Комбинации
Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор
называется комбинацией. Если вы играете в карты, например, вы знаете, что
в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет
значения.
Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B,
C, D, E}.
РешениеЭти комбинации следующие:
{A, B, C},
{A, B, D},
{A, B, E},
{A, C, D},
{A, C, E},
{A, D, E},
{B, C, D},
{B, C, E},
{B, D, E},
{C, D, E}.
Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв.
Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3
объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком
случае порядок объектов не рассматривается. Тогда,
{A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}.
Подмножество
Множество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или
совпадает с B если каждый элемент A является элементом B.
Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации,
не рассматривается порядок!
Комбинация
Комбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из
k объектов.
Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов,
если взято к объектов одновременно.
Обозначения комбинации
Число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно,
обозначается nCk.
Мы называем nCk число сочетаний. Мы хотим записать общую формулу
для nCk для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что nCn = 1, потому что
множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами,
есть само множество. Во-вторых, nC1 = n, потому что множество с n
элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом.
Наконец, nC0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно
подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть
другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций
с числом перестановок.
Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!,
перестановок.
3! • 5C3 = 60 = 5P3 = 5 • 4 • 3,
so
.
В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов , nCk раз
перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n
элементов по k элементов:
k!.nCk = nPk
nCk = nPk/k!
nCk = (1/k!).nPk
nCk
=
Комбинации k объектов из n объектов
Общее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается nCk,
определяется
(1)
или
nCk
=
(2)
nCk
=
,
Другой тип обозначения для nCk это биноминальный коэффициент .
Причина для такой терминологии будет понятна ниже.
Биноминальный коэффициент
Пример 2 Вычислите
, используя формулы (1) и (2).
Решение
a) Согласно (1),
.
b) Согласно (2),
Имейте в виду, что
Пример 3 Вычислите
не означает n/k.
и
.
Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2)
для второго. Тогда
используя (1), и
испоьлзуя формулу (2).
,
,
Обратите внимание, что
,
и используя результат примера 2 дает нам
.
Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7
элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из
7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в
себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F,
G}:
В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ
вычисления комбинации.
Подмножества размера k и размера
и nCk = nCn-k
Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число
подмножеств размера n - к. Число сочетаний k объектов из множества n
объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых
одновременно.
Теперь мы будем решать задачи с комбинациями.
Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в
неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2
млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от
1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении
лотереи, игрок выигрывает. (Источник: Мичиганская лоттерея)
a) Сколько возможных комбинаций из 6-ти чисел в этой лотерее?
б) Предположим, что 10 минут у Вас идет на то, чтобы купить лотерейный
билет и зачеркнуть 6 чисел. Сколько лотерейных билетов вы можете купить за
4 дня?
c) Сколько людей вы должны были бы нанять на 4 дня, чтобы купить билеты
со всеми возможными комбинациями и быть уверенным, что вы выиграете?
Решение
a) Здесь нет порядка чисел. Вы зачеркиваете любые 6 чисел от 1 до 49. Тогда,
число возможных комбинаций равно
b) Во первых, мы посчитаем число минут в 4 -х днях:
4days • (24 ч/1 день).(60 мин/1 ч) = 5760 мин.
Тогда, вы могли бы купить 576 билетов за 4 дня.
c) Вам необходимо было бы нанять 13,983,816/576, или около 24278 человек
чтобы купить билеты со всеми возможными комбинациями для
гарантированного выигрыша. (С условием, что билеты можно покупать 24 часа
в сутки.)
Пример 5 Сколько комитетов может быть сформировано из группы 5-ти
губернаторов и 7-ми сенаторов, если каждый комитет состоит из 3-х
губернаторов и 4-х сенаторов?
Решение Три губернатора могут быть избраны 5C3 путями и 4 сенатора могут
быть избраны 7C4 путями. Если мы используем фундаментальный метод
подсчета, то получим, что число возможных комитетов равно
