МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт транспорта Кафедра «Прикладная механика» СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к проведению практических занятий для студентов направления 21.03.01 «Нефтегазовое дело» очной формы обучения Составители С. П. Пирогов, доктор технических наук, профессор Б. А. Гуляев, кандидат технических наук, доцент А. А. Волжаков, ассистент Тюмень ТИУ 2016 Сопротивление материалов: методические указания к проведению практических занятий для студентов направления 21.03.01 «Нефтегазовое дело» очной формы обучения / сост. С. П. Пирогов, Б. А. Гуляев, А. А. Волжаков; Тюменский индустриальный университет. – Тюмень: Издательский центр БИК, ТИУ, 2016. – 24 с. Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры «Прикладная механика» «26» мая 2016 года, протокол № 38 Аннотация Методические указания по дисциплине «Сопротивление материалов» предназначены для студентов очной формы обучения направления 21.03.01 «Нефтегазовое дело». Приведено содержание основных тем дисциплины, список литературы, задания для контрольных работ и примеры их решения. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ В курсах "Механика, теоретическая и прикладная механика студенты изучают теоретическую механику, сопротивление материалов, теорию механизмов и машин и детали машин. В настоящие методические указания входят задания по второй части курса. Дается перечень вопросов, которые как основная часть курса должны изучаться студентами всех специальностей. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Основные понятия, задачи и методы сопротивления материалов. Реальный объект и расчетная схема. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Перемещения, деформации и напряжения. Общие гипотезы сопротивления материалов. Принципы расчета элементов конструкций на прочность. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ Продольная сила и определение внутренних сил и напряжений в различных сечениях стержня. Удлинения стержня. Закон Гука, коэффициент Пуассона. Условия прочности и жесткости. Экспериментальное изучение растяжения-сжатия. Диаграмма растяжения. Пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ Чистый сдвиг и его особенности. Закон Гука при сдвиге. Закон парности касательных напряжений. Связь между упругими постоянными изотропного материала. Срез и смятие. Расчет заклепочных и сварных соединений. Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Полярный момент сопротивления. Угол закручивания и угол сдвига. Расчет валов на прочность и жесткость. Потенциальная энергия стержня при кручении. Особенности расчета валов с некруглым поперечным сечением. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ Чистый и поперечный изгиб. Внутренние силовые факторы: поперечная сила и изгибающие моменты. Построение эпюр внутренних усилий при изгибе. Напряжения при чистом изгибе. Расчет на прочность при изгибе. 3 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., 1986 и последующие издания. Улитин Н.С. Сопротивление материалов. М.,1969 и последующие издания. Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. М., 1969 и последующие издания. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ, ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ, ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ Контрольное задание для практических работ по сопротивлению материалов состоит из пяти задач. К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 - это рис. 4 к задаче СМ1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы. Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы. Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий. Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получится более простой, чем общий. Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; показывать все эти векторы и координатные оси на чертеже, а также указывать единицы получаемых величин нужно обязательно. 4 Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента. При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи. Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т.е. к номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице. Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Указания"; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы. 5 Задача С1 Стальной стержень переменного сечения находится под действием двух продольных сил , приложенных по оси стержня (рис.1, табл.1). Построить эпюры поперечных сил, напряжений и перемещений. Весом самого стержня пренебречь. При расчете можно принимать: площадь сечения А=10 см2 , длина участков а=с=1м, b=2м, модуль упругости при растяжении для стали E = 2*105 МПа, силы F1 и F2 направлены вниз, а F3 и F4 – вверх. Рис. 1 6 Таблица 1 № F1 Вели Точка чина, приложения кН F2 Вели Точка чина, приложения кН Величина, кН F3 Точка приложения F4 Вели- Точка чина, приложения кН 0 200 М 100 Д - - - - 1 300 Д - - 200 К - - 200 М - - 100 К - - 300 Д - - 100 Д - - 200 М 100 Д 300 М - - 200 К - - 100 Д 2 3 100 М 4 5 6 100 М 7 8 9 300 М 100 Д 300 М - - 100 К - - - - Пример С1. Стальной стержень находится под действием двух сил F1=200кН и F2=100кН (рис1.1). Площадь сечения А=10 см2 , длина участков а=с=1м, b=2м, материал –сталь ( E = 2*105 МПа). Построить эпюры поперечных сил, напряжений и перемещений. Весом самого стержня пренебречь. Рис.1.1 7 Решение. 1. Рассматриваем равновесие каждого участка стержня в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось: ∑F kz =0 . Участок МД: N1-F1=0, N1=F1=200 кН. Участок ДК: N2-F1=0, N2=F1=200 кН. Участок КН: N3-F1+F2=0, N1=F1 – F2=100 кН. По этим данным строим эпюру усилий (рис.1.1). 2.Находим напряжения. N1 200 = = 20 кн/см2 Участок МД: σ 1 = A 10 N 2 200 = = 10 кн/см2 Участок ДК: σ 2 = 2 A 20 N 31 100 = = 10 кн/см2 Участок КН: σ 3 = A 10 По этим данным строим эпюру напряжений (рис.1.1). 3.Определяем перемещения каждого характерного участка ∆=∑ N k Lk EAk , где N – усилие на данном участке, L- длина участка, Е – модуль упругости, А- площадь сечения. Расчеты производим в системе СИ, то есть 1кН=103Н, 1МПа=106Па, 1 см2=10-4м2. Перемещение сечения К: N 3a 100 ⋅ 10 3 ⋅ 1 ∆К = = = 0,5 ⋅ 10 −3 м = 0,5 мм . −4 11 EA 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 Перемещение сечения Д: N 2b 200 ⋅ 10 3 ⋅ 2 −3 ∆Д = ∆К + = 0,5 ⋅ 10 + = 1,5 ⋅ 10 −3 м = 1,5 мм. −4 11 E2 A 2 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 10 Перемещение сечения М N 1с 200 ⋅ 10 3 ⋅ 1 −3 ∆M = ∆Д + = 1,5 ⋅ 10 + = 2,5 ⋅ 10 −3 м = 2,5 мм. −4 11 EA 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 По этим данным строим эпюру перемещений (рис.1.1). 