ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Екатеринбург, 2016 Ключевые слова • • • • • • • • • алгебра логики высказывание логическая операция конъюнкция дизъюнкция отрицание логическое выражение таблица истинности законы логики Логика Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение). Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний). Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике Алгебра Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами – числами, векторами и др. Высказывание Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями: Земля вращается вокруг Солнца. Москва - столица. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием: Это высказывание ложное. Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются. Без стука не входить! Откройте учебники. Ты выучил стихотворение? Высказывание или нет? Зимой идет дождь. Снегири живут в Крыму. Кто к нам пришел? У треугольника 5 сторон. Как пройти в библиотеку? Переведите число в десятичную систему. Запишите домашнее задание Алгебра логики Алгебра логики вычисления значений, высказываний. определяет упрощения правила записи, и преобразования В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными. Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (В = 0). 0 и 1 называются логическими значениями. Простые и сложные высказывания Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций. Название логической операции Логическая связка Конъюнкция «и»; «а»; «но»; «хотя» Дизъюнкция «или» Инверсия «не»; «неверно, что» Логические операции Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Другое название: логическое умножение. Обозначения: , , &, И. Таблица истинности: А В А&В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Графическое представление A А&В B Логические операции Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Другое название: логическое сложение. Обозначения: V, |, ИЛИ, +. Таблица истинности: А В АVВ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Графическое представление A B АVВ Логические операции Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Другое название: логическое отрицание. Обозначения: НЕ, ¬,¯ Таблица истинности: А Ā 0 1 1 0 . Графическое представление Ā A Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Логические операции Имликация – ЛО, выражение, начинающееся со слов «если, когда, коль скоро» и продолжающееся словами «то, тогда». Импликация ложна лишь тогда, когда значение первой переменной истинно, а второй - ложно. Обозначения: → Таблица истинности: А В А→В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Логические операции Имликация – ЛО, выражение, начинающееся со слов «если, когда, коль скоро» и продолжающееся словами «то, тогда». Импликация ложна лишь тогда, когда значение первой переменной истинно, а второй - ложно. Обозначения: → Таблица истинности: А В А→В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Решаем задачу Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово "линкор"». В некотором сегменте сети Интернет 5 000 000 Webстраниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание АVВ для 7000 страниц. Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание? а) НЕ (А ИЛИ В); б) А & B; в) На Web-странице встречается слово "крейсер" И НЕ встречается слово "линкор". Представим условие задачи графически: 5 000 000 000 A ИA B A&B B 7 000 НЕ (А ИЛИ В) А ИЛИ В 4800 – 2300 = 2500 Web-страниц A = 4800, B = 4500. Сегмент Web-страниц +встречается 4500Web-страниц = 9300 слово 5000000000 На 2500 Web-страницах – 7000 =4800 4 993 000 НЕ "крейсер" (А ИЛИ В) И НЕ встречается слово "линкор". 9300 – 7000 = 2300 Web-страниц A&B Построение таблиц истинности для логических выражений подсчитать n - число переменных в выражении подсчитать общее число логических операций в выражении установить последовательность выполнения логических операций определить число столбцов в таблице заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции определить число строк в таблице без шапки: m =2n выписать наборы входных переменных провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью Пример построения таблицы истинности АVA&B n = 2, m = 22 = 4. Приоритет операций: &, V A B A&B AVA&B 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Свойства логических операций Законы алгебры-логики Закон исключения Переместительный третьего A& AB &= ĀB =& 0A AV AB VĀ =B =V 1A (A & B) & AC & =AA= & A ( B & C) Закон Сочетательный повторения (A V B) V AC VA =A=VA( B V C) Законы операций Распределительный с0и1 A&(B A& VC)= 0=0;(A&B) A &1V =(A&C) A V 0 ==A;(AA V1=1 AVA (B&C) VB)&(A VC) Закон Законы двойного общей отрицания инверсии A&B=ĀVB Ā=A AVB =Ā&B Доказательство закона Распределительный закон для логического сложения: A v (B & C) = (A v B) & (A v C). A B C 0 B&C 0 A v (B & C) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 AvB 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 A v C (A v B) & (A v C) 0 0 Умножаем Складываем Умножаем Равенство (АvB) ВА наиСC В (В&С) навыделенных ии(AvC выводим выводим и выводим )и выводим результат. результат. результат. столбцов результат. распределительный закон. 1 1 доказывает Решение логических задач Задача. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы: Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал. Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля. Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа. Бабушка знала, что один из её внуков (правдивый), оба раза сказал правду; второй (шутник) оба раза сказал неправду; третий (хитрец) один раз сказал правду, а другой раз неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу? Решение. Пусть К =«Коля разбил вазу», В =«Вася разбил вазу», С =«Серёжа разбил вазу». Представим в таблице истинности высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, составим не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий наборы входных переменных: 001, 010, 100. K B C Утверждение Серёжи Утверждение Васи Утверждение Коли С В С K К C 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10). Это вторая строка. Вазу разбил Серёжа, он - хитрец. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука - Коля. Переключательные схемы F F a a b Последовательное соединение Параллельное соединение Логические элементы Логический элемент – устройство, которое после обработки двоичных сигналов выдаёт значение одной из логических операций. А & В А 1 В И (конъюнктор) ИЛИ (дизъюнктор) А НЕ (инвертор) Анализ электронной схемы Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А и В внесём в таблицу истинности. Проследим Какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном преобразование каждой пары сигналов при прохождении их наборе сигналов на входах? через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему. А 0010 В 0101 1010 & 0010 F A B F 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 В инвертор поступает сигнал от входа В. В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от инвертора. Таким образом, F = A & B. Самое главное Высказывание — это предложение на любом языке, Таблицы истинности для основных логических операций: содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Основные логические операции, А Ā A B определённые A&B AVB над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. 0 1 Название 1 логической 0 операции Инверсия 0 0 Логическая связка 0 1 1 1 0 1 «не, «неверно, что» Конъюнкция 0 0 Обозначение 0 1 0 1 ¬, ─ 1 1 «и», «а», «но», & При вычислении «хотя» логических выражений сначала Дизъюнкция выполняются действия «или» в скобках. Приоритет выполнения V логических операций: ¬, &, V. Вопросы и задания на рисунке электрические В Рассмотрите следующихпредставленные высказываниях выделите простые схемы: Объясните, почему следующие Выясните, какойотрицания сигнал должен быть на выходе электронной Постройте следующих высказываний. высказывания, обозначив каждое изпредложения них буквой.не являются схемы прис высказываниями. каждом возможном наборелогических сигналов на входах. Aи B и знаков Запишите помощью букв операций Пусть А =таблицу «Ане нравятся уроки математики», а BВ = A A или Составьте работы схемы. Каким логическим 1)Приведите Сегодня в по театре идёт опера «Евгений Онегин». каждое составное высказывание. одному примеру истинных и ложных B «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие A выражением описывается схема? 1) Какого цвета этот дом? 2) охотник желает знать, где сидит фазан. B высказываний из биологии, географии, информатики, 1) Каждый Число 376 чётное и трёхзначное. формулы на обычном языке: 2) Число Х непростое превосходит единицы. 3) Число 1 есть число. 220наВ лыжах. истории, математики, литературы. 2) Зимой дети катаются на коньках или 4) Натуральные 220 В Ачисла, оканчивающиеся цифрой 0, не 3) 4Х +3. 3) Проведите Новыйпростыми год мы встретим на 1дачеF или на Красной аналогию между элементами электрических являются числами. 4) Посмотрите в окно. площади. схем и объектами и операциями алгебры логики: числа 5) Неверно, что число 3 не является делителем Пейте томатный сок! 4) 5) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. Электрическая схема Алгебра логика 198. 6)Земля Эта тема скучна. 6) решил все задания контрольной работы. 5) Коля имеет форму шара, который из космоса Переключатель В 7) Рикки Мартин самый популярный певец. 7) Во всякой школе ученики интересуются кажется голубым. Переключатель включен-некоторые спортом. быливыключен в театре? старшеклассники отвечали на 6) 8) НаВы уроке математики Переключатель 8) Некоторые млекопитающие не живутсамостоятельную на суше. вопросы учителя, а также писали Последовательное соединение переключателей работу. Параллельное соединение переключателей Вопросы и задания Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный Разбирается дело Джона, Брауна и находку, Смита. Известно, сосуд. Рассматривая удивительную каждый что один по издва нихпредположения: нашёл и утаил клад. На следствии высказал каждый из подозреваемых сделал два заявления: 1) Алеша: сосуд греческий изготовлен Смит: «Я«Это не делал этого. Браунисделал это». в V веке». Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это». 2) Боря:«Я «Это сосудэтого. финикийский и изготовлен в III Браун: не делал Джон не делал этого». веке». Суд установил, что не один из них и дважды солгал, 3) Гриша: «Это сосуд греческий изготовлен в другой IV веке».дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них Ктотолько из подозреваемых должен быть оправдан? прав в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд? Опорный конспект Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Основные логические операции Инверсия Конъюнкция Дизъюнкция А Ā A B A&B A B AVB 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V.
