Загрузил Ив К.

Математика

реклама
1
Вариант 4
log 3 x  4  log x 3
.
4 log 2 x  12  log x 2
1. Решить 
Решение логарифмического неравенства вида
равносильно решению следующих систем:
а)
Неравенство
одной из систем:
Для второго неравенства:
б)
в каждом из двух случаев сводится к
2
Графики неравенств:
3
2. Дифференцируема ли f ( x)  x 2  2 x в точке х=2 и х= 0? Если нет, то
почему?
В каких точках
эта
функция дифференцируема?
Ответ
сопроводить графиком.
Решение:
(x2-2·x)ʹ = (x2)ʹ + (-2·x)ʹ = 2·x + (-2) = 2·x-2
Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n*xn-1
(x2)ʹ = 2·x2-1(x)ʹ = 2·x
(x)ʹ = 1
Дифференциал функции:
dy=(2·x-2) dx
С учетом знака модуля, дифференциал и график функции f’(x) имеет
следующий вид:
Подставляя значение х = 0, и х = 2 приходим к выводу, что в данных
точках функция дифференциала на определена, так как в знаменателе
формируется значение «0».
4
3. Провести касательную к графику функции у = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)
точки (0;0).
Решение
Запишем уравнения касательной в общем виде:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
По условию задачи x0 = 0, тогда y0 = 0
Теперь найдем производную:
1
yʹ = (ln(x+1))ʹ = x+1
следовательно:
fʹ(0) = 1/(0+1) = 1
В результате имеем:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
yk=0+1·(x-0)
или
yk = x
из
5
Запишем уравнения нормали в общем виде:
1
yn = y0 - yʹ(x )(x - x0)
0
В результате имеем:
1
yn = 0 - 1(x - 0)
или
yn = -x
6
4. Игорь решал тригонометрическое уравнение и получил ответ
(1) n

6
 n,
4 
  2k , n, k  Z .
3
6
Ответ в конце учебника выглядел иначе:

5
 2
 2n, 
k , n, k  Z .
6
6
3
Правильный
ли
ответ
получил
Игорь?
Привести
пример
тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике.
Решение
Равенство одинаковых тригонометрических функций
Для данного метода используются следующие уравнения:
— при варианте
— при
принимается
принимается
— при
принимается
При решении Игорь получил правильный ответ. Пример решения
тригонометрического уравнения:

