У т в е р ж д е н и е 2.
реклама
63-я МОЛОДЁЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ Тема доклада: ДРЕВНЕЙШАЯ ЗАДАЧА — ЗАДАЧА ДИДОНЫ Столько купили земли и дали ей имя Бирса, Сколько смогли окружить бычьей шкурой. Вергилий. Энеида Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой — круг. Пифагор Миф о Дидоне В римской мифологии есть легенда о Дидоне. Согласно этой легенде, Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса. После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте был основан город Карфаген Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».) Так гласит легенда. Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько же земли можно окружить бычьей шкурой? Формулировка задачи Дидоны или классической изопериметрической задачи: Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Решим задачу экспериментально. Для этого возьмем фигуры с фиксированным периметром в 50 см, и вычислим их площади Круг 199 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 177 156,25 Правельный шестиугольник 110 107,5 Квадрат Равносторонний треугольник Площади фигур, см2 Равнобедренный прямоугольный треугольник Из перечисленных фигур, имеющих равный периметр наибольшую площадь имеет к р у г . У т в е р ж д е н и е 1. Фигура наибольшей площади с заданным периметром – выпуклая. В противном случае мы могли бы построить кривую с тем же периметром, но уже с большей площадью. Заменив дугу АВА’ зеркальным отображением относительно прямой АА’ получили новую фигуру большей площади при том же периметре У т в е р ж д е н и е 2. Если прямая делит периметр фигуры наибольшей площади пополам, то она делит пополам и площадь фигуры. Заменим меньшую часть фигуры большей ее частью, отразив большую относительно АВ и получим фигуру с тем же периметром, но уже с большей площадью. У т в е р ж д е н и е 3. Пусть снова точки A и B делят длину экстремальной линии пополам и C — любая точка кривой. Тогда угол ACB — прямой. Пусть имеется точка C такая, что угол ACB не является прямым. Площадь, ограниченная дугой ACB и диаметром AB, разбивается на три части: треугольник ABC и сегменты, прилегающие к сторонам AC и CB. Так вот, представим теперь себе, что в точке C у нас ш а р н и р, соединяющий эти два сегмента. .Раздвинем. сегменты так, чтобы угол ACB’ стал прямым Тогда площадь, ограниченная дугой ACB’ увеличится, ибо из всех треугольников с заданными боковыми сторонами наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник (так как SABC= 0,5 · |AC| · |BC| · sinC ≤ 0,5|AC| · |BC| и равенство достигается, если угол равен 90°). А теперь отразим полученную фигуру относительно AB’. В итоге приходим к фигуре с тем же периметром и большей площадью. Утверждение доказано. Мы пришли к следующему: фигура с наибольшей площадью при фиксированном периметре – это множество точек С, из которых хорд АВ’, делящая длину экстремальной линии пополам, видна под углом 9 т.е. эта кривая – окружность.
