08-04-02

08-04-02. Гомотетичные фигуры
1. Определение гомотетии относительно точки О с коэффициентом k>0.
Возьмем положительное число k и выберем на плоскости точку O . Пусть точка M
отлична от точки O .
Назовем точку M 1 гомотетичной точке M относительно точки O с коэффициентом
k , если точка M 1 лежит на луче OM и OM1  OM  k .
Точку O обычно называют центром гомотетии, а число k — коэффициентом
гомотетии.
На рисунке 1 изображена точка M 1 , гомотетичная точке M с центром O и
коэффициентом k  32 . Иногда говорят, что при гомотетии точка M переходит в точку
M1 .
Центр O гомотетии считают гомотетичным самому себе.
Заметим, что если точка M 1 гомотетична точке M относительно O с
коэффициентом k , то точка M гомотетична точке M 1 относительно точки O с
коэффициентом 1k .
2. Определение фигуры, гомотетичной заданной фигуре. Пример гомотетичных
фигур на клетчатой бумаге. Пример гомотетичного расположения двух карт одного
участка местности с разным масштабом.
Пусть F — произвольная фигура на плоскости, а O — центр гомотетии с
коэффициентом k .
Для каждой точки A фигуры F найдем гомотетичную ей точку A1 . Все такие
точки образуют новую фигуру F1 , которая называется гомотетичной фигуре F
относительно центра O с коэффициентом k .
Пример 1. На рисунке 2 квадрат MNKL гомотетичен квадрату ABCD относительно
точки O с коэффициентом 12 .
Если провести прямую через две гомотетичные точки двух гомотетичных фигур, то
полученная прямая обязательно пройдет через центр гомотетии. Это свойство позволяет
строить центр гомотетии в том случае, когда фигуры гомотетичны, а иногда позволяет
установить, что две фигуры не гомотетичны.
Пример 2.Возьмем две карты ABCD и EFGH одного и того же прямоугольного
участка местности с разным масштабом. Наложим меньшую карту на большую так, как
показано на рисунке 4, и по изображению пункта на одной из карт найдем изображение
этого же пункта на другой карте. Для этого отметим точку O пересечения прямых AE ,
BF , CG и DH . Для правильно сделанных карт карта EFGH гомотетична карте ABCD
относительно точки O . Так как при этой гомотетии точке A соответствует точка E , то
коэффициент гомотетии k  OE  OA .
Соединим данный пункт M на большей карте с точкой O и проведем через точку E
прямую параллельную прямой AM , пересекающую прямую M в точке M 1 (рисунок 5).
По обобщенной теореме Фалеса
OM 1 OE

 k
OM OA
Отсюда следует, что пункту M на большей карте соответствует пункт M 1 на
меньшей карте.
3. Теорема о параллельных прямых, пересекающих стороны угла.
При доказательстве свойств гомотетичных фигур мы будем использовать
следующую теорему.
Теорема.
Если параллельные прямые a и b пересекают одну сторону угла с вершиной O в
точках A и B , а другую сторону угла соответственно в точках A1 и B1 , то
OA  OB  AA1  BB1 .
Доказательство. Пусть чертеж выглядит так, как на рисунке 6. Через точку A
проведем прямую, параллельную прямой A1 B1 , и отметим точку M ее пересечения с
прямой B . Четырехугольник AMB1 A1 –параллелограмм, так как противоположные
стороны его параллельны. Поэтому AA1  B1M и AM  A1B1 . Применив теорему Фалеса к
углу OBB1 и параллельным прямым AM и OB1 , получим AB  BM  OA  B1M . Отсюда
BM
AB


