Математика домашнего хозяйства

Введение
В повседневной жизни мы встречаемся с конкретными величинами и с их помощью,
например, стоимости покупки в магазине, стоимости билета в транспорте, количество
продуктов , необходимых для семьи, мы оцениваем ситуацию, свои действия и поступки.
Но наши действия должны быть такими, чтобы с помощью эффективных качественных и
количественных исследований, мы могли решать различные задачи, выдвигаемые
практикой. Но решать их так, чтобы получить наибольшую выгоду для себя. Наличие
подсобного хозяйства почти в каждой семье сельчанина позволяет заниматься
опытничеством,
экспериментальными
исследованиями,
выявлением
возможностей
рентабельности сельского хозяйства. А это не возможно без математических знаний.
Богатым объектом приложения математических знаний являются практические
работы в сельском, домашнем хозяйстве. Это и вычисления веса сена, соломы в скирдах,
и стогах, определение объема траншей, заправка горючим автотранспорта, определение
веса горючего в бочках и других емкостях, выгодные способы посадки и посева
сельскохозяйственных культур и т.п.
В данной работе я попыталась собрать и составить задачи, подсказанные проблемами
сельского труда и быта, с учетом местных условий, используя данные подсобного
хозяйства сельчан, в том числе своего домашнего хозяйства. Актуальность темы
несомненна, так как каждая семья
вынуждена решать экстремальные задачи, задачи
оптимизации в повседневной жизни. Проблемы экономии времени, ресурсов, учет своих
возможностей всегда будут иметь место в любой семье, в любом хозяйстве. Российский
математик Чебышев говорил, что «особую важность имеют те методы науки, которые
позволяют для всей практической деятельности человека: как располагать своими
средствами для достижения наибольшей выгоды». Такие задачи привлекательны и разные
причины побуждают людей решать их. Экономия, ограниченность ресурсов привели к
тому, что задача оптимального использования материалов, финансов, времени стала
актуальной в наше время.
Гипотеза: математика может помочь практике в решении ее проблем
Цель: показать применение идей и методов математики в различных жизненных
ситуациях сельской жизни.
Задачи
1. изучить соответствующую литературу по данной теме;
2. рассмотреть понятия величин, применяемых в сельском хозяйстве.
3. составить математические модели конкретных практических задач, процессов,
явлений, встречающихся в нашей повседневной деятельности;
4. ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами курса математики,
часто применяемыми в домашнем хозяйстве сельского жителя;
5. поиск задач и составление сборника расчетных задач, применяемых в различных
сельскохозяйственных ситуациях;
6. составление памяток «Математика в домашнем хозяйстве»
Объект исследования: прикладные математические задачи
Предмет: конкретные практические задачи, процессы, явления, встречающиеся в
повседневной деятельности сельчан
Методы: изучение математической литературы, анализ собранного материала,
математические методы, графические методы.
Практическая значимость: изложенный материал может использоваться не только во
всех видах урочной и внеурочной учебной деятельности, но и в домашнем хозяйстве
наших жителей для решения проблем повседневной жизни.
Задачи из сельскохозяйственной практики
На огороде и в саду
На огороде и в саду постоянно приходится решать такие задачи.
1. На какой площади нужно посадить картофель нашей семье, чтобы прокормить 10
поросят в течение года, если с 1 сотки получим 1,2 ц. картофеля, а каждый поросенок
в среднем съедает 10 кг в день?
2. Какую площадь земли необходимо выделить на огороде для посадки капусты, чтобы
обеспечить себя капустой в течение года (365 дней), если на каждого из 6 членов
нашей семьи ежедневно расходуется 100 г капусты, а урожайность капусты составил
0,6 ц с 1 сотки.
3. Для варенья берут на 2 части ягод 3 части сахара (по весу). Сколько сахара следует
взять на 5 кг 800 г ягод, собранных с нашего сада?
Для каждой с/х культуры определено оптимальное количество растений, которое должно
расти на 1 га. Поэтому перед посевом необходимо рассчитать норму высева – массу
семян, которые следует высеять на 1 га, чтобы обеспечить нужную густоту растений. [1 ]
4. Расход картофеля на 1 га при квадратно – гнездовом способе посева.
Q
10q  k
, где Q- расход в кг/га, q - средняя масса картофелины в г, k – количество
a2
картофелин, положенных в гнездо, a – длина стороны квадрата в м. При помощи
формулы R 
S  1000
можно определить количество кустов картофеля на участке
c2
площадью S га, если с – ширина междурядья в м. (определите количество кустов
насвоем участке и определите, сколько кг картофеля потребуется для посадки) [ 2 ]
5. Определить норму высева семян пшеницы, если известно, что на 1га должно расти 6
миллионов растений, а при определении хозяйственной годности семян выяснилось,
что масса 1000 зерен 40 г, чистота семян 97%, а всхожесть 93%.
Решение: Пусть на 1 га будет высеяно семян х кг, среди этих семян зерна пшеницы
