Цифровая обработка сигналов и изображений Дискретное преобразование Фурье и его свойства Ортогональность сигналов Множество непрерывных функций действительного переменного {Un(t)} = {U0(t), U1(t), …} называется ортогональным на интервале [t0; t0+T], если t 0 T c, m n, t U m (t )U n (t )dt 0, m n. 0 При c = 1 множество {Un(t)} называется ортонормированным. Для вычисления сигнала через коэффициенты разложения используется: x(t ) anU n (t ). n 0 Ортогональность сигналов Коэффициенты разложения an из указанного соотношения можно определить, если умножить обе его части на Un(t) и проинтегрировать в интервале [t0; t0+T]: t 0 T x(t )U m (t ) an n 0 t0 В силу условий ортогональности получим 1 an C t 0 T x(t )U t0 n (t )dt t 0 T U t0 n (t )U m (t )dt Теорема Парсеваля Для доказательства теоремы Парсеваля возведем обе части соотношения в квадрат: x(t ) U n (t ) a a p aqU p (t )U q (t ). 2 2 n 0 2 n p 0 q 0 Проинтегрируем обе части: 1 2 2 1 2 x(t ) an U n (t ) dt a p aq U p (t )U q (t )dt. TT TT n 0 p 0 q 0 T По условию ортогональности: 1 C 2 2 x(t ) dt an . TT T n 0 Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию x(t ) можно представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов: n 1 n 1 x(t ) a0 an cos n0t bn sin n0t где 0 (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с периодом T функции соотношением n0 . Частоты T 2 0 называют гармониками, так как они кратны основной частоте. В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида 1, cos n0t , sin n0t a0 1 x(t )dt ; TT an 2 x(t ) cos notdt; TT bn 2 x(t ) sin notdt TT Ряд Фурье Коэффициенты {a0, an, bn} можно вычислить с учетом ортогональности множества функций {cos n0t, sin n0t} на периоде T: T 2 , m n, T cos n0t cos m0tdt 0, m n; (1) cos n0t sin m0tdt 0, m, n; (2) T T 2 , m n, T sin n0t sin m0tdt 0, m n. (3) С учетом этих соотношений получаем: a0 1 x(t )dt ; T T (4) an 2 x(t ) cos n0tdt; TT (5) bn 2 x(t ) sin n0tdt. T T (6) Сумма синусов и косинусов = 3 sin(x) A + 1 sin(3x) B + 0.8 sin(5x) C + 0.4 sin(7x) D A+B A+B+C A+B+C+D Семейство преобразований Фурье 9 t t Cигнал непрерывный и апериодический Cигнал непрерывный и периодический N=8 t Отсчет N-1 Отсчет 0 Cигнал дискретный и апериодический Cигнал дискретный и периодический t Прямое и обратное непрерывное преобразование Фурье x(t) – исходная функция времени Прямое преобразование Фурье x( j ) x(t )e jt dt 0 (отображение исходной функции времени в спектральную область) 1 x ( t ) Обратное преобразование Фурье 2 (восстановление функции по её спектру) jt x ( j ) e d 0 Основная идея дискретного преобразования Фурье 1 N 1 C x (k ) X (m)W k m N m 0 N 1 X (m) C x (k )W km k 0 k 0, N 1 i 2 / N i 1 W e Обозначения: X(m) – значение сигнала в момент времени n; C x (k ) – значение спектра сигнала в точке 2πk; N – количество отсчетов; Дискретное преобразование Фурье Таким образом, если {X(m)} означает последовательность X(m) конечных действительных или комплексных чисел, где m = 0, ..., N-1, то дискретное преобразование Фурье этой последовательности определяется как 1 C x (k ) N N 1 X (m)W km , где k = 0, …, N-1, W=e-i2π/N m 0 N 1 X (m) C x (k )W km . k 0 Функции W km являются N-периодическими, т.е. Wkm=W(k+N)m=Wk(m+N). Следовательно, последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е. X ( m) X ( SN m); C x ( k ) C x ( SN k ). Основные свойства ДПФ Теорема линейности Теорема комплексной сопряженности Теорема сдвига Теорема свертки Теорема корреляции Основные свойства ДПФ Теорема линейности: ДПФ является линейным, т.е. если X (m) Cx (k ) Y ( m) C y ( k ) Z (m) aX (m) bY (m) то C z (k ) aC x (k ) bC y (k ) Теорема комплексной сопряженности: если X (m) X (0), X (1),..., X ( N 1) - такая последовательность действительных чисел, что N/2 – целое число и X (m) Cx (k ) , то Cx ( N N l ) C x ( l ), l 0, N / 2 2 2 Теорема сдвига: если Z (m) Cz (k ) то C (k ) W kh C (k ) W e i 2 / N z x и Z (m) X (m h) , h 0, N 1, Основные свойства ДПФ. Теорема свертки Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных Y (m) C y (k ) , X (m) Cx (k ) , а свертка этих чисел, при которых последовательностей определяются как 1 Z ( m) N N 1 X (h)Y (m h), m 0,1,..., N 1 h 0 то C z (k ) C x (k )C y (k ) Суть: свертка временных последовательностей эквивалентна умножению их коэффициентов ДПФ Основные свойства ДПФ. Теорема корреляции Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных Y (m) C y (k ) , а корреляция чисел, при которых X (m) Cx (k ), этих последовательностей определяются как 1 ( m ) Z N то N 1 X (h)Y (m h), m 0,1,..., N 1 h 0 C (k ) C x (k )C y (k ) Z Теорема Парсеваля Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования x(t ) dt 2 2 F{x(t )} dt , где F{*} обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной или пространственный сигнал x(t) с его представлением в частотной области X(f). В дискретном виде теорему записывают следующим образом: N 1 i 0 1 x(i ) N 2 N 1 X (k ) 2 , k 0 где X(k) представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала x(i), имеющего N отсчетов.