УДК ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА В НАПРЯЖЕНИЯХ. Атургашева К.Ю. научный руководитель – доцент Анферов П.И. Сибирский федеральный университет. Рассмотрим квазистатическую задачу термоупругости для цилиндра (1 r R , z ) , свободного от внешних усилий, который на части внешней поверхности нагревается тепловым потоком qz , не зависящим от угла . Начальная температура цилиндра T принята равной нулю. Напряженное состояние цилиндра описывается уравнениями Бельтрами-Мичела и равновесия [1]. В этих уравнениях вместо напряжений rr , , zz и температуры T введем в качестве новых неизвестных их линейные комбинации: g 1 rr zz 2T . 1 rr T ; 1 rr T ; Тогда rr 0,5 1 2 ; 0,5 1 2 T ; rr 2 T . (1) (2) Величины и равны: E 1 , 21 , где – коэффициент линейного расширения, E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона. Перечисленные параметры полагаются независящими от температуры. 1 Из условий совместимости деформаций в напряжениях и формул (1) для функций 1 , 2 , rz , g получены дифференциальные уравнения: 2 1 2 g , zz T, zz ; (3) 2 4r 2 4r g ,r 2 g , zz 2r T,r T, zz 4r T ; 2 2 1 1 rz r rz 2 g T ,rz ; 2 2 2 (4) (5) (6) g 0; 2 2 1 2 2 2. r r z r Запятые на уровне индексов означают частное дифференцирование по координатам, указанным после них. 2 Граничные условия для (3) – (5) таковы: 1 R, z 2 R, z 0; 1 1, z 2 1, z 0; rz R, z 0. rz 1, z 0. (7) (8) Функции 1 , 2 , rz , g , найденные из (3) – (6) должны тождественно удовлетворять равенствам: 1 2 ,r 2r 1 2 2 rz, z 2r 1T ; (9) rz, z r rz g , z 1, z T, z ; (10) 1 которые следуют из уравнений равновесия при осесимметричном деформировании. Температура определяется из начально-краевой задачи: T T T R, z, t 1 qz ; 1, z, t 0; (11) a 2 T ; T r, z,0 0; r r t где – коэффициент теплопроводности, a - коэффициент температуропроводности. От уравнений (3) – (6), (8), (9) перейдем к соответствующим равенствам для Фурье-образов и введем новую независимую переменную r : '' ' 1 1 1 1 2 g T ; (12) 1 1 4 2 2 4 1 g 2 g 2 1 T 1 2 2 T ; '' 2 ' 2 ' ' rz 1 rz 1 2 rz 2i g i T ; '' ' '' (14) ' g 1 g g 0; ' 1 (15) ' 2 2 2 2i rz 2 T ; ' 1 i g i i T ' rz (13) (16) rz 0; (17) zz g 1 T ; T 2 T 1 T T; 2 (18) (19) где ta 2 , - параметр преобразования Фурье. Здесь и далее штрихи означают дифференцирование по , черта над символами означает преобразование Фурье. Граничные условия для (12) – (14) таковы: 1 R 2 R 0. rz R 0; rz 0; 1 2 0. (20) (21) Начальные и граничные условия для (19): T R 1 1 q . T ,0 0; T 0. (22) Решение уравнения (15) g AI 0 BK 0 , подставим в уравнения (12) – (14) и, применив метод вариации произвольных постоянных, запишем их общие решения: 1 A1 I 0 B1 K 0 AI1 BK 0 s1 ; 2 A2 I 2 B2 K 2 AI 1 BK1 s 2 ; rz A3 I1 B3 K1 AiI 0 Bi K 0 s3 . s1 T I R1 K 0 R2 ; (23) (24) (25) (26) s1 I 2 R1 K 2 R2 T ; s3 i I1 R1 K1 R2 ; (27) (28) где I n , K n , n 0,1,2. - модифицированные функции Бесселя. Величины R1 , R2 в формулах (26) – (28) равны: R1 K1 T d ; R2 I 1 T d . ' ' (29) Функции 1 , 2 , rz , g будут тождественно удовлетворять уравнениям (15), (16), если константы A, B, A k , Bk , k 1,2,3 связаны равенствами: A2 A1 2 A3 . A3 iA2 iA1 ; B2 B1 2B3 . B3 iA2 iB1 ; (30) (31) С учетом (31) и рекурентных соотношений [2], перепишем 𝜎̅𝑟𝑧 в виде rz iA1 I1 B1 K1 Af1 Bf 2 s3 . где f1 I 2 I1 , (32) f 2 K 2 K1 . Константы из (30) подставим в (23), (24) и с учетом (2), запишем для rr 1 rr A1 g1 B1 g 2 Ag 3 Bg 4 s1 s 2 . (33) 2 Здесь обозначено g1 1 I 1 I 2 ; g 2 K1 K 2 ; 1 g 3 I1 3 I 2 ; g 4 K1 3 K 2 . Еще четыре алгебраических уравнения для вычисления этих констант получаются из равенств (32), (33), если rz и rr подчинить граничным условиям (20) – (21). A1 I1 R B1 K1 R Af1 R Bf 2 R s3 R 0; A1 g1 R B1 g 2 R Ag 3 R Bg 4 R 1 s1 R s 2 R 0; 2 A1 I1 B1 K1 Af1 Bf 2 s3 0; A1 g1 B1 g 2 Ag 3 Bg 4 1 s1 s 2 0; 2 (34) (35) (36) (37) Чтобы вычислить интегралы в (29), нужно прежде из (19), (22) найти преобразование Фурье температуры, вычисление которых целесообразно проводить методом прогонки. Определив числа A, B, Ak , Bk , k 1,2,3, из системы (34) – (37) находим величины 1 , 2 , rz из уравнений (23) – (25), через которые выражаются Фурье-образы напряжений jk . Теперь, совершая обратные преобразования Фурье, получим искомые напряжения: jk r , z, t 1 r 2 , t exp ir z d ; 1 jk j , k r , , z. (38) Интегралы (38) вычисляются численно. Литература 1. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А., Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высш. шк., 1975. 526 с. 2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М.: Наука, 1974. – 296 с.