B1M OA
Вычислим теперь отношение
BB1 BM  MB1 BM


 1
AA1
MB1
B1M
Заменив отношение
BM
B1M
на
AB
OA
, получим
BB1 AB
OA  AB OB

1 


AA1 OA
OA
OA
Следовательно, OA  OB  AA1  BB1 .
4. Основное свойство гомотетии.
Напомним, что иногда удобно считать прямую параллельной самой себе. С учетом
этого сформулируем и докажем основное свойство гомотетии.
Пусть точки M 1 и N1 гомотетичны точкам M и N относительно точки O с
коэффициентом k . Тогда M1N1 MN и  M1 N1  k  MN  .
Доказательство.
Первый случай. Пусть точка M совпадает с точкой O (рисунок 8). Тогда при
гомотетии точка O переходит в точку O , точка N переходит в точку N1 на луче ON
такую, что  ON1  k  ON  . Следовательно, в этом случае прямая MN совпадает с прямой
M1 N1 , а равенство  M1 N1  k  MN  соответствует равенству  ON1  k  ON  .
Второй случай. Пусть точки M и N лежат на одном луче с вершиной O (рисунок
9). В этом случае прямая MN также совпадает с прямой M1 N1 . Далее,  OM1  k  OM  ,
 ON1  k  ON  , а поэтому  M1 N1  OM1    ON1  k ( OM    ON )  k  MN  .
Третий случай. Пусть точки M , O , N лежат на одной прямой, причем точка O
между точками M и N (рисунок 10). В этом случае прямая MN также совпадает с
M1 N1 .
 ON1  k  ON  ,
 OM1  k  OM  ,
прямой
Далее,
 M1 N1  ON1    ON1  k ( OM    ON )  k  MN  .
Четвертый случай. Пусть точки M , O , N не лежат на одной прямой (рисунок 11).
Тогда прямые MN и M1 N1 пересекают стороны угла MON . Так как
OM 1 ON1

 k
OM
ON
то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямые M1 N1 и MN параллельны.
Применяя теорему из предыдущего пункта, получаем, что
 M1 N1   OM1 

 k
 MN   OM 
откуда  M1 N1  k  MN  . Мы рассмотрели все возможные случаи чертежа, а поэтому
основное свойство гомотетии доказано.
5. В предыдущем пункте мы доказали, что если рассмотреть концы произвольного
отрезка длины a , то при гомотетии с коэффициентом k они переходят в две точки,
являющиеся концами отрезка, который параллелен исходному и длина которого равна ka .
Покажем, что при гомотетии отрезок переходит в отрезок.
Доказательство. Рассмотрим отрезок AB . Пусть точки A1 и B1 гомотетичны точкам
A и B относительно центра O с коэффициентом k .
Первая часть. Покажем, что при данной гомотетии каждая точка отрезка AB
переходит в некоторую точку отрезка A1 B1 .
Пусть X — любая точка отрезка AB . Тогда выполняется равенство
 AX    XB  AB  . По основному свойству гомотетии точка X переходит в такую точку
X1 , что  A1 X1  k  AX  и  X 1B1  k  XB  . Отсюда следует, что
 A1 X1    X1B1  k ( AX    XB )  k  AB  A1B1  
Так как
 A1 X1    X1B1  A1B1 
то точка X1 лежит на отрезке A1 B1 (рисунок 12).
Вторая часть. Покажем, что при данной гомотетии каждая точка отрезка A1 B1
гомотетична некоторой точке отрезка AB . Для этого вспомним, что точки A и B
получаются из точек A1 и B1 гомотетией относительно того же центра O , но с
коэффициентом 1k . В первой части мы доказали, что при такой гомотетии каждая точка Y1
отрезка A1 B1 переходит в точку Y отрезка AB (рисунок 13). Но тогда точка Y1
гомотетична Y относительно точки O с коэффициентом k .
6. Гомотетичные фигуры.
Если точка M 1 гомотетична точке M относительно некоторой точки O с
коэффициентом k , то по определению она лежит на луче OM и
OM1
OM
 k . Но тогда
OM
OM1
 k1 ,
а потому M гомотетична точке M 1 с коэффициентом 1k . Аналогично, если фигура F1
гомотетична фигуре F , то F гомотетична F1 относительно того же центра гомотетии, но
с обратным коэффициентом 1k .
Таким образом, можно говорить о гомотетичных фигурах F и F1 .
Доказанное в предыдущем пункте свойство показывает, что не всякие два отрезка
гомотетичны. Но если взять два параллельных отрезка AB и A1 B1 разной длины, не
лежащие на одной прямой, то, как показывает рисунок 14, они гомотетичны.
Действительно, в этом случае прямые AA1 и BB1 не могут быть параллельными, а
значит, пересекаются в некоторой точке O . Рассмотрим гомотетию с центром O и
коэффициентом
OA
k  1
OA
Так как по теореме Фалеса
OB1 OA1

