ekonometrika

Министерство Образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и
технологий»
(СГУГиТ)
Кафедра высшей математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Эконометрика»
Выполнила: ст. гр. ЭНз- 41 Бутакова А.С.
Проверила:
Новосибирск 2021
Содержание
1. Задача № 1....................................................................................................... 3
2. Задача № 2....................................................................................................... 9
3. Задача № 3...................................................................................................... 18
Список используемой литературы .................................................................. 26
2
Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу
своего варианта).
Требуется:
1.
Построить линейное уравнение парной регрессии y от x .
2.
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю
ошибку аппроксимации.
3.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и
корреляции с помощью F -критерия Фишера и t -критерия Стьюдента.
4.
Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении
среднедушевого прожиточного минимума x , составляющем 107% от среднего
уровня.
5.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его
доверительный интервал.
6.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую
прямую.
Вариант 1
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
81
77
85
79
93
100
72
90
71
89
82
111
Среднедневная заработная плата,
руб., y
124
131
146
139
143
159
135
152
127
154
127
162
3
Решение
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим
1.
расчетную таблицу.
Таблица 1
y
yx
x2
y2
ŷx
y  ŷx
Ai
124
131
146
139
143
159
135
152
127
154
127
162
1699
10044
10087
12410
10981
13299
15900
9720
13680
9017
13706
10414
17982
147240
6561
5929
7225
6241
8649
10000
5184
8100
5041
7921
6724
12321
89896
15376
17161
21316
19321
20449
25281
18225
23104
16129
23716
16129
26244
242451
137,005
133,2161
140,794
135,1106
148,3718
155,0025
128,4799
145,5301
127,5327
144,5829
137,9523
165,422
1699
309,1736
112,0069
19,50694
6,673611
2,006944
303,3403
43,34028
108,5069
212,6736
154,1736
212,6736
416,8403
1900,917
20,96076
70,01042
0,62309
41,89659
46,08376
180,0731
171,6988
15,57726
197,4199
8,997423
13,18459
568,2832
1334,809
141,5833
12270
7491,333
20204,25
141,5833
–
–
12,58609
158,4097
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
x
1
81
2
77
3
85
4
79
5
93
6
100
7
72
8
90
9
71
10
89
11
82
12
111
Итого
1030
Среднее 85,83333
значение

11,13428
123,9722
2
b
yx y x

12270  85,83 141,58
 0,947233
7491,33  85,83
x x
;
a  y  b  x  141,58  0,94  85,83  60, 27918 .
2
2
2
Получено уравнение регрессии:
y  60, 28  0,94  x .
С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб.
среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,94 руб.
2.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
rxy  b 
x
y
 0,94 
11,13
12,59
rxy2  0, 702
 0,838
;
.
Это означает, что 70% вариации заработной платы ( y ) объясняется
вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.
4
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
A
1
n
 Ai 
51,171
 4, 26%
12
.
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как A не
превышает 8-10%.
3.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с
помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия:
Fфакт 
rxy2
1  rxy
2
  n  2 
0, 702
1  0, 702
10  23,58
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и
степенях свободы k1  1 и k2  12  2  10 составляет Fтабл  4,96 . Так как
Fфакт  23,58  Fтабл  4,96 , то уравнение регрессии признается статистически
значимым.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с
помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала
каждого из показателей.
Табличное
значение
t -критерия
для
числа
степеней
свободы
df  n  2  12  2  10 и   0, 05 составит tтабл  2, 23.
m
Определим случайные ошибки ma , b , mrxy :
ma  Sост 
mb 
mr 
xy
x
2
n x
Sост
x 
1  rxy2
n2
 7,524 

 16,88
12 11,13

n
89896
;
7,524  0,195;
11,13 12
1  0, 702
 0,173
12  2
.
Тогда
5
ta 
a  60, 28  3,57
ma 16,88
;
tb 
b
0,94

