БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»
Соискатель кафедры
дифференциальных уравнений и
системного анализа Малышева Ольга
Николаевна
Руководители:
профессор Черкас Леонид Антонович
ст. преподаватель Кожич Павел
Павлович
Минск – 2011 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ ...............................................................................................2
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ КО ВСЕЙ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ .............4
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРИКЛАДНОГО ПАКЕТА
«MATHEMATICA» ........................................................................................5
ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................6
ГЛАВА 1 ПРИКЛАДНОЙ ПАКЕТ MATHEMATICA .............................10
ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ..........................13
ГЛАВА 3 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В
MATHEMATICA ..........................................................................................16
3.1 Символьное (аналитическое) решение дифференциальных
уравнений ..................................................................................................16
3.2 Численное решение дифференциальных уравнений ......................18
3.3 Визуализация функций ......................................................................20
3.4 Визуализация данных.........................................................................22
3.5 Интерактивная визуализация ............................................................23
ГЛАВА 4 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ .........................................................25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................26
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К РЕФЕРАТУ ..................................................27
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К РЕФЕРАТУ .........................................28
ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ
ИССЛЕДОВАНИЯ .......................................................................................30
ДЕЙСТВУЮЩИЙ ЛИЧНЫЙ САЙТ В WWW ........................................33
ГРАФ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ ...............................................................34
ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ ПО ОСНОВАМ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ ............................................................................................38
ПРЕЗЕНТАЦИЯ КАНДИДАТСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ ..........................39
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ ............................40
2
ПРИЛОЖЕНИЕ А ........................................................................................ 41
ПРИЛОЖЕНИЕ Б ........................................................................................ 42
ПРИЛОЖЕНИЕ В ........................................................................................ 43
ПРИЛОЖЕНИЕ Г ........................................................................................ 44
ПРИЛОЖЕНИЕ Д ........................................................................................ 45
ПРИЛОЖЕНИЕ Е ........................................................................................ 46
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж ....................................................................................... 47
ПРИЛОЖЕНИЕ И ........................................................................................ 48
ПРИЛОЖЕНИЕ К ........................................................................................ 49
ПРИЛОЖЕНИЕ Л ........................................................................................ 50
3
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ КО ВСЕЙ ВЫПУСКНОЙ
РАБОТЕ
ОДУ — обыкновенное(-ые) дифференциальное(-ые) уравнение(ия).
ИТ — информационные технологии.
СЛНДУ
—
система(-мы)
линейных
дифференциальных уравнений.
4
неоднородных
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРИКЛАДНОГО ПАКЕТА «MATHEMATICA»
5
ВВЕДЕНИЕ
Длительная эволюция применения компьютеров для численных
расчетов привела к развитию методов компьютерного моделирования и
вычислительного эксперимента. Активное использование компьютеров
для
проведения
символьных
и
графических
вычислений,
освобождающее исследователя от проведения рутинных, но
трудоемких и чреватых ошибками преобразований, существенно
сократило время реализации научных и технических проектов.
В контекст рассмотренных изменений органично вписывается
программный продукт Mathematica американской компании Wolfram
Research, Inc (WRI), впервые появившийся в 1988 году. Несмотря на
само название системы, использование Mathematica распространяется
далеко за границы традиционной математики и математических наук. В
действительности только пятую часть ее пользователей составляют
математики (как теоретики, так и практики). Фундаментальная
подвижность Mathematica позволяет применять ее в невероятно
широком диапазоне. Можно провести аналогию с текстовым
редактором, который одинаково хорош для написания деловых
документов, диссертаций и беллитристики.
Программа, созданная для профессионалов, с течением времени
преобразилась настолько, что теперь ее могут использовать люди
самых разных профессий и возрастов. Mathematica представляет собой
мощнейшее средство, и более чем миллионную армию ее
пользователей сегодня составляют исследователи, финансовые
аналитики, юристы, преподаватели, ученые-практики и даже
художники.
Одной из наиболее быстро растущих отраслей человеческой
деятельности является проектирование. В этой области все большее
количество профессионалов ощущают преимущества универсальной
среды для числовых и символьных вычислений, позволяющей к тому
же создавать отчеты и другие документы.
Mathematica является универсальной технической компьютерной
системой, обладающей возможностями компьютерной математики,
имеющей свой язык программирования, инструменты публикации,
разнообразные графические возможности, а также высокий уровень
интеграции между всеми этими компанентами.
6
Непосредственно нас интересуют возможности данного
прикладного пакета для решения дифференциальных уравнений и
систем в аналитическом, численном и графическом виде, то есть
предметное
использование
ИТ
для
решения
конкретных
математических задач.
Одним из основных методов познания является опыт,
эксперимент. С помощью экспериментов были установлены закон
сохранения вещества и энергии, периодическая системаэлементов Д. И.
Менделеева и т.д. Однако, не всегда бывает целесообразно проводить
эксперимент, иногда это может быть связано с очень большими,
неоправданными затратами или риском. Достаточно представить себе
картину чисто «экспериментального» изучения хода термоядерной
реакции или ядерного взрыва. Можно привести много других примеров
на этот счёт из различных областей человеческой деятельности. С
развитием математики всё большую роль в самых различных областях
науки и техники стал играть метод математического моделирования.
Математическая идеализация описывает основные законы,
управляющие явлением в математической форме. Очень часто эти
законы выражаются в виде дифференциальных уравнений. Исследуя
эти уравнения вместе с дополнительными ограничениями, которые, как
правило, задаются в виде начальных и граничных условий, учёный
получает сведения о происходящем явлении, а иногда может узнать,
что происходило в прошлом или будет происходить в будущем.
