Тригонометрическая форма записи комплексного числа. -новая форма представления комплексного числа; -свойства модуля комплексного числа; Учитель математики МОУ СОШ №2 Чернышова Ирина Сергеевна Определение 1: Модулем комплексного числа z=a+bi называют число . Обозначение y z b 0 a x y 2 x 0 y -3 z 1 0 z 2 x Свойства модуля комплексного числа: Связь между числовой окружностью на координатной плоскости и модулем комплексного числа. Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только тогда, когда соответствующая ему точка на координатной плоскости лежит на числовой окружности. Точки числовой окружности М(х;у) можно записать в виде комплексного числа (учитывая, что х=cosα , у=sinα) , то z=cosα+isinα. Важно знать! 1. Если комплексное число z лежит на числовой окружности, то z=cosα+isinα для некоторого действительного числа α и наоборот, если z=cosα+isinα , то z лежит на числовой у окружности. z sinα 0 -1 cosα 1 х Важно знать! 2. Если комплексное число z лежит на единичной окружности, то . Обратно, если , то z лежит на единичной окружности. у z 0 х Определение 2. Тригонометрической формой комплексного числа z (не равного нулю), называют его запись виде z=ρ(cosα+isinα), где ρ-положительное действительное число. Всякое отличное от нуля комплексное число z может быть записано в виде z=lZl(cosα+isinα), где α-некоторое действительное число. Если z=ρ(cosα+isinα) – другая тригонометрическая запись числа z, то ρ=lZl и βα=2πk, kЄΖ Определение 3 Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют действительное число α, такое, что 1) αЄ(π;π] 2) z=lZl(cosα+isinα). arg z α=arg z Геометрический смысл аргумента комплексного числа: это угол в пределах (π;π] , образованный вектором z с положительным z lΖl arg z направлением оси абсцисс. Обозначение: Важно знать! • Соединение вместе модуля и аргумента комплексного числа приводит к стандартной тригонометрической форме записи комплексного числа. • Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их модули и равны их аргументы! Умножение и деление комплексных чисел: Если z =ρ (cosα+isinα), и z =ρ (cosα+isinα), то: 1 1) 1 2 2 z z =ρ ρ (cos(αβ)+isin(α+β)) 1 2 1 2 2) а) при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются; б) при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.