответствующие
дозвуковой и сверхзвуковой областям. Отметим, что функцию z(/..)
иногда определяют в виде
z(f..) = /.. + 1 1/...
Связь ме:жду площадью сечения струи
и скоростью ее движения
Рассмотрим одномерное установившееся движение идеального
(невязкого) газа в струе переменного сечения. Для установления
связи между изменением основных параметров газового потока и
площадью сечения струи воспользуемся уравнением неразрывно­
сти (4.7). Логарифмируя, а затем дифференцируя его, получаем
dp
р
+
dV + dF
V
F
=
О
.
(4.40)
4. 1. Одно11tерное течение газа
137
Выразим из (4.40) отношение
dF = -F _!_ + .!.. dp
dV
V р dV
и исключим из правой части dp / dV. Дифференцируя уравнение
движения при условии отсутствия массовых сил:
�
dp
+
d
=0,
2
р
получаем
dv - 1 dp
vр
2
или, учитывая, что dp = a dp (см. выражение (4.1 5)),
2
_!_
dp
a
dV = v
(4.41)
р
Подставив соотношение (4.41) в (4.40), после преобразований
имеем
dF = F (М2 - l).
(4.42)
dV V
Полученная зависимость позволяет установить закономерность
изменения скорости потока от площади поперечного сечения струи.
При дозвуковом течении (М < 1) производная dF/d V < О. Если пло­
щадь сечения струи уменьшается (dF < О), то d V > О, а значит, ско­
рость дозвукового потока возрастает. Наоборот, увеличение площа­
ди сечения струи (dF > О) приводит к уменьшению скорости дозву­
кового потока. Для сверхзвуковых течений (М > 1) знаки dF и dV
совпадют. Следовательно, при увеличении площади сечения струи
(dF > О) скорость возрастает (d V > О), а в противоположном слу­
чае - уменьшается.
2
---
Сопло Лаваля. Режимы работы сопла
Чтобы разогнать газ от полностью заторможенного (с парамет­
рами р0, р0, Т0) до сверхзвукового, необходимо взять насадок, кото­
рый сначала имеет форму сужающегося канала, а затем расширяю­
щегося (рис. 4.6). В критическом (самом узком) сечении канала,
которому соответствует значение производной dF/d V = О, число
Маха должно быть равно единице, т. е. V = а*. Такая скорость воз-
138
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
Fi
р;
F*
,р *
: р*
Ро, То, Ро
Р;
V=
O
ао,
.-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·.&.-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·- ·­
'
Т*
1
1
1
1
1
1
1
-----�-------------------------- -·
1
1
Т·1
V=a* ' М= 1 �
V·l' М1·
: 3
1
p*lpo
2
Π'--�-.-�����--+---
М
1
о
�=:::::::::
2 :d:_�
:: �
3 --J
х*
- -
- -
Рис. 4.6. Режимы работы сопла Лаваля
Ха Х
можна при условии, что полное давление должно быть не ниже,
чем p0 = p* [(k + 1) 1 2]k l(k-I) . Для воздуха с показателем адиабаты
k = 1,4 необходимый для движения газа перепад давлений
во
вход­
*
/
ном и в критическом сечениях должен составлять р0 р > 1,89. На­
пример, если на выходе канал сообщается с атмосферным воздухом
с Ратм 0,1 МПа (давление на выходе из канала называfГСЯ проти­
водавлением), то в критическом сечении должно быть р > 0,1 МПа,
а Ро > О, 189 МПа.
При достижении критических параметров в самом узком сече­
нии канала дальнейшее уменьшение противодавления не сказыва­
ется на значениях р *, а *, зависящих только от параметров затормо­
женного потока. Однако при этом создаются условия для возник­
новения сверхзвуковой скорости движения газа по расширяющейся
части канала. На рис. 4.6 этому режиму изоэнтропического тече­
ния соответствуют кривые 1.
В случае если давление на выходе из канала возрастает, для
сохранения условии движения газа должно возрастать и давление в
критическом сечении насадка. При фиксированном значении пол­
ного давления получаем р0/р* < 1 ,89, т. е. скорость в критическом
=
�
4.2. Основные соотношения для определения паралtетров газа
139
2
р'. р·' V·' Т·' а·' М·' pV /2
v
м
--- -
- - -
р
р
-
х*
о
Рис. 4.7. Изменение параметров потока по длине сопла
сечении будет дозвуковой (V < а*). В расширяющейся части канала
скорость будет снижаться (см. рис. 4.6, кривые 2, 3).
Канал переменного сечения, вдоль которого скорость потока не­
прерывно возрастает, становясь сверхзвуковой (кривая 1 на рис. 4.6),
называется соплом Лаваля.
При известных параметрах торможения р0, р0, Т0 (см. рис. 4.6)
и заданном профиле сопла вдоль оси Ох можно рассчитать газодина­
мические параметры потока по длине сопла. Используя газодинами­
ческую функцию q(M, k), по формуле (4.39) вычисляют число Mi в
текущем сечении сопла площадью Fi. Считая течение газа изоэнтро­
пическим, т. е. пренебрегая диссипацией энергии вследствие трения
и теплообмена через стенки сопла, по газодинамическим функциям
(4.33)-(4.35) находят статическое давление Pi, плотность Pi и темпе­
ратуру Ti, а по формуле (4.17) скорость звука ai, а следователь­
но, и скорость потока (Vi Miai). Качественное изменение опреде­
ляемых параметров по длине сопла Лаваля показано на рис. 4.7.
-
=
4.2. Основные соотношения для определения
параметров газа за скачком уплотнения
Общие сведения о скачках уплотнения
Отличительной особенностью сверхзвуковых газовых потоков
является то, что в них при условии торможения образуются поверх­
ности разрыва, при переходе через которые практически все пара-
140
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
метры газа меняются скачкообразно (скорость резко уменьшает­
ся, а давление, плотность и температура возрастают) и поток пе­
реходит от одного состояния к другому. Такие поверхности, пере­
мещающиеся относительно газовой среды, представляют собой
ударные волны. Если положение этих поверхностей в любой мо­
мент времени не изменяется, то они называются скачками уплот­
нения.
Возникающий в реальных условиях скачок уплотнения характеризуется некоторои толщинои, соизмеримои со средним путем
пробега молекул. Изменение параметров газа в таком скачке будет
не мгновенным, а быстропротекающим с непрерывным изменени­
ем состояния газа. При этом процесс перехода через скачок харак­
теризуется настолько большими градиентами скорости и темпера­
туры, что в областях сжатия весьма существенно влияние трения и
теплопроводности, которые вызывают диссипацию энергии в пото­
ке и увеличение энтропии.
При больших сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях движения газа его резкое торможение сопровождается диссоциациеи,
ионизацией и физико-химическими превращениями за скачком уп­
лотнения и термодинамическое равновесие достигается по истече­
нии некоторого времени. Исследование таких скачков представля­
ет собой сложную задачу, которая связана прежде всего с изучени­
ем механизма неравновесных процессов.
Большой теоретический и практический интерес представляет
задача о течении газа за скачком уплотнения в случае, если удель­
ные теплоемкости остаются постоянными. Хотя такое течение счи­
тается идеализированным движением газа, не учитывающим физи­
ко-химические превращения при переходе через скачок уплотне­
ния, задача дает возможность представить качественную картину
скачкообразного перехода. Получаемые при этом зависимости мож­
но использовать и для приближенной оценки параметров газа при
переменных теплоемкостях. Наконец, рассматриваемая задача име­
ет и самостоятельное значение, поскольку ее решение применимо
непосредственно для определения параметров газа за скачком уп­
лотнения, возникающем в диапазоне умеренных сверхзвуковых ско­
ростей обтекания (М < 6), когда изменение удельных теплоемкос­
тей в газе пренебрежимо мало.
Наиболее распространенный случай формирования скачков уп­
лотнения соответствует обтеканию тел, движущихся прямолиней­
но с постоянной сверхзвуковой скоростью (рис. 4.8).
v
v
v
v
1
4.2. Основные соотношения для определения параметров газа
М"> 1
М"> 1
141
М"> 1
�
v"
а
б
в
Рис. 4.8. Основные типы скачков уплотнения
Присоединенный криволинейный скачок уплотнения образует­
ся при обтекании заостренного тела вращения криволинейной фор­
мы (параболической, оживальной и т. д.) (см. рис. 4.8, а). Отсоеди­
ненный криволинейный скачок уплотнения формируется перед за­
тупленной поверхностью, обтекаемой сверхзвуковым потоком (см.
рис. 4.8, 6). При сверхзвуковом обтекании заостренного тела с пря­
молинейной образующей возникает прямолинейный присоединен­
ный скачок (см. рис. 4.8, в).
На рис. 4.8 видно, что поверхности скачков уплотнения могут
быть ориентированы нормально по отношению к вектору скорости
набегающего потока (0ск = 90°) или наклонены к нему под некото­
рым углом (0ск < 90°). В первом случае скачок называется прямым,
во втором косым.
-
Прямой скачок уплотнения в газе при ер,
cv=
const
Обозначим индексами « 1 » и «2» соответственно параметры в
невозмущенном потоке и за скачком уплотнения вблизи поверх­
ности разрыва. Для прямого скачка уплотнения, возникающего в
идеальном газе, неизвестных параметров будет семь: р2, р2, Т2,
V2, а2, i2, S2. Следовательно, необходимо составить систему из семи
уравнений, в которую в качестве известных величин будут вхо­
дить параметры газа до скачка: р1, р1, Т1, V1,
а1, i1, S1•
Для этого выделим в пространстве элемент течения, содержащии скачок уплотнения (рис. 4 9), и запишем уравнения сохране­
ния аэрогазодинамики (неразрывности, движе­
ния, энергии) для единичной площадки F
соответственно в виде
�
.
Т1, Р1, Pt
Рис. 4.9. Прямой ска­
чок уплотнения
(4.43)
142
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
P1V1 (V1 -V2 ) = Р2 - Р1;
v,2
у2
2,
=
i
+
i1 + ___!_
2
2
2
(4.44)
(4.45)
а также уравнения состояния для условий до и после скачка:
(4.46)
Эти выражения позволяют определить четыре неизвестных па­
раметра р2, р2, Т2 и V2 за скачком уплотнения. Поскольку течение
за скачком будет, как и до скачка, изоэнтропическим (при условии
отсутствия трения и теплообмена с окружающей средой), энталь­
пию и скорость звука можно вычислить по зависимостям, известным из теории изоэнтропических течении:
�
i2 = k
k
-1
RT2 = cpT2 ;
(4.47)
(4.48)
Изменение энтропии недиссоциирующего совершенного газа
di dp
dS =
Т рТ
или с учетом равенств di =сPdT и dp = d(pRT) = pRdT + TRdp
dS = cPdln T - Rdln T - Rdlnp .
Поскольку сР - R = cv, а R/cv = k -1, получаем
_
dS = cv [dln T - ( k - l)dlnp].
Интегрируя уравнение (4.49) при k = const, находим
т
S = cv ln k-l +С.
р
Из уравнения состояния имеем
рk .
pтk-l p R
,
ln
р
k
р R
= ln-рт -lnR.
р
(4.49)
(4.50)
4.2. Основные соотношения для определения параметров газа
143
Включая в правую часть уравнения (4.50) постоянную lnR, по­
лучаем зависимость для энтропии в следующем виде:
S = cv ln
�+С.
р
(4.51)
Применительно к условиям до скачка уплотнения и после него это
уравнение имеет вид
(4.52)
Определив разность энтропий, находим уравнение для вычисления
градиента возрастания энтропии за скачком уплотнения:
k
р
Р2 � .
S2 - S1 = cv ln 1
Р Р2
Таким образом, используя зависимости (4.43)-(4.48), а также
(4.52), можно рассчитать параметры газа при переходе через прямои скачок уплотнения.
Получим теперь соотношение, определяющее связь между ско­
ростями V1 и V2. Разделим уравнение движения (4.44) на уравне­
ние неразрывности (4.43):
v
Р2
P2V2
Заменяя отношения р2 /р2 и р1/р1 соответственно на af /k и aJ. /k
и используя уравнение для скорости звука в виде
k
+
k
1 V2,
1
*2
2
а= а
2
2
записанное для течения до скачка уплотнения и после него, на­
ходим
k +1 а1*2 - k - 1 v22
k + 1 а*2 - k - 1 V12 =V1 -V . (4.53)
2
2 2 2
2
2
Из теории изоэнтропических течений известно, что критичес­
кая скорость до и после скачка уплотнения
*
2k
а1 = k +1 RT01 ;
*
2k
а1 = k +1 RT02 •
(4.54)
144
4. Теории uзоэнтропическuх течений и скачков уплотнения
где Т0 1, Т02 параметры торможения до и после скачка уплот­
нения.
Согласно уравнению энергии (4.45), полная энтальпия до скач­
ка уплотнения i01 =срТ01, а после него i02 =срТ02 . Поскольку при
постоянных теплоемкостях полная энтальпия при переходе через
скачок уплотнения сохраняется (i01 = i02), то равны и полные тем­
пературы (Т01 =Т02 ). Следовательно, критическая скорость звука
(см. (4.54)) будет также постоянной (а; = а; = а* ) и соотношение
(4.53) примет вид
-
k + I а*2 - k-I v22
2
2
--
k + 1 а*2 - k -1tv1т2 -_ tv1т - V2·
22
-
Приводя подобные члены и сокращая на разность V1 - V2 * О, по­
лучаем
(4.55)
или
(4.56)
Уравнение (4.56) является одним из основных уравнений теории прямого скачка уплотнения. Если до прямого скачка V > а , то
после него V < а , т. е. при наличии прямого скачка уплотнения
сверхзвуковои поток всегда переходит в дозвуковои.
Используя соотношение (4.56), найдем изменение параметров
газа при переходе через скачок. Для определения отношения дав­
лений р2 /р, , которое характеризует интенсивность скачка уплот­
нения, разделим обе части уравнения (4.44) нар 1 :
*
*
v
v
2
)
(V
Р2 = l + Р1V1 1 V2 = l + Р1V1 l - V2
Р1
Р1
Р1
\1i
Умножив и разделив второе слагаемое в правой части этого урав­
нения на k, получим
2
kp
V1
1
Р2 = l+
_ V2
1
kp1
V1
Р1
или
Р2 =1+kМf 1- V2
V1
Р1
С учетом выражений (4.27) и (4.55) находим
'
4.2. Основные соотношения для определения паралtетров газа
Р2 = l + 2k (М 21 -l) = 2k М2 _ k - 1 .
k +1
k +1 1 k +1
Р1
145
(4.57)
Из уравнения неразрывности (4.43) следует, что
Р2 = Vi = Л.f.
Vz
Р1
Тогда, проведя элементарные преобразования, получаем выражение для отношения плотностеи потока после и до скачка уплотнения:
Р2 = (k +l)Mf .
(4.58)
v
Pi 2 + (k - l)Mf
Для вычисления отношения температур T2/7J. в соответствии с
уравнением состояния (4.46) можно записать
Р1
Т2 - Р2 7/ Р1 Р2
-
или с учетом выражений (4.57) и (4.58)
2
k
1
2+(k-l)M1
2k
--М12
k+l
k+l
(k + 1 )Mf
-
-­
(4.59)
Таким образом, перепад газодинамических параметров при пе­
реходе через прямой скачок уплотнения является функцией только
безразмерной скорости набегающего потока (М или Л.) и показате­
ля адиабаты k.
Исключив из соотношений (4.57) и (4.58) М 1, получим зависи­
мость между отношением давлений и плотностей - уравнение Гю­
гонио, или ударной адиабаты:
-(kl)
1)
(k
/
+
P2
P1
Р2
- = __;_;::..:.-=....;. Р1 (k +l)-(k -l)p 2 /p1
_
_
В отличие от обычного изоэнтропического закона вида р/pk = const
она определяет изменение параметров при переходе через скачок
уплотнения. Согласно (4.57) и (4.59), при М1
отношение дав­
лений и температур безгранично возрастает, в то время как отно­
шение плотностей (р2 /р1 )max = (k + 1)/(k -1) достигает максималь� оо
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
146
ного значения, которое для возду­
ха (k = 1 ,4) равно 6. На рис. 4.10
изображены ударная адиабата и для
сравнения изоэнтропа вида р2/р1 =
= (p2/p1)k. Видно, что в изоэнтропическом процессе безграничному
1
ия соответству­
ению
давлен
увелич
о l
k + 1 l(k- l) Р 2/Р 1 ет безграничное увеличение плотРис. 4.10. Ударная адиабата (J) ности, в то время как ударная ади­
абата имеет вертикальную асимпи изоэнтропа (2)
тоту Р2/Р1·
Определим полное давление за прямым скачком уплотнения,
используя коэффициент восстановления полного давления
V = Po2/Po1 · Поскольку Р1 /Р� = Ро1 /Р � 1 и Р2 /Р� = Ро2 /Р �2 (где
POI• Ро1.Р02, р02 параметры торможения до и после скачка уплот­
нения), можно записать
k
k
v = Р2 Е1._ Ро2
р2!р 1
_
-
Р1 Р2
Ро1
k по­
отношение
/
на
равенства
)
этого
части
(р0 1 p02 ,
Умножив обе
лучим
1-k
k
k
Р2 Р1 Ро2 Ро1
vl-k = Ро2
Ро1
_
Р1 Р2
Ро1 Ро2
Учитывая, что i01 = i02, в соответствии с соотношениями для полнои энтальпии:
.10 = k Ро1 ; 1. = k Ро2
02
1
k - 1 Ро2 '
k - 1 Ро1
имеем
Ро1 Ро2
v
Ро1
_
Ро2
Следовательно, коэффициент восстановления полного давления
может быть найден по формуле
l
k
k-1 Р2 k-1
Pi
Ро2
v= =
(4.60)
Р1
Ро1 Р2
4.2. Основные соотношения для определения паралtетров газа
147
или с учетом зависимостей (4.57) и (4.58)
1
k
k-l (k + l)Mf k-l
k
1
+
V=
2kMf -(k - 1)
2+ (k - 1)Mf
Анализ выражения (4.60) показывает, что за скачком уплотне­
ния конечной интенсивности отношение давлений р02 / р01 всегда
меньше единицы, причем чем сильнее скачок (больше р2/ р1 ), тем
значительнее потери полного торможения, а следовательно, мень­
ше отношение р02 / р01 .
Косой скачок уплотнения в газе при
ер, cv =
const
Рассмотрим обтекание клина сверхзвуковым потоком. Перед кли­
ном образуется косой скачок уплотнения, фронт которого наклонен
по отношению к скорости невозмущенного потока на угол 0ск• от­
личный от 90° (рис. 4.1 1 ). Разложим
D
вектор скорости V набегающего пото­
0ск-�
ка на два направления: параллельно Vit
V2
скачку V1 't и перпендикулярно ему Viп·
Тогда
V2t
V1
0ск
-
�
�
�
�
о
Рис. 4.11. Треугольники ско­
ростей до и после косого
уплотнения
Для скорости потока за скачком уп­
скачка
лотнения имеем
V2't = V2 cos (0ск - �); Vzn = V2 sin (0ск �);
-
Vz = Jvf-i: + Viп ; tg (0ск
-
�) = Vzп/Vz't ,
где � угол разворота потока, равный углу наклона клина (см .
рис. 4.11).
Для косого скачка уплотнения неизвестными величинами бу­
дут: р2, р2, Т2, V2, i2, S2, а2 и 0ск· Рассматривая косой скачок уплот­
нения как прямой относительно скорости V1n, нормальной к фрон­
ту скачка, основные уравнения, необходимые для определения па­
раметров потока за скачком уплотнения, можно записать аналогично
уравнениям (4.43) и (4.44):
-
148
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
Р1V1п = Р2V2п;
(4.61)
2
P1V1� - р2V2п = Р2 - Р1 ·
При выводе основных соотношений, связывающих параметры
до и после косого скачка уплотнения, полагаем, что касательные
составляющие скорости при переходе через скачок не меняются:
V1t = V2t = Vt.
Это условие позволяет установить простую геометрическую связь
между скоростями V1 и V2:
соs 0ск
V2
_
Vi
соs(0ск - �)
Поскольку V1 = �\1i� + \1i� , V2 = �V22t + V22п , V1t = V2t• уравнение
энергии (4.45) для нормальных составляющих скоростей имеет вид
i1 + \1t�/2 = i2 + V22п/2,
а уравнение состояния для параметров потока до и после скачка
аналогично (4.46). Проводя те же, что и для прямого скачка, преобразования, определяем связь между составляющими скоростеи до
и после косого скачка уплотнения:
k-1 2
*2
=
а
V2п'1�п
Vt ·
v
k +I
Отношения
газодинамических
параметров
при
переходе
через
косоиv скачок уплотнения можно также записать относительно нормальной составляющей числа Маха невозмущенного потока:
Р2 2k М 2 _ k - 1
(4.62)
'
1
р1 k + 1 '1 k + 1
.
_
Р2 (k + 1)М lп
Р1 2 + (k - l)Mlп '
(4.63)
.
2k м 2 k - 1 2 + (k - 1)Mf11
(4.64)
ln
k+1
k +1
(k + 1)Мfп
нормальное к фронту скачка значение числа Маха,
'
где М 111
М1п = М1 sin0ск ·
-
4.2. Основные соотношения для определения параметров газа
149
В соотношениях (4.62)-(4.64) неизвестным является угол на­
клона косого скачка уплотнения еск> который можно найти, используя геометрические соотношения для треугольника скоростеи
(см. рис. 4.11) и уравнение неразрывности (4.61 ). Нормальная со­
ставляющая скорости до скачка V1n = Vttgecк• а после скачка
V2п = Vttg (0ск �). Тогда отношение скоростей
�
-
V1n tg0cк
V2n tg (0ск - �)
или с учетом уравнений (4.61) и (4.63)
(k + l)Mf sin2 еск
tg(0CK �) 2 + (k -l)Mf sin 2 еск
(4.65)
-
Поскольку для плоского скачка уплотнения угол разворота по­
тока равен углу наклона клина, неизвестным в соотношении (4.65)
является только угол наклона скачка уплотнения еск · Зависимость
(4.65) позволяет также найти угол разворота потока за скачком по
известному углу его наклона. На рис. 4.12 представлена графичес-
О
10
20
30
40
� . град
Рис. 4.12. Изменение угла разворота потока в зависимости
числах Маха k =
от
угла 0ск при различных
и
1,4
150
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
ки связь между углами 0ск и Р при различных числах М 1. Видно,
что каждому значению Р соответствуют два значения еск• опреде­
ляемые числом М 1 . Значения, лежащие ниже штриховой линии, со­
ответствуют образованию присоединенного скачка уплотнения при
обтекании заостренных тел и формированию устойчивой структу­
ры течения за скачком . По мере утолщения тела угол р может стать
равным Ркр (значения этого угла находятся на штриховой кривой).
Угол Ркр характеризуется тем, что скачок уплотнения перед заост­
ренным телом, отделяясь, приобретает криволинейную форму; при
этом вблизи оси потока появляется участок прямого скачка с еск =
= 90°. Из двух возможных структур течения физически реализует­
ся структура с образованием присоединенного скачка уплотнения
(нижние ветви кривь1х). Это объясняется тем, что изменение энт­
ропии при переходе газа из одного состояния в другое будет мини­
мальным, т. е. система будет стремиться перейти в устойчивое состояние с наименьшеи диссипациеи.
Угол Р разворота потока рассчитывают по формуле
-1
1
-sin 2 еск мf
tgp = ctgecк (мl sin 2 еск -1 ) 1 +
v
v
k;
'
а угол еск наклона скачка уплотнения при известном значении Р согласно выражению
2
1 Р2
1
Р2
+
- - 1 -tg2p Р2
-1
tg0ск = ctg р
(4.66)
4 Р1
2 Р1
Р1
При движении тел с гиперзвуковыми скоростями возрастает ин­
тенсивность скачков уплотнения и, следовательно, уменьшается угол
их наклона. В этом случае поперечная протяженность возмущен­
ной зоны, ограниченной линией скачка и поверхностью обтекаемо­
го тела, сокращается. При обтекании тонких тел такое физическое
явление позволяет определить зависимость между углом наклона
скачка уплотнения и углом разворота потока с использованием ли­
нейной теории. Считая, что углы еск и р малы, т. е. tg еск "" sin еск ""
"" еск и tgp "" р, соотношение (4.66) можно записать в виде
4. 2. Основные соотношения для определения паралtетров газа
15 l
При М1� --7 второе слагаемое в правой части этого уравнения стремится к нулю, а значит, отношение углов 0ск/� --7 (k + 1)/2.
оо
Изменение параметров потока за скачком уплотнения
с учетом диссоциации и ионизации
Значительное увеличение скорости движения ЛА приводит к не­
обходимости учитывать в аэродинамических исследованиях особен­
ности газовых течений, обусловленные изменением физико-хими­
ческих свойств воздуха. Все приведенные ранее в этой главе зави­
симости были получены для условий движения с малыми и
умеренными сверхзвуковыми скоростями, когда влияние темпера­
туры на термодинамические параметры, в частности на удельные
теплоемкости, не учитывают. При гиперзвуковых скоростях на пер­
вое место выдвигаются особенности, связанные с влиянием возни­
кающих при торможении потока вь1соких температур. Теплоемкос­
ти ер и cv газа в этом случае возрастают вследствие возбуждения
поступательных и вращательных степеней свободы (при этом от­
ношение k = c/cv снижается), и двухатомные молекулы, входящие
в состав воздуха, распадаются на одноатомные (диссоциируют). По
мере роста температуры и еще большего притока энергии происхо­
дит возбуждение колебательных уровней и отрыв электронов от ато­
ма, т. е. ионизация воздуха.
Важным элементом расчетов таких течений является определе­
ние термодинамических параметров и кинетических коэффициен­
тов диссоциированного и ионизированного воздуха, а также его со­
става.
При определении равновесных параметров р2, р2, Т2, V2, i2, S2,
а2, М2 и 0ск за скачком уплотнения в диссоциирующем газе необ­
ходимо составить систему из девяти уравнений. Зависимости i2 =
= ft (р2, Т2); S2 = h,(p2, Т2); М2 = fз(р2, Т2); а2 = f4(p2, Т2) находят с
использованием таблиц или графиков* термодинамических функций
воздуха при высоких температурах , значения р2, р2 и 0ск - по
формулам (4.62), (4.63) и (4.65), а Т2 с помощью уравнения со­
стояния, записанного с учетом диссоциации.
Расчеты показали, что диссоциация и ионизация газа значитель­
но изменяют температуру и плотность за скачком уплотнения, тог­
да как давление в меньшей степени зависит от физико-химических
-
Подробнее об этом см.: Атлас гидродинамических функций при больших
скоростях и высоких температурах воздушного потока/ Ю.А. Кибардин, С.И. Куз­
нецов, Л.Н. Любимов, Б.Я. Шумацкий. М.: Госэнергоиздат, 1961.
•
152
4. Теории изоэнтропических течений и скачков уплотнения
превращений в воздухе. Отношение р2/ р1 мало отличается от мак­
симального р2 / р1 = 1 + k1 М �п , определяемого только условиями на­
бегающего потока (k1 - показатель адиабаты в набегающем пото­
ке). Температура за скачком уплотнения в диссоциированном газе
будет меньше, чем в газе с постоянной теплоемкостью, что объяс­
няется затратами энергии на тепловую диссоциацию молекул. Сни­
жение температуры вызывает увеличение плотности, что, в свою
очередь, приводит к уменьшению угла наклона скачка уплотнения.
4.3 . Взаимодействие скачков уплотнения
Рассмотрим сверхзвуковое плоское течение невязкого газа вбли­
зи поверхности тела с двумя изломами в точках А и В (рис. 4.13, а).
Последовательный разворот потока на углы �1 < �кр и �2 < �кр при­
водит к образованию двух присоединенных скачков уплотнения А С
и ВС. Угол наклона второго скачка 0ск АС > еск вс, поскольку он
формируется газом с параметрами за первым скачком уплотнения,
для которого V2 < V1 . В результате такого взаимодействия скачки
А С и ВС пересекаются в точке С и сливаются в один скачок СР.
Выделим в потоке две линии тока. Первая линия тп, пересека­
ющая два скачка, деформируется и разворачивается в точках а и Ь
В,
'
Р2
f
z
Р1+Р2
- ----- 5 L
т
1
�
Р 1, V1
�
л·
0скАС
а
б
с
Р2
в
PcF
В,
Рз, Vз
1
Р1, V1
'
�
а
4
Р1
,
А
3
т
р4
Pcv
1
'D2 н
р
------·
------·
�
Р 1, V1
Рис. 4.13. Взаимодействие скачков
А
Р2
,
в
уплотнения
N
R
4
Р1
4.3. Взашtодействие скачков уплотнения
153
на углы Р 1 и р2. Если предположить, что направление второй ли­
нии тока lf, проходящей через скачок СР, будет таким же, как и
первой, то давления в областях 3 и 4 будут различными, так как
суммарные потери в двух скачках уплотнения АС и ВС не равны
потерям в скачке СР. При этом соотношение между давлениями р3
и р4 может быть произвольным, что приведет к образованию за точ­
кой С либо слабой волны разрежения СТ (р3 < р4), либо сжатия CL
(р3 > р4) (область 5). При прохождении потока через область 5 дав­
ления в газе выравниваются.
Как показали расчеты, интенсивность волны CL невелика, что
делает обоснованным предположение о развороте потока за скач­
ком СР на угол р 1 + р2. Для расчета такой системы справедливы
зависимости, используемые в теории косого скачка уплотнения. Зная
параметры невозмущенного потока р 1 , р1, М1, . .. , а также углы р 1
и р2, можно по формулам (4.62)-(4.65) последовательно опреде­
лить параметры течения в областях 2 и 3, а вычислив суммарный
угол Р1 + р2, по аналогичным зависимостям рассчитать р4, р4 и М4
за скачком уплотнения СР. Отношение давлений р4/р3 определяет
интенсивность волны CL. Характерно, что скорость за скачком СР
всегда меньше, чем за скачком ВС. Это приводит к образованию в
потоке линии СТ тангенциального разрыва скоростей.
Еще один случай пересечения скачков уплотнения соответству­
ет течению газа в канале переменного сечения (рис. 4.13, б, в). При­
соединенные косые скачки уплотнения А С и ВС возникают в ре­
зультате отклонения внутрь противоположных стенок канала на углы
Р 1 < Ркр и Р2 < �кр· Поскольку в областях 2 и 3 потоки направлены
навстречу один другому, их взаимодействие приведет к образованию
скачков уплотнения CD и CF, за которыми поток должен иметь оди­
наковое давление р4 и общий угол разворота Р4 (см. рис. 4.13, 6).
Такую схему взаимодействия скачков - иногда ее называют
схемой правильного взаимод ействия рассчитывают итерацион­
ным способом. Первоначально по параметрам невозмущенного по­
тока и углам р1 и р2 определяют параметры потока за скачками
уплотнения АС и ВС, т. е. в областях 2 и 3. Затем, задавая давление р4
в зоне 4, с помощью зависимости (4.62) определяют углы 0ск CD•
0ск CF наклона скачков CD и CF. Поскольку за скачком CD поток
отклоняется на угол PcD = Р1 + Р4, а за скачком CF на угол PcF =
= Р2 - Р4, используя соотношение (4.65) можно определить угол Р4.
Давление р4, при котором значения угла р4, рассчитанные по пара­
метрам зон 2 и 3, будут одинаковыми, является искомым.
-
-
154
4. Теории uзоэнтропических течений и скачков уплотнения
Устойчивое существование системы двух пересекающихся ко­
сых скачков возможно при условии, если углы разворота потока в
скачках CD и CF меньше критических. При PcD > Ркр или PcF > Ркр
вблизи центральной линии тока образуется скачок уплотнения СК,
по форме близкий к прямому (см. рис. 4.13, в). Аналогично первой
схеме взаимодействия (см. рис. 4.13, а) в точках С и К возникают
линии тангенциального разрыва скоростей СР и КN, а также сла­
бые волны сжатия (разрежения) СН и КR. В этом случае парамет­
ры потока за скачками CD и KF рассчитывают аналогично схеме
правильного взаимодействия (см. рис. 4.13, 6), а за скачком СК с
помощью соотношений теории прямого скачка уплотнения.
Отражение скачка от прямой твердой стенки является частным
случаем схемы взаимодействия, представленной на рис. 4.13, 6, ко­
торая реализуется в случае замены центральной линии тока твер­
дой стенкой. Если угол отклонения стенки р < Ркр> в точке излома
образующей А возникает присоединенный косой скачок уплотне­
ния АС (рис. 4.14, а). При переходе через этот скачок поток разво­
рачивается на угол р по направлению к твердой стенке. В результа­
те взаимодействия потока со стенкой в точке С возникает отражен­
ный скачок уплотнения СР, за которым поток разворачивается на
угол р и движется параллельно твердой стенке. При такой схеме
отражения углы наклона скачков АС и СР будут отличаться, по­
скольку при одном и том же угле разворота потока скорости в обла­
стях 1 и 2 различны.
Если во втором скачке угол р < Ркр> возникает схема правильно­
го отражения скачка (аналогично схеме правильного взаимодей­
ствия). В этом случае параметры потока за скачком уплотнения АС
вычисляют с использованием зависимостей (4.62)-(4.65). Зная угол
разворота потока в области 3, по параметрам потока в области 2
можно определить угол 0ск наклона скачка СР и состояние газа
за ним. При р > Ркр отраженный скачок не может обеспечить вы­
равнивание потока. Прилегающий к стенке поток становится до­
звуковым, и вся система скачков деформируется, приобретая А-об­
разную форму, которая в предельном случае преобразуется в ото­
шедший криволинейный скачок (рис. 4.14, 6).
На рис. 4.14, в представлена схема отражения скачка от свобод­
ной границы струи. Косой скачок уплотнения, формирующийся в
точке А сверхзвуковым потоком, падает на границу свободной струи
в точке С. При условии, что давление Pirrм в канале равно давле­
нию р1 в струе, участок ВС является продолжением стенки FB. При
-
СР
4.3. Взаимодействие скачков уплотнения
155
с
0скСР
1
�
Р 1, V1
2
1
�
Р 1, V1
'/
в
А
а
А
б
А
1
2
D,-
' ,
',/
""
,"", " Q
'
,
;-:,"""
""
F
с
Ратм
в
�1
Рис. 4.14. Отражение скачка от
твердой стенки (а, б) и от грани­
цы струи (в)
переходе через скачок уплотнения А С давление возрастает, и газ из
области более высокого давления р2 движется в область более низ­
кого р1 , что приводит к образованию в точке С веера волн разреже­
ния DCQ (см. рис. 4.14, в). Отражение скачка вызывает деформа­
цию границы струи, которая в точке С отклоняется от первоначаль­
ного направления на угол � 1 > �·
5.
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
И АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАГРЕВ
Аэродинамика пограничного слоя - один из наиболее
изученных разделов науки о движении газа и жидкос­
ти, в котором исследуется движение вязкого газа в
пограничном слое. Знание параметров пограничного
слоя дает возможность найти распределение каса­
тельных напряжений и, следовательно, суммарных
аэродинамических сил и моментов от трения, а так­
же позволяет рассчитать теплопередачу от разо­
гретого омывающего газа к стенке. При этом выво­
ды теории пограничного слоя могут быть использова­
ны для корректировки решения о невязком обтекании.
В главе изложены основы теории пограничного слоя
и методы расчета трения в вязких потоках. Рассмот­
рены однородные и смешанные пограничные слои в не­
сжимаемой и сжимаемой средах.
5.1. Пограничный слой
Движение реального газа отличается от течения идеальной сре­
ды наличием силы вязкости, или внутреннего трения, обусловленнои перераспределением количества движения между слоями в потоке. Значение этой силы зависит от кинематических условий процес­
са и может изменяться в широких пределах в зависимости от среды
и ее термодинамического состояния (в основном температуры).
Непрерывное распределение скорости сохраняется вплоть до обтекаемои поверхности, причем частицы среды, непосредственно
примыкающие к ней, неподвижны, т. е. на обтекаемой поверхности
обращаются в нуль не только нормальная (условие непроницаемо­
сти поверхности), но и тангенциальная составляющие скорости (так
называемое условие прилипания вязкой среды). По мере удаления
v
v
5.1. Пограничный слой
157
от поверхности тела скорость непрерывно возрастает от нуля до
ее значений в свободно двигающемся газе. Следует отметить, что
скорость увеличивается весьма интенсивно и уже на небольшом
расстоянии от поверхности достигает своего конечного значения.
В области резкого изменения скорости существенное влияние на
течение оказывает сила вязкости. Согласно закону Ньютона, на­
пряжение трения в вязкой среде, например для ламинарного ре­
жима движения,
дVх
't = µ ду '
где дVх /ду - градиент продольной скорости в направлении, пер­
пендикулярном рассматриваемой площадке.
Следовательно, при больших значениях дVх /ду сила трения
может быть значительной даже в газах, обладающих малой вяз­
костью.
Итак, если сопоставить картину течения с ее идеализирован­
ной схемой, можно заметить, что различия, обусловленные особен­
ностями представления о невязкой среде, сосредоточены в очень
узкой области, непосредственно прилегающей к поверхности обте­
каемого тела. Вне этой области упрощение свойств газа не искажа­
ет действительных условий процесса. Таким образом, всю область
течения можно рассматривать как совокупность некоторого погра­
ничного слоя и внешнего потока (рис. 5.1).
Погран.ичн.ым слоем называют зону течения вблизи поверхности
тела, которая характеризуется высокои степенью неоднородности параметров потока (в частности, скорости), а следовательно, значитель­
ной вязкостной силой. В пределах этой
у
2
зоны силы инерции и вязкости следу­
ет рассматривать как величины одно­
го порядка.
t--- 3
При исследовании течения газа в
пограничном слое используют систе­
х
му координат, в которой ось Ох на­ о
правлена вдоль поверхности тела, а
Оу - по нормали к этой поверхнос­ Рис. 5.1. Схема пограничного
ти. Толщину Ь пограничного слоя из­
слоя:
меряют по нормали к обтекаемой по­ 1 пограничный слой; 2 гра­
верхности как расстояние от стенки до ница слоя; 3
обтекаемая по­
верхность
границы пограничного слоя.
�
-
-
-
158
5. Движение вязкого газа
Внешний поток -
это остальная область течения (см. рис. 5.1),
в пределах которой можно пренебречь силой вязкости (вследствие
малости дVх /ду) и воспользоваться при определении параметров
потока системой уравнений, описывающих движение идеальной
среды .
В пределах пограничного слоя по мере удаления от поверхнос­
ти влияние силы внутреннего трения ослабевает, соответственно
изменяется распределение скорости и совершается плавныи переход к условиям, характерным для внешнего потока.
Итак, задача по исследованию обтекания тела сводится к рас­
смотрению двух самостоятельных задач (о движении реальной сре­
ды в пограничном слое и идеальной - во внешнем потоке), кото­
рые объединяются в одно целое тем, что полученные решения долж­
ны быть согласованы на границе пограничного слоя.
v
5.2. Интегральное соотношение и условная толщина
пограничного слоя
В приближенной теории пограничного слоя важное практичес­
кое значение имеет его интегральное соотношение. Выделим в по­
граничном слое бесконечно малый элемент слоя ABCD единичной
ширины, ограниченный твердой поверхностью AD, внешней гра­
ницей ВС и отрезками АВ и CD, нормальными к обтекаемой поверх­
ности (рис. 5.2). Для вывода интегрального соотношения погранич­
ного слоя воспользуемся уравнением движения в направлении оси
с
х
"°
/
в____-"'='
;:....
;:....
""- V15
1
1
'./
/' v
'А � х
'tст
"°
"'='
+
"°
�
1
'"' V
/ х
/
/
/
D
//�
dx
Рис. 5.2. Контрольный обьем пограничного
слоя
5.2. Интегральное соотношение и условная толщина пограничного слоя l 59
Ох, считая течение установившимся. Количество движения среды
в единицу времени через грани АВ и CD контрольного объема эле­
мента пограничного слоя определяется соотношениями
о
JpV}dy;
о
о
д о
о
о
JpV}dy+дх J pV}dy dx,
где Vx скорость потока в пограничном слое; 8 толщина погра­
ничного слоя.
Для вычисления количества движения газа, вносимого в конт­
рольный объем через поверхность ВС, необходимо предварительно
определить массу, которая поступает в указанный объем через эту
поверхность, т. е. разность потоков массы, проходящей через грани
-
-
CD и АВ:
о
J
о
д о
р Vxdy + дх о р Vxdy
-
J
д о
dx -J р Vxdy = дх о р Vxdy
о
-
J
dx.
о
В соответствии с этим количество движения, вносимое в эле­
мент пограничного слоя через его внешнюю граничную поверх­
ность ВС, определяется выражением
д о
V0 -аоJ р VxdY dx,
х
где V0 скорость потока на внешней границе пограничного слоя.
Согласно теореме импульсов, изменение количества движения
газа, протекающего через выделенныи элемент пограничного слоя,
должно быть равно импульсу сил, действующих на грани этого эле­
мента в направлении оси Ох. Силы от давления и трения, действую­
щие на грани АВ, ВС, CD,
AD, определяются соответственно вырад
жениями р8; pd8; р8 + дх ( p8)dx; 'tcтdx. Тогда, согласно уравнению
движения, для рассматриваемых условии течения имеем
-
v
v
160
5. Движение вязкого газа
или после элементарных преобразований
(5. 1 )
Это и есть одна из форм записи интегрального соотношения
импульсов для пограничного слоя.
Для несжимаемого газа (р = const) соотношение (5.1) принима­
ет вид
о
о
о dp
�
2
=
'tст
.
(5.2)
f
V dy- vu� f V dy - �
Р p dx
dx o х
dx o х
Уравнение (5.2) содержит три неизвестные величины: о, 'tст, Vx(y),
поэтому для его решения необходимы дополнительные соотноше­
ния. Путем тождественных преобразований приведем уравнение
(5.1) к следующему виду:
0
0
0
dV
d
d
о
=
v
f
pVxdY
pVxdy +V5- fpVxdy.
of
dx o
dx o
dx о
о
d
Выразим отсюда V0 -J р Vxdy и подставим полученное выра­
dх о
жение в интегральное соотношение (5.1):
Используя уравнение Бернулли для внешнего потока:
после несложных преобразований находим
Для несжимаемой среды (р = const)
5.2. Интегральное соотношение и условная толщина пограничного слоя 16 l
о
о
dV0
J(v8 -vx )dy = 'tст .
_о_ J (v0vx -v} )cty +
р
(5.4)
то
то
Рассмотрим более подробно интегралы, входящие в соотноше­
ние (5.3). Интеграл
о
Jp0V0dy = p0V00
характеризует расход газа в
о
единицу времени через сечение пограничного слоя, определенныи
о
по параметрам внешнего (невязкого) потока, а J р Vxdy
v
-
действи­
о
тельный расход газа через то же сечение пограничного слоя
довательно,
о
J(p8V8 -pVx )dy
о. Сле­
представляет собой уменьшение (по
о
сравнению с невязким потоком) расхода газа через сечение пограничного слоя, обусловленное вязкостью среды.
Запишем следующее выражение:
о
f (PoVo -PVx )dy
о* = о
о*
PoVo
0
=J
(5.5)
о
Здесь
в соответствии с ее физическим смыслом так называе­
мая толщина вытеснения, представляющая собой высоту площад­
ки, через которую в невязком течении протекает количество среды,
равное потере расхода через пограничныи слои вследствие торможения газа в реальном течении.
Толщина характеризует смещение линий тока в направлении,
перпендикулярном обтекаемой поверхности, т. е. вытесняющее дей­
ствие пограничного слоя. Особенно важно ее учитывать в задачах
об обратном влиянии пограничного слоя на внешний поток, кото­
рые решают путем последовательных приближений. При этом ну­
левым приближением служит исходный контур тела, а в каждом
последующем приближении находят фиктивный контур, смещая
точки контура, полученного в предыдущем приближении, нормально
к поверхности на толщину вытеснения.
Аналогично рассуждая для интеграла, входящего в первое сла­
гаемое уравнения (5.3), приходим к выводу, что он характеризует
уменьшение количества движения газа, протекающего через сече­
ние пограничного слоя:
-
v
о*
v
162
5. Движение вязкого газа
(5.6)
Здесь <;::u **
так называемая толщина потери импульса, или высота площадки (толщина слоя), через которую в условиях течения
идеальнои среды в единицу времени переносится количество движения, равное количеству движения, потерянному вследствие тор­
можения среды в пограничном слое.
Подставив выражения для условных толщин пограничного слоя
в интегральное соотношение импульсов (5.4), получим уравнение
для несжимаемого газа в форме Кармана:
-
�
d8**
8** dV:
о
dx vo dx
--
+
2+
8*
-
8**
(5.7)
рое широко применяют для анализа изменения параметров пограничного слоя на криволинеинои поверхности.
кото
�
�
5.3. Уравнения Прандтля для пограничного слоя
Рассмотрим плоское течение несжимаемой среды вдоль поверх­
ности малой кривизны. В этом случае система уравнений движе­
ния и неразрывности имеет вид
дVх + V дVх +V дVх =-др +V
дt х дх у ду дх
дV
дV
дV
др + v
у
у
-- + Vx + V у = -дt дх
ду ду
дVх + дVу =0.
дх ду
y
(5.8)
Поскольку в дальнейшем мы будем оценивать порядки вели­
чин, входящих в эти уравнения, их целесообразно привести к без­
размерной форме. Для этого в качестве характерных параметров
выберем размер L и скорость v невозмущенного потока, а для
и
имеющие соот­
времени и давления - комплекёы
ветствующие размерности.
L/V00 pV�,
5.3. Уравнения Прандтля для пограничного слоя
163
Итак, соотношения для перехода к безразмерным величинам
имеют вид
х
-х = -·
L'
V), .
- = __
- =v
·
.
..
__:!.
vх v ' vу v
00
00 '
-t t p- = -р
L/V00 '
pv2
=
.
(5.9)
Рассмотрим более подробно преобразование первого уравнения
движения (5.8). Подставим в него безразмерные величины, найден­
ные с помощью соотношений (5.9):
д(vxvoo) - д(vxvoo ) - д(vxvoo)
--- + V V00
+V
V
00
У
д(tL/V00)
д(уL)
д(хL)
д(vxvoo)
д(vxvoo)
1 д ( рр v2 )
д
д
+-- --+v
д(хL) д(хL) д(уL) д(уL) '
р д(хL)
=
х
=
-
или
v2 д� +V д VХ + V д � =- v; др + v VOO д2� + д 2�
L дх L2 дх2 ду2
дх у ду
L дt
Разделив левую и правую части последнего уравнения на v2 /L ,
получим
д�+ V дVx + v дVх = _ др + v
д t х дх у ду дх VOOL
Поскольку V00L/v ReL , окончательно имеем
д� + V дVх + V дVх = - др + 1 д 2Vx + д2Vx (5.1 О)
дt х дх У ду дх ReL дх2 ду2
х
=
Аналогично для второго уравнения движения системы (5.8) мож­
но записать
дV
дV
дVУ
У
У
-_-'- + Vх +V
дt
дх У ду
др
ду
1
ReL
= - - + --
Уравнение неразрывности после почленного деления на
примет вид
(5.11)
V00/L
164
5. Движение вязкого газа
(5.12)
Оценим теперь порядки отдельных величин, входящих в уравне­
ния (5.10)-(5.12). Если изменение некоторой переменной х ограни­
чено интервалом (О, х0), то она определена как величина порядка х0:
О(х) = х0,
где О - символ порядка значения данной величины (от лат. ordo порядок).
Порядок производной определяют так:
0
d'ny
Уо
(5.13)
Соответствующие рассуждения целесообразно начать с уравне­
ния неразрывности (5 . 2) . С учетом выражения (5.13) имеем
1
- vy
у
Поскольку х изменяется в пределах от нуля до L, а Vx - от нуля у
стенки до V0 на границе пограничного слоя, то, согласно соотно­
Следова­
шениям (5.9), легко установить, что О(х) 1, O(Vx)
тельно,
=
=о
v-x
х
=
1.
=1.
Однако в соответствии с уравнением неразрывности оба слага­
емых в левой части уравнения (5.12) должны быть величинами од­
ного порядка, поэтому
=0
=1.
(5.14)
Поскольку в пограничном слое поперечная координата у изме­
няется в пределах от О до о, то
О(у)
=
о
,
где о = о/L - безразмерная толщина пограничного слоя.
5.3. Уравнения Прандтля для пограничного слоя
165
Согласно выражению (5.14),
O(Vy) = о.
а так как о << 1, то и Vy << 1.
Таким образом, в пределах пограничного слоя продольная со­
ставляющая скорости существенно больше поперечной, поэтому
можно учитывать лишь составляющую Vx.
Оценим порядки величин, входящих в уравнения движения
(5.10), (5. 1 1 ), и запишем их под каждым членом этих уравнений.
Рассмотрим наиболее общий случай, когда для инерционной силы
одинаково важны как нестационарность, так и неоднородность поля
скорости. Кроме того, будем считать, что все слагаемь.1е, определя­
ющие силы, - величины одного порядка (в противном случае не­
которыми из них можно было бы пренебречь). Тогда имеем
д1v_х + д1vх .
дх2 ду2 '
_
_
.......
1
�
....._,_...
....._,_...
1
o·)i
дVУ + V- дVУ +V- дVУ =-др + 1
х дх
у ду
дt
ду ReL
_
1
--
0·1
В первом из приведенных уравнений в левой части все три ела-
гаемые имеют порядок единицы, а в правои части первое слагаемое в скобках несоизмеримо меньше, чем второе. Это означает, что
скорость в продольном направлении изменяется значительно мед­
леннее, чем в поперечном. В соответствии с этим первым слагае­
мым в скобках можно пренебречь и записать составляющую, обу­
словленную силой трения, в виде
1 д2vх
�
Как отмечалось ранее, в пределах пограничного слоя сила тре­
ния и сила инерции - величины одного порядка, а значит,
1 1 или
-ReL о2 = ,
1
5. Движение вязкого газа
166
Следовательно, толщина пограничного слоя мала по сравнению
с размерами тела только при больших числах Рейнольдса, в соот­
ветствии с чем рассматриваемую теорию следует понимать как уче­
ние о движении среды при больших числах Рейнольдса.
Во втором уравнении движения все члены имеют порядок
но поскольку
1, справедлив вывод о том, что составляющие
сил в направлении, перпендикулярном обтекаемой поверхности,
пренебрежимо малы и это уравнение можно вообще не учитывать.
Вместо него получаем очень важное условие о распределении ста­
тического давления по толщине пограничного слоя:
о,
о <<
Следовательно, в пределах любого сечения пограничного слоя
давление постоянно и является функцией лишь продольной коор­
динаты х и времени t, т. е. р = f (х, t).
Итак, после всех упрощений система уравнений принимает вид
2
дV
1
дVХ V дVх + V х - - др + д Vx .
дt х дх У ду дх ReL ду2 '
+
дVУ
дV
х
_� + д =0
дх у
или
(5.15)
дVх + дVУ = 0.
дх ду
Система уравнений (5 . 1 5) содержит три неизвестные величины
(Vx, Vy,p) и является незамкнутой. Эту неопределенность устраня­
ют следующим образом. Поскольку толщина пограничного слоя
очень мала и смещение линии тока, происходящее вследствие вязкости среды, в направлении, перпендикулярном обтекаемой поверх­
ности, весьма незначительно, можно считать в большинстве случа­
ев справедливым гипотезу об отсутствии обратного влияния погра­
ничного слоя на внешний поток. При этом внешнее течение можно
v
5.3. Уравнения Прандтля для пограничного слоя
167
отождествлять с движением идеальной среды вдоль рассматриваемои поверхности, что позволяет находить параметры невязкого потока на стенке (при у = О), т. е. принимать в дальнейшем равными
параметрам на границе пограничного слоя. Следовательно, давле­
ние можно считать известной функцией, что допустимо лишь при
отсутствии обратного влияния пограничного слоя.
Давление р оказывается связанным простой зависимостью со
скоростью V0 на границе пограничного слоя, т. е. со скоростью не­
вязкого потока. Действительно, записав первое уравнение системы
(5.15) для условий идеальной жидкости, находим
v
дV5 + V дV5
дt о дх
1 др
р дх
В соответствии с этим уравнения (5.15) можно представить так:
- -
-
дVх + V дVх + V дVх дV5 + v дV5 + v д2Vх .,
5
дх ду2
дt . дх
ду дt
дVх + дVУ =0.
дх ду
х
У
_
-
t7
(5.16)
Система (5.16) является замкнутой, поскольку содержит лишь
две неизвестные величины: Vx и VY. Дополним ее граничными и
начальными условиями. Первые должны выражать условие «При­
липания» жидкости к поверхности и удовлетворять требованию
плавного перехода продольной составляющей скорости Vx в скорость внешнего течения, т. е.
Vx =Vy =0 при у=О;
(5.17)
Vx � V0 при у � оо,
а вторые, имеющие смысл только для неустановившихся течений, быть заданы в виде распределения скоростей Vx, Vy в начальный
момент.
Для стационарных течений система уравнений (5.15) принимает вид
2
дV
дV
V
д
dp
х
х
..!_
+
=+v х '.
Vх
Vу ду
дх
р dx
ду2
дVх + дVУ =0
дх ду ,
168
5. Движение вязкого газа
причем первое из этих уравнений можно записать иначе:
дVХ
д2v
дVХ v: dV5
х
v
vу
+
=
+
v
о dx ду2 '
х дх
ду
где р(х), V0(x) известные функции продольной координаты.
Интегрирование системы уравнений ( 5 .16) с граничными ус­
ловиями (5.17) затруднительно, и довести решение до конечных
результатов удается лишь для некоторых частных случаев распре­
деления скорости во внешнем потоке. В соответствии с этим в
теории пограничного слоя широкое распространение получили
приближенные методы, основанные на использовании интегральных соотношении.
Следует также отметить, что общая теория пограничного слоя
включает в себя наряду с учением о движении среды в «чистом»
виде (рассмотренный выше процесс внешнего обмена количеством
движения) также учение о тепло- и массообмене. В зависимости от
физической природы процесса различают динамический, тепловой
и диффузионный пограничные слои.
-
v
5.4. Приближенные методы расчета пограничного слоя
на плоской пластине
Ламинарный пограничный слой
Приближенные методы расчета пограничного слоя основаны на
использовании интегрального соотношения импульсов. Суть этих
методов состоит в том, что распределение скорости по сечениям
пограничного слоя представляют функциями, которые задают, а не
получают как результат интегрирования уравнении пограничного
слоя. Выбор функций обусловлен определенными соображениями,
порой достаточно тонкими и сложными. Зависимости, используемые в качестве аппроксимации деиствительных распределении скорости, имеют вид однопараметрических функций (скорость как
явная функция поперечной координаты), в состав которых входит
параметр, зависящий от продольной координаты. Изменение это­
го параметра, называемого формпараметром, вниз по течению
позволяет воспроизвести картину перестройки профиля скорос­
ти. Аппроксимирующие функции, в качестве которых выбирают
степенные полиномы, должны быть согласованы с граничными
условиями.
v
v
v
v
5.4. Приближенные лtетоды расчета пограничного слоя
169
Как уже отмечалось ранее, при течении вдоль пластины про­
филь скорости не зависит от координаты х. Следовательно, задача
о пограничном слое на плоскои пластине не связана с понятием
формпараметра, а значит, наиболее трудоемкая часть решения, свя­
занная с его определением на основании уравнения импульсов, ис­
ключается. В качестве безразмерных переменных выберем Vx/V00
и 11 = у/8 (8 - неизвестная величина), а функцию, аппроксимиру­
ющую распределение скорости по толщине пограничного слоя,
представим в виде полинома третьеи степени:
v
v
(5.18)
Vx/Voo = �(11) = ао + а111 + а111 2 + аз113 ·
Поскольку функция � не зависит от х, коэффициенты ai являют­
ся постоянными числами. Для их определения воспользуемся граничными условиями, записанными для внешнеи границы пограничного слоя (при у = 8, 11 = 1 ) и на поверхности пластины (при у = О,
11 = О).
v
дVх
= О,
На внешнеи границе слоя Vx = V8 = V00, а также 't = µ
ду у=о
дVх
откуда следует, что
= О и в соответствии с этим
ду у=о
v
�(1) = 1; �,(1) = О.
(5.19)
На обтекаемой поверхности Vx = О, поэтому
�(О) = О.
(5.20)
Условия (5.19), (5.20) действительны при самых общих предпо­
ложениях. В частном случае обтекания плоской пластины (безгра­
диентное течение, dp/dx = 0) необходимое дополнительное усло­
вие получают на основании уравнения движения (5.15) при у = О
(11 = О). Поскольку, согласно гипотезе «прилипания» вязкого газа,
на поверхности тела Vx = Vy = О, а для плоской пластины dp/dx = О,
д2vх
то
ду2
у=О
= О, т. е.
�"(О) = О.
(5.21)
Решение системы уравнений (5.19)-(5.21) позволяет определить
коэффициенты, входящие в выражение для закона распределения
скорости по толщине пограничного слоя (5.18):
5. Движение вязкого газа
170
а =
0
О;
3;
2
а1 = - � =
О;
аз = -
1.
2
-
Таким образом,
(5.22)
3(х)
Для определения
воспользуемся интегральным соотноше­
нием (5.7), которое для случая плоской пластины имеет вид
d3** -
'tст
(5.23)
dx pv; ·
Приведем это соотношение к безразмерным переменным. Вве­
дем следующие величины:
.
3*
us:: **
н* 3 ' н** 3 '
=
=
-
причем
н*/н** = Н.
Очевидно, что в соответствии с (5.5) и (5.6)
1
н*
=
J[1 - �(11)]ct11;
н **
о
1
=
J�(11)[1 - �(11)Jct11.
о
Подставляя в эти соотношения зависимость
получаем
3
н =8;
*
н
�(11) вида (5.22),
** = -239-80
Преобразуем к безразмерным переменным отношение
входящее в выражение (5.23):
Согласно
мает вид
(5.22), �'(О)= 3/2,
d(H**3)
dx
поэтому уравнение
_
или после разделения переменных
3 v
2 V003
'tст
/р,
(5.23) прини­
5. 4. Приближенные лtетоды расчета пограничного слоя
v
140
8d8=
dx
.
13 voo
171
(5. 24)
Интегрируя (5. 24) с учетом того, что при х = О
8 =О,
находим
или
8 = 4,64x/�Rex ,
где
Rex = V00 x/v .
Таким образом, интегральные характеристики слоя
х
s::u * = 1 74 �;
,
v Rex
8** = 0,646
х
�Rex
v
(5.25)
'
v
а характеристики трения - напряжение, местныи и среднии по длине
пластины коэффициенты трения - определяются соотношениями
0,323
pV2
дV
х
.
't - µ
ст
дх у=О �Rex '
-
1
L
d.x
1,292
с! = L Jсfx =
�Re
о
L
.
Сопоставление полученных результатов с данными точного ре­
шения показьmает, что приближенная теория пограничного слоя конечнои толщины и принятая в расчетах аппроксимация дают удовлетворительные результаты.
v
Турбулентный пограничный слой
Современные представления о структуре турбулентного погра­
ничного слоя основываются на анализе экспериментальных дан­
ных. В поперечном направлении можно выделить пять областей:
вязкий ламинарный подслой; переходная область; область с лога­
рифмическим профилем скорости; область, в которой профиль ско­
рости подчиняется закону следа, и область перемежаемости. Пер­
вые три области принято объединять в одну внутреннюю область,
5. Движение вязкого газа
17 2
составляющую около 20 % от толщины турбулентного пограничного слоя несжимаемои среды на теплоизолированнои поверхности. Согласно измерениям, в не й генерируется до 80 % энерг ии тур­
булентности. Четвертую и пятую обычно объединяют во внешнюю
область турбулентного пограничного слоя, которая занимает основ­
ную часть его толщины.
При описании течения во внутренней части турбулентного по­
граничного слоя принимают, что она не испытывает влияния не­
вязкого течения вне пограничного слоя. Тогда в качестве определя­
ющих параметров можно использовать величины 'tcp• µ, р, у. В качестве масштабов скорости и длины выберем величины ит = �'tст/Р
и v/ит, где ит - динамическая скорость. Безразмерные скорость в
пограничном слое и расстояние от стенки можно представить в виде
Vx /ит и у = уит /v. Профиль скорости во внутренней части турбу­
лентного пограничного слоя, представленный в этих безразмерных
координатах, называют законом стенки. График зависимости
v
v
Vxfuт = f (lg у) показан на рис. 5.3, а .
Непосредственно около стенки в ламинарном подслое профиль
....
.... скорости почти линеиныи вплоть до значении у, при которых наблюдается переход ламинарной формы течения в турбулентную.
Опыты показывают, что между вязким ламинарным подслоем и тур­
булентным течением расположена переходная область, но в при­
ближенных расчетах часто полагают, что переход происходит скач­
кообразно при у = 1 1 .
...,
40
30
20
10
о
r'!f!:.u
оо�
о
00°
1
" r
"
u
-
2
а
,сР
Л'
3
о
lgy
Рис. 5.3. Профили скорости во внутренней (а) и внешней (6) частях тур­
булентного пограничного слоя:
точки - экспериментальные значения; линия - данные расчета
5.4. Приближенные методы расчета пограничного слоя
173
Для анализа течения во внутренней части турбулентного погра­
ничного слоя выше области вязкого подслоя воспользуемся форму­
лой Прандтля для турбулентного трения:
'tт
= р/т2
дvх
ду
2
Эксперименты показывают, что на небольших расстояниях от
стенки можно принять lm ""' ky, где k 0,4, а 'tст ::: 'tт . Тогда
=
dVx
dy
-
-
�'tст / р
ky
=
Ит
-
ky
(5.26)
После интегрирования уравнения (5.26) и некоторых преобразова­
ний получаем
v-L= Alg уит +В.
Uт
V
Экспериментальные данные хорошо согласуются с полученным
уравнением при А = 5,6 и В = 4,9. Функция, описывающая профиль
скорости, имеет универсальный характер, не зависит от числа Рей­
нольдса и градиента давления.
На профиль скорости во внутренней части пограничного слоя
шероховатость обтекаемой поверхности влияет существенно, если
средняя высота соизмерима с толщиной вязкого подслоя, и сла­
бо, если
/v < 5. В координатах 1
/v) профиль скоро­
сти при обтекании шероховатой поверхности остается логарифми­
ческим примерно с тем же углом наклона, что и в случае гладкой
поверхности, но сдвигается в сторону от стенки с ростом среднеи
высоты неровностей поверхности.
Внешняя часть турбулентного пограничного слоя по своим свой­
ствам близка к турбулентным струям, поэтому в первом приближе­
нии можно считать, что длина пути смешения /"1 и кинематическая
турбулентная вязкость Ут в этой области мало изменяются с увели­
чением расстояния от обтекаемой поверхности. Параметры тече­
ния во внутренней части турбулентного слоя, в частности динами­
ческая вязкость µ и шероховатость стенки, слабо сказываются на
профиле скорости в его внешней части. Поэтому в качестве опре­
деляющих параметров во внешней части турбулентного погранич­
ного слоя используют величины
8, а профиль скорости описы­
вают зависимостью
итЛ
Л
(Vx ит; уит
v
Л
ит, у,
5. Движение вязкого газа
174
V0 - Vх/ит = F(y/o) .
В турбулентном пограничном слое несжимаемой среды с нулевым продольным градиентом давления, например на плоскои пластине, функция F(y/o) имеет универсальный характер, не зависит
от продольной координаты х, числа Рейнольдса и шероховатости
поверхности. Эту функцию называют закон.ом дефекта скорости,
а ее вид показан на рис. 5.3, 6.
В практике применения приближенных методов расчета турбулентных течении используют степенные зависимости вида
Vx/Vв = (у/0 )1 1 п '
v
v
где п ""7 для Re < 1 О7. С ростом числа Рейнольдса значение п
слабо увеличивается.
Пусть на пластине, начиная с передней кромки, развивается тур­
булентный пограничный слой. При расчете параметров турбулент­
ного пограничного слоя можно использовать степенной закон рас­
пределения скорости по толщине слоя:
х
lln
o
.
oo
=
)
Vx/V (y/
В этом выражении, как правило, п = 7.
Согласно данным о движении жидкости по круглой трубе,
/4
2
=
s:
1
'tст 0,0225pV00 [V/ (V00u)] .
В результате решения интегрального соотношения импульсов
(5.4) получаем
о = О,37х '. сfx = 0,0578 ,.
�Rex
�Rex
с! = 0,074
�
=
=
�ReL .
Условные толщины вытеснения, потери импульса и толщины
турбулентного пограничного слоя связаны следующими соотноше­
ниями:
п
о* = н * = 1 . s:u** - н ** .
о
n+l' о _
_
- (п+1)(п+2)
_
_
_
_
_
_
При больших числах Re справедлив степенной (показатель сте­
пени есть функция числа Рейнольдса) или логарифмический закон
распределения скорости по толщине турбулентного слоя. Для рас­
чета коэффициентов трения в этом случае можно воспользоваться
следующими соотношениями:
5.5. Смешанный пограничный слой. Критическое число Рейнольдса 175
7
-1/
)
сfx = 0,0263 (Rex
,
с
fx
с !
.
0,37
=
'
4
2,58
)
(lg Reх
0,455
(lg Re
)2,2584 .
------
L
Таким образом, сравнение зависимостей для ламинарного и тур­
булентного пограничных слоев на плоской пластине показывает, что
в турбулентном слое эпюра продольных скоростей более «наполнен­
ная», толщина слоя по длине пластины возрастает интенсивнее, а
сопротивление трению значительно больше, чем в ламинарном.
5.5. Смешанный пограничный слой.
Критическое число Рейнольдса
Приступая к расчету пограничного слоя, необходимо прежде все­
го проанализировать его характер на обтекаемой поверхности, ко­
торый зависит от режима обтекания, определяемого числом Рей­
нольдса. В носовой части тела образуется ламинарный погранич­
ный слой, затем следует некоторая область перехода ламинарного
течения в турбулентное и, наконец, он становится полностью тур­
булентным (рис. 5.4). Такой пограничный слой называют смешан­
ным. Число Re, которое соответствует границе области, отделяющеи устоичивое ламинарное течение от остальных участков поверхности, называют критическим
v
v
числом Рейнольдса:
у
�pPo ,
Rе,кр = Vox--=-
-
µо
где хкр
расстояние до начала области перехода ламинар­
ного течения в турбулентное.
Это число Рейнольдса называ­
ют первым или минимальным
критическим. Второе критичес­
кое числа Рейнольдса
,
-
Х кр
1
-
\
о�
'
23
- - �.У
"°
Хкр
х"кр
-
Vs
,
V
h./ x
х
х
L
Рис. 5.4. Смешанный пограничный
слой на плоской пластине:
1 - ламинарный пограничнъrй слой; 2 область перехода; 3 - турбулентный
пограничный слой
5. Движение вязкого газа
176
соответствует границе (координате х�), отделяющей область пе­
рехода от зоны развитой турбулентности.
Часто при решении практических задач можно исходить из того,
что ламинарный пограничный слой отделен от турбулентного об­
ластью перехода с бесконечно малыми размерами. Иными слова­
ми, можно считать, что переход одной формы течения в другую
происходит мгновенно при хкр = хп (рис. 5.5). Координату хкр этой
точки перехода определяют по
у
критическому числу Rекр• кото­
рое
зависит
многих
факторов
от
1 2
(числа Маха М00, температурно­
го фактора Тет /Т0 , шероховатоО'/ П
О IШz=
:ZZ:Z:Cф:z:zфizzz:z:d::=zzzz=
z =l---":x сти поверхности, начальном
Лх
степени турбулентности потока,
градиента
давления
и
п.):
т.
L
Rекр Vo хкр Ро /µо ,
Рис. 5.5. Схема перехода ламинарно­ где
скорость,
плот­
V0,
0,
µ0
р
го поrраничноrо слоя в турбулентный:
ность и динамическая вязкость
1 ламинарнъrй пограничный слой; 2
фиктивный участок турбулентного погра­ на границе пограничного слоя.
Значение Rекр определяют
ничного слоя; 3
турбулентный пограна основе экспериментальных
ничный слой за точкой перехода
данных, позволяющих количе­
ственно и качественно анализировать явление стабилизации лами­
нарного пограничного слоя, процесс перехода его в турбулентный
пограничный слой и закономерности формирования здесь потока.
В частности, установлено, что наличие ламинарного участка не
влияет на закон развития турбулентного пограничного слоя после
точки перехода. Следовательно, для расчета пограничного слоя за
точкой перехода можно использовать обычные зависимости, полу­
ченные для полностью турбулентного течения.
Положение точки перехода на обтекаемой поверхности зависит
от ряда факторов: степени турбулентности внешнего потока, состоя­
ния поверхности, температуры стенки, числа М0 на внешней гра­
нице пограничного слоя и продольного градиента давления.
Увеличение степени турбулентности внешнего потока, которая
определяется зависимостью
,
,
�
=
-
-
-
'2 + vу'2 + v'2 ) . 100 %
.!(
3 vх
z
о,
5.5. Смешанный пограничный слой. Критическое число Рейнольдса 177
где v;, v;, v;
пульсационные составляющие скорости; Vcp
осредненная скорость потока, приводит к дополнительным возму­
щениям в пограничном слое, способствующим наступлению ран­
ней турбулизации и, как следствие, уменьшению Rекр·
Качественно к такому же эффекту снижения устойчивости ла­
минарного пограничного слоя приводит имеющаяся шероховатость
поверхности, которую также следует рассматривать как источник
возмущений. Если состояние поверхности охарактеризовать относительнои шероховатостью
-
-
v
Л Л/о* ,
где Л - высота неровностей поверхности; о* - толщина вытесне­
ния, то влияние этого состояния на критическое число Рейнольдса
для несжимаемой среды определяется уменьшением устойчивости
ламинарного пограничного слоя с увеличением относительнои шероховатости.
При рассмотрении сжимаемого пограничного слоя на плоской
пластине важнейшим фактором является температура стенки Тет·
Установлено, что охлаждение обтекаемой поверхности способствует
стабилизации пограничного слоя и повышению критического числа Рейнольдса. Это
объясняется тем, что от охлаждения сии- Rекр/Rекр, Тет = 1
жается температура и увеличивается плот­
ность газа у стенки, вследствие чего возрас­
тает кинетическая энергия потока. Понят- 2,5 1-->-+----+--1
но, что частицы с большей энергией менее
подвержены влиянию возмущающих пуль­
саций. При этом замечено, что при очень 2.о
больших скоростях обтекания число Рейнольдса как критерии устоичивости играет l,5 1--1----'...+--1
менее существенную роль, �ем относительная температура стенки Тет = Тст /Тr (где
---'---""'
Т,. - температура потока у поверхности 1,0 L---'-0,04 -0,02
о
стенки) и число Мб на внешней границе по­
( fст - 1)/М �
граничного слоя.
Используя приведенные на рис. 5.6 ре- Рис. 5.6. Зависимость,
зультаты исследовании, можно уточнить по- характеризующая изме­
ложение точки хкр (Rекр) перехода от лами­ нение числа Rекр от
нарного течения к турбулентному. Кроме температурного фактора тет и числа м/)
того, эти данные позволяют установить
=
v
v
v
v
-
178
5. Движение вязкого газа
влияние числа М0 на устойчивость ламинарного пограничного слоя
на его внешней границе. Так, с увеличением М0 число Rекр умень­
шается, поскольку при этом повышается температура восстанов­
ления, а значит, снижается плотность и кинетическая энергия газа
у стенки. На частицы газа с меньшей кинетической энергией, еетественно, сильнее сказывается воздеиствие возмущении, что приводит к более ранней турбулизации пограничного слоя.
При исследовании устойчивости ламинарного пограничного слоя
на криволинейной поверхности необходимо наряду с указанными
факторами также учитывать влияние продольного градиента давле­
ния. Если он положительный, то частицы газа движутся с замедле­
нием и их кинетическая энергия уменьшается. Это обусловливает
меньшую сопротивляемость к возмущающим воздействиям, что
приводит к более интенсивному поперечному перемешиванию и,
как следствие, к снижению критического числа Рейнольдса. Уско­
рение частиц, вызванное отрицательным градиентом давления,
способствует «затягиванию» ламинарного движения до весьма
больших значений Rекр·
В приближенных расчетах в случае обтекания плоской пласти­
ны при дозвуковых скоростях потока принимают Rекр = 4, 5 · 105, а
при сверхзвуковых - Rекр = (2.. 5) 1 06.
Параметры смешанного пограничного слоя рассчитывают сле­
дующим образом. На участке пластины от передней кромки до точ­
ки П (см. рис. 5.5) параметры вязкого обтекания (толщина слоя, ко­
эффициент трения и др.) определяют по соотношениям для лами­
нарного пограничного слоя с учетом сжимаемости, теплопередачи
и диссоциации.
Для расчета турбулентного течения, начинающегося за точкой П,
нельзя непосредственно применять зависимости для турбулентно­
го пограничного слоя, поскольку этот слой начинается не с нуле­
вой толщины, а с какого-то конечного значения. Эти зависимости
можно использовать, если входящую в них координату х отсчиты­
вать от условного начала турбулентного пограничного слоя, напри­
мер от точки О' на рис. 5.5.
Согласно одной из схем определения положения точки О', при­
нимают, что расстояние Лх = О'П, равное длине условной пласти­
ны с турбулентным пограничным слоем, должно обеспечивать тол­
щину 8т турбулентного пограничного слоя в точке перехода, рав­
ную толщине 8л ламинарного слоя на длине хкр = хп, т. е.
�
.
·
�
5.6. Пограничный слой на криволинейной поверхности
=
179
от Лх ·
(5.27)
ОЛХкр
Толщины пограничных слоев рассчитывают по формулам для
ламинарного и турбулентного течений, причем толщину ламинар­
ного слоя определяют по критическому числу Rекр = V5Xк.p /v0 , а
толщину турбулентного - по Re = V0Лx/v0 . Таким образом, усло­
вие (5.27) позволяет рассчитать величину Лх, найти положение точки
О' и определить все необходимые параметры турбулентного погра­
ничного слоя.
Средний коэффициент трения с1 для смешанного пограничного
слоя вычисляют по формуле
Хп
с1 = с1 л - + с1 Т
L
Х1
--с
1 L
л
1 Т2
Лх
L'
-
где с1 - средний коэффициент трения для ламинарного слоя на
участке ОП (см. рис. 5.5), рассчитанный по критическому числу
Рейнольдса; сfтi , сfт2 - средние коэффициенты трения для тур­
булентного слоя соответственно на участках х1 = L xn + Лх и Лх,
вычисленные по числам Рейнольдса Rex1 и Rедх.
-
5.6. Пограничный слой на криволинейной поверхности
Ламинарный пограничный слой
Для пограничного слоя на плоской пластине характерно, что дав­
ление во всех его сечениях одинаково, т. е. dp/dx = О. Однако при
обтекании криволинейной поверхности (например, профиля крыла
или тела вращении с криволинейной образующей) этот градиент
отличен от нуля, поскольку давление на внешней границе погра­
ничного слоя будет зависеть от координаты х. Это влечет за собой
изменение напряжения трения, а следовательно, распределения ско­
рости и толщины пограничного слоя по сравнению со случаем об­
текания плоской пластины или конуса.
Если рассмотреть профиль крыла с криволинейным контуром,
обтекаемым дозвуковым потоком (рис. 5.7), то на участке ОВ гра­
диент давления будет отрицательным, а на участке ВС на задней
кромке - положительным. Такой характер изменения градиента
давления dp0/dx обусловлен особенностями обтекания профиля: на
переднем участке скорость в направлении от точки О к точке В воз-
18 0
5. Движение вязкого газа
растает, а давление, согласно уравне­
нию Бернулли, снижается; на участке,
примыкающем к заднеи кромке, скорость, наоборот, уменьшается, а дав­
ление увеличивается.
В случае сверхзвуковых скоростей
о
за точкой В в направлении к задней
кромке профиля давление р0 и произ­
Рис. 5.7. Распределение давле­
водная dp0/dx уменьшаются, т. е. на
ния по профилю крыла
этой части поверхности крыла течение в пограничном слое будет испы­
тывать влияние отрицательного градиента давления.
Рассмотрим предложенный Л.Г. Лойцянским метод расчета па­
раметров пограничного слоя на криволинейной поверхности, бази­
рующийся на использовании интегрального соотношения (5.7).
Пусть вязкий газ обтекает некоторую криволинейную поверхность,
течение считается установившимся ламинарным плоским и несжимаемым, а распределение скоростеи в пограничном слое подчиняется соотношению
v
--
v
(5.28)
где '1' - неизвестный параметр, характеризующий влияние формы
тела на распределение скоростеи в пограничном слое.
При выполнении условия (5.28) отношение о*/о** будет являть­
ся функцией только одного параметра '1'· В самом деле, поскольку
v
<>*
или
f 1 - vx dy z f 1 - vx dy,
V5
V5
о
о
=
у
Vx
у
**
1
1
о* = J V5 dy = 3 J <р ,"' d
о**
о**
о
о
00
то
00
'6
00
о* f 1 - у ,"' d у
<р
о**
о. . о
о**
00
**
=
=
H ('lf)
,
.
(5.29)
5. 6. Пограничный слой на криволинейной поверхности
18 l
Напряжение 'tст на поверхности при у = О также будет функци­
ей параметра '1'· Действительно, для ламинарного пограничного слоя
'tс
т
1
= µ д VХ = µ V5** �(\jf),
ду у=О ()
(5.30)
д (V Vr,)
так как градиент скорости дVхfду являетд (у ()**) у=О
ся функцией только \jf.
Подставив в интегральное соотношение (5.7) для пограничного
слоя выражения (5.29) и (5.30), содержащие функции H(\jf), �(\jf),
где �(\jf)
=
,
получим
d<5** + Vi <5**[2+ H ( )] = v �( ,
(5.31)
"'
� "')
d.x
v:о
V0 ()
где Vi = д V0/дх .
Умножим обе части уравнения (5.31) на 2V0<5** /v и примем,
**
что
2
s:
1т1
**
\jf = v0u /V .
Тогда
V: '
(5.32)
v...
\j1 = _§_ Ф(11r)
+ _§_ t1'!'r,
)
.33
(5
'!'
d.x V5
Vi
где Ф(\j1) = 2{�(\jf) -'1'(2+ H(\jf)]}; V8= д Vi/дx.
В общем виде уравнение (5.33) не интегрируется. Его можно
d
решить численно для каждого конкретного случая распределения
скоростеи в потенциальном потоке.
Таким образом, расчет пограничного слоя сводится к нахожде­
нию функций Ф(\jf), �(\jf), Н ('1') по известному профилю скорости
в пограничном слое. Зная эти функции, можно достаточно просто
определить \jf(x) из уравнения (5.33), ()** - по формуле (5.32) и
искомое напряжение трения 'tст - из уравнения (5.30).
Согласно экспериментальным данным, распределение скорости
в пограничном слое аппроксимируется многочленом:
v
I
n
+
п
<р(ТJ) = Vx/Vr, = 1 + а1ТJ + a21l + llз1ln+2 ,
где ТJ = l - y/<5; а1, а2 , аз - коэффициенты.
(5.34)
18 2
5. Движение вязкого газа
Для вычисления коэффициентов а1, а2,
ничными условиями на поверхности тела:
при у = О
Vx = Vy =O;
аз воспользуемся гра­
дзv
д{
х
=0,
(5.35)
у=О
и дифференциальным уравнением движения газа в пограничном
слое:
(5.36)
Обозначив безразмерную величину
V' o2
о
v
= л.
и решая систему уравнений (5.35), (5.36), находим коэффициенты
многочлена (5.34):
1-Л.--(п
1 + 1)(п + 2);
а1 2 6
1
п Л.+-(п-1)(п
+ 2);
� = -п + 1 3
1
п-1
аз = 2 n + l Л. - -6 (п -1) п.
( )
Зная а1, а2, аз и выражая Vx через Л. и п, получаем
=
aj
а�
ai
2п+ 1 2п+3 2п + 5
- а1� - а1аз - а2аз = н** (Л., п ).
n + l 2п+ 3 п + 2
Аналогично для 'lf и � находим
(5.38)
5. 6. Пограничный слой на криволинейной поверхности
183
(5.39)
(Vx/
V0)
(Vx/V0)
_
**
о
д
д
= н** (Л., п)Ь (Л., п),
�=
д (у/о** ) у=О о д (у/о) у=О
(5.40)
1
1
где Ь(Л., п)=
Л.+-(п
+2).
n+l 3
Напряжение трения
'tст
Ь
(Л.
n)
,
2
V
д
f
х
=µ
= "\/µрV3 Vx r::::
"\/ Л,
ду у=О
1
,
·
(5 .4 )
•
Поскольку величины, определяемые соотношениями (5.37)­
(5.41), являются функциями двух параметров (Л. и п), а профиль
скорости описывается однопараметрическим уравнением (5.34),
была установлена приближенная зависимость показателя степени
п от параметра Л.:
п = О,15Л. + 4.
Важно отметить, что при однопараметрической зависимости
профиля скорости вид функций Ф('lf), �('lf), Н ('lf) не зависит от ха­
рактера изменения V0(x) (формы крыла и его угла атаки), т. е. они
являются универсальными (табл. 5.1).
Таблица 5.1. Значения функций Ф('lf), �('!'), H(V)
"'
-0,089
-0,085
-0,080
-0,070
-0,060
-0,050
-0,040
-0,030
-0,020
-0,010
о
Ф('Jf)
1,040
1,000
0,960
0,880
0,810
0,740
0,680
0,615
0,550
0,495
0,44
�('1')
о
0,019
0,039
0,071
0,097
0,120
0,142
0,162
0,181
0,200
0,219
H('Jf)
3,85
3,66
3,50
3,28
3,12
3,00
2,90
2,82
2,74
2,67
2,61
"'
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,084
0,085
Ф('Jf)
0,380
0,330
0,275
0,220
0,170
0,120
0,070
0,020
0,003
-0,002
�('1')
0,236
0,253
0,270
0,286
0,302
0,31 8
0,335
0,350
0,357
0,357
H('Jf)
2,55
2,50
2,46
2,41
2,36
2,32
2,28
2,24
2,22
2,22
184
5. Движение вязкого газа
На основании данных, приведенных в табл. 5.1, можно устано­
вить, что величины Ф и 'V связаны между собой зависимостью, близкои к линеинои:
Ф(W) = 0,44-5, 75w.
Подставим последнее выражение в уравнение (5.33):
v
v
v
Интегрируя это дифференциальное уравнение и определяя
произ­
х
вольную постоянную из условия конечности 'V при = О, получаем
приближенную формулу для нахождения параметра W(x):
x
) xJо[V3(x)]4,75 dx
=
Vi(
W(x) 0,44
(V3 (x) ] s,1s
или в более удобной для расчета форме
х
V'(x)
s
о
[
(5.42)
'V(x) =0,46
б J V0(x)] dx.
(V3 (x)] о
Ошибка вычисления значения s:**
u с использованием выражения
(5.42) не превышает 3 %.
Соотношение (5.42) применяют для расчета характеристик ламинарного пограничного слоя на поверхности криволинеиного профиля. В первом приближении вычисления проводят по следующей
схеме.
Зная распределение скорости V0, а следовательно, и V8, Vi', ко­
торые находят из расчета обтекания тела потоком идеального газа,
по формуле (5.42) определяют значение параметра w(x).
Используя выражение (5.32), подсчитывают толщину потери им­
пульса:
x)
**
х
w
�
() ( ) = V0(x)v .
v
Далее по w(x) находят значения H(W), �('V) и вычисляют следующие величины:
*
*
V(x)
*
() (х) () (x
) H(W); 'tст = µ <>**(х) �[W(x)];
н** (Л.) = �('V) '. Л. = 'V 2 .
Ь(Л.)
н**
=
'
5. 6. Пограничный слой на криволинейной поверхности
185
Полученные результаты позволяют найти положение точки отрыва ламинарного пограничного слоя на криволинеинои поверхности. Действительно, в точке отрыва 'tст = О, т. е. �('!') = О, а значит,
'1' = -0,089 (см. табл. 5. 1). Следовательно, для точки отрыва можно
записать
Vo ()**2 = -0,089, или d V3 =0, 089 v .
3)
(5.4
dx
8**2
v
Выражение (5.43) можно считать критерием отрыва ламинар­
ного течения на криволинейном профиле.
Для расчета аэродинамических характеристик профиля крыла
при заданных условиях обтекания необходимо знать положение точ­
ки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный, т. е.
определить протяженность соответствующих областей течения.
Предложим, что ламинарной пограничный слой теряет устойчивость
и становится турбулентным на некотором расстоянии Лхs до точ­
ки возможного отрыва, координата которой определяется уравне­
нием (5.43). Вводя в рассмотрение число Re** = V08** /v, условие
отрыва ламинарного слоя можно записать так:
2
v i Re**2 -0 089
vVi V0 8
V3
V32 v
или с учетом некоторого смещения вверх по потоку
v
v
1
�
**
=
,
(5.44)
Re**2 -0,089,
=
где у - величина, характеризующая потерю устоичивости ламинарного пограничного слоя, 'У z (-2,5 ...-0,5) 1 о-7.
Координату точки перехода рассчитывают в следующей после­
довательности. Перейдя к безразмерным величинам, с учетом фор­
мулы (5.42) определяют
v
Re**2 = Re q>(x ),
-
0,46
V
.
�
J
V:5,.i
X
00b
)
R
u.л,
0
-4
,
х
q>
(
где е =
v
V3 о
профиля.
Ь
- хорда
186
5. Движение вязкого газа
Очевидно, что
vVi - 1 Vi
vl Re v02 ·
Подставив полученные выражения в формулу (5.44), находим урав­
нение
1 V'0
- 2 +у Req>(x) = -0,089,
Re v0
решение которого дает координату х = хп точки перехода лами­
нарного пограничного слоя в турбулентный.
Турбулентный пограничный слой
Для турбулентного пограничного слоя параметр '1' и функция �
трения в общем виде имеют вид
d G(Re** );
'1' =
�: ;:
где G(Re** ) - некоторая функция (для ламинарного пограничного слоя G(Re** ) = Re·· ) Умножив обе части уравнения (5.7) на
G(Re** ) , получим
**
ct
o
(5.45)
G(Re )
+ ( 2+Н) \jf = i:�·
:.;:�
.
**
dx
Преобразуем первый член уравнения (5.45):
** V0 о**
**
**
Re
V
io
d
o
_
_о_
d
=
- G(Re** )
G(Re** )
G(Re** )
dx
dx dx
V0 Vi
**
**
_
v'
ct
v
�
o
o
о
- о** G'(Re** ) о
+
v dx
v
- Re** G'(Re** ) do** - Re** G'(Re** ) '1' =
dx
G(Re** )
- Re ** G'(Re** ) G(Re** ) do** - Re** G'(Re** ) '1'.
G(Re**)
dx
G(Re** )
5. 6. Пограничный слой на криволинейной поверхности
ct[logG(Re**) ]
**
G'(Re
)
**
.
=
т = т(Rе** ) = Re
G(Re**) d (logRe**)
Тогда, согласно выражению (5.45),
187
Введем обозначение:
(5.46)
-m(Re** )'lf,
или
v
d
'lf --4 =(l+m) � -[З+m+(l + m)H]'lf.
dx
V0
Раскрывая производную в левой части уравнения
тельно находим
(5.47)
(5.47), оконча­
,
"
d'lf = V5 F(111 Re** )+ V-°-11
(5.48)
1
d.x V0 'f'•
Vi 'f'•
где F('lf, Re**)=(l+m)�-[3+m+(1+m)H]'lf.
Дифференциальное уравнение (5.48) аналогично уравнению (5.33)
для ламинарного пограничного слоя при G(Re** ) = Re** , т = 1.
Для турбулентного пограничного слоя формпараметр '11 выражается через функцию G(Re** ), которая в первом приближении вдали от точки отрыва может быть представлена следующей экспериментальном зависимостью:
�
G(Re**) = 153, 2(Re** )1 16 .
Тогда, согласно (5.46), значение т = 1/ 6:::: 0,167.
В целях использования основных величин, характеризующих ла­
минарный слой, для расчета турбулентного слоя введем следую­
щие нормированные величины. Параметр нормируем так, чтобы
в точке отрыва его значение равнялось единице, т. е.
s,
где 'lfs - параметр 'lf в точке отрыва S(x х5 имеющий разные
значения для турбулентного и ламинарного пограничных слоев (для
ламинарного слоя 'l's =-О,
Функции �('!'),
нормируем таким образом, чтобы при '\jf = О
для точки минимума давления их безразмерные значения
равнялись единице, т. е.
'lf
= ),
(Vi =О)
H('lf)
089).
� = �/�w=o = �/�0 ;
Н = Н/Нw=o = Н/Н0 ,
'lf = 'lf/ 'lf
5. Движение вязкого газа
188
где �0, Н0 - параметры � и Н в точке минимума давления (разные
значения для ламинарного и турбулентного пограничных слоев).
Дифференциальное уравнение (5.48) можно записать в безраз­
мерном виде:
-
d'lf
dx
=
Vo F - Re** ) Vo +
('lf,
V0
Vi
,
"
(5.49)
'lf,
1+т
**
где F ('lf, Re ) =
�о �('1') - [3 + т + (1 + т)Н0 Н('1')]'1'·
'l'o
Для определения функции F(\jf, Re**) в случае турбулентного
пограничного ело� необходимо кроме m(Re**), 'l's, Н0 и �о знать
значения �('1') и Н(\jf). Анализ экспериментальных исследований
течений газа вблизи поверхности показал, что функции � = �(\jf),
Н = H(\jf) для ламинарного и турбулентного режимов течения прак­
тически одинаковы (табл. 5.2).
Используя полученные на основе экспериментов значения по­
стоянных т = О, 1 67, \jfs = - 4 . .-2, Н0 1,4, �о = 1 , а также данные
табл. 5 .2, можно легко вычислить F (\jf, Re ·· ) для турбулентного
пограничного слоя. С достаточной для практики точностью эту
функцию можно считать линейной:
.
=
:;::;:
-
(5.50)
где а1
=
0,6, а2 4,8.
=
-
-
-
'V
-О 95
'
-О 90
'
-О 80
'
-070
-О 60
-О 50
-040
-О,30
-020
-О, 10
'
'
'
'
'
о
Таблица 5.2. Значения функций �('1/) и H(w)
�(\ji)
1 ,630
1 ,600
1 ,530
1 ,470
1,410
1 ,340
1 ,280
1,210
1 , 1 40
1,080
1,000
H(\ji)
0,850
0,860
0,870
0,880
0,900
0,915
0,930
0,950
0,970
0,985
1,000
-
'V
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
�(\ji)
0,930
0,850
0,770
0,690
0,600
0,5 1 5
0,420
0,3 10
0,175
о
Н(Чf )
1,020
1,040
1,070
1,100
1,125
1,160
1,200
1,260
1,350
1,480
5. 7. Тепловой пограничный слой
189
Подставив (5.50) в уравнение (5.49), после интегрирования по­
лучим
1
а2d.x
al f [vo (х )]
х
с
-
о
При полностью турбулентном слое с = О (это следует из усло­
вия конечности '1' при х = О, V0 = О), а значит,
или, подставив значения а 1, а2,
'1' =-О, 6
V' х
:,8 Jvi·8 (x)d.x.
vo
о
При наличии начального ламинарного участка длиной хп из yc­
ловия совпадения толщинь1 потери импульса s::u** на границе между
ламинарным и турбулентным участками имеем
\1r =
'f'
V'о
v.4,8
\1r оп
v:4,8
0 'f'П V'0
х
' 6 f vоз,8 (x)d.x '
-О
Xn
где индекс «П» соответствует параметрам течения в точке перехода
ламинарного режима в турбулентный.
5.7. Тепловой пограничный слой
Параметры восстановления
При малых скоростях обтекания тел нагрев газа, обусловлен­
ный торможением потока в пограничном слое, незначителен и температуру в нем можно считать практически равнои ее значению во
внешнем потоке. При больших скоростях вследствие торможения
газа происходит значительное повышение температуры и энталь­
пии в пограничном слое, которое соответствует характеру измене­
ния скорости по его сечению, что влечет за собой изменение тер­
модинамических параметров и кинетических коэффициентов газа.
Ранее пограничный слой рассматривали без учета сжимаемос­
= 1.
ти газа (малые скорости обтекания). В этом случае число
В действительности процессы в пограничном слое характеризуютv
Pr
190
5. Движение вязкого газа
ся наличием теплопередачи у стенки, изменяющей распределение
температур и оказывающей тем самым влияние на трение. Рассмот­
рим возможный характер распределения температур в связи с воз­
никновением тепловых потоков в пограничном слое у поверхности
стенки при числе
* 1. Такой пограничный слой, как известно,
определяется как тепл овои.
При рассмотрении адиабатической теплоизолированной стен­
ки перенос энергии в пограничном слое происходит следующим
образом. Вследствие торможения потока, обусловленного вязкос­
тью среды, температура возрастает от значения на границе слоя
до некоторого значения на стенке (дТ !ду=i' О). В таком случае, в
соответствии с законом Фурье, возникает передача теплоты путем
теплопроводности во внешние слои газа с меньшей температурой.
Нагрев возрастает, пока не установится равновесие между этой теплопередачеи и противоположным потоком теплоты от внешних слоев к внутренним. В связи с отводом теплоты от участков погранич­
ного слоя, расположенных у стенки, температура на обтекаемой по­
верхности Т(;(' = Tr становится меньше температуры торможения Т0.
Снижение температуры у стенки можно охарактеризовать парамет­
ром r = (Tr -Т3 )/ (Т0 -Т3 ), называемым коэффициентом восстанов­
ления температуры . В недиссоциированном потоке
Pr
-
v
Tr = Т0
1 + r k-1 М02
2
.
В первом приближении коэффициент восстановления принима­
ют для ламинарного пограничного слоя rл = 0,83 ... 0,85, а для тур­
булентного
rт = 0,88 ... 0,90.
Соотношение между тепловыми потоками, обусловленными тре­
нием, и теплотой, уносимой молекулами при их перемешивании,
определяется числом Прандтля
= с /Л.. Коэффициент восста­
новления зависит от этого критерия следующим образом:
-
Pr Рµ
rл =
Pr
.JPr";
rт = Wr.
При = 1 коэффициент r = 1 , т. е. температура восстановления
совпадает с температурои торможения.
Изменение температуры и энтальпии по сечению пограничного
слоя для различных условий обтекания показано на рис. 5.8. При
этом кривые на рис. 5.8, 6 характеризуют изменение этих величин
для теплоизолированной стенки при
= 1 и
* 1 . Естественно,
распределение температуры и энтальпии будет другим в случае неv
Pr
Pr
у
5. 7. Тепловой пограничный слой
у
Пограничный
слой
'
\
\
\
\
\
'
\
\
Тr;r ; iст
'
Тб; iб
о
191
Vx
'
о
а
'
.
.
lr;r
= lr
Tr:r:= Tr
'
'
То ; io
Т; i
б
у
у
в
Т,.; iг
Т; i
То ; i o
'
О Тб ; iб
Т; i
Т,.; iг
г
То; io
Рис. 5.8. Распределение скорости потока (а), а также температуры и эн­
тальпии по сечению пограничного слоя для случая адиабатической (теп­
лоизолированной) (б), охлажденной (в) и нагреваемой (г) стенок
теплоизолированной стенки, т. е. при наличии отвода или подвода
теплоты (см. рис. 5.8, в, г). При отводе теплоты (охлаждаемая стен­
ка) нетеплоизолированный пограничный слой будет охлаждаться, в
связи с чем у такой стенки Тcr < Tr и iет < ir. При этом температуру
Тет газа можно рассматривать как температуру поверхности стен­
ки, поэтому в дальнейшем будем называть ее температурой стенки.
Если теплота подводится от какого-либо внешнего источника и тем­
пература стенки превышает максимальную температуру погранич­
ного слоя (нагреваемая стенка), то пограничный слой будет также
нагреваться. Для газа у поверхности Тет > Tr, icr > ir.
192
5. Движение вязкого газа
Интегральное соотношение для теплового
пограничного слоя
Около поверхности обтекаемого тела образуется область пере­
менных температур, которая по аналогии с вязким пограничным
слоем называется тепловым пограничным слоем. Интегральное со­
отношение для этого слоя является, по существу, уравнением тепло­
вого баланса. В нем выражено условие равенства результирующего
теплового потока, проникающего в контрольный объем, количеству
теплоты, отдаваемой (поглощаемой) элементом поверхности тела.
Рассмотрим установившееся течение газа и выделим в тепло­
вом пограничном слое бесконечно малый элемент ABCD единич­
ной ширины, ограниченный поверхностью тела AD, внешней гра­
ницей теплового пограничного слоя ВС и отрезками (гранями) АВ,
CD, перпендикулярными обтекаемой поверх­
ности (рис. 5.9).
с
Потоки теплоты, вносимой движущимся
в
"°
газом в элемент ABCD через его грань АВ и
"О
+
уносимой из него через грань CD в единицу
"°
"°
времени, определяются соответственно сле­
дующими выражениями:
D
А
dx
-
-
-
о,
J cpTPVxdy;
Рис. 5.9. К выводу интеrральноrо соотношения для теплового по­
rраничноrо слоя
о
01
о,
д
сРТр Vxdy dx,
J
J сРТр Vxdy + дх
о
о
где Ь1 толщина теплового пограничного слоя.
Количество теплоты, вносимой в элемент теплового погранич­
ного слоя через его внешнюю граничную поверхность, равно
-
д
сР Т0 -
dx,
дх
где
дх
dx
-
масса газа, втекающего в этот элемент и
равная разности масс газа, поступающего через грань АВ и уноси­
мого через грань CD; срТо
энтальпия единицы массы газа, соответствующая условиям на внешнеи границе слоя.
-
�
5. 7. Тепловой пограничный слой
193
дТ
ду
, тепловой по-
В соответствии с законом Фурье: qотв = -А
ток, отводимый через грань AD, определяется соотношением
у
Л,
дт
ду
d.x
=
О
(5.51)
у
В условиях стационарного проц
есса приток теплоты, равный
=
о,
о,
д
J epTPVxdy + ePT0 d.xpVx
d
J
y
дх о
0
О
•
должен равняться количеству теплоть.1, отдаваемои элементом теплового пограничного слоя поверхности тела в единицу времени:
v
').., � у=
ду О
d.x
или после элементарных преобразований
01
01
d
d J ерТРVхdу =Л.дТ
ePT0 - JО pVxdy - d.x
ду
d.x О
имеем
В случае несжимаемой среды (р = const) при ер = const
=
0
1
'А
d
дТ
d
=
Т
Vx
T)
J
(
0
y
d.x О
реР ду у=О
у
О
(5.52)
Если ввести в выражение (5.52) температуропроводность
(ерР), характеризующую изменение температуры газа вслед­
at =
ствие его теплопроводности, то интегральное соотношение для теп­
лового пограничного слоя примет вид
Л./
01
dd.x J vx (т - т d = at д
дТ
0 )y
у у=О
О
(5.53)
5. Движение вязкого газа
194
Параметры теплового пограничного слоя
на плоскои пластине
�
аничного
Рассмотрим теперь расчет параметр....ов теплового погр
....
....
....
слоя на плоскои пластине, если вязкии пограничныи слои ламинарный. При этом считаем, что вязкий и тепловой пограничные
слои начинают развиваться с носка пластины, причем толщина каж­
дого из них возрастает в направлении течения.
Введем в рассмотрение темперау
турные напоры
0
'U = Тет -Т
и
0 = Тст - Т0
(здесь - текущая температура в по­
граничном слое) и будем считать, что
распределение относительного темпе­
ратурного напора 'U/0 по толщине
о
теплового пограничного слоя анало­
Рис. 5.10. Распределение тем­ гично распределению относительной
пературного напора по толщи­ скорости Vx/V0 по толщине динами­
не теплового пограничного ческого слоя (рис. 5. 1 О), т. е.
Т
слоя
Тст - Т
- 0 Тет Т0
'U
- -З -у - -1
у
3
2 <>r
2 <>r
(5.54)
В соответствии с этим выражением можно записать
_!_ Z.
т =Тст -(тст - т�)u �z.
2 <> 2 ()
_
t
t
3
.'
(5.55)
дТ = - 3 (тет - т0 ).
ду у=О 2br
Подставляя уравнения (5.55 ) в интегральное соотношение (5.53 ) для
теплового пограничного слоя, находим
01
_o_ Jvх т�u -тст +(тст -т�u )
d.x
о
или
3 у 1 у
-- -2 ()t
- 2 ()
(
3
at
dy = --2 ()t
(т -тu� )'
СТ
(5.56)
5. 7. Тепловой пограничный слой
195
Вычислим интеграл, входящий в левую часть уравнения (5.56).
3
vx 3 у - 1 у
Поскольку =- - '
V3 2 о 2 о
1
3
у
у
1
2 ot 2
3
01
3 t 2 _!_ t 4
dy =-0
20 � 14 �
_
'
где �=о1/о .
Величина � близка к 1, поэтому членом �4 /14 можно пренеб­
речь и записать уравнение (5.56) в виде
Отношение � толщин теплового и динамического пограничных
слоев - очень слабая функция продольной координаты х. Следо­
вательно, получаем
С учетом соотношения (5.24) находим
Л. = 13 __!___
13
з
� = 14 µ 14 Pr
ер
Отсюда
01
1
� = � � Wr "
Таким образом, толщина теплового пограничного слоя
или в безразмерной форме, приняв для 01 в качестве масштаба от­
несения x/�Rex ,
ot "\/�
4,64
fi e =
х
х
зг;::;-r .
vP
(5.57)
196
5. Движение вязкого газа
Это подтверждает частичную автомодельность решения тепло­
вой задачи. При = 1 величина � = 1 и решения обеих задач (теп­
ловой и динамической) становятся тождественными. Для газов чис­
ло
мало отличается от единицы, например для воздуха при не
очень высоких температурах = О,72 и 81 :: 1, 1 18.
Pr
Pr
Pr
5.8. Расчет параметров течения в пограничном слое
на плоской пластине при высоких скоростях обтекания
с помощью определяющих параметров
Рассмотрим сравнительно простой приближенный метод рас­
чета параметров пограничного слоя с учетом влияния изменения
температуры (сжимаемости). В его основе лежат зависимости, ко­
торые по форме аналогичны соотношениям, полученным для по­
граничного слоя в несжимаемой среде, поскольку вблизи поверх­
ности в пристеночной области пограничного слоя поток сильно
заторможен, а следовательно, газ близок по свойствам к несжима­
емой среде. При этом необходимо считать, что течение в этой об­
ласти основное влияние оказывает на процессы трения и тепло­
передачи, однако параметры, входящие в эти зависимости, следу­
ет определять как функции температуры. Установлено, что расчеты
лучше вести по так называемой определяющей температуре т*,
которая представляет собой некоторое среднее значение по сече­
нию пограничного слоя. Параметры газа, рассчитанные по температуре Т , называются о�ред;д-я'Рщими. Обозначают их, как и темпеу i , р , и др.
ратуру, со звездочкои:
µ
Известно несколько зависимостей для расчета определяющей
температуры, однако наиболее точной считается формула Эккерта:
*
*
Т = 0,5 (Тст + T0)+0, 22(Tr - Т0),
которую можно применять как для ламинарного, так и для турбу­
лентного пограничных слоев в широком диапазоне чисел М00.
Термодинамические параметры и кинетические коэффициенты
вычисляют с использованием определяющему температуры по соотношениям
*
<р
�
*
/..,
*
ер - т*
т*
т
µ*
Л,
тоо
тоо
ср""
µ00
00
где в приближенных расчетах для воздушного потока можно при­
нять <р = 0,1; п = 0,76; � = 0,85.
11
тоо
'
'
'
5.8. Расчет napG.11tempoв течения в погранuчнолt слое
197
Эти параметры рассчитывают аналогично соответствующим ве­
личинам для несжимаемого слоя (индекс «НС») в функции опреде­
и температуры на границе пограничного
ляющей температуры
слоя
Используя определяющие параметры, найдем связь между ос­
новными характеристиками ламинарного пограничного слоя для не­
сжимаемого и сжимаемого газа. Рассмотрим толщину погранично­
го слоя. Для несжимаемого газа
т•
Т0.
а для сжимаемого -
Dнс = 4,64Jµ0x/(p0V0),
Следовательно,
µ Ро
µr, Р
*
-* .
Аналогичные выражения можно записать для напряжения трения:
Для местных коэффициентов трения, отнесенных к скоростно­
му напору
=
/2 внешнего потока, будем иметь
q0 p0Vl
сfx =
cfx
сfхнс
2't
ст =0' 646
Pr,Vr,2
"'
_
Ро µ·
Р µо
*
µ*,
*
р не зави­
При постоянной температуре стенки параметры
сят от продольной координаты х, а следовательно, отношение сред­
них по длине пластины коэффициентов трения будет таким же, как
и местных, т. е.
Ро µ
Р µо
*
- *
198
5. Движение вязкого газа
Для условных толщин пограничного слоя имеем
о** сfx
о:� сfхнс
О 646х/ "1Re
-
1, 74х/"1Rex
.
'
где о:с
; о:�
Рассмотрим случай, когда в пограничном слое вследствие вы­
сокой температуры возникает диссоциация, в то время как свобод­
ное течение происходит при постоянных теплоемкостях. Полагая,
что давление по толщине пограничного слоя одинаковое, и исполь­
зуя уравнение состояния, можно записать
=
=
х .
,
р* м* Т0
'
*
Mr,
т
Ро
_
м*
молярная масса газа при определяющей температуре.
Считая, что динамическая вязкость изменяется по степенному
закону, получаем
где
-
т
*
п
т
Tr,
•
'
с!
сfx - 'tст
сfхнс 'tстнс с/нс
(п+\)/2
Mr, 1/2
м*
1/2
(11-1)/2
м*
т*
Mr,
Tr,
*
•
'
Толщина ламинарного пограничного слоя существенно возрас­
а следовательно,
и
тает по мере увеличения отношения
Зависимость коэффициентов трения от этих параметров сла­
бее и носит противоположный характер: с ростом определяющей
температуры коэффициенты трения уменьшаются. Анализируя по­
лученные зависимости с учетом особенностей изменения молярнои массы газа, можно сказать, что диссоциация приводит к снижению толщины пограничного слоя и некоторому увеличению на­
пряжения трения.
Запишем теперь аналогичные зависимости для турбулентного
пограничного слоя. При этом будем исходить из соотношений, най­
денных с использованием степенного закона распределения скоро­
сти по сечению турбулентного пограничного слоя в несжимаемой
среде. Рассмотрим общий случай диссоциирующего газа. По ана­
логии с ламинарным пограничным слоем имеем
Тет /Т0 .
�
т*/т0 ,
М0
199
5.9. Аэродина.,нический нагрев
т*
то
о
онс
cfx
сfхнс
-
(n+l)/5
с!
с/нс
'tст
'tст нс
т*
То
х2
(п-4)/5
•
'
Мо
м*
-415
.
'
(п-4)/5
*
**
о* о . о cfx т
о:с Онс о**нс Сfхнс То
Онс =0,37x/�Rex ; сfхнс =0,0289/�; с/нс =0,074/�Rex2 ;
'
где
Мо
м*
1/5
'
длина участка, на котором определяют средний коэффициент
трения;
Из этих формул следует, что качественная картина изменения
толщин пограничного слоя и параметров трения при турбулентном
движении такая же, как и при ламинарном: с ростом определяю­
щей температуры толщина слоя увеличивается, а сила трения сни­
жается. Количественная оценка таких изменений показывает, что
толщина турбулентного пограничного слоя с повышением опреде­
ляющей температуры растет значительно медленнее, чем ламинар­
ного, а коэффициент трения падает более интенсивно.
Влияние диссоциации, как и при ламинарном пограничном слое,
будет сказьmаться в некотором уменьшении толщины погранично­
го слоя и росте напряжения трения.
-
о:с =онс /(п + l); о:� = понс /[(п + l)(п +2)]; п = 7.
5.9. Аэродинамический нагрев
Уравнение теплового баланса
При полете в атмосфере теплота окружающей среды переходит к
ЛА, если на близком расстоянии от его поверхности температура газа
становится выше температуры тела. Области высоких температур воз­
никают вследствие торможения потока в ударных волнах и в погра­
ничном слое, вызывающего увеличение энтальпии воздуха.
Расчет теплопередачи заключается в определении удельного (ко­
личество теплоты, подводимой к единице поверхности в единицу
времени), а также полного тепловых потоков к обтекаемой поверх­
ности за некоторый промежуток времени. Такой расчет позволяет
правильно выбрать систему охлаждения или другие средства, обес-
200
5. Движение вязкого газа
печивающие предохранение поверхности от перегрева, а также дает
возможность определить участки, где достигаются чрезмерные теп­
ловые напряжения и возможно разрушение конструкции.
Рассмотрим уравнение теплового баланса, которое в общем виде
определяет суммарныи удельныи тепловои поток, идущии на нагрев стенки ЛА. Величина этого удельного теплового потока qст
равна разности подводимого qпод и отводимого от нее qотв тепло­
вых потоков, т. е.
qст = qпод - qотв·
.....
v
.....
v
Подводимый к стенке тепловой поток qnoд возникает вследствие
теплопроводности, диффузии и излучения газа, солнечной и зем­
ной радиаций, а также передачи теплоты от оборудования.
Отводимый поток qотв складывается из теплоты, излучаемой нагретои поверхностью, поглощаемои материалом стенки, рассеиваемои в окружающую среду, отводимои различными охлаждаемыми
устройствами и идущей на разогрев оборудования.
Рассмотрим подробнее тепловые потоки, участвующие в тепло­
обмене у поверхности ЛА. При этом будем считать, что отдельные
виды теплообмена осуществляются независимо один от другого.
Конвективный теплообмен. Общий тепловой поток от разогре­
того газа к поверхности ЛА, определяемый теплопередачей вследствие молекулярнои теплопроводности и выделением теплоты в результате рекомбинации участвующих в диффузии атомов, можно
представить как конвективный теплообм ен между движущейся по­
верхностью ЛА и окружающей средой. На практике эту теплоотда­
чу обычно вычисляют по формуле Ньютона:
v
v
v
v
v
(5.58)
удельный конвективный тепловой поток; ах
коэффици­
где qк
ент теплоотдачи, численно равный количеству теплоты, восприни­
маемой (или отдаваемой) участком поверхности единичного размера
в единицу времени при разности температур между поверхностью и
обтекающим ее потоком в один градус; Т - характерная температу­
ра обтекающего потока; Тет - температура поверхности ЛА.
При выборе значения Тв формуле (5.58) исходят из следующих
соображений. Известно, что если стенка ЛА теплоизолирована, то
температура потока максимальна у обтекаемой поверхности и рав­
на Tr· Ее можно рассматривать как наиболее существенный фактор,
определяющий теплопередачу от газа к поверхности ЛА. В соот-
-
5.9. Аэродина.лtuческий нагрев
201
ветствии с этим за характерную температуру Т принимают темпе­
ратуру восстановления Т,. и формулу Ньютона записывают в виде
qк = ах (Tr
-
Тт )
е
.
В условиях очень больших скоростей, когда происходящие в по­
граничном слое химические превращения являются существенны­
ми, при расчете теплопередачи следует учитывать изменение эн­
тальпии:
(5.59)
где р ст - средняя удельная теплоемкость газа для условий на стен­
ке; ir, iст - соответственно энтальпия газа при Tr и Тст·
Для характеристики теплоотдачи вместо размерного коэффици­
ента ах удобно применять безразмерные критерии, например чис­
ло Стантона
с
(5.60)
или число Нуссельта
NUх = ахХ 1 /....,
которые связаны между собой соотношением
Nux
=
Stx Rex Pr.
Определение коэффициента теплоотдачи ах или безразмерных
критериев Stx, Nux теплоотдачи является основной задачей теории
аэродинамического теплообмена.
Лучистый теплообмен. Согласно закону Стефана - Больцма­
на, лучистый теплообмен, т. е. тепловой поток, излучаемый с еди­
ницы поверхности ЛА в единицу времени,
4
=
qизл есrТст,
(5.61)
где - степень черноты поверхности ЛА, зависящая от материа­
ла, способа обработки поверхности и ее температуры; cr - посто­
янная Стефана - Больцмана.
Солнечная радиация . В теплообмене на поверхности ЛА уча­
ствует тепловой поток, вызванный
е
солнечной радиацией:
qc.p
= ,\,pqc.p�c.p COS 'lf,
где Ас.р - коэффициент затенения, зависящий от состояния атмо­
сферы (облачность и др.); qc.p - облучательная способность Соли-
202
5. Движение вязкого газа
�с.р
коэф­
ца в зените без учета поглощения лучей атмосферой;
фициент поглощательной способности материала стенки ЛА; '1' угол между направлением солнечных лучей и нормалью к поверх­
ности тела.
-
Определение температуры стенки
Температура стенки (поверхности ЛА), определяемая из уелоv
вия равенства подводимых к неи и отводимых от нее тепловых потоков и соответствующая установившемуся обтеканию, называется
v
н
рав овеснои.
Предположим, что теплопередача характеризуется только под­
водом конвективного теплового потока к стенке и отводом от нее
тепловой энергии путем радиации. При этом с учетом выражений
(5.59) и (5.61) можно записать
ах
lr
(•
Срст
-
�ст
.
) = ecrт4
(5.62)
т·
с
Температура стенки, определяемая уравнением (5.62), называ­
ется
Темпера­
и обозначается
представляет собой некоторый верхний предел для излуча­
тура
ющей поверхности, достигаемый в случае, когда разогретая стенка
полностью излучает полученную энергию. Расчет равновесной раv
диационнои температуры стенки проводят методом последовательных приближений.
Прежде всего определяют параметры невязкого потока на об­
текаемой поверхности (в случае плоской пластины они равны па­
раметрам невозмущенного потока) и области ламинарного и тур­
булентного течений в пограничном слое. Затем находят определя­
ющую энтальпию i*, причем в первом приближении принимают
= i,., а коэффициент восстановления для ламинарного погранич­
ного слоя rл = 0,85 (для турбулентного rт = 0,90). После этого из
таблиц термодинамических функций по значениям энтальпии i* и
давления
находят определяющую температуру * и соответствующие еи определяющие параметры с*Р' µ* , '\л* , . . . далее по этим
параметрам рассчитывают местный коэффициент трения с и число Стантона St*х· Наконец, обращаются к уравнению теплового баланса qк = qизл• которое, согласно выражениям (5.60) и (5.61), име­
ет вид
равновесной радиационной
Те
Тет = Те.
iст
v
р0
Т
jx
(5.63)
5.1 О. Связь лtежду трением и теплопередачей
203
8,
Величины Е,
st:, р3, V3 и ir здесь известны (часть из них
задана, остальные рассчитаны). Для решения уравнения (5.63) и
определения температуры стенки в первом приближении задают ряд
значений энтальпии iст· Зная р3, с помощью таблиц термодинами­
ческих функций находят соответствующие значения ст· Затем пу­
тем интерполирования или графически определяют температуру
в первом приближении.
стенки ст
Последовательность вычислений для следующих приближений
аналогична приведеннои выше, поэтому следует отметить лишь особенности, приводящие к уточнению результатов. Во-первых, при
*
определении i из предыдущего приближения берут значение iст, со­
в этом приближении; во-вторых, коэффици­
ответствующее ст =
ент восстановления r вычисляют с использованием определяющего
.
числа прандтля р * с* * '\/1., * , т. е. rл* = (Р * ) 2 ; rт* = (Рr
Т
т = те
�
т
те
r 11
r = Рµ /
* )113
Расчеты проводят до тех пор, пока полученные в двух послед­
них приближениях значения температуры стенки не совпадут меж­
ду собой с заданной степенью точности.
5.10. Связь между трением и теплопередачей
Удельный тепловой поток, подводимый от газа к стенке, может
быть определен по формуле Ньютона либо в соответствии с зако­
ном Фурье. Приравнивая эти выражения:
дТ
ах (Ть -Тет ) = Л.д ,
у у=О
и учитывая второе соотношение (5.55), справедливое для ламинар­
ного пограничного слоя, получаем зависимость для коэффициента
теплоотдачи
ах
л.
=- ­
3
2 8т
,
которую, согласно (5.57), можно преобразовать к виду
ах = 0,323 Pr113 Re�2 /.../
х.
Умножив левую и правую части уравнения (5.64) на
дем выражение для одного из критериев теплообмена:
Nu х
=а х/Л. =О
х
.
х
113 Rel/2
,3 23 Pr
(5.64)
х/Л., най­
(5.65)
204
5. Движение вязкого газа
В аэродинамике более широкое применение получил иной кри­
терий теплообмена - число Стантона, определяемое выражением
и
число
С учетом соотношений
для лами­
нарного и турбулентного пограничных слоев соответственно имеет
(5.64) (5.65),
(5.60).
ВИД
St =0 323Pr-213 Re-112 ·
'
х
х
'
Stx
(5.66)
(5.67)
Установим теперь связь между трением и теплопередачей. Для
ламинарного пограничного слоя на плоской пластине величину
Re 112 , входящую в выражение (5.66), можно представить так:
Rex 112 = с1х/О,б46.
х
Следовательно,
(5.68)
(5.68)
Зависимость
является более общей, чем соотношения
и
справедлива как для ламинарного, так и для турбу­
лентного пограничных слоев и отражает аналогию Рейнольдса, согласно которои критерии теплоотдачи зависит в основном от того
же параметра, что и местный коэффициент трения - от числа
Отношение
называют
который в общем случае является функцией не только числа Pr,
но и чисел М,
а также отношений
dp/dx. Если фактор
аналогии Рейнольдса известен, то легко установить связь между
и �fx· В практических расчетах его принимают равным Pr-213,
полученным для безградиентт. е. пользуются соотношением
ных течении несжимаемои среды.
Влияние физико-химических превращений на теплопередачу в
пограничном слое при высоких температурах можно учесть путем
использования определяющих параметров. В частности, с учетом
соотношения
выражение для определяющего числа Станто­
на принимает следующий вид:
(5.66) (5.67),
v
v
Rex.
2Stx/cJx
Re,
са,
фактором аналогии Рейнольд­
Tr:;r/T0 ,
Stx
(5.68),
v
v
(5.68)
St: =cjx(Pr*)-213 /2.