Математические методы позволяют не только получить
качественные характеристики физических явлений и рассчитать с
заданной степенью точности ход реального процесса, но и дают
возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда и
предсказать
новые физические эффекты. Для составления
математической модели в виде дифференциальных уравнений, как
правило, нужно знать только локальные связи, и не нужна информация
обо всем явлении в целом. Такими оказываются различные явления
механики сплошной среды, химические реакций, электрические и
магнитные явления, процессы в экономике и др., хотя бывают и более
сложные случаи.
Следует отметить, что именно на основе анализа
дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные
волны, а в 1846 году в результате такого же анализа французский
астроном Урбен Леверье (1811–1877) открыл планету Нептун.
7
Изучение математических моделей конкретных физических задач
привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа –
уравнений математической физики, которую можно рассматривать как
науку о математических моделях физических явлений. Основы этой
науки были заложены трудами Даламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых.
Разработанные ими при исследовании конкретных задач идеи и методы
оказались
применимыми
к
изучению
широких
классов
дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века
основой
для
развития
общей
теории.
Таким
образом,
дифференциальные уравнения родились из приложений. В то же время,
они не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач.
Неудивительно поэтому, что эта дисциплина является одним из самых
больших разделов современной математики.
Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в
принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный)
момент времени определить ее состояние в любой последующий
момент. Такие модели описывают
динамические системы. Они
связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные
приложения.
Ввиду вышесказанного ясно, что решение дифференциальных
уравнений подразумевает конкретный результат, нужный и пригодный
для применения в действительности, на практике, в повседневной
жизни. Здесь, конечно же, имеют существенное значение не только
качественные, но и количественные характеристики исследуемого
объекта или процесса, поэтому связь теории дифференциальных
уравнений с вычислительными методами в практической деятельности
неразрывна.
В связи с этим возникает задача — с наименьшими затратами
времени и ресурсов получить интересующие исследователя данные, —
числовые, аналитические, графические. Известно, что не всякое
дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, а если и
имеет, то найти его бывает чрезвычайно трудно. Часто удаётся
вычислить лишь некоторые значения определённых параметров при
заданных начальных или граничных условиях, которые в свою очередь
используются для других вычислений или решения исходной задачи.
8
Всё это влечёт за собой насущную потребность и необходимость в
использовании ЭВМ и специального программного обеспечения.
Благодаря быстрому развитию вычислительной техники и прикладных
информационных технологий, не прибегая к существенным затратам на
реализацию эксперимента и в значительной мере облегчая
исследование при применении известных программных продуктов,
решается широкий класс задач.
9
ГЛАВА 1
ПРИКЛАДНОЙ ПАКЕТ MATHEMATICA
В настоящее время среди многочисленных прикладных
математических пакетов следует выделить систему компьютерной
алгебры Mathematica [4,5] как один из лучших. Сайт компании
разработчика Wolfram Research (Рис. 1) расположен по адресу
http://library.wolfram.com/infocenter/Books/. На сайте в 12-ти разделах
представлено 874 книги по применению пакета Mathematica. Из них 70
книг относится к разделу «Прикладная математика» и 322 книги к
разделу «Математика».
Рис. 1 – Cайт компании разработчика Wolfram Research
Раздел «Математика» состоит из 8-ми разделов (Рис. 2):
1. Алгебра — 36 книг;
2. Исчисления и анализ — 161 книга;
3. Дискретная математика — 26 книг;
4. Основания математики — 6 книг;
5. Геометрия — 36 книг;
6. Теория чисел — 7 книг;
7. Теория вероятности и статистика — 21 книга;
8. Занимательная математика — 6 книг.
10
Подраздел «Дифференциальные уравнения» (Рис. 3) находится в
подразделе «Исчисления и анализ» раздела «Математика» и содержит
46 книг.
Рис. 2 - Раздел Mathematics
11
Рис. 3 - Подраздел Differential Equations
Свободно скачать прикладной пакет Mathematica можно по
адресу можно по адресу http://www.wolfram.com/webresources.html.
12
ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Одним из основных методов познания является опыт,
эксперимент. С помощью экспериментов были установлены закон
сохранения вещества и энергии, периодическая система элементов Д.
И. Менделеева и т.д. Однако, не всегда бывает целесообразно
проводить эксперимент, иногда это может быть связано с очень
большими, неоправданными затратами или риском. Достаточно
представить себе картину чисто «экспериментального» изучения хода
термоядерной реакции или ядерного взрыва. Можно привести много
других примеров на этот счёт из различных областей человеческой
деятельности. С развитием математики всё большую роль в самых
различных областях науки и техники стал играть метод
математического моделирования.
Математическая идеализация описывает основные законы,
управляющие явлением в математической форме. Очень часто эти
законы выражаются в виде дифференциальных уравнений. Исследуя
эти уравнения вместе с дополнительными ограничениями, которые, как
правило, задаются в виде начальных и граничных условий, учёный
получает сведения о происходящем явлении, а иногда может узнать,
что происходило в прошлом или будет происходить в будущем.
Математические методы позволяют не только получить
качественные характеристики физических явлений и рассчитать с
заданной степенью точности ход реального процесса, но и дают
возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда и
предсказать
новые физические эффекты. Для составления
математической модели в виде дифференциальных уравнений, как
правило, нужно знать только локальные связи, и не нужна информация
обо всем явлении в целом. Такими оказываются различные явления
механики сплошной среды, химические реакций, электрические и
магнитные явления, процессы в экономике и др., хотя бывают и более
сложные случаи.
Следует отметить, что именно на основе анализа
дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные
волны, а в 1846 году в результате такого же анализа французский
астроном Урбен Леверье (1811–1877) открыл планету Нептун.
13
Изучение математических моделей конкретных физических задач
привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа –
уравнений математической физики, которую можно рассматривать как
науку о математических моделях физических явлений. Основы этой
науки были заложены трудами Даламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых.
Разработанные ими при исследовании конкретных задач идеи и методы
оказались
применимыми
к
изучению
широких
классов
дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века
основой
для
развития
общей
теории.
