Гомотетия



Гомотетия
1. На плоскости даны 5 точек, лежащие в вершинах выпуклого пятиугольника. Построить пятиугольник, для которого
эти точки будут серединами сторон.
2. На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
X  , обладающую тем свойством, что
O называют центром гомотетии, а число k — коэффициентом гомо-
Определение. Гомотетией называют преобразование плоскости, переводящее точку
OX   k OX
(точка
тетии. Обозначение –
O и число k  0
H Ok .
фиксированы). Точку
X
в точку
Определение. Две фигуры гомотетичны, если одна из них переходит в другую при некоторой гомотетии.
Вопрос. Что есть гомотетия с коэффициентом 1, –1?
СВОЙСТВА ГОМОТЕТИИ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.
Точки О, А и её образ при гомотетии А лежат на одной прямой.
k
Гомотетия H O имеет неподвижную точку, отличную от O . Докажите, что k  1 .
Докажите, что преобразование, обратное гомотетии, является гомотетией. Найдите ее центр и коэффициент.
A  и B  — образы точек A и B при гомотетии H Ok . Докажите, что AB   k AB .
Гомотетия отображает прямую, не проходящую через центр гомотетии, на параллельную ей прямую. Прямая, содержащая
центр гомотетии, переходит в себя.
Гомотетия отображает луч на луч; угол на равный ему угол.
7. При гомотетии окружность переходит в окружность.
При гомотетии многоугольник переходит в подобный многоугольник. 9.
Образ пересечения есть пересечение образов.
ЗАДАЧИ. 1. Две окружности касаются в точке K . Прямая, проходящая через точку K , пересекает эти окружности в точках A и B . Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки A и B , параллельны.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами
некоторого квадрата.
На плоскости даны точки A и B и прямая l . По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольника
ABC , если точка C движется по прямой l ?
На окружности даны точки А и В, а точка С движется по этой окружности. Найдите ГМТ пересечения медиан АВС.
Внутри квадрата ABCD взята точка М. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и
DAM образуют квадрат.
Выпуклый четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Какую фигуру образуют точки пересечения
медиан этих треугольников?
В данный угол вписать окружность, проходящую через данную точку внутри угла.
(Лемма о трапеции) Докажите, что в любой трапеции точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, точка
пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой.
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что
трапеция равнобедренная.
Фигуры F и F1 гомотетичны дважды, если существуют ровно две гомотетии, каждая из которых отображает F на
F1.Покажите, что гомотетичны дважды: а) любые два параллельные отрезка; б) всякие два неравных треугольника ABC
и A1B1C1 с соответственно параллельными сторонами; в) две неравные окружности.
Пусть О– центр вписанной окружности треугольника АВС, D– точка касания ее со стороной АС, В1– середина стороны
АС. Докажите, что прямая В1О делит отрезок BD пополам.
Дан треугольник АВС. Точки А1, В1, С1 – образы точек А, В, С соответственно при симметрии с центром в произвольной
точке Р. Доказать, что прямые, проходящие через точки А1, В1, С1 и середины сторон ВС, СА, АВ соответственно, пересекаются в одной точке.
Все хорды окружности, имеющие общий конец, разделены в равных отношениях. Найти множество точек деления.
Две окружности касаются внешним образом в точке А, а общая касательная к ним касается окружностей в точках В и С.
доказать, что угол ВАС прямой.
Две окружности касаются внешним (внутренним) образом. Через центр гомотетии с положительным (отрицательным)
коэффициентом, отображающей одну окружность на другую, проведена прямая, пересекающая окружности в гомотетичных точках А и В. Доказать, что из точки касания окружностей отрезок АВ виден под прямым углом.
Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами k1 и k2, где k1k21, является гомотетией с коэффициентом k1k2, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай k1k2=1.
Общие внешние касательные к парам окружностей S1 и S2, S2 и S3, S3 и S1 пересекаются в точках А, В и С соответственно. Докажите, что А, В и С лежат на одной прямой.
Прямоугольный треугольник АВС изменяется таким образом, что вершина А прямого угла не подвижна, а вершины В и
С скользят по фиксированным окружностям S1 и S2 касающимся внешним образом в точке А. Найдите ГМТ оснований
D высот АD.
Докажите, что внутри любого выпуклого многоугольника Ф можно разместить два не пересекающихся подобных ему
многоугольника Ф1 и Ф2 вдвое меньшего размеров.
Пусть R и r–радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для правильного треугольника.
Трапеции АВСD и APQD имеют общие основания AD, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите,
что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а) AB и CD, AP и DQ, BP и CQ;
б) AB и CD,
AQ и DP, BQ и CP.
(Теорема Наполеона) На сторонах треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что
их центры являются вершинами правильного треугольника.