Алгебра логики. Логика Логика – это наука о формах и способах мышления. Основные формы мышления – понятие, высказывание, умозаключение. Алгебра логики Алгебра логики появилась в середине XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Он начал решать логические задачи алгебраическими методами. Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Логические высказывания Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Логические высказывания Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным будет высказывание, если оно противоречит реальной действительности. Например: «3х3 = 9» - истинное высказывание. «Борак Обама– студент КБК 6» - ложное. Логические высказывания Не всякое предложение является логическим высказыванием. -Пример: 6- четное число следует считать высказыванием, т.к. оно истинное -Пример: Рим – столица Франции Тоже высказывание, только ложное. Логические высказывания -Пример: Заходите завтра не является логическим высказыванием Приведите примеры истинных, ложных логических высказываний и примеры, не являющиеся логическими высказываниями Простые и составные высказывания Логические высказывания делятся на простые (элементарные) и составные. Составные высказывания получаются из простых с помощью логических связок «и», «или», «не», «если, то», «тогда и только тогда» и др. Простые и составные высказывания Пример: «Петров - врач» , «Петров - шахматист». При помощи связки «и» получаем составное высказывание «Петров – врач и шахматист» При помощи связки «не» получаем составное высказывание «Петров – не врач» Логические переменные В алгебре логики суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Логические переменные Пример: А=«Петров - врач» В= «Петров - пожарный». Тогда С= А или В С=«Петров – врач или пожарный» D= А и не В D=«Петров – врач и не пожарный» Логические переменные Логические переменные могут принимать только два значения 1 и 0. Если высказывание, определяющее логическую переменную – истинно, то переменная равна 1, если ложно, то 0. Логические переменные А = «Два умножить на два равно четырем». В = «Два умножить на два равно пяти». В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0). Логические операции В алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции и записывать логические формулы, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Операция конъюнкции Логическая связка И Обозначение &, ^, • F =A ^ B В языках программирования and; Название: Логическое умножение. Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда истинны и А и В. Операция конъюнкции Таблица истинности для операции логического умножения A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=A^B 0 0 0 1 Операция дизъюнкции Логическая связка ИЛИ Обозначение v F =A v B В языках программирования or; Название: Логическое сложение. Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда ложны и А и В. Операция дизъюнкции Таблица истинности для операции логического сложения A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=AvB 0 1 1 1 Операция инверсии Логическая связка НЕ Обозначение F =A Название: Логическое отрицание. Значение функции F ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно. Операция инверсии Таблица истинности для операции логического отрицания A 0 1 F=A 1 0 Операция импликации Логическая связка ЕСЛИ, ТО Обозначение F =A B Название: Логическое следование. Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, а В - ложно. Операция импликации Таблица истинности для операции логического следования A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=AB 1 1 0 1 Операция эквивалентность Логическая связка ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА Обозначение F =A B Название: Логическое тождество. Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда ложны А и В оба истинны или А и В оба ложны. Операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Таблица истинности A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=AB 1 0 0 1 Таблица истинности Решать логические формулы удобно при помощи таблицы истинности. Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы. Таблица истинности Алгоритм построения таблицы истинности 1. Количество строк в таблице = 2N, где N – количество переменных. 2. Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций. Таблица истинности Алгоритм построения таблицы истинности 3. Установить последовательность выполнения логических операций. 4.Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных. 5. Заполнить таблицу 1 и 0. Порядок выполнения логических операций Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились о приоритетах. 1. отрицание 2. умножение 3. сложение 4. следование Пример построить таблицу истинности для выражения F=X ^ Y X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 Y 1 0 1 0 F=X ^ Y 0 0 1 0 Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^ x y xvy Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^ x y z ^ ^z Пример построить таблицу истинности для выражения F A B C A B С AvB A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 A B C 1 1 1 0 1 0 1 0 Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^ x y z ^ ^z Самостоятельно построить таблицы истинности для выражений F A B F A D F A BC F A DC A B неА неВ 3*4 не5 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 A D Не А 2+3 Не 4 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 A B C Не B 4*3 Не 5 1*6 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 A D C Не A Не D 4+5 Не 6 7+3 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1