ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ 7 КЛАСС Методические рекомендации по изучению квадрата суммы ( разности) двух выражений. « Я слышу - я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю» Древняя китайская мудрость ВСПОМНИМ И ПОВТОРИМ 1. Найти квадраты выражений: а -7 49 2с 4c² a² 5x²y³ 2. Найти произведение двух выражений: p и q pq 4x и 7y 28xy a и 6b²c 25x⁴y⁶ 6ab²c 3. Найти удвоенное произведение этих выражений: 2pq 26xy 4.Прочитать выражение: а) а+3; б) m-n; в) (x+y)² ; г) (а-b)² 12ab²c ВСПОМНИМ И ПОВТОРИМ 5. Упростить выражение: c·c x² · x² x⁴ c² (a+b)(a+b) (a+b)² 6.Выполнить умножение: а) (x+3)(x+2)= x²+5x+6 (a-5)(a+6)= a²+a-30 б) (m+n)(m+n)= m²+2mn+n² (a+b)(a+b)= a²+2ab+b² Вывод: (a+b)(a+b) = (a+b)² = (m+n)(m+n)= (m+n)² = a²+2ab+b² m²+2mn+n² 7) ВЫПОЛНИТЬ УМНОЖЕНИЕ: а) (a-b)(a-b) = a²-2ab+b² б) (m-n)(m-n)= m²-2mn+n² Вывод: (a-b)(a-b) = (m-n)(m-n)= (a-b)² = a²-2ab+b² (m-n)² = m²-2mn+n² Формулы сокращённого умножения (а + b)2 КВАДРАТ СУММЫ (а - b)2 КВАДРАТ РАЗНОСТИ a² + 2ab + b² ТРЁХЧЛЕН: КВАДРАТ ПЕРВОГО СЛАГАЕМОГО, ПЛЮС УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЕРВОГО СЛАГАЕМОГО НА ВТОРОЕ, ПЛЮС КВАДРАТ ВТОРОГО СЛАГАЕМОГО a² - 2ab + b² ТРЁХЧЛЕН: КВАДРАТ ПЕРВОГО СЛАГАЕМОГО, МИНУС УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЕРВОГО СЛАГАЕМОГО НА ВТОРОЕ, ПЛЮС КВАДРАТ ВТОРОГО СЛАГАЕМОГО ФОРМУЛЫ КВАДРАТА СУММЫ( РАЗНОСТИ) ЛУЧШЕ ПРЕДСТАВЛЯТЬ СХЕМАТИЧЕСКИ ( ( ± 3х + )² = 2у)² = ² ± 2· 3х² +2· · 3х· (3х +2у)² = 9х² + 12ху + 4у² + ² + 2у ²2у УЧИМСЯ РАБОТАТЬ ПО ФОРМУЛАМ Преобразуйте в многочлен стандартного вида (х+3у)² = (2с- 3d)² = х²+6ху+9у² 4c²-12cd+9d² ( m- 2n)² = m²-2mn+4n² (4a+b)² = 16a²+8ab+b² ( p + 3q)² = p²+2pq+9q² (x² + y²)² = x⁴+2x²y²+y⁴ УЧИМСЯ РАБОТАТЬ ПО ФОРМУЛАМ Преобразуйте в многочлен стандартного вида: 1. 2. 3. 5m²+10mn-5(m-n)²= 4(a-b)²+(a²-4)(b²-4)= (a³+b³)² - b⁶+a⁶ - a³b³ = 20mn-5n² a²b²-8ab+16 2a⁶+a³b³ Решите уравнения: 1. 2. 3. (4-х)² - х(х-5) = 4 3х +6 +(2х-1)² =4х² (х-2)(5-х) +(х-3)² =5 X=4 X=7 X=6 УЧИМСЯ РАБОТАТЬ ПО ФОРМУЛАМ Заполните пропуски одночленами так, чтобы получилось тождество. 1. (9m² - ?)² = ? - ? + 4k² 2.(6a³ +?)² = ? + 60а³b +? (9m² - 2k)² = 81m⁴- 36 m²k + 4k² (6a³ +5b)² = 36a⁶ + 60а³b +25b² 3.(? – 4b²)² = ? – 24a³b² + ? (3a³ – 4b²)² = 9a⁶ – 24a³b² + 16b⁴ 4.(? + 5k²)² = 4m² + ? + ? (2m + 5k²)² = 4m² + 20mk² + 25k⁴ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛЫ КВАДРАТ СУММЫ a²+2ab+b² (a+b)² a+b a b b b a b a a² b ab ab b b² ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВА (а - b)2 = (b - а)2 (-а - b)2 =(а + b)2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (а - b)2 = (b - а)2 (а - b)2 = (-1·(-а +b))2 =(-1)² ·(b-a)²= (b - а)2 ч.