День открытых дверей Механико – Математического факультета Old Задача Дидоны: and New Old Задача Дидоны: and New Царица Дидона (конец IX века до н. э.) – основательница Карфагена, легендарный геометр 4 «Добились до місця, Де нині мури великі й нова Карфагенська твердиня Виросла, й землю купили,— від способу куплі тієї Бірсою зветься, бо стільки купили, як може зайняти Шкура вола.» Вергілій, «Энеїда» 5 Задача Дидоны (математическая формулировка) Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. ИзоПЕРИМЕТРические фигуры – фигуры одинакового периметра (длины) Решение задачи – окружность 6 Изопериметрическое свойство окружности Среди всех замкнутых плоских кривых фиксированной длины наибольшую площадь охватывает окружность 7 Доказательство Зенодора (II в. до н.э.) «О фигурах, имеющих равную периферию» Основная идея: приближение кривой вписанными многоугольниками 8 Доказательство Штейнера Якоб Штейнер (1796 – 1863) – швейцарский математик, геометр 9 Доказательство Штейнера Пусть F – фигура, которая при фиксированной длине периметра (L) имеет наибольшую площадь (S) Справедливы: 1. Фигура F выпукла 2. Любой диаметр фигуры F делит пополам не только ее периметр, но и площадь (диаметр – отрезок, который делит периметр пополам) 3. Из любой точки границы фигуры F диаметр виден под прямым углом (четырехшарнирный метод Штейнера) Значит F – окружность! 10 Где неточность? Изъян доказательства А почему искомый объект вообще существует? Вопрос существования! 11 А сколько же могла захватить Дидона? 12 Изопериметрическое неравенство Формульная запись изопериметрического свойства окружности: 13 Old Задача Дидоны: and New Кривизна кривых в картинках Кривизна = скорость поворота кривой 15 Обратное изопериметрическое неравенство НАИМЕНЬШАЯ площадь при фиксированной длине? 0 Наименьшая площадь при фиксированной длине, если кривизна ≥ 1? 16