В соответствии с этим тепловой поток к стенке
(5.69)
5.1О. Связь между тренuелt и теплопередачей
205
Здесь определяющий коэффициент теплоотдачи
(М0 > 10)
При гиперзвуковых скоростях потока
в случае безградиентных течении параметры теплопередачи для ламинарного
пограничного слоя можно определить по зависимости
v
Stx Rех1/2
-О,4
0
69М
=
о '
'
1
2
1
(2€ + 1)
1 1,0
где € = О, и
для плоских и пространственных течений соответ­
ственно.
Параметры теплопередачи, а также число Rex рассчитывают по
значениям на внешней границе пограничного слоя. Полученные
выше выражения для них указывают на прямую зависимость на­
грева от трения на обтекаемой поверхности. Напряжение трения, а
следовательно, и теплопередача значительно больше в случае тур­
булентного пограничного слоя, поэтому для уменьшения аэродина­
мического нагрева нужно обеспечить его ламинаризацию.
6. ТЕОРИЯ О ТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Движен.ие ЛА в атмосфере, как правило, сопровож­
дается отрывом потока, который приводит к пере­
распределен.ию давлен.ия н.а поверхн.ости аппарата и
измен.ен.ию его аэродин.амических характеристик. Наличие отрывн.ых течен.ии играет отрицательн.ую роль
при движен.ии ЛА. Одн.ако в случае н.аправлен.н.ого из­
мен.ен.ия размеров зон. отрыва и параметров потока в
н.их возможн.о формирован.ие н.еобходимых дополн.и­
тельн.ых управляющих сил. Сложн.ость и мн.огообра­
зие существующих отрывн.ых течен.ий требует де­
тальн.ого изучен.ия структур потока, выявлен.ия осо­
бен.н.остей и закон.омерн.остей их измен.ен.ия.
В главе рассмотрен.ы осн.овн.ые пон.ятия, дающие пред­
ставлен.ие о возн.икн.овен.ии и развитии отрыва, представлен.ы схемы течен.ии в отрывн.ых зон.ах, описан.ы
особен.н.ости тран.сформации структур потоков при
измен.ен.ии определяющих параметров. Приведен.ы ос­
н.овн.ые соотн.ошен.ия, позволяющие рассчитать те­
чен.ие в возмущен.н.ых областях для различн.ых видов и
условий обтекан.ия препятствий.
-
v
6.1. Виды отрывных течений и причины их возникновения
Отрыв потока от обтекаемой поверхности - одно из характер­
ных явлений, сопровождающих движение жидкости или газа. При
отрыве происходит перераспределение давления по поверхности
ЛА, вследствие чего изменяются его аэродинамические характе­
ристики.
В некоторых случаях отрыв приводит к вредным последстви ям:
уменьшению несущей способности, ухудшению управляемости, воз­
растанию тепловых потоков на отдельных участках обтекаемой по­
верхности. Однако отрыв потока может быть и полезен. Например,
6.1. Виды отрывных течений и причины их возникновения
207
управляя отрывом, создают требуемые силы и моменты, обеспечи­
вают допустимый режим теплопередачи, улучшают аэродинамичес­
кие характеристики ЛА.
На рис. 6.1 представлены часто встречающиеся отрывные тече­
ния, возникающие около выступов (надстроек), изломов поверхно­
стей и различных видов каверн (а-и), падающих на обтекаемую
поверхность скачков уплотнения и тел сложной формы. Отрывные
течения наблюдаются также при обтекании элеронов, элевонов, ин­
терцепторов, а также крыльев на закритических углах атаки (см.
рис. 6. 1 , к, л) . При работе диффузоров и сопл на нерасчетных режимах скачки уплотнения взаимодеиствуют с пограничным слоем
на стенках, что также приводит к отрыву потока (см. рис. 6.1, м, н).
Отрывное течение может быть вызвано струйным взаимодействи­
ем при истечении продуктов сгорания топлива двигателей в спут­
ный поток (см. рис. 6.1, о), при работе управляющих или тормоз­
ных реактивных устройств (рис. 6. 1 , п, р), аэродинамических и га­
зодинамических органов управления: аэродинамических игл (см.
рис. 6.1, с) и дефлекторов (см. рис. 6.1, т).
Для всего многообразия структур течения можно вь1делить сле­
дующие характерные области (рис. 6. 2), имеющие место во всех
случаях отрыва потока. Область отрыва 1, в которой происходит
переход от течения в невозмущенном пограничном слое к началу
его отрыва. За областью 1 следует область 2 смешения, в которой
происходит взаимодействие оторвавшегося пограничного слоя с внеш­
ним потоком и возвратным течением, а также область 3 присоеди­
нения потока к обтекаемой поверхности, сопровождающегося его
разделением на основное и возвратное 4 течения.
Область возвратного течения в зависимости от типа отрыва и
конфигурации обтекаемой поверхности может быть закрытой или
открытой. Под закрытой понимается такая область возвратного те­
чения, в которой при установившемся режиме циркулирует посто­
янная масса газа, несмотря на массообмен с внешним течением,
происходящий в области смешения или осуществляемый специаль­
но (вдув или отсос). В открытой области также существуют цир­
куляционные течения и одновременно происходит образование спут­
ных вихревых потоков, сопровождающееся частичным уносом мас­
сы газа.
Отрывные течения в зависимости от протяженности препятствия
в поперечном направлении подразделяют на двух- (плоские или осе­
симметричные) и трехмерн ые (пространственные).
�
6. Теория отрывных течений
208
" . ..
. ::-----
'
'
"
'
�
��l
.
1
СЗ)».
�
2
;
-;
)
· 3
"
'
4
Моо> 1
б
2
а
5
1
6
12
.
2
··: : .
" ·:- : ·. · : ·
.
,'
•
�.- ·. · :. ·.. . ""
.
д
г
6
�
.
..
. . ·. :
....
1
1
н
00
;.
'
�
> 1 з\'
",
', ,'
"' 1
5
'"
. .
. . .
..
•
.
.
.
. . .. .
..
.
2
ж
2 6
1 2
. ."
м
е
з
7
6
8
�
-�....
•.
•
:"!.;..
.
с
р
:..:..
·:
·· �·
"....
•.
.,,...
2
т
Рис. 6.1. Основные виды отрывных течений:
1 оторвавшийся пограничный слой; 2 область возвратного течения; 3 веер
волн разрежения; 4 «висячий» скачок уплотнения; 5 скачок уплотнения, вы­
званный присоединением потока; 6 скачок уплотнения, обусловленный отрывом
потока; 7 основной скачок уплотнения; 8 струя
-
-
-
-
-
-
-
-
6.1. Виды отрывных течений и причины их возникновения
209
В общем случае (см. рис. 6.2) положение областей отрыва и
присоединения заранее предсказать невозможно. Однако в част­
ных случаях местонахождение этих зон, характеризующихся со­
ответственно точками отрыва S
и присоединения R, оказывает­
ся определенным. Такие течения носят название
течен ии с
фиксированн ыми точками от­
рыва или прис оеди нен ия . От­
v
рывные течения с неизвестны­
ми координатами точек S или R
называются соответственно
течениям и со свободным отрывом или присоединен ием.
4
s
Рис. 6.2. Схема отрывного течения
Классическая концепция течения в области отрыва потока сфор­
мулирована для плоского и осесимметричного течений. Одним из
необходимых условий отрыва потока от стенки является возраста­
ние давления в направлении течения, т. е.
Однако отрыв может произойти лишь при вы­
полнении другого условия Действи­
тельно, поток не отрывается от плоской пластинки, для которой
характерны постоянство давления во всех сечениях пограничного
слоя и, следовательно, равенство нулю продольного градиента дав­
ления.
Если рассмотреть криволинейный профиль, обтекаемый дозву­
ковым потоком (рис. 6.3), то на участке от точки
полного торможения до некоторой точки
градиент давления будет отри­
цательным (
< О), а на
участке от точки до на заду
неи кромке - положительным
(
> О). Такой характер из­
в
менения градиента давления
S'
обусловлен особенностями об­
't = О
о
текания профиля, при котором
с
на переднем участке скорость в
к точ­
Рис. 6.3. Схема отрыва погранично­ направлении от точки
ке
возрастает, а на участке,
го слоя:
1 - линия тока; 2 - вихрь; 3 - зона воз­ примыкающем к заднеи кромвратного течения; S - точка отрыва
ке, наоборот, уменьшается.
наличие положительного
градиента давления .
наличия в потоке вязкости, приводя­
щ ей к появлению пограничного слоя и диссипации энергии.
О
v
др/дх
В
В
С
др/дх
ст
В
О
v
6. Теория отрывных течений
210
Там, где градиент давления отрицательный, а поток ускоряется,
't
касательное напряжение будет больше, чем при равномерном дви­
жении. Наоборот, в той зоне, где давление повышается и течение
замедляется, напряжение уменьшается. На обтекаемой поверхнос­
ти можно указать точку, в которой 't = О, а за этой точкой становит­
ся отрицательным. Такой характер изменения напряжения тесно свя­
зан с распределением скорости Vx по сечению пограничного слоя.
По сравнению с основным потоком скорость течения в погра­
ничном слое меньше. Механическая энергия частиц вблизи стен­
ки мала и их способность к движению в направлении возраста­
ния давления оказывается ограниченной. Наступает такой момент,
когда запас этой энергии ввиду необратимого перехода ее части в
теплоту вследствие трения может оказаться недостаточным для
преодоления положительного градиента давления. Поэтому газ
вблизи поверхности сначала претерпевает полное торможение, а за­
тем изменяет направление движения. В результате образования возвратного течения происходит оттеснение линии тока и, как следствие, отрыв пограничного слоя от поверхности в точке S. В этой
точке напряжение 'tст = µст(д Vxfду)ст = О, т. е. вязкость исчезает. Рассмотренныи случаи возникновения отрыва относится к сингулярному типу, т. е. отрыву с особой точкой, для которой 'tст = О. Тече­
ние за точкой отрыва характеризуется наличием двух потоков: внешнего, имеющего направление
свободного течения, и внутрен­
1
него, движущегося в обратную
-- --- сторону. Пограничный слой как
--- - -бы скручивается, образуя вихри.
--Возникновение вихрей сопро­
в
с ,'
вождается накоплением за точ­
,
кой отрыва заторможенной жид­
кости и образованием области
возвратного течения.
Для пространственных трехРис. 6.4. Схема пространственного мерных течений характерен ототрыва:
рыв, в каждои точке которого
1 - поверхность тока; 2 - линия стекания сходятся две различные поверх­
ностные линии тока
и
(рис. 6.4), отходящие от обтекаемой поверхности в виде единой раз­
Совокупность этих линий образует разде­
деляющей линии тока
ляющую поверхность тока, а пересечение ее с обтекаемой поверхностью - линию отрыва, называемую линиеи стекания.
v
v
v
1
1
1
1
1
1
'
'
,
v
АО ВО
ОС.
v
6.1. Виды отрывных течений и причины
их
возникновения
Экспериментально установлено, что для линий тока
параметр
0('txf'tz)
А = lУim
�
211
АО и ВО
в любой точке стекания при простран-
ственном отрыве одинаков. Здесь 'tx, 'tz - составляющие напряже­
ния трения в плоскости, касательной к обтекаемой поверхности.
Это означает, что линии тока в этой плоскости должны иметь об­
щую касательную. В случае сингулярного отрыва в точке S напря­
жения 'tx и 'tz одновременно обращаются в нуль, величина А становится неопределеннои, а значит, параметры течения на поверхности тела могут претерпевать разрыв и быть неоднозначными. Если
направления вихря и внешнего течения не совпадают, то оторвав­
шийся поток вращается с образованием спиралеобразных вихрей
(рис. 6.5, а). Такие течения наблюдаются при обтекании тонких стре­
ловидных крыльев, сужающихся хвостовых частей фюзеляжей, раз­
личного рода выступов и надстроек.
v
м"<
1
"
____ "
"
"
�"" "
а
Рис. 6.5. Отрыв потока за телом сложной формы (а) и за цилиндром (б)
Возможность отрыва пограничного слоя зависит от механичес­
кой энергии газа вблизи стенки, различной для ламинарного и тур­
булентного пограничных слоев. Турбулентное перемешивание уве­
личивает скорость газа вблизи стенки, и ему легче преодолевать
возрастание давления и трение. Поэтому турбулентный пограничныи слои при прочих равных условиях отрывается ниже по потоку,
чем ламинарный. Следует отметить, что отрывное течение газа в
дозвуковом потоке является неустановившимся. Например, при об­
текании цилиндра (рис. 6.5, б) за точкой отрыва S образуется вихрь,
который за счет трения между слоями газа втягивает все большую
v
v
212
6. Теория отрывных течений
массу в область возвратного течения. В некоторый момент времени
вихрь отходит от тела и уносится потоком. Область отрывного те­
чения сокращается, точка отрыва смещается вниз по потоку, и про­
цесс образования нового вихря повторяется. В отрывном течении
первоначально возникает пара симметричных вихреи у нижнеи и
верхней поверхностей цилиндра. Далее симметричность картины
нарушается: как правило, начинает развиваться один из вихрей, ко­
торый затем уносится потоком. На некотором расстоянии позади
обтекаемого тела образуется правильная последовательность вих­
рей, вращающихся попеременно вправо и влево, называемая вихре­
вой дорожкой Карман.а.
Возникающие при сверхзвуковых скоростях скачки уплотнения,
взаимодействуя с пограничным слоем, могут вызвать его отрыв. На
рис. 6.6 показан такой отрыв на плоской поверхности 1 в месте
падения скачка уплотнения 4. Этот скачок создает положительный
градиент давления, достаточный, чтобы вызвать отрыв. Переход че­
рез скачок сопровождается повышением давления, которое распространяется вверх по потоку в дозвуковои части пограничного слоя,
способствуя его утолщению. В результате этого сверхзвуковая часть
пограничного слоя 2 отклоняется во внешнюю сторону, что, в свою
очередь, порождает систему сходящихся волн сжатия 3, распространяющихся во внешнии поток в
виде скачка уплотнения 5. Когда
4
градиент давления достигает
своего критического значения,
при котором частицы жидкости
Моо> 1 3
вблизи поверхности не могут его
преодолеть, возникает отрыв по­
тока (точка S). Оторвавшийся по­
1
ток в области за скачком уплот­
нения 4 расширяется, образуя
8
9
веер волн разрежения 6, и ослаб­
р
ляет рост толщины погранично­
го слоя. Вторая серия волн сжа­
тия 7 может формировать скачок
и образуется там, где в результа­
те присоединения к обтекаемой
х
о
поверхности (точка R) течение
Рис. 6.6. Взаимодействие погранич- снова становится параллельным
ного слоя со скачком уплотнения поверхности 1 . Звуковая линия 9
v
v
v
v
6. 1. Виды отрывнь�х течений и причины их возникновения
213
как бы огибает область отрыва 8. Картина взаимодействия скачка
уплотнения с пограничным слоем зависит от интенсивности скач­
ка уплотнения, режима течения в пограничном слое и формы обтекаемои поверхности.
На рис. 6.6 приведен также график распределения давления в
возмущенных областях течения. Давление возрастает до точки S, в
которой существует необходимый для отрыва пограничного слоя
критический перепад давления. Затем градиент давления уменьша­
ется и в области смешения давление близко к постоянной величине
Рр («плато» постоянного давления). Для области присоединения ха­
рактерно дальнейшее возрастание давления до Рек за скачком уп­
лотнения. В точке присоединения R давление PR < Рек.
Положительный градиент
давления др/дх при сверхзвуко­
вых скоростях может создавать­
ся не только падающим скачком
уплотнения, но и скачком от из- М00> 1 2
лома образующей обтекаемой
поверхности 1 (рис. 6.7). При
обтекании преграды 5 невязким
потоком в окрестности угловои
6
7
1
точки возникает скачок уплот­
нения 4, за которым поток по­ р
/
ворачивается параллельно по­
./
Роо
верхности 5. Происходит взаи,
1:1.
/"
1:1.
�
модеиствие скачка уплотнения
r�
4, достигающего звуковой ли­ о
х
нии 7, с пограничным слоем,
Рис. 6.7. Отрыв, вызванный клином
приводящее к появлению волн
сжатия 2, скачка 3 и к отрыву в
точке S. Оторвавшийся поток при достаточно большой протяженности поверхности за точкои излома присоединяется к неи
в точке R. При этом область возвратного течения оказывается
закрытой и образуется застойная зона 6, изменяющая положение
скачка 4.
Более сложная структура течения возникает при трехмерном от­
рыве сверхзвукового потока. Обтекание выступающего элемента со­
провождается образованием перед ним пространственного скачка
уплотнения, который взаимодействует с пограничным слоем и вы­
зывает его отрыв с образованием открытой области возвратного
v
v
-
<>::
"'
u
v
v
v
214
6.
Теория отрывных течений
течения. Такой вид отрывного течения имеет свои особенности.
Вследствие воздействия на пограничный слой искривленной удар­
ной волны перед преградой возникает градиент давления не только
в продольном, но и в поперечном направлении. Это приводит к
возникновению внутри зоны отрыва вторичного течения, скорость
которого направлена под некоторым углом к линиям тока основ­
ного потока. Поэтому часть газа, попавшая в застойную зону из
области смешения, эжектируется внешним потоком, а часть рас­
текается в боковых направлениях с образованием спиралеобразных вихреи.
На параметры потока в зонах отрыва и их геометрические раз­
меры оказывают влияние параметры внешнего течения: скорость
и число Re, которое определяет режим течения в пограничном
слое (ламинарный или турбулентный). При плоском двухмерном
отрыве давление в области отрывного течения не зависит от ус­
ловий, вызывающих отрыв. Если отрыв трехмерный, то парамет­
ры отрывного течения определяются дополнительно формой и раз­
мерами преград.
Несколько иная физическая картина течения образуется в слу­
чае обтекания кормовых частей ЛА, а также различных уступов,
расположенных по потоку (рис. 6.8, а). Течение характеризуется
большим местным расширени­
ем около угловой точки. Экспе­
1
рименты показывают, что от­
рыв пограничного слоя 1 про­
исходит непосредственно за
угловом точкои на донном среz
зе. За счет искривления линий
5
а
тока за изломом поверхности
Роо
6 7
возникают волны сжатия, фор­
Рдон
Рек мирующие висячий (краевой)
'/
скачок уплотнения 3. Характер
б
течения около угловом точки
р
является более сложным, чем
8
обычное течение Прандтля Рдон /"'-9
8
=:
Майера. Поток вначале расши­
1:)..
Рлт
1:)..
ряется в волне 2, а затем его
х
о
в
давление увеличивается при
Рис. 6.8. Отрыв сверхзвукового пото­ переходе через краевом скачок
уплотнения 3 до значения Рдон·
ка за обратным уступом
v
v
v
, , , , ...
,,.,..
/
--
v
,
'
•---
,
,
--
... - - - - - - ·
.,
<>::
v
6. 1. Виды отрывных течений и причины их возникновения
215
Обычно при расчете такого отрыва сложный характер течения вбли­
зи угловой точки не учитывают и считают, что отрыв потока про­
исходит в вершине угла. Присоединение оторвавшегося потока про­
исходит с образованием скачка уплотнения 4 и зоны циркуляцион­
ного течения 5.
На рис. 6.8, б, в представлены схемы отрыва 6, 7 и характер
распределения давления 8, 9 за донным срезом для случаев лами­
нарного и турбулентного сверхзвуковых течений соответственно.
Давление в области отрыва и ее длина при турбулентном режиме
меньше, чем при ламинарном обтекании донного среза.
Оторвавшийся пограничный слой дает начало зоне смешения,
в которои ввиду переноса массы, количества движения и энергии
происходит формирование слоя смешения с существенным изме­
нением в поперечном направлении скорости, плотности и темпера­
турь.1. Эксперименты показывают, что давление в области смеше­
ния остается постоянным, а другие параметрь.1 течения изменяются
по законам развития свободных струй.
При турбулентном отрыве слой смешения остается турбулент­
ным. В условиях ламинарного отрыва возможны переходные типы
течений, когда в области смешения
ламинарный режим течения перехо­
дит в турбулентный.
Неравномерность параметров слоя
смешения (рис. 6.9) приводит к тому,
что энергия потока для каждои струнки газа в поперечном направлении не
одинакова. Поскольку в окрестности
области присоединения потока к по­
верхности 3 происходит его сжатие,
то низкоэнергетические частицы газа,
не способные преодолеть повышен­ Рис. 6.9. Схема присоединения
ное давление в области присоедине­
потока
ния, поступают в область 2 возврат­
ного течения. Высокоэнергетические
частицы газа, находящиеся выше разделяющей линии тока аЬ, ухо­
дят вниз по потоку. На линии присоединения, или растекания, на­
пряжение 'tст = О. Частицы газа, попадающие в область возвратного
течения, имеют различные скорости (на линии 1 они равны нулю).
Скорость газового потока в застойных зонах может достигать сверхзвуковых значении.
v
v
v
v
216
6. Теория отрывных течений
6.2. Общие закономерности течений с отрывом
и присоединением потока
Отрыв сверхзвуковых потоков при обтекании уступов
и наклонных преград
Любое отрывное течение можно отнести к одному из трех ви­
дов: ламинарному, переходному (ламинарному с турбулизацией по­
тока в области между отрывом и присоединением или с точкой от­
рыва в переходной области пограничного слоя) и турбулентному.
При ламинарном отрыве статическое давление в возмущенной
области практически постоянно, его значение на
больше,
чем в невозмущенном потоке, и зависит от чисел М00 и Re. При этом
угол отрыва сравнительно невелик и составляет несколько градусов.
Турбулизация потока в зоне отрыва приводит к резкому повы­
шению давления в областях смешения и присоединения, которое в
значительной степени зависит от условий обтекания. Для турбу­
лентного отрыва характерно более резкое возрастание давления по
сравнению с ламинарным, длина зоны отрыва при этом значитель­
но меньше, а для отрыва требуется больший перепад давлений. Это
объясняется существованием вихревого движения в турбулентном
слое, повышающего механическую энергию газа, в связи с чем от­
сутствует явно выраженное «плато» давлений. При отрыве этого
типа число Re слабо влияет на характеристики течения.
Распределения давления перед уступами в диапазоне чисел М00 =
Эти зависимости получены
=
представлены на рис.
для отрывов, соответствующих ламинарному, переходному и тур­
булентному режимам течения.
·
давление в возмущен­
При ламинарном отрыве (Re =
ной зоне и ее протяженность зависят от числа � (см. рис.
С увеличением числа М00 возрастает давление и уменьшается дли­
на зоны отрыва. Для переходного режима (Re =
1 с увеличе­
нием числа Маха невозмущенного потока область начала турбули­
зации смещается вниз по потоку (см. рис.
б). При малой сверх­
звуковой скорости (например, М00 =
оторвавшийся ламинарный
слой неустойчив и переход происходит вблизи точки отрыва. При
увеличении сверхзвуковой скорости (М00 =
пограничный слой
более устойчив, а поэтому турбулизация начинается у точки присо­
·
единения. Для турбулентного течения (Re =
протяженность
области взаимодействия почти постоянна, изменяется лишь макси­
мальное значение давления в области отрыва, являющееся функци­
в).
ей числа М00(см. рис.
20...30 %
1 ,3...3,4
6.10.
б
1
О, 13 О )
6.10, а).
б
0,6 О )
·
1,3)
6.1О,
3,3)
2,6 1 об)
6. 1 0,
6. 2. Общие закономерности течений с отрывом потока
р/р00
1,4
.
.
М оо = 3,1
у_ 21,73--
217
pfpoo��-�-�-�-�
М оо = 3,4
'
1,2
1,0
0,2
;;:!'
0,4
1 3'
0,6 0,8 x!L
а
р/р00
1 •6 t--,___.,..
M oo 3....,.
, 3___,
. �
н-t
1,4
11\:t:==f:JЬ'-1
......--3,0
_...-f"-2,7
2,2 l
l/,71/::=2,4:t:::
::::1
::::>�
1,4 1---1--1-Ш- м
00
--�""""
,=���=]
<L<.J.
--'-'
1,0 L-.L.
0,80 0,84 0,88 0,92 0,96 x/L
в
-'--'-
Рис. 6.10. Влияние числа М00 на распределение давления при отрыве
Рассмотрим изменение параметров потока: относительной дли­
ны зоны отрыва ls/3 1 (здесь индекс « 1 » обозначает параметры не­
возмущенного потока перед точкой отрыва), относительного давле­
ния р/р00, местного коэффициента трения
а также профили ста­
тического давления в поперечных сечениях при отрыве около углов
сжатия.
Распространение возмущений вверх по потоку и их величина
связаны с интенсивностью скачка уплотнения, которым возникает
в невязком потоке перед преградой, имеющей форму клина с углом
С увеличением
интенсивность скачка растет, что приводит
к возрастанию размеров возмущенной области, а следовательно, и
зоны отрыва ls/3 1 (рис. 6 . 1 1 ).
= 10°
Для М00 = 2,84 отрыв начинает зарождаться при
представляет по(рис. 6.12). Его развитие по мере увеличения
степенным процесс перехода от присоединенного течения к отрывному. На рисунке показано положение точек отрыва и присоеди­
нения R для случая обтекания, соответствующего углу
24°
(развитый отрыв). Начало отрыва в эксперименте определяют од­
ним из следующих способов: а) по осевой координате первой точ­
ки перегиба на кривой распределения статического давления; б) по
положению линии стекания сажемасляного покрытия; в) путем
экстраполяции линии скачка уплотнения, вызванного отрывом, до
обтекаемой поверхности. Каждый из названных способов с доста-
cfx,
v
�пр·
�пр
v
�пр
�пр
S
�пр =
218
6. Теория отрывных течений
1 1--+
8
10
Re15 1 = 1,82·10 6
12
14
18 � Пр > град
16
Рис. 6.11. Зависимость относительной длины зоны отрыва
от уrла преграды при М00
= 2,84
,
1,о 1--.,..4----"-""4-"'-J..L
0,5
L...!�::::J:�i.L
__._
О�
'
х
�
__!J
2
3 4 х/0 1
--'----1.
-
Рис. 6.12. Распределение давления вдоль уrла сжатия при М00
и Re81
= 2,84
= 6,21·106 (сплошные линии) и 1,33·106 (штриховая линия)
точной степенью точности определяет начало отрыва. При зонах
отрыва, превосходящих толщину пограничного слоя, полученные
данные хорошо согласуются между собой.
Введем понятие относительной длины зоны распространения
возмущений (зоны взаимодействия) /803/'81 (где /803 - расстояние
от точки начала повышения давления до источника возникновения
возмущений - угла сжатия, уступа и т. д.).
Местный коэффициент поверхностного трения cft в точках от­
рыва S и присоединения R достигает нулевых значений (рис. 6.13).
В предотрывной области, где начинает повышаться давление, зна­
чение коэффициента быстро падает от начального, соответствующего пограничному слою на плоскои пластине, до нуля на линии
О,
отрыва. За точкой присоединения потока, в которой также
�
cft =
6.2. Общие закономерности течений с отрывол1 потока
219
коэффициент возрастает и снова приближается к значению на плоскои пластине.
Согласно приведенным на рис. 6.14 графикам, при турбулент­
ном обтекании угла сжатия с увеличением числа Re01 область рас­
пространения повышенного давления монотонно уменьшается. Это
объясняется возрастанием сопротивления со стороны невозмущен­
ного потока проникновению возмущений вверх по течению до дозвуковои части пограничного слоя.
v
v
CJx · 10
3
1,0 i-=�f---}--+--+:�=-1
0,5 1---1\--+----У
о 1--�о--+-+s
-4
-2
R
о
'
�пр = 200
1,0
180
]бо
]40
o
Jo
� пр
s О R х
2
4 х/01
о
0,1 0,5
l
-6
5 Re0 1 ·10
Рис. 6.14. Зависимость относиv
тельнои длины зоны распространения возмущения от числа Re81
при М00 = 2,9
Рис. 6.13. Изменение местного коэф­
фициента поверхностного трения
в области взаимодействия скачка
уплотнения с пограничным слоем
Характер распределения статического давления при обтекании
угла сжатия не меняется по сравнению с плоским случаем, если
этот угол образован цилиндрической и конической («юбкой») по­
возрастает длина
верхностями (рис. 6.15). С увеличением угла
области отрыва потока. Явно выраженное «плато» давления появ-
�пр
у
_�
= �q,_t�"P
6 ,_ M
....·-·�
..
-+-+
5 1- ....
L
4 1--
25°Т--1-_,_,
,_.. _,__
_
_,
-122°
_
_
3
2 1--7':..+--+1 ��-�����-��-�
- 1 0 -8 -6 -4 -2 О 2 4 6 8 х!о1
Рис. 6.15. Распределение статического давления при отрыве
перед «юбкой» при М00 = 3,96 и Rei = 30· 1 06
220
6. Теория отрывных течений
ляется лишь при
Рпр > 30° и соот­
ветствует PpfP00 = 3,12. К этому зна­
чению стремятся все кривые распре­
деления давления, соответствующие
условиям развитого отрывного тече­
ния. Значения статического давле­
ния в области «плато» близки к его
2
0
значениям для плоских наклонных
\9
-\60_
преград.
Результаты экспериментов пока­
0 0,4 0,8
1,6 Cfxi 1 03
зали, что если построить зависиРис. 6.16. Зависимость длины об­ мость длины зоны взаимодеиствия
ласти распространения возмуще­ от местного коэффициента поверх­
ний от местного коэффициента ностного трения cfx , рассчитанно�
поверхностного трения при осе­ го по параметрам течения
перед неи,
симметричном (сплошные линии) то для каждого уг.ла
как при осе­
и плоском (штриховая линия) об- симметричном, так и при плоском
текании
обтекании все данные описываются одинаковыми зависимостями,
близкими к линейным, при любых значениях числа М00 (рис. 6.16).
Обозначим тангенс угла наклона этих прямых через а, а мест­
ный коэффициент трения в точке пересечения их с осью абсцисс cjx· Тогда
1--+т--�-7'1-----:;:1--'1,�
--
--
1,2
·
v
v
Рпр
"'
(6 1 )
.
Согласно экспериментальным данным, величины а и сfx являются функциями угла наклона преграды
Для теплоизолиро­
ванной стенки они могут быть представлены эмпирическими урав­
нениями
*
Рпр·
где
Рпр - в градусах.
Тогда уравнение (6.1) принимает вид
Поскольку с увеличением числа Рейнольдса коэффициент по­
верхностного трения уменьшается, то при его неограниченном pov
сте длина зоны распространения возмущении стремится к нулю.
6.2. Общие законолtерности течений с отрыволt потока
221
При турбулентном обтекании преград, имеющих угол наклона
�пр = 90°, область взаимодействия от точки отрыва S вверх по пото­
ку распространяется на расстояние /803 2,581. За точкой отрыва дав­
ление достигает значения, соответствующего области смешения, а
непосредственно перед уступом оно резко возрастает. Для широкого
диапазона чисел М00 средний угол отрыва
13°. Незначительная
чувствительность угла отрыва к изменению чисел М00 и Rex приводит к тому, что относительная длина зоны отрыва ls /h ""'4, 2 при
условии, что высота уступа h >
Распределение давления в зоне отрыва по торцевой стороне ус­
тупа сложное (рис. 6.17). В средней части торцевой поверхности дав­
ление близко к значению, соответствующему области смешения.
""'
�Р ""'
81 .
2 1----+
1
2
о
0,25
Рис. 6.17. Распределение
1
-
0,75
0,50
y/h
давления по торцевой поверхности уступа:
5· 1 05; М_ = 9,7; Тrл/Т0_ = 0,29);
отрыв (ReL = l,l 106; м_ = 1,72; Т(;\/То-= 1)
ламинарный отрыв (ReL
=
2
-
турбулентнъrй
·
У верхней части уступа оно резко возрастает, что обусловлено тор­
можением и присоединением оторвавшегося потока. Вблизи основа­
ния уступа давление возрастает вследствие торможения возвратного
течения. Как и для области возмущенного течения перед уступом,
распределение давления по его торцевои поверхности зависит от режима течения, чисел М00 и Rex.
v
Взаимодействие скачка уплотнения с пограничным слоем
Воздействие скачка уплотнения на пограничный слой приводит
к его утолщению и оттеснению внешнего потока от стенки, что
вызывает волны сжатия в сверхзвуковом потоке. Пограничный слой
222
6. Теория отрывных течений
3
4
сглаживает скачок, создавая у по­
верхности градиент давления ко­
нечного значения. Линии тока во
внешнем течении отклоняются от
1
� i;�
'?///,!#/�/:&/)///$)/)f)$/;f�
стенки, что, в свою очередь, не­
а
сколько деформирует падающий
скачок уплотнения.
А
Структуры потока в области взаиD
модеиствия существенно зависят от
с,
режима течения в пограничном слое,
1 2 5
. . . . . . ... ... . . . .
интенсивности скачка уплотнения и
" :
: :
: :
,.;. :..:.
:
угла его падения. Если интенсив­
;
ность мала (рис. 6.18, а), то погра­
б
ничный слой 1 не отрывается от
стенки и падающии скачок уплотА 3
нения 3 отражается от звуковой ли­
нии 2 скачком уплотнения 4. При
большой интенсивности скачка по­
ток у обтекаемой стенки тормозит­
�. �.�. :" -:�� �.::.:·.�?:: : : "": : . ���:� � ;:_�� ;; ...: ;.;.:�;
ся сильнее, что может привести к
его отрыву. Это вызывает дальней­
в
шее отклонение внешнего потока и
Рис. 6.18. Схемы течения при образование характерной системы
взаимодеиствии скачка уплотне- скачков уплотнения 3, 5, 7 и волн
ния с пограничным слоем
разрежения 6 (рис. 6.18, б). В некоторых случаях, характеризующихся
малой сверхзвуковой скоростью и большим углом падения скачка,
когда угол одного из скачков больше критического, вблизи погра­
ничного слоя возникает мостообразный скачок уплотнения с участ­
ком прямого скачка К1К2 (рис. 6.18, в).
Для каждого числа М00 существует свой угол наклона падаю­
щего скачка уплотнения, при котором происходит зарождение от­
рывного течения (рис. 6.19). Область выше кривой АВ соответствует условиям появления отрывного течения, тогда как ниже кривои
АВ скачок не способен создать положительный градиент давления,
приводящий к отрыву. Чем меньше число М00, тем более высокой
интенсивности (больше угол 0cJ требуется скачок уплотнения, не­
обходимый для отрыва. Согласно приведенным на рис. 6.19 дан­
ным, при М00 = 1,3 скачок уплотнения, вызывающий отрыв, дол­
жен быть прямым.
.�. ,�st.-�;�. �:c�:../f.:tf/:-.�n-�(}(
·
.
1 1
1
1 1
,
1 1
,
, ,
�6 7
. .
;;;5J)i.�,;;
�ьJ��,Ь1
v
1 ,
, ,
.
".
.
. . .
_.... .
.
.
_.�
:.::�
-:·. · ·. ·:· · .· ·. ·:·· . · ·. ':'·--: . . .
·
.
..:.
:··
v
7
.. .
#
�
//
�}�"
·:·
.
· : .
·
- ·
··
v
v
6.2. Общие закономерности течений с отрыволt потока
А
80 1--++----+
223
м"
7,6"///...;?»/////,?,
S
40
R
м"
-
в
-�-�-�
�
-�20 �1,0
1,4
1,8
2,2
2,6 Моо
Рис. 6.19. Влияние числа Маха и угла наклона падающего
скачка уплотнения на отрыв двухмерного потока
Возмущения от скачка уплотнения распространяются вверх по
потоку на расстояние, равное нескольким толщинам погранично­
го слоя. На рис. 6.20 показаны зависимости для скачка уплотне­
ния, генерируемого плоским клином с переменным углом �кл• при
взаимодействии с турбулентным пограничным слоем. Длина зоны
отрыва приведена к безразмерному виду
- xs )/о1 (где хе - рас­
стояние от передней кромки пластины до точки С пересечения про­
должения скачка уплотнения с обтекаемой поверхностью). С уве­
личением угла �кл возрастают интенсивность скачка уплотнения
(хе
м"
3,0
с
Xs
хе
2,0
1
Re•" ' = l 5·10 5
l,O
2,8 · 10 5
Rеб1 = 6,О· 10 5
_
_L.___L__.L.L.._L.._J..._
._ ____J
о L__
2,5
}0,0 � КЛ> Град
7,5
5,0
'
Рис. 6.20. Зависимость относительной длины зоны отрыва
от угла клина при М00 = 2,96
224
6. Теория отрывных течений
plp 0oo
А
l'КЛ
= 1 0'5°
0,04 ,____,_____._
s·
С' R
х е_,
-=
�
-=-.=._
--=
-=
�
5
1 0 1 5 20 хс/01
_._
_
_
О ._ _._
-5
_
'
о
�
Рис. 6.21. Изменение относительного давления в зоне возмущенного
течения при отрыве турбулентного пограничного слоя
и расстояние, на которое распространяются возмущения, а точка
отрыва смещается вверх по потоку. Размеры зоны отрыва зависят
также и от числа Re.
В условиях развитого отрывного течения давление в точке от­
рыва не зависит от интенсивности скачка уплотнения, вызывающе­
отрыв возникает,
го его (рис. 6.21). При
2,9 и Re0
1
если угол �кл > 5°. Увеличение �кл приводит лишь к росту длины
области отрыва и давления в ней.
М00=
=9,73 · 105
Свободное взаимодействие при отрыве
Экспериментально установлено, что геометрия обтекаемых тел
ниже по потоку и эффекты, вызывающие возникновение отрыва,
не оказывают прямого влияния на параметры двухмерного тече­
ния. Для характеристики такого явления используют термин «сво­
бодное взаимодействие», при котором давление в возмущенной зоне
не зависит от условий отрыва потока (рис. 6.22).
Начало эпюр давлений для всех рассмотренных на рисунке слу­
чаев совмещено в одной точке. Независимость в распределении
давления до точки отрыва S сохраняется при отрыве как ламинар­
ного, так и турбулентного сверхзвуковых потоков. Этот отрыв мо­
жет быть вызван либо углом сжатия или уступом, либо па­
дающим скачком уплотнения. Для ламинарного отрыва характер
свободного взаимодействия распространяется на область за точ­
кой отрыва S (см. рис. 6.22, а). При турбулентном отрывном тече­
нии профили давления подобны до точки отрыва, тогда как за ней
6.2. Общие закономерности течений с отрывом потока
225
р/роо
2,2
2,0
Моо
1
-
Х\
1,8
pfpoo
1,6
Моо
-
1,4
,
�
�006
�',
""'""'
'
�
"
s
1, 1 1--+-l"
=-+--+
--f---; м
;у
-'----L ..L
'
К<:;
М:
..L._.J...
<
�
__.
.
1,0 '--"""----'-0,4 О 0,4 0,8 1,2 1,6 (х - x1)fx 1
а
1,2 1----+4----11---+--+---<
," ,
00
�
s
,
__,
.._ ._
_._
_ ___. _.__
_...... ..._
_.
_
1,0 .__....
-0,4 О 0,4 0,8 1,2 1,6 (х -x1)fx1
б
_
_
Рис. 6.22. Распределение относительного давления при свободном
взаимодействии:
а
(М00= 2,0;
Re, 3,1·106 );
•1
=
= 2,3;
6
=О,2 · 1 0 );
б - турбулентный отрыв
1 - отрыв перед углом сжатия; 2 - отрьm перед уступом
- ламинарный отрыв (М00
Rex,
давление зависит от формы и размеров обтекаемого тела (см.
рис. 6.22, 6).
Рассмотренная зависимость отрывных течений позволила уста­
новить единые зависимости характерных параметров течений для
различных условий отрыва. Так, на рис. 6.23 показано отклонение
оторвавшегося потока для условии, когда отрыв вызван падающим на пограничный слой скачком уплотнения и обтеканием угла
сжатия.
�
�р
р
г
, ад
�р
Рис.
6.23. Зависимость угла отрыва потока �Р от числа Re01 при М00 = 3
6. Теория отрывных течений
226
Течение с отрывом в дозвуковом и гиперзвуковом потоках
Для дозвукового отрывного течения, как и для сверхзвукового,
давление перед препятствием возрастает во всей области распрост­
ранения возмущений. Ее размеры и характер изменения давления
определяются режимом течения. При ламинарном дозвуковом от­
рыве (рис. 6.24, а) возмущения распространяются вверх против те­
чения на большее расстояние, чем при турбулентном (рис. 6.24, в).
В случае переходного режима характерен всплеск давления за точ­
кой перехода (рис. 6.24, 6).
р/роо
11
11
11
11
11
11
1
11
1
•
0,6
0,4
0,2
о
s v-
�
_?. :
.
1
1
1
);;1�·
»5ii>))h'3:::./,
1
0,4 0,6
1
0,8
а
1
•
•
1
1
1
'
1
1
�
: ·" .
x!L 0,4 0,6
1
0,8
б
1
1
1
1
1
.
1
1
1
1
1
1
1
'
.. .
•
s
1
1
1
1
1
1
1
1
_,,,
г 1 11 :
11 1
11 11
;,,,
=1
.
·
,
.j
j
)
)
j
;
;
;
;
-;
;
;:'.
/.
s
1
1
1
1
1
1
1
•
1
.
1
-
L/
�
�.;�
....-::=.
.,.,.
-:::=.
.
. :=..-:-:::=.
:=..
-:::=.
.
-:::=.
.
.
1
x!L 0,4 0,6
1
0,8
т
У.
1
x!L
в
Рис. 6.24. Распределение коэффициента давления при дозвуковом отрыве
(М00= 0,61) и ReL = 0,106·106 (а), 0,358·106 (б) и 0,407·106 (в)
При дозвуковом отрыве ламинарного пограничного слоя перед
наклонной преградой число Re меньше влияет на распределение
давления, чем при сверхзвуковом.
Увеличение скорости обтекания до гиперзвуковой приводит к
появлению некоторых особенностей в отрывных течениях. При срав­
нении схем таких течений при сверхзвуковом (рис. 6.25, а) и ги­
перзвуковом (рис. 6.25, 6) обтекании угла сжатия видно, что в пос­
леднем случае точка отрыва S расположена ближе, а точка присо­
единения R оторвавшегося потока - дальше от вершины угла
сжатия.
6.2. Общие закономерности течений с отрыволt потока
227
2
-
s
----
1
s
б
Рис. 6.25. Схемы отрывного течения при сверх- (а)
и гиперзвуковом (б) обтекании угла сжатия
В обоих случаях обтекание сопровождается увеличением тол­
щины пограничного слоя, что порождает веер волн сжатия 1 . Но
при сверхзвуковом обтекании взаимодействие перед зоной возму­
щения сравнительно слабое и разворот основного потока в веере
волн 1 происходит почти изоэнтропически. При гиперзвуковом об­
текании сжатие перед областью отрыва происходит более резко и
на границе вязкого слоя образуется сильный скачок 2, который располагается почти параллельно внешнеи границе пограничного слоя.
Развитие оторвавшегося пограничного слоя осуществляется прак­
тически при постоянном давлении. В области присоединения фор­
мирование скачка уплотнения 3 на внешней границе пограничного
слоя при гиперзвуковой скорости заканчивается ближе к точке при­
соединения R. Следует отметить, что при больших числах М00 и
малых Re интенсивность взаимодействия между нарастающим по­
граничным слоем и невязким потоком перед углом сжатия может
быть примерно такой же, как при условии обтекания клина с углом
�кл = �пр невязким потоком.
С увеличением угла �пр• приводящего к возрастанию интенсив­
ности взаимодействия, давление изменяется не только вдоль поверх­
ности преграды, но и перед ней. При этом, если число М00 = const,
давление Рр в области «плато» остается примерно постоянным.
Экспериментальные данные показывают, что значение Рр зависит от
�
6. Теория отрывных течений
228
р (р р)/( V; /
Коэ ициент давления Р = Р р 2 ) для
чисел М00 и
изобарной области в диапазоне чисел М00 = 2... 16 хорошо согласу­
ется с корреляционной зависимостью
фф
Re.
Рр -
-
_
Здесь
Сfxl =
3
1/2 м-з/4
с 1
fx
со
µ0
•
1
----'
0,664
-
-
Р о1 V31 х,
Х
(11-1)/2
ет/То +0,09(k - l)M� JPr
0,45 + О,55 Т(M
't 3)
Т0 - температура торможения потока; 't(M0) - газодинамическая
функция; k = cp/cv; п = 0,76 при Тет < 1000 К и п z 0,9 при Тет>
> 1 ООО К; Pr - число Прандтля.
На рис. 6.26 в логарифмическом масштабе построена зависимость параметра р / ct� от числа М00• Видно, что с увеличением
числа Маха коэффициент давления р непрерывно уменьшается.
х
i
'
Р
Р
В расчетах отрывных течений одним из основных параметров
является длина области отрыва, которая в существенной степени
зависит от условий присоединения потока. Как показали экспери-
2,0
1 ,0
м
�
�
"
....
�........_
.....
�"
р
�
_./ �
о
.....
0,5
0,4
0,3
2
5
........_
10
J
�
...-
х
......._
20
м
"
Рис. 6.26. Корреляционная зависимость коэффициентов
давления и трения в изобарной области от числа Мсо
6.2. Общие законолtерности течений с отрыволt потока
229
менты, на длину зоны отрыва оказывает влияние состояние потока
в оторвавшемся пограничном слое. В гиперзвуковом ламинарном
потоке с ростом числа Re зона отрыва увеличивается. В турбулент­
ном потоке влияние числа Re проявляется в меньшей степени. В слу­
чае переходного пограничного слоя зависимость длины ls зоны от­
рыва как функции числа Reх, является более сложной. Если пере­
ход происходит до точки присоединения, то с ростом Rex, длина ls
уменьшается до значения, соответствующего турбулентному тече­
нию, когда точка перехода достигает точки отрыва потока.
Мсо
.
/
�
�Рек
�
�
. " . . . .. " .. . . ,""
Х/
10
.r
1
/
'
'
"
2�
t
ls _
\\_...
r
1
. ....
'
'
пр
1 1 1 11 11
�пр= 8° .
/
' 10°�
�
у
16°А
.
lsM�j[x1(Pcк
2
1 Рр) ]
Рис. 6.27. Области изменения параметра
для ламинарного (J), переходного (2) и турбулентного отрывов
На основе экспериментальных данных была построена корреля­
Zsм:/[ (Рек/Рр)2]
х1
ционная зависимость безразмерного параметра
от числа Rex, (рис. 6.27) в диапазоне чисел М00 = 2".14,5. Значи­
тельный разброс данных для переходного режима обусловлен за­
висимостью точки перехода от числа Reх, и угла
�пр·
Отрывное течение за уступами
Если сверхзвуковой поток обтекает обратный уступ (рис. 6.28),
он разворачивается в волне разрежения 1, отрывается с его кромки
и присоединяется к обтекаемой поверхности в точке R, в окрестно­
сти которой формируется скачок уплотнения 3. Давление в области
6. Теория отрывных течений
230
Re=0,15·10
0,6 1---1--
L
0,4
6
h�
о..,_
_
х
18 xlh
_
_
_
_
_
6
о
12
Рис. 6.28. Распределение давления за уступом при ламинарном
и турбулентном обтекании (М00 = 2,0)
отрыва 2 сначала остается примерно постоянным, а затем по мере
приближения к точке присоединения возрастает. Участок с посто­
янным давлением имеет место для любого режима течения (см.
рис. 6.28). Значения давления и длина зоны отрыва для каждого
режима течения различны. Для ламинарного отрыва давление в дон­
ной области за уступом выше и длина зоны отрыва больше, чем
для турбулентного. Это объясняется наличием значительной части
малоскоростного потока в ламинарном пограничном слое, что де­
лает его более инертным к повороту в волне разрежения. Уменьше­
ние угла поворота приводит к росту как донного давления, так и
длины области отрыва.
Исследования выявили слабое влияние формы торцевой поверх­
ности уступов на донное давление, которое зависит от скорости
обтекания, формы и размеров верхней кромки уступа, а также от
отношения его высоты к толщине пограничного слоя.
РдонfРоо
0,6 1-�
0,4 1----10,2 t----+----<t--
Роо
Рдонf
0 '-----'-----"'--'
3,0
1,0
2,0
4,0
а
Моо
=--...L,_
0,4 =
2
2
10-
_J_
__J
-_J-1,
_
4
б
6
10-
1
8**/h
Рис. 6.29. Зависимость относительного донного давления от числа М00 (а)
и толщины потери импульса пограничного слоя при М00 = 1,5 (б) для слу­
чая турбулентного обтекания обратных уступов
6.2. Общие закономерности течений с отрывол1 потока
23 1
Для уступов как на плоских, так и на осесимметричных телах с
ростом числа М00 в диапазоне умеренных сверхзвуковых скоростей
происходит уменьшение донного давления Рдон (рис. 6.29, а), что
связано с возрастанием эжекционных свойств внешнего потока. Тен­
денция роста относительного донного давлениярдонfР00 проявляется с увеличением толщины пограничного слоя перед точкои отрыва, что также связано с расширением слоя с низкими скоростями
потока (рис. 6.29, б).
v
Обтекание каверн
Практический интерес представляет сверхзвуковое течение
вблизи выемок (каверн). В зависимости от глубины Н и длины L
каверны существуют две структуры обтекания: залtкнутая
и откр ытая. Для замкнутой (рис. 6.30, а) характерно наличие у
переднеи и заднеи стенок каверны отдельных замкнутых зон цирv
у
м
СО )
р
·
�
00
v
,
,,�'/."
,,
,,,
QI
,
,
у
1
Мсо
/
'
Oj
-
::i::
р/рсо
,,, 1
,.,
,
6
,
,,,
,1
1
,
::
1
1
, .
,
# � -- -\.-
s
01
7
�
-
) - µ1
- -
02
'S
х
L
1
01
(p/pco) R 1
(р/рсо) О2
а
у
�
-...- --- )
S1 L
�
...
01
plpco
б
х
8
Моо • _
,,.
�
Х
�
х
L
1 ,r
в
х
Рис. 6.30. Структуры обтекания и рас­
пределение давления в замкнутой (а)
и открытых (б, в) кавернах
6. Теория отрывных течений
232
куляционного течения 2 и 5. Поток отрывается в точке S1 с образо­
ванием веера волн разрежения J, разворачивается и движется в на­
правлении дна каверны. В точке R 1 происходит присоединение по­
тока, при этом появляется скачок уплотнения 3, за которым поток
течет параллельно дну каверны. Задняя стенка каверны в этом слу­
чае представляет собой уступ, обтекание которого сопровождается
вторичным отрывом в точке S2, появлением скачков уплотнения 4 и
6. В соответствии со структурой течения изменяется и распределе­
ние давления по дну каверны (см. рис. 6.30, а).
Если поток, отрываясь в точке S1, присоединяется непосредственно к заднеи стенке каверны, то такая каверна называется открытой (рис. 6.30, 6). Давление за точкой S1 резко падает, что явля­
ется следствием расширения потока в волне 1. При движении газа
к задней стенке происходит постепенное торможение потока с об­
разованием во внешней его части скачка уплотнения 6. Часть газа
попадает в циркуляционное течение 7 и возвращается к передней
стенке каверны. Когда высота задней стенки каверны Н2 больше
передней Н1 (рис. 6.30, в), интенсивность скачка уплотнения дос­
таточно большая и повышенное давление передается вверх по ка­
верне к точке S1• При этом вместо волн разрежения могут возни­
кать волны сжатия и даже скачок уплотнения 8.
Критерием существования одной из двух структур течения
служит относительная длина каверны L = LIH1• Когда она превышает некоторое критическое значение
(LIH1)кp • поток присоединяется к поверх­
ности дна каверны, т. е. образуется замк­
нутая структура; если L < (UH1 )кр - ка­
25
верна открытая. На рис. 6.31 показано из­
20
менение относительной критической
длины (L/Н1)кр от отношения HjH1 в
диапазонах чисел М00 = 2,07".3,43 и от­
, �.
,
= 0,44 ... 1,9 l (где - тол­
ношений
,
щина пограничного слоя перед каверной)
::i::
L ::i::
при турбулентном режиме течения. Каверна становится открытои, когда совме1
2 3
о
щаются точки R 1 и S2 и образуется еди­
Рис. 6.31. Изменение кри­ ная зона с циркуляционным течением.
тической длины каверны
Давление в открытой каверне опре­
(L/Н1)кр в зависимости от деляется отклонением внешней границы
отношения Н21Н1
течения. Если скорость в циркуляционv
...
о,
о,/н,
"
,,
"
"
__
"'
v
6.2. Общие закономерности течений с отрыво.11t потока
233
ной зоне каверны мала, то давле­
р/р00
ние близко к постоянному и опре­
::i::
::i::
11 у
,
11
деляется разностью высот задней
и передней стенок каверны. Иссле­ 1,8 ::i::
дование распределения относи­
'
1,4
L
тельного давления по дну кавер­
ны с одинаковыми высотами усту­
=
= показало, что
пов
давление вдоль дна для глубоких
выемок (L/H < 4) почти не изменя­ 0,6 1----+-+--+---+---->--<
ется (рис. 6.32). Если же погранич­
......._ _._ ___._ __..
....
___,
._
ный слой перед каверной достаточ- 0,2 .__
0,2 0,4 0,6 0,8 x!L
о
но толстыи, то давление в каверне
несколько превосходит статическое Рис. 6.32. Распределение относи­
давление в невозмущенном потоке. тельного давления по дну кавер­
Это происходит потому, что рост ны при М00 2,78, Rex 1,5 106
толщины пограничного слоя и его
повторное присоединение вызывают отклонение свободного по­
тока от стенки. Когда отношение длины выемки к ее высоте увеличивается, на кривои распределения давления появляется минимум (примерно на 1/5 длины вниз по потоку от передней стенки).
Внутри открытых каверн у задней стенки образуется мощный
вихрь, диаметр которого приблизительно равен высоте уступа.
С противоположной стороны каверны в ее углу располагаются не­
сколько более слабых вихрей с обратным направлением вращения.
В центральной части возвратного течения у дна каверны образуется
пограничный слой, переходящий с приближением к внешней части
потока в слой смешения. На рис. 6.33, а приведены профили скорости в различных сечениях каверны, а также линия нулевои скорости в условиях ламинарного течения. Толщина оторвавшегося по­
граничного слоя в первой четверти длины выемки увеличивается
быстрее, чем у ее конца. Слой смешения расширяется сильнее в
сторону выемки, чем в сторону внешнего потока.
Изменение скорости вблизи выемки приводит к перераспреде­
лению температуры (рис. 6.33, 6). Наибольшее снижение местной
температуры наблюдается в слое смешения, а в зоне возвратного
течения она практически постоянна, составляет менее 40 % от тем­
пературы торможения внешнего потока Т000 и несколько превыша­
ет температуру стенки выемки. Поскольку числа Маха в возврат­
ном течении малы, местная температура торможения почти не отличается от местнои статическои температуры.
!:!��-- t;f
''
Н1 Н2 Н
_
_
_
_
v
=
=
v
v
v
v
·
6. Теория отрывных течений
234
у!Н То/То"
1,5
l,O r-�,�
0,5
о
0,5
V=O
'
- l,33 о
Π'--��� ��� ��
1 33 о 2,67 5,33 8,00 l0,67 l lх/Н
67
х/Н
2,67 5,33 8,00 l0,67 l
l 67
-
'
а
,
'
б
Рис. 6.33. Профили скорости (а) и температуры торможения (6) в различ­
ных сечениях каверны при LIН = 10,67, М00 = 6,3, Rex = 0,23 106
·
Если в след одного тела внести другое тело, соизмеримое с его
размерами, то, считая плоскость симметрии за условную поверх­
ность дна, поток между телами можно рассматривать как течение в
каверне. Такие каверны, называемые свободнъwwи, могут быть от­
крытыми и за.;wкнутыми (рис. 6.34). Если тела 1 и 5 расположены
достаточно близко, так что второе тело 5 попадает в область ближ­
него следа, то между ними от волны разрежения 2 до скачка уплот­
нения 4 образуется единая зона отрывного течения 3. При увеличе­
нии этого расстояния второе тело попадает в область дальнего сле­
да. Течение за донным срезом первого тела представляет замкнутую
отрывную зону, а второе тело обтекается неравномерным потоком.
Часть его поверхности попадает в область высокоскоростного внеш­
него течения, а часть - в область низкоэнергетического потока
вблизи оси симметрии, прошедшего через горловину следа 8. Это
приводит к перетеканию газа от периферии к центральной части
1
б
а
б
Рис. 6.34. Свободные каверны:
замкнутая; 1, 5 обтекаемые тела; 2
зоны отрывного течения; 4, 7 скачки уплотнения; 8
а - открытая;
-
-
-
-
волны разрежения; 3, 6
область горловины следа
-
6.3. Особенности отрывных течений
235
тела, образованию симметричных вихрей, области отрывного тече­
ния 6 и системы скачков уплотнения 4, 7.
6.3. Особенности отрывных течений
Отрывное обтекание малых преград
Почти все ЛА на практике имеют небольшие надстройки, пре­
грады, выступы и т. п., являющиеся источником возмущений. Будем считать преграду малои, если ее размеры соизмеримы с толщиной пограничного слоя. Результаты исследования обтекания та­
ких преград применяют не только в расчетах сопротивления ЛА,
связанного с переходом ламинарного пограничного слоя в турбу­
лентный, но и для определения эффективности тормозных и управляющих устроиств, в частности щиткового типа, в диапазоне
небольших изменений управляющих сил.
На течение около малой преграды влияют такие параметры,
как скорость у ее верхней кромки, число Re в невозмущенном
потоке, профиль скорости в пограничном слое, его толщина, фор­
ма и размеры выступа. В условиях ламинарного обтекания малых
преград (Re = (2".2,84)· 1 05) с небольшой дозвуковой скоростью
возмущения распространяются на значительные расстояния как
вниз, так и вверх по потоку. Так, если на плоской поверхности
установлена стержневая цилиндрическая преграда, высота кото­
рой h = (0,7 1".0,8 5)8* (где
толщина вытеснения), то поток
перед ней возмущен на расстоянии примерно 30h, а за преградой
параметры потока восстанавливаются лишь на расстоянии около
70h. Присутствие таких малых преград, как правило, способствует
переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
В низкоскоростном течении плоская преграда является более
эффективным турбулизатором, чем трехмерный элемент при том
же значении высоты h. Рассмотрим некоторые результаты исследо­
ваний обтекания двухмерных малых преград-ступенек сверхзвуко­
вым турбулентным потоком.
Распределение давления в возмущенной области течения перед
уступом в первую очередь зависит от чисел М00, Re, а также высо­
ты обтекаемого уступа. Влияние высоты уступа на распределение
давлений перед ним при числе Re, рассчитанном на единицу дли­
ны: Re' = V00/v00, показано на рис. 6.35, а. Толщина пограничного
слоя в экспериментах составляла 63,5 . . . 76,2 мм, т. е. была больше
v
v
о*
-
6. Теория отрывных течений
236
..-----,....---.----.--.
35,5
h=38,2 мм
р/р
h=22,9 мм
-----:1 2•0
30,6
00
�
· ����
1,5
L___i.,;�t:::.d::....:::t:.._::r:_� 1,0
-250 -200 -150 -100 -50 о
х, мм
а
t------1Г---�
-: --1
'!, ----f
- +-----l't----+! 1,5
•
•
•
о :'----""'
L.l..---' "-'-'
'--1.
--'
.J. ;.--'
..J...L '-L.I 1 ,о
-50 о
-
-250 -200-150 -100
х, мм
б
Рис. 6.35. Распределение относительного давления перед преградами раз­
личной высоты при М00 = 4,9 и Re' = 2,64· 106 м-1 (а) и 1,32· 1 06 м-1 (6)
высоты преграды. На рис. 6.35, б графики распределения давления
сдвинуты и привязаны к точке отрыва потока S (О соответствует
месту расположения преграды). Оказалось, что высота уступа
определяет как протяженность зоны отрыва, так и давление в неи,
а число Re изменяет кривизну профиля давления. При одинаковых
значениях числа Рейнольдса профили давления подобны.
Для малых уступов длина зоны отрыва Zs является нелинейной
функцией высоты h. При рассмотрении экспериментальной зави­
симости изменения параметра Zs/h от относительной высоты пре­
*
грады h/o при М00 = 1,61 (рис. 6.36, а) видно, что отношение Zs/h
стремится к предельному значению 4h, характерному для преград
высотой h >> Аналогичная зависимость наблюдается и при дру­
гих числах М00 > 1.
С увеличением относительной высоты преграды повышается и
давление (р/р00)р в области отрывного течения, причем характер воз­
растания зависит от числа М00 (рис. 6.36, 6).
�
о.
lslh
Re0·= 0,33 10 5
--1
-1--1�
::.-!- 6 1-<:--Т"
::-- -.:+Re0• = 2,54· 10 5
·
4
о,4 o,s 1,2 1,6 2,0 2,4 hlo*
а
(р/р00)р
Моо 3,85
,
3,0
2,6 /
__....2,2
1,8 v - 2,20
1
1,4 � \
Моо= 1,61
1
1
1,0
2
о
4
/
2,90
,
'
2,35
6
8 hlo*
б
Рис. 6.36. Изменение длины зоны отрыва перед малыми уступами при М00 =
= 1,61 (а) и относительного давления в зоне отрыва при Re15• = 1,82 1 06 (б)
·
6.3. Особенности отрывных течений
237
Отрывные пузыри
Отрыв потока, обтекающего крыло с профилем большой толщины, происходит как с заднеи и переднем кромок, так и с носовои
части профиля с последующим присоединением и образованием
внутреннего циркуляционного течения, так называемого отрывно­
го пузыря (рис. 6.37).
v
а
s
v
б
v
в
Рис. 6.37. Отрыв с задней (а) и передней (6) кромок и с носовой части
профиля (в) при его вязком обтекании
Возможно существование двух видов отрывных пузырей: ко­
ротких и длинных. Размер коротких пузырей не превышает 1 % от
длины хорды, а поэтому они не оказывают существенного влияния
на распределение давления по профилю. Длинный пузырь по сво­
им размерам в 2-3 раза превосходит короткий. Образование того
или иного вида пузыря зависит от таких факторов, как число Re,
кривизна и шероховатость поверхности, степень турбулентности и
скорость потока. При увеличении угла атаки профиля происходит
разрушение отрывных пузырей, приводящее либо к полному отры­
ву потока с подветренной поверхности, либо к отрыву потока с посv
ледующим присоединением у заднеи кромки.
Критерием образования длинных или коротких отрывных пу­
зырей является число Re0• = V0�� /v1 (V0 - скорость потока в
1
v б
вытеснения пограничного слоя
u1 - толщина
невязкои о ласти; �·
перед точкой отрыва). При Re0• > Rе р появляется короткий пу­
зырь, а при Re0• < Rекр - длинkый (Rекр = 400 . . . 500).
1
Однако этот критерии не может быть использован для определения момента разрушения отрывного пузыря. Экспериментально
установлено, что короткий пузырь разрушается, если коэффициент
давления
к
v
р
=
PR -2Ps
Po Vo /2
=
0,35.
Следовательно, короткий пузырь существует, если Re0• > 500
и р < 0,35. Первый критерий связан с переходом к турбул�нтному
6. Теория отрывных течений
238
течению в области отрыва, второй - с максимально возможным
напряжением трения в области турбулентного смешения, противо­
действующего перепаду давления.
При разрушении отрывного пузыря происходит резкая пере­
стройка структуры обтекания на профиле, что сопровождается из­
менением аэродинамических коэффициентов и возникновением ги­
стерезисных явлений.
Осесимметричные и плоские отрывные течения
Экспериментальные исследования отрывных осесимметричных
и плоских течений позволили установить общие закономерности и
различия в условиях зарождения и развития отрыва потока. На
рис. 6.38 представлены графики распределения давления в возму­
щенных областях перед плоским клином и осесимметричной «юб­
кой», установленной на цилиндрической поверхности. Характер за­
висимостей относительного давления р/р00 от координаты х, отсчи­
тываемой от места излома образующей контура, одинаков для
плоского и осесимметричного течений. В обоих случаях в услови­
ях развитого отрыва значения давления в области смешения при­
мерно одинаковые.
р/роо
,,
1
1
1
1
,__
_
Рек
Моо, Роо
1
1
1
1
�пр
__,__ 80 -!-----60 -l-----/.�..-\---'-l.---- ---1----1----1
1----t-- 40 +-t-.
-t-_
_
__,_
,__
-40 -20
1
1
1
1
1
1
,,
,,
,,,
,
''
,,
,,
', ,'
,,
,,
,,
о
\
\
1
\
- -
\
\
--
2
'
-
--
3
----
Моо, Роо
Рек
'
20 40 60
�пр
х,мм
Рис. 6.38. Распределение относительного давления при плоском (1, 2)
и осесимметричном (3) течениях при М00 = 9,22:
3 �iip =
соответственно, Rеб =
Rеб =
1, 2 �пр =
и
-
38° 34°
3,4· 105;
-
40°, 2,14· 105
Установлено, что для осесимметричного течения угол отклоне­
ния преграды �"Р' при котором возникает отрыв пограничного слоя,
несколько больше, чем для плоского течения, а одинаковая интен­
сивность скачков уплотнения Рскfр00 перед преградой для плоского
6.3. Особенности отрывных течений
239
и осесимметричного обтекания наблюдается при меньшем угле от­
клонения плоского потока. В этом проявляется пространственный
характер осесимметричного потока.
Вопрос о возможности использования критериальных зависи­
мостей, полученных на основе большого числа имеющихся дан­
ных для плоского отрыва, для осесимметричных течений остается
пока не решенным, поскольку при осесимметричном переходном
или турбулентном отрыве обнаружено существование циркуляционных течении в продольных и поперечных плоскостях, нормальных к поверхности тела.
На рис. 6.39 показана структура потока при обтекании осесим­
метричного тела с «юбкой» под нулевым углом атаки при сверх­
звуковых скоростях. В области смешения дополнительно образуются пары вихреи с противоположным направлением вращения, что
приводит к возникновению в зонах отрыва продольных линии растекания и стекания. Линия отрыва имеет сложную геометрию на
поверхности цилиндрического тела.
v
v
v
Moo > l,
2
1
а=О
Рис. 6.39. Несимметричный отрыв при осесимметричном обтекании тела
вращения:
1 головной скачок уплотнения; 2 скачок уплотнения; 3 линия растекания;
4 струйка тока в оторвавшемся потоке; 5 линия отрыва
-
-
-
-
-
Наличие трехмерных эффектов в отрывных течениях проявля­
ется также при осесимметричном обтекании обратных уступов на
цилиндрических телах. Экспериментально доказано, что в этом слу­
чае не наблюдается двухмерного отрыва потока, поэтому линия при­
соединения является извилистой и имеет характерные для трехмер­
ных течений так называемые седловые (С) и узловые (У) точки
(рис. 6.40). Отрывное течение представляется в виде совокупности
четного числа локальных отрывов с внутренними циркуляционны­
ми течениями, что вызывает периодическое изменение газодина­
мических параметров по периметру тела в области присоединения.
6. Теория отрывных течений
240
у
м"
N
"'\:!
с
а
Рис. 6.40. Визуализация течения на поверхности обратного осесиммет­
ричного уступа:
а-
осесимметричный обратный уступ; б растекание визуализирующего состава
по центральному телу в области присоединения
-
d1/d2
В зависимости от отношения диаметров тел
(см. рис. 6.40) и
числа М00 возможно существование двух, четырех и большего чис­
ла пар вихрей. Например, в диапазоне околозвуковых скоростей при
= 0,4 - четырем. Увеличе< 0,2 оно равно двум, а при
ние числа вихреи приводит к спрямлению линии присоединения
в поперечной плоскости.
d1/d2
R1R2
�
d1/d2
Трехмерные отрывные течения
Обтекание ЛА носит пространственный характер. При этом па­
раметры возникающих отрывных зон существенно отличаются от
аналогичных характеристик в случае двухмерного отрыва. Простейшии случаи трехмерного отрыва потока возможен при сверхзвуковом обтекании преград или надстроечных элементов в виде цилинд­
ров, полусфер, параллелепипедов, а также пластин, расположенных на плоскои поверхности.
На рис. 6.41 показана типичная схема течения при отрыве око­
ло преграды в виде прямоугольной пластины 7. Перед преградой
образуются системы пространственных скачков уплотнения: основ­
ной (6
след скачка уплотнения на вертикальной плоскости W
симметрии течения) и скачок, вызванный отрывом потока на ли­
нии 3 (5 - его след на плоскости W), за которым течение трехмер­
ное. Механизм возникновения отрыва потока при таком взаимодей­
ствии очень похож на случай двухмерного отрыва. Однако имеют­
ся и свои особенности.
�
�
�
-
6.3. Особенности отрывных течений
241
w
z
Рис. 6.41. Схема течения около выступающей плоской преграды
Во-первых, трехмерная отрывная зона нестационарна. При тур­
булентном отрывном течении колебания линейных размеров зон от­
рыва и изменения параметров в них достигают 20 %.
Во-вторых, неодинаковая интенсивность пространственного
скачка уплотнения, возникающего перед преградои во внешнем потоке и взаимодействующего с пограничным слоем на обтекаемой
поверхности 1, приводит к появлению поперечного (вдоль оси Oz)
градиента давления. Вследствие этого возникает боковое растека­
ние, приводящее к спиралеобразplp"=1,3
ным циркуляционным течениям zlb
s"
внутри области отрыва, а также ис­
кривлению линий тока 2 и 4 воз­ 2,0
вратного течения перед линией 3 1,5
отрыва потока (см. рис. 6.41 ).
При турбулентном режиме об­ 1,0
текания возмущения от основного
скачка уплотнения в области отры­ 0,5
ва распространяются более интен­
о 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 x/R
сивно в направлении оси Oz, чем
plp"=2,0
против потока (ось Ох). Этот факт
иллюстрируют характерные изо­ Рис. 6.42. Изобары давления на
бары давления на плоскости пе­ плоскости перед сегментно-сфе­
ред сегментно-сферическим телом рическим телом при М00 3,4
(рис. 6.42).
(S- линия отрыва)
�
,
1
1
,
,
1
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
,
,
=
242
6. Теория отрывных течений
Экспериментально установлено, что при обтекании простран­
ственных преград, для которых высота h превосходит ширину Ь
(см. рис. 6.41), отношение геометрических параметров зоны от­
рыва bs/ls в широком диапазоне чисел Моо = 1,5 ... 5,5 при турбулент­
ном отрыве колеблется в сравнительно узких пределах
1,7 . . 2, 1 .
Проследим, как изменяется давление при уменьшении шириv прямоугольном
v пласv в виде торцевом
ны преграды, выполненном
тины, обтекаемой сверхзвуковым турбулентным потоком газа (см.
рис. 6.41). Введем параметр Ыh, характеризующий степень про­
странственности. В случае плоского обтекания (Ыh = оо) наблюда­
ется явно выраженное «плато» кривой р/р00 =f(x/h), а по мере умень­
шения Ыh - максимумы и минимумы (рис. 6.43). Давление в зоне
отрыва при этом становится несколько ниже, чем при двухмерном
отрывном течении, вследствие уменьшения интенсивности скачка уплотнения, которыиv вызывает отрыв трехмерного пограничного слоя.
Минимум давления вблизи преграды, обусловленный поперечным
перетеканием, для рассматриваемых режимов и конфигураций име­
ет место при Ыh < 4 (см. рис. 6.43). Градиенты давления в точках
отрыва S для преград, имеющих различную ширину Ь, одинаковы, а
размеры области отрыва меньше, чем в случае двухмерного отрыва.
Для торцевых преград конечной ширины при М00 = 2,8 . 3,3 уста­
новлено, что уменьшение длины lsтop по сравнению с ls nл в случае
двухмерного обтекания подчиняется зависимости, показанной на
рис. 6.44 (заштрихованная область определяет разброс эксперимен­
тальных данных). Наибольшее изменение lsтop/lsnл имеет место при
изменении Ь до h/b = 1 , дальнейшее уменьшение ширины прегра­
ды не приводит к существенным трансформациям характеристик
отрывного течения.
-
.
. .
pfpoo
у
3
Ыh = оо
Рис. 6.43. Распределение отно­
s
-5
-4
-3
-2 - 1 0 х/h
сительного давления в плоско­
сти симметрии течения перед
преградой при пространственном отрыве (М00 = 2,68)
6.3. Особенности отрывных течений
--
0,8
0,4
243
-- -- ·
1
1
1
>-----
�---�----�---�
о
1,0
0,5
h/b
Рис. 6.44. Зависимость относительной длины отрыва от отношения h/b
В третьих, при пространственном отрыве параметры отрывно­
го течения зависят от формы препятствия, в то время как при двух­
мерном отрыве его характеристики определяются только парамет­
рами невозмущенного потока (принцип «свободного взаимодей­
ствия»). Это объясняется неодинаковой интенсивностью поперечной
составляющей скорости потока (в направлении оси Oz), вызывае­
мой различием формы преград в плане.
Рассмотрим влияние формы лобовой части пространственных
преград на изменение конфигураций линий отрьmа. На рис. 6.45
приведены картины поверхностных линий тока и линий отрыва,
полученные нанесением масляных покрытий на обтекаемую поверхv
v
ность перед препятствиями торцевом, цилиндрическом и заостренной форм с различными углами стреловидности. Точка А каждой
из рассматриваемых разновидностеи преград совмещена с началом
координат xOz. Видно, что если выступающий элемент обладает
большой степенью затупления (см. рис. 6.45, в, варианты 1' и 2'),
то происходит отрыв пограничного слоя с образованием развитой
зоны отрывного течения, ограниченной линией S (см. рис. 6.45, 6,
линии 1 и 2). В этом случае наблюдается сильное взаимодействие
вязкого и невязкого потоков. Если же у преграды большой угол стре­
ловидности или острая передняя кромка (см. рис. 6.45, в, вариан­
ты 4' и 5'), то возможны либо отсутствие отрывного течения, либо
зарождающийся отрыв со слабым вязким взаимодействием (см.
рис. 6.45, 6, линии отрыва 4, 5).
Конфигурация границы линий отрыва развитого отрывного течения перед трехмерными препятствиями носит автомодельным
v
v
244
6. Теория отрывных течений
характер. В координатах zlbs и
xlls линии отрыва перед прегра­
дами различной формы доста­
,
,
точно хорошо группируются от­
,
носительно линии, описывающеися степеннои зависимостью
а
zlbs=xn. При этом геометричес­
х,мм
кие характеристики Zs и bs, оп­
40 ������
3
ределяющие размеры отрывной
зоны и параметры потока в ней
и необходимые для расчета аэро­
динамических коэффициентов,
v
находятся в прямои зависимос5
ти от формы лобовой поверхно­
-40 f--.,A-�-+�+-�+---J�-I
сти обтекаемой преграды.
На рис. 6.46 приведены экс­
20 40 z, мм
-40 -20 о
периментальные данные, позво­
б
�М� �М� �М� �М� �М� ляющие сравнить значения Zs и
Pmaxl (значение Pmaxl соответ­
ствует первому максимуму дав­
!
!
]'
ления в зоне отрыва) перед тор­
2'
3'
x=4so
цевой плоской (индекс «тор») и
х=100
в
цилиндрической (индекс «цил»)
Рис. 6.45. Линии тока (а) и отры­ поверхностями с различными
ва (6) при М00 = 3,3 перед торце­ радиусами кривизны r. Соглас­
вой (1'), цилиндрической (2'), клино­ но результатам экспериментов,
вой (З', 4') и вогнутой (5') преграда­ уменьшение радиуса кривизны
ми одинаковой ширины (в) (S, Q - приводит к снижению l
sИPmaxl·
соответственно линии отрыва пото­ Предельный случай (2rlb = 1)
ка и начала повышения давления)
соответствует обтеканию цилиндра.
Характерные профили распределения давления перед цилинд­
ром диаметром D и высотой h � оо показаны на рис. 6.47. Начало
координат расположено в центре основания цилиндра, а угол <р от­
считывают от линии симметрии. На основании экспериментальных
данных получено распределение отношения Ps(<p)/Ps(O) вдоль ли­
нии отрыва, которое представляет собой универсальную зависи­
мость в интервале О < <р < 90°:
Ps(<j>)/Ps( O) =- 1,650· 1 О-5(<р + 35°) 2+1,02.
М�
,
v
т !D Ai
А А
4' : 5' !
v
6.3. Особенности отрывных течений
lsцил
'
Pmaxl цил
lSтор Ртах1
тор
р!р"
Pmaxl цил
Pmaxlтop
2,0
<р = оо_
30 r
60 ..... /
1,0
lsтop
0,6 �-�-�--��
2
4
о
6 2rlb
5,0
Рис. 6.46. Параметры отрывного
течения перед преградами с различ­
ной формой лобовой поверхности
при м" = 2,8
J
,r
1
�
\
"-...
1
"\
<р = 90�
1,5
0,8 1-----4<'-- /s цил
245
) !/)
о
2,5
(/ - 0,5D)/D
Рис. 6.47. Распределение относи­
тельного давления перед цилиндром
бесконечно большой высоты при
м" = з,11
Длина зоны отрь.1ва перед цилиндрами при сверхзвуковых ско­
ростях зависит от его диаметра, высоты, толщины пограничного
слоя, скорости, кинематической вязкости, скорости звука, плотнос­
ти, уровня турбулентного трения и в безразмерной форме выража­
ется зависимостью
ls/D =f(h!D, D/8, ReD, Моо),
-
(6.2)
где ReD
число Рейнольдса, рассчитанное по скорости набегаю­
щего потока и характерному размеру D.
Можно предположить, что зависимость (6.2) пригодна и для пре­
град, имеющих отличную от цилиндрической форму. Эксперименты
показали, что для цилиндрических препятствий большой высоты, ког­
да h >> D и h > 8, отношение ls/D не зависит от h!D (рис. 6.48).
ls !D
1
Рис. 6.48. Зависимость относительном длины зоны отрыва перед цилиндрическим препятствием от отношения h/D:
1 - м" 3,5, о,42 < hlo < 4,11,
3 5 · 104 < ReD < 1 5 · 106· 2 - м
= 2,5, о,38 < hlo < 4,05, 5,65. 1 о4 <
v
=
'
'
t
< ReD < l,5 · 1 06
QO
2,0
�-_j_7""J:
:f=:=�
::
::J:
:j:=:
:�:
2
м"
1,0 i-++-+---+--
=
О
1
2
3
4
5
h!D
6. Теория отрывных течений
246
ISID
3
2
1
.___
_.__
_
_
2
____,
'--
_
_
3
--'
-
4
Мсо
Рис. 6.49. Зависимость относительной
длины зоны отрыва перед цилиндром от
числа М00 при h/D > 2,5
Кроме того, определено, что на длину зон отрыва незначительное
влияние оказывают число ReD и отношение D/8. Поэтому считают,
что ls/D = /(М00). С возрастанием числа М00 происходит близкое к
линейному увеличение относительной длины зоны отрыва (рис. 6.49).
Влияние температуры обтекаемой поверхности на отрыв
пограничного слоя
Изменение температуры стенки, с которой происходит отрыв
потока, влечет за собой изменение параметров отрывных течений.
Вблизи поверхности вследствие охлаждения стенки температура
уменьшается, что вызывает некоторое возрастание плотности по­
тока. Вместе с этим увеличивается кинетическая энергия частиц
газа в пограничном слое. Поэтому для отрыва потока требуются
большие возмущения, чем при обтекании теплоизолированной стен­
ки. Кроме того, в результате возросшей кинетической энергии в
пристеночном слое точка отрыва смещается ближе к месту распо­
ложения возмущающего фактора - преграды, уступа, падения скач­
ка уплотнения.
Рассмотрим некоторые особенности в распределении давления
и изменении геометрических параметров зон отрыва при принуди­
тельном охлаждении поверхности. Экспериментально установлено,
что при обтекании двухмерного уступа, перед которым образуется
турбулентная отрывная зона, уменьшение температуры стенки Тет
приводит к возрастанию давления в зоне отрыва и уменьшению ее
протяженности. Сравнение эпюр распределения давления при та­
ком взаимодействии потока с преградой для теплоизолированной 1
и охлаждаемой 2 стенок показано на рис. 6.50.
Эффект уменьшения влияния передающихся вверх по потоку
возмущении, характерным для холодном стенки, проявляется и при
обтекании как турбулентным, так и ламинарным потоками газа на­
клонных поверхностей с углом преграды
Представленные на
рис. 6.51 графики выражают явную зависимость безразмерной длиу
у
у
�пр·
6.3. Особенности отрывных течений
plp"
2
1
247
Р пр = 19,7°
3,0
2,5
М"> 1
2,0
1,5
у
/
Рпр
=
7,5о
х 1,0
о --�-�-�
0,4 0,6 0,8 Тст1Тr
Рис. 6.50. Распределение относительного
давления перед уступом при обтекании теп­
лоизолированной (1) и охлаждаемой (2) поверхностеи:
Рис. 6.51. Влияние ох­
лаждения обтекаемой
поверхности на длину
зоны отрыва перед наклоннои стенкои при
М00 = 2,9
xlh
-5
-4
-3
-2
-1
о
v
1
-
М00 = 2,9,
Tc/Tr = 1,0, Reli = 5,59· 104; 2
М00 = 2,89, Tc/Tr 0,581, Reli = 2,90· 104
=
v
-
v
ны зоны отрыва ls/81 для турбулентного режима течения от отно­
сительной температуры стенки TcтfTr при ее охлаждении. Для рас­
приведенные зависимости близки к лисмотренных углов
v
неиным.
�пр
Теплопередача в отрывных течениях
Теоретический и практический интерес представляет теплопере­
дача в отрывных течениях, особенно с позиции теплозащиты от ин­
тенсивного нагрева, возникающего при гиперзвуковых скоростях дви­
жения возвращаемых в плотные слои атмосферы космических ЛА.
Имеющиеся экспериментальные данные позволяют оценить ко­
эффициенты теплопередачи в простейших случаях отрыва потока,
возникающего перед плоскими ступеньками и кавернои, характерными элементами надстроек на поверхности ЛА. На рис. 6.52 по­
казано изменение безразмерного коэффициента теплоотдачи axfax0
(где ах0 - местный коэффициент теплоотдачи при отсутствии пре­
грады, вызывающей отрыв потока) в окрестностях плоского усту­
па, обтекаемого невозмущенным потоком со сверхзвуковой и ги­
перзвуковой скоростями. Местоположение отрыва потока соответ­
ствует координате x/h z 4 (I
область отрыва потока). Результаты
экспериментов показывают, что характерным для отрыва турбулентv
-
6. Теория отрывных течений
248
х ---+
l, 1----1.t�:.P<,i:�:::,,.. """
о
:1, :· м 1,881�-1
О -2 -4 x/h.
',
4
2
00=
Рис. 6.52. Изменение относительного коэффициента
теплоотдачи в зоне отрывного течения
ного потока является существование двух максимумов коэффици­
ента теплоотдачи.
Первый максимум находится в пределах области 1. Положение
его практически не меняется с ростом числа М,,.,, тогда как относи­
тельный коэффициент теплоотдачи
значительно возрастает.
Так, при М00 = 8,5 значение
в области отрыва более чем в
3 раза превосходит соответствующее значение при обтекании пла­
стинки. Второй максимум коэффициента теплоотдачи наблюдается
вблизи уступа в области присоединения (см. рис. 6.52, область 11) и
объясняется наличием критической точки на поверхности. По сво­
ему значению он превосходит первый максимум. За областью при­
соединения после разворота потока до горизонтального направле­
ния наблюдается резкое уменьшение коэффициента теплоотдачи,
что обусловлено переходом параметров течения к невозмущенно­
му состоянию.
Рассмотрим распределение тепловых потоков при обтекании ка­
верны. Вся каверна будет находиться в области отрывного течения,
если ее продольный размер L будет меньше суммы размеров двух
отрывных зон за и перед уступами, образующими эту каверну. На
рис. 6.53 представлено распределение относительных коэффици­
ента теплоотдачи
и теплового потока q!q0 (где q0 - тепло­
вой поток к пластине без выемки для невозмущенного потока) вдоль
нижней стенки открытой каверны при полностью отрывном турбу­
лентном режиме обтекания для различных чисел М00•
axfaxo
axfax0
axfaxo
249
6.3. Особенности отрывных течений
qlqo
у
1 1
11 1
11 1
,,11
,
,
��,J"'_'
_
_
'
L
х
а
1,0 t----r- --i- =:::::й't/1 1,0
0,5
0,5
4
о
0,2 0,4 0,6 0,8 х/L
-
��-�-�-��
О
Рис. 6.53. Распределение относительных теплового потока (1, 2) и коэф­
фициента теплоотдачи (3, 4) вдоль нижней стенки каверны:
L/h = 2 - то же при наличии наклонной стенки ав; 3 - М,,. =
1 - М,,. =
Llh
(замкнутая каверна); 4 - М00
Llh
2,9, =5;30
6,3,
= 6,3, = 5
axfaxo
axfax0
За точкой отрыва значения
и q/q0 меньше, чем на плас­
тине при тех же условиях обтекания. С приближением к задней
и q/q0 возрастают (кривые 1 и 4) и
стенке каверны значения
непосредственно перед стенкой достигают максимума. Если изме­
нить условия присоединения, например наклонить заднюю стенку
аЬ каверны под углом < 90°, то можно уменьшить тепловой поток
(кривая 2) в этой области. К такому же эффекту приводит увеличение толщины пограничного слоя перед кавернои.
При сложном обтекании каверны, соответствующем течению в
замкнутой полости, когда поток расширяется, а затем присоединя­
ется к нижней стенке и отрывается при приближении к лежащему
вниз по потоку заднему торцу каверны, относительный коэффици­ О.
хlО.х о
ент теплоотдачи к нижнеи стенМоо=
ке значительно выше, чем для
Моо= ,1
случаев обтекания открытой ка­
,...,...._
верны (кривая 3 на рис. 6.53).
При обтекании обратных ус­
у .
f---l+IЧ-,,"'
м
,"
тупов значение относительного
ь�коэффициента теплоотдачи за
1--1-донным срезом
< 1 и по­
О'
х
вышается в области присоедине­
xlh
ния потока (рис. 6.54). Значение
зависит от отношения тол­ Рис. 6.54. Изменение относитель­
щины пограничного слоя перед ного коэффициента теплоотдачи в
отрывом к высоте уступа и в об­ зоне отрывного течения за обратщем случае изменяется в преденым уступом
�
�
2,
9
3,
5
•1,0.2 с=r:���
2
�
ь
0,8
0,6
0,4
о 3 6 9 12 15
00
-·
axfaxo
axfax0
11•
'1
,
"
250
6. Теория отрывных течений
лах 0,2".0,6. Вниз по потоку значение axfax0 увеличивается по­
добно давлению. Максимум достигается ниже по потоку за точ­
кой присоединения, причем его значение практически одинаково
как для турбулентного, так и для ламинарного потоков и слабо
зависит от числа М00•
Следует отметить, что изменение относительного коэффициен­
та теплоотдачи за уступом при дозвуковом течении качественно
сходно с его изменением в сверхзвуковом потоке.
Гистерезис отрывных течений
При движении ЛА происходит непрерывное изменение как ки­
нематических траекторных параметров (скорость полета, углы ата­
ки и скольжения), так и параметров обтекания (давление, плотность,
температура). На структуру и параметры отрывных течений суще­
ственным образом влияют не только указанные величины, но и ха­
рактер их изменения (уменьшение или увеличение). Это означает,
что при одной и той же совокупности параметров возможны раз­
личные аэродинамические характеристики ЛА. Одной из причин
этого является аэродинамический гистерезис, обусловленный пе­
рестройкой структуры обтекания. Вследствие относительно малого
времени перестройки, сопровождающейся резким изменением дав­
ления на поверхности, всегда возникают ударные нагрузки. Это не­
обходимо учитывать при прочностных расчетах ЛА.
Наиболее ярко аэродинамический гистерезис проявляется при
трансзвуковых скоростях обтекания тел с изломами образующих
(комбинации цилиндрических и конических поверхностей, тела вра­
щения с сегментными и торцевыми затуплениями или со стержне­
выми надстройками), когда изменяется хотя бы один из следую­
щих параметров: скорость невозмущенного потока, угол атаки или
число Рейнольдса.
Обтекание затупленного цилиндрического тела, продольная ось
которого направлена вдоль потока, как при дозвуковых, так и при
сверхзвуковых скоростях сопровождается образованием зон отрыв­
ных течений за лобовой частью. С изменением М00 структуры об­
текания трансформируются. При малых дозвуковых скоростях вбли­
зи точки излома поток отрывается с возникновением незамкнутой
на поверхности тела зоны отрывного течения 1 (рис. 6.55). Этому
режиму соответствует структура I и участок аб на кривой измене­
ния давления в точке А.
По мере увеличения числа М00 в области дозвуковых скоростей
зона отрывного течения 1 прижимается к цилиндрической поверх-
6.3. Особенности отрывных течений
pfpoo
а"""б - А -·- II
\1 1·
-
�
А -· . I
-
1
0,1
0,7
\\
-
";./"
./'- ,,,,., _, --
0,2 - ��==
1о
-
·.
,
0,4
0,3 -
25 1
t
>--2
\в
t)-
А -· 7
'\'t-- 6
0,9
1
А--- --. 11
-
-
ж
0,8
4 3
- -
v
1,0
)
3
-
LJ .,. г
А -·-
-
'
-
.
'
,
'
IV д
1,1
2
4 3
'х_;/,,;·
-
А -· - IV
·
'�'-.
-
1,2
е
1,3
М оо
Рис. 6.55. Структуры обтекания и изменение давления на цилиндри­
ческой поверхности вблизи торца в зависимости от числа М00
ности, ее поперечные размеры и давление в ней уменьшаются (струк­
тура II, участок бв). Дальнейший рост скорости вызьmает изменение
во внешней части структуры обтекания. Перед телом и у внешней
границы зоны отрыва появляются скачки уплотнения 2 и 3, но не­
замкнутость отрывного течения 1 сохраняется (структура III). Дав­
ление за точкой излома образующей выравнивается (участок вг).
Почти мгновенная перестройка структуры обтекания происхо­
дит при некотором критическом числе М00= Мкр l "" 1,14 (участок гд),
когда вместо развитого отрывного течения, замыкающегося на след,
появляется локальная зона отрыва 4 в носовой части цилиндра. Это
сопровождается образованием вблизи обтекаемой поверхности
системы скачков уплотнения 3 и 5, обусловленных присоединени­
ем локального отрывного течения и торможением внешнего пото­
ка. На рис. 6.55 этому режиму соответствует структура IV, называ­
емая сверхзвуковой. Давление в зоне отрыва 4 минимально (учас­
ток де). Дальнейшее увеличение скорости в невозмущенном потоке
не изменяет структуру обтекания ЛА
С уменьшением числа М00 до М00 1 тип структуры обтекания
сохраняется, поскольку отсутствует возмущающий фактор, приво­
дящий к перестройке структуры потока. Однако при М00 < 1 такой
фактор появляется. Известно, что торможение сверхзвукового по­
тока происходит через скачок уплотнения. Если скорость обтекаv
ния становится ниже звуковом, то местное сверхзвуковое течение
=
6. Теория отрывных течений
252
.. ..
".
.
.
.. .
�.···.
: ·. .". .· ; ·. ·.
. .
. ..
. ..
·:
.
.� "... .. .. ".. ... .
... ... . ..
.
·.:.: ::·.."�::·_'. '.·. . " .· .
. ",. .. . . . ."
" . ...
· . : . ;·. :
.
.
. . ..-:... ... . - ..". . .. ..
. . . . .... .· . :.
. . . . ..
. .. ..
.
•
�
;
·::: .
. "-
,,
:
:.:"..".:·:".":
;
••
: "
�. .
1
"
'
. \
.
;
•
'
=
.
·
"
·"
·
,
••
• • •
·
.
:
"
.
.
.
".
•
.
.
••
.
•
;
.
·
:: .
"
б
а
....
Рис. 6.56. Теневые фотографии структуры обтекания затупленного тела
трансзвуковым потоком при числе Мсо = 1,0 (а) и 1,2 (б)
переходит в дозвуковое через прямой скачок уплотнения 6 (струк­
тура V). Взаимодействие этого скачка уплотнения с пограничным
слоем на поверхности тела приводит к его отрыву, начало которого
по мере уменьшения скорости приближается к носовой части. В
момент слияния циркуляционной зоны 4 и зоны отрыва 7, вызван­
ной скачком 6, структура течения перестраивается, давление резко
возрастает (участок жб) и отрыв, начинающийся в месте излома
образующей, распространяется на всю поверхность цилиндра. Пеv
v
рестроика к такои структуре течения осуществляется при критическом числе М00 = Мкр2 "" 0,9, меньшем числа Мкр l. Представление
о структурах течения дают теневые фотографии (рис. 6.56).
Таким образом, в диапазоне М00 = 0,9... 1,14 имеют место неоди­
наковые структуры обтекания тела, поскольку перестройка струк­
тур течения при увеличении и уменьшении числа М00 происходит
из различного начального состояния системы, для перехода из ко­
торого требуется дополнительная энергия, забираемая из набегаю­
щего потока.
Неоднозначность структур течения в диапазоне малых сверх­
звуковых скоростей М00 = 1 ... 1 , 13 проявляется также с изменением
угла атаки цилиндрического тела. На рис. 6.57 показана зависимость
коэффициента момента тангажа
полученная экспериментально при увеличении и уменьшении угла атаки тела цилиндрическом
формы с сегментальным затуплением, обтекаемого сверхзвуковым
потоком воздуха с М00 = 1 , 1 . Здесь же для каждого диапазона изме-
mz(a),
v
6.3. Особенности отрывных течений
253
-'v з.:-·
z J • IV
\
�""
i._:
:==:
a
=
�
-4:
;;
•
;:
=+
:
6
:;=:
==::::;
:--.
::::'; ·�... ---1�<Х��
кр�
l ---1-------1
о
-
-
-
�-
V
о
5
10
'
15
а, град
Рис. 6.57. Зависимость коэффициента момента тангажа тz
от угла атаки а при l/dm = 2,25 и М00 = 1,1
нения угла атаки изображены соответствующие структуры обтека­
ния. Видно, что для нулевых и малых значений а имеет место струк­
тура IV с головным скачком уплотнения 1, передней (кольцевой)
локальной зоной отрыва 2 и скачком 3 вторичного сжатия потока.
Увеличение угла атаки до 12° незначительно изменяет моментную
характеристику (участок абв), структура обтекания остается преж­
ней. При достижении некоторого критического значения угла ата­
ки акрl> равного для рассматриваемого случая обтекания 12°, про­
исходит резкое изменение коэффициента момента mz (участок вг),
что обусловлено почти мгновенной перестройкой структуры обте­
кания. Объясняется это следующими причинами. Повышенное давпение с наветренном стороны распространяется на всю цилиндрическую поверхность, включая и подветренную. Для углов атаки
а < <Х.крl распространяющиеся возмущения не способны вызвагь от­
рыв с подветренной стороны. Если а > акр \ • то происходит слияние
локальной отрывной зоны 2 с отрывом на подветренной поверхнос­
ти. Благодаря существованию кольцевого отрывного течения возму­
щения распространяются на наветренную поверхность, что приво­
дит к образованию развитого отрывного течения 4 и 5 вокруг всей
поверхности (структура V). Скачок 6 вторичного сжатия становится несимметричным и с наветренном стороны прижимается к внешней границе области отрыва 5. Дальнейшее увеличение угла атаки
а > акрl изменяет лишь геометрические параметры зон отрыва. На
участке гд зависимость mz(а) остается практически линейной.
v
v
6. Теория отрывных течений
254
При уменьшении угла атаки относительно исходного состояния,
соответствующего структуре течения V, зависимость коэффициен­
та момента
в диапазоне а. до а.кр2 остается непрерывной (учас­
ток де). До этих же значений угла атаки сохраняется неизменным и
тип структуры обтекания V'. Угол а.кр2 является вторым критичес­
ким углом атаки, приводящим к обратной перестройке отрывного
обтекания в структуре течения с локальными зонами отрыва (струк­
тура IV'). Кривая зависимости
из точки е скачком переходит
в точку б, а при дальнейшем уменьшении а. до нуля изменяется в
соответствии с участком ба. Двузначность аэродинамического мо­
мента проявляется при углах атаки а. = 5" 1 2° Этот диапазон из­
менения угла а. зависит также от числа Моо, а природа возникнове­
ния гистерезиса такая же, как в случае увеличения и уменьшения
скорости невозмущенного потока.
Гистерезисные явления наблюдаются при изменении не только
числа М00 и угла а., но и таких параметров, как число Рейнольдса,
геометрические размеры выступающих элементов. На рис. 6.58 при­
веден пример гистерезиса характеристики су при изменении числа
диаметр
Red = V00d/v00 (d
сУ
тела) при сверхзвуковом обтекаIV
нии сегментно-конического тела
вращения.
0,221-Если тело установлено под
углом атаки и число Red мало,
то поток отрывается в области
0,18
-д
сопряжения сферической и ко­
Rекр2
нической поверхностей, образуя
i
� t
0,14 l----l--il-----1-----f-----I развитую зону отрывного тече­
ния (структура V). Этот режим
а -6
соответствует ламинарному от­
в
рыву. Коэффициент нормальной
0,10 а
силы су изменяется в соответМоо
ствии с участком нижнеи ветви
абв
кривой на рис. 6.58. С уве­
1,2 Red 10-6 личением числа Рейнольдса по­
0,8
0,4
Рис. 6.58. Зависимость коэффициен­ граничный слой турбулизирует­
та нормальной силы су от числа Red ся и его энергия становится до­
при сверхзвуковом обтекании сегмент­ статочной, чтобы преодолеть
но-конического тела при М00 = 1,8; возмущения, обусловленные уг­
лом атаки. Структура течения
а = 9°·' Z/d = 1 'о·' R3/d= 1 ' 18
mz
mz(a.)
.
.
-
-
�_.:._
е�====��г;:....�.._
-
-
-
v
·
6.4. Определение паралtетров в характерных областях
255
при некотором критическом числе Reкp l перестраивается к типу IV
с образованием локальных зон отрыва. Нормальная сила при этом
резко возрастает. Последующее увеличение числа Red не изменяет
структуры течения. Обратная перестройка обтекания происходит
при числах Rекр2 < Reкpl • что также определяется различным тре­
буемым уровнем энергии для выведения системы с развитым от­
рывом в состояние с локальным отрывом, и наоборот.
Рассмотренные случаи возникновения гистерезисных явлений
соответствовали стационарным режимам обтекания. В условиях не­
стационарных течений (например, при дополнительных колебани­
ях) следует учитывать влияние частоты, амплитуды и положения
центра вращения ЛА на его аэродинамические характеристики.
6.4. Определение параметров в характерных областях
отрывных течении газа
�
Течение в области отрыва
Определить параметры отрывных течений, включая нахождение точки отрыва, положение разделяющем линии тока и характеристик потока в области присоединения, можно в результате чис­
ленных решений соответствующих систем уравнений. Однако слож­
ность структуры течения в области отрыва (в особенности в
диапазоне транс- и сверхзвуковых скоростей) вызывает большие ма­
тематические трудности, не позволяющие пока широко использо­
вать такой подход при решении практических задач. Это и опреде­
лило появление значительного количества приближенных методов,
основанных на применении эмпирических и полуэмпирических за�
висимостеи.
Ламинарный пограничный слой при дозвуковом отрыве более
доступен для математического анализа, чем турбулентный, и ха­
рактеристики отрывных течений могут быть найдены с большей
точностью.
Одним из первых методов определения места зарождения от­
рыва несжимаемого потока был метод Польгаузена, который по­
служил основой для других, более эффективных методов. Цель
его - нахождение критериальной зависимости, соответствующей
условиям отрыва. В основе метода лежит выбор многочлена, ап­
проксимирующего профиль скоростей в пограничном слое и удов­
летворяющего определенным граничным условиям.
�
6. Теория отрывных течений
256
В общем случае изменение скорости в пограничном слое мож­
но представить полиномом вида
Vx/V0 =ау + Ь у2 +су3 +dy4,
(6.3)
а, Ь, с, d
где у = у/'6;
- коэффициенты, определяемые из граничных условии.
На обтекаемой поверхности, когда
О, скорость Vx VY О.
Тогда из уравнения движения, записанного для модели двухмерно­
го вязкого течения, следует:
v
= =
у=
2Vx .!. др
д
дVо
v 2 =
-Vo
ду р дх = дх
На внешней границе пограничного слоя, когда
= V0 и производные
у = '6, скорость Vx =
Этим граничным условиям соответствуют следующие значения ко­
эффициентов:
1
_
2
6-/..
,
Л,·
_
+
/..
,
4-Л
Ь
с
а= 6 ' = 2' = 2 ' d = 6 '
-
-
'62 дVх
/.., = v
где
-
дх
-
-
-
безразмерный параметр.
Подставляя эти значения в уравнение (6.3), получаем
12+/.., у_ - -А -у 2 - 4 - Л у-з + 6-/.., у_4
2
2
6
vo 6
Vx
--
В точке отрыва должно выполняться условие
х
дv
ду
у=О
= о, для которого л"\s = -12.
'tст
=
О, т. е.
Для определения координаты xs точки отрыва, отсчитываемой
от начала зарождения пограничного слоя, необходимо решить урав­
нение
(6.4)
Более точную зависимость, основанную на результатах числен­
ных расчетов, предложил Л.Г. Лойцянский (см. гл. 5). С помощью
6. 4. Определение пара.,иетров в характерных областях
257
выражения (5.43) можно определить условия зарождения отрыва
на криволинейной поверхности, например на профиле.
Турбулентный пограничный слой не поддается строгому тео­
ретическому расчету, поскольку механизм турбулентности полно­
стью еще не изучен. Поэтому критерии отрыва основаны, как пра­
вило, на экспериментальных данных. Для определения координа­
ты точки отрыва несжимаемого двухмерного турбулентного потока
используют эмпирическую формулу для местного коэффициента
трения:
Cjx = 0,246· 10-0,678HReo**-0,268'
(6.5)
где Н = 'f:J */'(:, **.
Положение точки отрыва находят сле­
л --�
дующим образом. По соотношению (6.5)
вычисляют зависимость cft от координа­
ты х (участок АВ на рис. 6.59). Путем эк­
о
Х5 ' Х
страполяции cft (участок ВС) получают
с
значение xs, для которого cft = О, что соот­
Рис. 6.59. Изменение
ветствует точке отрыва потока.
местного коэффициента
Большой интерес представляет полуэм- трения cfx перед точкой
пирическии подход к определению давлеотрыва
ния в областях как ламинарного, так и тур­
булентного отрыва в сверхзвуковом потоке.
Уравнение движения газа в пограничном слое до точки отрыва
в направлении оси Ох (плоское течение) имеет вид
v
дV
дV
х
'
+
V) У =-_!_ др +.!. д't '
Vx
ду р дх р ду
дх
а на обтекаемой поверхности (у = О, Vx = VY = О) д'tст
др
дх у=О ду
_
(6.6)
Для области взаимодействия принимают простейшую модель
обтекания «эффективного» тела с границей 1 и высотой сечения,
*
равной толщине вытеснения 'f:J (x) (рис. 6.60). Полагая кривизну это­
го тела небольшой (угол а мал), поток у его поверхности считают
слабовозмущенным и применяют известную формулу для коэф­
фициента давления на пластине, обтекаемой сверхзвуковым ли­
*
неаризованным потоком под углом а "" d'f:> /d.x:
258
6. Теория отрывных течений
р - р1 =
=
р
q1
2� d o* ' (6.7)
�мf - 1 dx
где М1, q1 - соответственно чис­
ло Маха и скоростной напор пе­
ред областью взаимодействия;
� - коэффициент, учитывающий
вызванную волнами сжатия 2 не­
изоэнтропичность течения, � < 1.
х
l
Экспериментальные исследо­
х
вания показали, что перепад дав­
ления PsfP1 или Pp!P i в области
Рис. 6.60. Течение в окрестностях
отрыва зависит только от пара­
точки отрыва S (х1 - расстояние
метров набегающего потока и на
от начала пограничного слоя до
области взаимодействия длиной !) течении в области взаимодей­
ствия практически не сказываются внешние условия, т. е. его па­
раметры являются функцией только местной координаты (см.
рис. 6.60):
х = (x - x1)/l.
Используя это условие, можно получить недостающие уравнения:
др = Py=o -P1 f1(x);
х - х1
дх у=О
(6.8)
*
о, f (х-)·' Ру=О - Р1 = f4(x),
3
х
- х,
р - р,
(6.9)
где Ру=о - давление на обтекаемой поверхности; /1 (х), /2 (х),
/3 (х ), /4 (х) - неизвестные функции; 'tcтl - напряжение трения
в начале области взаимодействия.
Подставляя уравнения (6.8) в (6.6), а первое уравнение (6.6) в (6.7), перемножая левые и правые части полученных двух выра­
жений, а также учитывая вторые уравнения (6.9), имеем
1 Ру=О - Р1
Ру=О - Р1
Р
Р
(х)
fi
х - х1
р - Р1
ql
_
6. 4. Определение паршtетров в характерных областях
Ру=О
- Р1
q,
2
Ру=О
=
f2 (x)fз(i)f4(x)�'tc 1 .
т
f1 (x )q1 Jм f -1
259
(6.10)
Заменяя в (6.1 О) неизвестные функции и коэффициент � одной функ­
цией F(x) = �f2 (x)f3(x )f4 (х)�/ f1 (х ), получаем
.J2 . с112
fx
-= = Ру О F(x)
2
1/4 '
1
(М 1 )
(6.11)
-
cft
где местный коэффициент трения
= 'r.cтJ/q1 соответственно для
ламинарного и турбулентного пограничных слоев определяется со­
отношениями
сfхл
= 0,646Rex?'5;
(6.12)
(6.13)
сfхт = О, 0578 Re"'J'2 ,
V1x1/v 1 - число Рейнольдса в начале области
в которых Rex 1 =
взаимодействия.
По данным замера давлений на обтекаемой поверхности в пре­
делах области взаимодействия с помощью соотношений (6.11)-(6.13)
были найдены значения F(x) для ламинарного и турбулентного
пограничных слоев, которые для конца области взаимодействия
оказались равными соответственно Fл(х) = 1,47 и Fт (х) = 6,0.
Это позволило получить формулы для коэффициента давления в
области «плато» при ламинарном и турбулентном отрыве соответ­
ственно:
рр -л
рр
Зная зависимости
пад давления
т
=
1,69
Re�4 ( Mf - 1)1/4
2,04
.
'
.
1
14
(Mf - 1)
-------
Re�10
(6.14)
(6.15)
(6.14) и (6.15), можно найти критический пере-
6. Теория отрывных течений
260
Рр
Р1
--'- =
kMf
Рр
---'-+
1
2
v
в отрывных течениях по параметрам потока перед точкои отрыва.
Это дает возможность, используя зависимости теории скачков уп­
лотнения, по значениям k, М1,рр/р1 определять углы наклона скач­
ка еск и поворота потока �. а также число мр за ним.
PpfP1
4
1,0
2,0
3,0
4,0
Рис. 6.61. Изменение давления в области отрывного течения в зависимости
от числа Маха:
1
-
расчет по формуле
(6.14);
2 - то
же
(6.16);
3
-
то же
(6.15)
Для приближенных расчетов турбулентного сверхзвукового
плоского отрывного течения можно применять зависимость
Рр/Р1 = 0,93 + 0,55М1,
(6.16)
не учитывающую сравнительно слабое влияние числа Rex 1 и полу­
ченную обобщением многих экспериментальных исследований при
М1 = 2 4. Результаты расчетов по формулам (6.14)-(6.16) приведе­
ны на рис. 6.61.
...
Течение в области смешения
Область смешения характеризуется, как правило, постоянным
давлением. Расчет течения в ней связан с определением профиля
скорости в вязком слое, а также положения разделяющей линии
тока в пространстве. Решение задачи о развитии оторвавшегося по­
граничного слоя в области смешения может быть выполнено либо
на основе численного интегрирования уравнении пограничного слоя
при соответствующих граничных условиях, либо упрощено путем
v
6. 4. Определение паршtетров в характерных областях
261
сведения уравнений пограничного слоя к уравнениям, имеющим
аналитические решения, либо, наконец, с помощью простых ин­
тегральных методов.
Оторвавшийся пограничный слой по своим характеристикам бли­
зок к струйному течению, для которого в первом приближении пола­
гают, что безразмерный профиль продольной составляющей осред­
ненной скорости является универсальным для широкого класса те­
чений. Для описания универсальных профилей скорости подбирают
приближенные аналитические зависимости. В работах Г. Шлихтин­
га впервые был получен профиль скорости для зоны смешения в
виде
- У з12 )2,
1
(1
=
<р =
VxfVo
где у
безразмерная координата, у = (у - Yr.p=0)/b; Ь ширина
струйного слоя смешения (рис. 6.62).
Эта зависимость удовлетворяет следующим условиям на гра­
ницах:
у = О, <р = О при у = У1р=о;
-
у
= 1 , <р = 1 при 1 у 1 + 1уq>=O1 = Ь.
В соответствии с интегральным методом, разработанным
Г.Н. Абрамовичем, зависимость для поперечного размера слоя сме­
шения представляется соотношением dЬ/d.x = const, или Ь = сх, т. е.
его толщина пропорциональна удалению от начального сечения. Ко­
эффициент с определяют экспериментально.
Рассмотрим аналитическое решение задачи о смешении потоков
в области отрыва. Перед точкой
отрыва имеет место установиву; У
шийся поток сжимаемого газа с
турбулентным пограничным сло­
Yq> = 1
Ут
Vx=:
А1-'q> = 1
ем толщиной б. Параметры ото­
о рвавшегося потока, например за
х
точкой излома образующей в об­
х
ласти смешения (см. рис. 6.62),
имеют следующие значения: Рр•
= V0, Рр• ТР. Требуется опре­
Yq> = О
делить профиль скорости Vx в об­
ласти смешения и положение его Рис. 6.62. Система координат, ис­
относительно свободной границы пользуемая для расчета смешения
двухмерных струй
невязкого потока.
-
VP
�;/-
.-
262
6. Теория отрывных течений
При решении дифференциальных уравнений в частных произ­
водных, описывающих свободный вязкий слой, целесообразно ис­
пользовать некоторую вспомогательную систему координат хОу,
ось Ох которой направлена по линии тока (см. рис. 6.62). Уравне­
ние движения с учетом вязкости имеет вид
дV
дV
др + ..!.. (h.
х
Vx дх Vу дух -..!_р дх
(6.17)
р ду
Упростим выражение (6.17), считая течение слабовозмущенным.
Для этого запишем составляющие скорости Vx, Vy в виде Vx = V0 + v;,
Vy = v;, где v;, v; - скорости в возмущенном течении, малые по
сравнению со скоростью V0. Принимая также для области смеше­
ния р = const, вместо уравнения (6.17) получаем
+
=
Отбрасывая в этом уравнении члены второго порядка малости, находим
(6.18)
Полагая, что процесс смешения изобарический и теплообмен от­
сутствует, а число Pr = 1, вместо (6.18) имеем упрощенное уравне­
ние движения (турбулентный аналог уравнения Озеена):
дVх µт д2Vх
(6.19)
дх vo ду2 '
где µт = 1/ (2cr2 )xoV0/(x) - турбулентная вязкость, определяемая
по упрощенной формуле Прандтля для свободной турбулентности;
cr - коэффициент смешения; f(x) - некоторая функция коорди­
наты х = х/'8 (/(х) -7 1 при х -7 )
Введем безразмерные параметры <р = Vx/V0 и у = у/'8 и преоб­
разуем уравнение (6.19) к новым переменным. Заменив первую и
вторую производные соответственно выражениями
оо
.
дVх = дVх дх = V0 д<р
дх дх дх 8 дх
д2vх - Vод2<р -- v, д д<р ду - Vo д2<р
ду2 ду2 о ду ду ду 02 ду2 '
'
6. 4. Определение пара.,иетров в характерных областях
получим
д<р = :х f (х) д2 <р
дх 2cr2 ду 2 ·
Используя новую переменную
уравнение (6.20) к виду
х
1
=
�
J х f (i)dX,
2
2cr о
263
(6.20)
можно привести
(6.21)
которое решается при следующих граничных условиях:
при х = О
<р(О, у) = О, - оо < у < О;
<р(О, у) = <р2 , О < у < 1;
<р(О, у) = 1, 1 < у < + оо;
при � > О
<р(�,-=) � О;
<р(�, +оо) � О,
-
безразмерная скорость в пограничном слое перед точкой
где <р2
отрыва.
Решением уравнения (6.21) будет выражение
1
1
+erf(1
<p(�,y) =-[l
11p)J+
.Jn
1
2
7t
где
2
-z
11
J <р2 ,., e z dz, (6.22)
''Р
ТJ
11 = У11Р ; 11Р = 1/(2�) - параметр положения.
Если 11р = О (т. е. � � оо), то при расчетах второе слагаемое в
ч-чр
уравнении (6.22) можно не учитывать, поскольку f(x) � 1 (х � оо),
а следовагельно, о � О. Поэтому для течений, имеющих перед точкой
отрыва малую толщину пограничного слоя, справедливо равенство
<р = (1+erf 11)/2.
Учитывая принятые допущения, получаем
(6.23)
264
6.
Теория отрывных течений
т. е. при 8 --7 О
(6.24)
Т) = сrу/х.
При Т) = О и у = О безразмерная скорость <р = 0,5, т. е. ось Ох
условно совпадает с линией тока, на которой Vx = V0/2.
Для нахождения положения оси Ох вводят вспомогательную си­
стему координат ОХУ, ось ОХ которой направлена вдоль границы
невязкой струи (см. рис. 6.62), определяемой как некоторая гипоте­
тическая струя, движущаяся со скоростью V0 = VP и расширяющая­
ся при том же давлении Рр, что и действительная (вязкая) струя.
Координаты х, у и Х, У связаны между собой соотношениями
х = Х;
У= у-у"1(х).
Для определения у"1(х) составим уравнение количества движения
вдоль оси Ох (ут(О) = О):
о
о
fРр vffcty - fРр v;2cty =pp vffyч>=1 -
o
о
. (6.25)
-00
В левой части уравнения (6.25) записано количество движения,
теряемое в связи с наличием пограничного слоя, в правой - вслед­
ствие процесса смешения. Приведем уравнение (6.25) к виду, удобному для вычислении:
v
о
о
Yq>=t
у
2
2
'2
2
2
V
Рр р У"'· = Рр р Yq>=I - f РV dУ + f Р V dУ - f Рр Vр dу.
-00
х
о
х
о
К правой части этого уравнения прибавим и вычтем
О
о
Jр v;vpdy:
о
у
2
2
2
V
1
=
Рр р У п Рр p2 Yq>=I - f Р V dу + f Р V' dу Yq>=I
-оо
х
о
о
о
о
-оо
о
о
х
- fРр vffcty + f pv;vpdy - fpv;vpdy,
или
-оо
6. 4. Определение пара.лtетров в характерных областях
о
о
о
о
265
Р v; dy .
- Jpv;cvp - v;)cty+ JРр v; 1- -V
Отсюда
P
2
V
р хd J-с рР V У
Ут - Yq>=I
р
о
Yq>=I
о
или
Рр
о
'
V'
__.:r_
dy + J 1 - J:_ dy '
Рр VP
о
р vx
- JvP
Рр
о
2
vx
р
Ут = Yq>=l
J V dy - (o + о ).
= Рµ P
Yq>=I
*
**
-
Принимая 11 =ау/х и о � О, получаем
'llq>=I
2х
V
р
11rn -- 11q>=i - J - 2 d11·
Рр vP
Умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения
на плотность заторможенного потока р0:
2
'llq>=I
V
Ро
Р х d
(6.26)
=11q>=l
J
11,
11rn
2
Pp -co Po Vp
и определим отношение плотностей (при условии Рр =р(11) = const):
2
V
Р
Ро = Ро т = Ро 1 _ P
= Ро (1-cr;);
V�ax Рр
Рр
Рр То
Рр
-со
-
Ро
Ро = -
р
р
=
Ро ( 1 Рр
cr;<p2 ),
где Crp - число Крокко, Crp = V/Vmax·
С учетом проведенных преобразований выражение (6.26) при­
мет вид
266
6. Теория отрывных течений
�111 между осями Ох и ОХ определяется соотношением
Угол
�1п = arctg У111
х111
= arctg
11111
cr
""
11 111 .
cr
Значение параметра cr, характеризующего скорость нарастания
толщины вихревого слоя и определяемого по профилю скорости на
оси смешения, для несжимаемого газа равно 12. Для учета сжимае­
мости используют поправку, зависящую от числа М на свободной
границе струи, например cr = 1 2 + 2,758М.
Как показали исследования, профиль скорости вида (6.22) опи­
сывает не только турбулентное, но и ламинарное смешение. Разли­
чие заключается лишь в определении коэффициента cr, входящего
в формулу (6.24).
Ширину области смешения, как правило, вычисляют по формуле
Ь = 211�/cr,
в которой принимают 11R = ±1 ,530 (вместо ±оо), что отвечает значе­
ниям безразмерной скорости на верхней и нижней границах облас­
ти смешения <р = 0,9845 и 0,0154 соответственно.
К числу основных характеристик зоны смешения следует отнес­
ти скорость на разделяющей линии тока Vрлт и положение этой ли­
нии относительно рассматриваемой системы координат. В силу пред­
положения об автомодельности задачи относительная скорость <i>рлт
не зависит от расстояния до начального сечения. Положение разде­
ляющей линии тока определяют из следующего условия: для уста­
новившегося процесса масса газа, циркулирующего в зоне отрыв­
ного течения, постоянна. Это означает, что масса газа, попадающего
из невозмущенного потока в зону смешения, должна быть равна массе
газа, проходящего выше разделяющеи линии тока, т. е. покидающего
застойную зону (рис. 6.63).
у v.
Считая, что перед точкой
·. . Р. .
.. .
отрыва пограничный слой име­
.. . . . .
.. . . . . .
ет бесконечно малую толщину,
... . .
.
и пренебрегая силой трения на
- ---х
- -s
внешней границе зоны смеше­
- ---- --ния, получаем для безградиент­
-= const) изме­
ного течения
'
нение количества движения
Рис. 6.63. Схема течения в области газа в единицу времени равно
смешения
нулю:
�
.
.
.
.
"
.
.
.
.
.
(рР
6. 4. Определение парш.tетров в характерных областях
mr\Vp -
Yq>=l
J pVx2dy =0,
267
(6.27)
Yq>=O
.
