Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский государственный технологический университет» (ФГБОУ ВПО «КубГТУ») Кафедра информационных систем и программирования ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения направления 09.03.04 Программная инженерия Краснодар 2015 Составитель: д.ф.-м.н., проф. В.М. Трофимов Дискретная математика: методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения направления 09.03.04 Программная инженерия / Сост.: В.М. Трофимов; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. Инф. сист. и прогр. – Краснодар, 2015. – 12 с. Приведены методические указания по изучению дисциплины и типовые задания с ответами для выполнения контрольной работы студентами заочной формы обучения направления 09.0304 Программная инженерия, сформулированы требования к составу и объему работы. Табл.2, Библиогр. : 4 назв. Рецензенты: д-р техн. наук, проф. каф. ИСП В.Н. Марков, к.т.н., проф.каф. Информационных технологий в профессиональной деятельности Академии маркетинга и социально-информационных технологий (ИМСИТ) Г.Д. Нестеров Содержание 1. Введение ..................................................................................... 4 1.1. Цель дисциплины .................................................................. 4 1.2. Задачи дисциплины .............................................................. 4 2. Основные понятия, термины и определения ......................... 4 3. Требования к уровню усвоения содержания дисциплины ..... 5 4. Содержание дисциплины ......................................................... 6 4.1. Лекции ...................................................................................... 6 4.2. Практические занятия ............................................................ 8 4.3. Лабораторные занятия ............................................................ 8 5. Примеры заданий для контрольной работы с ответами ……...10 Список рекомендуемой литературы .......................................... 12 1. Введение 1.1. Цель дисциплины Цель преподавания курса «Дискретная математика» - освоить фундаментальные основы дискретной математики, необходимые при решении прикладных задач информатики, а также системных задач программирования. 1.2. Задачи дисциплины Задачами изучения дискретной математики являются - освоение понятий теории множеств, отношений, функций, комбинаторики, теории графов и ориентированных графов. Студенты должны овладеть базовыми алгоритмами дискретной математики, основными методами доказательств теорем и математических утверждений, научиться решать задачи по всем разделам дисциплины, овладеть прикладными методами дискретной математики, используемыми в программной инженерии. 2. Основные понятия, термины и определения Лекция – учебное занятие, составляющее основу теоретического обучения и дающее систематизированные основы научных знаний по дисциплине, раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и техники, концентрирующее внимание обучающихся на наиболее сложных, узловых вопросах, стимулирующее их познавательную деятельность и способствующее формированию творческого мышления. Практические занятия, ПЗ — одна из форм учебного занятия, направленная на развитие самостоятельности учащихся и приобретение умений и навыков. Данные учебные занятия углубляют, расширяют, детализируют полученные на лекции знания. Практическое занятие предполагает выполнение студентами по заданию и под руководством преподавателей одной или нескольких практических работ. Лабораторная работа, ЛР – это работа(занятие), в которой требуется произвести анализ и провести определѐнный опыт или эксперимент. Обычно их проводят в лабораториях (на что и указывает название), но могут быть проведены в обычном кабинете с использованием и без использования технических средств обучения. Необходимо использовать рабочие тетради для выполнения заданий и совместного решения задач, так чтобы конспекты лекций велись отдельно в других тетрадях. Самостоятельная работа студента, СРС — планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа студентов, выполняемая во внеаудиторное (аудиторное) время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия (при частичном непосредственном участии преподавателя, оставляющем ведущую роль за работой студентов). Контрольные задания, КЗ — задания в открытой форме, требующие поэтапного решения и развернутого ответа, в т.ч. тестовые, и задания на индивидуальное или коллективное выполнение проектов, задания на выполнение лабораторных работ или практических действий. 