Функции нескольких переменных Лекция 1 Определение функции двух переменных Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторого множества D соответствует единственное значение величины z, а каждому z соответствует хотя бы одна пара (x,y), то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в D. Обозначения При этом пишут: z f ( x, y ), z ( x, y ), z z ( x, y ). Если паре ( x0 , y0 ) D соответствует число z 0 L , то пишут z 0 f ( x0 , y 0 ) Или z 0 z x x0 y y0 z0 называется частным значением функции при x x0 , y y 0 . График функции 2-х переменных Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных. График функции Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x, y)D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра PM к x плоскости Oxy. z M(x,y,z) z = f (x,y) O y D P(x,y) Предел функции 2-х переменных Окрестностью радиуса R точки M 0 называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса R с центром в точке M 0 , кроме самой точки. Предел функции 2-х переменных Таким образом, окрестностью точки является множество точек, M.0 УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ ( x x0 ) ( y y 0 ) R 2 у 2 о х Определение предела функции 2-х переменных Число А называется пределом функции z=f(x,y) при M M 0 , если для любого числа 0 найдется такое число R>0, что для всех точек М(х,у), лежащих в окрестности радиуса R точки M 0, выполняется условие f ( x, y) A При этом пишут: lim f ( x, y) A x x0 y y0 lim f ( x, y) A M M 0 или Непрерывность Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M 0 , если выполнены условия: 1)функция определена в точке M 0 , f (M ) 2)если существует Mlim , M 0 3)если lim f (M ) f (M 0 ) M0 M 0 ( x0 , y 0 ) M M 0 Непрерывность Другое определение: Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M 0 , если в этой точке бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. lim z 0, x 0 y 0 где z f ( x x, y y ) f ( x, y ) . Внутренние и граничные точки Линию, ограничивающую некоторую область D в плоскости Oxy, мы будем называть границей этой области. Точки области, не лежащие на границе области, мы будем называть внутренними точками области, если они принадлежат области вместе со своей окрестностью. Открытая и замкнутая области Область, состоящую из одних внутренних точек, мы будем называть открытой или незамкнутой. Если же к области относятся еще и точки границы, то область называют замкнутой. Ограниченная область Область называют ограниченной, если существует такое постоянное C>0, что расстояние любой точки M области от начала координат O меньше C, т.е. OM C. Наибольшее и наименьшее значения функции Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения M и наименьшего значения m. Частные приращения функции 2-х переменных Разность x z = f (x+x, y) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной x. Разность y z = f (x, y+y) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной y. Частные производные Определение. Если существует f ( x x , y ) f ( x , y ) x z lim = , lim x 0 x x0 x то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается z z x f x ( x, y ) x Продолжение Аналогично определяется частная производная по переменной y: y z f ( x, y y) f ( x, y) = lim lim y 0 y y 0 y Эту производную обозначают z z y f y ( x, y ) y Пример Найдем частные производные функции z 4x y x y x y 2 3 2 Получим 2 2 z X 8 xy 3x y 2 xy , z Y 4 x 2 x 3 2 x 2 y. 2 Производные высших порядков Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n-1)-го порядка той же функции. Например, для функции 2-х переменных имеем: z xx ( z x )x z yx ( z y ) x z xy ( z x )y z yy ( z y )y Равенство смешанных производных Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. 2 2 z , Так, z xy yx z z z 2 2 xy y x yxy 3 3 3 Пример Пусть z ln x 2 y 3 . Показать, что смешанные производные равны. z x 1 x y 2x 3 2x 1 ; z y 3 2 3 y 3 3y2 x y x y x y 2 2x 2 x 6 xy 2 z xy z x y 2 3 y 3 y ; 2 2 x y x2 y3 x2 y3 2 2 2 3 y 3 y 6 xy z yx z y x 2 3 x 2x z xy . 2 2 x y x2 y3 x2 y3 2 2 2 2 3 ;