масса газа, поступающего в зону смешения в единицу
где �1
времени.
Из уравнения (6.27) находим
l
mrl = V
Yq>=I
2
pV
J x dy.
рY
q>=O
Масса газа, проходящего в единицу времени выше разделяющей
линии тока,
Yq>=l
fiiг2 = f Р Vxdy.
Согласно условию
fiiг 1 = fiiг2 ,
Урлт
Yq>=I
Yq>=I
Yq>=O
Урлт
J pV}dy = Vp J pVxdy.
(6.28)
После приведения (6.28) к безразмерному виду имеем
+оо
+оо
2
<р dfl J 1-Cr2<p2 J
-оо
Р
<pdfl
2·
Cr2
1
Р<p
Тlрлт
(6.29)
Выражение (6.29) содержит одну неизвестную величину 1lрлт'
которую можно легко определить численным интегрированием. Безразмерную скорость вдоль разделяющем линии тока можно рассчитать по формуле (6.23) или представить в виде аппроксимирующих
= 1,4) от числа МР на внешней границе зоны
полиномов (k =
смешения:
v
cpfcv
<J>рлт =
о,021sм; +О,605, 1 ::;; мР ::;; з,5;
-1,36·10-4M3p +l,08·10-3Мр2 +О,014Мр +О,623, 3,5<МР < 8.
Течение в области присоединения оторвавшегося потока
Для определения параметров течения в отрывных зонах необ­
ходимо знать давление и другие характеристики в области присо­
единения.
268
6. Теория отрывных течений
В первых попытках расчета донного давления за уступами при
сверхзвуковых скоростях использовали предположение, что давление торможения Рорлт на разделяющеи линии тока равно статическому давлению Рек за скачком уплотнения.
Около точки присоединения ( Vрлт = О), куда попадает разделяю­
щая линия тока, происходит разветвление потока: одна его часть дви­
жется вниз по течению вдоль обтекаемой поверхности, а другая поступает в циркуляционную зону, образуя возвратное течение.
Если полагать, что при торможении потока в области присоеди­
нения образуется скачок уплотнения, то именно на разделяющей
линии тока давление торможения
окажется равным противодавлению
в присоединившеися части потока.
Действительно, тогда в область за
точку присоединения сумеет попасть
Рек
лишь газ, находящиися выше разделяющей линии тока, обладающей
большим, чем за скачком уплотнения,
Рис. 6.64. Схема течения в об­ давлением торможения.
ласти присоединения оторвав­
Это условие присоединения из­
шегося сверхзвукового потока вестно как гипотеза Корста - Чемпена, в соответствии с которои полное
давление на разделяющей линии тока 1 в точке присоединения R
(рис. 6.64) равно давлению за скачком уплотнения:
v
v
v
v
Ро лт
р =
( +k
Рр 1
-1
М2рлт
)k/(k-1)
(6.30)
Рек ·
=
2
Давление Рек за скачком уплотнения 2 вычисляют по формулам,
известным из теории скачков уплотнения (см. § 4.2), в которых долж­
ны быть определены число МР во внешней части оторвавшегося по­
тока (вне области смешения) и угол � встречи его с обтекаемой по­
верхностью.
Условие присоединения (6.30) можно использовать не только
при турбулентном, но и при ламинарном течении в области смеше­
ния. Рассчитанные по этому критерию значения давления в зоне
отрыва согласуются с экспериментальными данными при
> 106.
При меньших значениях
когда пограничный слой перед областью отрыва значителен, расхождение теоретических значении с экспериментальными данными получается большим. То же самое на­
блюдается и при малых углах �. когда протяженность области при­
соединения велика.
Rex,
Rex
v
6.5. Методы расчета отрывны.х течений
269
N
Известны и другие условия присо­
единения. Так, на основе анализа экспе­ 1,00
риментальных данных, полученных в 0,35 "
основном для турбулентного течения в
о
l
2
3
м
зоне смешения, был определен некото­
рый критерий N (параметр Нэша), пред- Рис. 6.65. Зависимость параметра N от числа М
ставляющий собой отношение разницы
между давлением в точке присоединения
PR и в области отрыва Рр к полному перепаду давления в области
присоединения:
""
__
____
-
N = (pR - Рр)f(рск - Рр).
Зависимость величины N от числа М показана на рис. 6.65. При
расчете сверхзвуковых течений принимают N = 0,35, поэтому дав­
ление в области присоединения определяется соотношением
PR = О,65рр + О,35Рск·
6.5. Методы расчета отрывных течений
К настоящему времени сформировалось несколько направлений
v
v
в расчетах отрывных течении: создание струимых и вихревых моделеи невязкои жидкости; численные исследования путем решения
уравнений Навье - Стокса или Рейнольдса; интегральные, асимп­
тотические и вариационные методы расчета ламинарных и турбу­
лентных течений, а также приближенные методы, использующие
эмпирические и полуэмпирические зависимости.
Расчеты с использованием вихревой модели невязкой жидкости
в основном применимы при изучении дозвуковых фиксированных
отрывных течении и дают приемлемые результаты по структурам
течений, а также по стационарным и нестационарным характерис­
тикам.
Численные исследования базируются на решении уравнений
Навье - Стокса и достаточно надежно описывают течения при ла­
минарном отрыве потока.
В аэродинамике отрывных течений получили развитие асимп­
тотические методы, позволяющие определить параметры газа при
ламинарном отрыве в случае больших чисел Рейнольдса. В уравне­
ниях Навье - Стокса вводят малый параметр, по которому отыски­
ваемые решения разлагаются в ряд с последующим «сращивани­
ем» их в соответствующих областях потока.
v
v
v
270
6. Теория отрывных течений
К наиболее распространенным относятся интегральные методы
расчета параметров отрывных течении, которые учитывают взаимодеиствие пограничного слоя с внешним потоком, проявляющееся в смешении двух течении.
v
v
v
Метод разделяющей линии тока
Давление в отрывной зоне определяют методом последователь­
ных приближений. Задавая ряд значений донного давления Рдон при
помощи газодинамической функции п(Мдон) = РдонfРо= (рО= пол­
ное давление в невозмущенном потоке), вычисляют число Маха в
-
донной области Мдон и число Крокко Сrдон =
По значениям М00 и Мдон находят функцию
l
+
J§
ro (М. ) =
1
k-1
· arctg
�1 + 2/[м;0н (k -1)]0•5 .
k-1 2
2
�
(М. -1) arctg (М. -1)
k+1
1
1
'
где i соответственно равно «оо» и «дон», а также угол разворота
потока
.
� = �дон = rо(Мдон) - ro(Moo).
При помощи интегрального уравнения (6.29) определяют без­
размерную координату 1lрлт• безразмерную скорость
<ррлт = 0,5(1 + erf 1lpлт)
и числа Крокко и Маха:
2 сr;лт
=
мрлт
2
k - 1 1- Crрлт
2
--
-'-- ­
Одновременно вычисляют давление торможения на разделяю­
щей линии тока
РОрлт = Рдон fп(Мрлт).
Затем по соотношениям, известным из теории скачков уплотне­
ния (см. § 4.2), зная �дон и Мдон• находят угол 0ек и отношение
v
давлении
. 2
k
1
2k м 2 SIП
0
до
н
ек
k +1
k+1
Сравнивая полученные значения Рорлт и Рек• методом последо­
вательных приближений находят такое значение рдон• при котором
РОрлт =Рек·
Рек
Рдон
_
--
6.5. Методы расчета отрывных течений
271
Энп�ропийный меп�од
Рассмотрим двухмерные установившиеся отрывные течения,
возникающие в потоке газа при внешнем обтекании органов управ­
ления или при внутренних течениях в каналах. Поскольку значе­
при этом большие, в пограничном слое перед органом уп­
ния
равления и в области отрыва имеет место турбулентное течение.
Несмотря на значительные достижения в области эксперименталь­
ных и теоретических исследований моделей пристеночной турбу­
лентности, практические результаты их применения к отрывным
течениям пока немногочисленны. Вполне приемлемой для указан­
ных целей моделью турбулентности оказывается широко известная
обычная формула Прандтля для турбулентной вязкости, содержа­
щая одну эмпирическую константу.
Представляя всю область определения отрывного течения сово­
купностью подобластей при сопряженных краевых условиях, мож­
но описать внешний невязкий поток известными аналитическими
интегральными или численными методами. Благодаря исследова­
нию отрывного течения по отдельным подобластям и применению
интегрального метода удается достаточно просто объяснить и пред­
сказать главные свойства рассматриваемых отрывных течений и дать
наглядную физическую интерпретацию получаемых результатов.
В основу расчетов параметров отрывных течений положен прин­
цип наименьшего действия, согласно которому процессы, изменя­
ющие состояние системы, протекают так, что функционал, называ­
емый действием, имеет наименьшее возможное значение. Физичес­
кий смысл принципа наименьшего действия состоит в том, что
процесс осуществляется всегда таким образом, чтобы изменение
действия было минимальным. Частными случаями этого принципа
являются принципы Онзагера и Пригожина.
Согласно принципу Онзагера, при стационарных процессах в
открытых системах диссипация энергии минимальна:
Re
<pd = J фdW = min,
где ф
диссипативная функция; W объем системы.
Аналогичный вывод был сформулирован И. Пригожиным в
виде принципа минимума производства энтропии : стационарное
слабо неравновесное состояние системы, в которой происходит
необратимый процесс, характеризуется тем, что скорость возрас­
тания энтропии имеет минимальное значение при данных внешних
-
-
272
6. Теория отрывных течений
условиях, препятствующих достижению системой равновесного
состояния:
п
-
-
ПЕ = ЕПi = min,
(6.31)
i=l
-
где пi - удельное производство энтропии.
Известно, что при движении вязкого газа вследствие трения в
потоке имеет место диссипация энергии. Ввиду этого часть меха­
нической энергии необратимо переходит во внутреннюю, т. е. энт­
ропия возрастает. Такой же процесс происходит и при торможении
потока в областях отрыва и присоединения, где образуются скачки
уплотнения.
Рассматривая выделенный элемент потока (например, отрывное
течение), можно записать, что полное удельное производство эн­
тропии
п
п
ЛD.
п
ПL = Е Пi = Е 1 + E ЛSi =
i=J
j=I � k=J
_
_
-
_
(6.32)
-
-
где ЛDi - удельная диссипация энергии; ЛS; - приращение удельнои энтропии в единицу времени.
Каждое слагаемое в уравнении (6.32) представляет собой про­
изводство энтропии в соответствующей области течения.
Условие (6.31) может быть использовано при расчете отрывных
течений.
Как было отмечено ранее, диссипация энергии обусловлена на­
личием трения в газе, которое главным образом проявляется в об­
ласти пограничного слоя перед отрывом потока и смешения. Потери механическом энергии вследствие трения можно определить в
соответствии с интегральным соотношением, полученным В.В. Го­
лубевым. В основе вывода этого соотношения лежат уравнения
неразрывности и движения, записанные в дифференциальной фор­
ме для плоских и осесимметричных адиабатических стационар­
ных слоев:
v
v
д( pVxy j ) + д(pVyyl) = 0;
дх
ду
(6.33)
6.5. Методы расчета отрывны.х течений
273
где j = О и 1 для плоского и осесимметричного случаев течения
соответственно.
Воспользовавшись произвольными весовыми функциями /(х, у)
и g(x, у), запишем уравнения (6.33), (6.34) в виде
д(pVxg yj) + д(pVyg yl ) - V дg уj - V дg уj -- О·
р
р
х
у х
х
х
д
д
д
ду
д(рv;f yj) + д(pVxVyf Yj) _ р v 2 дf уj _ v v дf уj -_
х д
х х
р
х
х
д
д
ду
'
у
Интегрируя эти уравнения и используя правило дифференцирова­
ния интеграла по параметру о, находим
.
0
d J Vxg yl dy- (р Vxg yl ) do + (р Vy yl о
d.x р
g )о о d.x
о
·
·
о
о
д yjdy- JpV _f
д yjdy =0;
- J pVx _f
Y дх
х
д
о
о
(6.35)
о
о
�J pV}f yjdy-(pVx2f yj)o do + (pVxVyf yj)g - JpVx2 дif yjdy d.x
уд
d.x o
о
о
о
о
j
d
)
д
д
JL
p
f
f
f
('t.Y
dy. (6.36)
- Pvxvy ду Yjdy =- d.x ! yjdy + !
ду
о
о
о
Из системы уравнений (6.35), (6.36) исключаем do/d.x. Для это­
го в (6.35) принимаем g = V0f0, а затем вычитаем полученное урав­
нение из (6.36). После преобразований имеем
)
о
о
� JpVx(Vxf -V0f0)yjdy -J pvx vx дf -V0 дfо yjdy +
х
х
d.x о
д
д
о
(
274
6. Теория отрывных течений
о
о
dV
д
о
JL
+ fo
PVxyjdyf
pvxvy
Yjdy
=
J
dx о
ду
о
.
о
о
't
d
y
l)
д(
p
dy.
(6.37)
= - dx J f yjdy + J f
ду
о
о
Обозначив в уравнении (6.35) g = g0 и вычтя полученное выра­
жение из аналогичного уравнения с произвольной функцией g =
= g(x, у), получаем
o
о
о
d
0
д
д yjdy =0. (6.38)
д
_
_
-JPVx(g-g0)yjdy-Jpvx
8
f
yjdy-Jpv
....f
y
dx o
дх
д
х
о
о
ду
Если принять f =v;, g =v;+1 , то уравнения (6.37) и (6.38) при­
нимают вид интегрального соотношения Голубева:
о
о
� Jpvxcv;+1 -Vl+1 ) yjdy=-( r + 1):Jv; yjdy +
о
+ (r+ l)
о
.
о
о
dV
)
y
д(
1
't dy-Vl o f PVxyjdy ,
Jv; ду
dx о
о
(6.39)
где r = О для уравнения движения и 1
для уравнения энергии.
При r = 1 соотношение (6.39) представляет собой уравнение
энергии Лейбензона, т. е.
-
о
о
dx o
dx o
-°-- Jo,5pVx(V02 -Vx2 )yjdy = dp Jvxyjdyо
о д('tу . )
1 dУ -vо dV0 J РvхУjdУ
- Jv
(6.40)
dx о
ду
о
о
Введем обозначение D = J О,5р Vx (V02 -Vx2 ) у 1. dy. Тогда уравнео
ние (6.40) может быть представлено в виде
.
о
о
о
dD = dp Jv УjdУ - Jv д('ty1 ) dУ - v dVo JР v jdУ
хУ
х у
о
dx dx о х
dx
д
о
о
х
·
6.5. Методы расчета отрывных течений
275
При внешнем потенциальном потоке из уравнения Бернулли полу­
чаем dpld.x = -p0V0dV0/d.x. Следовательно,
0
0
0
\/.
d
dV
j)
д(
dD =
° J vxyjdy - J vx
-су dy.
V0
° f PVxyjdy-p0V0
d.x о
d.x
d.x о
о ду
(6.41)
Уравнение (6.41) упрощается, если рассматривать безградиент­
ное течение (например, область смешения, для которой dV0/d.x z О):
.
о
= - Jvх д('t.У1 ) ctу.
d.x о ду
dD
(6.42)
Величина D в равенстве (6.42) означает часть механической энергии, теряемои в вязком потоке вследствие понижения скорости течения в нем по сравнению со скоростью потенциального течения.
Для струйных течений можно принять, что при у = О и у = ()
напряжение трения 't z О. Это позволяет упростить правую часть
уравнения (6.42), т. е.
v
о
о
о
dD = - JVx'ty ldy = - d(Vx'tyl ) + 't yld y=
J
Jо
d.x о
о
о
о
о
дV
't
't
= -Vx-cyl o+ J yldVx = J yl х dу.
о
о ду
·
·
·
·
·
·
(6.43)
Интегрируя уравнения (6.42) и (6.43), получаем
х х о д( уl. )
-с dy d.x;
дD = J dD = J -JVx
о
о о ду
(6.44)
ХО
x
дV
ЛD =JJ-cyj ду dy d.x.
00
(6.45)
С помощью уравнений (6.44) и (6.45) можно вычислить дисси­
пативные составляющие в формуле (6.32).
Процессы за ударными волнами (скачками уплотнения), кото­
рые существуют при отрыве и присоединении потока, характеризу­
ются тем, что часть кинетической энергии движущегося газа прак­
тически мгновенно переходит во внутреннюю энергию газа. В этом
случае для элементарного процесса (без теплообмена с окружаю-
276
6. Теория отрывных течений
щей средой), происходящего в совершенном газе, изменение энт­
ропии определяется выражением
ер dT/T- R dp/p.
-
dS
=
Интегрируя это уравнение, находим
ЛS ll
=
R
=
k -1
ln
Рк - k ln &
Рн
Рн
(6.46)
'
где k = cp/cv; индексы «н» и «К» соответствуют начальному и ко­
нечному состояниям системы.
Для скачка уплотнения РкfРн > (Рк/Рн)k и, следовательно, со­
гласно (6.46), при переходе через него энтропия газа возрастает.
Увеличение энтропии объясняется необратимым характером изме­
нения состояния газа в скачке уплотнения. В результате такого про­
цесса часть кинетической энергии газа необратимо переходит в теп­
лоту; при отсутствии энергетического обмена с внешней средой
внутренняя энергия потока возрастает.
Рассмотрим применение энтропийного метода для расчета дав­
ления в области отрыва за обратным уступом (рис. 6.66).
YI
Ун/
1
1 •
1 1 ,
1 1
1 1
•
,
11
111
,,""
о
s
.
"":/
-
N
1J
'
R
�
+
.:::
Рек 11
::i::
м
Рис. 6.66. Модель течения с фиксированной точкой отрыва
Все поле течения разбито на отдельные области 1-111. В облас­
тях 1 и II диссипация энергии происходит за счет вязкого трения в
пограничном слое и зоне смешения, в области 111
в скачке уплотнения. Общее выражение для производства энтропии Пr находят с применением принципа суперпозиции.
Рассмотрим сначала составляющие диссипации энергии в об­
ластях отрыва и присоединения потока. Известно, что в достаточ­
но широком диапазоне скоростей течения газа профили скорости в
турбулентных свободных слоях смешения и следах удовлетвори-
-
6.5. Методы расчета отрывны.х течений
277
тельно описываются некоторыми универсальными функциями. На­
пример, избыточный профиль скорости можно представлить так:
(V0 Vx )J(V0 - V0) =/(11), или V/V0 = 1 - т/(11), (6.47)
где т = (V8 - V0)/V0; V0 - скорость возвратного потока; /(11) -
некоторая универсальная функция; 11 = у/8 - безразмерная коор­
дината; 8 - толщина струйного слоя смешения. Значения О < т < 1
относятся к прямому течению в зоне смешения, а т > 1 - к воз­
вратному; в равномерном потоке т = О, а в точках отрыва и присо­
единения т = 1 .
Как показали эксперименты, приемлемое согласование дает
функция/(11), удовлетворяющая уравнению
/(11) =
1 - з112 + 2113.
Если принимается модель течения, когда возвратный поток отv
сутствует, то можно воспользоваться универсальнои зависимостью
для профиля скорости в виде
V/V0 = <р(11) = 0,5(1+erf11),
2
ТJ
2
где erf 11 = .[;, J e-ri d11; 11 = а(у/х); cr =
1t о
12 + 2,758М0.
Уравнение (6.42) для диссипации энергии в зоне отрывного те­
чения содержит касательное напряжение 't, определяемое выраже­
нием (2.48).
Эксперименты показывают, что для струйных и отрывных те­
чений приемлема самая простая модель пути смешения Прандтля,
v
согласно которои
(6.48)
где k3 - константа турбулентности.
С учетом соотношений (6.47) и (6.48)
Принимая
df (11) .2... .
1
't = -kзP0Vom d11
Р
Б
р
1-Crg
Ро
l - Cr02 [1 - m f (11)]2 '
·
278
6. Теория отрывных течений
получаем выражение для напряжения трения:
1
Crl
.
2
2
't = 6k3p5V5 т 11(1 - 11)
l- Cr02 [1 - т f (11)]2 ·
Рассмотрим вычисление диссипации энергии для области от­
рыва, принимая различные модели течения в отрывных зонах.
В простейшем случае будем считать, что профиль скорости при
смешении потоков подчиняется закономерностям струнного течения без обратных токов, а значит, в формуле (6.47) значение т = 1.
Тогда для плоского течения (j = О) при условии, что ось Ох2 на­
правлена по свободной границе невязкого потока (см. рис. 6.66),
диссипация энергии
v
1
Уnв дV
2
1
-Cr
о
= J 't х dуп = J 6kзPoV0211(1- 11)
1 - Cr02 [1-f(11)]2 х
0
dхп Уnн дУп
dD
соответственно координаты нижней и верхней гра­
где Унн• Упв
ниц зоны смешения.
Отсюда
-
ЛDп
пл
2
2
)
(1
l
11
11
= 36ро Vo3 kз (1 - Cro2 )Лхп J
d
(6.50)
.
11
0 1- Cr82 [1 - f (11)]2
Если для зоны отрыва рассматривать модель с учетом возврат­
ного течения (т = var), то вычисление диссипации энергии услож­
няется. В этом случае следует использовать зависимость (6.42).
Тогда
Здесь
6.5. Методы расчета отрывных течений
279
6р0V02 k3m2 (1-Crg ) получаем
д,; - А (1 - 211)[1 -Crg(1 -2mf + т2 f 2 )]
- 1
д11
[1-Crt(1 -2mf + т2j2 )]2
(11 -112 )[-Crg(-2mf' + 2т2 ff')]
[1-Crt(1-2mf + т2f 2 ) ]2
где f' = дf (11 ) / д11.
Тогда
т2j2 )]
)[1
-Cr
(1t(l
2
+
dD 1
2mf
11
= J V0 (1 - mf )A
1 [1-Crt(1-2mf + т2f 2 )]2
dx 0
Вводя обозначение
А1 =
,
'
-
и диссипация энергии определится соотношением
1
2 (1 - 2 mf + m2 f 2 )]
2
r0
C
(1
1)[
11
x f(l - mf )
_
2
2
2
т
+
[1
-Crt(12mf
f )]
0
2 )[ C rt(2m2ff' -2mf')]
(
11
11
(6.51)
d 11 d х.
2
2
т2
[1 -Crt(1- 2mf + f )]
Уравнения (6.50) и (6.51) позволяют вычислить производство
энтропии для области отрывного течения. Например, при т = 1 из
(6.50) имеем
I
2
2
з
ЛD
ЛD
(1
)
Il nл
l l nл З б Роvо k
П
11
11
2
x
J
=
=
(l-C
)Л
d 11 ,
r
llпл =
о
з
11
То
То
711
o l-Crt(l- /) 2
или
280
6. Теория отрывных течений
В принятой модели сверхзвукового отрывного течения (см.
рис. 6.66) присоединение потока происходит через скачок уплотне­
ния. Схематически это показано на рис. 6.67. Перед областью при­
соединения профиль скорости неравномерен, что приводит к не­
одинаковой интенсивности скачка уплотнения PF (см. рис. 6.67, а).
Этот скачок расположен выше некоторой звуковой линии тока АВ.
-
R
F
fi
-
" ... ... ... Р
.
R
б
а
Рек
-
-
-
-
�ДОН
Рис. 6.67. Схемы течения в области присоединения вязкого (а)
и невязкого (б) потоков
Параметры потока для плоского течения в невязкой части опреде­
ляют с применением теории скачков уплотнения или численным
методом сквозного счета. За точкой присоединения расчет ведут по
их значениям на внешней границе области смешения (неравномер­
ностью профиля скорости пренебрегают) и осредненному углу раз­
ворота потока Рдон (см. рис. 6.67, б). Решают следующую систему
уравнении:
�
k -1.
. 2
Рек - 2k М2 SlП
,
0ек
о
k +1
k +1
дон
--
р
Рек
Рдон
(k + l )M� sin 2 0eк
_
2 + (k - l)M� sin2 0ек
.
'
(6.53)
ctg еек (М� sin 2 еек - 1 ) .
tg R
1-'дон 2'
[l + (k + l)/2-sin2 0ек ]М0
fik = Cv
к
е
ln Р к - k ln Ре
Рдон
Рдон
Для расчета диссипации энергии перед точкой отрыва исполь­
зуют результаты, известные из теории пограничного слоя. Ско-
6.5. Методы расчета отрывны.х течений
281
рость поперек пограничного слоя вычисляют по степенной зави­
симости
V/V = (у/()) 1/п.
(6.54)
't/tc;r = 1 - 3(у/())2 + 2(у/())З.
(6.55)
оо
Значение показателя п слабо зависит от числа Рейнольдса. При
Rex = 106".108 можно принять п = 7. Результаты эксперименталь­
ных исследований профиля скорости показали, что число М и температурный фактор Тет = Те /Т0 (где Т0, Тет - температуры тор­
т
на форму распределения ско­
можения и стенки) мало влияют
ростей.
Изменение напряжения трения поперек пограничного слоя ха­
рактеризует зависимость
Согласно данным Г.Н. Абрамовича, для течения вблизи стенки
7
5
0,022
6p00V;
[1+0,5
(k
-l)M
�]
o·
О,7
5
't =
Т
ст Reg·2 5[1 + 0, 37 5(k - l)M� ]1•31 ст
1,3
1
2
.
(6.56)
Используя зависимости (6.54)-(6.56), можно вычислить дисси­
пацию энергии в пограничном слое перед точкой отрыва:
X1s 01 д't
ЛD1 = - f f Vx дуl dy1dx1 =
о о
2
1/7 д
3
't 1 - 3 21_ + 2 21_
()
()
дуl ст
xis
63 V3 0,0226 [1 + 0,5(k -l)M�]0•75 Т О,75
J 8 8 Роо 00 Reg·25 [1+0 ,375(k- l)M �]1•3 1 ст
0
1,31
2
dx=
(6.57)
282
6. Теория отрывных течений
1,
1
0
3
5
2
[1
0,5(k
-l)M�J
А
0,01618p00V2
·
о
7
+
5
Т
ще 2
ст
1
1
2
1 + Тет
Re�· 5
.
[1 +0,375(k-l)M�] ·3
С учетом поправки на сжимаемость в пограничном слое
о1/о1нс = (1 + 0,12 М�)о,35 соотношение (6.57) преобразуется к виду
А
ЛD1 = 1, 25 1 2 5 �u1
'
в ·2
где в = 0,37(1 +0,12 м� )0,35.
,
=
Тогда производство энтропии будет определяться зависимостью
х
1
1
,
5
0,
3
2
[1 + о, 5(k-l)M00 ] 7 ТО,75 2l +Тст
[1 +0,375(k -l)M�] 1·3 1
(6.58)
СТ
Следует отметить, что в расчетах параметров отрывных тече­
ний удобнее использовать удельное производство энтропии. Например, для плоского течения характерным массовым расход
�
m=
�
РскVскН,
2 0ск .
l)M�
Sin
СОS0ск
(k
_
+
.
где Рек - Рдон
V
V
ск
' Ндо
н
.
'
2 2 0ск
соs(0ск -1-'Rдон)
2+(k-l)M0s1n
= h + 31 ; h
высота обратного уступа. Тогда для соотношений
(6.58), (6.52), (6.53) можно записать
1
f:r П1
0,0202
/h)
(l-cr,:
(3
l)cr
)
1<k
oo м2
1
=
=
I m B 1,
2s [l + (o1 /h)] (1 - Cri )' /(k-t)Cro оо
[1+0 5(k -1)Моо2 )О,75ТО,75
ст [2/(1 + Тст))1,31 k(k -1)сv
[1+0,375(k -l)M�]1·3 1
соs(0ск - �дон) [1 +0,5(k + l)M� sin 2 0ск] .
cos 0ск
2(k -l)M� sin2 0ск '
-
х
х
'
х
х
6.5. Методы расчета отрывных течений
х
283
cos(еск - R1-'дон) l 112 (1- 11)2 d .,
соsеск J0 1-Cr02 [l - /(11)]2 11
------
Рек - k ln Рек
Рдон
Рдон
Таким образом, решение задачи об определении давления в от­
рывной зоне сводится к расчету параметров течения невязкого потока при условии минимума полнои диссипации энергии в вязком
течении и скачках уплотнения.
Параметры течения невязкого потока можно рассчитывать мето­
дом характеристик или с использованием численного метода сквоз­
ного счета. Система уравнений, описывающих отрывное плоское те­
чение за обратным уступом, имеет следующий вид (в качестве ис­
ходных данных принимают параметры невозмущенного потока):
ll1п = Су ln
�
[1+0,5(k - 1)M�]kt(k-I) .
k/(k-I) '
Рдон [1+0,5(k-l)M� ]
2
еек .
l)M�
sin
0,5(k +
'
2
2
1 +0,5(k- l)M0 sin еск
р00
Рек
Рдон
_
_
2k М о2 Slll. 2 еск k-1
k +1
k +1 '
-- ·
k - l (Mf -1) -arctg�Mf - 1
k+1
пI + Пп + пПI = min.
-
-
(i =
D, оо);
-
Для ее решения должна быть задана константа турбулентно­
сти k3, которую можно определить на основе единичного экспери­
мента.
284
6. Теория отрывных течений
0,3
0,2
0,1
2
(k3= О,02)(k3= О,04)
(kз= О,05)
з
4
о �������
1 2
Рис. 6.68.
3
4 5
Зависимости относительного донного давления
за плоским уступом от числа М00
В качестве иллюстрации на рис. 6.68 представлены расчетные
зависимости относительного донного давления Рдон fР00 за плоским
= О, = 0,02 ...0,05),
уступом от числа М00 внешнего потока
полученные энтропийным методом при т = var (кривая 1) и т = 1
(кривые 2-4). Здесь же приведены систематизированные результа­
ты других расчетных методов: интегрального метода, разработан­
ного Л.В. Гогишем и Г.Ю. Степановым (кривая 5), и метода разде­
ляющей линии тока (кривая 6).
Развитый способ определения давления в зоне отрыва (точка
отрыва S фиксирована) обеспечивает достаточную точность резуль­
татов при М00 > 2. Его работоспособность подтверждена при иссле­
довании влияния толщины пограничного слоя на донное давление.
(31
k3
7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Существует большое количество разнообразных ме­
тодов решения задач аэродинамики - с использова­
нием уравнений математической физики, а также
интегральных аналитических, полуэмпирических и
чисто эмпирических соотношений. Современные ин­
женерные методики могут сочетать в себе преиму­
щества полноты описания течений и гибкости числен­
ного моделирования с простотой и удобством интег­
ральных подходов. Численные методы предполагают
получение конечных результатов только с помощью
решения на ЭВМ Однако некоторые из них (метод
характеристик, ;wетод линеаризации) позволяют так­
же установить конечные интегральные расчетные
соотношения.
В главе изложены как достаточно простые (метод
Нь ютона) , так и сложные в практической реализа­
ции численные методы (Годунова, конечных объемов,
дискретных вихрей), которые являются, по сути, раз­
личными способами решения дифференциальных урав­
нений (или систем уравнений) в частных производных,
характеризующих математические модели процессов
обтекания.
7.1. Метод характеристик
Метод характеристик используют для расчета возмущенного те­
чения идеального (невязкого) газа: определения параметров сверх­
звукового обтекания крыловых профилей и корпусов ЛА, расчета
контуров сопел для сверхзвуковых аэродинамических труб и т. д.
Рассмотрим применение этого метода для расчета сверхзвуковых
двухмерных (плоских или осесимметричных) течений.
286
7. Методы решения аэродинамических задач
Как было указано в гл. 2, уравнение (2.46) является основным
дифференциальным уравнением для расчета двухмерного потенци­
ального установившегося безвихревого газового течения. Например,
для двухмерного осесимметричного потока оно имеет вид
2
2
2
2
д
д
д
q>
q>
а
q>
Vr О
2
2
2
2
V
V
v
2V
( х а ) дх2 + х r дх дr + ( а ) дr2 r = .
(7.1)
,.
При описании движения вихревых газовых потоков используют
функцию тока '1'· В этом случае уравнение (2.45) записьmается так:
2
2
2
д
д
д
2
2
2
(vх - а ) дх'1'2 2Vхvу дхд'1'у (vу - а 2) ду'1'2 =
k
2
k - 1 Vmax l
dS
-I
2
2
2
k
-v
-v
=
(а
)
)
(
dп '
2k RV
где V = V/V ; п нормаль к линии тока.
+
max
+
(7. 2)
-
Уравнения (2.46) для потенциала скоростей и (7.2) для функции
v
тока являются нелинеиными уравнениями в частных производных
второго порядка. Поскольку в них имеются свободные члены, урав­
нения будут неоднородными.
Решения
и
или
геометричес­
ки изображаются в пространстве интегральными поверхностями,
причем плоскость Оху (или Oxr) рассматривается как основная и
называется
Нахождение этих решений в окрестности некоторой начальной
кривой у = у(х), удовлетворяющей заданным дополнительным ус­
ловиям, составляет содержание
Дополнительными ус­
ловиями являются значения искомой функции
у) или
у)
и ее первой производной <J>x =
('l'x =
или <J>y =
Следует иметь в виду, что задание на начальной кри­
('!'у =
вой
самой функции и ее первой производной, например
у( )] и <J>y, автоматически определяет ее другую производную <J>x·
Это следует из соотношения
q>=q>(x,y) \j1=\j1(x,y)
q>=q>(x,r)
физической плоскостью независимых переменных.
задачи Коши.
q>(x,
дq>!дх
д\j11дх)
д\j11ду).
у(х)
q>[x, х
dy
dq>[x, у(х)] = дq>[х, у(х)] дq>[х, у(х)] dx
дх
ду dx
----
+
\j1(x,
дq>!ду
,
т. е. из формулы для полной производной от сложной функции двух
переменных и в предположении, что начальная кривая
задана.
х у
у(х)
287
7.1. Метод характеристик
Решение задачи Коши применительно к исследованию сверх­
звуковых течений газа и разработка соответствующего метода характеристик принадлежит советскому
у
ученому проф. Ф. Франклю. Предста­
в
вим уравнения (2.46), (7 .1) и (7 .2) в
общем виде:
АИ+ 2BS + СТ+ Н = О, (7.3)
где А, В, С коэффициенты при со­
dy
-
А
ответствующих вторых частных про­
свободный
изводных И, S и Т; Н
х
о
член.
Будем искать решение уравнения Рис. 7.1. Начальная кривая АВ
(7 .3) в окрестности начальной кри­
для решения задачи Коши
вой АВ (рис. 7.1) в виде ряда. В окрест­
ности точки М(х0, у0) искомая функция
-
1
дп1
дп
<р
<р
п
п
х)п
=
+
(дх)
+
_
Лу
-I
<р(хо, Уо) <р(х,у)+ Е- (Л
дхп 1 ду
дхп 1
n=I п !
(п - 1) ( -2 (Л 2 дп-2<р + Л дп<р
п
дх)п у) -2 2 ... + ( у)п п , (7. 4)
+
1·2
ду
дхп ду
где <р(х, у) функция <р в заданной точке N(x, у) на начальной кри­
вой; дх = х0 - х; Лу = у0 -у. Отметим, что уравнение (7.4) можно
00
-
записать и для функции '!'(х, у).
С использованием зависимости (7.4) решение можно найти, если
на заданной кривой существуют и известны функция <р (или '!') и
ее производные любого порядка: дn<р/дх11 , дп-1<р/дх11-1 , Посколь­
ку на кривой АВ заданы первые производные <i>x (или 'l'x) и <!>у (или
<i>r либо '!'у), необходимо дополнительно найти вторые производные,
а также производные более высокого уровня. Следовательно, реше­
ние задачи Коши связано с отысканием условий, при которых возможно определение старших производных на заданнои кривои.
Ограничимся определением вторых производных. В нашем слу­
чае их три (И, S, Т), поэтому для их определения необходимы три
независимых уравнения. Первым будет уравнение (7. 1 ) , которому
соответствует начальная кривая АВ. Два других можно получить из
соотношений для полных дифференциалов функций двух незави­
симых переменных:
•••
�
�
288
7. Методы решения аэродинамических задач
d<pх = д<рх dx+ д<рх dy= Udx + Sdy·'
дх
ду
д<р
д<рy
Y dx+
d<py = х
д
ду
dy =Sdx+Tdy.
В результате имееем систему уравнений
АИ + 2BS + СТ =-Н;
dx . и + dy . s +о . т = dp;
(7.5)
о . и + dx . s + dy . т = dq,
в которой неизвестные И, S, Т находят с помощью определителей.
Введем для главного и частных определителей соответственно обо­
значения Л и Ли, Лs, Лт. Тогда
И = Ли /Л; S = Лs/Л; Т = Лт/Л.
Из уравнений (7.5) следует, что вторые производные И, S и Т
вычисляются однозначно, если главный определитель Л * О на на­
чальной кривой АВ.
Рассмотрим случай, когда кривая АВ выбрана таким образом,
что
главныи определитель на неи равен нулю, т. е.
�
�
А 2В с
Л = dx dy о - о.
о dx dy
Отсюда получаем
dy
А dx
2
-2В
dy + С = О.
dx
(7.6)
Из курса математики известно, что при условии равенства нулю
главного определителя системы уравнений (7 .5), т. е. на кривой,
выраженной уравнением (7.6), вторые производные И, S, Т либо
определены неоднозначно, либо вообще не могут быть найдены че­
рез <р, <i>x и <i>y·
Решения квадратного уравнения (7.6) имеют вид
dy
dx
(7.7)
289
7.1. Метод характеристик
и определяют наклон касательных в каждои точке начальном кривой, где Л = О. Выражения (7.7) являются дифференциальными урав­
нениями двух семейств вещественных кривых, если
АС > О.
Эти кривые называются характеристиками, а уравнение (7. 7)
что однозначное
характеристическим.. Геометрически это означает,
v
v
определение вторых производных на начальнои кривои возможно,
если никакой элемент дуги этой кривой не совпадает с характерис­
тиками. Следовательно, условие Л * О является необходимым и до­
статочным для решения задачи Коши.
Однако для расчета сверхзвуковых газовых течений представляет интерес задача определения решении на характеристиках, т. е.
метод характеристик. Он вытекает из анализа задачи Коши и со­
стоит в следующем. Предположим, что начальная кривая АВ совпаv
дает с однои из характеристик и вдоль нее равен нулю не только
главный, но и частные определители системы (7.5): Ли = Лs = Лт= О.
Следует учесть, что если, например, определители Л и Лт равны
нулю, то остальные определители равны нулю автоматически.
Равенство нулю главного и всех частных определителей означа­
ет, что решения системы (7.5) хотя и неоднозначны, но могут суще­
ствовать. Причем, если одно из решений является конечным (на­
пример, для И), то конечными будут решения для и Т.
Рассмотрим выражения для частных определителей:
v
v
В2
-
-
v
S
-Н 2В
Ли = dq>x dy
С
О
dq>y dx dy
А
-н
о
dq>y dy
Лs = dx d<J>x
с
О
= dx2 [-Ну'2 - 2Ву'<р: + С (<р: - у'<р;)] ;
=сtх2 [Ау'<р: + ну' + с<р; ] ;
А 2В -Н
Лт = dx dy d<J>x
о
где
dx dq>y
=
dx2 [А (у'<р�, -<р: ) -2В<р; Н J,
<р� = dq>xfdx; <р� = dq>y/dx.
-
Учитывая, что dx * О, из условия Лт= О получаем
290
7. Методы решения аэродинамических задач
А (у'<р� - <р: )- 2В<р� -Н = О.
(7.8)
А(у'<р� - <р:)-2В<р�, = 0.
(7.9)
Для плоского случая, когда Н = О, имеем
Уравнения (7.6) и (7.8) или (7.9), определяющие условия, при
которых существуют неоднозначные решения для И, S и Т, называ­
ются условиями совместности. Первое из них геометрически пред­
ставляет собой два семейства кривых (характеристик) в плоскости
Оху, второе - два семейства кривых (характеристик) в плоскости
О<рх<ру годографа вектора скорости, т. е. Vx, Vy или Vx, Vr.
Из условия совместности следует, что каждой точке характери­
стики в плоскости Оху соответствует определенная точка характе­
ристики в плоскости О<рх<ру, а значит, эти кривые можно использоv
вать для расчета газовых течении.
Согласно уравнению (7.7), корни квадратного характеристичес­
кого уравнения в физической плоскости могут быть как веществен­
ными, так и комплексно-сопряженными, что определяется подко­
ренным выражением В2 - А С = о. При о > О уравнение (7.6) будет
гиперболического типа, при о = О - параболического, а в случае
о < О - эллиптического типа. Коэффициенты А, В, С в уравнении
(7 .6) определяют по формулам
(7. 10)
причем эти выражения будут справедливы и в случае записи урав­
нения для функции тока '1'·
2
2
с учетом того, что V = Vx + v)�' после подстановки и преобра­
зований получаем
(7. 1 1 )
Отсюда следует, что при сверхзвуковых скоростях (V > а) урав­
нение будут гиперболического, а при звуковых ( V = а) - параболи­
ческого типа.
Характеристики в физической плоскости Оху определяют урав­
нением (7.7), в котором знак «+» соответствует первому семейству
(корень Л.1), а знак «-» - второму (корень Л.п). С учетом соотноше­
ний (7. 1 О) и (7 . 1 1 ) выражение (7. 7)для характеристик примет вид
± a.Jv2 - а2
vxvy
-- Л.1,п -dx
v2 -а2
dy
-'---
х
(7 .12)
7.1. Метод характеристик
291
В частном случае, когда Vx = V, VY = О, уравнение (7 .12) имеет вид
±1
1
±
Л. l,П l
tg µI,П ·
l
2
2
2
"\/V -а -vM - 1
=
=
=
Из этого выражения следует важное свойство характеристик в
физической плоскости: в каждой точке, расположенной на характе­
ристике, угол между направлением касательной к ней и вектором
скорости в этой точке равен углу Маха. Следовательно, сама харак­
теристика представляет собой линию слабых возмущений (или ли­
нию Маха), имеющую в общем случае форму кривой.
Если сверхзвуковое движение газа сопровождается понижени­
ем давления, то, следовательно, течение будет происходить с рас­
ширением, а линии Маха будут определять волны разрежения, с
которыми совпадают соответствующие характеристики, являющие­
ся в общем виде кривыми линиями (для плоского потока) или по­
верхностями, образованными вращениями этих линий (для про­
странственного осесимметричного потока). Следует учесть, что в
сверхзвуковом расширяющемся потоке никаких других волн разре­
жения, кроме «слабых», не возникает, иначе следует допустить воз­
можность образования «сильных» волн (скачков) разрежения, кото­
рые в реальных течениях газа существовать не могут.
Проведенный анализ показывает, что для характеристик в плос­
кости Оху можно записать
Л.1,п
=
dy /d.x
=
(� + µ),
(7.13)
где � угол наклона вектора скорости к оси Ох (знак «+» относится к характеристикам первого семеиства, а знак «-» - к характеристикам второго семейства).
Если в уравнении (7.9) величину у' заменить корнями диффе­
ренциального уравнения, то получим уравнения характеристик в
плоскости годографа вектора скорости для плоского потока:
(7.14)
А('А1<р�, -<р: ) - 2В<р; = О;
tg
-
v
А('Ап<р; -<р:)- 2В<р; = О
.
(7.15)
Используя свойство
Л.1 + 'Ап 2В/А,
=
для уравнений (7.14) и (7.15) соответственно имеем
А('Ап<р�, + <р:) = О;
А('А1<р; + <р:) = О
.
(7.16)
(7. 1 7)
292
7. Методы решения аэродинамических задач
С учетом (7.13) уравнения (7.16) и (7.17) можно привести к виду
dq>у
dq>х
+ tg(�+µ) = О
dx
или, поскольку
(7.18)
dx
--=-
<рх = дl/дх = vx ' <ру = дl/ду = vy '
dV,
dV +
: tg(� + µ) � =0,
«-»
(7.19)
относится к характеристикам первого семеиства, а знак
где знак
к характеристикам второго семейства.
Для осесимметричного потока уравнение для характеристик в
плоскости годографа скорости имеет вид
«+»
v
-
или
dVx
_
+tg(� + µ) dVr +
dx
dx
a2 Vr
=0.
(V} - a2)r
Под сопряженными характеристиками будем понимать соответ­
ствующие характеристики в физической плоскости и плоскости го­
дографа вектора скорости, в уравнение которых входит один и тот
же угловой коэффициент Л.. Из этого определения следует, что со­
пряженными будут, например, характеристика первого семейства в
физической плоскости (корень Л.1) и характеристика второго семей­
ства в плоскости годографа вектора скорости (тоже корень Л.1).
Уравнение для элемента характеристики, например, первого се­
мейства (7.13) можно записать в следующем виде:
у - уо = (х-хо )Л.1 ,
(7.20)
а для элемента соответствующеи сопряженнои характеристики второго семейства (7.18) в виде
v
v
Л.1 (<j)у - q>yo) + ( q>x -<рхо) =0,
или
(7.21)
где <рхО> <ру0, VxO> Vу0 функции <рх и q>Y или скорости
физической плоскости с координатами х0, у0.
-
Vx, VY в точке
293
7.1. Метод характеристик
Из уравнений (7.20) и (7.21) следует, что наклон элемента ха­
рактеристики в физической плоскости определяется угловым коэф­
фициентом Л.1, а в плоскости годографа скоростей - угловым коэф­
фициентом -1/Л.1•
Подобным образом можно доказать, что у элементов характе­
ристик второго семейства угловые коэффициенты будут соответ­
ственно Л.п и -1/Л.11 (рис. 7.2).
Vy (q)
у
,
,
'·'
N r.с..л
,
'
I сем.
',
'
-+'
v
'...,
I сем.
II сем.
о
Рис. 7.2. Свойство ортогональности сопряженных характеристик
Из аналитической геометрии известно, что если произведение
угловых коэффициентов у двух прямых равно -1, то эти прямые
взаимно перпендикулярны. Следовательно, сопряженные характери­
стики в обеих плоскостях также взаимно перпендикулярны. Рассмотренное своиство позволяет определить направление каждои сопряженной характеристики, если оно известно в одной из плоскостей.
Свойство ортогональности сопряженных характеристик выпол­
няется для осесимметричного и вихревого потоков. Преобразуем
уравнение (7 .19) для характеристик в плоскости годографа вектора
скорости для плоского потенциального потока. Его легко привести
к виду
v
v
или
где Л.п,I = tg(P+µ).
С учетом выражения (7.12) для Л.п 1 имеем
,
a1 - vх2
dVX V V - а 1v 2 - a 2 .
х у + "V
dV
у
--
(7.22)
294
7. Методы решения аэродинамических задач
Умножив числитель и знаменатель выражения (7.22) на множитель
(VxVY + aJv 2 - а2 ), после преобразований получим
dVY _ VxVy ±a JV2 - a2
.
а
d Vх
2 уу2
_
(7.23)
Для полярной системы координат
и тогда
Vx = V cos р; VY = V sin Р ,
(7.24)
dVY = d(V sinP) = sin PdV + V cosPdP;
dVx = d(V cosP) = cosPdV + V sin pdp.
(7.25)
Подставляя (7.24) и (7.25) в уравнение (7.23), получаем
sin PdV + V cospdp _ V 2 sinPcosP ± a Jv2 - а2 ·
cosPdV + V sinPdP
a2 - v 2 sin2p
С учетом того, что М = Vla, после преобразований имеем
откуда
а
где Р1 11 постоянная интегрирования для характеристик соответv
ственно первого и второго семеиства.
Введем новую переменную
-
,
v
ro= f Jм2 - 1
.
а
dV
v_
(7.26)
Тогда уравнение для характеристик в плоскости годографа скорос­
ти можно записать в виде
(7.27)
где знак «+» относится к характеристикам первого семейства, а знак
«-» к характеристикам второго семейства.
Рассмотрим выражение (7 .26). С учетом того, что
-
295
7.1. Метод характеристик
л.2 -1
,
2
1 - (k - l)Л /(k + 1)
.Jм2 - 1 =
а
V = Ла* и dV = а*dЛ, Аполучаем
��----��2-1
Л
dЛ
<О= {
1-(k -l)Л.2/(k +l) �
или после интегрирования
.л 2 - 1
k
1
{k+1
ro = Н arctg 2
- arctg + '\ 2 '\ 2 ' (7 .28)
2
k 1 Лmах - л
V
Amax - Л
где Лmа х =Vmax /a * =.J(k +l)/(k -1).
Воспользовавшись зависимостью между Л и М, получаем
k-l
2 -1) -arctg.Jм2 -1.
ro = {k+l . arctg
(7.29)
(М
k+1
vн
.
Из уравнений (7.28) и (7.29) следует, что угол ro является функ­
цией только чисел Л или М, а следовательно, его заранее можно
вычислить (табл. 7.1), что облегчает расчеты сверхзвуковых пото­
ков с использованием метода характеристик.
Следовательно, характеристики плоского потока в плоскости го­
дографа имеют явную форму. Геометрически уравнение (7.28) опре­
деляет два семейства кривых (эпициклоид) - характеристик, распо­
лагающихся в кольце, внутренний радиус которого Л = 1, а наружный Л = ,J(k + l)/(k -1) (рис. 7.3). Постоянная интегрирования �r
и знак «+» перед функцией rо(Л) соответствуют характеристике пер-
Таблица 7.1. Значения угла m при различных числах М и k
м
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
ro,
град
µ, град
0,0
26,38
49,757
65,785
76,920
84,955
90,973
90,0
30,0
19,471
14,478
1 1 ,537
9,594
8,2 3
1
м
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
00
ro,
= 1,4
град
µ, град
95,625
99,3 18
102,3 1 6
104,796
106,879
130,46
7,181
6,379
5,739
5,216
4,780
о
7. Методы решения аэродинамических задач
296
вого семейства, а постоянная �п
1 сем.
и знак «-» - характеристике вто­
рого семейства. Эти кривые яв­
ляются эпициклоидами, которые
П сем.
можно получить, рассматривая
перемещение точек окружности
- -о 1 -1 .., /
радиусом
которая
___
_,
перекатывается по внутреннеи
!
окружности радиусом А =
1
Физический смысл угла
�-1- 0,5 (Л.1mах - 1 )
можно установить из уравнения
�_.
Пусть постоянные интег­
!
т. е. расширирования �1 п
М=
Рис. 7.3. Эпициклоиды в случае рение от условий � =
пред­
В этом случае � =
плоского сверхзвукового потока
ставляет собой угол отклонения
потока при его изоэнтропическом расширении от точки, где М =
до состояния, характеризуемого некоторым произвольным числом
М > равным верхнему пределу интегрирования.
Предельный угол отклонения потока
определим из соот­
в котором примем М -7 =. В этом случае
ношения
·
0,5('Amax - 1 ),
·
v
1.
(7.27).
,
= О,
О,
+ro(M)
ro
1.
1,
1,
romax
(7 .29),
. 1t _ 1t = 1t v{k+l _ l
max = v{k+i
н2 2 2 н
(1)
и при
k = 1,4
(7.30)
(l)max = О, 7261t 130, 46°.
Из этого равенства следует, что сверхзвуковой поток не может
повернуться на угол, больший romax. Если отклонение сверхзвуково­
го потока начинается при скорости М > 1, то предельный угол пово­
рота такого потока �max определится как разность между углом romax
и первоначальным углом поворота ro до начального числа М, т. е.
Pmax (l)max - ro(M).
С учетом выражения (7.30)
А max
{k+1 -1 -ro(M)
1-' 1t2 Vн
-1
и при k = 1,4
Pmax = 130,46°- ro(M).
=
=
=
7.1. Метод характеристик
297
В случае осесимметричного течения сверхзвукового потока урав­
нение характеристик в плоскости годографа имеет вид
О,
sinPsinµ
.0::
=
d(ro+ P) - r co
s(p+ µ)
а для плоского неизоэнтропического потока
2
dS 0
sin
µcosp
d.x
d(ro + р) +
=
kR cos(p+µ) dn
или с учетом градиента давления торможения
2
si
d
µcosµ
q>�
n
�
+
d(ro+ р)
0
kp0 cos(P + µ) dn
=
О.
(7.31)
Рассмотрим способы определения направления характеристик.
Во-первых, это использование корней характеристического уравне­
ния (7. 12), которые определяют тангенсы углов наклона касатель­
ных к характеристикам первого Л.1 = tgq>1 и второго Ап = tgq>п се­
мейств в плоскости Оху (рис. 7.4, а).
у
у
1 сем.
1 сем.
А ""'=:::--'----т:::���­
---_, <i> н
ll сем.
о
а
х
о
6
х
у
А
о
11 сем.
в
<i>п
Рис. 7.4. Определение направления
характеристик по корням Л.1 н (а);
по скорости V и числу М (6) и по
-
х
углу � и числу М (в)
.
298
7. Методы решения аэродинамических задач
-
Если известна в данной точке скорость V, а также задано число М в этой точке, то, откладывая от вектора скорости углы
µ = + arcsin (1/М), получим направление касательных к характерис­
тикам первого («+») и второго («-») семейств (рис. 7.4, б).
Пусть известны угол наклона вектора скорости, а также число
М потока в данной точке. В этом случае углы наклона характерис­
тик первого и второго семейств определятся соответственно из ус­
ловий q>1 = � + µ и <J>п = � µ (рис. 7.4, в).
Если известны направления характеристик в физической плос­
кости, то их направление в плоскости годографа скорости легко опv
ределить, используя своиство нормальности сопряженных характеристик (см. рис.7.2).
Как отмечалось выше, для плоского неизоэнтропического пото­
ка характеристики в плоскости годографа скорости можно постро­
ить заранее, т. е. он_и представляют собой сетку эпициклоид. Если
известна скорость Vл в точкеА(хл, Ул), то определяют соответству­
ющую точку А' на плоскости годографа скорости (рис. 7.5). Затем
выстраивают касательные к характеристикам, проходящим через эту
v
точку и, используя своиство ортогональности сопряженных характеристик, определяют направление характеристик в плоскости Оху,
проходящих через точку А(хл, Ул).
Если перемещаться по характеристикам до их пересечения с ок­
ружностью радиусом Л. = 1 (М = 1 или V = а*) в точках К, М (см.
рис. 7.5), то угол между лучами О'А ' и О'К, О'М будет углом rо(М).
-
II сем.
к
I сем.
О'
�1 м
Рис. 7.5. Определение направления характеристик
в плоскости годографа скорости
7.1. Метод характеристик
299
Расчет обтекания сверхзвуковым потоком тел представляет со­
бой решение трех частных задач.
1. Определение скорости и других параметров потока в точке
пересечения характеристик различных семеиств, выходящих из двух
близко расположенных точек.
Пусть в двух бл'!_зко расположенных точках А и В (рис. 7.6, а)
известны скорости Vл, V8 и другие параметры потока. Требуется
определить координаты и параметры потока в точке С, лежащей на
пересечении характеристик первого и второго семейств, проходя­
щих через точки А(хА,УА) и В(хв,Ув).
�
у
в
о
х
О'
а
у
D'
В'
YD
Ув
0
XD
у
х
Х9
О'
б
N
я"""""""""
··.
м
о
х
О'
в
Рис. 7.6. Схемы расчета скорости в точке пересечения характеристик раз­
личных семейств (а), а также в точках пересечения характеристики со
стенкой (6) и со скачком уплотнения (в):
слева - физическая плоскость; справа - плоскость rодоrрафа
300
7. Методы решения аэродинамических задач
Все расчеты для плоского потенциального потока основаны на
использовании уравнений (7.13) и (7 .27), записанных в конечных
разностях:
для характеристики первого семейства, проходящей через точку В:
Лув = tg(Pв + µв)Лхв,
Лrо8 -ЛР8 =О;
для характеристики
(7.32)
(7.33)
вгорого семейства, проходящей через точку А:
ЛуА = tg(pA + µА)ЛхА,
(7.34)
Здесь
Лув =Ус -ув; Лхв =хе -хв;
Лrов = roc -rов; ЛРв = Ре - Рв;
ЛуА =Ус - уА; ЛхА =хс -хА ;
ЛrоА = roc -roA; лрА = Рс - РА·
(7.35)
Для определения координат точки С необходимо решить систе­
му уравнений
(7.36)
Ус - Ув =(хе -хв)tg(Рв +µв);
Ус -УА =(xc - XA)tg(pA -µА).
(7.37)
Графическое решение в физической плоскости приведено на
рис. 7.6, а, слева.
Вычисление неизвестных
и Ус численным методом не пред­
ставляет трудностей. Например, из уравнения (7.36) записываем вы­
ражение для Ус:
хе
Ус = Ув + (хе -хв)tg(Рв + µв),
подставив которое в (7.37):
Ув +(хе -хв)tg(Рв +µв)- уА =(хе -xA)tg(pA -µА),
получаем одно уравнение с однои неизвестнои величинои хе:
-ув
+µв)-xAtg(pA
+хвtg(Рв
-µА)
_
УА
.
�tg(Pв +µв)-tg(pA -µА)
Вычислив значение хе, по формуле (7 .36) или (7.37) находим Ус·
�
�
�
7.1. Метод характеристик
301
Для решения в плоскости годографа воспользуемся уравнения­
ми (7.33) и (7.34), которые запишем с учетом условий (7.35):
(Фе - Фв ) - (рс - рв ) = 0;
(Фе -ФА)-(Рс -РА) =О.
Из этой системы с двумя неизвестными достаточно легко найти Фе
и Ре:
Фе =0,5(Фв +ФА +РА -Рв),
Ре =0,5(Рв +РА +Фл -Фв).
По вычисленному значению Фе, используя данные табл. 7.1 или
зависимость (7.29), находим соответствующие значения Мс(Л.с) и
угла µс, по которым с помощью соотношении для изоэнтропического течения определяем давление Ре, плотность Ре, температуру
Тс и другие параметры газа в точке С.
v
Графическое решение в плоскости годографа скорости показа­
но на рис. 7.6, а, справа. Через точки А' и В' (концы векторов
скорости в точках А и В) проведем элементы разноименных харак­
теристик, проходящих соответственно через точки А' и В'. Для
v
определения их направления можно использовать своиство нормальности сопряженных характеристик. Как отмечалось ранее, для плос­
кого изоэнтропического потока характеристики в плоскости годо­
графа можно построить заранее (сетка эпициклоид), а следователь­
но, при графическом решении выбираем эпициклоиды, проходящие
через точки А' и В'. Графически по положению точки С' опреде­
ляем скорость Vс (Мс или Ас) и угол Ре·
Если расстояние между точками А и В значительное, то полу­
ченные результаты
можно уточнить. В первом приближении углы
- Jlл, Jlв, Рл . Рв вычислим как средние между исходным углом µА и
рассчитываемым µс:
ilл = О,5(µл +µс); ilв = О,5(µв +µс);
Рл =0,5(Рл +Рв); Рв =0,5(Рв +Ре ).
(7.38)
Подставив соотношения (7.38) в уравнения (7.36) и (7.37), находим
уточненные значения Ус и хе.
2. Расчет скорости потока в точке пересечения характеристики
с линиеи на поверхности твердои стенки.
Пусть точка В расположена на пересечении прямолинейного эле­
мента DB характеристики второго семейства, проведенной из точv
v
302
7. Методы решения аэродинамических задач
ки D, с контуром стенки (рис. 7.6, б). Скорость по модулю и на­
правлению, а также координаты точки D известны.
Координаты точки В(хв, у8) определяем из совместного реше­
ния уравнения характеристики второго семейства, проходящей че­
рез точку D, и уравнения контура стенки:
Ув - УD = (хв - xD)tg(pD +µв);
Ув = f(хв).
По вычисленным координатам хв и Ув, используя уравнения конту­
ра стенки, находим угол Рв наклона касательной к контуру:
cty
tgPв = dx
в
Для определения скорости в точке В воспользуемся уравнением
(7.34) для характеристик второго семейства в плоскости годографа:
Лrо8 + ЛРв О
в котором Лrо8 = ro8 -roD, лр8 =Рв - РD · Поскольку угол Рв уже
=
,
известен, то
rов roD -Рв + PD·
=
Используя данные табл. 7.1 или зависимость (7.29), по вычис­
ленному углу ro8 находим М8(Л.8) и µ8 . Как и в первой задаче, с
помощью соотношений для изоэнтропического течения определяем
остальные параметры газового потока в точке В (р8 , р 8 , Т8 и др.).
При графическом решении этой задачи (см. рис. 7.6, б, слева) в
физической плоскости через точку D проводим линию под углом
Рв - µD до пересечения со стенкой в точке В и определяем угол
наклона касательной к стенке в найденной точке. Для вычисления
скорости в точке В в плоскости годографа (см. рис. 7.6, б, справа) из
начала координат О' проводим луч под углом р8, а из точки D' характеристику второго семеиства до пересечения с упомянутым
лучом в точке В'. Длина отрезка О'В' определяет скорость Vс(Л.с).
3. Вычисление скорости в точке пересечения характеристики с
линией фронта скачка уплотнения и определение изменения угла
наклона скачка в этой точке. (Поскольку по своей природе характе­
ристика является линией слабых возмущений, такое пересечение
физически соответствует взаимодействию слабой волны со скачком
уплотнения.)
v
303
7.1. Метод характеристик
Пусть на скачок уплотнения MN заданной формы у = f(x)
(рис. 7.6, в) падают в точках S и Н близко расположенные волны
разрежения, которым соответствуют характеристики первого семеиства. Поскольку точки S и Н являются источниками возмущений,
возникнут отраженные волны разрежения и через эти точки можно
провести характеристики второго семейства. Исходящая из точки S
характеристика второго семейства пересечет падающую характери­
стику первого семейства, попадающую в точку Н, в точке F, называемои у3Лом характеристик.
Для определения изменения наклона скачка и скорости за ним
воспользуемся свойством характеристик SF и FH (см. рис. 7.6, в,
слева). В первом приближении скачок за точкой S можно принять
прямолинейным с углом наклона 0скS в этой точке, а параметры
газа в точке Н пересечения элемента FH характеристики первого
семейства со скачком - равными их значениям в точке S.
Неизвестный угол наклона �н вектора скорости в точке Н мож­
но определить, используя соотношение для элемента характеристи­
ки FН:
v
v
откуда
�н =�F +л�F·
где Л�F - угол наклона вектора скорости в точке F. Число
точке Н найдем по формуле
Мн = Ms +
Мн в
(7. 39)
dM - производная, вычисляемая по зависимостям теоd� s
рии скачка уплотнения для условий в точке S; Л� sн = �н -� s изменение угла � вдоль элемента SH скачка, в первом приближении
МОЖНО ПрИНЯТЬ Л�SH = Л� FH
в которои
v
Для косого скачка
·
dM
d�
+ м l sin 2 (e
2(
1- ь)
ск
)
d
1--' s d�s
_R
Р2
Р1
'
304
7. Методы решения аэродинамических задач
где
d
ctPs
l-
ь
Р2 Р2 dеск
;
Р1 Р1 d Ps
-1
2
е
o
-Р
s
c
(
s
)
ск
Р2
(
Р2
2
+12cos еск - Ps ) ь
cos2 е ск
р1
Pt
Для элемента FH первого семейства справедливо соотношение
ЛМр = Мн -Мр, которое с учетом выражения (7.39) имеет вид
•
dM
лрр -Мр .
ЛМр =Ms +
ctp s
От числа М можно перейти к функции Ф:
(7.40)
Здесь
dФ _ dМ dФ
ctp s ctp s сtм
)
s'
dФ
а производную ( ) находим путем дифференцирования (7.29):
dM s
2
�
dФ
-1
м
�
- - ---2
dM M[l + (k - l)M /2] .
�
Используя уравнение (7.33) для элемента FH характеристики
первого семейства в плоскости годографа, получаем
(7.41)
ЛФр -Лрр =0,
где ЛФр =Фн -Фр; Лрр =Рн -рр.
Решая уравнения (7.40) и (7 .41) относительно лр, находим
Фр - Фs
dФ 1
ctp s
_
Проведя вычисления и подставив значение лрF в формулу (7.40),
определяем ЛФр, углы Рн = РF + лрF и Фн = ФF + ЛФн , а также
7.1. Метод характеристик
305
уточняем число Мн. По известным значениям М00 и �Н• используя
теорию скачка уплотнения, находим новый угол 0скН наклона скач­
ка уплотнения в точке Н, т. е. уточняем его форму на участке SН.
При необходимости расчеты можно выполнить во втором прибли­
жении, принимая вместо параметров в точке S их среднее значение
между точками S и Н. Например, вместо углов ros и �s использо­
вать соответственно 0,5(ros +оон ) и 0,5(�s +�н ) .
На рис. 7.6, в, справа приведена схема графического решения в
плоскости годографа. Точка Н' получена в результате пересечения
характеристики первого семейства, проходящей через точку F', с
ударной полярой, построенной для заданного числа М00 (Л.00). Век­
тор О'Н' определяет скорость в точке Н(Л.н ), а дополнительные
построения позволяют найти и угол скачка 0скН·
Проведенные расчеты и построения показывают, что в резуль­
тате взаимодействия слабой волны со скачком происходит умень­
шение его интенсивности, а следовательно, и угла наклона. Для по­
вышения точности расчетов целесообразно учитывать изменение
энтропии (или давления торможения) при перемещении вдоль кри­
волинейного скачка уплотнения, используя зависимость (7.31) или
(7.32).
Метод характеристик позволяет решить одну из важнейших за­
дач газодинамики, связанную с определением формы сопла аэроди­
намической трубы, которая обеспечивает движение плоского парал­
лельного потока с заданной скоростью. Такое сопло представляет
собой насадок, у которого боковые стенки плоские, а верхняя и ниж­
няя имеют спрофилированный контур (рис. 7.7).
Рис. 7.7. Сопло сверхзвуковой трубы
Обычно заданными являются параметры газа на выходе из соп­
ла - числа М00 и МА, площадь выходного сечения SA. По извест­
ной газодинамической функции q рассчитываем площадь критичес­
кого сечения сопла
7. Методы решения аэродинамических задач
306
Затем задаем угол 2у раскрытия непрофилированного сопла, ко­
торый обычно равен 30 . . . 35°. При малых углах раскрытия увели­
чивается длина сопла. Это приводит к тому, что вследствие образо­
вания плоского пограничного слоя уменьшается полезное сечение
сопла. При больших углах раскрытия может произойти срыв пото­
ка, что исключает возможность применения сопла в эксперимен­
тальных целях.
Сначала строим непрофилированное плоское сверхзвуковое соп­
ло с радиальным потоком из источника, расположенного в точке О
(рис. 7.8, а). Длину дозвукового участка единичной ширины опре­
деляем из условия
s кр 360°
� ·
r.кр = �
Ь
---
21t 2у
'
а расстояние до выходного сечения
SA 360°
rA =
'
21t· 2у
ь
где Ь
ширина сопла.
-
-
с
_..
,в
'
о
---,
,
Гкр
ГА
а
-
б
Рис.7.8. Построение профилированного сверхзвукового плоского сопла:
а - разгонный участок; б - профилированная часть сопла
На участке сопла, ограниченном дугами окружностей радиусами
rкр и rл, поток будет сверхзвуковым. Профилирование сопла состоит
в том, чтобы прямолинейную стенку ВС заменить криволинейным
контуром, обеспечивающим постепенный перевод потока в плоско­
параллельное течение на выходе с заданной скоростью. Для этого из
точки О проводим лучи, разбивающие угол у. Из точки А под углом
µА = arcsin (1/М А) строим характеристики первого и второго се­
мейств до пересечения с ближайшим лучом в точке А 1 (рис. 7.8, б).
307
7.1. Метод характеристик
По радиусу r1 = ОА 1 рассчитываем площадь сопла с радиал ьны м
Sкp/S1 • Ис­
потоком S1 = Ы1tfj · 2у 1360° и значение функции q1
=
пользуя зависимости для одномерного изоэнтропического течения оп­
ределяем М 1 , Л.1 и угол µ1 arcsin(l/M1 ). Из точки А 1 под углом µ1 к
=
лучу ОА 1 проводим характеристики первого и второго семейств до
пересечени я со следующим ближайшим лучом в точке А2. Вьшолняя
вычисления и построения, аналогичные описанн ым для точки А 1,
переходим к следующим лучам и находим точки А 3, . . , An-I • Ап.
.
Если теперь провести линию тока, проходящую через точку Ап, то
она и будет определять профилированный контур сопла. Начальv
v
и
участок
этои
линии совпадает с направлен ием скорости в точны
ке Ап, т. е. является продолжением контура ВАп до точки D1 пересеv
v
v
чения с характеристикои первого семеиства, проходящеи через точку An-I · Поскольку характеристикаАп_1D1 является прямолинейной,
вектор скорости в точке D1 должен быть параллелен вектору скоро­
сти в точке An-I • т. е. лучу OAn-I · В соответствии с этим продолжа­
ем за точкой D 1 линию тока до пересечения со следующей характе­
ристикой в точке D2.
Аналогично строим следующие отр езки линии тока до точки
Dm пересечения с характеристикой первого семейства, проходящей
через точку А. Отрезок Dm-IDm будет параллелен лучу ОА 1• За точ­
кой D,n участок линии тока параллелен оси сопла. Для этого контур
сопла продолжаем до точки Dm+I• расположенной на линии, парал­
лельной оси сопла на незначительном расстоянии от точки Dm (см.
рис. 7.8, б).
Рассмотренный метод профилирования не учитывает влияние
на форму контура сопла пограничного слоя. Приближенно это мож­
но учесть, если контур сопла увеличить на толщину вытеснения и
на выходе отклонить от оси сопла на угол 10...
Используя уравнения для характеристик пространственного осе­
20'.
симметричного потока, по аналогии можно спрофилировать контур (образующую)
круглого сопла, обеспечивающи й получе­
ние на выходе равномерного осесиммет­
ричного сверхзвукового потока с заданv
нои скоростью.
1
Особое место занимает расчет обте­
кания сверхзвуковым потоком угла более
1 80° (рис. 7.9). Стенка 2 отклонена на не­
который угол � относительно стенки 1.
Рис. 7.9. Схема обтекания
тупого угла
308
7. Методы решения аэродинамических задач
Поскольку газовый поток является равномерным, характеристика
первого семейства, выходящая из угловой точки А под углом
µ1 = arcsin (1/М1), будет прямой линией. Для определения парамет­
ров газа на поверхности 2 следует решить вторую задачу: выбрать
точку на характеристике первого семеиства в непосредственнои
близости от точки А и через нее провести характеристику второго
семейства до пересечения со стенкой 2. При этом следует учесть,
что известен угол Л� 1 поворота вектора скорости, равный углу �
отклонения поверхности 2 относительно поверхности 1, т. е.
Л�1 = �1 - �2 = �- Используя уравнение для характеристик в плоско­
сти годографа, получаем Лоо1 = Л�1 = �. а поскольку Лоо1 = 002 - 001,
угол 002 = 001 + Лоо = 001 + �По найденному значению угла � с помощью табл. 7.1 или за­
висимости (7.29) вычисляем соответствующие значения М2, � и
µ2. Применяя теорию изоэнтропического течения и учитывая, что
параметры торможения не меняются, легко рассчитать параметры
газа на поверхности 2 (см. рис. 7 .9).
Метод расчета такого течения получил в аэродинамике назва­
ние метода Прандтля - Майера. Его применяют для расчета пара­
метров потока на криволинейной стенке, обтекаемой плоским рав­
номерным потоком. В этом случае определяют угол Л�i отклонения
потока в i-й точке относительно начальной: Л�i = �i - �0, где �i
угол наклона касательной в i-й точке; �о начальный угол направ­
ления вектора скорости. Далее по формуле ooi = 000 + Л�i вычисля­
ют соответствующий угол ooi, по которому находят M , Л.i и другие
i
параметры потока.
v
v
-
-
7.2. Метод линеаризации
Для случая движения несжимаемой среды уравнение (2.46) по­
тенциала скорости представляет собой одно из наиболее простых
уравнений в частных производных второго порядка. Однако для изо­
энтропического течения идеального газа оно весьма сложное и точ­
ное его интегрирование при заданных граничных условиях часто
представляет непреодолимые математические трудности. При та­
ком положении вещей определить потенциал скорости (поле скоро­
стей) для интересующих течений идеального газа можно двумя пу­
тями: 1) решить уравнение (2.46) приближенно, т. е. найти такие
функции q>, которые удовлетворяли бы этому уравнению с большей
7.2. Метод линеаризации
309
или меньшей ошибкой; 2) заменить точное (в рамках принятой мо­
дели) уравнение потенциала скорости более простым приближен­
ным, которое можно решить точно. В первом случае примером яв­
ляется решение уравнения (2.46) методом характеристик. Для вто­
рого случая получим приближенную форму уравнения потенциала
скорости, которую используют для исследования широкого класса
задач.
Предположим, что изучаемое движение мало отличается от ос­
новного, т. е. оно получено в результате малых возмущений основ­
ного потока. В этом случае уравнения, описывающие движение газа,
можно записать в линейном виде. Такой прием упрощения называется лин еаризациеи, а метод исследования движения, основанным
на линеаризованных уравнениях, методом малых возмущений.
В аэродинамике часто изучают обтекание так называемых тон­
ких тел, у которых один или два размера значительно меньше треть­
его (крыло самолета, ракета и т. п.). Если такие тела размещены
под небольшими углами по отношению к невозмущенному тече­
нию, то можно допустить, что вблизи обтекаемой поверхности ско­
рость потока мало отличается от его скорости на бесконечности.
Очевидно, что в этом случае давление, плотность, скорость звука и
другие параметры также будут слабо отличаться от параметров не­
возмущенного течения.
Допущение о малости искомых функций позволяет провести ли­
неаризацию задачи, которая сводится к следующему. Принимают,
что искомые функции имеют первый порядок малости. Во всех урав­
нениях, описывающих движение газа, и соотношениях, выражаю­
щих начальные и граничные условия, отбрасывают величины, у ко­
торых порядок малости больше первого. В результате все уравне­
ния становятся линейными.
В некоторых частных случаях можно без каких-либо приближе­
ний преобразовать нелинейные уравнения к линейным путем пере­
хода к новым специально выбранным независимым переменным.
Линеаризуем уравнение (2.46) для случая обтекания тонкого
тела, размещенного под небольшим углом атаки. Согласно методу
линеаризации, составляющие скорости вблизи поверхности тела
можно записать так:
�
�
-
Vx = V00
+v;;
Vy = V; ,
где v;, v;
составляющие скорости возмущенного течения (ма­
лые величины).
-
310
7. Методы решения аэродинамических задач
Возведя в квадрат Vx, VY и ограничившись величинами первого
порядка малости, получим
v; = (V00 + v;)2 = v; + 2V00v; + v;2 ""v; + 2V00 v; ;
vy2 = vy12 "" о;
v2 =Vx2 +Vy2 =Voo2 + 2VooVx.,
(7.42)
Найдем выражение для скорости звука, входящей в уравнение
Поскольку
(2.46).
k-1
k-1
2
2
2
2
аоо = 2 (V - Voo ); а = 2 (V 2 -V 2 )
max
то
max
'
а2 _ аоо2 = k-1 (V002 -V2 )
3)
(7.
4
2
Подставляя в уравнение (7.43) выражения (7. 42), получаем
k-1
2
2
а -а00 = (V002 -V002 -2V00Vx).,
2
•
Откуда скорость звука
а2 = a;, -(k -1)V00V;.
(2.46) принима­
, 2
дv'
д
[v; +2V00V;-a;,+(k-l)V00v; J а': +[v; -a;, + (k -l)V00v;J д; +
av;
av;
= о.
+
+ cv00 + V')Vу'
ду дх
С учетом полученных соотношений уравнение
ет вид
х
При обтекании тонких прямых или слабоизогнутых тел под малым
углом атаки можно считать, что производные
имеют первый порядок малости. Тогда, пренебре­
гая величинами большего порядка малости, получаем
аv;1дх, av; / ду,
дv;1ду, дv; / дх
'
дV
v
д
,
x
2
2
у
(v00 -а2 ) дх -а00 ду =0
00
или после деления на
а;, и перехода к числу Маха (Моо = Voo/aoo)
311
7.2. Метод линеаризации
(7.44)
Уравнение (7.44) представляет собой линеаризованное кинема­
тическое уравнение аэрогазодинамики.
Для потенциального течения выразим составляющие скоростей
v;, v; и их производные через потенциал <р':
vх'
=
д<р' .
дх
'
vУ'
=
д<р'. av; - д1<р' . дV'У д2<р' .
ду ' дх дх2 ' ду - ду2
_ _
_
_
_
Тогда выражение (7.44) примет вид линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами:
2
д
<р'
1
)
2
м
( - дх2
00
-
д2<р'
ду2
=
О
.
(7.45)
случае дозвукового потока (М00 < 1) это уравнение является
эллиптическим, а в случае сверхзвукового потока (М00 > 1 ) - ги­
перболическим.
Перейдя к независимым переменным
Х = Х1 �1- М� , У = YI ,
при М00 < 1 получаем уравнение Лапласа:
В
д-2�
<р' + д2<р'
дх12 ду12
=
О
,
для которого применимы известные методы решения.
При М00 > 1 никакой вещественной заменой независимых пере­
менных уравнение (7.46) не может быть приведено к уравнению
Лапласа. Однако для плоского сверхзвукового течения введением
переменных � = у - хtg µ, 11 = у + х tg µ можно уравнение (7.46) пре­
образовать к виду
(7.46)
В этом случае решение
<р' !1 (�) + !2 (11 ),
=
где !1 (�).
!2 (11) - некоторые функции.
(7.47)
312
у
7. Методы решения аэродинамических задач
в
Рассмотрим теперь безотрыв­
ное обтекание сверхзвуковым по­
�
�
'
Voo Vх
током угла, близкого к 1 80°. Бу­
�
дем в дальнейшем называть угол
V'
у
АОР (рис. 7.10, а) внешним, если
v
он больше 180°, и внутренним
х
А
о
.Р
(рис. 7.10, б), если он меньше 180° .
Л� > О
Пусть поток первоначально
а
движется параллельно стенке ОА
у
вдоль оси Ох . Отклонение стен­
ки ОР относительно ОА на угол Л�
вызовет разворот всего потока в
р
точке О на тот же угол Л�. При
х
А
о
этом при обтекании внешнего угла
Л� < О
б
образуется волна разрежения, а
Рис. 7.10. Поворот сверхзвуково- при обтекании внутреннего угла волна сжатия. Угол наклона слаго потока на малыи угол
бых волн в сверхзвуковом потоке
для обеих структур течения равен µ00• Примем для внешнего угла
значение Л� > О, а для внутреннего Л� < О.
Поскольку угол Л� мал, к рассматриваемому слабовозмущенно­
му течению можно применить линеаризованное уравнение (7.46).
В соответствии с особенностью распространения возмущений в
сверхзвуковом потоке в рассматриваемом случае возмущения от то­
чек плоскости ОР могут распространяться только вдоль линий воз­
мущения � = const, т. е. вниз по течению. Поэтому решение /2 (11)
в данном случае физически невозможно и, согласно (7.47), потен­
циал скорости возмущенного движения примет вид
�
v
-
<р' = !1 (�).
Определим вид функции /1 (�). Для этого разложим вектор ско­
рости в возмущенной области на касательную и нормальную к вол­
не ОВ составляющие (см. рис. 7.10) и запишем граничное условие
на поверхности стенки ОР:
'
V
_.У_
_
. , = -tg�.
voo + vx
Отбрасывая величины второго порядка малости, получаем
(7.48)
7.2. Метод линеаризации
При !2 (11) = О скорость
симости (7.48)
313
)
(�
d
f1
'
j
=
=
)
(�
или с учетом завиv; 1
d���) = -Vcotg�.
d�
Отсюда с точностью до постоянной
f1 (�) = -VсоЛ�� = -VcoЛ�(y - x tgµco),
/�М�
где tg µсо = 1
-1.
Окончательное выражение для потенциала скорости возмущен­
ного движения имеет вид
Поскольку
(7.49)
можно определить скорости в возмущенной области:
vx = vco + v� = Vco(1 + tgµCOЛ�) = const;
VY = v; = -VсоЛ� = const.
Таким образом, поток правее линии ОВ является прямолиней­
ным и равномерным со скоростью, параллельной плоскости ОР.
Получим выражение для коэффициента давления в области воз­
мущенного течения. Для этого воспользуемся уравнением Бернул­
ли в дифференциальной форме:
2
dp
+ d � = 0.
2
р
С точностью до величин второго порядка малости дифференциалы
равны приращениям:
v2 - vсо2
2
Тогда уравнение Бернулли можно записать так:
2
2
V
Vco
О
рсо
р
"'-----"-- -+
- .
2
р
314
7. Методы решения аэродинамических задач
Поскольку в возмущенной области значения всех параметров
мало отличаются от их значений в невозмущенной области:
Vx =V00 + v;; Vy = V; ;
Р = Рсо + Р ; Р = Рсо + Р '
1
то
1
1
1
р
р 1+
Рсо
р
1
Рсо
-1
и в соответствии с выражением (7.42)
v2 - v; = v; - cv; + 2v00v; ) =-2V00v; .
Давление в возмущенной области
Р = Рсо
- pcoVcov;.
р = 2(р- p00)/(p00V;),
Вводя коэффициент давления
сать линеаризованное уравнение
можно запи­
р =-2v; /v00•
Таким образом, зная скорость возмущенного течения, можно
приближенно оценить изменение давления потока.
Согласно (7.49), для лр > О составляющая v; > О, а v; < О, и,
следовательно, скорость потока в возмущенной области при обте­
кании внешнего угла больше, чем в невозмущенном потоке. При
лр < О составляющая скорости v; < О, а v; > О, что свидетель­
ствует о торможении потока при обтекании внутреннего угла.
Если угол АОР обтекается в нижней полуплоскости, то линия­
ми распространения возмущений были бы линии 11 = const. В этом
случае составляющие скорости возмущенного потока можно вычис­
лить по соотношениям
v; = -V00tgµ00Л�; v; = -V00Лр,
а потенциал скорости
q{ = -V00Л р( у + xtgµ00 ) .
Согласно полученным формулам, изменение скорости и давле­
ния при переходе через волну ОВ для обоих случаев происходит
скачкообразно. В действительности скачкообразное изменение па­
раметров потока может происходить только при его торможении.
Такое расхождение полученных результатов с физической структу-
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
315
рой течения связано с приближенным характером теории, которая
дает удовлетворительные результаты при рассмотрении малых воз­
мущений. В общем случае, когда сверхзвуковой поток разворачива­
ется на угол, который нельзя считать малым, линейная теория является неприемлемои.
v
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
Различные форм,ы записи дифференциальных уравнений
газовой дин амики
Введем широко принятые в численных методах обозначения для
компонент вектора скорости V: Vx = и, VY = v, Vz = w. Тогда модуль
скорости V2 = и2 + v2 + w2.
Рассмотрим систему уравнений движения невязкого нетепло­
проводного газа без учета массовых сил (см. гл. 2):
-
др + div(p V)
= О;
дt
d
V(7.50)
р = -grad р;
dt
d(e + V 2/2) = -d'IV( рV-).
р
dt
Приведем эту систему уравнений к дивергентной консерватив­
ной форме записи, внешняя отличительная особенность которойТа­
отсутствие функциональных коэффициентов при производных.
кую форму уравнений газовой динамики используют обычно при
расчете течений, содержащих поверхности сильных разрывов (удар­
ные волны, контактные разрывы). Как будет показано ниже, она
удобна для преобразований интегралов по площади контрольной
ячеики к интегралам по контуру этои ячеики.
Из первого уравнения системы (7.50) следует, что уравнение не­
разрывности уже имеет дивергентную форму. Преобразуем уравне­
ние сохранения импульса в проекции на ось Ох декартовой систе­
мы координат:
v
v
v
316
7. Методы решения аэродинамических задач
Добавим и вычтем отдельные слагаемые, чтобы плотность р и компонента и скорости находились под знаком частнои производнои:
v
v
ди
др
др
ди
д(ри)
д(ри)
+
р-+и--и-+ ри-+и
-и
дt дt дt
дх
дх
дх
ди д(рv) -и д(рv)
ди д(рw) д(рw) др =
+pw-+u
-и
++pv-+u
дz
дz
ду
ду
дz дх
ду
др
д(ри)
д(рии)
д(ри
v) д(ри w) ++
+
=
+
дz
дх
дt
дх
ду
[
]
-и � + д(ри) + д(р v) + д(рw) = о .
дt дх
дz
ду
Последнее слагаемое в скобках представляет собой уравнение не­
разрывности, поэтому в проекции на ось Ох в дивергентной форме
уравнение движения будет выглядеть так:
д(ри) + д(ри2 + р) + д(риv) + д(риw) = О .
дt
�
�
дz
Аналогично можно преобразовать уравнения движения в про­
екциях на оси Оу и Oz и уравнение энергии. Таким образом, окон­
чательно система дифференциальных уравнений газовой динамики
в дивергентной форме имеет вид
др д(ри) д(рv) д(рw) = О·
+
+
+
'
ду
дz
дt дх
+
2
д(ри) + д(ри р) + д(риv) + д(риw) = О
;
дх
дt
дz
ду
д(рv) + д(рvи) + д(рv2 + р) + д(pvw) = О;
дх
дz
ду
дt
д(рw) + д(рwи) + д(pwv) + д(рw2 + р) = о·
'
дt
дх
ду
дz
где Е
-
(7.51)
д [(Е+ р)и] д [(Е+ p)v] д[(Е + p)w]
д(Е)
�-+
+
+
'
дх
дz
дt
ду
полная энергия единицы объема газа, Е = р(е + V2 /2).
317
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
Наряду с дивергентной формой часто применяют квазилиней­
ную форму записи уравнений сохранения, когда под знаком частнои производнои величины и, v, w, р и р стоят только в первои
степени, а коэффициенты перед производными могут зависеть от
неизвестных функций. Эту запись можно получить путем комби­
нирования уравнений системы (7.51). Результат представим, исполь­
зуя матричную форму записи:
v
v
v
д f + А д ! + в д f + с д f =О
дt дх дх дх '
f
где
рицы:
-
вектор-столбец неизвестных; А, В и С
и
!=
v
w
•
'
р
А=
р
В=
С=
а - скорость звука.
и
о
о
р а2
р
о
о
о
о
и
о
о
о
и
о
о
о
о
о
о
v
о
о
о
2
а
р
р
v
w
о
о
о
о
о
w
о
о
о
р
и
о
о
о
v
о
v
о
о
о
о
о
о
о
о
р
о
-1
w р
р а2 w
о
р
о
о
о
о
о
о
о
-1
квадратные мат-
-
-l
о
о
v
(7.52)
о
о
'
и
•
'
'
w
Первые три уравнения системы (7 .52) представляют собой проекции уравнения движения на оси декартовои системы координат,
четвертое - уравнение энергии, пятое - уравнение неразрывнос­
ти. Уравнение энергии в данной записи имеет вид
v
318
7. Методы решения аэродинамических задач
д-+ра
др = 0.
ди др +ра2 дv + v др + pa2 дw + wр 2 -+и
дz дz
дt
ду ду
дх дх
-
-
После перегруппировки получаем
dp + pa2divV = 0.
(7
.53
)
dt
Приведем это уравнение к более привычному виду, представ­
ленному, например, в системе (7.50). Согласно первому закону тер­
модинамики, записанному для единицы массы газа при изоэнтро­
пическом процессе,
1-
de+ pd р =0.
Представляя дифференциал удельного объема в виде
1-
1
=--dp
dр
р2
и используя соотношение а2 = dpldp, получаем вспомогательное
выражение р а 2 = р , подставив которое в уравнение (7.53),
pde/dp
окончательно находим
de
р-+
=0.
pdivV
dt
(7.54)
Преобразуем второе слагаемое, воспользовавшись известнои
формулой векторного анализа,
�
pdivV = div(pV)-V grad р.
-
-
-
Заменим градиент давления согласно второму уравнению сис­
темы
(7.50):
2
d
dV
V
-Vgradp=Vp dt = рdt 2
Объединив две последние формулы и подставив их в выраже­
получим
ние
(7.54),
2
v
de
d
p-+div(pV)+pdt 2
dt
=0,
7.3.
Метод конечных разностей (метод сеток)
или
319
/
d(e+v
2)
2
dIV. (р V-),
р dt
= -
что
совпадает с обычным вариантом записи уравнения энергии.
Основные понятия метода сеток
Как показано выше, типичную задачу газовой динамики фор­
мулируют в виде системы нелинейных (в лучшем случае квазили­
нейных) уравнений, краевые условия нередко записывают на зара­
нее неизвестных границах, а при решении могут встречаться осо­
бые точки и уравнения могут изменять свой тип в расчетной
области.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений прин­
ципиально различных постановок задач относительно немного; име­
ются теоретически исследованные и практически отработанные ал­
горитмы, позволяющие эффективно решать большинство таких за­
дач. Некоторые численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений были разработаны
еще в XIX в. (например, методы Эйлера и Адамса).
Для уравнений в частных производных число принципиально
различных постановок задач существенно больше, при этом суще­
ствует очень малое количество задач, решаемых в явном виде. По�
этому теория численных методов для уравнении в частных произ�
водных содержит много направлении.
Раньше для практического решения задач в частных производ­
ных применяли в основном вариационные и другие методы, в кото­
рых приближенное решение получали в виде некоторой аналити­
ческой формулы. Их развитием на современном этапе являются ва­
рационно- и проекционно-разностные методы, например метод
конечных элементов.
К настоящему времени наибольшее распространение для реше­
ния задач газовой динамики получил метод сеток собиратель­
ное название группы приближенных методов решения дифферен­
циальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений.
Применительно к дифференциальным уравнениям в частных про­
изводных термин «метод сеток» используют в качестве синонима
терминов «метод конечных разностей» и «разностный метод». Ши­
рокое применение метода сеток объясняется его универсальностью
и сравнительной простотой реализации на ЭВМ.
-
320
7. Методы решения аэродинамических задач
Разностный метод сводит решение системы уравнений в част­
ных производных к решению системы алгебраических (линейных)
уравнений. В этом его отличие, например, от метода прямых и ме­
тода характеристик, которые сводят решение системы дифференциальных уравнении в частных производных к решению системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решение осуществляют в три этапа.
1 . Область непрерывного изменения аргумента (или аргумен­
тов) заменяют конечным дискретным множеством точек, называе­
мых разностной сеткой. В разностной сетке выделяют внутренние
и граничные узлы. Решение ищут во внутренних узлах, а в гранич­
ных узлах значение искомой функции задают при аппроксимации
граничных условий исходной дифференциальной задачи. Функция
дискретного аргумента, определенная на разностнои сетке, называется сеточной функцией.
2. Дифференциальное уравнение и граничные условия заменя­
ют по определенным правилам разностными аналогами. Разностные
операторы, соответствующие дифференциальному уравнению, за­
писывают во внутренних узлах сетки, а граничным условиям - в
ее граничных узлах. В результате получают систему алгебраичес­
ких уравнений, число которых пропорционально числу внутренних
узлов разностнои сетки.
3. Решают систему алгебраических уравнений каким-либо из
известных методов. В большинстве случаев получаемая система
уравнений есть система линейных алгебраических уравнений дос­
таточно большого порядка, но с весьма разреженной матрицей.
В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят их к линеиным системам.
Начальные элементы метода сеток рассмотрим на примере про­
стейшего эволюционного (содержащего время в качестве независи­
мого переменного) уравнения переноса, которое является модель­
ным для многих уравнений газовой динамики:
v
v
v
v
(7.55)
Требуется определить решение в некоторой области G по усло­
виям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут
быть начальные условия (задача Коши) или начальные и гранич­
ные условия (краевая задача).
321
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
t
Лх
Как было отмечено выше, исходным
·1 1• <]
пунктом при построении разностнои схемы
является построение разностной сетки. Важ­
ным частным случаем является равномер­
ная прямоугольная сетка (tn , х111), где tn =
0
положи= t + пЛt·' хт = х0 + тЛх'· Лt' Лх
'
/
тельные числа, назьmаемые шагами сетки
х
0 Xm_ ( Xm Xm+I
по t и по х; п, т целые числа (рис. 7.11 ).
Для краткости обозначим Лt = 't, Лх = h. Рис. 7.11. Дискретиза­
Тогда совокупность рассматриваемых узлов ция области решения
сетки будет G't 11 (сеточная область). Во многих случаях полагают 't = 't(h) (т. е. шаг по времени зависит от
шага по вещественной координате). В этом случае сетка определя­
ется одним параметром h: G't h = Gh. При использовании равномерной прямоугольной сетки оказывается удобным следующее обозначение: u(n't, mh) = и'/п. Совокупность узлов, соответствующих како­
му-либо фиксированному значению п, называют слоем.
Вопрос о построении оптимальной сетки является очень важ­
ным. С одной стороны, число узлов сетки желательно брать как
можно большим, точнее аппроксимируя непрерывное решение се­
точными функциями. С другой стороны, необходимость получения
решения за разумный промежуток времени на ЭВМ с ограничен­
ным быстродействием заставляет укрупнять сетку. Одним из путей
разрешения данного противоречия является использование нерав­
номерной сетки, количество узлов которой в области резкого изме­
нения определяемых параметров увеличивается, а в областях глад­
кого решения, наоборот, уменьшается (рис. 7.12). Данный подход
удобен, когда заранее известно, где в пространстве решения зада­
чи имеются такие особенности. Если же сама структура физического процесса выстраивается при решении задачи, то такои подход
.....
v
-
-
'
,
v
и
'
о
Рис. 7.12.
'-......._
/
v
__./
1
\
' и(х)
�
h ·1
/
•
'
Х;-1 Х; Х;+(
х
Пример неравномерной сетки
322
7. Методы решения аэродинамических задач
не применим. В этом случае возможно использование так называе­
мых адаптивных сеток, которые строят и изменяют непосредствен­
но в процессе решения задачи.
Основная идея метода сеток заключается в том, что диффе­
ренциальное уравнение, начальные и краевые условия заменяют (ап­
проксимируют) сеточными уравнениями, связывающими значения
искомой функции в узлах сетки. Сеточные уравнения, как и сама
сетка, зависят от параметра h. Эту совокупность сеточных задач
называют разн.остн.ои схе.мои.
Центральным моментом в построении разностной схемы явля­
ется переход от дифференциальных уравнений, описывающих движение сплошном среды, к соответствующим соотношениям для сеточных функций.
Частная производная по х от функции u(x, t) непрерывных аргу­
ментов определяется как
v
v
v
и(х + дх,t) - u(x,t)
ди
=
.
дх л.х�о
дх
lim
(7.56)
При определении разностной производной вместо отношения
бесконечно малых берут отношения конечных разностей. Пусть
x,n-I• х11" х111+1
три последовательных узла равномерном разностной сетки на одном временном слое п. Для аппроксимации произ­
водной (7 .56) в узле х,п на п-м временном слое возможно использование различных соотношении:
односторонней правой (производная вперед) разностной произ­
водной
v
-
v
(7.57)
односторонней левой (производная назад) разностной производной
(7.58)
h
двусторонней (центральной) разностной производной
(
п) (
п) - и,пп+l - и11п1-l .
2h
и x,n+l ' t - и x111-l ' t
их X111+l - X111.-I
- ---'-'-'
-'-'--
�
�
-
Вторая разностная производная может быть получена как проv
v
v
изводная от первои разностном производном:
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
1
их.х = h
323
h
­
Рассмотрим для уравнения (7.55) задачу Коши: найти решение
уравнения в области -оо < х < +оо, t � О, удовлетворяющее началь­
ному условию и(О, х) = ф(х). Здесь область G11 - верхняя полуплос­
кость (t > О), а Г - ось Ох.
Построим разностную схему для этой задачи. Введем прямо­
угольную сетку tn = n't; х"1 = mh, где п = О, 1, 2, ... ; т = О, ±1, ±2, . . .
Заменив производную du/dt в точке (n't, mh) разностным отноше­
нием (7.57), а производную du/dx в той же точке - разностным
отношением (7.58), получим сеточное уравнение:
(7.59)
Совокупность узлов, используемых в сеточном уравнении, назы­
вают шаблоном. Шаблон для уравнения (7.59) получил название
<<уголок назад» (рис. 7.13, а).
п-1/
n+l/2
2
п+
n+�
п+1-+----<О----+- п+п1/2+l-+--+--t
+-*"-Jf--*'-+
n--+--tп
n-1
��
m
.___
__.
_.,_
т-1 т m-1 т m+l m-1 т m+l m-1 т m+l т m+l
....
�
..
а
б
в
г
д
Рис. 7.13. Варианты сеточных шаблонов
Начальное условие и(О, х) = ф(х), входящее в постановку задачи
Коши, заменяем сеточным начальным условием
и� = <p(mh).
(7.60)
Выражения (7.59) и (7.60) вместе представляют разностную схе­
му решения задачи Коши.
Если разностные уравнения связывают значения искомой функ­
ции в узлах двух слоев п и п + 1, то схема называется двухслойной,
а если в узлах трех слоев, то трехслойной. В случае, когда разност­
ные уравнения содержат при любом т значения функции лишь в
одном узле верхнего слоя, схему называют явнои, иначе - неявнои.
При использовании явных схем значения и::,+1 на верхнем слое
можно определить для любого т независимо от их значений в дру­
гих узлах этого слоя. Выражение (7.59) можно переписать в виде
v
v
7. Методы решения аэродинамических задач
324
n+l
и
"�
п
= ит -
't
h
(и
)
.
и
l
,п ,п
п
п
(7.61)
Поскольку и� определено соотношением (7.60), формула (7.61)
позволяет непосредственно вычислить и� для всех т, затем и;1
и т. д. Неявные схемы приводят к системам линейных алгебраических уравнении относительно значении иn+l на верхнем слое. Таким образом, рассматриваемая разностная,псхема (7.59), (7.60) является явнои двухслоинои.
Замена непрерывного дифференциального оператора
v
v
v
v
v
разностным оператором
L = �+�
дх
дt
п
п
п
n+I
и
и
и
и
,п
,п-1
---,п +
Lh - ,п
h
приводит к ошибке (погрешность аппроксимации), от значения ко­
торой будет зависеть точность решения разностной задачи. Погреш­
ностью аппроксимации схемы на точном решении называется се­
точная функция
возникающая при подстановке точного реше­
ния непрерывной задачи в уравнение схемы:
[
�=
<ph,
u(x,t
+ Лt) - u(x,t) + u(x,t)-u(x- Лх,t) ] Лt
[- ди(х,t) + ди(х,t) ] .
дt
Лх
(7.62)
дх
Разностная схема называется аппроксимирующей по отношению
к точному решению и непрерывной задачи, если
О при h --? О.
k
Если справедлива оценка
= O(h ) то порядок аппроксимации
равен k.
Определим порядок аппроксимации схемы (7.59) и (7.60). Бу­
дем использовать разложение функции в окрестности некоторой точ­
ки в ряд Тейлора. Известно, что если в этом разложении отбросить
остаточный член порядка р 1 , то оставшаяся часть аппроксими­
рует точное значение функции порядка р.
Предположим, что точное решение имеет непрерывные равно­
мерно ограниченные вторые производные по t и х и между шагами
сетки установлена связь 't = rh, r = const. Начальное условие и(О, х) =
= ф(х) аппроксимируется с помощью (7.60) точно. Следовательно,
l <i>hll
+
,
l <i>hll -7
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
325
погрешность аппроксимации схемы определяется только невязкой
в уравнении (7.59).
Согласно формуле Тейлора,
п
'
2
t2
д
ди
и
n+l
п
=
+
+ О('tз);
uт и + 't
дt 111 2 дt2 111
п
п
2
2
h д и
ди
п
3
п
+
и111-l = и111 - h
+O(h ).
дt 111 2 дх2 т
11
"1
(7.63)
Подставляя (7.63) в уравнение (7.59) и учитывая (7.62), получаем
11
11
11
11
2
h д2и
и
ди
д
ди
't
11
2 ) + 0('t2 )++
=
)
O(h
+
(<ph 111 дt 2 дt2
2
2
д
дх
х
111
111
11
11
2
2
't д и
h д и
ди ди
2
2
rn
rn
11
+
дt дх т
-
-
2
дt 2
111
-
-
2
дх2
+ 0(h
111
) + 0('t ).
Используя связь между шагами, можно утверждать, что
1
= O(h ), т. е. рассмотренная разностная схема имеет первый
порядок аппроксимации.
Рассмотрим для исходного уравнения (7.55) трехслойную схе­
му «крест» (рис. 7 .13, 6) с сеточным уравнением
l <J>h l
n+I -un-1 п -u
И1п
ln + Ит+I 1n-I О
11
2h
=
(7.64)
и начальным условием
и� = <p(mh).
Однако для вычисления искомой сеточной функции недостаточ­
но начального условия и�, нужно еще каким-либо образом опре­
делить значение функции и!п на первом временном слое. Для это­
го, согласно формуле Тейлора, запишем u('t, х) с учетом второй производнои:
v
О,х ) 't2 д2и (О, х)
(
и
д
++ ...
и('t, х) - и(О' х) + 't
2
2
дt
дt
Используя исходное уравнение и вытекающее из него соотно­
шение
д2и = д2и ,
дt 2 дх2
получаем
326
7. Методы решения аэродинамических задач
2 д2и(О, х)
(О
и
д
)
,х
't
...
и ('t, х) - и (О' х) - 't
+
+
2
дх
2 дх
Заменив и(О, х) на ф(х) и аппроксимируя dф/d.x и d2ф /d.x2, имеем
_
:
и�, =<p(mh) - {<p[(m+l)h]-<p[(m-l)h]}+
2
2
't
+ 2 {<р[(т + l)h]- 2<p(mh) + <p[(m-l)h]}.
2h
(7.65)
(7.64), (7.65)
второго
В результате получаем разностную схему
порядка точности.
На рис.
в приведен шаблон разностной схемы Лакса:
7.13,
п
u;:i+1 - О,5 (и::�-1 + и�1+1 ) иrnп +l -и1n-l
+
=О
't
2h
------
(7.66)
'
h,
rh
а при 't =
которая имеет первый порядок точности по
и пер­
вый порядок точности по t.
Схема Лакса является основой для построения двухслойной яв­
ной схемы второго порядка точности. Ее шаблон (рис.
г) по­
мимо основных узлов содержит два вспомогательных, или полуце­
+
лых, узла:
п
п
Значение и�1 1 опре­
деляют в два этапа. Сначала вычисляют значения искомой функции
в полуцелых узлах по схеме Лакса:
7.13,
(т - 112, + 1/2), (т + 112, + 1/2).
2 - (ип + и111п )/2 и111 -и111-l
иn+l/
,n-ll2 ,п-1
+
= О.
-------
�2
11
11
h
'
n+l/2 - (и п + ип )/2 ип -и,11п
и1п+l/
2 ,п 111+l + 1п+l
= О'
-------
v
�2
а затем по наиденным значениям
по схеме «крест»:
(7.67)
h
и111n+l/
_1122 , un+l/
1n+l t22
определяют
n+l/2 - и1n+l/2
и,11n+I -и,пп U1n+l/
.
п-l/
2
2
=О
+
't
h
и111n+l
(7.68)
Эта разностная схема получила название «чехарда», или схема
Лакса - Вендрова. Несмотря на первый порядок точности схемы
Лакса, схема, определяемая уравнениями
имеет второи порядок точности, поскольку в силу симметричности расположения полуцелых узлов в шаблоне схемы «крест» главные члены
(7.67), (7.68),
v
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
327
погрешности компенсируются. Она является схемой предиктор корректор, когда на первом этапе находят предварительные значе­
ния решения (этап «предсказания»), а на втором - окончательные
(этап корректировки).
К этому же типу можно отнести явную схему Мак-Кормака вто­
рого порядка точности. На первом этапе «предсказывают» значе­
ния функции (и::i+l )(!) и (и�1+\ )(I) на новом временном слое в двух
соседних точках т и т - 1 с использованием простой схемы «уго­
лок вперед»:
(l) - и,п u,n+l
п - и,п
(и,n+l
)
п+
п
п = О.
------
'
h
't
(7.69)
n
(-и,п-' +l-1)(l) - и,пп�
-1 + и,пп - ип,п-1 = о'
(7.70)
't
h
1
а на втором находят окончательное значение и�1+ по формуле
n+l
(l)
(l)
u n+l - [ (и п+I )(l) и п )] 12 (и,n+l
(
)
)
и
-1
,п
(7. 7 1)
= о.
+ п
'"'"-' ---"-
1п
1п
--=
'--
-
1!
+
_
--=
-
't/2
=--
h
В заключение для уравнения (7.55) приведем неявную двух­
слойную схему «прямоугольник», шаблон которой изображен на
рис. 7. 1 3, д. Она основана на линейной интерполяции разностных
аппроксимаций производных на центр шаблона:
п, - и,п и,пn+l - ип,n+l
1
и
+l �п + ��
+ - п+l
2
h
-
h
=О. (7.72)
Данная разностная схема имеет второй порядок точности. Ее
удобно использовать для решения краевой задачи в области х > О,
t С. О с условиями на границе и(О, х) = ф1 (х), u(t, О) = ф2(t). Началь­
ные и граничные условия аппроксимируют следующим образом:
и�1 = ф1 (mh), и8 = ф2 (nh),
где т = О, 1, ... ; п = О, 1, . .
.
Перепишем (7.72) в виде
(7.73)
где
Х = (1- r)/(1 + r), r = 'tlh.
Значения и�1 заданы, и�1 = <p('t),
поэтому по формуле (7.73) мож­
но последовательно вычислить при всех т значения и,� и т. д.
328
7. Методы решения аэродинамических задач
Сходимость и устойчивость разностных схем
Разностная схема называется сходящейся, если при h � О се­
точное решение стремится к точному: uh � и. Если llи - u1ill = O(hP),
то порядок сходимости (порядок точности схемы) равен р. Сходимость является одним из основных критериев качества разностнои
схемы, обеспечивающим правильное воспроизведение искомого ре­
шения на сетке. Данное свойство трудно проверить теоретически.
Обычно для доказательства сходимости проверяют другое свойство
схемы, называемое устойчивостью. Под устойчивостью понимают
v
непрерывную зависимость решения разностнои задачи от входных
данных. Иначе можно сформулировать так: если малое изменение
входных данных приводит к малому же изменению решения, то схе­
ма устойчива. Из устойчивости и аппроксимации схемы вытекает
ее сходимость.
Для общего случая теоретические доказательства устойчивости
v
разностных схем газовом динамики в настоящее время отсутствуют. Явные схемы обладают устойчивостью лишь при достаточно
малом шаге сетки по времени 't, удовлетворяющем неравенству типа
некоторая критическая величина временного шага.
't < 'tкр, где 'tкр
Неявные схемы формально обладают большей устойчивостью,
однако их реализация с помощью итерационных процессов приво­
дит к дополнительным ограничениям на шаг 't того же порядка, что
и для явных схем.
Покажем, что схемы, обладающие свойством аппроксимации,
могут быть несходящимися, а следовательно, неустойчивыми. Рас­
смотрим задачу Коши вида
v
-
ди ди - о·
дt - дх - '
(7.74)
и(х, 0) = ф(х)
при -оо < х < +оо и О < t < 1 . При построении разностной схемы, как
и ранее, используем связь между шагами по координатам: 't =
= const. Простейшая явная схема «уголок вперед» имеет вид
rh,
r
n
n+l
ит - Uт
't
(7.75)
о
и"� = ф(тh),
где т = О, ±1, ±2, . . . , п = 1, 2, . . . Можно доказать, что данная разност­
ная схема аппроксимирует непрерывную задачу вида (7.74).
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
Покажем, что при r > 1 сходи­
h
мости решения и к точному реше­
нию и(х, t) нет, а значит, нет и ус­
тойчивости, поскольку для линей­
ных задач она влечет за собой
сходимость.
Шаг выберем таким, чтобы
число N = Tl't = 1/(rh) было целым
(рис. 7. 14). Согласно уравнению
(7. 75),
иn+l - r)и,п + rи,п .
"�
=
(l
п
t
329
А(О,1)
I/r
n+I
1
х
Рис. 7.14. К определению крите1
рия устойчивости разностной
В конечном счете значения u0+
схемы
выражаются через значения и� ,
лежащие на отрезке О < х < hlt 1/r,
где задано начальное условие и(х,О) = ф(х). Таким образом, реше­
=
ние разностного уравнения в точке (О, 1) сетки не зависит от точек,
лежащих вне треугольника ОАВ. Область, ограниченная этим тре­
угольником, называется областью зависимости решения.
Рассмотрим точное решение исходной задачи. Легко заметить,
что им является любая функция вида и( х,t) = f (х + t). Как извест­
но, влияние начальных данных на решение распространяется в плос­
кости задачи по характеристическим направлениям. Для характе­
ристик исходного уравнения должно выполняться дифференциаль­
ное уравнение dxldt = -1. Следовательно, уравнение характеристики
будет иметь вид
х -t + const,
=
или
х + t = const.
Такая прямая, проходя через точку А(О, 1 ), пересечет ось Ох в
точке B(l, О). Но отрезок О :5 х :5 1/r «влияния» начальных данных
не содержит точки B(l, О). Значит, если изменить начальные дан­
ные в окрестности этой точки, то это вызовет изменение решения
непрерывной задачи в точке А, но никак не повлияет на решение
h
разностной задачи u . Таким образом, сходимости разностной зада­
чи к исходной непрерывной в этом случае не будет.
Изложенные выше соображения принадлежат Р. Куранту,
К. Фридрихсу и Г. Леви. Их именами названо следующее условие:
для устойчивости явной разностной схемы необходимо, чтобы об­
ласть зависимости решения дифференциальной задачи находилась
внутри области зависимости решения разностной задачи. Это ус­
ловие можно сформулировать по-другому: скорость распростране-
7. Методы решения аэродинамических задач
330
ния физических возмущений не должна превышать скорости распространения численных возмущении.
Условие Куранта - Фридрихса - Леви является лишь необходи­
мым и может применяться только для установления непригодности
тои или инои схемы.
v
v
v
Разностные схемы для уравнений газовой динамики
Система квазилинейных уравнений, описывающих одномерное
неустановившееся движение невязкои нетеплопроводнои среды,
имеет вид
v
дf + А дf 0'
дt дх
=
v
(7.76)
и . А и2 р о
= ра
где f = р '
и о
р
р о и
Характеристические направления этой системы гиперболичес­
кого типа в плоскости Oxt определяются собственными значениями
-]
матрицы А. Следовательно, дифференциальное уравнение характе­
ристик и условие Куранта - Фридрихса - Леви в данном случае бу­
дут соответственно выглядеть так:
dx
'
,
1,
2
3
dt
Лх >_ 1и1 +а или лt _< Лх ,
Лt
1и I +а
где Л,1 =и; Л,2,3 =и+ а.
Перепишем уравнения (7.76) в дивергентной форме. Для этого
-
=
/..,
.
достаточно упростить систему (7 .51 ), приняв в ней для одномерно­
го случая V
и:
др + д(ри) = О;
дt дх
д(ри) + д(ри2 + р) 0;
дх
дt
д[р(е +и2/2)] + д[ри(е+ р/р+ и2/2)] = О.
дх
дt
=
=
(7.77)
7.3. Метод конечных разностей (метод сеток)
331
Преобразуем уравнения системы (7.77) к соответствующим ин­
тегральным уравнениям:
фpclx-pudt =О;
фpudx- (р + pu 2 )dt = О;
фр(е+ u2/2)dx-pu(e + р/р + u 2/2)dt = О,
г
(7.78)
г
г
где Г - граница расчетной области, для которой выполняются законы сохранения.
Для дискретизации пространства t
h
pn+l
решения воспользуемся равномерном
т 1
_.'
сеткой (рис. 7
а в качестве контура
''
Г возьмем четырехугольник, выделен­
Rm+i12
Rm-112
''
полужирной линией.
ный на рис. 7
Рт
"
Его вертикальные стороны имеют абс­
m-1 m-1 /2 т m+l/2 m+l
циссы (т ±
Параметры газа на
х
этих сторонах обозначим заглавными о
буквами с соответствующими индек- Рис. 7.15. Расчетная сетка для
сами: Rm+l/2' P,n+l/2 • Е",+ 112' И"1+112 · одномерных нестационарных
Интегрируя по контуру и исполь- уравнении газовои динамики
зуя теорему о среднем, получаем сле­
дующие конечно-разностные соотношения:
v
.15),
.15
1/2)h.
_______
!->
п
______
v
� [(RU)"i+l/2 - (RU),n-112];
2
2
1
-(Р
=
(Р
+
RU
+
RU )1п+112
(ри)� � [
(ри)�:
)1п-112 ] ;
v
P�n+l = P�i -
п
n+
2
2
[p(e+u /2)] I =[р(е+и 12)] 2
2
- � [R И (Е + PIR + U 12),п+112 - R U (E + PIR + И 12),п-112 ] .
h
11!
(7.79)
11!
Полученные соотношения являются основой различных разност­
ных схем (схем сквозного счета), отличающихся между собой спо­
собами определения параметров R, Р, Е и И в правых частях урав­
нений. Так, в схеме Лакса (см. выражение (7.66)) все искомые вели­
чины находят как полусуммы их значений в ближайших точках,
например: R,n+l/2 =
+
и т. д. Для обеспечения устойчи-
(P,n+I Р,п )/2
332
7. Методы решения аэродинамических задач
вости разностной схемы вместо первых слагаемых в правой части
уравнений (7.79) также берут их осредненные значения. В схеме
Годунова предложено использовать способ, основанный на расчете
автомодельной газодинамической задачи о распаде произвольного
разрыва. В схеме Лакса - Вендрова (см. выражения (7.67) и (7.68))
искомые параметры на первом шаге определяют по схеме Лакса
(см. трехточечный шаблон, обозначенный на рис. 7.15 крестиками),
а на втором используют формулы (7.79). Наконец, в схеме Мак­
Кормака (см. выражения (7.69)-(7.71)) на первом шаге используют
правосторонние пространственные разности (условно это можно
интерпретировать как определение параметров R, Р, Е и И), а на
втором - левосторонние, причем в последнем случае разностные
соотношения могут быть записаны в виде, аналогичном (7.79) для
верхней половины ячейки с шагом по времени 't/2.
7.4. Метод Годунова
Основные положения метода
В настоящее время одним из наиболее широко применяемых
для моделирования смешанных (до- и сверхзвуковых) стационар­
ных течений методов является метод установления параметров по
времени. В этом случае исходную систему уравнений сохранения
газовой динамики записывают для модели нестационарного тече­
ния газа, а в результате решения получают параметры потока, не
зависящие от времени.
При составлении разностной формы записи уравнений сохра­
нения для модели пространственного течения вязкого газа суще­
ствует ряд сложностей, связанных с выбором модели турбулентно­
сти, громоздкостью вычислительного процесса, ограниченной па­
мятью вычислительной машины и т. д. Однако в случае обтекания
тел простой формы (тел вращения) в условиях отсутствия отрыва
потока на боковой поверхности для расчета параметров течения и
аэродинамических характеристик вязкими эффектами можно пре­
небречь, поскольку они не оказывают существенного влияния на
давление у обтекаемой поверхности. Такое допущение позволяет
упростить исходную систему уравнений и рассматривать уравне­
ния движения в форме Эйлера. Тогда уравнения нестационарного
трехмерного течения идеального газа в декартовои системе координат будут иметь вид
�
333
7. 4. Метод Годунова
дFх дFу дFz
+
+
-+
дх
ду
дz
дt
дG
где G =
р
pvx
.' Fх
pvy
pvz
Pio - Р
=
=
О
'
(7.80)
pvy
pvxvy
pvx
pv; + р
pvxvy ; Fy
pvxvz
=
•
PVx10
pv; + р .' Fz
pvyvz
pvyio
=
pvz
pvxvz
pvyvz
pv; + р
pvzio
Удельную полную энтальпию газа в данном случае можно вы­
числить по формуле
.
lо =
2
2
+
+
Vx Vy VZ
2
2
р
+
k-l p '
k
где k - показатель адиабаты. Для вычисления полей температур
систему (7.80) необходимо дополнить уравнением состояния.
В основе вывода формул, используемых в численном расчете,
лежат уравнения сохранения в интегральной форме, записанные для
выделенного в потоке газа произвольного объема W:
д
дt w
JJJGd W = - JJ Fxdydz + JJ F dx dz + JJ Fzdy dx .
s
y
s
(7. 8 1 )
s
При составлении разностной формы записи необходимо прове­
сти разбиение расчетной области, выделенной вокруг исследуемо­
го тела, на элементарные ячейки объемом W, которые могут быть
как подвижные, так и неподвижные.
В качестве примера на рис. 7. 1 6, а приведена неподвижная расчетная сетка в продольнои плоскости симметрии конического тела.
При ее построении необходимо учитывать особенности распрост­
ранения возмущений в потоке. В частности, желательно, чтобы
внешние границы расчетной области заведомо охватывали выстраиваемыи в процессе расчета головнои скачок уплотнения.
Для отдельно взятой ячейки (рис. 7.16, б), переходя в уравнени­
ях (7.81) от производной по времени к конечной разности и считая,
что все параметры остаются постоянными в течение одного шага
расчета по времени, обобщенную форму записи уравнений сохра­
нения можно представить так:
�
�
�
7. Методы решения аэродинамических задач
334
Gi,j,k = Gi,j,k +
;1n=i,j,k
L [CFx)n1 Sn1x +(Fy)mSmy +(Fz)n1 Sn1z
(7.82)
где Gi ,k• G iJ, k средние значения величин, стоящих в столбце G
J
на текущем (нижние индексы) и последующем (верхние индексы)
-
i
l:
�
k
(i,J+1, k)
1
r---+
:-=-:
,t s�1: ;
+'
,о.
,
,
__
(i+l,j,
k) · ---
,
(i,j'
k)
а
1
..
..._
'
(i,j'
-
--
k +1)
б
Рис. 7.16. Фрагмент расчетной сетки (а) и элементарная ячейка (6)
7.4. Метод Годунова
335
временных слоях; 'tn некоторый переменный шаг по времени;
Smx, Smy> Smz, S(пi+I)x' S(m+l)Y' S(m+l)z - проекции площадок Sm и Sm+l
на плоскости, перпендикулярные соответственно осям Ох, Оу, Oz.
Уравнения (7.82) записаны с учетом того, что векторы S,n направлены по внутренней, а Sm+I - по внешней нормали, а ячейка
имеет плоские грани площадью sj, Si+I• sj, Sj+I• Sk, Sk+I> на каждой
из которых параметры Fx, Fy, Fz распределены равномерно.
