1), С

Тема: Нахождение координат точек в пространстве при
введенной системе координат.
Цели: Расширение и углубление знаний учащихся о методах и
приемах решения стереометрических задач, закрепление
полученных знаний по выборке корней в тригонометрических
уравнениях.
Задачи: Познакомить учащихся с координатным методом решения
стереометрических задач, рациональным введением декартовой
системы координат в пространстве, повторить ранее полученные
знания.
Вид урока: урок-практикум.
Оборудование: плакаты с чертежами правильных четырехугольной,
треугольной и шестиугольной призм, памятки для учащихся.
Ход урока.
1.Организационный этап. Постановка цели.
-Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжаем повторять и
систематизировать наши знания по математике. Повторим
полученные знания по выборке корней в тригонометрических
уравнениях и перейдем к теме «Координатный метод решения
стереометрических задач». Знания, полученные на этих уроках,
помогут нам при решении заданий №16.
2.Этап повторения.
- Открываем рабочие тетради. Запишем дату. На доске записаны
два задания, которые помогут нам повторить запись решений для
простейших тригонометрических уравнений и произвести выборку
корней для указанного промежутка. Я хочу раздать вам памятки.
Запись на доске:
Решить простейшие тригонометрические уравнения и найти
корни, принадлежащие отрезку [-4π; -2π]
√𝟑
√𝟑
1) 𝐬𝐢𝐧 х =
2) 𝐜𝐨𝐬 х =
𝟐
𝟐
(два ученика работают на доске, остальные в тетрадях решают
любое уравнение)
3.Введение актуальности урока.
-Некоторые из вас уже пытались решать данные задачи №16.
Скажите, пожалуйста, с какими трудностями вам пришлось
столкнуться? (ответы учащихся) Давайте подведем итоги. Работая
со стереометрическими задачами мы точно можем сказать, что на
них сохраняются расстояния, параллельность прямых и отрезков.
Но сложно по рисунку определить все перпендикулярные прямые.
А в данных задачах чаще всего стоит вопрос о нахождении
расстояния между различными компонентами фигуры. И здесь
ключевое слово – это «перпендикуляр». Взять чертежный
треугольник и провести перпендикуляр мы не можем. Нам нужно
строить перпендикуляр, используя все данные и свойства фигуры.
Ошибки возникают на этом этапе решения задачи. Нет смыла
решать задачу дальше. Сегодня мы разберем способ решения
стереометрических задач, используя координатный метод. Очень
жаль, что данному методу не уделяется должного внимания в курсе
изучения «Геометрии 10-11».
4.Этап введения новых знаний.
-Сейчас
я
раздам
вам
листы
«Алгоритм
решения
стереометрических задач координатным методом», которые будут
памятками для решения стереометрических задач. (Приложение 1)
(На доске вывешивается плакат с чертежом правильной
четырехугольной призмой (кубом), учитель работает по этому
чертежу в целях экономии времени)
Давайте рассмотрим правильную четырехугольную призму с
ребром 1. Я думаю, что сейчас не встанет вопрос с рациональным
введением декартовой системы координат в пространстве.
Центр – точка В, ось Ох совпадает с прямой АВ, Оу – с прямой ВС,
ось Оz – с прямой ВВ1.
Переходим ко второму этапу. Запишем координаты точек. В(0;0;0),
А(1;0;0), С(0;1;0), Д(1;1;0), А1(1;0;1), В1(0;0;1), С1(0;1;1), Д1(1;1;1)
(ребята заполняют свои памятки с комментариями)
- Теперь рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1,
приняв длину каждого ребра за 1. (на доске вывешивается плакат с
правильной треугольной призмой)
Центр – точка С, ось Ох – совпадает с прямой АС, ось ОУ –
перпендикулярно прямой АС, ось Оz – с прямой СС1.
1 √3
;0),
2 2
Запишем координаты точек. С(0;0;0), А(1;0;0), В( ;
1 √3
С1(0;0;1),
А1(1;0;1), В1( ; ;1).
2 2
-Рассмотрим правильную шестиугольную призму. Как вы
предлагаете ввести декартовую систему координат в пространстве?
(заслушать ответы учеников, выбираем самое рациональное
предложение)
Строим точки О и О1, которые являются центрами верхнего и
нижнего основания.
Центр – точка О, ось Оz совпадает с прямой ОО1, Ох – с прямой
АД, Оу – с прямой перпендикулярной АД (через середину ВС).
Запишем координаты всех точек (в задачах это бывает не нужно).
1 √3
2 2
1 √3
В1( ; ;1),
2 2
1 √3
2 2
1
А(1;0;0), В( ; ;0), С(− ; ;0), Д(-1;0;0),Е(− ;−
А1(1;0;1),
1
1 √3
С1(− ; ;1),
2 2
2
Д1(-1;0;1),
√3
;0),
2
1
√3
;0)
2
2
1
√3
Е1(− ;− ;1),
2
2
F( ;−
√3
F1( ;− ;1).
2
2
Далее нужно перейти к следующему этапу и применить нужную
формулу. Некоторые из них даны на обратной стороне вашей
памятки. Мы их будем отрабатывать на следующих уроках.
5.Этап повторения.
-Я предлагаю вам сегодня вспомнить, как составляется уравнение
плоскости, используя координаты трех точек, принадлежащих
данной плоскости. Обратимся к пункту 2 из раздела «Формулы».
Уравнение плоскости, проходящей через три точки. ax  by  cz  d  0
M  xm ; ym ; zm 
N  xn ; yn ; zn 
P  xp ; yp ; z p 
Числа a, b, c находим из системы уравнений
 axm  bym  czm  d  0

 axn  byn  czn  d  0
 ax  by  cz  d  0
p
p
 p
Решаем задачу, используя наши данные.
«Дан куб АВСДА1В1С1Д1 с ребром 1. Написать уравнение
плоскости, проходящей через точки А, С, С1.»
(один ученик работает у доски, все остальные в тетрадях)
Решение: Запищем координаты точек А(1;0;0), С(0;1;0), С1(0;1;1).
Составляем систему уравнений:
а ∗ 1 + 𝑏 ∗ 0 + с ∗ 0 + 𝑑 = 0,
{𝑎 ∗ 0 + 𝑏 ∗ 1 + 𝑐 ∗ 0 + 𝑑 = 0,
𝑎∗0+𝑏∗1+𝑐∗1+𝑑 =0
Получаем:
𝑎 + 𝑑 = 0,
{ 𝑏 + 𝑑 = 0,
𝑏+𝑐+𝑑 =0
Из данной системы следует, a = -d, b = -d, c = 0
Запишем уравнение: -d*x – d*y + d = 0 (делим на d)
Уравнение
-X – Y +1 =0 является уравнением плоскости,
проходящей через данные точки.
6.Подведение итогов урока.
-Что нового мы сегодня узнали на уроке? (заслушиваются ответы
учеников)
7.Определение дополнительного задания.
(которые учащиеся начинают выполнять на уроке, а продолжают
дома)
-Для правильных треугольной, четырехугольной, шестиугольной
пирамид ввести рациональную декартовую систему координат и
записать координаты всех точек.
-Дан куб АВСДА1В1С1Д1 с ребром 1. Написать уравнение
плоскости, проходящей через точки С,Д,К, где К – середина ребра
АА1.