Часть 1 В1. Минута мобильной связи стоит 2 руб. 30 коп. Какое наибольшее целое число минут можно разговаривать по телефону, если на счету у абонента осталось 20 рублей? Ответ: 8 Решение: 20 : 2,3 ~ 8,7 (мин.) => 8 минут В2. Клиент взял в банке кредит 3000 руб. на год под 12 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно? Ответ: 280 Решение: (3000 + 0,12 ∙ 3000) : 12 = 280 (руб.) В3. На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций горнодобывающей компании в первой половине сентября. 7 сентября бизнесмен купил пакет акций, а 13 сентября продал его. В результате этих операций прибыль бизнесмена составила 3600 рублей. Сколько акций было в пакете? Ответ: 12 Решение: пусть количество акций равно п, тогда 600п – 300п = 3600 => п = 12 В4. Для транспортировки 36 тонн груза на 500 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Причем, у каждого из них своя грузоподъемность используемых автомобилей. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс? Перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (р. на 100 км) Грузоподъемность автомобилей (тонн) А 3200 р. 3,5 Б 4100 р. 5 В 9500 р. 12 Ответ: 142500 Решение: 3200 ∙ 5 ∙ 11 = 176000 (руб.) 4100 ∙ 5 ∙ 8 = 164000 (руб.) 9500 ∙ 5 ∙ 3 = 142500 (руб.) В5. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости. Ответ: 32 Решение: S = ½ ∙10∙ 10 – ½ ∙ 6 ∙ 6 = 32 В6. Имеются 20 карточек, на которых записаны числа от 1 до 20. Из них наугад выбирают одну карточку. Какова вероятность того, что на выбранной карточке будет число 20 или любое нечётное число? Ответ: 0,55 Решение: А – событие «выбрана карточка с числом 20», В – событие «выбрана карточка с нечётным числом». События А и В несовместны. Р(А) = 1/20, Р(В) = 1/2. Значит, Р(АUВ) = 1/20 + 1/2 = 0,55. В7. Найдите корень уравнения log4(5-x) = 2 . Ответ: – 11 Решение: 5 - x = 16, x = 5 – 16 x = -11 х<5 B8. Периметр четырёхугольника, описанного около окружности , равен 56, две его стороны равны 12 и 20. Найдите большую из оставшихся сторон. Ответ: 16 Решение: 20 х х + у + 12 + 20 = 56 по определению периметра х + 12 = у + 20 по свойству описанного четырёхугольника Значит, решая совместно уравнения 12 х + у = 24 и х – у = 8, получим х = 16, у = 8 т.е. большая сторона равна 16 у В9. На рисунке изображен график функции у = f(х), определённой на интервале (-4;7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. a b c d Ответ: 4 Решение: f '(х) > 0 => функция у= f(х) возрастает. Функция возрастает от a до b и от c до d. На первом промежутке 4 точки. На втором таких точек нет. В точках с абсциссами a, d, c, d f '(х) = 0. В10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10. Ответ: 248 Решение: Значит, S = 2Sосн. + Sбок. Sосн.= ½ ∙ 6 ∙ 8 = 24, сторона ромба равна 5 Sбок. = 4 ∙ 5 ∙ 10 = 200 S = 2 ∙ 24 + 200 = 48 + 200 = 248. Часть 2 В11. Найдите значение выражения Ответ: -12 Решение: В12. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле T(t) = T0 + bt + at², где t – время в минутах, T0 = 680К, а = -16К/мин², b = 224К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1400К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах. Ответ: 5 Решение: 1400K t1 t2 680 + 224t -16t2 = 1400 -16t2 + 224t – 720 = 0 t2 - 14 t + 45 = 0, t1 = 9, t2 = 5 Значит, чтобы прибор не испортился, его нужно выключить не позже чем через 5 минут после начала работы . В13. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 11. Ответ: 33 Решение: Vk = ∙ πR2h, Vk = 11 Значит, πR2h= 33, т.е. Vц = 33 В14. Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер положили 200г мороженого жирностью 10% и добавили 300г молока 6% - ой жирности. Определите жирность полученного коктейля (в процентах). Ответ: 7,6 Решение: 200г 300г 500г 10% 6% ? 0,1 ∙ 200 = 20 г 0,06 ∙ 300 = 18 г 38г 38/500 ∙ 100% = 7,6 % В15. Найдите точку максимума функции у = (х - 5)2ех + 8 Ответ: 3 Решение: у = (х - 5)2ех + 8 у' = 2(х - 5)ех + 8 + (х - 5)2ех + 8 у' = 0 , 2х – 10 + (х – 5)2 = 0 значит, 2х – 10 + х2 -10х + 25 = 0 х2 -8х + 15 = 0 х=3их=5 + 3 + 5 Хmax = 3 Часть 3 С1. Решите уравнение: а) б) Найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку [π; 5π/2] Ответ: a) π/3 + πк, к ϵ Z б) 4π/3; 7π/3 Решение: 2sinx(cosx - 2) - 2√3cosx(cosx - 2) = 0 (cosx - 2)(2sinx - 2√3cosx) = 0 cosx – 2 = 0 или sinx - √3cosx = 0 корней нет х = π/3 + πк, кϵZ C2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S известны рёбра: АВ = 1, SD = 2. Точка М – середина ребра SC. Найдите площадь сечения этой пирамиды, проходящего через точки M, A, D. Ответ: 3√23 16 Решение: S M 2 K h В А 1 H D С MK // AD, ADMK искомая трапеция S = ½ ∙ (AD + KM) h AD = 1, MK = ½ (ср.линия) Δ DCM: DM – медиана, значит, DM = 1/2 DM = √6/2 Δ MHD: HD = 1/4, MH = MH = √23/ 4 S = 1/2 ∙ (1 + 1/2) √23 / 4 = 3 √23 16 C3. Решите систему неравенств: Ответ: (5/4; 3/2) Решение: Решение (продолжение С3): С4. Расстояния от точки М, расположенной внутри угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку М проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённой внутри угла. Ответ: 4√13 или 4√37 Решение: Пусть ОА = х, ОВ = у. Тогда SAOB = (1/2) xy = 48 С другой стороны: SAOB = SAOM + SBOM = (1/2) x ∙ 3 + (1/2)y ∙ 6 = = (3/2) x + 3y = 48 значит, По теореме Пифагора АВ = 4√13 или или АВ = 4√37 С5. При каких значениях параметра а уравнение ах² + /х – 1/ = о имеет три решения. Решение: ах²= - / х - 1/. График функции у = - /х – 1/ - «уголок» с вершиной в точке (1; 0), ветви которого направлены вниз. Функция у = ах² задаёт семейство парабол с вершиной (0; 0) при а ≠ 0 и прямую у = 0 при а = 0. Изменение параметра а влияет на направление ветвей параболы. Если а = 0, то прямая у = 0 и график функции у = - /х - 1/ имеют одну общую точку, а следовательно данное уравнение - один корень. Значение а = 0 не удовлетворяет условию задачи. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, и графики не имеют общих точек. Пусть а < 0, тогда ветви параболы будут направлены вниз. В этом случае парабола и прямая у = х – 1 имеют две общие точки. Ещё одна общая точка будет, когда прямая у = - х + 1 является касательной к графику функции у = ах². Пусть х ̥ абсцисса точки касания прямой у = -х + 1 с параболой у = ах² . Ответ: а = -1/4 С6. Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257. а) Какое наименьшее число может быть в этой последовательности . б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности? Решение: а) Последовательность не может состоять из двух членов, т.к уравнения х + (х + 10) = 257, х + 6х = 257 неразрешимы в целых числах. Последовательность может состоять из трёх членов, Например, 19 + 114 + 124 = 257 б) Сумма двух соседних чисел равна как минимум 7, поскольку 257 = 36 ∙ 7 + 5, будет самое большее 36 пар и ещё одно число. Но сумма может быть равна 7 только для пары 1+ 6, а если все пары такие, то добавить к ним число 5 нельзя. А для остальных пар сумма равна как минимум 12. Поэтому на самом деле 73 числа обеспечить нельзя, а 72 числа можно, например в ситуации 1,6,1,6,1,6,…,1, 6,1,11 (пара 1,6 повторяется 35 раз) Ответ: а) 3; б) 72