Таким
образом,
дифференциальные уравнения родились из приложений. В то же время,
они не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач.
Неудивительно поэтому, что эта дисциплина является одним из самых
больших разделов современной математики.
Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в
принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный)
момент времени определить ее состояние в любой последующий
момент. Такие модели описывают
динамические системы. Они
связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные
приложения.
Ввиду вышесказанного ясно, что решение дифференциальных
уравнений подразумевает конкретный результат, нужный и пригодный
для применения в действительности, на практике, в повседневной
жизни. Здесь, конечно же, имеют существенное значение не только
качественные, но и количественные характеристики исследуемого
объекта или процесса, поэтому связь теории дифференциальных
уравнений с вычислительными методами в практической деятельности
неразрывна.
В связи с этим возникает задача — с наименьшими затратами
времени и ресурсов получить интересующие исследователя данные, —
числовые, аналитические, графические. Известно, что не всякое
дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, а если и
имеет, то найти его бывает чрезвычайно трудно. Часто удаётся
вычислить лишь некоторые значения определённых параметров при
заданных начальных или граничных условиях, которые в свою очередь
используются для других вычислений или решения исходной задачи.
14
Всё это влечёт за собой насущную потребность и необходимость в
использовании ЭВМ и специального программного обеспечения.
Благодаря быстрому развитию вычислительной техники и прикладных
информационных технологий, не прибегая к существенным затратам на
реализацию эксперимента и в значительной мере облегчая
исследование при применении известных программных продуктов,
решается широкий класс задач.
Прикладной пакет Mathematica позволяет находить решение
дифференциального уравнения или системы как в символьном, так и в
численном виде. Кроме того есть возможность визуализации
полученных результатов. Естественным образом, любая поставленная
математическая задача предварительно исследуется классическими
методами теории познания, такими как анализ и синтез, индукция и
дедукция, а затем происходит ее формализация и алгоритмическая
реализация. Наличие языка программирования в прикладном пакете
Mathematica позволяет составлять программы для широкого класса
задач, в которых исходные данные можно свободно варьировать и
проводить крупномасштабные эксперименты, подтверждая или
опровергая выдвинутые гипотезы. Это также дает возможность
исследовать реальные физические процессы с целью их
прогнозирования.
15
ГЛАВА 3
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В
MATHEMATICA
3.1 Символьное (аналитическое) решение дифференциальных
уравнений
Для символьного (аналитического) решения дифференциальных
уравнений используется функция DSolve[][1, с. 320-329]. Результат её
выполнения представляет собой список, где неизвестной функции
ставится в соответствие её аналитическое представление.
Все
возможности
DSolve[]
представлены
в
Меню
Help>Documentation Center>tutorial/DSolveOverview (Рис. 4).
Рис. 4 - Возможности DSolve[]
Синтаксис:
DSolve[egn,y[t],t] — решает дифференциальное уравнение egn
относительно неизвестной функции y[t] от независимой переменной t.
DSolve[{egn1,egn2,…},{y1[t],y2[t],…},t] — решает систему
дифференциальных
уравнений
{egn1,egn2,…}
относительно
неизвестных функций {y1[t],y2[t],…} с независимой переменной t.
16
DSolve[egn,y,{x1,x2,..}] — решает дифференциальное уравнение
egn с частными производными относительно функции y от многих
независимых переменных {x1,x2,..}.
Функция DSolve[] работает со следующими
видами
дифференциальных уравнений [2, с. 110-176]:
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с одной
независимой переменной и их системы.
В этом случае результат DSolve[egn,y[t],t] — аналитическое
представление y[t], — может применяться в дальнейшем только для
объекта y[t]:
In[1]: DSolve[y´[x]+y[x]==1,y[x],x]
Out[1]: {{y[x]→1+e-xC[1]}}
Предыдущий результат «не работает» для y[0] или y´[x]:
In[2]: y[x]+2y´[x]+y[0]/.%
Out[2]: {1+ e-xC[1]+y[0]+2y´[x]}.
Чтобы найденным решением можно было манипулировать,
оператор DSolve[] применяется с другим синтаксисом.
DSolve[eqn,y,t] — решение для y находится как «чистая» (pure)
функция от независимой переменной x. Это решение можно применять
в расчётах, подвергать преобразованиям:
In[3]; DSolve[y´[x]+y[x]==1,y,x]
Out[3]: {{y→Function[{x},1+e-xC[1]]}}
Теперь вычисления выполняются полностью:
In[4]: y[x]+2y´[x]+y[0]/.%
Out[4]: {2+C[1]-e-xC[1]}.
Можно возвести найденную функцию в квадрат и взять
производную:
In[5]: Simplify[y´´[x]+y[x]2/.%]
Out[5]: {1+3e-xC[1]+e-2xC[1]2}
Проверим найденное решение Out[3]:
In[6]: y´[x]+y[x]==1/.Out[3]
Out[6]: {True}.
В приведённых примерах ищется общее решение уравнения и
выражение C[1] символизирует произвольный параметр, варьируя
который получаются все частные решения уравнения. Если же
изначально требуется найти какое-то частное решение, то к исходному
уравнению присоединяются соответствующие начальные (граничные)
17
условия. Можно решать уравнения не только первого, но и более
высокого порядка.
In[11]: DSolve[y´´´´[x]==y[x],y[x],x]
Out[11]: {{y[x]→exC[1]+e-xC[3]+C[2]Cos[x]+C[4]Sin[x]}}
Заданные
начальные
условия,
сокращают
количество
произвольных постоянных.
