Выборочное уравнение прямой линии регрессии. Y на X (X на Y) Зависимость между двумя признаками X и У выражается таблицей. x1 x2 … xn Х y1 y2 … y n У Требуется выразить эту зависимость аналитически, т.е. дать формулу, связывающую Х и У. Y ax b Y ax bx c 2 -изменение удоя с возрастом; биохимический анализ крови. b Y a x Y ab x Y a sin( bx) -численность популяции по сезонам года. Задача сводится к определению параметров а и b, входящих в уравнение. Вид функции Y f (x) выбирается таким образом, чтобы график функции по возможности близко напоминал расположение данных наблюдений. Рассмотрим простейший пример, когда опытные данные расположены на плоскости около прямой. У y1 y2 0 x1 x2 Х Отклонения будут встречаться как положительные, так и отрицательные. Использовав метод наименьших квадратов мы уже вывели зависимость между а и b. n 2 a xi b xi xi yi :n t 1 a x b n y i i x 2 i n x 2 x , i n 2 a x bx xy ax b y x b y ax 2 a x ( y ax ) x xy b y ax b y ax 2 2 2 a x x y ax xya ( x x 2 ) xy b y ax xy x y xy x y ,b y x a 2 2 2 2 x x x x Тогда Y aX b имеет вид: Y xy x y x x 2 2 Х y xy x y x x 2 2 x Приведем к виду y y1 k ( x x1 ) Y y Y / X xy x y x x 2 2 xy x y x x 2 2 ( Х х) -коэффициент регрессии y на x Def: Регрессия – это определение зависимости одного признака от изменений другого. Сила взаимосвязи выражается в степени концентрации точек вокруг линии регрессии. При независимости точки широко разбросаны и контур их совокупности приближается к кругу. x+y Аналогично уравнение прямой линии регрессии Х на У имеет вид: X x и X /Y xy x y y y 2 2 xy x y ,т.е. y y 2 2 (Y y ) Y y Y / X ( X x ) X x X / Y (Y y ) При увеличении признака Х на единицу измерения признак У увеличивается в среднем на ρ единиц измерения Y. Уточним Yx -Y есть функция Х X y -Х есть функция Y Окончательно уравнения записываются: Yx y Y / X ( X x ) - Уравнение прямой линии регрессии Y на Х X y x X / Y (Y y ) - Уравнение прямой линии регрессии X на Y Связь с коэффициентом корреляции Если перемножить части уравнений: Y / X X / Y r или 2 xy Y / X SY rxy SX X /Y SX rxy SY rxy Y / X X / Y