3. Координаты вектора

Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам

 


Лемма а и b  коллинеарн ы, а  0, то  k , b  ka


b
Доказатель
ство
:
1
)
а

b



b


b
а
k    k  0 ak  b 
k



a

a

 b    b  ka
kа
ka  k  a    a  b

 a

b
2) а  b


b

а

b
k     k  0  ka  b



a
b
  b  ka



ka  k  a    a  b
a

kа
k  
a



p

х
a

у
b
,

х и у  числа
 
p разложен по векторам a и b

 

 р, p  хa  уb
Теорема:


a и b неколлинеарны, х и у  единственн
ы


Доказатель
ство
:
1
)
р
коллинеаре
н
b






В
p  уb  p  0  a  у  b

р
2) РА1 || BO
,
р

ОА

А
Р
1

1

ОА1  ха , А1 Р  уb 
b





р  ха  уb р  х1а  у1b О 
Р
А1


а

0  ( х  х1 )а  ( у  у1 )b  х  х1 0, у  у1  0

у  у1
Если х  х1  0, то а  
b 
х  х1
 
х  х1  0
a и b коллинеарн ы  противоречие
 х  х1
у  у1
у  у1  0
Простейшие задачи в координатах
y
М2

j

О i
1. Координаты вектора
М ( x; у )
М1 x
х  ОМ 1 , у  ОМ 2
ОМ  радиус  вектор
ОМ  ОМ 1  ОМ 2


ОМ 1  хi ; ОМ 2  уj
 
ОМ  хi  уj  ОМ х; у
y

j

О i
В( x2 ; у2 )
А( x1; у1 )
x
АВ  ОВ  ОА  х 2  х1; у2  у1
2. Координаты середины отрезка
y
В( x2 ; у2 )
М ( x; у )
А( x1; у1 )
О
М ( x; у )  середина АВ
x
 х2  х1 у2  у1 
1
1
;
ОМ  (ОА  ОВ )  х 2  х1 ; у2  у1  

2
2
2

2

3. Вычисление длины вектора
y
А( x; у )

а
О

ах; у

а  ОА  ОА12  АА12  х 2  у 2
А1
x
4. Расстояние между двумя точками
М1 ( x1; у1 ); М 2 ( х2 ; у2 )
М1М 2  х2  х1; у2  у1
d  М1М 2  ( x2  x1 ) 2  ( у 2  у1 ) 2