Теорема Виета и ее применение

Теорема Виета и ее
применение
Уравнение
Корни
Произведением
корней
Сумма
корней
x2-2х-15=0
5 и –3
-15
2
x2+3х-28=0
4 и –7
-28
-3
y2-14y+48=0
6и8
48
14
x2+15x+36=0
-12 и –3
36
-15
x2+px+g=0
х1 и х2
-?
?
Вопросы
•
•
•
•
Кто такой Франсуа Виет?
Теорема Виета.
Применение теоремы Виета.
Свойства квадратных уравнений ax 2  bx  c  0,
где а+в+с=0 или а-в+с=0.
Франсуа Виет
Знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603)был по
профессии адвокатом. Свободное время он посвящал
астрономии. Занятие астрономией требовали знания
тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре
пришел к выводу о необходимости их усовершенствования, над
чем и проработал ряд лет.
Виет никогда не прекращал адвокатской деятельности, много лет
был советником короля, постоянно был занят государственной
службой. Несмотря на это всю жизнь настойчиво и упорно
занимался математикой и сумел добиться выдающихся
результатов.
В 1591г. Виет впервые ввел буквенные обозначения и для
неизвестных, и для коэффициентов уравнений, благодаря
этому стало возможно выражать свойства уравнений
и их корней общими формулами.
Как ал-Хорезми и математики древней Греции, Виет признавал
только положительные числа, это было одним из самых
больших недостатков его алгебры
Виет занимался не только алгеброй, но и геометрией и
тригонометрией. Виет сделал много открытий, но сам он больше
всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой
Виета».
Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью.
Очень занятый при дворе французского короля, он находил
время для математических работ, чаще всего за счет отдыха.
Иногда, увлекшись какими-нибудь исследованиями, он проводил
за письменным столом по трое суток подряд.
Теорема Виета
Теорема: По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
ax 2  bx  c  0
c
x1  x2 
a
b
x1  x2  
a
Доказательство: Рассмотрим приведенное квадратное уравнение:
x 2  px  q  0
Пусть x1 , x2 корни уравнения x  px  q  0, будем
2
иметь
p
x1  
2
2
p 
p
   q , x2   
2
 2 
2
p 
   q ;
 2 
2
2
2
2
 p
  p

 p
  p

p
p
p
p




x1  x2       q        q    p; x1  x2       q        q   q.
 2
  2

 2
  2

2
2
2
2

 


 

Теорема справедлива и для уравнения вида
ax 2  bx  c  0.
И рассмотрим теорему Виета
для не приведенного квадратного
уравнения.
ах2+bx+c=0.
Разделим обе части уравнения на
а, получим приведенное
квадратное уравнение:
х2+bx/a+c/a=0, которое имеет
те же корни. Отсюда,
х1+х2=-b/a; x1*x2=c/a.
Правильно ли найдены корни
квадратного уравнения:
•а) х2+3х-40=0, х1=-8, х2=5;
•б) х2-2х-3=0, х1=-1, х2=3;
•в) х2-2=0, х1=-√2, х2=√2;
•г) х2-2х-9=0, х1=1-√10, х2=1+√10.
Обратная теорема: Если количества
x1  x2   p
x1  x2  q
x1, x2 , p, q таковы. Что
,то
x1, x2
x 2  px  q  0
суть корни уравнения
Следствие 1: По данным корням можно составить квадратное
уравнение.
Пусть требуется составить квадратное уравнение, корни которого были бы
2 и -3. Положив, что 2+(-3)=-p и 2*(-3)=q, находим –p=1, q=-6.значит
искомое уравнение будет
x 2  x  6  0.
Следствие 2: Не решая квадратного уравнения, можно определить знаки
его корней, если эти корни вещественные.
Знаки коэффициентов
а>0
b>0
c<0
a>0
b<0
c<0
a>0
a>0
b>0
b<0
c>0
c>0
Знаки корней
Разные: больший по абсолютной
величине отрицателен
Разные: больший по абсолютной
величине положителен
Одинаковые: оба отрицательные
Одинаковые: оба положительные
Применение теоремы Виета
Пример 1: Не решая уравнение x 2  3 x  10  0 , вычислить сумму кубов его корней.
Решение: Пусть x1 , x2 - корни данного уравнения. Выполним преобразование суммы
кубов и подставим диктуемые теоремой Виета значение суммы и произведения
корней:
2
3
3
2
2
1
2
1
2
1
1 2
2
1
2
1 2
 

x  x  x  x  x  x x  x  3 x  x
Пример 2: Корни уравнения
Найти b.
Решение: По теореме Виета
По условию
x 2  bx  b  0


 3x x  39  30  117.
таковы, что
x13  x23  x13  x23  75.
x1  x2  b, x1  x2  b.
x13  x23  x13 x23  x1  x2   3x1  x2  x1  x2   x13  x23  75
Т.е. b3  3b 2  b3  75. Значит,
3
b  5.
Пример 3: Пусть x1 , x2- корни уравнения
больше или меньше 1 значение дроби:
3x 2  14 x  14  0. Установите,
3x12  5 x1 x2  3x22
.
4 x1 x22  4 x12 x2
Решение: Данное в условии выражение легко привести к виду
3 x1  x2   x1 x2 3(14 / 3) 2  (14 / 3) (14 / 3)(14  1) 13 * 3



1.
2
2
4 x1 x2  x2  x1 
4(14 / 3)
4(14 / 3)
14 * 4
2
Следствие 2: Если в квадратном уравнении
ax 2  bx  c  0, a  b  c  0
то один из корней уравнения равен (-1), а другой равен (-с/а).
Доказательство: Рассмотрим уравнение ax 2  bx  c  0
Из условия
a  b  c  0 следует, что b  a  c.
ax 2  (a  c) x  c  0,
ac
c
x   0,
a
a
c
 c
2
x  1   x   0,
a
 a
c
x1  1, x2   .
a
x2 
Вывод
Очень досадно, когда теорема Виета не находит
широкого применения в средней школе, в
частности это относится и к свойствам
квадратного уравнения. Использование же
указанных свойств для быстрого получения
ответа при решении некоторых квадратных
уравнений дает значительные преимущества.
Всегда облегчайте свой труд, если это
возможно.