08-04-03

08-04-03. Гомотетия плоскости.
1. Преобразование гомотетии.
Выбирая положительное число k и центр O на плоскости, мы в пункте 2.1. для
каждой точки M определили гомотетичную ей точку M 1 . Тем самым определено
преобразование всех точек плоскости.
Пусть O — фиксированная точка плоскости и k — положительное число.
Гомотетией с центром O и коэффициентом k называется преобразование
плоскости, которое точку O переводит в точку O , а любую другую точку M
переводит в точку M 1 , лежащую на луче OM и такую, что OM1  k  OM .
Преобразуя по правилу гомотетии все точки некоторой фигуры F , мы получаем
фигуру F1 , гомотетичную фигуре F .
На уроках 3 – 4 этой темы было показано, что при гомотетии отрезки преобразуются
в отрезки, прямые — в прямые, окружности — в окружности.
Определяя по указанному выше правилу гомотетию с коэффициентом k  1 , мы
получаем, что каждая точка плоскости переходит сама в себя. Такое преобразование
называется тождественным преобразованием плоскости.
2. Формулы преобразования координат при гомотетии относительно начала
координат.
Рассмотрим в координатной плоскости гомотетию относительно начала O системы
координат с коэффициентом k  0 .
Покажем, что при этой гомотетии каждая точка M ( x y ) переходит в точку M1 (u v) ,
для координат которой выполняются равенства:
u  kx v  ky
Доказательство. Для доказательства выберем единицу измерения длин отрезков,
при которой расстояние между точками O(0 0) и E (1 0) равно 1.
Первый случай. Пусть точка M лежит на положительном луче оси Ox , то есть M
имеет координаты (a 0) , где a  0 . Тогда  OM  a , а потому точка M при гомотетии
переходит в точку M1 (u v) , лежащую на луче OM , такую что
 OM 1 
 k
 OM 
Следовательно,  OM1  k  OM  ka . Так как точка M 1 лежит на положительном
луче оси Ox и  OM1  ka , то точка M 1 имеет координаты (ka 0) . Поэтому
u  ka
v  0  k  0
Второй случай. Пусть точка M лежит на положительном луче оси Oy , то есть M
имеет координаты (0b) , где b  0 . Тогда  OM  b , а потому точка M при гомотетии
переходит в точку M1 (u v) , лежащую на луче OM , такую что
 OM 1 
 k
 OM 
Следовательно,  OM1  k  OM  kb . Так как точка M 1 лежит на положительном
луче оси Oy и OM1  kb , то точка M 1 имеет координаты (0 kb) . Поэтому
u  0  k  0
v  kb
Третий случай. Пусть точка M лежит в I четверти системы координат, то есть точка
M имеет координаты (a b) , где a  0 и b  0 . Точка M при гомотетии переходит в точку
M1 (u v) , лежащую на луче OM , такую, что
 OM 1 
 k
 OM 
Проведем через точки M и M 1 прямые параллельные осям координат, как на
рисунке 5. Тогда по теореме Фалеса
 OA1   OB1  OM1 


 k
 OA   OB   OM 
откуда
 OA1  k  OA  kb  OB1  k  OB  kb
Следовательно, точка M 1 имеет координаты (ka kb) . Поэтому
u  ka
v  kb
В остальных возможных случаях, когда точка M лежит на отрицательном луче оси
Ox , на отрицательном луче оси Oy , во II четверти, в III четверти и в IV четверти,
рассуждения аналогичны рассмотренным в одном из первых трех случаев.
В результате разбора всех возможных случаев будет доказано, что при гомотетии с
центром O(0 0) и коэффициентом k  0 координаты точек преобразуются по формулам:
u  kx v  ky
(1)
**
3. Вывод уравнений образов фигур при гомотетии.
С помощью формул
u  kx v  ky
преобразования координат точек нетрудно находить уравнения фигур, в которые при
гомотетии с центром O(0 0) и коэффициентом k переходят фигуры с заданными
уравнениями.
Пример 1. Рассмотрим гиперболу с уравнением y  1x (рисунок 6).
Пусть точка M ( x y ) этой гиперболы при гомотетии с центром O и коэффициентом
k  2 переходит в точку M1 (u v) . Тогда u  2x , v  2 y , откуда x  u2 , v  2y . Подставляя в
уравнение y  1x вместо x и y их выражения через u и v , приходим к уравнению
u 2

2 v
или
22
u 
v
Заменяя переменные u и v соответственно на x и y , получаем уравнение
4
y 
x
Кривая с таким уравнением изображена на рисунке 7 и также называется
гиперболой.