Решают уравнения (7.82) последовательными шагами по време­
ни. Отдельный шаг заключается в том, что по известным газодина­
мическим параметрам Gi J, k в каждой ячейке области W в момент
времени t = t0 определяют эти же параметры в момент времени t 1 =
= t0 +
т. е. G iJ, k. Если полученные значения GiJ,k принять за
начальные (т. е. GiJ, k), подставив в правую часть уравнения (7.82),
и опять провести расчет по описанной схеме, то новые значения
G iJ,k будут описывать состояние газа в следующий момент време­
ни tn+I = tn + 'tn+ I (п = 1, 2, 3, .. . ) И т. д.
Помимо параметров течения, стоящих в левой части уравнения
(7.82), неизвестным является второе слагаемое в правой части урав­
нения, куда входят проекции s,n и s,11+ ! граней ячеек и объем w
ячеики, которые можно рассчитать по известным соотношениям, а
также параметры Fx, Fy, Fz. Для их вычисления наиболее широко
применяют метод Годунова, основанный на решении задачи о рас­
паде произвольного разрыва.
Вычисление параметров потока при распаде произвольного раз­
рыва представляет собой автомодельную задачу для одномерного
течения газа. Ее решение может быть использовано как для анализа различных нестационарных течении газа, так и в качестве элемента численного метода расчета. Однако независимо от того, в ка­
кой области исследования применяется эта задача, общая структу­
ра ее решения имеет законченный вид и может быть рассмотрена
отдельно.
Пусть имеется плоский канал, разделенный перегородкой (ана­
лог граням двух соседних ячеек), которая перпендикулярна оси Ох
и совпадает с началом координат. В начальный момент времени t = О
в левой части канала находится газ, который характеризуется давлением плотностью скоростью и т. д., а в правои - газ с
и т. д. (рис. 7.17, а).
соответствующими параметрами
При внезапном удалении перегородки между двумя массами газа
образуется поверхность контактного разрыва (рис. 7.17, б). В еле-
-
-
-с1,
v
v
р1,
р1,
и1 ,
Рп. р11 и11
v
7. Методы решения аэродинамических задач
336
дующии момент времени разрыв распадется на устоичивые схемы тече11
1
ния, которые могут существовать в
и1,р1, Pt"·· ип,рп, Рп" ..
газе:
ударные
волны
или
волны
раз­
о
х
режения, причем в каждую сторону
а
начнет двигаться только одна из волн.
Формирование
тех
ли
иных
элемен­
-!-КР
тов течения будет зависеть от перво­
У В •>- !
+вР
начального соотношения параметров
газа.
б
На рис. 7.18, а показан характер
Рис. 7.17. Схема распростране­
изменения
давления
при
движении
ния возмущений в плоском ка­ двух потоков один навстречу друго­
нале при t = О (а) и t > О (б) му со скоростями и1 и ип. В этом слу­
(ВР волна разрежения; КР
чае возникают две разбегающиеся
контактный разрыв; УВ -удар- ударные
волны, скорости которых со­
ная волна)
ответственно равны D1 и Dп. При первоначальном соприкосновении двух
неподвижных или движущихся в одну сторону с одинаковыми скоростями масс газа, сжатых до различных давлении, в одну сторону
будет распространяться ударная волна, а в другую - волна разре­
жения (рис. 7 .18, б).
На рис. 7.18, в изображен случай, когда в обе стороны распрос­
траняются волны разрежения. Такой вариант возникает, если в начальныи момент времени соприкасающиеся массы газа имеют скорости, направленные в разные стороны от поверхности контактно­
го разрыва. Предельным для последней структуры течения будет
случаи, когда скорость разлета превышает некоторое критическое
значение и в области между двумя волнами разрежения образуется
вакуум. Позади каждой из движущихся волн, т. е. вблизи начала
координат, статическое давление газа выравнивается и его скорость
одинаковая. Однако плотность и внутренняя энергия при этом моу
v
v
: ��
'
"
.
1
1
-
-
v
v
v
р
о
Di
UJ
р
Dн
ип
а
D1
�
.,1
х
о
�D н
б
-
D1
-ин
х
U IJ
и,
-
и1 -
-
-
р
о
Рис. 7.18. Варианты распада разрыва
•
•
•
•
•
•
•
в
-
•Dн
-
х
7. 4. Метод Годунова
337
гут изменяться. Такое скачкообразное изменение параметров назы­
вается контактным разрывом.
Поскольку скорости движения волн D1 и Dп постоянны, на плос­
кости Oxt автомодельную картину возникающего течения можно
изобразить одной из возможных схем, представленных на рис. 7.19.
Поверхность контактного разрыва размещена в пространстве между двумя волнами и движется в направлении однои из них с меньшей скоростью, поэтому на плоскости Oxt она разбивает область
между волнами на две подобласти (слева и справа от разрыва).
В свою очередь, эти подобласти отделены от невозмущенных обла­
стей либо ударной волной, либо волной разрежения. Поскольку при
переходе через поверхность контактного разрыва плотность испы­
тывает скачок, а давление и скорость в направлении оси Ох оста­
ются постоянными, их одинаковые значения слева и справа от плос­
кости разрыва обозначим Р111 = Prv = РКР и Иш = И1v = ИКР, а различные значения плотности и, следовательно, внутреннем энергии
для левой и для правой областей соответственно Rн1, Ен1 и R1y, E1v
(рис. 7.20).
v
v
t
КР
'
х
о
t
'' '
В Р ' ,\,
.
.
.
.
"
!
о
1
1
1
'ВР
х
1
1
ВР
'
'
х
.КР
''ВР
'
t
1
о
t
КР
.
1
1
1
.
о
.
о
х
Рис. 7.19. Схемы распада разрыва
х
Рис. 7.20. Параметры для различных
областей возмущенного течения
Таким образом, решение задачи о распаде разрыва сводится к
установлению истинной формирующейся структуры и определению
соотношений, связывающих параметры газа в невозмущенных об­
ластях и за образующимися волнами.
В основе расчета параметров потока в возмущенных областях
лежат уравнения неразрывности, движения и энергии, которые для
одномерного течения газа имеют следующим вид:
v
7. Методы решения аэродинамических задач
338
д-+
р -д (ри) =О;
дt дх
д(ри) + д(р + ри2 )
'
дt
дх
д- р . и2 р д ри . и2
2 р дх
2
дt
=
i+
-
-­
о
·
+-
i+
-
(7.83)
= 0.
Чтобы уравнения (7.83) можно было применить на разрывных
решениях, содержащих ударные волны, от дифференциальных урав­
нений после соответствующих преобразований переходят к урав­
нениям в интегральной форме:
фpdx-pudt =О;
фриdх-(р pu2 )dt = О;
фр(i + и2/2- р/p)dx-p(ui +u2/2)dt =О.
г
+
г
(7.84)
г
Поскольку структура формирующегося течения неоднозначна
(возможно образование одной из четырех структур, содержащих
как ударные волны, так и волны разрежения), не­
обходимо получить обобщенные зависимости для
t
расчета скорости движения Ик.р поверхности кон­
тактного разрыва. Для упрощения будем считать,
что в результате распада разрыва формируются
слабые волны разрежения, которые можно рас­
Рп, ин
сматривать как одну характеристику.
о
х
Предположим, что при распаде произвольного
Рис. 7.21. Тра- разрыва образуются одна или две ударные волны.
ектория ударной В этом случае соотношения между параметрами
волны
газа при переходе через ударную волну определя­
ем, используя уравнения сохранения (7.84).
Пусть D dx/dt скорость движения ударной волны, которую
можно рассматривать как движущийся разрыв параметров. Изобра­
зим траекторию ее движения на плоскости Oxt (рис. 7.21) и выде­
лим контур, который прилегает к поверхности разрыва, охватывая
некоторым ее участок.
=
v
-
7.4. Метод Годунова
339
Из уравнений сохранения, записанных для этого участка, сле­
дует, что вдоль поверхности разрыва (ударной волны) справедливы
следующие соотношения:
J[р]dx-[pu]dt = J([р]D - [pu])dt =О;
J[ри ]dx-[р + ри2 Jctt = J ([ри]D -[р + pu 2J) ctt =О;
.z + и2 - -р dx- ри z. + и2 dt =
2 р
2
2 р
2
и
и
.
.
-- D - pu z + - dt = 0.
=f р i + 2 р
2
В квадратных скобках здесь записана разность значений пара­
метров по обе стороны от поверхности разрыва.
Вследствие произвольности области интегрирования для каждои точки поверхности разрыва имеем
�
[р]D -[ри]=О;
[ри]D -[р +ри2 ] = 0;
2
2
и
.
.
и
р
р z + -2 - -р D - pu z + -2 = 0.
(7.85)
Введем понятие «массовая скорость». Для этого рассмотрим пер­
вое уравнение системы (7.85) и приведем его для левой ударной
волны:
(Р1 - Rm )D1 - (Р1И1 - RmUКР) =о.
Отсюда следует, что
(7.86)
Уравнение (7.86) соответствует уравнению неразрывности, за­
писанному относительно неподвижной ударной волны. В этом слу­
чае частицы газа в области 1 с плотностью р1 движутся со скорос­
тью (и1 - D1 ), а за ударной волной с плотностью R1 - со скоростью
(ИКР
- D1).
7. Методы решения аэродинамических задач
340
Массовой с1 назовем относительную скорость движения газа по
обе стороны от ударной волны, умноженную на соответствующую
плотность:
с1 =Р1 (и1 - .D� ) = Rш (ИКР -D1 ).
Аналогично для правой ударной волны имеем
(RIV -pu )Dп - (RIVUКP -рпип) =О;
сп = Рп(Dп - ип ) = RIV (Dп -ИКР ).
(7.87)
Преобразовав уравнения (7.86) и (7.87) (с учетом выражения для
адиабаты Гюгонио), выражаем разность скоростей:
р,КР - р1
(7.88)
=0;
UКР -и1 +
CJ
Здесь
РКР - Pu
Икр -иu +
= 0;
Сп
(7.89)
(k + l)РКР + (k - 1) Р1 .
,
Р1
2
(7.90)
(7.91)
В результате распада произвольного разрыва возможно также об­
разование одной или двух слабых волн разрежения, течение в кото­
рых является изоэнтропическим. В отличие от ударной волны ско­
рость волны разрежения соответствует распространению слабых воз­
мущений, т. е. скорости а звука. Для определения скорости И в
данном случае используют условие непрерывности римановых ин­
вари антов:
[и] +
2
k-1
[а]=
О
(знак «+» берут для левой волны разрежения, а знак «-» - для пра­
вой).
С учетом зависимости для скорости звука скорость газа за леv
v
вои волнои разрежения
(k-l)/2
-1
'
7.4. Метод Годунова
или
ИКР -и1
=
2
al
р,
КР
1·
341
(k-\)/(2k)
k-1
Р1
Аналогично для скорости газа за правой волной разрежения на­
ходим
1-
р,
КР
(k-1)/(2k)
Рп
Как и для ударной волны, используя условное понятие «массо­
вая скорость»:
(7.92)
(7.93)
получаем соответственно следующие соотношения:
(7.94)
ИКР -ип - Ркр - Рп =0.
Сп
(7.95)
Параметры потока с использованием приведенных зависимостей
рассчитывают итерационным способом. На первой итерации по за­
данному значению давления Pf/j} оценивают значения р1 и Рп и
определяют соответствующую структуру течения. Так, если Pf/j} > р1,
то в левой области образуется ударная волна, за которой давление
выше, чем в покоящемся газе. Массовую скорость с1 и скорость
ИКР за ударной волной вычисляют с использованием соотношений
(7. 88) и (7.90). При Pl/1) < р1 значение Икр рассчитывают по соот­
ношениям (7.92) и (7.94). Аналогично проводят расчет для ударной
волны в правой области (при Р�� > Рп происходит образование
ударной волны и использование формул (7.89) и (7.91), а при PfP <
<рп
волны разрежения и формул (7.93), (7.95)).
-
7. Методы решения аэродинамических задач
342
На второй итерации Р� можно определить с помощью следу­
ющего соотношения:
0 р,(0)
)
КР
1) (J.( ) КР + <р( Р.(О)
Р.(
_
)
1 + CJ.(O
КР -
Здесь
(O)
k -1
1-z
- 1 при а<О) > О;
Зk (z (O) )(k+ l)/(2k) [ 1 (z (O) )(k-l)/(2k) ]
О при а<О) < О;
--
-=-
-
=
-
_
z (O)
=
(0)
р,КР
Pr + Рп
,
_
)
<р( р,(О)
КР
(0)
(0)
(0)
(0)
+ст
сп (ит -ип )
сп Рт +ст Рп
(0)
cr
+сп(0)
После того как итерационный процесс доведен до сходимости,
т. е. найдено истинное значение давления слева и справа от поверх­
ности контактного разрыва (соответственно за левой и правой волнами) Р�(;,> = Р (где h - число итераций) и получена соответствую­
щая ему действительная картина течения, определяют скорость ИКР:
crur + спи п + Pr - Рп
иК
.Р cr +с п
_
•
где с1, сп - массовые скорости, вычисленные на последней ите­
рации.
Если в полученной структуре течения левая волна является удар­
ной, то скорость ее движения
D1
=
и1 -с1/р1.
Плотность газа за ударной волной можно найти с помощью урав­
нения ударной адиабаты:
(k + l)PКP +(k -l) P1 ,
Rm -Р1
(k -l)Pкp +(k +l)p1
_
или через массовую скорость:
7.4. Метод Годунова
343
Если левая волна является волной разрежения, скорость ее дви­
жения
D1 = и1 -а1,
а связь между давлением и плотностью до волны и за ней опреде­
ляется соотношениями
1)
1)
21<k
2k
t<k
'и
'и
k - 1 КР I
k -1 КР I
R
РКР
m
= l= 1,
2
2
а1
р1
а1
Р1
Аналогичные формулы можно записать для правой волны. Если
она является ударной, то скорость и плотность за волной будут со­
ответственно
Cl .
Dп -и
- п + -,
Р1
а если волнои разрежения, то
Dп =ип + ап ;
2 /(k-1 )
v
l+
'
k - 1 'иКР I 2k 1(k-1 )
2
аи
Для выделенной в расчетной области произвольной ячейки за­
дачу о распаде разрыва решают для проекции скорости Ип, нор­
мальной к рассматриваемой грани, в локальной ортогональной сиетеме координат, связаннои с этои ячеикои.
Таким образом, если известны начальные значения параметров
газа в ячейках расчетной области, решив задачу о распаде разрыва
описанным выше способом, всегда можно найти параметры тече­
ния Ип, Р, R на грани выделенного объема. При этом необходимо
отметить следующее.
1 . Если полученные значения скоростей D1 и D11 положитель­
ные, то траектории движения волн располагаются в правой полу­
плоскости Oxt, плоскость разрыва попадает в зону невозмущенного
течения 1 и параметры Р = р1, R = р1, Ип = и1• В противном случае
скорости D1 и Dп имеют отрицательные значения и параметры воз­
мущенного потока равны параметрам невозмущенного течения в
области 11: Р = р11, R = Рп, Ип = ип.
2. Если скорости D1 и D11 имеют разные знаки, а продольная
составляющая скорости в возмущенной области положительна
(ИКР > О), то плоскость разрыва находится в области между левой
....
....
....
.....
7. Методы решения аэродинамических задач
344
волной и поверхностью контактного разрыва и Р = РКР, R = Rm,
Ип = ИКР; если же ИКР < О, то Р = РКР, R = Rw, И11 = ИКР.
Проекции вектора скорости на оставшиеся оси локальной сис­
темы координат определяют в зависимости от направления распро­
странения контактного разрыва (знака нормальной компоненты ско­
рости) и переводят их в исходную систему координат.
Граничные условия и оценка сходимости меп�ода
В качестве примера рассмотрим способ задания граничных и
начальных условий для случая сверхзвукового обтекания коничес­
кого тела (см. рис. 7.16, а).
Начальные условия задают во всех ячейках, на которые разби­
та расчетная область. В качестве них можно принять, например,
параметры газа в набегающем потоке. Расчет можно проводить с
использованием абсолютных параметров потока, однако лучше
применять безразмерные величины. При расчете обтекания кор­
пуса внешним потоком можно задавать давление, отнесенное к
двойному скоростному напору: р00 = l/(kM�); плотность, отнесен­
ную к плотности в набегающем потоке: р00 = 1; составляющие век­
тора скорости набегающего потока в декартовой системе координат: Vxoo = Vxoo/V00, Vyoo = Vy00fV00, Vzoo = Vz00/V00 , И ПОЛНУЮ ЭНТалЬПИЮ
k Рооо
.
zo =
= k - 1 Ро00
-
Граничные условия задают, исходя из следующих соображений.
В случае невязкого газа на поверхности тела должны выполняться
условия непротекания. Одним из возможных способов удовлетво­
рения этого условия является решение задачи о распаде разрыва
для двух симметричных потоков на грани ячеики, совпадающеи с
поверхностью корпуса ЛА.
В качестве параметров на грани ячейки, совпадающей с внеш­
ней границей расчетной области, допустимо принимать значения,
соответствующие набегающему потоку. Однако лучше воспользо­
ваться общим подходом и решать задачу распада разрыва, формально
введя слой ячеек с параметрами набегающего потока.
В случае если поток на выходной границе расчетной области
полностью сверхзвуковой и отсутствуют возмущения, распростра­
няющиеся внутрь этой области, вводят примыкающий к границе с
внешней стороны фиктивный интервал, параметры в котором либо
принимают равными параметрам в приграничном интервале, либо
v
v
7. 4. Метод Годунова
345
экстраполируют по нескольким ячейкам и решают задачу о распаде
разрыва.
Необходимым условием сходимости численного решения явля­
ется устойчивость вычислительного алгоритма, что непосредствен­
но связано с правильным выбором шага расчета по времени.
Одним из допущений при составлении разностной схемы яв­
ляется неизменность параметров потока на боковых гранях выде­
ленного объема в течение текущего шага. Для определения этих
параметров решают задачу о распаде разрыва между соседними
гранями. Очевидно, что это допущение будет выполняться в тот
промежуток времени, пока возмущения не достигнут противопо­
ложной грани объема.
Поскольку размеры ячеек в расчетной области могут различать­
ся, неодинаковыми будут и площади проекций граней на соответ­
ствующие плоскости. Кроме того, в зависимости от соотношений
параметров потока в соседних ячеиках могут возникать волны различной интенсивности. Поэтому в каждой ячейке допустимый шаг
расчета будет свой. Для устойчивости нестационарной задачи в це­
лом необходимо выбирать наименьший шаг среди всех ячеек расчет­
ной сетки. Если в качестве итерационной процедуры в методе установления используют решение нестационарных уравнении, то допустимый шаг выбирают индивидуально для каждой ячейки сетки.
На основе анализа устойчивости линеаризованного аналога рас­
сматриваемой численной схемы было получено, что допустимый
шаг 't должен удовлетворять следующему соотношению:
v
v
Здесь
'tz
=
z
max (v
h
+а, а - vz )
,
а hx, hy, hz - шаги сетки вдоль соответствующей оси координат.
Это условие имеет простой физический смысл: значения 'tx, 'ty,
'tz представляют собой частные временные интервалы, за которые
самые «быстрые» волны, образующиеся в задаче о распаде разры­
ва, достигают противоположной грани многогранника по осям Ох,
Оу и Oz соответственно.
7. Методы решения аэродинамических задач
346
При решении нестационарной задачи, требующей единого шага
по времени для всех ячеек, необходимо среди всех значений 'tiJ,k•
рассчитанных для каждой ячейки сетки, выбрать минимальное:
.
't = ПUП't· · k·
l,J'
Учитывая приближенный характер формулы, для окончательного
выбора шага по времени берут некоторый коэффициент запаса К:
· · k'
't = К min 'tt,j'
где К"" 0,4 ... 0,8.
В случае произвольной сетки критерий выбора шага может быть
модифицирован с учетом скорости увеличения объемов W,n, охватываемых распространяющимися от гранен возмущениями в сторону
увеличения или уменьшения индексов т = i,j, k соответственно:
W,п+ =V S,п + а Sm ;
�
-
-
w,п-
= als,п -v s,п,
где V скорость газа в ячейке; а скорость звука.
Тогда за среднее минимальное время распространения возму­
щения вдоль сеточного направления т можно принять интервал,
удовлетворяющим следующему соотношению:
-
-
�
W = 't"iwrп •
где W объем ячейки; W,n = max (W"i+, W ).
В результате для произвольной ячейки критерий выбора шага
будет определяться так:
1
w
.
·
<
't k ,/, ], 11'ti + 11' 'tj + 11'tk wi + wj + wk .
В качестве показателя сходимости решения в процессе расчета
(при переходе от текущего шага расчета к следующему) можно взять
параметр ЕР, которым характеризует скорость изменения плотности:
т_
-
---
--
�
€р =
p(tn+i ) - p(tn )
i,j,k 'tn+lPmax
L
2
'
1 .
KJ/
Здесь p(tп+i), р(tп) плотность в ячейке соответственно на теку­
щем и предыдущем временных слоях; Ртах максимальное значе­
ние плотности на текущем временном слое; КJI общее число
ячеек во всей расчетной области.
-
-
-
7. 4. Метод Годунова
347
Метод сквозного счета
Рассмотрим частный случай расчета параметров потока, когда
во всей расчетной области продольная составляющая скорости пре­
вышает скорость звука. Такое течение имеет место, например, при
безотрывном обтекании острых конусов, истечении сверхзвуковой
струи газа из сопла и т. д. Исходную систему уравнений сохране­
ния записывают для модели стационарного невязкого сверхзвуко­
вого течения, а параметры потока на боковых гранях ячеек опреде­
ляют из решения задачи о взаимодействии двух полубесконечных
сверхзвуковых потоков.
Пусть истечение двухмерной незакрученной струи происходит
в затопленное пространство. Дифференциальное уравнение нераз­
рывности в цилиндрической системе координат имеет вид
д(ри) + д(рv) + pv = О, или д(ри) д(рv) = -р v .
r
дх дr r
дх дr
Умножив правую и левую части этого уравнения на dxdr, интегри­
+
руя его по характерной площади ячейки:
д
p
u
[
д
(
(р
v)
)
dx
dr
dxdr]
J
+
J х
r
д
S
д
=
-JJp�dxdr,
r
S
и применив формулу Грина, получаем уравнение неразрывности в
виде
фpudr-p v dx
L
=
JJ p�dS,
r
-
S
где L замкнутый контур, ограничивающий площадку S .
Аналогично можно записать интегральные уравнения движения
в проекции на оси Ох и Or:
-
u
фСри2 + p)dr- puv dx= -JJр v dS;
r
2
v
2
фpuv dr- (pu + p)dr =-JJ p-dS.
r
L
S
L
S
В общем случае для плоского и осесимметричного течений си­
стема интегральных уравнений сохранения массы и импульса бу­
дет следующей:
фp(udr- vdx) = -кJJр v dS;
r
L
S
(7.96)
348
7.
Методы решения аэродинамических задач
v
pdr
=-кJJ
фpu(udr -vdx)+
р u dS;
(7.97)
2
фpv(udr-vdx) - pdx=-кJJ p�dS,
(7.98)
L
S
L
S
r
r
где к = О для плоского и 1 для осесимметричного течения.
Решая уравнения (7.96)-(7.98) совместно с уравнением энергии
-
2k -р + и 2 +v2 = k + 1 ,
-(7.99)
k-1 р
k-1
определяют параметры р, р, и, v. Все переменные уравнений (7 .96)­
(7 .99) являются безразмерными. Приведение к безразмерному виду
и скорости к критическим знадостигается
отнесением плотности
* *
* *2
чениям р , а , а давления - к р а .
Для проведения численных расчетов вводят сетку с узлами, рас­
положенными в сечениях х = const (рис. 7.22, а). В каждом сечении
узлы имеют равномернь.1и шаг
v
Ну = 2r(x)/(daN1),
где N1 некоторое число, равное числу отрезков на оси Or.
Шаг Ну определяют в процессе расчета и изменяют от сечения
к сечению. Параметрам потока на текущем слое х = 2x01da припи­
сывают нижний индекс, указывающий номер отрезка (р11, р11, и11, v11
и т. д.), а параметрам на следующем слое х = 2(х-о + Hx)/da та­
кой же верхний индекс (р11, р11, u11, v 11 и т. д.). Узлы рассматривае­
мых сечений с одинаковыми номерами соединяют отрезками. Па-
-
r
N+lµ+I
v
Л
а
А
N+
;.о···········\··
N
1
с
п
в
Рис. 7.22. Расчетная область
(а) и расчетная ячейка (6)
7. 4. Метод Годунова
349
раметры на каждом таком узловом отрезке обозначают заглавными
буквами (Р, R, И, V). Им присваивают нижние индексы, соответ­
ствующие номеру узла.
Интегрирование вдоль контура ABCD (рис. 7 .22, б) осуществля­
ют против направления движения часовой стрелки. Например, в
уравнении (7.96) интеграл в левой части можно представить в виде
суммы интегралов:
ф p(udr-vdx) =l 1 = JDA + lАм + lмв + lвс + lcN + JND'
ABCD
а в правоиv части записать так:
-кff p� dS = 12 = -К
r
Здесь JDA = рпип(-Нуп); lлм = RN (-VN )Hx; lмв = RNИн (+Лн);
lвс = рпип (+Н; ) ; lcN = Rн+1 (-Vн+1)(-Нх); JND = Rн+1Ин+1 (Лн+1).
s
После алгебраических преобразований уравнение неразрывно­
сти примет вид
Пусть а= риН У '
(7.100)
Аналогично можно записать разностные уравнения движения:
(7.1 о l)
п
п
)Н
V
=
"f
+
-V
+
(Рн
-Рн
п
'У
+1 х N+IDN+I нDN -(vо)п -(vо) , (7.102)
2
+ ри )Н У ;
"(= риvН у ·
где � = ( р
При известных а п, � п, уп параметры и, v, р, р на слое х = х0 + Нх
определяют по формулам
350
7.
Методы решения аэродинамических задач
k '2 k + l •/ а2 k +l у2 '
k �+ -�
k
1
'
k
-1
k
-1
k
1
и = ----�--�---�----�·,
a(k + 1)/(k -1)
а
� - аи
.l
·
v=
.
р=
; р=
а
иНУ
Ну
-
-
(7.1 03)
,
Уравнения (7.100)-(7.103) решают методом последовательных
приближений.
Таким образом, зная параметры потока Рп• Рп, ип, vn и величины
PN+I• RN+I• UN+I• пVN+I• Рм Rм Им Vм можно вычислить аналогич­
ные параметрыр , рп, un, v11 на правой границе ячейки.
Параметры потока на верхней АВ и нижней DC гранях элемен­
тарной ячейки ABCD (см. рис. 7.22, б) находят из решения плоской
задачи о взаимодействии двух полубесконечных равномерных сверх­
звуковых потоков, имеющих параметры с индексами п 1 и п, а
также п и п + 1 . При определении величин Р, R, И и V в зависимос­
ти от соотношения параметров в потоках на границах AD и AD'
может реализоваться одна из структур течений, представленных на
рис. 7.23. Продольная граница ячейки соответствует отрезку АВ.
Эта граница в общем случае может попасть в любую область спра-
D
ВР
11
,"/ /
1,
1" "
1�" ll
ф
•
D'
,
�
,,' '
,, '
,,''
D
в
I
D
КР
а
ф
..·
·····
.
D
в
г
D'
6
УВ
D'
1" /
1
�"
х
D'
' ВР
1
КР
х
х
А
D'
ВР
,
,"//
1,
/
/
'
/
/
/
/
/
/
'
..
...
'
. КРх
УВ
/
в
. .. .. ...
'
. ...
1
в
·· ·
···········
".. . ".
.
.... ··········
······
....
····
·····
'
II в
'
F
р
х
д
Рис. 7.23. Структуры взаимодействия сверхзвуковых потоков
7. 4. Метод Годунова
351
ва от линии DD', включая невозмущенный поток, веер волн разре­
жения и т. д. Структуры, приведенные на рис.
а-г, представля­
ют собой различные комбинации двух элементов взаимодействия:
скачка уплотнения, или ударной волны, и волны разрежения. В слу­
чае, изображенном на рис.
д, границы веера волн разрежения
совпадают с контактными разрывами (линии AF, АР) и зона FAP
является областью вакуума.
Параметры потока в областях I и II (рис.
определяют по
зависимостям, известным из теории скачков уплотнении и течения Прандтля - Майера. Буквами Р, R, И и V обозначают парамет­
рьI газа в той области, куда попала граница ячейки.
Задачу решают методом последовательных приближений. Напри­
мер, при расчете параметров потока на границе ячейки АВ для слу­
чая, приведенного на рис.
в, первоначально задают угол откло=
и определяют углы
(см. рис.
нений потока
= I
По известным значениям чисел Маха М 1, М2, давле­
вычисляют давления в обла­
ний р1, Р2 и найденным углам
стях и решением следующих систем уравнений:
для области I:
7.23,
7.23,
7.24)
Лrо 102 + 11ЗJ.
1 11
v
7.23,
7.24)
Л�, Лrо
11ЗJ
Л� 1011+11ЗJ,
tgЛ � - [(k+l)/2]Mfsin2 0cк
tg(0cк -Л�) 1 + [(k -1)/2]Mf sin2 0ск '
k-1
2k
2
2
М
s1n
0ск
;
1
р1 = р1
k+ l
k+ l
.
----"
----'-
-
-
(
)
.
(7.104)
для области II:
k
l
(7.105)
{k+l
g
ct
(М
=
-1)-arctg�M�
ar
-1;
k)
u,
�
M
ffiп(
k+ 1
vk=l
k
k
-1
-1
k
k
I
k
k-I
_
2
2
+
1
Рп. - Р2 +
м
м
2
.
2
2
_
(i
п
) (
·
)
·
Процесс заканчивают при условии р1 = Рп· По найденным зна­
чениям давления р1 = Рп = и угла t} находят плотность, модуль и
компоненты вектора скорости, скорость звука, число М:
Р
352
7.
Методы решения аэродинамических задач
с
D
р
R=
М2
р
1/k
'
Р2
(k - 1) р1 + (k + 1)Р
(k + 1) р1 + (k - 1)Р р , ;
-'-
02
-
-\}
М1
х
01
v:
2kP
k
+
1
r. = 2
k - 1 (k - 1)P
С'
D'
Рис. 7.24. Схема взаимодействия
потоков
-
112
'
И = Vr. cos'IЭ-; V = Vr. sin 'IЭ-;
a = (kP/R)11 2 ; M =Vr./a.
Для крайних ячеек величины Р, R, И, V вычисляют иначе.
Если границей ячейки является стенка сопла и известен угол ее
наклона к оси Ох, т. е. определен угол разворота потока '\Э-, то дав­
ление на продольных границах ячеек находят по формулам (7.104),
(7.105).
Если же границей является свободная поверхность с заданным
давлением Pi, то решают обратную задачу: полагая Р = Pi, вычисля­
ют направление движения потока, т. е. угол '\Э-.
Для устойчивости счета по изложенной разностной схеме шаг
Нх следует выбирать из условия, что все волны, возникающие в
результате взаимодеиствия потоков, внутри каждои ячеики достигали ее правой границы и не пересекались с продольными.
v
7.5. Метод контрольного объема
v
v
*
Для численного метода решения задач газовой динамики выде­
ляют следующие основные составляющие: математическую модель,
метод дискретизации, систему координат, расчетную сетку; способ
аппроксимации производных и интегралов, метод решения, критерии сходимости численного метода.
v
*
Настоящий параграф подготовлен по материалам В.Ю. Соболева. Основные
положения метода контрольного объема см.: Белов И.А" Исаев С.А" Коробков В.А.
Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л.: Судо­
Численное моделирование вихревой интенсификации теплообме­
строение,
на в пакетах труб / Ю.А. Быстров, С.А. Исаев, Н.А. Кудрявцев, А.И. Леонтьев.
СПб.: Судостроение, 2005.
1989;
7.5.
Метод контролы1ого объема
353
Основополагающей составляющей любого численного метода
является математическая модель, которая представляет собой систему уравнении сохранения аэрогазодинамики, а также граничные
условия, необходимые при решении этой системы. Для описания
rурбулентного течения математическая модель включает в себя урав­
нения неразрывности, движения и энергии, а также модель rурбу­
лентности.
Уравнения сохранения имеют общие члены, поэтому их удобно
представлять в единой форме, используемой в численном методе.
Дискретизацию и анализ этих уравнений можно проводить в общем
виде, а далее при необходимости рассматривать дополнительные сла­
гаемые, характерные лишь для одного конкретного уравнения.
Обобщенная форма записи уравнений сохранения имеет следующии вид:
v
v
� JJJ рФdW + JJ рФ(V n)dS = JJ Г(grad ф n)dS + Q,
дt
w
s
s
'----�----'
Нестационарный Конвективный Диффузионный
поток
поток
поток
где Ф - произвольная величина, значение которой зависит от рас­
сматриваемого уравнения (например, в уравнении неразрывности
Ф = 1, в уравнении движения Ф = V и т. д.), Г - коэффициент
диффузии для величины Ф (например, Г = µ); Q - источниковый
член, который может содержать составляющие как от массовых сил,
так и от перепада давления.
При исследовании вязкого rурбулентного течения в расчетах
диффузионного потока используют разнообразные подходы - от
полуэмпирических моделей rурбулентности до методов прямого
интегрирования уравнений движения газа. Все они различаются
между собой точностью и затратами вычислительных ресурсов на
их осуществление. Наиболее представительной группой являются
модели rурбулентности с двумя дифференциальными уравнения­
ми. Рассмотренная в § 2.7 (k-Е)-модель турбулентности пригодна
для полностью турбулентных течений. Однако, как известно, вбли­
зи стенок местное турбулентное число Рейнолдса является столь
малым, что вязкие эффекты превалируют над турбулентными. Один
из наиболее распространенных подходов к моделированию таких
течений связан с применением метода пристеночных функций, ко­
торый использует универсальные соотношения (пристеночные функ­
ции), связывающие параметры течения с расстоянием от стенки.
354
7.
Методы решения аэродинамических задач
Такой подход позволяет экономить вычислительные ресурсы и учи­
тывать влияние различных факторов, в частности шероховатости.
Положения точек, в которых будут рассчитаны параметры пото­
ка, определяют с помощью расчетной сетки, линии которой разбива­
ют рассматриваемую область на конечное число контрольных объе­
мов. Для областей с простой геометрией границ при вычислении па­
раметров обтекания плоских тел наиболее простыми для построения
и последующего решения являются структурированные сетки. Они
состоят из нескольких семеиств линии, причем линии одного семеиства никогда не пересекаются между собой и пересекают линии дру­
гого семейства только один раз. Это позволяет задать положение каж­
дого контрольного объема при помощи двух (в двухмерном случае)
или трех (в трехмерном случае) индексов, например i,j, k. Каждая
точка такои двухмернои сетки имеет четыре соседние точки, индексы которых отличаются от ее индексов на ±1. Это значительно
облегчает процесс программирования и матрицу коэффициентов
получаемой системы алгебраических уравнений. Недостатками
структурированных сеток являются невозможность их применения
для областей со сложной геометрией границ и невозможность ло­
кального увеличения частоты узлов сетки для повышения точности
решения в некоторой части расчетной области.
Существует три типа структурированных сеток, называемых по
форме линий сетки: Н, О и С. Примеры сеток различных типов по­
казаны на рис. 7.25. Отметим, что для сеток типа О (см. рис. 7.25, б)
одно семейство линий является бесконечным и в сетку необходимо
вносить искусственный разрез, от которого ведется отсчет индекса
v
v
v
v
v
а
в
б
Рис. 7.25. Структурирован­
ные расчетные сетки типов
Н (а); О (б) и С (в)
7. 5. Метод контрольного объема
355
окружных точек (контрольных объемов) сетки. На рис. 7.25, в по­
казан пример сетки типа С, которая построена вокруг профиля.
У сетки этого типа происходит совпадение точек, расположенных
на двух отрезках одной ее линии, с образованием разреза, схожего
с разрезом сетки типа О. Сетки типа С часто используют для расче­
та тел с острыми кромками.
Как уже было отмечено ранее, параметры потока определяют в
отдельных точках расчетной сетки, называемых узлами. В расчетах
используют совмещенную схему расположения узлов (рис. 7.26), в
которой для вычисления значений всех переменных рассматривают
один расчетный узел в центре контрольного объема, а следователь­
но, единый контрольный объем. Такая схема является наиболее прос­
той, но приходится проводить большое количество интерполяций.
Так, для определения массового расхода через какую-либо грань
контрольного объема необходимо интерполировать значения составляющих вектора скорости с использованием их значении в узлах
по обе стороны от рассматриваемой грани.
Для задания граничных условий на сетке с совмещенными уз­
лами на гранях контрольных объемов вводят дополнительные узлы,
поэтому число граничных узлов в каждом направлении на два боль­
ше числа контрольных объемов в этом же направлении. Пример
такой сетки показан на рис. 7.27.
Для получения более точного решения и сокращения вычис­
лительных ресурсов используют дробление сетки (рис. 7 .28). Для
сеток рассматриваемого типа в трехмерном случае целесообразно
проводить дробление контрольных объемов на восемь частей, поv
L
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • •
• • • • •
• • •
Рис. 7.26. Совмещенная схема
Рис. 7.27. Расположение граничных
расположения узлов (стрелки - со­
ставляющие вектора скорости; точ­
ки - место определения давления)
(светлые точки) и расчетных (темные
точки) узлов на сетке, содержащей
9х6 контрольных объемов, 1 lx8 узлов
356
7.
Методы решения аэродинамических задач
а
б
Рис. 7.28. Перенос переменных из узла С грубой сетки в узлы F; мелкой
сетки при двухи трехмерном (6) течении
(а)
скольку каждый из них представляет собой восьмиугольник. При
этом вершины контрольного объема грубой сетки и восьми объемов мелкои сетки совпадают, тогда как их соответствующие грани
могут и не совпадать.
Дроблением сетки можно получить несколько ее уровней для
одной и той же расчетной области. Чтобы сократить время расчета
на более мелкой (т. е. более высокого уровня) сетке, можно в каче­
стве начальных условий использовать результаты расчета на более
грубой сетке (т. е. предыдущего уровня). В случае, приведенном на
рис. 7 .28, одному узлу С грубой сетки соответствуют восемь узлов
мелкой сетки Fi, поэтому необходимо проводить экстраполяцию ре­
шения с грубой сетки на мелкую. Зная приближенные значения ча­
стных производных экстраполируемой переменной Ф в узле С, мож­
но использовать для этих целей grad Ф:
�
Фр, =Ф е + (gradФ)c (rp, - rc ),
1
1
где rc ' rf; - радиус-векторы узлов грубой и мелкой сетки соответственно.
После выбора типа сетки определяют аппроксимационные схе­
мы для построения дискретного аналога дифференциальных урав­
нений. Для метода контрольного объема можно использовать схе­
мы аппроксимации поверхностных и объемных интегралов с помо­
щью теоремы о среднем, приняв в качестве среднего значения по
объему значение в центре ячейки, а в качестве среднего значения
на грани - значение в центре грани.
Рассмотрим «восточную» (т. е. находящуюся между узлами Р и
Е) грань контрольного объема, изображенного на рис. 7.29. (Для
пяти остальных граней приведенные ниже зависимости имеют ана­
логичный характер, изменяются лишь индексы переменных.)
'
7. 5. Метод контрольного объема
у
N
•
w
в
Е �
--7
п_-t__
1
1
1
/
1
z
F
•
s
--7
}
357
7
-�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1�
-О·�
х
Рис. 7.29. Пример типового контрольного объема
с
прилегающими узлами
величины Ф обычно расКонвективный поток ре произвольной
.
считывают по массовому расходу те через соответствующую грань.
Для этого можно использовать комбинацию противопоточной (ин­
декс «ПП») и центрально-разностной (индекс «цр») схем аппрокси­
мации:
с = теФепп
с + G Fецр - Fепп
Feс = Fепп
+ Gте
· (фецр -Фепп )
( с
) ·
где G коэффициент смешения; Фе значение переменной Ф в
'
-
-
центре грани контрольного объема;
Ф ецр = Ф� + Фр(l- f);
Фр при me > 0;
.
фепп =
ФЕ при те < 0,
f = Lpe fLPE ; Lpe, Lp - расстояния между точками Р, е и Р, Е со­
E
ответственно.
Такая схема имеет второй порядок точности. На неортогональ­
ных сетках используют и более сложные методы отыскания кон­
вективных потоков, однако данный метод наиболее выгоден в алго­
ритмах с дроблением сетки.
Кратные интегралы, входящие в источниковый член, согласно
теореме о среднем, можно представить как произведение подын-
358
7.
Методы решения аэродинамических задач
тегральной функции и контрольного объема или площади Ф. Такая
аппроксимация пригодна для контрольного объема любой формы.
С использованием теоремы о среднем можно также аппрокси­
мировать и нестационарный член:
� J pФdW рЛ W дФ .
""
дt w
дt р
Производную по времени дФ!дt можно определить с помощью
одной из схем Рунге - Кутты, а при решении нестационарной зада­
чи организовать внешний цикл времени с расчетом поля течения на
каждой итерации по времени. После необходимых преобразований
получаем
� J pФdW "" A�Фf,+1 -Q�,
дt w
где А�, Q� - нестационарные коэффициент и источниковый член,
вычисляемые соответственно по формулам
W '
рЛ
Ар =
( 1 + О,5у,. ) ;
t
r
Qp =
рЛW
Лt
[(
Лt
п-1 .
п
)
Фр
-О,
5у1Фр
l + y1
]
Здесь 'Yt - так называемый коэффициент схемы. При у1 =О схема
вырождается в схему Эйлера, а при у, = 1 имеем трехточечную схе­
му Рунге - Кутты. Возможно образование и других схем путем
варьирования коэффициента 'Yt .
Для аппроксимации диффузионного потока pd можно также воепользоваться теоремои о среднем:
�
Fed = f Г(grad Ф�)dS
Sе
""
[Г(gradФ�)]
е
Se,
где Se - площадь грани контрольного объема, содержащей точку е.
Для трехмерного случая grad Ф в точке е можно представить
как в общей декартовой системе координат, так и в местной ортого­
нальной системе с центром в точке е:
ф
дФ . дФ . дФ k дФ дФ дФ
=
п+
t + s,
grad = i + J +
дх
ду
дz
дп
дt
дs
где п, t, s - оси, направленные соответственно по нормали и каса­
тельным к грани контрольного объема.
7. 5. Метод контрольного объема
359
В декартовой системе координат диффузионный поток
F/ = Ге [,
.
1
дФ
дх·
1
е
Se.
Однако нахождение частных производных непосредственно в
точке е сопряжено с определенными трудностями. Поэтому на прак­
тике их вычисляют сначала в центрах контрольных объемов, у ко­
торых рассматриваемая грань является общей, а затем путем ин­
терполяции непосредственно на грани.
Для сеток в декартовой системе координат при линейной ин­
терполяции применяют центрально-разностную аппроксимацию:
ФЕ - Фw
дФ
,,,,, _
_
_
_
дх·
•
2дх
р
После вычисления производных в точке Р и интерполяции эти
же производные определяют на границе, например в точке е. Далее
находят диффузионные потоки через грани контрольного объема.
Главной проблемой при этом является возможность получения так
называемого шахматного поля величины Ф (рис. 7.30), которое удов­
летворяет соотношениям, используемым в расчете, но не является
истинным решением дифференциального уравнения.
1
Фк
к
Фw
w
w
Фр
р
е Е
Фм
м
Рис. 7.30. Шахматное поле величины Ф
Для метода контрольного объема наиболее пригодным спосо­
бом избежания получения такого решения является использование
так называемой отложенной поправки. Для этого уравнение диф­
фузионного потока аппроксимируют неявным способом и форми­
руют дополнительное слагаемое, компенсирующее разность между
точным и приближенным значениями F0. При этом отложенная по­
правка практически не влияет на сходимость метода.
Воспользуемся местной ортогональной системой координат с
началом в точке е. В этом случае в выражение для диффузионного
потока будет входить только производная по п:
pd Г дФ
=
е
е
дп
е
7. Методы решения аэродинамических задач
360
п
В декартовой системе координат на «восточной» грани ячейки
= х, поэтому для нахождения производнои при мени м центральv
но-разностную аппроксимацию:
где Lрн
дФ
дп е
Е Р,
и
расстояние между узлами
причем в рассматривае­
мом случае Lрн = дх.
Чтобы избежать получения решения в виде шахматного поля
распределения величины, введем интерполяцию следующего вида:
-
дФ
дп
*
1 Ф Е - Ф w 1 Фм Ф Р .
+2
2
2дх
2дх
-
=
-
е
Изображенное на рис.
7.30 шахматное распределение величи­
Ф вдоль оси Ох всегда обращает последн ее выражение в нуль,
поскольку Ф Е Фw = Фм Фр = О. Поэтому, чтобы в процессе сче­
ны
Fed
пд
я
_
н
ня
я
]
[
d
d
d
d
р
р
F
p
+
-
-
та не дать развиться шахматному полю, необходимо на каждой ите­
рации расчета Ф корректировать значени е
по ормуле
е
е
=
е
е
ф
(7.1 06)
•
где индексы «НЯ» и «Я» соответствуют значениям, рассчитанным по
неявнои и явнои зависимостям соответственно, а индекс «Пд» - значениям из предыдущей итерации. Следует отметить, что проблема
v
v
возникновения шахмаrного поля возникает при решении уравнения
для поправки давления при использовании совмещенной сетки.
Если при расчете используется не декартова, а произвольная сет­
ка, то необходимо ввести допущения. Так, е сли прямая, со единяю­
щая узлы
и
пересекает «восточную» грань контрольного объе­
Р Е,
ма под углом, близким к прямому, то производная по координате п
может быть аппроксимирована производной по координате �- Вы­
ражение для неявной аппроксимации примет вид
pd = Г
е
е
S
е
дФ
д� е
(7.107)
Р
Е,
Если прямая, соединяющая узл ы
ортогональна к грани
и
контрольного объема, то мы получаем аппроксимацию второго по­
рядка точности, и второе слагаемое в выражении
обращает­
(7 .106)
ся в нуль. В проти вном случае (прямая не ортогональна грани) это
v
v
слагаемое, являющееся отложеннои поправкои, должно компенси-
7. 5.
Метод контрольного объема
361
ровать разницу между производными по координатам � и п. Тогда
модифицированное выражение для диффузионного потока величи­
ны Ф через «восточную» грань контрольного объема примет вид
Ф
д
Sе
S
e
Fe = Гe е
Г
д� е +
d
дФ *
дп е
дФ *
д� е
ПД
Первое слагаемое в правой части этого выражения вычисляем
неявным способом по формуле (7.107), а второе (отложенную по­
правку) - по предварительно найденным градиентам величины Ф
в точке е:
дФ
дп
-
*
е
*-
= (grad Фе) п;
где t� - единичныи вектор.
В результате можно записать окончательное выражение для ап­
проксимации диффузионного потока через «восточную» грань кон­
трольного объема:
•
v
р
Е
ф
ф
Fe = ГеSе
+ ГeSe(grad Ф )e
Lpe
d
n - t� .
ПД (- -; )
-
Отметим, что если неортогональность сетки незначительна, зна­
чение поправки имеет более высокий порядок малости, чем у неяв­
ного члена.
Если линии сетки имеют изломы в точках пересечения, то пря­
мая, соединяющая Р и Е, не пройдет через центр грани контрольного
объема, и аппроксимация по имеющим'ся схемам даст значения Ф и
дФ/д� уже не в точке е, а в точке е
(рис. 7.31 ). Для точки е такая схема уже
не будет обеспечивать второй порядок
точности, хотя в случае, когда е и е
находятся между собой на относитель­
но небольшом расстоянии, ошибка ап­
проксимации невелика. Если же точ­
Е
р
ка е' находится ближе к одной из вер­
шин контрольного объема, чем к центру
грани, аппроксимационная схема име­
Рис. 7.31. Расположение доет лишь первый порядок точности.
Чтобы обеспечить второй порядок полнительных узлов на не­
ортоrональной сетке
точности при наличии таких изломов,
,
w
е
362
7.
Методы решения аэродинамических задач
необходимо либо использовать специальные функции формы, либо
и Е'. Эти узлы лежат на
вводить в расчет дополнительные узлы
пересечении прямой, перпендикулярной грани контрольного объе­
ма, с прямыми, соединяющими узлы Р, N и Е, М соответственно.
Зная значения в узлах
и Е', можно найти значение переменной
и ее градиент в точке е.
При подстановке в уравнение сохранения аппроксимированных
выше значений конвективных и диффузионных потоков, а также
источниковых и нестационарных членов, получается линеиное алгебраическое уравнение, называемое дискретным аналогом исход­
ного в частных производных. Это уравнение, записанное относи­
тельно отдельного контрольного объема, имеет приближенное ре­
шение. Расчетная сетка в целом как совокупность контрольных
объемов порождает систему линейных алгебраических уравнений,
решение которой представляет собой приближенное решение зада­
чи расчета поля величины Ф.
В выражение для дискретного аналога будут также входить сла­
гаемые, у которых нет явного аналога в обобщенном уравнении,
поскольку они возникают в процессе аппроксимации. Если считать
неортогональность сетки малой, а рассматриваемый контрольный
объем не приграничным, то дискретный аналог уравнения будет
иметь следующим вид:
_ pd + P + b + Qt + e + d
At ф + ре -
Р'
Р'
v
v
(7.108)
QР Qр р Qр QР ·
pd = pd + Fd + Fd + Fd +
+ ре
Здесь ре = ре + ре + Fe + Fe + р,е
Ь
f'
+ Рьd + Pj соответственно суммарные конвективный и диффузионный потоки через грани контрольного объема, а А� и Q� полу­
р
е
р
п
w
s
е
v
1
п
s
-
чены при аппроксимации нестационарного члена. Неизвестными ос­
таются лишь слагаемые Q: , Qt, Q� и Q$.
Величина Q: является составляющей источникового члена, оп­
ределяется перепадом давления и записывается в виде
Q: =
где с
-
J pindS z LPes:,
-
s
е
индекс грани.
Слагаемое Q�
составляющая источникового члена, обуслов­
ленная подъемной силой частиц нагретого газа. Данное слагаемое
отлично от нуля лишь в уравнениях движения и аппроксимируется
следующим образом:
-
объема
Метод контрольного
Qi = f (P - Po)gid W "" (P? - Po)gi ЛW,
7. 5.
363
w
где р0
плотность ненагретого газа; gi
проекции вектора уско­
рения свободного падения на оси используемой в расчете декарто­
вой системы координат;
коэффициент теплового расширения
среды.
Конвективная составляющая Qi источникового члена возника­
ет при комбинации противопоточной и центрально-разностной схем
аппроксимации, когда рассчитывают конвективные потоки. При со­
ставлении дискретного аналога конвективные потоки определяем
-
-
�
-
по противопоточной схеме, т. е. F c =
[. FJ пп, где J = е, w, s, b,f
п,
J
Вторые же слагаемые потоков после переноса их в правую часть
дискретного аналога образуют член
Qi:
Q� = G[. [m1 (Ф�" - ФjР )].
J
Диффузионная составляющая Q� источникового члена возни­
кает при введении в расчет диффузионных потоков отложенной по­
правки. При дискретизации допускаем
Fd = Г S
е
е
е
ФЕ - Ф
Р'
LРЕ
поэтому в правую часть дискретного аналога интегрального урав­
нения переносим слагаемое
Q: = ГeSe (gradФ);д (� -�).
+
+ +
Преобразуем уравнение (7 .108) к виду, удобному для решения.
в левую часть это­
Пусть Qp = Q� Qi Q� + Q� Q�. Перенеся
го уравнения, имеем
Fd
(7. 109)
Слагаемое
схемы. Тогда
F с рассчитываем с использованием противопоточной
+ + + + +
F c = Fc Fwc Fc F c Ffc F:c
Ь=
= min(me,O)Ф Е max(me,O)Ф р + min(mw ,O)Фw max(m1v ,O)Ф р
е
п
s
+
+
+ min(mn, О)Ф + max(mn, О)Ф р + min(ms, О)Ф + max(ms,О)Фр +
+ min(mь ,O)Ф 8 + mах(mь,О)Фр + min(m1 ,О)Ф + max(m1 ,О)Фр.
+
N
s
F
7. Методы решения аэродинамических задач
364
Здесь
при те < 0;
при те > 0,
но mах(тj , О)Ф р = -min(тj, О)Фр , где} = е, w, п, s, b,f После при­
ведения подобных членов получаем
ре
= min(тe,O)(ФE -Фp) + min(т, ,O)(Фw -Фр)+
v
+ min(тll,O)(Ф N -Фp ) + min(тs ,O)(Ф s -Фp)+
+ min(ть ,О)(Ф8 -Фр)+min(т1 ,О)(ФF -Фр).
(7.1 10)
Слагаемое p d определяем по неявной схеме:
d
Г, S
ГеSе
Г S
Е
p =
(Ф -Фр )+ v 1v (Фw -Фр )+ п п (Ф N -Фр )+
LpE
Lpw
LpN
Г S
ГS
ГьS
ь (Ф - Ф ) + 1 1 (Ф - Ф ) . (7.1 1 1 )
+ s s (Ф s -Ф Р ) +
Р
F
Р
в
LPS
LРВ
LPF
Подставив выражения (7. 1 1 0) и (7. 1 1 1 ) в уравнение (7.109) и вы­
полнив соответствующие преобразования, находим
А�Фр +
+
SIV
Sп
Гп
г
W
.
.
0)
.
.
InlП( mw, (ФN -Фр)+
(Фw -Фр) + InlП( m11, О) Lpw
LpN
г1 s1
. ( . 0) гsss
(Ф s -Фр)+ min(тf • О)+ mIП ms , (ФF -Фр)+
Lps
LPF
(7.1 12)
Введем коэффициенты:
Sе .
Г
.
е
(
,
А - m1n те , О)
LpE
Е
.
v.
w
,
s
г
О
)
(
=
in
m
т
Аw
'
W'
LPW
АN = min(т о )- г11511 •'
LPN
.
Аs
п. •
= min (т о) - гs 5s
S'
·
LPS '
365
7.5. Метод контрольного объема
· 0) гf sf
АF = min (тf '
-
'
·
LPF
Тогда уравнение (7 .1 12) будет иметь вид
А�Ф р + АЕ (фЕ - фр)+ Aw (Фw - фр ) + AN (фN - фр )+
+ As (фs - фр)+ AF (ф F - фр)+ Ав (фв - фр)= Qp.
Если же принять
Ар = А� -АЕ -Aw AN As AF - Ав ,
-
-
-
то получим окончательный вид дискретного аналога исходного диф­
ференциального уравнения (7 . 1 08):
АрФр +АЕФЕ + AwФw +ANФN +
(7.113)
Система, составленная из уравнений вида (7 .1 13) для всей рас­
четной сетки, может быть решена любым из известных методов.
Следует отметить, что при записи дискретных аналогов уравнений
движения (т. е. для составляющих скорости "V_J) коэффициенты А1,
где j = Е, W, N,
имеют одинаковые значения как для Vx, VY,
так и для Vz; различаются лишь коэффициент Ар и источниковый
член Qp.
Задание граничных условий при использовании неортогональ­
ной расчетной сетки требует особого внимания, поскольку ее гра­
ницы не параллельны осям декартовой системы координат, а сле­
довательно, проекциям вектора скорости. Метод контрольного объе­
ма требует, чтобы были заданы потоки величин через входные грани,
либо чтобы эти потоки были выражены через известные величины
во внутренних узлах. При этом должно непременно выполняться
равенство числа контрольных объемов числу неизвестных.
Как правило, на границе типа «вход потока» необходимо задать
все величины. Если условия на этой границе точно неизвестны, сле­
дует как можно дальше разнести ее с представляющим интерес уча­
стком расчетной сетки. Поскольку на границе задают значения ско­
рости и других переменных, можно найти значения конвективных
потоков. Значения диффузионных потоков обычно неизвестны, но
они могут быть аппроксимированы с использованием известных граv
v
v
ничных значении переменных и одностороннем разностном аппроксимации частных производных.
S, F, В,
366
7. Методы решения аэродинамических задач
На границе типа «выход потока» отсутствует полная информа­
ция о параметрах течения. Поэтому границу необходимо располо­
жить как можно дальше от исследуемой области и принять на ней
параметры, соответствующие невозмущенным, или определить их
экстраполяциеи значении во внутренних узлах расчетном сетки по
v
направлениям линии тока.
На непроницаемой стенке для составляющих вектора скорости
выполняется условие
v
v
v
Vj = \.'iст •
вызванное трением вязкой среды о твердую стенку (при отсутст­
вии скольжения). Если стенка является непроницаемой, конвек­
тивные потоки для всех величин равны нулю. Диффузионные же
потоки определить сложнее. Так, для скалярных величин, напри­
мер тепловой энергии, они могут быть как равны нулю (адиабати­
ческая стенка), так и иметь заданное значение (изотермическая
стенка). Если составляющие потока известны, их можно ввести в
исходное дифференциальное уравнение для пристеночного конт­
рольного объема.
При составлении дискретных аналогов дифференциальных урав­
нений получена система линейных алгебраических уравнений
(7.113). В матричной форме система уравнений метода контрольно­
го объема имеет вид
АФ = Q,
где А - матрица коэффициентов, Ф - вектор производных, Q вектор правых частей уравнений (источниковых членов).
Существует две группы методов решения подобных систем:
прямые, наиболее известными из которых являются методы Гаусса,
LИ-разложения и прогонки (для трехдиагональных матриц), и ите­
рационные, в которых решения получают методом последователь­
ных приближений. Поскольку размерность системы линейных ал­
гебраических уравнений достаточно велика, для их решения исполь­
зуют итерационные методы.
7.6. Метод дискретных вихрей
Среда, в которой движется ЛА, является вязкой, вследствие чего
силовое воздействие потока на его поверхность может быть сведе­
но к двум видам распределенных нагрузок: нормальному давлению
7. 6. Метод дискретных вихрей
367
У
и касательным напряжениям (см. гл. 1 ).
Во многих случаях с достаточной для
практики точностью их можно опре­
делять раздельно, а в ряде задач пре­
небречь вязкостью и считать среду
х
идеальной. Среди численных методов
расчета обтекания тел потоком идеаль­
z
ного газа широкое распространение
получил метод дискретных вихреи.
Рис. 7.32. Несущая поверхБудем считать, что все пространность с вихревой пеленой
ство Oxyz заполнено невязким несжимаемым газом. На рис 7.32 изображена несущая поверхность S со
сходящей с нее вихревой пеленой cr, обтека�мая в области D пото­
ком постоянной плотности р со скоростью V00•
При известных векторе скорости невозмущенного (набегающе­
го) потока, законах движения и деформаций тела, заданной форме
тела (поверхность S) требуется определить взаимное влияние тела
на среду (возмущенные поля скоростей и давлений) и среды на тело
(его аэродинамические характеристики).
Для невязкого и несжимаемого газа справедливы известные урав­
нения аэродинамики: неразрывности
v
- дVх дV д V
divV =
+ у + z =О
дх ду дz
(7.1 14)
и движения (уравнение Эйлера)
dV ! Vp = F
+
,
dt р
(7.115)
где V(t, r) - вектор абсолютной скорости частиц газа; p(t, r) давление; F(t, r) - вектор массовых сил; t - время; r = xi + у] +
д - д - д - оператор Гамиль+ zk - радиус-вектор; V = -i
+- j +-k
ду
дz
дх
тона.
Полагая, что поле возмущенных скоростей V(t, r)- V00 потен-
циально всюду вне поверхности S и вихревого следа cr, запишем
для потенциала скоростей <р известную формулу связи его градиента с возмущеннои скоростью:
v
д<р
д<р
д<р
v <i, r) - v = v<р(i, r)
j + дz k.
i+
дх ду
00
=
368
7. Методы решения аэродинамических задач
Тогда в силу уравнения неразрывности (7 . 1 14) для потенциала <р
получим уравнение Лапласа:
+
2<р д2<р д2<р
д
2
V <p(t, r)
(7. 1 1 6)
.
=
+
О
2
дх2 ду дz 2
В случае отсутствия массовых сил (F = О) интеграл уравнения
=
движения (7 . 1 15) (интеграл Коши - Лагранжа) имеет вид
!С )
р(t, r) = t
_
-р
д<p(t, r) + v 2 (t,r)
2
дt
,
(7 .1 17)
где f (t) - функция, определяемая из грани чных условий и посто­
янная в области р = const.
Таким образом, потенциал <p(t, r) возмущенных скоростей полностью определяет поле скоростеи во всем пространстве:
vc1, r) = voo + V<p(t, r).
(7 . 1 1 8)
v
При проведении расчетов методом дискретных вихрей следует
принимать во внимание характер обтекания несущей поверхности.
В дальнейшем будем рассматривать случай ее безотрывного обте­
кания.
Результаты эксперимента показьmают, что задняя кромка поверх­
ности огибается потоком лишь в первый момент после начала дви­
жения. В дальнейшем происходит переход от бесциркуляционного
течения к циркуляционному, что обусловлено формированием раз­
гонного вихря. Характер обтекания задней кромки при этом изме­
няется, и поток не огибает, а плавно сходит с нее. Скорость жидкости на задней кромке оказывается конечной, т. е. выполняется ги­
потеза Жуковского - Чаплыгина.
у
Большинство численных схем,
реализующих метод дискретных
а
вихреи, основано на замене несущеи поверхности конечнои толщиу
ны (рис. 7.33, а) бесконечно тонкои несущеи поверхностью, на которой задают условия обтекания
б
(рис. 7.33, 6). Это, например, усло­
Рис. 7.33. Представление несу­ вие непротекания, согласно которо­
щей поверхности конечной тол­ му нормальная составляющая на
щины (а) бесконечно тонкой не- поверхности профиля крыла равна
нулю. Различают линейную и несущей поверхностью (б)
v
v
v
v
v
369
7. 6. Метод дискретных вихрей
линейную интерпретацию данного метода. В нелинейной постановке
граничные условия задают на самой базовой поверхности. При ис­
следовании обтекания с малыми углами атаки тонких слабоизогну­
тых несущих поверхностей граничные условия можно задавать в
линейной постановке, т. е. в точках х1 , х2, . . . , хп проекции базовой
поверхности на ось Ох связанной системы координат.
Таким образом, искомый потенциал <p(t, r) в соотношениях
(7 . 1 17) и (7. 1 18) должен удовлетворять уравнению Лапласа (7 . 1 1 6)
и следующим граничным условиям:
1) условию непротекания на жесткой поверхности S:
д<р(t, r )
= V<p(t, rs )ii = Vsп (t, r) - V00ii,
дп s
-
где
Vsn
(7.1 19)
нормальная составляющая скорости точек поверхности S;
2) условиям непрерывности давления и нормальной составляюv
v
щеи скорости при переходе через вихревои след cr за телом:
-
P+ (t, r) = p_ (t,r);
д<р(t, r)
дп +
д<р(t, r )
дп
(7. 120)
Индексы «+» и «-» относятся к различным поверхностям следа.
Условия (7.120) должны выполняться на всем следе cr, включая и
заднюю кромку поверхности S, для которой требуется выполнение
гипотезы Жуковского - Чаплыгина. Первое равенство (7.120) (от­
сутствие перепада давления) называется диflа.мическим условием, а
второе (равенство нормальных составляющих скоростей)
кинематическим условием совместности течении;
3) на бесконечном удалении от несущей поверхности S и следа
cr за ней возмущения убывают:
-
v
lim V<p(t, r) =О.
(7.121)
1г1�00
Все перечисленные условия должны выполняться в каждый рас­
четный момент времени для рассматриваемого нестационарного
процесса.
В дальнейшем будем искать решение плоской стационарной за­
дачи безотрывного циркуляционного обтекания тонкого профиля
потенциальным потоком несжимаемого газа. Такое решение можно
рассматривать как предельное для очень больших значений време­
ни при решении нестационарной задачи. Разгонный вихрь в этом
случае находится на бесконечном удалении от несущей поверхнос­
ти, и в окрестности задней кромки интенсивность свободного вих-
7. Методы решения аэродинамических задач
370
ревого следа, моделирующего этот вихрь, близка к нулю. Поэтому
при стационарном подходе вихревом след в расчетном схеме отсутствует.
Учитывая отмеченное, перепишем систему уравнений (7 . 1 1 6)­
(7 .121) для задачи стационарного обтекания профиля:
уравнение неразрывности (уравнение Лапласа для потенциала <р):
v
х+
дV
divV(r)=
дх
v
дV
y = V'2<p(r) =O;
ду
(7.122)
интеграл уравнения движения (интеграл Бернулли):
-2 -
+
V (r)
p
C
p(r) = 2 ,
(7.123)
где С
константа, определяемая из условий на бесконечности,
С = р00 p v 2;
условие непротекания на поверхности S профиля:
-
!, /
- д<р(r)
- V'<p(rs )п = Vsn(t,r) -V00n;
дп s
=
(7.124)
условия Жуковского - Чаплыгина для задней кромки профиля:
Р+ (r) = p_ (r);
д<р(r) - д<р(r)
дп дп +
.
'
(7.125)
условие убывания возмущений на бесконечном удалении от про­
филя:
lim V'<p(r) =о.
(7.126)
00
lrl--7
Таким образом, система (7.1 22)-(7 .126) описывает задачу обте­
кания профиля стационарным потоком идеального незавихренного
несжимаемого газа.
Большинство численных схем основано на замене профиля ма­
лой толщины бесконечно тонкой несущей поверхностью S, т. е. ду­
с хордой Ь и кривизной/(рис. 7.34, а).
гой контура
В нелинейной постановке граничные условия задают на базо­
вой поверхности S. При исследовании обтекания слабоизогнутых
поверхностен с малыми углами атаки граничные условия задают в
линейной постановке, т. е. в точках проекции поверхности S на ось
Ох связанной системы координат.
Из теоретической аэродинамики известно, что скорости потока
в произвольной точке по обе стороны от несущей поверхности V't+
ОВ
v
7. 6. Метод дискретных вихрей
371
Рис. 7.34. Профиль (а) и вихревая схема (6) его обтекания
и V't- различны. Поэтому поверхность эквивалентна поверхности
тангенциального разрыва скоростеи, при этом последнюю можно
моделировать слоем непрерывно распределенных вихревых нитеи вихревым слоем.
Плотность у распределения вихрей связана с предельными зна­
чениями скорости по обе стороны поверхности разрыва соотно­
шением
v
v
от
(7.127)
Граничные поверхности тангенциального разрыва также моде­
лируют вихревыми слоями, которые иногда называют свободными
вихревыми пеленами. Касательная составляющая скорости движе­
ния пелены связана с предельными значениями скорости среды по
обе стороны от несущей поверхности соотношением
(7.128)
Заменим тонкую несущую поверхность S вихревым слоем с си­
стемой распределенных вихрей y(s) вдоль дуги s. Поле возмущен­
ных скоростей вихревого слоя будет иметь вид
)
r0
1
(r
x
)k
(s
y
8
s
f
vq> = V ( t,r )- V =
"
2 ds,
00
lr -rol
где r0 - радиус-вектор элемента вихревого слоя.
-
2п о
(7.129)
372
7. Методы решения аэродинамических задач
Данное уравнение можно получить с помощью формулы Био Савара для точечного «размытого» на площадке
вихря с интен­
сивностью dГ =
Поле скоростей, определяемое зависимостью
(7 . 129), является потенциальным. В этом можно убедиться, если
подставить правую часть уравнения (7.129) в (7.116):
ds
yds.
sfв y(s)k (r - ro ) dS
lr -rol2
1
. 't7
" dIV
v <р = dIV
21t о
х
о
= .
Очевидно, что выражение (7.129) можно рассматривать как об­
щее решение для V
по которому нетрудно определить потен­
циал <p(r), однако для дальнейшего решения необходимо знать толь­
ко V<p(r).
Анализ формулы (7.129) показывает, что полученное общее ре­
шение автоматически удовлетворяет не только уравнению Лапласа
(7 . 1 1 6), но и условию (7. 1 26) на бесконечности. Для решения крае­
вой задачи обтекания профиля необходимо, чтобы выполнялось ус­
ловие непротекания (7.124), т. е.
<p(r),
- - 1
V<p(r)n 21t
_
_
(r)
sв y(s)[kx(r -ro)] п - - - ds - V00n.
J
o
lr - ro l
2
(7.1 30)
= О, поскольку рассматривается обтекание неподвиж­
(Здесь Vsn
ного профиля.)
Интегральное уравнение (7.130) решают относительно неизвест­
Кинематическое условие Жуковского - Чаплыги­
ной функции
имеет вид
на (7.125) на задней кромке для
y(s).
y(s)
rls=sв = О.
Значение функции V<p(r) дает возможность с помощью интег­
рала Бернулли (7.123) определить давление по обе стороны от по­
верхности S, нагрузку, нормальную силу, момент относительно пе­
редней кромки профиля, координату центра давления.
Как следует из уравнения (7.123), давление в точке r с разных
сторон поверхности S соответственно
-2
-2
(r)/2
(r)/2;
С-р
С-р
V't
V+
Р+
+
р_ = с - р v_2 (r)/2 = с - р v't2_ (r)/2.
=
-
=
Отсюда действующее на профиль давление
(7. 1 3 1 )
7. 6. Метод дискретных вихрей
373
(7.1 32)
В соответствии с (7.127) и (7.128) уравнение (7.132) можно за­
писать в виде
(7.133)
где
(7.1 34)
Нормальную У и продольную Х составляющие аэродинамичес­
кой силы находим по формулам
sв
sв
л
У = J Лpcos(ny)ds = p J v'tydx;
о
Х
где
sв
о
sв
л
= J Лpcos(n.x)ds = -p J v'tydy,
о
(7.135)
о
л
(7.136)
л
s = s(x,y); dx = dscos(ny ); dy = -dscos(nx).
Как было указано выше, интенсивность у вихревого слоя связа­
на с циркуляцией Г одиночного вихря соотношением
dГ
ds
r= -.
Момент Mz относительно передней кромки профиля можно оп­
ределить по формуле
sв
Mz
sв
= - J (xdY - ydX) =-p J V'ty(xdx+ ydy),
о
о
(7.137)
а абсциссу и ординату центра давления - на основании выраже­
ний (7.135)-(7 . 137):
Хш
sв
= � J v'tухdx;
(7.138)
о
Поля скоростей, давлений и аэродинамические характеристики
тонкого профиля при безотрывном обтекании несжимаемым газом
рассчитывают следующим образом.
В соответствии с рассматриваемым методом вихревой слой на
поверхности заменяют точечными вихрями конечной интенсивнос­
ти, т. е. дифференциальную зависимость
разностной
у= dГ/ds
374
7. Методы решения аэродинамических задач
(7.1 39)
располагая дискретные вихри интенсивностью Гµ в характерных
точках µ. Для этого профиль разбивают на т равных по длине рас­
четных отрезков (рис. 7.34, 6). В более сложных численных схемах
допускается неравномерное разбиение. Координаты точек разбие­
ния определяют по заданной геометрической форме профиля. На
каждом из расчетных отрезков имеется дискретныи вихрь с циркуляцией Гµ• где µ = 1 , ... , т. Таким образом, исходный профиль за.....
.....
.....
.....
меняют вихревои системои, состоящеи из т дискретных вихреи.
При замене несущей поверхности системой дискретных вихрей
необходимо выполнение условий непротекания не на всей базовой
поверхности, а в т специально выбранных (контрольных) точках.
Чаще всего дискретнь.1е вихри располагают посередине расчетных
участков, а контрольные точки - на их концах (наиболее распрост­
раненный способ) либо на расстоянии одной четвертой длины рас­
четного участка, считая от его начала, а контрольные точки - на
расстоянии трех четвертых его длины.
Выразив в интегральном граничном уравнении (7. 130) y(s) че­
рез Гµ в соответствии с формулой (7 . 1 39) и применив метод диск­
ретных вихрей, получают систему, состоящую из т алгебраичес­
ких уравнений относительно неизвестных Гµ• в которой предполагается выполнение граничных условии в т контрольных точках:
�
�
[kx (rv - rµ)]iiv
ni
1
- Е Гµ
2
- -Vooflv•
21t µ=\
r.v - r.µ
_
_
Здесь
_
v = l, ... , m.
(7.140)
kx(rv - rµ ) = -(yv - Yµ)i + (_xv - xµ)];
iiy = cos(;;.) Т + cos(;;),) ] =-sinE>vi + cosE>v];
v
v
Хµ+1 - Хµ
Уµ+\ - уµ
.
(µ = v),
s1nE>v =
; cosE>v =
Лs
Лs
(7. 1 4 1 )
(7.142)
причем координаты с индексами «µ + 1» и «µ» соответствуют кон­
цам отрезка, в середине которого находится контрольная точка с
индексом <<V».
Правую часть уравнения (7. 1 40) можно записать так:
(7.143)
7. 6. Метод дискретных вихрей
375
Для перехода к безразмерным величинам в качестве масштабов
выбирают хорду Ь и скорость невозмущенного потока V00:
х
х = -·
ь'
(В дальнейшем черта над безразмерными параметрами опущена.)
Уравнение (7.140) с учетом (7.141)-(7.144) в матричной форме
будет иметь вид
где
А
АГ =В,
= [Clvµ ] - квадратная матрица коэффициентов;
v - yµ) sin8v +(Xy -Xµ)cos8v .
(Y
,
Clvµ 2
2
(Ху - хµ) + (Yv - Уµ)
Г = [Гµ] - вектор-столбец неизвестных Гµ ; В = [bv]
столбец; bv = -21t (-cos sin E>v + sin cos E>v ) .
(7.145)
_
а
- вектор­
а
Решив систему (7.145) методом Гаусса - Зейделя и определив
Гµ• можно найти вектор скорости в любой точке поля. Для этого
необходимо использовать конечно-разностный аналог формулы
(7.129):
-
-V (r ) = -V-00 + -1 Гµ kx(r-rµ) .
[,
2
21t µ=1
"i
_
r - r.µ
В безразмерном виде давление, действующее на профиль, опре­
деляется выражением
л- - 2Лр
2.
(7.146)
р-
p V00
лр также опущена.)
Поскольку Лр определяют в контрольных точках, интенсивность
у вихревого слоя и скорость слоя V't находят в этих же точках. Тог­
да в соответствии с (7.139)
(В дальнейшем черта в обозначении
Г
+
Гµ+
µ
l
v
=
Y
2Л
s
Согласно (7.134),
.
.
l
(µ =v).
1n
V'tµ = cosacos8µ +s1nas1n8µ +- Е СvµГµ
21t µ=!
(7.147)
(µ:;t:v , v+l). (7.148)
376
7. Методы решения аэродинамических задач
Здесь
С
-( Yv - Yµ)cosE>v +(ху - .xµ )sinE>v
=
'
vµ
2
2
(ху - Хµ ) + (Yv - Уµ)
а правая часть - результат преобразования выражения
[1' � с;;, - Fµ)] iv / ;;, - rµ
_
где
2
,
:tv = cos E>v i + sin Е>µ j.
На основании уравнений (7.133) и (7.146) в точках v
Лрv = 2V'tV Yv,
(7 .149)
а в соответствии с (7.135)-(7.137) коэффициент нормальной силы
(7.1 50)
коэффициент продольной силы
(7 .151)
и коэффициент момента тангажа
м
11!
= L Лрv (хуЛху + YvЛYv ).
mz =
2 2
О,5рV00b V=l
z
(7.152)
Наконец, согласно (7 .13 8) и (7 .139), координаты центра давления
1 "'
Хцд = - E ЛPv.XVЛxv;
Су v=I
1
11!
Уцд = - E ЛPvYvЛYv ·
Сх
V=l
(7.153)
Таким образом, последовательное использование формул (7.14 7)­
(7 .153) является основой алгоритма для определения аэродинами­
ческих характеристик тонкого профиля.
7.7. Метод Ньютона
При расчете аэродинамических характеристик ЛА, движущих­
ся с большими сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями, ши­
роко используют метод Ньютона. Несмотря на ряд недостатков и
приближенный характер, по сравнению с другими, более современ-
377
7. 7. Метод Ныотона
ными и точными методами расчетов этот метод достаточно прост и
позволяет получать аэродинамические характеристики тел сложном
формы в полном диапазоне углов атаки (от О до 1 80°).
При определении сопротивления движению тел в газах по ме­
тоду Ньютона принимают, что обтекающая тело среда состоит из
одинаковых частиц, не взаимодействующих между собой. При
столкновении с элементом поверхности тела частицы полностью
теряют нормальную к элементу составляющую скорости, а тан­
генциальная составляющая остается без изменения (абсолютно не­
упругий удар). Такой подход позволяет получить зависимость ко­
эффициента давления в точке поверхности от угла взаимодействия
потока с обтекаемой поверхностью.
Пусть проекции вектора скорости на нормаль и касательную к
поверхности (рис. 7.35, а)
v
Vп = V00cos
11; V't = V00 sin 11·
Запишем для выделенного объема вблизи этой поверхности урав­
нение движения в проекции на внутреннюю нормаль.
За единицу времени в объем ЛW (рис. 7.35, б) поступает масса
газа
m = p00VndS,
имеющая скорость vn. в объеме лw ско­
рость газа снижается до нуля. При этом
изменение количества движения в едини­
цу времени
Лm V11 = PooV11(0 - Vп)dS = - Роо V,� dS
равно деиствующеи на элементарным
объем силе
v
v
v
F11 = (р00 - p)dS = - Роо V112 dS.
Однако на поверхность ЛА действует
сила, равная даннои по модулю, но противоположная по направлению. Таким об­
разом, для избыточного давления на по­
верхности получаем зависимость
v
или
(р -роо) = Роо v;,
Рсо
-7
/
а
'
"
"'-v" "'-· "",Р
',, , ,",· � ""'-;
·
'
, , __
б
Рис. 7.35. Схема (а) и эле­
ментарный объем в обла­
сти взаимодействия потока с поверхностью (6)
7. Методы решения аэродинамических задач
378
Следовательно, коэффициент давления в точке М(х, у, z)
-(
оо = 2 cos2 11(x,y,z).
р x, y,z) = (РооР - 2Р)12
Voo
(7.154)
Данное соотношение представляет собой основную формулу
метода Ньютона, согласно которой давление на элемент поверхнос­
ти ЛА зависит только от ориентации этого элемента по отношению
к набегающему потоку частиц.
Необходимо учитывать, что по формуле Ньютона можно опре­
делить коэффициент давления только для той части поверхности
ЛА, для которой выполняется условие
11
-90° < < +90°.
Остальная часть поверхности ЛА оказывается в так называемой об­
ласти аэродинамической тени, где коэффициент давления по мето­
ду Ньютона определить нельзя и поэтому его принимают равным
нулю.
Такая модель взаимодействия потока с поверхностью прибли­
жается к реальной при больших числах Маха. Кроме того, формула
Ньютона будет давать заведомо неверные результаты в областях от­
рыва потока, в частности в местах «изломов» поверхности ЛА. По­
этому метод Ньютона дает удовлетворительные результаты для тел
со сравнительно плавными обводами. С его помощью нельзя определить, например, такую важнеишую аэродинамическую характеристику, как донное сопротивление.
Учитывая указанные выше достоинства расчетов с использова­
нием данного метода, различные исследователи неоднократно пред­
принимали попытки усовершенствовать формулу (7.154).
Как следует из выражения (7.154), в точке полного торможения
= 2.
угол = О, а значит, коэффициент давления в этой точке
Поэтому формулу (7 . 1 54) можно представить в виде
�
11
р0
р(х, у, z) = Ро cos2 11(x, у, z).
(7.155)
Исследования показывают, что если постоянный коэффициент
полученным эксперимен­
= 2 заменить переменным
тально либо теоретически, то расчет по формуле (7.155) будет бо­
лее точным. Это особенно справедливо при исследовании обтека­
ния затупленных головных частей. В этом случае для определения
коэффициента давления в точке полного торможения можно исполь­
зовать зависимость
р0
p0(k,M),
7. 7. Метод Ныотона
-Ро (k М) 2 v(k,M)/n(k,M)- 1
kM2
==
•
Здесь
k
379
-
·
показатель адиабаты газа, обтекающего тело;
2
+1)
(k
k
1
v(k, М)
k + 1 2(k -1)
k/(k-1)
==
2
ll(k-1) 1t(k,M);
[2k /(k -1)-l/M2]
м
-kl(k-1)
k
1
n(k,M) 1 + 2 М2
Поскольку формулы (7.154) и (7.155) имеют одну и ту же струк­
==
туру, для удобства дальнейшего использования и универсальности
будем их записывать в единой форме:
р(х,
у, z)
==
К cos 2 11(x,
у, z),
(7.156)
где К универсальный коэффициент, принимающий различные зна­
чения в зависимости от особенностей решаемой задачи.
При определении по методу Ньютона аэродинамических коэф­
фициентов для тел произвольной формы удобно использовать две
связанные системы координат: прямоугольную Oxyz и цилиндри­
ческую Oxry (рис.
а). Формулы для пересчета из цилиндрическои в прямоугольную систему координат имеют вид
-
7.36,
�
х = х; у = rs1ny; z = rcosy.
.
Начало систем координат размещают в носке ЛА, эта же точка
служит центром приведения моментов.
Элементарная сила, обусловленная избыточным нормальным
давлением, и действующая на поверхность ЛА в некоторой точке
М(х, у, z), может быть записана в следующем виде:
dF(x,
z)
у, z) = [р(х, у, z) -p00]dS.
(7.157)
При р(х, у, -р00 > О эта сила действует по направлению внутрен­
ней нормали к поверхности в точке М(х,
Проекции элементарной силы на оси прямоугольной системы
координат вычисляют по формулам
у, z).
(7.158)
380
7. Методы решения аэродинамических задач
у
у
1.
dS
х
о z
-rt/2
!
r
''
/М2 -,
.
' ' / М'3
'
. Мз
.
у
dSцил
z
у
а
dS
�
dY>O
у> О
а
·""."..
,
х>О
б
z> о
х
'•,
------------------jf
z
Рис. 7.36. Системы координат, используемые в методе Ньютона для
определения аэродинамических коэффициентов (а) и моментов (6)
где ах, � и 'Yz - углы, образованные вектором внутренней нормали
У
с осями координат.
Коэффициент аэродинамической силы
(7.159)
Из уравнений (7.157)-(7.159) следуют выражения для элемен­
тарных коэффициентов аэродинамических сил, действующих вдоль
соответствующих осеи координат:
�
381
7. 7. Метод Ныотона
p(x,y,z)
p00
dS
f.!.
_
dСу COS l-' y
;
S
(7.1 60)
МИД
qoo
или
dS
dcx = p(x,y,z)cosax
;
SМИД
_
S
d
dcy = p(x,y,z)cos� Y
S ,
(7.161)
мид
d
S
,
dcz = р(х, у, z)cosyz
sмид
где p(x,y,z) определяется соотношением (7.156).
Как известно
-из аналитической геометрии, косинус угла между
векторами п1 и п2 можно определить через их направляющие косинусы:
cos(n 1 ,n 2 ) = cos а1 cos а2 + cos �1 cos�2 + cos у1 cosy2 .
Ориентация вектора скорости V00 набегающего потока относительно ЛА определяется углами атаки а и скольжения -�ск (см.
рис. 7.36). С учетом этого направляющие косинусы вектора V00 можно записать в виде
cos av
Тогда
QQ
= cos �ск cos а;
cos �v
QQ
= cos �ск sin а;
cos Yv.
= sin�cк·
-
COS Т) = cos(V00, n) = COS �скСОS а COS ах +
+ cos�cкsinacos�Y + sin�cкcosyz.
то
QQ
(7.162)
Если обтекание ЛА рассматривать без угла скольжения (�ск = О),
cosri = cosacosax + sinacos�y·
382
7. Методы решения аэродинамических задач
Для вычисления площади dS произвольно ориентированного
элемента поверхности ЛА рассмотрим в цилиндрической системе
координат (см. рис. 7.36) цилиндр радиусом r, содержащий точку
М(х, r, "(). Элемент М1 М2 М3М4 (с площадью поверхности dSцил)
является ортогональном проекциеи элемента поверхности
М{М2М3М� произвольной формы, площадь которого dS. Поэтому
можно записать
v
v
dSцил = dScos<p,
- где <р - угол между нормалями п и nцил.
Поскольку dSцил = rdydx, то
dS = rdydx/cos <р.
(7.163)
Косинус угла <р между векторами ii и iiцил определяется анало­
гично косинусу угла 11:
°
°
соsапцил = cos 90 = О; cos Рпцил = cos(90 + у) = -siny;
о
Тогда
cos "(п цил = cos( 180 - у) = -cosy.
cos <р = - (cos Py sin"( + cos "fzCOS"().
Для интегрирования уравнений (7. 161) необходимо найти -выражение для направляющих косинусов внутреннем нормали п к
рассматриваемой поверхности в точке М(х, у, z). Из аналитической
геометрии известно, что если поверхность задана общим уравнением вида
v
F(x,y,
z) = О,
то направляющие косинусы нормали в точке М(х0, у0, z0) вычисля­
ют по формулам
cos ах , ..,R У , у - +
z
_
_
F'x,y, z
�(F;)2 + (F;)2 + ( F;)2
,
(7.164)
дF
дF
· F' = дF
г.де F'х =
. При' F' =
'
z
z
д М (xo.Yo.zo)
дх М (xo,Yo.zo) У дУ М (x0,y0, z0)
чем, чтобы вектор ii был внутренней нормалью, в уравнениях
(7.164) следует выбирать знак «-».
С учетом выражения (7 .163) система (7 .161) будет иметь вид
·
cosax - 1
2
r dx dy;
dcх = - К cos 11
п
cos<p
7. 7. Метод Ныотона
dc1
>
=
1
-
7t
383
cos�у
2
rd.X dy;
к cos 11
1
dcz = - Kcos
cosq>
2
7t
COS"f z -
11 cosq>
(7.1 65)
-
r dx dy,
где r = r/Rмид ; d.X = dx/Rмид.
Интегрирование по выбранному участку поверхности ЛА проводят во вспомогательнои цилиндрическои системе координат в пределах
�
хн <х<хв
�
И 'Ун
< у < ув ,
где индексы «Н» и «В» обозначают нижний и верхний пределы интегрирования по соответствующеи координате.
Таким образом, для выбранного участка поверхности оконча­
тельные выражения для аэродинамических коэффициентов в связаннои системе координат имеют вид
�
�
сх
Хв
'Ув
cosa.
2
= Jt _J J К cos 11 cosq>х r d.X dy;
1
_
_
-
Хн"("
} Хв "fв
-
COS�
2
у r ш dy,
су = - J J к cos 11
Jt _
Хн 'Ун
cosq>
х 'У
в в
(7.166)
-
сz
cosyz
2
К
cos
r d.X dy.
=- J J
11
1
1t _
Хн 'Ун
_
_
cosq>
Выражения для вычисления аэродинамических моментов отно­
сительно носка ЛА имеют вид
=dZy-dYz;
dМ у = dXz - dZx'·
dМz =-(dYx -dXy).
dМх
(7.1 67)
Знаки в них расставлены в соответствии со вспомогательной
схемой (рис. 7 .36, 6), причем в выражении для момента тангажа
необходимо добавить знак «-», поскольку стабилизирующий (умень­
шающий угол атаки) момент принято считать отрицательным.
Преобразуем уравнения (7 . 1 67) на примере выражения для мо­
мента тангажа. С учетом (7.158) запишем
7. Методы решения аэродинамических задач
384
d.Мz = - dF(xcos �у - ycos ах)·
Коэффициент момента тангажа
dmz -
3
dМ Z
qоо1tRмид 4.ар /Rмид
,
где Lxap - характерный линейный размер ЛА.
Проводя те же преобразования, что и при выводе системы
(7 .1 65), получаем
dmz = -
2 11 - cos
K
r (х cos R
1-' У - у cos ах )A�d
ил. у,
1
1t4_
ap COS <р
где 4.ар = 4.ap /Rxap • x(y,z) = x(y, z)/Rxap ·
Проинтегрировав выражения для элементарных моментов по
выбранному участку поверхности, находим
Хв
1
'Ув
cos 2 11 -r (-cosyz dXdy;
x
cosa
К
z
x
)
J
тх = L- J
1t xap Х-н 'Ун
mz =
1
-�-
Хв 'Ув
COS <р
COS
-
2 11 - Ry - y
- cosax ) dr (x cos l-'
X dy.
J J К COS <р
1t4_ap Хн 'Ун
_
Выражения (7 .166) и (7 .168) для аэродинамических коэффици­
ентов и моментов являются универсальными, т. е. они справедливы
для участка поверхности ЛА любой формы. Чтобы вычислить аэро­
динамические коэффициенты и моменты для ЛА в целом, необхо­
димо провести интегрирование по всем участкам его поверхности,
задав для каждого свое уравнение поверхности и свой коэффици­
ент К в формуле Ньютона.
При расчете характеристик затупленного конуса (рис. 7.37, а)
при заданном угле конуса �к и диаметре донного среза все осталь­
ные размеры определяют через параметр ').. = 4.ар/4. Результаты
тестовых расчетов при ').. = 1 ; 0,7 и 0,5 и �к = 10° приведены на
рис. 7.37, б, в.
385
7. 7. Метод Ныотона
у
Область
тени
Lxap
а
л. = о 5
'
�-�-�--�-��
1
Л. = 0'5
0,7
1
-10
'
о
20
40
60
б
-2,0
а, град
о
�
1
л. - 1,0
20
'
'
40
в
60 а, град
Рис. 7.37. Геометрические параметры (а) и аэродинамические характери­
стики (б, в) затупленного конуса
Рассмотрим также последовательность вычисления давления на
поверхности ЛА при сложном движении, являющемся результатом
поступательного и вращагельного движений. Пусть вращение проv
исходит с постояннои
угловоиv скоростью ro относительно условного центра
у
масс ЛА (рис. 7.38). Общую зависи­
мость для коэффициента давления, рас­
считанного по формуле (7.156), мож­
но представить в виде
-
Рр
2
voo2 '
К V11.E
-
где V11r = V,1 + V11ro - нормальная к по­
верхности ЛА результирующая со­
ставляющая скорости V,I' обусловленv
нои поступательным движением, и до-
�
v=
z
о�
�-­
х
цм
Хцм
Рис. 7.38. К определению доv
v
полнительнои составляющем
коэффициента давления
386
7. Методы решения аэродинамических задач
бавочной скорости v:00, обусловленной вращением. Согласно вы­
ражению (7.162), при отсутствии угла скольжения
vfl = v00 (cos а cos ах + sin а cos �у)·
Добавочная скорость, индуцируемая в_некоторой точке А поверх­
ности, равна векторному произведению VO) = rox rA , где rA - ради­
ус-вектор, проведенный из центра масс к точке А. Тогда нормаль­
ная составляющая добавочной скорости
(7. 169)
хА i + уА ] +
=
радиус-вектор
rA
в
виде
r
A
Если
представить
+ zлk, где хл, Ул, zл - расстояния до точки А от центра вращения,
то вектор индуцированной скорости будет вычисляться по формуле
-
V00 = Vroxi + V00y j + V00zk =
= (royzл - roz Yл)i -(roxzл - rozxл )j +(roxYл - royxл )k,
из которой можно определить компоненты добавочной скорости в
выражении (7.169).
Таким образом, коэффициент давления
Здесь
Р = Pv + Pro·
(7.170)
(7.171)
2)
к
(2V V +
=
Pro 2
nro V ro
voo
п
п
(7.172)
(р00 - составляющая, обусловленная вращательным движением).
При использовании данных формул следует понимать, что со­
ставляющие Pv и р00 при обращенном движении будут склады­
ваться только в том случае, если у скоростей vfl и vfl(I) противопо­
ложные знаки (поверхность ЛА в окрестности тоски А движется
навстречу набегающему потоку). При этом для расчета р00 по фор­
муле (7 . 172) нужно брать модули скоростей vfl и vfl(I)'
8. КОМПОНОВКИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
И ФОРМЫ ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Основой ЛА являются планер, двигательная установ­
ка, оборудование и полезная нагрузка. Планер состо­
ит из корпуса, крыльев, оперения, органов управле­
ния и некоторых дополнительных устройств, объ­
единяемых в понятие надстроечных элементов.
зависимости от назначения ЛА имеют различные
компоновочные схемы.
главе рассмотрены основные формы, геометричес­
кие и аэродинамические характеристики корпусов,
крыльев, оперения и т. д., даны рекомендации по вы­
бору их параметров в зависимости от условий поле­
та. Показано влияние назначения и тактико-техни­
ческих требований на выбор аэродинамических схем
и органов управления полетом.
В
В
8.1. Основные характеристики и геометрические
параметры корпуса летательного аппарата
Беспилотные ЛА чаще являются устройствами одноразового при­
менения, для которых конструктивная простота и технологичность
играют определяющую роль. Наи­
2
3
1
большее распространение получили
корпусы ЛА, выполненные в виде
Г�IНД
тел вращения, в контуре которых до­
пускаются изломы образующих.
lкорм
Корпус ЛА целесообразно рас­
Хrол
/ЦJIЛ
сматривать состоящим из трех
L
участков: головного (носового),
среднего и хвостового (кормового),
Рис. 8.1. Схема корпуса ЛА:
что облегчает расчет его аэродина­ 1 головная часть; 2 средняя часть;
3 кормовая часть
мических характеристик (рис. 8.1).
-
-
-
388
8. Компоновки летательных аппаратов и формы их эле.ментов
В целях уменьшения аэродинамического сопротивления корпу­
са головную часть выполняют в виде заостренного тела вращения,
сплошного или с протоком. Традиционно такая головная часть имеет
коническую, оживальную, параболическую или комбинированную
форму (рис. 8.2).
-·-·-·-·-·-·-·-·
-
-
------
-
----
а
-
-
--
�--
----------------� ---·-·-·-·-·-·-·-·
--------------- - --
б
в
11
·-·-·-·-·-·..,.- ·-·
----
г
- - - - - -- - - - - -
Рис. 8.2. Формы сплошных (слева) и с протоками (справа) заостренных
головных частеи:
v
а -
коническая;
б, в
оживальные касательная и секущая соответственно;
г - комбинированная (конус с оживалом)
-
Оживальная головная часть образуется дугой окружности ра­
диусом R (рис. 8.3). Сопряжение головной части и цилиндрическо­
го участка возможно по касательной (� = О), и тогда эту оживаль­
ную кривую называют касательной, либо под некоторым углом
� * О, и тогда такую кривую называют секущей. Уравнение ожи­
вальной кривой в безразмерной форме имеет вид
- = 2R- [1 - Л.г2олR--2 (Х- -1)2]-112 - 1
r
+ 1,
(8.1)
где r = rlrмид• R = R/(2rмид); А.ГОЛ = Хгол/(2rмид ) - удлинение го­
ловной части; х = х/хгол .
Согласно рис. 8.3, связь между удлинением А.гол головной части
и безразмерным радиусом для оживальной образующей определя­
ется соотношением
8.1. Основные характеристики и геометрические параметры корпуса 389
(8.2)
Лrол = JR - 0,2 5 .
Дифференцируя уравнение (8.2), получаем закон изменения накло­
на касательной вдоль этой образующей:
-1/2
2
dr
1
dr
л (х - 1 )2
(8.3)
tg = dx = 2 dx = - АгоRл (х- - l) 1 - А_
�
R
А
Из выражения (8.3) определяем угол наклона касательной у острия
А
1-'
гол
корпусаЛА:
-1/2
dr
tgPo = dx
х=О R
•
r
Для головной части с парабо­
лической образующей справедли­
во уравнение
r=x(a
2
---�
:[
....
о
х
х
ХГQл
Рис. 8.3. Геометрические параметры оживальнои головнои части
тела вращения:
1 - касагельная кривая (� = О в точке А);
v
2
-
v
секущая кривая (� -:;:. О в точке А)
r =x (2-x).
(8.4)
d
(8.5)
По аналогии с оживальной образующей находим
1 (1- х-) ;
dx Агол
1
dr
tg�o = dx
r
=
tg.., =
А
"!
-
+ Ьх + сх2 + . . . ),
где а, Ь, с - коэффициенты.
При большом безразмерном
радиусе R в уравнении (8.2) мож­
но пренебречь вычитаемым 0,25
(при R > 4 погрешность не превышает 3 %). Подставив полученную
зависимость R = л.;0л в уравнение
(8.1), имеем для параболичес­
кой образующей в безразмерной
форме
А
(8.6)
х=О
С учетом выражения (8.6) уравнение (8.5) можно преобразовать
к виду
tg�=tg�0(1-x).
390
8. Компоновки летательных аппаратов и формы их элементов
Очивидно, что оживальная и параболические образующие мо­
гут быть как касательными, так и секущими.
Из уравнения (8.4) для тел с параболической образующей сле­
дует, что вся их бесконечная совокупность характеризуется одина­
ковой зависимостью относительной толщины rlrмид от безразмер­
ной координаты х. Среди таких тел можно выбрать геометрически
подобные тела, т. е. отличающиеся своими линейными размерами в
одно и то же число раз. Эти тела имеют одинаковое удлинение и их
можно совместить одно с другим в результате равномерной дефор­
мации. Но существуют параболические тела, формы которых совпа­
дают только после неравномерной деформации. Рассмотрим два тела
с различным удлинением. Введя масштаб для радиальной координа­
ты, можно при деформировании одного из них в вертикальном на­
правлении не получить полного совмещения с другим, поскольку для
этого следует принять новый масштаб для осевой координаты. Такое
преобразование называют аффинным, а тела с параболической обра­
зующей аффинно-преобразованными или аффинно-подобными.
Конические тела, образующая которых описывается уравнени­
ем r = х, также характеризуются одинаковым распределением от­
носительных толщин и являются аффинно-подобными.
Оживальные тела нельзя аффинно преобразовать, т. е. они не
являются аффинно-подобными, кроме случая, когда тела имеют оди­
наковое удлинение и являются геометрически подобными.
При больших удлинениях (Аrол > 2) оживальная форма мало от­
личается от параболической, поэтому такое тело можно рассматри­
вать как аффинно-подобное.
На практике часто приходится иметь дело с затупленной голов­
кой, поскольку технологически невозможно добиться абсолютно
острого тела. Головки затупленной формы применяют при высо­
ких скоростях полета, когда основным требованием к форме голов­
ной части является способность противостоять действию очень вы­
соких температур.
Довольно широко распространены ЛА, выполненные в виде сфе­
ры или имеющие в качестве головной части сферический носок.
Образующая основного участка, идущая за сферическим носком,
может быть прямолинейной или криволинейной (рис. 8.4).
Характерными формами затуплений являются сегментно-сфеv
рическии
касательнымv носок и плоскимv торец.
Сферический носок и плоский торец можно рассматривать как
частные случаи эллиптической поверхности. Эллиптический носок
-
8.1. Основные характеристики и геометрические параметры корпуса 391
характеризуется большой и малои осями, причем их ориентация может быть произвольной.
Если обе оси равны, то эллип­
тическое затупление переходит
в сферическое, а если одна из
осей равна нулю - то в плос­
кий торец.
Аэродинамические характе­
ристики затупленных тел при
Гrол
заданной форме носка зависят
r'
rол
от степени затупления rтор ,
под которой понимают отноше- Рис. 8.4. Головная часть со сферическим носком:
ние радиуса основания носка
rтор к радиусу наибольшего 1 сферический носок; 2 касательная
образующая; 3 секущая образующая
(миделева) сечения rмид' т. е.
rтор rтор /rмид (см. рис. 8.4).
На практике применяются и другие формы
затуплении, например плоскии торец с круг1
1
лой фаской радиусом r (рис. 8.5). При
1
r
rтор затупление приобретает сферическую
1
форму, а при r
О становится плоским
-1торцем.
Традиционно среднюю часть корпуса ЛА Рис. 8.5. Затупление
выполняют цилиндрической. Встречаются ЛА, в виде торца с круг­
лой фаской
у которых она имеет форму усеченного конуса
с малым углом наклона образующей. Аппараты с воздушно-реактивными двигателями в средней части корпуса
могут иметь кольцевой уступ либо один или несколько секторных
уступов, обеспечивающих расположение воздухозаборников. Сред­
няя часть может быть не осесимметричной формы, в частности
иметь овальное сечение, обеспечивающее возможность размеще­
ния воздухозаборников воздушно-реактивного двигателя. Хвосто­
вая часть (корма) выделяется из корпуса как его элемент, диаметр
которого постепенно уменьшается (или увеличивается) по направ­
лению к донному срезу, причем его форма может быть конической,
оживальной или параболической (рис. 8.6).
Основное назначение хвостовой части с уменьшающимся диа­
метром - снижение полного сопротивления. Часто выбор формы
v
------
---
-
=
v
=
v
=
-
-
8. Компоновки летательных аппаратов
392
и
формы их элементов
определяется
хвостовом
части
- -- - - - конструктивными соображения­
->-·- -·-·-·---·- -·-·-·-·ми. Выполнение ее расширяю­
----- ---------щейся способствует повышению
устойчивости ЛА при росте его
б
а
сопротивления.
Конструктивно корпус иног­
да выполняют таким образом,
--·-· -·-·-·что отсутствует четко выражен­
ный донный срез и донная часть
г
в
представляет собой поверхность
Рис. 8.6. Формы хвостовых частей: произвольной формы. На форму
доннои поверхности часто окаа-в конические суживающаяся, сужи­
вающаяся с протоком и расширяющая- зывает влияние сопловой блок
ся соответственно; г оживалъная су- двигательном установки.
живающаяся
Представленные наиболее
простые формы корпусов, нос­
ков и хвостовых частей в известной степени отражают их многооб­
разие, поэтому могут быть рассмотрены как типичные.
v
-
-
-
-
--
-
--
-
v
-
v
-
8.2. Формы несущих, управляющих, стабилизирующих
и вспомогательных поверхностен летательного аппарата
v
Аэродинамические свойства крыльев, рулей, стабилизаторов оп­
ределяются как их формой в плане, так и профилем, т. е. контуром,
лежащим в сечении, перпендикуляр­
о
ном поверхности. Конкретная фор­
z ма каждого такого элемента зависит
от назначения ЛА и диапазона ско­
§
ростей его полета. Например, фор­
цд
му крыла в плане выбирают с уче­
том не только его контура, но и всех
геометрических параметров (как
размерных, так и безразмерных).
Хз
Типичная схема крыла современно­
l
го ЛА приведена на рис. 8.7.
х
Аэродинамические коэффициен­
Рнс. 8.7. Основные геометричес- ты крыла заданной формы в плане
кие параметры крыла в плане
при определенной скорости полета
�
с
-<::>
-<::>
"'
'-:
-<::>
393
8.2. Формы поверхностей летательного аппарата
зависят от углов стреловидности Хп, Хз или углов наклона "fп, 'Уз
переднеи и заднеи кромок крыла соответственно, а также удлинения А и сужения 11 крыла:
v
v
'А = l =
Ьср
2/
Ьо +Ьк
11 = Ьо/Ьк ,
/2
S'
размах крыла; Ьср = (Ьк + Ь0)12
средняя хорда крыла; Ьк,
Ь0 концевая и корневая хорды крыла; S площадь крыла в плане.
Важнейшей геометрической характеристикой, используемой в
аэродинамических исследованиях, является средняя аэродинамичес­
кая хорда ЬА> т. е. хорда эквивалентного крыла прямоугольной фор­
мы в плане, имеющего ту же площадь в плане, что и заданное кры­
ло, и обладающее одинаковыми с ним аэродинамическими харак­
теристиками.
Центр давления, или фокус крыла, отсчитывают от начала среднеи аэродинамическои хорды крь.1ла, располагающеися вдоль его
корневой хорды (см. рис. 8.7). Под аэродинамическим или просто
фокусом крыла понимают точку приложения равнодействующей
всех добавочных сил, вызванных углом атаки. Применение сред­
ней аэродинамической хорды в качестве характерного геометричес­
кого параметра удобно в том отношении, что ее длина и положение
центра давления (фокуса крыла) относительно ее передней кромки
остаются почти неизменными для любой формы крыла в плане при
сохранении его площади.
Характерной особенностью крыльев современных высокоско­
ростных ЛА является наличие передней стреловидности, главным
назначением которой является снижение сопротивления благодаря
уменьшению нормальнои к переднеи кромке составляющеи скорости невозмущенного набегающего потока (Vп00 = V00cosxn). У аппа­
ратов, предназначенных для полетов с дозвуковыми скоростями,
при общем снижении сопротивления волновой кризис («звуковой
барьер») сдвигается в сторону большей скорости. У сверхзвуковых
ЛА, обладающих большой стреловидностью, обеспечивается более
плавный переход через звуковой барьер без значительного увели­
чения сопротивления, что имеет очень важное значение для сохра­
нения устойчивости полета.
Аэродинамические характеристики крыла при сверхзвуковой
скорости существенно зависят от того, является ли передняя кром-
где l
-
-
-
v
-
v
v
v
v
v
394
8. Компоновки летательных аппаратов
и
формы их эле.ментов
ка дозвуковой или сверхзвуковой. Передняя кромка называется до­
звуковой, если она лежит внутри конуса Маха с углом µ и верши­
ной в передней точке крыла. В этом случае нормальная к кромке
составляющая скорости набегающего потока будет меньше скорос­
ти звука ( Vп00 < а00, Мп00 < 1 ). Поскольку Мп00 = M00cos Хп = M00sin "fп,
условие того, что передняя кромка (это справедливо для любой
кромки крыла) является дозвуковой, выполняется при 'Уп < µ, где
µ = arcsin(l/M00).
Если крыло находится в условиях дозвукового обтекания, то за­
остренная передняя кромка оказывается невыгодной. Условия об­
текания, а следовательно, и аэродинамические характеристики
улучшатся, если слегка закруглить переднюю кромку, т. е. создать
разрежение в окрестностях передней кромки, что приведет к образованию подсасывающем силы и уменьшению сопротивления.
Однако снижение сопротивления возможно только при правильном
выборе радиуса закругления в зависимости от угла атаки. Напри­
мер, при уменьшении радиуса закругления и повышении угла ата­
ки по сравнению с их оптимальными значениями возникает срыв
потока и сопротивление возрастает.
Передняя кромка крыла называется сверхзвуковой, если она ле­
жит вне конуса Маха, поскольку в этом случае 'Уп > µ и M00sin"fп > 1.
Учитывая особенности сверхзвукового обтекания, желательно при­
менять заостренную переднюю кромку.
Подобно передней, задняя и боковая кромки могут быть дозву­
ковыми и сверхзвуковыми, что влияет на характер обтекания кры­
ла. Например, если боковая кромка является дозвуковой, то через
нее имеет место перетекание, что вызывает уменьшение подъем­
ной силы в данной области крыла. Для исключения этого небла­
гоприятного воздействия боковую кромку выполняют сверхзвуко­
вой, размещая вне конуса Маха. Из сказанного можно сделать вы­
вод, что при соответствующем выборе формы крыла в плане можно
достичь необходимых аэродинамических характеристик.
Треугольные крылья обычно используют для высокоскорост­
ных сверхзвуковых ЛА. Так, треугольное крыло обладает всеми
положительными своиствами крыльев со стреловидном переднем
кромкой, а также рядом благоприятных особенностей, имеющих
существенное значение при некоторых условиях полета. Отметим,
что в трансзвуковой области полета центр давления крыла пере­
мещается незначительно, что облегчает стабилизацию и управле­
ние ЛА. Аэродинамическое качество треугольного крыла при
v
v
v
v
395
8.2. Формы поверхностей летательного аппарата
сверхзвуковых скоростях выше, чем у ряда крыльев с другой фор­
мой в плане, например обычного стреловидного, поскольку нет
отрицательного воздействия концевого эффекта. У треугольного
крыла имеются некоторые конструктивные преимущества, позво­
ляющие выполнить его прочным и жестким и использовать дос­
таточно большую внутреннюю полость для размещения оборудо­
вания и топлива. Размещение органов управления вдоль задней
кромки перпендикулярно продольной оси ЛА повышает их эф­
фективность.
Отмеченные выше и некоторые другие положительные качества
треугольных крыльев проявляются при определенных режимах по­
лета. При изменении условий полета и назначения ЛА треуголь­
ные крылья могут оказаться неэффективными и их следует заме­
нить на другие.
Прямоугольные крылья с обычным удлинением не имеют ши­
рокого применения. Основными причинами этого является значи­
тельное сопротивление, которое резко увеличивается при достиже­
нии волнового кризиса, наблюдаемого даже при сравнительно не­
больших числах Маха (М00 < 1 ), а также существенное изменение
положения центра давления в трансзвуковой области полета.
В конструкциях высокоскоростных ЛА в последнее время вво­
дят в качестве несущих и управляющих элементов прямоугольные
крылья малого удлинения. Благодаря интерференции с корпусом
такие крылья обладают достаточно хорошими аэродинамическими
характеристиками.
Выбор формы крыла (несущих, управляющих, стабилизирую­
щих и вспомогательных поверхностей) является одним из самых
ответственных моментов в разработке аэродинамической компонов­
ки и конструкции ЛА и должен быть основан на глубинных теоре­
тических и экспериментальных исследованиях, учитывающих на­
значение ЛА и его конкретные условия полета.
Аэродинамические свойства крыла во многом определяются его
профилем. В общем случае профиль может иметь криволинейную
форму и не обладать симметрией (рис. 8.8). Форма профиля зада­
ется уравнениями Ув = f8 (х) и Ун = fн (х) соответственно для верх­
него и нижнего контуров. Традиционно вводят безразмерные пара­
метры: наибольшую толщину с = с/Ь (где Ь хорда крыла; с
наибольшая толщина); стрелу прогиба с1 = с1/Ь (где с1 стрела
прогиба); расстояние до места наибольшей толщины хе = хс /Ь и
до максимального прогиба хс1 = хс1 /Ь.
-
-
-
396
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
у
Средняя
линия
Ув =fв (х)
+
\
Ун =fн(х)
о
�
-:::<\.:.
�
Voo
их
элементов
Ув Ун
Уср =
2
-
(..)
\ . - · -· ;.,__ ._- ·-·
·
�
-- -·=
/
Хе\
Хе
.
=--"·
(..)
х
ь
Рис. 8.8. Произвольный профиль крьmа
+
При наличии горизонтальной симметрии уравнения верхнего и
нижнего контуров принимают вид Ув = f(x), где знак «+» относится к верхнему, а знак «-» - к нижнему контуру. Средняя линия
в этом случае совпадает с хордой, а стрела прогиба равна нулю.
Характер давлений при сверхзвуковой скорости таков, что ис­
кривление средней линии профиля, выгодное при дозвуковой ско­
рости, не дает при этом режиме особых преимуществ.
Для сверхзвукового профиля характерна симметричность отно­
сительно хорды и острая передняя кромка. Несущие и стабилизи­
рующие поверхности у современных высокоскоростных ЛА имеют
один из следующих профилей: ромбовидный, трапецеидальный и
чечевицеобразный (рис. 8.9).
Первые два типа профилей отличаются простотой изготовле­
ния, причем ромбовидная форма профиля обеспечивает крылу боль­
шую жесткость по сравнению с трапецеидальной. С позиции аэро­
динамики некоторым преимуществом обладает трапецеидальный
профиль, поскольку при одинаковой с ромбовидным профилем ши­
рине он может обеспечить меньшее сопротивление и большее аэро­
динамическое качество. У чечевицеобразного профиля еще меньше сопротивление, чем у трапецеидального при одинаковои относительной толщине. Выбором соответствующих углов заострения
передней и задних кромок можно добиться требуемой жесткости
крыла.
н
,
�
а
б
в
Рис. 8.9. Ромбовидный (а), трапецеидальный (6) и чечевицеобразный (в)
профили сверхзвуковых несущих и стабилизирующих поверхностей
8.3. Аэродинамические схемы и органы управления полетом ЛА
397
С увеличением угла заострения передней кромки возрастает вол­
новое сопротивление, а также уменьшается угол атаки, при кото­
ром наступает режим обтекания с отошедшей волной, приводящий
к резкому возрастанию волнового сопротивления.
8.3. Аэродинамические схемы и органы управления
полетом летательного аппарата
Выбор размеров, внешних форм, взаимного расположения кор­
пуса, крыла, оперения, органов управления и других элементов ЛА
определяет его аэродинамическую компоновку (схему).
Аэродинамические схемы ЛА подразделяют на два класса.
К первому классу относятся аэродинамические схемы неопе­
ренных аппаратов, которые различаются в зависимости от того,
управляемым или неуправляемым является ЛА. Неоперенный уп­
равляемый ЛА - это ракета дальнего действия с отделяющейся
головной частью (рис. 8.1 О, а). Стабилизация ракеты на активном
участке траектории осуществляется с помощью газодинамичес­
ких органов управления, например поворотных сопел или газо­
вых рулей. Турбореактивные снаряды (рис. 8.1 О, 6) относятся к
неуправляемым неоперенным ЛА, стабилизация которых обеспе­
чивается их быстрым вращением вокруг продольной оси. У ЛА,
выполненного в виде конуса со стабилизирующей «юбкой»
(рис. 8.1 О, в), передняя часть конуса определяет положение цент­
ра масс, а вся его поверхность - положение центра давления, ко­
торый располагается за центром масс, что обеспечивает статическую устоичивость аппарата.
Ко второму классу относятся
схемы оперенных ЛА, на корпусе
которых установлены несущие,
стабилизирующие, управляющие
и вспомогательные поверхности.
б
Если площадь аэродинамических
поверхностен велика и создаваемая ими подъемная сила опреде­
ляет подъемную силу ЛА, то та­
а
кой аппарат называют крылатым.
При небольшой площади аэро­
Рис. 8.10. Неоперенные ЛА
динамических поверхностей они
v
v
в
398
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
их
элементов
бывают управляющими, стабилизирующими и вспомогатель­
ными.
Таким образом, аэродинамические схемы оперенных ЛА могут
быть крылатые и бескрылые, а также с совмещенным крылом и
оперением. Бескрылые ЛА бывают управляемые и неуправляемые.
Неуправляемый ЛА, выполненный по схеме бескрылого опе­
ренного снаряда (рис. 8. 11, а), имеет неподвижно закрепленное на
корпусе оперение, выполняющее роль стабилизаторов. Управляемый
ЛА, снабженный поворотными консолями оперения (рис. 8.1 1 , б),
относится также к классу бескрылых.
2
а
б
д
1
2
е
г
в
1
ж
Рис. 8.11. Оперенные Л А
К крылатым управляемым ЛА можно отнести аппараты, содер­
жащие размещенные на корпусе крыло и управляющие консоли
(рис. 8.11, в) или выполненные по схеме с совмещенным крылом и
оперением (рис. 8.11, д).
Крылатые ЛА с разнесенными крыльями и управляющими по­
верхностями в зависимости от принятого способа управления име­
ют нормальную схему (рис. 8.11, г) или схему «утка». В первой
схеме управляющее оперение 1 расположено за крылом 2 в хвосто­
вой части корпуса, во второй (см. рис. 8.11, в) перед крылом 2 в
носовой части, впереди центра тяжести ЛА.
В схеме «бесхвостка» (см. рис. 8. l l, д) изолированное управля­
ющее оперение отсутствует и рулевые устройства 1 расположены
-
8.3. Аэродинамические схемы и органы управления полетом ЛА
399
на задней кромке несущей поверхности (крыла) 2. Аппараты, вы­
полненные по схеме «бесхвостка», могут иметь неуправляемое опе­
рение (дестабилизатор), расположенное впереди крыла (рис. 8. 11, е).
Необходимость в таком оперении возникает для изменения характе­
ристик устойчивости и демпфирования. Разновидностью схемы «бес­
хвостка» является схема «летающее крыло» (рис. 8.11, ж), в которой
корпус ЛА почти полностью вписьmается в очертание крыла.
Каждая из рассмотренных аэродинамических схем обладает оп­
ределенными преимуществами. В нормальной схеме рули могут
обеспечить резкий маневр ЛА при сохранении их плавного обтека­
ния. Это достигается поворотом руля на большой первоначальный
угол 8 (рис. 8.12, а), который при маневре уменьшается на угол
атаки а., что предотвращает срыв потока с рулевых поверхностен.
Конструктивный перенос рулей в хвостовую часть корпуса обеспе�
Ур
�
Voo
о.
·
-
.
цд
цт
-------------
у
У- Ур
�
-----------
.
·--·-
/
gc--
цт
.-·--
---------------------
--
·-· ·
.
а
·
цд
---------------------
-
--
-----------
у
б
Рис. 8.12. Управление ЛА по нормальной схеме (а) и по схеме «утка» (б)
(сверху - положение до, снизу - после поворота ЛА)
400
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
их
элементов
чивает дифференциальное отклонение горизонтальных консолей,
позволяющее создавать крен. При такой схеме облегчается балан­
сировка корпуса относительно центра масс, обеспечивается боль­
шая свобода в расположении и выборе размеров аэродинамичес­
ких поверхностей, а также в выборе схемы управления. При зад­
нем расположении рулей приложенные к корпусу изгибающие
моменты оказываются сравнительно небольшими, что уменьшает
нагрузку на него.
Нормальная схема имеет и свои недостатки. Хвостовое опере­
ние (рули) находится в зоне возмущенного потока, прошедшего кры­
ло. Вследствие этого оперение испытывает сильную тряску - так
называемый бафтинг. Для исключения этого стремятся перенести
оперение выше плоскости крыла за пределы возмущенного потока,
хотя при этом снижается жесткость оперения, что может привести
к флаттеру.
Поскольку углы атаки крыла и рулей имеют разный знак, созда­
ваемые ими подъемные силы направлены в противоположные сто­
роны, а следовательно, суммарная подъемная сила ЛА меньше. По
этой причине при отклонении рулей возникает дестабилизирующий
эффект, обусловленный тем, что расстояние между центром масс и
центром давления сокращается, вызывая снижение статическои устойчивости. Если рули расположены на небольшом расстоянии от
центра масс, то может уменьшиться демпфирующий момент от оперения, а значит, и динамическая устоичивость, т. е. возникающие
периодические колебания будут затухать медленнее.
Положительные качества схемы «утка» проявляются в том, что
рули не испытывают возмущений от крыла (оказываются более эф­
фективными). Так как знаки углов атаки рулей и крыла одинаковые
(рис. 8.12, б), создаваемые ими подъемные силы направлены в одну
сторону и суммарная подъемная сила ЛА больше. При отклонении
рулей уменьшается дестабилизирующий момент и повышается ста­
тическая устойчивость ЛА по сравнению с нормальной схемой. По­
скольку рулевое устройство обычно располагается на большом рас­
стоянии от центра масс, характеристики демпфирования улучша­
ются. Некоторые конструктивные выгоды связаны с тем, что рули
имеют сравнительно небольшие размеры, а значит, для их управ­
ления необходимы малые моменты. При переднем расположении
рулей и сопутствующего оборудования баки с топливом и двига­
тельную установку можно размещать в средней и хвостовой час­
тях корпуса.