 4,86;
mb 0,195
trxy
rxy  0,838  4,86

mrxy 0,173
.
Фактические значения t -статистики превосходят табличное значение:
tтa а
бл 3,57  t
 2, 23; tbта
бл 4,86  t
поэтому параметры
a
 2, 23; trтаб
л 4,86  t
xy
 2, 23,
, b и rxy не случайно отличаются от нуля, а
статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b .
Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
a  tтабл  ma  2, 23 16,88  37, 62;
b  tтабл  mb  2, 23  0,195  0, 43 .
Доверительные интервалы
a  a  a  60, 28  37, 62;
a
min
a
max
 60, 28  37, 62  22, 66;
 60, 28  37, 62  97,90;
b  b  b  0,94  0, 43;
b  0,94  0, 43  0,51;
min
b
max
 0,94  0, 43  1,37.
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к
выводу о том, что с вероятностью p  1    0,95 параметры a и b , находясь
В
указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются
статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.
4.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать
его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:
6
xp  x 1, 07  85,83 1, 07  91,84
руб.,
тогда
прогнозное
значение
заработной платы составит: yp  60, 28  0,94  91,84  147, 27 руб.
Ошибка прогноза составит:
1  xp  x 
1  91,84  85,83
 7,524  1  
 7,92
m ŷ p  Sост  1  
2
1487, 67
n  x  x 
12
2
2
.
Предельная ошибка прогноза, которая в 95%
случаев не будет
превышена, составит:
yˆ  tтабл  mŷ  2, 23  7,92  17, 64
p
p
.
Доверительный интервал прогноза:
yˆ  ŷ p   ŷ  147, 27  17, 64;
p
p
yˆ
 147, 27 17, 64  129, 63 руб.;
yˆ
 147, 27  17, 64  164,92 руб.
pmin
pmax
Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является
надежным ( p  1    1  0, 05  0,95) и находится в пределах от 129,63 руб.
до 164,92 руб.
5.
В заключение решения задачи построим на одном
графике
исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):
7
180
Среднедневная заработная плата, руб., Y
170
160
150
140
130
120
110
100
60
70
80
90
100
110
120
Среднедушевой прожиточный минимум, руб., X
Рис. 1.
8
Задача 2. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки
продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых
основных фондов x1 (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного
x2 (%)
веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих
(смотри таблицу своего варианта).
Требуется:
1.
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать
стандартизованное
уравнение
множественной
регрессии.
На
основе
стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов
эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2.
Найти
коэффициенты
парной,
частной
и
множественной
корреляции. Проанализировать их.
3.
Найти
скорректированный
коэффициент
множественной
детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом
детерминации.
4.
С
помощью
F -критерия
Фишера
оценить
статистическую
2
R
надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации yx1x2 .
5.
С
помощью
частных
F -критериев Фишера оценить
целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1
после x2 и фактора x2 после x1 .
6.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь
один значащий фактор.
Вариант 1
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
6
6
6
7
7
7
8
8
9
10
3,6
3,6
3,9
4,1
3,9
4,5
5,3
5,3
5,6
6,8
9
12
14
17
18
19
19
19
20
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
x1
x2
9
11
11
12
12
13
13
13
14
14
6,3
6,4
7
7,5
7,9
8,2
8
8,6
9,5
9
21
22
24
25
28
30
30
31
33
36
9
Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных
расчетов в таблицу:
№
y
x1
x2
yx1
yx2
x1 x2
x12
x22
y2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Сумма
Ср. знач.
6
6
6
7
7
7
8
8
9
10
9
11
11
12
12
13
13
13
14
14
196
9,8
3,6
3,6
3,9
4,1
3,9
4,5
5,3
5,3
5,6
6,8
6,3
6,4
7
7,5
7,9
8,2
8
8,6
9,5
9
125
6,25
9
12
14
17
18
19
19
19
20
21
21
22
24
25
28
30
30
31
33
36
448
22,4
21,6
21,6
23,4
28,7
27,3
31,5
42,4
42,4
50,4
68
56,7
70,4
77
90
94,8
106,6
104
111,8
133
126
1327,6
66,38
54
72
84
119
126
133
152
152
180
210
189
242
264
300
336
390
390
403
462
504
4762
238,1
32,4
43,2
54,6
69,7
70,2
85,5
100,7
100,7
112
142,8
132,3
140,8
168
187,5
221,2
246
240
266,6
313,5
324
3051,7
152,585
12,96
12,96
15,21
16,81
15,21
20,25
28,09
28,09
31,36
46,24
39,69
40,96
49
56,25
62,41
67,24
64
73,96
90,25
81
851,94
42,597
81
144
196
289
324
361
361
361
400
441
441
484
576
625
784
900
900
961
1089
1296
11014
550,7
36
36
36
49
49
49
64
64
81
100
81
121
121
144
144
169
169
169
196
196
2074
103,7
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
y 
y 2  y 2  103, 7  9,82  2, 768 ;
 x  x12  x12  42,597  6, 252  1,88 ;
1
 x  x22  x22  550, 7  22, 42  6,996 .
2
1.
Вычисление параметров линейного уравнения множественной
регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной
регрессии
y  a  b1 x1  b2 x2
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно
неизвестных параметров
a b b
, 1, 2 :
10
na  b1  x1  b22  x2   y;
a x b x b
xx 
yx ;
  1 1  1
 yx1
2  1 22
a x b x x b
x 


