Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ . Учитель математики МБОУ СОШ№1 Вольно-Надеждинское Приморский край Пентяшкина Татьяна Петровна 1.Угол между двумя прямыми: 1 2 3 2.Угол между прямой плоскостью: 4 . 5 6 3. Угол между плоскостями: . 7 8 9 Угол между двумя прямыми С₁ : D 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны1найти угол между прямыми АС и ВС₁. А₁ Решение: Угол между прямыми АС и ВС₁ равен углу между прямыми ВС₁ и А₁С₁. Пусть ∠А₁С₁B=𝛼. А В₁ С Так как призма правильная, то А₁В=С₁В как диагонали равных квадратов( по условию все ребра призмы равны 1). Значит, ∆А₁ВС₁- равнобедренный. Проводим высоту ВD В Угол между двумя прямыми: С₁ D В ∆ВDC₁ DC₁= Из ∆С₁В₁В А₁ 1 1 А₁С₁= . 2 2 В₁ ВС₁2 =1+1=2; ВС₁= 2. С . Тогда cos 𝛼 = 𝐷𝐶₁ 𝐵𝐶₁ = 1 2 2 = 1 2 2 = 2 . 4 А Ответ: 𝛼=arccos . В 2 4 Угол между двумя прямыми: 2.В единичном кубе А…D₁ найти угол между прямыми ВВ₁ и А₁С. Заметим, что угол между прямыми ВВ₁ А₁ и А₁С равен углу между прямыми АА₁ и А₁С. . Пусть ∠ АА₁С= 𝛼, тогда из АА₁ ∆А₁АС(∠А₁АС=90°) имеем cos 𝛼 = , А₁С D₁ С₁ В₁ 𝜶 D где АА₁=1, А₁С – диагональ куба. По свойству прямоугольного параллелепипеда, имеем:В А 2 +АА₁2 , или А₁С= а2 + а2 + а2 =а 3= 3, где а=1. . АС2 =АВ2 +ВС Тогда cos 𝛼= 1 , 3 откуда 𝛼= arccos 1 . 3 С Угол между двумя прямыми: М . Реши задачу: 3.В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD, все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми МО и ВЕ, где точка Е – середина ребра АМ. Е• D •О А . С В Угол между двумя прямыми: Решение: Проведу диагонали основания. Из точки Е –середины АМ опускаем перпендикуляр ЕК на плоскость АВСD. ЕК – средняя линия ∆АОМ. Так как высота МО⊥(АВС) и МО∥ЕК, то ЕК⊥(АВС), значит, Е• ЕК⊥ВК. D . Поскольку МО∥ЕК, то угол между прямыми МО и медианой ВЕ равен ∠КЕВ=𝛼. М С О Все ребра пирамиды равны 1( по условию В 1 3 А задачи), то из ∆АВЕ, где АВ=1,АЕ= , ВЕ= . 2 2 1 . 2 2 2 2 2 В ∆АОМ АО=МО, тогда АО +МО =АМ , или 2АО =1, АО = , 2 1 1 1 1 АО=МО= , КЕ= МО= . КЕ 1 3 1 𝛼=arccos 6 2 2 2 2 Искомый угол из ∆ЕКВ cos 𝛼=ВЕ=2 2 : 2 = 6. Угол между прямой и плоскостью: 4.В правильной четырехугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁, стороны основания которой A₁ равны 2, а боковые ребра равны 4, найти угол между прямой АВ₁ и плоскостью ВDD₁. Проведем диагонали АС и ВD основания. . .Пусть О-точка пересечения диагоналей. Заметим, что АО перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость ВDD₁. Тогда ∠АВ₁О есть угол между прямой АВ₁ и А плоскостью ВDD₁ а 2 = = 2 2 22 + 42 =2 D₁ С₁ B₁ С О В В прямоугольном ∆АВ₁О АО= 2, АВ₁= АВ2 + ВВ₁2 или АВ₁= 5, 10 ∠А𝐵₁О = arcsin 10 тогда sin ∠АВ₁О= АО = 2 = 10 . Угол между прямой и плоскостью: 5.В правильной шестиугольной призме А…F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁. F₁ Обозначим точку МПроведу ВМ пересечение прямых F₁C₁ иB₁D₁. Далее, из точки В₁ опустим . перпендикуляр В₁N на прямую ВМ. Тогда ∠В₁АN =𝛼-искомый угол между F прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁. В прямоугольном ∆ВВ₁М известно: ВВ₁=1 E₁ D₁ М C₁ B₁ A₁ 3 (B₁D₁=2•D₁C₁sin 60), 2 А 7 ВВ₁2 + В₁М2 = . 