Пример 2. Рассмотрим параболу с уравнением y  x 2 . Пусть точка M ( x y ) этой
параболы при гомотетии с центром O и коэффициентом k  3 переходит в точку M1 (u v) .
Тогда u  3x , v  3 y , откуда
u
v
x  y 
3
3
Подставляя в уравнение y  x 2 вместо x и y их выражения через u и v , приходим
к уравнению
v u2
 
3 32
Заменяя переменные u и v соответственно на x и y , получаем уравнение
1
y  x2 
3
Кривая с таким уравнением изображена на рисунке 9 и также называется параболой.
Пример 3. Рассмотрим прямую с уравнением y  2 x  3 . Каждая точка M ( x y ) этой
прямой при гомотетии с центром O и коэффициентом k переходит в точку M1 (u v) , где
u  kx v  ky
Из этих равенств следует, что
u
v
x  y 
k
k
Подставляя в уравнение y  2 x  3 вместо x и y их выражения через u и v ,
приходим к уравнению
u
v
 2 3
k
k
или
u  2v  3k
Заменяя переменные u и v соответственно на x и y , получаем уравнение прямой
y  2 x  3k 
В эту прямую при гомотетии переходит прямая y  2 x  3 . Так как угловые
коэффициенты прямых равны, то эти прямые параллельны.
На рисунке 10 изображены прямые y  2 x  3 и y  2 x  3k при k  23 .
Пример 4. Рассмотрим окружность с уравнением ( x  3)2  ( y  2)2  22 .
Пусть точка M ( x y ) этой окружности при гомотетии с центром
O
и
коэффициентом k переходит в точку M1 (u v) . Тогда u  kx , v  ky , откуда
u
v
x  y 
x
k
Подставляя в уравнение данной окружности вместо x и y их выражения через u и
v , приходим к уравнению
2
2
u
 v

2
  3    2   2
k
 k

или
(u  3k )2  (v  2k )2  (2k )2 
Заменяя переменные u и v соответственно на x и y , получаем уравнение
окружности
( x  3k )2  ( y  2k )2  (2k ) 2 
В эту окружность при гомотетии переходит окружность ( x  3)2  ( y  2)2  22 .
На рисунке 11изображены рассматриваемые окружности при k  12 .
4.** Перечисленим основные свойства, найденные при изучении гомотетии и
гомотетичных фигур.
Свойство 1. Гомотетия с коэффициентом k переводит отрезок длины a в
параллельный ему отрезок длины ka .
Свойство 2. Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую.
Свойство 3. При гомотетии окружность радиуса r с центром F переходит в
окружность радиуса kr с центром в точке, гомотетичной точке F .
Имеется еще одно важное свойство гомотетии:
Свойство 4. Гомотетия переводит пересечение двух фигур в пересечение
гомотетичных им фигур.
Эти четыре свойства позволяют показать, например, что при гомотетии:
а) различные точки переходят в различные точки;
б) пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся прямые;
в) параллельные прямые переходят в параллельные прямые;
г) касательная к окружности переходит в касательную к окружности.
5.** Построение центра гомотетии двух окружностей различного радиуса.
Разберем несколько задач, которые решаются с использованием свойств гомотетии.
Пример 5. Пусть окружности S1 и S 2 не равны и ни одна из них не лежит внутри
другой. Проведем к ним внешние касательные m и n до пересечения в точке O (рисунок
12). Покажем, что окружности гомотетичны с центром O .
Пусть A и B — точки касания окружностей со стороной m угла, образованного
касательными. Рассмотрим гомотетию с центром O и коэффициентом k  OB  OA . Она
переводит каждую из сторон m и n угла в себя, окружность S1 , касающуюся сторон угла
в некоторую окружность, касающуюся сторон этого угла, а точку касания A в точку
касания B . Но есть только одна окружность, касающаяся сторон угла с одной из точек
касания B . Это окружность S 2 . В нее и переходит S1 при гомотетии.
Пример 6. Покажем, как в данный остроугольный треугольник ABC вписать
квадрат так, как изображено на рисунке 14.
Решение. Построим сами некоторый квадрат PQRS , как на рисунке 14, и
рассмотрим гомотетии с центром A . Каждая из таких гомотетий переводит точку Q в
точку на луче AB , точки P и S в точки на луче AC . Если одна из таких гомотетий точку
R переводит в точку на стороне BC , то при этом квадрат PQRS перейдет в квадрат, все
вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC . Такую гомотетию найти
нетрудно: нужно точку R перевести в точку R1 , как на рисунке 15.