2
1

1 2
2

2
либо воспользоваться
 готовыми формулами:
b 
y
x
1

ryx  ryx rx x
1
2
b 
12
1  rx x
2
2
1

;
12
a  y  b1 x1  b2 x2 .
2
y
x

ryx  ryx rx x
2
1
1  rx x
1 2
2
2
12
;
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
cov y, x  66,38  6, 25  9,8
ryx1    1  2, 768 1,88  0,986
y
x1
cov y, x  238,1  22, 4  9,8
ryx2    2  2, 768  6,996  0,9596
;
y
rx1x2 
x2
cov x1 , x2  152,585  6, 25  22, 4

 0,957
 x  x
1,88  6,996
.
1
Находим
;
2
2, 768 0,986  0,9596  0,957

 1,181
1
2
1,88
1  0,957
;
2, 768 0,9596  0,986  0,957
b2 

 0, 076
6,996
1  0,9572
;
a  9,8 1,181 6, 25  0, 076  22, 4  0, 718.
b 
Таким
регрессии:
образом,
получили
следующее
уравнение
множественной
yˆ 0, 718  1,181 x1  0, 076  x2 .
1
Коэффициенты
и
2
стандартизованного уравнения регрессии
 , находятся по формулам:

  b x  1,181 1,88  0,802
1
1
1 
2, 768

t y  1t x 1 2t x
2
 b
2
x2
2
y
 0, 076 
y
;
6,996
 0,192
2, 768
.
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
11
t y  0,802  t x1  0,192  t x2 .
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать
между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов
оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес
рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи
средних коэффициентов эластичности:
Э b 
i
i
xi
yxi .
Вычисляем:
Э  1,181
1
6, 25
9,8
 0, 75
;
Э  0, 076 
2
22, 4
 0,17
9,8
.
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения)
или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает
в среднем выработку продукции на 0,75% или 0,17% соответственно. Таким
образом, подтверждается большее влияние на результат
y
фактора x1 , чем
фактора x2 .
2.
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
ryx1  0,986 ;
ryx2  0,9596 ;
rx1x 2  0,957 .
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом,
а также высокую межфакторную зависимость (факторы x1 и x2 явно
коллинеарные, т.к. rx1x 2  0,957  0, 7 ). При такой сильной межфакторной
зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между
результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении
влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются
следующим образом:
12
ryx1x2 
ryx2 x1 
ryx  ryx  rx x
1
2

