7. Угол между плоскостями Шпитько Егор Баянова Анастасия Шанаев Наран

7. Угол между плоскостями
Шпитько Егор
Баянова Анастасия
Шанаев Наран
Способ I - координатный
Дано:
B
ABCDEFA1B1
C1D1E1F1
А
правильная
F
6-тиугольная
призма
B
AN:NC=1:3
А
N
AF=2;AA1=4;
1
C1
D1
1
1
F
E1
C
D
E
Найти:
Угол между
плоскостями
A1B1N и BEC1
Пусть точка
O-начало
координат,
Тогда
найдем
координаты
точек
A1 (-2;0;4)
B1 (-1; 3;4);
C1
B1
Z
А1
3
;0);
4
N(-1,25;
B(-1; 3;0);
E(1;- 3;0);
C1 (1; 3;4);
D1
E1
F1
Y
C
B
А
N
F
D
O
E
X
Cоставим матрицы,вычислим определитель 3-го порядка и приравняем его к 0.
(A1B1N)
𝑥+2
𝑦
𝑧−4
−1
3
3
4
4
−1,25
0
Т.к косинус угла между двумя
плоскостями заданными в
общем виде вычисляется по
формуле :
cos 𝛼=
𝐴1 𝐴2 +𝐵1 𝐵2 +𝐶1 𝐶2
2
2
(C1BE)
,
𝑥+1
1
1
3 0
− 3 0
3 4
𝐴1 2 +𝐵1 +𝐶1 2 𝐴2 2 +𝐵2 +𝐶2 2
Уравнение плоскости (A1B1N)
(A1B1N): 4 3x-4y+ 3z+4 3=0
то угол между
плоскостями(A1B1N) и (C1BE)
равен
4
arccos
1273
Уравнение плоскости (C1BE)
(C1BE):2 3x+2y- 3z=0
Способ II - геометрический
C1
B1
Достроим
А
сечение
призмы
плоскостями
(A1B1N) и (BEC1)
D1
1
F1
RT –линия
пересечение
плоскостей
R
Q
B
А
N
P
F
E1
C
T
D
E
Рассмотрим
фигуру BRQT
∆𝐵𝑇𝑄 – правильный
BT=0,5;
Угол BHQ-искомый
По теореме косинусов
5
BR=2 ;
5
65
QR= ;
10
10
TR=3 ;
10
cos 𝛼 =
R
𝐻𝑄2 +𝐵𝐻 2 −𝐵𝑄2
;
2𝐻𝐵∗𝐻𝑄
cos 𝑎 =
H
Q
B
T
4
1273