 sin 3x  1  cos x 

Выполним
множитель к «0»:
3
0
2 
последовательность
решения,
приравнивая
каждый
7
Набор ответов уравнения:
8
5. Исследовать функцию и построить ее график 𝑦 = ех2 𝑙𝑛(𝑥).
Решение
1) Область определения функции. Точки разрыва функции.
f(x)=ln(x), x>0
Для нашей функции:
x>0
x=0
2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=x2·e-x·ln(-x)
Функция общего вида
3) Периодичность функции.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
Нет пересечений.
Пересечение с осью 0X
y=0
ex·x2·ln(x)=0
x1=0, x2=1
5) Исследование на экстремум.
y = exp(x)*x^2*log(x)
При определении границ интервалов учитывайте область
существования функции.
Область существования функции
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая
производная.
f'(x) = x2·ex·ln(x)+2·x·ex·ln(x)+x·ex
или
f'(x)=x·(x·ln(x)+2·ln(x)+1)·ex
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
9
x·(x·ln(x)+2·ln(x)+1)·ex = 0
Откуда:
x1 = 0
(0 ;0)
(0; +∞)
f'(x) < 0
функция убывает
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая
производная.
f''(x) = (x2·ln(x)+4·x·ln(x)+2·x+2·ln(x)+3)·ex
Находим
корни
уравнения.
Для
этого
полученную
функцию
приравняем к нулю.
(x2·ln(x)+4·x·ln(x)+2·x+2·ln(x)+3)·ex = 0
Для данного уравнения корней нет.
6) Асимптоты кривой.
y = ex·x2·ln(x)
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По
определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот
не существует.
y = ex·x2·ln(x)
Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:
Находим коэффициент k:
10
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:
y=0
11
6. При каких значениях пределов интегрирования интеграл
b
a
существует и почему?
Решение.
Разложим на множители знаменатель:
Разложим дробь на простейшие:
Применим линейность:
Теперь вычисляем:
Подстановка
Это табличный интеграл:
=ln(u)
Обратная замена u=x−6:
dx
 36  x
2
12
=ln(x−6)
Теперь вычисляем:
Подстановка :
Используем предыдущий результат:
=ln(u)
Обратная замена
u=x+6:
=ln(x+6)
Подставим уже вычисленные интегралы:
Подставим уже вычисленные интегралы:
Задача решена. Применение модуля к аргументу логарифма, расширяет
его диапазон:
13
Анализируя результат, можно прийти к выводу, что при х=6 и х=-6
получение результата невозможно, так как это не входит в область
допустимых значений функции ln().
График функции:
14
7. Какие математические идеи представлены в теме «Первообразная и
интеграл?» Ответ пояснить.
Тема «Первообразная и интеграл» изучается в 11 классе. В
методической литературе можно выделить два основных направления в
характере и порядке изложения учебного материала на профильном уровне:
- понятие «определенный интеграл» вводится раньше понятия
«неопределенного интеграла» (или как разность значений первообразной,
или как предел интегральных сумм).
- сначала вводится понятие «первообразной», а затем понятие
«определенного интеграла».
В современном школьном курсе алгебры и начал математического
анализа находит реализацию второе направление, рассматривается только
определенный интеграл, который и называется «интегралом».
Перед введением понятия первообразной целесообразно повторить с
учащимися взаимообратные операции: сложение – вычитание; умножение –
деление; возведение в степень – извлечение корня n-степени; потенцирование – логарифмирование. Учащимся также известна операция
дифференцирования, поэтому уместно задать учащимся вопрос: существует
ли операция, обратная дифференцированию?
Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и
интеграл" может быть сформулирована так:
1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по
отношению к операции дифференцирования функций;
2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления
для решения геометрических задач, некоторых задач практического
содержания.
В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы,
можно выделить следующие:

введение понятий первообразной и интеграла;
15

ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных
и правилами нахождения первообразных;

раскрытие смысла операции интегрирования как операции,
обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