1 2
0,986  0,9596  0,957
1  r   1  r  1  0,9596   1  0,957 
2
yx2
2
x1x2
ryx  ryx  rx x
2
1
1 2
2

0,9596  0,986  0,957
1  r   1  r  1  0,986   1  0,957 
2
yx1
2
x1x2
2
 0,828
2
;
 0,334
2
.
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно
увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной
корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине
рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов
исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости
меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу
парных коэффициентов корреляции:
Ryx1x2  1 
где

r
r11 ,
ryx
1
r  ryx
1
ryx
rx x
2
21
ryx
1
2
1
rx x
12
1
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
 r11  r
1
rx x
12
1
x2 x1
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
1
0,986 0,96
1
0,957  0, 0021
r  0,986
0,96 0,957
1
;
r11 
1
0,957
0,957
1
 0, 084
.
Коэффициент множественной корреляции
13
Ryx1 2x  1 
0, 0021
 0,987
0, 084
.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
Ryx1x2  1  ост  1 
2
2y
Ryx1x2 
R
yx1x2 ...xm
  r
i
yxi
0, 00952
 0,987
7, 66
;
 0,802  0,986  0,192  0,96  0,987 ;
  


1  1  0,9862   1  0,3342  0,987 .
 1 1 r 2  1 r2

yx1
yx2x1

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную
связь всего набора факторов с результатом.
3.
R
2
yx1x2
Нескорректированный коэффициент множественной детерминации
 0,975 оценивает долю вариации результата за счет представленных в
уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет
97,5 % и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации
результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь
факторов с результатом.
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
R̂ 2  1  1  R 2 
 n 1
 1  1  0,975  
 n  m 1
20 1
 0,972
20  2 1
определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной
дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа
факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом
факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 96%)
y
детерминированность результата в модели факторами x1 и x2 .
4.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя
F
-критерий Фишера:
тесноты связи Ryx1x2 дает
2
R
n  m 1
F
2 
1 R
.
m
В нашем случае фактическое значение F -критерия Фишера:
Fфакт
0,9872 20  2 1
 333, 47


1  0,9872
2
.
14
n  20 ), т.е. вероятность
Получили, что Fфакт  Fтабл  3, 49 (при
случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый
уровень значимости 5% . Следовательно, полученное значение не случайно, оно
сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается
2
статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи Ryx1x2 .
5.
С
помощью
частных
F -критериев
Фишера
оценим
целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1
после x2 и фактора x2 после x1 при помощи формул:
Fчаст, x1
Fчаст, x2
 R2
n  m 1



1  R2yx
m
;
1
2
2
R
 R n  m 1
yx x
yx 
 12 2 1
1  R yx
m
.
R2
yx1x2
yx2
2
2
2
Найдем Ryx1 и Ryx2 .
Ryx2 1  ryx21  0,9862  0,972 ;
Ryx2 2  ryx2 2  0,95962  0,921.
Имеем
0,975  0,921 20  2 1

