Методическая разработка урока по теме: «Применение определенного интеграла»

Муниципальное образовательное учреждение
«Школа №57 г.Донецка»
Методическая разработка урока
по теме: «Применение определенного
интеграла»
по предмету: «Алгебра и начала анализа»
Разработал:
учитель математики
Лазаренко Татьяна Юрьевна
г. Донецк
2019
Аннотация
Разработка урока-игры по алгебре и началам анализа по теме: «Применение
определенного интеграла» с медиапрезентацией, цель которого – способствовать
формированию и развитию интеллектуальных и творческих способностей в
процессе изучения материала; формировать понимание значимости предмета
математики в других отраслях знаний; приблизить учебную ситуацию к
профессиональной.
Для учащихся 11 классов.
ТЕМА УРОКА:
Применение определенного интеграла
ТИП:
Урок обобщения и систематизации знаний (бизнесигра)
ЦЕЛИ:
Обучающие:

обобщение знаний по теме «Определённый
интеграл »;

реализация
деятельностного подхода в
обучении;

установление межпредметных связей
Развивающие:

развитие
интеллектуальных способностей
учащихся;

воспитание
стремления
к
непрерывному
совершенствованию своих знаний
Воспитательные:

формирование
ответственности
и
последовательности в выполнении своих действий;

формирование умения работать в группе;

формирование понимания значимости предмета
математики в других отраслях знаний.
Коллективная робота
МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ:
ОБОРУДОВАНИЕ:
Мультимедийный проектор, компьютер, бланки,
«дерево компетентностей»
ПЛАН УРОКА:
I.
Организационный момент (4 мин)
1.
Объявление темы и цели заседания.
II.
Актуализация опорных знаний (8 мин)
III. Основная часть (20 мин)
1.
Применение интеграла в геометрии.
2.
Применение интеграла в физике.
3.
Применение интеграла в экономике.
IV. Контроль и самопроверка знаний (10 мин)
V.
Подведение итогов (3 мин)
ХОД УРОКА.
I.
Организационный момент
Приветствие. Группа учащихся делится на конкурирующие фирмы (по 4-6 уч-ся) и
аудиторов (2 уч-ся). Каждую фирму возглавляет президент.
Цели делового заседания:
a)
Показать значимость интегрального исчисления в развитии различных
областей наук;
b)
Реализовать деятельностный подход в обучении.
Девиз урока: «Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач
математики – помощь другим наукам». Морделл Луис Джоэл.
II.
Актуализация опорных знаний
Прежде чем приступить к работе заседающих, предлагаю возобновить в памяти
данные об интеграле. После просмотра видеоролика ответьте на вопросы:
1)
Кем был введен символ интеграла? Готфридом Лейбницем в 1675 г.
2)
Как называется множество всех первообразных для функции f(x)?
Неопределенный интеграл
3)
По свойству неопределенного интеграла чему равен интеграл суммы
функций? Сумме интегралов от каждой из функций
4)
В каком случае определенный интеграл равен 0. Если верхний и нижний
пределы совпадают.
Чтобы тщательно изучить приложения определенного интеграла, необходимо знать
формулы вычисления первообразных.
Президенты самостоятельно распределяют в фирме карточки с заданиями на
соответствие. Карточки двух уровней: желтые -1 уровня сложности:
Установите соответствие между данными функциями (1-4) и их первообразной
(А-Д).
1. f ( x)  2 x
А) F ( x)   ln x  C
2. f ( x ) 
1
x
3. f ( x) 
1
x2
4. f ( x)  
1
x2
А
Б)
1
F ( x)    C
x
В) F ( x)  ln x  C
1
Г) F ( x)   C
x
зеленые -2 уровня сложности:
Б
В
Г
Д
1
2
3
4
Установите соответствиеД)
между
(1-4) и их числовыми значениями (АF ( x) интегралами
 x2  C
Д).
3
 х dx
3
1.
А)
1

