Понятие функции. Свойства функции. График функции (на примере степенной, показательной и логарифмической) Функция – это соответствие, которое каждому значению х (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у (значение функции). График функции – это множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих равенству 𝑦 = 𝑓(𝑥). Свойства функции 1) Область определения функции (ООФ) – это все значения х, при которых функция существует. При нахождении области определения функции необходимо исключить те значения х, при которых выражение 𝑓(𝑥) теряет смысл. Пример 1. Найти область определения функции. а) 𝑦 = 𝑥 2 . В положительную целую степень можно возводить любые числа, поэтому данное выражение имеет смысл при любом значении аргумента из множества действительных чисел, а значит, функция определена на всей действительной оси. ООФ: 𝑥 ∈ ℝ. 1 б) 𝑦 = . В данном случае выражение содержит переменную в знаменателе 𝑥 дроби, следовательно, нужно исключить те значения, которые обращают его в нуль. ООФ: 𝑥 ≠ 0. 1 в) 𝑦 = . Аналогично предыдущему примеру в ООФ записываем значения, 2𝑥−4 при которых знаменатель равен нулю. ООФ: 2𝑥 − 4 ≠ 0, ⇒ 𝑥 ≠ 2. г) 𝑦 = √𝑥. Переменная в данной функции находится под знаком корня четной степени, соответственно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. ООФ: 𝑥 ≥ 0. 6 д) 𝑦 = √𝑥 − 8. Аналогично, так как корень 6-й степени, а 6 – четное число, исключаем отрицательные значения. ООФ: 𝑥 − 8 ≥ 0, ⇒ 𝑥 ≥ 8. 5 е) 𝑦 = √𝑥 2 + 2𝑥 − 1. Корень нечетный, а значит, выражение имеет смысл при любом значении переменной. ООФ: 𝑥 ∈ ℝ. ж) 𝑦 = 3𝑥 . Так как основание степени 3 – положительное число, то его можно возводить в любую степень, следовательно, никаких ограничений по х нет. ООФ: 𝑥 ∈ ℝ. з) 𝑦 = log 5 𝑥. Под знаком логарифма могут находиться только строго положительные числа, что и указываем в области определения. ООФ: 𝑥 > 0. и) 𝑦 = ln(3𝑥 + 6). Аналогично предыдущему примеру. ООФ: 3𝑥 + 6 > 0, ⇒ 𝑥 > −2. 2) Область (множество) допустимых значений функции (ОДЗ) – это множество всех возможных значений у для любого х из области определения. Пример 2. Для функций из примера 1 найти множество значений. а) 𝑦 = 𝑥 2 . При возведении любого числа, кроме нуля, в четную степень получается число положительное. Нуль в любой степени равен нулю. Следовательно, данная функция принимает только неотрицательные значения на всей своей области определения. ОДЗ: 𝑦 ≥ 0. 1 б) 𝑦 = . В числителе данной функции стоит положительное число 1. Поэтому 𝑥 при делении на отрицательные числа функция будет принимать отрицательные значения, при делении на положительные – положительные, деление на нуль не определено. Значит, функция принимает любые значения, кроме нуля. ОДЗ: 𝑦 ≠ 0. 1 в) 𝑦 = . Аналогично предыдущему примеру. 2𝑥−4 ОДЗ: 𝑦 ≠ 0. г) 𝑦 = √𝑥. Так как операция извлечения корня четной степени определена только для неотрицательных чисел, то и результат будет числом неотрицательным. ОДЗ: 𝑦 ≥ 0. 6 д) 𝑦 = √𝑥 − 8. Аналогично. ОДЗ: 𝑦 ≥ 0. 5 е) 𝑦 = √𝑥 2 + 2𝑥 − 1. В данном случае корень может извлекаться из любых чисел, соответственно и результат будет для положительного выражения – положительный, для отрицательного – отрицательный, для нуля - нуль. ОДЗ: 𝑦 ∈ ℝ. ж) 𝑦 = 3𝑥 . Здесь основание степени 3 – положительное число, соответственно при любом значении х данное выражение будет принимать только положительные значения. ОДЗ: 𝑦 > 0. з) 𝑦 = log 5 𝑥. Под логарифмом могут стоять только положительные числа, но результат вычисления может быть как отрицательным или положительным, так и равным нулю. ОДЗ: 𝑦 ∈ ℝ. и) 𝑦 = ln(3𝑥 + 6). Аналогично предыдущему примеру. ОДЗ: 𝑦 ∈ ℝ. 3) Четность и нечетность функции Функция называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥). Например: 𝑦 = 𝑥 2 – четная функция, так как (−𝑥)2 = 𝑥 2 . График четной функции симметричен относительно оси ОУ. На рисунке изображен график функции 𝑦 = 𝑥 2 . Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Например: 𝑦 = 𝑥 3 – нечетная функция, так как (−𝑥)3 = −𝑥 3 . График четной функции симметричен относительно начала координат. На рисунке показан график функции 𝑦 = 𝑥 3 . Если же функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида. 2 Например: 𝑦 = 𝑥 3 – функция общего вида, так как 3 (−𝑥)2 – не существует. График функции общего вида не симметричен относительно осей координат. 