будут составлять 0, 97х (остальные мусор), причем прорастут лишь зерна с общей
массой 0, 930,97х, что и должно дать массу 6 миллионов зерен. Получаем уравнение
0, 930,97х = 0, 04  6000. Решив ее, найдем, что норма высева 266 кг/га.
Определив норму высева, необходимо еще настроить на нее сеялку. Для этого нужно
знать, что высевающий агрегат сеялки приводится в действие одним из ходовых колес.
Поэтому количество семян, высеваемых сеялкой на 1 га, не зависит от скорости движения
сеялки и настраивается заранее с помощью специальных рычагов. С этой целью сеялку
приподнимают и начинают вращать ходовое колесо. Количество зерна, высыпающееся за
определенное число оборотов, и позволяет рассчитать, на какую норму высева настроена
сеялка при данном положении рычагов. [ 7]
6. Наше поле имеет форму четырехугольника (см. рис.) известны три его стороны а, b,
с и образованные ими углы , . Определить площадь участка, имеющей такую же
форму выпуклого
четырехугольника, измерив три его стороны и два угла,
образованные этими сторонами
D
Решение: Проведем перпендикуляры СК, DM к АВ.
Запишем S = SCDMK – SCBK – SADM . Выполним
C
последовательно вычисления:
a
c
DM = asin( - ) = asin,
S
AM =acos( - ) =-acos,
S1
S1 = SCBK = -1/2c2sin cos,
K
S2
b
CK = csin, BK = -ccos,
B
S2 = SADM =-1/2a2sin cos,
S2 = SCDKM = 1/2(CK + DM)KM = ½(asin + csin)(b - cos - cos),
S = S3 – S1 – S2 = ½(absin - -a2sin cos - acsin cos + bcsin -
A
M
-a sin cos - c2 sin cos + + c2 sin cos + a2sincos = ½(absin+ bcsin acsin( + ))
Ответ: S = ½( absin + bcsin - acsin( + )) [ 2 ]
7. Двор, имеющий форму прямоугольника и площадью 810 м2, необходимо огородить с
севера и юга деревянным забором, с востока и запада – проволочным. Установка 1
метра деревянного забора обходится в 5 р., проволочного – 2 р. каковы должны быть
размеры участка, обеспечивающие минимальные затраты средств?
Решение: обозначим через х и у длины соответственно одной деревянной и одной
проволочной стены. Площадь спортплощадки равна
810 м2. Обозначим общую
стоимость забора через С, тогда по условию задачи общая стоимость забора С = 22у
+ 52х, или С = 10х + 4у (1), а площадь спортплощадки S= ху. По условию задачи ху =
810 (2). Из (2) получим у = 810 : х
(3). Подставляя значение у в (10 получим
функцию С(х) = 10х + 3240 : х. Итак, наша задача сводится к отысканию
минимального значения полученной функции. Его не трудно найти по правилу
отыскания наибольшего и наименьшего значения функции. В точке х = 18 функция
С(х)
имеет
свое
наименьшее
значение.
Итак,
размеры
спортплощадки,
обеспечивающие минимальные затраты средств, 18 и 45 м. [ 4 ]
На ферме
Математические модели давно стали необходимым аппаратом при изучении
экономических объектов, процессов и методов их исследования. Мы же рассмотрим
различные математические модели в сельском хозяйстве, будем моделировать.
1. В соответствии с требованиями агротехники зерно засыпается на длительное хранение
при влажности до 14%. На сколько процентов уменьшается масса зерна при просушке
до этого состояния, если влажность свежеубранного зерна 24%?
Решение: Пусть х – масса свежеубранного зерна. Сухого вещества в нем содержится
0,76х. Это сухое вещество составляет 86% массы зерна в кондиционном состоянии.
Поэтому масса зерна после просушки будет 76:86х, а значит, масса уменьшилась на
10:86х, что составляет 10:86=11,7% от свежеубранного зерна. [ 5 ]
2. Для откорма животных на ферме в их ежедневный рацион необходимо включать
не
менее 33 единиц питательного вещества А, 23 единицы питательного вещества В и 12
единиц питательного вещества С. Для откорма используются три вида кормов.
Данные о содержании питательных веществ и стоимость одной весовой единицы
каждого из кормов помещены в таблице
А
В
С
Стоимость одной весовой
единицы
В одной весовой ед. корма 1
4 ед.
3 ед.
1 ед.
20 рублей
В одной весовой ед. корма
3 ед.
2 ед.
1 ед.
20 рублей
В одной весовой ед. корма
2 ед.
1 ед.
2 ед.
10 рублей
Составить наиболее дешевый рацион, при котором каждое животное получало бы
необходимые количества питательных веществ А, В и С.
Решение:
Обозначим через х1, х2 и х3 количества кормов 1, 2 и 3 видов соответственно,
включаемых в ежедневный рацион.
Тогда каждое животное получит 4 х1 + 3х2 +2х3 единиц питательного вещества А, и это
не должно быть меньше 33, т.е. 4 х1 + 3х2 +2х3  33.
Для веществ В и С имеем: 3х1 + 2х2 +х3  23,
х1 +х2 + 2х3  12.
При таком расходовании кормов стоимость еженедельного рациона
Z = 20х1 + 20х2 + 10х3.
Учитывая, что по смыслу задачи х1  0, х2  0, х3  0, решение задачи сводится к
определению наименьшего
(минимального) значения линейной функции трех
переменных
Z = 20х1 + 20х2 + 10х3 при условии, что ее переменные х1, х2 и х3
удовлетворять системе неравенств:
4 х1 + 3х2 +2х3  33.
должны
3х1 + 2х2 +х3  23,
х1 +х2 + 2х3  12.
х1  0, х2  0, х3  0.
Решим систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим неизвестную х 1
1
3
1
через х2, х3 и свободный член d1: х1  d1  x2  x3 .
4
4
2
Исключая
х1
из
второго
и