�
�
8.3. Аэродинамические схемы и органы управления полетом ЛА
401
К недостаткам рассматриваемой схемы можно отнести то, что
на крыло воздеиствует скошенныи рулями поток, приводящии к
v
уменьшению истинного угла атаки крыльев и их подъемнои силы.
Этот эффект особенно значителен, если крылья имеют небольшое
удлинение, т. е. почти вся их поверхность попадает в зону скошен­
ного потока. В схеме «утка» рулевые поверхности не целесообраз­
но применять в качестве элеронов для управления по крену. Вследствие скосов потока за рулями крылья создают противоположныи
по знаку момент крена, и эффект от элеронов практически исчеза­
ет. Отмеченный недостаток можно устранить, применяя на непод­
вижных крыльях элероны, управляемые независимо от передних
рулей. Это приводит к дополнительным конструктивным трудно­
стям и утяжелению аппарата. Рулевые поверхности, в связи с тем,
что их угол атаки � увеличивается при отклонении ЛА на угол а.
(см. рис. 8.12, 6), оказываются в неблагоприятных условиях, и воз­
можен срыв потока, вызывающий возникновение продольных ко­
лебаний ЛА. Расположение управляющего оперения впереди цент­
ра масс вызывает смещение центра давления вперед и, как след­
ствие, дестабилизирующий эффект. Нагрузки на рули и изгибающие
моменты оказываются больше, чем в нормальной схеме. Схема
«утка» предполагает длинную носовую часть корпуса для разме­
щения рулей, что вызывает трудности обеспечения путевой устой­
чивости, для которой в этом случае требуется развитое вертикаль­
ное хвостовое оперение.
Преимуществом аэродинамической схемы «бесхвостка» явля­
ется отсутствие скосов потока, вызывающих понижение эффектив­
ности рулей или крыльев. Использование рулей на горизонтальных
крыльях делает более надежным управление по крену, поскольку в
такой схеме исключается возможность обратного влияния, как, на­
пример, в схеме «утка». Статическая устойчивость достаточно не­
зависима от движения по тангажу, курсу и крену.
К недостаткам этой схемы можно отнести то, что ЛА в этом
случае не приспособлен для резких маневров (рули расположены
на небольшом расстоянии от центра масс). Кроме того, при боль­
ших углах атаки возможно попадание рулей в область отрывных
течений, что существенно снижает управляющие силы. Вследствие
небольшого расстояния между центром масс ЛА и центром тяжес­
ти крыла демпфирующий момент и характеристики демпфирова­
ния малы. Для этой схемы характерна существенная зависимость
положения центра давления от скорости, что сказывается на устоиv
v
v
v
v
402
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
их
элементов
чивости и управляемости ЛА. Для других аэродинамических ком­
поновок это влияние меньше.
На ЛА, не предназначенных для широкого маневра по курсу и
выполненных по так называемой самостоятельной схеме, применя­
ют, как правило, монопланное расположение крыльев на корпусе.
Крылья могут быть поворотными или снабжены элеронами для со­
здания управляющей силы, обеспечивающей маневр по курсу при
одновременном выполнении движения крена.
Для выполнения широкого маневра в пространстве на ЛА уста­
навливают крылья (рули) по так называемой плюсо- или иксооб­
разной схемам (рис. 8.13). Следует иметь в виду, что ни одна из
этих схем не дает существенного выигрыша в подъемнои силе, но
как средство управления плюсообразные крылья имеют некоторые
преимущества.
v
1
1
i
i
·-·-
-·-·
а
б
Рис. 8.13. Плюсо- (а) и иксообразная (б) схемы
расположения крыльев на корпусе ЛА
Оперение и его отдельные элементы на корпусе располагают с
учетом того, чтобы неблагоприятное влияние корпуса, крыльев и
двигателя было минимальным.
Управление движением ЛА заключается в изменении условий
v
полета и устранении возникающих отклонении от его заданного
режима. Понятие «управление» включает в себя протекающие одv
новременно процессы организации движения по заданнои траектории и его стабилизации. Для обеспечения требуемого закона дви­
жения ЛА и его стабилизации используют совокупность различ­
ных технических средств, образующих систему управления.
К неотъемлемым элементам этой системы относятся органы управ­
ления полетом, которые вместе с приводом входят в состав контура
управления ракетой и являются его исполнительным звеном. Ос-
8.3. Аэродинамические схемы и органы управления полетом ЛА
403
новное их назначение - создание сил и моментов для программно­
го разворота и стабилизации положения ЛА.
Существует большое разнообразие таких органов, которые мож­
но подразделить на несколько общих типов, встречающихся на прак­
тике. В зависимости от физического характера создаваемого ими
управляющего усилия выделяют аэродинамические, газодинамичес­
кие и комбинированные органы управления.
Аэродинамические органы управления создают управляющую
силу путем изменения условий внешнего обтекания при взаимо­
действии газообразной среды с элементами конструкции ЛА. Орга­
ны управления этого типа применяют на ЛА, движущихся в доста­
точно плотных слоях атмосферы. К их числу можно отнести пово­
ротные крылья, рулевые поверхности, элероны, элевоны, роллероны,
щитки, интерцепторы, аэродинамические иглы, надстройки, под­
вижные кормовые насадки, «юбки».
В основе использования газодинамических органов управления
лежит эффект, связанный с изменением направления истекающей
из сопла двигательной установки газовой струи (регулирование силы
тяги по величине и направлению) или с локальным изменением па­
раметров газового потока внутри сопла. Их применяют в тех усло­
виях, когда аэродинамические органы управления малоэффектив­
ны (при малых скоростях движения ЛА, в разреженных слоях ат­
мосферы и т. д.). Газодинамические органы управления создают
моменты и управляющую силу без изменения угла атаки, а их функ­
ционирование в большинстве случаев не зависит от внешних усло­
вий обтекания ЛА.
В настоящее время применяют различные газодинамические
органы управления, среди которых можно выделить поворотные
двигатели, поворотные сопла, поворотные и выдвижные насадки,
дефлекторы, газовые рули, интерцепторы, щитки (плоские, уголко­
вые, тангенциальные), впрыск и вдув газа в закритическую часть
сопла. Исходя из принципа действия, их подразделяют на две груп­
пы: устройства, которые изменяют импульс газовой струи по вели­
чине и направлению за счет разворота всего потока, и органы управления, для которых характерно локальное внесение возмущенииv в
поток, приводящее к изменению параметров течения по соплу. Все
они обеспечивают управление ракетой в трех плоскостях, однако не
всегда можно сделать при односопловои схеме двигателя.
Основные недостатки газодинамических органов управления:
создание управляющей силы и моментов только при работающем
это
v
404
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
их
элементов
двигателе, возникновение значительных шарнирных моментов и мо­
ментов инерции подвижных частей, подверженность элементов конструкции таких органов воздеиствию высокотемпературных газовых потоков.
В комбинированных органах управления при создании управля­
ющей силы используют одновременно эффекты аэродинамических
и газодинамических органов управления. Такие устройства часто
называют струйными органами управления. Управляющая сила у
них имеет две составляющие: от тяги сопла и от перераспределе­
ния давления по поверхности ЛА, обусловленного интерференциеи инжектирующего и внешнего потоков.
v
v
v
8.4. Выбор аэродинамической схемы летательного аппарата.
Исследование устойчивости тел в полете
Выбор той или иной аэродинамической схемы увязан с назна­
чением ЛА и тактико-техническими требованиями, в соответствии
с которыми устанавливают расположение точек старта и цели, вид
траектории движения, тип двигательной установки системы управ­
ления, характерные особенности конструкции. Каждому определен­
ному ЛА соответствует конкретная аэродинамическая схема, обес­
печивающая выполнение тактико-технических требований.
На начальном этапе проектирования выбор аэродинамической
схемы и расчеты можно вести отдельно. Принципиальную аэроди­
намическую схему можно наметить, исходя из тактико-техничес­
ких требований, без конкретизации форм отдельных элементов. Для
правильного выбора аэродинамической схемы ЛА необходимо учи­
тывать накопленный практическый опыт в авиационной и ракетнои технике, а также имеющиеся теоретические и экспериментальные данные.
В качестве фактора, определяющего тип ЛА, примем взаимное
расположение точек старта и цели полета: «космос-космос», «кос­
мос-земля» и т. д.
Движение аппаратов класса «космос-космос» происходит в без­
воздушном пространстве, поэтому форма и их аэродинамические
характеристики не влияют на параметры траектории. Форма ЛА
определяется конструктивными соображениями, он может быть как
управляемым, так и неуправляемым. В качестве органов управле­
ния используют газодинамические устройства, обеспечивающие
ориентировку и корректирование траектории.
v
8. 4. Выбор аэродинамической схемы летательного аппарата
405
Для аппаратов класса «космос-земля» характерно то, что при
входе в земную атмосферу с огромными скоростями они испыты­
вают сильное влияние аэродинамического нагрева. Для защиты от
нагрева и предохранения от разрушения предусматривают приме­
нение огнезащитных обмазок и использование тормозных ракет­
ных движений в целях уменьшения скорости полета. Аппараrы класса
«космос-земля» выполняют по схемам неоперенного неуправляе­
мого (управляемого) и крылатого ЛА. Для стабилизации неуправ­
ляемых ЛА (спускаемых аппаратов) используют стабилизирующую
«юбку», представляющую собой пустотелую хвостовую часть кон­
струкции.
Крылатые ЛА тоже содержат элементы тепловой защиты и тра­
диционные аэродинамические органы управления. Траектории дви­
жения аппаратов класса «воздух-земля» и «воздух-воздух» про­
ходят в плотных слоях атмосферы, поэтому в их аэродинамичес­
ких схемах это необходимо учитывать. Наиболее широко используют
крылатые управляемые и неуправляемые ЛА. Такие аппараты час­
то должны обладать повышенной маневренностью, что требует при­
менения мощных органов управления.
Аппараты класса «земля-земля» целесообразно подразделять
по дальности и виду траектории полета. ЛА, имеющие межконти­
нентальные дальности и баллистические траектории, являются мно­
гоступенчатыми с отделяющейся головной частью, их выполняют
по аэродинамической схеме без оперения. На активном участке тра­
ектории управление и стабилизация обеспечиваются газо- и (или)
аэродинамическими органами, а на пассивном участке - комбини­
рованными и (или) аэродинамическими. На одноступенчатых ЛА
класса «земля-земля» без отделяющейся головной части размеща­
ют оперение, обеспечивающее стабилизацию на пассивном участ­
ке траектории.
Полет ЛА с планирующией траекторией происходит в плотных
слоях атмосферы без приложения тяги. Для обеспечения полета в
аэродинамической схеме должны быть предусмотрены крьmья, соз­
дающие необходимую подъемную силу и максимальное аэродина­
мическое качество, обеспечивающее достижение наибольшей даль­
ности полета. При многоступенчатой компоновке ЛА крылья устанавливают на последнем ступени, совершающем планирующим
v
полет на нисходящем ветви траектории.
Поскольку планирующий полет осуществляется в плотных сло­
ях атмосферы со значительными скоростями, аэродинамическая схеv
v
v
406
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
их
элементов
ма ЛА должна обеспеч ивать уменьшен ие теплопередачи и нагрева
поверхности. Головные части ЛА, имеющие рикошетирующие тра­
ектории , выполняют по схеме крылатого управляемого аппарата,
которая обеспечивает его чередующееся пребывание в плотных сло­
ях атмос феры и в разреженной среде. При движении в плотных
слоях атмосферы необходимо обеспечение максимального аэроди­
намического качества и сн ижен ие тепловых потоков к поверхности
ЛА. Для этого передние кромки крыльев и корпус должны быть
затуплены. Для уменьшен ия сопротивлен ия передние кромки кры­
льев выполняют скошенными. Поэтому в планирующих и рикоше­
тирующих гиперзвуковых ЛА целесообразно применять треуголь­
ное крыло.
К ЛА, обладающ им настильной траекторией, относятся обыч­
ные самолеты и самолеты-снаряды. Эти ЛА выполняют крылаты­
ми, а для компенсации силы тяжести используют аэродинамичес­
кие или комбинированные органы управлен ия.
При старте с помощью ракетных ускорителей в аэродинами­
ческой схеме предусматривают средства, обеспечивающие стаби­
лизацию и управление в этих условиях. Также необходимо гаран­
тировать устойчивость в полете в условиях заправки ЛА со специ­
альных самолетов-заправщ иков.
На вы бор аэродинамической схемы влияет тип двигательной ус­
тановки. Ракетную двигательную установку традици онно размеща­
ют в кормовой части корпуса, что определяет центровку и взаимное расположение центров тяжести и давления, вл ияет на устоичивость и управляемость. Размещен ие сопел определяет форму
�
хвостовой части и условия ее обтекания.
При использовании нескольких двигательных установок («Па­
кетная» схема) или ракетных дви гателей в качестве стартовых ус­
корителей требуются дополнительные средства стабилизации , по­
скольку после окончания работы эти дви гатели отделяются. Аэро­
динамическая схема ЛА должна обеспечить в моменты отделения
необходимую устойчивость и управляемо сть. Лобовое сопротивле­
ни е отделяемых двигательных установок должно быть достаточ­
ным для быстрого их отделения от корпуса.
Для работы прямоточных турбореактивных дви гателей необхо­
дим кислород воздуха, который поступает из воздухозаборников,
размещенных на корпусе ЛА. Очевидно, что размеры воздухоза­
борных устройств, их число и характер расположения, режим ра­
боты определяют условия обтекания и аэродинамические характе-
8.4. Выбор аэродинамической схемы летательного аппарата
407
ристики ЛА. Для обеспечения оптимальных условий работы дви­
гателей воздухозаборные устройства следует размещать таким об­
разом, чтобы они не затенялись крыльями и оперением. Нежела­
тельно располагать воздухозаборное устройство на большом уда­
лении от носовой части вблизи поверхности, поскольку в этом
случае входнои канал оказывается в зоне толстого пограничного
слоя и поступающий воздух будет иметь большие потери полного
давления. Об ычно воздухозаборные устройства выполняют в виде
кольцевого воздухозаборника, размещаемого в передней части кор­
пуса, или боковых воздухозаборников, выносимых за пределы по­
граничного слоя.
Для сверхзвуковых ЛА с прямоточными двигателями необходи­
мы специальные ускорительные двигатели, создающие начальную
скорость, которая обеспечивала бы их устойчивую работу. Однако
это утяжеляет хвостовую часть конструкции, что требует установ­
ки стабилизаторов.
Под статической устойчивостью ЛА понимают его способность
возвращаться в исходное положение равновесия после прекращения
действия возмущающего фактора. Управляемость характеризует спо­
собность ЛА реагировать на отклонение органов управления. Динамическая устоичивость характеризуется неустановившимся движением ЛА, вызываемым различными возмущающими факторами:
турбулентностью, порывами ветра, действием оружия, отклонени­
ем органов управления и т. д. Динамическая устойчивость, конеч­
но, более полно оценивает характер движения ЛА, однако анализ
статической устойчивости в большинстве случаев позволяет конст­
руктору сделать необходимые практические выводы.
В практических задачах используют схематическое разделение
общей устойчивости на продольную и боковую. При исследовании
v
v
характеристик продольнои
устоичивости
считают, что все возмущающие силы и моменты действуют в продольной плоскости свя­
занных осей Оху. В этом случае рассматривается движение ЛА,
происходящее в его плоскости симметрии при отсутствии крена и
скольжения. При анализе боковой устойчивости рассматривают
возмущенное движение ЛА, связанное с изменением углов сколь­
жения и крена при неизменном угле атаки.
Движение по крену и скольжение связаны между собой. Откло­
нение элеронов обычно вызывает не только крен аппарата, но и его
вращение относительно оси Оу. Отклонение руля направления вы­
зывает скольжение аппарата, но это сопровождается и движением
v
v
408
8. Компоновки летательных аппаратов и формы
их
элементов
по крену. Поэтому исследование боковой устойчивости связано с
одновременным анализом моментов как крена, так и рыскания.
Для ЛА, обладающего статической устойчивостью, продольный
момент стремится вернуть угол атаки к прежнему значению. В этом
случае направление действия момента Mz (соответственно и коэф­
фициента mz) противоположно направлению изменения угла а.
Из этого следует, что условие продольной статической устойчивости выражается неравенством дМ zfдa < О или дтz/да = т� < О.
В случае продольной статической неустойчивости возникает де­
стабилизирующий опрокидывающий момент, который стремится
увеличить угол атаки а. Это условие выражается неравенством
дм z /да > О или дтz /да = т� > О.
Статическая устойчивость пути характеризуется неравенством
дМ У /д� <О или дту /д� = т� <О, а статическая неустойчивость дМ У /д� >О или дту /д� = т� >О. Очевидно, в первом случае на­
правление действия момента рыскания и изменения угла рыскания
различны, а во втором - одинаковы. Момент в первом случае яв­
ляется стабилизирующим, а во втором - дестабилизирующим.
Мерой поперечной статической устойчивости (статической устойчивости крена) является производная дМ х /д� или дтх /д� = т�.
Если производная т� < О, то ЛА обладает поперечной статической
устойчивостью, а при т� > О имеет место поперечная статическая
неустоичивость.
При т� = О, т� = О и т� = О ЛА нейтрален в отношении про.....
.....
дольнои устоичивости,
устоичивости пути и поперечнои.... устоичивости.
Продольную статическую устойчивость ЛА можно характери­
зовать расстоянием между его центром масс хцм и центром давле­
ния хцд, т. е. разностью хцд Хцм· В безразмерной форме это можно
записать так:
�
....
....
-
хцц /Zхар -х цм /Zхар
=
Хцд -Хцм'
где хцд = хцд /lхар .
Разность хцд - хцм называют запасом статической устойчивос­
ти. При положительной разности имеет место статическая устой­
чивость ЛА, при отрицательной - статическая неустойчивость, а
....
....
....
....
при нулевои - неитральность в отношении продольнои устоичивости.
8. 4. Выбор аэродинамической схемы летательного аппарата
409
Для оценки статической устойчивости ЛА с отклоненными ру­
лями используют соотношение
дтzцм
= -(х-uд -х-цм ) ,
дсу
где mz цм - коэффициент продольного момента относительно цент­
ра масс ЛА.
При заднем расположении центра давления относительно цент­
ра масс разность в скобках будет положительная, а производная
дтz цм /деУ <О, т. е. выполняется условие статической устойчивос­
ти. Условие дтzuм/дсу > О соответствует статической неустойчи­
вости.
При неустановившемся обтекании на ЛА действуют дополни­
тельные силы и моменты. Аппарат обладает динамической устой­
чивостью, если отклонение кинематическ.их параметров, вызван­
ное какими-либо возмущающими силами или моментами, с тече­
нием времени уменьшается (возмущенное движение затухает и
стремится к исходному программному полету). В противном слу­
чае наблюдается динамическая неустойчивость ЛА.
Динамическую устойчивость (неустойчивость) исследуют с использованием уравнении возмущенного движения, в которые входят аэродинамические характеристики, зависящие от времени, нестационарные аэродинамические характеристики. Как показали
исследования, решение задач, связанных с их нахождением, можно
упростить, если кинематические параметры, определяющие движе­
ние тел, принять изменяющимися по так называемому гармоничес­
кому закону. Основой расчета нестационарных аэродинамических
характеристик ЛА и их элементов являются общие зависимости,
выраженные через производные коэффициентов давления по кинепараметрам, например по угловои скорости OOz, скороматическим
.
сти а изменения угла атаки и др.
�
�
9. АЭРОДИНАМИКА КОРПУСОВ
Корпус (фюзеJlяж) в виде тeJla вращения wzи тeJla, по
форме близкого к не.му, представляет собой наряду с
крыльями, управляющи.1wи и стабилизирующими эле­
ментами важнейшую часть многих ЛА. Некоторые
типы таких аппаратов имеют корпус как единствен­
ный или основной эле.мент аэродинамической с.хе.мы,
поэтому в аэродинамических исследованиях изучение
обтекания тeJl вращения и разработка методов рас­
чета силового воздействия на них при таком обтека­
нии занимают важное место. Совре.менная аэроди­
намика тeJl вращения благодаря развитию мате.ма­
тики и вычислитеJlьной техники достигла больших
успехов. Вместе с те.м возросла роль и эксперимен­
тальных исследований обтекания корпусов, что выз­
вано значительным усложнение.м аэродинамических
задач и повышение.м требований к проверке правиль­
ности их решения опытным путе.м.
В главе рассмотрены методы аэродинамического рас­
чета тeJl вращения, основанные на применении аналитических и численных решении или использовании
экспериментальных данных.
v
9.1. Определение аэродинамических
коэффициентов тел вращения
Воздействие среды на движущееся в ней тело сводится к не­
прерывно распределенным по поверхности тела силам от нормаль­
ного давления, а также силам от касательного напряжения, обу­
словленного вязкостью среды. Все эти силы приводятся к одному
главному вектору аэродинамических сил R и главному вектору момента М этих сил относительно какой-либо точки приведения, например центра тяжести, острия носка и т. д. В инженерной практи-
-
9.1. Определение аэродинамических коэффициентов тел вращения 4 1 1
-
ке имеют дело не с векторами R и М , а с их проекциями на оси
скоростной (поточной) или связанной системы координат.
При исследовании аэродинамики тел вращения положение
вертикальной плоскости Оху связанной системы координат целесо­
образно выбирать таким образом, чтобы она являлась плоскостью
симметрии самого тела, а при угле скольжения � = О - и плос­
костью симметрии обтекающего тело потока. Тогда в плоскости Оху
будут
располагаться и продольная ось Ох тела и вектор скорости
V00 (см. рис. 1.9). Любая другая плоскость, проходящая через продольную ось и называемая меридиональной, образует с вертикаль­
ной плоскостью некоторый меридиональный угол у. В соответствии
й
й
с этим вертикальная плоскость является
нулево
меридионально
плоскостью. Поскольку вектор Vоо расположен в этой плоскости,
то ее определяют как плоскость угла атаки.
При -таком выборе
- вертикальной плоскости в ней расположен
вектор R, а вектор М ориентирован по нормали к плоскости. Следовательно, движение тела в поточной системе координат будет
определяться лобовым сопротивлением Х0, подъемной силой Уа и
моментом тангажа Mza или соответственно аэродинамическими
коэффициентами Сха = Х0/(q00Sмид), Суа = Уа/(qооSмид), тzа = Mzf
/(q00Sмидхт ), а в связанной системе координат - продол ьной силой Х,
нормальной силой У и продольным моментом Mz или соответствен­
но аэродинамическими коэффициентами сх, су и тz.
Коэффициенты лобового сопротивления сха и подъемной силы
Суа связаны с коэффициентами сх, су следующим образом (� = О):
в поточной системе координат
Сха = Сх COS а + Су sin а; Су
в скоростноиv системе координат
а
= Су COS а - Сх sin а,
Сха = Сх COS а - Су sin а; Суа = Су COS а + Сх sin а.
Аэродинамический расчет удобнее вести в связанной системе
координат, поэтому в дальнейшем будем рассматривать коэффици­
енты сх и су. Коэффициент момента тангажа определяется выбором
точки, относительно которой рассчитывают момент. Чтобы не свя­
зывать значение момента с положением центра тяжести, которое в
полете может изменяться, будем вести расчет относительно носка
тела вращения. В отдельных случаях, например при колебательном
движении тела вращения в полете, момент тангажа и его коэффи­
циент целесообразнее определять относительно центра тяжести.
412
9. Аэродинамика корпусов
Представим коэффициент продольной силы в виде суммы трех
составляющих, обусловленных действием давления на боковую по­
верхность тела и за донным срезом, а также поверхностным трени­
ем соответственно:
Сх = Схр + Схдон + Cxf·
Для их нахождения необходимо знать распределение по поверх­
ности тела нормального давления и касательного напряжения. Рас­
смотрим более общий и сравнительно простой случай определения
составляющих осевой силы и соответствующих коэффициентов по
известному распределению нормального давления и касательного на­
пряжения. Пусть при данном угле атаки а. и заданных параметрах
набегающего потока (скорость V00, статическое давление р00, плот­
ность р00) известны распределение давления по боковой поверхно­
сти тела вращения и давление за донным срезом. Найдем общие
выражения для коэффициентов схр и схдон> если задана геометри­
ческая форма тела, в частности уравнение его образующей r =/(х).
Выражение для составляющей Схдон находим из условия, что
продольная сила от избыточного давления (Рдон - р00) за донным
срезом площадью Sдон равна (Рдон - р00)Sдон· Вместе с тем (Рдон -роо)Sдон = СхдонqооSмид· Следовательно, коэффициент
Сх дон = РдонSдон'
Рдон = ( Рдон -poo)/qoo - коэффициент донного давления; Sдон
= Sдон/Sм ид - безразмерная площадь донного среза.
Для определения выражения для составляющей схр выделим на
рис. 9.1 элемент поверхности шириной с1х на расстоянии х от носка
ЛА. На участок этого элемента площадью rdydl действует сила от
избыточного давления, равная (p -p00)rdydl. Элементарную длину
dl образующей находим из соотношения с1х = d/cosp, где р - угол
где
между осью ЛА и касательной к образующей в данной точке.
Составляющая продольной силы от давления, действующей на
= (р -р00) rdydl sin р.
выделенный элементарный участок, будет
Имея в виду, что с1х = d/cosp, и учитывая также симметричный
характер распределения давления по обе стороны от нулевой меридиональноиv плоскости, получаем
dXP
Хт
ХР =2 f rtgpcix f(р - p00)dy,
7t
о
о
где хт - расстояние до донного среза (длина тела вращения).
9.1. Определение аэродинш.tическuх коэффициентов тел вращения 413
(p - poo)dS
r
'У
у=О
dl
�
Г•
1
1
1
�
Voo
х
�
'tcтdS
'У
�
Sдон
\rмм
1
1
dx
Удо11
rdy
х
Sмид
1
1
dS= rdydl
Хммд
Хт
Рис. 9.1. Схема тела вращения для определения аэродинамических
коэффициентов
Поскольку
хр = Схрqоо Sмид•
а площадь наибольшего сечения тела Sмид = пr�Ид' находим
'1
'/[
l
4л
т
R
схр =
J р-dу,
J-r tgl-'uл.
1t
(9.1)
,.i -:::
о
о
х = х/ хт; Л.т = хт /(2rмид)
удлинение; р =
= (р - р00) /q00 коэффициент давления, распределение которого
считается известной функцией переменных x(r), у.
В случае нулевого угла атаки выражение (9.1) упрощается:
где r = r / rмид;
-
-
l
схр =
4/...т Jр r tgpdX,
(9.2)
о
причем распределение коэффициента давления зависит только от
одной переменной (х или r).
Пусть известно распределение касательного напряжения 'tст по
поверхности ЛА, т. е. величина 'tст как функция переменных x(r), у.
Определим коэффициент cxf продольной силы от трения. Вначале
наидем составляющую продольном силы от трения, деиствующеи
на элементарную площадку dS = rdydl (см. рис. 9.1):
....
....
�= 'tст dS COS Р = 'tст r COS Р dl dy.
....
....
Поскольку dx = dl cos р, составляющая продольной силы от трения,
9. Аэродинам ика корпусов
414
действующей на боковую поверхность Sбок• определяется выражением
Хт
7t
х1 = JJ 'tcтcos�dS = 2 J r dxJ'tcт dy.
О
О
S00к
Введем местный коэффициент трения, определяемый из условия
с./Х = 't fq .
Тогда для коэффициента сх1 продольной силы получаем выражение
cт
Х
cxf =
qооSмид
oo
А.
т
4
JJ c1xcos�dS = 1t Jr с1Х Jc.fxdy.
1
Sмид Sбок
i
п
О
О
При симметричном обтекании коэффициент cxf является функциеи только переменнои х.
Нормальная сила, как и продольная, зависит от распределения
по поверхности ЛА нормального давления и касательного напря­
жения. Представим коэффициент нормальной силы су в виде сум­
мы двух составляющих, обусловленных действием давления и по­
верхностного трения соответственно:
v
/
v
су = Сур + Cyf
Получим зависимость, определяющую коэффициент сур при из­
вестном распределении давления. На рис. 9.1 видно, что элемен­
тарная сила dYP = -(р -p00)rdydlcosycos �· Поскольку dlcos � = d.x,
то с учетом симметричности распределения давления составляю­
щая нормальной силы от давления
Хт
УР
а ее коэффициент
сур =
-2
J rd.xJ (р- p00)cosydy,
о
ур
qoos
МИД
7t
о
'А
- 41tт Jr с1Х Jр cos уdy.
i
п
о
о
(9.3)
При симметричном обтекании сур = О, поскольку распределение давления в этом случае подчиняется своиству круговои симметрии, а
следовательно, не зависит от угла у.
Влияние вязкости на значение силы У, как показывают исследо­
вания, будет существенным при больших удлинениях тел, причем
оно возрастает с увеличением угла атаки и скорости.
v
v
9.1. Определение аэродинамических коэффициентов тел вращения
415
Коэффициент cyf нормальной силы можно определить, если из­
вестно распределение касательного напряжения 'tст по поверхнос­
ти обтекаемого тела. На рис. 9.1 видно, что на элементарную пло­
щадку действует сила
dY1 ='tcтsinPcosydS ='tcтrsinPcosydldy.
Тогда
Хт
1t
О
О
У1 = JJ 'tcтsinPcosydS = 2 J rtgPc!xf'tcтcosydy.
S00к
Следовательно, коэффициент нормальной силы от трения
'А
1
4
т
cosydy.
c1
cyf = q=Sмид JJ 'tcтsinpcosydS = 1t JrtgPclXJ
x
О
О
Sоок
n
i
В случае нулевого угла атаки местный коэффициент трения cfx
не зависит от переменной у, а значит, су1= О.
Коэффициен.т момен.та тан.гажа mz определяется теми же фак­
торами, что и коэффициент нормальной силы, поэтому можно записать
mz = mzp + mz1,
где mzp• mzf - составляющие, обусловленные действием нормаль­
ного давления и вязкостью соответственно. Кроме того, коэффици­
ент mz зависит от точки приведения момента.
Найдем общее выражение для коэффициента mz, имея в виду,
что в качестве точк.и приведения выбран носок ЛА. Составляющая
момента от давления, действующего на расположенную на расстоя­
нии х от точки приведения элементарную площадку (см. рис. 9. 1 ),
будет определяться выражением
dМzp = -xdYP + rcosydX Р =
= х(р- p00)rcosPcosydldy+ r2 (p- p=)sinPcosydldy.
Учитывая симметричность распределения давления, после интег­
рирования имеем
Хт
1t
о
о
1t
Хт
M zp = 2 J xr dxf (p-p=)cosydy + 2 J r2 tgpc!xf (p- p=)cosydy,
откуда
mzp =
Мzp
q=SмидХт
о
о
(9.4)
'А
2
4
т
Jr хс\Хj pcosydy+ Jr 2tgpc1Xj pcosydy.(9.5)
=
1t
О
О
1t О
О
9. Аэродинамика корпусов
416
Если тело (ЛА) тонкое, то вторыми членами в уравнениях (9.4)
и (9.5) можно пренебречь.
Вычислим составляющую коэффициента момента тангажа от
вязкости. Поскольку
dМf = -xdY1 + rcosydX1 = -Х'tст sinpcosydS + r'tcт cosPcosydS =
=
-xtcтrsin Pcosydl dy + r2'tcт cosP cos ydl dy,
после интегрирования имеем
м <! =
Хт
7t
Хт
7t
о
о
о
о
-2 J xr tg р dxJ'tcтCOS ydy + 2 J r2dxJ'tcтCOS ydy.
В соответствии с этим выражением составляющая коэффици­
ента момента тангажа, рассчитанная по наибольшему сечению тела,
1
Л. 1
4
т Jxrtgpct:xfc1xcosydy+ � Jr2ct:xfc1xcosydy.
=
m
zr
n
n
-
п о
о
по
о
9.2. Система уравнений при осесимметричном обтекании
заостренного конуса
Задача об обтекании заостренного конуса - одна из наиболее
важных в аэродинамике. Ее решение имеет большое практическое
значение, поскольку позволяет рассчитывать аэродинамические ха­
рактеристики ЛА или их элементов, имеющих коническую форму,
и наряду с этим результаты такого решения используют для расче­
та сверхзвукового потока около заостренных тел вращения. Например, это решение дает начальную точку на кривои распределения
параметров обтекания заостренного криволинейного тела. Кроме
того, результаты симметричного обтекания конусов применяют для
приближенного расчета распределения параметров газа по перифе­
рийной поверхности тел вращения (метод «местных конусов»); ими
пользуются как сравнительными при исследовании аэродинамики
затупленных конусов.
В теоретической аэродинамике наряду с точными разработаны
приближенные решения, позволяющие упрощенно рассчитывать об­
текание конуса. Некоторые из них относятся к тонким конусам, об­
текаемым линеаризованным потоком или потоком с очень больши�
9. 2. Сист&иа уравнений при осеси.лшетричном обтекании
417
ми числами Маха. Точное решение может быть, вообще говоря, при­
менено к конусам с произвольными толщинами, причем обтекаю­
щие их потоки могут иметь любые скорости. Основное условие,
которое должно при этом выполняться, связано с сохранением око­
ло обтекаемого тела конического потока - потока, параметры ко­
торого остаются постоянными вдоль прямых, проведенных из вер­
шины обтекаемого невязким потоком конуса. Однако получаемые
результаты также применяют при исследовании вязкого обтекания.
«Невязкие» параметры, такие как давление, скорость, плотность,
рассматривают в качестве параметров на внешнем границе пограничного слоя, образующегося на конусе, и считают факторами, оп­
ределяющими напряжение трения и идущие от газа к стенке тепло­
вые потоки.
Пусть имеет место осесимметричное невязкое обтекание сверх­
звуковым потоком конуса с углом �к при вершине (рис. 9.2). Задача
заключается в том, чтобы рассчитать параметры течения газа меж­
ду этим конусом и возникающим перед ним скачком уплотнения,
имеющим вид конической поверхности. При этом необходимо так­
же определить угол наклона 0ск прямолинейной образующей ко­
нического скачка. Запишем систему уравнений сохранения при­
менительно к такому случаю обтекания, когда газ за скачком под
влиянием высоких температур претерпевает физико-химические
�
х
1
Рис. 9.2. Схема осесимметричного обтекания заостренного конуса:
-
скачок уплотнения; 2
-
обтекаемый конус; 3
поверхность
-
промежуточная коническая
418
9. Аэродинамика корпусов
превращения. При этом будем считать, что в возмущенной области
устанавливается термодинамическое равновесие. Отыскиваемое ре­
шение для конуса должно соответствовать осесимметричному кони­
ческому полю возмущенного потока, в котором параметры газа со­
храняются постоянными вдоль прямых, проведенных из вершины и
являющихся образующими промежуточных конических поверхнос­
тей (в том числе конических поверхностей с углами е = е к> е = �к).
На основании указанного свойства любая частная производная от
параметров газа по сферической координате r (см. рис. 9.2) равна
нулю.
Уравнения неразрывности и количества движения, в которых
приняты равными нулю массовые силы и члены, характеризующие
вязкость, в декартовой системе координат имеют вид
е
др + д( р Vx ) + д( р Vy ) + д( р Vz ) = О·
'
дt
дх
дz
ду
dVx _ .!_др . dVy _ _ .!_др . d� _ _ .!_др
'
'
dt
р дх dt
р дz
р ду dt
Переходя к сферической системе координат, для осесимметрично­
го течения получаем (см. рис. 9.2)
д р + _!__ д( р V,.r2 ) + 1 д( р V0 sin е) =О·
'
rsine
де
дt r2 дr
1 др .
----
р дr '
дV0 + V,. дV0 + V0 дV0 + V,.V0 = _ _!__ др .
rp де
дr r де
r
дt
В соответствии с числом определяемых параметров к этим урав­
нениям надо добавить уравнения состояния, записанные для газа в
произвольном точке потока и непосредственно за скачком уплотнения:
�
р _ µек Р Т
Рек µ Рек �к
(9.6)
В рассматриваемую систему также должны войти уравнение
энергии
9. 2. Систе;11а уравнений при осеси.лшетричнол( обтекании
419
+ V2/2 = iск + vc�/2
(9.7)
i
и общие зависимости для расчета энтальпии, энтропии, молярной
массы и скорости звука:
i = ft (p,T) ; S = f2(p,T ); µ = fз (р,Т); a = f4(p,T).
(9.8)
В таком виде система может быть использована для исследова­
ния обтекания конуса диссоциирующим газом. В частном случае
отсутствия диссоциации эта система упрощается. Если принять, что
в возмущенной области между скачком уплотнения и поверхнос­
тью конуса удельные теплоемкости и молярная масса газа остаются такими же, как в невозмущеннои части потока, а скорость звука
и энтальпия зависят только от температуры, то можно записать
v
µ = const;
а2 = kRT = k .!!....
р
.
Принимая частные производные по t и r для конического стацио­
нарного течения равными нулю, имеем
dV0 + р V0ctg0 = О;
dp
2р Vr + V0
+р
d0
d0
-
(9.9)
(9.10)
Рассмотрим обтекание конуса при постоянных теплоемкостях.
Этот случай имеет важное практическое значение и результаты его
расчета также могут быть использованы для приближенной оценки
некоторых параметров обтекания (например, давления), в случае,
когда обтекание сопровождается значительным разогревом, вызы­
вающим физико-химические превращения и, как следствие, изме­
нение удельных теплоемкостей.
Расчет обтекания конуса может быть сведен к кинематической
v
v
задаче, связаннои с определением поля скоростеи в возмущенном
потоке около конуса. Воспользуемся выражением для скорости звука
а2 = dp/dp, записанном в виде
dp .
dp = а2 d0
d0
(9.11)
9. Аэродинамика корпусов
420
Подставив производные dp/d0 из выражения (9. 1 1 ) и dp/d0 из
уравнения (9.9) в уравнение (9.10), с учетом соотношений для ско­
ростей V и а получаем
dVr - V.0 .
d0 - •
-V0ctg0
v,. (v02 /а2 - 2)
+
0
dV.
_� - ----- ---- '
d0
1 - Vi j а2
V(0) = �vr2 + V02 ;
_ k + 1 *2 _ k - 1
2
а - а
(vг2 + v.20 ) ,
--,..-
2
2
(9.12)
(9.13)
(9.14)
(9.15)
*
2k
RT0 - критическая скорость звука; Т0 - температугде а =
k+1
ра торможения в набегающем потоке.
Граничные условия для численного интегрирования дифферен­
циальных уравнений (9 .12) и (9 .13) определяются условиями тече­
ния газа на поверхности конуса, а также непосредственно за скач­
ком уплотнения.
Граничное условие обтекания конуса заключается в том, что на
его поверхности нормальная составляющая скорости равна нулю, т. е.
V0 = О при 0 = �к·
Граничные условия на скачке уплотнения позволяют определить
составляющие скорости Vск и Vск 0 за скачком уплотнения. Пер­
вую из них можно получить, приравняв касательные составляю­
щие скорости до и после скачка (рис. 9.3). В соответствии с этим
r
(9.16)
= VCK = voo cos еск·
Нормальная составляющая скорости Vск 0 = -Vcк r tg (0cк - еск)·
(Знак «-» указывает на то, что направление скорости Vск 0 противо-
v
roo
r
положно внешнеи нормали к коническои поверхности, принятои за
положительное направление при выводе дифференциальных урав­
нений.) Используя уравнение для наклона фронта скачка уплотнения
�
�
�
(k + l)M� sin2 0ск
'
.
2
2 + (k - l )M s1n2 0ск
00
9.2. Систе;11а уравнений при осесим.,11етричном обтекании
421
у
х
о
Рис. 9.3. Треугольники скоростей перед скачком уплотнения и непосред­
ственно за ним в случае сверхзвукового обтекания конуса
окончательно получаем
2
n
si
�
(k
+
cк
M
0
2
l)
Vск0 -(9.17)
- Vскr (k + l)Mоо2 Slll. 2 0 tg 0ск ·
ск
Систему уравнений (9.12)-(9.15) интегрируем каким-либо чис­
ленным методом. При этом заданными считаем угол скачка 0ск и
скорость набегающего потока V В процессе решения уравнений
определяем поле скоростей и находим соответствующий угол �к
конуса и скорость Vк на нем.
Алгоритм решения задачи следующий. При известной скорос­
ти набегающего потока V задаем угол 0ск скачка уплотнения. По
формулам (9.16) и (9.17) находим радиальную Vr1 = Vcкr и нор­
мальную V01 = Vске составляющие скорости за скачком. Затем пе­
реходим к промежуточной конической поверхности с наклоном об­
разующей 02 = 01 + Л01, где 01 = 0СК• Л01 < о (рис. 9. 4). Радиаль00•
00
у
Линия
тока
Vrn= Vк
Ven= O
Ь""'-Л 0п- t
Ve(n-\ )
еп= �к
о "'-+.i.---'х ---'e = е1
Рис. 9.4. Схема к расчету поля скоростей
422
9. Аэродинамика корпусов
ную и нормальную составляющие скорости на этои поверхности
вычисляем с учетом выражения (9.15) по уравнениям (9.12) и (9.13),
представленным в конечных разностях:
�
(9.18)
(9.19)
1
Далее рассчитываем параметры течения на следующей проме­
жуточной конической поверхности с углом наклона образующей
03 = 02 + Л02 до тех пор, пока нормальная составляющая скорости
не обратится в нуль.
В процессе вычислений, как правило, не удается в первом же
приближении выбрать такой малый угол Л0п-1 > чтобы удовлетворя­
лось равенство Vеп = О. Обычно выбранному углу Л0п-l соответ­
ствует вычисленная скорость V0n, меняющая свой знак на противо­
положный по сравнению со знаком скорости Ve(n-l ) на соседней
поверхности с углом наклона образующей 0п-I Это указывает на
то, что скорости Vеп = О соответствует приращение угла Л0п_1, мень­
ше выбранного. Для определения этого приращения надо провести
интерполирование, воспользовавшись равенством
-1
d V0
=
л011-1 -Vec11-1 )
d0 п-1
·
Решая приведенные выше уравнения, находим поле скоростей,
соответствующий угол � конуса и скорость на нем:
n-1
� = 01 + Е л0i ;
i=l
VK = vr(n-1) + Ve(n-l) Л0n-I ·
Если полученный угол � не совпадает с заданным углом �к' то вы­
бираем новое значение угла 0ск и повторяем вычисления.
Аналогичные расчеты можно проводить в обратном порядке,
задав условия на конусе, причем надо знать угол �к и скорость на
конусе Vк. Когда будут выполняться граничные условия (9.16) и
(9.17), численное интегрирование заканчиваем. В результате нахо­
дим параметры газа в возмущенной области, а также угол наклона
скачка, возникающего перед заданным конусом, и скорость (число
9.2. Систе.,иа уравнений при осесим.,иетричном обтекании
423
Маха) набегающего потока. При несовпадении этой скорости с за­
данной V корректируем значение скорости Vк на конусе и повто­
ряем вычисления.
По окончательному значению вычисленной скорости Vк с по­
мощью газодинамических функций можно определить давление,
плотность, температуру и другие параметры газа на поверхности
конуса.
Температура Т0 в потоке при отсутствии физико-химических
превращении остается неизменнои, поэтому на поверхности конуса ее и число Маха можно определить так:
00
�
�
Тк =То
2
1- V
;
Vmax
•
'
2k
= - 1 R.тto .
k
где V
Зная угол наклона 0ск> полное давление за коническим скачком
уплотнения можно вычислить по формуле
max
k-1
k
+1
Ро = Роо 2kM: sin2 0ск -(k-1)
k
(k + l)M: sin2 0ск [(k - l)M: + 2] k-1
2 2 + (k -l)M: sin 2 0ск]
1
х
х
[
Далее по газодинамической функции определяем давление на
поверхности конуса
k
1
Рк = Po1t(Mк ,k) = Ро 1 + 2 Мк2
1
/
k
k-1
'
а по уравнению состояния - плотность
Рк = Ркf(RТк)·
На основе результатов расчета поля течения между скачком уп­
лотнения и конусом можно объяснить физическую картину обтека­
ния конуса сверхзвуковым газовым потоком. На ударной волне про­
исходит скачкообразное возрастание давления и уменьшение ско-
9. Аэродинамика корпусов
424
рости, а в области между скачком и конусом вдоль линий тока постепенное изоэнтропическое сжатие газа. Линии тока, как видно
на рис. 9.4, постепенно искривляются и приближаются к поверхно­
сти конуса, принимая направление образующей. При этом скорость
уменьшается, а давление возрастает. При малых углах �к и боль­
ших числах М00 изоэнтропическое сжатие за ударной волной про­
исходит при сверхзвуковых скоростях. При угле �к > �к кр скачок
отходит от острия и искривляется
(рис. 9.5). Такое обтекание называют
сверхкритическим. Нетрудно заметить, что критическим угол является
функцией только скорости набегаю­
Moo>l
щего потока (числа М00).
Экспериментальные исследова­
ния показывают, что коническое те­
чение, соответствующее постоянной
скорости на конусе, сохраняется до
Рис. 9.5. Форма скачка уплот­ тех пор, пока на его поверхности не
нения при сверхкритическом достигается скорость звука.
Для расчета обтекания конуса с
обтекании конуса
учетом изменения состава воздуха
можно использовать систему уравнений (9.6)-(9.15), дополненную
зависимостями для скорости звука, энтальпии, энтропии и моляр­
ной массы, которые учитывают влияние физико-химических пре­
вращений. При этом общая схема численного интегрирования диф­
ференциальных уравнений такая же, как и в случае постоянных
теплоемкостеи.
Расчет начинают с определения за косым скачком уплотнения
параметров газа по заданному углу 0ск и известным значениям р00,
р00, Т00• Радиальную составляющую Vск скорости определяют по
формуле (9. 1 6), нормальную составляющую Vск 0 с использованием соотношении теории скачка уплотнения, учитывающих влияние диссоциации и ионизации.
Примем в первом приближении
v
v
,.
v
-
Veoo - Vске
V
п1
i2
V,
)
<l
д vп =
= 1'
=
Vпi
Ve=
т. е. рассмотрим условие полного торможения за скачком, при ко­
тором Vске =О. Полагая дVп = 1 и учитывая, что Мп1 = М"" sin 0ск,
находим соответствующее этим условиям давление
9.2. Систе.,иа уравнений при осесим.111етричном обтекании
р��
==
425
(1 + k М�1 ЛVп)Р00 (1 + k м:. sin2 0ек)р00•
==
Затем вычисляем энтальпию за скачком уплотнения в первом
приближении:
·lек<I) - l.oo + v002 s1n. 2 0ек/2 .
По значениям р�� и i��, используя таблицы и графики термо­
динамических функций воздуха, определяем температуру Те� ) и
молярную массу воздуха µ�� и соответствующую плотность
(J) р�� µ�� тоо
роо •
Pек
1
(
Роо µоо Тек)
где для недиссоциированного воздуха можно принять µ00 =
:;:::
= 29 г/(К·моль).
Затем во втором приближении находим изменение безразмерv
нои скорости и нормальную составляющую скорости за скачком:
)
2
2
ЛV� ) 1- (роо /р�� ); Vc�& v;i) Ve00 ( 1- Лv; ) .
==
==
==
По приращению скорости уточняем давление
)
(2
.
(2
2
2
_
)
Рек - Роо (1 + kMоо s1n 0екЛVп )
и энтальпию
V002 s1n. 2 0ек .lек(2) -_ l.oo + ---2
1
)
(v<2)
ек0
2
Используя графики термодинамических функций, рассчитыва­
ем тСск2) ' µ<2
ск) ' рск<2) ' а затем уточняем значение Л V" :
Л Vп(3) 1- р00 /р<ск2) .
Если значение ЛV,�3) мало отличается от значения Лv;2), то
расчет Л Vn заканчиваем и определяем нормальную составляющую
скорости после скачка:
. (l-ЛV11-(3) )•
- (l-ЛV11-(3) )--V00 s1n0cк
Vск0 --Ve1 -Ve00
==
Для заданного шага интегрирования вычисляем, согласно урав­
нениям (9.18) и (9 . 19) на соседней конической поверхности Vr2 и
V02. Причем производную (dV0/d0)1 определяем по формуле (9. 13),
в которой скорость звука за скачком аек = а1 находим из таблиц или
,
9. Аэродинамика корпусов
426
графиков термодинамических функций по известным значениям
р(2)
ск и i(2)
ск (или р<2)
ск и т(2)
ск ).
На выбранной конической поверхности, согласно уравнению
(9.7), определяем энтальпию
J
i2 = i�;) + [ (V,� + V0� ) - (Vr� + v0;) /2.
Для дальнейших расчетов следует воспользоваться значением энтропии газа, полагая, что возмушенныиv поток за скачком уплотнения
во всей области изоэнтропический и, следовательно, энтропия всю­
ду будет такой, как в потоке газа непосредственно за скачком. Эту
энтропию S = Sск = const определяем из таблиц термодинамических
функций по значени.я м р<2)
ск и iск(2) (или р<2>
ск и тск<2) ).
Зная энтальпию i2 и энтропию Sск• из таблиц или графиков на­
ходим скорость звука а2, а по формулам (9 18) (9.19) вычисляем
соответственно составляющие скорости Vrз и V03 на конической по­
верхности с углом
.
,
2
Eлleil·
ез = еск - i=l
Аналогично можно рассчитать параметры потока для соседних
промежуточных конических поверхностей. Вычисления заканчиваv
v
ем тогда, когда на однои из таких поверхностен нормальная составляющая скорости окажется равной нулю. Соответствующий ей
угол будет углом обтекаемого конуса, а скорость - скоростью Vк
на этом конусе. При этом энтальпия
iк = iск + (Vc� -Vк2 )/2,
.
v.2
2
.(2) .
2
·
где Vск - 01 + v lск - lск
Зная энтальпию iк и энтропию S = Sск• можно из таблиц, графи­
ков или по известным формулам вычислить на конусе температуру
Тк, давление Рк и плотность Рк·
_
rl•
Все параметры на конусе, обтекаемом потоком с заданным чис­
лом М00, зависят не только от температуры, но и от давления р00
набегающего потока, которое определяет степень диссоциации и
ионизации.
Обработка результатов расчета параметров обтекания конуса, а
также экспериментальных данных позволила получить приближен­
ные соотношения для коэффициента давления Рк, безразмерной
плотности р = р00/Рк и угла наклона скачка 0ск:
9.2. Систе.,11а уравнений при осесuМ111етричном обтекании
427
2 �к
2sin
.
Рк - (1-0,25p)c
os (0ск -�к)
2tg�к/tg0
CK
р=2 1'
2
1+ )1-2ptg �к / (1-0,5p)2
102 М00 sin 0ск = 39-lg р00 + 0,5(196 + lg Рсо)Мсо sin �к,
_
-
2
'
р00 - атмосферное давление, Па.
Эти соотношения дают удовлетворительные результаты при
р < 0,1, причем для расчета не требуются таблицы термодинами­
ческих функций. По известным значениям М00, �к• р00 определя­
ют угол 0ск• а затем безразмерную плотность р и коэффициент
давления Рк.
где
Для вычисления температуры Тк необходимо воспользоваться
уравнением состояния. Записав одно из них для течения газа на
конусе, а другое - для набегающего потока, находим
к=
т.
Некоторые результаты расчета параметров обтекания конуса по­
токами с большими скоростями приведены на рис. 9.6.
Характер изменения давления, температуры и плотности на ко­
нусе при наличии диссоциации и ионизации тот же, что и непос­
редственно за скачком уплотнения. При этом давление, как и за скач­
ком, мало зависит от диссоциации и ионизации. Оно определяется в
основном условиями набегающего потока, причем максимальное из­
быточное давление на конусе не может превысить некоторого пре­
дельного давления, получаемого при условии Vп2 = О, Vп 1 = V1 = V00
(прямой скачок уплотнения) и равного р2 - р1 = p00V;. В то же вре­
мя температура и плотность изменяются существенно, причем тем
больше, чем толще конус.
Если углы конуса невелики, то даже при значительных скоро­
стях обтекания эти параметры на конусе испытывают небольшое
влияние физико-химических превращений. Расчеты показывают, что
при М00 = 24 плотность почти не меняется с высотой вплоть до
угла �к = 15°, а при М00 = 10 (см. рис. 9.6, 6) - до �к = 35°. Таким
образом, интервал изменения угла �к• которому соответствуют срав­
нительно невысокие температуры и пренебрежимо малая степень
9. Аэродинамика корпусов
428
РкfРоо
Н= О
_
_
_
_
_
_
_
_
___._
_.__
_.___
_,
о .__
20
60 �К• град
40
б
_
_
__._
____.
о .__
20
_
_.__
_,
_
в
40
60
�К• град
Рис. 9.6. Изменение давления (а), плотности (6) и температуры (в) на ко­
нусе, обтекаемом диссоциирующим потоком, при Т_ = 220 К:
а - м_ = 23,5; 6, в - м_ = 1 0 (штриховая линия - без учета диссоциации)
0ск• град
46 г---.---...,.----,---,
45 t
44
- ---
- - --
+
- --+-�к= 400 -:-1
-�
--�
,____.>-+--__....._
0ск
y...,z.
. =-=
�
М
----
оо
Рис. 9.7. Изменение угла наклона скач­
ка уплотнения перед конусом, располо­
женным в сверхзвуковом потоке (сплош__
н ..1...6__
О_
км..J..._
._ -=--_J ная кривая - реальный газ, штриховая 42 L_
совершенный)
10
15
20
Моо
5
9.3. Метод лtестных конусов
429
диссоциации, расширяется с уменьшением скорости. Такое же яв­
ление наблюдается с уменьшением высоты полета.
Утолщение конуса вызывает более интенсивный нагрев и, как
следствие, диссоциацию и ионизацию, которые могут существенно
влиять на параметры обтекания (рис. 9.7). Угол еск уменьшается по
сравнению с тем, что наблюдалось при постоянных теплоемкостях
(штриховая линия, k = 1,4). Это вызывает снижение интенсивности
скачка уплотнения и увеличение скорости за ним, что влечет за собой
рост скорости на обтекаемом конусе. Повышение скорости потока и
уменьшение скорости звука приводят к увеличению числа
на коническои поверхности, расположеннои в диссоциированном газе.
Повышение местного числа
должно вызвать снижение дав­
ления. Вместе с тем оно становится больше в результате увеличе­
ния количества частиц газа при диссоциации и, следовательно, боль­
шего числа их соударений. Суммарный эффект проявляется в не­
значительном возрастании давления (см. рис. 9.6, а).
v
Мк
v
Маха
9.3. Метод местных конусов. Приближенные методы
расчета обтекания заостренного конуса
Расчет обтекания конуса под углом атаки
При обтекании конуса сверхзвуковым потоком под углом атаки
параметры течения на поверхности конуса при изменении угла у
меняются. При углах атаки а > Рк происходит общий срыв потока
на подветренной поверхности конуса (рис. 9.8), поэтому расчет аэро­
динамических характеристик возможен только с использованием
теории отрывных течении.
При углах атаки, не превышающих угол
коническое течение
сохраняется, однако ось поверхностеи, на которых параметры потока постоянны, не совпадает с осью
обтекаемого конуса. Существует
несколько возможных методов рас­
М" > 1
чета.
При малых углах атаки давле­
ние р на текущей образующей ко­
нуса определяется зависимостью Рис. 9.8. Схема отрывного обте­
кания подветренной поверхноса
р=
е, у) + .. .
ти конуса
v
Рк,
v
- - -
�
Pla = о + F(Mco, Рк•
-
-
--
- -
-
---
--
-
·-....
·-....
9. Аэродинамика корпусов
430
Практика показывает, что функция F здесь может быть представле­
на законом косинуса: F = - Т] cosy, где Т] = ТJ(М00, Рк, 0). Поскольку
нас интересуют параметры течения на конусе, то окончательно по­
лучаем
Рк = Ркlа = о - ari к(Moo, Рк)соsу.
Значения функции Тlк (М00, Рк) можно взять из таблиц, приведенных в специальнои литературе* .
При больших числах М00 для вычисления аэродинамических ха­
рактеристик часто применяют метод местных конусов (касатель­
ных поверхностей). В качестве касательной поверхности при этом
выбирают местный касательный конус, построенный около образу­
ющей, на которой ищут параметры течения. Ось такого «фиктив­
ного» конуса совпадает с направлением скорости набегающего потока, а угол при вершине Ркф равен углу между вектором V00 и
этой образующей. По значению этого угла рассчитывают парамет­
рьI симметричного обтекания «фиктивного» конуса, значения кото­
рых принимают равными их значениям на образующей, принадле­
жащей реальной конической поверхности. Вычислив коэффициент
давления как функцию угла у при заданных М00, а и Рк, находят
аэродинамические коэффициенты конуса.
конуса можно рекомендовать одну
Для расчета угла местного
v
из следующих зависимостеи:
sin Рк ф = sinPк cos а - sina соsРк cosy;
Ркф = Рк - a cos у- О, 5a 2ctgpк sin 2 у.
v
-
Расчет обтекания заостренного тела вращения
Метод местных конусов широко используют и при расчете об­
текания заостренного тела вращения с произвольной образующей
(как при осесимметричном течении, так и при течении с а * О).
При этом получаемые результаты близки к данным численного рас­
чета, полученным, например, методом характеристик.
При расчете по методу местных конусов используют две гипо­
тезы - одинаковых давлений и одинаковых скоростей. В первом
случае равными принимают давления в некоторой точке А поверх­
ности заостренного тела вращения, расположенного в осесиммет­
ричном потоке с числом М00 > 1, и на касательной конической по-
м., например: Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения. М.: Машино­
С
строение, 1964.
*
9.3. Метод лtестных конусов
431
верхности в этой точке, обтекаемой потоком с тем же числом М00
(рис. 9.9), во втором - местные скорости в этих же точках. Таким
образом, метод местных конусов позволяет исследовать обтекание
тела вращения с криволинейной образующей, используя данные о
сверхзвуковом потоке около более простой по форме конической
поверхности. Давление, вычисленное по гипотезе равных давлений,
обозначим Рр, а по гипотезе равных скоростей - р v·
Моо
>1
r
r
о
х
х
Х мид
Рис. 9.9. Схема к расчету обтекания методом местных конусов
Скорости, определенные на основе обеих гипотез, равны, отли­
чие заключается в вычислении потерь полного давления за кони­
ческим скачком уплотнения, а следовательно, и в расчете местного
давления. В гипотезе равных давлений коэффициент потерь а пол­
ного давления рассчитывают по углу � наклона местной касатель­
ной конической поверхности, а в гипотезе равных скоростей - по
углу �о наклона касательной у острия тела.
Воспользовавшись соотношением (4.33) для изоэнтропическо­
го течения за скачком, можно записать
1)
k/(
)k
;
(
;
Pv = Pov 1 - V Vmax
)
)k/(k-1
/
Рр Рор (1 - V Vmax
'
,
2
2
2
2
А
(9.20)
(9.21)
где Pov - давление торможения, определяемое для заданного М00
по углу �о; Ро р - то же, но по углу �Расчет на основе гипотезы одинаковых скоростей можно упро­
стить, если воспользоваться результатами, полученными с приме­
нением гипотезы одинаковых давлений. Поскольку скорости, вы­
численные на основе обеих гипотез, равны, то, разделив выраже­
ние (9.20) на (9.21), получим
,
cr
oР =
P
ov
Р
=
=
,
А
=
рV
Рор
,
р
cr
Р
арР '
9. Аэродинамика корпусов
432
,
cr0 = Pov =cr(M00,k,0cкo(�0)) коэффициент, определяемый
Рооо
по давлению торможения Pov ; р000 давление торможения набеРо
коэффициент, рас­
гающего потока; cr = р = cr(M00,k,0cк(�))
Рооо
считанным по давлению торможения Ро
где
-
-
,
-
,
v
Р.
Переходя к коэффициенту давления, имеем
cr(pр - Роо) (cr-1) Роо
Pv - Ро
или
Pv = 0,5kp00M00о2 = 0,5kp00M002 + 0,5kp00M002 '
2 (9.22)
2 (cr-1).
kM00
Таким образом, чтобы рассчитать коэффициент давления Pv
на местной касательной поверхности, сначала надо найти коэффициент рР и величину cr = cr0/cr. У острия тела cr = 1, а для тех то­
чек, где � < �0, значение cr < 1. Поэтому коэффициент Pv как сле­
дует из выражения (9 .22), в некотором сечении имеет нулевое зна­
чение, а далее, вниз по потоку, становится отрицательным.
Возможность получения отрицательных значений коэффициента давления принципиально отличает расчет, основанным на гипотезе одинаковых скоростей, от расчета, основанного на гипотезе
одинаковых давлений, согласно которому коэффициент давления
Pv = -Рр-а +
,
v
Рр >О.
Экспериментальные данные и некоторые теоретические иссле­
дования показывают, что при М00 < 3 в удаленных от носка участ­
ках возникают четко выраженные области разрежения. Это подтвер­
ждает, что при соответствующих скоростях гипотеза одинаковых
скоростей более реальна, чем гипотеза одинаковых давлений. При
М00 > 3 почти вся поверхность с положительным наклоном нахо­
дится под положительным избыточным давлением, что не согласуется с гипотезои одинаковых скоростеи, когда в результате расчета
получаются неправдоподобно малые значения давления.
Рассматриваемый метод применим для расчета по�ока в тех точ­
ках, где наклон касательной поверхности к вектору V00 составляет
угол � > О. При этом в точке, где � О, давление Рр принимают
равным р00 и, следовательно, коэффициент давления в этой точке
рР =О. Таким образом, для площадок с отрицательным наклоном
v
v
=
9.3. Метод лtестных конусов
433
(� < О) метод местных конусов не применим. Однако для прибли­
женной оценки коэффициента давления в затененной зоне его можно
использовать, предполагая при этом, что коэффициент давления на
поверхности с углом � < О по знаку отрицательный, но по абсолют­
ной величине равен коэффициенту давления на поверхности с уг­
лом � > О.
Приближенные методы расчета заостренного конуса.
Параметры подобия
Наряду с точными методами расчета параметров течения на по­
верхности конуса в аэродинамике используют соотношения, позволяющие с достаточнои для инженернои практики точностью вычислить аэродинамические ко­
эффициенты конуса.
Моо
-оЕ
При дозвуковых скоростях
Voo
коэффициент сопротивления 0,8
r
конического тела в основном
определяется трением и дон­ 0,4
ным давлением, поэтому со­
ставляющей коэффициента ло­
о
бового сопротивления от давле1,4
0,2
1,0
0,6
1,8 Моо
ния на коническои поверхности
Рис. 9.10. Изменение коэффициента
можно пренебречь.
Существенный рост коэф­ лобового сопротивления тела вращефициента лобового сопротив­ ния при до- и сверхзвуковых скорос­
тях и а= О
ления наблюдается при М00 >
> 0,8 (рис. 9. 1 О).
При околозвуковых скоростях
v
v
-+
· -{>1
/
v
Сха
-
kм: + i с )
2с м: - 1) '
схар М"=1 +
:
l)
(k + l)M:
(k + M
rде (схар)м00 =1 можно определить с помощью экспериментального
графика, приведенного на рис. 9. 11 .
При сверхзвуковых скоростях и осесимметричном обтекании ко­
эффициент продольной силы от давления (коэффициент волнового
сопротивления) конической головной части и угол наклона кони­
ческого скачка уплотнения для воздуха ( k = 1,4) можно определить
по следующим приближенным зависимостям:
(9.23)
9. Аэродинамика корпусов
434
sin0cк =
Отметим, что в эти соотношения значение угла �к следует под­
ставлять в градусах, они обеспечивают хорошую точность при �к <
< 50° и М00 < 7 . . 8. Нижний предел М00
здесь соответствует критическому зна­
чению �к кр• при котором скачок уплот­
нения остается еще присоединенным, а
погрешность расчета не превьтшает 5 %.
При 2,5° ::;; �к < 30° более точный
результат дает использование следую­
щей формулы:
хs1n
. 2А
2
=
=
к
�к'
схр Рк е
(9.24)
О
.
'--�-'-��"'--�-'
30
60 �к• град
Рис. 9.11. Зависимость коэф­
фициента лобового сопротивления конических голов­
ных частей от угла �к при
М... =
1
0,18145 - 2,0923у + 9,092у2 +
+ 6,876у3 - 62,225у4 - 97,1у5; у = O,lx
lg (a'sin�к); а' = �М� -1.
В сверхзвуковом диапазоне чисел
М00 производную с�к заостренной
где х =
х
коническои головнои части можно
определить по следующей формуле:
v
а
v
су к = 0,035cos2 Рк =0,035 4А; 2
1
(9.25)
+4Ат
или использовать более точное выражение, полученное в результа­
те обработки данных решения Копала:
�
-1
М�
=
сук 0,035-0,009
ехр
Ат
а
где
4А2
'
1+4А;
т
Ат = хт/dмид .
Коэффициент центра давления конуса, отсчитываемый от нос­
ка, можно рассчитать по следующему соотношению:
(9.26)
9.3. Метод лtестных конусов
435
Для тонких конусов можно принять tg2 Pк = р;.
Согласно выражению (9.26), с утолщением конуса (увеличени­
ем угла �к) центр давления сдвигается к кормовой части, посколь­
ку возрастают силы от давления, действующие на этом участке, и
значительней становится стабилизирующий момент от этих сил,
способствующий такому сдвигу центра давления.
Расчет аэродинамических характеристик конуса в гиперзвуко­
вом потоке также имеет ряд особенностей.
С увеличением числа Маха набегающего потока MQO угол кони­
ческого скачка уплотнения 0ск уменьшается. При гиперзвуковых ско­
ростях скачок уплотнения достаточно близко приближается к по­
верхности тонкого конуса, поэтому разность углов Л0 = 0ск - �к
становится малым параметром, что делает возможным применение
упрощенных методов расчета. В частности, для составляющих ско­
рости возмущенного потока на скачке уплотнения (при малой раз­
ности 0ск- �к ) можно привести следующие зависимости:
vcк r = VK [ 1-(0ск - Рк)2 + � (0ск - Рк)3сtgРк
-
. .];
2kRT0
где VCK = Vск /V.nax ; vск е = VCK е ;vmax ; VK = VK /Vmax ; vmax =
k-1
Поскольку на скачке уплотнения
r
r
Vск = -Vск
е
г
2 + (k - l)M� sin 2 0ск
tge
ск
.
2
(k + l)MQO Sln2 0ск
•
для угла наклона скачка уплотнения получаем
k+I
К1 +
Ко =
k+3
k+I
k+3
2 2
К1 +
2
'
k+3
(9.27)
где К0 =МQО0ск; К1 =МQО�к·
Из выражения (9.27) следует, что при разных значениях угла �к
и числа MQO, но соблюдении постоянства параметра К1, значение К0
у всех конусов одинаковое. Найденному углу наклона скачка при
заданном числе MQO соответствует отношение давлений на конусе и
в набегающем потоке:
9. Аэродинамика корпусов
436
Рк 2k ( K2 -l) +(Kо
Роо k + 1 о
_
-
2(k+ l)
kKo
2
+l.
1)
2 (k -l) J
К
+
K
С помощью этой формулы нетрудно вычислить коэффициент
давления на конусе
-Рк = 2(рк/р00 -1) ,
2
kM00
равный коэффициенту волнового сопротивления, а также функцию
сопротивления
которая, согласно этой формуле, зависит лишь от параметра К1•
Таким образом, течения с большими числами М00 около кону­
сов оказываются подобными
Результаты расчетов по формулам
и
получаются
тем точнее, чем больше число М00 и, следовательно, ближе к поверх­
ности тонкого конуса расположен скачок уплотнения. Те значения
которые соответствуют значениям параметраК1 >> 1, луч=
ше согласуются с точнои теориеи и экспериментом.
для угла
В предельном случае, когда М00 � оо, формула
наклона скачка уплотнения принимает вид
(9.27) (9.28)
схрк Рк,
�
�
(9.27)
8ск =[2(k +l)/(k +3)]�к •
а выражение для коэффициента давления будет следующим:
Рк = [2(k + l)(k + 7)/(k + 3)2 ]�;.
Эту формулу можно распространить и на случай расчета коэф­
фициента давления на конусе произвольной толщины (усовершен­
ствованная формула Ньютона для конуса):
Рк = [ 2(k+l)(k+ 7)/(k+ 3)2 ]sin2�к·
При гиперзвуковых скоростях можно рекомендовагь упрощенный
алгоритм численного расчета параметров течения на конусе. Экспе­
риментально установлено, что значение производной dV0/d8 при ги­
перзвуковых скоростях мало изменяется в расчетной области, т. е.
9.3. Метод местных конусов
dV0
d0
Производная
_
dV0
d0
437
= const.
ек
dVr
= V0 изменяется в расчетной области
d0
от
некото-
рого значения на скачке уплотнения до нуля на поверхности конуса, поэтому в случае малых размеров этойv.области ее осредняют:
.!.
d vr - .!. d vr
=
d0 2 d0 ек 2
еек·
Таким образом, алгоритм расчета выглядит следующим образом.
и рассчитывают параметры
1 . При заданном М00 выбирают
0ек
dV0
и
Рек• Рек• Vек на скачке уплотнения, а также производные
d0 ек
dVr
d0 ек
2. Определяют разность Л0. Поскольку
dV0
d0
'
ле
к
а Vе к = О, то
Л0 = Vе
dV0
d0
к
е
(Л0 > 0).
к
3. Находят угол конуса
Вк ае = 8ек - Л8.
4. Если значения вычисленного �к раеч и заданного �к угла кону­
р
ч
са совпадают, то скорость на поверхности конуса определяют че­
рез значение производной dVrld0 на скачке уплотнения:
dV�
r - Vreк - Vr к '.
cte
ле
к
9. Аэродинамика корпусов
438
9.4. Расчет обтекания заостренного тела вращения
с произвольной образующей
Расчет с использованием метода характеристик
Летательный аппарат (например, ракета, снаряд) или некоторые
его конструктивные элементы могут иметь форму заостренного тела
вращения. Рассмотрим расчет сверхзвукового обтекания заострен­
ного тела вращения, расположенного в потоке газа под нулевым
углом атаки. Форма тела вращения (рис. 9.12) задана уравнением
образующей r = f(x). Известны также параметры набегающего по­
тока (М00, р00, р00, 00). Если толщина тела вращения такова, что оно
вносит в обтекающий поток большие возмущения, то расчет этого
потока может быть осуществлен численно, например методом сквоз­
ного счета или методом характеристик.
Рассмотрим особенности применения метода характеристик.
Расчет обычно начинают с определения конического потока около
острия, которое в малои окрестности носка можно заменить конусом (на рис. 9.12 его границей является точка К). В результате рас­
чета на образующих OD, ОА, . . . промежуточных конических по­
верхностей (включая образующие конуса ОК и скачка OS) находят
Т
v
r
R
о
0Е
130
0v
х
0ск
Хмид
=
13 arctg(dr/dx)
х
Рис. 9.12. Схема к расчету сверхзвукового обтекания тела вращения по
методу характеристик:
- прямолинейный скачок; 2 - искривленный участок скачка; 3 - характери а
первоrо семейства; 4 - характеристика второго семейства; 5 - образующая тела
стик
1
вращения
9.4. Расчет обтекания заостренного тела вращения
D> А>
439
скорости, а также углы ro, и
При этом углы е е . . наклона
образующих промежуточных конусов выбирают произвольно, но
так, чтобы интервалы ле были достаточно малы и обеспечивали
заданную точность рассчитываемых параметров.
Вычисления целесообразно сопровождать графическим построе­
нием сетки характеристик, как это показано на рис. 9 2 Вначале
строят элемент КD характеристики первого семейства, проведя че­
рез точку К прямую под углом
где
к оси конуса
до пересечения в точке D с соседней образующей промежуточной
В результате графи­
конической поверхности, имеющей угол
чески определяют координаты
точки D.
Большую точность дает аналитическое определение этих коорди­
нат. С этой целью записывают уравнения для элемента характерис­
тики первого семейства и образующей:
µ �-
.
µк +�к,
.
1
.
�к =�о,
eD.
xD, rD
rк -rD = (хк -хо)tg(µк +�к);
rD = xDtg00,
решая которые находят неизвестные xD и rD. Аналогично вычисля­
ют координаты остальных точек характеристики KS первого семейства, имеющеи вид ломаном линии, которая является границеи коточки S, лежащей на
нического потока. Причем координаты
пересечении элемента характеристики первого семейства ES с об­
разующей OS конического скачка уплотнения, находят в результате
v
совместного решения следующих уравнении:
v
v
v
xs, rs
rE -rs =(xE - xs)tg(µE +�Е);
rs = xstg0s.
После того как определены вид кривой характеристики KS, ско­
рости, числа Маха, а также углы µ и в точках этой характерис­
тики, дальнейшее решение задачи сводится к нахождению поля
скоростей (чисел Маха) в области между этой характеристикой и
образующей обтекаемого тела. С этой целью применяют соответ­
ствующие соотношения для характеристик в физической плоско­
сти (плоскости потока) и в плоскости годографа.
При выборе соотношений для характеристик в плоскости го­
дографа необходимо учитывать, что в области потока, ограничен­
ной прямолинейной образующей OS скачка уплотнения, характе­
ристикой SU второго семейства (строят постепенно в ходе решения
задачи) и образующей OU тела, течение будет безвихревым (изоэн-
�
9. Аэродинамика корпусов
440
тропическим). В соседней области, ограниченной той же характе­
ристикой SU, участками криволинейного скачка SH и образующей
UR тела, течение будет вихревым (неизоэнтропическим).
Для отыскания поля скоростей на изоэнтропическом участке те­
чения проведем через каждую точку характеристики KS элементы
характеристики второго семейства. Одна из них, проходящая через
точку D, пересечет стенку в точке В, в которой и необходимо найти
скорость. Координаты этой точки определяем из совместного решения уравнении для элемента характеристики второго семеиства
и образующей тела вращения:
v
v
rD - rв = (xD -xв)tg(pD -µD);
rв = ! (хв).
Решая эти уравнения, находим координаты rв, хв точки В. Угол
Рв наклона касательной к образующей в точке В, совпадающий в
силу безотрывного обтекания с углом наклона вектора скорости в
этои точке, определяем из уравнения
v
dr
df(x)
tgPв
=
=
dx
dx в
х=хв
Чтобы найти скорость в точке В, воспользуемся уравнением для
характеристики второго семейства в плоскости годографа скорос­
ти. В конечных разностях для осесимметричного течения оно бу­
дет иметь вид
D
в
x
х
ЛroD +лрD - rD mD =0,
где mD =sinPD sinµD/cos(PD -µD) .
Приращение ЛрD = р в - рD представляет собой разность углов
наклона векторов скоростей в точках В и D. При этом
dr
Рв = arctg dx в .
Учитывая, что ЛrоD = ro - roD, находим
хв
хD
ООв = roD -<Pв - PD)+ rD mD,
-
8
где
roв(D) =
· arctg
k-1 2
/ 2 -1.
(М - 1) - arctg"\/M
k +1
9.4. Расчет обтекания заостренного тела вращения
441
Подставляя в эту формулу число MD, определяем угол roD, за­
тем, вычислив Wв, число Мв и далее угол наклона линии Маха в
точке В:
. 1
µв = arcs1n М
в
По известным числам Мк и М8 с помощью газодинамических
функций рассчитьmаем остальные параметры течения в точках К и В:
,
Рк(В) = Ро 1 +
k-1
2
М 2к(В)
VK(B)
Рк( В)
- 1Ро
-k /(k-1)
(k-1)/k 112
'
,
1+
k -1
2
.'
2
Мк
(В)
-1
'
РК( В)
'
Р к(В) = RT
К(В)
,
где р0 = р0 а0 - давление торможения за коническим скачком; р0 давление торможения до скачка; cr0 - функция потерь полного дав­
ления, вычисляемая по углу конического скачка еск и числу М00;
Vmax =
v; + k -2 1 а�
1 /2
; То
- температура торможения в набега-
ющем потоке; R газовая постоянная.
Определив параметры в точке В, проводим через нее элемент
характеристики первого семейства до пересечения в точке С с пря­
молинейным участком характеристики второго семейства, выходя­
щей из точки А (см. рис. 9.12). Координаты точки С определяем из
решения уравнений элементов АС и ВС характеристик, которые соv
ответственно имеют следующии вид:
-
rл -rc = (хл -хс)tg(�л -µл);
r8 -rc = (x8 -xc)tg(�8 +µ8).
Решая их совместно, находим координаты хе, rc точки С. Что­
бы вычислить углы �с и roc, надо воспользоваться уравнениями
9. Аэродинамика корпусов
442
для характеристик. Записывая их в конечных разностях и полагая
е = 1, получаем
А
х
хе
тА =0,
ЛrоА +ЛРА rA
где 18 =sinP8 sinµ8 /cos(Pв +µ8); тА = sinPA sinµA /cos(PA -µА).
После преобразований имеем
А
с
в
х
х
х
х
е
ЛРв = rA тА - rв lв - (rов - WА) - (Рв -РА).
Зная лр8, находим угловое приращение
и углы в точке С:
Ре = ЛРв +Рв;
roc =Лrов +rов,
а также число Мс, угол возмущения µс = arcsin (1/Мс) и другие
параметры (давление, плотность, температура, скорость) в первом
приближении, поскольку вдоль элементов характеристик коэффи­
циенты l и т, а также радиальные координаты принимали постоян­
ными и равными их значениям в точках А и В соответственно. Эти
параметры можно уточнить, если в уравнения подставить вместо
18, mл, r8, rл величины, вычисленные как средние между заданны­
ми в точках А и В и полученными в точке С в первом приближе­
нии. Для средних величин соотношения имеют вид
z; = sin P� sinµ�/cosCP� +µ�);
т� = sinP� sinµ�/cos <P� +µ�);
r8 = (rв + rc )/2; rA = (rA + rc )/2,
где Р� =<Рв +Рс)/2; µ� = (µв +µс)/2; Р� =(РА +Рс)/2;
= (µА + µС ) /2.
*
*
Продолжая аналогичные вычисления, можно определить пара­
метры во всех точках второго ряда, включая точку N, которая нахо­
дится на пересечении элемента PN характеристики первого семей­
ства с элементом SN характеристики второго семейства, проведеннои из конца прямолинеиного конического скачка уплотнения.
�
�
9.4. Расчет обтекания заостренного тела вращения
443
Дальнейший расчет заключается в том, чтобы найти параметры
в точке пересечения элемента характеристики первого семеиства,
проведенной через точку N, с продолжением скачка за точкой S.
В целях получения лучшего приближения характеристику следу­
ет проводить не через точку N, а через точку F, расположенную
между точками N и S (см. рис.
Координаты xF, rF точки F
выбираем таким образом, чтобы примыкающий к скачку элемент
FH характеристики был достаточно мал и его можно было бы рас­
сматривать в виде прямолинейного участка. Параметры в точке F
вычисляем по их известным значениям в точках S и N линейной
интерполяциеи, например:
v
9.12).
v
Уравнение элемента FH характеристики первого семейства име­
ет вид
rF -rн =(xF - xн)tg (�F +µF).
Решая его совместно с уравнением прямолинейной образующей
скачка rн = хн tg еск, определяем в первом приближении коорди­
наты хн, rн, т. е. положение точки Н на скачке уплотнения. Эти
координаты должны быть уточнены, поскольку реальный скачок за
точкой S будет искривлен. Действительно, характеристики первого
семейства (ES, FH и др.) являются по своей природе волнами раз­
режения. Встречая скачок уплотнения, эти волны уменьшают его
интенсивность и, следовательно, наклон, в результате скачок ис­
кривляется (точка Н' на рис.
Течение за таким скачком уплотнения будет вихревым (неизо­
энтропическим), поэтому для определения скорости в точке Н не­
обходимо использовать уравнение для элемента FH характеристиучитывающее изменение энтропии за кривоки первого семеиства,
*
линеиным скачком .
Как показывают расчеты и экспериментальные исследования, существенное влияние вихревого характера движения за криволинеиным скачком уплотнения наблюдается лишь при больших скоростях
обтекания. Например, для параболической головки с удлинением
5 при значении параметра
1,
которому соответствует
= 5, волновое сопротивление при уче-
9.12).
v
v
v
Амид = Хмид/(2rмид ) =
К1 = М00/Л.мид =
М00
• Особенности расчета, ывающJ1е изменение энтропии, см. в§ 7.1.
учит
9. Аэродинамика корпусов
444
те вихревого движения возрастало на 5 % по сравнению с его зна­
чением в потенциальном потоке. В то же время при К1 = 4
(М00 = 20) оно увеличивалось уже более чем на 25 %. Физически
это объясняется тем, что на образование вихрей необратимо затрачивается дополнительная часть кинетическом энергии потока.
На рис. 9.13 приведены кривые распределения давления,
р/р00 - 1
наиденные по методу характеХм
ид
d
6 1----1---+МИД
ристик для двух тел с парабо­
лической головной частью,
уравнение образующей которых
v
v
r = x(2-x),
Хмид
/
/
где r = r rмид• х = х Хмид' а па­
раметр К1 = 2. В случае вихре­
вого течения четко видно повы­
-2
о - Л�шд = 3, Моо = 6
шение давления по сравнению
О -Амид= 6, Моо =12
с потенциальным обтеканием.
-4 ������
1 ,2
1 ,6 хfхмид Это следует учитывать в прак­
0,4 0,8
о
тических случаях начиная со
Рис. 9.13. Распределение давления значений К1 = 1,2 . . . 1,5. При
около тел вращения с параболичес­ К1 < 1,2 вихревым влиянием
кой головной частью для вихрево­ можно пренебречь.
го (1) и потенциального (2) движения
Кривые на рис. 9.13 подза скачком при К1 = 2
тверждают деиствие закона подобия по параметру К1 при
больших скоростях не только для конусов, но и для аффинно-по­
добных тел вращения с криволинейной образующей, какими явля­
ются тела параболической формы. Это подобие распространяется
и на цилиндрические участки тел. Видно, что обтекание двух раз­
личных по размерам тел характеризуется одной кривой для функ­
ции давления р/ р00 -1, поскольку в каждом случае параметр К1
ОДИН и тот же.
Закон подобия по параметру К1 имеет большое практическое
значение. Действительно, вместо экспериментирования с различ­
ными моделями можно провести продувку с одним телом, получив
при этом данные о распределении давления для ряда значении параметра К1• Затем в соответствии с законом подобия эти данные
можно распространить на всю совокупность аффинно-преобразо­
ванных тел с конкретными геометрическими размерами. Например,
2
v
v
9.4. Расчет обтекания заостренного тела вращения
445
если результаты на рис. 9.13 получены при М00 = 6 для тела с уд­
линением головной части Амид = 3 так, что К = 2, то, очевидно,
найденная кривая действительна (как это видно из графика) также
для другого тела с удлинением Амид = 6, но уже при М00 =12, т. е.
при условии сохранения того же значения К1 = 2. Используя закон
подобия, можно отнести полученные результаты, например, к телу
с Амид = 5 и М00 =10 и т. д. Таким образом, в данном случае дей­
ствие закона подобия ограничено одним и тем же значением пара­
метра К1 = 2. Чтобы расширить эти границы, эксперименты или
расчеты ведут для различных значений
Следует отметить еще одно важное следствие закона подобия.
Оно заключается в том, что при отсутствии возможности осуществить
продувки на больших скоростях необходимь1е результаты можно по­
лучить при меньших числах М00• Для этого надо вести эксперимент
с менее удлиненной аффинно-подобной моделью при сохранении
значения параметра К1• При этом область применимости закона по­
добия для заостренного тела вращения может быть установлена на
основе анализа возможности использования этого закона для кони­
ческого острия путем сравнения результатов приближенного аэроv
v
расчета
с
точнои
теориеи
или экспериментом и выдинамического
явления отклонения от допустимои погрешности.
1
К1 •
v
Расчет с применением соотношений для конических
течений и течений разрежения
Параметры на заостренном носке, с которого начинают расчет
сверхзвукового обтекания тела с криволинейной образующей, при
осесимметричном обтекании определяют с привлечением соотношении для скачков уплотнения, а на последующих участках, расположенных вниз по потоку, - с использованием соотношений
сверхзвуковой теории разрежения Прандтля - Майера. Формула для
расчета местного коэффициента давления имеет вид
v
k-1 Mек
12
k-1
Рек 2k
Рк
2k
k-1
(�о - �)
1
где Рк - коэффициент давления на коническом носке; К = моо� О ;
Мек• Рек - число Маха и давление у острия непосредственно за
скачком уплотнения.
9. Аэродинамика корпусов
446
Число Мск = М2 находят по формуле
-1
2
M�(k
1
k
1
k
-1
+
1)
kKск2 2
+
2
4
кск 2
в которой Кск = М000ск определяют как функцию параметра К1 =
= М00�0 ИЗ выражения (9. 27).
Давление Рек = р2 вычисляют по зависимости
Р2 - 2(р2 - Роо) - k + 1 1 + 1 + 16
.
2
2
2
(k + 1) К1
�5 kМ;,роо�б
'
_
Особенность применения этого метода к расчету неосесиммет­
ричного потока около заостренного тела вращения состоит в том,
что число М и другие параметры на носке в каждой меридиональ­
ной плоскости определяют из решения задачи об обтекании под
углом атаки, а поток за носком в соответствующеи меридиональнои
плоскости рассматривают как двухмерное сверхзвуковое течение
разрежения, известное под названием течения Прандтля - Майера.
Решая задачу о неосесимметричном обтекании конуса, находят
число М2 на конусе для выбранного угла у и соответствующий угол
ro2. Затем расчет ведут так же, как для осесимметричного случая:
вычисляют полный угол поворота ro = � + (�0 - �). определяют
местное число М, абсолютное давление и соответствующий коэф­
фициент давления.
Таким образом, для заданных значений М00 и а. рассчитывают
распределение коэффициента давления по поверхности тела вра­
щения, т. е. функцию р = р(х, у). Получаемые данные тем точнее,
чем больше значение параметра подобия К1 .
При этом приближенный расчет по сравнению с эксперимен­
тальными результатами дает заниженные значения коэффициента
давления на верхней поверхности тела. Это наблюдается практи­
чески при всех значениях К1 > l, хотя точность расчета снижается
при уменьшении параметра подобия. Если К1 < l, то, как правило,
приближенные вычисления оказываются неприемлемыми.
Кроме того, рассматриваемый метод дает лучшие результаты по
мере снижения угла атаки. При этом отклонение теоретических дан­
ных от экспериментальных при больших значениях а. объясняется
влиянием вязкости поперечного потока (особенно на верхней по­
верхности тела), которое возрастает с увеличением числа М00•
v
v
9.4. Расчет обтекания заострею1ого тела вращения
447
Расчеп� с применением nieopuu тонкого тела
При установившемся обтекании тонких тел, расположенных под
малым углом атаки, возмущенное течение мало отличается от не­
возмущенного, поэтому его можно исследовать с помощью линеаv
ризованных уравнении аэродинамики.
В случае линеаризованного обтекания тонкого тела вращения
(рис. 9.14) потенциал скоростей <р = <р00 + <р', где <р00 - потенциал
v
v
,
скоростеи невозмущенного потока; <р - потенциал скоростеи возмущенного линеаризованного потока (потенциал возмущения); при­
чем <р' << <р00• В свою очередь
<р'= <р}+ <р2,
где <р\ (х, r) - потенциал скоростей возмущенного осесимметрич­
ного течения; <р2(х, r, у) - составляющая возмущенного потенциа­
ла, обусловленная поперечным обтеканием.
Таким образом,
<р = <i>oo + <р\ (х, r) + <i>2(x, r, у).
В теории линеаризованных течений <р\ и <р2 рассматривают как
функции, которые, являясь решениями уравнений движения, опре­
деляют независимые между собой потоки.
Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вра­
щения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в при­
ведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих
общих решений, к линейному виду, для которого общее решение
имеется. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать пред­
положение, что около тонких тел параметры в возмущенном и не­
возмущенном потоках мало отличаются. Тогда в цилиндрической
системе координат составляющие скорости
х
х
+
.
·-·-·
ttt
Рис. 9.14. Представление обтекания тонкого тела вращения линеаризо­
ванным потоком в виде суммы осесимметричного течения и дополнитель­
ного поперечного потока
9. Аэродинамика корпусов
448
Vx = V00 + v;; Vr = v;; V" = v;,
а давление, плотность и скорость звука определяются соотношени­
ями
р = роо+р';
, ,
•
3десь и•
составляющие параметров, обусловленУх• w
Уr• w
У'У' р р , а
ные возмущенным характером течения, причем
-
,
v; << V00, v; << V00, v;<< V00, р' <<р00, р' << р00, а' << а00•
Тогда при установившемся течении нелинейное уравнение
2q>
2q> _!_ 2 2 д 2q>
2 q>
д
д
д
(V 2 - а2 ) 2 + (Vr2 - а2 ) 2 + 2 cv./' - а ) 2 + 2Vх vr
+
х
дхдr
(}у
дх
дr r
Vr (а2 + V2 )
/'
=О
r
может быть приведено к линейному виду:
2 q>' д2q>'
'
2
'
д
д
д
q>
q>
(l - M оо2 ) 2 + 2 + _!_ 2 + .!.. =0.
дх дr r2 (}у r дr
(9.29)
Уравнение (9.29) лежит в основе расчета стационарных слабо­
возмущенных (линеаризованных) течений около тонких тел враще­
ния. Общее решение этого уравнения позволяет вычислить скорос­
ти и давления около тонких тел вращения (в том числе движущих­
ся под малым углом атаки), а также коэффициенты нормальной
силы, продольного момента, центра давления и продольного мо­
мента относительно центра масс тела вращения соответственно по
формулам
Су
т
zт
=2а
=2аSДОН;
Хцм
-1
о
--
Хк
sд н +
wт
WЦИЛ
9.5. Расчет обтекания затупленного тела вращения
449
SДОН
= sдон/Sмид - донное сужение; Wт ­
Здесь а - угол атаки, рад;
объем тела вращения; Wцил - объем описанного вокруг него ци­
линдра.
Эти соотношения справедливы для тел малого удлинения =
= 3 . . 5, поскольку при больших существенное влияние оказыва­
ют силы вязкого трения. Кроме того, в них не учитывается влияние
отрыва потока, наблюдаемого у длинных тел при их поперечном
обтекании со скоростью V00a.
А
А
.
9.5. Расчет обтекания затупленного тела вращения
Формы затупления головной части летательного
аппарата
Во многих конструкциях ЛА головная часть имеет затуплен­
ную форму. Ее применяют прежде всего при очень больших скорос­
тях полета, когда основным требованием, предъявляемым к голов­
ной части, является способность противостоять действию высоких
температур обтекающего газа. Однако часто затупленная форма
встречается у ЛА (отдельных его элементов), имеющих небольшие
скорости, что может быть обусловлено конструктивными особен­
ностями, назначением и т. п.
Рассмотрим наиболее распространенные формы затупленных
носков. На рис. 9. 1 5, а показано коническое тело с затупленным
!--
....
)
' 11 '
�к
�
;!;
....
1 а
� ·-·-·-·-·-·-··f.-- .•"
1
'
1'Ь/
1 /
л
л
'�,
-
х'
к
б
а
Рис. 9.15. Конус с затуплением в виде секущей сферы (а) и с эллиптичес­
ким затуплением (б):
1 касательный сферический носок; 2 секущий сферический носок; 3 затупле­
-
-
ние в виде плоского торца
-
9. Аэродинамика корпусов
450
носком сферической формы. Носок конуса выполнен таким обра­
зом, что его образующая является либо касательной, либо секущей
по отношению к сферической поверхности. Радиус такой поверх­
ности, построенной для точки с координатами rт, хт, будет "Rгс > Rr:,
где Rт - радиус касательного носка, связанный с координатами rт
и хт следующими зависимостями:
rт
=
RтCOS �к;
Хт
=
rтctg �к·
На рис. 9.15, а также показан конус с затуплением в виде плос­
кой поверхности (плоского торца), которую можно рассматривать
как сферу с бесконечно большим радиусом. В свою очередь, сферическии носок и плоскии торец можно рассматривать как «предельные» формы эллиптической поверхности. На рис. 9.15, 6 изобра­
жен конус с затупленным носком в виде такой поверхности.
Сферический касательный носок и плоский торец - наиболее
характерные формы затуплений, которые можно рассматривать как
граничные. Обе эти формы представляют интерес при исследова­
нии аэродинамики затупленных тел с какой-либо промежуточной
формой носка, поскольку дают возможность оценить крайние зна­
чения их аэродинамических характеристик. У затупленных тел они
существенно зависят при заданном типе носка от степени затупления, под которои понимают отношение радиуса rт основания носка
к радиусу rмид миделевого сечения тела.
v
v
v
Особенности сверхзвукового обтекания затупленного тела
Важное для практики аэродинамическое свойство затупленных
тел заключается в том, что при движении в атмосфере с очень боль­
шими скоростями они нагреваются и разрушаются меньше, чем
заостренные тела.
Рассмотрим, какими газодинамическими явлениями обусловле­
но это свойство затупленных тел. На рис. 9.16 изображена схема по­
тока около затупленного конического тела. Перед телом образуется
отошедшая ударная волна с переменной интенсивностью в различ­
ных точках ее поверхности, которая вдали от носка вырождается в
обычную волну возмущения с бесконечно малой интенсивностью и
углом наклона 0ск µ00 arcsin (l/M00). Максимальная интенсив­
ность будет в вершине волны (точка в на рис. 9.16), где еск rt/2.
Поскольку в окрестности носка угол 0ск мало отличается от п/2, то,
следовательно, этот участок волны будет обладать достаточно боль­
шой интенсивностью, близкой к интенсивности прямого скачка.
=
=
=
9. 5. Расчет обтекания затупленного тела вращения
r
2
м
3
451
4
Рис. 9.16. Схема обтекания затупленного конуса сверхзвуковым потоком:
1
-
«звуковые» точки; 2 ударная волна; 3 «звуковая» линия тока; 4 высоко­
энтропийный слой
-
-
-
Переход частиц газа через такой сильный скачок уплотнения
сопровождается значительными потерями полного давления и по­
вышением энтропии. В результате у поверхности тела образуется
слой некоторой толщины, в котором газ обладает высокой энтро­
пией. Принято, что такой высокоэнтропийный слой ограничен час­
тью ударной волны и поверхностью, полученной от вращения «звуковои» линии тока, т. е. линии тока, проходящем через «звуковую»
точку на волне (см. рис. 9.16, точка S с координатой rsт).
В высокоэнтропийном слое вследствие неодинаковой степени
торможения в различных точках ударной волны течение будет ха­
рактеризоваться некоторым градиентом скорости в направлении нормали п и, следовательно, переменным значением местного чис­
ла М по толщине Л (см. рис. 9. 1 6). Вблизи поверхности область
течения, занятая высокоэнтропийным слоем и характеризующаяся
малыми скоростями (а значит, малыми числами М и Re), оказывает
решающее влияние на формирование процессов в пограничном
слое.
Существенная особенность обтекания заключается в том, что
под влиянием затупления изменяется режим течения в погранич­
ном слое. Вследствие уменьшения местного числа Re, подсчи­
тываемого по скорости в высокоэнтропийном слое, ламинарный по­
граничный слой переходит в турбулентный гораздо ниже по тече­
нию и протяженность ламинарного пограничного слоя возрастает.
v
v
-
9. Аэродинамика корпусов
452
Это способствует снижению трения и уменьшению тепловых пото­
ков к стенке.
Таким образом, наличие отошедшей ударной волны приводит к
значительному рассеянию теплоты в атмосферу. Тепловой поток к
поверхности ЛА будет меньше. Снижение тепловых потоков, обус­
ловленное повышением энтропии газа при переходе через скачок
уплотнения, называется Эlimponuйflым эффектом . При этом следу­
ет иметь в виду, что энтропийный эффект сводится не только к
уменьшению скорости на внешнеи границе пограничного слоя, но
и к снижению плотности газа, а следовательно, и числа Re. Вместе
с тем повышение энтропии приводит к увеличению (по сравнению
с заостренным телом) температуры на внешней границе погранич­
ного слоя. В этом проявляется противоположный эффект высоко­
энтропийного слоя, приводящий к некоторому возрастанию тепло­
вого потока от пограничного слоя к стенке. Однако суммарный энт­
ропийный эффект при соответствующем подборе толщины стенки
и формы затупления тела, как показывают расчеты и эксперимен­
тальные исследования, связан с уменьшением тепловых потоков.
Волновое сопротивление затупленного тела по сравнению с за­
остренным, как правило, возрастает. Хотя для тонких конических
тел с малым затуплением имеет место снижение сопротивления,
которое объясняется тем, что, несмотря на повышение давления у
носка, на значительной части
обтекаемой поверхности возни­
r
кает пониженное давление по
о
'\ 10
,
сравнению с заостренным кону­
о�
х
сом. Это явление понижения
давления за носком показано на
х
0,1
рис. 9 .17, где приведены экспе­
--риментальные результаты, кото­
рые получены в аэродинамичес­
кой трубе для тонкого конуса с
0,01 �---�----�-� затуплением в виде торца, об­
1
10
100 х!Dт текаемого сверхзвуковым пото­
ком при М00 = 6,85. Минималь­
Рис. 9.17. Изменение коэффициента
давления на поверхности конуса с ное давление достигается на
плоским затуплением при М.,., = 6,85: расстоянии около 1 О диаметров
сплошная линия -эксперимент; штрихо­ затупления. При дальнейшем
вая - расчет с использованием коничес- удалении от носка происходит
кой теории для заостренноrо тела
восстановление давления до его
�
.
-
--- -
-
9.5. Расчет обтекания затупленного тела вращения
453
значения на заостренном конусе. Если такой конус будет иметь
небольшую длину, а следовательно, малую поверхность с пони­
женным давлением, то уменьшение сопротивления для этого уча­
стка будет недостаточны м, чтобы компенсировать его рост в ре­
зультате повышения сопротивления торца. Для достаточно длин­
ного конуса уменьшение сопротивления периферийного участка
м ожет быть более существенны м и приведет к снижению полного
сопротивления затупленной конической поверхности по сравнению с заостреннои.
Главный эффект от при менения затупления заключается не в
изменении сопротивления, которое при малои степени затупления
оказывается сравнительно небольшим, а в существенном уменьше­
нии теплопередачи. Как показывают исследования, такое преиму­
щество затупления проявляется в основном в области гиперзвуковых скоростеи.
Можно указать и другие случаи применения затупленных по­
верхностей, связанные не столько с необходимостью уменьшения
теплопередачи, сколько с увеличением лобового сопротивления.
Именно такую форму поверхности имеют спускаемые космичес­
кие аппараты, для которых важно иметь большой коэффициент про­
дольной силы, обеспечивающий их интенсивное торможение в ат­
мосфере.
v
v
v
Аэродинамические коэффициенты затупленных носков
при сверхзвуковых скоростях
Изучение аэродинамики затупленного тела связано с исследо­
вание м обтекания его передней части, выполненной в виде затуп­
ленного носка какой-либо формы. Результаты этих исследований, с
однои стороны, являются основои для расчета параметров потока
на остальном участке тела, а с другой - имеют самостоятельное
значение, поскольку позволяют установить аэродинамические ха­
рактеристики собственно затупленного носка. Суммарные аэроди­
намические характеристики тела можно определить путем сложе­
ния составляющих для носка и остального участка тела.
При этом необходимо указать, что если обтекание периферий­
ной части тела зависит от затупления, то условия течения около
носка определяются лишь его формой, точнее, видом той части нос­
ка, которая расположена между «звуковой» точкой на поверхности
и точкой полного торможения. Из этого следует, что задача об обтекании затупленного носка является автономнои, а значит, может
быть решена независи мо.
v
v
v
9. Аэродинамика корпусов
454
В настоящее время имеется ряд методов решения задачи об об­
текании затупленного носка. Некоторые из них основаны на пред­
варительном задании формы и положения ударной волны или их
определении экспериментальным путем. При этом решают обрат­
ную задачу: систему нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных интегрируют приближенно при известных
граничных условиях на криволинейной ударной волне, рассчиты­
вают таким образом поток около затупления и в результате опреде­
ляют форму носка.
Рассмотрим расчет аэродинамических коэффициентов затуплен­
ных носков различной формы при невязком обтекании и приведем
некоторые зависимости, позволяющие описать геометрию головного
скачка уплотнения, возникающего перед ними в сверхзвуковом по­
токе. Эти данные имеют большое практическое значение, посколь­
ку позволяют также определить основные условия течения вне по­
граничного слоя, которые необходимо знать при исследовании про­
цессов трения и теплопередачи, формируемых в пограничном слое.
Аэродинамические коэффициенты сферического носка зависят
от распределения скорости вблизи точки полного торможения
(рис. 9.18). Как показывают исследования, на значительном участ­
ке сферической поверхности действителен линейный закон изме­
начальный гра­
нения скорости: Vx �q>, где � (дVх / дх)х=О
диент скорости, вычисленный, например, на основе усовершенство­
ванной формулы Ньютона.
Для некоторого диапазона скоростей, охватывающего дозвуковые и средние сверхзвуковые скорости, в окрестности критическои
точки можно рекомендовать следующую зависимость:
=
=
-
v
Ударная
волна
А
Моо
с
So
Рис. 9.18. Схема сверхзвукового обтекания сферической поверхности
9. 5. Расчет обтекания затупленного тела вращения
455
Vx =XV00x/Rт .
В этой формуле для несжимаемого потока
Х = 1,5
и, следователь­
но, градиент скорости
х=О
С увеличением числа М00 значение Х уменьшается. При М00 >
1
оно может быть найдено из выражения
Х = О,8М:,°·2з2 .
Оценим размеры области несжимаемого потока (где значения
М < 0,3) и определим звуковую точку на сфере. Для этого восполь­
зуемся соотношением для изоэнтропического течения, считая, что
оно начинается с критической точки. С известным приближением
v
условия в этои точке можно считать такими, как непосредственно
за прямой частью ударной волны.
На рис. 9 .19 приведены найденные таким образом углы между
осью и радиальными линиями, проведенными через точки на сфе­
ре, где местные значения числа М равны 0,3 и 1 .
v\,0ск
1 2'
Моо l(y- - </)
80 ,_
-
-...
''
40
......
о
2
·-
]/
/
2
,3
4
6
8
Моо
Рис. 9.19. Положение «Звуковых точек» на ударной волне (1) и на сфе­
ре (2), а также угловое расстояние (3) от оси до границы несжимаемой
области на сфере (до точки, в которой местное число М = 0,3)
Относительный отход ударной волны от сферического носка
можно определить для значений р < 0,5 по эмпирической зависи­
мости
- 2 р
So = 3 1-р
_
,
9. Аэродинамика корпусов
456
где S0
k -l
Роо
0
р
;
5
=
= = k+ 1 +
Rг
Рек
2
2
(k + l)M00
;
Рек - плотность газа за
прямым скачком уплотнения.
Для построения фронта ударной волны перед затупленным нос­
ком кроме расстояния S0 необходимо задать ее форму. С достаточ­
ным приближением можно принять, что волна имеет форму пара­
болы:
х = -S0 +О, 5
Rso ,
или гиперболы:
2
(r / )
(х+а) 2/а2 - у2 /Ь2 =1.
где Rso - радиус кривизны скачка вблизи точки полного торможе­
ния;
полуоси гиперболы, определяемые из условий
а, Ь -
Rso =Ь2/а,
Ыа =1/�М� -1.
Построенная таким образом образующая ударной волны близка
к экспериментальной практически при любых значениях М00, при­
чем совпадение кривых улучшается по мере увеличения числа
Радиус кривизны волны на оси при очень больших скоростях
обтекания
935 + 1, 05р)RT'
Rso
М00•
=(О,
где 0,065 < р < 0,2.
Коэффициент продольной силы от давления для сферического
носка можно рассчитать по формуле
схреф = 0,5 Ро ,
где р0 - коэффициент давления в точке полного торможения.
Результаты теоретического и экспериментального исследования
распределения давления по плоскому торцу приведены на рис. 9.20.
Анализ их позволяет установить общую закономерность для изме­
(r), где
r/Rт
нения коэффициента давления в виде р
безразмерный радиус.
В соответствии с этим коэффициент продольной силы торца
= p0f
r=
l
схр тор = Pof f(r)ctr2 .
(9.30)
о
Полагая, что функция f (r), приведенная на рис. 9 .20, пригодна
для любых сверхзвуковых скоростей, интеграл в формуле (9.30)
можно вычислить и получить зависимость
9.6. Пршtенение лtетода Ныотона к расчету коэффициентов
схр тор = О, 915 Ро·
В
plpo
соответствии с экспериментальными данными, отход
ударной волны от плоского торца больше, чем от сферы:
-
457
1,0 Г9аjдл:==�::::т.-т-тl
0,9
0,8
s
р
03
=
1
S0 = _Q_
RT ' 1 - р
•-]
• -2
о-3
д-4
о-5
0,7 f-----+-
...
-
р
с.::
...
Моо
-
Ро
Радиус кривизны волны на 0,6 '-----''-----'--'--'
оси, определяющий ее форму
о 0,2 0,4 0,6 0,8 r= r!Rт
вблизи торца, также пропорцио­
нален радиусу плоского затупле­ Рис. 9.20. Распределение давления
по плоскому торцу при М00 = 6,0 (/),
ния:
4,1 (2), 2,95 (3), 2,46 (4) и 1,83 (5)
1-р
= 0,52(3-р )
Р .
Rso =
-
R�0
Нетрудно заметить, что при р -7 О радиус Rs o -7
поскольку
v
в предельном случае волна соприкасается с плоскои поверхностью
торца.
оо,
9.6. Применение метода Ньютона к расчету
аэродинамических коэффициентов тел вращения
Метод Ньютона широко применяют для расчета аэродинами­
ческих характеристик ЛА, движущихся с большими сверхзвуковы­
ми и гиперзвуковыми скоростями. Несмотря на ряд недостатков и
приближенный характер этого метода, его преимущество заключа­
ется в простоте и возможности определения аэродинамических ха­
рактеристик тел сложной формы в полном диапазоне углов атаки
(от О до
В произвольной точке А(х, у, z) (рис.
поверхности тела
коэффициент давления
180°).
9.21)
Р - Роо
2
-(
co
s
)
<р(x, y, z).
x,y,z =
2 =
P00V00
Данное соотношение есть основная формула метода Ньютона,
согласно которои давление на элемент поверхности тела зависит
только от его ориентации по отношению к набегающему потоку.
р
v
/2
2
(9.31)
9. Аэродинамика корпусов
458
-
2
р =p0 cos q>
Рис. 9.21. К определению параметров течения у затупленного носка
по методу Ньютона
Формула (9.3 1) дает приемлемое согласование с экспериментом для
больших чисел Маха.
По формуле Ньютона можно определить коэффициент давле­
ния только для той части поверхности ЛА, где выполняется усло­
вие -900 < <р < +90°. Остальная часть поверхности обтекаемого тела
оказывается в так называемой области аэродинамической тени, где
коэффициент давления принимают равным нулю. Кроме того, фор­
мула Ньютона будет давать заведомо неверные результаты в облас­
тях отрыва потока, в частности в местах «изломов» поверхности
ЛА, а также с ее помощью нельзя определить такую важнейшую
характеристику, как донное сопротивление.
Согласно выражению (9 .31), в точке полного торможения угол
<р = О, поэтому коэффициент давления здесь р0 2. Таким обра­
зом, можно записать
=
х z) = p0cos <р(х, у, z),
р( , у,
-
р00 )/
-
2
(9.32)
где p0(k,M) = (р0 q00; Ро = p000cr(k,M) - давление торможе­
ния за прямым скачком уплотнения.
Экспериментальные исследования показывают, что если вмес­
то постоянного значения Ро = 2 подставлять значение p0 (k,M),
полученное либо опытным путем, либо точными теоретическими
расчетами, то вычисленные по формуле (9.32) значения будут бли­
же к действительным. Это особенно справедливо при расчете обте­
кания затупленных головных частей.
Рассмотрим соотношения, которые можно получить с исполь­
зованием формулы Ньютона для расчета скорости возле затуплен-
9.6. Применение метода Ныотона к расчету коэффициентов
459
(9.32),
получим отношение давного тела. Преобразовав выражение
пения в некоторои точке к давлению в точке полного торможения:
v
·
2
'
/
s1n
cos
<р+
Рсо Ро 2<р.
Р/Ро/ =
(9 .33)
р + pV} /2 = Ро ,
(9.34)
Вблизи точки полного торможения течение можно с известным
приближением рассматривать как несжимаемое и применять для
его расчета уравнение Бернулли:
плотность газа в окрестности точки полного торможения,
где р
которую принимают равнои плотности газа в этои точке, т. е. р = р0.
имеем
в
После подстановки выражения
/
-
v
v
(9.33) (9.34)
Vx2 Ро _Е_ Ро l -)!_ Ро l - cos2<p+ Р°'; sin 2<p
2 Ро Ро Ро Ро Ро
Ро
=
=
=
_
Вычислив производную по х:
dVx
Vх dx
=
d<p
d<p
Р
Ро 2cos<psin<p dx °'; 2sin<pcos<p dx
Ро
Ро
d
Ро sin2<p�
l - Рсо
dx Ро
Ро
_
/
=
'
/
и учитывая, что
d<p
sin 2<pl х-?О = 2<р = 2х/Rт ; dx
1
Х-?0
Rт '
•
х-70
найдем зависимость для начального градиента скорости:
dVX
или
vх dx
Х-?0
2х
Рсо
Ро
_!_
RT RT
,
Ро
2 Ро - Рсо
� Ро
/
/
В соответствии с этой зависимостью для определения началь­
ного градиента скорости необходимо знать давление и плотность
р0 в точке полного торможения. Если принять линейный закон из­
менения скорости в окрестности точки полного торможения, то ее
распределение можно представить в виде
р0
9. Аэродинамика корпусов
460
(9.35)
Наряду с этой формулой для расчета скорости можно использо­
вать соотношение (4.33), полученное с учетом газодинамической
течении. Положим в этом
функции давления в изоэнтропическом
уравнении р0 = р0, V = Vx, а k = k, т. е. значение k для точки полного торможения с учетом возможной диссоциации газа. Решая урав­
нение (4.33) относительно скорости Vx, находим
-
-
1 - ( Р/ Ро' )(k-l)lk
Vх = Vmax
·
Максимальную скорость определяем по параметрам набегаю­
щего невозмущенного потока:
2 1 +1
k- 1 M2
.
QQ
В соответствии с этим выражением расчетная зависимость для
скорости примет вид
Vх = V
QQ
где
2 1 + 1 · 1 - (Р/ Ро' )(k-t)tk ,
k - 1 м2
(9.36)
QQ
р/ р0
определяется соотношением (9.33).
Параметры газа на периферийной конической поверхности, со­
прягающейся со сферическим носком, можно с известным прибли­
жением принять такими, как на линии сопряжения, т. е. в конце
носка. В частности, скорость на конусе можно вычислить по фор­
муле (9.35), принимая <рк = 7t/2 - �к:
vк = < п12 -�к ).j..2(_P_
o =-Р
_оо_)/Ро ,
либо с помощью выражения (9.36):
-
-
1 + 1 · 1-( ' )(k-\)lk ,
/ Ро
Р
к
k -1 м2
2
QQ
QQ
считая в соответствии с (9.33)
Рк =cos2 7t _ R + Роо sin2 7t _ R = si n2 R Роо cos2 R .
+
1-'к
1-'
к
к
к
1-'
1-'
2
о
2
Ро
Ро
Р
Рассчитанная таким образом скорость считается постоянной на
всей поверхности конуса. Экспериментальные исследования пока-
9. 6. Применение метода Ньютона к расчету коэффициентов
461
зывают, что реальная скорость несколько отличается от вычислен­
ной, а ее распределение носит характер, показанный на рис. 9.22.
По мере удаления от точки полного торможения и на некотором
удалении от места сопряжения носка с конусом скорость возраста­
ет и достигает максимального значения, далее вниз по течению она сни­
жается, приближаясь на удаленных
.,."" -----../]
.........
2
- ----· /
периферийных участках к значениям,
полученным при обтекании заострен­
ного конуса.
В соответствии с методом Нью­
тона коэффициент давления в произ­ о
х
вольной точке тела вращения, обте­ Рис. 9.22. Распределение ско­
каемого под нулевым углом атаки, рости на затупленном (1) и за­
определяют по формуле
остренном (2) конусах в сверх'
'
,
,
,
,
,
,
-
звуковом потоке:
. 2J..IR
-р = р Sln
2
1 эксперим ент; 2 расчет
SlП J..1R0
где р
f(M00,k) - коэффициент давления на коническом носке
с углом р0, рассчитываемый по теории сверхзвукового обтекания
-*
.
*
'
-
-
=
конуса; р угол наклона образующей в данной точке.
В случае неосесимметричного обтекания тела вращения в соответствии с методом местных конусов
-
2
(sinpcosa-sinacospcosy)
(9.37)
р = р (sin Р cos а sin acos Р cos у)2 '
о
о
*
р = f(M00,k,a, у); у - меридиональный угол текущей образу­
-
-*
-
где
ющей тела, отсчитываемый от подветренной образующей.
Если скорости настолько велики, что давление практически пе­
рестает зависеть от числа М00, то вместо формулы (9.37) можно воепользоваться соотношением
р = F(k)(sinpcosa-sin acosPcosy)2 ,
в котором F(k) 2(k + 1)(k + 7)/(k + 3)2 .
Подставляя выражение (9.37) в (9.1), (9.3), (9.5), получаем сле­
дующие зависимости для расчета коэффициентов осевой и нормальv
пои сил, а также продольного момента:
=
хт
'
схр = 4Ат J А('Ут )r- tg RJ..l dX;
1t о
9. Аэродинамика корпусов
462
'
'
где
'
1
Л.т = Хт /(2rмид); Хт = х�/хт; r = r/rмид; х = х/хт;
j
т) =
А(у
2
(sin�cosa-sinacos�cosy
) dy;
р*
sin
acos
cos
у)2
cos
(sin
�о
�о
аУт
2
7t
cosy
(sin�cosasinacos�cosy)
d'У·
Р
В('Ут J
2
Ут (sin �о cos а- sin acos �о cos у)
)
-*
1
Пределы интегрирования 'Ут и хт (или в размерной форме х�)
зависят от геометрической формы тела и угла атаки. Установить их
можно, исходя из особенности обтекания ньютоновским потоком,
когда на поверхности тела создается некоторая затененная область,
в которой частицы газа с ней не соударяются. Граница этой облас­
ти (рис. 9.23, а) определяется кривой, на которой, как и всюду за
ней, давление р = р00, а коэффициент давления р =О. Поэтому зна­
чения 'Ут и х� (или
зависящие от положения границы затенен­
=
=
или
ной области, находим из условия
при малых и
При расчете расстояния х� от острия до наиболее удаленной
точки, в которой коэффициент давления р
исходим из условия
принимает
= . Тогда уравнение для определения х� (или
вид
rт),
�/а cos 'Ут
tg �/tg а cos 'Ут
а �·
= О,
� -а
dr
dx х=х�
rт)
=-tga.
При вычислении пределов интегрирования следует иметь в виду
(см. рис. 9.23, а),
два случая обтекания. В первом случае
пока местный угол
угол
значение
= О, когда же
Для
т > О. В частности, 'Ут = 7t/2 при � = О и 'Ут = 7t при � =
цилиндра при любом угле атаки = 7t/2, поскольку � = О.
>
угол = О
(рис. 9 23 6) при =
Во втором случае
соответствует месту у острия конуса. Непосредственно за ним на-
'У
� ;::: а
(а �0)
'Ут
(а < �о)
'Ут
.
,
� < а,
-а.
'Ут
а �о
9. 6. Пршtенение 1иетода Ныотона к расчету коэффициентов
r
'Ут = О
� = о.
463
А-А
о
Хт
'
А
а
х
б
Рис. 9.23. Образование затененной области (заштрихована) на теле вра­
щения при обтекании под углом а < �о (а) и а> �о (6)
чинается затененная область, в которой 'Ут > О. Эта область, как
показано на рис. 9.23, 6, простирается до донного среза, а следовательно, координата хт = хт.
Коэффициент давления р в носке тела вращения как в первом, так и во втором случаях можно определить методом местных
конусов.
С помощью формулы Ньютона можно получить аналитические
выражения для коэффициента продольной силы простейших тел
вращения, например сферического носка. При этом расчетные зна­
чения коэффициента давления хорошо согласуются с эксперимен­
тальными данными, за исключением небольшой области в конце затупленного носка, где расчетные значения меньше деиствительных.
В результате интегрирования по поверхности сферы в соответ­
ствии с зависимостью р р0 cos2 <р было получено следующее вы­
ражение для коэффициента продольной силы от давления для сфе­
рического носка:
'
-*
�
=
схр =
Po sin2 <p(l-0,5sin 2 <p).
В частности, для полусферы (<р = п/ 2) оно принимает вид
схр =0,5Ро·
9. Аэродинамика корпусов
464
Для сферы необходимо также учитывать влияние давления на
заднеи части поверхности, которое, как видно из экспериментальных данных (рис. 9.24), существенно при небольших скоростях. При
М00> 5 этим влиянием можно пренебречь, считая схр =0,5р0.
v
0,8
l
J
d
0,4о
-
2
-·
D
4
6
D
8
у
D
Моо
Рис. 9.24. Изменение коэффициента продольной силы
для сферического носка
Оптимальная форма тела вращения, обтекаемого сверхзвуковым
потоком, пока не найдена. Одним из способов приближенного ре­
шения такой задачи является использование модифицированной фор­
мулы Ньютона.
Преобразуем интеграл (9.2), отнеся все линейные размеры к радиусу миделевого сечения:
Хт
схр
= 2 J р r tg р di,
о
где хт = хт/rмид; х = xlt;.tид.
Учитывая, что p = K cos2 q> = K sin 2 p (где � = п/2 - q> - угол
наклона касательной к поверхности тела в данной точке), а tg � =
dr/dx = r', получаем
3
Хт
Хт r _:'
r
dX
(9.38)
схр
2К r sin 2 ptgpdi 2К
.-:'2 .
=
=
J
о
=
J
_
0 1+r
При этом минимум сопротивления определяем из условия по­
стоянства площади боковой поверхности и объема тела вращения.
