д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В. - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ТюмГУ)
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Волосникова Л.М.
__________ _____________ 201__г.
ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программадля студентов направления 010100.68«Математика»,
магистерская программа «Математическое моделирование»,
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы ___________________/Мачулис В.В./
«__»___________2012г.
Рассмотрено
на
заседании
кафедры
математического
моделирования
«__»___________2012 г., протокол №____.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем ______стр.
Зав.кафедрой _________________ /Татосов А.В./
«______»___________ 2012 г.
Рассмотрено на заседании УМК института математики, естественных наук и
информационных технологий «____»______________ 2012 г., протокол №____.
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК _________________/Глухих И.Н./
«______»_____________2012 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Директор ИБЦ________________ /Еманов А.Г./
«_____»___________ 2012г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/Федорова С.А./
«______»_____________2012 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ТюмГУ)
МАЧУЛИС В.В.
ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 010100.68 «Математика»,
магистерская программа «Математическое моделирование»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2012
Мачулис В.В. Теория бифуркаций.Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 010100.68«Математика», магистерская программа
«Математическое моделирование», очная форма обучения. Тюмень, 2012 г., 15стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая
программа
опубликована
на
сайте
ТюмГУ:
Теория
бифуркаций[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2012.
© В.В. Мачулис, 2012.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи курса
Цель курса: научить типичным приёмам и методам бифуркационногоисследования
динамических систем. Основные задачи курса: рассмотреть способы и методы
бифуркационного исследования систем дифференциальных уравнений, описывающих
реальные явления в различных областях науки, дать слушателям средство анализа таких
систем.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры
Дисциплина «Теория бифуркаций» – это дисциплина по выбору, которая входит в
вариативную часть профессионального цикла.
Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в
результате освоения дисциплин ООП бакалавриата. Освоение дисциплины «Теория
бифуркаций» необходимо для последующего изучения курсов: «Устойчивость и
колебания нелинейных систем», «Стохастические дифференциальные уравнения», а также
длянаписания выпускной квалификационной работы.
1.3.
Требования к результатам освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими
общекультурными и профессиональными компетенциями:
способностью работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху
(ОК-6);
умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики,
совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе
(ПК-7);
способность к творческому применению, развитию и реализации математически
сложных алгоритмов в современных программных комплексах (ПК-9);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
●
Знать:
– основные типы бифуркаций для одномерных и двумерных систем;
– основные методы исследования устойчивости бифуркационных решений в
двумерном случае;
– основные типы прикладных задач, которые могут эффективно решаться с помощью
теории бифуркаций.
●
Уметь:
– строить математические модели динамических систем;
– проводить исследование математических моделей на наличие бифуркаций, уметь
находить бифуркационные значения и строить бифуркационные диаграммы;
- пользоваться для исследования программным обеспечением.
●
Владеть
– приёмами и методами аналитического и компьютерного исследования
динамических систем на наличие-отсутствие бифуркаций;
- приемами и методами исследования устойчивости стационарных и бифуркационных
решений динамических систем.
3
2. Трудоёмкость дисциплины
Дисциплина «Теория бифуркаций» читается в первом, втором и третьем семестрах.
Формы промежуточной аттестации – зачёты и экзамен. Общая трудоёмкость дисциплины
составляет 7 зачётных единиц (252 часа).
Вид учебной работы
Таблица 1.
Семестры
2
3
36
36
18
18
18
18
54
36
зачёт
экзамен
90
72
2,3
2,4
Всего часов
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачёт, экзамен)
Общая трудоёмкость
час
зач. ед.
1
36
18
18
54
зачёт
90
2,3
108
54
54
144
252
7
3. Тематический план(1 семестр)
Таблица 2.
№
Тема
недели семестра
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельн
ая работа
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1-4
4
4
11
19
1
Контрольная
работа №1