1
3
1
x1  d1  x2  x3 ,

4
4
2

3
1 

1
d 2  3   d1  x2  x3   2 x2  x3 ,
4
2 
4

3
1 
1

 d 3   4 d1  4 x2  2 x3   x2  2 x3 ,



третьего
уравнений,
получим
систему
или, после приведения подобных членов,
1
3
1

 x1  4 d1  4 x2  2 x3 ,

3
1
1
d 2  d1  x2  x3 , (2) Из второго уравнения полученной системы (2) выразим
4
4
2

d  1d  1 x 3x ,
3
 3 4 1 4
2
неизвестную х2 через неизвестную х3 и свободные члены d1 и d2:
х2= 3d1 – 4d1 – 2х3 и исключим ее из первого и третьего уравнений системы (2):
1
3
1

 x1  4 d1  4  3d1  4d 2  2 x3   2 x3

x2  3d1  4d 2  2 x3


1
1
3
d 3  d1   3d1  4d 2  2 x3   x3
4
4
2

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
 x1  2d1  3d 2  x3

 x2  3d1  4d 2  2 x3
 d  d d  x
1
2
3
 3
Наконец, из третьего уравнения системы (3) определим неизвестную х3 :
d3,
(3).
х3 = -d1 + d2 +
и исключим ее из первых двух уравнений системы (3):
 x1  2d1  3d 2  (d1  d 21  d3 )

 x2  3d1  4d 2  2(d  d 21  d3 )