Вычисление экстремума интеграла (9.38) для тонких тел вра­
щения показывает, что для заданного удлинения � = хтfdмид без
учета трения наименьший коэффициент лобового сопротивления
имеет тело с образующей, описьmаемой степенной функцией r = х'п
с показателем т = 0,75. Поправка с учетом толщины приводит к
уменьшению показателя т. Так, при удлинении тела � = 2 опти­
мальный контур имеет образующую с показателем т = 0,625.
9. 7. Донное давление за телом вращения
465
Таким образом, при одинаковом удлинении тело, образующая
которого описывается степенной функцией r = _хт с показателем
степени т = 0,60 . 0,75, при большем объеме должно обладать зна­
чительно меньшим лобовым сопротивлением, чем конус или заост­
ренное тело типа параболы или оживала. Кроме того, у такого тела
низкий коэффициент теплопередачи, что особенно важно при гиперзвуковых скоростях .
Отношение коэффициентов лобового сопротивления оптималь­
ного тела и конуса того же удлинения составляет �О,84. При этом
объем такого тела на 25 . . 30 % больше, а теплопередача значитель­
но меньше, чем у конуса.
. .
*
.
9.7. Донное давление за телом вращения. Влияние формы
кормовои части летательного аппарата на его аэродинамические характеристики
�
Создаваемое за кормовой частью ЛА разрежение влияет на сопротивление тела вращения, поэтому важнои задачеи является расчет донного давления и исследование возможностеи его увеличения в целях снижения донного сопротивления.
Величина разрежения за донным срезом определяется характе­
ром взаимодействия между пограничным слоем, отрывающимся у
дна, внешним потоком и газом в застойной зоне (рис. 9.25). Внеш­
ний поток создает эжектирующий эффект и, следовательно, донное
�
�
�
-7
/3
v" (М")
в
Рис. 9.25. Структура течения в окрестности кормы для расчета донного
сопротивления тела вращения:
1
4
-
-
область внешнего потока;
2
пограничный слой; 3 область расширения;
нижняя граница пограничного слоя; 5 верхняя граница пограничного слоя;
6 область сжатия; 7 застойная зона
-
*
-
-
-
-
Более подробно об этом см.: Аэродинамика сверхзвукового обтекания тел
вращения степенной формы. М.: Машиностроение, 1975.
9. Аэродинамика корпусов
466
Рдон
зависит от того, каким является пограничный слой в
давление
области между точкой отрыва А и точкой присоединения В, распо­
ложенной на оси потока, - ламинарным, смешанным или турбу­
лентным. Кроме того, донное давление определяется такими фак­
торами, как угол атаки, форма тела и его конфигурация у основа­
ния, числа Маха и Рейнольдса, температура стенки.
Зависимость донного давления от формы тела обусловлена влия­
нием конфигурации поверхности перед точкой отрыва. Например,
увеличение угла конусности кормы приводит к росту донного дав­
ления и, следовательно, к уменьшению коэффициента донного со­
противления. С увеличением числа Маха М00 эжектирующие свой­
ства внешнего потока возрастают, поэтому снижается донное дав­
ление.
Рассмотрим некоторые соотношения, используемые при до- и
сверхзвуковых скоростях течения для расчета коэффициента дон­
ного давления
а следовательно, и донного сопротивления в
целом.
При дозвуковых скоростях (М00 < 1 ) донное разрежение зави­
сит от состояния поверхности тела, его длины и донного сужения,
т. е. от тех же факторов, которыми определяются свойства погра­
ничного слоя. Следовательно, должна быть связь между донным
давлением (донным сопротивлением) и трением. В первом прибли­
жении, если отсутствует истечение газа из сопла двигателя, в каче­
стве параметров, характеризующих донное давление, можно ввес­
ти коэффициент трения cxfi рассчитанный по боковой поверхности
Рдон ,
sбок корпуса, и сужение sдон = sдон / sбок• вычисленное по площади Sбок· Экспериментальные исследования позволили установить
-
следующие зависимости для коэффициента донного давления и со­
ответственно коэффициента донного сопротивления:
(9.39)
(9.40)
где
-
2
2
/
/
Sдон = Sдон Sмид = dдон dмид·
Учитывая приближенный характер вычислений, величину cxf в
(9.40) можно определять так же, как и коэффициент сопротивления
трения плоском пластинки, длина котором равна длине корпуса хт.
Имеющиеся экспериментальные данные указывают на возмож­
ность использования формул (9.39) и (9.40) для приближенных расv
v
9. 7. Донное давление за телом вращения
467
четов коэффициентов донного давления и сопротивления в транс­
звуковой области обтекания, т. е. для чисел
При сверхзвуковых скоростях для расчета донного давления
можно воспользоваться одним из методов теории отрывных тече­
ний (метод разделяющей линии тока с использованием критериев
присоединения Корста или Нэша, двухслойная модель течения, эн­
тропийный метод) либо использовать приближенные зависимости.
Одна из них связывает коэффициент донного давления с коэффи­
циентом трения на боковой поверхности корпуса и похожа на соот­
ношение
М00 :::::: 1.
(9.39):
29
4,
Рдои = - М 2
00
-
S
ОИ-'-'Д0, 029 / --
-
1 + 1О
SДОИ
29 1--'-'-
1/2
2 -
О, 0
Другое соотношение установлено из условия абсолютного вакуу­
ма за доннь1м срезом, при котором
минимально. Поскольку
Рдои
-р = Рдои -роо
О, 5kРооМоо2 '
в случае Рдои = О для воздуха (k = 1,4) нетрудно получить
2 =-1,4ЗМ:,2 ; Cxдoиmin = 1,43Моо sдои·
Pдoи min = - kМ 2
ОО
ДОИ
�-
Таким образом,
Рдои = -kдои Рдои min
где kдои - некоторый поправочный коэффициент, зависящий
М00,
формы тела, его удлинения Ат = Хт/ (2rмид), числа Re и состояния
пограничного слоя.
Для расчета коэффициента kдон можно рекомендовать зависи­
мость
kдои = О,8К1 (2-К1),
где К1 = М00 1 А.эф; А.эф = Л.т / Sдои - эффективное удлинение тела.
При этом необходимо убедиться, что К1 :::; 1; в случае К1 > 1 полагают Рдон = - Рдон min ·
•
от
Если пренебречь влиянием трения, то в первом приближении
для расчета донного давления можно использовать соотношение
Рдои /Роо = l/M00 -0,1,
9. Аэродинамика корпусов
468
которое, несмотря на его простоту, хорошо согласуется с экспери­
ментальными данными.
Для определения донного давления при сверхзвуковых скорос­
тях течения также используют теорию отрьmных течений (см. гл. 6).
В основу методики расчета коэффициента донного сопротивления
положена физическая модель квазиплоского течения, изображен­
у донного среза
ная на рис. 9.26. Сверхзвуковой поток с числом
тела вращения в точке S расширяется в волне разрежения, развора­
и достигает скорости, характеризуемой чис­
чивается на угол
В окрестности задней критической точки R, где
лом
>
потоки встречаются, формируется скачок уплотнения с углом еек·
В пространстве от волны разрежения до скачка уплотнения рас­
пространяется область смешения внешнего потока с циркуляцион­
ным течением в зоне отрыва.
Мк
Мдон Мк.
Рдон
Рис. 9.26. Структура течения в области кормового следа
Для построения математической модели используют гипотезу
плоских сечений, согласно которой предполагают, что течение яв­
ляется плоским, без теплообмена и установившимся; в зоне отры­
ва циркулирует постоянная масса газа и отсутствуют продольные и
поперечные градиенты давления, а угол атаки практически не влияет
на параметры течения в донном следе.
Донное давление
рассчитывают итерационным путем при
условии выполнения в области присоединения гипотезы Корста:
давление торможения на разделяющей линии тока области сме­
шения равно давлению за скачком уплотнения в области присо­
единения:
Рдон
РОрлт =Рек·
Задав произвольно значение Рдон < р00, определяют углы Рдон и
Рек соответственно разворота потока в волне разрежения и присо­
единения (см. рис. 9 .26) по формулам
9. 7. Донное давление за те.лом вращения
[(
Мдон =
469
]
)(k-l)lk
2
-l
Рок/Рдон
k 1;
_
,
�дон = rо(Мдон )-rо(Мк );
{k+l ·arctg k-l (M2 -1) - arctg�M2 -1
ro(M ) = vн
;
k+1
�ск = �дон -� к •
где Рок и Мк - соответственно давление торможения и число Маха
перед донным срезом; � - угол, характеризующий направление
к
потока перед волнои разрежения.
�
Решая систему уравнений
(k + l)М;он Sin 0ск
tg0cк
2
tg(0ск - �ск) 2 +(k -l)Mдoн
s1n 0ск
Рек - 2k Мдон
2 Si. n2 0ск k - 1
k+1'
Рдон k + 1
z
.
2
,
�
находят давление за скачком уплотнения в области присоединения.
Положение разделяющей линии тока определяют из уравнения
(см. гл. 6)
+оо
р2 dri =
<
<р
f 1-Сr2 2 dri ,
f 1-Сr2 2
дон<р
дон<р
ТJрлт
2
где <р = 0,5(1 + erf 11); erf 11 = JTT, J е-ri dri; 11 = ау/х
безразмерная
1t о
координата; а = 1 2 + 2,758Мдон - коэффициент смешения; Сrдон =
= Vдон/Vmax = {1 + 2/[(k -l )M;oн ]}-0,S .
00
-оо
2
Т)
-
Решая данное интегральное уравнение, вычисляют безразмерную координату 11рлт• соответствующие еи скорость
и число
Крокко
по значению которого определяют число
=
на разделяющей линии тока и давление торможения
<ррлт
�
Мрлт
Сrрлт <ррлтСrдон•
2Сriлт
Р0рлт:
2
(k - 1 )(1 - Сrрлт)
'
Рдон
Рорлт = (Мрлт k)
'
1t
9. Аэродинам ика корпусов
470
При условии, что РОрлт = Рек с заданной точностью, процесс итерации прекращают и получают значение осредненного донного давления р
Для снижения донного сопротивления за счет уменьшения пло­
щади донного среза кормовую часть тела вращения часто выполня­
обратного конуса кормы не дол­
ют сужающейся. Однако угол
для обеспечения ее безотрывного обтекания.
жен превышать
Для придания ЛА большей статической устойчивости исполь­
зуют расширяющуюся кормовую часть.
Если кормовая часть ЛА выполнена сужающейся, то коэффициент осевои силы
v
дон·
15°
�корм
v
2 Ркорм �
n
0,19si
.
1 - Sдон .
сх корм = 2,09s1n 2 Ркорм + �м2
00 -1
В случае расширяющейся кормовой части для ориентировочной
оценки ее сопротивления можно воспользоваться методом местных
конусов, полагая, что скорость перед кормой равна V и соотноше­
Тогда
нием
00,
(9.23).
17 2
(0,0016+0,002/М00)(Ркорм)
=
' (Sдон -1),
Схкорм
где �корм в град.
части тела бу­
-
Под нормальной силой суживающейся кормовой
дем понимать дополнительную отрицательную силу, возникающую
на ней при ненулевом угле атаки. В основе большинства прибли­
женных методов расчета аэродинамических коэффициентов сужи­
вающихся кормовых частей тел вращения лежат формулы теории
тонкого тела. Так, для коэффициента нормальной силы можно ис­
пользовать зависимость
Здесь
r-д2он- - 1 sin 2а.
Гми2 д
О, 7 -О,001875(а-16°)
- k /(k-1)
при
М00 < 1;
kкорм = 0,7 2 + (k - l)М;орм
2+ (k -l)M�
а число Мкорм можно рассчитать, например, по теории Прандтля Майера.
9.8. Расчет аэродинш.tuческuх характеристик корпусов
471
Для расширяющейся кормовой части можно использовать зави­
симость
применяемую для расчета острого конуса:
(9.25),
4л_;орм
Сукорм = 0,035 1 + 4Акорм
2 ,
где Акорм = Хкорм /(2rмид ).
а
9.8. Расчет аэродинамических характеристик корпусов,
составленных из различных элементов
Как было указано ранее, геометрически фюзеляж любого ЛА,
представляющего собой тело вращения, можно разбить на четыре
части: головную, среднюю (обычно цилиндрическую), кормовую и
донный срез, некоторые из которых могут отсутствовать. Поэтому
общий коэффициент продольной силы тела вращения можно пред­
ставить так:
Сх = Сх гол + Сх цил + Схкорм + Схдон + Cxfi
где Сх гол> Сх цил> сх корм• схдон• cxf
соответственно составляющие
коэффициента, обусловленные сопротивлением головной, цилинд­
-
рической и кормовой частей ЛА, а также донным давлением и
поверхностным трением, причем методы расчета указанных состав­
ляющих различаются в зависимости от скорости полета.
Расчет коэффициента продольной силы
при различных скоростях
Дозвуковые скорости. Основную долю сопротивления тела вра­
щения при дозвуковых скоростях составляют трение и донное со­
противление.
При упрощенных расчетах сопротивления трения корпуса ЛА
можно использовать зависимости, полученные для плоской плас­
тинки. Однако результаты таких расчетов следует считать приблиv
женными, поскольку они не учитывают пространственныи характер течения и форму обтекаемой поверхности. Сила сопротивления трения пластинки длинои, равнои длине корпуса хт,
v
v
Xf = CjqooSбoк •
где с1
коэффициент трения плоской пластины;
боковой поверхности корпуса ЛА.
-
S60к
-
площадь
9. Аэродинамика корпусов
472
В реальных условиях пограничный слой около корпуса оказыv
v
вается смешанным: на переднем части он ламинарным, на остальной - турбулентный. Длина ламинарного участка в общем случае
зависит от формы корпуса, числа М00, температуры стенки и шеро­
ховатости ее поверхности. В наиболее простом случае абсолютно
гладкой поверхности, обтекаемой несжимаемым потоком, при на­
личии отрицательного градиента давления для продолговатого кор­
пуса критическое число Рейнольдса Rекр
При дозвуковых скоростях распределение давления может быть
найдено достаточно надежно лишь экспериментальным путем. Для
удлиненных корпусов различие между давлением в несжимаемом
и сжимаемом дозвуковых потоках невелико, поэтому при докрити­
ческих числах Маха М00< М00кр можно воспользоваться формулой
Прандтля - Глауэрта:
106.
""
-Р = Р-нс (1 - Моо2 )-0,5
·
О,
Коэффициент продольной силы при а = обусловленный дав­
лением и трением на передней части корпуса (профильное сопро­
тивление),
Схпр =kфcf ,
kФ =1,86-О,175Л.Ф +О,ОlЛ.� ; Л,Ф = Ат �1 - м -
где
приведенное
;,
удлинение. При этом коэффициент трения с1 рассчитывают по ми­
делеву сечению с учетом сжимаемости в зависимости от характера
течения в пограничном слое.
Тогда полное сопротивление следует рассматривать как сумму
головного (профильного) и донного сопротивлений, т. е.
Сх = Сх пр + Схдон·
Экспериментальные данные для некоторых тел вращения, об­
текаемых дозвуковым потоком, показаны на рис.
Видно, что у
а сх дон
тела вращения произвольной формы
можно рассчитать по формуле
Сопротивление корпуса существенно зависит от формы носо­
Кривой 1 (тело 1) на этом рисунке соответ­
вой части (рис.
ствует эмпирическая зависимость для коэффициента лобового со­
противления продолговатого тела вращения с плоским передним
носком:
9.27.
(9.40).
cxf = О,014хт / dмид•
9.28).
Сха = 0,5+0,645 {1 +0,25М: ).
473
9.8. Расчет аэродинш.tическuх характеристик корпусов
'"'
-
1,0
.
-+
•
Voo !-+
•
•
•
•
•
•
\....
0,6
0,2
·-
Хт
"'
::;
::<
�
-+
\
",...__
-
о
-·-·
'
Voo
�
·-·-·-·
-- - --- - -- -
2
--
---- ---
6
_
___
-
,- -
Cxj
10
Рис. 9.27. Зависимость коэффициента продольной силы
тел вращения от удлинения
,75d�lид
J�·
�
1
·
0,25 (dмид/2)
3-
0,3 (d�пtд/2)
1
0,6 (dмид/2)
Сха
1,2
dмид/2
3/2(d /2)
1,0
0,8
0,6
5/3 (dмид/2) 0,4
0,2
1 в- -·
2(dмидf2)
о
1
2
3
4
5
6
7
8
0,2 0,4 0,6 0,8 Моо
Рис. 9.28. Влияние формы носовой части тела вращения на коэффициент
лобового сопротивления
Наличие скругления носовой части корпуса (тела 2-8 на
рис. 9.28) приводит к существенному снижению коэффициента сха
при дозвуковых скоростях.
Околозвуковые скорости. Затупление носовой части приводит
к возрастанию сопротивления в до- и сверхзвуковой зонах, однако
увеличение сопротивления при переходе трансзвуковой области ока­
зывается менее интенсивным у затупленных тел вращения, чем у
заостренных. Для сферы сопротивление возрастает в два раза, для
цилиндра - в два-три раза, в то время как для заостренного корпу-
9. Аэродинамика корпусов
474
са этот коэффициент может увели­
читься более чем в семь-восемь раз.
Моо
Данные о сопротивлении заост­
0,25
ренных конических и оживальных головок при звуковом скорости полета
0,20 1-----1----11---1
=
полученные в аэродинами­
ческих трубах, приведены соответ­
0,15 1-----1---+---1
ственно на рис.
и
Из приведенных графиков следу­
ет, что с увеличением угла коничес­
кой или
оживальной головной час­
ти коэффициент продольной силы воз­
растает, причем более существенно в
случае коническом головном части, что
30
60 �о. град
о
обусловлено переменным значением
Рис. 9.29. Зависимость коэф­ угла наклона образующей оживальфициента продольной силы от нои головки.
давления для оживальных гоЭкспериментально установлено,
ловных частей при М00 = 1
что при околозвуковых скоростях ко­
эффициент лобового сопротивления
а доминирующее влияние на
Сха максимален при
М00 :5
его значение оказывает форма головной части тела (рис.
Зависимость коэффициента Сха max от удлинения
головной
части можно представить интерполяционным соотношением
Схр
0,30
�о
v
(М00 1),
9.11 9.29.
�
�о
v
v
1,1 <
v
�
1,5,
Сха mах=О,8/Амид +О,014Амид•
9.30).
Амид
(9.41)
в котором второй член определяет коэффициент трения. Удлинение
головной части, соответствующее наименьшему значению коэффи­
циента сха max• равно
Таким удлинением обладает весьма тон­
кое тело, у которого поверхностное трение в общем сопротивлении
оказывается наибольшим.
При обтекании полусферы потоками с различными скоростями,
в том числе и околозвуковыми, коэффициент лобового сопротивле­
ния от давления и коэффициент давления в критической точке сфе­
ры можно вычислить соответственно по формулам
7,56.
схар = 0,46- (1/ n)arctg[l,61(1,2-М00 )];
Ро = 1,35-(1/n)arctg[l,96(1-M00 )].
(9.42)
(9.43)
При этом удовлетворительные результаты получаются для ши­
рокого диапазона чисел аха:
М
О < М00 < 7 ... 8.
475
9.8. Расчет аэродинш.tическuх характеристик корпусов
Если число М00 набегаю- Cxamax
1
1
щего потока проходит через
�
d мид
V00(Moo)
'
единицу, то в соответствии с
принципом стационарности 1,0 \.
Хмид
местного числа Маха оно ос­
тается постоянным. Диапа­ 0,5
"
зон чисел М00, в котором рас­
Cxf '-.....
-- ---i----- --пределение местных чисел
-----\.
о
Маха постоянно, сравнитель­
10 Лмид
2,5
5,0 7,5
но узок. Так, для конуса с уг­
от удли­
лом Рк =
он определяется Рис. 9.30. Зависимость Сха
значениями М00 =
а нения для тел вращения ( 1 < М00 < 1,5)
= 7° - значения­
для угла
ми моо = =
Используя принцип стационарности местного числа Маха, по­
лучим зависимость, которая позволяла бы рассчитывать сопротив­
ление заостренной головки при околозвуковых скоростях. Предпо­
ложим, что распределение значений М известно. Тогда, исходя из
газодинамической функции температуры, при условии Т0 = const
скорость можно вычислить по формуле
Е.--�-
- -- ·
-
__
25°
1,
0,9... 1, 1,
Рк
0,99 ... 1,01.
V2
М
v;
Моо
max
2 2 + (k-l)M�
(9.44)
'
2 + (k-l )M 2
а коэффициент давления при р0 = const - согласно выражению
р=
где
Vmax
=
2
kM002
v2
1- v2
max
k /(k-l)
-1
'
(9.45)
2kRT
k-1
Используя эти зависимости, можно рассчитать коэффициент схар
конической головки при малых значениях разности М00
-1)
2(М�
kM�
+
1
Схар = (k +l)M� (cxap )Moo=l + (k +l)M� .
- 1:
(9.46)
Значение (cxap ) = можно определить для конических (ожи­
M.., l
вальных) головок по экспериментальным кривым, приведенным на
рис.
и
9.11 9.29.
9. Аэродинамика корпусов
476
М00 и полагая М00 = 1, на­
М00 = 1:
Дифференцируя уравнение (9.46) по
в точке
ходим наклон кривой
схар (М00)
= 4 [i-0,5(c
xap)Moo=l J .
k+1
" =!
Приведенные на рис. 9.31 экспериментальные данные для коническои и оживальнои головок при околозвуковых скоростях удовлетв
ворительно согласуются с результагами расчета коэффициента
=
в точке
околозвуковой области и наклона кривой
v
Схар
v
Моо)ЯЗ
Схар
схар
М00 1.
схар(М00)
3
1,0 r;: ' 35 '�к=45о. 0,10 {_).
�
0,8
0,
0
8
·
�Е
·
·
т
Х
4,
25
0,6
0,06 F/
20
5\
/-::
--...
..
/
0,04
0,4 (1
10\
'6
0,2 ./
0,02
о
о
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Моо 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Моо
�
'
'''�'' '' ,
'
,-
'
'
,,'
___...-
Хтldмид
1
,
-
�
1
'
,
,
'
/
�
'
/
а
б
Рис. 9.31. Изменение коэффициента лобового сопротивления от давления
для тел вращения с конической (а) и оживальной (6) головными частями
в зависимости от числа М00
(М00 > 1)
Сверхзвуковые скорости. Аэродинамические характеристики
тел вращения при сверхзвуковых скоростях
можно опреде­
лить, например, методом местных конусов или методом Ньютона (см.
§ 9.3, 9.6). Поскольку головная часть корпуса ЛА может иметь кони­
ческую, параболическую или оживальную формы с различными фор­
мами затуплений: плоский торец, сферический касательный или се­
кущий носок, эллиптическое затупление и т. д. (см. рис.
приве­
дем эмпирические соотношения для некоторых характерных ее форм.
В случае параболической головной части при А.г = хт/dмид 2,5
в интервале
<
<6
+
9.15),
1,5 М00
С пар = Рк
х
_
0,08(15,5 М00)
3+М00
>
·
9.8. Расчет аэродинш.tическuх характеристик корпусов
Рк
477
Ро
здесь вычисляют по местному углу
в нос­
Коэффициент
причем
ке, например, по формуле (9.23) или
< 20° и
=
Для оживальной головной части при 5° <
= ,5 . . . 3,5 получено соотношение
(9.24),
1
ж
Схо
= Рк
tg Ро = 1/Л-г.
Ро
М00
2
141,143Л.�
1- Моо +18 ,
Рк также рассчитывают по местному углу Ро в носке, причем
-1
/2
2
Ат
л.т
.
tg Аl-'O = 1R
R
R = R/dмид - безразмерный радиус дуги окружности, образующей
где
-=­
'
оживальную головную часть.
Приводя выражения для аэродинамического коэффициента к
единои характернои площади - площади миделя, - для различных комбинаций тел вращения получаем:
конус со сферическим затуплением:
v
v
1)
сх = схк (1 -r-2COS2А1-'к ) + схсф-r 2;
с с торцевьww. затуплением:
сх = схк (1-r 2 ) +cxтopr2 ;
2) кону
3) параболу со сферическим носком :
- А 0,7r-2cos2А1-')] +схсфr-2 ;
сх =схпар [1 - -r 2cos2А1-'(3,1-1,4rcos"4) параболу с плоским торцем:
сх =схпар [1 - -r 2(3, 1 - 1, 4-r - о, 7-r 2)] +схтор-r 2
где r = RT 1rмид ; RT - радиус затупления; р - угол наклона каса­
'
тельной в точке сопряжения.
Расчет коэффициентов нормальной силы
и центра давления
Для тонких тел вращения коэффициент нормальной силы су при
околозвуковых скоростях при прочих равных условиях может быть
на 25 . . . 35 % больше, чем при дозвуковых скоростях. Так, согласно
приведенным на рис. 9.32 данным, отношение
достигает мак­
%
причем оно примерно на
симального значения при
=
= 0, .
больше соответствующего значения при
М00 1,
су/а
М00 4
35
9. Аэродинамика корпусов
478
с
0,05
__..,./
0,04
/
_,,.�
0,03
·
3dмид 8dмид
0,02
0,4
•
0,8
0,6
-
t
cцд
-
·
y fa
-
·-
-
0,5
0,4
vdмид 0,
3
-
•
1,0
Моо
Рис. 9.32. Изменение отношения су/а и коэффициента сцд
для тела вращения с параболической головной частью
С увеличением нормальной силы возрастает и момент тангажа,
в результате чего положение центра давления, а следовательно, и
сцц практически не меняется (см. рис.
Зафиксированное из­
менение коэффициента сцц при переходе через скорость звука со­
ставляет примерно
Подобная картина наблюдалась при исследовании обтекания ко­
нических тел вращения. Так, у тонкого конуса при сверхзвуковых
скоростях сцд
При дозвуковых скоростях у конуса с углом
при вершине �к
15° коэффициент сцд на
меньше, чем при
сверхзвуковых скоростях, т. е. центр давления расположен ближе к
острию головки. При переходе через скорость звука коэффициент
центра давления незначительно увеличивается, достигая при М00 1
значения сцц
9.32).
2 %.
.,,,
0,667.
4%
=
=
=
0,65.
(dсу/dх)(4аЛмид r)- 1
0,3 �
0,2 �
�
�
0,1
о
-
О1
'
-о 5
х
'
Хмид = 1
�
�
1,0 "LI11LJ-
'
"
1.5 � .Х = хfхмид
-
2d
'
Рис. 9.33. Распределение величины, характеризующей производную
коэффициента нормальной силы, вдоль тонкого тела вращения
9. 9. Расчет коэффициентов трения на телах вращения
479
У тел,
представляющих собой комбинацию конической голов­
ной части с цилиндрическим хвостовым участком, наблюдается
сдвиг центра давления ко дну конуса. Происходит это как при до-,
так и при околозвуковых скоростях. Величина сдвига зависит от
длины примыкающего к конусу цилиндрического участка.
У тонких конических головок в интервале чисел М00 = 0,7 . . . 1,2
коэффициент центра давления возрастает примерно на 5 . . . 7 % при
длине цилиндрического участка О,5dмид и на 7 . . . 13 % при длине
цилиндрического участка О,75dмид·
При исследовании несущей способности корпуса ЛА практиv
v
ческии интерес представляют данные о распределении нормальнои
силы вдоль его длины (рис. 9.33). Видно, что на цилиндрической
поверхности корпуса коэффициент су интегрально близок к нулю,
а значит, влияние цилиндрического среднего участка тела на нор­
мальную силу незначительно. В хвостовой части коэффициент су
принимает отрицательные значения, увеличиваясь к донному сре­
зу, поэтому влияние кормы существенно в тех случаях, когда ее
длина и сужение достаточно велики.
При небольших углах атаки коэффициент су у тонких тел мало
зависит от числа М00 и удлинения, а его зависимость от угла атаки
близка к линейной:
Су = 2а..
9.9. Расчет коэффициентов трения на телах вращения
При расчете коэффициента трения форму реального ЛА упроv
щают и представляют ее состоящеи из конуса и цилиндра:
сf =
х
f
qооSмид
2
v
sк
Р
бок
к
к
"л
= Ас
fк
PooVoo2 SМИД
+
сf"л
цил
и
sцбокл
SМИД
'
где А
коэффициент, учитывающий переход от пластины к кону­
су;
ПЛОЩаДИ б0К0В0Й ПОВерХНОСТИ КОНуСа И ЦИЛИНД­
ра (индекс «ПЛ» означает, что коэффициенты рассчитаны по фор­
мулам для плоской пластины).
Рассмотрим основные соотношения для расчета трения на
конусе.
Сверхзвуковой поток около заостренного конуса обладает тем
свойством, что вдоль образующей конической поверхности скорость
-
S�OK , s�:
-
9. Аэродинамика корпусов
480
постоянна и, следовательно, про­
дольный градиент давления ра­
вен нулю. Таким же свойством
обладает невязкое течение окопо плоскои пластины, вдоль которои параметры на внешнеи
границе пограничного слоя по­
стоянны. Это сходство обте­
кания позволяет использовать
результаты расчета пограничного слоя на плоскои пластине для
Рис. 9.34. Схема пограничного слоя определения соответствующих
на конусе
параметров вязкого потока око­
ло конической поверхности.
Воспользуемся для этой цели интегральным соотношением (5 .1 ),
записанным для условий обтекания криволинейной поверхности
(рис. 9.34):
v
v
v
v
о
о
d.x 0
d.x0
d pr V2dy + Vo d pr V dy- rко dp0 rк'tст•
-=
J KX
J KX
(9.47)
dx
где rк - расстояние от оси до точки на поверхности конуса с коор­
динатой х (при rк "" r); 'tст - напряжение трения в этой точке.
Учитывая, что параметры газа на внешней границе погранич­
ного слоя на конусе одинаковые ( V0 = Vк = const; р0 = Рк = const
)
и т. д.) и продольный градиент давления равен нулю (dp0 dx
соотношение (9.47) представим в виде
/
о
d
- рrкVx (Vx -Vк )dy = -rк'tст
J
dx o
·
=
О
,
(9.48)
Рассмотрим расчет ламинарного пограничного слоя. В произ­
вольной точке какого-либо его сечения, расположенного от острия
конуса на расстоянии х, напряжение трения 't µ(д Vхlду). Тогда в
уравнении (9.48) можно заменить dy = (µ/'t)dVx. Разделив обе час­
ти полученного уравнения на Ркv;µк, где Рк, µк - соответствен­
но плотность (Р к = р0) и динамическая вязкость (µк = µ0) на внеш­
ней границе пограничного слоя конуса, получим следующее интег­
ральное соотношение:
=
1
_о_ pVx
-1::_ rк
J
dx РкVк µк
О
't
(9.49)
9. 9. Расчет коэффициентов трения на телах вращения
481
Vx/Vк
=
Для рассматриваемого случая отношение скоростей
является функцией только относительной координаты
f1
и не зависит от х. Следовательно, в соответствии с формулами
=
и
=
отношение касательных напря­
жений в слое будет также зависеть от относительной координаты
т. е.
= f2 ( y
. Внесем функции/1 ,/2 в уравнение
и введем обозначение
= (у/8)
у/8
't µ(дVх /ду) 'tст µк(dVx/dy)к
't/'tcт
у/8,
/8)
(9.49)
f р vx l:_ 1 - !1
df1 .
J=
РкVк µк /2
1
о
Принимая во внимание, что в случае постоянной температуры на
всей поверхности конуса отношение
не зависит от координаты и что от этои координаты не зависит также отношение плотностей
являющееся функцией
получаем зависимость
х
µ/µк
Vx/Vк,
v
р/рк,
(9.50)
Заменив в правой части этого уравнения
переменные, находим
rк на xsin�к
и разделив
или после интегрирования
r.2к 1 х3 sin2 1-'Ак
+ С.
=2
2 't з Ркvкзµк
J
_
ст
(9.51)
rк2 /'t;т = ,
О а
Пусть в начальной точке (при х = О) отношение
значит, в правой части уравнения
О. Тогда, выполнив
обратную замену
и обозначив напряжение трения на
конусе 'tстк, получим
xsin�к = rк
(9.51) С =
(9.52)
Аналогичное выражение можно получить для напряжения тре­
ния
на плоской пластине. При этом будем исходить из пред­
положения, что пластина обтекается гипотетическим сверхзвуко-
'tстпл
9. Аэродинамика корпусов
482
вым потоком с такими же параметрами, как на конусе. Тогда после
интегрирования уравнения
имеем
(9.50)
't
ст пл
Из формул
J РкVк3 µк
=
2
-
-"--'
""-=-
(9.53)
-
х
(9.52) и (9.53) вытекает важное соотношение:
(9.54)
'tстк = J3 · 'tстпл z 1,73'tстпл '
J3
в соответствии с которым напряжение трения на конусе в
раз
больше, чем напряжение трения на пластине, вычисленное по па­
раметрам на конусе. Аналогично для местного и среднего коэффи­
циентов трения, рассчитанных по скоростному напору
=
возмущенного потока, получаем
qк РкVк2 /2
сfхк =J3·cfxnл; сfк =J3·cfnл·
Коэффициенты трения, вычисленные по параметрам невозму­
щенного течения, определяются зависимостями
2
Рк
q
Vк
к
.
"\/г:;
j3 · Cfxnл
'
Сfхоо к - Cf к qoo
PooVoo2
2
qк
РкVк
г:;
3
=
"\/j
=
Cfк
·
Cfnл
Сfоок
2
p
V00
qoo
00
(9.55)
_
_
x
(9.56)
Продольную силу от трения можно рассчитать по коэффициенту
и боковой поверхности
трения
конуса:
sбокк
2
Х f = СfоокqооSбокк = J3 ·Сf (Р кVк /2)sбокк·
сfоок
nл
Соотношения для напряжения и коэффициента трения для плос­
кой пластины приведены в гл.
Можно установить приближенную зависимость также и между
толщинами пограничного слоя на конусе и пластине. Восполь­
зовавшись методом Польгаузена для расчета распределения скорости по сечению пограничного слоя в несжимаемои среде, запишем
5.
�
8пл /8к ='tстк /'tстпл '
(9.54),
8к = ('tстпл / 'tстк)8пл =8пл/JЗ =0,5788пл .
откуда, согласно
(9.57)
9. 9. Расчет коэффициентов трения на телах вращения
483
(9.57)
Таким образом, в соответствии с формулой
толщина лами­
нарного пограничного слоя на конусе в J3 раз меньше, чем на
пластине.
Воспользовавшись тем же интегральным соотношением (5.1),
можно получить аналогичные зависимости для турбулентного по­
граничного слоя. Связь между толщинами турбулентного погранич­
ного слоя на конусе и пластинке для воздуха (k = 1 ,4) имеет вид
s:uк
=
(4/9 )4/5 s:Uпл = О ,523uпл.
s:
(9.58)
Для напряжения трения справедливо соотношение
'tст к /'tстпл = (<>пл /<>к )114
или с учетом (9.58)
'tстк = (9/4)115 'tстпл = 1,17'tстпл·
(9.59)
Сопоставляя выражения (9.54) и (9 .59), можно сделать вывод,
что в случае турбулентного пограничного слоя напряжение трения
на конусе меньше отличается от соответствующего напряжения на
пластине, чем при ламинарном слое. Это объясняется более силь­
ным влиянием перемешивания потока на силу трения в турбулент­
ном пограничном слое по сравнению с воздействием формы поверх­
и
то их
ности. Что касается толщин (см. выражения
значения на конусе для турбулентного и ламинарного погранично­
го слоев отличаются примерно на 1 О %. Такое небольшое различие
свидетельствует о более сильном влиянии на толщину слоя формы
обтекаемых поверхностей, чем перемешивания.
По известному напряжению трения можно вычислить местный
и средний коэффициенты трения для возмущенного потока:
(9.57) (9.58)),
fк =1,17сf пл ·
сfхк = 1,17с хпл; с
f
Чтобы пересчитать их на скоростной напор невозмущенного по­
тока, необходимо применить формулы, аналогичные
и
Продольная сила от трения при турбулентном пограничном слое
определяется выражением
(9.55) (9.56).
(9.60)
Коэффициент трения на цилиндре рассчитывают по формулам
�
для плоскои пластины с учетом характера пограничного слоя и
предыстории его развития (начальная толщина пограничного слоя
на цилиндре не равна нулю).
10. АЭРОДИНАМИКА КРЫЛЬЕВ
Важнейшим элементом ЛА является крыло, которое
в осн.овном определяет его аэродинамические харак­
теристики. Исследование этих характеристик н.епо­
средствен.н.о связан.о с аэродинамическим расчетом
изолирован.н.ых крыльев. Аэродинамические свойства
крыла при задан.н.ых условиях движения зависят от
его формы в план.е и вида профиля. Расчет обтекания
крыла сводится главным образом к определению коли­
чествен.ной зависимости ме:ж:ду его аэродинамичес­
кими силами и моментами и геометрическими пара­
метрами, характеризующими форму крыла в план.е и
вид профиля.
В главе рассмотрены вопросы, связан.н.ые с расчетом
обтекания профиля и крыла дозвуковым потоком. По­
лучен.н.ые результаты, имеющие самостоятельное зн.а­
чен.ие в аэродинамике малых скоростей, применимы и
для аэродинамических исследований при больших до­
звуковых скоростях. Кроме того, изложены методы
аэродинамического расчета профиля и крыла при
сверхзвуковых скоростях.
10.1. Силы и моменты, действующие на крыло
Рассмотрим элемент ЛSкрьm поверхности крыла, единичную внеш­
нюю нормаль к которой обозначим ii (рис. 10.1). Нормальная сила
от давления, деиствующая на крыло, определяется выражением
v
У=
-JJ pcos (п, у)dSкрыл ,
r.
(10.1)
где r. площадь поверхности крыла, а знак «-» поставлен потому,
что давление действует в направлении, противоположном ii. По­
скольку трение практически не влияет на нормальную силу, можно
считать, что записанная формула ее полностью определяет.
-
10.1. Силы и молtенты, действу1ощие на крыло
485
у
�
nв
Рв
�
ЛSкрыл
Voo
лs
ЛSкрыл н
Рн
Рис.
1
�
/t
1:
�
пн
10.1. Определение сил
и моментов, действующих на крыло
Условимся часть поверхности крыла, где угол между внешней
нормалью ii и осью Оу острый, т. е. cos(n,y) > О, считать верхней,
а часть, где он тупой, т. е. cos (п, у) < О, - нижней. Обозначим дав­
ление на верхней поверхностирв, а на нижней - Рн· Учитывая, что
COS (пв, y)dSкpьm в = dS;
COS (п н, у)dSкрыл н = -dS,
где пв и пн - внешние нормали к верхнеи и нижнеи поверхностям
соответственно, из выражения (10.1) находим
�
�
У = Jf(Pн - p8 )dS,
s
где S - площадь крыла в плане.
Выражая Рн и р8 через коэффициенты давлений
реходя к коэффициенту нормальной силы, получаем
Су крьm
=
Рн и р8 и пе­
l
=
ys s ff (Pн - pв ) dS,
qoo
( 1 0.2)
S
причем при малых углах атаки Суа крьт = Су крьт·
При расчете коэффициента нормальной силы для профиля кры­
ла надо в формуле ( l 0.2) принять dS = dxdz, S ЬЛz и интегрировать
по х от О до Ь, а по z - от z до z + Лz. В результате получаем
*
Здесь и далее в этой главе для упрощения набора индекс «пр», характерный
для профиля крьmа, у аэродинамических коэффициентов опущен, а индекс «крьm»
для крыла сохранен.
•
1 О. Аэродинамика крыльев
486
= �f (Рн - Рв)dх = f (Рн - Рв)dХ,
1
ь
Су
где
о
х = х/Ь.
(10.3)
о
По этим же формулам можно рассчитать коэффициент нормаль­
ной силы Су сеч для сечения крыла. При малых углах атаки Суа = су,
Суа сеч Су сеч·
Определим теперь коэффициент
продольной силы ХР от дав­
ления. Суммируя силы от давления, действующие на поверхность :Е
вдоль оси
(см. рис. 10.1), получаем
схр
-
Ох
хр =-JJ р соs(п,х)dSкрыл·
Е
S
Переходя от интегрирования по :Е к интегрированию по и исполь­
зуя введенные выше обозначения и соотношения, находим
,
cos
(пн,
х)
cos
(п
х)
_!_JJ
в
н
( 10.4)
схркрыл в
Р
Р
dS
S
соs(пн ,у) соs(пв,у)
Эта формула определяет коэффициент схркрыл в общем случае.
Из курса аналитической геометрии известно:
1 дун
1
соs(пн,х) = дх ; соs(пн,у)=--;
лн
лн
1
1 д
соs(п. х)=-- Ув · cos (� ,у)=-,
лв
ЛВ дх '
_
_
_
·
s
l+
"2'
'В
дУн
дх
+
дун . лв
дz '
2
1+
дув
дх
2
+
ду
дzв
2
Следовательно, уравнение (10.4) можно представить в виде
ду
ду
(10.5)
Схркрыл = JI Рв в Рн
dS
"
SS
дх .
дх
Полагая S = ЬЛz, dS = dxd.z и интегрируя (10.5) по х от О до Ь, а по z
от z до z + Лz, получаем следующую формулу для расчета коэффи­
1
циента продольной силы от давления для профиля крыла:
1
ь
_!._
dун
dув
=
Схр
J
Ь о Рв dx - Рв dx
dx
= J Р-в dув - -Рв dун dx.
dx
о dx
(1 0.6)
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжш1ае.л1ол1 потоке 487
Создаваемый давлением момент тангажа относительно оси Oz
определяется соотношением
Mz =-JJ рхсоs(п, у)dSкрыл + JJ ру соs(п, х)dSкрыл '
Е
Е
(10.7)
где х, у координаты точки на поверхности :Е.
Поскольку трение, как правило, мало сказывается на моменте Mz,
можно считать, что соотношение (10.7) определяет полный момент
тангажа. Продольная сила от давления создает относительно ма­
лый момент, которым обычно пренебрегают. Таким образом, фор­
мула для вычисления полного момента тангажа имеет вид
-
М крыл =
z
ff рхсоs(п, у)dSкрыл ·
-
I:
Переходя от интегрирования по :Е к интегрированию по S, по­
лучаем следующее соотношение для расчета коэффициента момен­
та тангажа:
М z крыл
тzкрыл =
q°"Sb
1
S
=- JJ (Рн - рв)хd
'
Sb
-
-
s
(10.8)
где Ь длина хорды крьmа, обычно САХ.
Коэффициент момента тангажа для профиля (сечения) крыла
ь
-
1
- - )х
· ctx·
=
mz - 2 Jc Рн - рв
ь о
(10.9)
Отметим, что момент, создаваемый продольной силой, необхо­
димо учитывать, если ось Oz находится на значительном расстоя­
нии от базовой плоскости крыла.
10.2. Аэродинамические характеристики профиля и крыла
в несжимаемом потоке
Физическая карп�ина обтекания профиля и крыла
при малом угле атаки
Вначале рассмотрим обтекание профиля. Будем считать, что хво­
стовая часть профиля заострена и угол заострения 2't > О. Примем
также, что угол атаки небольшой и профиль обтекается без отрыва
потока.
1 О. Аэродинамика крыльев
488
Вблизи передней кромки набегающий поток разделяется на два:
один обтекает верхнюю поверхность, другой - нижнюю. На задней
кромке потоки сливаются (рис. 10.2, а). Опыт показывает, что тече­
ния, при которых поток огибает заднюю кромку (рис. 10.2, 6 и в), не
реализуются. Это соответствует гипотезе Чаплыгина - Жуковского,
согласно которой при безотрывном обтекании крыла идеальным га­
зом скорость потока на острой задней кромке должна быть конеч­
ной. По этой гипотезе поток не может огибать острую кромку,
поскольку теоретически доказано, что в этом случае его скорость
на кромке должна быть бесконечно большой, а это физически не­
возможно.
в
Рис. 10.2. Схемы обтекания задней острой кромки крыла
При обтекании профиля идеальным несжимаемым газом (см.
рис. 10.2, а) точка А, где поток разделяется, является критической.
Здесь скорость V О, давление равно давлению торможения р р0
и коэффициент р = (р p00)/q00 = 1 . Критической является и точ­
ка В на задней кромке. К этой точке подходят линии тока, идущие
по верхней и нижней поверхностям профиля, и от нее отходит ли­
ния тока ВС.
В каждой точке линии тока скорость направлена по касатель­
ной. В точке В пересекаются три линии тока. Поэтому скорость
здесь равна нулю, поскольку частица газа не может одновре­
менно двигаться по разным направлениям.
Изменение газодинамических переменных при переходе от пе­
редней критической точки к задней определяется формой струек
газа у поверхности. Схематически они изображены на рис. 10.2, а.
Струйки у верхней и нижней поверхностей имеют максимальные площади поперечных сечении у переднеи и заднеи критических точек. При движении от передней критической точки к зад-
=
=
-
v
v
v
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжимае.лtом потоке 489
-
-
неи площади поперечных сечении
р
-- --о;
,
струек сначала уменьшаются, а затем
['·- ·----- увеличиваются. Соответственно сна­
о:
чала скорость растет, давление и ко­ -3
эффициент р уменьшаются, а затем
\' 1
скорость падает, давление и р уве­
'..-:?
личиваются. При положительном
-2
'
атаки верхняя струйка имеет большее
•
сужение, чем нижняя. Поэтому на
верхней поверхности возникает боль­ - 1
шее разрежение (рис. 10.3).
'
•
Реальный воздух вязкий. Вяз­
кость создает сопротивление трения.
1).,..
о
'".
Но этим ее роль не ограничивается.
- ----Она влияет еще на распределение
2
давления. В результате появляется
1
дополнительное сопротивление, из­
0,25 0,50 0,75 х/Ь
О
меняется подъемная сила, смещает­
ся аэродинамический фокус по углу Рис. 10.3. Эпюры коэффициента давления, деиствующего на
атаки.
При обтекании профиля у его по­ верхнюю (1) и нижнюю (2) по­
верхности возникает тонкий затормо­ верхности профиля (сплошная
женный слой, называемый погранич­ линия - вязкий газ; штриховая - идеальный газ)
ным. Замедление течения в пограяичном слое оказывает вытесняющее
действие на поток. Это влияние оценивают толщиной вытеснения
на верхней о: и нижней о: поверхностях (на рисунке толщины
вытеснения для наглядности намного увеличены по сравнению с
реальными).
Чтобы найти давления, действующие на профиль в вязком газе,
надо построить полубесконечное фиктивное тело. Его получают,
смещая точки контура профиля в направлении внешней нормали
на толщину вытеснения о* и присоединяя к деформированному про­
филю след (рис. 10.4). Поверхность построенного тела называют
поверхностью вытеснения. Затем следует рассчитать давления, дей­
ствующие на построенное фиктивное тело при его обтекании иде­
альным газом. Эти давления практически совпадают с давлениями,
действующими на рассматриваемый профиль в вязком газе.
Поэтому для того чтобы оценить влияние вязкости на аэроди­
намические характеристики, надо рассмотреть, как изменяется расv
v
-
--
,
yrne
'
'
1
1
,
1
,
,
-
-
-
-
--
-
-
-
----
-
-
-·
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
,
,
,
,
v
'
'
'
'
'
'
'
'
'
' '
'
,,
,,
"
1 О. Аэродинамика крыльев
490
1
-f----- -
Ла
·-·
--
.
-
--- - о*в
-··-··-··-
D
::-�.....�-·
..
· ---
в1
<Хвяз
/вяз
0,5 (о: о: з)
3
-
Рис. 10.4. Схема обтекания профиля вязким газом:
1
-
профиль; 2 поверхность вытеснения
-
пределение давлений при переходе от профиля к полубесконечно­
му телу.
В идеальном газе задняя кромка профиля является критической
точкой, в которой скорость обращается в нуль, а давление достига­
ет максимально возможного значения, равного давлению торможе­
ния. При обтекании полубесконечного тела в сечении, соответству­
ющем задней кромке профиля, струйки расширяются меньше, ско­
рость не обращается в нуль и на профиль действуют давления,
меньшие давления торможения. Здесь возможно даже разрежение.
Уменьшаются давления и на некотором участке поверхности про­
филя вблизи задней кромки. В результате возникает вызванное вяз­
костью сопротивление, которое возрастает с увеличением суа·
Даже при малых углах атаки влияние вязкости приводит к от­
рыву потока, что несколько увеличивает сопротивление. На углах
атаки, близких к критическим, это сопротивление возрастает уже
значительно.
Рассмотрим влияние вязкости на коэфициент Суа· При Суа > О в
любом сечении
толщина вытеснения на верхней поверх*
*
*
* и на задней кромке 083
о
ности больше, чем на нижней: Ов > 08,
> нз
(см. рис. 10.4). Во-первых, это объясняется тем, что при Суа > О на
верхней поверхности расстояние по контуру профиля от передней
критической точки до рассматриваемого сечения больше, чем на
*
нижней, а о растет с увеличением этого расстояния. Во-вторых,
при Суа > О на верхней поверхности точка перехода ламинарного
течения в пограничном слое в турбулентное (она находится вблизи
точки минимума давления) располагается ближе к носку профиля.
Поэтому здесь турбулентный пограничный слой более протяжен-
х = const
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжш1ае.л1ол1 потоке 491
ный, а толщина вытеснения при турбулентном течении растет по
потоку быстрее, чем при ламинарном.
Таким образом, средняя линия полубесконечного тела нахо­
дится на
выше средней линии профиля. Ее вогнутость
меньше вогнутости средней линии профиля:
f, и точка В1,
соответствующая задней кромке профиля, выше последней на
0,5(8: - 8:)
fвяз<
0,5(8: з -8: 3).
Часть полубесконечного тела, ограниченную поверхностью вы­
теснения и плоскостью DE, можно рассматривать как профиль с
вогнутостью
установленный под углом атаки авяз а - Ла, где
Ла
угол между СВ и СВ 1 (см. рис.
Распределение давлений на профиле в вязком газе практически
v
совпадает с распределением давлении на поверхности вытеснения
в идеальном газе. Поэтому коэффициент подъемной силы профиля
с вогнутостью f, установленного под углом атаки а в вязком газе,
равен коэффициенту подъемной силы профиля с вогнутостью fвяз
при угле атаки авяз а - Ла в идеальном газе.
Таким образом, при Суа > О верхняя поверхность полубесконеч­
ного тела получается менее искривленной, чем у профиля. Приле­
гающая к ней струйка суживается меньше. В связи с этим на верх­
ней поверхности полубесконечного тела возникает меньшее разре­
жение, чем на верхней поверхности профиля. Следовательно, вязкость
уменьшает разрежение на большей части верхней поверхности про­
На нижней поверхности при переходе от про­
филя (см. рис.
филя к полубесконечному телу расширение струйки после минималь­
ного сечения уменьшается, поэтому давление здесь падает. Следова­
тельно, вязкость снижает давление на нижней поверхности.
В результате уменьшается коэффициент подъемной силы про­
филя. Возникающее вследствие влияния вязкости перераспределе­
ние давлений (см. рис.
приводит к смещению фокуса по углу
атаки вперед.
Рассмотрим теперь безотрывное обтекание крыла конечного раз­
маха идеальным несжимаемым газом. Для простоты возьмем пря­
моугольное крыло (рис.
При положительной подъемной силе
v
снизу на крыло деиствует повышенное давление, а сверху - пониженное. К концам крыла давление на нижней его поверхности
уменьшается, а на верхней увеличивается. В результате частицы
воздуха под крылом перемещаются к его концам, а над ним - к
плоскости симметрии. На концах крьmа они перетекают с нижней
поверхности на верхнюю, огибая боковую кромку. Уносимые набе-
fвяз•
10.4).
-
=
10.3).
10.3)
10.5).
=
1 О. Аэродинамика крыльев
492
у
1
Vzв
G
Vzн
-
-
Vzв
-
� i �
-
z
Vzн
о
z
1
2
х
Рис. 10.5. Схема обтекания крыла конечного размаха:
1 крыло; 2 вихревая пелена
-
-
гающим потоком частицы воздуха продолжают за крылом попереч­
ное движение в противоположных направлениях. Так возникает по­
верхность разрыва поперечных скоростей за крылом. Известно, что
поверхность разрыва касательных скоростеи является вихревои поверхностью. Поэтому за крылом конечного размаха при его движе­
нии возникает вихревая поверхность, которую часто называют вих­
ревой пеленой. Вихревые линии этой поверхности совпадают с ли­
ниями тока.
В полете крыло, передвигаясь вперед, закручивает все новые и
новые массы воздуха, что приводит к возрастанию кинетическои
энергии воздуха. Работу, увеличивающую кинетическую энергию,
совершает крыло. При этом оно испытывает со стороны воздуха
дополнительное лобовое сопротивление Xai> называемое индуктив­
ным (вихревым).
v
v
v
Расчет обтекания тонкого профиля в несжимаемом потоке.
Теорема Жуковского «в малом»
Рассмотрим расчет обтекания установившимся несжимаемым по­
током тонкого слабоизогнутого профиля под малым углом атаки
(рис. 10.6). Получаемые в результате аэродинамические характерис­
тики профиля могут быть непосредственно использованы для случа-
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжимаелtом потоке 493
Уа
у
Уа
Ув = Ув(х)
у =у(х)
у
����
</> в
dГ =y(x)dx
У н= Ун(х)
dy
�.
�---'--+-=-=-+-+�
- �___;:"'1-о::,...�
- х- О
х
а
х
Ь'
х
dx
Рис. 10.6. Схемы расчета тонкого профиля в несжимаемом потоке
(М00 0,3 ...0,4),
<
ев движения с небольшими дозвуковыми скоростями
когда газ можно считать несжимаемой средой, а также применены
как исходные данные при проведении аэродинамических расчетов
профилей заданной формы в дозвуковом сжимаемом потоке.
Поскольку профиль тонкий, а угол атаки невелик, то скорость
потока около него будет мало отличаться от скорости невозмущен­
ного течения. Такой поток называется л1.ал овозмущенным.
Для скорости маловозмущенного течения можно написать ус­
ловие
( ; << ;
Vx =V00 + v; V V00) Vy = v; (V; <<V00),
где v; и v; - составляющие скорости малых возмущений.
В соответствии с этим условием
v 2 = Vx2 +Vy2 = (V00 + V ' )2 + у'2 :::: Voo2 + 2уoovx. (10.10)
х
у
/
Теперь определим давление в маловозмущенном потоке. Из
уравнения Бернулли для несжимаемого потока (р = р00
за­
писанного для параметров невозмущенного потока и для произволь­
ной точки в окрестности профиля, получим избыточное давление:
= const),
=Poo (v; /2 - v2/2) =-p00Voov;.
Выразив составляющую v; через потенциал скоростей: v; = д<р ! дх,
р - роо
находим
(10.11)
Отсюда коэффициент давления
р
=
р - Роо
qoo
v;
= 2 = _3_ дх<р
V00 V00 д
-
-
(10.12)
1 О. Аэродинамика крыльев
494
( 10.11 ),
Согласно уравнению
избыточное давление на нижнюю
и верхнюю стороны профиля будет соответственно
Рн
где
<рн, <р8
-Р
со
= - д<рн V
дх
со
в Vcopco ,
д<р
=
Рв Рсо дх
Р ;
со
потенциалы скоростеи на нижнеи и верхнеи сторонах.
Следовательно, подъемная сила, действующая на элемент по­
верхности профиля,
�
�
�
-
(10.13)
а для всего профиля с хордой длиной Ь
Ь'
уа = -VсоРсо J
о
д<рн д<рв
дх дх
_
dx.
Полагая верхний предел Ь' интеграла равным длине Ь хорды (вви­
ду малости угла атаки), найдем коэффициент подъемной силы
ь
2
Уа = - J д<рн - д<рв
=
Суа q00b V00Ь дх дх
.
dx
О
(10.14)
Циркуляция скорости по контуру, имеющему форму прямо­
угольника со сторонами dx, dy и охватывающему элемент профиля
(см. рис.
10.6),
дв
dГ= V00 + <р
дх
д<рл _ д<рп dy.
ду ду
Интенсивность циркуляции (вихря) dГ/dx = Yz(x) определяется
dx -
V00 + д<рн
дх
dx+
выражением
д д
д д
= <рв _ <рн + � <рл _ <рп
(х)
z
дх дх dх ду ду
у
Поскольку для тонкого профиля угловой коэффициент dy/dx мал,
то произведение этого коэффициента и разности вертикальных со­
ставляющих скоростей будет величиной второго порядка малости,
а значит,
д
::::
(10.15)
(х) <рхв д<рн
д дх
Таким образом, выражение (10.14) можно записать в виде
у
z
_
10.2. Характеристики профиля и кры.ла в несжил1ае.мол1 потоке 495
2 ь
.
(
Суа = Voob f'Yz x)dx.
( 1 0 . 1 6)
0
Аналогично для коэффициента момента тангажа имеем
2
ь
.
(
2 f'Yz x)x dx.
mz = V00b
(10.17)
0
Для разности давлений на нижней и верхней поверхностях про­
филя из выражения (10.13) для несжимаемого потока получаем
(10.18)
Нетрудно записать формулу, связывающую Рн и р8, когда газ
сжимаем, скорости дозвуковые или сверхзвуковые и течение изо­
энтропическое. Используя для этого случая уравнение Бернулли:
2
2
k
V
Рн
k Р
Vв
+
'
2
k - 1 Рн
k - 1 р8
в +-=
2
н
-
и соотношение (10.10) для скоростей V8 и Vн, получаем выраже­
ние, представляющее собой математическую запись теоремы Жу­
ковского «в малом»:
k
Рн
k -1 Рн
_
в = Vоо д<рв д<рн =V00'Yz (x).
дх дх
Рв
Р
В соответствии с формулами (10.16) и (10.17) коэффициенты
подъемной силы и момента тангажа зависят от распределения вдоль
профиля интенсивности циркуляции. Это означает, что обтекание
профиля можно рассчитать, заменив его системой непрерывно рас­
пределенных вихрей (см. гл. 7).
Рассмотрим элемент цилиндрического крыла бесконечного раз­
маха, на которое поток набегает перпендикулярно передней кромке.
В этом случае воздух в поперечном направлении не движется. По­
этому вихревая модель состоит только из непрерывного слоя бесv
конечных прямых вихреи, лежащих в плоскости хорд и параллельных передней кромке. Обозначим их погонную интенсивность 'Yz(x)
(рис. 10.7). Введем переменную 0, связанную с координатой х со­
отношением
х О,5Ь(1 + cos0),
(10.19)
=
и представим
'Yz в виде ряда Фурье:
1 О. Аэродинамика крыльев
496
00
Yz = 2V00 Aotg(8/2) + L Ansin(n8) .
n
(10.20)
=I
Нетрудно заметить, что задав Yz таким образом, мы обеспечим
выполнение гипотезы Чаплыгина - Жуковского о конечности скоро­
сти. Действительно, на задней кром­
ке х = Ь, 0 = Yz О и, согласно выра­
у
жению (10.15),
=
д<рв
дх
Yz(X)
_
д<рн
дх
=
О.
Поскольку для тонкого профиля
д<рн
дх
х
ь
_
v
д<рв
дх
_
Уz (х)
2 ,
то на заднеи кромке
Рис. 10.7. Схема расчета аэро­
д<рн
дх
динамических характеристик
профиля с помощью непрерывного вихревого слоя
=
д<рв О
дх
=
.
Кроме того, согласно соотношениям (10.19) и (1 0.20), при х --? О
угол 0 --? п и Yz --?
Следовательно, возмущенная скорость на
передней кромке бесконечно большая, что обеспечивает обтекание
острой передней кромки.
В расчетах также должно выполняться условие плавного безот­
рывного обтекания, в соответствии с которым нормальная к поверх­
ности профиля составляющая скорости равна нулю, т. е.
оо.
д<р + - n = O
V
дп
-
00
-
.
Это уравнение часто называют условием, непротекания. Пусть
уравнение средней линии профиля, тогда в соответ­
у
ствии с рис. 10.7 это условие можно записать так:
=
f(x)
-
д<р =
V00 ду
1
-
-
d
f(х)
а+
dx
v;
.
(10.21)
Определив скорость возмущений
д<р/ ду, индуцируемую вих­
ревым слоем на хорде, и подставив ее в граничное условие ( 10.21),
получим выражение
=
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжимае.лtом потоке 497
Ао +
в котором
Ап cos(n8) =а - df ( х) ,
I,
dx
n=l
df(х) d0;
f
п
Ао = а - .!.
о dx
)
2
7t
df(
x
(10.
2
2)
А11 =--f dx cos(n0)d0.
по
С учетом соотношений (10.22) по формуле (10.20) вычисляем ин-
тенсивность вихреи 'Yz·
Аэродинамические коэффициенты определяем с учетом выра­
по формулам
жения
v
(10.18)
mz
(10.3), (10.9):
1
df
7t
суа = 2п а-- J (х) (1 +cos 0)d0 ;
п о dx
l
7t
J
df(x)
1
[cos
0+cos(20)]d0,
= - -суа + 2 0 dx
4
(10.23)
(10.24)
где mz - коэффициент момента тангажа профиля относительно переднеи кромки.
v
Аэродинамические характеристики профиля
Рассмотрим аэродинамические характеристики тонкого слабо­
изогнутого профиля при малых углах атаки, когда коэффициенты
подъемном силы и момента тангажа зависят от а линейно.
Суа
При установившемся посту­
пательном движении коэффициент
подъемной силы профиля опреде­
ляется соотношением
v
суа =с�а(а-а0),
(10.25)
с�а = dcy0/da = tg0; 0 - угол
наклона кривой Суа(а) на линей­
ном участке (рис. 10.8); а0 - угол
атаки, при котором Суа = О.
Сравнивая выражения (10.25) и
(10.23), находим, что в идеальном
где
несжимаемом газе
Рис. 10.8. Изменение коэффици­
ента подъемной силы профиля в
зависимости от угла атаки:
-
1 - j1
=
-
-
-
О; 2 - f2 > О; 3 - f3 > !2
1 О. Аэродинамика крыльев
498
j
(x
df
) (l + cos 0 )d0.
_!_
( 10.26)
с�а = 2п;
=
1t о dx
Следовательно, производная с�а профиля не зависит от его фор­
мы. Более точный анализ показывает, что с�а возрастает с увели­
чением относительной толщины, кривизны профиля и угла 2't его
а0
заострения у задней кромки. Так, для изогнутых профилей можно
рекомендовать зависимость
где с =
с�а = 21t(l + О, 77с )�1 + (f/2)2 ,
с/ Ь - максимальная относительная толщина профиля;
f = f /Ь - его максимальная относительная кривизна (для сим­
метричного профиля f =О, для пластины с = 0).
При больших углах заострения задней кромки
С�а =27t +4,7c (l+0,00375't),
(10.27)
где 't - в град.
Несмотря на то что формула (10.27) дает более точное значение
в идеальном газе, при ориентировочной оценке реальных не­
сущих свойств профиля целесообразно полагать с�а = 2п, посколь­
ку в результате влияния вязкости эта производная не только не дос­
тигает значения, определяемого соотношением (10.27), но оказыва­
ется даже меньше 21t.
Выше было показано, что эффект вязкости проявляется в умень­
шении с�а вследствие вытесняющего влияния пограничного слоя.
Чем больше угол 2't, тем значительнее снижение
Особенно
это заметно, когда поверхность шероховатая.
На основании экспериментальных
данных (рис. 10.9) было получено сок
отношение для расчета производном
Re =
коэффициента подъемной силы про­
филя в вязком газе:
с�а
с�а .
108
,____
0,8
0,7 0,04 0,08 0,12 0,16 tg't
Рис. 10.9.
L..---JL-----'--'--L�--'
о
Влияние угла заост­
рения профиля у задней кром­
ки и числа Re на параметр К
v
С�а вяз = 1,05Кс�а•
К = с�авяз/ с�а ; с�а -
(10.28)
где
производ­
ная, определяемая по формуле (10.27).
Согласно данным, приведенным
на рис. 10.9, и формуле (10.28), про­
а
изводная суа
увеличивается с рос-
вяз
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжимаелtом потоке
499
том числа Re. Это объясняется тем, что с увеличением Re умень­
*
шаются толщина пограничного слоя 8 и толщина вытеснения 8 , а
значит, влияние вязкости снижается. При увеличении числа
его
рост все в меньшей степени влияет на с�авяз.
Угол а0 зависит от формы средней линии профиля и практи­
чески не зависит от его толщины. Если профиль симметричный,
то
и, согласно второму уравнению
а0
В этом
случае кривая Суа
(см. рис.
проходит через начало коор­
динат.
Для определения
в первом приближении можно рекомендо­
вать зависимость
Re
f(x) = О
10.8)
(а)
(10.26), = О.
а0
ао =-2f.
При линейной зависимости коэффициента момента тангажа относительно переднеи кромки от угла атак.и его можно определить
по одной из следующих формул:
v
mz =m�(a-a0"i); mz =mzoa. + т�а; mz =mz0 +m�Y0cya• (10.29)
угол атаки, при котором mz =О; mzoa.
где т� = dm/da; а0111
коэффициент момента тангажа при а = О (m a. = - т� а0111); mzo коэффициент момента тангажа при
= О (совпадает с коэффици­
ентом момента тангажа относительно аэродинамического фокуса
по углу атаки); mzya = dmzfdcya
·
Сравнивая выражения (10.29) с ( 10.23) и (10.24), находим
1
J
7t
df
)
(
1t
х
тzа. = - -2 '· mzo = -2 0 dx [cos8 + cos (28)]d8, (10.30)
т. е. mzo зависит от формы профиля. Следовательно, искривлением
средней линии профиля можно получить необходимое значение mzo·
Для расчета mzo можно рекомендовать соотношение
mzo =-1tf.
-
-
z0
суа
с
При изменении угла атаки положение аэродинамического фо­
куса на хорде профиля не меняется. Его безразмерная координата
относительно носка профиля определяется выражением
-XFa. = а.;Са.уа.
С учетом соотношений (10.26), (10.30) получаем
-mz
XFa. =0,25.
(10.31 )
1 О. Аэродинамика крыльев
500
Таким образом, теоретически
0,25
фокус профиля при малой дозву/
0,20
ковои скорости независимо от его
2 i
0,10
толщины и вогнутости находится
о 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 ё на расстоянии, равном 0,25 длины
хорды от передней кромки. При
Рис. 10.10. Зависимость положения фокуса профиля по углу атаки используемых на практике значе­
ниях с и f действительное по­
от его относительном толщины :
1 профиль с большим углом заост­ ложение фокуса мало отличается
рения у задней кромки; 2 то же от теоретического (рис. 10.1 О).
с малым углом заострения
Безударным является такой ре­
жим обтекания, при котором по­
ток, набегающий на моделирующую профиль среднюю поверхность,
не огибает переднюю кромку, а разделяется на ней на верхний и
нижний. Угол атаки и коэффициент подъемной силы, при которых
обтекание является безударным, называют оптимальными и обо­
значают аопТ> Суаопт·
Вычисляя аэродинамические характеристики профиля, погон­
ную интенсивность вихрей представляют в виде ряда Фурье (см.
выражение (10.20)). В этом случае скорость возмущений на перед­
ней кромке средней поверхности, моделирующей профиль, опре-
XF
a.
v
v
-
-
деляется слагаемым 2V00Aotg(0/2),
n
1 J df (х)
d0.
где Ао =а--
Если
1t
0 dx
А0 * О, скорость возмущений стремится к бесконечности и поток
огибает переднюю кромку. Следовательно, безударное обтекание
профиля реализуется только в случае, когда А0 = О, т. е. при угле
атаки
аопт
.!.
= J df(x)
1t
1t 0
dx
de.
(10.32)
(
Подставляя аопт в соотношение 10.25) и учитывая формулу
( 1 0 2 ), находим коэффициент подъемной силы, при котором обте­
кание профиля является безударным:
.
6
Суа
n
1J
(x
df
)
=
COS0d0.
-2
опт
(10.33)
0 dx
При безударном обтекании профиль имеет минимальное лобо­
вое сопротивление, поэтому стремятся, чтобы а0пт, Суа опт соответ­
ствовали расчетному режиму полета.
п
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжимае.лtом потоке 501
Соотношения (10.32) и (10.33) интегрально характеризуют фор­
му средней линии. Поэтому расчетные значения а0пт и Суа опт мож­
но получить, деформируя среднюю линию различными способами,
например отклоняя носки или закрылки. Для многих профилей
Суаопт = 0,1 f, где f - в %.
Рассмотрим безотрывное обтека­
ние идеальным газом элемента ци­
линдрического крыла бесконечного
размаха. Согласно теореме Жуков­
ского, на него действует только
подъемная сила ЛУа (рис. 10. 1 1 ). Раз­
ложим ее на составляющие ЛТ и ЛУ,
действующие соответственно вдоль
хорды вперед и перпендикулярно к Рис. 10.11. Определение подней. Составляющую ЛТ назовем под­ сасывающеи силы, деиствуюсасывающей силой. Считая газ идеальщей на профиль
ным, принимаем, что подсасывающая
сила является силои давления.
Таким образом, подсасывающая сила
это направленная вдоль
хорды вперед сила давления, действующая на элемент крыла беско­
нечного размаха при его безотрывном обтекании идеальным газом.
Коэффициент
v
v
v
-
Ст =
1.
лт
lffi
Лz�Oq00bЛz
--­
назовем коэффициентом подсасывающей cwzы (здесь Лz - элемен­
тарное изменение координаты). Нетрудно заметить (см. рис. 10. 1 1 ),
что при малом а
ЛТ= ЛУа а; ст= Суаа =
с;а/С�а .
Различают подсасывающую силу разрежения и изгиба. Пос­
ледняя возникает в результате вогнутости профиля и создается
разностью давлений, действующих на его верхнюю и нижнюю по­
верхности. Подсасывающая сила разрежения обусловлена скруг­
лением передней части профиля, на которой создается область по­
ниженного давления, т. е. она возникает вследствие разности дав­
лений, действующих на кормовую часть профиля и область вблизи
передней кромки. Подсасывающая сила разрежения отсутствует
только на режиме безударного обтекания.
При безотрывном обтекании профиля идеальным несжимаемым
газом его коэффициент лобового сопротивления сха = О. В реаль-
1 О. Аэродинамика крыльев
502
ном вязком газе возникают сопротивление трения и вызванное вяз­
костью сопротивление от давления. Поэтому в действительности
(рис. 10.12, а), когда угол атаки небольшой (cosa - \),
сха = cxf+ Лсхо + Лсхi•
где cxf - коэффициент трения профиля; Лсхо - составляющая ко­
эффициента лобового сопротивления от давления, не связанная с
суа; Лсхi составляющая коэффициента, зависящая от (суа - суа оnт).
-
Суа
Суа
Cxa min
D(Суа -Суаопт )
2
1,2
0,8
0,4 ,___ _
Суаопт
,._._
- _._
O t-__.
0,004
0,012
-0 4
_
_._
_
_
_
__._
_
'
а
СхаО
Сха
б
Рис. 10.12. Схема действующих сил (а) и поляра первого рода для профи­
ля (б) при расчете коэффициента лобового сопротивления
Представим выражение для определения коэффициента лобо­
вого сопротивления профиля следующим образом:
Сха= Cxa min + D(cya- Суаопт)2,
(1 0.34)
Сха min минимальный коэффициент лобового сопротивления,
Сха min = cxf+ Лсх0; D - коэффициент, зависящий от формы профи­
ля (определяют экспериментально).
Типичная зависимость коэффициента сха от Суа приведена на
рис. 10 . 1 2, б.
Коэффициент сха min определяется в основном силой трения.
В первом приближении он равен коэффициенту двухстороннего тре­
ния пластинки единичного размаха 2cxfnл с длиной, равной хорде Ь.
где
-
Но сопротивление трения профиля отличается от сопротивления
двухстороннего трения пластинки, так как, во-первых, у пластинки
и профиля разные характеристики пограничных слоев, а во-вто­
рых, - разные площади поверхностей. Кроме того, профиль испы-
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжил1аемол1 потоке 503
тывает еще вызванное вязкостью сопротивление давления. Эти фак­
торы учитывают, вводя коэффициент
и полагая
11с
Сха min = 2 Схfпл 11с,
где схfпл - коэффициент одностороннего трения пластинки в не­
сжимаемом потоке, равный для ламинарного пограничного слоя
для турбулентного с;j�л
= 1,3/.,/Re00 ,
с;J�л = 0,075/�Re00 ;
Re00 = V00ЬА
; ЬА - средняя аэродинамическая хорда профиля; 11с коэффициент, зависящий от относительной толщины с профиля и
положения_!ОЧКИ перехода хт .п (рис. 10.13) и практически не зави­
сящий от f. Приближенно можно полагать, что для ламинарного
пограничного слоя (:Хт.п = 1) коэффициент 11с 1, а для турбулент­
ного (хт.п = О) определяется зависимостью
/v
оо
=
11с = 1 + 2,7 С +100 С 4,
0,21.
где с <
При гладкой поверхности точка перехода лежит вблизи мини­
мума давления. Поэтому сха min можно уменьшить, сместив назад
сечения, где толщина и вогнутость максимальные (увеличив хе и
хf ) . Такие профили называют ламинаризованными.
Т\ с
0,1
1,3 1---+--+--:о!'<-,,,С.--:::1 0,2
0,3
Хт.п =О
0,4
1,2 1---+--+--+-���-1"'-:7""'--:::1 0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
о 0,02 0,04 0,06 0,08 о, 1 о с
Рис. 10.13. Зависимость коэффициента 11с от относительной толщины
и положения точки перехода
хт.п
(10.34),
Согласно формуле
минимальное значение коэффициен­
та лобового сопротивления профиля достигается при безударном
обтекании, когда Суа = Суаоnт· Учитывая это, профили проектируют
таким образом, чтобы на основном режиме обтекание было без­
ударным.
1 О. Аэродинамика крыльев
504
Физическая картина обтекания крыла конечного размаха.
Аэродинамические характеристики крьта
При малой дозвуковой скорости и небольшом угле атаки коэф­
фициент подъемной силы крыла любой формы можно весьма точно рассчитать по линеинои теории, пользуясь, например, методом
дискретных вихрей. Однако на начальной стадии проектирования,
при выборе формы крыла в плане, вида профиля и их основных
геометрических характеристик удобно использовать упрощенные
модели, позволяющие получать простые расчетные соотношения.
В соответствии с линейной теорией Суакрыл = с�акрыл(<Х. - <Х.о). По­
v
v
кажем, как изменяются величины с�акрыл и а.0 для крыла конечно­
го размаха по сравнению с соответствующими величинами для про­
филя. Рассмотрим сначала незакрученное прямоугольное крыло
большого удлинения с одним и тем же симметричным профилем
во всех сечениях (рис. 10.14).
Согласно теореме Жуковского, подъемная сила участка крь.1ла
единичного (Лz = 1) размаха Уа = р00V00Г (см. рис. 10.14, а). Следо-
а.
б
а
в
1
2
Рис. 10.14. Представление прямоугольного крыла конечного размаха сис­
а
в
-
-
темой эквивалентных вихрей:
схема участка крыла; б замена участка крыла присоединенным вихрем;
плъ
П-образная схема Ча
JГина: 1 присоединеннъ1й вихрь; 2 свободные вихри
-
-
-
10.2. Характеристики профиля и кры.ла в несжш1ае.л1ол1 потоке 505
вательно, вокруг профиля имеет место циркуляционный поток с цир­
куляцией скорости Г. Если циркуляция происходит по направлению
движения часовой стрелки, то на верхней стороне профиля скорос­
ти будут больше (на набегающий поток накладывается циркуляци­
онный поток с таким же направлением), а на нижней - меньше
(направления циркуляционного и набегающего потоков не совпа­
дают). Поэтому в соответствии с уравнением Бернулли давление
на верхней поверхности профиля меньше, чем на нижней, и подъем­
ная сила Уа направлена вверх, как показано на рис. 10.14, б.
Выше было показано, что участок крыла можно заменить про­
ходящим вдоль его размаха эквивалентным вихрем с напряжен­
ностью <;. Этот вихрь назван Н.Е. Жуковским присоединенным. Та­
ким образом, в гидродинамическом смысле крыло бесконечного раз­
маха эквивалентно присоединенному вихрю.
Рассмотрим теперь приближенную схему обтекания крыла ко­
нечного размаха прямоугольной формы в плане. Как установил
С.А. Чаплыгин, присоединенный вихрь вблизи боковых кромок по­
ворачивается и в виде пары вихревых жгутов уходит за крыло, при­
близительно совпадая с направлением скорости набегающего пото­
ка. Расстояние е (см. рис. 10.14, в) от вихревого жгута до боковой
кромки зависит от геометрических размеров крыла. Таким обра­
зом, гидродинамический эффект крыла конечного размаха может
быть получен путем замены его присоединенным и парой свобод­
ных вихрей, напоминающих букву П. Эта схема крыла называется
П-образной схемой Чаплыгина.
Вихревая система, эквивалентная крылу конечного размаха, ин­
дуцирует в несжимаемом потоке дополнительные скорости и этим
вызывает скос потока, свойственный обтеканию крыла конечного
размаха. В основе вычислений индуцированных скоростей и угла
скоса потока, вызванных свободными вихрями, лежат три теоремы
Гельмгольца.
1. Напряжение вдоль вихря не меняется по величине, и, как следствие, вихрь не может внезапно оборваться или окончиться острием.
2. Напряжение вихря не зависит от времени.
3. Вихрь в идеальной жидкости не разрушается.
В приведенной на рис. 10.14, в схеме прямоугольного крыла
циркуляция вдоль размаха принята постоянной в соответствии с
предположением, что подъемная сила каждого элементарного уча­
стка крыла одинакова. В действительности подъемная сила вдоль
размаха крыла изменяется. Это изменение невелико в средней час-
1О. Аэродинамика крыльев
506
ти крыла и более заметно у боковых кромок. Для крыла произволь­
ной формы в плане изменение циркуляции носит ярко выражен­
ный характер и обусловлено неодинаковыми размерами участков, а
следовательно, различными значениями подъемной силы.
Вихревую схему обтекания крыла с формой в плане, отличной
от прямоугольном, можно получить, если заменить крыло не одним П-образным вихрем, а их системой, образующей вихревую пе­
лену (рис. 10.15). Вдоль каждого вихря циркуляция постоянна, но
при переходе от одного вихря к другому изменяется. Для сечения,
расположенного в середине крыла (корневое сечение), подъемная
сила наибольшая, поэтому будут максимальными напряжение со­
ответствующего вихря и циркуляция.
Теперь посмотрим, какие изменения вносит скос потока, созда­
ваемый вихревой пеленой, в картину обтекания крыла, располо­
женного под углом атаки а �называемом также установочным уг­
лом) в потоке со скоростью V00• Появление скоса потока за крылом
на угол е приводит к тому, что его обтекание в рассматриваемом
сечении будет характеризоваться скоростью V00и и углом атаки аи,
�
-
-
отличающимися от соответствующих величин V00 и а, которые определяют течение около крыла бесконечного размаха. Истинный
угол атаки аи сечения крыла конечного размаха будет меньше ус­
тановочного на угол скоса, т. е <Х.и = а есеч·
-
г
Го
х
�
V.'
у
z
dГ
1
Рис. 10.15. Вихревая пелена (1) и свертывающиеся вихри (2) за крылом
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжимае.лtом потоке 507
v;
10.14,
Скорость
(см. рис.
в), индуцируемая вихревой пеле­
ной, изменяется вдоль хорды, что затрудняет расчет крыла. Однако
на крыльях большого удлинения эта скорость изменяется мало, по­
этому при их расчете используют гипотезу плоских сечений. В соответствии с этои гипотезои, во-первых, принимают, что скорость,
v
v
индуцируемая вихревои пеленои, по хорде не меняется, а во-вторых, считают, что коэффициент подъемной силы сечения равен ко­
эффициенту подъемной силы профиля, на который поток набегает
под углом атаки а.
Применив гипотезу плоских сечений, получим
v
v
-tсеч·
Суа сеч= С�а (а. - tсеч)
или после интегрирования по размаху крыла
Суа крыл = С�а (а. - tcp),
(10.35)
l /2
1
где tc =
J Eceчhceчdz средний угол скоса; l - размах крыла;
p s -l/2
S - его площадь в плане; Ьсеч - хорда в текущем сечении.
-
-
Наличие угла скоса приводит к изменению силового воздей­
ствия среды на обтекаемое тело. Если бы скос потока отсутство­
вал, то вектор аэродина�ической силы был бы перпендикулярен
направлению скорости V00 невозмущенного потока. При наличии
скоса вектор результирующей аэродинамической силы R будет ориентирован по нормали к направлению истинной скорости Vоои
В результате такого отклонения результирующей силы
(рис.
на угол
появится составляющая )( по направлению невозму­
щенного потока, которая называется индуктивным (вихревым) со­
противлением. Физически возникновение индуктивного сопротив-
-
10.16).
tcp
-7
Х·'
Рис. 10.16. Скос потока у крьmа и возникновение индуктивного
сопротивления
508
1 О. Аэродинамика крыльев
ления обусловлено потерями части кинетической энергии движу­
щегося крыла, затрачиваемой на образование сходящих с его кро­
мок вихрей. Для малых углов Еср это сопротивление определяется
согласно выражению (см. рис. 10.16)
}( = Yatcp·
Соответствующий коэффициент индуктивного сопротивления
схiкрыл = 2Х; /(Рооv!, S) = Суакрылtср '
а из треугольника скоростей V00, v"°" ' v;cp получаем
v;cp
tg €ер "" €ер =
voo
(10.36)
•
В теоретической аэродинамике для крыльев с эллиптическим рас­
пределением циркуляции Г по размаху (в этом случае скос потока по
размаху постоянен) определено выражение для средней индуциро­
ванной дополнительной скорости за крылом конечного размаха/:
v; cp = 2Г/(rtl).
Поскольку
то циркуляция
Суа крылVooS
Г = -----
2/
Тогда в соответствии с формулами (10.36) и (10.37) имеем
Суа крыл
rtЛ
'
(10.37)
(10.38)
где л = l2/s - удлинение крыла.
Таким образом, коэффициент индуктивного сопротивления
(10.39)
Схiкрыл = с;акрыл /СrtЛ ).
Найдем теперь производную с�акрыл для прямоугольного кры­
ла конечного размаха, подставив в выражение (10.35) средний угол
скоса потока, определяемый соотношением (10.38):
Суа крыл
а. ( а. - tcp ) = Суа.аа. - Суа
а.
Суа крыл = Суа
1tA '
или
10.2. Характеристики профиля и крыла в несжи.маемолt потоке 509
Суа кр ыл
[1 + C�a/(rt/..,)] = С�аа.
�акрыла, окончательно имеем
С учетом того, что Суа крыл = с
а
а
Суа
.
кры
л
а
у
l+ с�а /Стт/..)
С
(10.40)
Это соотношение справедливо для нестреловидных крыльев
большого удлинения. Заменив в нем в соответствии с теорией скольЖеНИЯ Суа на Суа COSX0,5• получаем формулу ДЛЯ расчета Суакрыл
стреловидного крыла большого удлинения:
а
а
а
а
cosx0,5
Суа крыл
1 + суа cosx0,5/(nf..)
где Хо 5 угол стреловидности по линии 0,5 хорд.
а
'
суа
(10.41)
'
а
-
Для треугольных крыльев малого удлинения
предложил использовать формулу
(/.., < 1) Р. Джоне
С�а крыл = тт/../2,
(10.42)
которая справедлива и для прямоугольных крыльев малого удли­
нения.
Для трапециевидных крыльев больших и малых удлинений
Д. Кюхеманом получено следующее выражение:
а
С
уа
Суа крыл
с�а /Спt..) + 1/cos2 x0,5 + [с�а /Сттt..)]2
а
(10.43)
Для того чтобы учесть влияние формы крьmа на скос потока и
индуктивное сопротивление, зависимости (10.38)-(10.40) представляют в следующем виде:
f.cp =
акрыл ( + 't)
у п/.., l ;
с
2акрыл �
С
у
+ u);
(1
Сxi крыл =
rt/..,
а
уакрыл
С
(10.44)
(10.45)
(10.46)
1О. Аэродинамика крыльев
510
где 't = 5,88't 1 (m)'t2(11); О = 20,41о1(т)о2(11); т = Лlа0; а0 = с�а ; 11 =
= ЬоfЬк - сужение крьmа; Ь0, Ьк - корневая и концевая хорды.
В общем случае для крыла, составленного из несимметричных
профилей, имеем
а.
)
а.
ао(
о
---'
"'суакрыл = -+-"'--'
( 1 0.47)
1 ао (1 + 't)/(7tЛ.)
Значения 't и о для прямоугольных (11 = 1) и трапециевидных
крыльев приведены ниже:
Прямоугольные крылья (17 = 1)
1, 5
1
1,25
т . . . . . . . 1/2 3/4
0,076
8 . . . . . . . . 0,019 0,034 0,049 0,063
0,20
0,14
0,22
't . . . . . . . .
0,10
0,17
1,7 5
0,088
0,24
•
Трапециевидные крылья
Т)
8
't
...............
1
. . . . . . . . . . . . . . . 0,049
. . . . . . . . . . . . . . . 0,17
*
413
0,026
0,10
Данные получены при условии,
что
2
0,011
0,03
4
0,016
0,01
00
0,141
0,17
т = 1.
Для крыла эллиптической формы 't = О, о = О.
Из формулы (1 0.47) следует, что для вычисления Суа крыл надо
кроме с�а крыл знать еще а.0. Простых формул для расчета этого
угла нет. Поэтому а.0 находят с применением, например, метода дис­
кретных вихрей. В случае плоского крыла а.0 = О.
Рассмотрим теперь, как зависит производная с�а крыл трапецие­
видного крыла от его формы в плане. Расчеты и эксперимент пока­
зывают, что значение с�а от 11 практически не зависит и определя­
ется в основном удлинением и углом стреловидности.
С увеличением Л. значение с�а крыл возрастает, поскольку при
этом уменьшается роль перетекания через боковые кромки. Это
следует и из формул (1 0.40)-(10.43). В то же время рост угла
стреловидности приводит к снижению с�акрыл · Это связано с уве­
личением эффекта скольжения, который заметно проявляется при
больших удлинениях и незначительно - при малых. Поэтому стре­
ловидность существенно снижает с�акрыл крыльев больших удлинений и практически не влияет на с�а крыл крыльев малых удлиv
нении.
Производная с�а крыл крыла обратной стреловидности равна про­
изводной того же крыла при обращенном движении.
1О.3. Аэродинамика крыла в сжш1ае,11ол1 дозвуковом потоке
511
Лобовое сопротивление крыла конечного размаха складывается
из профильного и вихревого (индуктивного) сопротивлений:
Сха крыл = Сха + Cxi
(здесь сха - коэффициент лобового сопротивления профиля).
Профильное сопротивление представляет собой сумму сопротивлении от трения и давления, вызванных вязкостью и отрывом
потока. Для расчета сха можно рекомендовать следующую зависи­
мость:
v
Сха
= 2cxf (0,93 + 2,8с )(1 + 5с М� ).
Вихревое, или индуктивное, сопротивление является сопротив­
лением от давления. Оно возникает в результате образования вих­
ревой пелены за крылом и может быть определено, например, по
формуле ( 10 .45).
10.3. Аэродинамика крыла в сжимаемом дозвуковом потоке.
Учет сжимаемости среды при докритических скоростях
Расчет аэродинамических характеристик
Для исследования обтекания тонкого профиля, расположенного
под малым углом атаки в сжимаемом дозвуковом потоке, использу­
ют уравнение (7.45), в котором М00 < 1 (в данном параграфе индекс
«а», характерный для поточной системы координат, опущен). Запи­
шем это уравнение в новой системе координат Ох0у0, в которой
(10.48)
хо = х ; у0 = у �1 - М � ; <p0 = <p'yV000/V00 ,
где у - некоторый произвольный параметр; V000 - скорость услов­
ного потока (фиктивная скорость), в общем случае отличающаяся
от скорости V00 заданного течения.
В результате получим уравнение Лапласа для определения по­
тенциала скоростей <р0 несжимаемого потока в плоскости Ох0у0:
а2 <ро а2<ро о
- .
+
2
2
дхо
дуо
Таким образом, задачу об обтекании заданного профиля сжи­
маемым потоком можно решить, используя результаты решения за­
дачи об обтекании некоторого видоизмененного профиля несжи­
маемым потоком с фиктивной скоростью V000. Установим соотно-
1 О. Аэродинамика крыльев
512
шения между соответствующими параметрами обтекания профилеи сжимаемым и несжимаемым потоками, а также их геометрическими характеристиками. Согласно (10.48), скорости возмущения
v;0 в несжимаемом и v; в сжимаемом потоках связаны между
собой следующим образом:
v
' дq>о
vхо
-
Vooo -v ' Vooo
дq>'
(10.49)
'Y v - x'Y v
дХо дХ 00
00
Из выражения (10.12) находим коэффициенты давления в несжи­
маемом и в сжимаемом потоках соответственно:
_
Рнс
_
= -2v;o/Vooo ;
р = -2v;/v00 •
Следовательно, с учетом (10.49)
Рнс
(10.50)
= "(р.
Поскольку
а также с учетом выражения (10.50) для коэффициентов подъемной
силы и момента тангажа получаем
где х0 =х01 Ь; х = х/ Ь.
Для определения соотношений между формами профилей и уг­
лами атаки установим вначале связь между вертикальными состав­
ляющими скорости. Согласно выражениям (10.48),
v'0
у
=
дq>о
дуо
=
'
дq>
'У
ду �1 -М �
Vooo
V00
=
'
V
'У
у �1-М�
Vooo
V00
(10.51)
несжимаемом потоке при условии, что у0 j0(x0), для профиля
можно записать
=
В
v;o
V000 + v;0
или, учитывая, ЧТО v;O << VooO•
dyo
dx0
10.3. Аэродиналtuка крыла в сжимаемом дозвуковолt потоке
513
Аналогично для профиля в сжимаемом газе имеем
v;;voo =dy/dx.
Следовательно,
v;0 V00 dy0 dx
v; Vooo dy dxo
Принимая во внимание выражения (10.48) и (10.51), находим
dy0/dy = r/�� - м: .
При условии, что для у = О величина у0 = О, после интегрирования
получаем уравнение, связывающее вертикальные координаты фик­
тивного и заданного профилей:
у0 = уr/�1- м� .
(10.52)
же время, поскольку горизонтальные координаты профи­
лей не меняются (см. выражение (10.48)), углы атаки можно пред­
ставить так:
анс = y0j(b'-x) и а = yj(b'-x),
где Ь' расстояние до задней кромки профиля вдоль оси Ох; х
горизонтальная координата точки (рис. 10.17).
В
то
-
-
Уо
у
Ао
А
Уо
о
о
Ь'
<Хне
х
хо
а
б
Рис. 10.17. Профили в маловозмущенных несжимаемом (а) и сжимае­
мом (б) потоках (А, А0 точки полного торможения)
-
Следовательно, в соответствии с (10.52)
Предположим, что произвольный параметр у= 1. Тогда
1 О. Аэродинамика крыльев
5 14
Р = Рис;
(10.53)
Таким образом, если коэффициенты давления в соответствую­
щих точках тонких профилей, расположенных в сжимаемом и не­
сжимаемом потоках, равны, то в сжимаемом потоке профиль должен быть тоньше, чем в несжимаемом, в �1- М� раз и во столько
же раз меньше угол атаки.
Рассмотрим случай, когда у= �1 - М� а значит,
,
р = Рис /�1 - М� ; у = уо; а=аис ;
С = С аи
у с !�1-М � ; mz = mzиc l�1-М � .
уа
( 10.54)
соответствии с полученными результатами у двух одинако­
вых профилей, расположенных под одним и тем же углом атаки,
коэффициенты давления в соответствующих точках профилей, а так­
же коэффициенты подъемной силы и момента в сжимаемом потоке
будут больше, чем в несжимаемом, в i/�1 - М� раз. Следовательно, сжимаемость приводит к увеличению давления и подъемном
силы. Коэффициент 1/ �1 - М� называется поправкой на сжимае­
мость Прандтля - Глауэрта, а зависимость
В
v
(10.55)
известна как формула Прандтля - Глауэрта. Ее можно рассматри­
вать в качестве первого приближения при расчете коэффициента
давления в сжимаемом потоке по соответствующему значению Рис.
Более точные результаты, относящиеся к утолщенным профилям и
увеличенным углам атаки, получаются при использовании форму­
лы Кармана - Тзяна:
-1
2
М
оо Рнс
(10.56)
р = Рнс �l-M002 +
1 + �1-М � 2
Применение формул (10.55) и (10.56) для р приводит к весьма
большой погрешности при определении коэффициента давления в
10.3. Аэродиналtuка крыла в сжимаемом дозвуковолt потоке
515
точке полного торможения, где скорости и, следовательно, местное
число Маха равны нулю. Например, для этой точки, где Роне = 1,
расчет по формуле (10.55) дает при М00 = 0,8 значение р0 =1, 67, а
по формуле (10.56) - р0 = 1,26 вместо действительного значения
1, 17.
точке полного торможения коэффициент давления Ро =
= 2(р0 p00)/(kp00M� ) для произвольных чисел М00 < 1 вычисля­
ют по соотношению
В
-
k/(k-1)
2
Ро = 2
kM
-1
00
При М00 < 1 выражение в круглых скобках можно представить в
виде ряда, в котором сохранены первые три члена:
2 2-k 4
_ _ 1 моо
Ро - + 4 + 24 м
оо ·
Полученная зависимость пригодна для достаточно широкого диа­
пазона значений О :::; М00 :::; 1.
Для расчета аэродинамических характеристик профиля при до­
критических скоростях М00 < Мкр можно рекомендовать выражения,
полученные С.А. Христиановичем:
сL
С
н
уа
Суа =
;
�1 - М�
где L = 1 + О,05М00 /М кр ·
2
2
Коэффициент лобового сопротивления тонкой пластинки (с = 0)
в сжимаемом потоке можно рассчитать по формуле Федяевского:
Сха =
�1 +О,2М�
Расчет аэродинамических характерисп�ик крыла
Рассмотрим безотрывное обтекание установившимся равномер­
ным дозвуковым потоком невязкого газа тонкого слабоизогнутого
крыла конечного размаха. Угол атаки а полагаем малым, поскольку
в этом случае возмущения, создаваемые крылом в потоке, малы и
задачу можно решать в линеинои постановке.
v
v
1 О. Аэродинамика крыльев
516
Пусть у = f(x, z) - уравнение средней поверхности крыла
(рис. 10.18); S- проекция крыла на его базовую плоскость; Sпел проекция вихревои пелены на ту же плоскость.
В линейной постановке в сжимаемом газе потенциал <р скоростеи возмущения удовлетворяет уравнению
v
v
(l-M2 ) д 2<р д2<р д2<р = 0
оо
+
+
(10.57)
'
дх2 ду2 дz2
которое должно выполняться всюду вне крыла и вихревой пелены,
образующейся за ним.
у
у =f(x, z)
у
z
z
""""'
S .
пел-.
. .._
х
х
Рис. 10.18. Моделирование обтекания крыла в линейной постановке
Чтобы найти потенциал <р, необходимо наряду с уравнением
(10.57) рассмотреть четыре граничных условия.
1. Нормальная к поверхности крыла составляющая относитель­
ной скорости равна нулю (условие непротекания):
1 д<р
voo ду
дj(x,z)
а. +
дх
-- = -
.
(10.58)
На острой задней кромке крыла скорость конечна (гипотеза
Чаплыгина - Жуковского):
2.
д<рн = д<рв = О.
дх дх
Свободные вихри, образующие вихревую пелену за крылом,
расположены по потоку, поскольку только в этом случае на них не
действуют аэродинамические силы и они не меняют свою форму с
течением времени. При решении задачи в линейной постановке сво­
б_9дные вихри имеют вид прямых, параллельных вектору скорости
V или составляющих с ним небольшой угол а..
3.
00
1О.3. Аэродинамика крыла в сжш1ае,11ол1 дозвуковом потоке
517
4. На большом удалении от крыла и вихревой пелены возмуще­
ния должны исчезать:
дq> =О
R�oo дх R�oo ду R�oo дz '
lim
�=
lim
�=
lim
где R минимальное расстояние от рассматриваемой точки до крыла или вихревои пелены.
Введем новые координагы и потенциал возмущенных скоростей:
-
v
Хне = х/�1 - М� ;
Уне =у; Zнс = z;
</) =
"f<Рнс•
(10.59)
где у некоторая константа.
Перейдя в соотношениях (10.57), (10.58) к новым переменным,
получим вне поверхности S + Sneл и на поверхности S соответ­
ственно
-
(10.60)
д<i>нс = -а.+ 1 = дf(x,z) .
v"° дунс
�1 - м:, дхнс
'У
-
----;:
=
:: =
----
(10.61)
Остальные граничные условия имеют такой же вид, как и в исходнои системе координат.
Из уравнения (10.60) и граничных условий следует, что в новои системе координат потенциал возмущенных скоростеи определяется так же, как в несжимаемой среде. Следовательно, задачу
определения аэродинамических характеристик крыла при больших
дозвуковых скоростях можно свести к задаче расчета этих харак­
теристик в несжимаемой среде. При этом необходимо рассмот­
реть новое деформированное крыло. Согласно (10.59), линейные
размеры крыла в направлении осей Оу и Oz не изменяются. Кры­
ло деформируется только в направлении оси Ох. Размах и толщи­
на крыла при этом постоянны (рис. 10 . 19). С учетом приведенных
на рис. 10.19 размеров, а также выражений (10.59) можно запи­
сать
v
v
v
Ьонс = Ь0 /�1 - М� ; Ьк нс = Ьк /�1 - М� ;
lнс =l; Sнс =S/�1-М:, .
(10.62)
518
1 О. Аэродинамика крыльев
о
о
l
а
х
б
Рис. 10.19. Линейные размеры исходного (а) и деформированного (б) кры­
льев при расчете аэродинамических характеристик крыла в сжимаемом
дозвуковом потоке
Отсюда заключаем, что безразмерные геометрические параметры
трапециевидного исходного и деформированного крыльев связаны
между собой следующим образом:
А.нс = Л.Jl - M� , 11нс =11, tgXo нc = tg x0 /J1-M� . (10.63)
Найденные соотношения являются критериями подобия при об­
текании тонких крыльев простой формы в плане дозвуковым пото­
ком газа (М00 < Мкр)· В случае крыльев сложной формы (например,
с изломом по передней кромке) для расчетов параметров деформи­
рованного крыла следует использовать выражения (10.59).
Связь между коэффициентами давления в соответствующих точ­
ках исходного и деформированного крыльев оказывается такой же,
как и у профиля:
На основании формул (10.2), (10.8) и (10.31) получаем
(10.64)
Суа крыл =Суа крылнс /Jl -M� ;
(10.65)
тz крыл =mz крылнс /Ji -M� ; XFa = ХFанс ·
Выражения (10.64) и (10.65) связывают аэродинамические ко­
эффициенты исходного крыла в сжимаемой среде и деформирован­
ного крыла в несжимаемой среде и применимы при М00 < Мкр·
1О.4. Аэродинал1ика профиля и крыла при околозвуковых скоростях
519
Порядок определения аэродинамических характеристик крыла
при больших дозвуковых скоростях следующий. Сначала по гео­
метрическим параметрам исходного крыла и соотношениям (10.63)
рассчитывают геометрические параметры деформированного кры­
ла. Затем вычисляют аэродинамические характеристики этого кры­
ла в несжимаемом газе. После этого, используя выражения (10.65),
определяют аэродинамические характеристики исходного крьmа.
10.4. Аэродинамика профиля и крыла
при околозвуковых скоростях
Картина обтекания
Известно, что околозвуковыми принято называть скорости, со­
ответствующие 0,8 < М00 < 1,2. Однако чтобы связать аэродинами­
ку крыла при до- и околозвуковых скоростях, рассмотрим особен­
ности обтекания и аэродинамические характеристики крыла в бо­
лее широком диапазоне 0,3 ::; М00 ::; 1,2.
Пусть имеет место безотрывное обтекание профиля крыла доз­
вуковым потоком (М00 < 1) при угле атаки а * О. Покажем, как ме­
няется физическая картина обтекания, а следовательно, и аэроди­
намические характеристики профиля при возрастании числа М00•
Чтобы понять физическую сущность влияния числа М00 на аэроди­
намические характеристики, надо помнить, что при обтекании лю­
бого тела, в том числе и профиля (см. рис. 10.2, а), воздушный
поток вынужден проходить сужающе-расширяющийся канал, по­
добный соплу Лаваля, стенками которого являются, с одной стороны, поверхность тела, а с другои - условные границы вдали от
тела, где его влияние практически уже не ощущается. Минималь­
ное сечение канала (струйки), которое называется критическим, при­
ходится на место максимальной толщины профиля. Это сечение раз­
деляет профиль на две части: носовую, на которой снижение дав­
ления (разрежение) способствует уменьшению сопротивления за
счет подсасывающей силы, и хвостовую, где падение давления (раз­
режение) приводит к увеличению сопротивления. Распределение
давления по передней и задней частям профиля формирует основ­
ные аэродинамические силы: подъемную (практически полностью)
и силу лобового сопротивления (без учета трения).
Следует заметить, что сжимаемость воздуха на силу трения влия­
ет слабо во всем диапазоне чисел М00, приводя лишь к монотонно�
1О. Аэродинамика крыльев
520
му незначительному уменьшению коэффициента сxf при увеличе­
нии М00• Напротив, сила от давления весьма существенно зависит
от М00, особенно в трансзвуковом диапазоне при переходе от дозвуковых скоростеи к сверхзвуковым, чем и определяется в основном
влияние числа М00 как на подъемную силу, так и особенно на лобо­
вое сопротивление (вследствие волновой составляющей).
При весьма малых числах М00 < 0,3 ...0,4 (V << а) сжимаемость
воздуха проявляется слабо и основные уравнения аэродинамики
можно анализировать, полагая плотность воздуха постоянной. Тог­
да в сужающемся канале в соответствии с уравнением расхода ско­
рость будет возрастать, а давление, в соответствии с уравнением
Бернулли, падать. На переднюю часть профиля за исключением не­
большой области вблизи критической точки будет действовать по­
ниженное давление (подсасывающая сила), способствующее умень­
шению лобового сопротивления. В расширяющемся канале на хво­
стовой части происходит обратная картина: скорость уменьшается,
а давление возрастает. Распределение давления по всему профилю
таково, что результирующая сила практически не дает составляю­
щую лобового сопротивления. В рассмотренном диапазоне малых
чисел Маха, пока не сказывается сжимаемость воздуха, картина
распределения коэффициента давления по профилю качественно и
количественно сохраняется неизменном, отчего все аэродинамические характеристики в указанном диапазоне чисел М00 постоянны
(рис. 10.20, 10.21).
Заметное влияние сжимаемости начинается с М00"" 0,4...0,5. Суть
его состоит в том, что вместе с давлением начинает изменяться и
v
v
р
�--�--�--��
0,4 <Моо < Мкр
1 ._
.._
_
_
__._
_
_
_,_
_
_
_,_
_.
_
_
Рис. 10.20. Влияние сжимаемости на распределение коэффициента
давления при обтекании профиля
10.4. Аэродинш.tuка профиля и крыла при околозвуковы.х скоростя.х 521
плотность воздуха, что приводит к дополнительному росту скорос­
ти и снижению давления. В результате на большей части верхней
поверхности профиля растет разрежение, возрастают подъемная
сила, а следовательно, и производная с�а (см. участок 1-1' на
рис. 10.21, а). Однако такое изменение давления влияния на сопро­
тивление практически не оказывает (см. рис. 10.21, б), так как дей­
ствует в основном перпендикулярно продольной оси профиля.
о .__�..____,.,....�����-'-�
2 Моо
0,4 Мкр Мкру
а
1
0,04
"'-.:---
0,02
о
/
Мкр М*
1
2
б
Моо
-
ХF� ..------т--.---.
0,50 iт---t
--p-
)
0,25 l--'f'<-++---1
_
_
_.__
__,
о .___
..__
...._
Мкрl
в
2
Моо
Рис. 10.21. Влияние числа М00 на аэродинамические характеристики
профиля
Поскольку в рассмотренном диапазоне чисел М00 распределе­
ние давления по профилю практически не меняется качественно, а
лишь количественно, то координага аэродинамического фокуса так­
же не изменяется и фокус находится там, где в соответствии с рас­
пределением давления расположен пик нагрузки, т. е. вблизи мак­
симальной толщины профиля. Следовательно, у большинства кры­
ловых профилей фокус при дозвуковых скоростях находится на
расстоянии примерно четверти хорды от носка (см. рис. 10.21, в).
Качественное изменение распределения давления и всех аэро­
динамических характеристик начинается с момента, когда в наибо­
лее узком сечении струйки местная скорость обтекания V стано-
1О. Аэродинамика крыльев
522
вится равной местной скорости звука. Соответствующие этому мо­
менту скорость невозмущенного набегающего потока и число Маха
называются критическими и обозначаются Vкр и Мкр·
Дальнейшее увеличение скорости перед профилем (М00 > Мкр)
приводит к тому, что в расширяющеися части струики газ начинает
двигаться со сверхзвуковой скоростью, а вблизи профиля образует­
ся зона местных сверхзвуковых скоростей со значительным разре­
жением.
Поскольку за профилем скорость потока дозвуковая, местная
сверхзвуковая область замыкается скачком уплотнения, близким к
прямому (рис. 10.22, а). За скачком поток снова становится дозву­
ковым. У симметричного профиля при а = О местные сверхзвуко­
вые зоны возникают в области максимальной толщины профиля
как над верхней, так и под нижней его поверхностями. При поло­
жительном угле атаки обычно вблизи верхней поверхности профи­
ля индуцируются большие скорости, чем у нижней. Там раньше
проявляется влияние сжимаемости и более интенсивно растет раз­
режение. Поэтому при а > О местная сверхзвуковая зона возникает
сначала вблизи верхней поверхности. (При а = О несимметрия по­
тока, обтекающего верхнюю и нижнюю поверхности, обусловлена
несимметрией самого профиля.)
С ростом числа М00 сверхзвуковая область расширяется и замы­
кающий ее скачок смещается к задней кромке. Поскольку в этой
области разрежение увеличивается, это приводит к росту коэффи­
циента Суа (см. участок кривой J'-2 на рис. 10.21, а). При некотоv
V<a
v.
оо
plpo = l
:-.
.·:
·
..-
С
.А
::· .: ·
.
рlро
V=a
1---
D
1 /'.V.
. .> .a_
. 1
.·
·
.
1 г-��--1t-:-��71"--J
,'
'
",
·
··: ·
.
- ·-·-·-·-·
v
:
V< а
в
'·
·
, " :. ·.
.
. "
.
,
,
,
,
0,5
N
tГ\
с
00
,
,'""-з
1
с
•
1 1 2
с
3
а
о
0,5
1
б
х
Рис. 10.22. Картина обтекания идеальным газом симметричного профиля и
соответствующая эпюра давления (а), а также изменение относительного
давления по хорде профиля (б) при околозвуковой скорости в случае а О:
1 - распределение давления в случае, когда в сечении С-С V00 =а; 2 - то же при
V00 >а;
- то же на скачке и за ним
=
3
10.4. Аэродинал1ика профиля и крыла при околозвуковых скоростях 523
ром числе Маха сверхзвуковая область возникает и у нижней по­
верхности.
С увеличением М00 эта область
расширяется, замыка-v
v
v
ющии ее скачок смещается к заднеи кромке, но движется к неи
быстрее, чем скачок на верхней поверхности. Поэтому зона раз­
режения растет снизу быстрее, чем сверху, и коэффициент Суа
уменьшается (см. участок 2-3 на рис. 10.21, а).
Число М00, при котором коэффициент суа достигает максимума,
а производная dcya/dM00 становится отрицательной, называют кри­
тическим числом Маха по Суа и обозначают Мкр,v· Отметим, что в
случае ЛА нормальной схемы снижение суа проq:1иля крыла с рос­
том М00 приводит к пикированию аппарата.
После того как нижний скачок достигает задней кромки, даль­
нейшее увеличение числа М00 сопровождается расширением сверх­
звуковой зоны только на верхней поверхности. При этом коэффи­
циент Суа растет (см. участок 3-4 на рис. 10.21, а). При М00 = 1 оба
скачка стабилизируются на задней кромке.
Процесс возникновения и развития местных сверхзвуковых зон,
начиная от Мкр и до М00 = 1, когда заканчивается формирование
головнои и хвостовои ударных волн, называется волновым кризисом. При волновом кризисе происходит качественное изменение
распределения давления, заключающееся в том, что вместе с рас­
ширением сверхзвуковых зон и перемещением местных скачков
уплотнения к задней кромке профиля смещается назад и пик аэро­
динамической нагрузки (см. рис. 10.20). Рассмотрим, как это отра­
жается на основных аэродинамических характеристиках.
Аэродинамический фокус xFcx на профиле после Мкр сильно
смещается назад. Это происходит в диапазоне 1/4". 1/2 хорды (см.
рис. 10.21, в). Затем, после М00 = 1, когда устанавливаются голов­
ной и хвостовой скачки уплотнения и распределение давления ста­
билизируется, координата аэродинамического фокуса остается при­
мерно постоянной.
Смещение аэродинамического фокуса назад при переходе на
сверхзвуковую скорость характерно не только для профиля, но и
для любых ЛА и их отдельных частей. Этот факт явился еще од­
ной, не менее серьезной причиной наличия звукового барьера, по­
скольку смещение
аэродинамического
фокуса
назад
вызывает
пикирующииv момент.
Образование местных сверхзвуковых областей и скачков уплот­
нения приводит к появлению волнового сопротивления. Чтобы по­
нять, как оно возникает, рассмотрим простейший случай безотрыв�
�
524
1 О. Аэродинамика крыльев
ного обтекания идеальным газом симметричного профиля при а = О
(см. рис. 10.22).
До тех пор, пока поток всюду дозвуковой, профиль в идеаль­
ном газе не испытывает сопротивления. В передней критической
точке А давление равно давлению торможения р0. В сужающейся
части струйки (на участке АС) поток разгоняется, давление падает, а
в расширяющейся частиv на участке СВ скорость уменьшается, давпение растет и на заднеи кромке становится равным давлению торможения р0. В итоге давление, действующее на лобовую часть про­
филя, уравновешивается давлением, действующим на кормовую часть,
и лобовое сопротивление не возникает. Кривая 1 на рис. 10.22, б
иллюстрирует распределение давления в предельном случае, когда
в сечении С-С скорость движения газа почти равна местной скоро­
сти звука и лобового сопротивления еще нет.
С увеличением М00 в сечении С-С устанавливается постоянная
скорость, равная скорости звука, а давление равно критическому
р/р0 = 0,528 (для k = 1,4). За этим сечением поток становится сверх­
звуковым, что кардинально меняет распределение давления. На уча­
стке CD давление уже не растет, а падает, так как в расширяющей­
ся сверхзвуковой струйке скорость возрастает. Давление снижается
вплоть до скачка, где оно возрастает, но не достигает значения, на­
блюдаемого в случае, когда скачка нет.
При переходе через скачок скорость становится дозвуковой, по­
скольку он практически прямой. Поэтому на участке DB, где струйка
расширяется, давление растет. На задней кромке (В - задняя кри­
тическая точка) оно становится равным давлению Роек за скачком,
которое меньше давления торможения невозмущенного потока р0.
Уменьшение давления на кормовой части профиля (см. заштрихо­
ванную область на рис. 10.22, а) и создает волновое сопротивление.
С ростом М00 скачок смещается назад, давление на кормовой части
уменьшается и волновое сопротивление возрастает. Волновое со­
противление повышается и при увеличении угла а.
На сверхзвуковых скоростях (М00 > 1) коэффициенты с�а и сха'
как правило, монотонно убывают (см. рис. 10.21, а, б), а координа­
та фокуса xFa. остается постоянной (см. рис. 10.21, в).
При обтекании крьmа ЛА реальным
вязким воздухом у его поv
v
верхности возникает пограничныи слои, в котором частицы воздуха сильно заторможены. Вблизи стенки их скорость меньше скоро­
сти звука, а на поверхности - равна нулю. Поэтому в реальных
условиях скачок не доходит до стенки (рис. 10.23). Повышение дав-
10.4. Аэродинал1ика профиля и крыла при околозвуковых скоростях 525
1
V<a
2
Рск> Р
Рис. 10.23. Образование Л-образного скачка:
1 основной скачок; 2 условная граница пограничного слоя; 3 допол ель­
-
ный косой скачок; 4 область оторвавшегося потока за скачком
-
-
нит
-
ления за скачком приводит к возникновению в дозвуковоиv части
пограничного слоя течения навстречу основному потоку. Погранич­
ный слой перед скачком «вспухает», а за скачком при определен­
ных (критических) перепадах давления на скачке отрывается от по­
верхности. Отклонение невязкого течения на внешней границе по­
граничного слоя перед скачком вызывает торможение сверхзвукового
потока, которое может сопровождаться появлением дополнитель­
ного косого скачка. Вместе с основным косой скачок образует так
называемый Л.-образный скачок (см. рис. 10.23). В области отрыва
потока, расположенной между скачком и кормовой точкой профи­
ля, давление не растет. Оно оказывается еще меньше, чем при об­
текании профиля невязким потоком со скачком уплотнения. Это вы­
зывает появление дополнительного сопротивл ения отрыва, являю­
щегося также сопротивлением от давления.
Критическое число Маха
Число Маха набегающего
на профиль невозмущенного потока,
v
при котором в некоторои точке местная скорость впервые становится равной местной скорости звука, называют критическим чис­
лом Маха профиля и обозначают Мкр ·
Местная скорость потока достигает скорости звука там, где она
при малых скоростях набегающего потока была максимальной, а
давление - минимальным, поэтому число Мкр профиля связывают
с минимальным коэффициентом давления Pmin на его поверхно­
сти при малых скоростях. Значение Мкр профиля можно найти по
526
1О. Аэродинамика крыльев
-1,1 \
-0 9 \.
-0,7 "
-0,5 "\.._"
['....
-О 3
....r--.
... ..
-0,1 0,6 0,7
Рис. 10.24.
теоретической кривой Христиановича
(рис. 10.24), зная распределение коэф­
фициента давления р по контуру про­
филя в потоке малых скоростей.
Только при М00 > Мкр у поверхно­
сти профиля появляется область тече­
ния, в которой скорость превышает
скорость звука и возникает волновое
0,8
0,5
сопротивление. Однако пока Мк р <
< М00 < М,.. скачок очень слаб и не ока­
Зависимость кри­
зывает заметного влияния на распре­
тического числа М00 профиля
деления скоростей, давлений и лобо­
от минимального коэффицивое
сопротивление.
При
М00
>
М,..
вол­
ента давления в несжимаемом
новое сопротивление профиля резко
потоке
растет. Число М* (второе по Христиановичу критическое число Маха) оп­
ределяют как число М00 начала нарастания лобового сопротивле­
ния (см. рис. 10.21, б), для которого
Лсха = 0,002
или
P пlln нс
,
,
Для профилей различных форм значение м. при суа = О можно
найти из формулы
3,s �1 - м;
,
с =0,3 1 (10.66)
s + м;кв
м*
где с относительная толщина профиля средней хорды крыла;
Мэкв - эквивалентное число Маха, Мэкв = 1 ... 1,15.
Число Мэкв зависит от формы профиля и характеризует протя­
женность области сверхзвукового потока в условиях, соответству­
ющих началу повышения лобового сопротивления. С увеличени­
ем Суа ЧИСЛО М* уменьшается. Для расчета М* при Суа °* 0 МОЖНО
также применить формулу (10.66), но значение Мэкв при этом
следует уменьшить на О,25суа· Этот прием следует использовать
при Суа < 0,7.
Числа Мкр и М* крыла конечного размаха зависят от его формы
в плане. Уменьшение удлинения крыла вызывает падение скорос­
тей и разрежения на его верхней поверхности. Поэтому чем мень­
ше удлинение крыла, тем больше Мкр и м
2
•.
213
10.5. Аэродиналtuка профиля и крыла при сверхзвуковых скоростях 527
На эти числа сильно влияет стреловидность крыла. Как будет
показано в § 10.6, относительная толщина и угол атаки профиля в
сечении, перпендикулярном переднем кромке скользящего крыла,
больше соответствующих величин профиля в сечении по потоку в
1/cos р раз (где Р - угол скольжения). Поскольку скорости в пер­
пендикулярном сечении определяются числом М1100 = M00cos р, то
местная скорость на скользящем крыле достигнет местной скорос­
ти звука, когда М1100 = М11 кр· Поэтому критическое число Маха сколь­
зящего крыла Мкр = М11 кр/соs р, где М11 кр критическое число Маха
нескользящего крыла (профиля) при a11=a/cos Р и с11 = с /cos р.
Следовательно, вследствие эффекта скольжения у стреловидных
крыльев Мкр ДОЛЖНО быть больше, чем у нестреЛОВИДНЫХ, НО ЗНа­
ЧИТеЛЬНО меньше, чем у скользящих (при Р = х0). Это связано с
нарушением эффекта скольжения в корневых и концевых сечениях
крыла, а также искажением характера обтекания стреловидного кры­
ла, вызванным фюзеляжем. Для реального крыла всегда Мкр < 1 .
Для приближенного расчета числа м* стреловидного крыла при
Суа = О можно использовать формулу
�
-
1
0,3
с =-- м" cos х
·
М" M*cosx
---
1/3
5 + (М" cosx)
12
5+ Мэкв
2/3
3,5
2
' (10.67)
где Х - угол стреловидности по линии 1/4 хорд. Чтобы учесть влия­
ние подъемной силы на значение М*, параметр Мэкв в формуле
( 10.67) нужно уменьшить на 0,25cyafcos2x.
10.5. Аэродинамика профиля и крыла
при сверхзвуковых скоростях
Линеаризованная теория сверхзвукового обтекания
Общие подходы к расчету аэродинамических характеристик про­
филя и крыла, рассчитываемые параметры, уравнения, граничные
и начальные условия при сверхзвуковом обтекании в целом оста­
ются такими же, как и при дозвуковом. Решение задач сверхзвуко­
вого обтекания упрощает тот факт, что граничные условия с беско­
нечности смещаются на первый по потоку скачок уплотнения или
первую линию слабого возмущения при реализации течения рас­
ширения над носовой частью тела (возмущения от тела в простран-
1 О. Аэродинамика крыльев
528
ство перед этими линиями в сверхзвуковом потоке не распростра­
няются), т. е. существенно сужается пространство, в котором следу­
ет исследовать поведение функций газодинамических переменных.