провести классификацию типов задач (нахождение площади
криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим
содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального
исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их
решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.
Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её
основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями
"интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы
Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления
интеграла данной функции.
Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается
иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с
помощью конкретных примеров.
Методическая схема изучения первообразной:
1) рассмотреть примеры взаимно обратных операций;
2) ввести
интегрирование
дифференцированию,
а
как
первообразную
операцию,
как
результат
обратную
операции
интегрирования;
3) выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция F (x)
есть первообразная другой данной функции f (x) ", "Решить задачи на
отыскание первообразной для данной функции f x  ";
4) ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;
5) составить таблицу первообразных;
6) ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;
7) решить физические задачи с применением первообразной.
16
Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если
в начальный момент времени t  0 скорость тела равна 0, т.е.  (0)  0 , то при
свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь: S (t ) 
Продифференцировав ее, получаем
S (t )   (t )  gt ;
gt 2
.
2
S (t )   (t )  a(t )  g
-
ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение
точки a(t ) , требуется найти закон изменения скорости  (t ) и координату
S (t ) . Для решения таких задач служит операция интегрирования.
При введении понятия первообразной пользуются аналогией с
известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например,
операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число –
их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое
может
быть
"восстановлено"
выполнением
операции
вычитания.
Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к
единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например,
возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число
9 является квадратом некоторого числа: x 2  9 . Выполнив обратную
операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.
Дифференцирование функции F x   x3 приводит к новой функции
f x   3x 2 , которая является производной функции F x   x3 Пусть теперь
известно, что производная некоторой функции F (x) равна 3x 2 , т.е.:
f ( x)  F ( x)  3x 2 ; требуется найти функцию F (x) .
Операция нахождения функции F (x)
по ее производной
f (x)
называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать
следующие результаты: F ( x)  x 3 ; F1 ( x)  x 3  1 ; F ( x)  x 3  2 и т.д. Функция
F ( x)  x 3  С
называется первообразными
образом,
интегрирование
дифференцированию;
результат
является
операции
функции
f ( x)  3x 2 . Таким
операцией,
интегрирования
обратной
называется
17
первообразной. После этого сообщается определение первообразной:
функция F (x) называется первообразной для функции f(x) на заданном
промежутке, если для всех x из этого промежутка F ( x)  f ( x) .
Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается
иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с
помощью конкретных примеров.
Задачи,
помимо
использования
их
как
средства
иллюстрации
вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его
закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти
такую первообразную функции, график которой проходит через данную
точку.
Можно кратко описать схему последовательности тем в учебнике так,
как показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Последовательность тем главы «Первообразная и интеграл»
18
Чтобы доказать наиболее часто применяемых свойств интеграла, можно
воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница или самого определения
«интеграл». Чтобы школьниками лучше усваивалось такое понятие, как
геометрический смысл, нужно больше обращаться к доказательствам понятий
и доказывать их. Можно применять задания на установку справедливости
утверждений. Такие задания помогают школьникам устанавливать и
понимать связь между такими понятиями и их свойствами, как:
 «Дифференцирование» и «Интегрирование»;
 «Первообразная» и «Производная»;
 «Первообразная» и «Интеграл» и другие.
Рисунок 2. Связь между определениями и свойствами
Для
установки
такой
связи
между
понятиями
«интеграл»
и
«производная» следует обратиться к площади криволинейной трапеции. При
изучении
данного
материала,
обязательно
нужно
выделить
понятие
«геометрический смысл интеграла» и не ограничиваться использованием
геометрических иллюстрация при решении задач на нахождения интеграла.
Применяя геометрический смысл интеграла, часто можно узнать о
19
возможности более простого способа вычисления. К примеру, по промежутку,
симметричного точке О от четной или нечетной функции. Связь между
понятиями и свойствами «Первообразная» и «интеграл» можно увидеть на
рисунке 2.
20
Список литературы
1.
Александров, Г.Н. Программированное обучение и новые
информационные технологии обучения / Г.Н. Александров // Информатика и
образование. - 2013. - №5. - С. 7-19.
2.
Барышникова,
Г.Б.
Психолого-педагогические
теории
и
технологии начального образования / Г.Б. Барышникова. - Якутск: ЯГПУ,
2009. - 505 с.
3.
Беспалько,
В.П.
Образование
и
обучение
с
участием
компьютеров (педагогика третьего тысячелетия). - М.: Издательство
Московского психологосоциального института; Воронеж: Издательство НПО
«МОДЭК», 2002. – 352 с.
4.
Болотова, Н.В. Компьютеры в школьной геометрии / Н.В.
Болотова, И.А. Корниенко, Г.Б. Шабат // Информатика и образовани. – 1998.
- № 7. - С. 63-75.
5.
Большая
электронная
энциклопедия.
–
Режим
доступа:
https://www.vedu.ru/bigencdic/29470/.
6.
Бубнов, В.А. Информационные технологии на уроках алгебры /
В.А. Бубнов, Г.С. Толстова, O.E. Клемешова // Информатика и образование. 2014. - №5. - С. 76-85.
7.
Воробьева, В.В. Сборник научных работ студентов / В.В.
Воробьева. - 2015.
8.
Воронина, Т.П. Образование в эпоху новых информационных
технологий / Т.П. Воронина, В.П. Кашицин, О.П. Молчанова. - М.:
Информатика, - 1995. - 220 с.
9.
Галицкий, М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и
математического анализа: метод, рекомендации и дидакт. материалы:
пособие для учителя / М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. - 3е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1997. - 138 c.
Скачать