3
2.
 sin 2 xdx
3
dx
3 x 3
Б
В
Г
Д
1
2
3
В) 0,75
4
Г) 20
2
4.
А
4
Б)
9
0
3.
2
3
 (3x  1)
4
Д) 1120,4
0
Результаты оценивают аудиторы.
III. Основная часть
1.1. Применение интеграла в геометрии: нахождение площади фигуры.
Не секрет, что с помощью определенного интеграла можно найти площадь фигуры,
ограниченной линиями. Фирма, которая выбыла из борьбы, прислала вам видеозадачу. Внимание на экран…
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х2-у=0, х2+у-2=0.
Решение:
b
S   ( y 2  y1 )dx .
a
Найдем пределы интегрирования, решив уравнение y1  y 2 , х 2   x 2  2 , 2 x 2  2 ,
x 2  1 .
1
1
1
x3
S   (2  x  x )dx   (2  2 x )dx  2 x
2
3
1
1
1
2
2
2
1
1
2
4
2
 2  2  (1  1)  4   2 .
3
3
3
2
3
Ответ: 2 .
1.2. Применение интеграла в геометрии: нахождение объема тела вращения.
Предлагаю совместно рассмотреть, как можно найти объем конуса, применяя
определенный интеграл.
Объем конуса:
y
y=kx
r

0
h
x
Дано: y=kx ; x=0 ; x=h ; y=0
Криволинейная трапеция
ox-ось вращения
Доказать:
V= 1/3Sh
V= 𠃲(x)
Доказательство: y=kx ; R=tg∙ r/h
V = (2/hx)²dx = r²/h²·x³/3 | =
r²/h²·h³/3 = 1/3 r²h = 1/3Sh
Применение интеграла в физике.
В физике интеграл применяется для вычисления работы переменной силы,
вычисления массы неоднородного стержня и для вычисления расстояния по
известному закону изменения скорости. Рассмотрим задачу последнего типа.
Тело двигается прямолинейно со скоростью, которая изменяется по закону
v  2t  1м / с. Найти расстояние, пройденное телом за интервал времени от t1=1с
до t2=3с.
Решение:
2.
3
t2
S   (2t  1)dt  (2   t )
2
1
3
 9  3  1  1  10 м  .
1
Применение интеграла в экономике.
Интеграл широко применяют при решении экономических задач. Например,
Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление
товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
Решение. Имеем:
3.
V=
.
IV. Контроль и самопроверка знаний
Предлагаю каждой из фирм решить задачу экономического характера и
представить её аудитории. А приглашенные аудиторы оценят работы.
Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q2, где
q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в грн.), а равновесие на
рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину
потребительского излишка.
Потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле
Решение.
Задача 2. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час
рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией
f(t) = 3/(3t +1) + 4.
Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда
рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим
за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой
В нашем случае
V=
V=
= ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.
.
V. Подведение итогов
В завершении нашей встречи хочется отметить, что при выполнении заданий
«шагая», пусть не всегда уверенно, но осознавая куда, зачем и как, вы, уважаемые
учащиеся, получили ни с чем несравнимый свой собственный драгоценный опыт!
На основании которого можно сделать вывод:
* Определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики,
которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
* Тема «Интеграл» ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией,
техникой и экономикой.
* Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с
этим, начинать его изучение необходимо в рамках средней общеобразовательной
школы!
Итак, урок окончен. Пользуясь «деревом компетентности» оцените свой уровень
полученных знаний. Красный – радость успеха, зеленый – получил определенную
сумму знаний, желтый – не доволен собой.
Стихотворение Петра Долженкова «Определенный интеграл»
Определенный интеграл,
Ты мне ночами начал сниться,
Когда тебя впервые брал,
Я ощутил твои границы.
И ограниченность твоя
Мне придавала больше силы.
С тобой бороться должен я,
Но должен победить красиво!
V1.Домашнее задание: гл.10, п.54-59, №994, 1001,1017(2)