СТРУКТУРА ЗАДАНИЯ Билет включает 4 задания – теорема с доказательством, формулировка, формулировка с применением, задача. Время выполнения работы – 1 ч. 20 минут. ПРОГРАММА КОЛОКВИУМА № 1 1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3 . … 2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения и примеры). Уметь записать эпсилонокрестности заданных точек при различных значениях эпсилон. 3. Функция одного переменного и ее график (определения). Построение графиков функций –f(x), f(-x), |f(x)|, sgnf(x) при известном графике f(x). 4. Четность-нечетность функций (определения, свойства графиков; уметь проверить наличие этих свойств). 5. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций). 6. Числовая последовательность как функция. Предел числовой последовательности, сходимость. 7. Понятие о монотонной и ограниченной числовой последовательностях, теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число «e», функции «экспонента» и «натуральный логарифм». 8. Различные определения предела функции (на языке окрестностей, на языке эпсилон-дельта для конечного и бесконечного пред. значения, частные случаи,напр. lim f ( x) 3 , lim f ( x) , lim f ( x ) ,…). x 1 x 1 x 9. Конечный предел функции (определение) и его единственность (с доказательством). 10. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (доказывать). ] 11. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах (формулировка). Уметь выполнять задания вида «Найти limx0 f(x), если в окрестности x=0 выполняется неравенство sinx f(x) x/(x+1)». 12. Бесконечно малые функции, их свойства (c доказательством). Уметь обоснованно (с учетом свойств) показывать, что данная функция является бесконечно малой (например, для функций f(x)=sinx/(x+1) в окрестности x=0; f(x)=tg(x-1)+x-1 в окрестности x=1). 13. Бесконечно большие функции, их свойства. Уметь обоснованно (с учетом свойств) доказывать, что данная функция является бесконечно большой (например, для функций f(x)=cosx+x при x; f(x)=x+(1/x) при x). 14. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи между ними (доказывать). 15. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный предел (доказывать). 17. Теорема об арифметических действиях с пределами функций (формулировка) 18. Понятие о сложной функции, теорема о пределе сложной функции (формулировка). 19. Эквивалентные функции, примеры. Уметь доказывать с помощью определения, что две предложенных функции эквивалентны (например, f(x)=sin6x-sin2x, g(x)=4x при x0).Теорема о замене эквивалентных функций (формулировка), цепочки эквивалентностей. 20. Односторонние пределы (определения), теорема о связи с обычным пределом. Вычисление односторонних пределов, выводы о существовании и значении обычного предела 22. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и на множестве, критерий непрерывности функции (доказывать). 23. Теоремы о непрерывных функциях (формулировки). 24. Характеристика точек разрыва функций, содержащих модуль, показательную функцию, заданных строчно (напр., f ( x ) | x 3| 2 x 5x 6 2 x 3, при x 1 2 x 3, при x 1 1 , f ( x) , f ( x) ). 2 2 x 1 3 /( x 3) x , при x 1 x , при x 1 , f ( x) Образец билета 1. Дать определение конечного предела функции, доказать его единственность. 2. Дать определение эквивалентных функций, сформулировать теорему о замене эквивалентных функций. 3. Дайте определение графика функции одного переменного, постройте график f ( x) | 9 8 x x 2 | 4. Охарактеризовать точки разрыва функции f ( x) 1 1 21 /( x 2) ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА № 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический смысл производной, дифференцируемость функции в точке и на множестве. 2. Геометрический смысл производной (доказать), уравнение касательной, проходящей к графику заданной функции в указанной точке. 3. Основные правила дифференцирования (теоремы о производной суммы, произведения, частного – доказывать, производная сложной функции – только формулировка). 4. Вывод производных функций y=sin x, y=cos x, y=tgx, y=ctgx. 5. Теорема о дифференцируемости (доказывать), определение дифференциала функции. 6. Определения производной функции в точке, непрерывности функции в точке, теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью. 7. Теорема Лагранжа (формулировка), два следствия (с доказательством). 8. Определения строгой (возрастания, убывания) и нестрогой монотонности (не возрастания, не убывания) функции одного переменного, критерии нестрогой и строгой монотонности (формулировки). 9. Определения точек экстремума и экстремумов функции (локальных максимума и минимума). 10. Необходимое условие точки экстремума (доказательство для точки максимума, точки минимума). 11. Формулировки первого и второго достаточных условий точки экстремума. 12. Направления выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций),связь со знаком второй производной. 13. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие (формулировки). 14. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, определение и их нахождение. 15. Первообразная, теорема о первообразной (с доказательством) 16. Первообразная и неопределенный интеграл (определения), теорема Коши (формулировка). 17. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством) 18. Определенный интеграл от непрерывных функций и его основные свойства. 19. Геометрический смысл определенного интеграла. 20. Понятие о несобственных интегралах с конечной и бесконечной особой точкой. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, ПРОВЕРЯЮЩИХ ЗНАНИЕ ТЕОРИИ 1) Составить уравнение касательной к графику заданной функции; считая, что угол между линиями можно рассматривать как угол между касательными к их графикам, проведенными в точке пересечения линий, найти угол между заданными кривыми например, между графиками функций y x 3 , y x 2 . 2) Найти по определению дифференциалы для y=x2, y=x3. 3) Используя следствия теоремы Лагранжа, доказать, что arcsin x arccos x const на интервале (0;1) 4) Используя второе достаточное условие, найти точки экстремума функций y x 2 sin 2 x , y x 2 e x . 5) Найти асимптоты графика функций y x3 3 ; y x 2 1 ; y x 3 6x 2 . 1 x 6) Найти площади фигур, ограниченных графиками функций: а) y x 2 , yx 8, x 0, y 16 ; б) y x 2 1, y x 3 ; в) y x 2 , yx 8, y 8 , ( y 8 / x) ; г) y 4 x, yx 1, y 0, x 2 ; д) y x 2 , y x 6, y 0 7) Проверить сходимость несобственных интегралов: 1 dx ; x 1 0 dx ; x dx 1 dx dx x2 ; x2 ; x2 ; 1 0 1 dx 1 x 1 ; 0 dx x Образец билета 1. Понятие о направлениях выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций). 2. Cформулировать и доказать теорему о производной суммы. 3. Дать определение вертикальной асимптоты к графику функции, найти вертикальные асимптоты графика функции f ( x) sin x x 2 2x . 4. Найти площадь области, ограниченной графиками функций y x 2 , y x 6, y 0