Функция DSolve позволяет решать 11 типов ОДУ 1-го порядка, 7
типов линейных и 5 типов нелинейных ОДУ 2-го порядка, ОДУ
высших порядков, линейные и нелинейные системы ОДУ, в том числе:
уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения,
линейные уравнения 1-го порядка, уравнения Бернулли, уравнения
Риккати, уравнения Клеро, линейные уравнения с постоянными
коэффициентами,
уравнения
в
полных
дифференциалах,
гипергеометрические уравнения, уравнения Лежандра, уравнения
Бесселя, уравнения Абеля, уравнения Чини, уравнения Матьё.
Скриншот решений экспоненциального уравнения и граничной
задачи с графиком см. ПРИЛОЖЕНИЕ А на стр. 42.
Системы ОДУ.
Системы ОДУ, матрица коэффициентов которых имеет вещественные и
различные корни.
Системы ОДУ, матрица коэффициентов которых имеет комплексносопряжённые корни.
Однородные системы линейных уравнений любого порядка.
Системы ОДУ с непостоянными коэффициентами, вообще
говоря, могут быть решены лишь в случаях, когда матрица
коэффициентов имеет простую структуру. Что касается неоднородных
систем, то DSolve реализует алгоритмы, где применяется как метод
вариации произвольных постоянных, так и метод неопределённых
коэффициентов. Что касается нелинейных систем ОДУ, то даже для
достаточно простых систем решение может представлять сложные
выражения от независимой переменной.
Скриншот решения неоднородной системы линейных уравнений
с постоянными коэффициентами см. ПРИЛОЖЕНИЕ Б на стр. 43.
Скриншот решения линейной и нелинейной систем уравнений см.
ПРИЛОЖЕНИЕ В на стр. 44.
На практике, однако, решение часто существует лишь в неявной
форме и поэтому может содержать объекты InverseFunction или Solve.
3.2 Численное решение дифференциальных уравнений
18
Для численного решения дифференциальных уравнений пакет
Mathematica предоставляет функцию NDSolve[].
Синтаксис:
NDSolve[eqns,y,{x,xmin,xmax}] — находит численное решение
обыкновенных дифференциальных уравнений eqn относительно
функции y от независимой переменной x в диапазоне от xmin до xmax.
NDSolve[eqns,y,{x,xmin,xmax},{t,tmin,tmax}] — находит численное
решение уравнений в частных производных eqns относительно
функции y в диапазоне по x: xmin…xmax и по t: tmin…tmax.
NDSolve[eqns,{y1,y2,…},{x,xmin,xmax}] — находит численное
решение системы уравнений eqns для функций {y1,y2,…} от одной
независимой переменной x в диапазоне от xmin до xmax.
Функция
возвращает
результат
в
виде
объекта
InterpolatingFunction[domain,table], который представляет собой
аппроксимирующую
функцию,
полученную
при
помощи
интерполирования. Легко справляется со следующими видами
уравнений:
ОДУ 1-го порядка;
нелинейные ОДУ 2-го порядка;
системы ОДУ;
уравнения в частных производных;
Для того, чтобы получить численное значение в любой точке диапазона
интерполирования достаточно указать значение независимой
переменной:
In[1]: s=NDSolve[{y´[x]==y[x] Cos[x+y[x]],y[0]==1},y,{x,0,30}]
Out[1]: {{y→InterpolatingFunction[(0.30.),<>]}}
In[2]: y[19]/.Flatten[%][[1]]
Out[2]: 0.0984724
У функции NDSolve[] есть 13 дополнительных опций:
1. AccuracyGoal — вычисление конечного результата вплоть до
заданного количества цифр после запятой.
2. DependentVariables — определяет список всех объектов,
которые
считаются
зависимыми
переменными
в
соответствующем(-их) уравнении(-ях).
3. EvaluationMonitor — задёт выражение, которое должно быть
инициализировано (вычислено), как только функции из
входных данных получают численное значение.
4. InterpolationOrder — определяет порядок интерполирования.
19
5. MaxStepFraction — задаёт максимальное разбиение одного
шага интерполирования при вычислениях.
6. MaxSteps
—
максимальное
количество
шагов
интерполирования.
7. MaxStepSize — максимальное значение одного шага
интерполирования.
8. Method — определяет вычислительный алгоритм.
9. NormFunction — задаёт норму по которой производится
оценка погрешности.
10.PrecisionGoal — вычисления конечного результата вплоть до
заданного общего количества значащих цифр.
11.StartingStepSize — начальный шаг интерполирования.
12.StepMonitor — задаёт выражение, которое вычисляется на
каждом шаге вычислительного алгоритма.
13.WorkingPrecision — общее количество значащих цифр,
которое будет использоваться для внутренних вычислений.
Скриншот решения ОДУ 2-го порядка с графиком фазовой
кривой см. ПРИЛОЖЕНИЕ Г на стр. 45.
Скриншот решения системы уравнений и его покомпонентное
графическое
представление
в
одной
системе
координат
см.ПРИЛОЖЕНИЕ Д на стр. 46.
3.3 Визуализация функций
Графические возможности [3] прикладного пакета Mathematica
включают в себя как 2D, так и 3D графику.
Plot[f,{x,xmin,xmax}] — рисует график функции f от независимой
переменной x, где x меняется от xmin до xmax .
Plot[f,{x,x0,x1,...,xk}] — рисует график функции f от переменной
x для последовательности сегментов, определяемых точками
{x,x0,x1,...,xk}. Позволяет исключить точки сингулярности (если они
известны) функции в заданном диапазоне значений x от x0 до xk.
Plot[{f1,f2,…},{x,x0,x1,...,xk}] —
рисует графики
функций
{f1,f2,…} от переменной x меняется от xmin до xmax в одной системе
координат в диапазоне от xmin до xmax. Каждая кривая в данном случае
будет автоматически нарисована уникальным в пределах графика
цветом.
Функция Plot[] имеет более 20 дополнительных опций, которые
могут удовлетворить большинство пользовательских запросов, которые
20
только можно себе представить. Все эти опции и примеры их
применения достаточно подробно описаны в Documentation Center
версии Mathematica.
