Срок приема текстов для публикации в сборнике материалов

Проблемы механики и материаловедения, 2014
КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
Александров В.А.
Институт механики УрО РАН, Ижевск, ava@udman.ru
Изгибные колебания стержней и пластинок находят применение из-за
возможности получения наибольшей амплитуды колебаний. Устройство, в
котором
можно
получить
изгибные
колебания,
содержит
корпус,
пьезоэлектрический преобразователь и консольно прикрепленный к нему
тонкий металлический стержень. В качестве пьезопреобразователей удобно
использовать пьезоизлучатели с дискообразным корпусом, в котором при
подаче переменного напряжения на электроды возбуждаются изгибные
колебания. Одним из электродов пьезоизлучателя является сам корпус. В
устройстве пьезоизлучатель закрепляется
методом пайки на участке края
корпуса, на его диаметрально противоположном участке прикрепляется
стержень. При возбуждении пьезоизлучателя в стержне возникают изгибные
колебания
в
плоскости,
перпендикулярной
плоскости
поверхности
пьезоизлучателя. Подстраивая частоту сигналов генератора к одной из
собственных частот колебаний стержня можно достичь максимальной
амплитуды
колебаний свободного конца стержня. При этом в стержне
возникают узлы и пучности колебаний, на закрепленный конец стержня
приходится узел колебаний, на свободный конец – пучность.
Форма изгибных колебаний стержня определяется исходя из уравнения
движения
,
где
– плотность материала стержня,
Юнга и
– площадь его сечения,
(1)
– модуль
– момент инерции стержня [1]. Подстановкой решения
(2)
уравнение движения принимает вид
,
3
(3)
Проблемы механики и материаловедения, 2014
где
– амплитуда смещения, зависящая от координаты
, в котором
– волновое число,
по длине стержня,
– частота. Общий интеграл
этого уравнения имеет выражение
(4)
Для консольного стержня на закрепленном конце (
угла поворота, соответственно,
(
)
отсутствуют
и
изгибающий
соответственно,
) нет прогиба и
, на свободном конце
момент
и
и
перерезывающая
сила,
.
Граничные условия на закрепленном конце стержня дают
и
, а из условий на свободном конце стержня можно выразить
и
получить
через :
уравнение
для
собственных частот
(5)
С учетом полученных соотношений между коэффициентами
,
,
и
уравнение смещения можно записать в виде
(6)
Первые 4 корня
;
уравнения частот имеют значения
и
;
. Амплитуда смещения на конце стержня
при колебаниях с собственной частотой равна
.
Так как амплитуда смещения (6) в стержне при изгибных колебаниях
зависит от координаты, то колебательная скорость участков стержня
(7)
и удельная кинетическая энергия, пропорциональная квадрату скорости,
(8)
также зависят от координаты. При этом в стержне имеется градиент удельной
кинетической энергии, пропорциональный производной квадрата скорости по
координате
(9)
4
Проблемы механики и материаловедения, 2014
На рисунке 1 показаны кривые зависимости
удельной кинетической
энергии и ее градиента от координаты в консольном стержне при собственных
колебаниях с модой
. В пределах узлов колебаний максимумы градиента
удельной кинетической энергии приходятся на середину между узлами и
пучностями колебаний. Максимумы удельной кинетической энергии и ее
градиента приходятся также на свободный конец консольного стержня.
s0(x)
x
w
x
gradw
x
0
0,18l 0,28l
0,51l
0,87l
l
Рисунок 1 – Распределение амплитуды смещения
,
удельной кинетической энергии и gradw в консольном стержне
при изгибных колебаниях с модой m = 3
По формам колебаний консольного стержня можно заметить, что участок
на его свободном конце имеет слабый изгиб. Для технических приложений
можно принять, что начиная со второй моды амплитуда колебаний
свободном конце стержня линейно зависит от координаты
на
, отсчитываемой от
последнего узла колебаний
,
где
(10)
– амплитуда изгибных колебаний на свободном конце консольного
стержня,
– длина участка стержня от его свободного конца до узла
колебаний.
Исследование изгибных колебаний стержней при взаимодействии с
жидкостью
является
важным
для
увеличения
производительности
пьезоэлектрических стержневых распылителей [2, 3]. Колебания консольного
5
Проблемы механики и материаловедения, 2014
стержня на свободной поверхности жидкости приводят к распылению
жидкости от пучностей колебаний и возникновению струи вблизи конца
(рисунок 2) [4]. Отдельный интерес представляет продвижение смачивающего
слоя жидкости по поверхности стержня.
