ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ «EXCELSIOR -2011» МАТЕМАТИКА Майкова Маргарита Семеновна, учитель математики

«EXCELSIOR -2011»
Секция МАТЕМАТИКА
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЯКОВЛЕВ Сергей,
МОУ «Кшаушская СОШ», 10 класс
Научный руководитель:
Майкова Маргарита Семеновна, учитель математики
1
Введение
На уроках математики при изучении площадей прямоугольника и квадрата, при
решении задач задумывался: Какая же связь между площадью и периметром фигур?
Как-то дома зашёл разговор с отцом о том, как - же построить дом, баню, чтобы
площадь была наибольшей, затраты минимальными. Перед собой я поставил цель:
Изучить зависимость между периметром и площадью фигур. Объектами моего
исследования явились квадрат, прямоугольник, треугольник, круг. Вначале мной были
проведены исследования только с прямоугольником. Исследуя данную тему в
библиотеке, в интернете к объектам исследования добавились такие фигуры, как
треугольник и круг.
Основная часть
Первым объектом исследования является прямоугольник.
1 сторона
1
2
4
5
10
1 сторона
1
2
3
4
2 сторона
100
50
25
20
10
Площадь
100
100
100
100
100
2 сторона
7
6
5
4
Периметр
202
104
58
50
40
Площадь
7
12
13
16
Выгодность
5
4
3
2
1
Периметр
16
16
16
16
Проигрыш
5,1
2,6
1,5
1,3
Выгодность
4
3
2
1
Получены только частные выводы, чтобы получить доказательство на частные
выводы я обратился к сети Интернет.
Экстремальные задачи – задачи на максимум и минимум – во все времена
привлекали внимание ученых. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу
возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики.
В чем причина такого интереса? Во-первых, среди задач на максимум, и
минимум много красивых задач, которые интересно и приятно решать. Но люди
занимаются ими отнюдь не только «из любви к искусству». Много экстремальных
задач, ложащихся на письменный стол ученого, приходит из практики. Максимумы и
минимумы постоянно возникают в инженерных расчетах, в архитектуре, экономике.
Кроме того, экстремальные задачи самым неожиданным образом находят применение в
науках о природе, физике, химии и биологии. Давно уже было замечено, что
окружающий мир во многом устроен по экстремальным законам. Леонард Эйлер (17071783), один из величайших математиков, говорил: «В мире не происходит ничего, в чем
бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума».
Изопериметрическая задача
«Всё моё, моё!»-говорит жадный человек, собирая свои в круг, показывая, как
много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует
решение одной из самых древних задач математики – изопериметрической задачи.
2
Судьба изопериметрической задачи удивительна. Ответ был известен почти
3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать удалось лишь в конце 19
века.
Задача Дидоны, или классическая изопериметрическая задача, формулируется
следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину,
найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его
первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от
преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов
Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье
нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным
предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько,
сколько можно окружить бычьей шкурой. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка
состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили
местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой
основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.
Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу,
стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть
кривая длины , чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией
, была наибольшей. В предположении, что
- прямая линия, решением задачи
является полуокружность длины .
Говорят, что старая крепость Карфагена действительно имела форму полукруга. Было
ли сделано так, потому что Дидона решила задачу, или по другим причинам, видимо
навсегда останется неизвестным. Однако несомненно одно: изопериметрическое
свойство круга является одним из древнейших утверждений геометрии, наряду с
теоремой Пифагора (которую знали, как известно, еще древние египтяне или теоремой
о вертикальных углах, доказанной первым ученым античного мира Фалесом.
Многие выдающие мыслители находили
различные объяснения
максимальности круга.
Замечательное доказательство изопериметрического свойства круга придумал
Якоб Штейнер.
Доказательство изопериметрического свойства круга. Рассмотрим фигуру,
которая при данной длине периметра имеет наибольшую площадь. Назовем эту фигуру
F, ее площадь обозначим через S, а периметр - через I. Докажем, что эта фигура
обладает тремя свойствами.
1.Фигура F выпукла. Это означает, что любой отрезок, соединяющий две точки
фигуры F, целиком лежит в F. Действительно, если бы F не была выпуклой, то нашелся
бы отрезок АВ с концами на границе фигуры, который целиком лежит вне F. Отразив
дугу границы фигуры F, лежащую между точками А и В, симметрично относительно
прямой АВ, получим фигур с тем же периметром, но с большей площадью,
следовательно, F не будет фигурой максимальной площади.
Назовем диаметром выпуклой фигуры любой отрезок, который делит ее
периметр пополам.
3
2. Любой диаметр фигуры F делит пополам не только ее периметр, но и
площадь. Допустим, что найдется диаметр АВ, который делит F на две фигуры
неравной площади. Возьмем ту половину, которая имеет большую площадь (ясно, что
ее площадь больше S/2), а другую половину уберем. Теперь отразим оставшуюся
половину относительно прямой АВ. Тогда получим симметричную фигуру, периметр
которой по-прежнему равен 1 (поскольку диаметр АВ делил периметр F пополам), а
площадь больше, чем S/2+S/2= S. Вновь получаем, что F не является фигурой
наибольшей площади.