Ближайшим родственником функции Plot[] является её
«трёхмерный аналог» Plot3D[].
Plot[f,{x,xmin,xmax},{ y,ymin,ymax }] генерирует 3-х мерное
изображение функции f, как функции 2-х переменных x и y, другими
словами — определённую поверхность.
Plot3D[{f1,f2,..},{x,xmin,xmax},{ y,ymin,ymax }] генерирует 3-х мерное
изображение набора функций {f1,f2,..}, как функций 2-х переменных x и
y в одной системе координат (определённое множество поверхностей).
СontourPlot[f,{x,xmin,xmax},{ y,ymin,ymax }] генерирует линии
уровня1 для функции f, как функции 2-х переменных x и y. По
умолчанию, область между двумя соседними линиями закрашена
определённым оттенком заданного цвета. Более светлому оттенку
соответствует большее значение. С помощью дополнительных опций
можно изменить как цветовую палитру, так и количество
равноотстоящих линий уровня или задать набор линий численно.
ContourPlot[f==g,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] — рисует множество
линий уровня, заданных равенством f==g. В этом случае отсутствует
тональное заполнение цветом. Результат представляет собой только
линии.
ContourPlot[{f1==g1,f2==g2,…},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax]
—
изображает множество линий уровня для набора различных функций
{f1= =g1, f2= =g2, …} в заданном диапазоне изменения независимых
переменных: {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}. Здесь, как обычно, линии для
каждой функции имеют свой, отличный от остальных цвет. Тональное
заполнение цветом отсутствует.
ContourPlot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}
—
генерирует 3-х мерное изображение «уровней» функции f от трёх
независимых переменных {x,y,z}, то есть множество определённых
поверхностей, в заданном диапазоне изменения переменных:
{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}, {z,zmin,zmax}.
ContourPlot3D[ f==g,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}] —
генерирует 3-х мерное изображение «поверхности уровня» функции f
от трёх независимых переменных {x,y,z}, для которой выполняется
1
Множество точек, на которых функция принимает постоянное значение.
21
f==g, в заданном диапазоне изменения независимых переменных:
{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}, {z,zmin,zmax}.
DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
—
изображает
распределение значений функции f по величине в виде непрерывно
меняющихся полутонов заданной цветовой палитры на плоскости.
Линии отсутствуют.
Также имеются средства для изображения параметрически
заданных кривых и поверхностей.
ParametricPlot[{fx,fy},{u,umin,umax}] — рисует кривую с
координатами x=fx, y=fy, где {fx,fy} суть функции от параметра u,
который меняется в диапазоне от umin до umax.
ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},…},{u,umin,umax}] —отличается от
предыдущего случая тем, что изображает несколько параметрически
заданных кривых {{fx,fy},{gx,gy},…} в одной системе координат.
ParametricPlot[{fx,fy},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax}] — изображает
параметрически заданную область на плоскости.
ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},…},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax}]
—
изображает
несколько
параметрически
заданных
областей
{{fx,fy},{gx,gy},…} на плоскости в одной системе координат. Каждая
область закрашена уникальным оттенком определённой цветовой
палитры.
Аналогично предыдущему, функции вида ParametricPlot3D[]
изображают параметрически заданные кривые и поверхности в 3-х
мерном пространстве.
При решении дифференциальных уравнений очень удобно
пользоваться возможностями Vector Field Plotting Package.
VectorFieldPlot[{fx,fy},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] — изображает
поле векторов {fx,fy}, где каждая координата — это скалярная функция
переменной x и y соответственно, область изменения которых
{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax} — задана.
VectorFieldPlot[{fx,fy},{x,xmin,xmax,dx},{y,ymin,ymax,dy}]
—
дополнительно задаётся шаг изменения dx и dy переменных x и y
соответственно.
VectorFieldPlot3D[{fx,fy,fz},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]
— изображает поле векторов {fx,fy,fz} в 3-х мерном пространстве.
Аналогично предыдущему, можно задать шаг изменения независимых
переменных.
3.4 Визуализация данных
22
ListPlot[{y1,y2,…}] — изображает значения из списка чисел
{y1,y2,…} для которых координата x принимает значения 1, 2, 3, и т. д.
соответственно.
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}] — изображает множество заданных
точек {{x1,y1},{x2,y2},…} на плоскости.
ListPlot[{list1,list2,…}] — изображает несколько различных
множеств заданных точек на плоскости в одной системе координат.
Соответственно функции семейства ListPlot3D[] делают это же в
3-х мерном пространстве. Для построения непрерывных линий по
заданному множеству точек применяется функция ListLinePlot[] в
нескольких модификациях. У неё такой же синтаксис, как и у ListPlot[].
Линия, соединяющая заданные точки строится с помощью
интерполирования, порядок которого можно установить с помощью
опции InterpolationOrder→ n, где n и есть нужное значение. По
умолчанию используется линейная интерполяция (n=1). Ещё раз
хочется подчеркнуть, что для каждой функции визуализации
доступно большое количество дополнительных опций для
спецификации конечного результата. Полностью насладиться красотой
предлагаемых возможностей можно, конечно, только в цветном
изображении.
Применение функции ContourPlot[] см. ПРИЛОЖЕНИЕ Е на стр.
47.
Применение функции VectorFieldPlot[] см. ПРИЛОЖЕНИЕ Ж и
ПРИЛОЖЕНИЕ И на стр. 48-49.
3.5 Интерактивная визуализация
Ещё одним средством визуализации является функция
Manipulate[]. Она даёт возможность интерактивного взаимодействия
пользователя с системой посредством манипуляции заданными
параметрами.
Синтаксис:
Manipulate[expr,{u,umin,umax}] — возвращает выражение expr с
элементом управления, позволяющим менять значение параметра u в
диапазоне значений от umin до umax.