Облегчает расчеты и применение модели Прандтля, в соответствии
с которои поток возле тела делится на две части: пограничныи слои,
в котором учитывается влияние вязкости, и поток вне этого слоя,
где среда принимается идеальной. Определив для идеального газа
во всем пространстве возле тела распределение давления по поверх­
ности тела (принятое постоянным по толщине пограничного слоя),
вычисляют газодинамические переменные в пограничном слое с
использованием уравнении для вязкого газа.
При расчете аэродинамических характеристик крыла, обтекае­
мого идеальным газом, наибольшее распространение получили ме­
тоды, основанные на линейной теории. Они дают приемлемые ре­
зультаты и не требуют больших затрат машинного времени. Как и
при дозвуковых скоростях, в линеинои постановке потенциал <р скорости возмущения удовлетворяет уравнению (10.57). С учетом, что
М00 > 1 , можно записать
1
1
1
v
v
v
v
v
v
д <р - д <р - д <р о.
)
=
(м�
-1
дх2
ду2
дz2
Методы определения аэродинамических характеристик крыла
можно подразделить на три группы:
1) аналитические (метод характеристик, сочетание теории скач­
ков уплотнения и волн разрежения, метод местных пластин);
2) эмпирические, основанные на результатах обработки аэродинамических характеристик крыльев разнои геометрии с использованием параметров подобия;
3) численные.
Рассмотрим применение линеаризованной теории сверхзвуко­
вого обтекания к расчету аэродинамических характеристик профи­
ля крьmа.
v
Расчет п�онкой пластинки в сверхзвуковом поп�оке
при отсутствии физико-химических превращений
Рассмотрим простейший профиль крыла в виде тонкой пластинки, установленнои в сверхзвуковом потоке под углом атаки а
(рис. 10.25). У ее передней кромки сверхзвуковой поток разделяет­
ся на две не влияющие одна на другую части: верхнюю (над плас­
тинкой) и нижнюю (под нею). Поэтому сверхзвуковое обтекание
каждои стороны можно исследовать независимо.
v
v
10.5. Аэродинш.tuка профиля и крыла при сверхзвуковых скоростях 529
Уа
�
V"(M")
D
2
-
-
Рис. 10.25. Схема сверхзвукового обтекания тонкой пластинки:
1 веер волн разрежения; 2 скачки уплотнения
Рассмотрим верхнюю сторону пластинки. Течение здесь пред­
ставляет собой плоский сверхзвуковой поток, обтекающий поверх­
ность, которая образует с направлением невозмущенного тече­
ния угол, больший 180°. Такой поток впервые был исследован
Л. Прандтлем и Т. Майером и носит название течения Прандтля Майера.
Это течение является изоэнтропическим, поэтому давление тор­
можения не меняется, т. е. Ров = р000 . Угол поворота потока извес­
тен и равен а, в связи с чем из выражения
ro(M в ) = ro(M °" ) + а
k):
находим число Маха Мв на верхней стороне пластинки, а давление
рассчитываем по газодинамической функции 1t(Мв,
( k- 1 М2)в
Здесь
Рв = 1 +
2
k
k-1 Рооо·
На нижней стороне пластинки образуется присоединенный ска­
чок уплотнения 2 (см. рис. 10.25), поэтому расчет можно вести с
1 О. Аэродинамика крыльев
530
использованием теории скачков уплотнения. Угол скачка определя­
ем из соотношения
{k+ l)M�sin 2 0cк
tg{0cк -а) 2+{k-l)M�sin2 0cк '
tg0cк
_
а давление и число Маха - по формулам
Рн - 2k М2 Slll. 2 0ск
k -1 ,
р00 k +1 k+1
{k-l)M�
+2
2kM�
-(pнf Poo)(k+1)-k +1 .
мн =
2
( Pн/Poo)(k + l) + (k2 -1)(Pн/P00 ) + (k + 1)2
_
-
В случае малого угла атаки а течение в окрестности пластинки
будет маловозмущенным, и для расчета можно воспользоваться ре­
зультатами линейной теории. Как было показано в § 10.2 и 10.3,
коэффициент давления можно рассчитать, зная приращение скоро­
сти течения вдоль оси Ох0:
p =-2v;/v00•
Для малых углов поворота потока при замене веера волн разре­
жения и скачка уплотнения линией Маха (характеристикой) с углом
µ00
1
ctg � 2
=
Моо
М00 -1
1
.
= arcs1n
ar
эта скорость может быть получена из соотношения для характери­
стик в плоскости годографа скорости, взятого в конечных разно­
стях (см. гл. 7):
ЛVjV + tgµЛ� = 0.
Принимая для маловозмущенного потока
находим
1
tgµ = tgµ oo = �
'
м200 -1
а
+
V
V'/ оо - �
·
м2 - 1
Х
00
Подставляя
выражение:
v;, для коэффициента давления получаем следующее
10.5. Аэродинамика профиля и крыла при сверхзвуковых скоростях
531
2а
В случае течения разрежения v; >О, р <О, а для течения сжа­
тия v; < О, р > О. В соответствии с этим на верхней стороне плас­
тинки, наклоненной под малым углом атаки а, коэффициент дав­
ления
2а
(10.68)
а на нижней -
Рн =
2а
�М� - 1
·
(10.69)
Если длина пластинки L, а ее ширина принята за единицу, то
сила от давления R = L( р - р8). Следовательно, подъемная сила
Уа = R cos а, сила лобового сопротивления Хар = R sin а, а соответ­
ствующие коэффициенты суа = Уа / (q00L) и схар = Хар /(q00L). Вво­
дя коэффициенты давления на верхней Рв = (р8 - р00)/q00 и на ниж­
ней Рн = ( Рн - р00)/ q00 сторонах пластинки, получаем
н
(10.70)
Составляющая Хар силы лобового сопротивления от давления,
возникающая при сверхзвуковом обтекании пластинки и вызван­
ная образованием ударных и простых волн возмущения, называет­
ся волновым сопротивлением, а ее коэффициент схар = схвол ко­
эффициентом волнового сопротивления. Это сопротивление не рав­
но нулю даже в случае идеальной (невязкой) среды.
Аэродинамическое качество К = суа /схар = ctg а пластинки яв­
ляется функцией только угла атаки. Ввиду равномерного распреде­
ления давления по поверхности пластинки центр давления распо­
ложен на ее середине. Следовательно, относительно передней кром­
ки момент силы от давления М = -RL/2, а соответствующий
коэффициент момента тангажа
mz = M z /(q00L2 ) = -(pн - р6)/2.
(10.71)
Для пластинки, расположенной в маловозмущенном (линеари­
зованном) потоке, коэффициенты давления на верхней и нижней
поверхностях определяются выражениями (10.68) и ( 10.69). В со­
ответствии с этим разность коэффициентов давлений
-
z
1 О. Аэродинамика крыльев
532
4а
Рн - Рв = 2
�м -1
в формулы (10.70) и
(10.72)
·
(10.72)
Подставив
получим
Суа
=
4а
�М� -1
;
со
4а2
(10.71), для малых а
-2а
(10.73)
Расчет тонкого профиля в маловозмущенном сверхзвуковом
потоке
Численные методы позволяют весьма точно рассчитать аэроди­
намические характеристики профиля. Но на предварительной ста­
дии проектирования ЛА важно иметь простые формулы, связываю­
щие аэродинамические характеристики с геометрическими парамет­
рами профиля и режимом полета. Такие формулы можно получить,
применяя методы, основанные на упрощенных моделях. Одним из
них является метод местных пластин.
Рассмотрим тонкий слабоизогнутый профиль с острыми кром­
ками, установленный под малым углом атаки. Воздух будем счи­
тать идеальным.
В соответствии с методом местных пластин коэффициент дав­
ления на поверхности профиля принимают равным коэффициенту
давления на пластине, касающейся поверхности профиля в рассмат­
риваемой точке и обтекаемой невозмущенным потоком. Согласно
рис. 10 .26, угол между направлением набегающего потока и плас­
тиной 1 - вогнутый, а пластиной 2 - выпуклый. Поэтому на верх­
ней поверхности профиля реализуется течение разрежения, а на
нижней - уплотнения. Для верхней и нижней поверхностей коэф­
фициент давления можно рассчитать по формулам (10.68) и (10.69)
соответственно.
На рис. 10.26 видно, что ен = а + Лен, ев = а + лев. В рамках
линейной теории можно считать, что ле н = -dyнfdx; лев = -dyв/dx,
где Ун= Ун(х); Ув = Ув(х) - уравнения нижнего и верхнего контуров
профиля. С учетом этого находим
dyв/dx2(a-dyн/dx)
а)
2(
Рн =
; Рв =
.
�М� -1
�М� -1
_
(10.74)
10.5. Аэродинш.tuка профиля и крыла при сверхзвуковых скоростях 533
у
х
Рис. 10.26. Расчет аэродинамических характеристик профиля методом
местных пластин:
1, 2 - пластины, касающиеся нижнеrо и верхнего контуров профиля соответствен­
но; 0н, 08 - углы поворота потоков, набегающих на пластины 1 и 2 соответственно
В соответствии с (10.3) коэффициент нормальной силы профиля
ь
Су = - f (Рн - Рв )dх.
1
ьо
После подстановки выражений (10.74) с учетом, что
ь
ь
o dx
o dx
dун
dx = dув dx
= О,
J
J
получаем
Су =
4а ;
�М� - 1
(10.75)
При малых значениях угла а
а
а
суа - с · с - су ·
;
Следовательно, в рамках принятых допущений для симметричного
профиля коэффициенты су, Суа• с , с�а не зависят от формы про­
филя. Кроме того, при а = О коэфq>ициенты су = суа = О, т. е. а.0 = О.
-
а
у
У
'
1О. Аэродинамика крыльев
534
случае профиля с закругленной передней кромкой этот вы­
вод, строго говоря, не обоснован, но отступления от указанной за­
кономерности незначительны и во многих случаях ими можно пре­
небречь.
Коэффициент лобового сопротивления содержит две составля­
ющие: коэффициент профильного сопротивления сха пр и коэффи­
циент волнового сопротивления сха вол:
В
Сха = Сха
пр+ Сха вол ·
Коэффициент профильного сопротивления определяется влия­
нием вязкости и в первом приближении может быть принят рав­
ным коэффициенту трения профиля Сха пр = cxf= 2 cxaf'lм , где cxaf коэффициент одностороннего трения пластинки при М00 = О
(рис. 10.27); 11м - коэффициент, учить.1вающий влияние числа М00
на сопротивление трения (рис. 10.28).
2Cxaf· 10 3
�хт.п
.
··
о
Хт.п
l �!'..
�
W�/�
ь
�
!',
,
....
.._
�
'
о
6�
Г---о''
О '<. r'::::::r-...
::- . r-.
15 �'"-.._r:-.o
!'--.'
. '8
7
,з
'o,is��--
4
3
1'- 1 о
2
-...r-.
...
1
'...
'
о
1
'
-
. -r--.....
"- 'r--...._
. �. !'--.
.
r--..
..... '....'
.._ r--.
-...
r--..
10
--
�
-
-
100 Reoo · l0-6
Рис. 10.27. Зависимость удвоенного коэффициента сопротивления трения
при М00 = О
пластины от числа Re00 и координаты точки перехода
хт.п
11 м
0,8
0,6
0,4
0,2
о
�
1
-Хт.п
��'...
�'� -- ---- ... ,8
��...... ..-.... -...._.()..- о,6
Хт.1п = О1_:--оо,5,2
' '
'
'
'
,
�-
'
...
...
...
'
...
_
1
2
3
,
4
......
'
5 Моо
Рнс.10.28. Зависимость коэффициента
11м от числа М00 и координаты точки
перехода
хт.п
10.5. Аэродиналtuка профиля и крыла при сверхзвуковых скоростях 535
В соответствии с формулой (10.6) коэффициент продольной
силы от давления, действующей на профиль,
b
= .!.J - dув
dx
dун
Сх
Рв dx
Рн dx
·
р Ьо
Подставив в нее выражения для Рн , Рв, определенные по методу
местных пластин, получим
.!. b dув 2 dун 2 dx.
2
=
Схр
+
dx
dx
J
/ 2 -1 Ь о
vMoo
В поточной системе координат для идеального газа сха вол =
= сха +суа. Полагая для малых а су = суа• перепишем эту форму­
лу в следующем виде:
=
(10.76)
Сха л Схо вол+суаа,
коэффициент волнового сопротивления при Суа = О,
где схо
)
( ) ( )
вол
во
1 ( )1 ( )
-
dx.
dув
dун
_!.
1
Схо оол
(10.77)
+ dx
dx
Jм� -1 ь о
Сложив коэффициенты трения и волнового сопротивления с уче­
том соотношений (10.75), найдем коэффициент лобового сопротив­
ления профиля
Сха= Схао + Dcy2a•
где схаО = сха р + схо вл; D = О, 2sJм� -1.
Рассмотрим подробнее коэффициент сх0 Учитывая, что Ув =
= Уср + с/2, аун = Уср - с/2, из выражения (10.77) находим
2
=с
=
,Р
п
вол·
4
J
1
Сховол =
Jмоо -1 о
2
2
( )
.!. dc 2
+4
dx
d.X
'
(10.78)
где с текущая толщина профиля; х = х/ Ь относительная коор­
дината.
Из соотношения (10.78) следует, что схо вол зависит как от кри­
визны профиля, так и от его относительной толщины. Волновое
сопротивление профиля, не зависящее от подъемной силы, будет
минимальным, когда профиль симметричный, а его толщина мини­
мальная.
-
-
1 О. Аэродинамика крыльев
536
Если носок профиля затуплен, то коэффициент давления в но­
совой части можно
найти,
например,
по
методу
Ньютона
(см.
§
9.6),
а на остальноиv поверхности - методом местных пластин.
Используя безразмерные координаты Ун = Ун/с и Ув = Ув /с,
соотношение (10.77) можно представить в следующем виде:
-2
1 ( dун
2с
d
8
y
2
=
схОвол �м2 J dx J + ( dx J2
оо - 1
о
dX
=
4К -2
с
�м2оо 1
'
(10.79)
-
где К - коэффициент, зависящий от формы профиля. Отметим, что
формула (10.79) справедлива для всех профилей, в том числе и с
затупленным носком.
Коэффициент момента тангажа относительно носка профиля
можно найти с помощью соотношения (10.9), подставив в него вы­
ражения (10.74) для р8 и Рн · После преобразований получаем
d
1
d
yв
2
_
-=
=
=
=1
а+
Yн
c1.x+Jx
c1.x
Jx
=mzo
.!
_
cya•
z= :
2
dx
2
�м - 1 ь dx
где mzo - коэффициент момента тангажа при нулевой подъемной
ь
ь
о
о
т
силе.
Отсюда
(Х.
mz
=
-
2
�м: - 1 ·
(10.80)
Координата аэродинамического фокуса по углу атаки определяется соотношением
Использовав формулы (10.75), (10.80), находим безразмерную ко­
ординату аэродинамического фокуса по углу атаки относительно
носка профиля:
XFa = 1/2.
Таким образом, во всех случаях при сверхзвуковой скорости
аэродинамический фокус профиля располагается на середине хор­
ды, при этом для симметричного профиля координаты центра дав­
ления и фокуса совпадают (mzo = О).
10.6. Влияние стреловидности на характеристики крыльев
537
10.6. Влияние стреловидности на аэродинамические
характеристики крыльев
Прямоугольное крыло бесконечного размаха, передняя кромка ко­
торого не перпендикулярна направлению скорости набегающего по­
тока, называет'2_я скользящим (стреловиднът.м), а угол между векто­
ром с�орости V00 и его нормальной к передней кромке составляю­
щей Vп00 - углом скольжения (стреловидности) Х (рис. 10.29). Такая
передняя кромка называется также скользящ ей (стреловидно й).
1
1
Рис. 10.29. Скользящее крыло:
-
в
поверхность крыла; 2 профиль в сечении по нормали; 3 профиль сечении
по потоку
-
-
Рассмотрим некоторые особенности обтекания скользящих
крыльев. Найдем линии тока у поверхности скользящего крыла бес­
конечного размаха, движущегося в идеальной среде (рис. 10.30). Для
простоты примем, что профиль симметричный и угол атаки а = О.
Поток около таких крыльев можно разделить на два течения:
продольное (вдоль размаха крыла), характеризующееся скоростью
V't00 = V00 sinx, параллельной передней кромке, и поперечное, зави­
сящее от нормальной к этой кромке составляющей V,100 = V00 cosx.
Крыло возмущает поток. Обозначим касательную и нормаль­
ную составляющие скорости возмущенного потока у поверхности
1 О. Аэродинамика крыльев
538
�
V1
�
v
лт
�.
�
Vз
Voo
v'too
V,, з
�
Vz
�
�
�
Voo
/
1
лтв
а
:-лтн
б
Рис. 10.30. Линии тока на скользящем крыле:
а
- а = О; б - а > О; ЛТ - линия
тока; ЛТВ, ЛТН - линии тока на верхней
и нижней поверхностях соответственно
*
*
*
крыла v't и vn и будем считать, что vn нигде не достигает скорости звука. Касательная составляющая постоянна: V't V't00 const,
а v: в нормальном сечении меняется по потоку так же, как
при обтекании профиля в этом сечении. Складывая текущие V; и
V получаем суммарную скорость и находим линии тока (см.
рис. 10.30).
Распределение скоростей и давлений по крылу не зависит от
продольного течения, а обусловлено лишь поперечным обтеканием
со скоростью Vп00 V00 cosx. Характер этого обтекания, а значит, и
распределение давления изменяются в зависимости от формы про­
филя в сечении, перпендикулярном передней кромке крыла, и угла
атаки ап, измеряемого в этом сечении. Следовательно, аэродина­
мические характеристики профиля будут такими же, как у профи­
ля, принадлежащего прямому (нестреловидному) крылу, обтекае­
мому со скоростью набегающего потока vnoo под углом атаки ап.
*
=
=
-"
-"
�
,
=
10.6. Влияние стреловидности на характеристики крыльев 539
Таким образом, аэродинамические характеристики скользяще­
го крыла можно определить, если известны соответствующие ха­
рактеристики прямого крыла. При этом скользящее крыло нужно
рассматривать как прямое, повернутое на угол скольжения х. В этом
случае, очевидно, у скользящего крыла в нормальном сечении про­
филь такой же, как у прямого.
Профиль и угол атаки в плоскости, перпендикулярной передней
кромке, отличаются от профиля и угла атаки в сечении по потоку
(см. рис. 10.29). Хорда Ь11 в нормальном сечении и хорда Ь вдоль
потока связаны соотношением Ь11 = bcosx, поэтому относительные
толщина и кривизна профиля в нормальном сечении будут больше
соответствующих параметров в плоскости набегающего потока:
с11 = с/Ь11 = c/cosx ; fп = f/cosx.
(10.81)
Угол атаки а11 определяется из выражения
sin а11 = h/b11 = h/(bcosx) = sin a/cosx,
где а угол атаки в плоскости потока. Очевидно, при малых углах
атаки
-
ап = a/cosx.
(10.82)
Если в некоторой точке на профиле крыла при прямом обтека­
нии (без скольжения) со скоростью V00 коэффициент давления ра­
вен р, то при повороте крыла на угол Х коэффициент давления р11
в соответствующей точке будет таким же (в идеальном газе при
перемещении крыла вдоль образующей действующие на него силы
не изменяются), т. е.
2(рп Роо )
Poov; cos2 Х
-
_
2(р- Роо )
Poov;
соответствии с этим на профиле скользящего крыла коэффици­
ент давления, вычисленный по скоростному напору q00 =p00v; 1 2
набегающего потока,
В
(10.83)
Аэродинамические коэффициенты в связанной системе коорди­
нат (ось Ох направлена по хорде Ь11) в соответствии с (10. 2), (10.5),
(10.8) зависят от коэффициента давления на профиле, поэтому с
учетом (10.83) для профиля тонкого стреловидного крыла
2
тг:х, = mz cos Х
· (10.84)
540
1 О. Аэродинамика крыльев
При малых а в поточной системе координат
поэтому
с,хах = сха cos2 х; суах = сУХ.
Поскольку силу лобового сопротивления определяем не в направ­
лении составляющей V cos х, а в направлении скорости V набе­
гающего потока, то ее коэффициент
,
схах = схах cos Х = сха cos3 Х·
Окончательно получаем
суах = суа cos 2 x; схах = сха cos3 х; mzx = mz cos2 Х· (10.85)
Из формул (10.84) для сУХ и mzx следует, что коэффициент цен­
тра давления сцд = -mzx /сУХ при малых углах атаки не зависит от
угла скольжения, т. е.
сцд = - mz /сУ .
Представим сУоХ и суа в виде
суах = с�а (а-а0); суа =с��1 (а11 - а110).
(10.86)
Продифференцировав первое соотношение (10.85) по а и исполь­
зовав выражения (10.82) и (10.86), находим
(10.87)
С�ах =с��' cos х; ао = апо cos Х·
Выведенные формулы справедливы при любых числах Маха (ни­
как.не ограничения по числу М не накладывали). Но аэродинами­
ческие коэффициенты сха • суа и с��' зависят от М11 = Mcos х, по­
этому степень влияния скольжения на коэффициенты схах и Суах
также связана с числом Маха.
Рассмотрим скользящее крыло с заданным профилем (Ь, с , f
константы) при постоянном небольшом угле атаки а, но при раз­
ных углах скольжения Х и оценим, как влияет скольжение на его
аэродинамические характеристики при различных числах Маха.
В случае несжимае;wого потока лобовое сопротивление опре­
деляется в основном трением. Вклад составляющей схар очень мал,
и ею можно пренебречь. В то же время коэффициент трения от
скольжения не зависит. Поэтому в первом приближении можно счи­
тать, что скольжение не влияет на коэффициент лобового сопро­
тивления крыла бесконечного размаха, а несущие свойства ухуд00
00
-
1О.6. Влияние стреловидности на характеристики крыльев 541
шаются. При малой дозвуковой скорости производная с��� несколь­
зящего крыла (профиля) не зависит от числа Мп и, следовательно,
от угла х, т. е. можно считать с��' = 27t. Из уравнений (10.86) и
(10.87) находим, что с�ах = 27tcosx и суах = 27t(a- a0)cosx. Вид­
но, что с увеличением Х производная с�ах и коэффициент суах
уменьшаются. Неизменность коэффициента лобового сопротивле­
ния и уменьшение коэффициента подъемной силы влекут за собой
снижение аэродинамического качества.
Для стреловидного нескользящего крыла конечного размаха
(угол скольжения � = О) будем считать его половины скользящими
крыльями бесконечного размаха и полагать l�лl = l�nl = IXol, где �л•
�п - углы скольжения левой и правой консолей крыла; Хо - угол
стреловидности по передней кромке. Тогда при расчете его аэроди­
намических характеристик можно использовать соотношения
(10.85) -(10.87), полагая в них Х = Хо·
Видно, что при малой дозвуковой скорости увеличение угла
стреловидности снижает несущие свойства крыла (уменьшается
с�ах ). Одновременно несколько возрастает лобовое сопротивление
(вследствие повышения индуктивного сопротивления). Поэтому уве­
личение IXo l приводит к снижению аэродинамического качества. Это
справедливо в случае крыла как прямой, так и обратной стрело­
видности. Таким образом, при малых дозвуковых скоростях приме­
нять стреловидные крылья нецелесообразно.
При скольжении стреловидного крыла углы скольжения его по­
ловин разные:
�л = Хо + �; �п = -Хо + �'
где � - угол скольжения стреловидного крыла. Поэтому будут от­
личаться и коэффициенты подъемных сил. Так, на левой половине
а" COS (А1-' + Хо )'
а - Суа
Суа л = Суаал (а - аО ); Суал
а на правои �
Cyan = с�апСа - а.0 );
c�an = c�g cos(�-x0).
В результате при скольжении стреловидного крыла возникает мо­
мент крена, связанный с углом стреловидности:
М ХХ = m��q00Sl.
При прямой стреловидности (Хо > О) и � > О он отрицательный,
поскольку при этом Суа n > Суа а в случае � < О - положительный
л•
542
1 О. Аэродинамика крыльев
(при этом cya n < суал)· Следовательно, при Хо > О производная
т� < О.
Если же стреловидность обратная (Хо < О), знак момента крена
меняется: Мх:х > О при � > О и Мх:х < О при � < О. Поэтому при Хо < О
производная т� > О.
Из этого следует, что прямая стреловидность способствует со­
зданию поперечной статической устойчивости, а обратная - воз­
никновению поперечной статической неустойчивости.
Согласно линеаризованной теории, коэффициент давления на
профиле скользящего крьmа в дозвуковом сжuJwаемом потоке можно
получить из соответствующего коэффициента для того же крыла в
несжимаемой жидкости по формуле Прандтля - Глауэрта ( 10.64),
заменив в ней М00 на М00 cos х:
2 cos2 Х ,
Moo
'
Рх = Рхнс !vl
или с учетом (10.83)
-Рх = Рнс
- cos2 Х!v'1 - М002 cos2 Х.
Соответствующие аэродинамические коэффициенты будут оп­
ределяться соотношениями (10.84), (1 0.85), в правые части которых нужно подставить величину V�1 - м;, cos2 х . В частности, для
коэффициентов подъемной силы и продольного момента получаем
Суах = Суа COS2 х/�1 -М : cos2 Х;
mzx = mz cos2 х!�1 - м: cos2 х .
Из этих соотношений следует, что для тонких профилей коэффи­
циент центра давления сцд не зависит ни от угла стреловидности,
ни от сжимаемости (числа М00).
Применение скользящего крыла вызывает такой эффект обтека­
ния, который имел бы место при снижении скорости набегающего
потока от значения V00 до V00 cosx (или числа Маха от М00 до
М00 cosх). При этом, естественно, уменьшаются и местные скорос­
ти на профиле скользящего крыла, что в свою очередь, приводит к
снижению разрежения и, как следствие, к увеличению критического
числа Маха. Это число Маха может быть определено по известному
его значению Мкр для прямого крыла, имеющего ту же форму и угол
атаки, что и профиль скользящего крыла в нормальном сечении:
,
10.6. Влияние стреловидности на характеристики крыльев
543
= Мкр/ соsх,
поэтому крылья самолетов, летающих при больших дозвуковых ско­
ростях, делают стреловидными.
При изучении аэродинамики крыла, обтекаемого сверхзвуковым
потоком, важную роль играет характер его кромок. Различают до­
звуковые, звуковые и сверхзвуковые кромки.
Кромку крыла называют дозвуковой, если нормальная к ней со­
ставляющая скорости невозмущенного потока меньше скорости зву­
ка Vn < а. Легко видеть (рис. 10.31, а), что кромка является дозву­
ковой в том случае, если она лежит внутри конуса Маха, вершина
которого располагается на кромке. Действительно, в этом случае
нормальная к кромке составляющая скорости Vn меньше составля­
ющей скорости, нормальной к образующей конуса Маха, которая
всегда равна скорости звука а.
Кромку называют звуковой, если нормальная к ней составляю­
щая скорости невозмущенного потока равна скорости звука Vn = а.
В этом случае кромка сливается с образующей конуса Маха, вер­
шина которого располагается на кромке (рис. 10.31, 6).
Наконец, кромку считают сверхзвуковой, если Vn > а. На
рис. 10.31, в видно, что кромка будет сверхзвуковой, если она нахо­
дится вне конуса Маха, вершина которого лежит на кромке.
Мкрх
А
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
Хо
'
,
,
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
--+
Voo
а
--+
Voo
'
'
--+
Vп
б
а
а
в
Рис. 10.31. Крыло с дозвуковой (а), звуко­
вой (б) и сверхзвуковой (в) передними кром­
ками, а также на виде сверху (г)
544
1 О. Аэродинамика крыльев
Если крыло движется без скольжения, то характер кромки свя­
зан с ее углом стреловидности.v Действительно (рис. 10.31, г), в этом
случае нормальная к переднеи кромке составляющая скорости невозмущенного потока Vn = V00cosХо· Поэтому передняя кромка яв­
ляется дозвуковой при V00cos Хо < а, т. е. М00 < l/cos х0, звуковой при
Моо = l/cos Хо и сверхзвуковой при Моо > l/cos Хо·
От вида передней кромки зависят характер обтекания крыла и
значения аэродинамических сил, в том числе и лобового сопротив­
ления. Если кромка дозвуковая, то через нее происходит перетека­
ние воздуха с нижней поверхности на верхнюю. При этом у пере­
дней кромки возникает разрежение, уменьшающее лобовое сопро­
тивление. В случае сверхзвуковой кромки перетекания через
переднюю кромку нет.
Поскольку боковые кромки при отсутствии скольжения всегда
дозвуковые, через них происходит перетекание потока с нижнеи
поверхности на верхнюю, приводящее к образованию вихревой пе­
лены за крылом. В результате возникает вихревое сопротивление.
Рассмотрим расчет сверхзвукового обтекания стреловидного
крыла в каждом из этих случаев.
Если передняя кромка дозвуковая, то сопротивление и подъем­
законами дозвуковых vтечений, харакная сила будут определяться
v
теризующимися взаимодеиствием потоков на верхнеи и нижнеиv сторонах крыла, которое проявляется в перетекании газа из области
высокого давления в зону пониженного давления. При этом волно­
вые потери могут возникать только при сверхкритическом обтека­
нии (Мп00 > М00кр), когда на поверхности появляются скачки уп­
лотнения. Если мпоо < моокр • ТО скачки уплотнения и, следователь­
но, волновое сопротивление отсутствуют. Этот вывод относится,
естественно, к крылу бесконечного размаха. У крыла конечного раз­
маха волновые потери всегда имеют место, поскольку на обтека­
ние его боковых кромок оказывает влияние составляющая скорос­
ти V00 sin х. в результате чего проявляются сверхзвуковые свойства
течения и возникает волновое сопротивление. Для исследования та­
кого сопротивления следует применять трехмерную теорию сверх­
звукового обтекания.
Таким образом, при сверхзвуковой
скорости, когда кромка скольv
зящего крыла остается дозвуковои, скольжение уменьшает несущие
свойства и волновое сопротивление, составляющее большую часть
общего сопротивления. Поэтому крыльям ЛА, летающих на уме­
ренных сверхзвуковых скоростях, придают большую стреловидv
10.6. Влияние стреловидности на характеристики крыльев 545
ность. Но когда передняя кромка скользящего крыла становится
сверхзвуковой, картина меняется. В этом случае увеличение угла
скольжения приводит к росту производной с�а и коэффициента вол­
нового сопротивления сха
При сверхзвуковой передней кромке обтекание крыла можно
рассчитывать по формулам, полученным с использованием линеа­
ризованной теории сверхзвукового обтекания профиля и крыла.
Согласно выражениям (10.87), при любых скоростях
Са - Са sx
вол·
уа - уа"
,
где с�а производная коэффициента
подъемной
силы
скользяще­
С
О
го крыла; с�; производная коэффициента подъемной силы про­
филя при Мп.
С учетом соотношений (10.75) и выражения Мп = M00cosx по­
лучаем
-
-
4
саа =
у Jм� - l /cos2 x '
т. е. с ростом угла стреловидности Х (до тех пор, пока передняя
кромка не станет дозвуковой) коэффициент подъемной силы сколь­
зящего крыла увеличивается.
В соответствии с формулами (10.75), (10.76), (10.79) коэффици­
ент волнового сопротивления профиля в нормальном сечении
4а.2п + 4К сп2
сха =
Jм� -1 Jм� -1 ·
Подставляя зависимости (10.81) и (10.82) для а.п, сп, а также Мп =
= M00cosx, получаем
2
2
а.
z
4
сха =
.
+
2
2x
x
cos
cos
cosxJм� - l /cos2 x
Следовательно, коэффициент волнового сопротивления
4 (а.2 +кz2 )
схах =
.
Jм� -1/cos2 x
Легко убедиться, что при М00 = const, с = const рост угла Х при­
водит к увеличению коэффициента волнового сопротивления.
11. АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
При обтекании ЛА, аэродинамическая компоновка ко­
торых включает корпус, крыло, оперение, рул евые
устройства и т. д. , возникает взаимное влияние эле­
ментов планера, приводящее к изменению общ ей
структуры течения. Такое явл ение называется аэро­
динамической инт ерф еренцией. В этом случае сулша
аэродинамических сил и моментов, взятых отдельно
для крыла и корпуса, оперения и корпуса, корпуса, крыла и оперения или корпуса, крыла, оперения и рулеи,
не равна полной силе или моменту комбинации, состо­
ящей из этих элем ентов и представляющей единое це­
лое. В расчетах интерференционное влияние учиты­
вается введ ением так называемых коэффициентов
интерференции, определяющих дополнительные аэро­
динамические силы и моменты.
В главе рассмотрены физические процессы, связан­
ные со сложным обт еканием ЛА в цел ом, даны под­
ходы к расчету аэрод инамических коэффициентов
простейших комбинаций с учетом интерф еренцион­
ных эфф ектов.
v
11.1. Природа аэродинамической интерференции
При изучении аэродинамики ЛА в виде комбинаций тел вращения, крыльев, оперения и рулевых устроиств возникает сложная проблема учета аэродинамической интерференции между от­
дельными элементами этих комбинаций. В результате такой ин­
терференции сумма аэродинамических сил и моментов отдельно
взятых (изолированных) крыльев и корпуса, оперения и корпуса,
крыла и оперения или корпуса, крыла, оперения и рулеи не равна
полной силе или моменту комбинации, состоящей из соответству­
ющих элементов и представляющей собой единое целое.
v
v
11.1. Природа аэродинамической интерференции
547
Соединенные в единую конструкцию ЛА отдельно взятые его
элементы - корпус, крылья, оперение, рули - как бы теряют свои
индивидуальные аэродинамические характеристики и приобрета­
ют вследствие интерференции новые (рис. 11.1 )
.
r1v"'1 + 41:'>. + �
1
3
2
ф1
+
5
4
Рис. 11.1. Схема, иллюстрирующая понятие об интерференции между
телом вращения и установленными на нем элементами:
1 крылья; 2 оперение; 3 рули; 4 тело вращения; 5 ЛА
-
-
-
-
-
Как показывают результаты расчетов и экспериментальные ис­
следования, при одном и том же угле атаки нормальная и, следова­
тельно, подъемная силы крыла в присутствии корпуса увеличива­
ются по сравнению с изолированным крылом. Такое же явление
наблюдается и в отношении подъемной силы корпуса, соединенно­
го с крылом и изолированного.
Рассмотрим физическую сущность взаимного влияния тела вра­
щения и крыла, обусловливающего увеличение их подъемной (нор­
мальной) силы, полагая, что крыло расположено на удаленном от
носка цилиндрическом участке корпуса по схеме среднеплана. Пред­
положим также, что корпус и крыло тонкие и обтекание происхо­
дит под малым углом атаки (рис. 11 .2).
Известно, что возмущенный поток около тонкого тела вращения
можно получить в результате наложения на поле скоростей, возника­
ющее при продольном осесимметричном обтекании тела невозму­
щенным потоком со скоростью vxoo = vooCOS а v поля скоростей
дополнительного возмущенного потока, получающегося при попе­
речном обтекании этого тела со скоростью vУ"° = voosin а vооа.
При малых углах атаки поперечный поток является обычно до­
звуковым и для приближенного расчета поля скоростей можно вос­
пользоваться теорией потенциального обтекания круглого цилинд­
ра несжимаемым потоком, согласно которой при у = О
""
ОО>
""
Vy =aV00 (1 + R2/z2 ).
11. Аэродинамическая интерференция
548
а
Рис. 11.2. Схема поперечного обтекания (а) и изменение нормальной
составляющей скорости вблизи корпуса (6) и крыла (в)
В соответствии с этой формулой скорость поперечного потока
изменяется от VY = 2a.V00 на поверхности цилиндра (z = R) до
VY = VУо" = a.V00 вдали от него при z � оо (см. рис. 11.2). Если на
цилиндрическом корпусе установлено крыло, то при заданном угле
атаки а. оно омывается составным потоком, которыи можно получить путем наложения на невозмущенное течение дополнительно­
го потока, индуцируемого корпусом. Вследствие этого скорость на
поверхности крыла
Vy = a.Voo +a.Voo R21z2,
т. е. возникает дополнительная поперечная составляющая
v; = Vy -a.V00 = a.V00 R2jz2.
На возникновение этой добавочной скорости влияет вызываеv
мыи корпусом скос потока, угол которого
е = v; /voo = a.R2 /z2 .
Скос потока приводит к увеличению
местных
эффективных
углов
атаки в сечениях консолеиv крыла:
(11.1)
а.эф = a. + e = a. ( 1+R2/z2 ) .
Из выражения ( 1 1.1) следует, что эффективный угол атаки дости­
гает наибольшего значения в бортовом сечении консолей при z = R,
где !Хэф = 2а., и постепенно уменьшается при удалении от корпуса.
В концевом сечении крыла, где z = l, эффективный угол атаки
а.эф = a. ( 1 + R 2/l2 ) .
v
11.1. Природа аэродинамической интерференции
549
В результате увеличения местных углов атаки подъемная сила
консолей крыла при наличии корпуса больше, чем у изолированно­
го крыла. Крыло, в свою очередь, влияет на обтекание корпуса, поскольку возникающие повышенное давление на нижнеи поверхности крыла и разрежение на его верхнеи поверхности распространяются на корпус. Поэтому происходит перераспределение давления
и возникает дополнительная подъемная сила корпуса, обусловлен­
ная влиянием крьmа.
Для ЛА, представляющих собой комбинацию тела вращения,
крыла и оперения, следует учитывать интерференцию не только
между корпусом и крылом, но и между корпусом и оперением, ко­
торая по своей физической природе ей аналогична. Кроме того, не­
обходимо учитывать влияние скоса потока за крылом на оперение
(при переднем расположении на корпусе крыла) или за оперением
на крыло (при переднем расположении оперения по так называе­
мой схеме «утка»).
Влияние крыла на хвостовое оперение в сверхзвуковом потоке
наблюдается в том случае, если оперение располагается внутри ко­
нуса Маха (волновой поверхности), построенного для крыла, т. е.
если оно попадает в зону скошенного крылом потока (рис. 11.3).
Этот скос зависит от формы крыла в плане и положения точки, в
которои определяют параметры потока, в том числе угол скоса.
Рассмотрим крыло прямоугольной формы (рис. 11.4). Область
возмущенного течения, в которой проявляется влияние боковой
кромки на обтекание крыла, ограничена конусом Маха с вершиной
v
v
v
2
'
•
'
'
....
---"""
_
·-·-·
.
3
'
······'· -'i
/
· · ··· ·· ·"
',
·-
'
1
т-·-·
7··,
j \
/
""""""" ;r
L::::--....
µ оо
/
'
,"
4
Рис. 11.3. Зона влияния крьmа на оперение в сверхзвуковом линеари­
зованном потоке (заштрихованный участок):
1 крыло; 2 оперение; 3 конус Маха; 4 волновая поверхность, построенная
-
-
-
-
для крыла (огибающая конусов Маха)
11. Аэродинамическая интерференция
550
µоо= arcsin( l /Моо)
Рис. 11.4. Скос потока за прямоугольным крылом:
1
-
крыло; 2
-
конус возмущений (конус Маха)
в передней точке боковой кромки. Внутри конуса Маха воздух пе­
ретекает из области повышенного давления под крылом в область
пониженного давления на его верхней стороне. В результате поток
закручивается в вихрь, который и вызывает за крылом скос. Этот
скос направлен вниз во внутренней области конуса Маха, захваты­
вающей крыло, и в обратную сторону - в волновой зоне, располо­
женной вне крыла. В соответствии с этим на боковой кромке скос
потока равен нулю (см. рис. 11.4).
Если крыло соединено с телом вращения, то скос потока за кры­
лом иной, чем у изолированного крыла. В этом случае разность
давлении под крылом и над ним увеличивается, перетекание воздуха из области повышенного в область пониженного давления ста­
новится более интенсивным, а значит, увеличивается скос потока
как в наружной области, где он направлен вверх, так и во внутрен­
ней области, где он направлен вниз.
Если размах оперения меньше, чем размах расположенного пе­
ред ним крыла, то оперение находится в области, где скос потока
направлен вниз, и эффективный угол атаки оперения уменьшается.
Обозначив для данного сечения консоли оперения угол скоса Екрыл•
а установочный угол оперения (угол между хордой оперения и осью
корпуса) а0п (рис. 1 1.5), получим выражение для эффективного угла
атаки консоли
<lэф оп = а, + а.оп - Екрыл·
Уменьшение эффективного угла атаки приводит к снижению
подъемной силы и, как следствие, к уменьшению стабилизирую­
щего момента оперения.
�
11.2. Норл1альная сила для кол1бинации корпус - плоское оперение 551
1
2
Voo -
·--·-·-
т
4
1
-
Екр�
· -.
r
3
Рис. 11.5. Интерференция между крылом и оперением:
крыло; 2 оперение; 3 скошенный поток; 4 набегающий поток
-
-
-
В области оперения происходит торможение потока под дей­
ствием крыла и, как результат, уменьшение скоростного напора по
сравнению с невозмущенным течением. Это также необходимо учи­
тывать при определении аэродинамических характеристик обтека­
ния. Если оперение имеет размах больший, чем крыло, то часть
поверхности консоли попадает в область скоса потока, направлен­
ного вверх, и этим может быть компенсирован отрицательный эф­
фект от скоса потока вниз, выражающийся в уменьшении подъемнон силы.
�
11.2. Нормальная сила для комбинации
корпус - плоское оперение
Коэффициенты интерференции
Рассмотрим продольное движение ЛА для случая нулевого угла
крена. Согласно аэродинамической теории тонкого тела, нормаль­
ная сила оперения в виде пары плоских консолей, расположенных
на обтекаемом под малым углом атаки тонком корпусе, определя­
ется выражением
( 11.2)
где Уоп - нормальная сила изолированного оперения; оУоп(т) -до­
полнительная нормальная сила оперения, обусловленная влиянием
корпуса (тела).
Если изменение нормальной силы корпуса вследствие его ин­
терференции с оперением обозначить Л Уоп(т)• то суммарная нор­
мальная сила комбинации корпус - двухконсольное оперение
Ут-оп = Ут + ЛУт(оп) + ЛУоп(т) '
где Ут - нормальная сила изолированного корпуса.
( 1 1 .3)
11. Аэродинамическая интерференция
552
Зависимости ( 1 1 .2) и ( 1 1 .3) можно отнести также к ЛА с плю­
сообразным оперением. Обтекание такого аппарата без скольжения
аналогично обтеканию двухконсольной комбинации, поскольку верх­
ние консоли, имеющие вид очень тонких пластин, не изменяют ха­
рактер обтекания. Две последние составляющие в выражении ( 1 1 .3)
можно представить в виде
ЛУт(ол) = КтУол; ЛУ(ол)т = КолУол'
(11.4)
где Кт, Кол - коэффициенты интерференции корпуса и неподвиж­
ного оперения соответственно.
Рассмотрим аэродинамическую интерференцию применитель­
но к ЛА в виде комбинации корпус (тонкое тело) - оперение тре­
угольной формы, вносящих малые возмущения в обтекающий по­
ток. В современной аэродинамике это наиболее исследованная ком­
бинация и ее рассмотрение дает достаточно удовлетворительные
для практики результаты. В частности, для нее получены следую­
щие выражения для коэффициентов интерференции:
2
кОП
- -1)2 4
(
1t 5ni
=
1t
r;;2 - 1 2
\"rп
-2 - 1
r;;2 + 1 )2
-2
s,n - 1
s,n
,s,n
.
) +
arcs1n 2
(
1
1
.5)
;
_2
-2
s",
sm
2sm
s,I! + 1
( 1 1 .6)
где s,n = s", / r, r,11 = r / s,n (sт, r - соответственно размах консолей
и радиус корпуса).
Из выражений ( 1 1 .5) и (11.6) следует, что коэффициенты интер­
ференции являются функциями только отношения sm/r. Таким об­
разом, этот параметр (или обратная величина rls,n = 11 s,n ) пред­
ставляет собой основной критерий при оценке взаимного влияния
корпуса и крыла на нормальную силу (табл. 1 1 . 1 , рис. 1 1 .6).
Приведенные на рис. 1 1 .6 зависимости для коэффициентов Кол
и Кт получены при условии, что нормальная сила пары изолиро­
ванных консолей У0л = 2na(s,n - r)2 q, а коэффициент этой силы
Суоп = уоп /(Son qoo), где son - площадь консолей оперения.
Если отношение r / s", = О (корпус отсутствует), то К0п = l, а
Кт = О. Предположим, что радиус корпуса увеличивается и несу­
щие консоли становятся малыми, т. е. параметр r / s,n * О и возрас­
тает. При r / sm --7 l консоли при наличии корпуса развивают нор-
11.2. Нормальная сила для комбинации корпус - плоское оперение 553
Таблица 11.1. Значения коэффициентов интерференции К00 и Кт
для комбинации корпус - неподвижное оперение
в зависиl\1ости от отношения r/sm 1/sт
=
r/s,,,
коп
о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,000
1,077
1,162
1,253
1,349
1,450
1,555
1,663
1,774
1,887
2,000
кт
о
0,133
0,278
0,437
0,6 1 1
0,800
1,005
1,227
1,467
1,725
2,000
Сцдаоп(т)
Сцдат(оп)
Zцдаоп(т)
0,667
0,657
0,650
0,647
0,646
0,647
0,650
0,654
0,658
0,662
0,667
0,500
0,521
0,543
0,563
0,581
0,598
0,613
0,628
0,641
0,654
0,667
0,424
0,421
0,419
0,418
0,417
0,417
0,416
0,418
0,420
0,422
0,424
мальную силу, в два раза большую, чем
изолированное оперение, и, следова­
тельно, К00 = 2. Чем меньше размеры
консоли, тем все большая часть нормальнои силы оперения переносится
на корпус. Если значение параметра
r / sт --7 1, то на корпусе индуцируется
наибольшая подъемная сила и коэффи­
циент Кт = 2.
Экспериментально установлено, что О 0,2 0,4 0,6 0,8 rls,,,
полученные по формулам (11.5) и (11.6)
теоретические значения коэффициентов Рис. 11.6. Коэффициенты ­
для плоской
интерференции зависят от сужения опе­ терференциикорпус
- крыло
рения 1100, характеристик погранично­ комбинации
при отсутствии крена
го слоя, а также места расположения
оперения относительно носовой части.
Для уточнения их значений вводят поправочные множители v11, v0.c,
v/ соответственно. Коэффициенты интерференции в этом случае це­
лесообразно вычислять с помощью следующих зависимостей:
�
ин
( 1 1 . 7)
11. Аэродинамическая интерференция
554
= 1 + [rm(l - rп1)/(1 + r,n)2 ] Сl - 1/11оп ); vп.с = l - rn1(l + r� )x
x[r,11 +11оп (1 + Зr,11) -1]8* /(11оп + 1); vl =Кт/Кт теор = Коп /Коп теор =
= [0,6+ (1 + О,2/1)2 ]/[1 + (1 + О, 2/1 )2 ] ; 8"' = 81*/r; 8; - толщина вы­
теснения; /1 = l1 / r (рис. 11. 7).
где
VТJ
r
S�п
Ьо
Рис. 11.7. Схема для определения влияния пограничного слоя
на интерференцию
-*
Относительную толщину вытеснения 8 определяют с помощью зависимостеи для пограничного слоя, начинающегося от носовой части корпуса. При этом в качестве расчетной принимают
толщину 81 в точке с координатой l1 = х0п +О, 5Ь0, т. е. в средней
части бортовой хорды оперения.
�
*
Аэродинамические характеристики
В соответствии с выражениями
нормальная сила комбина­
(11.4)
ции корпус - плюсообразное оперение при отсутствии крена
Ут-оп = ут +(Кт + Коп)Уоп '
а соответствующий коэффициент нормальной силы
(11.8)
Сут-оп =Ут-оп /(Sоп qоо )=сут +(Кт +Коп)Суоп·
Представим нормальную силу корпуса в виде Ут = 2a1tr2 q00, а
нормальную силу изолированного оперения как У0п = 2a1t(s111 - r) 2 q00•
Одновременно выразим сумму коэффициентов интерференции за­
висимостью
11.2. Нормальная сила для комбинации корпус - плоское оперение 555
Согласно этому, суммарная нормальная сила
а ее коэффициент
Ут-оп = Суоп [ 2 + (l r2 )2
]
оп
=
c
m YriYп. Yt ·
Сут- qooSon (1- r,n )2 r,n
-
При учете влияния на коэффициенты интерференции сужения,
пограничного слоя и места расположения оперения суммарная нор­
мальная сила уменьшается. При оценке стабилизирующих свойств
ЛА необходимо учитывать смещение под влиянием интерференции
центров давления как всей комбинации, так и ее отдельных эле­
ментов (консолей оперения и части корпуса под ними). Причем для
рассматриваемого ЛА, имеющего симметричную форму, продоль­
ная координата центра давления совпадает с соответствующим фо­
кусом по углу атаки.
Координата центра давления нормальной силы оперения
(рис. 11.8)
Хцд а.оп(т) = ЛМzоп(т) /ЛУоп(т) '
где ЛМz оп(т) момент тангажа относительно носка бортового сечения консоли от сил, деиствующих на нее и вычисленных с учетом интерференции оперения и корпуса.
-
-
�
у
D
цдт
..-
-·
"'::
ЛУоп(т)
" е
Хоп
Хцдаоп(т)
Ьо
Рис. 11.8. Схема для определения положений центров давления корпуса и
оперения с учетом интерференции (пл ощадь на которую переносится нор­
мальная сила от консоли к корпусу, заштрихована)
,
11. Аэродинамическая интерференция
556
Координата центра давления нормальной силы, индуцируемой
оперением на корпусе,
Хцд о:т(оп) =
-
ЛМ. z т(оп) /ЛУт(оп) '
где ЛМ.z т(оп) - момент тангажа относительно носка бортового се­
чения консоли, обусловленный влиянием оперения. Значение до­
полнительной нормальной силы ЛУт(оп) в этом выражении можно
определять для участка корпуса, расположенного под оперением.
Коэффициенты Сцдо:оп(т) и Сuд а т(оп)• вычисленные с использованием аэродинамическом теории тонкого тела для треугольных консолей, приведены в табл. 1 1.1 в зависимости от отношения r / s"1•
Эти коэффициенты определены в виде отношений
v
Сuдаоп(т) = Хuдаоп(т) /Ьо '
Сuдат(оп) = Хuдат(оп) /Ьо ·
В соответствии с приведенными значениями коэффициентов дав­
ления коэффициент момента тангажа комбинации корпус - опере­
ние относительно носовой части
mz т-on = М zт-on/ (qSonXт) = -Сут-оnСuд =
= -[сут + Суоn<Кт + Коп )]сuд =
= -[Сид тСут + С�ат(оп)Лсут(оп) + С�аоп(т)Лсуоп(т) ],
где с�щ
коэффициент центра давления всей комбинации;
соответственно коэффициенты центра давле­
с�щ т хцд т/хт, су т
ния и нормальной силы изолированного корпуса (см. рис. 1 1 .8);
Сuд о:т(оп) = хоn/Хт + С�що: т(оп)(Ьо/хт); Сuд о:оп(т) =хоn/Хт + Сuда оп(т)(Ьо/хт);
Лсут(оп) • Лсуоп(т) - коэффициенты нормальных сил ЛУт(оп) и ЛУоп(т) ·
Боковая координата центра давления для нормальной силы
ЛУоп(т) оперения с учетом влияния корпуса (см. рис. 1 1 .8) опреде­
ляется выражением
=
х�щ /хт
=
-
-
,
,
Z�щ аоп(т) =
-
ЛМ.хоп(т) /ЛУоп(т) '
где ЛМ.х оп(т) момент крена, вызванный действием силы ЛУоп(т)
и определяемый относительно продольной оси Ох.
В табл. 11.1 приведены значения Z�щ аоп(т) , вычисленные по ко­
ординате центра давления Zцдо:оп(т):
Zцд аоп(т) = (Zцдо:оп(т) - r)/( s"1 - r).
Из этих данных следует, что значения коэффициента Сцдо:оп(т) мало
отличаются от числа 0,666, соответствующего изолированной тре-
11.2. Нормальная сила для комбинации корпус - плоское оперение 557
угольной консоли. Это означает, что интерференция между опере­
нием и корпусом не оказывает существенного влияния на положе­
ние центра давления. Поэтому в практических случаях, когда
аэродинамические расчеты основаны на применении аэродинами­
ческой теории тонкого тела, влиянием интерференции на положе­
ние центра давления крыла можно пренебречь. Координата Zцдаоп(т)
также мало зависит от формы оперения в плане, тогда как значение
Сцдаоп(т) зависит от нее. В частности, расчеты с использованием аэродинамическои теории тонкого тела показывают, что центр давления
прямоугольного оперения размещается на его переднеи кромке.
Влияние интерференции на положение центра давления корпу­
са существенно (см. табл. 1 1 . 1). При r/s"1 = О, когда корпус превра­
щается в бесконечно тонкое тело, коэффициент Сцдаоп(т) = 0,5. При
очень малых размерах оперения (r/s", � 1) на корпус переносится
практически вся нормальная сила от консолей и коэффициент цен­
тра давления близок к его значению для изолированного оперения,
т. е. Сцдаоп(т) � 0,666.
v
v
Влияние сжимаемости на интерференцию
Результаты расчета коэффициентов интерференции для тонких
комбинаций можно положить в основу определения аэродинами­
ческих характеристик ЛА, состоящих из нетонких элементов. При
этом аэродинамический коэффициент вычисляют в виде произ­
ведения коэффициентов интерференции для тонкого тела и для
изолированного оперения. Добавочные коэффициенты нормальнои силы консолеи нетонкого оперения и корпуса соответственно
равны:
Лсуоп(т) =Копеу оп; Лсут(оп) = Ктсуоп'
где су оп коэффициент, определяемый с учетом влияния числа
М00 по линеаризованной аэродинамической теории обтекания опе­
рения.
Коэффициенты интерференции можно вычислить до значений
М00 z 1 ... 1,5 по приведенным выше соотношениям без учета сжи­
маемости, но с учетом их изменения в зависимости от сужения консолеи оперения, толщины пограничного слоя, а также места расположения консолеи на корпусе.
Однако по мере возрастания скоростей обтекания все в боль­
шей мере проявляется зависимость коэффициентов интерференции
от сжимаемости, которую можно выразить, в частности, через изменение условной толщины о пограничного слоя от числа М00:
v
v
-
v
v
-*
11. Аэродинамическая интерференция
558
14М 002 )О,35 '
где <>нс относительная толщина вытеснения несжимаемого пограничного слоя.
Сжимаемость оказывает также непосредственное влияние на
значения коэффициентов интерференции. Учесть его можно с по­
мощью поправочного множителя, определяемого из соотношения
О,05( 1-М00 )
е
К
К
К
К
'
Vеж - оп / оп теор - т/ ттеор
которое применимо для М00 < 5 . Множитель Ум можно также ис­
пользовать для вычисления коэффициентов интерференции по фор­
муле (11. 7):
Коп = Коп теорV11Уп. сYtVеж; Кт = Кт теорVТJУп.сYtVеж· (11.9)
-*
* (1 + О
<>* = <>нс
'
-
_
-
_
-
Учет торможения потока перед оперением
Рассмотренные выше аэродинамические расчеты комбинации
корпус - оперение выполнены в предположении, что оперение на­
ходится в условиях обтекания потоком, практически не отличаю­
щимся от невозмущенного. Соответствующий скоростной напор
вычислен по параметрам этого потока, т. е. q = q00 = O,Skp00M�.
Действительное обтекание характеризуется торможением пото­
ка перед оперением, которое необходимо учитывать при определе­
нии аэродинамических параметров. Степень такого торможения ха­
рактеризуют средним коэффициентом торможения k1 = q / q00, для
которого скоростной напор вычисляют по некоторому усредненно­
му значению числа М 1 возмущенного потока перед оперением:
q = O,SkpMf. Полагая, что давления в возмущенном и невозмущен­
ном потоках одинаковые (р = р00), средний коэfфициент тормо­
жения можно выразить зависимостью k1 = мl !М00• Изменение это­
го коэффициента пренебрежимо мало при дозвуковых скоростях и
оказывается существенным в случае обтекания с большими числами
М00 > 1. При этом значение k1 зависит от характера и интенсивно­
сти скачков уплотнения, возникающих перед головной частью ЛА.
В случае расположения оперения на расстоянии х0п > (1,5 ... 2) хмид
от носка головном части, имеющем вид конуса с углом при вершине �к <�кр и длиной х�шд (�кр - критический угол, при котором
косой скачок сохраняется прямолинейным и присоединенным), ко­
эффициент k1 можно определить по формуле
�
k1 =
мl
�
=
2
v<k- 1)/k
о
М� M�(k -1)
k+
1 2 l м002 -1
'
11.3. Нор111альная сила для колtбuнации корпус - подвижные органы 559
где v0 отношение давлений торможения после скачка р0 и до
него р0:
k
1
k+l
k-1
k-1 k-1
k + l k-1
Ро
2
kx
Vо - - 2
2
1+0,5x2(k - 1)
Ро
а
2
2
х = 1- cos Рк + �1 +0,5(k - l)M� sin Рк .
Если головная часть отличается от конической, то коэффициент
торможения можно рассчитать следующим образом. Для головной
части заданной формы найти коэффициент продольной силы сх. За­
тем, используя формулу
17
2
сх = 0,002(0,s + м:, )<Рк ) • ,
вычислить угол Рк некоторого условного конуса, которым заменя­
ется заданная головная часть. Далее определить значение М00 sin Рк ,
по которому найти параметры х, v0 и коэффициент k1• Этот коэф­
фициент позволяет уточнить аэродинамические коэффициенты, вы­
числяемые с учетом интерференции, например:
Сут-оп =су т + су оп СКоп + Кт)k1.
Значение су оп здесь целесообразно вычислять по линеаризованной
теории, причем не по числу М00, а по уточненному значению М 1•
В границах применения линеаризованной теории, которым со­
ответствуют тонкие заостренные головные части и сравнительно
небольшие числа М00 = 1, 5...2, значения k1 близки к единице. При
отклонении от этих условий k1 < 1, а значения Сут и Су оп можно
вычислить по теории второго приближения при расчете сверхзву­
кового обтекания заостренного корпуса и оперения.
-
,
_
_
--
'
11.3. Нормальная сила для комбинации
корпус - полностью подвижные органы управления
Коэффициенты интерференции
Рассмотрим влияние интерференции на нормальную силу пол­
ностью подвижных горизонтальных рулевых поверхностей (поворот­
ного оперения), представляющих собой расположенные на корпусе
плоские консоли (рис. 11.9).
560
11. Аэродинамическая интерференция
Если угол их отклонения 88 * О,
а корпус наклонен под некоторым
углом атаки а, то нормальная сила
комбинации корпус - поворотное
оперение
У = Уа + У15,
.-----Е'· ·-·-·-·-1
где Уа - нормальная сила при
нулевом отклонении органов управ­
ления и некотором угле атаки ком­
Рнс. 11.9. Схема полностью по- бинации а *О; У8 - нормальная
v
движных рулевых поверхностеи сила, вызванная отклонением рулей
(88 *О, а = О).
Методика расчета нормальной силы Уа комбинации корпус оперение изложена в § 11.2. Для определения второй составляю­
щей У8 можно воспользоваться результатами аэродинамической
теории тонкого тела, в соответствии с которои
У15 = ЛУоп(т)8 + ЛУт(оп)8•
где ЛУоп(т)8 - нормальная сила оперения, отклоненного на угол 8,
вычисленная с учетом влияния корпуса; Л Ут(оп) I> - нормальная сила
корпуса, обусловленная его интерференцией с оперением. При этом
ЛУоп(т)8 = kопуоп; ЛУт(оп)8 = kтУоп •
где k00, kт - коэффициенты интерференции, обусловленные откло­
нением рулей на угол 8 при а = О; У00 -нормальная сила изолиро­
ванного руля.
Таким образом,
(11.10)
В аэродинамической теории тонкого тела коэффициенты k0п и
kг определяют как функции параметра r,11 = r / s Согласно данным,
приведенным в табл. 1 1.2, значения k00 незначительно отличаются
от единицы. Это указывает на то, что несущая способность полно­
стью подвижного оперения при его повороте относительно корпу­
са практически такая же, как и изолированного оперения. Измене­
ние коэффициента kт оказывается значительным, что свидетельствует о существенном влиянии оперения на несущие своиства
корпуса. Согласно данным табл. 11.2, для этого коэффициента можно записать
v
т.
v
11.3. Нормальная сила для комбинации корпус - подвижные органы
561
Таблица 11.2. Значения коэффициентов интерференции
для КОl\tбинации корпус - подвижное оперение
r/s,,,
о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
kon
1 ,000
0,963
0,944
0,936
0,935
0,940
k.,
о
Сцдооп(т)
•
0,114
0,2 1 8
0,3 17
0,414
0,5 10
0,667
0,669
0,668
0,666
0,665
0,664
r/s,"
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
kon
0,948
0,958
0,971
0,985
1,000
kт
0,607
0,705
0,803
0,902
1 ,000
•
Сцдооп(т)
0,663
0,664
0,666
0,667
0,667
* Для треугольного оперения в виде поворотно о руля.
г
Полный аэродинамический эффект от интерференции между
корпусом и подвижным оперением оказь.1вается равным изменению
нормальной силы подвижных консолей под воздействием корпуса
при его отклонении на угол атаки. В соответствии с этим
k0n
+ kт = Коп .
( 1 1 . 1 1)
Если же предположить, что оперение передает корпусу часть
своей нормальной силы независимо от того, создается ли эта сила
под влиянием угла атаки а. или угла поворота о, то в соответствии
с этим справедливо равенство
kт/kоп = Кт/Коп ·
( 1 1 . 12)
Из зависимостей (11.11) и (11. 12) можно найти соотношения
для коэффициентов интерференции в случае подвижных консолей:
kоп = к;п/Скт + коп);
kт = КтКоп/СКт + Коп).
Эти выражения используют при исследовании интерференции
подвижного оперения нетонких комбинаций, для которых аэроди­
намические характеристики изолированных консолей выбирают в
соответствии с данными линеаризованной теории обтекания.
Результаты исследований можно уточнить, если учесть измене­
ние коэффициентов k0п, kг под воздействием сужения консоли, чис­
ла М00, длины головной части корпуса и пограничного слоя. При
этом исходят из соотношений, аналогичных (11.9):
kon = kоп
теорV11Vп.сVzVм ;
11. Аэродинамическая интерференция
562
kт = kт теорVТ\V п.сVlVм '
где k0п теор• kт теор коэффициенты интерференции, рассчитанные
по аэродинамическом теории тонкого тела:
2
п
Ко
=
'
kоп теор
еор
-
v
еор
Хвостовой участок корпуса влияет на значение коэффициента
kт, однако значение коэффициента k0п не изменяется.
Аэродинамические характеристики
В соответствии с ( 1 1 .1 О) коэффициент нормальной
силы, обусловленном отклонением консолеи поворотного оперения,
( 1 1 . 13)
Суо = Уо/ Сqоо Sоп ) = с�оп Сkоп +kт )8k1 .
Здесь угол поворота руля равен углу атаки консоли.
Когда ось вращения составляет с осью корпуса прямой угол,
т. е. угол стреловидности этой оси Хр =О, угол 8 =о'. Если Хр *О
(см. рис. 11.9), то угол атаки консоли
8 = 8' COSXp·
Добавив в выражение (11 .13) коэффициент Суа. =су т(оп)' опре­
деленный по значению нормальной силы Уа. = Ут(оп) комбинации
при а * О, 8 = О, получим суммарный коэффициент нормальной
силы, отнесенной к площади консолей оперения:
су = суа. + суо =
= Су тSмид/Sоп +[(Кт + К0 п)а. + (kт +k0п )8]с�0пk1 • (11. 14)
Координату центра давления консолей поворотного оперения
при а = О можно найти по формуле
Хцдооп =Хоп + (хцд/Ьо )ооп(т)Ьо .
Отсюда коэффициент центра давления, отсчитываемый от носка корпуса и отнесенным к его длине хТ'
Сцдооп = (х,щ/хт)ооп =хоп + сццооп(т) Ьо,
где Хоп = Хоп / Хт , Ьо = Ьо / хт .
v
v
v
11.3. Нормальная сила для комбинации корпус - подвижные органы 563
Значения Сццооп(т) = (хцц!Ь0 )ооп(т), рассчитанные по аэродинамическои теории тонкои треугольнои несущеи поверхности, приведены в табл. 1 1 .2.
Координату центра давления для рулей в виде прямоугольных
консолей можно определить также по линеаризованной теории, учи­
тывающей воздействие корпуса в условиях обтекания сжимаемым
потоком ( (М00 > 1) (рис. 11.1 О).
...,
v
.....
.....
(xuдlЬо)оп (т)
N
....
Моо
0,52
Л.00 �
м;.,
0,48
\
-
0,40
,
о
v-----
0,2
''
Cf Хцд
Ьо
'3
-
0,44
-·-·
1 =4
\
1.--"
\ ./i..-""" ---
".- _/
-1
о:
"
0,4
м;., 1 = 2
Л.00 �
1
0,6
-
1
0,8
Ут
Рис. 11.10. Кривые для расчета смещения центра давления
поворотного руля под влиянием корпуса при условии 8 -:;:. О
Данные, приведенные в табл. 1 1.2 и на рис. 11.1 О, свидетель­
ствуют об относительно слабом влиянии интерференции на смеще­
ние центра давления. Это дает основание считать, что с достаточ­
ным приближением центр давления отклоненной консоли можно
принимать таким, как для изолированного оперения, обтекаемого
под углом атаки.
Если корпус находится под углом атаки а, а оперение дополни­
тельно отклонено относительно оси корпуса на угол 8, то коорди­
ната центра давления
Хцц оп(т) = Хоп + (Хцц/Ьо)оп(т)Ьо
или в безразмерном виде
Сцц оп(т) = (хцц /Хт)оп(т) = Хоп + c:U. оп(т) Ьо ,
где
копасцдаоп(т) + kоп8сцдооп(т)
Хцц
,
Сцц оп(т) =
Kona+ kon8
Ьо оп(т)
11. Аэродинамическая интерференция
564
При повороте органа управления наряду с изменением положе­
ния его центра давления вследствие интерференции с корпусом изменяется координата точки приложения дополнительном нормальной силы корпуса, обусловленной влиянием оперения в виде руля.
Если такой поворот сопровождается изменением угла атаки корпу­
са, то координата центра давления
ХЦд т(оп) = Хоп + (хцд/Ьо)т(оп) Ьо
или в безразмерном виде
Сцд т(оп) = (хцд/Хт)т(оп) = Хоп + С� т(оп)Ьо •
где
Кта.сцдат(оп) + kт 8сцдот(оп)
х
_
uд
, т(оп) =
Сцд
Кта. + kт8
Ьо (оп)
При расчете положения центра давления на корпусе с учетом
влияния оперения принимают, что центр давления нечувствителен
к тому, изменяется ли нормальная сила от угла атаки или угла по­
ворота оперения. В соответствии с этим Хцдат(оп) = Хцдот(оп)·
Коэффициент центра давления для комбинации корпус - пово­
ротное оперение
�
Здесь
Эффективность органов управления
Для симметричного отклонения горизонтальных консолей про­
дольная эффективност ь органов управления определяется произ­
водной дтz!д8 = т� при условии, что момент тангажа вычислен
относительно центра масс:
т� =-(Ьо /Хт )[kоп (Сцдооп(т) + Х�п ) + kт(Сцдот(оп) + Х�п )J c�oп kl (11. 15)
•
11.3. Нормальная сила для комбинации корпус - подвижные органы 565
,
где X0n = x� nlb0 ; x�n расстояние от центра масс комбинации до
вершины оперения на корпусе.
Производная т� обычно отрицательная для хвостового опере­
ния и положительная для органа управления, выполненного по схеме
«утка» .
Поперечная эффективность органов управления характеризу­
ется производной дтх /до = т� при дифференциальном отклонении
горизонтальных консолей. Эта производная обычно является отри­
цательной. Как показывают исследования, для оперения треуголь­
ной формы
-
Здесь A0n - удлинение изолированных консолей оперения;/(rт) функция, которая для весьма тонкого тела определяется линейной
зависимостью
fт.т =О, 167(1 + 3, 7 lr,п)·
Пользуясь теорией линеаризованного обтекания, можно уточ­
нить значениеf(r ) для реального тонкого тела и тем самым учесть
влияние числа М00:
f = fт.т C�on /С�оп т.т '
а
а
где cyon
cyon т.т производные для изолированного оперения, вычисленные с использованием линеаризованнои теории и теории тонкого тела соответственно.
Одна из причин снижения эффективности рулей и нарушения
линеинои зависимости их аэродинамических характеристик от угла
отклонения связана с образованием щелей между органами уп­
равления и корпусом. Такое явление возникает при достаточно
больших щелях, размеры которых возрастают по мере отклоне­
ния рулей. Снижение их несущей способности и нарушение ли­
нейной зависимости c�0n (a) обусловлено резким падением перепада давления у корневои хорды, вызванным щелью.
Повысить эффективность органов управления можно уменьше­
нием в конструкции ЛА размеров щелей и одновременно снижени­
ем допустимых углов отклонения рулей. При этом в реальных ус­
ловиях вязкого обтекания пограничный слой как бы перекрывает
малые щели, что приводит к уменьшению их отрицательного воздеиствия на рули.
Влияние щелей, образующихся в производственных и эксплуа­
тационных условиях, на изменение эффективности рулей можно
"'
л
л,
�
-
�
�
�
�
11. Аэродинамическая интерференция
566
учесть введением поправочного множителя kщ в полученные выше
значения аэродинамических характеристик органов управления. При
дозвуковых скоростях (М00 < Мкр ) ориентировочно можно принять
kщ = 0,80 ... 0,85, а при повышенных числах Маха (М00 > 1,4) коэф­
фициент kщ = 0,90... 0,95.
11.4. Аэродинамическое сопротивление комбинации
корпус - оперение
Зависимости для определения аэродинамического сопротивле­
ния ЛА в виде комбинации корпус - оперение должны учитывать
влияние на сопротивление интерференции между отдельными эле­
ментами аппарата. Полную силу Х0 лобового сопротивления при
наличии подъемной силы (суа * 0) можно представить в виде сум­
мы составляющей Хо при нулевой подъемной силе, а также индук­
тивных составляющих Xi, создаваемой корпусом и оперением, и
ЛХ а , включающей неучтенные аэродинамические силы, т. е.
Ха
= Xo + Xi +ЛХа .
Соответствующий коэффициент лобового сопротивления, отне­
сенный к характерной площади Sxap• определяется выражением
(11.16)
Сха = Xa/(q00Sxap ) = Схо + Cxi + Лсха·
При отсутствии подъемной силы (суа = О) коэффициент
(11.17)
схо = Лсхт + ЛсХ ОП '
причем Лсхт = Лсхт(оп) + схт; Лсхоп = схоп + Лсхоп(т)·
Здесь схт , схоп - соответственно коэффициенты лобового со­
противления изолированных корпуса и оперения; остальные состав­
ляющие в сумме дают поправку на интерференцию (индекс в скобке у каждои составляющеи указывает элемент конструкции, интерференция с которым вызывает дополнительное сопротивление
корпуса и оперения).
Основной частью сопротивления всего ЛА является сопротив­
ление его изолированных элементов:
(1 1.1 8)
Лсх0 = схт + схоп·
Выделив из каждой составляющей сопротивление, вызванное раз­
режением за донным срезом (донное сопротивление), получим
�
�
11.4. Аэродипамuческое сопротивлепuе кол1бипации корпус - onepenue 567
,
+ схоп + схтдон + С
схо = схт
где с:т, с:оп - коэффициенты сопротивления от давления и трения
соответственно на корпусе и оперении; схтдон • схопдон соответ­
ствующие составляющие коэффициента донного сопротивления.
Полное сопротивление корпуса определяют с учетом его фор­
мы, которая в общем случае может отличаться от тела вращения.
Если это отличие невелико, то корпус рассматривают как тело вра­
щения с распределением радиусов вдоль продольной оси ОХ в соответствии с зависимостью r(x) = .Js(x) ln, где S(x) - площадь по­
перечного сечения корпуса заданной формы. У такого тела враще­
ния подъемная сила и моментные характеристики, как показывают
исследования, сохраняются такими же, как у корпуса заданной фор­
мы. Различие значений коэффициента лобового сопротивления ока­
зывается более существенным, поэтому его целесообразно учиты­
вать. Оrклонение формы корпуса от тела вращения может быть обус­
ловлено различными надстройками, например обтекателями,
антенными устроиствами и др.
Аэродинамическое сопротивление корпуса зависит от располо­
жения надстроек. Исследования показывают, что вклад надстроек
будет наименьшим при их среднем расположении. При выносе над­
строек вперед сопротивление корпуса возрастает в результате по­
вышенного давления на носовую часть, а при заднем расположе­
нии - вследствие срыва потока и повышения донного разрежения.
Сопротивление, обусловленное таким разрежением за донным сре­
зом площадью sдон• характеризуется коэффициентом донного дав­
ления Рдон = (Рдон - Роо )/ qoo , поэтому коэффициент Схтдон• отне­
сенный к какой-либо характерной площади Sxap (рис. 1 1 . 1 1 ), будет
хтдон
( 1 1 . 19)
Сх тдон =
qooSхар
л
ХОП ДОН '
,
-
v
практических случаях при вычислении аэродинамического
коэффициента можно принять, что его составляющая, обусловлен­
ная трением, не зависит от интерференции. Тогда следует учитывать изменение только составляющем от давления на корпусе вследствие интерференции с управляющими поверхностями. При этом
если оперение расположено на цилиндрической части корпуса, то
его сопротивление не изменяется, если же оно находится на сужа­
ющихся или расширяющихся участках корпуса, то влияние интерВ
v
11. Аэродинамическая интерференция
568
S мм
с
о
"'!:
�
Sдон
V�(M�)
S�п
Рис. 11.11. Схема Л Адля расчета аэродинамического сопротивления ком­
бинации корпус - оперение
ференции может оказаться существенным. Приближенно величину
Лсх т(оп) можно определить, исходя из предположения, что корпус
находится в поле давления изолированной консоли стабилизирующеи поверхности, которое можно вычислить с использованием
сверхзвуковой теории крыла.
При расчете сопротивления изолированного оперения его фор­
му целесообразно рассматривать в виде консолей, выступающих
над корпусом, и фиктивных участков несущей поверхности, распо­
ложенных внутри корпуса. У такого оперения сохраняется прежний
размах, но увеличивается площадь S�п (см. рис. 11.11 ) . Значение
схоп в формуле ( 1 1 . 1 7) не будет учитывать составляющую, которая
приходится на фиктивный участок оперения площадью ЛS0п, расположенным под корпусом, т. е.
Схоп = С�оп (1-ЛSоп /S�п ),
где с�оп коэффициент сопротивления пары консолей, рассчитан­
ный для площади S�п, т. е. с учетом площади под корпусом.
Влияние интерференции можно учесть, введя поправку
, ),
( 11 .20)
Схоп =Схоп (1- kоп ЛSоп /Sоп
где k0п коэффициент интерференции, изменяющийся в широких пределах в зависимости от расположения оперения на корпусе
и характера их сопряжения, а также формы и удлинения оперения.
При небольшой стреловидности и удлинении (Аоп > 2) консолей,
плавно сопряженных с корпусом, значение k0п мало отличается от
единицы. В случае «Отрицательной» интерференции, повышающей
сопротивление, коэффициент k0п < 1. Соответствующим выбором
конструктивных элементов и их компоновкои можно в некоторых
случаях уменьшить сопротивление. При такой «положительной»
интерференции k0п > 1.
v
v
-
*
,
*
-
*
*
v
*
11.4. Аэродинамическое сопротивление ко111бинации корпус - оперение 569
При
суа
=О сумма составляющих коэффициента дехт корпуса
( 11.21)
где коэффициенты со штрихом рассчитаны по миделеву сечению
корпуса, а величина дехт отнесена к характерной площади рас­
сматриваемой комбинации. Учитывая (11 .20), найдем соотношение
для полного коэффициента лобового сопротивления:
МИД
s
' 1 - k*оп ДS,ОП
'
Сха = (Схт +дсхт
' (оп) ) s +ехоп
S
ОП
'-'
�
sОП
s
kJ · ( 11.22)
Согласно экспериментальным исследованиям, у большей части
конструкций влияние интерференции на сопротивление небольшое
и его можно учесть путем введения к коэффициенту сопротивле­
ния дехо ( 11.18) суммарного коэффициента интерференции kr,.
В соответствии с этим полный
еха = деx0kr, .
Коэффициент kr, зависит от ряда факторов, в частности от ско­
рости и высоты полета, схемы ЛА, конструкции его отдельных эле­
ментов. Значение этого коэффициента мало отличается от едини­
цы, и в приближенных расчетах обычно принимают kr, z 1,05 ... 1,06.
Практический интерес представляет также оценка сопротивле­
ния комбинации корпус - оперение, основанная на использовании
правила площадей. Согласно этому правилу, сопротивление указан­
ной комбинации равно его сопротивлению изолированного карпуса, имеющего то же распределение площадеи поперечного сечения, что и комбинация корпус - оперение. Такой изолированный
корпус называют эквивалентным телом.
При построении эквивалентного тела комбинацию корпус - опе­
рение рассекают поперечными плоскостями, перпендикулярными
продольной оси, и в выбранном сечении измеряют площадь. Эта
площадь считается принадлежащем эквивалентному телу, которое
отличается по внешнему виду от заданного корпуса тем, что, начи­
ная с сечения, где расположены передние кромки, такое тело при­
обретает выпуклую форму (рис. 1 1.12). Если форма эквивалентно­
го тела определена, то коэффициент его лобового сопротивления
можно наити с помощью известных методов.
В сверхзвуковом диапазоне скоростей изложенный метод при­
меним только для очень тонких конфигураций со стреловидными
v
v
v
11. Аэродинамическая интерференция
570
I
1
.=::J
. _j�
. =
1�
.-1=
: :r
. 1
1
II
-___:
. _:::
. :: .:::.
.
.11111111
1
11
u..и--2
Рис. 11.12. Применение правила площа­
дей для определения формы ЛА с мини­
мальным аэродинамическим сопротивлением:
1 заданная конфигурация ЛА; 2 эквива­
лентное тело вращения с наплъ1вом (в сече­
ниях 1-1 и 11-11 площади одинаковы)
-
-
крыльями малого удлинения. Метод можно использовать и для не­
стреловидных крыльев при условии, что М00 < 1 .
В случае суа * О при расчете коэффициента сха (см. выражение
( 1 1 . 1 6)) необходимо учитывать дополнительные составляющие cxi
и Лсха· В свою очередь, индуктивная составляющая cxi для дозву­
ковых скоростей в основном определяется величиной cxi on (при от­
сутствии скольжения):
(11 .23)
где �i on = c;aon /('1tAэфon )·
В этих выражениях коэффициенты Суа on находят для изолированных консолеи с учетом площади под корпусом, т. е. по их деиствительному размаху. Для учета интерференции введен эмпиричес­
кий коэффициент, представляющий собой эффективное удлинение:
v
Аэфоn = A0n (1 + Л S0n/S�n ),
где A0n = 4s;,0n /s�n .
v
(11 .24)
При сверхзвуковых скоростях индуктивная составляющая
Cxi = Xi/ (q=Sxap ) = Суа а. Согласно формулам ( 11 .8), ( 1 1 . 14),
Рассмотрим составляющую Лсха = Xa/(q00Sxap ), зависящую от
угла атаки. Значение этого коэффициента в значительной мере оп­
ределяется подсасывающей силой оперения, при вычислении кото-
11.4. Аэродипамuческое сопротивлепuе кол1бипации корпус - onepenue 571
1)
рой необходимо учесть изменение его подъемной силы вследствие
интерференции с корпусом. При дозвуковых скоростях (М00 <
этот коэффициент определяется зависимостью (с учетом отрица­
тельного знака)
-Са = 0,257t�l + tg х-М=;
2
2
где для треугольного крыла
(с�оп )-1 (1tАоп ) 1
Для корпуса получаем
Sмид /Sхар
Лсхат
где � - коэффициент, определяемый формой носовой части корпу­
са, в частности для конической части в дозвуковом потоке
=
-
-
.
=�<Х.2
•
м2-11-о,оs.
1
0
� ::::: - · 6 �1
Амид
Таким образом, дополнительная составляющая
Лсха = Лсхат + Лсхаоп·
У многих ЛА, предназначенных для полетов с большими ско­
ростями, крылья и оперения выполняют с заостренными передни­
ми кромками, поэтому сумма Лсхаоп = О. Если принять также во
внимание, что подсасывающая сила корпуса определяет незначи­
тельную часть полного сопротивления, можно считать Лсхат "" О.
В соответствии с этим индуктивная составляющая, обусловленная
углом атаки, определяется формулой сxi сУа., т. е. зависимостью
в которой можно принять � "" О для тех ЛА, у которых
подъемная сила при отклонении рулеи изменяется незначительно,
а следовательно, пренебрежимо мало индуктивное сопротивление,
вызванное этим отклонением.
(11.25),
=
v
12. ОСОБЕННОСТИ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДОЙ
При д
нии ЛА на больших высотах важное значе­
ние приобретают знания закономерностей обт екания
тел разреженной средой. Методы газодинамического
описания течении газов, основанные на уравнениях механики сплошной среды, становятся неприменимыми
для таких течений. Для разреженной атмосферы ги­
потеза сплошности недействительна и необходимо
пользоваться кинетической теорией, исследующ ей ди­
намику газа с помощью молекулярн.ой механ.ики. Важ­
нейшие выводы этой теории основываются на приня­
тии дискретной схемы строения среды, согласно ко­
торой среда состоит из соударяющихся мол екул,
пробегающих достаточно большой свободный путь.
В главе рассмотрены основные схемы взаимодействия
молекул с поверхностью тел в условия х свободномо­
лекулярн.ого потока, н.а осн.ове которых получен.ы за­
висимости для расчета давлен.ий и н.апряжен.ия тре­
ния в потоке. Приведены сведен.ия, которые н.еобхо­
димы для пон.иман.ия физических явлен.ий, а также для
осуществлен.uя аэродина;иических расчетов, связан.н.ых
с полетами в разреженн.ой среде.
виже
v
12.1. Границы применимости гипотезы сплошности
Экспериментальные данные обтекания тел в условиях разреженнон и сплошнои среды существенно отличаются по силовым и моментным характеристикам, а также по трению и теплопередаче. Для
разреженного газа нельзя пользоваться гипотезой сплошности, или
неразрывности, применяемой для плотных потоков. В этом случае
необходимо учитывагь молекулярную структуру течения, в которой
молекулы движутся в различных направлениях, пробегая достаточv
v
12.1. Границы применил1ости гипотезы сплошности
573
но большой свободный путь, сталкиваясь между собой и с поверх­
ностью обтекаемого тела. Чтобы учесть эти особенности, в аэродинамике разреженнои среды используют молекулярно-кинетическую
теорию газа.
Для установления границ применимости гипотезы сплошнос­
ти определим длину свободного пробега молекул. Очевидно, чем
меньше она будет, тем ближе изучаемая среда к гипотетически
сплошнои.
Скорости хаотического движения отдельных молекул могут из­
меняться в широком диапазоне, поэтому обычно рассматривают
среднюю длину их свободного пробега. Эта длина l зависит от чис­
ла молекул N в единице объема, средней скорости Сер хаотического
движения и площади А поперечного сечения молекул.
Из статистической физики известно, что длина свободного про­
бега молекул
v
v
[ = Сер!,
где t = 1/п время между двумя соударениями молекул; п число
соударений в единицу времени, п = NAccp·
Таким образом, можно записать
l = 1/(NA).
( 12.1)
Формула (12.1) неудобна в практическом применении, посколь­
ку площадь поперечного сечения молекул трудно определить не­
посредственными измерениями. Лучше использовать зависимость
для l, полученную из кинетической теории газов, через кинемати­
ческую вязкость
(12.2)
и скорость звука
(12.3)
а = .JkRT = ccp.j'lfk/8.
Подставляя выражение (12.3) в (12.2), получаем
l = 1,255vJk/a,
(12.4)
где k показатель адиабаты.
Ниже приведены приближенные значения длины l свободного
пробега молекулы в зависимости от высоты Н полета ЛА, рассчи­
танные по формуле (12.4) для стандартной атмосферы:
-
-
-
Н, км . . . .
30
62
100 120
О
l, м . . . . . 8,6 · 1 0-8 4,8· 10-7 4,9· 10-4 6 · 10-2 1,3
150 200
20 300
574
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
Анализируя эти данные, можно заметить, что длина свободно­
го пробега молекул существенно изменяется с высотой полета и
на высотах около 120 ... 150 км становится сопоставимой с разме­
рами ЛА.
Обозначим через Lxap некоторый характерный линейный раз­
мер. В зависимости от конкретной задачи это может быть длина
тела вращения, хорда крыла и т. п. Как было показано в гл. 1, отно­
шение длины l свободного пробега молекулы к этому размеру на­
зывается безразмерным числом Кнудсена:
Кп = l/ 4ар ·
Режим течения газа определяется в зависимости от его степени
разреженности, под которой понимают отношение ZILxap• т. е. фак­
тически от числа Кнудсена.
При исследовании пограничного слоя или газовой смазки между движущимисяv поверхностями в условиях разреженнои среды характерным линеиным размером является соответственно толщина
пограничного слоя, или толщина газовой смазк.и, обозначаемая че­
рез о. Тогда число Кнудсена
v
.Jk
М
V
·
v
.
Кп = l_ = 1,255
= 1,255.Jk
.
Re
о
voa
(12.5)
Рассмотрим течение газа между двумя пластинками, отстоящи­
ми одна от другой на малом расстоянии о. Одна из пластинок пере­
мещается параллельно другой со скоростью V. Определим возмож­
ные режимы течения газа между пластинками.
Если число Kn < 0,01, то принято рассматривать газ как плот­
ную среду. В ней вследствие малой длины пробега молекул возмущения от соударении со стенкои практически мгновенно передаются на все молекулы, поэтому при исследовании таких потоков при­
меняют гипотезу сплошности.
При большой степени разреженности среды (Кn ;;:: 10, т. е. дли­
на свободного пробега молекул значительно больше характерного
линейного размера) гипотеза сплошности становится неприемле­
мой. В такой среде столкновения частиц редки и, следовательно,
вязкость практически не проявляется (понятие о числе Re теряет
смысл). Вместо обтекания сплошным потоком здесь уже необходи­
мо рассматривать ударное воздействие молекул на тело. Оба рас­
смотренных случая отражают два характерных режима течения:
сплошное (Кn < 0,01) и свободн.омолекулярн.ое (Kn > 10).
v
v
12.1. Границы при.мени.мости гипотезы сплошности
575
В свободномолекулярном потоке принято считать, что, несмотv
ря на сильное разрежение и малое число столкновении в элементарном объеме, число молекул достаточно для того, чтобы опре­
делить свойства газа как макроскопические. Например, согласно
приведенным выше данным, на высоте 150 км средняя длина сво­
бодного пробега молекул равна 3 м, что соответствует сильной
разреженности воздуха. Однако число молекул в кубическом сан­
тиметре остается большим (около 1,5 · 10 1 2). Для такой разрежен­
ной среды давление и массовая плотность могут быть рассчитаны
как средние в данном объеме. Таким образом, свойства течений по­
добной среды определяют на основе максвелловского закона рас­
пределения скоростей молекул. Применяя этот закон, можно иссле­
довать силы взаимодействия молекул с поверхностью движущего­
ся тела.
Между режимами сплошного и свободномолекулярного тече­
ний находятся переходный режим ( 1 < Кn < 1 О) и режим течения
со скольжением (0,01 < Кn < 1). В этом промежутке происходят
чрезвычаино сложные явления, когда одинаково важно как соударение молекул с поверхностью тела, так и их взаимодеиствие между собой. Условия, соответствующие переходному режиму, возни­
кают при полете на высотах около 100 км. В режиме со скольжени­
ем, имеющем место на высотах до 100 км, более существенную
роль играют уже соударения между молекулами.
Различие между режимами течения проявляются и в неодина­
ковом профиле скоростей между рассматриваемыми параллельны­
ми пластинками. В сплошном потоке, как известно, на поверхнос­
ти тела выполняется граничное условие «прилипания» элементарных частиц газа, которые после соударения с движущеися верхнеи
пластинкой приобретают ее скорость V и соответствующее количе­
ство движения (рис. 12.1, а). По причине трения передаваемое со­
седними частицами количество движения уменьшается, в результа­
те чего падает их скорость, достигая нуля на поверхности нижней
неподвижной пластинки.
В свободномолекулярном потоке (рис. 12.1, б) частицы после
соударения со стенкой не изменяют количества движения по тол­
щине слоя о, поскольку не сталкиваются с другими молекулами.
При этом в случае диффузного взаимодействия скорость частиц у
верхней движущейся пластинки равна V, а у неподвижной нижней нулю. Следовательно, средняя скорость частиц между пластинка­
ми будет V/2. Фактически в свободномолекулярном потоке, обтекаv
v
v
v
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
576
у
�
у
v
�
8
а
V/2
х
о
у
�
....,
v
�
�
�
V- v
.
б
х
о
v
�
v
.
в
х
Рис. 12.1. Профили скорости газа между пластинками:
а - сплошное течение; б - свободномолекулярный поток; в - течение
со скольжением
ющем какое-либо тело, теряет смысл понятие пограничного слоя,
так как течение у поверхности имеет ту же скорость, что и на неко­
тором удалении от нее.
Профиль скорости при течении со скольжением (рис. 12. 1, в)
занимает промежуточное положение. Верхняя подвижная пластин­
ка, как и в сплошном потоке, передает элементарным частицам
количество движения, соответствующее скорости V своего дви­
жения. При этом отраженные от пластинки частицы, не достигая
противоположной стенки, сталкиваются с другими частицами, из­
меняя (уменьшая) их скорость. Это происходит в связи с тем, что
средний путь свободного пробега частиц соизмерим с расстояни­
ем 8. Измерение скорости будет непрерывным между пластинка­
ми, и профиль скорости по виду оказывается промежуточным меж­
ду профилями для сплошного и свободномолекулярного потоков.
На верхней пластинке скорость потока уменьшается на некото­
рую величину v и становится V v, а на нижней - частицы как
бы проскальзывают со скоростью v. Отсюда объяснимо название
«течение со скольжением». Если же тело обтекается внешним
потоком, то газ на поверхности тела не «прилипает», а приобре­
тает некоторую
скорость, отличную от нуля и меньшую, чем
v
на внешнем границе еще существующего пограничного слоя.
В этих условиях по-прежнему можно использовать уравнения для
вязкого теплопроводного сжимаемого газа при более общих гра­
ничных условиях, учитывающих разрыв скорости, температуры
и давления на поверхности обтекаемого тела в отличие от ти­
пичного течения в пограничном слое при сплошной среде. В со­
ответствии с выражением (12.5) режим течения определяется
соотношением местных чисел М и Re. Если расстояние между
пластинками будет соизмеримо с толщиной ламинарного погра­
ничного слоя, то от числа Re = V8/v можно перейти к параметру
ReL = VL/v:
-
12.1. Границы применил1ости гипотезы сплошности
Кп
=
!:_
3
=
.!_L L3 О 264Jk
=
,
М
·
�ReL
577
.
По этой зависимости построены приведенные на рис. 12.2 гра­
фики, полученные без учета влияния возможных физико-химичес­
ких превращений воздуха на длину свободного пробега молекул, ко­
торые можно использовать для приближенной оценки течения вбли­
зи обтекаемого тела, если исходить из местных значений М и Re.
5,0 Свободномо- Течение _,,,.�
1,2
1,0
пекулярное о скольтечение -�
течение жением1"-------+--1
0,8 1---+----1---+1---+--1
0,4 l---+----t--1--+--I
о
Рис. 12.2. Диапазон изменения чисел М, Кn и Re для различных
типов течении
�
Видно, что при заданном числе М изменение числа Rei может при­
вести к изменению режима течения от сплошного до свободномоле­
кулярного. Поскольку с увеличением высоты полета коэффициент
вязкости возрастает, число Rei при этом уменьшается. Следователь­
но, на разных высотах условия полета ЛА будут соответствовать раз­
личным областям течения. В то же самое время условия свободно­
молекулярного течения в окрестности тела можно получить и на
малых высотах в условиях значительного уменьшения плотности
потока (при гиперзвуковом полете или движении на больших углах
атаки). Таким образом, при исследовании течений кроме критериев
подобия, учитывающих влияние вязкости (число Rer) и сжимаемо­
сти (число М), необходимо вводить критерий, характеризующий сте­
пень разрежения среды (число Кn).
578
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
12.2. Давление и трение в свободномолекулярном потоке
В свободномолекулярном потоке параметры течения и аэроди­
намические характеристики движущихся тел определяют на базе
кинетическои теории газов, исследующеи движение газа с помощью молекулярной механики. Рассмотрим некоторые характерис­
тики и особенности такого течения.
При изучении обтекания поверхности сплошной средой гранич­
ным условием являлось безотрывное обтекание. В свободномоле­
кулярном течении механизм взаимодействия тел с потоком более
сложный. Рассмотрим предельные виды взаимодействия молекул
со стенкой: зеркальное и диффузное отражения.
Схема зеркального отражения реализуется в случае, когда обтекаемая поверхность идеально гладкая и молекула подлетает к неи
под малым углом р (рис. 12.3, а). При этом молекуль.1 ведут себя
как абсолютно упругие шары: после удара отражаются от стенки
под углом, равным углу атаки р.
При зеркальном отражении абсолютные значения составляю­
щих скорости частиц не изменяются, тангенциальная составляю­
щая скорости к поверхности стенки сохраняет свой знак, а нор­
мальная - меняет его на обратный. В случае такого взаимодей­
ствия частиц со стенкой силы трения в обычном понимании
отсутствуют, а значит, равна нулю и теплопередача. Однако даже
тщательно отполированные поверхности не являются достаточно
гладкими, чтобы в полном объеме реализовалась схема зеркально­
го отражения. Практически по этой схеме со стенкой взаимодей­
ствует лишь незначительная часть молекул.
v
v
v
у
а
у
б
Рис. 12.3. Схемы взаимодействия молекул со стенкой при зеркальном (а)
и диффузном (б) отражении
12.2. Давление и трение в свободномолекулярнолt потоке
579
Схема диффузного отражения предполагает, что поверхность
имеет шероховатости и щели, высота и ширина которых соответ­
ственно соизмерима с поперечными размерами молекул. Согласно
этой схеме (рис. 12.3, б), молекулы газа передают в результате со­
ударения всю кинетическую энергию телу, диффундируя в стенку
на некоторое малое время, в течение которого происходит вырав­
нивание температуры газа и стенки, а затем отражаются в произ­
вольном направлении с некоторой скоростью. Отсутствие какого­
либо преобладающего направления диффузно отраженных молекул
приводит к тому, что они не создают касательного напряжения. Тем­
пература отраженного потока часто близка к температуре стенки,
хотя в общем случае может незначительно отличаться. Поскольку
реальная поверхность отличается от идеально гладкой, большая
часть молекул взаимодействует по схеме диффузного отражения.
Запишем скорость V массового (упорядоченного) движения мо­
лекул газа в виде
2
2
2
voo2
Здесь
00
= и +v +w .
u=u + U· v=v+V· w=w +W
'
'
'
причем первые слагаемые являются компонентами скорости V от­
носительно поверхности тела, а вторые характеризуют среднюю ско­
рость сер теплового (хаотического) движения, т. е.
00
И
2 + V 2 + W2
=
с;Р .
Рассмотрим сначала перенос молекул к поверхности тела. При­
мем, что ось Оу, по которой направлена составляющая совпадает
с нормалью к поверхности тела в данной точке, и будем считать,
что молекулы отражаются диффузно, причем температура отражен­
ных молекул
в общем случае отличается от температуры стен­
ки Тет и первоначальной температуры газа
Если молекулы движутся со скоростью, составляющие которой
находятся в интервалах
+
то их число
равно произведению
v,
Т0тр
Тпад·
и, и + du; v, v + dv; w, w dw,
nnaдFdudvdw,
в котором ппад концентрация падающих молекул в единице объе­
ма (здесь и далее параметрам с индексом «пад» соответствуют па­
функ­
раметры невозмущенного потока V00, р00, р00, Т00 и т. д.);
ция распределения молекул по скоростям, или функция распреде­
ления Максвелла.
-
F
-
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
580
Согласно кинетической теории газов,
5 е-с2lсг2
(х
1,
;
)с
F=
,
(12.6)
где cr
наиболее вероятная скорость молекул газа, связанная со
v
среднеи скоростью сер хаотического движения соотношением
-
cr = �1tc�/4,
где
Сер = 2
.J2RT/1t.
Число молекул, которые достигают поверхности тела и распо­
лагаются в объеме с единичной площадью основания и высотой,
равнои вертикальнои составляющеи скорости v за одну секунду,
будет
v
v
v
vnnaдFdudvdw.
Тогда для рассматриваемого объема общее число молекул Nnaд' со­
ударяющихся с поверхностью тела за одну секунду, можно полу­
чить интегрированием этого выражения по всем возможным значе­
ниям и, v и w:
00
00
-00
-00
о
-00
Nnaд = J du J vdv J nnaдF dw.
(Здесь учтено, что частицы, у которых v < О, не будут достигать
площадки.)
С учетом выражения (12.6) получаем
00
00
00
i
2
2
2
5
0
2
).5Hi
п
v
е-<>,5Н3
хс
du J ve-<>,5H2 d J
Nnад = nад ( r nад , J edw'
-00
о
(12.7)
-00
где Н1 = .J2 · U/crnaд ; Н2 = .J2 · V/crnaд ; Н3 = .J2 · W 1 Crnaд·
Поскольку du = dU, а dw = dW, то первый и третий интегралы в
уравнении (12.7) будут равны �хс;nад , а второй можно предста­
вить в виде
J ve-o.5нidv = 0,5c;naд [e-c2 +c .J1t(l +erf с )] ,
00
о
-
(12.8)
2 с е-с 2
dc. Значения с и erf с приведены
где с = v/cr naд; erf с = .J1t J
1t о
в табл. 12. 1 .
12.2. Давление и трение в свободномолекулярном потоке
Таблица 12. 1. Значения параметров
-
-2
о
о
с
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
е
-2
-с
с
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
1 ,00
1
0,9900
0,9608
0,9139
0,8521
0,7788
0,6977
0,6026
0,5274
0,4449
0,3679
erf с
с 2 , е с2
с
о
0,1125
0,2227
0,3286
0,4284
0,5205
0,6039
0,6778
0,7421
0,7961
0,8427
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
3,0
581
и erf с при различных с
-2
с
1,21
1,44
1,69
1,96
2,25
2,56
2,89
3,24
3,61
4,00
9,00
е
-2
-с
0,2982
0,2369
0,1845
0,1409
0,1054
0,0773
0,0556
0,0392
0,0271
0,0183
�о
erf с
0,8802
0,9103
0,9340
0,9523
0,9661
0,9763
0,9838
0,9891
0,9928
0,9953
1
Таким образом, для общего числа соударяющихся с поверхнос­
тью тела молекул окончательно имеем
Nпад _- ппад
[
-с 2
RTnaд
1t · е
2
]
Г
+_ -C"\/1t
_ erf с ) .
(l +
( 1 2.9)
Если в безразмерном параметре с выразить Сгпад через ско­
рость звука апад = �kRTnaд , то получим
с = v/anaд Jki2.
Учитывая, что � - угол между направлением вектора V00 и ка....
.... ....
....
сательнои к криволинеинои поверхности тела в рассматриваемом
точке (рис. 1 2.4), зависимость для с можно представить как
Рпад лоб (р отр лоб)
Рпад корм (ротр корм)
у
'tпад лоб
'tпад корм
dS
dS
х
Рис. 12.4. Обтекание криволинейной поверхности
582
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
где Ссо = Vсо/апад Jk/2.
Если площадка dS расположена на передней части тела (см.
рис. 12.4), где Р > О, то в формуле (12.9) надо брать верхний знак
«+». В кормовой части тела (Р < О) пределы интегрирования в урав­
нении (12.8) становятся от - оо до О, и в выражении (12.9) необхо­
димо использовать знак «-».
Теперь рассмотрим перенос молекул, отраженных от поверхно­
сти тела. Поскольку диффузное отражение подчиняется максвел­
ловскому распределению, можно применить соотношение (1 2.9),
приняв в нем с = О (после соударения массовая составляющая ско­
рости частицы равна О). Таким образом, общее число отраженных
молекул можно найти по формуле
(12.10)
где потр концентрация отраженных молекул в единичном объеме.
Если принять, что Nпад = N0тр, то, приравнивая правые части
выражений (12.9) и (12.1 О), найдем связь между концентрациями
nотр И nпад:
-
( 12. 1 1 )
Зависимость (12.9) можно упростить для достаточно больших
-2
-с
скоростей. Так, при с > 2 величина е
близка к нулю, а интеграл
вероятностей erf с
к единице. Неравенству с > 2 соответствует
-
и, например, при sin Р = 0,2, k = 1,4 число М00 > 12, а при sin Р = 1
наименьшее значение числа М00 снижается до 2,4.
Таким образом, в случае больших скоростей формула ( 12.9) при­
нимает вид
(12.12)
Полученное выражение справедливо для лобовой части тела,
где р > О. Для кормовой части, где р < О, Nпад = О, т. е. здесь при
больших скоростях полета молекулы газа не достигают поверхно­
сти ЛА.
12.2. Давление и трение в свободномолекулярном потоке
583
Для определения давления, а в дальнейшем и напряжения тре­
ния в свободномолекулярном потоке воспользуемся уравнением
движения, согласно которому изменение суммарного количества дви­
жения молекул при обтекании поверхности за единицу времени
равно импульсу сил от их давления и трения за тот же промежу­
ток времени.
Давление определяется суммарной потерей количества движения
молекул в перпендикулярном к поверхности тела направлении в ре­
зультате их соударения со стенкой. Количество движения молекул,
соударяющихся с единичной поверхностью в единицу времени,
nnaд mv2 F du dv dw.
Тогда давление, создаваемое всеми падающими на лобовую пло­
щадку молекулами,
QQ
2 QQ 2 o 2 QQ
2
1
Рnад = Pnaд(nc;naд)- '5 J e-0,5Hi du J v e- ,5н2dv J e-0,5Hзdw, (12.13)
о
-00
-QQ
где Рnад - плотность падающих частиц, Рnад = тпnад·
При определении давления на кормовую площадку (� < О) пре­
делы интегрирования v во втором интеграле (12.13) будут от -оо
до Тогда, выполнив аналогичные случаю переноса молекул пре­
образования, получим выражение для коэффициента давления:
О.
Рnад -
_
2 Рnад
РnадV2
.
- s1n
_
00
2
R
1-'
-
1С
с '\/ 1t
-с
е
2
l
1
+ + - (l + erfё) .
2с 2
-
(12.14)
Отраженные частицы также создают давление, равное количе­
ству движения молекул, покидающих стенку перпендикулярно по­
верхности. Для его определения воспользуемся уравнением ( 12.13),
в котором примем v = О:
QQ
QQf
QQ o
1
o
nc2
v2
u
v
e ,5нi d J e- ,5нi d w·
ротр = ротр ( отр )- ,5 J е-о,5н[ d
r
о
После вычисления интегралов получаем
-00
Ротр = 0,5 R РотрТотр•
-00
(12.15)
где Ротр - плотность отраженных частиц, Ротр = тпотр·
Тогда зависимость для коэффициента давления при диффузном
отражении будет иметь вид
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
584
Ротр
=
rf -)J
sin2� Тотр · [ -с 2 + -'\/c1t ( l _е
+
е
_
Т.
РпадVoo2 2с 2 пад
2Ро
тр
=
-
C
с
.
(12.16)
Окончательно для коэффициента давления получаем
тотр
2
1
1
1
.
- 2(Рпад + Ротр ) SIП
R
1-' +=
р=
ё JTT. 2ё
Рпадv;
-2
-с
е
тотр
2
+
- 1+
(1 + erf с ) ,
+ JTT,
2с 2с тпад
+
(12.17)
2
где знак «+» соответствует лобовой, а знак «-» - кормовой поверх­
ности тела.
Из выражения ( 12.17) следует, что коэффициент давления зави­
сит от ориентировки (угла �) рассматриваемой площади, числа М00
и от отношения температур Т0тр /Тпад·
При больших скоростях (с >2) формулы (12.14) и (12.16) при­
нимают вид
Рпадлоб =2sin 2 �(1+0,5c 2 ); Рпадкор м =0;
Ротркорм = {sin 2 �/с )�пТотр / Тпад ; Ротрлоб = О.
(12.18)
(12.19)
С учетом выражений (12.18) и (12.19) общий коэффициент дав­
ления при больших скоростях
-Рлоб = Рпадл
- об + Ротрл
- об = 2 SIП· 2 R1-' 1 + 1
2с
-2
отр
jT
T_
Т
+
2с-
тпад
;
Ркорм = О.
Напряжение трения возникает вследствие полной потери таигенциальнои составляющеи количества движения молекул при их
ударе о стенку. Для одной молекулы эта потеря равна ти, а для
числа молекул, которые соударяются с единичнои поверхностью в
единицу времени, v
v
v
flпaдmFuv d ud vdw.
Как и в случае с определением давления, напряжение трения,
обусловленное всеми падающими на лобовую поверхность моле­
кулами,
'tпад
= рпад
(
пс 2
r пад
)-1,5 00f ие-о,sн, duf00 ve-O,SH22 dv 00f e-0,SHз2dw
2
·
-<>О
о
-<>О
12.2. Давление и трение в свободно.1нолекулярнол1 потоке
585
Для кормовой поверхности в этом выражении нужно во втором ин­
теграле принять пределы интегрирования от -оо до О.
Учитывая, что u = V00cosp (см. рис.12.3), а с = (V00/crпaд )sinp,
получаем зависимость для коэффициента трения:
сf пад -
-
2'tпад
2
РпадVоо
. R,_,
- s1n
cos ,_,
R
_
1 -с-2
се
C'\/1t
+ (1 + еrf -с )
_
_
.
( 12.20)
Поскольку любые направления диффузно отраженных молекул
равновероятны, они не создают напряжения трения и 't0тр = О Сле­
довательно, сfотр = О.
При Р = О, согласно (12.20), коэффициент трения
.
[2
С/пад = 00 J1c = М00 v � ·
С
1
1
>
В случае, когда с 2, зависимости также упрощаются и соот­
ветственно для лобовой и кормовой поверхности принимают вид
С/падлоб =sin 2P; С/падкорм =0.
erf
Для облегчения вычислений в табл. (12.1) приведены значения
-2
функций е-с и
с для различных значений с.
Как бьmо показано выше, для определения нормального давле­
ния необходимо знать отношение температур Тотр/Тпад · Вычисле­
ние его связано с нахождением энергии поступательного движения
молекул, подводимой при их ударе о стенку и отводимой в резуль­
тате отражения молекул.
Каждая молекула при ударе передает поверхности тела энергию
О,5тс;Р = О,5т(И 2 + V 2 + w2 ).
Единичной поверхности тела в единицу времени падающие мо­
лекулы сообщают энергию
О,5тl�падс2 Fvdu dvdw.
Интегрируя это выражение в соответствующих пределах изме­
нения и, v и w с учетом ( 1 2.6), получаем
оо
l
в
оо
Епад = О, 5тппад (1tC;пад ) ' J J J с;Р
-О 5
-оо fн -оо
2 / 2
е-сер Сгпад v
du d d
Здесь для лобовой поверхности пределы tн = О, !8 =
вой tн = -оо, !8 = О.
-
v
оо,
w.
(12.21)
а для кормо­
586
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
Находим зависимость для общей энергии, передаваемой при
ударе:
[
Епад = 0,SmNnaд v; + RТпад 4 +
l �,
<р+ 1 �
где Nпад определяется выражением (12.9), а функция
2
е
с
+c.fn · ( 1 + erf с )]- 1 •
<р=
[
( 12.22)
(1 2.23)
Для отраженных молекул соответственно получаем
0,5mn0тpc;PFU dU d V dW;
о
Еотр = О,Sтп0тр (1tс;0тр )- ,s
00
о
JJ
�t;
J c;Pe-cP c oтpv dUdV dW;
00
-<><> -оо -<><>
1,5 / о 5
)
Еотр = Ротр ( RТотр (2 1t) ' ,
где Ротр = тпотр· Поскольку N0тр = Nпад• зависимость для кинетичес­
кой энергии, уносимой с лобовой (знак «+») и кормовой (знак«-»)
поверхностен тела, примет вид
�
Еотр = 2mNпад RТотр =
Суммарный поток кинетической энергии молекул
Е = Епад -Еотр·
При больших скоростях (с > 2) для лобовой и кормовой поверх­
ностей можно приближенно считать <р = О. Принимая во внимание
формулы (12.9), (12.22) - (12.24) и проводя необходимые упроще­
ния, получаем
Епад лоб =0,5 сРпад �2RТпад · (v; +SRТпад ) ,
Епад корм = О;
Еотр корм =О.
12.3. Процессы аккомодации в свободнол1олекулярном течении 587
12.3. Процессы аккомодации
в свободномолекулярном течении
Согласно гипотезе диффузного отражения, молекулы при ударе
успевают полностью «приспособиться» к условиям на стенке и воз­
никающий контакт между ними достаточен, чтобы передать стенке
импульс всех молекул.
Реальные процессы взаимодействия отличаются от диффузного
отражения и характеризуются более сложными явлениями. Только
часть соударяющихся со стенкои молекул передают еи тангенциальную составляющую импульса. Степень их контакта недостаточ­
на для того, чтобы молекулы приобрели среднюю энергию, соот­
ветствующую температуре стенки
В основе рассматриваемой концепции отражения лежит идея,
что нормальная и тангенциальная составляющие импульса отражен­
ных молекул определяются соответствующими коэффициентами ак­
комодации:
(12.25)
fп
)/{
);
�
�
Тет·
= (Рпад -Ротр Рпад -Рст
ft = ( 'tпад - 'tотр )/'tпад·
(12.26)
В соответствии с этим коэффициент аккомодации /11 определя­
ет долю падающих молекул, которые передают стенке нормальную
долю молекул, пере­
составляющую импульса, а коэффициент
дающих касательную составляющую импульса. Очевидно, что для
полностью зеркального отражения !,,
1
а для полностью диффузного
Давление Ретв (12.25) соответствует нормальной составляющей
импульса молекул, которые отражаются с максвелловским распре­
делением скорости, соответствующим термодинамическому равно­
весию при температуре стенки
находящейся в состоянии покоя
Согласно выражению (12.15),
( V00
ft = ft = О (рnад = Рслр• 'tnaд =
-fп =ft = (р0тр = Рет> 'tслр =О).
= 'tслр),
= О).
Тет•
Рет =0,5RРетТет ·
Поскольку Рет = тпст, а Рпад = тппад• то
Рет =0,5RРпадТст пст /ппад ·
Для определения отношения пет /ппад проведем некоторые пре­
образования. Исходя из того, что N = Nnад , имеем
RТ
пет 21tСТ =Nnaд ·
ст
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
588
Определив Nпад по формуле (12.9) и вычислив отношение nr::rfnnaд'
находим выражение для коэффициента давления:
= 2 Рст
В
Pr::r
Рпадvоо
si�P Tr::r ·[ e-c 2 ± c .Jn (I + er fc )J . (1 2.27)
= 2
2с
Тпад
общем случае коэффициенты /11 и f't неодинаковы, так как
характеризуют различные процессы передачи импульса при отра­
жении. В приближенных вычислениях можно исходить из гипоте­
зы Максвелла равенства f11 = f't = f, предполагающей, что процесс
отражения характеризуется одним коэффициентом аккомодации f,
и указывающей на то, что диффузно отражается f, а зеркально доля (1 -f) всех молекул. Поэтому из выражения (12.25) получаем
P<Yrp = Рпад ( 1 - f ) + !Pr::r ;
(12.28)
Р = Рпад + Ротр = (2- f) Рпад + fPr::r ·
Подставляя в уравнение (12.28) давления рпад из (12.14) И Рсr из
(12.27), получаем
-2
с
2(
+
Рпад + Ротр) . 2 р
1
Р=
= Slll (2 - f ) -: + 1 + 2 (1 +erf с) +
2
c.Jn
2с
РпадVоо
+ f2
2с
Tr::r · [ -с2
е +c.Jn · (l + erfc )J .
тпад
(12.29)
Поскольку для отраженных молекул, согласно (12.26),
'tотр
= ( 1 -/)'tпад'
то суммарное напряжение трения от деиствия падающих и отраженных молекул будет определяться выражением
't
�
= 'tпад - 'tотр -f'tпад.
(12.30)
С учетом соотношений (12.20) и (12.30) коэффициент трения
2
2
+ее
2't
.
'tпад
с1 =
2 = f s1nPcosP -.JTT_ + ( l + erfc- ) . (12.31)
2 =!
С 1t
РпадVoo
Рпад Voo
больших скоростей (с > 2) и сильно охлаждаемой стен­
ки (Tr:;r < Тпад) зависимости (12.29) и (12.31) принимают вид
В случае
12.3. Процессы аккомодации в свободномолекулярно.111 течении 589
Рлоб = 2 (2 - f)sin2 �, Ркорм = 0;
сf лоб = f sin 2 �. сf корм = О.
В приведенных зависимостях коэффициент аккомодации f = 1,
поэтому в расчетах для воздуха можно принимать f = 0,95 . . 1. Од­
нако экспериментально установлено, что для некоторых комбина­
ций газа и поверхности коэффициент f << 1. В предельном случае
полностью диффузного отражения/= 1, а в случае полностью зер­
кального отражения, что нереально, f= О.
Процесс обмена энергией между падающими молекулами и
стенкои, как и рассмотренныи выше перенос количества движения,
в общем случае не сопровождается полной аккомодацией. Когда
контакт падающих молекул вследствие малого времени соприкос­
новения со стенкой недостаточен, чтобы передать им при отраже­
нии среднюю энергию, соответствующую температуре Тcr и рав­
ную, согласно (12.24),
.
v
v
ЕСТ = 2mNnaдRTCT =
�.
[
2
.
PnaдRTcr �RTnaд е с + c.Jn (1 + erf ё)
].
предполагают, что температура Тотр отличается от темперагуры стен­
ки Тет· В этом случае при расчете теплопередачи используют тер­
мический коэффициент аккомодации
Т) =
Епад - Еотр
Еnад - Ecr
При полной аккомодации (ТJ = 1) Еотр = Ест •
комодации (ТJ = О) Епад = Еотр·
(12.32)
а при отсутствии ак­
Наблюдения показывают, что характер изменения термического
коэффициента аккомодации весьма сложен. Установлено, что с уве­
личением молекулярного веса и температуры поверхности стенки
значение коэффициента Т) возрастает. Можно предположить, что ак­
комодация частиц будет зависеть от скорости полета тела, угла подхода молекул к поверхности, своиств материала, состояния поверхности. Ниже представлены результаты экспериментального опре­
деления коэффициента Т) для воздуха при различных материалах
поверхности и способах ее обработки:
v
Ровный лак на бронзе . . . . . . . . . . . . . . .
Бронза полированная . . . . . . . . . . . . . . .
Бронза машинной обработки . . . . . . . . .
0,88-0,89
0,91 -0,94
0,89-0,93
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
590
Бронза травленная . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литая сталь полированная . . . . . . . . . . .
Литая сталь машинной обработки . . . .
Литая сталь травленная . . . . . . . . . . . . .
Алюминий полированный . . . . . . . . . . .
Алюминий машинной обработки . . . . .
Алюминий травленный . . . . . . . . . . . . .
0,93-0,95
0,87-0,93
0,87-0,88
0,89-0,93
0,87-0,95
0,95-0,97
0,89-0,97
Видно, что термический коэффициент аккомодации воздуха с
бронзой, алюминием и сталью при различных способах обработки
поверхности близок к единице и колеблется от 0,88 до 0,97. Кроме
того, были определены значения Т] для различных газов при их взаимодеиствии с поверхностью из платины:
�
Водород . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Гелий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Аргон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Аммиак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Азот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кислород . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Закись азота . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Воздух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оксид углерода . . . . . . . . . . . . . . . .
Диоксид углерода . . . . . . . . . . . . . .
Сернистый газ . . . . . . . . . . . . . . . . .
0,35
0,51
0,88
0,88
0,90
0,90
0,90
0,91
0,91
0,92
0,95
Согласно этим данным, легкие газы (водород, гелий) слабо ак­
комодируются стенкой, все остальные - имеют термический коэф­
фициент аккомодации от 0,88 до 0,95.
Сравнение коэффициентов аккомодации показывает, что f> ТJ.
Следовательно, несмотря на то что процесс отражения молекул бли­
зок к диффузному, время соприкосновения молекул со стенкой все
же недостаточно для выравнивания их температур.
12.4. Аэродинамические характеристики при обтекании
тел произвольной формы
Рассмотрим сначала случай вычисления аэродинамических ко­
эффициентов без учета эффекта аккомодации, т. е. при f = 1 . При
соударении с единичной площадкой, расположенной на лобовой по­
верхности тела ( см. рис. 12.4), вследствие нормального давления и
трения возникает элементарная продольная сила
12.4. Характеристики при обтекании тел произвольной фор.1ны 591
Fпад лоб = Рпад лоб sin � + 'tпад лоб COS �
или после подстановки соответствующих выражении для Рпад б и
из (12.17) и (12.20) имеем
'tпад лоб
V002 s1n..,R е-сr=
Fпад лоб = 2 • _cv1t +
2
1+
s1n2 R
..,
(
·
f
1 + er
_2
2с
ло
�
-с )
.
Интегрируя полученное выражение по лобовой поверхности
получаем
Хпад лоб =
J Fпад лобdS
Sлоб
Sлоб•
·
Отсюда коэффициент продольной силы
2Хпадлоб
сх падлоб = Vоо2S
Рпад мид
=
где
_J sin�
Sлоб
-2
-с
-�+
е
c
.Jn
2�
sin
1+
2с 2
(l + erf с ) dS,
(12.33)
Sлоб = Sлоб/Sмид ; с = (V00/Cr пад) sin � = С00 sin �; S = S/Sмид.