x3  d1  d 2  d3

 x1  3d1  4d 2  d3

после упрощения получим:  x2  5d1  6d 2  2d3 (4)
 x  d  d  d .
1
2
3
 3
в которой неизвестные х1, х2, х3 выражены через d1 ,d2, d3.
Система (4) является решением поставленной задачи. Она и есть расчетная формула, по
которой определяется еженедельный расход кормов. Например, если в еженедельный
рацион животного должен входить 33 единицы питательного вещества А, 23 единицы
питательного вещества В и 12 единиц питательного вещества С, то расход кормов
распределяется следующим образом:
Корм №1: х1 = -3.33+4. 23 + 12 =5 (весовых единиц)
Корм №2: х2 = 5. 33 – 6 . 23 – 2. 12 =3 (весовые единицы)
Корм №3: х3 = -33 + 23= 12 = 2
(весовые единицы) [ 2 ]
Масса сена в скирдах и стогах.
Для определения запасов корма каждому хозяйству необходимо оценить массу сена,
уложенного в скирды и стога. Так как взвесить все скирды и стога невозможно, то для
определения их массы находят объем, предварительно определив с помощью пробного
взвешивания массу 1 м3 сена.
На практике скирды и стога бывают довольно разнообразной формы, поэтому вместо
одной универсальной формулы, которой вообще быть не может, для определения объемов
скирд и стогов имеется большое число различных формул. Все эти практические формулы
просты для вычислений и содержат легкодоступные для измерений величины. В
частности, вместо высоты, которую измерить практически невозможно, в формулы входит
так называемый перекид – расстояние, измеренное поперек скирды (или стога) от земли
через верх до земли на противоположной стороне.
Еще одна задача на тему «Объемы» о сыре. Мы например, варим сыр. Какой же формы
сыр лучше? Сыроделы считают, что при равном объеме сыры шаровидной формы лучше
сохраняют вкусовые качества, чем сыры форм цилиндра или куба. Почему?
Решение: Первоначальные вкусовые качества сыра не зависят от его формы. Существует
гипотеза, что вкусовые качества меняются в результате испарения и окисления.
А интенсивность зависит от площади поверхности тела: чем она меньше, тем
медленнее испарение и окисление. Задача сводится к
геометрической задаче:
«Сравнить площади поверхностей куба, цилиндра и шара, имеющих равные
объемы». Пусть высота цилиндра 2R, где R – радиус основания цилиндра.
Определим площадь поверхности цилиндра, если известен его объем V. V  2R 3 ,
тогда
R3
V
; Обозначим полную поверхность цилиндра через Sц. Она
2
вычисляется по формуле S ц  2R 3  2R  2 R  6R 2  6 3 (
V 2
)
2
4
Объем куба V, тогда сторона a  3 V ,S к  6a 2  63 V 2 , r- радиус шара, т.к V  r 3 , то
3
r3
3v
3V
, то есть S ш  4r 2  4 3 ( ) 2
4
4
Сравним Sц, , Sк , Sш или Sц3 , Sк3 , Sш3
Sц=54 V 2
,Sк=54  4V 2 , Sш =36 V 2
Остается заметить, что Sш < Sц,< Sк.
[ 3]
Наши кредиты
Мы знаем, что при хранении сбережений в банке, выплачиваются вкладчику проценты
к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на
простые и сложные. Рассмотрим сначала, как начисляются простые проценты.
Увеличение вклада C по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы
процентов в течение всего срока хранения определяются
только
исходя из
первоначальной суммы вклада С независимо от срока хранения и количества периодов
начисления процентов.
Пусть вкладчик открыл счет и положил на него С рублей. Пусть банк обязуется
выплачивать вкладчику в конце каждого года р. % от первоначальной суммы С. Тогда по
истечению одного года сумма начисленных процентов составляет
р 

вклада станет равной С1  С  1 
 руб;
 100 
Ср
руб. и величина
100
р% называют годовой процентной ставкой.
Если по происшествии 1 года вкладчик снимет со счета начисленные проценты
Ср
100
руб., а сумму С оставит в банке, то по происшествии второго года на вклад вновь начислят
Ср
Ср
руб, а за 2 года начисленные проценты составят 2
руб. Особенность начисления
100
100
по схеме простых процентов: проценты начисляются только на первоначальную сумму
денег. если вкладчик будет держать свои деньги на счете n лет, то сумма Пn начисленных
процентов составит в( в руб) Пn= n
Ср
(1), а величина первоначального вклада вместе с
100
начисленными процентами составит
(в руб)
nр 

С n  С  1 
 . (2) Эта формула
 100 
называется формулой простых процентов. Начисление простых процентов удобнее
применять тогда, когда по истечении каждого года вкладчик снимает со своего счета
проценты, начисленные на этот год. [ 6 ]
Задача 1: Мы открыли в банке счет и положили на него 150000 рублей сроком на 4
года под простые проценты по ставке 18% процентов в год. Какой будет сумма, которую
получим при закрытии счета? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен
коэффициент наращения?
 18  4 
Решение: С 4  15000  1 
  25800 . За 4 года вклад увеличится на 10800 рублей.
100 