3. Требования к уровню усвоения содержания дисциплины В результате освоения дисциплины «Дискретная математика» выпускник должен обладать следующими компетенциями: - Способность к формализации в своей предметной области с учетом ограничений используемых методов исследования (ПК-12); - Готовность к использованию методов и инструментальных средств исследования объектов профессиональной деятельности (ПК-13); - Способность оценивать временную и емкостную сложность программного обеспечения (ПК-20). 4. Содержание дисциплины 4.1. Лекции Лекции являются основной формой учебных занятий в вузе. Лекция – форма организации учебного процесса, направленная на формирование ориентировочной основы для последующего усвоения учащимися учебного материала. Главное назначение лекции - обеспечить теоретическую основу обучения, развить интерес к учебной деятельности и конкретной учебной дисциплине, сформировать у обучающихся ориентиры для самостоятельной работы над курсом. Выбор форм, методов и приемов чтения лекций во многом зависит от специфики преподаваемой учебной дисциплины и состава академической аудитории. Обычно выделяют три основных типа лекций, применяемых при очном обучении для передачи теоретического материала: ∙ вводная лекция; ∙ информационная лекция; ∙ обзорная лекция. Вводная лекция дает первое целостное представление об учебном предмете и ориентирует студента в системе работы по данному курсу. Лектор знакомит студентов с целью и назначением курса, его ролью, местом в системе учебных дисциплин. Дается краткий обзор курса, вехи развития науки, имена известных ученых. Намечаются перспективы развития науки, еѐ вклад в практику. Теоретический материал связывается с практикой будущей работы специалиста. На этой лекции могут высказываться методические и организационные особенности работы в рамках курса, а также может даваться анализ учебно-методической литературы, рекомендуемой студентам, уточняться сроки и формы отчетности. Лекция-информация. Ориентирована на изложение и объяснение студентам научной информации, подлежащей осмыслению и запоминанию. Это самый традиционный тип лекций в практике высшей школы. Обзорная лекция — это систематизация научных знаний на высоком уровне, допускающая большое число ассоциативных связей в процессе осмысления информации, излагаемой при раскрытии внутрипредметной и межпредметной связи, исключая детализацию и конкретизацию. Как правило, стержень излагаемых теоретических положений составляет научно-понятийная и концептуальная основа всего курса или крупных его разделов. В зависимости от предмета изучаемой дисциплины и дидактических целей могут быть использованы такие лекционные формы, как проблемная лекция, лекция-визуализация, лекция-пресс-конференция, лекция с заранее запланированными ошибками, лекция вдвоем и др. Для заочной формы обучения лекция имеет черты общие с обзорной лекцией, однако в целом имеет синтетический, охватывающий черты всех типов лекций характер и, поэтому, наиболее трудна для преподавателя. Тематика лекций представлена в таблице 1. Таблица 1 № раздела дисципли ны 1 2 3 4 5 по дисциплине «Дискретная математика» Наименование раздела, подраздела, и их содержание Множества, шаблоны доказательств и индукция 1.1 Множества: основные определения 1.2 Множества: шаблоны доказательств 1.3 Операции над множествами 1.4 Законы де Моргана и новые шаблоны 1.5 Принцип включения-исключения. Математическая индукция Отношения и функции 2.1 Бинарные отношения 2.2 Свойства и виды отношений 2.3 Отношения эквивалентности и отношения порядка Подсчеты и комбинаторика 2.4 3.1 Функции Принципы подсчёта 3.2 Подсчёт повторяющихся объектов и комбинаторные тождества Теория графов 4.1 Основные понятия теории графов 4.2 Циклы, изоморфизм, представление графов в компьютере 4.3 Связные графы 4.4 Графы-деревья 4.5Математическая Ориентированныелогика графы 4.6 Логика Приложения ориентированных графов 5.1 высказываний Итого Количество часов Очная Заочная форма форма 10 2 8 2 4 2 12 2 36 6 4.2. Практические занятия Практические занятия в данной дисциплине не предусмотрены. 4.3. Лабораторные занятия Лабораторные занятия это одна из разновидностей практического занятия, являющаяся эффективной формой учебных занятий в вузе. Лабораторные работы имеют ярко выраженную специфику в зависимости от учебной дисциплины, углубляют и закрепляют теоретические знания. На этих занятиях студенты осваивают конкретные методы изучения дисциплины, обучаются экспериментальным способам анализа действительности, умению работать с приборами и современным оборудованием. Порядок проведения лабораторного занятия 1. Вводная часть: ∙ входной контроль подготовки студента; вводный инструктаж (знакомство студентов с содержанием предстоящей работы, показ способов выполнения отдельных операций, напоминание отдельных положений по технике безопасности). 2. Основная часть: ∙ проведение студентом лабораторной работы; ∙ текущий инструктаж (повторный показ или разъяснения (в случае необходимости) преподавателем исполнительских действий, являющихся предметом инструктирования). 