Manipulate[expr,{u,…},{v,…},…] — то же, что и в предыдущем
случае, но с элементами управления для каждого из параметров
{u,…},{v,…},… .
23
Позволяет задавать как сам вид и метку элементов управления,
так и начальное значение параметров, шаг дискретизации, список
дискретных значений и другие нужные свойства. Изменение заданного
параметра влечёт одновременное изменение значения выражения expr,
будь то численное значение, формула или график. Таким образом, не
производя дополнительных вычислений, можно подобрать значение
искомых величин просто наблюдая, как меняется выражение expr при
изменении искомого параметра. Особенно это удобно в отношении
графического представления данных или функций.
Применение функции Manipulate[] см. ПРИЛОЖЕНИЕ К на стр.
50.
24
ГЛАВА 4
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Результаты
проведённого исследования
показывают, что
средства, предоставляемые пакетом символьной алгебры Mathematica,
дают возможность для решения большинства задач в том случае, когда
решения существуют. Это может быть решение в общем виде или
численное. Богатейшие графические возможности делают решения в
высшей степени наглядными, что является несомненным плюсом.
Достигается существенная экономия времени как при решении задачи,
так и при исследовании возможностей и вариантов ее решения.
Удобство и простота интерфейса делают работу
с
пакетом
Mathematica не монотонной рутиной, а увлекательным творческим
процессом.
25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сегодня, в эпоху высокого развития ИТ, когда методы
математического моделирования находят широчайшее применение
практически во всех областях научного исследования, применение и
развитие информационных технологий для обработки и анализа
научных данных играет всё более важную роль при получении
конечного результата. Значительная экономия времени и материальных
ресурсов при таких исследованиях делает их результаты
своевременными. Однако, любая технология сделана, «придумана»
человеком и поэтому может делать лишь то, чему «научил» ее
создатель. Не умаляя никоим образом эффективность, а порой просто
фантастические возможности и скорость вычислений, которые
демонстрируют современные ИТ, следует отметить, что для их
эффективного развития нужны как новые задачи-вызовы, так и
творческие возможности человеческой личности, которая, в конечном
счете, и создаёт эти технологии при и для решения конкретных задач,
которые ставит пред нами жизнь. Проводя кулинарную аналогию
можно сказать, что скушать вкусный суп может с удовольствием
каждый, а вот приготовить его таким сможет только хороший повар.
Поэтому роль образования, направленного на выработку умения и
навыков решения ещё нерешённых задач невозможно переоценить. Чем
больше будет таких «поваров», тем меньше вероятность для общества
быть «голодным».
26
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К РЕФЕРАТУ
1. Дьяконов, В. Mathematica 4: учебный курс / В. Дьяконов.– СПб:
Питер, 2001. – 656 с.
2. Прокопеня, А.Н. Применение системы Mathematica к решению
обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие /
А.Н. Прокопеня, А.В. Чичурин. – Мн.: БГУ, 1999. – 265 с.
3. Stephen
Lynch.
Dynamical
Systems
with
Applications
using Mathematica [Electronic resource] – 30.03.2011. – Mode of
access:
http://www.paid4share.net/file/9228/97808176448260817644822-rar.html
4. Wolfram Library Archive [Electronic resource]. – 2011. - Mode of
access: http://library.wolfram.com/infocenter/BySubject/Mathematics
5. Wolfram Mathematica 6.0.1.0. ©Copyright 1988-2007 Wolfram
Research. Documentation Center.
27
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К РЕФЕРАТУ
дифференциальных
уравнений, 8, 14
аналитическое, 16
символьное, 16
численное, 19
исходной задачи, 8, 14
общее, 17
системы уравнений, 20
частное, 17
численное, 19, 49
системы уравнений:, 19, 51
M
Mathematica, 10
N
NDSolve, 19, 47
В
визуализация, 25, 48, 49, 50, 51
данных, 24
интерактивная, 25
функций, 21
С
Г
система, 8, 14, 25
динамическая, 8, 14
дифференциальных
уравнений, 16, 17
координат, 20, 21, 50
линейных уравнений, 18, 45
неоднородная, 18
с постоянными
коэффициентами, 18, 44
однородная, 18
нелинейных уравнений, 18, 45
ОДУ, 18, 19
нелинейная, 18
с непостоянными
коэффициентами, 18
простая, 18
уравнений, 19, 20, 51
неоднородная, 18
элементов, 7
элементов, 13
график, 18, 21
интерактивный, 51
поля направлений, 49
решения, 43, 47
фазовой кривой, 20
функции, 21
графика, 21
М
математическая
идеализация, 7, 13
модель, 7, 13
теория, 8, 14
физика, 8, 14
форма, 7, 13
математическое
моделирование, 7, 13
Р
решение, 17, 18, 20
аналитическое, 8, 14
28
У
обыкновенное, 4, 17, 19
линейное, 18
экспоненциального типа, 18
экспоненциальное, 43
уравнения
математической физики, 8, 14
уравнение, 17, 19
Абеля, 48
в частных производных, 19
вид, 19
дифференциальное, 7, 8, 10,
13, 14, 16, 19
29
ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
http://www.eknigu.com/lib/M_Mathematics/ —русскоязычный сайт.
Книги
представлены
в
виде
списка.
Похожа
на
http://lib.org.by/_djvu/M_Mathematics/ с переработанным интерфейсом.
Достоинства:
очень большой выбор литературы;
большая часть литературы на русском языке;
разбит на тематические подкаталоги;
возможность предпросмотра фрагмента текста перед закачкой во время
ожидания;
перед каждым названием иконка, соответственно формату файла;
указан год издания, количество страниц, качество текста (*.dpi), размер
файла, язык (не везде);
ни разу не возникли проблемы с закачкой;
Недостатки:
все названия набраны латиницей (ссылка на файл), читать не очень
иногда удобно;
вынужденное ожидание перед закачкой (15 сек.);
отсутствие каких-либо предварительных сведений о содержании книги;
книги расположены не в алфавитном порядке ни по названию, ни по
автору.