 k
OB OA
то при этой гомотетии точка B переходит в точку B1 , значит, и отрезок AB
переходит в отрезок A1 B1 .
7. Образ окружности при гомотетии.
Покажем, что фигура, гомотетичная окружности, есть окружность.
Доказательство. Пусть дана окружность S с центром A и радиусом R , O — центр
и k – коэффициент гомотетии. Возьмем на окружности S точку X и рассмотрим точки
X1 , A1 , гомотетичные точкам X , A (рисунок 15). По свойству из пункта 2.4. получаем,
что  X1 A1  k  XA  kR . Следовательно, каждая точка окружности S с центром A и
радиусом R переходит в некоторую точку окружности S1 с центром A1 и радиусом
R1  kR .
Аналогично доказывается, что при гомотетии с центром O и коэффициентом 1k
каждая точка Y1 окружности S1 переходит в некоторую точку Y окружности S . Поэтому
точка Y1 окружности S1 гомотетична точке Y окружности S .
8.** Симметричность,
рефлексивность
и
транзитивность
отношения
гомотетичных фигур.
Гомотетичность фигур обладает свойствами, аналогичными свойствам равенства:
1) каждая фигура гомотетична самой себе;
2) если фигура F1 гомотетична фигуре F2 , то фигура F2 гомотетична фигуре F1 ;
3) если фигура F 1 гомотетична фигуре F 2 , а фигура F2 гомотетична фигуре F3 , то
фигура F1 либо гомотетична фигуре F3 , либо получается из фигуры F3 параллельным
переносом.
Мы не будем доказывать эти свойства, а только на конкретном примере проверим
свойство 3.
На рисунке 1 квадрат ABCD гомотетичен квадрату EFGH с центром O1 и
коэффициентом 3.
На рисунке 2 показано, что второй квадрат EFGH гомотетичен квадрату KLMN с
центром O2 и коэффициентом 12 .
И на рисунке 3 можно видеть, что квадрат ABCD гомотетичен квадрату KLMN с
центром O3 и коэффициентом 32  3  12 .
Контрольные вопросы
1. В каком случае точка M 1 называется гомотетичной точке M относительно центра
O с коэффициентом k ?
2. Чему гомотетичен центр гомотетии?
3. Какая фигура называется гомотетичной данной фигуре F относительно центра O
с коэффициентом k ?
4. Пусть фигура F1 гомотетична фигуре F относительно точки O с коэффициентом
k ; с каким коэффициентом фигура F будет гомотетична F1 относительно того же
центра?
5. Как построить центр гомотетии, если заданы точки A , B и гомотетичные им
точки A1 , B1 , причем все четыре точки не лежат на одной прямой?
6. В чем состоит основное свойство гомотетии?
7. Как доказать основное свойство гомотетии?
8. Во что переходит отрезок при гомотетии?
9. Во что переходит прямая при гомотетии?
10. Какая фигура гомотетична окружности?
11. Как доказать, что две окружности разных радиусов всегда гомотетичны?
Задачи и упражнения
1. Дан квадрат ABCD . Постройте гомотетичный ему квадрат с коэффициентом гомотетии
k  14 :
a) относительно центра гомотетии A ;
b) приняв за центр гомотетии центр данного квадрата.
2. Вершинами треугольника A1B1C1 служат середины сторон равностороннего треугольника
ABC . Будет ли треугольник A1B1C1 гомотетичен треугольнику ABC относительно
какого-то центра гомотетии O ?
3. Две окружности касаются друг друга внутренним образом (рисунок 4). Докажите, что они
гомотетичны относительно точки касания.
4. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внешним образом (рисунок 5).
Докажите, что их внешние касательные пересекаются в центре гомотетии этих
окружностей.
5.* Даны угол с вершиной O и внутри него точка A . Постройте окружность, касающуюся
сторон угла и проходящую через точку A .
6.* Найдите геометрическое место точек, которые делят в данном отношении m  n все
хорды, выходящие из одной точки данной окружности.
7.* В данный треугольник впишите прямоугольник, у которого две вершины лежали бы на