т.д. (-4a +b²)² = ( -4a + b² )²=( b² - 4a )² = = b⁴ - 8b²a + 16a² = b⁴- 8ab² + 16a² ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (-а - b)2 = (а + b)2 (-а- b)2 = (-а- b)·(-а- b)=а²+аb+ab+b²= =a²+2ab+b²= (а + b)2 ч.т.д. 2способ: (-а - b)2 =(- (а + b)2 )=(-1)²· (а + b)2 = = (а + b)2 ч.т.д. 3способ: (-а - b)2 =( -а + - b)²= 1способ: = -а ² + 2· = (а + b)2 -а · - b+ ч.т.д. - ²= b a²+2ab+b²= ПРЕДСТАВЬТЕ В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА ВЫРАЖЕНИЯ 1. (-6х – 2)²= (6x+2)²=36x²+24x+4 2. (-5m² + 3)²= (3-5m²)²=9-30m²+25m⁴ 3.(-2x - 9)²= (2x+9)²=4x²+36x+81 4. (-7p² +q²)= (q²-7p²)=q⁴-14q²p²+49p РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ 1)(4 –х)² - х(х-5) = 4 2) 3х + 6 +(2х – 1)² = 4х² 3) (х – 2)(5 –х) + (х – 3)² = 5 X=4 X=7 X=6 ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА В РАЗЛИЧНЫХ СИТУАЦИЯХ. Вывести формулу квадрат трёхчлена (a + b + c)² (a + b + c)² =( (a +b) +c)² = = (a+b)² + 2· (a+b) · c + c² = = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² = = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛЫ КВАДРАТ ТРЁХЧЛЕНА (a + b + c)² = a² + b² + a² + 2ab + 2ac + 2bc a b c ac b² a² aca² ab ac acac ab ab ab ab b² bc ac bc c² ac ac bc bc c² ФОРМУЛА ПОЛНОГО КВАДРАТА a²+2ab+b² (a+b)² 1) Являются ли данные выражения полными квадратами? 1) x² + 10x + 25; 2) x² - x +1; 3) 64 + m² + 16m; 4) 73² + 17² + 17·73. ФОРМУЛА ПОЛНОГО КВАДРАТА 2) При каком значении p трёхчлен можно представить в виде квадрата трёхчлена? 1,44x² - 12xy + py²; pb² - 8ab + 0,16a²; 3) К данным многочленам прибавить такой одночлен из предложенных вариантов, чтобы выражение стало полным квадратом: 1) a² + 2a + 2 а) -3; б) -1; в) 2; г) 1. 2) 1 +х² -6х а) 2; б) 35; в) 8; г) -9. 3) 49 + p² а) 14p; б) ; в) ; г) 18p. Алгебраическими тождествами пользовался в III веке до н. э. древнегреческий геометр Евклид. В своих «Началах», состоящих из 13 книг, вторую книгу он специально посвятил алгебраическим тождествам, правда в геометрическом истолковании. Тождество (a+b)² = a²+2ab+b² сформулировано в «Началах» Евклида так: «Если прямая линия каклибо рассечена, то квадрат на всей (, то квадрат построенный на АВ, равен двум квадратам, на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ» СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Журнал « Математика в школе» №3,1991г. 2. М.Р.Леонтьева « Из опыта преподавания математики»(6-8кл.),Москва, Просвещение,1972г. 3. Э.Г.Гельфан,Т.В.Бондаренко «Тождества сокращённого умножения» , Томск, 1996г. 4. Чистяков «Исторические экскурсы на уроках математики» 5. Ю.П.Дудницин, В.Л.Кронгауз «Карточки с заданиями по алгебре для 7 класса.» (1 часть) 6. Ю.Н.Макарычев и др. Алгебра 7класс.