Для кормовой поверхности соответственно
= Рпад
sin � + 'tпад COS �
и после подстановки выражений (12.17) и (12.20) для Рnад
и
а также проведения аналогичных преобразований получаем
'tnaд
Fпад корм
корм•
корм
корм
корм
2Хпадкорм
сх падкорм =
Рпадyоо2sмид
2�
sin
(1-erfc)
dS,
= J sin� -� + 1 +
c.Jn
2с 2
Sкорм
-с 2
-
е
где
Sкорм = Sкорм/Sмид
(12.33) заменой
с
(эту же зависимость можно получить из
на -с).
Коэффициент продольной силы обтекаемого тела определяется
как разность коэффициентов сил, возникающих от воздействия па­
дающих молекул на лобовую и кормовую поверхности и направленных в противоположные стороны:
Сх пад
Сх пад = Сх отр
лоб
корм
·
592
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
Элементарная сила, создаваемая отраженными от лобовой пло­
щадки частицами, с учетом зависимости (12.17) определяется вы­
ражением
Fотр лоб = Ротр лоб sin � =
РпадVоо2 sm2 '"'R
2
2с 2
·
а ее коэффициент
1
схотр лоб =2
f
SIП 2 tJR
.
_2
s лоб с
Тотр [ -с
·
тпад
е
- С ( l + erf +C"\/1t
с)
2
]
-
dS.
(12.34)
Аналогично для коэффициента силы, создаваемой отраженными от кормовои площадки молекулами, имеем
v
1
Сх отр корм = -
2
J
.
SlП 2 tJR
_2
sкорм с
Тотр · [
тпад
-с
е
2
(
)
- С J1t 1 -erf С dS. (12.35)
]
Полный коэффициент от действия отраженных молекул
Сх отр = Сх отр лоб - Сх отр корм ·
По своей физической природе сх отр характеризует реактивную силу,
возникающую при отражении частиц от поверхности.
Суммарный коэффициент продольной силы
обтекаемого тела
для
Сх = схпад + схотр ·
Для режимов течения при с > 2 полученные зависимости упро­
щаются:
1
Сх пад лоб = 2 1 + -2
2С00
J1t
Схотр корм = Соо
S
f
корм
(12.36)
Sлоб
· 2 тотр · dS;
s1n �
Тпад
Схпад корм = 0, Схотркорм = 0.
(12.37)
Для режима одновременного диффузного и зеркального отра­
жений (коэффициент аккомодации импульса/< 1 ) расчет элемен­
тарных сил ведут с использованием следующих соотношений:
12.4. Характеристики при обтекании тел произвольной формы 593
Fпад корм (с)= Fпад лоб(-с );
(12.39)
Fотр лоб = Fотр лоб (с)= [Рпадлоб (1- f) + .!Рстлоб ]sin �; (12.40)
(12.41)
Fотр корм (с) = Fотр лоб (-с).
Здесь Рст лоб определяется из зависимости (12.37), в которой выб­
а соотношения (12.39), (12.41) указывают на то, что
ран знак
F0тр корм и Fпад корм получаются путем замены с на -с в выраже­
ниях для Fпадлоб И Fотрлоб·
«+»,
Рассмотрим использование полученных зависимостей для вы­
числения аэродинамических коэффициентов конкретных аэродина­
мических форм. Наиболее простой случай - это обтекание плос­
кой пластинки ( рис. 12.5, а).
Если использовать теорию Ньютона, то сила лобового сопро­
тивления, действующая на пластинку площадью Sкрыл• определяет­
ся изменением количества движения до и после соударения:
Ха = (РооVооSкрыл sin а)voo - (РооVооSкрыл sin а)v = Рооv;sкрыл sin а,
поскольку
V = О, а ее коэффициент
2Х
= 2sina.
сха =
РооVооSкрыл
2
(12.42)
Эти выражения справедливы при очень больших скоростях сво­
бодномолекулярного потока. При небольших скоростях следует учи­
тывать эффекты отражения и использовать имеющиеся зависимос­
ти для коэффициентов давления и трения.
Пусть отражение происходит с коэффициентом аккомодации
f < 1. В этом случае на лобовую поверхность пластинки действует
сила, определяемая соотношением (12.38):
Хпадлоб = Fпад лобSкрыл = (Рпад лоб sin а + f'tпад лоб cos а)sкрыл'
коэффициент которой
схпад лоб = 2 (Рпад лоб sin а+ f'tпадлоб cosa)
PooVoo
2
(отметим, что здесь � = а).
594
12. Особенности обтекания тел. разреженной средой
r
Sкрыл
Ротр лоб•
Рпадлоб \�об
dS= 2nrdl
у
Р пад корм'
Ротрлоб
't пад корм
Рлоб/
а
�
Ркорм
х
'tпадлоб
х
б
Рис. 12.5. Схема расчета обтекания пластинки (а) и конуса (б) свободно­
молекулярным потоком
Используя для 'tпад лоб и Рпад лоб соответственно выражения
(12.37) и (12.42) и учитывая, что � = а, после преобразований по­
лучаем
-:;; (
1 + �2 {l+erfc ) +
+
c,,",06 �sin3 a �
с 1t
2с
-2
-с
е
2
a
+ fsinacos сJ1t1t + 1 + erf -с
_
Где
С
= С00
,
sin а.
Используя выражение (12.39), аналогично находим для верхней
поверхности:
-2
е с
1
. 3
хот
ко
м
а
1+
с р р = s1n
с)
{1-erf
2
2с
-=
=-+
c Jn
-
-
+ f sinacos2 а
е
-2
с
с
-
-
+
+ 1-erf с .
-
C"\/1t
Используя зависимости (12.40), (12.41), по аналогии с изложен­
_
ным выше можно записать выражения для аэродинамических ко­
эффициентов с учетом отражения
12.4. Характеристики при обтекании тел произвольной форл(ы 595
Схотрлоб = ( 1 - f)sin3 (Х,
-2
-с
1
--- + 1 + 2 (l + erf с ) +
2с
c .JX
-е
f sin3 а
+ --2с 2
схотр корм = (l -f )s1n
.
+
з
а
f sin3 а
-2 -
-2
-с
-.JX
-е
с 1t
+
1+
1
(1 - erf с ) +
2
2с
2с
Тогда аэродинамический коэффициент лобового сопротивления па­
дающих молекул
. з а,
2
SIП
рм
Схпад = Сх падлоб - Схпадко =
+ 2f sinacos2 a
а отраженных
с
2
-с
-Гпn
-е
_
_
_
_
-2
+
1+
1
2с 2
erf с +
-с
-е
-.JX + erf с ,
с 1t
Схотр =Схотрлоб - схотркорм =
-2
1
-с
--:_
f sin3 a
= 2 (1 - f)sin3 а .JX + 1 + 2 erf с +--с
с 1t
2с
Таким образом, коэффициент лобового сопротивления при об­
текании тонкой пластинки
-2
-с
1
. з -е
1
+
erf с +
Сха = схnад + схотр = 2(2 - f)s1n (Х, -.JX +
2
с 1t
2с
+ fsina 2cos2 a
-2
-с
-е
sin 2 a
+ erf с + --.JX
с 1t
_
с
Для коэффициента подъемной силы окончательное выражение
имеет вид
596
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
2
[
]
2 Gпадлоб - Gпадлоб {-с )+ Gотрлоб - Gотрлоб {-с ) .
Pnaд Vco
Здесь
Gпадлоб = Рпадлоб cos а - f'tпадлоб sin а;
Gотрлоб = Рnадлоб {l - f)- fР лоб ] соs а.
[
ст
Отметим, что в случае полностью диффузного отражения моле­
кул коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы оп­
ределяют при f= 1 , а для зеркального отражения - приf= О.
Рассмотрим теперь обтекание острого конуса с плоским дном
под нулевым углом атаки (рис. 12.5, 6). Используя соотношения
(12.34)-(12.37) и учитывая, что для конуса
2nrdl
2nrdr
=
=
dS
2 · R
2д
r
1trми 1t мид Sln 1-' к
dr2 .
· R1-' к '
Slll
получим для конической поверхности
Схлоб = схnадлоб + схотрлоб =
_
+ {1 + erf ск)
-2
тотр +
-с
е
ск
1
sin�к
1+ 2 +
2с00 2С00
_
_
(1 2.43)
а для донного среза с учетом его ориентации, приняв ск = С00,
=
2
-с
е
1
-1
--=
= + -Схкорм = схпад корм + схотркорм =
JTT,
2с00
ссо
Учитывая, что сила, действующая на донный срез, направлена
навстречу набегающему потоку, аэродинамический коэффициент
Сх = Схлоб - Схкорм '
(1 2.44)
12. 5. Теплопередача в свободнолtолекулярнолt потоке
597
а при очень больших скоростях (с > 1)
Сх = 2,
причем вне зависимости от формы тела.
Примечателен тот факт, что значение сх = 2 соответствует выво­
дам корпускулярной теории Ньютона. Силу нужно рассчитывать
как произведение коэффициента сх, скоростного напора и проек­
ции поверхности на плоскость, нормальную к направлению векто­
ра скорости V00•
При скоростях полета, которым соответствуют небольшие зна­
чения с , значение коэффициента сх возрастает вследствие влияния
отраженных молекул.
Следует учесть, что результаты точных расчетов сх для числа
М00 > 1 практически не отличаются от его значения, найденного с
использованием теории Ньютона. Следовательно, при небольших
числах М00 аэродинамические силы (коэффициенты) можно рассчи­
тывать по схеме диффузного отражения, а при больших числах
М00 - с помощью теории Ньютона.
В случае несимметричного обтекания конуса необходимо коэф­
фициенты давления рассчитывать по методу местных конусов.
12.5. Теплопередача в свободномолекулярном потоке
Температуру отраженных молекул Тo-rp можно определить из
уравнения баланса энергии между телом ЛА и средой. Запишем
v
его применительно к единичнои площадке на произвольном участке поверхности ЛА. К этой площадке подводится энергия поступа­
тельного движения молекул Еnад: Энергия отраженных молекул
Еотр = (l - 11)Епад + 'flEcт = (l - 11)Епад + 211тNпадRТст•
где коэффициент 11 определяется выражением ( 12.32).
( 12.45)
При учете теплоты qрад от внешней радиации, например сол­
нечного излучения, подводимая энергия равна сумме Епад + qрад .
Считая, что расход энергии наряду с ее переносом отражен­
ными молекулами обусловлен также излучением внешней поверх­
ности вследствие ее дополнительного охлаждения или нагрева из­
нутри (соответственно «+» или «-» q0.J, уравнение баланса энергии для единичнои площади при стационарнои теплопередаче
имеет вид
v
v
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
598
Еnад + qрад = Еотр + ecrTC� + qox
или с учетом зависимости (12.45)
(12.46)
11Епад + qрад = 11Ест + ecrT� + qox .
Здесь е - степень черноты тела; cr - постоянная Стефана-Больц­
мана, = 5,698· 1 0-8 Вт/м2 . К4 .
Выражение (12.46) и входящие в него соотношения для Епад и
Ест соответствуют движению одноатомного газа. Воздух, в частно­
cr
сти, рассматривают как двухатомную модель среды, каждая части­
ца которой обладает кроме энергии поступательного движения так­
же внутренней энергией, обусловленной ее вращением и колебани­
ем в зависимости от свойств газа. В этом случае частицы газа,
попадая на единичную поверхность, передают еи за единицу времени внутреннюю энергию
�
3k mRTnaд N ад
k-1 2 П '
а отражаясь от нее при температуре Тет> уносят внутреннюю энергию
Зk
Тст
5тR
'
=
Е k-1 2 N
где Nпад = Nотр·
5
=
пад
,
Е
-
СТ
СТ '
В этом случае для двухатомного газа уравнение баланса энер­
гии имеет вид
(12.47)
ЕпадЕ = Епад + Е�ад; Естr. = Ест + Е�т.
Расчеты температуры Т для пластинки с помощью уравнения
(12.47) показали, что влияние на нее солнечной радиации значи­
тельнее при малых углах а. и возрастает с увеличением высоты.
Начиная с 240 ... 250 км, солнечная радиация является основным
фактором, определяющим температуру стенки. Для снижения тем­
пературы Тст можно использовать поверхности с малым коэффици­
ентом аккомодации 11 · В этом случае желательно, чтобы угол на­
где
ст
клона стенки был минимальным, что достигается при полетах на
малых углах атаки.
Зная температуру Тст• можно вычислить температуру отражен­
ных молекул Тотр · Согласно уравнению (12 .45), энергия отражен­
ных двухатомных молекул
(12.48)
Здесь
12. 5. Теплопередача в свободно11tолекулярн0Аt потоке
599
(1 2.50)
(12.51)
где
5 - Зk
k+1
=
l
+
kl
4(k -1) 4(k -1)'
(1 2.52)
--- ·
1 5 - 3k тRТпад
(1 2.53)
k2 = 1 +
Nпад ·
2
Епад k - 1
Подставив соотношения (12.49)-(12.51) в (1 2.48), получим урав­
нение для определения температуры отраженных двухатомных мо­
лекул:
(12.54)
Температуру Тo-rp необходимо рассчитывать отдельно для лобо­
вой и кормовой поверхностей, для которых значения Nпад и Епад•
а следовательно, и Тет различны. Если коэффициент аккомодации
fJ = 1, ТО Тo-rp = Тст·
Такой результат будет и в случае так называемой адиабатической
стенки, которая характеризуется отсутствием внешнего подвода и от­
вода теплоты, за исключением энергии падающих молекул. Поскольку
в этом случае стенка нагревается только в результате поступательно­
го движения молекул, уравнение (12.47) принимает вид
ЕпадJ:. = Естr.
или с учетом (12.50) и (12.51)
(12.55)
Епадk2 = 2mNnaдRTcтkl = Естk1 •
Из (12.55) после подстановки выражения (12.25) получаем
тет - тотр -
Тпад
Тпад
1
k2
2
Voo + RTnaд 4+
4RТпад k1
<р+ 1
--
'
600
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
откуда находим
Тет = тотр = 1 + kMOO + 1
"2
4
4(<р + 1) k1
тпад тпад
Из этой зависимости следует, что температура адиабатической
стенки является своеобразным аналогом температуры торможения
при сплошном течении. Если по условиям полета поддерживается
некоторая постоянная температура стенки, то расчеты в этом слу­
чае сводятся к нахождению температуры отраженных частиц.
Удельный тепловой поток к стенке определяется как разность
энергий падающих и отраженных молекул:
q = ЕпадI, - ЕотрЕ.
·
Согласно выражению (12 .48),
q = Т\ (Епадr. - Естr. )
или с учетом (12.50) и (12.51)
q = Т\ ( Епадk2 - 2mNпадRТcтkt ).
Используя полученное ранее выражение (1 2.22) для Епа д• имеем
тtтNпад
1
2
-4RTeтkt . (1 2.56)
q=
k2 V00 + RТпад 4 +
2
<p + l
После подстановки выражений (12.9), (1 2.23), (12.52), (12.53)
для Nпад• <р, k1 , k2 и массы молекулы т = Рпад/У�пад для лобовой
поверхности получаем
q = Т\
х
Рпад
3
)
Т.�
(R;
д
·
[
-2
е-с
]
+ с .J1t (1 + erf с )
·
rf с
Х
1- с
+ 1 тет
+1
k
2
k
+ - c v1t (1 + е -)
с00 +
2(k -1) тпад 2(k -1) 2
·
(12.57)
Для кормовой поверхности в полученном выражении (12.57)
нужно с заменить на -с.
Полагая, что тепловой поток q = О, из соотношения (12.56) определяем равновесную температуру стенки
т = Т.ст =
е
k2
4Rk1
4+
1
<р+ 1
(12.58)
12. 5. Теплопередача в свободно11tолекулярн0Аt потоке
601
п )
(12.58),
Очевидно, что при больших скоростях (V; >> а д параметр
для k1 и пренебрегая вторым
2 = . Подставив выражение
слагаемым в квадратных скобках зависимости
получаем
2
k 1
а
(12.52)
k
Tе = 1 VR00 '
k+I
или
(k
-1)
2Тпад
2
=
Те k + 1 с00•
_
Для расчета теплопередачи необходимо знать число Стантона,
являющееся безразмерным параметром теплопередачи:
2k
q
St= +
k 1 11РпадVoocр пад (Те - Тет ) '
(12.59)
которое в таком виде называется локальным модифицироваю-1.ьLМ чис­
лом Стан.тона. При больших скоростях (ё.х, >> ё >> для ло­
можно запи­
бовой поверхности тепловой поток, согласно
сать в приближенной форме:
1)
1,
(12.57),
2
-с
1
erfc
l
с е;; .
q= -11R
+
,
T
�JT
RТп
Т
+
Рпад
ад
пад�
2
с п
С учетом выражения (12.57), соотношений RТпад = Рпад/Рпад =
= а�ад/k, с = С00 sin � (где с00 = V00/апад jkfi,) и при условии, что
тет << те , выражение (12.59) принимает вид
sin �
(12.60)
St= 2 c-vсn + 1 + еrf с
·
-2
е-с
_
Коэффициент трения на лобовой поверхности определяется зависимостью
-2
-с
(12.61)
f пад = f sin �cos� c-vnс + l + erf
Из выражений (12.60) и (12.61) находим связь между числом
с
е
_
-
с
Стантона и местным коэффициентом трения:
с
пад
f
St= 2f cos�
.
(12.62)
602
12. Особенности обтекания тел разреженной средой
Интегрируя выражение (12.61) по обтекаемой поверхности, мож­
но определить суммарный коэффициент трения, затем по формуле
(12.62) вычислить значение числа Стантона и, наконец, из соотно­
шения (12.59) найти полный тепловой поток к стенке.
Для практической деятельности необходимо определение теп­
лового потока в точке полного торможения. Экспериментальные ис­
следования показали, что тепловой поток в точке торможения за­
тупленного тела можно вычислить по формуле
qo = 3, 08 · 1 0-11 11 Роон
РооЗ
voo
3
'
где Роон , р003
плотность воздуха соответственно на высоте Н и
первая космическая скорость. Зная тепловой
вблизи Земли; V1
поток, можно вычислить равновесную температуру в этой точке:
-
-
т
СТ
-(
+
- qOX )
+
1/4 ("сО")1/4
qQ qрад
При очень больших скоростях тепловой поток на лобовой по­
верхности определяют по формуле
-
3 1+
q = О,499711РпадV00
5
2
kM00
·
sin�.
Для критической точки необходимо принять � = тr12.
Режим течения со скольжением занимает промежуточное поло­
жение между свободномолекулярным и сплошным течениями. Боль­
шинство современных методов расчета трения и теплопередачи для
этого режима основано на применении уравнении пограничного
слоя, решение которых должно удовлетворять специальным гранич­
ным условиям, допускающим разрыв скорости (скольжение).
�
13. НЕКО ТОРЫЕ ВОПРОСЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
АЭРОДИНАМИКИ
практических задач, связанных с созда­
нием ЛА, исследованием траектории их движения, пе­
реходных процессов и т. п., необходимо знать харак­
теристики аппаратов как в условиях стационарного
течения, так и при нестационарном обтекании. В пос­
леднем случае изменение кинематических параметров
во времени может подчиняться и непериодическому
закону. Одной из важнейших задач аэродинамики не­
установившегося движения является разработка ме­
тодов определения нестационарных аэродинамичес­
ких характеристик.
В главе изложены различные подходы к эксперимен­
тальному определению характеристик в условиях не­
стационарного обтекания тел. Большое внимание уде­
л ено физи ческим закономерностям, структурам. те­
чения при неустановившемся движении, влиянию
амплитуды и частоты колебаний на аэродинамичес­
кие характеристики.
Для решения
13.1. Определение нестационарных аэродинамических
характеристик
В условиях неустановившегося движения коэффициенты аэродинамическои нормальнои силы и момента тангажа можно представить в следующем виде:
�
�
·
-
+caa+caa+c00z ro + c00z ro
.
с>, =с
УО
У
-
У
-
У
.
Z
Z'
У
тz = тzо + тz а + тz а + mz z roz + mz z roz,
-
а
а·
-
-
оо -
.
оо
·
(13.1)
13. Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
604
где су0 , тzо
.
.
коэффициенты обтекания ЛА под углом атаки
.
ro,
.
а
а
а
а
W
co W
z
су , су , су , су · , тz , тz , тz z , тz z
-
-
а0 ;
- производные аэродинами-
ческих коэффициентов по параметрам
-
-
а, а, roz , roz
соответствен-
а= аь;v
безразмерная производная от угла атаки а по
времени; roz = rozb/V - безразмерная угловая скорость; roz =
= rozь2 /v� - безразмерная производная от угловой скорости roz
но;
00
-
00
по времени; Ь - характерный размер тела.
Такое представление аэродинамических коэффициентов бази­
руется на предположении о возможности использования принципа
наложения отдельных частных видов движения, для которых струк­
тура обтекания ЛА будет оставаться неизменной - отрывной или
безотрывной. В этом случае оказывается возможным в явном виде
выделить основные параметры, влияющие на эти коэффициенты.
Когда производные аэродинамических коэффициентов не зави­
сят от числа Sh и слабо зависят от числа Re, можно допустить, что
они являются универсальными, а значит, их можно использовать в
расчетах при любых законах изменения кинематическ.их парамет­
ров во времени. Такое предположение, введенное в практику аэро­
динамических исследований С.М. Белоцерковским, называется ги­
потезой гармоничности. Согласно этой гипотезе, аэродинамичес­
кие характеристики можно вычислить с помощью соотношений
(13.1), в которых производные определены экспериментально при
гармонических законах движения или теоретически, а кинемати­
ческие параметры определены на основании их временных зависимостеи.
В случае малых амплитуд колебаний аэродинамические коэф­
фициенты вычисляют в виде их производных по определяющим
параметрам а, а, roz, roz. Причем при нестационарном обтека­
нии в условиях колебательного режима при фиксированном угле
атаки структура обтекания соответствует стационарному течению.
При использовании так называемого метода больших амплитуд мо­
дели ЛА придают колебательное движение с различными амплиту­
дами и частотами и определяют действующие на нее при фиксиро­
ванном угле атаки «полные» аэродинамические силы и момент, ко­
торые в общем случае зависят от параметров а, а, roz. Особо
следует подчеркнуть, что аэродинамические характеристики при
этом соответствуют мгновеннои структуре течения при нестационарном обтекании.
�
�
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 605
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики
корпусов летательных аппаратов
В авиационной и ракетно-космической технике широкое при­
менение находят элементы конструкций, выполненные в виде за­
тупленных тел небольшого удлинения с изломом образующей по­
верхности и различными поперечными сечениями (круглыми, близ­
кими к квадратному или прямоугольному). Это корпуса или
отдельные элементы самолетов, вертолетов, противотанковых ра­
кет, космических объектов и т. п. Обтекание таких тел может со­
провождаться отрывом потока (рис. 13 . 1 , а, 6), что приводит к воз­
никновению ряда специфических особенностей, вызывающих не­
однозначность аэродинамических характеристик. Обусловливается
это наличием различных структур течения вблизи поверхности тела
и запаздыванием их перестройки. Области гистерезиса аэродина­
мических характеристик зависят от целого ряда факторов - чисел
М00, Re, Sh, углов атаки и скольжения.
На аэродинамику подобных тел оказь.1вает влияние нестацио­
нарность обтекания. При неустановившемся движении может про­
изойти трансформация областей неоднозначности аэродинамичес­
ких характеристик, что необходимо учитывать при проведении рас­
четов.
Производные коэффициентов нормальной силы
и момента тангажа
Как уже отмечалось, колебательное движение тела даже с малои амплитудои вносит существенные изменения в структуру его
обтекания, в частности расширяет диапазон значений чисел М00,
при которых существует отрывное течение.
Рассмотренные ниже нестационарные аэродинамические харак­
теристики тела с плоскими гранями и сегментальным затуплени­
ем, полученные для конкретных значений амплитуды и частоты его
колебаний, можно использовать для изучения переходных процес­
сов при любых законах движения ЛА.
Анализ кривых, приведенных на рис. 13 . 1 , в, показывает, что с
увеличением числа М00 производная с� (М00) в дозвуковом диапа­
зоне скоростей (М00 = 0,6...0,9) уменьшается, оставаясь положитель­
ной. В интервале М00 0,93 ... 1 , 1 она изменяет свой знак и достига­
0 5 при М00 1,0. Последующее
ет минимального значения с�
увеличение числа Маха (М00 1 ,0) приводит к росту с� , и только
при М00 1,1 производная с� О. Это означает, что при колеба�
�
=
>
>
=
-
>
,
=
13. Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
606
,у
_.. �-·-·-·-·-·-·
'''
а
";./
''
....
.
б
с (J.
у
1,5 1-----4--1--U<r--�
о t----+----t--+-tflO.Z.1:,.-C.-\
0,7
М оо
0,5
0,9
1,1 Моо
2
0,4 1-----+---1----+---.1
та
z .__
__._
_
в
(J)
Су
•
z
+
.
(J.
1
Су
20
10
о
о,5
- 10
�
09
�,..
0,7
д
3
_....__
_
__._
_
г
_.
_
-2
0,7 �
� 'К
о
•
0,9 '1 1 м00
о,5 ____,r
�
\
1'\.
r
2
'
2
1,1
\
Моо
4
.,..
'
r--...z
i'r--. 2
�
�"r-... 3
-
'+ mz(J.
•
е
Рис. 13.1. Структуры течения (а, б) и изменение производных аэродина­
мических коэффициентов (в-е) сегментно-затупленных тел в зависимости
от числа М00 и расстояния до условного центра масс Хусл , равного 0,262 (1),
0,428 (2) и 0,76 (3), при нулевом угле атаки
тельном движении тела относительно нулевого угла атаки в диапа­
зоне М00 = 0,9". 1,1 действующая на него нормальная сила направ­
лена противоположно направлению изменения угла атаки (с� < О).
Экспериментальные исследования при стационарном обтекании
показали, что только при отрыве потока на теле может возникнуть
отрицательная нормальная сила (при а > О), а значение М00, при
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 607
котором происходит изменение знака с� с отрицательного на положительныи, соответствует моменту перестроики отрывного течения (см. рис. 1 3 . 1 , а) на безотрывное (см. рис. 13.1, б). При коле­
бательном движении тела относительно нулевого угла атаки это на­
блюдается при М00 = 1,15, в то время как в условиях стационарного
обтекания перестройка структуры течения происходит при М00= 1,05.
Таким образом, наличие угловой скорости тангажа, т. е. колебатель­
ного движения тела, приводит к увеличению области существова­
ния отрывного течения до больших значений М00•
Важной практической задачей при исследовании обтекания тел
в условиях колебательного движения является определение степе­
ни влияния на аэродинамические характеристики положения услов­
ного центра масс Хусл = ХуслlЬ (здесь Ь характерный размер тела).
Установлено, что характер изменения производной с�(М 00 ) при раз­
личных положениях оси вращения является общим для всех иссле­
дуемых значений хусл. При дозвуковых скоростях набегающего по­
тока (М00 < 0,9) смещение условного центра масс к кормовой части
тела приводит к небольшому увеличению производной коэффици­
ента нормальной силы. Наиболее существенно это проявляется в
диапазоне М00 = 1,0 ... 1 , 15, когда обтекание носит неустойчивый ха­
рактер.
С возникновением на теле безотрывного течения производная
с� остается неизменной для различных положений условного цент­
ра масс и практически совпадает со значением с� , полученным
при стационарном обтекании. Область отрицательных значений с�,
а следовательно, и нормальном силы при смещении условного центра масс к кормовом части тела уменьшается и почти исчезает при
его приближении к донному срезу. Поскольку возникает эта сила
только при отрывном режиме обтекания, диапазон значений М00,
при котором она существует, также уменьшается. При смещении
положения условного центра масс к кормовой части (увеличение
хусл) перестройка структуры течения с отрывной на безотрывную
происходит при меньших значениях � и практически совпадает с
соответствующим значением М00 в стационарных условиях (Фz = О).
Это связано с влиянием угловой скорости колебаний. При переднем
положении условного центра масс (например, в кормовой части)
распределение линейных скоростей таково, что при Фz > О оно спо­
собствует расширению отрывной зоны на верхней и уменьшению
на нижней поверхностях тела. Вследствие этого происходит затя­
гивание существования отрывного течения до больших значеv
v
-
v
v
608
13. Некоторые вопросы нестационарной аэродижшики
ний М00• При значительном смещении положения условного центра
масс к кормовой части ЛА распределение линейных скоростей по
поверхности, обусловленных движением тела, практически не вли­
яет на формирование структуры его обтекания в этой области, а
обтекание носовой части весьма устойчиво.
Анализ зависимости т� (М00) в исследуемом диапазоне скорос­
тей потока показал, что при М00 < 1 величина т� < О, а при М00 > 1
знак производнои определяется положением условного центра масс
(рис. 13.1, г). Для отрывных режимов течения, соответствующих
М00 < 1 ,15, значения т� , полученные при вынужденных колебани­
ях и в условиях стационарного обтекания, существенно отличают­
ся между собой. Это позволяет сделать вывод о том, что колеба­
тельное движение тела приводит к заметной трансформации отрыв­
ной структуры обтекания при дозвуковых и околозвуковых скоростях
невозмущенного потока, а следовательно, и к изменению аэродина­
мических коэффициентов ЛА по сравнению с их значениями, полу­
ченными в условиях стационарного обтекания.
На рис. 13.1, д видно, что с изменением � в дозвуковом диа­
пазоне скоростей (М00 < 0,9) происходит непрерывное уменьшение
суммы производных коэффициентов нормальной силы c�z + с� , а
при трансзвуковых скоростях - ее возрастание с последующим
.
уменьшением, причем максимальное значение c�z + с� достигается при М00 = 1 . Такое изменение суммы производных в зависимос­
ти от числа М00 можно объяснить, оценивая в отдельности каждую
из них.
При скоростях набегающего потока, соответствующих 0,6 < М00 <
� 0,9, отрывная структура обтекания тела (см. рис. 13.1, а) транс.
формируется незначительно. Известно, что производная с� ,
обусловленная в основном запаздыванием структуры течения по
углу колебаний, остается практически постоянной. В. соответствии
с этим изменение комбинации производных c�z +с� будет полно_
стью определяться характером изменения c�z .
Величина c�z представляет собой вращательную производную,
зависящую от изменения местных углов атаки при колебательном
движении тела в плоскости тангажа. При вращательном движении
с угловой скоростью roz в различных точках поверхности появля­
ются дополнительные составляющие скорости потока, направлен­
ные при обращенном движении в сторону, противоположную ок­
ружной скорости тела. Для рассматриваемых положений оси вра�
-
-
-
.
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 609
щения при <.07 > О эти скорости приводят к появлению отрицательного угла атаки для носовом части тела и положительного - для
кормовой. Направление аэродинамической силы для исследуемого
тела определяется скоростью невозмущенного набегающего пото­
ка. Оно зависит от положения оси вращения и размеров областей
действия положительных и отрицательных нормальных сил. Так,
при Хусл = 0,262 (М00 < 0,75) значение c�z > О, т. е. нормальные
силы в носовой и кормовой частях тела имеют положительное на­
правление.
С увеличением скорости потока происходит уменьшение про­
изводной c�z , что связано с распространением области действия
отрицательной нормальной силы (с� < О) за ось колебаний.
В диапазоне скоростей, соответствующих 0,9 < М00 < 1,0, наблюдается резкое увеличение значения суммы производных c�z + с�,
однако при М00 = 1 производная с� < О достигает своего мини­
мального значения. Следовательно, резкое повышение c�z +с� в
�
v
-
.
основном определяется значением с� > О. Последующее возраста­
ние скорости набегающего потока (М00 > 1) приводит к уменьше­
нию суммы производных (см. рис. 13.1, д). Такое скачкообразное
изменение нестационарных производных соответствует условиям,
при которых возникает неустойчивое отрывное течение. В данном
случае это происходит при М00 = 1 .
При числах Маха набегающего потока М00 > 1, 1 5 наблюдается
перестройка структуры обтекания на безотрывную. При этом про.
изводная с� будет оставаться положительной. В условиях безотрывного течения на поверхности тела имеет место распределение
давления, создающее только положительную нормальную силу
(с� > О). Следовательно, знак и значение производной c�z будут
определяться результирующей двух направленных в разные стороны
сил в носовой и кормовой частях тела. Изменение суммы производ.
ных коэффициента тангажа m�z + т� от числа М00 (рис. 1 3 . 1 , е)
аналогично рассмотренному.
При анализе нестационарных аэродинамических характеристик
представляет интерес изменение положения динамического фокуса
-
при различных скоростях обтекания.
61 О
13. Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
на
хусл = 0,262 (а = О) приведены
рис. 13.2. Точка приложения нестационарной силы (c�z +с�)а при
Результаты расчета xF.(1) при
-
..,.
малых дозвуковых скоростях (до М00 = 0,6) располагается в носо­
вой части модели ЛА, т. е. коэффициент момента тангажа определяется в основном производной c�z . При увеличении скорости на­
бегающего потока (до М00 < 0,7) точка приложения этой силы рас-
(1 c�I >1 c�z 1), а точка приложения со<:_тавляющей
с�а - за осью колебаний. В тех случаях, когда c�z + с� =О, зави­
полагается вне тела
симость xF(1). (М00) претерпевает разрыв.
0,4
х
о
-04
1
1
1
1
1
1
'
.
--
0,6�
'
1
1
'
1
1
1
1
1
•
1
1
','"/
+
0,8
/:
1
1
.
1
'
1
:,
.
0 9 : 1,0
'
1
1
1
1 1
а=О
•
:/
1,1
.
1,2 м
00
1
1
1
1
Рис. 13.2. Зависимость координаты динамического фокуса
от числа М00 при нулевом угле атаки
При околозвуковых скоростях невозмущенного потока (М00 =
.
= 0,9 ... 1,2) сумма m�z + т� > О. Возникновение антидемпфирова.
ния при c�z +с� < О будет иметь место, если координата динамического фокуса находится за точкой условного центра масс, т. е.
-
.
xFro > хусл• а при c�z + с� >0- перед ней (xFro < хусл ). Эти выводы подтверждают данные, приведенные на рис. 13.2.
При скорости потока, соответствующей моменту перестройки
структуры течения, координата хF. асимптотически стремится к
бесконечности. Если структура течения остается отрывной, то динамический фокус располагается за точкой условного центра масс
ниже по потоку, при безотрывном обтекании - перед ней. При
(1)
.
-
сверхзвуковом обтекании (М00 > 1, 15) сумма m�z + т� < О. Тогда
точка приложения_аэродинамическои положительнои нестационар. ной силы (c�z + с�)а располагается за осью колебаний. В тех слуv
v
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 6 1 1
чаях, когда xFro = хусл, продольный момент демпфирования близок
к нулю.
Таким образом, проведенный анализ положения динамического
фокуса в зависимости от числа Маха свидетельствует о весьма слож­
ной структуре обтекания тела в условиях колебательного движения
при до- и околозвуковых скоростях.
Для оценки влияния начального (установочного)
угла атаки мо-.
-.
-.
дели л� на аэродинамические производные с� ' т� ' c�z + с� '
-
.
m�z + т�
рассмотрим приведенные на рис. 13 .3, а результаты экспериментальных исследований при хусл = 0,262 и углах а, равных
5 и 10°. Если а.уст = 5°, то общий характер зависимости с� (М00)
остается практически таким же, как и при нулевом угле атаки. Ме­
нее интенсивное уменьшение производной с� с увеличением ско­
рости набегающего потока в данном случае связано с незначитель­
ной трансформацией отрывного течения на подветренной стороне
су(J.
-0,8
а = 5°
а = 5°
1,5 l-- t--i-�
--- l+--- --1
а = 10°
а = 10°
о 1---1---1---1
0,5 0,7 0,9
1,1 Моо
l I ___._
I ___._
_ I___.I
05
,
о
0,5
1
.
cro
у
12
0,7 0,9
1
1
.
а = 5°
а = 10°
1 '
'
0,7
1
"'
"...
-20
- 1,0
'
в
0,7
-
'
0,9
о
.. ,
о 5 - -...
'
1,0
2,0
3,0
-
\\
'\
'
1,1 м
1
6
а = 10°
"
8
4
о
о,5
-4 1
1
а
..:...
' + суа.
Моо
т :х ._____.__
1
•
00
+ т (J.
1
z1
�
г
'
-
1,1
1
1
.;..-
Моо
\
а = 5°
1
Рис. 13.3. Зависимости производных аэродинамических коэффициентов
от числа Маха при �ст = 5 и 10°
612
13. Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
модели. Производная коэффициента момента т� (рис. 13.3, б) в
отличие от случая <Хуст = О (см. рис. 13.2) изменяется незначитель­
но во всем диапазоне исследуемых чисел Маха:...
Характер комбинации производных c�z +с� зависит от распределения нормальных сил по поверхности модели ЛА. Производная
с� оказывает первостепенное влияние на то, что в некотором_окол�­
звуковом диапазоне уменьшается отрицательное значение c�z + с�
по модулю по сравнению с описанным выше случаем нулевого угла
атаки (рис. 13.3, в).
Увеличение установочного угла атаки до а = 10° ведет к суше­
ственному изменению структуры обтекания, а �ледовательно, и характера изменения сумм производных c�z +с� во всем исследуемом диапазоне чисел Маха. В носовой части тела при таком угле
установки в условиях отрывного обтекания не возникает отрицательной нормальной силы (с� >О), а значит, изменение c�z + с�
будет обусловлено перераспределением области положительной нор­
мальной силы относительно оси вращения. Поскольку структура
течения остается весьма устойчивой вплоть до М00 < 1,0, то знак и
значение комбинации производных c�z +с� определяются составляющей c�z . Резкое увеличение значения c�z + с� при М00"" 1 связано с изменением с�.
Наибольшее возрастание суммы производных c�z +с� объяс­
няется появлением в кормовой части тела системы косых скачков
уплотнения, замкнутых на отрывную зону (см. рис. 13.3, в).
Перераспределение сил на поверхности тела при его колеба­
тельном движении приводит к существенному изменению и демп­
фирующих свойств (рис. 13.3, г). При скорости потока, соответ­
ствующей моменту перестройки структуры течения, координата xF.
асимптотически стремится к бесконечности. Если структура течения остается отрывной, то динамический фокус располагается за
точкой условного центра масс ниже по потоку, при безотрывном
обтекании xFro < хусл· При сверхзвуковом обтекании (М00 > 1,15)
.
сумма m�z + т� <О, а (c�z + c�)<i >О, т. е. точка приложения аэродинамическои нестационарнои силы располагается за осью колебаний. В тех случаях, когда xFro = хусл , продольный момент демп­
фирования близок к нулю.
-
-
.
-
-
-
.
.
-
.
_
..,.
<О
-
-
v
-
v
-
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 613
Следует отметить особенность в пересчете вращательных про­
изводных для разных положений условного центра_масс (оси вращения). Согласно линейной теории, производная � не зависит от
положения оси вращения и должна быть постоянной для заданных
.
условий обтекания. Следовательно, сумма производных c�z
�
будет определяться величиной c�z и может быть представлена в
следующем виде:
с
-
( + с� )_
где c�z
Хусл и
,
(c�z +с� )_
Хусл
+с
- комбинации производных для
исходного положения оси вращения хусл и выбранного хусл соответственно; Лхусл Хусл и Хусл.
� при раз­
Однако экспериментальные значения суммы c�z
личных положениях условного центра масс хусл не согласуются с
рассчитанными по указанному выше соотношению. Объясняется
это трансформацией структуры течения при изменении хусл для
рассматриваемого диапазона скоростей. Аналогичный вывод мож.
но сделать и для суммы m�z т� при различных положениях оси
вращения.
Таким образом, представление аэродинамических характерис­
тик тел с изломом образующей в рамках гипотезы гармоничности
возможно только при заданном фиксированном положении услов­
ного центра масс для некоторого конечного диапазона изменения
определяющих параметров - угла атаки, числа Маха, амплитуды и
частоты колебаний, которые оказывают первостепенное влияние на
структуру обтекания таких тел.
=
и
-
-
_
+с
7
+
Коэффициенты полной нормальной силы
и полного момента танга:неа
Рассмотрим определение полных сил и момента тангажа с уче­
том особенностей перестройки отрывной структуры течения
(рис. 13.4, а, б) при неустановившемся движении с большими амп­
литудами. Здесь и далее на аналогичных рисунках данные, получен­
ные при увеличении угла атаки в процессе колебательного движения
(прямой ход), обозначены светлыми точками, при уменьшении угла
атаки (обратный ход) - темными точками, а в стационарных усло­
виях - штриховыми линиями.
614
Некоторые вопросы нестационарной аэродижшики
13.
Суп
М оо < -1
,
,
-0,1
'
• 08
...�"
-
- -
о
о ,.'.Р-о4
'
,_..�
Моо > 1
- 0,04
·- .
"
...... .
...
1-О 08
8
.
,
-.1
1
'1
"
'
.
,
1 '
-0,12
тz п
-
о
-0,02
>
...... ...о
'
а,
:��
'' •
'
1
•
'
1
t
---
1- 0 04
1 '
- 0'08
1
4
-,
f8oo
-
't-,с
... ...'tК> ,,..,....
.
,
'
-0,08
о8
00
12 а,
р
о
'
: °-8.
-
'
'
о
_"- - -
1
.о••''
•
·-- -
••
1
1
1
о
'
'
'
800
•Qo
4
1
1
1
1
1
...'1
8
�
'
12 а, град
4;>
'
'
1
оо
' о
1
•
• 1 о
-- .-'
,_
-О 08
•vO
.,._ •
-
- 0 04
\
д
'
,
••
-0,02
� ......
·-
'
г
а, град
'
\
...
-0,12
,
'
'
- 0 04
---
-
8
�''ер
-О 08
1 '
1
1 о
1
•
•
�- - - 4
о
:08
-
о
mz п
�9-Q- �- О- ...
п
- 0 04
'
в
--
•
о
о
--
-о
град
12 а, �ад
б
mz
.........q4о
о .
••
'О-,о
'
mzn
.о... ...
1
0,04
о
8
--о 2
а
-
,.
о
•
-
,
,
'• о
,'о
,
•
-о
,
,
,
,
,
,
1 '
е
Рис. 13.4. Структуры обтекания и зависимости аэродинамических коэф­
фициентов Су п и тzп от угла атаки тел с изломом образующей в трансзвуковом диапазоне скоростей:
0,262, ! 0,2... 2,5 Гц; в, г структуры обтекания; б - м" 0,8,
1 , 12,
= 0,262,/ 0,2 и 1,0 Гц соответственно; д, е - М" 1,12, =
= 0,428,/ = 0,2 и 1,0 Гц соотв венно. Здесь и далее на аналогичных рисунках
- прямой ход, - обратный ход, --- -стационарные условия
ам"
хусл
=
о
=
=
•
етст
Хусл
=
=
=
хусл
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 615
Анализ кривых, приведенных на рис. 13.4, 6, показывает, что
колебательное движение приводит к изменению характеристик, со­
ответствующих стационарному обтеканию (штриховые линии).
В диапазоне утлов атаки О < а < 3° коэффициент су п О. При не­
стационарном обтекании в носовой части тела нормальная сила от­
рицательна в несколько большем диапазоне утлов атаки, чем при
стационарных условиях, вследствие чего расширяется область а,
где Суп """ О. Увеличение угла атаки (а > 3°) приводит к возрастанию
сУ п (а, ro roz ) причем изменение частоты колебаний в исследован­
z,
ном диапазоне f= 0,2... 2,5 Гц не оказывает существенного влияния
на характер зависимости су п(а). Это связано с тем, что при таких
частотах колебаний для рассматриваемого режима обтекания при"""
,
.
-
ращение нестационарной составляющей (c�z + с�)а мало. Этим
же можно объяснить совпадение значений су п при увеличении и
уменьшении угла атаки в процессе колебательного движения. При
нестационарном обтекании значение Су п(а) несколько меньше, чем
су(а) в стационарных условиях. Однако характер изменения Су п(а)
такой же, как су(а). Некоторое уменьшение несущих свойств тела
при нестационарном обтекании связано с менее интенсивным рос­
том положительной нормальной силы в кормовой части тела с из­
менением а.
В диапазоне О < а < 3° значения коэффициента момента танга­
жа тzп (см. рис. 13.4, 6) близки к соответствующим значениям mz
при стационарном обтекании. Различие в значениях этого коэффи­
циента при а > 3° объясняется трансформацией дозвуковой отрывнои структуры течения при неустановившемся движении тела по
сравнению со стационарным обтеканием.
Из полученных результатов также следует, что влияние поло­
жения условного центра масс Хусл на аэродинамические характери­
стики в условиях стационарного и нестационарного обтекания раз­
лично. Поэтому для неустановившегося движения нельзя пересчи­
тывать моментные характеристики при разных положениях хусл·
В окрестности а = О при трансзвуковых скоростях (М00 > 1) в
стационарных условиях наблюдается безотрывное сверхзвуковое
обтекание, которое характеризуется наличием местного А-образного скачка уплотнения и замкнутом циркуляционном зоны в его носовой части. При некотором утле атаки а = а1 (прямой ход) проис­
ходит разрушение Л.-образного скачка с подветренной стороны, со­
единение циркуляционной зоны с развивающейся к этому моменту
�
�
�
616
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинам.ики
срывной областью на поверхности тела и перестройка структуры
обтекания с безотрывной на отрывную. Обратная перестройка струк­
туры при уменьшении угла атаки (обратный ход) наблюдается при
меньшем значении угла атаки (а = а2) по сравнению с прямым
ходом. Установлено, что указанная схема изменения структуры об­
текания сохраняется и при колебательном движении с амплитудой
0а > а1.
Для случая сверхзвуковых скоростей (М00 = 1,12) при частоте
колебаний тела f= 0,2 Гц в диапазоне углов атаки О < а < 8° имеет
место безотрывное обтекание. Увеличение а в пределах амплиту­
ды колебания 0а = ±16° приводит к перестройке течения на отрыв­
ное. С уменьшением угла атаки (обратный ход) переход к безот­
рывному обтеканию происходит при меньших а, вследствие чего
возникает зона неоднозначности аэродинамических характеристик
(рис. 1 3 .4 в, г).
Изменение частоты колебаний в пределах f= 0,2 ... 0,5 Гц суще­
ственно не влияет на характер зависимости mzn(a). Увеличение ча­
стоты колебаний доf= 1 Гц вызывает значительное изменение аэро­
динамических характеристик и трансформацию области неодноз­
начности коэффициента момента тангажа в зависимости от угла
атаки. При таких частотах колебаний и углах атаки а < 8° значение
коэффициента mz n возрастает по модулю, а безотрывное обтекание
в том виде, в котором оно наблюдалось при меньших частотах, не
возникает. В окрестности нулевого угла атаки значение коэффици­
ента mz n меньше соответствующего значения при стационарном об­
текании тела с безотрывной структурой. Такое различие объясня­
ется образованием отрыва потока на поверхности тела. Однако для
отрывной структуры течения mz n > mz. В диапазоне 3° < а <
mz n = mz пpи M00 = 1,12.
В условиях колебательного движения тела с частотой f > 1 Гц
возникает срывное течение, сохраняемое при всех углах атаки, в то
время как в стационарных условиях существует два типа обтека­
ния: безотрывное и отрывное. При стационарном обтекании неод­
нозначность аэродинамических характеристик (наличие областей
гистерезиса) объясняется запаздыванием перестройки течения при
увеличении и уменьшении того или иного определяющего пара­
метра (числа М00, углов а или � и т. д.). В условиях колебательного
движения тела неоднозначность его аэродинамических характерис­
тик может наблюдаться и при однотипной, например отрывной,
структуре обтекания, что объясняется различными изменениями
,
9°
13. 2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов 617
геометрии срывных зон и параметрами потока в них. С увеличени­
ем частоты колебаний (f > 1 Гц ) характер зависимости тzп(а) в
пределах амплитуд колебаний 0а. = ±16° не изменяется, но область
неоднозначности аэродинамических коэффициентов по углам ата­
ки несколько расширяется. Так, изменение положения условного
центра масс тела (смещение его к кормовой части) при безотрыв­
ном обтекании и частотах колебаний/< 0,5 Гц не приводит к изме­
нению значения коэффициента момента тангажа по сравнению со
случаем стационарного обтекания (рис. 13.4, д). Перестройка тече­
ния на отрывное происходит в окрестности угла атаки а ::= 9°. При
значениях а > 9° течение на наветренной и подветренной сторонах
отрывное.
Уменьшение угла атаки от максимального значения, соответству­
ющего 0а. = ±16°, сопровождается тем, что значения коэффициента
mz п существенно отличаются от соответствующих значении mz, полученных в стационарных условиях. Для диапазона частот/< 0,5 Гц
в окрестности а ::= 5,5° при обратном ходе происходит скачкообраз­
ное уменьшение коэффициента mz п• причем такой характер зави­
симости тzп(а) сохраняется для частот колебаний/< 2,5 Гц. Таким
образом, возникновение безотрывной структуры обтекания на нижнеи и верхнеи поверхностях тела происходит при углах атаки а ::=
::= 5,5° и а ::= О соответственно.
Отметим, что увеличение частоты колебаний до f= 1,0 Гц при­
водит к появлению особенностей в изменении коэффициента мо­
мента тангажа в окрестности а = О (рис. 13.4, е). Как при переходе
от положительного угла атаки к отрицательному (а < О), так и в
обратном случае (а > О), значение mz п * О, причем с увеличением
частоты колебаний оно возрастает. Объяснить это только наличием
момента, обусловленного максимальной угловой скоростью, не предv
v
v
ставляется возможным, поскольку составляющая (т�z + т�)атах
на порядок меньше, чем mz п· Следовательно, полученный выше ре­
зультат может быть обусловлен лишь несимметричной структурой
течения вследствие запаздывания перестройки с одного типа обте­
кания на другой. Например, при уменьшении положительного угла
атаки (а< 0) начало перестройки с отрывного на безотрывное течение затягивается на верхнеи поверхности тела до отрицательных
углов атаки.
Таким образом, при неустановившемся движении устраняется
четко выраженный момент восстановления безотрывного обтека.
v
-
618
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
ния на верхней поверхности, характерный для стационарных усло­
вий течения, в результате чего возникает отмеченная особенность в
изменении mz пСа) при а "" О.
Дополнительным доказательством существования несимметрич­
ной структуры обтекания симметричного тела служат результаты
исследований неустановившегося движения, когда в окрестности
а = О создавалось искусственное торможение, вследствие чего ско­
рость изменения угла атаки а меняла знак, цикл перестройки за­
метно сокращался и mz п "" О.
Проведенный анализ позволяет сделать следующий вывод: при
неустановившемся движении происходит существенная трансфор­
мация области неоднозначности и аэродинамических характерис­
тик по сравнению со стационарным обтеканием, что обусловлено
смещением моментов перестроики течения по углам атаки.
Рассмотрим теперь зависимости суп(а) и тzп(а) при сверхзву­
ковых скоростях (рис. 13.5), для которых характерна безотрывная
устойчивая структура обтекания при а = О. Изменение амплитуды
колебаний позволило оценить влияние колебательного движения
тела на перестроику структуры течения и его аэродинамические
характеристики.
При колебательном движении с 0а. ±8° (хусл 0,262, f 1,0 Гц),
когда 0а. < а.1, структура обтекания остается безотрывной. При этом
значения коэффициентов mz п и mz при неустановившемся движе­
нии и в стационарных условиях хорошо согласуются между собой.
Изменение частоты колебаний в диапазоне f = 0,2...2,5 Гц не ска­
зывается на характере зависимости тzп(а).
Как показывает анализ кривых, приведенных на рис. 13.5, а, в
случае неустановившегося движения с амплитудой 0а. = ±10° (0а. >
> а.1 ,
= 0,262, f = 0,2 Гц) при изменении текущего угла атаки
а < а.1, т. е. при существовании на теле безотрывной структуры те­
чения, значения коэффициентов продольного момента и нормаль­
ной силы, полученные при колебаниях тела и в стационарных ус­
ловиях, практически совпадают. Колебательный процесс обусловливает запаздывание перестроики структуры течения, вследствие
чего изменение коэффициента mz "' соответствующего возникнове­
нию отрывного течения, происходит при б6льших углах атаки, чем
в стационарных условиях. Кроме того, изменяются параметры и
размеры зон отрыва потока на верхней и нижней поверхностях тела.
Это подтверждают зависимости суп(а), которые для рассматривае­
мых условий обтекания существенно различаются.
v
v
=
хусл
v
=
=
13.2. Нестационарные аэродинамические характеристики корпусов
Суп
,
-
С
ул
,
,
- 0,2
,
�-о
11·
,.J-,� .
о
8
4 -оо
CXt СХ, град
ъ..•о ""4о-...
,
'
<>- --
q:,
..,_,.
'
Хусл = 0,262!
_М оо = 1, 12
f = 0,2 Гц
0а = ±10°
8
'....
-0,04
•' ' ' о
-о'08
'
�
'1l
-
.
mzп
-
а
-0' 16
0,2 �--14<
.е-....:-1
,• .+-.
•
mz п
,,,."'
,_,
�
=,, о.
..__
о
о
-_,
- '-!-;
о ' -_
_
-' О
- ' 8 '' 12 сх, rРад
о •• 4
-- -
..
'
• о
,
... ...
Хусл = 0,428!!'.\_' '
- 0'02
0
Моо = 1,12 : .:
- 0'04
0,2
Гц
=
... о
-!
• �
". 'Ьео
°
•
0а = +16
.
-О'08
в
·-
_
___
-0,2
4
t:> .,...,..""""1
... ... 00
•
•
-
-�
, , ••
•
-о._ - , , -е- ' �
<Р'О8.R>•o04_
,
усл = 0,262
Моо = 1,12
Х
0а = ±16°
0,06
_
,
,
.
о _ _q_ оо
8 : о 12
о •• 4
-
0,04
"
11
0,02 11-1
с/> •
о
4
Моо = 1,22
/ = l Гц
0а = + 10°
'
8
д
'
12
СХ, град
-0,16
- 0'04
--
,, -
,
1
1
,
_
'
а, град
Хусл = 0,428',l
·
- 0'08 " Моо = 1,12 �':о
' '�
'
/ = 1 Гц
•• �OoiO
0а = + 1 6°
.
г
11
1
°
0(Х. = +
- 1 6 9'°'
011 1
1 1pi
1
,_ m
/ = l Гц
1
•
' е_•оо
-0,08
0,04
0,6
1
zп
,
��
1,
0,4
•'
'
"
'
J
'1
'..
,'
'
/
1 IO
11 о
'
.
.
q1,
-'5o;.
i
9
•
•
0,2 у18
\
11.•JY��
Суп
,
А" .
,.
о
4
1
11 1 8�
.- 0,08
0
•<4
'
'
•
'
'
'
Q
о
Моо = 1,22
l �/' '/
t "' ,'1/
•'
9 f
1
1 / Хусл = 0,76
о
сх, град
- 0'04
б
'
о
mz п
'
.
19,'
1
'
'-�
т
/ = 1 Гц
о'/'
12
'', '
1О
'� о
' Хусл = 0,76
0,08
.о
8
.... СА,'
•
'
,
619
о;
0,06
12
8
е
-{)<
о.•
0,04
0,02
а, град
Рис. 13.5. Изменение коэффициентов су п • тz п в зависимости от угла атаки
при различных значениях Хусл• Мсо, /и е(Х
При уменьшении угла атаки в диапазоне 4° < а < 10° значения
коэффициента момента тангажа при неустановившемся движении
и в стационарных условиях практически совпадают, в то время как
620
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
между значениями коэффициента нормальной силы наблюдается
существенное различие.
При колебательном движении тела перестройка отрывной струк­
туры обтекания на безотрывную происходит при меньших углах
атаки. Увеличение частоты колебаний до f 2,5 Гц не вносит суще­
ственных изменений в характер зависимостей су п(а.), тzп(а.).
В случае 0а = ± 16° (хусл 0 262) основные закономерности
изменения аэродинамических коэффициентов по углу атаки оста­
ются теми же, что и при колебательном движении с 0а ±10° и
лишь незначительно отличаются в области критических режимов
(см. рис. 13.5, 6).
Анализ приведенных данных еще раз подтверждает вывод о на­
личии существенной трансформации отрывной структуры обтека­
ния при неустановившемся движении по сравнению со стационар­
ными условиями.
Сопоставляя результаты экспериментальных исследований, по­
лученные для других положений (хусл =0,428; 0,76) оси вращения
(условного центра масс), можно сделать следующий вывод: со сме­
щением положения оси вращения к кормовой части тела наблю­
дается значительная трансформация областей неоднозначности
аэродинамических характеристик, в частности меньше различа­
ются значения коэффициента нормальной силы при увеличении и
уменьшении угла атаки (см. рис. 13.5, в-е).
Таким образом, при нестационарном сверхзвуковом обтекании
тела на его аэродинамические характеристики влияют частота и амп­
литуда колебаний, а также положение оси вращения. Степень этого
влияния зависит от скорости невозмущенного набегающего пото­
ка. Так, при скоростях, соответствующих моменту перестройки
структуры течения с отрывной на безотрывную (с локальными зо­
нами отрывного течения), отличие трансформации аэродинамичес­
ких характеристик по сравнению со стационарными условиями наи­
большее.
=
=
,
=
13.3. Нестационарные аэродинамические характеристики
крыльев летательных аппаратов
Как было указано выше, при определении аэродинамических
характеристик в рамках гипотезы гармоничности существует неко­
торая зависимость от числа Рейнольдса. Анализ результатов иссле-
13.3. Нестационарные аэродинамические характеристики крыльев
621
дований по определению суммы производных коэффициентов нормальнои силы и момента тангажа от угла атаки крыла малого удлинения в зависимости от числа Рейнольдса при малых дозвуковых
скоростях обтекания показал следующее (рис. 13.6). При а < а ,
когда обтекание крыла является безотрывным, изменение числа Re
не сказывается ни на значениях производных, ни на характере их
зависимостей от угла атаки. Влияние числа Re проявляется при углах атаки, превышающих ап, когда происходит перестроика структуры течения. Увеличение числа Re обусловливает смещение воз­
никновения отрывной структуры на больший угол атаки.
v
*
v
а
mz(J)z +mz
6
Re = 0,495· 10
- 0,2·
Re10 6
+--r��
10 1--��...l-��7
6
Re = О 86· 10
'
О 1 --1.:f-- 5.. � 1 О а, град
6
Re= 1 85 · 10
1
'
о
а
*
10
5
'
а, град
Рис. 13.6. Изменение суммы производных аэродинамических коэффици­
ентов в зависимости от угла атаки при различных числах Re
Рассмотрим влияние неустановившегося движения на полные
аэродинамические характеристики прямоугольного крыла малого
удлинения (Л. z 1,0) при дозвуковых скоростях.
Рабочий диапазон изменения угла атаки при неустановившемся
движении связан с особенностями изменения структуры обтекания в
стационарных условиях. В нем можно выделить три зоны (рис. 13.7):
1) -10° < а < а 1 безотрывное обтекание;
2) а1 < а < а2 сложное отрывное течение при наличии обширнои циркуляционнои зоны в середине верхнеи поверхности
крыла;
3) а > az полное, или глубокое, срывное обтекание (отрыв
потока вдоль передней кромки с образованием застойной зоны в но­
совой части крыла и возвратного течения на остальной его части).
Исходя из этого, влияние неустановившегося движения на аэро­
динамические силу и момент крыла малого удлинения исследова­
ли при различных амплитудах и частотах колебаний для тех углов
-
-
v
v
-
v
622
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
т,
-1,0 '-----'----'---'
Рис. 13.7. Изменение коэффициентов нормальной силы
и момента
тангажа тz в зависимости от угла атаки а при стационарном обтекании
су
атаки, где структура обтекания однозначная (например, в первой
или второй зоне). При сложной структуре обтекания крыла колебаv
ния исследовали при однои амплитуде во всем диапазоне углов а.
Такой выбор условий динамического эксперимента позволил выя­
вить влияние неустановившегося движения на аэродинамические
характеристики крыла при различных структурах обтекания. Что­
бы исключить возможное влияние числа
на аэродинамические
характеристики крыла, силу и момент тангажа в стационарных ус­
ловиях и при неустановившемся движении определяли при одном
"" 1,01 ·106.
и том же числе
Как видно на рис. 13.8, а, б, в случае, когда колебания происхоv
v
дят в диапазоне углов атаки с однозначном структурои течения, значения mz п (а, (J)z 'roz ) при неустановившемся движении и в стацио­
нарных условиях хорошо согласуются между собой, причем как при
увеличении (а > 0), так и при уменьшении (а < 0) угла а. Это имеет
место и на режиме безотрывного обтекания (-10° < а < а1, см.
рис. 13.8, а), и при сложном отрывном обтекании крыла (а1 < а <
< �. см. рис. 13.8, б). Небольшое отличие значений mzn при пря­
мом и обратном ходе может быть объяснено наличием малой не-
Re
Re
(m�z + т�)а
-
стационарной составляющей
туре обтекания.
.
-
при однозначной струк-
13.3. Нестационарные аэродинамические характеристики крыльев 623
mzn
0,05
о
о•
о•
о'
�
�·
"-i- ·оо•�
_;;;:,
,о
'
1
mzn
0,05
'
'
----
'
·
1
1
1
1
1
1
�
\
\
'
'
- О,05
(Х 1
'
-,'
--- "'
'
'
о
,'
''
аз
'
'
1
1
1
1
1
1
\20r: <Х, град
10
-
\
\
1
�
\
'р 20 �(Х
е..<>1 :
'" 1
ie
-О 05
'
"
"':..'
о
•с 'о'
• --'
,
•
а�
,,
,л
б
�------
а2
зо
1
...
а
0,05
<Х, град
'о
' ''
'
'
а{
.
40
зо
<Х, град
,
'�
'
�
''
�
''
,' q
"
�'i�>.
'
"iQ
:Ь:q,Р:
'
'
-О 10
'
•
ii.
'1
�'
о,..d
'
•
г
в
Рис. 13.8. Изменение коэффициента тz в зависимости от угла атаки
при различных амплитудах колебаний (/ 1,5 Гц)
0
=
В тех случаях, когда изменение угла атаки происходит в диапа­
зоне аз < а < а1 и амплитуда колебаний достигает углов перестройки структур течении, появляется неоднозначность в изменении аэродинамических характеристик, обусловленная неустойчивостью
структур обтекания при углах, близких к аз. В условиях устано­
вившегося движения крыла углу а3 соответствует момент пере­
стройки отрывного течения на безотрывное.
Изменение аэродинамического коэ ффициента mz п для крыла
малого удлинения при его колебаниях в диапазоне углов атаки
1 4° < а < 29° показано на рис. 13.8, в.
Переход от безотрывного типа течения к сложному вихревому
с обширной циркуляционной зоной в середине крыла происходит
при увеличении угла а (а > О) в интервале 24 ... 24,5° почти скачко­
образно. При уменьшении угла а (а < О) сокращение циркуляционv
624
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
ной зоны происходит постепенно. Если при стационарных условиях
(статическая характеристика) переход от отрывного обтекания к бе­
зотрывному наблюдается при а "" 15°, то при неустановившемся дви­
жении (а < О) циркуляционная зона еще сохраняется в носовой час­
ти корневых сечений крыла при а = 14,2... 14,6°. Это указывает на
затягивание существования отрывной структуры обтекания в усло­
виях неустановившегося движения. Моменту перестройки соответ­
ствует угол атаки а "" 14°. Конкретное значение угла а3 при неуста­
новившемся движении определяется случайными факторами. Вслед­
ствие этого структура обтекания крыла на следующем периоде
колебаний (а > О) будет определяться в основном типом течения
(отрывное или безотрывное) при уменьшении угла а предыдущего
периода.
В случае разрушения циркуляционной зоны в момент <.Oz = О
(amiл = 14°), приводящего к безотрывному обтеканию прямоуголь­
ного крыла, последующее увеличение угла атаки (а > 0) будет со­
провождаться безотрывным течением (см. кривая 1 на рис. 13.8, в).
Сохранение циркуляционной зоны в окрестности угла <Xmin = 14°
приводит при увеличении а к дальнейшему развитию отрывного
течения.
Следствием неоднозначности структуры течения для определен­
ного угла атаки при неустановившемся движении является несов­
падение значений аэродинамических коэффициентов в некотором
диапазоне углов (см. кривая 2 на рис. 13.8, в), а значит, возникнове­
ние двух гистерезисных петель.
Особый интерес представляет исследование влияния неустано­
вившегося движения на аэродинамические характеристики крыла
в диапазоне а, где наблюдается переход от сложного отрывного те­
чения к полному отрыву (рис. 13.8, г). При неустановившемся дви­
жении увеличение угла атаки (а > 0) приводит к затягиванию по
углам атаки перестроики сложного отрывного течения на полныи
отрыв, тогда как с уменьшением угла атаки (а < 0) полный отрыв
наступает при меньших углах а (а < �). Поэтому в некотором диа­
пазоне углов атаки имеет место заведомо неоднозначная структура
обтекания и вследствие этого существенный гистерезис в аэроди­
намических характеристиках.
В случае колебаний крыла с амплитудой, охватывающей режи­
мы безотрывного обтекания и сложного отрывного течения (окрест­
ность угла �), изменение частоты колебаний приводит к некоторо­
му расширению гистерезисной петли на зависимости mz(a), полуv
v
13.3. Нестационарные аэродинамические характеристики крыльев 625
ченной при стационарном обтекании. Это связано с увеличением
угла а, соответствующего перестройке структуры обтекания - от
безотрывного типа течения к сложному отрывному.
Рассмотрим теперь влияние частоты колебаний на аэродинами­
ческие характеристики прямоугольного крыла малого удлинения,
когда амплитуда колебаний захватывает две или три различные
структуры течения (рис. 13.9).
С ростом частоты колебаний (при фиксированном угле а) на­
блюдается образование и расширение гистерезисных петель в ок­
рестности углов а1, �' где происходит изменение структуры течетz
п
о,о5 г
---=
�
-- �
�
::-- г- --г
-
-
,
�1
-
-­
,,,, ... "
,
,
- 0 05 1--��+-��-1-�'
1
С п
у
о
10
20
30
40
50 а, град
Рис. 13.9. Изменение коэффициентов тzп и Су п от угла атаки а при часто­
те колебаний 0,1 (1), 0,5 (2) и 1,0 Гц (3)
626
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
ния, а также затягивание по углам атаки режима со сложным от­
рывным течением при прямом ходе (а > 0) и сохранение режима
полного отрыва практически до углов атаки, соответствующих бе­
зотрывному обтеканию при обратном ходе (а < О). Таким образом,
при а < О можно найти такую частоту колебаний f > 1 Гц, при
которой могут существовать только два режима обтекания.
Из приведенных данных следует, что диапазон углов атаки, в
пределах которого происходит затягивание при неустановившемся
движении той или иной структуры обтекания, определяется для од­
них и тех же кинематических параметров движения крыла типом
течения и его устоичивостью.
Влияние неустановившегося движения на аэродинамические ха­
рактеристики модели ЛА с крылом сложной формы в плане иссле­
довали в двух фиксированных диапазонах изменения угла атаки:
-8° < а < 23°; О < а < 33° при частоте колебаний/= 0,1 ... 1,0 Гц и
амплитуде 0а = 13 ... 16°. Первый диапазон углов атаки соответствует
полностью устойчивой вихревой структуре, второй - включает в себя
различные режимы обтекания крыла от устойчивой вихревой струк­
туры при малых углах до режимов, где наблюдается полное разрушение вихревых жгутов над верхнеи поверхностью крыла.
Как видно из приведенных на рис. 13.1 О данных, в случае коле­
баний с амплитудами, не превышающими а.1 , результаты динами­
ческих испытаний с частотой/= 0,2... 1,0 Гц хорошо согласуются с
данными статических испытаний. При этом результаты испытаний
при увеличении или уменьшении угла а близки между собой.
v
v
Суп
1,5
-
j
е_
10
о� о
l!'0,5
у
(
�
,
,
,
,
"
�
0,5
-1 О
9�
_,
1,0
� ,'
f,6
;,;
-
20
30 а,
град
Рис. 13.10. Зависимость коэффициента полной нормальной силы от угла
атаки а
в условиях безотрывного обтекания
13.3. Нестационарные аэродинамические характеристики крыльев 627
Исследования обтекания колеблющегося треугольного крыла с
углом по передней кромке Хп.к = 80° показали, что имеется значительная разница в положении вихреи при установившемся и неустановившемся течениях. С возрастанием угла атаки вихрь ста­
новится более интенсивным и движется к плоскости симметрии
крыла, но не достигает положения, соответствующего стационар­
ному обтеканию вплоть до максимального угла атаки. При умень­
шении угла атаки вихрь ослабевает и движется к корневой части
крыла, тогда как при стационарном обтекании положение вихря
по размаху в определенных сечениях крыла, перпендикулярных к
плоскости симметрии, остается практически неизменным при из­
менении угла а. Поэтому можно предположить, что возникающая
разница в положении вихреи при установившемся и неустановившемся течениях должна привести к изменению аэродинамичес­
ких характеристик. Однако результаты исследований показали хо­
рошее согласование данных, полученных при неустановившемся
движении и в стационарных условиях. Это позволяет сделать вы­
вод о том, что при устойчивой вихревой структуре (а < а.1) воз­
можное изменение положения вихревого жгута над крылом при
неустановившемся движении практически не оказывает влияния
на аэродинамические характеристики ЛА рассматриваемой ком­
поновки.
Совершенно иная картина наблюдается тогда, когда угол атаки
превышает угол перестройки структуры обтекания, т. е. при а > а.1
(рис. 13 . 1 1 ). В этом случае при неустановившемся движении на­
блюдается заметная трансформация зависимости Суп(а) по сравне­
нию с зависимостью су(а), полученной при стационарном обтека­
нии. При этом с ростом частоты колебаний имеет место существен­
ное расширение гистерезисной петли. Это связано с тем, что при
неустановившемся движении крыла вдоль переднеи кромки наплыва
возникает дополнительное отрывное течение, приводящее к увели­
чению интенсивности вихревой пелены, а значит, к затягиванию
начала разрушения вихревого жгута в окрестности заднеи кромки
и возникновению отрывного течения, по своим характеристикам
отличающегося от течения в стационарных условиях. Дополнитель­
ным доказательством этого могут служить результаты динамичес­
кого эксперимента при угле атаки amax• когда угловая скорость рав­
на нулю. В этом случае, как видно на рис. 1 3 . 1 1 , в, коэффициент
полнои нормальном силы заметно отличается от статического коэффициента: Лсу = су п -су =0,15. При обратном изменении угла
�
�
�
�
�
�
628
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродижшики
Суп
l ,51---+--1--:-.,�:'1'
Суп
-15
'
-0 5
'
20
-o _
_
.i__
_
__.
_
_
__,_
___.
, _
ei/
о
,
,,�
,
•'
10
-0 ..
'
а
Cyn
�
,
'
30 а, град
�
,
- 1,0
10
р
,
,
20
,
,
'
/
30
а, град
б
r-----r----.---='11"-т..
l ,5 1-t
-t,..,"A..L.....J
,
,
,
,
,
,
о
10
в
20
30 а, град
Рис. 13.11. Зависимость коэффициента полной нормальной силы
угла
атаки в условиях перестройки структуры течения при частоте колеба­
ний 0,1 (а), 0,5 (6) и 1,0 Гц (в)
от
атаки восстановление устоичивои вихревои структуры происходит
при гораздо меньших углах атаки, чем в условиях стационарного
обтекания.
�
�
�
13.4. Нестационарные аэродинамические характеристики
крылатых летательных аппаратов
При исследовании коэффициента полной нормальной силы
Суп = Yп /(Sq) крылатых ЛА при неустановившемся движении при­
меняют усовершенствованный метод свободных колебаний модели
с закрепленным центром масс. «Сброс» модели проводят при уста­
новившейся скорости потока в аэродинамической трубе с фиксиро-
13.4. Нестационарные характеристики крылатых ЛА
629
1 6 Выход модели на раз­
ванного угла атаки, например асбр
личные балансировочные углы атаки обеспечивают установкой орга­
на управления на фиксированные углы. В процессе
эксперимента
.
.
..
измеряют угол атаки а модели, скорость roz = а и ускорение roz = а
его изменения во времени t, а также полную нормальную силу
Yn(t, а, roz, ffiz), которая в общем случае является функцией этих
переменных. Как известно, для случая, когда балансировочный угол
атаки а.бал лежит в диапазоне углов атаки, не захватывающем зону
антидемпфирования, переходный процесс a(t) имеет вид затухаю­
щих колебаний относительно а.бал·
Экспериментальные зависимости коэффициента Суп(а) приве­
дены на рис. 13 .12. Как видно на рисунке, результаты динамичес­
ких испытаний на режимах безотрывного обтекания для любых мо­
ментов времени t1 < t2 < t3 < t4 удовлетворительно согласуются с
данными статических измерений. При этом надо иметь в виду, что
.
прирост нестационарной силы Лсу =
+ c� )roz на этих режимах
весьма мал и поэтому можно считать, что сУ п (а , roz , ffiz) сУ (а)
независимо от амплитуды колебаний. Некоторое увеличение коэф­
фициента полной нормальной силы сУ п (а, roz , ffiz) на углах атаки
а0тр < а < асбр (асбр максимальная амплитуда колебания моде""' -
°
.
(c�z
::::::
-
Суп
1----+-� 1,0 1--f---ЬHf----1
'''
Суп
,
:'
,
1,0 1---+---+ 0,5 �-1-14
: .,<---!--�
:,
"
,
'
,, ''
,
0,5
,
,
Суп
0,5
- 1 5 -10
о
Суп
0,5
о
о
Рис. 13.12. Изменение коэффициента полной нормальной силы су п в мо­
менты времени t1 < t2 < t3 < t4 в зависимости от угла атаки а в условиях
безотрывного обтекания
= -15,8°)
(асбр
630
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
ли, равная 15,2°) по сравнению с су(а) при стационарном обтека­
нии связано с затягиванием возникновения и развития отрывного
течения в случае неустановившегося движения. В данных услови­
ях происходит лишь небольшая трансформация безотрывного те­
чения - появляется локальная зона с возвратным потоком, погра­
ничный слой на задней кромке профиля утолщается, тогда как основная часть пограничного слоя остается тонкои и присоединеннои.
Отметим, что для рассматриваемых крылатых ЛА угол атаки
(асбр = 15,2°) равен критическому углу атаки при стационарном
обтекании (угол перестройки структуры течения), когда на крьmе
имеется развитая структура отрывного течения. Доказательством
отсутствия отрывного обтекания крыла в рассматриваемом диапа­
зоне углов атаки -15,2° < а < 15,2° при неустановившемся движе­
нии могут служить результаты эксперимента по оценке коэффици­
ента полного момента тангажа mzn(a, roz, roz) = lzii(t)j(Sbq), где
Jz - момент инерции ЛА.
Значения коэффициента полного момента тангажа при положи­
тельной угловой скорости (светлые точки) лежат ниже, а при отри­
цательной (темные точки) - выше соответствующих значений это­
го коэффициента при стационарном обтекании (рис. 13.13). Это свиv
v
1тzп
0,50
1
mzn
0,25 -
о
0,25 0,25 0,25
о
-025
'
о
-0,25
'�
r-.,.. '
...
'
-10 - 5
О"<:\ 5 :.::.-1О�15
'''
-�
','
'
.
/
'''
·
',' '
't
t2
''
�О?>--- )з
v-
t4
/
'
"_- - - --
(Х.,
град
1
-�
--
---
"
---...
"
Рис. 13.13. Изменение коэффициента полного момента тангажа тz в раз­
личные моменты времени в зависимости от угла атаки
безотрывного обтекания
0
а в условиях
13.4. Нестационарные характеристики крылатых ЛА
631
детельствует о существовании демпфирования во всем рассматри­
ваемом диапазоне углов атаки -1 5,2° < а ::;; 15,2°, а значит, об от­
сутствии отрывного обтекания крыла. При однозначной структуре
течения, в частности при безотрьmном обтекании, эффект предыс­
тории движения мал, поэтому можно оценить продольное демпфи­
рование (для определенного угла атаки):
•
В тех случаях, когда имеется однозначная зависимость тzп(а),
например при увеличении угла атаки, можно воспользоваться сле­
дующим выражением:
(mz
roz
)
+ mz
а
-
_
а.
mz п,а>О - mz
-
Фz,а>О
.
Результаты вычисления по этой формуле представлены на
рис. 13.14 (кривая 1), там же для сопоставления приведены данные
динамических испытаний (кривая 2) по непосредственному изме-
рению продольного демпфирования (m�z + т�). Видно, что при
стационарном обтекании на углах атаки а, меньших аотр> результа­
ты этих экспериментов удовлетворительно согласуются между со­
бой. Существенное расхождение в этих зависимостях при углах
<Х.0тр ::;; а ::;; асбр свидетельствует о заметной трансформации струк­
туры обтекания ЛА при неустановившемся движении на этих углах.
Совершенно иной характер изменения коэффициента полной
нормальной силы суп по углу атаки наблюдается, когда колебания
модели происходят относительно балансировочного угла атаки а6ал,
который лежит в области антидемпфирования (а > аотр)· В этом
случае переходные процессы характеризуются на начальном этапе
Рис. 13.14. Зависимость коэффициента
продольного демпфирования m�z + т�
от угла атаки а:
1 - расчет с использованием усовершенство­
ванного метода свободных колебаний; 2 расчет по методу вынужденных колебаний
с малой амплитудой
-- 1 0
5
'
2,,\-...
'z
, 10
5 а отр
о
10
mz. +mz
(J)z
а
а, град
<Хсбр
\
13. Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
632
некоторым затуханием колебаний с последующим выходом на ре­
жим автоколебаний - предельный цикл (рис. 13.15). Для сопостав­
ления на рис. 13.15 также приведены зависимости, полученные при
статических испытаниях (штриховые линии) при отклоненном руле
высоты (3 = -1 5°). Сопоставление результатов динамических ис­
следований для трех периодов колебаний (до режима автоколеба­
ний) с данными статических испытаний показывают, что при неус­
тановившемся движении возникают аэродинамические силы, каче­
ственно отличающиеся от сил, полученных при стационарном
обтекании: на зависимостях суп(а., Фz, Wz) появляются гистерезисv
ные петли, причем их площадь зависит от угловои скорости и угла
сброса (амплитуды колебаний).
Данное явление возникает в случае выхода модели ЛА на ббльv
шие углы атаки, превышающие углы перестроики при стационарном обтекании.
Заметное увеличение коэффициента полной нормальной силы
суп по сравнению с су на таких углах атаки можно обьяснить сущест-
Суп
1,25
Суп
1,25
Суп
1,25
1,00
1,25
1,00
0,75
1 ,25
1,00
0,75
1,00
0,75
0,50
Суп
1,00
0,75
0,50
0,25
0,75
0,50
0,25
о
0,50
0,25
о
0,25
о
о
к
Суп
0,50
-10
0
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
к
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 13.15. Изменение коэффициента полной нормальной силы суп в ус­
ловиях перестройки структуры течения (о= -15°; асбр = -15,2°) в момен­
ты времени t1 < t2 < t3 < t4 < t5
13.4. Нестационарные характеристики крьzлатых ЛА
633
венной трансформацией структуры пограничного слоя, зарождением и сходом с носовои части крыла вихря при неустановившемся
движении. Это приводит к существенному изменению структуры
обтекания крыла при таких углах атаки и, как следствие, к измене­
нию аэродинамических характеристик. Дополнительным доказа­
тельством могут служить результаты динамических и статических
испытаний на максимальных углах атаки (точка К на рис. 13.15).
В этом случае зависимость су п(а, roz) заметно отличается от су(а).
Следовательно, при неустановившемся движении возникают отрыв­
ные течения, коренным образом отличающиеся от течения при ста­
ционарных условиях для одних и тех же углов атаки.
Результаты исследований в режиме автоколебаний (предельно­
го цикла) представлены на рис. 13.16. Для удобства анализа влия­
ния неустановившегося движения на полную аэродинамическую
силу результаты двух динамических экспериментов для несколь­
ких периодов колебаний сопоставляют между собой и с данными,
полученными при статических испытаниях. На зависимости
су п (а, roz , roz) имеет место гистерезисная петля, площадь и форма
которой трансформируются от одного периода к другому в различ­
ных экспериментах. Это означает, что изменение полной нормаль­
ной силы при колебании модели в диапазоне углов атаки, соответ­
ствующем режиму автоколебаний, сопровождается рядом нестацио­
нарных эффектов нерегулярного характера. Кроме того, заметное
отличие коэффициента су п в крайних точках предельного цикла,
где roz = О (см. рис. 1 3 . 1 6), от соответствующих значений су(а), по­
лученых при статических испытаниях, позволяет сделать вывод, что
при неустановившемся движении модели ЛА возникает нестацио­
нарное отрывное течение, которое существенно отличается от ста­
ционарного. Вследствие этого и суммарный коэффициент нормальнои силы, которыи в рамках гипотезы гармоничности можно представить в виде
v
v
v
су!: = су + (c�z + с� )roz ,
будет заметно отличаться от коэффициента полной нормальной силы
(рис. 1 3 . 1 7).
Если угол атаки профиля или крыла колеблется около значения,
соответствующего статическому отрыву, то в динамических зави­
симостях появляется гистерезис. Таким образом, необходимым ус­
ловием возникновения гистерезиса является смена структуры тече­
ния, например переход в нестационарных условиях от безотрывно-
634
Суп
1,0
13.
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
1,0
Суп;
су;
Су1:
1,0
0,5
0,5
о,75 l---,,!1'----l--''--11-
20 сх., град
15
,
,
0,5 ��--�--��
о 10
15
20 сх., град
о
Рис. 13.17. Сравнительная оцен­
Рис. 13.16. Изменение коэффициента
ка значений коэффициентов нор-
полнои нормальном силы в режиме
автоколебаний (о = -15°) для двух серии испытании
v
v
v
мальнои силы в режиме автоколебаний
v
v
го обтекания к отрывному, и наоборот. В данном случае гистере­
зисные явления возникают на углах атаки а > aO'fP' где заведомо
существует отрывное обтекание крыла. Поэтому полагают, что воз­
никновение гистерезиса в аэродинамических характеристиках обусловлено не только сменои структуры течения, но и ее заметнои
трансформацией по углам атаки при неустановившемся движении.
В тех случаях, когда при неустановившемся движении структура
обтекания крыла не меняется или меняется незначительно, гисте­
резисных петель на аэродинамических характеристиках не возни­
кает. Это происходит и при безотрывном обтекании крыла большого удлинения, и при наличии устоичивои вихревои структуры на
крыле с наплывом, и при сложном вихревом течении с обширной
циркуляционной зоной в середине прямоугольного крыла малого
удлинения.
Отмеченные выше особенности аэродинамических характерис­
тик ЛА с крылом большого удлинения были получены при относи­
тельно малом (модельном) числе Re. Переход к натурным числам
Re не устраняет тех нестационарных эффектов в обтекании крьmа
рассматриваемого размера на больших углах атаки, которые обус­
ловливают появление гистерезисных петель в аэродинамических
v
v
v
v
v
13.4. Нестационарные характеристики крьzлатых ЛА
Су п;
635
характеристиках при неустановившемся движении ЛА. Как видно на сУ
рис. 13.18, результаты летных испы­
таний подтверждают наличие гнетерезисных явлении в аэродинамических характеристиках нормальнои
силы при неустановившемся движе­
нии ЛА с крылом большого удлине­
ния. Явление гистерезиса связано
о
с нестационарностью обтекания и
обусловлено в первую очередь не­ Рис. 13.18. Изменение коэффиоднозначностью структуры внешне­ циентов нормальнои силы в заго потенциального потока при одних висимости от угла атаки а при
и тех же кинематических парамет­ статических (штриховая кри­
рах, полученных при различном на­ вая) и летных (сплошная кривая) испытаниях
правлении их изменения (например,
при увеличении или уменьшении
угла атаки, числа Маха и т. д.) и необратимостью вязких отрывных течении.
Результаты статических испытаний модели ЛА с тонким кры­
лом сложной формы в плане, общий вид которого приведен на
рис. 1 3 . 19, показали гистерезисный характер изменения интеграль­
ных аэродинамических характеристик при увеличении угла атаки
(светлые точки) и при его уменьшении (темные точки).
Как известно, на тонком крыле с наплывом отрыв потока происходит практически с малых углов атаки по всеи длине стреловидной передней кромки наплыва и крыла. Непосредственно от вер­
шины крыла начинают распространяться две вихревые пелены, ко­
торые с увеличением угла атаки свертываются в вихревые жгуты.
При небольших углах атаки а < 10° на одной половине крыла мо­
гут образоваться два вихревых жгута - один на наплыве, другой на консольной части крыла. Однако при последующем росте угла
атаки вследствие увеличения интенсивности вихревого жгута на
наплыве происходит объединение двух жгутов в один.
За начало срывного обтекания на таких крыльях принимают угол
атаки а1, при котором возникает разрушение вихревых жгутов не­
посредственно над поверхностью крыла. Разрушение вихрей на кры­
ле приводит к уменьшению разрежения на его поверхности и изме­
нению точки отрыва пограничного слоя под вихрем. Была установ­
лена обусловленная этим явлением взаимосвязь начала разрушения
---
v
v
v
v
v
636
Некоторые вопросы нестационарной аэродинамики
13.
Су
1 ,5
'
1,0
0,5
- 1о
�
�
,
�
о
s-
"
'
'
'
�
'
�
78�
550 V
'
'
,Q.
�
/
�
,
1
10
1
1
1
1
+
1
1
i
'
.
�
,•
f1 ,
'
,•
,
�
.о.'"" �
�р
20 <Х1
1
30
,
,
'
а,
'
:::\
град
Рис. 13.19. Зависимость коэффициента нормальной силы крыла модели
ЛА от угла
атаки в условиях стационарного течения
ядер спиральных вихрей у задней кромки крыла с особенностями
зависимости су(а.): при углах атаки а > а.1 наблюдается резкое
уменьшение производной с�.
Зависимости су(а.), полученные в испытаниях модели с крылом
сложной формы в плане, также имеют характерные особенности,
позволяющие определить угол атаки перестройки а.1 . В рассматри­
ваемом случае начало разрушения вихревых жгутов в окрестности
задней кромки соответствует а.1
24°. При дальнейшем увели­
чении угла атаки разрушение жгута будет происходить выше по
потоку.
Поскольку гистерезисная петля в зависимости су(а) при различ­
ном направлении изменения углов атаки располагается в окрестно­
сти угла а.1, можно предположить, что неоднозначность структуры
обтекания крыла в этом диапазоне углов атаки при относительно
= 0,86 · 106 обусловлена различным характером раз­
малом числе
рушения вихревых жгутов при увеличении угла атаки и восстановv
v
v
ления устоичивои вихревом стру ктуры при его уменьшении.
""
Re
14. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ АЭРОДИНАМИКА
Создание ЛА связан.о, как правило, с аэродинамичес­
кими исследованиям.и в аэродинамических трубах.
Хотя такие исследования весьма трудоемки и доро­
ги, тем не менее они необходимы и оправданы для
обесп ечения надежной конструкции ЛА с заданными
тактико-техническими параметрами. Тщательные
и, следовательно, качественные исследования в аэро­
динамических трубах способствуют повышению ско­
рости, улучшению аэродинамических, массовых и гео­
метрических характеристик ЛА. При проведении
испытаний необходимо соблю дение аэродинамичес­
кого подобия, так как в этом случае опытные ре­
зультаты должны быть распространены с модель­
ных на натурные явления, имеющие место при обте­
кании ЛА.
В главе рассмотрены основные типы аэродинамичес­
ких экспериментальных установок, приборов и дат­
чиков для измерения параметров газовых течений, а
также интегральных аэродинамических характерис­
тик моделей ЛА и их эле.мен.тов.
14.1. Аэродинамические установки
Лабораторные установки, создающие воздушный поток задан­
ных параметров для экспериментального изучения обтекания тел,
называются аэродинамическими трубами. Размещая в такой трубе
�
исследуемое тело, можно определить деиствующие на него аэродинамические нагрузки, тепловые потоки от разогретого газа и по­
верхности, воспроизвести картину обтекания (аэродинамический
спектр).
Аэродинамические трубы, как правило, бывают замкнутого или
незамкнутого типа.
638
14. Экспериментальная аэродинамика
трубах замкнутого типа непрерывно циркулирует одна и та
же масса газа, поэтому они могут работать при различных давле­
ниях в закрытой рабочей части, обеспечивая тем самым возмож­
ность изменения числа Re при испытаниях. Для этого в контуре
трубы с помощью компрессора или вакуум-насоса повышают или
понижают давление, изменяя при этом плотность газа, а значит, и
число Re. В некоторых конструкциях замкнутых труб предусмот­
рен вывод определенного количества горячего циркулирующего воз­
духа наружу и забор через специальные клапаны внешнего холод­
ного воздуха для уменьшения температуры установки в процессе
работы.
В трубах незамкнутого типа газ, пройдя через рабочую часть,
выбрасывается наружу, т. е. происходит непрерывная смена пото­
ков газа. Поскольку в каждый момент времени в незамкнутую тру­
бу попадает новый газ, который должен разогнаться в рабочей час­
ти до расчетной скорости, расход энергии в такой трубе вь1ше, чем
в замкнутой, где необходимо лишь поддерживать движение цирку­
лирующего газа.
Преимуществом труб незамкнутого типа является их меньшая
стоимость. Что же касается аэродинамических свойств замкнутых
и незамкнутых труб, то они зависят от конструкции рабочей части,
а также вида применяемых сопел, диффузоров, обратных каналов
и расположенных в местах изгибов этих каналов спрямляющих эле­
ментов.
В зависимости от скорости потока в рабочей части аэродинами­
ческие трубы подразделяют на дозвуковые малых скоростей
(О < М00:::; 0,2), дозвуковые больших скоростей (0,2 < М00 :::; 0,8),
тран.сзвуковые, или околозвуковые (0,8 < М00 < 1,2), сверхзвуковые
(1,2 < М00 :::; 6) и гиперзвуковые (М00 > 6). Гиперзвуковые трубы обыч­
но незамкнутые, с обязательным подогревом рабочего газа и до­
полнительным разрежением в рабочей части. Остальные аэродина­
мические трубы выполняют как по замкнутой, так и по незамкнутои схемам.
Различают аэродинамические трубы с открытой и закрытой
рабочими частями, а также с герметичной камерой.
В зависимости от длительности работы аэродинамические тру­
бы бывают кратковременного и постоянного действия. В трубах
постоянного действия поток газа создается с помощью осевого ком­
прессора, установленного в контуре аэродинамической трубы и
обеспечивающего необходимую степень сжатия газа для достиже�
В
14.1. Аэродин.амuческuе установки
639
ния требуемого числа Мое,. Время действия таких труб практически
не ограничено и определяется условиями эксперимента. Трубы кратv
ковременного деиствия позволяют испытывать модели в течение
малого промежутка времени. Питание такой трубы осуществляет­
ся от батареи баллонов высокого давления, в которые воздух пред­
варительно накачивается компрессорами. Емкость батареи опреде­
ляет продолжительность работы аэродинамической трубы. Сюда же
относятся вакуумные трубы, в которых перепад давления для по­
лучения заданного числа М00 в рабочей части создается за счет раз­
режения на выходе из диффузора.
Аэродинамические трубы должны удовлетворять ряду требова­
ний. Это прежде всего равномерность поля скоростей в рабочей
части, характеризуемая отношением (V - Vcp)/Vcp = ЛV/Vcp' где V,
Vcp - соответственно местная и средняя скорости в рассматривае­
мом поперечном сечении рабочей части трубы. Это отношение
должно быть не более IЛV/Vcpl = 0,75 %.
Поток в рабочей части должен иметь малые углы скоса относи­
тельно оси трубы, определяемые в двух плоскостях: между векто­
ром скорости и горизонтальной плоскостью угол 1 Ла1< 0,5° и меж­
ду вектором скорости и вертикальной плоскостью угол 1 Л�1< 0,5°.
Существенным параматром является продольный градиент дав­
ления dp/dx вдоль оси рабочей части. Наличие такого градиента приv
v
v
водит к появлению выталкивающем силы, деиствующеи на модель в
направлении убывания давления и определяемой по формуле
где
W-
ЛQ = W dp/dx,
объем модели.
Достоверность опытных данных во многом определяется сте­
пенью турбулентности потока в рабочей части, или начальной тур­
булентностью,
где V
-
усредненная скорость потока в рабочей части трубы;
v'}, v�2 , v;2 - среднеквадратичные турбулентные пульсации ком­
понент скорости в направлении осей координат.
Поскольку в аэродинамических трубах обычно имеет место изо­
тропная турбулентность, при которой v'} = v�2 = v;2 , степень тур­
булентности
00
640
14. Экспериментальная аэродинамика
Е = И/v=
Е = (Й/v= )-100 %.
или в процентах
Установлено, что турбулентность в атмосфере составляет при­
мерно 0,02 %, однако в рабочей части аэродинамической трубы она,
как правило, выше. Уменьшение начальной турбулентности потока
до атмосферной особенно важно для малоскоростных труб, посколь­
ку сопротивление ЛА при небольших скоростях полета определя­
ется в большей своей части трением, которое зависит от положе­
ния на обтекаемой поверхности точки перехода ламинарного по­
граничного слоя в турбулентный.
Аэродинамические трубы характеризуются также качеством,
определяющим экономичность установки:
/..,
т
=
. 2
mV=
pv2s
2N '
2N
где m - массовый расход газа в трубе; р00 - плотность газа в ра­
бочей части трубы; N мощность привода; S площадь ее попе­
речного сечения.
Чем выше качество трубы �. тем более совершенной является
ее конструкция. В современных аэродинамических установках
� :::: 4".5.
Трубы малых дозвуковых скоростей выполняются незамкну­
тыми, т. е. они прямого действия. Схема такой трубы всасываю­
щего типа с закрытой рабочей частью показана на рис.
Вен­
тилятор, вращаемый электромотором, создает разрежение на вы­
ходе из диффузора, значение которого определяет скорость V00 в
рабочей части. Обычно V= :::; 30" 50 м/с, поэтому такие трубы ис-
-
-
1 4.1.
.
1
2
з
4
L--L
.-----l--J
ll
Гr\1
Voo
·-·-·-·-·- ·-·-·+-�
�
�
- l==::I,
/
�-тт--� "-.....
......
-
.......-
-
--+
Рис. 14.1. Схема незамкнутой дозвуковой аэродинамической трубы с за­
крытой рабочей частью:
1 сопло; 2 закрытая рабочая часть; 3 диффузор; 4 вентилятор с приводом
-
-
-
-
641
14.1. Аэродuна.;wические установки
пользуют для аэродинамических исследований ЛА с малыми ско­
ростями движения.
В аэродинамической трубе с открытой рабочей частью (рис. 14.2)
электродвигатель вращает вентилятор, который нагнетает воздух в
форкамеру, где размещены решетки хонейкомба и детурбулизиру­
ющие решетки. Скорость истечения изменяют путем установки со­
пел различных диаметров.
2 3
1
-
D
Рис. 14.2. Схема незамкнутой дозвуковой аэродинамической трубы
с открытой рабочей частью:
1
-
электродвигатель; 2 вентилятор; 3 направляющий аппарат; 4 хонейкомб;
5 детурбулизирующие решетки; 6 сопло
-
-
-
-
-
Скорости движения воздуха в этих трубах соизмеримы. В тру­
бах, работающих по схеме нагнетания, воздушный поток отличает­
ся большей неравномерностью и повышенной турбулентностью, чем
в трубах всасывающего типа, однако они более удобны в эксплуа­
тации и их широко применяют для изучения качественной картины
обтекания моделей.
В конструкции трубы, приведенной на рис. 14.3, используется
осевой вентилятор, приводимый во вращение размещенным вне кон­
тура трубы и снабженным регулятором числа оборотов электродви­
гателем. Это позволяет изменять скорость воздушного потока от 8
до 50 м/с. Канал такой аэродинамической трубы может быть вы­
полнен из многослойной фанеры, что способствует гашению коле­
баний. Тщательная отделка внутренней поверхности, а также рацио­
нальная установка направляющих лопаток и турбулизирующих ре­
шеток позволяют получить начальную степень турбулентности не
более 0,2 %.
642
14. Экспериментальная аэродuнС/.Jwuка
2
1
-
2
i
''
--.'"
t
1 '\ \ '
, 1 \ \ '
,
1 \ \
,
'
'
\
1 \
,
'
1
\
1
\
\
1
,
\
\
1
1
\
\
1
f
\
1
f
1
f
1
6
5
4
f
f
f
f
f
1
1
1
3
Рис. 14.3. Схема замкнутой дозвуковой аэродинамической трубы с откры­
той рабочей частью:
1
- вентилятор; 2 - лопатки; 3 - форкамера; 4 - сопло; 5 - рабочая часть;
6- диффузор
Труба имеет вертикальную конструкцию, т. е. вентилятор и дви­
гатель закреплены над рабочей частью, и снабжена специальным
координатным устроиством с шаговыми двигателями для перемещения датчиков по трем осям. Для закрепления моделей использу­
ют сменные подвижные монтажные столы, что позволяет легко ме­
нять их, проводя предварительную подготовку модели вне рабочей
части трубы.
Для исследований при больших до- и трансзвуковых скоростях
используют трубы, имеющие замкнутый контур и закрытую рабо­
чую часть (рис. 1 4 .4) Одна из действующих труб с площадью се­
чения рабочей части 2,92х2,01 м2, длиной 3,05 м и М00 = 0,2 ... 0,94
имеет привод мощностью 1 О 500 кВт. Для поддержания теплового
режима воздуха в контуре трубы с помощью клапанов 4 осуществ­
ляется воздухообмен с атмосферой.
Для более полного моделирования режимов, т. е. чисел М и Re,
применяют трубы с переменной плотностью потока в рабочей час­
ти. Их также выполняют по замкнутой схеме с герметичным конту­
ром и рабочей частью, аналогичной приведенной на рис. 14.4. В кон­
струкциях таких труб предусмотрены средства повышения или по­
нижения давления в контуре трубы, что обеспечивает изменение
плотности, а следовательно, числа Re.
Сверхзвуковые аэродинамические трубы бывают как кратко­
временного, так и непрерывного действия. В сверхзвуковой трубе
�
.
14.1. Аэродина.,wические установки
1
·-�
111
111
111
, _ ,
-LL&
111
11
1
1 1
,
2
3
�
·-·-·-·
о
�7'
7
10 9 8
643
6
4
5
3
Рис. 14.4. Схема до- и трансзвуковой аэродинамической трубы с закры­
той рабочей частью:
1 - привод; 2 - компрессор (вентилятор); 3 - направляющие лопатки; 4 - перепуск­
ные клапаны; 5
клапан для удаления газа; 6 рабочая часть; 7
сопло;
8 отверстия для отсоса пограничного слоя; 9 решетки; 1О форкамера
-
-
-
-
-
-
непрерывного действия, которая может быть выполнена по замкну­
той или открытой схеме, движение газа обеспечивается мощными
осевыми компрессорами. Для обеспечения постоянной температу­
ры воздуха, циркулирующего в трубе, на входе в компрессоры ус­
тановлены водяные охладители.
Трубы кратковременного действия чаще выполняют с запасом
сжатого воздуха в баллонах (относятся к типу баллонных аэроди­
намических установок). В таких трубах (рис. 14.5) с помощью ком­
прессоров воздух предварительно закачивается в баллоны под вы­
соким давлением (до 250 105 Па), из которых по трубопроводам и
систему дросселей-задвижек подается в форкамеру (камеру тормо­
жения), а из нее поступает в сопло и затем в рабочую часть. После
прохождения рабочей части сверхзвуковой газовый поток тормо­
зится сначала в сверхзвуковом диффузоре до дозвуковой скорости,
а затем в дозвуковом диффузоре и попадает в глушитель. Время
работы трубы определяется запасом воздуха в баллонах и расхо­
дом газа через ее рабочее сечение. Для достижения сверхзвуковых
скоростей используют профилированные сопла (сопла Лаваля).
Обычно изменение площади поперечного сечения достигается ус­
тановкой двух профилированных вставок (например, верхней и ниж­
ней) и двух плоских стенок (боковых). Каждому числу Маха соот­
ветствуют индивидуальные вставки, при смене которых обеспечи­
вается дискретное изменение числа М. В таких трубах число М
изменяется от 1,5 до 4,5.
·
644
14. Экспериментальная aэpoдuнC/.Jttuкa
Рис. 14.5. Сверхзвуковая баллонная аэродинамическая труба:
компрессор;
осушитель воздуха; 3 баллоны высокого давления; 4 за­
движка-редуктор; 5 форкамера; 6 хонейкомб; 7 сопло; 8 рабочая часть;
9 сверхзвуковой диффузор; 1О дозвуковой диффузор; // глушитель
1
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Для сохранения стабильного режима работы сверхзвуковой тру­
бы при испытаниях необходимо использовать специальные уст­
ройства, поддерживающие постоянным давление в форкамере при
изменяющемся (падающем) давлении в баллонах. Малое время ра­
боты сверхзвуковой трубы требует автоматизации проведения экспе­
римента с использованием современных электронных измерительных и регистрирующих устроиств и вы ч ислительнои техники.
Схема сверхзвуковой вакуумной аэродинамической трубы крат­
ковременного действия приведена на рис. 14.6. После открытия бы­
стродействующей задвижки 6 воздух через форкамеру 1 и спрям­
ляющие решетки 2 поступает в сопло, где разгоняется до сверхзву­
ковой скорости. После обтекания модели, установленной в рабочей
части 4, воздух поступает в диффузор 5, а затем в резервуар 7, в
котором предварительно создается разрежение с помощью вакуум­
ного насоса 8.
Вакуумные трубы применяют при исследовании движения раз­
реженных газов, поскольку они позволяют получать в рабочей час�
�
14.1. Аэродинамические установки
645
1
1
7
--·+·--
/'�..Jh...�--LJ_�
- -
-,-
1
·-·-
.
.
8
1
5
Рис. 14.6. Схема сверхзвуковой вакуумной аэродинамической трубы:
форкамера; 2 спрямляющие сетки и решетки; 3 сопло; 4 рабочая часть;
-
-
-
диффузор; 6
-
-
быстродействующая задвижка; 7
емкость); 8- вакуумный насос
-
-
резервуар (вакуумная
ти воздушный поток с малой плотностью, т. е. с небольшим чис­
лом Рейнольдса.
Для достижения большого числа Маха необходимо существен­
но увеличить перепад давлений между форкамерой и рабочей час­
тью, а также повысить температуру торможения, чтобы исключить
конденсацию частиц воздуха в рабочей части. Поэтому аэродина­
мические трубы для исследования гиперзвуковых течений имеют
ряд конструктивных особенностей (рис. 14.7). В таких трубах газ
или воздух поступает в подогреватель, а после регулирующем задвижки - в сопло (обычно используют сменные сопла круглой фор­
мы), где он разгоняется до гиперзвуковых скоростей, а затем поступает в вакуумную емкость, в которои установлен специальным
теплопоглотитель. Разрежение предварительно создается в вакуум­
ной камере и в канале трубы с помощью вакуумного насоса. Уста­
новка подогревателя позволяет увеличить температуру в рабочей
части и избежать конденсации частиц воздуха. Вместо воздуха так­
же используют такие газы, как фреон-14, азот, гелий. Применение
вакуумной емкости позволяет увеличить перепад давлений без его
повышения в баллонах высокого давления. Разрежение в рабочей
части можно создавать с помощью эжекторных насосов, запитыва­
емых от баллонов со сжатым газом, или подключением рабочей
камеры к эксгаустеру. В гиперзвуковых аэродинамических трубах
число Маха можно повысить до 1 5 ...20, а температуру торможе­
ния - до 3 ООО К, что обеспечивает исследование обтекания кос­
мических ЛА.
�
�
�
14.
646
Экспериментальная аэродина.,,wика
10
9
7 8
3
1
2
4
5
6
·-·/
/
Рис. 14.7. Схема гиперзвуковой аэродинамической трубы:
1 трубопровод подачи газа высокого давления; 2 подогреватель; 3 задвижка;
4 сопло; 5 рабочая часть; 6 сильфоны; 7 трубопроводы к вакуумному насосу;
8 вакуумная задвижка; 9 теплопоглотитель; /О вакуумная камера
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Ударные аэродинамические трубы представляют собой экспе­
риментальные установки для исследования нестационарного обте­
кания, кинетики химических реакций и теплофизических процес­
сов в газовом потоке. В простейшем виде ударная труба (рис. 14.8)
содержит два отсека, разделенных диафрагмой. В отсеке высокого
давления создают высокое давление, а из отсека низкого давления,
где размещена исследуемая модель, откачивают воздух, создавая
разрежение и обеспечивая значительный перепад давлений.
Пусть давление в отсеке низкого давления р 1 , а в камере высоко­
го давления р4 (рис. 14.9). При определенном перепаде давлений
диафрагма Д разрушается. Примем упрощенную схему, при которой
разрушение происходит мгновенно, а передняя контактная поверх­
ность газа высокого давления (толкающего) является плоской. Под
-
1
2
4 5
3
Рис. 14.8. Схема ударной аэродинамической трубы:
1
-
отсек высокого давления; 2
-
диафрагма; 3
-
отсек низкого давления;
4 модель; 5 смотровое окно
-
-
647
14.1. Аэродинамические установки
t=о 1
t = t0
р4
VR 1
V 2
Rl R
д
<
г
R2
PI
Р з Vз-
к
Vк V2
t
р4
N
l
VN
к
х
о
р
Рз
Р2
Р1
х
о
т
о
Тз
х
Рис. 14.9. Изменение параметров в однодиафрагменной ударной
аэродинамической трубе
действием толкающего газа в область низкого давления начинает рас­
пространяться ударная волна, за которой образуется область уплот­
ненного газа с параметрами р2, р2, Т2, . , получившая название «проб­
ка» и перемещающаяся в направлении движения ударной волны. Поскольку толкающим газ расширяется, то его параметры уменьшатся
по сравнению с начальными и станут равными р3, р3, Т3, ...
На рис. 14.9 изменение параметров газа приведено в координа­
тах Oxt, Охр и ОхТ, а началом отсчета времени является момент раз­
рушения диафрагмы. Ударная волна N распространяется со скорос­
тью Vм а контактная поверхность - со скоростью Vк. Через проме­
жуток времени t0 ударная волна N, контактная поверхность К и волны
разрежения R1 , R2 расположатся так, как показано на рисунке. В ко­
ординатах Oxt положения контактной поверхности и ударной волны
.
v
.
648
14. Экспериментальная аэродинамика
в каждый момент времени отображают лучи ОК и ON. Следует от­
метить, что в область высокого давления распространяется серия волн
разрежения, передняя из которых движется со скоростью VR1 а4, а
замыкающая - со скоростью а3 < а4, так как температура в зоне
разрежения падает (Т3 < Т4). Вследствие того, что волна, движущаяв
в
г
асп
�
:
с �з
яс
ь
н 1
сительно трубы будет VR2 = а3 - V3 (где V3 - скорость толкающего
газа, направленная в сторону отсека низкого давления). В результа­
те образуется область течения, расположенная между рабочей пробкои и волнами разрежения.
Для контактной поверхности скорости справа и слева от нее,
как и давления, одинаковы, т. е. р2 = р3. Но соответствующие тем­
пературы не равны, поскольку по обе стороны от контактной по­
верхности находятся разные газы, причем один расширяется, а дру­
гой сжимается.
Для исследования обтекания тел высокотемпературным пото­
ком рассматривают течение в рабочей пробке. Чем дальше по пото­
ку от диафрагмы расположена модель, тем больше продолжитель­
ность tраб работы трубы, так как по мере удаления от диафрагмы
длина пробки возрастает. Отличительной особенностью ударных
труб является очень малое время tраб (сотые и даже тысячные доли
секунды), необходимое для достижения высоких значений давле­
ния торможения и температуры газа в пробке.
Еще одним методом получения высокоскоростного потока, об­
текающего модель и имеющего большую температуру, является сжа­
тие газа поршнем, быстро движущимся в канале аэродинамической
установки адиабатического сжатия (рис. 14.1 О). В отсеке 1 высокого
давления нагнетается толкающий газ, а в камере 8 и рабочей части 6
создается вакуум. По достижении заданного давления происходит
разрыв диафрагмы 2 и поршень начинает движение по отсеку 3
низкого давления, сжимая находящиися в нем газ до давления
0
1
10
Па. При таком сжатии газ нагревается до 3 000".4 000 °С.
2·
В трубе адиабатического сжатия возможны два режима работы.
В случае применения тяжелого поршня (первый режим) скорость
его движения обычно меньше скорости звука в толкаемом газе и
разогрев газа в отсеке 3 происходит без образования ударной вол­
ны, т. е. изоэнтропически.
При использовании легкого поршня (второй режим) скорость
его движения резко возрастает и может существенно превысить ско=
�:��:�:��:;� ::
� ��:::;�:г�; ;:;� ;::�� :d � �;:�
v
v
14.2. Измерение параметров потока в аэродинамических трубах 649
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 14.10. Схема аэродинамической установки адиабатического сжатия:
1 отсек высокого давления; 2, 4 диафрагмы; 3 отсек низкого давления;
5 сопло; 6 рабочая часть; 7 окно с оптическими стеклами; 8 вакуумная камера
-
-
-
-
-
-
-
рость звука в газе. В этом случае обязательно возникает ударная
волна, располагающаяся перед движущимся поршнем. Достигнув
диафрагмы 4, установленной перед критическим сечением сопла,
ударная волна отражается от нее и распространяется обратно к
поршню. В результате многократных отражений ударной волны от
диафрагмы и поршня рабочий газ претерпевает неизоэнтропичес­
кое сжатие и сильно разогревается. По достижении заданного дав­
ления происходит разрыв диафрагмы 4 и истечение газа через соп­
ло. Исследования показывают, что температура газа в этом случае
оказывается значительно выше, чем при использовании тяжелого
поршня. Применение водорода или гелия в качестве толкающего
газа обеспечивает увеличение скорости движения легкого поршня
и, следовательно, повышение температуры газа перед соплом.
В установках адиабатического сжатия наряду с возможностью
получения высокоскоростного и сильно разогретого потока газа
большой плотности, обеспечивающего моделирование полета с ги­
перзвуковыми скоростями в плотных слоях атмосферы, значитель­
но больше по сравнению с ударными трубами время рабочего ре­
жима.
14.2. Измерение параметров потока
в аэродинамических трубах
Измерип�ельные устройсп�ва
Аэродинамический эксперимент предусматривает большой ком­
плекс измерений параметров газового потока, обтекающего модель
ЛА. Одна часть этих измерений связана с исследованием свойств и
650
14. Экспериментальная aэpoдuн(J.;ttuкa
параметров набегающего (невозмущенного) течения, другая - с оп­
ределением параметров газа в возмущенном потоке: непосредствен­
но на поверхности обтекаемого тела или вблизи него.
Экспериментальное изучение газовых течений основано на ис­
пользовании различных по конструкции и назначению измеритель­
ных приборов и устройств. Та часть устройства, на которую воз­
действует измеряемая физическая величина, называется первич­
НЫJ14 измерительным устройством (датчиком); другая часть,
работающая в комплексе с датчиком и воспринимающая от него
по линии связи сигналы для их отображения, вторичным изме­
рительным устройством. Например, термопара (первичное уст­
ройство) передает сигнал регистрирующему потенциометру (вто­
ричный прибор).
Датчики бывают пассивные и активные, т. е. генераторные.
У первых под воздействием измеряемого физического параметра,
например температуры, меняется одна из характеристик, например
сопротивление, которую измеряют электрически. Вторые при из­
мерении физического параметра вырабатывают (генерируют) элек­
трический сигнал, который в дальнейшем регистрируется. Сред­
ства измерений подразделяют на рабочие, предназначенные для ре­
гулярных измерений, образцовые, применяемые для проверки и
градуировки, и эталонные, используемые для хранения и воспроизведения единиц измерения с максимальном точностью.
-
v
Приборы для измерения давления
Основным элементом приемника давления являются дренажные
отверстия (каналы), воспринимающие давление. У насадка (при­
емника статического давления) это отверстие должно располагать­
ся на боковой поверхности при условии, что линия тока исследуемого течения совпадает с касательном к этои поверхности в месте расположения дренажной точки (рис. 1 4 . 1 1 ).
У насадка полного давления дренажное отверстие совпадает с
точкой полного торможения (критической точкой) на обтекаемой
поверхности (рис. 14. 12). Кроме того, существуют комбинирован­
ные насадки для одновременного измерения и статического, и пол­
ного давления (рис. 14.13). В зависимости от числа М00 набегаю­
щего потока давление, измеряемое в точке торможения, рассчиты­
вают так. При малых дозвуковых скоростях (М00 < 0,2)
v
Ро
= Роо + Poov;,/2,
v
14.2. Измерение пара.метров потока в аэродинамических трубах 651
�
-?
· --..,.\
lz! �
1
2
�
Voo
Роо
Ро
0
90
1
1
Рис. 14.11. Схема приемника
статического давления:
1 - приемное отверстие; 2 стен­
-
ка (модель); 3 -дренажная трубка
1
2
3
Моо
Рис. 14.12. Схема насадка для измере­
ния полного давления (трубка Пито):
1 - приемная трубка; 2 - приемное отверстие
�4
-'"""\
У1
-
1
1
-
1
1
1
1
1
1
1
1
А-А
5
б
Рис. 14.13. Схема комбинированного насадка (трубки Пито - Прандтля):
1
-
)k/(k-1)
головная часть; 2 приемник полного давления; 3 - корпус; 4 - приемник
статического давления; 5 державка; б дренажная трубка
при умеренных дозвуковых скоростях (0,2 < М,,., < 1 )
- Роо
Ро а
(1 + 2
k-1
2
М00
при сверхзвуковых скоростях (М00 > 1 )
,
652
14. Экспериментальная аэродинамика
,
(1 + k 2- 1
J
2 + {k - 1)м:,
k-1 )
1
2 k /(k- )
Ро = Р2
где Р2 = Роо
( k2k+ 1
2
М= -
М2
, М2 =
k+1
,
2
2kM00 - (k - 1)
' т. е. воспри-
нимаемое датчиком давление равно давлению торможения за пря­
мым скачком уплотнения.
Возмущения от приемника по пневмометрической трассе (тон­
ким дренажным трубкам) передаются к устройству, фиксирующе­
му измеряемое давление.
Для измерения давления (разности давлений) используют ма­
нометры. Выбор конкретного вида манометра, соответствующего
определенным условиям эксперимента, определяется предполагае­
мым значением измеряемого давления, характером его изменения
(установившийся или нестационарный процесс), частотой пульса­
ции, требуемой точностью и характером регистрации измерений.
В экспериментальных исследованиях применяют манометры абсо­
лютного и избыточного давления, вакуумметры, а также диффе­
ренциальные манометры (для измерения разности давлений).
В аэродинамическом эксперименте широко используют жидкостные манометры, принцип деиствия которых заключается в уравновешивании измеряемого перепада давлений р1 - р2 массой (весом)
столба жидкости (рис. 14.14):
v
р1 - р2 = pgЛhsin �.
где р плотность жидкости в манометре; Лh разность уровней
жидкости в правом и левом коленах отсчетной трубки манометра,
Лh = h2 h 1; � угол наклона трубок манометра.
-
-
-
-
Рис. 14.14. Схема жидкостного дифференциального манометра
14.2. Измерение пара.метров потока в аэродинамических трубах 653
Качество манометра характеризуется его чувствительностью, т. е.
отношением разности уровнеи жидкости к соответствующему перепаду давлений:
Лh/(р1 р2) = (pg sin �)- 1 •
v
-
Из этой зависимости следует, что чувствительность жидкостного
манометра возрастает при использовании легких жидкостей и с
уменьшением угла � наклона трубок манометра.
Рассмотренные жидкостные манометры чаще всего используют
для измерении в установившихся потоках при малых перепадах давлений. Следует отметить наглядность показаний таких манометров,
т. е. при измерении давления удается визуально определить его зна­
чение.
Действие деформационных манометров основано на зависимости упругих своиств чувствительного элемента от измеряемого давления. В обычных манометрах, например стрелочных, деформация
чувствительного элемента регистрируется механически. Если же
устроиство регистрирует значение измеряемого сигнала, характеризующего определенный уровень давления, то будем называть его
датчиком давления. Различают индуктивные, емкостные, тензомет­
рические, пьезоэлектрические и другие датчики давления.
Индуктивный датчик давления (рис. 14.15) содержит корпус в
виде двух одинаковых магнитопроводов с катушками, установлен­
ных с зазором, в котором размещена стальная мембрана. Измеряе­
мое давление р1 действует на диафрагму через отверстия в корпу­
се, причем с противоположной стороны диафрагмы имеется опор­
ное давление р2 . Разность давлений р 1 р2 вызывает прогиб
мембраны, изменение зазоров у магнитопроводов и, как следствие,
магнитного сопротивления половин датчика. В результате разба­
ланса измерительного моста возникает сигнал, пропорциональный
деформации мембраны, т. е. перепаду давлений. Требуемая чувстви­
тельность индуктивного датчика достигается выбором соответству­
ющей толщины мембраны и усилительной электронной аппаратуры.
Индуктивным датчиком можно измерять как статическое, так и
изменяющееся давление. Поскольку эти датчики могут иметь не­
большие размеры, их используют для измерения давления в огра­
ниченных по размеру областях течения газа.
Одна из схем
Похожие документы
МЕТОД ВИЗУАЛИЗАЦИИ ДОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ И ЕГО
МЕТОД ВИЗУАЛИЗАЦИИ ДОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ И ЕГО
Механика жидкости и газа Ч.2 - Московский государственный
Механика жидкости и газа Ч.2 - Московский государственный
МОДеЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ФОРМИРОВАНИЯ мощных
МОДеЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ФОРМИРОВАНИЯ мощных
Разработка экономической политики в условиях
Разработка экономической политики в условиях
Газовая динамика
Газовая динамика
ПРОЦЕССЫ И ПОТОКИ Процессорное время распределяется
ПРОЦЕССЫ И ПОТОКИ Процессорное время распределяется
новые тенденции
новые тенденции
Раздел 3. Элементы теории пограничного слоя
Раздел 3. Элементы теории пограничного слоя
Азбука бережливого производства Что такое карта потока создания ценности?
Азбука бережливого производства Что такое карта потока создания ценности?
Скачать
реклама