Зная точку R1 , легко построить и вписанный в треугольник квадрат.
6.** Понятие о гомотетии с отрицательным коэффициентом.
При гомотетии с центром в начале координат O и коэффициентом k  0 координаты
точек преобразуются по формулам:
u  kx v  ky
Возьмем теперь отрицательное число m и назовем гомотетией относительно точки
O с коэффициентом m преобразование плоскости, при котором точка M ( x y ) переходит
в точку M1 (u v) такую, что
u  mx v  my
Другими словами, гомотетия с центром O и отрицательным коэффициентом — это
такое преобразование плоскости, при котором координаты точек преобразуются по
формулам гомотетии с центром O , в которых постоянный множитель отрицателен.
Заметим, что гомотетию с центром O и отрицательным коэффициентом m можно
получить как последовательное выполнение преобразований: сначала гомотетии с
центром O и коэффициентом  m  , а затем симметрии относительно точки O .
Действительно, возьмем произвольную точку M ( x y ) . При гомотетии с центром O
и коэффициентом  m  эта точка переходит в точку с координатами M1 ( m  x m  y ) .
Полученная точка M 1 при симметрии относительно точки O переходит в точку M 2 с
координатами (  m  x   m  y ) . Следовательно, преобразование, при котором точка M
переходит в точку M 2 , задается формулами
u    m  x  mx
v    m  y  my
Свойства гомотетии с отрицательным коэффициентом аналогичны свойствам
гомотетии с положительным коэффициентом.
Например, при гомотетии относительно точки O с коэффициентом  12 окружность
с уравнением ( x  2)2  ( y  2)2  22 переходит в окружность ( x  1)2  ( y  1)2  12 (рисунок
16).
7.** Аналогично тому, как это сделано в пункте 3.1, геометрически можно
определить гомотетию с отрицательным коэффициентом.
Пусть O — фиксированная точка плоскости и m — отрицательное число.
Гомотетией с центром O и коэффициентом m называется преобразование
плоскости, которое точку O переводит в точку O , а любую другую точку M
переводит в точку M 1 , лежащую на луче, дополнительном к лучу O M, и такую, что
 OM1  m    OM  .
Пример 7. Проведем в произвольном треугольнике ABC медианы AM , BN , CK ,
пересекающиеся в точке F (рисунок 17). По свойству медиан треугольника имеем:
FM FN FK 1


 
FA FB FC 2
Следовательно, при гомотетии с центром F и коэффициентом m   12 точка A
переходит в точку M , точка B – в точку N , точка C — в точку K . Отсюда и из свойств
гомотетии получаем, что треугольник ABC переходит в треугольник MNK .
Пример 8.Пусть даны две окружности S1 и S 2 , ни одна из которых не лежит внутри
другой. Проведем к ним общие внутренние касательные m и n , пересекающиеся в точке
P (рисунок 18). Покажем, что окружности гомотетичны с центром P .
Пусть A и B — точки касания окружностей с прямой m . Рассмотрим гомотетию с
центром P и коэффициентом p    PB  PA  . Она переводит каждую из прямых m и n
в себя, окружность S1 с центром O1 , касающуюся прямых m и n , переводит в некоторую
окружность  , центр которой лежит на прямой O1P , а точку A касания окружности S1 с
прямой m переводит в точку B касания окружности  с прямой m . Но так как
существует только одна окружность, центр которой лежит на прямой O1P и которая
касается прямой m в точке B , то окружность  совпадает с окружностью S 2 .
Следовательно, при гомотетии с центром P и коэффициентом p окружность S1
переходит в окружность S 2 .
Пример 9.Пусть даны угол ASB и точка M внутри этого угла. Проведем через
точку M прямую l , которая пересекает сторону SA в точке E и сторону SB в точке F
таким образом, что EM  MF  1  4 .
Решение. Сначала заметим, что если такую прямую удалось провести (рисунок 19),
то точка E получается из точки F гомотетией с центром M и коэффициентом m   14 .
Отсюда вытекает следующее построение:
1. Выберем на луче SB любую точку C , проведем прямую MC , и на продолжении
луча MC отложим отрезок MD такой, что  MD  14  MC  (рисунок 20).
2. Проведем через точку D прямую p параллельно SB и отметим точку E
пересечения прямой p и SA (рисунок 21).
3. Проведем прямую EM и отметим точку F пересечения прямых EM и SB
(рисунок 22).
Требуемая прямая построена.
