Расчет напряжений в стержне по данным о частотах

УДК 539.3
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕ ПО ДАННЫМ О ЧАСТОТАХ
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
М. Н. Серазутдинов, Ф. С. Хайруллин, А. А. Курбангалеев
Казанский государственный технологический университет, Казань, Россия
C использованием экспериментально найденных частот и координат узлов
собственных колебаний расчетным путем определяется напряженное состояние стержня.
Начальные нормальные напряжения в стержне являются постоянными в поперечных
сечениях и переменными вдоль продольной оси, геометрические и механические
характеристики, условия закрепления известны.
Расчеты проводятся на основе теории стержней, учитывающей поперечные сдвиги
[1, 2], и вариационного принципа Гамильтона:
l 
2


 2u3
 23
 2u2
 21
 22
    u1


A

u


u


u

J


J


J





1
2
3
кр
1
z
2
y
3
 dl 
2
2
2
2
2
0   t 2
t
t
t
t
t



 

u 

+    E x x  G xy xy  G xz xz   0 1  dAdl = 0,
x 
0 A 
l
(1)
где  0 – искомые напряжения, остальные обозначения общепринятые.
Перемещения, углы поворота, начальные напряжения представляются в виде рядов:
M
M
m 1
m 1
uk ( S )  sin( t ) Ckm f m ( S ) ,  k ( S )  sin( t ) Dkm f m ( S ) , к =1, 2, 3
N
 0 ( S )   n S n 1 .
(2)
n
Здесь
S  x/l
f m ( S )  (1  S ) S
(0  S  1)
m 2
–
, m  3, 4,... , 
безразмерный
параметр;
f1 ( S )  1  S ,
f2 (S )  S,
– частота колебаний, Ckm , Dkm ,  n – неизвестные
коэффициенты рядов.
Из условия (1) для определения частот получаем систему алгебраических уравнений
[ K ] V    2 [ M ]V   0 .
(3)
Здесь  K  – матрица жесткости, в коэффициенты которой входят искомые составляющие
начальных напряжений  n ,  M  – матрица масс.
При определении напряжений в поперечных сечениях стержня минимизируется
функция цели
 2   i  i  ,
I
2
(4)
i 1
где i – определенные экспериментально частоты собственных колебаний стержня,  i –
частоты, найденные из решения прямой задачи.
Таким образом, при определении напряжений  0 в стержне минимизируется
функционал (4) и решается задача обобщенной проблемы собственных значений (3).
При тестовых расчетах в качестве исходных данных задавались начальные
напряжения. Решалась прямая задача о собственных колебаниях – из системы уравнений
(3) определялись частоты и формы собственных колебаний. Полученные таким образом
данные о собственных колебаниях стержня считались определенными экспериментально
и использовались для решения обратной задачи – находились величины и закон
изменения начального напряжения  0 ( S ) .
В тех случаях, когда число искомых членов ряда (2) и число использованных частот
колебаний совпадало ( N  I ) , решение получалось неустойчивым. Это является
следствием того, что решается обратная задача. Устойчивое решение получается, если при
решении использовать количество частот I большее, чем число искомых членов ряда (2)
N . При этом минимизация функции цели (4) сводится к решению методом наименьших
квадратов переопределенной системы алгебраических уравнений.
Другая особенность задачи связана с тем, что для различных законов распределения
0
 стержень может иметь практически одинаковый спектр частот колебаний. При этом
0
величина интегрального значения начального напряжения  uн
   0dS
будет для
l
различных законов распределения  0 различаться незначительно. С учетом этой
особенности в случаях, когда  0   1   2 S , для достижения приемлемых результатов
использовалась следующая методика. Задавалась величина  2 и решалась прямая задача
на собственные значения для случая, когда  0   2 S – начальные напряжения
измеряются по линейному закону. Определялось смещение  узла для второй формы
изгибных колебаний. Полагалось, что между величинами  2 и  имеется линейная
зависимость:     C2 , – и вычислялось значение C2   2 /  . Затем, при проведении
расчетов для каждого варианта, решалась прямая и обратная задачи. По решению прямой
задачи находилась величина  (предполагается, что  будет определяться
экспериментально), а данные решения обратной задачи корректировалась с учетом того,
1
что  uн    1   2 S  dS   1  0,5 2 . Следовательно, на последнем этапе величины
0
составляющих напряжения подсчитывались по формулам:  2    C2 ,  1   uн  0,5 2 .
В таблице 1 представлены данные расчетов, полученные для шарнирно опертого по
концам стержня длиной l  1 м с прямоугольным поперечным сечением, ширина которого
a  0,02 м, высота b  0,025 м. Начальное напряжение  0  120 МПа. При нахождении
 0 частота 1 задавалась с погрешностью   , решение получено с погрешностью
 0   1   0 /  0  100% ..
В таблице 2 приведены данные, полученные для заделанного по концам стержня
длиной l  4 м, с поперечным сечением в виде кольца, для которого
В
поперечных
сечениях
стержня
действуют
A  12, 2 см2 , J x  J y  148 см4 .
растягивающие напряжения  0  200 МПа. В таблице 3 – данные для этого стержня при
 0  - 100 МПа.
Полагалось E  2  105 МПа, G  8  104 МПа,   7,8  105 Н сек2/см4.
 , %
 , %
 , %

  , %
 , %
 , %
 , %

  , %
 , %
  , %
 , %
  , %
1
0,46
-1
5,25
1
2,1
-1
4,5
1
1,4
-1
0,57
2
3,36
-2
8,09
2
5,4
-2
7,85
2
2,4
-2
1,54
3
6,28
-3
10,9
3
8,8
-3
11,11
3
3,4
-3
2,5
5
14,5
-5
16,48
Таблица 1
10
31,22
-10
30,05
5
15,7
-5
17,5
Таблица 2
10
33,25
-10
33,70
5
5,48
-5
4,36
Таблица 3
10
10,8
-10
8,77
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 672 с.
2. Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стержней //
Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. – 1991. – № 5. – С. 104–108.