Что важно знать, решая задачи на проценты? 1% - это сотая часть числа. 1% = 0,01. Правило 1. Для того чтобы записать проценты десятичной дробью, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100. Например: 1) 15% = 15 : 100 = 0,15; 2) 300% = 300 : 100 = 3; 3) 1,3% = 1,3 : 100 = 0,013 Правило 2. Для того чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. Например: 1) 0,17=0,17∙100%=17%; 2) 7,9=7,9∙100%=790%; 3) 0,006=0,006∙100%=0,6% . Правило 3. За 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем. Основные типы задач на проценты. I. Нахождение процента p% от числа b. Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством . Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь. Задача-образец. Предприятие изготовило за квартал 300 велосипедов, из которых 70 % имели высшую категорию качества. Сколько велосипедов высшей категории качества изготовило предприятие? Решение. Найдём 70 % от 300 (общее количество велосипедов). 70 % = 0,70 = 0,7 300 • 0,7 = 210 (велосипедов) – высшей категории качества. Ответ: 210. II. Нахождение числа a по данному проценту p%. Если p% какого-нибудь числа a равно b, то эти числа связаны равенством . Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь. Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами задача «число по его проценту». Задача-образец. Андрей прочитал 85 страниц, что составляет 17 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге? Решение. Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал Андрей (85 страниц) составляет 17 % от общего количества страниц в книге. – в книге. Проверка: 500 >85 (это означает, что 85 является частью 500). Ответ: 500. III. Нахождение процентного отношения чисел a и b Число a составляет от числа b. 1 Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого можно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100%. Задача-образец. Из 200 арбузов 14 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы? Решение. О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 14 делим на общее количество арбузов, то есть на 200 и умножаем на 100 %. Ответ:7. IV. Увеличение на p%. Если число a увеличено на p%, то оно увеличено в число раз, то получится . Задача-образец. Клиент взял на год в Промсвязьбанке100 000 рублей под 17,9% годовых. Какова будет общая сумма долга? Решение. . Значит, общая сумма долга составит – 117 900 рублей. Ответ: 117 900. V. Уменьшение на q%. Если число a уменьшено на q%, где получится число , то оно уменьшено в раз, то . Задача-образец: Пылесос стоил 4500 рублей. В условиях акции его цена понизилась на 8%. Какова новая цена пылесоса? Решение. 1 способ. 2 способ. 4500 р. – 100% х р. – 8% х= = 360 (р) – понижение цены. 4500 - 360 = 4140 (р) – новая цена пылесоса. Ответ: 4140. Вывод: – формула, с помощью которой решаются задачи на изменение процентов, где S0 — начальное значение, Sn — конечное, p — процент изменения, который участвует в формуле с плюсом, когда величина растёт (например, подорожание товара), либо с минусом, когда величина уменьшается (например, скидка на товар). 2 VI. Начисление простых процентов. При многократном изменении простых процентов начисление делается по отношению к исходной величине и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина, p% - процент изменения, n - число периодов. Задача-образец: Банк «Триумф» выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода? Решение. Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, числа месяцев n = 6 и первоначального вклада S = 500: Значит, через полгода на вкладе будет 224000 рублей. Ответ: 224000. VII. Начисление сложных процентов. При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами: 1) Если изменение происходит на разное число процентов , то формула выглядит так: , где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина. 2) Если в конце каждого этапа времени начисляется одно и то же постоянное количество процентов, p%, то формула выглядит так: , где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина, n - число периодов. Задача-образец: Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 3 года, если банк начисляет 7% годовых и внесённая сумма равна 100 000 рублей? Решение. Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим: Значит, через 3 года на счёте будет сумма 122504,3 руб. Ответ: 122504,3. Задача-образец: Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 131250 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых? Решение. 1 способ. 2 способ. Решим с помощью пропорции: Пусть х – первоначальный вклад. 131250 руб. – 125% Можно решить задачу, используя y руб. – 100% формулу для сложных процентов 3 Откуда y = 105000. 105000 руб. – 125% z руб. – 100% Откуда z =84000. Ответ: 84000. 131250 = х · (1+ 0,25)2 , х = 84000. Задача-образец из Проекта Демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2016 года по математике. Профильный уровень. 4