Доказательство. При гомотетии с центром M и коэффициентом  14 точка C
переходит в точку D . Поэтому проходящая через точку C прямая SB переходит в
параллельную ей прямую, проходящую через точку D , то есть в прямую p . Так как
прямая EF проходит через центр M гомотетии, то точка E прямой p гомотетична точке
F прямой SB относительно точки M с коэффициентом  14 . Следовательно
 ME  14  MF  .
8.** Последовательное выполнение гомотетии с общим центром.
Докажем, что последовательное выполнение гомотетий с центром в начале O
системы координат и коэффициентами k1 и k2 является гомотетией с центром O и
коэффициентом k  k1  k2 .
Возьмем произвольную точку M ( x y ) . При гомотетии с центром O и
коэффициентом k1 эта точка переходит в точку M 1 с координатами (k1 x k1 y) . Полученная
точка M 1 при гомотетии с центром O и коэффициентом k2 переходит в точку M 2 с
координатами (k2  (k1 x) k2  (k1 y )) . Следовательно, преобразование, при котором точка M
переходит в точку M 2 , задается формулами
u  (k1k2 ) x
v  (k1k2 ) y
которыми определяется гомотетия с центром O и коэффициентом k  k1  k2 .
Пример 10. На рисунке 23 отрезок CD получается гомотетией с центром O и
коэффициентом 2 из отрезка AB , а отрезок EF получается гомотетией с центром O и
коэффициентом 3 из отрезка CD . По доказанному в этом пункте свойству отрезок EF
получается из отрезка AB гомотетией с центром O и коэффициентом 6. В этом нетрудно
убедиться и непосредственно по рисунку 23.
9.** Преобразование, обратное гомотетии.
Рассмотрим произвольную фигуру F плоскости. При гомотетии с центром O и
коэффициентом k фигура F переходит в гомотетичную ей фигуру F1 (рисунок 24).
Фигура F1 при гомотетии с центром O и коэффициентом 1k переходит в такую
гомотетичную ей фигуру F2 (рисунок 25), которая получается из фигуры F
последовательным выполнением двух гомотетий с центром O : сначала с коэффициентом
k , а затем с коэффициентом 1k .
Как следует из предыдущего пункта, итоговым преобразованием плоскости является
гомотетия с центром O и коэффициентом m  k  1k  1 . Но гомотетия с коэффициентом 1
— это тождественное преобразование плоскости, которое каждую фигуру переводит саму
в себя. Следовательно, фигура F2 совпадает с фигурой F . Поэтому, если фигура F1
получается из фигуры F гомотетией с центром O и коэффициентом k , то фигура F
получается из фигуры F1 гомотетией с тем же центром O и коэффициентом 1k . По такой
причине гомотетию с центром O и коэффициентом 1k называют обратным
преобразованием k гомотетии с центром O и коэффициентом k .
Контрольные вопросы
1. Что такое гомотетия плоскости?
2. Чем однозначно определяется гомотетия плоскости?
3. Что такое гомотетия с коэффициентом k  1 ?
4. Что представляет собой гомотетия с коэффициентом k  1 .
5. Рассмотрим в координатной плоскости гомотетию с центром в начале координат и
коэффициентом k . В какую точку M1 ( x1 y1 ) при этой гомотетии перейдет точка M ( x y ) ?
6. В какую фигуру перейдет гипербола y  1x при гомотетии с центром в начале
координат и коэффициентом k . (Можно рассмотреть случай k  2 , k  4 )?
7. В какую фигуру перейдет парабола y  x 2 при гомотетии с центром в начале
координат и коэффициентом k . (Можно рассмотреть случаи k  2 , k  12 , k  2 )?
8. В какую прямую перейдет прямая y  2 x  3 при гомотетии с центром в начале
координат и коэффициентом k . (Можно рассмотреть случаи k  23 , k  2 , k  12 , k  2 )?
9. В какую фигуру перейдет окружность при гомотетии с центром в начале
( x  3)2  ( y  2)2  4 координат и коэффициентом k ?
10. Сформулируйте четыре основных свойства преобразования гомотетии.
11. Какие свойства гомотетии использовались при решении:
а) примера 1 из пункта 5  ;
б) примера 2 из этого же пункта?
12. Докажите, что последовательное выполнение гомотетий с центром в начале
координат и коэффициентами k1 и k2 приводит к гомотетии с центром в начале координат
и коэффициентом гомотетии k  k1  k2 .
13. Что такое обратное преобразование к преобразованию гомотетии с центром в
точке O и коэффициентом k ?
14. Является ли обратное преобразование к гомотетии тоже гомотетией?