данной стороне, и стороны относились бы как 2:1. Указание: см. пример 2 в п. 5  .
8. Известно, что фигура F1 получена из фигуры F при гомотетии с центром O и
коэффициентом k . При какой гомотетии фигура F получается как образ фигуры F1 .
(Укажите центр и коэффициент этой гомотетии)?
9. Точка A1 получена из точки A при гомотетии с центром O и коэффициентом k . Как
расположены точки A , A1 относительно точки O , если:
а) 0  k  1б) , k  1 ?
10. Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) расстояния при гомотетии, если
коэффициент гомотетии k такой что
а) k  1 б) , k  1 в) , k  1 ?
11.** Сколько существует гомотетий (укажите центр и коэффициент), которые данную точку
A переводят в данную точку A1 ?
12. Гомотетичны ли фигуры F и F1 на рисунках с 21 по 26? Если F и F1 гомотетичны, то
укажите центр гомотетии и коэффициент гомотетии. Если не гомотетичны, то поясните,
почему они не гомотетичны.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 2. Указание. Из наглядных соображений emестественно предположить, что
эти треугольники не могут быть гомотетичными. Формальное доказательство непросто.
Если такое доказательство и требовать от учащихся, то только на третьем уровне.
Рассмотрим одно из возможных доказательств. Предположим, что треугольник
A1B1C1 гомотетичен треугольнику ABC с некоторым центром O и коэффициентом k  0 .
Так как при гомотетии каждый отрезок переходит в параллельный ему отрезок, то сторона
AB должна перейти в сторону A1 B1 (рис. 2). При этом есть две возможности: либо точка
A переходит в точку A1 и точка B переходит в точку B1 , либо точка A переходит в точку
B1 и точка B переходит в точку A1 . Но в первом случае прямые AA1 и BB1 пересекаются
в точке O1 , которая лежит как на отрезке AA1 , так и на отрезке BB1 . Поэтому точка A1 не
может получаться из точки A гомотетией с центром O1 , потому что не лежит на луче
O1 A . Во втором случае прямые AB1 и BA1 пересекаются в точке O2 , которая совпадает с
вершиной C . Поэтому точка C1 не может получаться из точки C гомотетией с центром в
точке C . В результате во всех возможных случаях приходим к противоречию.
Задача 3. Указание. В пункте 2.7 доказано, что при гомотетии окружность
переходит в окружность. Выбрав в качестве центра гомотетии точку F касания
окружностей и в качестве коэффициента k отношение Rr радиусов, получаем, что
окружность с центром O1 переходит в окружность радиуса r с центром в точке P такой,
которая лежит на луче FO1 и PF  O1 F  r  R . Отсюда следует, что точка P совпадает с
точкой O2 .
Аналогично решается задача 4.
Задача 5. Указание. Любая окружность, которая касается сторон угла, гомотетична
искомой окружности с центром гомотетии в вершине угла.
Задача 7. Указание. Сначала построим прямоугольник EFGH , у которого сторона
EH лежит на стороне AC , вершина F на стороне AB и EH  2  EF (рис. 4). Затем
найдем точку M пересечения прямой AG со стороной BC . После этого искомый
прямоугольник KLMN строится так, как изображено на рис. 4. Задача имеет еще одно
решение, когда отрезок EF строится в два раза больше отрезка EH .
Задача 11. Указание. Для каждого числа k такого, что k  0 и k  1 , существует
гомотетия с коэффициентом k , при которой точка A переходит в точку A1 .
Задача 12. Указания. На рисунках7 и 10 фигуры гомотетичны. На рисунке 5 отрезки
равны и не совпадают, а поэтому не гомотетичны. На рисунке 6 углы имеют разную
величину, а поэтому не гомотетичны. На рисунке 8 есть два равных отрезка одной
фигуры, которым должны соответствовать неравные отрезки другой фигуры, чего при
гомотетии не может быть. На рисунке 9 одна фигура содержит отрезок, а у другой фигуры
нет отрезка, который ему параллелен.