8 Задача С2 Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору в точке О и прикреплен к двум стальным стержням с площадями поперечных сечений А и 2А при помощи шарниров (рис.2). На стержень действует сила F1, направленная вниз, или F2, направленная вверх, величины и точки приложения которых приведены в таблице 2. Во всех вариантах принять а=2м, b=1,5м, с=1м. Требуется: 1) Найти усилия в стержнях 2) Определить диаметры стержней при допускаемом напряжении [σ ] =160 МПа. Рис.2 9 Таблица 2 NN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Величина, кН 200 300 400 500 600 F1 Точка приложения К L M H K F2 Величина, кН 200 300 400 500 600 Точка приложения K L M H K Пример С2. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирнонеподвижную опору в точке О и прикреплен к двум стальным стержням с площадями поперечных сечений А и 2А при помощи шарниров (рис.2.1). На стержень действует сила F=500кН, а=2м, b=2м, с=1м, [σ ] =160 МПа Найти усилия в стержнях, определить площади поперечных сечений и диаметры стержней . Рис.2.1 Решение. Для определения усилий в стержнях пользуемся методом сечений (рис.2.1,а). Рассекаем первый и второй стержни и прикладываем 10 усилия N1 и N2. Отбрасываем опору 0, а её влияние на систему заменяем реакциями Rox и Rоу. Рассмотрим систему в равновесии, т.е. составим уравнения статики ΣFkx = 0 , ΣFky = 0 , ΣMо( Fk ) = 0 , Rох+N2cos α = 0 . (1) Roy+N1-F+N2sin α = 0 . (2) N1a-F(a+c)+N2sin α (а+b+c). (3) Заметим, что в эти три уравнения входят четыре неизвестных: Rox; Rоу;N1; N2, т.е. эта система является один раз статически неопределимой, т.к. четыре неизвестных минус три уравнения равновесия равно единице. Для раскрытия статической неопределимости системы (т.е. для составления недостающего уравнения) рассмотрим картину деформации всей системы (рис.2.1,б). Под действием силы F первый и второй стержни будут сжиматься. Деформацией бруса пренебрегаем. Левый конец бруса находиться в шарнирно неподвижной опоре. Точка В бруса переместиться в точку В1, а точка ε в ε 1 . Новое положение второго стержня показано пунктиром, а новым положением бруса является прямая АЕ1. Отрезок ВВ1 представляет собой деформацию первого стержня ∆ 1 . Чтобы найти деформацию второго стержня, нужно найти деформацию из нового положения этого стержня опустить перпендикуляр Е1К на его старое направление. Этот перпендикуляр отсечет отрезок ЕК, который и является деформацией второго стержня ∆ 2 . Величины ∆ 1 и ∆ 2 свяжем из подобия треугольников ОВВ1 и ОЕЕ1 - составим пропорцию: ΒΒ1 ЕЕ1 , но = ΟΒ ΟЕ ΒΒ1 = ∆ 1 ; ΟΒ = а ; ΟЕ = а + в + с , отрезок ЕЕ1 выразим из прямоугольного треугольника ЕЕ1К: ЕЕ1 = ∆ 2 sin α . Подставляем значение этих отрезков в пропорцию; ∆ 1 ∆ 2 = . а sin α (а + в + с) (4) Получили четвертое недостающие уравнение, которое называют уравнением совместимости деформаций, но оно пока в сжатом виде. Чтобы его развернуть, нужно деформации стержней известной формуле: 11 ∆ 1 и ∆ 2 расписать по ∆ 1 = N 1 1 , ΕΑ1 где 1 = в - длина первого стержня, Α1 = Α - площадь сечения первого стержня, Е – модель упругости материала. Аналогично для второго стержня: 2 N 2 2 ; 2 = в 2 ; Α 2 = 2 Α ; sin α = sin 45 = . ΕΑ 2 2 Подставляем эти выражения в уравнение (4): ∆ 2 = N 1в N 2в 2 ⋅ 2 = ΕΑа Ε2 Α ⋅ 2 (а + в + с) После сокращений и