Обратная пропорциональность. Ткаченко Ольга 8 «а» класс. 1.Общий вид функции y=k/x. Область определения функции x 0. Область значений функции y 0. 2.Как влияет коэффициент k на график прямой. 2.1. Графиком функции y=k/x является гипербола. В пример приведем график функции y=2/x. 2.2. 1)Построим график функции при положительном значении коэффициента k (k=2). В этом случае график функции y=2/x будет находиться в 1 и 3 четвертях. 2.2. 2) Построим график функции при отрицательном значении коэффициента k (k=-2). В этом случае график функции y=-2/x будет находиться во 2 и 4 четвертях. Вывод: если k > 0 , то ее ветви расположены в I и III четвертях, если k < 0, то ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях. 2.3. Графики функций y=2/x и y=-2/x будут симметричны относительно точки начала координат (0;0). 2.4. Что произойдет с графиками функций, если прибавить/вычесть из правой части формулы какое-либо число? 1)Рассмотрим случай с положительным числом k, где к правой части формулы прибавим число 3. Начертим график функции y=(2/x)+3. Из этого графика видно, что горизонтальная асимптота поднялась вверх на 3. 2)Теперь рассмотрим случай с положительным числом k, где из правой части формулы вычтем число 3. Начертим график функции y=2/x-3. Из этого графика видно, что горизонтальная асимптота опустилась вниз на 3. 3) Далее рассмотрим случай с отрицательным числом k, где к правой части формулы прибавим число 3. Начертим график функции y=2/x+3. Из этого графика видно, что горизонтальная асимптота поднялась на 3. 4) Рассмотрим случай с отрицательным числом k, где из правой части формулы вычтем число 3. Начертим график функции y=-2/x-3. Из графика видно, что горизонтальная асимптота опустилась на 3. Вывод: в зависимости от того, прибавляем мы или вычитаем из правой части формулы какое-либо число, горизонтальная асимптота, а вместе с ней и график функции опускаются или поднимаются на кол-во единиц равное взятому числу. 2.5. Что произойдет с графиками функций, если прибавить/вычесть в знаменателе формулы из аргумента какое-либо число? 1) Рассмотрим случай с положительным числом k, где прибавим число 3 к аргументу в знаменателе формулы. Из полученного графика функции y=2/(x+3) видно, что вертикальная асимптота переместилась влево на 3. 2) Теперь рассмотрим случай с положительным числом k, где вычтем число 3 из аргумента в знаменателе формулы. Из полученного графика функции y=2/(x-3) видно, что вертикальная асимптота переместилась влево на 3. 3) Далее рассмотрим случай с отрицательным числом k, где прибавим число 3 к аргументу в знаменателе формулы. Из полученного графика функции y=-2/(x+3) видно, что вертикальная асимптота переместилась влево на 3. 4) Рассмотрим случай с отрицательным числом k, где вычтем число 3 из аргумента в знаменателе формулы. Из полученного графика функции y=2/(x-3) видно, что вертикальная асимптота переместилась влево на 3. Вывод: в зависимости от того, прибавляем мы или вычитаем из знаменателя формулы какое-либо число, вертикальная асимптота, а вместе с ней и график функции перемещаются влево или вправо на кол-во единиц равное взятому числу. 2.6. 1)Рассмотрим случай с отрицательным числом k, где число 3 прибавляется к знаменателю функции, а число 4 вычитается из ее правой части. Начертим график функции y=-2/(x+3)-4. Из полученного графика видно, что вертикальная асимптота переместилась влево на 3, а горизонтальная асимптота опустилась вниз на 4. 2) Теперь рассмотрим случай с положительным числом k, где из знаменателя функции вычтем число 2, а к ее правой части прибавим 4. Из полученного графика функции y=2/(x-2)+4 видно, что вертикальная асимптота переместилась вправо на 2, а горизонтальная асимптота поднялась вверх на 4. Вывод: если мы прибавляем/вычитаем число и из знаменателя формулы и из ее правой части, то и горизонтальная и вертикальная асимптоты меняют свое положение на графике. 2.7. Какие процессы и явления может описывать данная функция? С помощью обратной пропорциональности описываются многие явления. Вот несколько примеров. 1. В физике известен закон Бойля — Мариотта: произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется: pV=k, где p — давление, V — объем. Ясно, что этот закон может быть записан иначе: V=kp. А это и есть обратная пропорциональность, и график ее, конечно, - одна ветвь гиперболы (ясно, что объем и давление не могут быть отрицательными, поэтому область значения и область определения функции в данном случае есть множество только положительных чисел). 2. Второй пример возьмем тоже из физики. Существует закон Ома: сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению цепи. Если I – сила тока, U – напряжение и R – сопротивление, то при постоянном напряжении I=RU. Из курса физики известно, что тело, брошенное под углом к горизонту, летит по параболе. Но если придать ему начальную скорость v0 в пределах (7,9; 11,2), то оно на Землю не упадет, а превратится в ее спутник, движущийся по эллипсу. Именно так и летают искусственные спутники Земли. При скорости же 11,2 км/с тело вновь начнет двигаться по параболе и уйдет от земли навсегда. Навсегда уйдет оно от Земли и при v0 > 11,1 км/с – тут уж оно будет двигаться по гиперболе. (Источник: интернет).