5-8
4
4
11
19
1
Контрольная
работа №1
9-10
2
2
11
15
2
Контрольная
работа №2
11-14
4
4
11
19
2
Контрольная
работа №2
15-18
4
4
10
18
2
Контрольная
1
2
3
4
Скалярные автономные
уравнения
Элементарные бифуркации
Скалярные отображения
Скалярные
уравнения
неавтономные
5 Бифуркации периодических
4
Итого
часов
по
теме
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Формы
контроля
решений
работа №2
Итого:
18
18
Из них в интерактивной
форме
4
4
54
90
8
8
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Темы
1
1
2
3
4
5
Виды СРС
обязательные
дополнитель
ные
3
4
2
Неделя
семест
ра
Объем
часов
5
6
1-4
11
5-8
11
Скалярные автономные
уравнения
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания
Элементарные
бифуркации
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания
Скалярные отображения
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания; решение
контрольной работы
9-10
11
Скалярные неавтономные работа с литературой;
уравнения
выполнение домашнего
задания
11-14
11
15-18
10
Бифуркации
периодических решений
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания
подготовка к
зачёту
подготовка к
зачёту
ИТОГО:
54
Тематический план(2 семестр)
5
Самостоятельн
ая работа
Семинарские
(практические)
занятия
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции
№
недели семестра
Таблица 4
Итого
часов
по
теме
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Формы
контроля
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Автономные системы на
плоскости
1-6
6
6
14
26
3
Контрольная
работа №1
2
Линейные
системы
и
исследование устойчивости
7-12
6
6
20
32
2
Контрольная
работа №1
13-18
6
6
20
32
3
Контрольная
работа №2
Итого:
18
18
54
90
8
Из них в интерактивной
форме
4
4
Функция Ляпунова
3
8
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 5
№
Темы
1
1
2
3
Виды СРС
2
Автономные системы на
плоскости
Линейные системы
исследование
устойчивости
Функция Ляпунова
обязательные
дополнитель
ные
3
4
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания
и работа с литературой;
выполнение домашнего
задания
подготовка к
зачёту
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания; решение
контрольной работы
подготовка к
зачёту
Неделя
семест
ра
Объем
часов
5
6
1-6
14
7-12
20
13-18
20
ИТОГО:
54
Тематический план(3 семестр)
№
Тема
недели
семестра
Таблица 6
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
6
Итого
часов
по
теме
Из них
в
интера
ктивно
Формы
контроля
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельн
ая работа
2
Лекции
1
й
форме
3
4
5
6
7
8
9
1
Случай нулевого
собственного значения
1-6
6
6
9
21
2
Контрольная
работа №1
2
Случай
чисто
мнимых
собственных значений
7-10
4
4
9
17
2
Контрольная
работа №1
3
Бифуркации периодических
орбит
11-14
4
4
9
17
2
Контрольная
работа №2
Структурная устойчивость.
Диссипативные системы.
4
Бифуркации с одним и
двумя параметрами
15-18
4
4
9
17
2
Итого:
18
18
36
72
8
Из них в интерактивной
форме
4
4
Контрольная
работа №2
8
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 7
№
1
1
2
3
Темы
2
Случай нулевого
собственного значения
Виды СРС
обязательные
дополнитель
ные
3
4
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания
Случай чисто мнимых работа с литературой;
собственных значений
выполнение домашнего
задания
подготовка к
экзамену
Бифуркации
периодических орбит
подготовка к
экзамену
работа с литературой;
выполнение домашнего
задания; решение
контрольной работы
7
Неделя
семест
ра
Объем
часов
5
6
1-6
9
7-10
9
11-14
9
4
Структурная
устойчивость.
Диссипативные системы.
Бифуркации с одним и
двумя параметрами
подготовка к
экзамену
15-18
9
ИТОГО:
36
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Темы
дисциплины
необходимые
для
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
изучения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
Стохастические
дифференциальные
уравнения
-
-
+
+
+
+
+
-
-
-
+
+
2
Устойчивость и
колебания
нелинейных систем
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
Выпускная
квалификационная
работа
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Скалярные автономные уравнения.Существование и единственность.
Геометрия потоков. Устойчивость состояний равновесия. Уравнения на окружности.
Тема 2. Элементарные бифуркации.Примеры зависимости от параметров.
Теорема о неявной функции. Локальные возмущения возле состояния равновесия.
Бифуркационная диаграмма. Эквивалентность потоков.
Тема 3. Скалярные отображения.Алгоритм Эйлера. Геометрия скалярных
отображений. Бифуркации монотонных отображений. Удвоение периода. Логистическое
отображение.
Тема 4. Скалярные неавтономные уравнения.Общие свойства решений.
Периодические уравнения, их геометрическая интерпретация. Устойчивость
периодических решений.
8
Тема 5. Бифуркации периодических решений.Бифуркации отображения