преобразований получим: N 1 (a + b + c) = N 2 ⋅ a (5) это и есть развернутое уравнения совместности деформаций. Решая совместно уравнение (3) и (5) найдем усилия в стержнях. Из уравнения (5) : N2= а+в+с 2 + 2 +1 N1 = N 1 = 2,5 N 1 . а 2 Значение N2 подставим в уравнение (3) 2 N 1 − 500(2 + 1) + 2,5 N 1 откуда 2 (2 + 2 + 1) = 0 , 2 N 2 = 139,5kH , N 2 = 2,5 N 1 = 2,5 ⋅ 139,5 = 348,75kH . Площади поперечного сечения стержней находим из условия прочности при растяжении стати : N N σ = ≤ [σ ] , откуда Α ≥ [σ ] ; Α N 1 139,5 ⋅10 3 N 2 348,75 2 Α1 ≥ = = см 8 , 71 Α ≥ = ≈ 21,8см 2 . , 2 3 3 [σ ] 16 ⋅10 [σ ] 16 ⋅10 Так как по условию задачи А1=А, А2=2А, принимаем окончательное значение площадей сечений: А1=10,9 см2 , Α 2 = 21,8см 2 . Определяем диаметр стержней. 4Α πd 2 Α = Так как площадь круга , то d = , тогда π 4 12 d1 = 4 Α1 π = 4 ⋅ 10,9 = 3,72см , d 2 = 4 Α 2 = 4 ⋅ 21,8 = 5,27(см) . 3,14 π 3,14 Задача С3 К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис.3). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец - свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Данные – в таблице 3. Требуется: 1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала. 2. При заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность. Полученные значения округлить. 3. Построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала. Таблица 3 Вариант Моменты, кН*м [τ], МПа 0 М1 5,1 М2 2,1 М3 1,1 М4 0,1 1 5,2 2,2 1,2 0,2 30 2 5,3 2,3 1,3 0,3 35 3 5,4 2,4 1,4 0,4 35 4 5,5 2,5 1,5 0,5 40 5 5,6 2,6 1,6 0,6 40 6 5,7 2,7 1,7 0,7 45 7 5,8 2,8 1,8 0,8 45 8 5,9 2,9 1,9 0,9 50 9 6,0 3,0 2,0 1,0 50 13 30 Рис.3 Пример С3. Для ступенчатого вала, нагруженного четырьмя моментами (рис.3.1), построить эпюры крутящих моментов по длине вала, а также определить диаметры вала из условия прочности при кручении. 14 Рис.3.1 Данные : a=b=c=1,2 м; М1 = 5,3 кН•м; М2 = 2,3 кН•м;М3 = 1,3 кН•м; М4 = 0,3 кН•м; [τ] = 35 МПа. Решение. Для построения эпюры крутящих моментов по длине вала воспользуемся следующим правилом знаков. Если со стороны внешней нормали мы видим внешний крутящий момент направленным по движению часовой стрелки, то считаем, что он создает в сечении вала отрицательный крутящий момент. Воспользуемся методом сечений, при этом сечения будем выбирать в направлении от свободного края вала, чтобы не определять реактивный момент в заделке вала. Сечение 1-1: Мкр1=-М4=-0,3кНм. Сечение 2-2: Мкр2=-М4+М3=-0,3+1,3=1кНм. Сечение 3-3: Мкр3=-М4+М3-М2=-0,3+1,3-2,3=-1,3кНм. Сечение 4-4: Мкр4=-М4+М3-М2+М1=-0,3+1,3-2,3+5,3=4кНм. По данным расчетов строим эпюру крутящих моментов (рис.3.1), из которой видно, что наиболее опасными являются сечения от заделки до момента М1 , где Мкр=4 кНм. Из условия прочности вала на этом участке находим диаметр d1: τ= М кр max Wp ≤ [τ ] . Так как полярный момент сопротивления круглого сечения 16 M крmax πd 3 Wp = , то d = 3 . π [τ ] 16 Подставляя значения, получаем 16 ⋅ 4 ⋅ 10 3 d1 = =0,0835 м. 3,14 ⋅ 35 ⋅ 10 6 Принимаем d1=8,5см. На участке с диаметром d2 максимальный изгибающий момент составляет 1 кНм, отсюда 3 16 ⋅ 1 ⋅ 10 3 d2 = 3 =0,0526 м. 3,14 ⋅ 35 ⋅ 10 6 Округлив, можно принять d2=5,5см. 16 Задача С4,а Для заданной схемы балки (рис. 4,а) требуется написать выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти максимальный