Понятие функции Определение 1. Дано некоторое числовое множество X и указан закон f, по которому каждому числу x X ставится в соответствие единственное число y Y . Тогда говорят, что задана функция y f ( x) с областью определения X, и пишут 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋. Множество Y называется множеством значений функции. Приняты обозначения X D ( f ), Y E ( f ). Переменная х называется независимой переменной, y – зависимой переменной (функцией). Определение 2. Две функции y f ( x) и 𝑦 = 𝑔(𝑥) называются тождественно равными на множестве M, если они определены на M и для любого x0 M выполняется 𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ). Две функции называются равными, если они тождественно равны на их общей области определения. Функция и ее свойства Определение 3. Графиком функции y f ( x) называется множество Г ( f ) x, y x D( f ), y f ( x). Способы задания функций 1. Аналитический 2. Графический 3. Табличный 4. Описательный Задания I. Найти область определения функции 1 1 1 1 1) y x 1 2 1 1 2) y x 1 1 3) y 2 x x 2 4) 𝑦 = 4𝑥 + 𝑥 2 5) y x 2 4 4 2 x 4 2 x 4 4 6) 𝑦 = 𝑥 2 − 9 + 3 − 𝑥 + 3 + 𝑥 7) y x 2 8) y x x5 x 9) y 3 2 x 4x 11) y 4 x2 x 3 3 2 x 6x 8 x 4x 2 x7 x 10) y 2 2 x 2x 12) y 5 ( x 2) 2 x 3 2 2 x 8 x 12 x 4 Задания II. Найти линейную функцию y=f(x), если известно, что а) ее график проходит через точки A(1; 3) и B(-2;7); б) ее график проходит под углом 45 к оси ОХ и точка С(2;3) принадлежит графику; в) ее график отсекает на осях координат ОХ и ОY отрезки длины 3 и 5 cоответственно. III. Найти квадратичную функцию y=f(x), если а) f(-1)=-1; f(3)=-3; f(6)=12. б) f(-2)=9; f(1)=3; f(3)=19. в) ее график симметричен относительно прямой x=3, наименьшее значение равно -5, точка С(1; 4) принадлежит графику. Задания IV. Построить графики функций, найти значения в точках с абсциссами х=а и х=в, отметить точки А и В на графике. 1) y 2 x 3 , a 1; b 2. 2) y x 4 , a 1; b 2. 3) y x 1 x 1 , a 0; b 3. 4) y x x 2 , a 4; b 3. 5) y max(2 x, 4 x), a 3. 7) y 6) y min(2 x, 4 x), a 3. x 1 x2 , a 4, b 0. 8) y , a 2, b 0. x3 x 1 9) y 2 6 x , b 1. 10) y 3 6 x , b 1. 2 x , если x 0; 11) y 4 x, если 0 x 4; x 2 8 x 16, если x 4. a 2, b 2. Монотонность функций Определение 4. Функция y f ( x) называется строго возрастающей на множестве A D( f ) , если выполняется ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )). Определение 5. Функция y f ( x) называется строго убывающей на множестве A D( f ) , если ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2 )). Определение 6. Функция y f ( x) называется возрастающей на множестве A D( f ) в нестрогом смысле, если ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )). Определение 7. Функция называется убывающей на множестве A D( f ) в нестрогом смысле, если ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2 )). Все, определенные выше функции, называются монотонными на A. Задания 1. Доказать, используя определение, что а) функция y 4 x 5 возрастает на R; б) функция y x 2 2 x возрастает на 1; +∞ убывает на −∞; 1 ; в) функция y 2 4 x убывает на −∞; 1 2 и . 2. Исследуйте последовательности на монотонность: а) xn n ; б) xn n 2 6n 5. n2 1 3. Изобразить график функции y g ( x) , для которой выполняется: а)D( f ) R; E ( f ) 2; , возрастает на −2; +∞ , убывает на −∞; −2 . Задания I. Пусть функции y f ( x) и 𝑦 = 𝑔(𝑥 ) определены на одном множестве А, и обе возрастают на этом множестве. Исследовать на монотонность следующие функции 1) 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 2) y = f x + C; 3) 𝑦 = 𝑘𝑔(𝑥), k > 0; 4) 𝑦 = 𝑘𝑓 𝑥 , (𝑘 < 0); 5) 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥 ). II. Пусть функции из первого задания положительны на А. Исследуйте на монотонность функции. 