Пуанкаре. Устойчивость негиперболических периодических решений. Возмущения
векторных полей.
Тема 6. Автономные системы на плоскости.Примеры систем на плоскости.
Общие свойства и геометрическая интерпретация. Первые интегралы и консервативные
системы. Примеры элементарных бифуркаций.
Тема 7. Линейные системы и исследование устойчивости.Свойства решений
линейных систем. Канонические формы. Устойчивость. Качественная эквивалентность
линейных систем. Бифуркации линейных систем. Неавтономные линейные системы.
Тема 8. Функции Ляпунова.Принцип инвариантности. Седло. Устойчивые и
неустойчивые многообразия. Гиперболические неподвижные точки.
Тема 9. Случай нулевого собственного значения.Устойчивость. Бифуркации.
Центральное многообразие.
Тема 10. Случай чисто мнимых собственных значений.Устойчивость.
Бифуркация Андронова-Хопфа. Вычисление бифуркационных кривых.
Тема 11. Бифуркации периодических орбит.Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
Устойчивость и бифуркации периодических орбит. Гомоклиническая бифуркация.
Тема 12. Структурная устойчивость. Диссипативные системы. Бифуркации с
одним и двумя параметрами.Структурная устойчивость векторного поля.
Однопараметрические бифуркации. Двухпараметрические бифуркации. Бифуркации
консервативных систем.
6. Планы практических занятий
Тема 1. Скалярные автономные уравнения.(4 часа).
1) Существование и единственность.
2) Геометрия потоков.
3) Устойчивость состояний равновесия.
4) Уравнения на окружности.
Тема 2. Элементарные бифуркации(4 часа).
1) Примеры зависимости от параметров.
2) Теорема о неявной функции.
3) Локальные возмущения возле состояния равновесия.
4) Бифуркационная диаграмма.
5) Эквивалентность потоков.
Тема 3. Скалярные отображения.(2 часа).
1) Алгоритм Эйлера.
2) Геометрия скалярных отображений.
3) Бифуркации монотонных отображений.
4) Удвоение периода.
5) Логистическое отображение.
Тема 4. Скалярные неавтономные уравнения.(4 часа).
1) Общие свойства решений.
9
2) Периодические уравнения, их геометрическая интерпретация.
3) Устойчивость периодических решений.
Тема 5. Бифуркации периодических решений(4 часа).
1) Бифуркации отображения Пуанкаре.
2) Устойчивость негиперболических периодических решений.
3) Возмущения векторных полей.
Тема 6. Автономные системы на плоскости(6 часов).
1) Примеры систем на плоскости.
2) Общие свойства и геометрическая интерпретация.
3) Первые интегралы и консервативные системы.
4) Примеры элементарных бифуркаций.
Тема 7.Линейные системы и исследование устойчивости (6 часов).
1) Свойства решений линейных систем.
2) Канонические формы.
3) Устойчивость.
4) Качественная эквивалентность линейных систем.
5) Бифуркации линейных систем.
6) Неавтономные линейные системы.
Тема 8. Функции Ляпунова (6 часов).
1) Принцип инвариантности.
2) Седло.
3) Устойчивые и неустойчивые многообразия.
4) Гиперболические неподвижные точки.
Тема 9. Случай нулевого собственного значения(6 часов).
1) Устойчивость.
2) Бифуркации.
3) Центральное многообразие.
Тема 10. Случай чисто мнимых собственных значений(4 часа).
1) Устойчивость.
2) Бифуркация Андронова-Хопфа.
3) Вычисление бифуркационных кривых.
Тема 11. Бифуркации периодических орбит(4 часа).
1) Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
2) Устойчивость и бифуркации периодических орбит.
3) Гомоклиническая бифуркация.
Тема 12. Структурная устойчивость. Диссипативные системы. Бифуркации с
одним и двумя параметрами(4 часа).
1) Структурная устойчивость векторного поля.
2) Однопараметрические бифуркации.
3) Двухпараметрические бифуркации. Бифуркации консервативных систем.
10
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольных работ
1. Исследовать свойства и нарисовать фазовый портрет уравнения двумя
способами: с помощью знака векторного поля и с помощью потенциальной
функции:
(а) x   x  x 3  1 ; (б) x  1  sin x .
2. Определить неподвижные точки (стационарные решения)
дифференциальных уравнений и исследовать их устойчивость:
следующих
(а) x  2 x 2  x 3 ; (б) x  x sin x .
3. Для каждого из векторных полей нарисовать
соответствующую бифуркационную диаграмму:
фазовый
портрет
и
(а) F (c, e, x)  c  ex  x 2 ; (б) F ( , x)  a  (  a) x  x 2 .
4. Найти бифуркационную кривую для каждого из следующих одно-, или
двухпараметрических возмущений кубического векторного поля f ( x)   x3 :
(а) x  1  m  2mx  x3 ; (б) x  m  n 2  nx  x 3 .
5. Для данных отображений определить: неподвижные точки, значения параметров,
при которых эти точки будут негиперболическими, устойчивость неподвижных
точек. Нарисовать диаграмму Ламерея:
(а) f ( , x)   x(1  x),   1 ; (б) f ( , x)   2  x 2 .
6. Показать, что нулевое решение уравнения x  cos 2 t sin 2 t  x3 асимптотически
устойчиво.
7. Нарисовать фазовые портреты и найти   предельное и   предельное
множества для орбит:
x  x
 x  x2
(а) 
;
(б)
.

