РЕФЕРАТ на тему: «Дифференциалы высших порядков» Выполнил: Проверил: Москва 2021 Содержание Введение ................................................................................................................... 3 1. Функции нескольких переменных .................................................................. 4 1.1 Определение функции нескольких переменных............................................ 4 1.2 Предел функции двух переменных ................................................................. 4 1.3 Непрерывность функции двух переменных ................................................... 5 2. Частные производные ....................................................................................... 6 2.1 Частные производные ....................................................................................... 6 2.2 Полный дифференциал ..................................................................................... 7 2.3 Производные и дифференциал сложной функции ........................................ 9 2.4 Неявные функции и их дифференцирование ............................................... 11 3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. .................... 13 3.1 Частные производные высших порядков ..................................................... 13 3.2 Признак полного дифференцирования ......................................................... 14 3.3. Дифференциалы высших порядков .............................................................. 14 Заключение ............................................................................................................ 17 Список использованных источников .................................................................. 18 2 Введение Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных. В данной работе рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. Так же, как и в случае функций одной переменной, можно для функций нескольких переменных вычислять дифференциалы порядка выше первого. Причём для сложных функций дифференциалы порядка выше первого не обладают неизменной формой и выражения для них более громоздки. В данной работе предстоит рассмотреть так же геометрический смысл полного дифференциала функции нескольких переменных, который вводится по аналогии с геометрическим смыслом функции одной действительной переменной. 3 1. Функции нескольких переменных 1.1 Определение функции нескольких переменных Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции. Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных z f ( x, y ) можно рассматривать как функцию точки M z f (M ) , либо как скалярную функцию векторного аргумента r z f (r ) . Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных z f ( x; y; z ) f ( M ) f (r ) . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть. Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных. 1.2 Предел функции двух переменных Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству x x0 2 y y0 2 или MM 0 называется δ-окрестность точки M 0 x0 , y0 . Определение. Число A называет пределом функции z f x, y f (M ) при стремлении точки M к точке M 0 x0 , y0 , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, 4 удовлетворяющих 0 MM 0 условию имеет место неравенство f M A . Обозначают это так: lim f ( M ) A или lim f ( x, y) A M M 0 x x0 y y0 Функция z f (M ) называется бесконечно малой при M M 0 если lim f (M ) 0 M M 0 1.3 Непрерывность функции двух переменных Пусть точка z f ( x, y ) f ( M ) . M 0 x0 , y 0 Определение. принадлежит Функция области z f ( x, y ) f ( M ) определения называется непрерывной в точке M 0 если lim f (M ) f (M 0 ) или lim f ( x, y) f ( x0 , y0 ) причем точка M стремится к M M 0 x x0 y y0 M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Обозначим x x0 x , y y0 y . Полным приращением z f ( x, y ) f ( M ) при переходе от точки M 0 , к точке M называется разность значении функции в этой точке z f (M ) f (M 0 ) , т.е. z f ( x, y) f ( x0 , y0 ) 5 2. Частные производные 2.1 Частные производные Частной производной функции нескольких переменных по какойнибудь переменной производная по в рассматриваемой этой переменной, точке считая называется другие обычная переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных z f x, y в точке M 0 x0 ;y 0 частные производные определяются так: z f x0 x, y0 f x0 , y0 z , lim x lim x x0 x x0 x yz f x0 , y0 y f x0 , y0 z , lim lim y y 0 y y 0 y если эти пределы существуют. Величина x z f x0 x, y 0 f x0 , y 0 y z f x0 , y 0 y f x0 , y 0 называется частным приращением функции z в точке M 0 по аргументу x y . Используются и другие обозначения частных производных: z x , f x0 , y 0 f x 0 , y 0 , f xx0 , y 0 , , x x z y , f x 0 , y 0 , f x0 , y 0 , f y x0 , y 0 . y y Символы z f x0 , y 0 z f x 0 , y 0 , , , x y y x как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной). Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная f xx0 , y 0 f y x0 , y 0 - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z f x, y и плоскости y y0 x x0 в соответствующей точке. Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная f x x0 , y 0 f y x0 , y 0 есть скорость изменения функции f x, y относительно x y при постоянном yx . 6 Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная. Пример 1. Если z x 2 y 2 , то z x 2 x , z y 2 y . Пример 2. Если p RT R RT , то pT , pV 2 . Величина pV называется V V V изотермическим коэффициентом упругости идеального газа. Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных. 2.2 Полный дифференциал z f x0 , y0 f x0 x, y0 y f x0 , y0 . (1) Если приращение (1) можно представить в виде z Ax By x, y x x, y y , (2) Где А и В не зависят от x и y , а x, y и x, y стремятся к нулю при стремлении к нулю z Ax By x, y x x, y y x и y , то функция z f x, y называется дифференцируемой в точке x0 , y0 , а линейная часть Ax By приращения функции (т.е. та часть z , которая зависит от x и y линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке x0 , y0 и обозначается символом dz : dz Ax By . (3) Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке x0 , y0 , то она в этой точке непрерывна. Действительно, если в точке x0 , y 0 функция z f x, y дифференцируема, то для этой точки z представимо в форме (2), откуда следует, что lim z 0 , x 0 y 0 а это и означает, что в точке x0 , y0 функция z f x, y непрерывна. 7 Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости). В самом деле, пусть функция z f x, y в точке x0 , y 0 дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем y 0 , имеем: x z Ax x,0x . Деля на x 0 и переходя к пределу при x 0 , получаем: xz lim ( A x,0) A . x 0 x x 0 lim Это означает, что в точке x0 , y0 существует частная производная функции z f x, y по x и z A. x (4) Аналогично доказывается, что в точке x0 , y0 существует частная производная z Â. y (5) Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде dz z z x y . x y Если положить Аналогично, полагая z x , то z y, dz dx 1 * x 0 * y x , т.е. получим dy y . dz x . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: dz f x x0, y0 dx f y x0 , y0 dy . Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция z f x, y имеет частные производные в некоторой окрестности точки M 0 x0 ;y 0 и эти производные непрерывны в самой точке M 0 , то эта функция дифференцируема в точке M 0 . 8 Доказательство. Дадим переменным x 0 и y 0 столь малые приращения x и y , чтобы точка M 0 x0 x; y 0 y не вышла за пределы указанной окрестности точки M 0 . Полное приращение z f x0 x, y0 y f x0 , y0 можно записать в виде z ( f x0 x, y0 y f x0 , y0 y ) ( f x0 , y0 y f x0 , y0 ) . Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим: z f x x0 x, y 0 y x f y x0 , y 0 1 y y 0 ,1 1 (6) Так как производные f x и f y непрерывны в точке M 0 , то lim f x x0 x, y 0 y f x x0 , y 0 , lim f y x0 , y 0 1 y f y x0 , y 0 x 0 x 0 y 0 y 0 Отсюда f x x0 x, y0 y f x x0 , y0 , x, y f y x0 , y0 1y f y x0 , y0 , где и x, y - бесконечно малые при x 0 , y 0 . Подставляя эти значения в равенство (6), находим: z f x x0 , y 0 x f y x0 , y 0 y x y , а это и означает, что функция z f x, y дифференцируема в точке M 0 . 2.3 Производные и дифференциал сложной функции Пусть z f x, y , где x t , y t . Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t. Предположим, что z x , z y непрерывны и dx , dt dy dz существуют. Найдем . Дадим переменной t приращение t . Тогда x, y, dt dt а следовательно, и z получат свои приращения x , y и z . В силу достаточного условия дифференцируемости z f z x, y x f y x, y y x y , откуда 9 z x y x y f x x, y f y x, y . t t t t t Устремим теперь t к нулю. Тогда x и y будут стремиться к нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили существование производных xt и yt ), а потому и будут стремиться к нулю. В пределе получим: dz dz dy f x x, y f y x , y , dt dt dt или, короче, dz z dx z dy . dt x dt y dt (7) Формула (7) называется формулой производной сложной функции. Пример 1. Пусть z f x, y , x t 3 3 , y 2t 4 1 . По формуле (7) имеем: dz z z * 3t 2 8t 3 . dt x y Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию z f x, y , где y x. Согласно формуле (7) будем иметь: dz z z dy , dx x y dx так как (8) dx z 1 . В формуле (8) - частная производная по первому dx x аргументу функции двух переменных f x, y , а сложной функции одной переменной x: dz - обычная производная dx z f x, x . Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда z f x, y , где x y , аналогично получает: dz z dx z dy x dy y ( z dz - частная производная по второму аргументу функции f x, y , dy y полная производная функции одной переменной y: z f y , y ). 10 Пусть теперь x t, , y t , ( здесь предполагается существование первых производных функций x , y по t и ). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных t и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде z z x z y . t x t y t (9) Аналогично z z x z y . x y Пример 2. Если (10) z xy , где x t cos 2 , от zt y cos 2 2 xt , z 2 yt xt 2 . Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на x и y , то из формул (9) и (10) получили бы, что z z z z 2 2 . и t t 2.4 Неявные функции и их дифференцирование Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, 2 y 2 y x 2 1 0 ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть): F x, y 0 . (11) В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у. Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию y f x , задавать значения независимой переменной х, то для нахождения 11 соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция y f x , определенная уравнением (11), это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим: dy Fx x, y Fy x, y 0 . dx Отсюда при Fy x, y 0 вытекает формула для производной неявной функции F x, y dy . x dx F x, y (12) y Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением e xy x y 0 . Найти dy . dx Для F x, y e xy x y имеем: Fx ye xy 1, Fy xe xy 1 и согласно формуле (12) dy 1 ye xy . dx xe xy 1 Пусть уравнение F x, y, z 0 Определяет z как неявную (13) функцию z x, y независимых переменных xи y. Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем: Fy Fx z z , . y x F F z (14) z Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением x 2 y 2 z 2 1 0 . Согласно формулам (14) z x z y , . x z y z 12 Частные производные и дифференциалы высших порядков. 3. 3.1 Частные производные высших порядков Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут производными второго порядка. Так, для функции частными z f x, y двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами 2 2 z z z z z x 2 2 , z xy , x x xy y x x z yx 2z z 2 z z , z 2 2 . yx x y y y y y Частные производные z xy и z yx , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка. Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков. Пример. Найти частные производные второго порядка функции z e x2 y . Имеем: z x e x 2 y , z y 2e x 2 y ,, z x 2 e x 2 y , z xy 2e x 2 y , z yx 2e x 2 y , z y 2 4e x 2 y . Здесь z xy = z yx . Оказывается, имеет место следующая теорема. Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: f xy x, y = f yx x, y . Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем 13 же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность. Покажем это на примере: z x 2 y z x z x z y , x y y x x x т.е. z x 2 y z xyx z yx 2 . Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции z x (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство z xy = z yx . В общем случае схема рассуждений аналогична. 3.2 Признак полного дифференцирования Выясним, при каких условиях выражение Px, y dx Qx, y dy , (12) где Px, y и Qx, y непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции u ux, y , или, кратко, полным дифференциалом. Теорема. Выражение (12) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство P Q . y x 3.3. Дифференциалы высших порядков Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной: I. d u v du dv u ux, y , v vx, y . II. d uv vdu udv . III. d Cv Cdu C const . 14 u vdu udv IV. d v 0 . 2 v v Пусть имеется функция z f x, y независимых переменных x и y, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал dz z z dx dy x y (dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом). Так как z x и z y по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции dz , в свою очередь, можно взять полный дифференциал d dz . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается d 2z . Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков. Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dx и dy не зависят от x и y, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать: z z z z d 2 z d dx dy d dx d dy y x x y 2z 2z 2z 2z dx2 dxdy dydx dy 2 xy yx x 2 y 2 2z 2 2z 2z 2 dx 2 dxdy dy 2 2 x y x y (13) (здесь dx 2 dx 2 , dy 2 dy 2 ). Формула (13) обобщается на случай дифференциала п-го порядка. 15 Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x1, x2,…, хm). Если для функции z существуют непрерывные частные производные всех порядков до n-го включительно, то существование n-го дифференциала обеспечено. d n z d dx1 dx2 ... dxm z x2 xm x1 (14) Формулу (14) надлежит понимать так: сначала «многочлен», стоящий в скобках, формально, возводится по правилам алгебры в степень, затем все полученные члены «умножаются» на z (которое дописывается в числителях при ∂n), и только после этого всем символам возвращается их значение как производных и дифференциалов. 16 Заключение Определения и обозначения, связанные с частными производными высших порядков, остаются в силе и для функций, зависящих от трёх и более переменных. Остаётся справедливой и возможность изменения порядка производимых дифференцирований при условии непрерывности сравниваемых между собой производных. 17 Список использованных источников 1. Гусак А. А. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.). 2. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 с. 3. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1981, стр.124-134 4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с. 5. Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. – 368 с. 6. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа, физмат-лит, 1988, - 259 с. 7. Фихтенгольц Г. М., «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Том 1, стр. 410-413 8. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2000. - 351 с. 18