момент Мmax и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [σ] = 160 МПа. Данные взять из табл. 4,а. Рис.4,а 17 Таблица 4,а a, м b, м 1 2,0 3,2 Данные величины ИзгибаюСосредоc, м l, м щий момент точенная М, кН*м сила F, кН 1,8 10 7 20 2 2,2 3,4 1,9 10 7 19 3 2,4 3,6 2,0 11 8 18 4 2,6 3,8 2,1 11 8 16 5 2,8 4,0 2,2 12 9 15 6 3,0 4,2 2,3 12 9 14 7 3,2 4,4 2,4 13 10 13 8 3,4 4,6 2,5 13 10 12 9 3,6 4,8 2,6 14 11 11 10 3,8 5,0 2,7 14 11 10 Варианты Пример С4,а. Для заданной схемы балки (рис. 4,1) требуется написать выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти максимальный момент Мmax и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [σ] = 160 МПа, если L=10м, а=5м, b=2м, М=8 кНм, F=18 кН. Рис.4.1 18 Решение. 1. Определяем опорные реакции. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то опора А имеет только вертикальную реакцию RA. Составляем уравнения равновесия в виде моментов всех сил относительно точек А и В. m F ( ∑ A k ) = 0; R B ( L − b) + M − FL = 0; m ( F ∑ B k ) = 0; - R A ( L − b) + M − Fb = 0; откуда находим FL − M 18 ⋅ 10 − 8 = = 21,5кН , L−b 10 − 2 − Fb + M − 18 ⋅ 2 + 8 RA = = = −3,5кН . L−b 10 − 2 RB = Для проверки составим уравнение равновесия на вертикальную ось: ∑F kу ) = 0; R A + R B − F = 21,5 − 3,5 − 18 = 0; 2.Построение эпюр Q и М. Воспользуемся правилом знаков. Если внешняя сила слева от сечения направлена вверх, то она создает положительную поперечную силу и изгибающий момент. Внешняя сила справа от сечения , направленная вниз создает положительную поперечную силу и отрицательный изгибающий момент. Если внешний сосредоточенный момент слева от сечения направлен по часовой стрелке, то он создает положительный изгибающий момент. Внешний сосредоточенный момент справа от сечения, направленный против часовой стрелки, создает положительный изгибающий момент. Рассмотрим первый участок: 0 ≤ Х 1 ≤ 5 . Q( x1 ) = R A = −3,5кН , М ( х1 ) = R A ⋅ x1 , М (о) = 0; М (5) = −3,5 ⋅ 5 = −17,5кНм Рассмотрим первый участок: 5 ≤ Х 1 ≤ 8 . 19 Q( x2 ) = R A = −3,5кН , М ( х 2 ) = R A ⋅ x1 − M , М (5) = −3,5 ⋅ 5 − 8 = −25,5кНм; М (8) = −3,5 ⋅ 8 − 8 = −36кНм Рассмотрим третий участок (идем от правого края): 0 ≤ Х 3 ≤ 2 . Q( x3 ) = F = 18кН , М ( х3 ) = − F ⋅ x3 , М (0) = 0; М (2) = −18 ⋅ 2 = −36кНм По полученным значениям строим эпюры Q и М (рис.4.1). После построения эпюр внутренних усилий контролируем их правильность. На эпюре Q в месте приложения сосредоточенных сил наблюдаются скачки на величину и в направлении этих сил. На эпюре М в месте, где приложен сосредоточенный момент, имеет место скачок на величину и в направление этого момента. Там, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре моментов прямая меняет угол наклона. 3. Подбор сечения. По эпюре моментов определяем значение максимального изгибающего момента Мmax=36кНм. Из условия прочности по нормальным напряжениям σ = откуда W Z = M max [σ ] M max ≥ [σ ] , Wz 36 ⋅10 3 = = 0,225 ⋅10 −3 м 3 = 225см 3 . 6 160 ⋅10 По сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №22 с WZ=232 cм3. 