15. Что представляет собой последовательно выполненное преобразование
гомотетии и обратного преобразования к этой гомотетии?
16. Как определить преобразование, обратное к параллельному переносу, Заданному
на координатной плоскости парой чисел (a b) ?
Задачи и упражнения
1. Произведите преобразование заданного треугольника ABC гомотетией с заданным
центром O и коэффициентом гомотетии:
а) k  2 б) ; k  3 в) ; k  12 ;
г) k  1 д) ; k  2 е) ; k   12 .
Отдельно рассмотрите случай, когда точка O совпадает с одной из вершин треугольника.
2. Произведите преобразование гомотетией заданной окружности с центром в точке O1 и
радиусом R , если заданы центр гомотетии O и коэффициент гомотетии:
а) k  2 б) ; k  3 в) ; k  12 ;
г) k  1 д) ; k  2 е) ; k   12 .
Отдельно рассмотрите случай, когда точки O1 и O совпадают.
3. В какой треугольник перейдет треугольник ABC при гомотетии относительно точки O
— точки пересечения медиан — с коэффициентом гомотетии k   12 ?
4. В какой параллелограмм перейдет параллелограмм ABCD при гомотетии с центром в
точке O — точке пересечения диагоналей параллелограмма ABCD — с коэффициентом
k:
а) k  2 б) ; k  3 в) ; k  12 ;
г) k  1 д) ; k  2 е) ; k   12 .
5. Даны две точки A и B . Найдите множество (геометрическое место) центров гомотетий,
при которых точка A переходит в B .
6. Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами
гомотетичны относительно точки O . Найдите множество точек O .
7. Прямая A1 B1 параллельная основанию треугольника ABC отсекает от него треугольник
A1 B1C . Докажите, что медиана CM треугольника ABC делит сторону A1 B1 пополам.
8. Из точки A проведены к прямой MN наклонные AB1 , AB2 , AB3 , AB4 . Известно, что для
i  1 2 3 4 точки Ci лежат на отрезке ABi , причем ACi  Ci B  1  2 . Докажите, что точки
C1 , C2 , C3 , C4 лежат на одной прямой.
9. Найдите гомотетию с центром в начале координат (укажите коэффициент гомотетии),
которая переводит:
а) гиперболу y  1x в гиперболу y  4x ;
б) гиперболу y  2x в гиперболу y  8x ;
в) гиперболу y  1x в гиперболу y  41x ;
г) параболу y  x 2 в параболу y  12 x 2 ;
д) параболу y  x 2 в параболу y   x 2 ;
е) параболу y  2 x 2 в параболу y  12 x 2 ;
ж) прямую y  3x  1 в прямую y  3 x  3 .
10. Найдите гомотетию с центром в начале координат (укажите коэффициент гомотетии),
которая переводит:
а) прямую y  x  4 в прямую y  x  1 ;
б) окружность x 2  y 2  4 в окружность x 2  y 2  25 ;
в) окружность ( x  3)2  ( y  2)2  4 в окружность ( x  1) 2   y  23   94 ;
2
г) эллипс x 2  4 y 2  1 в эллипс x 2  4 y 2  19 .
11. Дан угол ABC и внутри угла точка M . Постройте квадрат PQRF такой, что:
точки P , Q лежат на луче BC ;
точка F лежит на луче BA ;
точка M лежит на луче QR .
12. Дан угол ABC и внутри угла точка M . Постройте окружность, которая касается прямых
BA и BC и проходит через точку M . Сколько решений имеет задача?
13. Рассмотрим гомотетию треугольника ABC в треугольник MNK с коэффициентом   12 
и центром в точке пересечения медиан. Во что при этой гомотетии перейдут прямые,
проходящие через высоты треугольника ABC ?
14. Используя результат задачи 13, докажите, что высоты треугольника ABC пересекаются
в одной точке.
15. Пусть дан угол ABC и точка M внутри него. Проведите через точку M прямую,
которая пересекает лучи AB в точках E и F таким образом, что EM  MF  3  1 .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 5. Указание. Если ограничиваться гомотетиями с положительным
коэффициентом, то за центр гомотетии можно взять любую точку прямой AB за
исключением всех точек отрезка AB . Если рассматривать также гомотетии с
отрицательным коэффициентом, то за центр гомотетии можно взять любую точку прямой
AB за исключением самих точек A и B .
Задача 6. Указание. Пусть A и B — вершины заданных углов. В этой задаче
гомотетии могут быть только с положительным коэффициентом, а за центр гомотетии
можно взять любую точку прямой AB за исключением всех точек отрезка AB .