3. Из любой точки границы фигуры F диаметр виден под прямым углом. Это
значит, что если АВ – диаметр, а М – любая точка на границе, то ∟АМВ=90°.
Предположим, что это не так, и ∟АМВ=90° для какой-то точки М. Диаметр делит
фигуру на две половины. Уберем ту половину, которая не содержит точки М. Согласно
свойству 2, оставшая половина будет иметь площадь S/2. Эта площадь состоит из трех
частей: площади треугольника АМВ и площадей двух сегментов, примыкающих к
сторонам АМ и ВМ.
Приклеим эти сегменты к сторонам, а сами стороны раздвинем (или, напротив,
сдвинем) так, чтобы угол АМВ стал прямым. Площади сегментов при этом не
изменятся, а площадь треугольника АМВ увеличится. В самом деле, его площадь
теперь равна АМ *ВМ/2Ю а была равна 1 АМ*ВМ*sin∟АМВ<1 АМ*ВМ. Итак, мы
получили фигуру, площадь которой больше, чем S/2. Теперь отразим ее относительно
прямой АВ и получим фигуру периметра I и площади больше, чем S, что вновь
приводит к противоречию.
Из свойств 3 немедленно следует, что F – это круг, поскольку окружность
диаметром АВ является геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден
под прямым углом. Теорема доказана.
Не правда ли, красиво? Получается, изопериметрическое свойство круга
равносильно угловому свойству окружности (из каждой точки окружности диаметр
виден под прямым углом). Каждое из этих свойств следует из другого.
О термине "геометрическое программирование"
Геометрическое программирование (ГП) - раздел математического
программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации
специальной структуры. Термин геометрическое программирование впервые ввели в
1967 году Р. Даффин, Э. Питерсон и К. Зенер в монографии "Geometric Programming Theory and Application". Русский перевод этой монографии появился в 1972 г. Авторы
объясняют появление этого названия тем, что одним из краеугольных камней
излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним
арифметическим и его обобщения. Добавим также, что первоначальной базой для ГП
послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Именно геометрия с
древнейших времен занималась, в частности, решением задач на отыскание фигур,
обладающих определенными экстремальными свойствами. Для решения таких задач
часто использовалось геометрическое неравенство Коши и его обобщения. Одной из
самых известных задач этого класса является, так называемая, задача Дидоны.
Неравенство Коши
Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из
прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь, было известно еще
математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой
древней задачей на экстремум. Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал"
Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того
4
же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.
Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой
задачи легко получить с помощью неравенства Коши, которое устанавливает, что
среднее арифметическое
неотрицательных чисел не меньше их среднего
геометрического:
Равенство достигается только при
.
Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь
мы приведем доказательство этого неравенства только при
:
Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано
для решения оптимизационных геометрических задач.
Пример 1(задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон
прямоугольника с периметром
, имеющего наибольшую площадь.
Обозначим длины сторон прямоугольника через
и
, а его площадь - через
.
Тогда математическая модель задачи примет вид:
при ограничениях:
Воспользуемся неравенством Коши при
:
(1)
Поскольку
, то из (1) следует:
(2)
Неравенство (2) обращается в равенство при
. Таким образом,
прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр
, является
квадрат, длина стороны которого равна
.
Пример 2(обратная задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины
сторон прямоугольника с площадью
, имеющего наименьший периметр.
Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая модель задачи
примет вид:
при ограничениях:
Из неравенства (1) вытекает, что
Следовательно,
. Это неравенство обращается в равенство
при
. Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра,
имеющим заданную площадь
, является квадрат, длина стороны которого равна
.
5
Пример 4 (задача Дидоны для треугольников). Найдем длины сторон
треугольника с периметром
, имеющего наибольшую площадь.
Обозначим длины сторон треугольника через
,
и
. Площадь треугольника
вычислим по формуле Герона. Математическая модель задачи примет вид
(5)
при ограничениях:
(6)
Воспользуемся неравенством Коши при
для чисел
,
,
:
Отсюда следует
(7)
Из (5) получим
Неравенство (13) обращается в равенство при
при условии
. Из (6) получим
Таким образом, треугольником с периметром
площадь, является равносторонний треугольник со стороной
Круг. При S=100. С= 35,4.
Треугольник. При S=100. С= 46.
, т. е.
, имеющим наибольшую
.
Заключение
В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих
областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений
математики. Математика становится средством решения проблем организации
производства, поисков оптимальных решений и содействует повышению
производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного
хозяйства.
Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем,
что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет,
постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его
деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с
одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую
эффективную их применимость к решению жизненных практических задач, которые
часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей
действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и
обогащению наших математических знаний.
1.
2.
3.
4.
Литература
www.festival.1september.ru/articles/520
В.Ю.Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии. Издательство Московского непрерывного
математического образования. — М.: 2005.
В.В.Бухвалова., А.С.Рогульская. Введение в геометрическое программирование. — М. : 2006.
Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. — М.: Наука, 1986.
6