нет раздела диссертаций.
http://lib.org.by/_djvu/M_Mathematics/ — Белорусская Научная
Библиотека. Литература в каждом разделе представлена в виде списка.
Главное достоинство — просто огромное количество литературы по
любым разделам.
Достоинства:
очень большой выбор литературы;
большая часть литературы на русском языке;
разбит на тематические подкаталоги;
указан год издания, количество страниц, формат, размер файла, язык;
Недостатки:
все названия набраны латиницей (ссылка на файл);
под названием (ссылкой) транслит в кириллицу, в результате чего
очень часто получается неудобочитаемо;
30
вынужденное ожидание перед закачкой (28 сек.);
отсутствие каких-либо предварительных сведений о содержании книги;
книги расположены не в алфавитном порядке ни по названию, ни по
автору;
в дневное время наблюдалась недоступность запрашиваемого файла;
нет раздела диссертаций.
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — очень полезный сайт.
Есть раздел диссертаций, но не отличается большим количеством
работ. Содержит всю «классику». Удобный русскоязычный интерфейс.
Литература представлена в виде тематических разделов, книги
списком. Кроме литературы на сайте есть масса полезной справочной
информации по дифференциальным уравнениям и просто огромное
количество ссылок. К сожалению сегодня некоторые из них уже не
работают. В разделе «Характерные особенности» сайт заявлен так:
«Основная цель создания веб-сайта EqWorld — помочь максимально
широкому кругу научных работников, преподавателей вузов,
инженеров, аспирантов и студентов лучше ориентироваться в
многочисленных математических уравнениях (дифференциальных,
интегральных, функциональных и др.) и их решениях».
http://www.ams.org/ — сайт Американского Математического
Общества. Отличная отправная точка для поиска нужной англоязычной
литературы и ресурсов: книг, лекций, журналов и т. д.
http://www.neva.ru/journal/j/index.html — электронная версия
журнала «Дифференциальные уравнения и процессы управления».
Журнал зарегистрирован комитетом по печати Российской Федерации.
Северо-западное
региональное
управление.
Санкт-Петербург.
Регистрационный номер: П 2375 от 07 марта 1997г. ISSN: 1817-2172.
Учредители: Санкт-Петербургский Государственный Университет и
Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет. В
разделе «коллекция номеров» можно выбрать доступный номер, в
котором все отображаемые статьи доступны для чтения и скачивания.
Есть диссертации, также доступные. Удобный, понятный,
профессионально сделанный интерфейс.
http://ejde.math.txstate.edu/
—
электронный
журнал
по
дифференциальным уравнениям (EJDE). На главной странице
определена принадлежность ресурса:The EJDE is housed at the offices of
its publisher and main sponsor:Department of Mathematics Texas State
University-San Marcos 601 University Drive San Marcos, TX 78666, USA.
31
Статьи доступны в форматах DVI, PDF, а «TEX and other files» (т. е.
PostScript, например) по FTP соединению. Прежде чем получить доступ
к статье, попадаем на страничку с фотографиями и контактной
информацией авторов и первыми строками начального абзаца статьи.
Ресурс англоязычный.
http://www.hindawi.com/journals/ — сайт издательской компании
«Hindawi Publishing Corporation». Специализируется на выпуске
научной, технической и медицинской литературы. В том числе более
ста электронных журналов в 14-ти отраслях и 18 в разделе
«Математика». Журнальные статьи доступны для свободного чтения и
скачивания. Удобный, профессионально сделанный интерфейс.
http://www.euro-math-soc.eu/index.html — официальный сайт
Европейского Математического Общества. Оттуда можно выйти на
следующие ниже ресурсы.
http://www.emis.de/journals/short_index.html — обширный список
математических журналов. Так и называется «Mathematical Journals».
На тех сайтах журналов, где побывал автор реферата всё очень удобно.
Выбор выпусков осуществляется по году издания. Любую статью
можно прочитать и скачать, причём кое-где не только в PDF, но и в
других форматах (в частности PostScript).
http://www.emis.de/journals/EJQTDE/index.html — электронный
англоязычный журнал «Качественная теория дифференциальных
уравнений». Доступны публикации начиная с 1998 года. Все ссылки
работают очень быстро, файлы доступны в форматах DVI, PostScript и
PDF.
Список можно было бы и продолжить, но в этом нет необходимости
для данной работы. Хочется отметить великолепное качество PDF
файлов на англоязычных ресурсах. Это не сканированные книги, а
«натуральный» PDF. Читать их просто одно удовольствие.
32
ДЕЙСТВУЮЩИЙ ЛИЧНЫЙ САЙТ В WWW
http://malvolga.narod2.ru
33
ГРАФ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ
соискателя Малышевой О.Н.
Механико-математический факультет.
Специальность: 01.01.02 – Дифференциальные уравнения
Смежные
специальности
Основная
специальность
01.01.01
–
Математический
анализ
01.01.02
–
Дифференциальные
уравнения
Теория функций
действительного
и комплексного
переменного,
обобщенные
функции.
Линейные и
нелинейные
операторы и
специальные
классы
(дифференциальн
ые,
интегральные,
интегродифференциальн
ые, разностные и
др.) таких
операторов.
Методы
исследования
дифференциальн
ых,
интегральных,
интегродифференциальн
ых, разностных и
1. Развитие теории
обыкновенных
дифференциальны
х уравнений и
уравнений в
частных
производных,
интегральных,
интегродифференциальны
х, функциональнодифференциальны
х,
дифференциально
-операторных
уравнений и
дифференциальны
х уравнений со
случайными
параметрами.
2. Обоснование
численных
методов решения
дифференциальны
х, интегральных,
интегродифференциальны
1.