2 3 На рисунке показан график функции 𝑦 = 𝑥 . 4) Монотонность функции Функция называется убывающей на заданном промежутке, если большему значению х из этого промежутка соответствует меньшее значение у, т. е. для 𝑥1 < 𝑥2 выполняется неравенство 𝒇(𝒙𝟏 ) > 𝒇(𝒙𝟐 ). Функция называется возрастающей на заданном промежутке, если большему значению х из этого промежутка соответствует большее значение у, т. е. для 𝑥1 < 𝑥2 выполняется неравенство 𝒇(𝒙𝟏 ) < 𝒇(𝒙𝟐 ). Например: а) 𝒚 = −𝒙 – убывающая функция, так как при 𝑥1 = 10 и 𝑥2 = 15 (𝑥1 < 𝑥2 ) значение функции 𝑦(10) = −1 ∙ 10 = −10 и 𝑦(15) = −1 ∙ 15 = −15 (𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )). б) 𝒚 = 𝟐𝒙 – возрастающая функция, так как при 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 5 (𝑥1 < 𝑥2 ) значение функции 𝑦(1) = 2 ∙ 1 = 2 и 𝑦(5) = 2 ∙ 5 = 10 (𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )). 5) Ограниченность Функция называется ограниченной снизу на некотором множестве, если существует число С1 такое, что для любого х из этого множества выполняется неравенство 𝑓(𝑥) ≥ 𝐶1 . Таким образом, график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) полностью лежит выше прямой 𝑦 = 𝐶1 . Функция называется ограниченной сверху на некотором множестве, если существует число С2 такое, что для любого х из этого множества выполняется неравенство 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶2 . График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) полностью лежит ниже прямой 𝑦 = 𝐶2 . Функция, ограниченная и сверху, и снизу на некотором множестве называется ограниченной на этом множестве. При этом, существует число С такое, что для любого х из этого множества выполняется неравенство |𝑓(𝑥)| ≤ 𝐶. График ограниченной функции лежит между прямыми 𝑦 = 𝐶 и 𝑦 = −𝐶. Например, функции 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 5𝑥 , 𝑦 = √𝑥 являются ограниченными снизу, так как значения этих функций не опускаются ниже нуля. 𝑦 = 5𝑥 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = √𝑥 1 Функция 𝑦 = − 2 ограничена сверху, так как принимает только 𝑥 отрицательные значения. Функция 𝑦 = √4 − 𝑥 2 ограничена, так как принимает значения от 0 до 2. 𝑦=− 1 𝑥2 𝑦 = √4 − 𝑥 2 Таким образом, ограниченность функции определяется по ее области допустимых значений. 6) Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшим значением функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) на некотором промежутке называют такое значение 𝑦 = 𝑓(𝑥0 ), что для любого 𝑥 ≠ 𝑥0 справедливо неравенство 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ). Наименьшим значением функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) на некотором промежутке называют такое значение 𝑦 = 𝑓(𝑥0 ), что для любого 𝑥 ≠ 𝑥0 справедливо неравенство 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ). 7) Асимптота – это прямая, расстояние от точек графика функции до которой стремится к нулю при х стремящемся к бесконечности. То есть, это прямая, к которой график функции бесконечно приближается, но при этом ее не пересекает. 1 Например, на рисунке график функции 𝑦 = бесконечно 𝑥 приближается к осям координат, но не пересекает их, то есть прямые у = 0 и х = 0 являются его вертикальной и горизонтальной асимптотами. У графика функции 𝑦 = log 5 𝑥 вертикальной асимптотой является ось ОУ, так как логарифм от отрицательных чисел не существует. Для показательной функции 𝑦 = 3𝑥 горизонтальная асимптота – это ось ОХ, так как значения такой функции не могут быть отрицательными. 𝑦 = 3𝑥 𝑦 = log 5 𝑥 Таким образом, на наличие асимптот указывают строгие ограничения в области допустимых значений и области определения функции. Например, парабола 𝑦 = 𝑥 2 является ограниченной снизу осью ОХ, но при этом асимптоты она не имеет, так как неравенство в ее ОДЗ нестрогое 𝑦 ≥ 0. Функция 𝑦 = √𝑥 также является ограниченной по ООФ: 𝑥 ≥ 0; и ОДЗ: 𝑦 ≥ 0, но так как неравенства нестрогие асимптот у ее графика нет. Тренировочные задания Указать свойства (область определения, множество значений, четность, ограниченность и наличие асимптот (если имеются)) для следующих функций. 3 1) 𝑦 = √𝑥 + 2; 2) 𝑦 = 1 𝑥4 ; 3) 𝑦 = (𝑥 − 5)2 ; 4) 𝑦 = √2𝑥 − 6; 7) 𝑦 = 5−2𝑥 ; 10) 𝑦 = 5) 𝑦 = 83−𝑥 ; 8) 𝑦 = log 𝑥 5; 11) 𝑦 = −𝑥 + 6; 9) 𝑦 = lg(5𝑥 + 4) 12) 𝑦 = (𝑥−6)3 . 6 6) 𝑦 = − ; 𝑥 2 3𝑥 ; 𝑥