Коэффициент наращивания по формуле (3) равен
С4
 1,72 . Он показывает, что за 4 года
С
первоначальный вклад увеличится в 1,72 раза.
Начисление простых процентов не очень справедливый способ расчета с вкладчиком. В
самом деле, если вкладчик не будет снимать деньги со счета, то он оказывается в
невыгодном положении.
Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком, свободный от этого недостатка.
Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных
процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года
банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что
банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, но и на проценты,
которые на него полагаются.
Такой способ начисления процентов называют сложными процентами, а операцию
присоединения начисленных процентов к основному вкладу называют капитализацией
процентов. [ 4 ]
Задача 2: Пусть вкладчик положил на счет в банке 25000 рублей и в течении трех лет
не будет снимать деньги со счета. Сколько денег будет на счете через 3 года, если банк
выплачивает 30% в год и проценты капитализируются ?
Решение:
R1  C 
По происшествии первого года сумма начисленных процентов составит
30
 25000  0,3  7500( руб ) Поскольку проценты капитализируются, то в конце
100
первого года на счете вкладчика окажется сумма С1  С  R1  25000  7500  32500( руб)
. В конце второго года банк будет начислять проценты на новую сумму С1 и сумма
начисленных
процентов
составит
уже
R2  C1 
30
 32500  0,3  9750( руб ) .
100
Капитализация этих процентов приводит к тому, что в конце второго года на счете
вкладчика окажется
32500 + 9750 = 42250 (руб). В конце третьего года банк будет
начислять проценты на сумму 42250 руб., что составит R3 = 42250 0,3 = 12675 руб. Эти
проценты снова капитализируются и поэтому в конце третьего года на счете вкладчика
будет находится С3 = С2 + R3 = 42250 + 12675 = 54925 руб., т.е. вклад к концу третьего
года увеличится на 29925 руб., или на 119,7%.
Если проведем расчеты в общем случае, то понятно, что если первоначальный вклад С
пролежит в банке n лет, банк выплачивает р% годовых по схеме сложных процентов, то
сумма
денег
на
p 

С n  C  1 

 100 
счете
вкладчика
достигнет
(рублях)
величины
n
n  1,2,3,.. . Эта формула называется формулой сложных процентов.
[1]
Заключение
В домашнем хозяйстве ни один житель села не обходится без математики. Приходится
решать такие задачи:

Учет сельскохозяйственной продукции. Урожайность культур. Привес
животных. Нормы расхода горючего. Влажность зерна. Влажность почвы.
Жирность молока. Расчет посевной годности семян, норм высева.

Определение производительности труда, урожайности пшеницы и овощей в
подсобном хозяйстве, составление рациона животных

Вычисление длин, площадей, объемов сельскохозяйственных объектов.

Масса сена в скирдах и стогах.

Определение влажности зерна, привеса животных, жирности молока, расхода
горючего, плотности картофеля и овощей, определение посевной годности
семян, установление веса сена и соломы в стоге
Необходимость решения задач, рассмотренных в данной работе, является назревшей
потребностью каждой сельской семьи. Изучение методов решения этих задач и
предложенные
способы
решения
дадут
возможность
эффективно, интенсивно
использовать математический аппарат для иллюстрации и раскрытия экономического
материала в повседневной жизни сельского жителя. В рамках одной работы невозможно
изложить теоретический материал, изучить все алгоритмы решения задач прикладного
характера, которые повседневно решаются каждым подсобным хозяйством сельчанина. Я
попыталась внести какой-то вклад в систематизации и обобщении материала по данной
теме путем изучения научной литературы, сетевой информации, в результате чего были
выбраны, и составлены задачи, которые приходится обязательно решать сельскому
жителю. Наша гипотеза, что математика может помочь практике в решении ее проблем
полностью подтвердилась.
В работе были рассмотрены понятия величин, применяемых в сельском хозяйстве,
составлены математические модели конкретных практических задач, процессов, явлений,
встречающихся в нашей повседневной деятельности, изучены некоторые прикладные
методы курса математики, часто применяемыми в домашнем хозяйстве сельского жителя,
составлен сборник расчетных задач, применяемых в различных сельскохозяйственных
ситуациях, который можно использовать учителям на уроках математики. Также я
составила памятки «Математика в домашнем хозяйстве», где даны некоторые советы
жителям села.
Литература
1. Волков В.А. Элементы линейного программирования.
М., Просвещение, 1975.
2. Кованов
показатели
С.И.,
Свободин
В.А.
Экономические
деятельности
сельскохозяйственных предприятий. М., Агропромиздат, 1991.
3. Петров В.А. Математические задачи из сельскохозяйственной практики.
М., Просвещение, 1980.
4. Петров В.А. Преподавание математики в сельской школе. М., Просвещение, 1986.
5.
Преподавание
математики
в
сельской
школе.
Сост.
Колягин
Ю.
М.
М., Просвещение. 1984.
6. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. М., Школа - Пресс, 1999.
7. Терешин
Н.А.
Прикладная
направленность
школьного
курса
математики.
Книга для учителя. М., Просвещение, 1990.
8. Шапиро И.Н. Использование задач с практическим содержанием в преподавании
математики. М., Просвещение, 1990.
9. Фридман Л. Число – основное понятие. Статья. Газета «Математика», №7 2004 г.