Рисунок 2 – Распыление воды от пучностей изгибных колебаний стержня и струя воды,
исходящая от межфазной поверхности вблизи конца стержня,
возбужденного пьезоэлектрическим преобразователем на частоте 8 кГц
При подведении колеблющегося стержня к свободной поверхности
жидкости ее частицы в смачивающем поверхность стержня слое приобретают
скорость и кинетическую энергию, соответствующие скорости и энергии
определенного участка стержня. В движущейся жидкости в соответствии с
законом Бернулли давление отличается на величину, равную разности удельной
кинетической энергии жидкости. Тогда разность давлений в смачивающем
поверхность стержня слое жидкости и на свободной невозмущенной
поверхности жидкости составит
,
где
– плотность жидкости,
(11)
– скорость смачиваемого участка стержня.
Это выражение можно записать в виде
(12)
максимальное
и
среднее
значения
которого
за
период
колебаний,
соответственно, равны
и
(13)
(14)
6
Проблемы механики и материаловедения, 2014
Отсюда можно сделать вывод о том, что давление в слое жидкости,
участвующем в колебательном движении вместе с поверхностью стержня,
меньше чем в слоях вдали от поверхности стержня.
Экспериментально
это
обнаруживается
тем,
что
если
подвести
колеблющийся стержень к поверхности жидкости, то высота капиллярного
подъема смачивающего слоя жидкости
по поверхности стержня, частично
погруженного в жидкость и совершающего изгибные колебания, оказывается
больше по сравнению с высотой подъема жидкости по поверхности
невозбужденного
стержня
(рисунок 3).
В
последнем
случае
подъем
смачивающего поверхность стержня слоя жидкости обусловлен давлением
Лапласа вследствие кривизны поверхности жидкости на межфазной границе.
Рисунок 3 – Капиллярный подъем жидкости на межфазной границе при вертикальном
(вверху) и наклонном (внизу) погружении стержня в воду: a – колебания в стержне
отсутствуют, б – в стержне возбуждены изгибные колебания частотой 5,5 кГц,
в – колебания стержня на этой же частоте с распылением воды (диаметр стержня
составляет 0,5 мм, белыми столбиками указаны уровни капиллярного подъема воды)
Увеличение амплитуды изгибных колебаний частично погруженного в
жидкость стержня приводит к дальнейшему подъему смачивающего слоя
жидкости и ее распылению. Для получения интенсивного распыления
7
Проблемы механики и материаловедения, 2014
необходимо погрузить стержень в жидкость так, чтобы участок стержня в
середине между соседними узлом и пучностью колебаний оказался на уровне
свободной поверхности жидкости. При этом жидкость тонким слоем течет по
поверхности стержня к участку с пучностью колебаний, где происходит
инерционный отрыв частиц жидкости, создающих аэрозоль. Данное явление
объясняется тем, что изгибные колебания стержня являются распределенными
и амплитуда колебаний зависит от координаты. Гидродинамическое давление в
слое жидкости, участвующей в колебательном движении вместе со стержнем,
также зависит от координаты. Градиент этого давления, пропорциональный
производной по координате от квадрата амплитуды колебаний
,
(15)
имеет максимальное значение на участке в середине между соседними узлом и
пучностью колебаний стержня. Его зависимость имеет вид нижней кривой,
показанной на рисунок 1. Градиент давления, в свою очередь, приводит к
движению слоя жидкости по поверхности стержня в направлении от узла к
пучности колебаний.
Таким образом, изгибные колебания консольного стержня на межфазной
границе с жидкостью приводят к движению смачивающего поверхность
стержня слоя жидкости из-за
градиента гидродинамического давления,
создаваемого колебаниями поверхности самого стержня.
Список литературы
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика / в 10 томах. Т. VII. Теория
упругости. М. : Наука, 1987. 248 с.
2. Александров В.А. Распылитель жидкости // Патент РФ на изобретение № 233776.
2008ю Бюл. № 31.
3. Александров В.А. Стержневой пьезоэлектрический распылитель жидкости //
Актуальные проблемы математики, механики и информатики: Екатеринбург: УрО РАН,
2013. С. 3.
4. Александров В. А. Взаимодействие вибрирующего стержня и жидкости на
межфазной границе // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 1. С. 116-126.
8