2.
3.
34
Сопутствующие
специальности
01.04.03
Радиофизика
–
1. Нелинейные
динамические
системы.
2. Электродинамика.
3. Распространение
радиоволн.
4. Статистическая
радиофизика.
5. Акустика,
включая
акустоэлектроник
у.
6. Вакуумная,
плазменная и
твердотельная
электроника.
7. Квантовая
радиофизика.
8. Радиофизика
низких
температур.
01.04.02
Теоретическая
физика
–
др. конкретных
операторных
уравнений.
01.01.03
–
Математическая
физика
1.
2.
3.
Уравнения
эллиптического
типа (Лапласа).
Уравнения
гиперболическог
о типа
(волновые).
х, функциональнодифференциальны
хи
дифференциально
-операторных
уравнений.
3. Разработка
методов
дифференциальны
х уравнений для
решения задач
механики,
математической
физики и других
прикладных наук.
2.
Уравнения
параболического
типа
(теплопроводност
и).
2.
3.
Теория
приближенных
методов и
численных
алгоритмов
решения задач
алгебры,
дифференциальн
ых и
интегральных
уравнений, задач
дискретной
математики,
экстремальных
35
Математические
методы
теоретической
физики.
Классическая
теория поля,
включая теорию
нелинейных
волновых
уравнений.
03.00.02
Биофизика
1.
01.01.07
–
Вычислительная
математика
1.
1.
–
Теоретическая и
математическая
биофизика.
Колебательные
процессы в
биологии.
Биофизика
регуляторных и
сигнальных
процессов.
Биофизические
эффекты
действия на
биологические
объекты
электрических и
магнитных
полей.
2.
задач, задач
управления,
некорректных
задач других
задач линейного,
нелинейного и
стохастического
анализа.
Численные
методы и
алгоритмы
решения
прикладных
задач,
возникающих при
математическом
моделировании
естественнонаучн
ых, научнотехнических,
социальных и
других проблем.
01.01.09
–
Дискретная
математика
и
математическая
кибернетика
1. Вариационное
исчисление,
идентификация,
наблюдение,
управление и
стабилизация
динамических
систем; методы
оптимального
управления,
наблюдения и
идентификации;
оптимизация
36
динамических
систем в
условиях
неопределенност
и, робастная
оптимизация;
конструктивные
методы решения
задач
вариационного
типа и их
приложения в
механике,
экономике и
других областях
естествознания.
37
ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ ПО ОСНОВАМ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
<question type="close" id="111">
<text> К текстовым редакторам относятся </text>
<answers type="request">
<answer id="313759" right="1"> Microsoft Word </answer>
<answer id="313760" right="0"> Power Point</answer>
<answer id="313761" right="1">LaTex </answer>
<answer id="313762" right="0">Excel </answer>
</answers>
</question>
<question type="close" id="112">
<text>Прикладной пакет Mathematica обладает
возможностями:</text>
<answers type="request">
<answer id="313759" right="1"> выполнение численных
вычислений </answer>
<answer id="313760" right="1">выполнение символьных
вычислений </answer>
<answer id="313761" right="1">построение графиков>
<answer id="313762" right="1"> создание отчетов</answer>
</answers>
</question>
38
ПРЕЗЕНТАЦИЯ КАНДИДАТСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ
Смотреть локальную копию презентации prez.pps (Microsoft
Office 2003).
39
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ
1. Воробьев, М.А. Основы информатики: Лабораторный практикум
для студентов экономического факультета / М.А. Воробьев, Н.И.
Громко, В.С. Мастяница. – Мн.: БГУ, 2004. – 78
2. Таненбаум, Э. Современные операционные системы. 2-е изд. —
СПб.: Питер, 2002.
3. Таненбаум, Э. Архитектура компьютера. 4-е изд. — СПб.: Питер,
2003.
4. Таненбаум, Э. Компьютерные сети. 4-е изд. — СПб.: Питер, 2003.
5. Access 2000: самоучитель / П.Ю.Дубнев. – М.: ДМК Пресс, 2004.
– 313 с.;
6. Excel® 2007 Bible by John Walkenbach. Published by Wiley
Publishing, Inc., Indianapolis, Indiana, 2007. ISBN-13: 978-0-47004403-2, ISBN-10: 0-470-04403-9.
7. Microsoft® Office Excel® 2007 for Dummies® by Greg Harvey, PhD.
Published by Wiley Publishing, Inc., Indianapolis, Indiana, 2007.
ISBN-13: 978-0-470-03737-9, ISBN-10: 0-470-03737-7.
40
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Символьное решение линейного ОДУ.
Экспоненциальное уравнение и граничная задача с графиком
решения.
41
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Символьное решение неоднородной линейной системы с
постоянными коэффициентами.
СЛНДУ с постоянными коэффициентами.
42
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Символьное решение системы дифференциальных уравнений.
Линейная и нелинейная системы уравнений.
43
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Численное решение ОДУ 2-го порядка.
Оду 2-го порядка. График фазовой кривой.
44
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Численное решение системы ОДУ.
Система уравнений и график решения.
45
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
Построение линий уровня.
Функция ContourPlot[]. Уравнение Абеля.
46
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж
Численное решение системы дифференциальных уравнений.
Функции VectorFieldplot[]. Система уравнений dx/dt=2x+y,
dy/dt=x+2y. Численное решение для 8-ми траекторий,
определение графиков поля направлений и найденных
траекторий.
47
ПРИЛОЖЕНИЕ И
Построение фазового портрета.
Функции VectorFieldPlot[]. Поле направлений
траекторий в одной системе координат.
48
и
восемь
ПРИЛОЖЕНИЕ К
Построение интерактивного графика.
Функция Manipulate[]. Интерактивный график
численного решения системы уравнений.
49
на
основе
ПРИЛОЖЕНИЕ Л
Выдачи презентации
50
51
