Вахитов Ришат, ГР-16-02, 3 вариант Исходные данные Задача 3. Определить распределение давления в однородном пласте при прямолинейно-параллельной фильтрации газа и построить график. Контурное давление равно 6 МПа, а давление на галерее равно половине этой величины, длина галереи 300 м, h = 10м, проницаемость пласта 400 мД, вязкость газа 0,018 мПа*с. Определить скорость фильтрации на галерее. Дано: Pk, Па Pг, Па L, м h, м k, м2 μ, Па*с 6*106 3*106 300 10 0,4*10-12 18*10-6 газа прямолинейно- Теоретическая часть 1) Пласт однородный, фильтрация – параллельная. Будет рассмотрен случай одномерной установившейся фильтрации: все параметры зависят только от одной координаты х. При установившейся фильтрации жидкости траектории совпадают с линиями тока. Данный по условию газ рассматривается как совершенный. Уравнение (1) состояния совершенного газа (изотермический процесс): 𝑝 𝜌 = 𝑝атм 𝜌атм Математическая модель для совершенного газа: 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑤 ⃗⃗ = 0 − уравнение неразрывности 𝑘 𝜌𝑤 ⃗⃗ = − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑃 − уравнение движения 𝜇 в виде закона Дарси { где P – функция Лейбензона Граничные условия: x=0 p = pk x=L p = pг 2) Воспользуемся функцией Лейбензона, которая позволяет переходить от формул для фильтрации несжимаемой жидкости к формулам для фильтрации газа (2): 𝑃 = ∫ 𝜌𝑑𝑝 Для получения функции Лейбензона для совершенного газа, выразим значение плотности из уравнения (1) и подставим в уравнение (2), получим (3): 𝜌атм 𝜌атм 𝑝2 𝑃 = ∫ 𝜌𝑑𝑝 = ∫ 𝑝𝑑𝑝 = + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝атм 2𝑝атм Функция Лейбензона для совершенного газа. Для несжимаемой жидкости распределение давления: 𝑝𝑘 − 𝑝г 𝑝(𝑥) = 𝑝𝑘 − 𝑥 𝐿 Давление для несжимаемой жидкости аналогично с математической точки зрения функции Лейбензона для совершенного газа, поэтому распределение функции Лейбензона в пласте для совершенного газа имеет следующий вид (4): 𝑃(𝑥) = 𝑃𝑘 − 𝑃𝑘 − 𝑃г 𝑥 𝐿 Для получения распределения давления в пласте при фильтрации совершенного газа, можно подставить значение фунции Лейбензона из уравнения (3) в уравнение (4), тогда получим (5): 𝑝(𝑥) = √𝑝𝑘2 − 𝑝𝑘2 − 𝑝г2 𝑥 𝐿 Распределение давления в пласте при фильтрации совершенного газа По аналогии с несжимаемой жидкостью: 2 𝑤= 𝑘 (𝑝𝑘 − 𝑝г ) − скорость фильтрации 𝜇 𝐿 несжимаемой жидкости Для совершенного газа: 𝜌𝑤 = 𝑘 (𝑃𝑘 − 𝑃г ) 𝜇 𝐿 Уравнение (6): 𝑤= 𝑘 (𝑃𝑘 − 𝑃г ) 𝜇 𝜌𝐿 Если подставить из уравнения (1) значение плотности в уравнение (6), получим (7): 𝑤= 𝑘𝑝атм (𝑃𝑘 − 𝑃г ) 𝜇 𝑝𝜌атм 𝐿 Подставив уравнение (3) в уравнение (7), получим (8): 𝜌атм 2 𝜌атм 2 𝑝 − 𝑝 2 ( 𝑘 𝑘𝑝атм (𝑃𝑘 − 𝑃г ) 𝑘𝑝атм 2𝑝атм 2𝑝атм г ) 𝑘 (𝑝𝑘 − 𝑝г2 ) 𝑤= = = 𝜇 𝑝𝜌атм 𝐿 𝜇 𝑝𝜌атм 𝐿 𝜇 2𝑝𝐿 𝑘 (𝑝𝑘2 − 𝑝г2 ) 𝑤= 𝜇 2𝑝𝐿 Скорость фильтрации совершенного газа, где p в знаменателе – это давление в точке пласта, в которой считается скорость фильтрации. 3) Построение графика и расчет скорости фильтрации, используя исходные данные Определение скорости фильтрации совершенного газа: 𝑘 (𝑝𝑘2 − 𝑝г2 ) 𝑤= = 𝜇 2𝑝𝐿 2 = 2 0,4 ∗ 10−12 (м2 ) ∗ ((6 ∗ 106 (Па)) − (3 ∗ 106 (Па)) ) 18 ∗ 10−6 (Па ∗ с) ∗ 2 ∗ 3 ∗ 106 (Па) ∗ 300(м) 3 = 3,33 ∗ 10−4 (м/с) Ответ: скорость фильтрации w = 3,33*10-4 (м/с) График представляет собой зависимость давления от координаты x и был построен с шагом 100 м, давление в МПа. 𝑝(𝑥) = √𝑝𝑘2 𝑝𝑘2 − 𝑝г2 − 𝑥 𝐿 Распределение давления в пласте при фильтрации совершенного газа x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 p(x), Мпа 6 5.9245253 5.8480766 5.7706152 5.6920998 5.6124861 5.5317267 5.4497706 5.3665631 5.2820451 5.1961524 5.1088159 5.0199602 4.929503 4.8373546 4.7434165 4.64758 4.5497253 4.4497191 4.347413 4.2426407 4.1352146 4.0249224 3.9115214 3.7947332 3.6742346 3.5496479 3.4205263 3.2863353 3.1464265 4 300 3 Таблица 1. Зависимость давления от координаты Распределение давления при прямолинейно-параллельной фильтрации совершенного газа 7 6 Давление, МПа 5 4 Контурное давление 3 Давление на галерее 2 1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Расстояние от контура, м График 1. Распределение давления в пласте при фильтрации совершенного газа 5