 37,12
1  0,975
2
;
0,975  0,972 20  2 1
F


 2,13
част, x
1  0,975
2
.
 3, 49 . Следовательно, включение в
Получили, что Fчаст, x2  Fтабл
модель фактора x2 после того, как в модель включен фактор x1 статистически
Fчаст, x1 
2
нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного
признака x2 оказывается незначительным, несущественным; фактор x2
включать в уравнение после фактора x1 не следует.
Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и
рассмотреть вариант включения x1 после x2 , то результат расчета частного F -
x1 будет иным. Fчаст, x  Fтабл  3, 49, т.е. вероятность его
1
случайного формирования меньше принятого стандарта   0,05  5%  .
Следовательно, значение частного
F -критерия для дополнительно
включенного фактора x1 не случайно, является статистически значимым,
критерия для
надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет
дополнительного фактора x1 является существенным. Фактор x1 должен
присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно
15
включается после фактора x2 .
6.
Общий вывод состоит в том, что множественная модель с
факторами 1 и 2 с Ryx1x2  0, 965 содержит неинформативный фактор
Если исключить фактор x2 , то можно ограничиться уравнением парной
регрессии:
x
x
2
ŷx  0  1 x  0, 73  1, 45  x ,
x2 .
2
ryx  0,986 .
16
Задача 3. Имеются условные данные об объемах потребления
электроэнергии ( yt ) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о
1.
наличии сезонных колебаний.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных
2.
вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных
вариантов).
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
3.
Варианты 1
t
Yt
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
5,8
4,5
5,1
9,1
7,0
5,0
6,0
10,1
9
10
11
12
13
14
15
16
7,9
5,5
6,3
10,8
9,0
6,5
7,0
11,1
Построим поле корреляции:
12
Y
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18
Рис. 1.
t
17
Уже исходя из графика видно, что значения y образуют пилообразную
фигуру.
Рассчитаем
несколько
последовательных
коэффициентов
автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
Таблица 2
t
yt
1
5,8
2
4,5
3
5,1
4
9,1
5
7
6
5
7
6
8
10,1
9
7,9
10
5,5
11
6,3
12
10,8
13
9
14
6,5
15
7
16
11,1
Сумма
110,9
Среднее
7,393333
значение
yt 1
5,8
4,5
5,1
9,1
7
5
6
10,1
7,9
5,5
6,3
10,8
9
6,5
7
105,6
yt  y1
yt 1  y2
-2,89333
-1,24
-2,29333
-2,54
1,706667
-1,94
-0,39333
2,06
-2,39333
-0,04
-1,39333
-2,04
2,706667
-1,04
0,506667
3,06
-1,89333
0,86
-1,09333
-1,54
3,406667
-0,74
1,606667
3,76
-0,89333
1,96
-0,39333
-0,54
3,706667
-0,04
9,77E-15 -8,88E-16
 yt  y1   
2
 yt  y1 2  yt 1  y2 
 yt 1  y2 
3,587733333
5,825066667
-3,310933333
-0,810266667
0,095733333
2,8424
-2,814933333
1,5504
-1,628266667
1,683733333
-2,520933333
6,041066667
-1,750933333
0,2124
-0,148266667
8,854
8,371377778
5,259377778
2,912711111
0,154711111
5,728044444
1,941377778
7,326044444
0,256711111
3,584711111
1,195377778
11,60537778
2,581377778
0,798044444
0,154711111
13,73937778
65,60933333
1,5376
6,4516
3,7636
4,2436
0,0016
4,1616
1,0816
9,3636
0,7396
2,3716
0,5476
14,1376
3,8416
0,2916
0,0016
52,536
7,04
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на
16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
1
1 n