20 Задача С4,б Для заданной схемы балки (рис. 4,б) требуется написать выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти Мmax и подобрать деревянную балку круглого поперечного сечения при [σ] = 12 МПа. Данные взять из табл. 4,б. Рис.4,б Вариант 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 а,м 1 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,4 0,6 0,5 0,6 b,м 1,5 1,7 1,6 1,5 1,5 1 0,9 0,8 1,2 1 L,м 3 3 3 3 2,5 2,5 2,5 2 2 2 21 М,кНм 5 5 8 8 10 19 12 12 10 12 F,кН 20 19 18 17 16 15 14 13 12 10 Таблица 4,б q,кН/м 10 10 12 12 15 15 20 20 8 8 Пример С4,б. Для заданной схемы балки, изображенной на рис.С4.2, требуется записать аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента для каждого участка, построить эпюры Q и М, определить опасное сечение и подобрать диаметр круглой деревянной балки при [σ ] = 12МПа . Данные: F=8 кН, М=7 кНм, g=10 кН/м, а=0,5 м, b=1 м, L=3 м. Решение. Балки которые жестко заделаны одним концом называются консольными. При построении эпюр Q и М для таких балок реакции в заделки можно не определять. При этом рассматривать балку надо, идя со свободного конца, где известны все внешние силовые факторы Построение эпюр Q и М ведем аналогично задаче С4,а, отсчитывая участки справа налево то есть со свободного конца. Рассмотрим первый участок: 0 ≤ х1 ≤ 1 Q( x1 ) = − F = −8кН ; М ( х1 ) = F ⋅ x1 ; М (о) = 0; М (1) = 8 ⋅ 1 = 8кН ⋅ м . Рис.4.2 . Рассмотрим второй участок: 1 ≤ х 2 ≤ 2,5 Q( x 2 ) = − F + q ( x 2 − 1); Q(1) = −8 + 0 = 8kH ; Q(2,5) = −8 + 15 = 7 kH ; q( x2 − 1) +M. 2 2 М ( х2 ) = F ⋅ X 2 − Уравнение изменения моментов на втором участке представляют собой кривую второго порядка. Определяем две точки этой кривой в начале и конце участка. 22 М (1) = 8 ⋅ 1 − 0 + 7 = 15kH ⋅ м; 10 ⋅ 1,52 М (2,5) = 8 ⋅ 2,5 − + 7 = 16,75кН ⋅ м . 2 Так как эпюра Q пересекает нулевую линию на втором участке, то эпюра моментов в этом сечении принимает экстремальное знание. Для определения значения Х2, где эпюра М примет максимальное значение, приравниваем нулю выражение поперечной силы на втором участке. qx2 = F + q ⋅ 1 ; Q( x 2 ) = − F + q ( x 2 − 1) = 0 , x2 = F + q ⋅ 1 8 + 10 ⋅ 1 = = 1,8 м . q 10 Третью точку кривой эпюры моментов на втором участке определяем при Х2=1,8м 10 ⋅ 0,82 М (1,8) = 8 ⋅ 1,8 − + 7 = 18,2кН ⋅ М . 2 Рассмотрим третий участок: 2,5 ≤ х3 ≤ 3,0 м . Q( x3 ) = − F + q ⋅ 1,5 = −8 + 10 ⋅ 1,5 = 7 kH ; M ( x 3 ) = Fx3 − q ⋅ 1,5( x3 − 1,75) + M . M (2,5) = 8 ⋅ 2,5 − 10 ⋅ 1,5(2,5 − 1,75) + 7 = 16,75kHM ; M (3) = 8 ⋅ 3 − 10 ⋅ 1,5(3 − 1,75) + 7 = 12,25kHM ; эпюры Q и М представлены на рис.4.2. Подбор сечения ведем из условия прочности при изгибе по нормальным напряжениями: σ max M max πd 2 32M max 32 M max 3 = ≤ [σ ] ; W x = ; . ≤ [σ ]; d ≥ wx π [σ ] 32 πd 3 Из эпюры изгибающихся моментов видно, что опасным сечением балки является сечение где М= Мmax=18,2кН ⋅ м . Допускаемое напряжение [σ ] = 12MПП= 1200H / cм 2 , отсюда 32 ⋅ 18,2 ⋅ 105 = 24,9см . 3,14 ⋅ 1200 Принимаем, d=25см. d ≥3 23 Учебное издание СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к проведению практических занятий Составители ПИРОГОВ Сергей Петрович ГУЛЯЕВ Борис Александрович ВОЛЖАКОВ Алексей Александрович В авторской редакции Подписано в печать 07.09.2016. Формат 60х90 1/16. Печ. л. 1,5. Тираж 30 экз. Заказ № 16-453. Библиотечно-издательский комплекс федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тюменский индустриальный университет». 625000, Тюмень, ул. Володарского, 38. Типография библиотечно-издательского комплекса. 625039, Тюмень, ул. Киевская, 52. 24