2 М N E 1 2 С (по условию), В₁М= В₁D₁= тогда ВМ= Заметим =, что ∆𝐵₁𝑁M ∼ ∆𝐵𝐵₁𝑀 (прямоугольные, имеющие общий <В₁МN). D В Угол между прямой и плоскостью : . E₁ В прямоугольном ∆ВВ₁М известно: ВВ₁=1 1 3 В₁М= В₁D₁= 2 2 (по условию), (B₁D₁=2•D₁C₁sin 60), тогда ВМ= . ВВ₁2 + F₁ 7 2 В₁М = . 2 Имеем В₁N = В₁N= 3 2 • 1: 7 2 М М C₁ B₁ A₁ Заметим , что ∆𝐵₁𝑁M ∼ ∆𝐵𝐵₁𝑀 (прямоугольные, имеющие общий <В₁МN. 21 ( 7 D₁ N E D F С В₁М 𝐵₁𝑁 из пропорции = , ВМ 𝐵𝐵₁ ). Так как АВ₁= 1 + 1= 2, то из ∆ АВ₁N sin 𝑎= B₁N: АВ₁= 42 . 14 А В 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 3 42 Угол между прямой и плоскостью: Реши задачу: 6.В кубе А…D₁ найдите угол между прямой АА₁ и плоскостью . ВС₁D. D₁ A₁ C₁ В₁ D А . С В Угол между прямой и плоскостью: Решение: Диагонали DB и АС пересекаются в О. С₁О – медиана, биссектриса, высота вD₁ ∆В𝐷𝐶₁ Угол между прямой АА₁ и плоскостью A₁ ВС₁D равен углу между прямой СС₁ и плоскостью ВС₁D, т. е. < ОС₁С. . В ∆ОСС₁ СС₁=1, ОС =R –радиус описанной окружности. Известно, что в правильном четырехугольнике со стороной а а =R 2, откуда R = а . 1 или ОС= , где а=1. 2 2 Из прямоугольного ∆ОСС₁ C₁ В₁ D С О А ОС 1 tan а= = СС₁ 2 В а= arctg 1 2 , где а = ∠ОС₁С Угол между двумя плоскостями: 7.В правильной шестиугольной призме АF₁, все ребра которой равны 1,найдите E₁ угол между плоскостями АВС и ВЕD₁. Проведу диагонали основания ВЕ и FD F₁ D₁ М А₁ В₁ В плоскости ВЕD₁ из точки D₁ опустим А₁ . перпендикуляр D₁M на плоскость 𝛼 D основания призмы. E Так как FE=ED и диагональ ВЕ проходит через М F центр основания, то ЕМ – медиана, М биссектриса и высота ∆𝐹𝐸𝐷, точка М – . середина FD. А В В прямоугольном ∆𝑀𝐷𝐷₁ имеем: DD₁=1, Искомый угол 1 2 3 2 MD= FD= , тогда tg𝛼= 𝐷𝐷₁ , или tg𝛼 𝑀𝐷 = 2 . 3 𝛼=arctg 2 3 С₁ С Угол между двумя плоскостями : М 8. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС, точка D - середина МА, точка Eсередина ребра МВ. Найдите угол между плоскостями СDE и АВС, если МС=18, АВ=12. А . Решение: .СК – медиана, биссектриса и высота ∆АВС Из точки N опустим перпендикуляр NF . на плоскость основания ∆АВС. D N E С K F В NF⊥DE и CN⊥DE, значит, ∠NCF- линейный угол между плоскостями СDE и АВС. Угол между двумя плоскостями : М МО высота призмы. В ∆АВС ВС= ОС• 3, Из ∆МОС МО= 182 12 ОС= = 4 3 3. D N − (4 3)²= 324 − 48=2 69. E С А 1 NF= МО= 2 69- средняя линия K F О ∆КОМ. Из ∆КСВ, где ВС=12, ВК=6, КС= 144 − 36=6 3. . Следовательно, tg∠NCF= 𝑁𝐹 69 23 = = . 𝐹𝐶 5 3 5 ∠𝑁𝐶𝐹= arctg В 23 . 5 Угол между двумя плоскостями: 9.В кубе А…D₁ найдите углы между плоскостями между АВС и АВ₁D₁. D₁ A₁ C₁ В₁ . D А . С В Угол между двумя плоскостями: В кубе А…D₁ найдите углы между плоскостями между АВС и АВ₁D₁. A₁ Решение: Очевидно, что в единичном кубе А…D₁ плоскость АВ₁D₁ ∥ плоскости ВС₁D, . так как ВD =B₁D₁, AB₁=DC₁ иAD₁=BC₁. D₁ C₁ В₁ D 𝛼 С Пусть О – точка пересечения О диагоналей AC и BD квадрата АВСD. А В Тогда искомым линейным 𝛼 углом . плоскостями АВС и плоскостью между 𝛼 =arctg 2 ВС₁𝐷 , будет ∠С₁ОС=𝛼 В ∆ С₁ОС(∠С=90°), СС₁=1, ОС=R= 1 , тогда tg𝛼= 𝐶𝐶₁ = 𝑂𝐶 2 2 Литература. . 1. Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеоразовательных учреждений.-М.: Просвещение,2011. 2. Смирнова И.М.,Смирнов В.А. Эффектиная подготовка к ЕГЭ. - М.: Экзамен, 2008 3. Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Стереометрия для 9 и 10 классов.-М.: Просвещение, 1972. .