110,9  7,39,
y
y1 

t
n 1 t2
15
1
1 n

105, 6  7, 04.
y2 
y


t1
n 1 t2
15
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:
r 
1
8,854
 0,151
65, 609  52,536
.
Составляем вспомогательную
автокорреляции второго порядка.
таблицу для расчета
коэффициента
18
Таблица 3
 yt  y3    y  y 2 y  y 2
 t 3   t 2 4 
 yt 2  y4 
t
yt
yt 2
yt  y3
yt 2  y4
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Сумма
Среднее
значение
2
5,8
4,5
5,1
9,1
7
5
6
10,1
7,9
5,5
6,3
10,8
9
6,5
7
11,1
106,4
3
4
5
6
7
8
5,8
4,5
5,1
9,1
7
5
6
10,1
7,9
5,5
6,3
10,8
9
6,5
98,6
-2,5
1,5
-0,6
-2,6
-1,6
2,5
0,3
-2,1
-1,3
3,2
1,4
-1,1
-0,6
3,5
4,44E-15
-1,242857143
-2,542857143
-1,942857143
2,057142857
-0,042857143
-2,042857143
-1,042857143
3,057142857
0,857142857
-1,542857143
-0,742857143
3,757142857
1,957142857
-0,542857143
1,77636E-15
3,107142857
-3,814285714
1,165714286
-5,348571429
0,068571429
-5,107142857
-0,312857143
-6,42
-1,114285714
-4,937142857
-1,04
-4,132857143
-1,174285714
-1,9
-30,96
6,25
2,25
0,36
6,76
2,56
6,25
0,09
4,41
1,69
10,24
1,96
1,21
0,36
12,25
56,64
1,544694
6,466122
3,774694
4,231837
0,001837
4,173265
1,087551
9,346122
0,734694
2,380408
0,551837
14,11612
3,830408
0,294694
52,53429
7,6
7,042857
Следовательно
r2 
30,96
56, 64  52,5343
 0,568
.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких
порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4
Лаг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Коррелограмма:
Коэффициент автокорреляции уровней
0,150809328
-0,567568016
0,080604674
0,989314661
0,125471542
-0,697323727
-0,786020841
0,976335064
0,176589633
-0,70999835
19
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Рис. 4.5.
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда
позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных
колебаний.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E.
20
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может
быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E)
компонент. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.
Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние.
Полученные таким образом
выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами
времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных
скользящих средних – центрированные скользящие средние.
t
yt
Скользящая средняя
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5,8
4,5
5,1
9,1
7
5
6
10,1
7,9
5,5
6,3
10,8
9
6,5
7
11,1
6,125
6,425
6,55
6,775
7,025
7,25
7,375
7,45
7,625
7,9
8,15
8,325
8,4
-
Центрированная
скользящая
средняя
-
Оценка
сезонной
компоненты
-
6,275
6,4875
6,6625
6,9
7,1375
7,3125
7,4125
7,5375
7,7625
8,025
8,2375
8,3625
-
-1,175
2,6125
0,3375
-1,9
-1,1375
2,7875
0,4875
-2,0375
-1,4625
2,775
0,7625
-1,8625
-
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления
фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Эти оценки
используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за
каждый период оценки сезонной компоненты Sj. Сезонные воздействия за
период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в
том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть
равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла
равно 4.
21
Показатели
1
2
3
4
Всего за период
Средняя оценка
сезонной
компоненты
Скорректирован
ная сезонная
компонента, Si
1
2
-1,90
-2,04
-1,86
-5,80
3
-1,18
-1,14
-1,46
-1,46
-5,24
4
2,6125
2,7875
2,775
0,34
0,49
0,76
1,59
0,53
-1,933333333
-1,31
2,73
0,53
-1,94
-1,31
2,72
8,18
Для данной модели имеем:
0,53 - 1,933 - 1,31 + 2,73 = 0,01
Корректирующий коэффициент:
k
0, 01
 0, 0029
4
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты Si и
заносим полученные данные в таблицу. Исключим влияние сезонной
компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного
ряда. Получим величины T + E = Y - S. Эти значения рассчитываются за
каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную
компоненту.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y∙t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
16a0 + 136a1 = 116,7;
136a0 + 1496a1 = 1069,9.
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a1 = 0,23, a0 = 5,35.
Среднее значения:
n
y
y