2
y

y
y


y


8. Для следующих матриц определить, совершается ли переход в другой класс
эквивалентности при изменении параметра:
1
(а) 


2 
1
.
 ; (б) 
2

  2   
9. Проверить, что линеаризация системы в начале координат не дает ответа об
устойчивости. Найти квадратичную функцию Ляпунова и определить тип
устойчивости
 x   x 3  xy 2
.

2
3
 y  2 x y  y
11
10. Нарисовать бифуркационную диаграмму для равновесных решений следующих
систем:
x  y
x   y
(а) 
; (б) 
.
2
y


y

x


y  x  y

7.2. Примерные вопросы для подготовки к зачётам и экзамену
Вопросы к зачету за I семестр
1. Существование и единственность.
2. Геометрия потоков.
3. Устойчивость состояний равновесия.
4. Уравнения на окружности.
5. Примеры зависимости от параметров.
6. Теорема о неявной функции.
7. Локальные возмущения возле состояния равновесия.
8. Бифуркационная диаграмма.
9. Эквивалентность потоков.
10. Алгоритм Эйлера.
11. Геометрия скалярных отображений.
12. Бифуркации монотонных отображений.
13. Удвоение периода.
14. Логистическое отображение.
15. Общие свойства решений.
16. Периодические уравнения, их геометрическая интерпретация.
17. Устойчивость периодических решений.
18. Бифуркации отображения Пуанкаре.
19. Устойчивость негиперболических периодических решений.
20. Возмущения векторных полей.
Вопросы к зачёту за II семестр
1. Примеры систем на плоскости.
2. Общие свойства и геометрическая интерпретация.
3. Первые интегралы и консервативные системы.
4. Примеры элементарных бифуркаций.
5. Свойства решений линейных систем.
6. Канонические формы.
7. Устойчивость.
8. Качественная эквивалентность линейных систем.
9. Бифуркации линейных систем.
10. Неавтономные линейные системы.
11. Принцип инвариантности.
12
12. Седло.
13. Устойчивые и неустойчивые многообразия.
14. Гиперболические неподвижные точки.
Вопросы к экзамену за III семестр
1. Случай нулевого собственного значения: устойчивость.
2. Случай нулевого собственного значения: бифуркации.
3. Случай нулевого собственного значения: центральное многообразие.
4. Случай чисто мнимых собственных значений: устойчивость.
5. Бифуркация Андронова-Хопфа.
6. Вычисление бифуркационных кривых.
7. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
8. Устойчивость и бифуркации периодических орбит.
9. Гомоклиническая бифуркация.
10. Структурная устойчивость векторного поля.
11. Однопараметрические бифуркации.
12. Двухпараметрические бифуркации. Бифуркации консервативных систем.
8. Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Теория бифуркаций» используются следующие
образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Теория бифуркаций» предусматривается
использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм
проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
9.1. Литература основная
1. Мачулис В.В. Введение в динамические системы: учебное пособие. Тюмень:
Издательство Тюменского государственного университета, 2013. 196с.
13
2. Халил Х.К. Нелинейные системы. Издание третье. /Пер. с англ./ – МоскваИжевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных
исследований, 2009. – 832 с.
9.2. Литература дополнительная
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: «Наука», 1981. –
568 с.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «Наука», 1975.
– 239 с.
3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования
динамических систем на плоскости. М.: «Наука», 1976. – 496 с.
4. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и
бифуркации
векторных
полей.
Пер.
с
англ.,
Москва-Ижевск:
Институт
компьютерных исследований, 2002. – 560 с.
5. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. /Пер. с
англ./ М.: «Мир», 1983. – 300 с.
6. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: «Физматлит», 2001. – 295 с.
7. Степаньянц Г.А. Теория динамических систем: Учебное пособие. М.: Книжный
дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 312 с.
8. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной
теории
в
нелинейной
динамике.
Часть
1.
–
Москва-Ижевск:
Институт
компьютерных исследований, 2004. – 416 с.
9. HaleJ., KocacH. Dynamicsandbifurcations. – Springer-Verlag, NewYork, Inc., 1991. –
568 c.
10. Kuznetsov Y. A. Element of applied bifurcation theory /Third edition/, SpringerVerlag, New York, LLC, 2010. – 631 c.
11. Chow S-N, Hale J. Methods of bifurcation theory. – Springer-Verlag, New York, Inc.,
1982. – 525 c.
9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического
факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
14
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 12 (или
выше).
для
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс
практических
занятий.
15
КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ»
ОК 6
код
НАПРАВЛЕНИЕ 010100.68 – МАТЕМАТИКА
Магистерская программа: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.
Формулировка
компетенции
Результат
обучения в
целом
Знает: методы и
приемы работы с
различными
печатными
способность работать источниками
информации
самостоятельно
Умеет: находить
необходимую
информацию и
применять ее
для решения
стандартных
задач
Результаты обучения по уровням освоения материала
минимальный
базовый
повышенный
методы и приемы работы с литературой
методы и приемы работы с различными
печатными
источниками
информации
находить необходимую информацию
находить
необходимую
информацию и
применять ее для
решения стандартных
задач
3
методы и приемы
работы с различными
источниками
информации, в том
числе на иностранных
языках
находить необходимую информацию и
применять ее для
решения любых задач,
обосновывать и
пояснять выбор
Виды занятий
Оценочные средства
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
 методами
и
приемами работы с
литературой
 методами
и
приемами работы с
различными
печатными источниками информации
Знает: основные
приемы
исследования
динамических
систем на
наличие
бифуркаций
основные приемы
исследования
динамических систем
на наличие
бифуркаций
знает и запоминает
словесную и символическую запись
стандартных задач
исследования
бифуркаций
динамических систем
Умеет: сообщать
идеи, проблемы
и решения
стандартных
задач
исследования
бифуркаций
динамических
систем
сообщать идеи, проблемы и методы
решения простейших
задач, как
специалистам, так и
неспециалистам
сообщать идеи, проблемы и решения
стандартных задач
исследования
бифуркаций
динамических систем
ПК-7
Владеет:
методами и
приемами
работы с
различными
печатными
источниками
информации
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
4
самостоятельно использует общие и
самостоятельно созданные методы и
приемы работы с
различными источниками информации,
в том числе интернетресурсами
знает, запоминает и
воспроизводит словесную и символическую запись задач
исследования
бифуркаций
динамических систем
сообщать идеи, проблемы и решения, как
специалистам, так и
неспециалистам,
используя знания
методов исследования
бифуркаций
динамических систем
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
ПК-9
способность к
творческому
применению, развитию
и реализации
математически
сложных алгоритмов в
современных
программных
комплексах
Владеет:
приемами и
способами
исследования
стандартных
бифуркаций
динамических
систем
Знает: о задачах,
возникающих в
приложениях
динамических
систем, а также
способах их
решения в том
числе с
помощью систем
компьютерной
математики
Умеет: понять
постановку
стандартной
задачи динамики
по нахождению
бифуркаций и
наметить способ
ее решения
приемами и
способами
исследования
простейших
бифуркаций
динамических систем
приемами и
способами
исследования
стандартных
бифуркаций
динамических систем
методами и приемами
исследования
сложных бифуркаций
динамических систем
имеет представление
о задачах,
возникающих в
приложениях
динамических систем
имеет представление
о задачах,
возникающих в
приложениях
динамических систем,
а также способах их
решения
о задачах,
возникающих в
приложениях
динамических систем,
а также способах их
решения в том числе с
помощью систем
компьютерной
математики
понять постановку
простейшей задачи
динамики по
нахождению
бифуркаций и
наметить способ ее
решения
понять постановку
стандартной задачи
динамики по
нахождению
бифуркаций и
наметить способ ее
решения
понять постановку
стандартной задачи
динамики по
нахождению
бифуркаций и
наметить способ ее
решения, в том числе
с помощью
компьютера
5
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Владеет:
приемами
решения задач
нахождения
бифуркаций
динамических
систем, в том
числе с
помощью систем
Maple и Matlab
приемами решения
простейших задач
нахождения
бифуркаций
динамических систем
приемами решения
стандартных задач
нахождения
бифуркаций
динамических систем
6
приемами решения
задач нахождения
бифуркаций
динамических систем,
в том числе с
помощью систем
Maple и Matlab
Лекции,
практиче
ские
занятия
Тестирование,
контрольная работа
Дополнения и изменения в рабочей программе
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
в список основной литературы добавлено
1. Мачулис В.В. Введение в динамические системы: учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета,
2013. 196с.
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры __№5__24.01.2013 г.
Заведующий кафедрой ___________________/___________________/
Роспись
7
Ф.И.О.