3. Заключительная часть: ∙ оформление отчета о выполнении задания; Тематика лабораторных занятий математика» представлена в таблице 2. по дисциплине «Дискретная Таблица 2 № раздела дисциплин ы Наименование лабораторной работы и её содержание 1 1 №1. Множества и доказательства №2. Подсчёты мощности множеств 2 2 №3. Отношения и функции №4. Транзитивные замыкания 3 3 №5. Комбинации без повторений №6. Комбинации с повторениями №7. Представление графов в компьютере Колич-во часов Очная форма Заочна 4 я2 форма 2 2 2 2 2 Заочная форма 2 2 2 4 5 №8. Обход графов в глубину и в ширину №9. Связность в графах №10. Циклы и контуры в графах №11. Ориентированные графы №12. Взвешенные графы №13. Потоки в сетях №14. Математическая логика. Итого: 2 4 4 4 2 2 2 36 2 8 5. Примеры заданий для контрольной работы с ответами Контрольная работа № 1 (вариант 1) 1.Какие из следующих пар множеств равны? Для каждой пары неравных множеств найдите элемент, который входит в одно множество, и не входит в другое. (a) {{5, 3, 5, 1, 5}, {2, 4, 6}, {5, 1, 3, 3}} и {{1, 3, 5, 1}, {6, 4, 2}, {6, 6, 4, 4, 6}}. Ответ: множества не равны, отличаются элементом {6, 6, 4, 4, 6} (b) {0, 1, 2} и {0, 0, 1, 2, 2, 1}. Ответ: множества равны (c) {0, 1, 3, {1, 2}} и {0, 1, 2, {2, 3}}. Ответ: множества не равны, они имеют только два одинаковых элемента: 0 и 1 (d) ∅ и {x ∈ ℕ: x > 1 и x2 = x}. Ответ: множества равны (e) ∅ и {∅} Ответ: множества не равны, второе множество имеет один элемент, а первое не содержит ни одного элемента 2. Выясните, сколько целых чисел от 1 до 1000, включая оба этих числа, не делятся хотя бы на одно из чисел 5, 6 или 8. Ответ: применяя принцип дополнения, получаем сначала множество чисел от 1 до 1000, делящихся на все три числа: целая часть (1000/(5*6*4)) = 8. Вычитая 8 из 1000, получаем 92. Примечание: наименьшее общее произведение сомножителей 5*6*4, а не 5*6*8. 3.Найдите число перестановок слова КОММУНИКАТОР и ГИРОСКУТЕР Ответ: , так как в слове КОММУНИКАТОР две «к», две «м», две «о», остальных букв - по одной; , так как в слове ГИРОСКУТЕР две буквы «р». 4. Найдите число следующих комбинаций пяти карт (колода включает 52 карты): (а) четыре туза и ещё какая-нибудь карта; Ответ: четыре туза – один вариант, для последней карты 52 – 4 = 48 вариантов; умножая варианты, получаем 48 (б) четыре карты одинаковой силы (четыре двойки, четыре вольта и т.д.) и ещё какая-нибудь карта (то есть число ситуаций каре). Ответ: всего может быть 13 номинаций четырёх одинаковых карт и 52 – 4 = 48 вариантов для пятой карты; всего вариантов 13*48 = 624 5. Пусть A ={a,b,c,d}. Отношения R1 и R2 определены на множестве A как : R1 = {(a,a),(a,b),(b,d)} и R2 = {(a,d),(b,c),(b,d),(c,b)} Найдите следующие композиции этих отношений: (a) R2 ◦ R1; (б) R1 ◦ R2; (в) R1 ◦ R1 . Ответ: (а) {(a,d), (a,c)}; (б) { (c,a), (c,d)}; в) { (a,a), (a,b), (a,d)} 6. Докажите, что никакие два из изображенных ниже графов изоморфны: , и не Ответ: хотя все графы имеют одинаковое число вершин, рёбер и равностепенных вершин, они не изоморфны ввиду несоответствия местоположения равностепенных вершин. Например, две вершины степени два в одном случае смежные в других несмежные. 7. Найдите остовное дерево наименьшей цены (ОДНЦ) графов G и H: 3 2 7 e 1 e 2 2 1 5 5 e2 6 f e5 f 7e 3 e e e 2 e e f e e f f 1 e 4 e f 3 6 f b3 f b f 3f 1 e 1 b e f f b b e f b6 b b e f 3 bbe b 4b 7 e ef e e f b b b b f b f e 5bbf G2b eb4 e f b fb f b 4 b e 3H f b b b b b b b b f eb b 3 b b f eb b eeb f e f b e beb b bb b b b b b b f b b f b Ответ: fОДНЦ вершинами: 2,1, 7, 6, 3, 4, f b b ffb для G - дерево, образованное bfbb b b b b b b b b b b 12, 5. Рёбра: 67, 71, b bb63, 64, 45. bbb bb b bb bb b b b b b b b b b b – дерево, ОДНЦ bдля bH образованное 51, b рёбрами: b 54, 43, 32 6. Список рекомендуемой литературы Основная 1. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов. - 3-е изд. СПб. : Питер, 2009 (81014). - 383 с. - (Учеб. для вузов). - Библиогр.: с. 368-369 (31назв.). - ISBN 978-5-91180-759-7 : 380-00. 2. Вороненко, А.А. Дискретная математика. Задачи и упражнения с решениями : учебнометодическое пособие / А. А. Вороненко. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. 104 с. - http://znanium.com/bookread2.php?book=424101 Дополнительная 3. Алексеев, В.Б. Лекции по дискретной математике : учебное пособие / В. Б. Алексеев. М.:НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 90 с. http://znanium.com/bookread2.php?book=371452 4. Просветов, Г.И. Дискретная математика: задачи и решения [Текст] учеб.-практ. пособие / Г. И. Просветов. -2-е изд., доп. -М. : Альфа-Пресс, 2013 (111414). -239 с. -Библиогр.: с. 233-234 (36 назв.). -ISBN 978-594280-419-0.