Загрузил Иван Васильев

приближение почти свободных электронов

реклама
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение Высшего образования
Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова
Кафедра микроэлектроники и общей физики
Приближение почти свободных электронов
Ярославль 2020 г.
Структура доклада

1. Модель Кронига-Пенни

2. Приближение почти свободных электронов

3. Блоховская волна

4. Зоны Брюллюэна

5. Математические выкладки приближения почти свободных электронов

6. Список источников
Модель Кронига-Пенни

В модели почти свободных электронов, которую предложили Крониг и Пенни,
рассматривается движение электрона в линейной цепочке прямоугольных
потенциальных ям. Ширина ям равна а, и они отделены друг от друга
потенциальными барьерами толщиной Ь и высотой Uo. Длина цепочки равна L, а
период цепочки равен с = а + b.

Рис. Зависимость потенциальной
энергии электрона от межатомного
расстояния в модели Кронига —Пенни

Пусть Е — энергия электрона. Состояние электрона описывается уравнением
Шредингера:

1.Для области I, где потенциальная энергия U = 0, волновая функция, являющаяся
решением уравнения (1), может быть представлена в виде:

Первое слагаемое в уравнении (2) соответствует прямой волне, а второе — волне,
отраженной от потенциального барьера.

2. Для области II, где U = Uo, волновую функцию можно записать в виде:

Подставим вместо ψ1 и ψ2 одномерную функцию Блоха:
найдем вид периодической функции U(x) в областях I и Ⅱ:
и

Для того чтобы определить коэффициенты А. В. С. D. используем тот факт, что
функция U(х) и ее первая производная непрерывны в местах скачка потенциала.
Например, в точке х = О.

Кроме того, функции U(х) обладают свойством периодичности с периодом с = а
+b:

Предельный случай, устремим ширину барьера b к нулю, а высоту барьера
устремим к бесконечности(U0∞):
Общее представление

Перед рассмотрением приближения слабо связанных электронов, необходимо
определить систему, в которой находиться электрон, и его функцию. Так как мы
работаем с материалами с кристаллической структурой, то мы можем
рассматривать движение электрона, как движение частицы в периодическом поле
(решетки кристалла). Во многих случаях данная задача может быть представлена
как одноэлектронная (т.е. с хорошим приближением описаны уравнениями
Хартри – Фока).

Симметрия кристалла подсказывает, что Ueff(r) должно обладать периодичностью
кристалла. Для периодической решетки с векторами трансляции a̅ n необходимо,
чтобы:
где амплитудная функция uk(r̄ ) обладает периодичностью кристаллической решетки:

Таким образом собственные функции могут быть представлены в виде
произведения экспоненты и функции с периодом кристаллической решетки:
где k̄̄ - волновой вектор электрона, а амплитудная функция:

Эта форма модулированной плоской волны плоскости, характерна для электронов
в периодическом потенциале решетки называется – Блоховской функцией.

Схематическое изображение функции Блоха (сплошная линия) и ее части
являющейся плоской волной (пунктирная линия), точки – узлы решетки.

Решение (*) самосогласованно.
Сделаем несколько выводов:

Решение уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла
является бегущая плоская волна, модулированная с периодичностью решетки, а
энергия зависит от волнового вектора k̄.

Поле периодично в пространстве и периоды совпадают с периодами решетки.

Кинетическая энергия электронов значительно больше пространственных
изменений его потенциальной энергии, периодический потенциал V(r̄ ) можно
рассматривать как малое возмущение свободного движения электронов. Это так
называемое приближение почти свободных электронов дает удовлетворительные
результаты при решении задач для металлов.
Блоховская волна

— названная в честь Феликса
электрона), расположенной в
произведения плоской волны
(периодическая часть блоховской
периодичность, что и потенциал.
где —
Блоха волновая функция частицы (обычно
периодическом потенциале. Состоит из
на некоторую периодическую функцию
волновой функции) unk(r), имеющую ту же
периодические функции, k — волновой вектор частицы.
Согласно т. Блоха, в таком виде можно представить все собственные функции.
Соответствующие им собственные значения энергии
периодичны по
векторам обратной решетки K. Все различные значения En(k) соответствуют
векторам k из первой зоны Бриллюэна обратной решётки, и рассмотрению подлежат
именно они.
Зоны Брюллюэна

Для геометрического строения зоны Бриллюэна произвольный узел
обратной решетки О соединяется отрезками с остальными узлами решетки
и затем через середины этих отрезков проводятся перпендикулярные к
ним плоскости. Многогранники, ограниченные этими плоскостями,
образуют зоны Бриллюэна.
- Первая зона Бриллюэна кубической
гранецентрированной решётки
Список источников

1.https://ozlib.com/884575/tehnika/priblizhenie_svobodnyh_elektronov_model_
kroniga_penni

2. А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, СПб.: Издательство “Лань”,
2016. – 624 с.

3. https://ru.wikipedia.org/
Скачать