1 1) 𝑦 = 𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥); 2) y=𝑓(𝑥) . Последовательности. Ограниченность Определение 8. Последовательность – это функция натурального аргумента. 𝑥𝑛 : ℕ → R. Определение 9. Последовательность 𝑥𝑛 называется возрастающей, если n xn1 xn . Последовательность 𝑥𝑛 называется убывающей, если n xn1 xn . Определение 10. Функция y f ( x) называется ограниченной, если существуют такие числа m и M, что для любых x D( f ) выполняется m f ( x) M . Определение 11. Числовая последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа m и M, что для любого ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑀. Число m называется нижней границей, M – верхней границей значений функции (последовательности). Задания I. Исследовать на монотонность и ограниченность последовательности 1 n 1 n2 1 1) xn ; 2) xn ; 3) xn 2 n 2n 3 n 3n 4) xn n 6n 1; 5) xn n 2n ; 6) xn 2 2 1 n n n2 II. Являются ли следующие функции ограниченными: 1) y 2 x ; 2) y 2 x x 2 ; 3) y x 3 1; 1 4) y 2 ; 5) y sin 3 x; 6) y tgx. x 1 Четные и нечетные функции Определение 12. Множество Х на числовой оси называется симметричным относительно нуля, если x X ( x) X . Определение 13. Функция f : X Y называется четной , если 1) Множество Х симметрично относительно нуля, 2) x X f ( x ) f ( x ). Определение 14. Функция f : X Y называется нечетной, если 1) Множество Х симметрично относительно нуля, 2)x X f ( x ) f ( x ). График четной функции симметричен относительно оси Оy. График нечетной функции симметричен относительно О(0;0). Теорема. Любую функцию, определенную на симметричном множестве, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. Задания 1. Исследовать функции на четность/нечетность. x 1 a ) y x x ; b) y sin x ; c) y x x ; d ) y ; sin x x cos x 1 1 e) y 2 ; f)y ; g ) y sin(cos x); x 3x 1 x 1 x h) y cossin x; k ) y x 2 x x 2 ; l ) y 3x 2 4 x. 2 4 2 2 2. Пусть функции f(x) и g(x) определены на симметричном относительно х=0 множестве Х. Исследовать на четность/нечетность функции a ) f ( x) g ( x); b) f ( x) g ( x); c) f ( x) g ( x); d ) f ( x) . g ( x) Задания 3. Функция y=f(x) определена на некотором множестве следующим образом: x, если 0 x 1; 1 x 3 , если 4 x 2; a) y x 2, если 1 x 2; b) y 2 x 2 x, если 2 x 0. 0, если x 1. Нарисовать график функции y=g(x), определенной на всей числовой прямой, который совпадает с графиком y=f(x) на заданном отрезке, и такой, что 1) функция y=g(x) является четной; 2) функция y=g(x) является нечетной. Периодические функции Определение 15. Функция f : X Y называется периодической, если существует число T 0 , такое что выполняются 1) x( x X ( x T ) X ) 2) x X f ( x T ) f ( x) Задачи. 1) Доказать, что a ) период функции y cos 2 x; b) 4 период функции y sin8 x. 2) Найти период функции 5x a ) y cos 2 x; b) y sin ; c) y tg 1,2 x ; 3 4 2x x d ) y sin 2 x cos3 x; e) y sin cos . 5 3 Ответь на вопросы 1. Может ли строго возрастающая функция быть периодической? 2. Пусть функция y f ( x ) определена на отрезке a; b . Может ли она быть периодической? 3. Может ли область определения периодической функции совпадать с множеством a; ? 4. Может ли периодическая функция принимать свое наибольшее значение М в одной точке х=а? n n 1 5. Может ли многочлен y an x an1 x ... a1 x a0 быть периодической функцией? 6. Может ли дробно-рациональная функция быть периодической функцией? 7. Верно ли, что если число Т - период функции y f ( x) , то любое число nT, где n – целое, тоже будет ее периодом? 8. Всякая ли периодическая функция имеет главный период? Задания 1. Функция y=f(x) имеет период Т=1 и на 2 промежутке 0;1 задана формулой y x x . 3 1 Найти 𝑓 2 , 𝑓 , 𝑓 −25 . 2 7 2. Привести пример (можно графически) четной периодической функции такой, что ее значения в каждой точке множества X совпадают со значениями функции y=f(x), если a ) y 0,5 x, X 0;1; 1 0, x 0; 2 b) y ; X 0;1. x 1 , x 1 ;1 2 2 c) y 2 x 3 , X 2,5;4,5.