i1
i
n
t

116, 7
 7, 29
16
y
t2
y2
t·y
y(t)
(yi-ycp)2
(y-y(t))2
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
136
5,8
4,5
5,1
9,1
7
5
6
10,1
7,9
5,5
6,3
10,8
9
6,5
7
11,1
116,7
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
1496
33,64
20,25
26,01
82,81
49
25
36
102,01
62,41
30,25
39,69
116,64
81
42,25
49
123,21
919,17
5,8
9
15,3
36,4
35
30
42
80,8
71,1
55
69,3
129,6
117
91
105
177,6
1069,9
5,574264706
5,803529412
6,032794118
6,262058824
6,491323529
6,720588235
6,949852941
7,179117647
7,408382353
7,637647059
7,866911765
8,096176471
8,325441176
8,554705882
8,783970588
9,013235294
116,7
2,231289063
7,805039063
4,812539063
3,262539063
0,086289062
5,261289063
1,673789063
7,875039063
0,367539063
3,217539063
0,987539062
12,29378906
2,911289063
0,630039062
0,086289062
14,48753906
67,989375
0,050956423
1,699188927
0,870104866
8,053910121
0,258751752
2,960423875
0,90222061
8,53155372
0,241687911
4,569534948
2,455212478
7,310661678
0,455029606
4,221816263
3,18255106
4,354586938
50,11819118
Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем
аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда.
Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 5,35 + 0,23∙t.
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,14, найдем уровни T для
каждого момента времени (гр. 5 табл.).
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
yt
5,8
4,5
5,1
9,1
7
5
6
10,1
7,9
5,5
6,3
10,8
9
6,5
7
11,1
Si
yt - Si
0,53
-1,94
-1,31
2,73
0,53
-1,94
-1,31
2,73
0,53
-1,94
-1,31
2,73
0,53
-1,94
-1,31
2,73
5,27
6,44
6,41
6,38
6,47
6,94
7,31
7,38
7,37
7,44
7,61
8,08
8,47
8,44
8,31
8,38
T
5,57
5,80
6,03
6,26
6,49
6,72
6,95
7,18
7,41
7,64
7,87
8,10
8,33
8,55
8,78
9,01
T + Si
6,10
3,87
4,72
8,99
7,02
4,78
5,64
9,90
7,93
5,70
6,55
10,82
8,85
6,62
7,47
11,74
E = yt - (T + Si)
-0,30
0,63
0,38
0,11
-0,02
0,22
0,36
0,20
-0,03
-0,20
-0,25
-0,02
0,15
-0,12
-0,47
-0,64
-0,01
E2
0,09
0,40
0,14
0,01
0,00
0,05
0,13
0,04
0,00
0,04
0,06
0,00
0,02
0,01
0,22
0,41
1,64
Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня
временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной
23
компонент.
Для
определения
трендовой
компоненты
воспользуемся
уравнением тренда:
T = 5,71 + 0,19∙t.
Прогноз на 1 период:
T17 = 5,71 + 0,19∙17 = 8,88.
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S1
24
0,53.
1,94.
1,31.
25
Таким образом, F17 = T17 + S1 = 8,8 + 0,53 = 9,41.
Прогноз на 2 период:
T18 = 5,71 + 0,19∙18 = 9,07.
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S2 = Таким образом, F18 = T18 + S2 = 9,07 - 1,94 = 7,13.
Прогноз на 3 период:
T19 = 5,71 + 0,19∙19 = 9,25.
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = -Таким
образом, F19 = T19 + S3 = 9,25 - 1,31 = 7,4.
26
Список использованной литературы
1.
Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы
и статистика, 2002. – 344 с.
2.
Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И.
Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
3.
Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К.,
Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с.
4.
Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-
М, 1999. – 402 с
5.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под
ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.
6.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика.
Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.
7.
Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к
начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с.
8.
Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов:
В 2-х т. – Т. 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная
статистика. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.
9.
Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов:
В 2-х т. – Т. 2. Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
– 432 с.
10.
Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.:
Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с.
11.
Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов
экономических вузов / Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова,
Н.П.
Тихомиров. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 224 с.
27
12.
Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 2001. –
13.
Эконометрика: Учебн. пособие для вузов / А.И. Орлов – М.:
304 с.
Издательство «Экзамен», 2002. – 576 с.
14.
Мардас А.Н. Эконометрика. – СПб: Питер, 2001. – 144 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн.
пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 479
28